2021-2022年高三上学期期中综合练习试卷(三)(数学)

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上海市浦东新区2022届高三上学期期中考试数学试卷 Word版含答案

上海市浦东新区2021-2022学年第一学期高三数学期中质量检测试卷 (满分: 150分答题时间:120分钟)一、填空题（本大题共有12道小题，请把正确答案直接填写在答题纸规定的地方，其中1--6每小题4分，7—12每小题5分，共54分）.1．幂函数经过点22,2⎛⎫⎪ ⎪⎝，则此幂函数的解析式为.2.若集合}012|{>+=x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A .3. 设()1f x -为函数()21x f x x =+的反函数，则()12f -=_____.4.不等式102xx ->+的解集是.5．在一个圆周上有10个点，任取3个点作为顶点作三角形，一共可以作__________个三角形（用数字作答）．6．已知球半径为2，球面上A 、B 两点的球面距离为32π，则线段AB 的长度为________.7．若x y ∈+R ，，且14=+y x ，则x y ⋅的最大值是．8．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示）．3.09．若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数，且它的值域为(]4-∞，，则该函数的解析式()f x =．10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别．11．已知命题2430m m α-+≤：，命题2680m m β-+<：.若αβ、中有且只有一个是真命题，则实数m 的取值范围是________．12．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱AB 、CC 1的中点，△MB 1P 的顶点P 在棱CC 1与棱C 1D 1上运动.有以下四个命题： ①平面MB 1P ⊥ND 1；②平面MB 1P ⊥平面ND 1A 1；③△MB 1P 在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值； ④△MB 1P 在侧面D 1C 1CD 上的射影图形是三角形．其中正确命题的序号是二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。

浙江省杭州地区(含周边)重点中学2022届高三上学期期中考试数学 Word版含答案

绝密★考试结束前2021学年第一学期期中杭州地区(含周边)重点中学高三年级数学学科试题考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名：座位号写在指定位置；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷。

选择题部分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|0<x<2}，则A∩B＝A.{x|1≤x<2}B.{x|0<x≤3}C.{x|1≤x≤2}D.{x|0≤x≤2}2.设(1＋2i)·z＝3＋i(i为虚数单位)，则|z|＝A.3B.2C.3D.23.若实数x，y满足约束条件x y10x y103x y50-+≥⎧⎪++≥⎨⎪--≤⎩，则z＝x－2y的取值范围是A.[1，5]B.[－1，5]C.[－5，－1]D.[－5，5]4.(1－2x)6展开式中，x3的系数为A.20B.－20C.160D.－1605.函数f(x)＝x2－|x＋a|＋a2，(a>1)的图象可能是6.在△角形ABC中，“tanA＋tanB＋tanC>0”是“△ABC为锐角三角形”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.设随机变量X ～B(2，p)，若P(x ≥1)＝59，则E(X)＝ A.23 B.13 C.43D.1 8.对于平面内不共线的四点O 、A 、B 、C ，若存在一组正实数λ1、λ2、λ3，使得123OA OB OC 0λλλ++=，则三个角∠AOB 、∠BOC 、∠COAA.都是钝角B.至少有两个钝角C.恰有两个钝角D.至多有两个钝角 9.若对任意的x 1，x 2∈[1，＋∞)，当x 2>x 1时，恒有aln 21x x <2(x 2－x 1)成立，则实数a 的取值范围是A.(－∞，0]B.(－∞，1]C.(－∞，2]D.(－∞，3] 10.已知数列{a n }，{b n }，数列{c n }满足c n ＝n na nb n ⎧⎨⎩，为奇数，为偶数，n ∈N *。

2021-2022学年江苏省徐州市高三(上)期中数学试卷【含答案】

2021-2022学年江苏省徐州市高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}，B={x|y=√x−1}，则A∪B＝（）A．R B．[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）2．复数z满足z1−z=2i，则z平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．某校开设A类选修课4门，B类选修课3门，每位同学从中选3门．若要求两类课程中都至少选一门，则不同的选法共有（）A．18种B．24种C．30种D．36种4．已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a⊥α，α⊥β，则“a⊥b”是“b⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件5．若（x−ax）8的二项展开式中x6的系数是﹣16，则实数a的值是（）A．﹣2B．﹣1C．1D．26．某单位招聘员工，先对应聘者的简历进行评分，评分达标者进入面试环节．现有1000人应聘，他们的简历评分X服从正态分布N（60，102），若80分及以上为达标，则估计进入面试环节的人数为（）（附：若随机变量X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈0.9973．）A．12B．23C．46D．1597．已知第二象限角θ的终边上有异于原点的两点A （a ，b ），B （c ，d ），且sin θ+3cos θ＝0，若a +c ＝﹣1，则1b+4d 的最小值为（）A ．83B ．3C ．103D ．48．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝（13）n +1﹣b ，数列{（ab ）n }的前n 项和为T n ，若数列{T n }是等差数列，则非零实数a 的值是（） A ．﹣3 B ．13C ．3D ．4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ＜b ，则下列结论错误的是（） A ．1a＞1bB ．a 2＜b 2C ．（12）a ＞（12）bD ．ln （b ﹣a ）＞010．已知圆M ：x 2+y 2+4x ﹣1＝0，点P （a ，b ）是圆M 上的动点，则（） A ．圆M 关于直线x +3y +2＝0对称 B ．直线x +y ＝0与圆M 相交所得弦长为√3 C ．b a−3的最大值为12D ．a 2+b 2的最小值为√5−211．已知函数f （x ）＝sin ωx +√3cos ωx （ω＞0）的零点依次构成一个公差为π2的等差数列，把函数f （x ）的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g （x ）的图象，则函数g （x ）（）A ．是偶函数B ．其图象关于直线x =π4对称 C ．在[π4，π2]上是减函数D ．在区间[π6，2π3]上的值域为[−√3，2]12．若f （x ）和g （x ）都是定义在R 上的函数，且方程f [g （x ）]＝x 有实数解，则下列式子中可以为 g [f （x ）]的是（） A ．x 2+2x B ．x +1C ．e cos xD ．ln （|x |+1）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →=13AB →+23AD →，则CP →⋅DC →的值是．14．设f （x ）是定义域为R 的奇函数，且f （1+x ）＝f （﹣x ）．若f （−13）＝3，则f （113）的值是．15．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，P 为C 上一点，若A （﹣2，0），则PA PF的最大值为．16．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P 在棱D 1C 1上运动，点Q 在棱BC 上运动，且PQ 与BB 1所成的角为π4，若线段PQ 的中点为M ，则点M 的轨迹的长度是．四、解答题：本题共6小题，共70分。

江苏省南通市2021-2022学年高三上学期期中调研考试数学试题(解析版)

南通市2021－2022(上)高三期中调研测试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |1＜x ＜4}，集合B ＝{x |0＜x ＜2}，则集合A ∩(C U B )＝A ．(1，2)B ．(1，2]C ．(2，4)D ．[2，4)2．已知z ＝1－2i ，|z -－z |＝A ．2B ．4C ．4iD ．－4i3．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，有下列四个等式甲：a 1＝1；乙：a 4＝4；丙：S 3＝9；丁：S 5＝25．如果只有一个等式不成立，则该等式为A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．经研究发现，某昆虫释放信息素t s 后，在距释放处x m 的地方测得信息素浓度y 满足ln y ＝－12ln t －K tx 2＋A ，其中A ，K 为非零常数．已知释放1s 后，在距释放处2m 的地方测得信息素浓度为a ，则释放信息素4s 后，信息素浓度为a2的位置距释放处的距离为A ．14mB ．12m C ．2m D ．4m5．已知圆锥SO 的顶点为S ，母线SA ，SB ，SC 两两垂直，且SA ＝SB ＝SC ＝6，则圆锥 SO 的体积为A ．182πB ．542πC ．163πD ．483π6．函数y ＝2sin xx 2＋1(x ∈[－2，2)的图象大致为7．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且e a－e－12＝a＋12，eb－e－13＝b＋13，ec－2－15＝c＋15，则A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a8．由倍角公式cos2x ＝2cos 2x －1，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．－般地，存在一个n 次多项式P n (t )，使得cos nx ＝P n (cos x )这些多项式P n (t )称为切比雪夫(P ．L ．Tschebyscheff )多项式．例如cos2x ＝P 2(cos x )＝2cos 2x －1，记作P 2(t )＝2t 2－1．利用P 3(t )求得sin18°＝A ．5－14 B ．3－52 C ．5－12 D ．5＋18二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每/小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知a ＞b ，则A ．ln(a 2＋1)＞ln(b 2＋1) B ．a 13＞b 13C ．1a ＜1bD ．(13)a ＜(13)b10．已知把函数y ＝sin2x 的图象上所有点向右平移π6个单位长度，可得到函数y ＝f (x )图象，则A ．f (x )＝sin(2x －π3)B ．f (x )＝sin(2x －π6)C ．f (x )＝cos(2x －5π6)D ．f (x )＝cos(2x －2π3)11．已知数列{a n }满足a 1＝－2，a 2＝2，a n ＋2－2a n ＝1－(－1)n ，则12．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M 在线段AD 1上，点N 在线段BD 上，则 A ．当M 为AD 1的中点时，AC 1⊥MNB ．当MN //平面CC 1D 1D 时，AM ＝BNC ．当N 为BD 的中点时，三棱锥C 1－BMN 的体积为16D ．当M 为AD 1的中点时，以M 为球心，MN 为半径的球被平面BB 1D 1D 截得的圆的面积的最小值为π4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知中心为O 的正六边形ABCDEF 的边长为2，则→OA ·→OC ＝．14．已知函数f (x )＝(x －a )(x －3)2(a ∈R )，当x ＝3时，f (x )有极大值．写出符合上述要求的一个a 的值为．15．设函数f (x )的定义域为R ，f (x )为偶函数，f (x ＋1)为奇函数，当x ∈[1，2]时，f (x )＝a ·2x＋b ，若f (0)＋f (1)＝－4，则f (72)＝．16．如图，将矩形纸片ABCD 的右下角折起，使得点B 落在CD 边上点B 1处，得到折痕MN 已知AB ＝5cm ，BC ＝4cm ，则当tan ∠BMN ＝时，折痕MN 最短，其长度的最小值为 cm ．(本题第一空2分，第二空3分)四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本题满分10分)已知数列{a n }是公比为正数的等比数列，且a 1＝2，a 3＝a 2＋4． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝log 2a n ，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n ．【解析】18．(本题满分12分) 函数f (x )＝sin(2x ＋π6)＋cos2x ．(1)求f (0)，f (π12)；(2)求函数f (x )在[－π4，π4]上的最大值与最小值．【解析】19．(本题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD //BC ，P A ⊥CD ，AB ＝BC ＝P A ＝PC ＝1，AD ＝2． (1)证明：CD ⊥平面P AC ；(2)若AC ＝1，求二面角A －PD －C 的正弦值．【解析】20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2－x ＋1e x(a ∈R ) ． (1)当a ＝－2时，求f (x )的单调区间； (2)当x ≥0时，f (x )≤1，求a 的取值范围．【解析】21．(本题满分12分)在△ABC 中，已知D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，且AC －CD ＝32．(1)若AB ＝2BD ＝5，求△ABC 的面积； (2)若AB ＋BD ＝6，求AD ．【解析】22．(本题满分12分) 已知函数f (x )＝x ln x ．(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)设x 1，x 2为两个不相等的正数，且f (x 1)＝f (x 2)，证明：2e ＜x 1＋x 2＜1．【解析】∴2e ＜x 1＋x 2＜1．。

