小学数学竞赛第九讲区分图形

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小学思维数学讲义：图形的分割与拼接-带详解

图形的分割与拼接本讲主要学习三大图形处理方法： 1．理解掌握图形的分割； 2．理解掌握图形的拼合； 3．理解图形的剪拼．本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力．把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合．将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼．我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．模块一、图形的分割【例 1】用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法？BAO【考点】图形的分割与拼接【难度】2星【题型】解答【解析】怎样把一个图形按照规定的要求分割成若干部分呢？这就是图形的分割问题．按照规定的要求合理分割图形，是很讲究技巧的，多做这种有趣的训练，可以培养学生的创造性思维，发展空间观念，丰富想象，提高观察能力．这道题要求把长方形平均分割成两块，过长方形中心的任意一条直线都可以把长方形平均分割成两块，根据这点给出如下分法(如右图)： ⑴ 做长方形的两条对角线，设交点为O⑵ 过O 点任作一条直线AB ，直线AB 将长方形平均分割成两块．可见用线段平分长方形的分法是无穷多的．【答案】⑴ 做长方形的两条对角线，设交点为O⑵ 过O 点任作一条直线AB ，直线AB 将长方形平均分割成两块．用线段平分长方形的分法有无穷多种。

一年级的图形分类三种方法

一年级的图形分类三种方法在一年级的数学课上，图形分类是一个重要的内容。

通过图形分类，孩子们可以培养观察、比较和归纳的能力，帮助他们更好地理解和认识各种图形。

在教学实践中，我们可以采用三种方法来帮助一年级的孩子进行图形分类。

首先，我们可以通过图形的外形特征来进行分类。

在一年级的数学教学中，我们可以教孩子们认识一些基本的图形，如圆形、正方形、三角形和矩形等。

然后，我们可以让孩子们观察这些图形的外形特征，比如边的数量、边的长度、角的大小等，通过这些外形特征来进行分类。

比如，我们可以让孩子们将所有的圆形放在一起，将所有的正方形放在一起，以此类推，让他们通过比较和归纳来进行分类。

其次，我们可以通过图形的颜色和大小来进行分类。

在一年级的数学教学中，我们可以给孩子们一些不同颜色和大小的图形，让他们通过观察图形的颜色和大小来进行分类。

比如，我们可以给孩子们一些红色的三角形、蓝色的正方形、黄色的圆形等，让他们将相同颜色的图形放在一起，将相同大小的图形放在一起，通过颜色和大小来进行分类。

最后，我们可以通过图形的用途来进行分类。

在一年级的数学教学中，我们可以给孩子们一些不同用途的图形，让他们通过图形的用途来进行分类。

比如，我们可以给孩子们一些用来盛水的圆形容器、用来放书的矩形书架、用来擦黑板的三角形擦黑板器等，让他们将相同用途的图形放在一起，通过图形的用途来进行分类。

通过以上三种方法，我们可以帮助一年级的孩子进行图形分类，培养他们的观察、比较和归纳的能力，帮助他们更好地理解和认识各种图形。

同时，这些方法也可以激发孩子们对数学的兴趣，让他们在轻松愉快的氛围中学习数学。

希望老师们在教学实践中可以尝试这些方法，帮助孩子们更好地进行图形分类。

小学数学竞赛中的几何形状

小学数学竞赛中的几何形状几何形状在小学数学竞赛中起着至关重要的作用。

它们不仅是数学基础的重要组成部分，还能培养学生的几何思维和空间想象能力。

本文将从几何形状的种类、相关概念、常见题型以及解题技巧等方面，介绍在小学数学竞赛中关于几何形状的相关内容。

一、几何形状的种类在数学中，我们常见的几何形状包括：点、线、线段、射线、角、直线、平行线、垂直线、圆、正方形、长方形、三角形等。

每种几何形状都有其独特的性质和特点，理解这些性质和特点是解决相关题目的关键。

二、相关概念的认识在解题过程中，我们需要理解和运用一些相关的概念，如：平行线、垂直线、直角、等边、等腰、对称、全等等。

这些概念的理解和运用将帮助我们更好地理解和分析几何形状，从而更好地解决问题。

三、常见几何形状题型分析1. 边的计算问题：题目中给出几何形状的某些边的长度，要求计算其他边的长度。

解答此类题目，我们可以通过运用边长关系和三角形性质来求解。

2. 面积计算问题：题目中给出几何形状的某些边长，要求计算面积。

解答此类题目，我们可以根据不同形状的特点，选择合适的公式计算面积。

3. 判断几何形状问题：题目中给出一些边长或角度数值，要求判断得到的几何形状是什么。

解答此类题目，我们需要结合几何形状的定义和性质进行判断。

4. 推理与证明问题：题目中给出一些已知条件，要求推理或证明一些结论。

