【全国百强校】吉林省长春外国语学校2016届高三上学期第二次质量检测理数试题解析(解析版)

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{1,0,1},{||1|,}A B x x a a A =-==+∈，集合A B 为（ ）A.{}0B.{}1C.{}0,1D.{}0,1,2【答案】C考点：集合间的基本运算.2.一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒 【答案】C 【解析】试题分析：t s 21+-='，物体在3秒末的瞬时速度是5321|3=⨯+-='=t s 米/秒，故答案为C. 考点：导数的几何意义. 3. 函数()2+31xf x a =+的零点为1，则实数a 的值为（ ）A.2-B.12-C.12D.2【答案】B 【解析】试题分析： 函数()2+31xf x a =+的零点为1，所以()0211=+=a f ，得21-=a ，故答案为B.考点：函数零点的定义.4.设()sin f x x x =-，则()f x （ ）A.既是奇函数又是减函数B.既是奇函数又是增函数C.是有零点的减函数D.是没有零点的奇函数【答案】B考点：函数的奇偶性和单调性.5.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()23xf x =-，则()2f -=（ ）A.14B.114-C.1D.1-【答案】D 【解析】试题分析：函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()()22f f -=-∴()1322-=--=，故答案为D.考点：奇函数的应用.6. 下列选项中，说法正确的是 （ ） A.命题“x ∃∈R ，20x x -≤”的否定是“x ∃∈R ，20x x ->” B.命题“q p ∨为真”是命题“q p ∧为真”的充分不必要条件 C.命题“若22bm am ≤，则b a ≤”是假命题 D.命题“在中ABC ∆中，若1sin 2A <，则6A π<”的逆否命题为真命题 【答案】C 【解析】试题分析：对应A ，命题“x ∃∈R ，20x x -≤”的否定是“R x ∈∀，20x x ->”错误；对于B ，当命题“q p ∨为真”，q p ,可能一真一假，q p ∧不一定是真命题，当q p ∧是真命题时，q p ,都是真命题，此时q p ∨为真，故命题“q p ∨为真”是命题“q p ∧为真”的必要不充分条件，错误；对于C ，若22bm am ≤，当02=m 时，a 与b 的大小关系不确定，假命题；对于D ，“在中ABC ∆中，若1sin 2A <，则60π<<A或ππ<<A 65，假命题，命题的逆否命题也是假命题，故答案为C. 考点：命题的真假性.7.定积分dx e x x⎰-1)2(的值为（ ）A. e -2B. e -C. eD. e +2 【答案】A考点：定积分的计算.8. 已知函数()y f x =的图像在点()()1,1f 处的切线方程是210x y -+=，若()()xg x f x =， 则()1g '=（ ） A.12B.12-C.32-D.2【答案】A 【解析】试题分析：由切线方程得()01121=+-f ，()11=∴f ，由导数的几何意义得()211='f ， ()()()()()()()x f x f x x f x f x f x x f x x g 22'⋅-='⋅-⋅'='，()()()()21111112-='-='∴f f f g 21=，故答案为A.考点：1、导数的几何意义；2、导数的运算法则.9.若关于x 的不等式0ax b ->的解集是(),2-∞-，关于x 的不等式201ax bxx +>-的解集为（ ） A.()()2,01,-+∞ B.()(),01,2-∞C.()(),20,1-∞-D.()(),12,-∞+∞【答案】B 【解析】考点：不等式的解法.10.若向量()ααsin ,cos =a ，()cos ,sin ββ=则与一定满足（ ）A.与的夹角等于αβ-B.()()-⊥+ C. //D. ⊥【答案】B 【解析】试题分析：()βαβαsin sin ,cos cos ++=+，()βαβαsin sin ,cos cos --=-，()()=-⋅+∴()()βαβαcos cos cos cos -⋅+()()βαβαsin sin sin sin -⋅++ +-=βα22cos cos ()βα22sin sin -0=，()()b a b a -⊥+∴，故答案为B.考点：平面向量数量积的性质.【方法点睛】本题考查平面向量数量积的性质应用，属于中档题，判断向量垂直的方法：①当向量a 与b 是坐标形式给出时，若证明⊥，则只需证明002121=⋅+⋅⇔=⋅y y x x b a ；②当向量b a ,是非坐标形式时，要把8,用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明0=⋅b a ；③数量积的运算⇔=⋅0b a b a ⊥中，是对非向量而言的，若0=a ，显然有0=⋅b a ，但不能说明⊥.11.将函数)62sin()(π-=x x f 的图象上所有的点向左平移3π个单位（纵坐标不变），则所得图象的解析式是（ ）A. x y 2cos -=B. x y 2cos =C. 8)652sin(π-=x yD. )62sin(π+=x y 【答案】B考点：三角函数的图象变换.