江苏省无锡市2021-2022学年高三上学期期中教学质量调研测试数学试题

启用前★保密2021~2022学年度上学期无锡市高三期中质量检测数学试卷一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．)1．已知集合A ＝{x |y ＝2－x }，集合B ＝{x |y ＝ln(x －1)}，则A ∩B 等于( )A ．{x |1＜x ≤2}B ．{x |1≤x ≤2}C ．{x |1＜x ＜2}D ．{x |x ≥2} 2．设复数z 满足2z ＋z -＝3＋6i ，则z 等于( )A ．1＋2iB ．1＋6iC ．3＋2iD ．3＋6i 3．“a ∈[0，1]”是“∀x ∈R ，x 2－ax ＋1＞0”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和．则最小的一份为( )A ．53B ．103C ．56D ．1165．已知函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝2x的图象关于直线y ＝x 对称，函数g (x )是奇函数，且当x ＞0时，g (x )＝f (x )＋x ，则g (－4)＝( )A ．－18B ．－12C ．－8D ．－6 6．已知α∈(－π，0)，且3cos2α＋4cos α＋1＝0，则tan α等于( )A ．24 B ．2 2 C ．－2 2 D ．－247．已知向量→OA ＝(1，3)，向量→OB ＝(3，t )，|→AB |＝2，则cos<→OA ，→AB >等于( )A ．－1010 B ．1010 C ．31010 D ．－310108．已知函数f (x )＝e x －2＋e－x ＋2＋a sin(πx 3－π6)有且只有一个零点，则实数a 的值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．) 9．已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的有( )A ．x 3＞y 3B ．1x ＜1yC ．ln(x －y ＋1)＞0D ．sin x ＞sin y10．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2，x ＜0e x ，x ≥0，满足对任意的x ∈R ，f (x )≥ax 恒成立，则实数a 的取值可以是( )A ．－2 2B ．－ 2C ． 2D ．22 11．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述运算，经过有限次步骤，必进人循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”)．如果对于正整数m ，经过n 步变换，第一次到达1，就称为n 步“雹程”．如取m ＝3，由上述运算法则得出：3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过7个步骤变成1，得n ＝7．则下列命题正确的有( )A ．若n ＝2，则m 只能是4B ．当m ＝17时，n ＝12C ．随着m 的增大，n 也增大D ．若n ＝7，则m 的取值集合为{3，20，21，128}． 12．已知函数f (x )＝sin|x |＋|cos x |，下列叙述正确的有( )A ．函数y ＝f (x )的周期为2πB ．函数y ＝f (x )是偶函数C ．函数y ＝f (x )在区间[3π4，5π4]上单调递减 D ．∀x 1，x 2∈R .|f (x 1)－f (x 2)|≤2三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分．)13．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且ln a n ＋1＝2S n ＋2(n ∈N *)，则a 1＝． 14．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝f ′(π4)sin x －cos x ，则f ′(π4)＝．15．已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三角形，角A 为直角，点P 为平面ABC 上的一点，则→PB ·→PC 的最小值为．16．函数f (x )＝x 2－ax －1的零点个数为；当x ∈[0，3]时，|f (x )|≤5恒成立，则实数a 的取值范围为．四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(10分)在①、②两个条件中任取一个填入下面的横线上，并完成解答． ①在(0，2π)上有且仅有4个零点；②在(0，2π)上有且仅有2个极大值点和2个极小值点．设函数f (x )＝sin(ωx 2＋π3)(ω∈N *)，且满足．(1)求ω的值；(2)将函数f (x )的图象向右平移π3个单位得到函数g (x )的图像，求g (x )在(0，2π)上的单调递减区间．18．(12分)我们知道，函数y ＝f (x )的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f (x )为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y ＝f (x )的图象关于点P (a ，b )成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f (x ＋a )－b 为奇函数．(1)请写出一个图象关于点(－1，0)成中心对称的函数解析式； (2)利用题目中的推广结论，求函数f (x )＝x 3－3x 2＋4图象的对称中心．19．(12分)在锐角三角形ABC 中，已知tan2A ＝sin Acos A －1．(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，求b ＋c 的取值范围．20．(12分)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝11，cos ∠BAC ＝51122，D 为BC 的中点，E 为AB 边上的一个动点，AD 与CE 交于点O ．设→AE ＝x →AB ．(1)若x ＝14，求COOE 的值；(2)求→AO ·→CE 的最小值．21．(12分)已知正项数列{a n }的前项积为T n ，且满足a n ＝T n3T n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{T n －12}为等比数列；(2)若a 1＋a 2＋…＋a n ＞10，求n 的最小值．22．(12分)已知函数f (x )＝ex －m－ln x (m ≥0)．(1)当m ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若函数f (x )的最小值为1e －1，求实数m 的值．启用前★保密2021~2022学年度上学期无锡市高三期中质量检测数学试卷2021.11.9一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．)1．已知集合A＝{x|y＝2－x}，集合B＝{x|y＝ln(x－1)}，则A∩B等于() A．{x|1＜x≤2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|1＜x＜2}D．{x|x≥2}2．设复数z满足2z＋z-＝3＋6i，则z等于()A．1＋2i B．1＋6i C．3＋2i D．3＋6i3．“a∈[0，1]”是“∀x∈R，x2－ax＋1＞0”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和．则最小的一份为()A ．53B ．103C ．56D ．1165．已知函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝2x的图象关于直线y ＝x 对称，函数g (x )是奇函数，且当x ＞0时，g (x )＝f (x )＋x ，则g (－4)＝()A ．－18B ．－12C ．－8D ．－66．已知α∈(－π，0)，且3cos2α＋4cos α＋1＝0，则tan α等于()A ．24B ．22C ．－22D ．－247．已知向量→OA ＝(1，3)，向量→OB ＝(3，t )，|→AB |＝2，则cos<→OA ，→AB >等于()A ．－1010B ．1010C ．31010D ．－310108．已知函数f (x )＝ex －2＋e－x ＋2＋a sin(πx 3－π6)有且只有一个零点，则实数a 的值为()A ．4B ．2C ．－2D ．－4二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的有()A ．x 3＞y3B ．1x ＜1yC ．ln(x －y ＋1)＞0D ．sin x ＞sin y10．已知函数f (x )2＋2，x ＜0x ，x ≥0，满足对任意的x ∈R ，f (x )≥ax 恒成立，则实数a 的取值可以是()A ．－22B ．－2C ．2D ．2211．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述运算，经过有限次步骤，必进人循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”)．如果对于正整数m ，经过n 步变换，第一次到达1，就称为n 步“雹程”．如取m ＝3，由上述运算法则得出：3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过7个步骤变成1，得n ＝7．则下列命题正确的有()A ．若n ＝2，则m 只能是4B ．当m ＝17时，n ＝12C ．随着m 的增大，n 也增大D ．若n ＝7，则m 的取值集合为{3，20，21，128}．12．已知函数f (x )＝sin|x |＋|cos x |，下列叙述正确的有()A ．函数y ＝f (x )的周期为2πB ．函数y ＝f (x )是偶函数C ．函数y ＝f (x )在区间[3π4，5π4]上单调递减D ．∀x 1，x 2∈R .|f (x 1)－f (x 2)|≤2选项B 对；三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分．)13．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且ln a n ＋1＝2S n ＋2(n ∈N *)，则a 1＝．14．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝f ′(π4)sin x －cos x ，则f ′(π4)＝．15．已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三角形，角A 为直角，点P 为平面ABC 上的一点，则→PB ·→PC 的最小值为．16．函数f(x)＝x2－ax－1的零点个数为；当x∈[0，3]时，|f(x)|≤5恒成立，则实数a的取值范围为．四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(10分)在①、②两个条件中任取一个填入下面的横线上，并完成解答．①在(0，2π)上有且仅有4个零点；②在(0，2π)上有且仅有2个极大值点和2个极小值点．设函数f(x)＝sin(ωx2＋π3)(ω∈N*)，且满足．(1)求ω的值；(2)将函数f(x)的图象向右平移π3个单位得到函数g(x)的图像，求g(x)在(0，2π)上的单调递减区间．【解析】18．(12分)我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．(1)请写出一个图象关于点(－1，0)成中心对称的函数解析式；(2)利用题目中的推广结论，求函数f(x)＝x3－3x2＋4图象的对称中心．【解析】19．(12分)在锐角三角形ABC 中，已知tan2A ＝sin A cos A －1．(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，求b ＋c 的取值范围．【解析】20．(12分)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝11，cos ∠BAC ＝51122，D 为BC 的中点，E 为AB 边上的一个动点，AD 与CE 交于点O ．设→AE ＝x →AB ．(1)若x ＝14，求CO OE的值；(2)求→AO ·→CE 的最小值．【解析】21．(12分)已知正项数列{a n}的前项积为T n，且满足a n＝T n3T n－1(n∈N*)．(1)求证：数列{T n－12}为等比数列；(2)若a1＋a2＋…＋a n＞10，求n的最小值．【解析】22．(12分)已知函数f(x)＝e x－m－ln x(m≥0)．(1)当m＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若函数f(x)的最小值为1e－1，求实数m的值．【解析】。

福建省莆田第一中学2021-2022学年高三上学期期中考试数学试题及答案

20．（1）
（2）若 bn
log
2
(
an
1 3
2)
，求数列
{1 bnbn1
}
的前
n
项和
Tn
.
18．（本小题
12
分）在①
2c a
b
cos cos
B A
，②
2a
cos
C
c
2b
，
③ a sin Acos C 1 c sin 2A 3b cos A 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，
2
并解答该问题.
问题：锐角 ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且___________.
17．（1）证明见解析， an 3 2n1 2
n N*
；（2） Tn
n n 1 .
【详解】
（1）解：（1）由 an1 2an 1 得 an1 2 2an 2 ，
因为
an
2
0 ，所以
an1 2 an 2
2
，又因为
a1
2
3
所以数列an 2 是以 3 为首项，以 2 为公比的等比数列，
两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个
几何体的体积相等，现有一个圆柱体和一个长方体，它们的底面面积相等，高也相等，若长方体的底面周长为 8，圆柱体的体积为 4 ，根据祖暅原理，可推断圆柱体的高的最小值为___________
试卷第 3页，共 5页
16．设函数
f
x
x3 3x, x x, x x0
（1）求 A ；
（2）求 cos B cosC 的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高三(上)期中数学试卷