解答此类题目，我们需要综合运用几何形状的性质，进行逻辑推理和证明。

四、解题技巧1. 图形绘制：在解答几何形状题目时，我们可以先根据题目要求，将几何形状绘制出来，以加深对题目的理解。

2. 利用对称性：对称性是几何形状的一个重要性质，我们可以通过利用对称性，简化解题过程。

3. 运用类比：当遇到复杂的几何形状问题时，我们可以尝试将其类比为熟悉的形状，从而更好地理解和解决问题。

小学数学竞赛中的几何形状是一个重要的考点。

通过深入理解几何形状的种类、相关概念，掌握常见题型和解题技巧，我们可以在竞赛中更高效地解答几何形状相关的问题，提高数学成绩。

一年级数学《简单的图形分类》知识点导览

一年级数学《简单的图形分类》知识点导览在一年级的数学学习中，图形分类是一个重要的知识点。

通过学习图形分类，孩子们可以提高他们的观察能力和逻辑思维能力。

本文将为您提供一年级数学中关于简单的图形分类的知识点导览。

1. 了解几何图形在开始学习图形分类之前，首先需要了解几何图形的基本概念。

孩子们可以通过观察周围的环境，如教室里的桌子、椅子等，来认识常见的几何图形，如正方形、三角形、圆形、长方形等。

2. 掌握图形的属性图形分类的第一步是掌握不同图形的属性。

比如，正方形有四条边和四个角，它的四条边长度相等，四个角也是直角；三角形有三条边和三个角，其中有些三角形的边长和角度可能不相等。

孩子们需要通过观察图形的边数、边长和角度等来区分不同的图形。

3. 分辨相同图形接下来，孩子们需要学会分辨相同的图形。

有时候，我们可能会看到形状相似但大小不同的图形。

比如，我们可能会看到不同大小的正方形，尽管它们的形状相似，但它们的大小不同。

在这种情况下，孩子们需要学会通过观察边长和角度来判断它们是否为相同的图形。

4. 区分不同图形除了分辨相同的图形外，孩子们还需要学会区分不同的图形。

有时候，我们可能会看到形状相似但不同类型的图形。

比如，一个长方形和一个正方形，它们的形状相似但是类型不同。

孩子们需要学会通过观察边数和角度等特征来区分它们。

5. 图形分类游戏为了巩固孩子们对图形分类的理解，可以组织一些图形分类游戏。

比如，可以让孩子们观察一些混合在一起的图形，并要求他们将相同类型的图形进行分类。

这样的游戏可以帮助孩子们锻炼观察力和分类能力，并且让学习变得更加有趣。

6. 实践应用图形分类不仅仅是数学课堂中的一个知识点，它在日常生活中也有很多应用。

比如，孩子们可以通过图形分类的知识来整理书桌上的文具，将铅笔、钢笔等分类放置，提高整理和归纳的能力。

此外，他们还可以通过观察交通标志的形状来识别不同的标志，增强安全意识。

通过学习简单的图形分类，孩子们可以提高他们的观察能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。

小学数学竞赛中的形与几何知识点

小学数学竞赛中的形与几何知识点在小学数学竞赛中，形与几何是一个重要的知识点。

通过学习和掌握形与几何的相关知识，可以帮助学生提高数学思维能力和问题解决能力。

本文将从平面图形、立体图形和几何运算等方面，探讨小学数学竞赛中的形与几何知识点。

一、平面图形1. 三角形三角形是平面图形中最基本的形状之一。

在数学竞赛中，常常需要计算三角形的面积、周长和判断三角形的形状属性等。

学生需要了解和掌握各种三角形的性质，如等边三角形、等腰三角形和直角三角形等。

2. 四边形四边形也是常见的平面图形。

矩形、正方形、菱形和平行四边形等都属于四边形的特殊情况。

学生需要学会判断和计算四边形的性质，如对角线的关系、面积的计算等。

3. 圆形圆形是一种特殊的平面图形，具有独特的性质。

在数学竞赛中，学生需要学会计算圆的直径、半径和周长等。

此外，也需要了解与圆有关的各种概念和定理，如切线、弦和扇形等。

二、立体图形1. 立方体立方体是一种常见的立体图形，具有六个面、八个顶点和十二条边。

在数学竞赛中，学生需要学会计算立方体的体积和表面积，并能够解决与立方体相关的问题。

2. 圆锥体圆锥体是基于圆锥的立体图形，具有一个圆锥面和一个底面。

学生需要了解圆锥体的性质，如顶点、母线和侧面积等，并能够运用相关知识来解决与圆锥体相关的问题。

3. 球体球体是一种具有球面的立体图形。

在数学竞赛中，学生需要学会计算球体的体积和表面积，并能够解决与球体相关的问题。

此外，也需要了解球体与其他几何图形的关系，如圆柱体和圆锥体等。

三、几何运算1. 面积计算面积是几何图形中的一个重要概念。

在数学竞赛中，学生需要学会计算各种图形的面积，如三角形、四边形和圆形等。

他们还需要运用面积的性质解决实际问题，如地板铺设、围墙绘制等。

2. 周长计算周长是几何图形上的一条封闭曲线的长度。

在数学竞赛中，学生需要学会计算各种图形的周长，如三角形、四边形和圆形等。

此外，他们还需要灵活运用周长的概念解决与实际问题相关的计算。

小学数学六年级(上)第09讲几何综合问题(含答案)

