高三数学函数的极值、最值与应用苏版知识精讲

8、已知二次函数 y=f （ x）经过点（ 0， 10），导函数 f ' (x ) =2x－ 5，当 x∈（ n， n+1）（n
∈ N*）时， f （ x）是整数的个数，记为 an 求数列 { an} 的通项公式．
9、设函数 f （ x）=x3－ 1 ax2+3x+5（ a>0），求 f （ x）的单调区间． 2
f （ x ）＜ f （ x0），就说 f （ x0）是函数 f （ x ）的一个极大值，记作 值点．
x 0 附近的所有的点，都有 y 极大值 =f （ x0）， x 0 是极大
2、极小值：一般地，设函数 f （ x）在 x0 附近有定义，如果对 （ x ）＞ f （x 0） 就说 f （ x0）是函数 f （ x ）的一个极小值，记作 点．
1 时, f ( x)取极小值
a
当a 1时, x 2时, f (x )取极小值 ． 2
1 a
0 极小值
0 无极值
2 0 极小值
1 ( ,)
a
+ ↗
(2, )
+ ↗
例 4、设函数 f （ x）= x 2 1 －ax，其中 a＞0，求 a 的围，使函数 f （ x）在区间 [0， )
上是单调函数
分析： 要使 f （ x）在 [0， ) 上是单调函数，只需 f ′（ x）在 [0， ) 上恒正或恒负即
高三数学函数的极值、最值及应用教版
【 本讲教育信息 】
一 . 教学容： 函数的极值、最值及应用
二、本周教学目标：
1、理解可导函数的单调性与其导数的关系；
2、了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）
；
3、会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．
三、本周知识要点： 1、极大值：一般地，设函数 f （ x）在点 x0 附近有定义，如果对
↘
x
1 时 , f ( x) 取极小值
a
（ 2） 当 1 2即 a a
1 时 , f ( x) 2
（ 3） 当 1 2即a a
1 时，由表 2
1
x
e
(x
2) 2
2
x
（－∞， － 1 ）
a
1
( 1 ，2)
a
a
f′
+
0
－
（x）
f （x）
↗
极大值
↘
x 2时, f ( x)取极小值
1
综上，当
a 0时, x
2
例 1、求函数的极值： y 2x
解： f ( x) x2 1
2x 2 x2 1 2, f / ( x)
2(1 x 2 ) 2x 2 x (1 x 2 ) 2
2(1 x)(1 x) (1 x2 )2
令 f / ( x) 0 ，得驻点 x1 1, x2 1
x
( , 1)
-1
( 1,1)
1
(1, )
f / (x)
5、已知曲线 y= 1 x3+ 4 ，则过点 P（2， 4）的切线方程是 __________ ． 33
6 、设底面为等边三角形的直棱柱的体积为
V，那么其表面积最小时，底面边长为
___________ 。 7、已知函数 f （x） =x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值为 10，则 f （ 2） =______．
比较整个定义域的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（ 3）函数
f ( x) 在闭区间 a, b 上连续，是 f ( x) 在闭区间 a, b 上有最大值与最小值的充分条件而非
必要条件． （ 4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能
不止一个，也可能没有．
2
2
3、函数 f（x）=ax+log a（ x+1）在［ 0，1］上的最大值与最小值之和为 a，则 a 的值为 （
）
A、 1 B 、 1 C 、 2 D 、4
4
2
4、若曲线 f （ x）=x4－ x 在点 P 处的切线平行于直线 3x－y=0，则点 P的坐标为（
）
A、（ 1， 3） B 、（－ 1， 3） C 、（ 1，0） D 、（－ 1， 0）
（ x）＞ 0（或＜ 0＝ 单调递增（或减） ．
例 5、用总长 14 8m的钢条制作一个长方体容器的框架 如果所制作容器的底面的一边比另
一边长 0 5 m，那么高为多少时容器的容积最大 ?并求出它的最大容积．
解： 设容器底面短边长为 x m，则另一边长为（ x+0 5） m，高为
14.8 4 x 4( x 0.5) =3 2－ 2x（ m） 4
【试题答案】
1、解析： s′ =－4（ 1－ t ），∴当 t =0.8s 时， v=－ 0 8．
答案： D
2、解析： f ' (x) =3x2－ 6b，令 f ' (x) =0，得 x=± 2 b．
∵ f （x）在（ 0， 1）有极小值，∴ 0＜ 答案： C
2 b＜ 1．∴ 0＜ b＜ 2 ． 2
∴ S 表=3×
4V
· x+2×
3 x2= 4
3V +
3
x
2
．
2
3x
4
x2
∴ S′=－ 4 3V + x2
答案： 3 4V
3 x 令 S′=0，得 x= 3 4V
7、解析： f ′（ x） =3x2+2ax+b，由题意得 f (1) 0, f (1) 10,
3 2a b 0
a 3, a 4,
∴
∴
或
1 a b a2 1.