2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高三（上）期中数学试卷试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知集合A={x|0＜x ＜2}， B ={x|x−3x−1≤0} ，则集合A∪B=___ ． 2.（填空题，4分）在 (x2+1x )6的二项展开式中，x 2项的系数等于 ___ ．3.（填空题，4分）已知向量 a ⃗ =（sinθ，1）， b ⃗⃗=(1，cosθ) ，其中0＜θ＜2π，若 a ⃗ ⊥ b ⃗⃗ ，则θ=___ ．4.（填空题，4分）若z 1=1+i ，z 2=a-2i ，其中i 为虚数单位，且 z 1•z 2∈R ，则实数a=___ ．5.（填空题，4分）已知一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，任取圆锥的两条母线a ，b ，则a ，b 所成角的最大值为 ___ ．6.（填空题，4分）无穷等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=2，且S 2020+2S 2021=3S 2022，则无穷等比数列{a n }的各项和为 ___ ．7.（填空题，5分）设函数 f (x )=sin (2x +π3) ，若对于任意的 x 1∈[−π4，π4] ，在区间[α，β]上总存在唯一确定的x 2，使得f （x 1）+f （x 2）=0，则|α-β|的最小值为___ ．8.（填空题，5分）某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的3款经典动漫角色玩偶中的一个．小明购买了4个盲盒，则他能集齐3个不同动漫角色的概率是___ ．9.（填空题，5分）已知F 1、F 2是椭圆x 24+y 23=1 的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，以PF 1为直径作圆N ，直线ON 与圆N 交于点Q （点Q 不在椭圆内部），则 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．10.（填空题，5分）已知函数f （x ）=x 2-a|x|+ 1x 2+1 +a 有且只有一个零点，若方程f （x ）=k 无解，则实数k 的取值范围为 ___ ．11.（填空题，5分）已知数列{a n }满足a 1=1，若数列{b n }满足b n =max{a k+1-a k |1≤k≤n}（n∈N*），且a n +b n =2n （n∈N*），则数列{a n }的通项公式a n =___ ．12.（填空题，5分）设函数f （x ）的定义域是（0，1），满足：（1）对任意的x∈（0，1），f （x ）＞0；（2）对任意的x 1，x 2∈（0，1），都有 f (x 1)f (x 2)+f (1−x 1)f (1−x 2)≤2 ；)=2．（3）f(12的最小值为 ___ ．则函数g(x)=xf(x)+1x13.（单选题，5分）已知等比数列{a n}的公比为q（q≠0），S n是{a n}的前n项和．则“数列{a n}单调递减”是“a1＞a3，S2＞S4”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14.（单选题，5分）下列四个命题中真命题是（）A.同垂直于一直线的两条直线互相平行B.底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C.过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D.过球面上任意两点的大圆有且只有一个15.（单选题，5分）已知a⃗，b⃗⃗，c⃗和d⃗为空间中的4个单位向量，且a⃗+b⃗⃗+c⃗ = 0⃗⃗，则| a⃗−d⃗ |+| b⃗⃗−d⃗ |+| c⃗−d⃗ |不可能等于（）A.3B.2 √3C.4D.3 √216.（单选题，5分）函数f（x）的定义域为D，若f（x）存在反函数，且f（x）的反函数就是它本身，则称f（x）为自反函数．有下列四个命题：是自反函数；① 函数f(x)=−xx+1② 若f（x）为自反函数，则对任意的x∈D，成立f（f（x））=x；③ 若函数f(x)=√1−x2(a≤x≤b)为自反函数，则b-a的最大值为1；④ 若f（x）是定义在R上的自反函数，则方程f（x）=x有解．其中正确命题的序号为（）A. ① ② ③B. ① ② ④C. ② ③ ④D. ① ② ③ ④17.（问答题，14分）在四棱锥P-ABCD中，底面为梯形，AB || CD，∠BAP=∠CDP=90°，PA=PD=AB=2，PA⊥PD，四棱锥P-ABCD的体积为4．（1）求证：AB⊥平面PAD ；（2）求PC 与平面ABCD 所成角．18.（问答题，14分）已知函数f （x ）=x ，g （x ）=x 2-mx+4，m∈R ．（1）当m=4时，解不等式g （x ）＞|f （x ）-2|．（2）若对任意的x 1∈[1，2]，存在x 2∈[1，2]，使得g （x 1）=f （x 2），求实数m 的取值范围．19.（问答题，14分）2021年10月13日第18号台风“圆规”在海南某地登陆，最大风力达到12级．路边一棵参天大树在树干某点B 处被台风折断且形成120°角，树尖C 着地处与树根A 相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设∠CAB=θ（A ，B ，C 三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计）．（1）若θ=45°，求折断前树的高度（结果保留一位小数）；（2）问一辆宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过？并说明理由．20.（问答题，16分）已知椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点 A(√6，0) 在椭圆上，且 AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3 ，点P ，Q 是椭圆上关于坐标原点O 对称的两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点P在第一象限，PN⊥x轴于点N，直线QN交椭圆于点M（不同于Q点），试求∠MPQ的值；是否为定值？若（3）已知点R在椭圆上，直线PR与圆x2+y2=2相切，连接QR，问：|PR||QR|为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．(n∈N∗)．21.（问答题，18分）已知数列{a n}满足a1=0，|a n+1-a n|=n，且a n≤ n−12（1）求a4的所有可能取值；（2）若数列{a2n}单调递增，求数列{a2n}的通项公式；（3）对于给定的正整数k，求S k=a1+a2+⋯+a k的最大值．2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x−3x−1≤0}，则集合A∪B=___ ．【正确答案】：[1]{x|0＜x≤3}【解析】：先解分式不等式求出B，再利用并集运算求解．【解答】：解：∵ B={x|x−3x−1≤0} ={x|1＜x≤3}，A={x|0＜x＜2}，∴A∪B={x|0＜x≤3}，故答案为：{x|0＜x≤3}．【点评】：此题考查了并集及其运算，分式不等式的解法，属于基础题．2.（填空题，4分）在(x2+1x)6的二项展开式中，x2项的系数等于 ___ ．【正确答案】：[1] 1516【解析】：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式的x2项的系数．【解答】：解：二项式(x2+1x)6展开式的通项公式为T r+1= C6r(x2)6−r(1x)r= C6r(12)6−rx6-2r，令6-2r=2，解得r=2，故(x2+1x)6二项展开式中，含x2项的系数等于C62(12)4= 1516，故答案为：1516．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．3.（填空题，4分）已知向量a⃗ =（sinθ，1），b⃗⃗=(1，cosθ)，其中0＜θ＜2π，若a⃗⊥ b⃗⃗，则θ=___ ．【正确答案】：[1] 3π4或7π4【解析】：根据题意，由数量积的计算公式可得a⃗• b⃗⃗=sinθ+cosθ=0，变形可得tanθ=-1，结合θ的取值范围，即可确定θ的值．【解答】：解：根据题意，向量a⃗ =（sinθ，1），b⃗⃗=(1，cosθ)，若a⃗⊥ b⃗⃗，则有a⃗• b⃗⃗=sinθ+cosθ=0，变形可得tanθ=-1，又0＜θ＜2π，所以θ= 3π4或7π4；故答案为：3π4或7π4．【点评】：本题考查向量垂直的判断方法，涉及向量数量积的计算公式，属于基础题．4.（填空题，4分）若z1=1+i，z2=a-2i，其中i为虚数单位，且z1•z2∈R，则实数a=___ ．【正确答案】：[1]-2【解析】：求出z1•z2 =（1+i）（a+2i）=a+ai+2i+2i2=（a-2）+（a+2）i，由z1•z2∈R，能求出实数a．【解答】：解：z1=1+i，z2=a-2i，其中i为虚数单位，且z1•z2∈R，z1•z2 =（1+i）（a+2i）=a+ai+2i+2i2=（a-2）+（a+2）i，∴a+2=0，解得实数a=-2．故答案为：-2．【点评】：本题考查实数值的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.（填空题，4分）已知一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，任取圆锥的两条母线a，b，则a，b所成角的最大值为 ___ ．【正确答案】：[1]60°【解析】：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，求出r与l的关系，确定两条母线a，b为轴截面的两条母线时，a，b所成角的最大，即可得到答案．【解答】：解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，因为一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则2πr=πl，解得l=2r，当两条母线a，b为轴截面的两条母线时，a，b所成角的最大，最大值为60°．故答案为：60°．【点评】：本题考查了圆锥的侧面展开图的理解与应用，解题的关键是掌握圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的母线长，考查了逻辑推理能力，属于基础题．6.（填空题，4分）无穷等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=2，且S 2020+2S 2021=3S 2022，则无穷等比数列{a n }的各项和为 ___ ．【正确答案】：[1] 32【解析】：先求出等比数列{a n }的公比，然后利用无穷等比数列的和可计算出结果．【解答】：解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 2020+2S 2021=3S 2022，所以S 2022-S 2020=2（S 2021-S 2022），即a 2021+a 2022=-2a 2022，所以3a 2022=-a 2021，所以q=- 13 ，所以无穷等比数列{a n }的各项和为S n = a 1(1−q n )1−q = 2×[1−(−13)n]1+13 = 32[1−(−13)n] ，当n→+∞时，S n → 32 ，故无穷等比数列{a n }的各项和为 32 ，故答案为： 32．【点评】：本题考查了等比数列求和公式，极限思想，属于中档题．7.（填空题，5分）设函数 f (x )=sin (2x +π3) ，若对于任意的 x 1∈[−π4，π4] ，在区间[α，β]上总存在唯一确定的x 2，使得f （x 1）+f （x 2）=0，则|α-β|的最小值为___ ．【正确答案】：[1] π3【解析】：根据题意，设集合A 为所有-f （x 1）构成的集合，集合B 是所以f （x 2）构成的集合，则A⊆B ，求出，|α-β|的最小值．【解答】：解：若对于任意的 x 1∈[−π4，π4] ，在区间[α，β]上总存在唯一确定的x 2，f （x 1）+f （x 2）=0，得-f （x 1）=f （x 2），设集合A 为所有-f （x 1）构成的集合，集合B 是所有f （x 2）构成的集合，则A⊆B ，对于任意的x∈[ −π4，π4 ]，2x+ π3 ∈[−π6，5π6] ，-f （x ）∈[-1， 12]=A ，因为-f （x ）单调递减，根据题意，要使|α-β|=β-α最小，只需A=B 即可，所以-1 ≤sin (2x +π3)≤12 ，得2x+ π3 ∈ [−π2+kπ，π6+kπ]，(k ∈z ) ，故，|α-β|的最小值为 12 （ [π6−(−π2)] = π3 ．故答案为： π3．【点评】：考查三角函数图象和性质，三角函数恒成立和能成立问题，综合性高，难度较大． 