第九讲几何综合问题这一讲我们学习几何综合题，题型是复杂而巧妙的．这种问题往往需要我们有点武侠小说中“借力打力”的能力，不要硬碰硬，而是借巧劲．比如已知一个面积为2的正方形，求边长为其两倍的正方形的面积．把边长具体数值求出来，用边长的关系来计算面积的想法是不可行的．而且事实上也是没必要的，我们可以把面积为2的正方形边长设为a ，它的两倍为2a ，则22a =，以2a 为边长的正方形面积为2224428a a a ⨯=⨯=⨯=．我们再来看几个用类似想法解决的问题．本讲知识点汇总：一、巧用面积公式，利用图形面积之间的和差关系来求解图形面积．1. 圆与直角三角形中利用勾股定理．2. 同底三角形利用“2⨯÷公共底高的和”求面积和，“2⨯÷公共底高的差”求面积差．3. 不去考虑每块图形的面积，而是将若干块图形放在一起，考虑其面积之间的和差关系．二、辅助线与几何变换．1. 通过割、补，将图形的变为规则图形，以便于分析．2. 通过几何变换（翻转、对称）等，将图形变得易于求解．三、图形运动．能够正确地画出简单几何图形（如圆等）在运动过程中所扫过区域的边界，并求解相关的长度和面积．例1．如图，阴影部分的面积是25平方厘米，求圆环的面积．（π取3.14）「分析」阴影部分等于大等腰直角三角形减去小等腰直角三角形，而圆环等于大圆减去小圆．那么阴影部分面积与圆环面积之间有什么联系呢？练习1、下图中阴影部分的面积是40平方厘米，求圆环的面积．（π取3.14）例2．如图，在长方形ABCD 中，30AB =厘米，40BC =厘米，P 为BC 上一点，PQ 垂直 OBDC AO于AC ，PR 垂直于BD ．求PQ 与PR 的长度之和．「分析」如果这道题只是要尝试出一个结果的话，我们只要让P 取特殊点，例如取成B 点，所求的长度之和就是B 点到AC 边的距离．但PQ 与PR 的长度之和是否是一个固定的值呢？练习2、如图，在面积为72的正方形中，P 为CD 边上一点，PQ 与BD 垂直，PR 与AC 垂直．求PQ 与PR 的和．例3．如图，P 为长方形ABCD 内的一点．三角形P AB 的面积为5，三角形PBC 的面积为13．请问：三角形PBD 的面积是多少？「分析」直接用面积公式或者比例关系来求三角形PBD 面积，显然不可行．那么还有什么方法可以用来求三角形PBD 面积呢？练习3、如图，P 为长方形ABCD 外的一点．三角形P AB 的面积为7，三角形C AQBDP RO ABD C PQ RO BCAPDPBC 的面积为20，三角形PCD 的面积为4．请问：三角形P AD 的面积是多少？三角形P AC 的面积又是多少？中国古代的几何学形的研究属于几何学的范畴．古代民族都具有形的简单概念，并往往以图画来表示，而图形之所以成为数学对象，便是由工具的制作与测量的要求所促成的．规矩以作圆方，中国古代夏禹泊水时即已有规、矩、准、绳等测量工具．《史记》“夏本纪”记载说：夏禹治水，“左规矩，右准绳”．“规”是圆规，“矩”是直角尺，“准绳”则是确定铅垂方向的器械．这些都说明了早期几何学的应用．从战国时代的著作《考工记》中也可以看到与手工业制作有关的实用几何知识．战国时期墨子所写的《墨经》中，对一系列的几何概念进行抽象概括，作出了科学的定义．《周髀算经》与刘徽的《海岛算经》则给出了用矩观测天地的一般方法与具体公式．在《九章算术》及刘徽注解的《九章算术》中，除勾股定理外，还提出了若干一般原理以解决多种问题．例如求任意多边形面积的出入相补原理；求多面体体积的刘徽原理；5世纪祖暅提出的用以求曲形体积特别是球的体积的“幂势既同则积不容异”的原理；以内接正多边形逼近圆周长的极限方法（割圆术）等．例4．如图，一个六边形的6个内角都是120 ，其连续四边的长依次是1厘米、9厘米、9PA B C D厘米、5厘米．求这个六边形的周长．「分析」所给六边形各内角都是120°，这使我们联想到正六边形．在求解与正六边形有关的题目时，最常用的方法有两种：一种是“割”，一种是“补”．“割”是指把六边形分割干个边长或面积为1的正三角形；“补”是指在正六边形中取出三条互不相邻的边来延长，补成一个正三角形．这两种方法对本题适用吗？练习4、一个六边形的6个内角都是120︒，并有连续的三边长均为6厘米．如果这个六边形的周长是32厘米，那么该六边形最长的边有多长？例5．如图，在四边形ABCD 中，30AB =，48AD =，14BC =，且90ABD BDC ∠+∠=︒，90ADB DBC ∠+∠=︒．