【易错点睛】本题考查三角函数图象平移，属于简单题，本题学生得到错误答案⎪⎭⎫⎝⎛--=632sin ππx y ，对于三角函数图象的平移问题，其平移变换规则是“左加右减”，并且在变换过程中只变换其中自变量x ，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后1确定变换的单位和方向，另外，当两个函数的函数名不同时，首先将函数名称统一，其次把ϕω+x 变换成⎪⎭⎫⎝⎛+ωϕωx ，最后确定平移单位和方向. 12.函数()x x x f πsin 21--=的所有零点之和等于（ ）A.4B. 5C. 6D. 7 【答案】B8 【解析】试题分析：由()0sin 21=--=x x x f π，得x x πsin 21=-，分别作出函数1-=x y 和x y πsin 2=的图象如图，两个函数图象都关于()0,1对称，由图象知，两个函数共有5个交点，其中1=x 是一个零点，另外4个零点关于点()0,1，设对称的两个点的横坐标分别为21,x x ，21221=⨯=+∴x x ，所以5个交点的横坐标之和5122=++，故答案为B.考点：1、函数的零点；2、函数的图象.【方法点睛】本题主要考查函数交点个数以及数值的计算，根据函数图象的性质，利用数形结合是解决此类问题的关键，属于中档题，求函数零点的方法：①直接求零点：令()0=x f ，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；②零点存在性定理：函数在[]b a ,上是连续不断的曲线，且()()0<⋅b f a f ，还必须结合函数的图象和性质才能确定函数有多少个零点；③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画出两个函数图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.已知tan 3x =，则sin 3cos 2sin 3cos x xx x+=- ；【答案】2考点：同角三角函数的基本关系.14.如图，圆222:4O xy π+=内的余弦函数cos y x =的图像与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，随机向圆内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是 ；【答案】38π【解析】试题分析：余弦函数x y cos =的图象与x 轴围成的区域M 的面积为2222|sin cos ππππ--=⎰x xdx22sin 2sin =⎪⎭⎫⎝⎛--=ππ，圆的面积4232πππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅，根据几何概型的概率计算公式得点A 落在区域M 内的概率为=423π38π.考点：1、定积分的应用；2、几何概型.15.若实数,x y 满足222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩,则目标函数1y z x =+的最大值是__________；【答案】2考点：线性规划的应用【方法点晴】本题主要考查的是利用线性规划求函数的最值，属于中档题．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义()101---=+=x y x y z 表示的是()y x ,点与()1,0-连线的斜率，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．16.已知定义在R 上的函数()f x 满足对于任意的R x ∈，都有()()91f x f x +=+，且[)0,9x ∈时，()2f x x =+，则()2015f 的值为__________．【答案】233 【解析】考点：累加求通项公式.【方法点睛】本题考查利用累加法求函数的解析式，从而求出函数值，属于中档题，本题所求的()2015f 的2015不在[)9,0范围内，利用()()91f x f x +=+，列出n 个式子然后相加求出()()n x f n x f +=⨯+9，然后把2015转化为[)9,0范围内，最后求解，解决本题的关键利用累加法求解析式，从而求出要求的函数值.三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题满分10分）已知向量,()2,6=-⋅，（1）求向量与的夹角为； （2【答案】（1）3π；（2）72.【解析】试题分析：（1）计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时注意数量积运算律的应用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用；（2）求向量夹角主要是应用向量的数量积公式求出向量夹角的余弦值，这里要注意向量夹角的取值范围[]π,0，求2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.试题解析：（1）设向量与的夹角为θ，θθcos 6=⋅b a ，()21cos 62=-=-⋅=-⋅∴θ，得21cos =θ，[]πθ,0∈ ，3πθ=∴（2=36124+-=72=考点：1、向量的夹角；2、向量的模. 18.