8.（填空题，5分）某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的3款经典动漫角色玩偶中的一个．小明购买了4个盲盒，则他能集齐3个不同动漫角色的概率是___ ．【正确答案】：[1] 49【解析】：小明购买了4个盲盒，基本事件总数n=34=81，他能集齐3个不同动漫角色包含的基本事件个数m= C 42A 33=36，由此能求出他能集齐3个不同动漫角色的概率．【解答】：解：某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的3款经典动漫角色玩偶中的一个．小明购买了4个盲盒，基本事件总数n=34=81，他能集齐3个不同动漫角色包含的基本事件个数m= C 42A 33=36，∴他能集齐3个不同动漫角色的概率P= m n = 3681 = 49．故答案为： 49．【点评】：本题考查概率的运算，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题． 9.（填空题，5分）已知F 1、F 2是椭圆x 24+y 23=1 的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，以PF 1为直径作圆N ，直线ON 与圆N 交于点Q （点Q 不在椭圆内部），则 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：根据中位线定理及椭圆的定义，表示出|OQ|，利用极化恒等式即可求得 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．【解答】：解：连接PF 2，由题意可知|PF 2|=2|ON|，|NQ|= 12 |PF 1|，所以|OQ|=|ON|+|NQ|= 12（|PF 2|+|PF 1|）= 12×4=2，由极化恒等式可知 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|QO|²- 14|F 1F 2|²=4-1=3，所以 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3，（极化恒等式： a ⃗ •b ⃗⃗ = (a⃗⃗+b ⃗⃗)2−(a ⃗⃗−b ⃗⃗)24）．故答案为：3．【点评】：本题考查椭圆的定义与性质，中位线定理及向量的数量积运算，考查向量的极化恒等式的应用，针对于极化恒等式，需要学生会推导及会使用，在做题中能起到事半功倍的效果，属于中档题．10.（填空题，5分）已知函数f （x ）=x 2-a|x|+ 1x 2+1 +a 有且只有一个零点，若方程f （x ）=k 无解，则实数k 的取值范围为 ___ ．【正确答案】：[1]（-∞，0）【解析】：先判断出函数f （x ）为偶函数，结合题意得到f （0）=0，得到a 的值，从而求出f （x ），再判断函数f （x ）的单调性，确定f （x ）的取值范围，即可得到k 的范围．【解答】：解：函数f （x ）=x 2-a|x|+ 1x 2+1 +a 的定义域为R ，又f （-x ）=x 2-a|x|+1x 2+1+a=f （x ），所以f （x ）为偶函数，又函数f （x ）=x 2-a|x|+ 1x 2+1+a 有且只有一个零点，所以f （0）=0，解得a=-1，故f （x ）=x 2+|x|+ 1x 2+1 -1，所以f （x ）=x 2+1+ 1x 2+1 +|x|-2，因为y=x 2+1+ 1x 2+1 在[0，+∞）上为单调递增函数，且y=|x|-2在[0，+∞）上为单调递增函数，所以函数f （x ）在[0，+∞）上为单调递增函数，又f （x ）为偶函数，所以f（x）≥f（0）=0，因为方程f（x）=k无解，所以k＜0，故实数k的取值范围为（-∞，0）．故答案为：（-∞，0）．【点评】：本题考查了函数与方程的综合应用，函数性质的综合应用，考查了函数单调性与奇偶性的判断与应用，函数零点定义的理解与应用，考查了逻辑推理能力，属于中档题．11.（填空题，5分）已知数列{a n}满足a1=1，若数列{b n}满足b n=max{a k+1-a k|1≤k≤n}（n∈N*），且a n+b n=2n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n=___ ．【正确答案】：[1]2n-1【解析】：根据已知条件分别求a1，a2，a3，…，由归纳即可得{a n}的通项公式．【解答】：解：因为a n+b n=2n（n∈N*），由a1=1，可得b1=a2-a1=21-1=1，所以a2=a1+1=1+1=2，因为a2+b2=22=4，可得b2=2=a3-a2，所以a3=4，因为b3=23-a3=8-4=4=a4-a3，可得a4=8，…，所以a n=b n=2n-1，故答案为：2n-1．【点评】：本题考查了数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.（填空题，5分）设函数f（x）的定义域是（0，1），满足：（1）对任意的x∈（0，1），f（x）＞0；（2）对任意的x1，x2∈（0，1），都有f(x1)f(x2)+f(1−x1)f(1−x2)≤2；（3）f(12)=2．则函数g(x)=xf(x)+1x的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1]2 √2【解析】：由条件（1）（2）进行推导可得f（x）关于直线x= 12对称，借由对称轴推出f（x）为常数函数，代入g（x）基本不等式求最值运算．【解答】：解：由题意，令x1=1-x2，则不等式f(x1)f(x2)+f(1−x1)f(1−x2)≤2等价于f(1−x2)f(x2)+f(x2)f(1−x2)≤2，由（1）对任意x∈（0，1），f（x）＞0，则f(1−x2)f(x2)+f(x2)f(1−x2)≥2√f(1−x2)f(x2)⋅f(x2)f(1−x2)=2，所以f(1−x2)f(x2)+f(x2)f(1−x2)=2，当且仅当f(1−x2)f(x2)=f(x2)f(1−x2)，即f（x2）=f（1-x2）时等号成立，所以f（x）关于直线x= 12对称，所以f（x1）=f（1-x1），f（x2）=f（1-x2），则不等式f(x1)f(x2)+f(1−x1)f(1−x2)≤2等价于f(x1)f(x2)+f(x1)f(x2)≤2，所以f(x1)f(x2)≤1，因为对任意x∈（0，1），f（x）＞0，所以f（x1）≤f（x2），所以f（x1）=f（x2）恒成立，故f（x）为常数函数，因为f（12）=2，所以f（x）=2，所以g（x）=xf（x）+ 1x =2x+ 1x，因为x∈（0，1），所以2x+ 1x ≥2√2x•1x=2 √2（当且仅当x= √22时等号成立），所以g（x）的最小值为2 √2．故答案为：2 √2．【点评】：本题考查了抽象函数的性质，基本不等式求最值，属于难题．13.（单选题，5分）已知等比数列{a n}的公比为q（q≠0），S n是{a n}的前n项和．则“数列{a n}单调递减”是“a1＞a3，S2＞S4”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：由等比数列的通项公式和数列的单调性的定义，结合充分必要条件的定义可得结论．【解答】：解：由a1＞a3，S2＞S4，可得a1＞a1q2，a1+a1q＞a1+a1q+a1q2+a1q3，即为a1（1-q2）＞0，a1（1+q）＜0，若a1＞0，则-1＜q＜1，且q≠0，又q＜-1，可得q∈∅；若a1＜0，则q＞1或q＜-1，又q＞-1，可得q＞1，综上可得，数列{a n}单调递减；但“数列{a n}单调递减“推不到“a1＞a3，S2＞S4”，所以“数列{a n}单调递减”是“a1＞a3，S2＞S4”的必要不充分条件，故选：B．【点评】：本题考查等比数列的通项公式的运用，以及数列的单调性的判断和充分必要条件的定义，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．14.（单选题，5分）下列四个命题中真命题是（）A.同垂直于一直线的两条直线互相平行B.底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C.过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D.过球面上任意两点的大圆有且只有一个【正确答案】：C【解析】：A，同垂直于一直线的两条直线的位置关系不定；B，底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱底面不一定是正方形；C，两条异面直线的公垂线是唯一的，所以过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条；D，过球面上任意两点的大圆有无数个；【解答】：解：对于A，同垂直于一直线的两条直线不一定互相平行，故错；对于B，底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是直四棱柱，不一定是正四棱柱，故错；对于C，两条异面直线的公垂线是唯一的，所以过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条，正确；对于D ，过球面上任意两点的大圆有无数个，故错；故选：C ．【点评】：本题考查了命题真假的判定，属于基础题．15.（单选题，5分）已知 a ⃗ ， b ⃗⃗ ， c ⃗ 和 d ⃗ 为空间中的4个单位向量，且 a ⃗ +b ⃗⃗ +c ⃗ = 0⃗⃗ ，则| a ⃗ −d ⃗ |+| b ⃗⃗ −d ⃗ |+| c ⃗ −d ⃗ |不可能等于（） A.3 B.2 √3 C.4 D.3 √2【正确答案】：A【解析】：首先由三个向量和为0向量得到三向量共面且两两成120度，再分情况考虑 d ⃗ ，不难得解．【解答】：解：设向量 a ⃗，b ⃗⃗，c ⃗，d ⃗ 分别对应向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由 a ⃗+b ⃗⃗+c ⃗=0⃗⃗ 可知三个向量两两夹角为120°，如图，当D 与A 重合时，所求值为2 √3 ；当D 与M 重合时，所求值为4；当OD⊥平面ABC 时，所求值为3 √2 ．故选：A ．【点评】：此题考查了向量的几何意义，分类讨论，数形结合等，难度适中．16.（单选题，5分）函数f （x ）的定义域为D ，若f （x ）存在反函数，且f （x ）的反函数就是它本身，则称f （x ）为自反函数．有下列四个命题： ① 函数 f (x )=−xx+1 是自反函数；② 若f（x）为自反函数，则对任意的x∈D，成立f（f（x））=x；③ 若函数f(x)=√1−x2(a≤x≤b)为自反函数，则b-a的最大值为1；④ 若f（x）是定义在R上的自反函数，则方程f（x）=x有解．其中正确命题的序号为（）A. ① ② ③B. ① ② ④C. ② ③ ④D. ① ② ③ ④【正确答案】：D【解析】：由反函数跟自反函数定义逐一进行判断．，【解答】：解：① ，因为f（x）=- xx+1定义域为{x|x≠-1}，，设y=- xx+1所以y（x+1）=-x，，解得x=- yy+1（x≠-1），所以f（x）的反函数为y=- xx+1即f（x）反函数为它本身，满足自反函数定义，故① 正确，排除C；对于③ ，要使f（x）= √1−x2有意义，则1-x2≥0，即-1≤x≤1，因为f（x）为[a，b]上的自反函数，所以[a，b]⊆[-1，0]或[a，b]⊆[0，1]，所以则b-a的最大值为1，③ 正确，排除B；对于④ ，因为互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称，而f（x）为定义在R上的自反函数，故f（x）图象关于y=x对称且与y=x有交点，所以方程f（x）=x有解，故④ 正确；故选：D．【点评】：本题考查了反函数的求法，属于基础题．17.（问答题，14分）在四棱锥P-ABCD中，底面为梯形，AB || CD，∠BAP=∠CDP=90°，PA=PD=AB=2，PA⊥PD，四棱锥P-ABCD的体积为4．（1）求证：AB⊥平面PAD；（2）求PC与平面ABCD所成角．【正确答案】：【解析】：（1）证明CD⊥DP．AB⊥DP，然后证明AB⊥平面PAD．（2）作AD的中点E，连结PE，CE，说明PE为四棱锥P-ABCD的高，∠PCE为PC与平面ABCD所成角．通过四棱锥P-ABCD的体积，求解得CD=4．在Rt△PEC中，求解PC与平面ABCD所成角．【解答】：（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴AB⊥AP，CD⊥DP．又AB || CD，∴AB⊥DP．∵AP∩DP=P，AP，DP⊂面PAD，∴AB⊥平面PAD．（2）解：作AD的中点E，连结PE，CE，∵PA=PD，PA⊥PD，∴PE⊥AD，AD=2√2，PE=12AD=√2．由（1）AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，又AB∩AD=A，AB，AD⊂面ABCD，所以PE⊥平面ABCD，即PE为四棱锥P-ABCD的高，∠PCE为PC与平面ABCD所成角．