请问：四边形ABCD 的面积是多少？「分析」本题的条件让人感觉很别扭，虽然90ABD BDC ∠+∠=︒，但它们并不是紧挨着的；虽然90ADB DBC ∠+∠=︒，但它们也不是紧挨着的．那究竟对这个图形做怎样的变换，才能让那些应该紧挨着的角真正挨在一起呢？1995 6 66AB CD例6．如图，一块半径为2厘米的圆板，从位置①开始，依次沿线段AB 、BC 、CD 滚到位置②．如果AB 、BC 、CD 的长都是20厘米，那么圆板扫过区域的面积是多少平方厘米？（π取3.14，答案保留两位小数．）「分析」这道题关键是把想清楚圆板经过的区域是怎样的图形，并画出对应的轨迹图．AC2 1 120BD课堂内外中国古代的几何学形的研究属于几何学的范畴．古代民族都具有形的简单概念，并往往以图画来表示，而图形之所以成为数学对象，便是由工具的制作与测量的要求所促成的．规矩以作圆方，中国古代夏禹泊水时即已有规、矩、准、绳等测量工具．《史记》“夏本纪”记载说：夏禹治水，“左规矩，右准绳”．“规”是圆规，“矩”是直角尺，“准绳”则是确定铅垂方向的器械．这些都说明了早期几何学的应用．从战国时代的著作《考工记》中也可以看到与手工业制作有关的实用几何知识．战国时期墨子所写的《墨经》中，对一系列的几何概念进行抽象概括，作出了科学的定义．《周髀算经》与刘徽的《海岛算经》则给出了用矩观测天地的一般方法与具体公式．在《九章算术》及刘徽注解的《九章算术》中，除勾股定理外，还提出了若干一般原理以解决多种问题．例如求任意多边形面积的出入相补原理；求多面体体积的刘徽原理；5世纪祖暅提出的用以求曲形体积特别是球的体积的“幂势既同则积不容异”的原理；以内接正多边形逼近圆周长的极限方法（割圆术）等．作业1. 如果图1中的圆环面积为12.56，阴影部分的内外两侧都是正方形，那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）2. 如图2，等腰三角形ABC 中，5AB AC ==，6BC =．D 为BC 边上的一点，DE 与AB 垂直，DF 与AC 垂直，那么DE 与DF 的和是多少？3. 如图3，P 为长方形ABCD 外的一点．三角形P AB 的面积为5，三角形PBC 的面积为30，三角形PCD 的面积为24．那么三角形P AD 的面积是多少；三角形P AC 的面积是多少？4. 一个六边形的6个内角都是120︒，并有四边长为5、6、5、5厘米，如图4所示．现在用一条线段把六边形分成两部分，则上、下两部分图形的面积比是多少？5. 右图中有一个上下、左右都对称的“十字型”，其各边长度如图所示（单位：厘米），一个半径为1厘米的小圆沿其外周滚动一周，那么小圆经过区域的面积等于多少？（答案保留圆周率π）图1 ABCD E F图2 PAB CD 图35655 图4 84 4 8第九讲几何综合问题例题：例题1. 答案：157平方厘米详解：记大圆半径为R ，小圆半径为r ，那么圆环的面积为()22πR r -，我们只要能够求出22R r -即可．阴影部分是两个等腰直角三角形的面积差，等于()2212R r -，所以2222550R r -=⨯=．由此可得圆环面积等于50 3.14157⨯=．例题2. 答案：24厘米详解：利用勾股定理可得50AC =厘米，所以25OB OC ==厘米．长方形ABCD的面积等于30401200⨯=平方厘米，所以△BOC 的面积等于112003004⨯=平方厘米．连接OP ，观察△OPB 与△OPC ，它们分别以OB 和OC 为底，是一对等底三角形，而对应的高就是PR 和PQ ，因此面积和就等于()()()225212.5OB PR OC PQ PR PQ PR PQ ⨯+⨯÷=⨯+÷=⨯+，而这个面积和就是△BOC 的面积，等于300，所以()12.5300PR PQ ⨯+=，由此可得30012.524PR PQ +=÷=厘米．例题3. 答案：8详解：图1阴影部分的面积是整个长方形的一半，而图2阴影部分的面积也是整个长方形的一半．两个阴影部分有一块公共部分，那就是△APD ．去掉这块公共部分之后，剩下的阴影部分仍然应该相等，因此就有123S S S =+．由题意，113S =，25S =，所以31358S =-=．例题4. 答案：42厘米详解：为便于描述，将六边形剩余两条边的长度分别设为a 厘米和b 厘米．如右图所示，将图形补成一个等边三角形，最上方的应该是一个边长为9厘米的等边三角形，左下方则是一个边长为1厘米的等边三角形，由此可得最大的等边三角形边长为19919++=厘米．