(本题满分12分)设()x f y =是二次函数，方程()0=x f 有两个相等的实根，且'()22f x x =+（1）求()y f x =的表达式； （2）求()y f x =的图像与两坐标轴所围成图形的面积 【答案】（1）()122++=x x x f ；（2）31.考点：1、二次函数的解析式；2、定积分的应用.【方法点睛】本题考查求二次函数的解析式，利用定积分求平面图形的面积，属于中档题，利用定积分求曲线围成的面积的步骤：①画出图形；②确定被积函数；③确定积分的上、下限，并求出交点坐标；④运用微积分基本定理计算定积分，表示平面图形的面积，求解时，注意把定积分与利用定积分计算的曲线围成的面积区别开，定积分是一个数值，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正.19.(本题满分12分)已知在递增等差数列{}n a 中，12a =，3a 是1a 和9a 的等比中项． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()1+1n nb n a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，当n S m <对于任意的+n ∈N 恒成立时，求实数m 的取值范围【答案】（1）n a n 2=；（2）12m ≥.考点：1、等差数列的通项公式；2、裂项相消法求和.【易错点睛】本题考查是等差数列的基本运算和裂项相消法求和，恒成立的问题等知识，属于中档题，使用裂项相消法求和的注意事项，①抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；②将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等，如数列{}n a 是等差数列，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅++111111n n n n a a d a a ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅++2211211n nn n a a d a a . 20.（本小题满分12分）ABC ∆中，角A B C ,,的对边分别为a b c ,,，且cos cosB 2cos b C c a B +=．（1）求角B 的大小；（2求ABC ∆的面积．【答案】（1）3π=B ；（2）43.考点：1、正弦定理的应用；2、三角形的面积公式. 21.（本小题满分12分） 已知函数)(21cos 2sin 23)(2R x x x x f ∈--= （1）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈125,12ππx 时，求函数)(x f 的最小值和最大值；（2）设ABC ∆的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，且()0c f C ==，若向量m (1,sin )A =与向量(2,sin )B =共线，求,a b 的值.【答案】（1）()x f 最大值为0，最小值为123--；（2）1=a ，2=b . 【解析】试题分析：（1）熟悉三角公式的整体结构，灵活变换，要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的考点：1、三角函数在闭区间上的最值；2、正弦定理的应用. 22.（本小题满分12分）已知函数()ln f x x =，()1g x x =-．（1）求函数()y f x =图像在1x =处的切线方程； （2）证明：()()f x g x ≤；（3）若不等式()()f x ag x ≤对于任意的()1,x ∈+∞均成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1-=x y ；（2）证明略；（3）1≥a . 【解析】试题分析：（1）利用导数的几何意义求曲线在点()()1,1f 处的切线方程，注意这个点的切点,利用导数的几何意义求切线的斜率()1f k '=；（2）利用导数方法证明不等式()()x g x f >在区间D 上恒成立的基本方法（2）设()()()ln 1h x f x g x x x =-=-+，则()11h x x'=-，令()0h x '=得1x =．∴()()()max 10h x h x h ≤==，即()()f x g x ≤．（3）()1,x ∀∈+∞，()0f x >，()0g x >． 当1a ≥时，()()()f x g x ag x ≤≤；当0a ≤时，()0f x >，()0g x ≤不满足不等式；当01a <<时，设()()()()ln 1x f x ag x x a x ϕ=-=--，()1x a x ϕ'=-，令()0x ϕ'=，得1x a=∴()()max 110x a ϕϕϕ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭综上1a ≥考点：1、求切线方程；2、利用导数证明不等式；3、恒成立的问题.高考一轮复习：http:// xkw.so/wksp。