四棱锥P-ABCD的体积为4=13S梯形ABCD•PE=13•AB+CD2•AD•PE=13•2+CD2•2√2•√2，得CD=4．在Rt△PDC中，PC=√PD2+DC2=√22+42=2√5．在Rt△PEC中，sin∠PCE=PEPC =√22√5=√1010，∠PCE=arcsin√1010．所以PC与平面ABCD所成角为arcsin√1010．【点评】：本题考查几何体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用．考查空间想象能力以及计算能力．18.（问答题，14分）已知函数f（x）=x，g（x）=x2-mx+4，m∈R．（1）当m=4时，解不等式g（x）＞|f（x）-2|．（2）若对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得g（x1）=f（x2），求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）当m=4时，不等式g（x）＞|f（x）-2|可化为|x-2|＞1，解之即可；（2）可求得当x∈[1，2]时，f（x）∈[1，2]，依题意，1≤x2-mx+4≤2恒成立⇔ (x+2x ) max≤m≤ (x+3x )min，利用对勾函数的性质分别求得(x+2x)max与(x+3x)min，即可求得实数m的取值范围．【解答】：解：（1）当m=4时，不等式g（x）＞|f（x）-2|可化为：|x-2|2＞|x-2|，即|x-2|＞1，解得x＞3或x＜1，故不等式g（x）＞|f（x）-2|的解集为{x|x＞3或x＜1}．（2）∵f（x）=x，∴当x∈[1，2]时，f（x）∈[1，2]；又g（x）=x2-mx+4，x∈[1，2]，对于任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使得g（x1）=f（x2）成立，∴g（x）的值域是f（x）的值域的子集，即当x∈[1，2]时，1≤x2-mx+4≤2恒成立⇔ (x+2x )max≤m≤ (x+3x)min，又当x∈[1，2]时，由对勾函数的性质可得y=x+ 2x ∈[2 √2，3]，y=x+ 3x∈[2 √3，4]，∴3≤m≤2 √3，即m的取值范围为[3，2 √3 ]．【点评】：本题考查函数恒成立问题与绝对值不等式的解法，考查化归与转化、函数与方程等数学思想，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．19.（问答题，14分）2021年10月13日第18号台风“圆规”在海南某地登陆，最大风力达到12级．路边一棵参天大树在树干某点B处被台风折断且形成120°角，树尖C着地处与树根A 相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设∠CAB=θ（A，B，C三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计）．（1）若θ=45°，求折断前树的高度（结果保留一位小数）；（2）问一辆宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过？并说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由题意结合正弦定理可得ABsin15°=CBsin45°=10sin120°，代入计算即可；（2）设△4BC的内接矩形DEFG的边DE在AC上且DE=2，设DG=EF=h，由∠CAB=θ，构建函数h= 8sinθsin(60°−θ)sin60°，再结合θ范围求得h范围，然后与救援车高比较即可得到答案．【解答】：解：（1）在△ABC中，∠CBA=120°，∠CAB=45°，所以∠BCA-15°，由正弦定理，得ABsin15°=CBsin45°=10sin120°，所以AB+BC= 10sin120°（sin15°+sin45°）= 15√2+5√63≈11.2，答：折断前树的高度11.2米；（2）如图，设△4BC 的内接矩形DEFG 的边DE 在AC 上且DE=2，设DG=EF=h ，因为∠CAB=θ，∠CBA=120°，所以∠BCA=60°-θ，所以AD+CE+DE= ℎtanθ + ℎtan (60°−θ) +2=10，所以h[ cosθsinθ + cos (60°−θ)sin (60°−θ)]=8， h=8sinθsin (60°−θ)sin60° = √3√34 sin2θ- 1−cos2θ4 ）= 8√33sin (2θ+π6)−4√33，因为θ∈（0， π3 ），所以 2θ+π6∈(π6，5π6) ，所以sin （2θ+ π6 ）∈（ 12 ，1]，所以h∈（0， 4√33]，由于4√33＜2.5，所以高2.5米的救援车不能从此处通过．【点评】：本题考查了解三角形的应用，正弦定理，三角函数值域的求法，属于中档题． 20.（问答题，16分）已知椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点 A(√6，0) 在椭圆上，且 AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3 ，点P ，Q 是椭圆上关于坐标原点O 对称的两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 在第一象限，PN⊥x 轴于点N ，直线QN 交椭圆于点M （不同于Q 点），试求∠MPQ 的值；（3）已知点R 在椭圆上，直线PR 与圆x 2+y 2=2相切，连接QR ，问： |PR||QR| 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．【正确答案】：【解析】：第一问要弄清楚A 点就是椭圆的右顶点，第二问要设而不解，计算较繁琐，通过计算找出两直线PM 和PQ 是垂直关系，第三问要分直线PR 的斜率是否存在两种情况进行讨论．【解答】：解：（1）．∵点 A(√6，0) 在椭圆上． ∴a= √6 ．又∵ AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−c −√6，0) ， AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(c −√6，0) ．∴ AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6-c 2=3．∴c 2=3，b 2=3． ∴椭圆C的标准方程：x 26+y 23=1 ．（2）．设P （x 0，y 0）（x 0＞0，y 0＞0），M （x 1，y 1）则Q （-x 0，-y 0），N （x 0，0）．因为M 、N 、Q 三点共线，所以 y 1x1−x 0=y02x 0，所以 y 1=y 0(x 1−x 0)2x 0① ．联立 {x 026+y 023=1x 126+y 123=1，两式相减得 y 1−y 0x 1−x 0=−x 1+x2(y 1+y 0)． ② 将 ① 代入 ② 中的右边的分母中，化简可得： y 1−y 0x 1−x 0=−x 0y 0，所以K PM = −x0y 0，又因为K PQ = y 0x 0，所以K PM •K PQ =-1，所以PM⊥PQ ，所以∠MPQ= π2 ．（3）． ① 当直线PR 的斜率不存在时，依题意可得直线PR 的方程为x= √2 或x=- √2 ．若直线PR ：x= √2 ，则直线PQ ：y=x ，可得P （ √2 ， −√2 ），Q （- √2 ，- √2 ），R （ √2 ，- √2 ）．则|PR|= 2√2 ，|QR|= 2√2 ，所以 |PR||RQ|=1 ．其他情况由对称性同理可得 |PR||RQ|=1 ．② 当直线PR 的斜率存在时，设直线PR 的方程为y=kx+m ，因为直线与圆O 相切，所以圆心O 到直线PR √k 2+1=√2 ，即|m|= √2(1+k 2) ．设P （x 1，y 1），R （x 2，y 2），则Q （-x 1，-y 1）．联立 {y =kx +m x 26+y 23=1 ，消去y ，得（1+2k 2）x 2+4kmx+2m 2-6=0，Δ＞0．则x 1+x 2= −4km 1+2k 2 ，x 1x 2= 2m 2−61+2k 2．所以|PR|= √1+k 2•√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =2√2√1+k 2•√6k 2−m 2+31+2k 2 = 2√2√1+k 2•√1+4k 21+2k 2．因为|QR|= √(x 1+x 2)2+(y 1+y 2)2 ．又因为y 1+y 2=k （x 1+x 2）+2m= k (−4km1+2k 2)+2m =2m1+2k 2 ．所以|QR|= √(−4km 1+2k 2)2+(2m1+2k 2)2= 2|m|√1+4k 21+2k 2 = 2√2√1+k 2•√1+4k 21+2k 2=|PR | ．即 |PR||QR|=1 ．综上所述， |PR||QR|=1 ．【点评】：本题考查了椭圆的定义标准方程、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.（问答题，18分）已知数列{a n }满足a 1=0，|a n+1-a n |=n ，且a n ≤ n−12(n ∈N ∗) ．（1）求a 4的所有可能取值；（2）若数列{a 2n }单调递增，求数列{a 2n }的通项公式；（3）对于给定的正整数k ，求S k =a 1+a 2+⋯+a k 的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）根据数列的递推公式，即可求出a 4的所有可能取值；（2）根据数列{a 2n }单调递增，且a 2=-1，a 4=0，判断数列{a n }中相邻两项不可能同时为非负数，结合题意判断数列{a 2n }是等差数列，从而求出数列{a 2n }的通项公式；（3）根据（2）知a n ，a n+1不能都为非负数，讨论n 为奇数和n 为偶数时，a n+1+a n 的取值情况，从而求出k 为奇数时和k 为偶数时，S k 的最大值．【解答】：解：（1）数列{a n }满足a 1=0，|a n+1-a n |=n ，且a n ≤ n−12（n∈N *），所以|a 2-0|=1，a 2=1（不合题意，舍去），或a 2=-1；当a 2=-1时，|a 3+1|=2，解得a 3=1，或a 3=-3；当a 3=1时，|a 4-1|=3，解得a 4=4（不合题意，舍去），或a 4=-2，当a 3=-3时，|a 4+3|=3，解得a 4=0，或a=-6，所以a 4的所有可能取值是-2，0，-6；（2）因为数列{a2n}单调递增，且a2=-1，a4=0，所以a2n≥0对n≥2成立；下面证明数列{a n}中相邻两项不可能同时为非负数；假设数列{a n}中存在a i，a i+1同时为非负数，因为|a i+1-a i|=i，若a i+1-a i=i，则a i+1=a i+i≥i＞(i+1)−12，与已知条件矛盾；若a i+1-a i=-i，则a i+1=a i+i≥i＞i−12，与已知条件矛盾；所以假设错误，即数列{a n}中相邻两项不可能同时为非负数，即a2n≥0对n≥2成立；所以当n≥2时，a2n-1≤0，a2n+1≤0，即a2n-1≤a2n，a2n+1≤a2n，所以a2n-a2n-1=2n-1，a2n-1-a2n-2=-（2n-2），（a2n-a2n-1）+（a2n-1-a2n-2）=（2n-1）-（2n-2）=1，即a2n-a2n-2=1，其中n≥2，即数列{a2n}是首项为-1，公差为1的等差数列，所以数列{a2n}的通项公式为a2n=-1+（n-1）×1=n-2；（3）对于给定的正整数k，S k=a1+a2+⋯+a k，由（2）的证明知，a n，a n+1不能都为非负数，当a n≥0时，a n+1＜0，根据|a n+1-a n|=n，得到a n+1=a n-n，所以a n+a n+1=2a n-n≤2× n−12-n≤-1，当a n+1≥0时，a n＜0，根据|a n+1-a n|=n，得到a n=a n+1-n，所以a n+a n+1=2a n+1-n≤2× n+1−12-n≤0，所以总有a n+a n+1≤0成立，当n为奇数时，|a n+1-a n|=n，所以a n+1，a n的奇偶性不同，则a n+a n+1≤-1，当n为偶数时，a n+1+a n≤0，所以k为奇数时，S k=a1+（a2+a3）+...+（a k-1+a k）≤0，考虑数列：0，-1，1，-2，2，...，- k−12，k−12，...，可以验证所给的数列满足条件，且S k=0，所以S k的最大值为0．得到a n+1=a n-n，所以a n+a n+1=2a n-n≤2× n−12-n≤-1，当k为偶数时，S k=（a1+a2）+...+（a k-1+a k）≤- k2，考虑数列：0，-1，1，-2，2，...，- k−12，k−12，- k2，...，可以验证所给的数列满足条件，且S k=- k2，所以S k的最大值为- k2．综上知，k为奇数时，S k的最大值为0，k为偶数时，S k的最大值为- k2．【点评】：本题考查了递推数列的应用问题，也考查了推理与运算能力，以及分类讨论思想，是难题．。