这样19955a =--=，而19113b a =--=．六边形边长就等于995151342+++++=厘米．例题5. 答案：936详解：如图所示，我们可以将图形中的△BCD 左右翻转一下，变成了△BED ，这样就和为90°的角就能拼到一起，构成完整的直角．例如∠ABE 与∠ADE 就都是直角．接着连结AE ，△ABE 与△ADE 都是直角三角形，AE 是它们公共的斜边．根据勾股定理，2222AB BE AD DE +=+，由此可得40BE =．这样就可以分别求解△ABE 与△ADE 这两个直角三角形的面积．将其相加，即可得总面积为3040481493622⨯⨯+=．例题6. 答案：228.07C AQ BDPROBCAP DBC A D8S 2 S 3S 1 图1图291 95 9 91 a baa1A C120︒B D EF G HI JK LMNOQP 304814？AB ED详解：小圆滚动时所经过的区域如右图所示．接着我们分块求解每一部分的面积．半圆FEQ 、半圆JKL 的面积之和是；长方形FGBQ 、BHIP 、IJLM 的面积之和是()1816144192++⨯=；60°的扇形BGH 的面积为218π4π63⨯⨯=；PIMNO 部分的面积为12π+；所以总面积为8π234π19212π204π228.0733++++=+≈．练习：1. 答案：125.6平方厘米简答：如右图所示，将图形从中间切开分为左、右两部分，每一部分都和例题1一模一样． 2. 答案：6简答：正方形面积等于“对角线平方的一半”，所以正方形对角线的平方就等于722144⨯=，由此可得正方形ABCD 的对角线AC 等于12，所以OC 、OD 长均为6．与例题2类似，连结OP ，然后利用△OCD 的面积等于72418÷=可得18218266PQ PR OC +=⨯÷=⨯÷=．3. 答案：9；16简答：如右侧左图所示，△P AB 与△PDC 是一对同底三角形（分别以AB 和CD 为底），他们的面积和等于“2AB ⨯÷高的和”．不难看出它们“高的和”就等于AD ，所以它们的面积和就等于长方形ABCD 面积的一半，由此可得长方形ABCD 的面积为()74222+⨯=．△P AD 的面积等于△P AB 、△PBC 及△PCD 的面积之和减去长方形ABCD 的面积，即7204229++-=．至于△P AC 的面积，只要用总面积减去△ABC 与△PCD 的面积即可，等于720411416++--=． 4. 答案：10厘米简答：如图所示，将图形补成一个完整的正三角形，其边长为66618++=．记原六边形的最短边为a ，最长边为b ．那么18612a b +=-=．而由于正六边形周长为32，所以2321814a b +=-=．由此可得b 为1221410⨯-=厘米．作业：4πPAB CD高和PAB CD高差6 b 6 6 6 6 6 6 a a b b1.答案：8简答：圆环面积为：()22π12.56R r -=，所以224R r -=，阴影部分面积等于()2228R r -=．2.答案：4.8简答：作BC 边上的高，可得高为4（利用勾3股4弦5）．这样三角形ABC 的面积就等于12．接着就和例题2做法类似，连接AD 并利用等底三角形的面积和即可．3.答案：11；6简答：△PCD 与△P AB 的面积差（即24519-=）等于长方形ABCD 面积的一半，△PBC 与△P AD 的面积差等于长方形ABCD 面积的一半．所以△P AD 的面积为301911-=．△P AC 的面积等于△PBC 的面积减去△P AB 及△ABC 的面积，所以面积为305196--=．4.答案：85:96 简答：如图，在六边形的上方、左下和右下各补一个边长为6厘米的等边三角形，将图形补成一个完整的等边三角形．由此可求出六边形的中间分割线长为5611+=厘米．接着利用线段的份数关系求面积比．位于上方的梯形，其上底为6份，下底为11份，高为5份；而位于下方的梯形，其上底为5份，下底为11份，高则为6份．接着利用这些线段的份数关系，得到面积比为()()611585511696+⨯=+⨯．5.答案：1089π+简答：如图所示，利用图形的对称性，只要分析小圆经过区域的四分之一即可．图中阴影部分就是小圆经过区域面积的四分之一，只要求出图中阴影部分的面积，然后再乘以4即可得最后答案．4444 6 6 65 5 66 116 5666。