2021-2022学年北京四中高三(上)期中数学试卷【答案版】

2021-2022学年北京四中高三（上）期中数学试卷一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合A ＝{x ∈Z ||2x ﹣3|＜5}，B ＝{﹣4，1，3，5}，则A ∩B ＝（） A ．{﹣4，1} B ．{1，5} C ．{3，5} D ．{1，3}2．下列命题中的假命题是（） A ．∃x ＞0，x 2＞x 3 B ．∀x ∈R ，lnx ＞0C ．∃x ∈R ，sin x ＞﹣1D ．∀x ∈R ，2x ＞03．若tan α＞0，则（） A ．sin α＞0 B ．cos α＞0 C ．sin2α＞0 D ．cos2α＞04．为了得到函数y ＝e 2x +1的图像，只需把函数y ＝e 2x 的图像（） A ．向左平移1个单位长度 B ．向右平移1个单位长度C ．向左平移12个单位长度D ．向右平移12个单位长度5．若1a ＜1b＜0，则下列不等式中，正确的是（）A ．a ＜bB ．a 2＞b 2C ．a +b ＜abD ．a −1a ＜b −1b6．y ＝（sin x ﹣1）2﹣cos 2x 的（） A ．最大值为4，最小正周期为2π B ．最大值为4，最小正周期为π C ．最小值为0，最小正周期为2πD ．最小值为0，最小正周期为π7．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x +1）＝﹣f （x ），且在[﹣1，0]上单调递增，a ＝f （3），b ＝f （√2），c ＝f （2），则a ，b ，c 大小关系是（） A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞c ＞a D ．c ＞b ＞a8．已知平面向量a →，b →满足|a →−2b →|=√19，|a →|＝3，若cos ＜a →，b →＞=14，则|b →|＝（） A ．1 B ．2 C ．54D ．529．在△ABC 中，“cos A ＜cos B ”是“sin A ＞sin B ”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．对于定义在R 上的函数y ＝f （x ），若存在非零实数x 0，使y ＝f （x ）在（﹣∞，x 0）和（x 0，+∞）上均有零点，则称x 0为y ＝f （x ）的一个“折点”，下列四个函数存在“折点”的是（） A ．f （x ）＝3|x ﹣1|+2B ．f(x)=lg(|x|+3)−12C ．f(x)=x 33−x −1D ．f(x)=x+1x 2+4二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分） 11．函数f(x)=log 3(x+2)x的定义域是．12．已知向量a →=（﹣4，5），b →=（6，m ），且（a →+b →）∥a →，则m ＝．13．已知α为第三象限角，且tan α＝3，则sin （α﹣π）＝；cos(α+π4)= ．14．唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮船航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子的半径为3m ，他以1rad /s 的角速度逆时针旋转，轮子外边沿有一点P ，点P 到船底的距离是H （单位：m ），轮子旋转时间为t （单位：s ）．当t ＝0时，点P 在轮子的最高处．（1）当点P 第一次入水时，t ＝．（2）当t =134π时，H ＝．15．已知函数y＝f（x），任取t∈R，定义集合At＝{y|y＝f（x），点P（t，f（t）），Q（x，f（x））满足|PQ|≤√2}．设M t，m t分别表示集合A t中元素的最大值和最小值，记h（t）＝M t﹣m t，给出以下四个结论：①若函数f（x）＝x2，则h（0）＝1；②若函数f（x）＝x2，则h（t）的最大值为2√2；③若函数f(x)=sin π2x，则h（t）在（1，2）上单调递增；④若函数f(x)=sin π2x，则h（t）的最小正周期为2．其中所有正确结论的序号为．三、解答题（共6小题，共85分解答写出文字说明、演算步骤或证明过程．）16．（14分）已知集合A＝{x|﹣x2+7x﹣10≥0}，B={x|12＜2x+1＜4a}．（1）若a＝2，求A∪B；（2）若A∩B≠∅，求a的取值范围．17．（14分）如图，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1，CD＝3，cos B=√33．（1）求AC的长；（2）若_____，求△ABC的面积．从①∠BCA=π3，②BC=√6，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．18．（14分）已知函数f(x)=12x2−3x+4ln(x+2)．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程；（Ⅱ）若方程f（x）＝k恰有三个不同的解，求实数k的取值范围．19．（14分）已知函数f(x)=(sinx +√3cosx)2−2cos2x ．（Ⅰ）求f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）若f （x ）在区间[0，m ]（m ＞0）上的最大值是4，求m 的取值范围；（Ⅲ）令g （x ）＝f （ωx ）（ω＞0），如果曲线y ＝g （x ）与直线y ＝3相邻两个交点间的距离为π9，求ω的所有可能取值（直接写出结论）．20．（15分）设函数f（x）＝（x﹣1）e x+ax2，其中a∈R．（Ⅰ）若x＝1是函数f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）当a＜0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）当a＝0时，设函数g（x）＝lnx+x﹣e x+1，证明：f（x）﹣g（x）≥0．21．（14分）数列A n：a1，a2，…，a n（n≥4）满足a1＝1，a n＝m，a k+1﹣a k＝0或1（k＝1，2，…，n﹣1）对任意i，j，都存在s，t，使得a i+a j＝a s+a t，其中i，j，s，t∈{1，2，…，n}且两两不相等．（Ⅰ）若m＝2时，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列序号；①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2，2．（Ⅱ）记S＝a1+a2+…+a n，若m＝3，证明：S≥20；（Ⅲ）若m＝1000，求n的最小值．2021-2022学年北京四中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合A ＝{x ∈Z ||2x ﹣3|＜5}，B ＝{﹣4，1，3，5}，则A ∩B ＝（） A ．{﹣4，1}B ．{1，5}C ．{3，5}D ．{1，3}解：∵集合A ＝{x ∈Z ||2x ﹣3|＜5}＝{x ∈Z |﹣1＜x ＜4}＝{0，1，2，3}， B ＝{﹣4，1，3，5}， ∴A ∩B ＝{1，3}．故选：D ．2．下列命题中的假命题是（） A ．∃x ＞0，x 2＞x 3 B ．∀x ∈R ，lnx ＞0C ．∃x ∈R ，sin x ＞﹣1D ．∀x ∈R ，2x ＞0解：对于A ，当x =12时，（12）2＞（12）3，所以∃x ＞0，x 2＞x 3，故A 正确；对于B ，由y ＝lnx 的单调性可知，当x ＞1时，lnx ＞0，当0＜x ＜1时，lnx ＜0，当x ＝1时，lnx ＝0，故B 错误；对于C ，由y ＝sin x 的值域为[﹣1，1]可知C 正确；对于D ，由y ＝2x 的值域为（0，+∞）可知D 正确；故选：B ．3．若tan α＞0，则（） A ．sin α＞0 B ．cos α＞0 C ．sin2α＞0 D ．cos2α＞0解：∵tan α＞0， ∴sinαcosα＞0，则sin2α＝2sin αcos α＞0．故选：C ．4．为了得到函数y ＝e 2x +1的图像，只需把函数y ＝e 2x 的图像（） A ．向左平移1个单位长度 B ．向右平移1个单位长度C ．向左平移12个单位长度D ．向右平移12个单位长度解：y ＝e2x +1=e2(x+12)，即只需把函数y ＝e 2x 的图像向左平移12个单位即可，故选：C ． 5．若1a ＜1b＜0，则下列不等式中，正确的是（）A ．a ＜bB ．a 2＞b 2C ．a +b ＜abD ．a −1a ＜b −1b解：∵1a ＜1b＜0，∴b ＜a ＜0，所以A 不正确；|b |＞|a |，所以a 2＜b 2，所以B 不正确； ∴a +b ＜0＜ab ，所以C 正确； ∵1a ＜1b＜0，∴b ＜a ＜0，−1b ＜−1a ，所以a −1a＞b −1b，所以D 不正确；故选：C ．6．y ＝（sin x ﹣1）2﹣cos 2x 的（） A ．最大值为4，最小正周期为2πB ．最大值为4，最小正周期为πC ．最小值为0，最小正周期为2πD ．最小值为0，最小正周期为π解：y ＝（sin x ﹣1）2﹣cos 2x ＝sin 2x ﹣2sin x +1﹣cos 2x ＝2sin 2x ﹣2sin x ，可得函数的最小正周期为2π，且y ＝2（sin x −12）2﹣2×14=2（sin x −12）2−12，当sin x =12时，函数取到最小值−12，当sin x ＝﹣1时，函数由最大值2×（﹣1）2﹣2×（﹣1）＝4，故选：A ．7．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x +1）＝﹣f （x ），且在[﹣1，0]上单调递增，a ＝f （3），b ＝f （√2），c ＝f （2），则a ，b ，c 大小关系是（） A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞c ＞aD ．c ＞b ＞a解：由条件f （x +1）＝﹣f （x ），可以得：f （x +2）＝f （（x +1）+1）＝﹣f （x +1）＝f （x ），所以f （x ）是个周期函数．周期为2．又因为f （x ）是偶函数，所以图象在[0，1]上是减函数． a ＝f （3）＝f （1+2）＝f （1），b ＝f （√2）＝f （√2−2）＝f （2−√2）c ＝f （2）＝f （0） 0＜2−√2＜1 所以a ＜b ＜c 故选：D ．8．已知平面向量a →，b →满足|a →−2b →|=√19，|a →|＝3，若cos ＜a →，b →＞=14，则|b →|＝（） A ．1B ．2C ．54D ．52解：∵|a →−2b →|=√19，|a →|＝3，若cos ＜a →，b →＞=14， ∴a →2−4a →•b →+4b →2=9﹣4×3|b →|×14+4|b →|2=19，解得：|b →|＝2或|b →|=−54（舍去），故选：B ．9．在△ABC 中，“cos A ＜cos B ”是“sin A ＞sin B ”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：在△ABC 中，cos A ＜cos B ⇔A ＞B ⇔sin A ＞sin B ，故“cos A ＜cos B ”是“sin A ＞sin B ”的充要条件，故选：C ．10．对于定义在R 上的函数y ＝f （x ），若存在非零实数x 0，使y ＝f （x ）在（﹣∞，x 0）和（x 0，+∞）上均有零点，则称x 0为y ＝f （x ）的一个“折点”，下列四个函数存在“折点”的是（） A ．f （x ）＝3|x ﹣1|+2B ．f(x)=lg(|x|+3)−12C ．f(x)=x 33−x −1 D ．f(x)=x+1x 2+4解：对于A ，f （x ）＝3|x﹣1|+2≥30+2＝3，所以函数f （x ）没有零点，故A 错误；对于B ，当x ＞0时，f （x ）＝lg （x +3）−12，此时f （x ）为单调递增函数，当x =√10−3时，f （x ）＝0，即（0，+∞）时f （x ）有零点，因为f （x ）定义域为R ，f （﹣x ）＝f （x ），所以函数为偶函数，根据偶函数的对称性可知，在（﹣∞，0）上也有零点，故B 正确；对于C ，因为f （x ）=x 33−x ﹣1，f ′（x ）＝x 2﹣1，当﹣1＜x ＜1时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ＞1时，f （x ）＞0，f （x ）单调递增，所以f （x ）在x ＝﹣1处取得极大值f （﹣1）=−13，在x ＝1处取得极小值f （1）=−53＜0，其图象为，而f （3）＝5＞0，所以f （x ）在R 上有且只有一个零点，从而f （x ）没有“折点”故C 不符合题意；对于D ，f （x ）=x+1x 2+4，定义域为R ， f ′（x ）=−(x 2+2x+4)(x 2+4)2=−(x+1)2+3(x 2+4)2＜0，所以f （x ）在R 上单调递减，所以函数f （x ）至多有一个零点，不符合题意，故D 错误；故选：B ．二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分） 11．函数f(x)=log 3(x+2)x的定义域是（﹣2，0）∪（0，+∞）．解：由题意得：{x +2＞0x ≠0，解得：x ＞﹣2且x ≠0，故函数的定义域是（﹣2，0）∪（0，+∞），故答案为：（﹣2，0）∪（0，+∞）．12．已知向量a →=（﹣4，5），b →=（6，m ），且（a →+b →）∥a →，则m ＝ −152 ．解：根据题意，向量a →=（﹣4，5），b →=（6，m ），则a →+b →=（2，m +5），若（a →+b →）∥a →，则2m ＝6（m +5），解可得：m =−152，故答案为：−152． 13．已知α为第三象限角，且tan α＝3，则sin （α﹣π）＝ 3√1010 ；cos(α+π4)= √55．解：已知α为第三象限角，且tan α＝3，所以sin α=10，cos α=10；故sin （α﹣π）＝﹣sin α=3√1010，cos （α+π4）=cosαcos π4−sinαsin π4=−√1010×√22+3√1010×√22=4√520=√55．故答案为：3√1010；√55． 14．唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮船航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子的半径为3m ，他以1rad /s 的角速度逆时针旋转，轮子外边沿有一点P ，点P 到船底的距离是H （单位：m ），轮子旋转时间为t （单位：s ）．当t ＝0时，点P 在轮子的最高处．（1）当点P 第一次入水时，t ＝ 2π3．（2）当t =134π时，H ＝ 4−3√22．解：（1）如图所示，当P 第一次入水时到达A 点，由几何关系知|OB |=32，又圆的半径为3，故∠AOB =π3，此时轮子旋转的圆心角为：π−π3=2π3，故t =θω=2π31=2π3，（2）由题可知H （t ）＝4+3cos θ，θ＝ωt ，即H （t ）＝4+3cos t ，当t =13π4时，H （13π4）＝4+3cos 13π4=4+3×cos 5π4=4﹣3×√22=4−3√22．故答案为：2π3，4−3√22．15．已知函数y ＝f （x ），任取t ∈R ，定义集合At ＝{y |y ＝f （x ），点P （t ，f （t ）），Q （x ，f （x ））满足|PQ |≤√2}．设M t ，m t 分别表示集合A t 中元素的最大值和最小值，记h （t ）＝M t ﹣m t ，给出以下四个结论： ①若函数f （x ）＝x 2，则h （0）＝1；②若函数f （x ）＝x 2，则h （t ）的最大值为2√2；③若函数f(x)=sin π2x ，则h （t ）在（1，2）上单调递增； ④若函数f(x)=sin π2x ，则h （t ）的最小正周期为2．其中所有正确结论的序号为 ①②③④．．解：对于①，∵函数f （x ）＝x 2，当t ＝0时，P （0，0），Q （x ，x 2），且√(x −0)2+(x 2−0)2≤√2，即x 2+x 4≤2，令x 2＝m ，即m 2+m ≤2，解得0≤m ≤1， ∴M t ＝1，m t ＝0，h （0）＝1﹣0＝1，故①正确，由题意可得，Q 的轨迹是以P 为圆心，√2为半径的圆及其内部．当点P 在曲线上运动，h （t ）的最大值与最小值的差一定小于等于圆的直径2√2，故②正确，对于③和④，如图所示，若函数f （x ）=sin π2x ，此时函数的最小正周期为2ππ2=4，点P （t ，sinπt 2），Q （x ，sinπx 2），当P 在A 点时，点O 在曲线OAB 上，M t ＝1，m t ＝0，h （t ）＝M t ﹣m t ＝1，当点P 在曲线从A 接近B 时，h （t ）逐渐增大，当点P 在B 点时，M t ＝1，m t ＝﹣1，h （t ）＝M t ﹣m t ＝2，当点P 在曲线从B 接近C 时，h （t ）逐渐减小，当点P 在C 点时，M t ＝1，m t ＝0，h （t ）＝M t ﹣m t ＝1，当点P 在曲线从C 接近D 时，h （t ）逐渐增大，当点P 在D 点时，M t ＝1，m t ＝﹣1，h （t ）＝M t ﹣m t ＝2，当点P 在曲线从D 接近E 时，h （t ）逐渐减小，当点P 在E 点时，M t ＝1，m t ＝0，h （t ）＝M t ﹣m t ＝1，依次类推，发现h （t ）的最小正周期为2，同时h （t ）在（1，2）上单调递增．故答案为：①②③④．三、解答题（共6小题，共85分解答写出文字说明、演算步骤或证明过程．） 16．（14分）已知集合A ＝{x |﹣x 2+7x ﹣10≥0}，B ={x|12＜2x+1＜4a }．（1）若a ＝2，求A ∪B ；（2）若A ∩B ≠∅，求a 的取值范围．解：（1）A ＝{x |﹣x 2+7x ﹣10≥0}＝{x |2≤x ≤5}，a ＝2时，B ={x|12＜2x+1＜4a }={x |2﹣1＜2x +1＜24}＝{x |﹣1＜x +1＜4}＝{x |﹣2＜x ＜3}，故A ∪B ＝{x |﹣2＜x ≤5}；（2）B ={x|12＜2x+1＜4a }={x |2﹣1＜2x +1＜22a }＝{x |﹣1＜x +1＜2a }＝{x |﹣2＜x ＜2a ﹣1}，若A ∩B ≠∅，则2a ﹣1＞2，解得：a ＞32，故a 的取值范围是（32，+∞）．17．（14分）如图，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1，CD ＝3，cos B =√33．（1）求AC 的长；（2）若_____，求△ABC 的面积．从①∠BCA =π3，②BC =√6，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．解：（1）∵∠D ＝2∠B ，cos B =√33， ∴cos D ＝cos2B ＝2cos 2B ﹣1=−13，在三角形ADC 中，AD ＝1，CD ＝3，∴AC =√AD 2+DC 2−2AD ×DC ×cosD =√1+9−2×1×3×(−13)=2√3；（2）选①：∠BCA =π3，由（1）知AC ＝2√3，由cos B =√33，可得sin B =√63，所以sin ∠BAC ＝sin （B +∠BCA ）＝sin B cos ∠BCA +sin ∠BCA cos B =3+√66，在△ABC 中，由正弦定理，得ACsinB=ABsin∠BCA，则AB =3√62，所以S △ABC =12AB •AC •sin ∠BAC =12×3√62×2√3×3+√66=9√2+6√34．选②：BC =√6，由（1）知AC ＝2√3，由cos B =√33，得sin B =√63，在△ABC 中，由余弦定理，得cos B =BC 2+AB 2−AC22BC⋅AB ，即√33=22√6AB，解得AB ＝3√2，所以S △ABC =12AB •BC •sin ∠B =12×3√2×√6×√63=3√2． 18．（14分）已知函数f(x)=12x 2−3x +4ln(x +2)．（Ⅰ）求曲线y ＝f （x ）在x ＝0处的切线方程；（Ⅱ）若方程f （x ）＝k 恰有三个不同的解，求实数k 的取值范围．解：（Ⅰ）f ′（x ）＝x ﹣3+4x+2⇒f ′（0）＝﹣1，又f （0）＝4ln 2，所以y ＝f （x ）在x ＝0处的切线方程为：y ﹣4ln 2＝﹣x ，即x +y ﹣4ln 2＝0；（Ⅱ）方程f （x ）＝k 恰有三个不同的解⇔直线y ＝k 与曲线f(x)=12x 2−3x +4ln(x +2)（x ＞﹣2）有三个不同的交点，因为f ′（x ）＝x ﹣3+4x+2=(x+1)(x−2)x+2（x ＞﹣2），所以①当﹣2＜x ＜﹣1或x ＞2时，f '（x ）＞0， ②当﹣1＜x ＜2时，f '（x ）＜0，所以f （x ）在（﹣2，﹣1），（2，+∞）上为增函数，在（﹣1，2）上为减函数，所以当x ＝﹣1时，f （x ）取得极大值f （﹣1）=72，当x ＝2时，f （x ）取得极小值f （2）＝4ln 4﹣4；又当x →（﹣2）+时，f （x ）→﹣∞；x →+∞时，f （x ）→+∞，所以若f （x ）＝k 恰有三个不同的解，则4ln 4﹣4＝8ln 2﹣4＜k ＜72，所以实数k 的取值范围为（8ln 2﹣4，72）．19．（14分）已知函数f(x)=(sinx +√3cosx)2−2cos2x ．（Ⅰ）求f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）若f （x ）在区间[0，m ]（m ＞0）上的最大值是4，求m 的取值范围；（Ⅲ）令g （x ）＝f （ωx ）（ω＞0），如果曲线y ＝g （x ）与直线y ＝3相邻两个交点间的距离为π9，求ω的所有可能取值（直接写出结论）．解：（Ⅰ）因为f(x)=(sinx +√3cosx)2−2cos2x ＝sin 2x +3cos 2x +2√3sin x cos x ﹣2cos2x =1−cos2x2+3•1+cos2x 2+√3sin2x ﹣2cos2x=√3sin2x ﹣cos2x +2 ＝2sin （2x −π6）+2，令−π2+2k π≤2x −π6≤π2+2k π，k ∈Z ，可得：−π6+k π≤x ≤π3+k π，k ∈Z ，所以f （x ）的单调递增区间为[−π6+k π，π3+k π]，k ∈Z ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f （x ）＝2sin （2x −π6）+2，若f （x ）在区间[0，m ]（m ＞0）上的最大值是4，则y ＝sin （2x −π6）在[0，m ]（m ＞0）上的最大值是1，由0≤x ≤m ，可得−π6≤2x −π6≤2m −π6，所以2m −π6≥π2，可得：m ≥π3，所以m 的取值范围为[π3，+∞）．（Ⅲ）令g （x ）＝f （ωx ）＝2in （2ωx −π6）+2＝3，可得sin （2ωx −π6）=12，所以2ωx −π6=π6+2k π，（k ∈Z ），或2ωx −π6=5π6+2k π，（k ∈Z ），可得x =π6ω+kπω，k ∈Z ，或x =π2ω+kπω，k ∈Z ，因为曲线y ＝g （x ）与直线y ＝3相邻两个交点间的距离为π9，所以π2ω+kπω−（π6ω+kπω）=π9，可得ω＝3，或π6ω+(k+1)πω−（π2ω+kπω）=π9，可得ω＝6，所以ω的所有可能取值为3或6．20．（15分）设函数f （x ）＝（x ﹣1）e x +ax 2，其中a ∈R ．（Ⅰ）若x ＝1是函数f （x ）的极值点，求a 的值；（Ⅱ）当a＜0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）当a＝0时，设函数g（x）＝lnx+x﹣e x+1，证明：f（x）﹣g（x）≥0．解：（Ⅰ）f′（x）＝e x+（x﹣1）e x+2ax＝xe x+2ax，因为x＝1是函数f（x）的极值点，所以f′（1）＝0，即e+2a＝0，所以a=−e2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）＝xe x+2ax＝x（e x+2a），a＜0，令f′（x）＝0，得x＝0或x＝ln（﹣2a），当−12＜a＜0时，令f'（x）＞0，解得x＜ln（﹣2a）或x＞0，令f'（x）＜0，解得ln（﹣2a）＜x＜0，当a=−12时，f'（x）≥0恒成立，当a＜−12时，f'（x）＞0，解得x＞ln（﹣2a）或x＜0，令f'（x）＜0，解得0＜x＜ln（﹣2a），综上所述，当−12＜a＜0时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））和（0，+∞）单调递增，f（x）在（ln（﹣2a），0）上单调递减，当a=−12时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，当a＜−12时，f（x）在（﹣∞，0）和（ln（﹣2a），+∞）单调递增，在（0，ln（﹣2a））上单调递减．（Ⅲ）证明：当a＝0时，f（x）﹣g（x）＝（x﹣1）e x+e x﹣lnx﹣x﹣1，设h（x）＝xe x﹣lnx﹣x﹣1，定义域为（0，+∞），则证明h（x）＞0即可，因为h′（x）＝（x+1）e x−x+1 x，所以h′（0.1）＜0，h′（1）＞0，又因为h″（x）＝（x+2）e x+1x2＞0，所以函数h′（x）在（0，+∞）上单调递增，所以h′（x）＝0有唯一的实根x0∈（0，1），且e x0=1x，当0＜x＜x0时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞x0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，所以函数h（x）的最小值h（x0）所以h（x）≥h（x0）＝x0e x0−lnx0﹣x0﹣1＝1+x0﹣x0﹣1＝0，所以f（x）﹣g（x）≥0．21．（14分）数列A n：a1，a2，…，a n（n≥4）满足a1＝1，a n＝m，a k+1﹣a k＝0或1（k＝1，2，…，n﹣1）对任意i，j，都存在s，t，使得a i+a j＝a s+a t，其中i，j，s，t∈{1，2，…，n}且两两不相等．（Ⅰ）若m＝2时，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列序号；①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2，2．（Ⅱ）记S＝a1+a2+…+a n，若m＝3，证明：S≥20；（Ⅲ）若m＝1000，求n的最小值．解：（1）由题可知，数列A n必满足：a1＝l，a n＝m，a k+1﹣a k＝0或1，对任意i，j，都存在s，t，使得a i+a j＝a s+a t．i，j，s，t∈{1.2...…．n}且两两不相等，对①，a1+a2＝2，不满足a i+a j＝a s+a t，故①不符合；对②，当a i+a j＝2时，存在a s+a t＝2，同理当a i+a j＝4时，存在a s+a t＝4，当a i+a j＝3时，存在a s+a t＝3，故②符合；同理对③也满足，故满足题目条件的序列号为：②③；（2）证明：当m＝3时，设数列A n中1，2，3出现的频次为q1，q2，q3，由题意知，q i≥1，假设q1＜4时，a1+a2＜a s+a t（对任意s＞t＞2），与已知矛盾，故q1≥4，同理可证q3≥4，假设q2＝1，数列A n可表示为：1，l，l，1，2，3，3，3，3，显然，a4+a5≠a s+a t，故q2≥2，经验证q2＝2时，显然符合a i+a j＝a s+a t，所以q1≥4，q2≥2，q3≥4，数列A的最短数列可表示为：1，1，1，1，2，2，3，3，3，3，故S＝4+4+12＝20；解：（3）由（2）知，数列A n首尾应该满足B n：1，1，1，1，2，2，3，•，998，999，999，1000，1000，1000，1000，假设中间3.4.5，•，998各出现一次，此时n＝1008，显然满足a k+1﹣a k＝0或l，对a i＝a j＝1或a i＝a j＝1000时显然满足a i+a j＝a s+a t（q1＝4，q1000＝4）；对a i＝1，a j＝2或a i＝999，a j＝1000时显然满足a i+a j＝a s+a t（q1＝4，q2＝2，q999＝2，q1000＝4）；对a i＝1，a j＞2时，则可选取a s＝2，a k＝a j﹣1，满足a i+a j＝a s+a t，同理若a i＝1000，a j＜999，则可选取a s＝999，a i＝a j+1，满足a i+a j＝a s+a t；如果1＜a i≤a j＜1000，则可取a d＝a i﹣1，a t＝a j+1，这种情况下每个数最多被选取一次，因此也成立，故对任意i，j，都存在s，t，使得a i+a j＝a s+a t，其中i，j，s，t∈{1，2..…．n}且两两不相等，故n的最小值为1008．。