【竞赛题】人教版小学五年级下册数学第09讲《立体几何》竞赛试题(含详解)

第九讲立体几何- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -首先，我们来学习一下长方体、正方体的体积与表面积的计算方法．练一练．1．一个正方体的棱长总和是72厘米，它的一个面是边长_______厘米的正方形，它的表面积是_______平方厘米，体积是_______立方厘米．2．一个长方体的长是5分米，宽是45厘米，高是24厘米，它的表面积是_______平方厘米，体积是_______立方厘米．3．做一个长8分米，宽4分米，高6分米的长方体玻璃鱼缸，至少需要_______平方分米的玻璃．4．有一块棱长是10厘米的正方体的铁块，现在要把它熔铸成一个横截面积是20平方厘米的长方体，这个长方体的长是_______厘米．如果要求这个长方体每条棱的长度都是整数厘米，它的表面积最小是_______平方厘米．相信同学们对于这些公式都很熟悉，但是对于较复杂的立体图形，往往我们并不能直接应用公式进行计算，这个时候又该怎么办呢？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题1．有30个边长为1米的正方体，如图所示堆成一个四层的立体图形．请问：该立体图形的表面积等于多少平方米？分析：所谓表面积，就是立体图形露在外面的总面积．我们可以从上、下、左、右、前、后6个不同的方向去考虑这个立体图形，把每个方向露出的面积加在一起就行了．练习1．用14个棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？在观察物体的时候，我们往往可以从不同的角度进行观察．角度不同，看到的风景就会不同．比如：我们可以从正面看，上面看，左面看，看到的图形分别称为正视图，俯视图和左视图．并且容易发现：正面看和后面看，上面看和下面看，左面看和右面看得到的图形是相同的．对于较复杂的立体图形，通过三视图法往往可以很方便地计算出表面积．例题2．一个正方体被切成24个大小形状相同的小长方体（见下图），这些小长方体的表面积之和为162平方厘米，那么原正方体的体积是多少立方厘米？分析：我们先来分析一下切成小块的过程中，图形的表面积是如何变化的．同学们请看下图：一刀下去，正方体被一分为二．表面积和原来比，正好多出了A，B两个面．不难看出，这两个面的面积都等于原正方体6个面中1个面的面积．按这种方法，每切一刀，增加的都是两个面的面积．同学们可以计算一下，按如图的方式切了6刀后，表面积究竟增加了多少？练习2．一个正方体被切成36个大小形状相同的小长方体（见下图），这些小长方体的表面积之和为500平方厘米，那么原正方体的体积是多少立方厘米？例题3．如图，有一个边长为30厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小正方体后，表面积变为5496平方厘米，那么挖掉的小正方体的棱长是多少厘米？分析：挖去小正方体后，表面积会发生变化．如果挖的位置，最终结果会有区别吗？练习3．一个正方体棱长10厘米，在它的表面上挖去一个棱长3厘米的小正方体．请求出剩下立体图形表面积的所有可能．除了长方体、正方体之外，圆柱和圆锥在我们的生活中也特别常见．如图，圆柱的两个圆面叫做底面；周围的面叫做侧面；两个底面之间的距离叫做高．圆锥的圆面叫做底面；尖点叫做顶点；顶点到底面的距离叫做高，顶点到底面圆周上任意一点的连线叫做母线．关于圆锥的内容，我们不作深入的学习，同学们只需要学会如何计算它的体积即可．大家可以把圆柱想象成一个底面是圆形的柱子，那其他柱体也就是底面是其他图形的柱子．如图，所有“上下一般粗”的图形都称为柱体，图中的两个图形分别叫做三棱柱和四棱柱，它们的体积计算公式都是：V =⨯底面积高例题4．（1）如下左图，是长为8，宽为4的长方形，以长方形的长为轴旋转一周，求所形成的立体图形的体积和表面积是多少．（2）如下右图，是直角边分别为3和4的直角三角形，以边长为4的直角边为轴旋转一周，求所形成的立体图形的体积．分析：圆柱体的底面半径和高与长方形的长和高有什么关系？圆锥体呢？练习4．有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径如图所示．圆柱体积及表面积分别是多少？圆锥的体积是多少？（π取3.14）6例题5．下图是一个棱长为4厘米的正方体，分别在前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖去一个棱长1厘米的正方体，做成一种玩具．该玩具的表面积是多少平方厘米？如果把这些洞都打穿，表面积又变成了多少平方厘米？分析：打穿以后，表面积的计算有点复杂．想想都有哪些面是露在外面的？例题6．如图，一个底面长20分米，宽8分米，高15分米的长方形水池，存有三分之二池水．将一个高50分米，体积400立方分米的长方体竖直放入池中，那么长方体被水浸湿的部分有几分米高？分析：很明显长方体没有被水浸没，还有一部分在外面．水的体积没有变化过，但是形状发生了变化．原来是一个长方体，后来是什么样的形状？-正多面体正多面体，指各面都是全等的正多边形且每一个顶点所接的面数都是一样的凸多面体．一共有五种正多面体，分别是正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体和正二十面体．这些正多面体的作法都收录在了《几何原本》的第13卷中．柏拉图认为世界万物都是由火、气、水、土四元素构成的，其形状如正多面体中的四个．➢火的热令人感到尖锐和刺痛，好像小小的正四面体．➢空气是用正八面体制的，可以粗略感受到，它极细小的结合体十分顺滑．➢当水放到人的手上，它会自然流出，那它就应该是由很多小球所组成，好像正二十面体．➢土与其他的元素相异，因为它可以被堆栈，正如立方体．剩下没有用的正多面体——正十二面体，柏拉图以不清晰的语调写道：“神使用正十二面体以整理整个天空旳星座．”柏拉图的学生亚里士多德添加了第五个元素——以太，并认为天空是用此组成，但他没有将以太和正十二面体联系起来．约翰内斯·开普勒依随文艺复兴建立数学对应的传统，将五个正多面体对应五个行星——水星、金星、火星、木星和土星，同时它们本身亦对应了五个古典元素．在立体图形中，正多面体非常对称．除了正多面体之外，还有很多图形也具有非常漂亮的对称性．下面就是一些例子，不过要注意，它们可不是正多面体哦．作业1.如图所示，一个正方体被切成16个大小形状相同的小长方体，这些小长方体的表面积之和为256平方厘米，那么原正方体的体积是多少？作业2.一个正方体棱长8厘米，在它的表面上挖去一个棱长为2厘米的小正方体．则剩下的立体图形表面积可能是多少？作业3.如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小正方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小正方体的边长是多少？作业4.图中的立体图形中，每个小正方形的边长都是1．那么这个立体图形的表面积和体积分别是多少？作业5.正方形的边长为4，按照图中所示的方式旋转，那么得到的旋转体的体积和表面积分别是多少？（π取3）俗话说，兴趣是最好的老师。