2021-2022年高三上学期期中考试数学(理)试题含答案(III)

2021-2022年高三上学期期中考试数学（理）试题含答案(III)（考试时间：120分钟满分：150分）一、填空题（56分）1. 若全集，集合{|1}{|0}A x x x x =≥≤，则 .答: 2．方程的解是．3．函数sin cos ()sin cos 44xxf x x x ππ-=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期 . 4. 满足的锐角的集合为 . 5. 函数的反函数是 .6. 满足不等式的实数的集合为 . 7．在的二项展开式中，常数项等于 . 8. 函数的单调递增区间为 .班级姓名班级学号考试学号9．设等比数列的公比,且()135218lim ,3n n a a a a -→∞++++=则 . 210. 若()22,[1,)x x af x x x++=∈+∞的函数值总为正实数，则实数的取值范围为 .11.函数的值域为 .12.随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是（默认每月天数相同，结果精确到）. 答: 13.函数sin cos 237,,sin cos 244x x y x x x ππ-+⎡⎤=∈⎢⎥++⎣⎦的最小值为 .14．设若时均有()()21110a x x ax ----≥⎡⎤⎣⎦，则_______．二、选择题（20分）15. 要得到函数的图像，须把的图像（）向左平移个单位向右平移个单位向左平移个单位向右平移个单位16. 若函数为上的奇函数，且当时，则当时，有（）17. 对于任意实数，要使函数*215cos()()36k y x k N ππ+=-∈在区间上的值出现的次数不小于次，又不多于次，则可以取……………………………（ B ）A. B. C. D.18．对任意两个非零的平面向量，定义,且和都在集合中.若平面向量满足，与的夹角，则（）A． B． C． D．三、解答题19．（满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点，已知，，，求：（1）三角形的面积；（6分）（2）异面直线与所成的角的大小.（6分）[解]（1）因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD. ……3分因为PD=，CD=2，所以三角形PCD的面积为. ……6分（2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，则B(2, 0, 0)，C(2, 2,0)，E(1, , 1)，xy ABCDPE，. ……8分设与的夹角为，则222224||||cos ===⨯⋅BC AE BC AE θ，=.由此可知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是 ……12分 [解法二]取PB 中点F ，连接EF 、AF ，则 EF ∥BC ，从而∠AEF （或其补角）是异面直线BC 与AE 所成的角 ……8分在中，由EF =、AF =、AE =2知是等腰直角三角形，所以∠AEF =.因此异面直线BC 与AE 所成的角的大小是 ……12分20. (满分14分)如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？解法一：如图，连结，………2分由已知，北乙甲ABCDPEF122060A A ==，……4分，又12218012060A A B =-=∠，是等边三角形，………6分，由已知，，1121056045B A B =-=∠，………8分在中，由余弦定理，22212111212122cos 45B B A B A B A B A B =+-22202202=+-⨯⨯ ．．………12分因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）．答：乙船每小时航行海里． ………14分解法二：如图，连结，………2分由已知，122060A A ==，………4分，乙cos 45cos60sin 45sin 60=-，sin 45cos60cos 45sin 60=+．………6分在中，由余弦定理：22221221211122cos105A B A B A A A B A A =+-2220220=+-⨯．． ………8分由正弦定理：11121112222(13)2sin sin 10(13)A B A A B B A A A B +===+∠∠，，即121604515B A B =-=∠， ………10分2(1cos15sin105+==．在中，由已知，由余弦定理，22212112221222cos15B B A B AB A B A B=++22210(1210(14+=+-⨯+⨯．，………12分乙甲乙船的速度的大小为海里/小时．………14分答：乙船每小时航行海里．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分）在平面直角坐标系O 中，直线与抛物线＝2相交于A 、B 两点．（1）求证：“如果直线过点T （3，0），那么”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．[解]（1）设过点T(3,0)的直线交抛物线y 2=2x 于点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2). 当直线的钭率不存在时,直线的方程为x=3, 此时,直线与抛物线相交于点A(3,)、B(3,－). ∴=3； ……… 2分当直线的钭率存在时,设直线的方程为，其中，由得 2122606ky y k y y --=⇒=-………6分又 ∵ ，∴2121212121()34OA OB x x y y y y y y =+=+=，………8分综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么=3”是真命题；(2)逆命题是：设直线交抛物线y 2=2x 于A 、B 两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0). ………10分该命题是假命题. ………12分例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时=3,直线AB 的方程为：，而T(3,0)不在直线AB 上；……… 14分说明：由抛物线y 2=2x 上的点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2) 满足=3，可得y 1y 2=－6，或y 1y 2=2，如果y 1y 2=－6，可证得直线AB 过点(3,0)；如果y 1y 2=2，可证得直线AB 过点(－1,0),而不过点(3,0).22. （本题满分16分）第1小题满分4分，第2小题满分12分设函数2()|2|(,f x x x a x R a =+-∈为实数).(1)若为偶函数，求实数的值； (2)设，求函数的最小值. 解：(1)由已知 ………2分|2||2|,0x a x a a -=+=即解得.……… 4分(2)2212,2()12,2x x a x af x x x a x a ⎧+-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩， ………6分当时，22()2(1)(1)f x x x a x a =+-=+-+，由得，从而，故在时单调递增，的最小值为；………10分当时，22()2(1)(1)f x x x a x a =-+=-+-，故当时，单调递增，当时，单调递减，则的最小值为；………14分由22(2)(1)044a a a ---=>，知的最小值为. ……… 16分23. (本题满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分) 已知函数的定义域是且,,当时,. (1)求证:是奇函数; (2)求在区间)上的解析式;(3)是否存在正整数，使得当x ∈时,不等式有解?证明你的结论.23. （本题满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分） (1) 由得1(2)()(1)f x f x f x +=-=+, ----------------------3分由得, ----------------------4分故是奇函数.----------------------5分(2)当x ∈时,，. ----------------------7分而)(1)(1)1(x f x f x f =--=-，. ----------------------9分当x ∈Z)时,，， ----------------------11分（3）因此123)2()(--=-=k x k x f x f . 不等式即为，即. ----------------------13分令，对称轴为，因此函数在上单调递增. ----------------------15分因为1)21)(212(1)212)(1()212()212(2+-+=+++-+=+k k k k k k g ，又为正整数，所以，因此在上恒成立，----------------------17分因此不存在正整数使不等式有解.----------------------18分精品文档34899 8853 術H40619 9EAB 麫Z26500 6784 构39895 9BD7 鯗"F39280 9970 饰L32305 7E31 縱36154 8D3A 贺实用文档。