《分类》认识图形

菱形
由四条直线段组成的封闭图形，其中对角线互相垂直平分，内角和为360 度。
05
04
椭圆形
由一条曲线和两条直线段组成的封闭图形，有对称轴。
立体图形
正方体
由六个正方形组成的立体图形，所有棱长都相等，有12条棱，8个顶点。
圆锥体
由一个底面和一个侧面组成的立体图形，底面为圆形，侧面为扇形。
长方体
《分类》认识图形
汇报人： 2023-12-21
பைடு நூலகம் 目录
• 分类与图形概述 • 常见图形的分类 • 分类方法与技巧 • 分类在生活中的应用 • 分类与图形的拓展学习建议
01
分类与图形概述
分类的定义与意义
分类的定义
分类是根据事物的特征将其分为不同的类别，是人们认识事物、区分事物的重要方法。
分类的意义
图形是分类的具体表现
不同的图形具有不同的特征和性质，可以用来区分不同的事物和概念，是分类的具体表现形式。
02
常见图形的分类
平面图形
三角形
由三条直线段组成的封闭图形，内角和为180度。
02
四边形
由四条直线段组成的封闭图形，内角和为360度。
01
03
圆形
由一条曲线组成的封闭图形，没有对称轴。
详细描述
在日常生活中，我们经常需要整理和归类各种物品，例如衣物、书籍、文件等。分类可以帮助我们快速找到所需的物品，提高工作效率。
地图与交通标志识别
总结词
分类在地图和交通标志的识别中有着重要的应用，帮助我们理解和遵守交通规则。
详细描述
地图和交通标志都是通过不同的符号和颜色来代表不同的地理信息或交通规则。分类可以帮助我们准确地识别这些符号和颜色，从而更好地理解和遵守交通规则。

图形的判定

图形的判定
汇报人：XX
目录
图形的分类
图形的面积与周长
01
04
图形的性质
图形的组合与分割
02
05
图形的判定方法
03
图形的实际应用
06
图形的分类
规则图形与不规则图形
规则图形：具有明确边界和形状的图形，如正方形、圆形等。
不规则图形：没有明确边界和形状的图形，如云朵、海岸线等。
判定方法：通过视觉观察和测量工具来确定图形是否规则或不规则。
面积与周长的比较
面积与周长的定义：面积是指平面图形所占的平面大小，周长是指平面图形的边界长度。
面积与周长的计算方法：不同形状的图形有不同的面积和周长计算公式。
面积与周长的关系：一般来说，周长的长度与面积的大小没有直接的关系，但在某些特定情况下，如圆形，周长和面积之间存在一定的关系。
面积与周长的比较：在比较不同形状的图形时，可以通过比较它们的面积和周长来评估它们的特性。
组合与分割的意义：通过组合与分割，可以更好地理解图形的本质和特点，同时也可以创造出更加丰富多样的图形。
图形的实际应用
建筑设计中的图形应用
平面图：用于表示建筑物的平面布局和功能分区
立面图：展示建筑物的外观和立面设计
剖面图：展示建筑物的内部结构和空间关系
透视图：用于表现建筑物的三维效果和视觉效果
角度判定法
定义：通过比较角度大小来判定图形的方法。
应用场景：适用于角度比较明显的图形，如三角形、矩形等。
判定步骤：先确定基准角度，再比较其他角度与基准角度的大小关系。
注意事项：角度判定法只适用于角度明显的图形，对于其他图形可能需要采用其他判定方法。

小学五年级数学解析：几何图形的分类与性质

小学五年级数学解析：几何图形的分类与性质一、几何图形的分类1. 三角形的分类按边分类：等边三角形、等腰三角形、不等边三角形。

按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

例题解析：例题1：识别并分类下列三角形：一个等边三角形、一个直角三角形、一个钝角三角形。

解答：按边分类，等边三角形的三边相等；按角分类，直角三角形有一个角为90度，钝角三角形有一个角大于90度。

2. 四边形的分类类型：正方形、长方形、平行四边形、梯形、菱形。

例题解析：例题2：识别并分类下列四边形：一个正方形、一个长方形、一个平行四边形。

解答：正方形的四边相等且四个角都是直角，长方形的对边相等且四个角都是直角，平行四边形的对边平行。

3. 多边形的分类定义：多边形是由多条线段组成的封闭图形。

常见的有五边形、六边形等。

例题解析：例题3：识别并分类下列多边形：一个五边形、一个六边形。

解答：五边形有五条边，六边形有六条边。

二、几何图形的性质1. 三角形的性质三角形内角和：任何三角形的内角和都是180度。

例题解析：例题4：已知一个三角形的两个角分别为50度和60度，求第三个角的度数。

解答：第三个角的度数 = 180度 - 50度 - 60度 = 70度。

2. 四边形的性质四边形内角和：任何四边形的内角和都是360度。

例题解析：例题5：已知一个四边形的三个角分别为90度、85度和95度，求第四个角的度数。

解答：第四个角的度数 = 360度 - 90度 - 85度 - 95度 = 90度。

3. 多边形的性质多边形的内角和：多边形的内角和 = (n - 2) × 180度，其中n为边的数量。

例题解析：例题6：求一个五边形的内角和。

解答：五边形的内角和 = (5 - 2) × 180度 = 540度。

三、几何图形的实际应用1. 建筑设计中的几何图形例题解析：题目：设计一个正方形花坛，要求每边长为5米，问花坛的面积是多少？解答：正方形的面积 = 边长×边长 = 5米× 5米 = 25平方米。

图形的识别与性质

图形的识别与性质一、图形的识别1.平面图形：三角形、四边形、五边形、六边形等。

2.立体图形：正方体、长方体、圆柱体、圆锥体等。

3.特殊图形：平行四边形、梯形、椭圆、双曲线等。

4.平面图形的对称：轴对称、中心对称。

5.立体图形的对称：轴对称、面对称。

二、图形的性质1.边与角：边的概念、角的分类与性质。

2.长度与面积：直线段、射线、线段的长度；三角形、四边形、圆的面积。

3.角度与弧度：角度制与弧度制的转换；角的度量与分类。

4.三角形的性质：内角和、外角、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的性质。

5.四边形的性质：对边、对角、平行四边形、梯形的性质。

6.圆的性质：半径、直径、圆周率、弧、弦、圆心角、圆的内接四边形等。

7.相似图形：图形的相似条件、相似比、相似图形的性质。

8.坐标与图形：坐标系、点的坐标、直线、圆的方程。

三、图形的变换1.平移：平移的定义、平移的性质、平移与坐标的关系。

2.旋转：旋转的定义、旋转的性质、旋转与坐标的关系。

3.轴对称：轴对称的定义、轴对称的性质、轴对称与坐标的关系。

4.相似变换：相似变换的定义、相似变换的性质、相似变换与坐标的关系。

四、图形的证明1.几何证明：全等、相似、平行、垂直等几何定理与性质。

2.欧几里得几何：公理、公设、证明方法。

3.非欧几里得几何：椭圆几何、双曲线几何。

五、图形的应用1.平面几何问题：三角形、四边形、圆的问题。

2.立体几何问题：正方体、长方体、圆柱体、圆锥体的问题。

3.几何图形的优化：面积、体积的最值问题。

4.几何与物理：平面镜、透镜、折射等现象。

六、图形的审美与创意1.几何图案：对称、重复、对比等几何图案的审美特点。

2.几何模型：纸雕、沙雕、塑料模型等几何模型的制作与创意。

3.几何与艺术：平面设计、立体雕塑、建筑美学等领域的几何元素应用。

以上是对“图形的识别与性质”的知识点的详细归纳，希望对您的学习有所帮助。

习题及方法：1.习题一：识别图形给出一个图形，要求判断它是何种图形（如三角形、四边形等），并说明理由。

三年级数学《图形的分类》知识点总结2023

三年级数学《图形的分类》知识点总结2023数学知识点总结：图形的分类在三年级数学学习中，图形的分类是一个重要的知识点。

通过对不同图形进行分类，可以帮助学生更好地理解和掌握几何图形的性质和特点。

本文将对三年级数学课程中的图形分类知识点进行总结。

一、图形的定义和基本概念图形是由一些点和它们之间的直线组成的形状。

在数学中，常见的图形有线段、直线、射线、角、三角形、四边形等。

1. 线段：由两个端点确定的一段连续的直线。

可以用两个大写字母表示，例如AB。

2. 直线：无限延伸的线段，没有端点。

可以用一个小写字母表示，例如l。

3. 射线：一个起点和一个方向的直线部分，没有终点。

可以用一个大写字母和箭头表示，例如→AB。

4. 角：由两条射线共享一个端点的图形。

可以用一个大写字母表示，例如∠A。

5. 三角形：由三条线段组成的图形。

可以按照边的长短分类为等边三角形、等腰三角形和一般三角形。

6. 四边形：由四条线段组成的图形。

可以按照边的性质分类为平行四边形、矩形、菱形和正方形等。

二、图形的分类方法在数学中，常见的图形分类方法有按照边的性质、按照角的性质和按照对称性等。

1. 按照边的性质分类a. 直线和曲线：直线是由无数个点构成的，在数学中用一个小写字母表示；曲线是由无数个点构成的，但无法用一条直线连接起来。

b. 多边形和非多边形：多边形是由线段构成的封闭图形，有三条边或者三条边以上；非多边形则不满足这个条件。

c. 开放图形和封闭图形：开放图形至少有一条边没有与其他边相交；封闭图形所有边都形成一个封闭的形状。

2. 按照角的性质分类a. 直角、钝角和锐角：直角是90度的角，钝角是大于90度小于180度的角，锐角是小于90度的角。

b. 获取角和全角：直角和钝角的两条边可以延伸形成获取角；锐角的两条边无法延伸，形成一个尖端。

3. 按照对称性分类a. 对称图形和非对称图形：对称图形可以通过某条中心线进行折叠，两边完全重合；非对称图形无法通过折叠使得两边完全重合。

《图形的分类》认识三角形和四边形PPT

这些物体为什么都设计成三角形的形状呢？
答：因为三角形具有稳定性，设计成三角形不易变形。
图形的分类
四年级数学备课组
你知道这些图形的名称吗？
三角形
平行四边形
正方体
圆
长方形
长方体
正方形
圆柱体
球
将图形分分类。按什么分的？立体图形
平面图形
1
形
线段围成的
1
2
3
4
曲线围成的
用小木棒分别做一个四边形和三角形的框架，想象一下，如果拉一拉图形，会发现什么？
用小木棒分别做一个四边形和三角形的框架，想象一下，如果拉一拉图形，会发现什么？
我发现：四边形可以拉动，容易变形；三角形拉不动，说明三角形具有稳定性。
找一找生活中的三角形、四边形。
1.淘气像下面这样对图形进行分类，你知道他是怎样想的吗？
与同伴交流。
曲线或曲面围成
平面图形
立体图形
平面图形
线段或平面围成
立体图形
× 判断：三条线段围成的图形，就是三角形。（
）
三条线段围成的封闭图形才是三角形。