当 f （ x） >0 时， x>1 或 x<－ 1 ， 3
当 f （ x） <0 时，－ 1 <x<1 3
∴函数 f （ x）的单调增区间为（－∞，－
1 ）和（ 1， +∞），减区间为（－ 3
点评： 极值点、最值点这些是原函数图象上常用的点．
1 ， 1） 3
例 3、设 f ( x) ( ax2 x 1) e x (e 为自然对数的底， a 为常数且 a 0, x R ）， f (x) 取
<0 在（ a，b）上恒成立，则 f （ x）在（ a， b）上是减函数． 9、用导数求多项式函数单调区间的一般步骤． （ 1）求 f （ x） （ 2） f （ x） >0 的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； f （ x）<0 的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
f （ x）
【典型例题】
-
0
+
0
-
f ( x)
↘
极小
↗
极大
↘
当 x 1时， f 极小=-3 ；当 x 1时， f 极大=-1 值．
例 2、设 f （ x） =x3－ 3ax2+2bx 在 x=1 处有极小值－ 1，试求 a、 b 的值，并求出 f （ x）的
单调区间．
剖析： 由已知 x=1 处有极小值－ 1，点（ 1，－1）在函数 f （x）上，得方程组解之可得 a、
可
解： f ′（ x） = x － a． 1 x2
当 x＞0 时， 0
x
1
1 x2
因为 a＞ 0，所以当且仅当 a≥ 1 时， f ′（ x） =
x － a 在 [0， 1 x2
) 上恒小于 0，此
时 f （ x）是单调递减函数 点评： 要使 f （ x）在（ a，b）上单调，只需 f ′（ x）在（ a，b）上恒正或恒负，即 f ′
5、求函数 f （ x）的极值的步骤：
（ 1）确定函数的定义区间，求导数 f ′（ x）．
（ 2）求方程 f ′（ x） =0 的根．
（ 3）用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格
检查 f ′（ x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么
f （ x）在这个根处取得极大
答案： B 4、解析： f ′（ x） =4x3－ 1=3，∴ x=1．
答案： C 5、解析： y′ =x2，当 x=2 时， y′ =4．∴切线的斜率为 4．
∴切线的方程为 y－ 4=4（ x－ 2），即 y=4x－ 4．
答案： 4x－ y－4=0
6、解析：设底面边长为 x，则高为 h= 4V ， 3x2
x 0 附近的所有的点，都有 f y 极小值 =f （ x0）， x 0 是极小值
3、极大值与极小值统称为极值 （ⅰ）极值是一个局部概念 由定义，极值只是某个点的函
数值与它附近点的函数值比较是最大或最小
并不意味着它在函数整个的定义域最大或最
小．（ⅱ）函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域的极大值或极小值可以不
极小值时，求 x 的值 解： f ( x) ( 2ax 1) e x (ax 2 x 1) e x ( 1) e x (ax 1)( x 2)
令 f ( x) 0 x
1 或2 a
（ 1） 当 1 2即 1 a 0 ，由表
a
2
x
（－∞， 2）21 (2, Nhomakorabea)a
f ′（ x）
+
0
－
f （ x）
↗
极大值
；
3、会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．
1.8m3．
【模拟试题】
1、某物体做 s=2（ 1－ t ） 2 的直线运动，则 t =0 8 s 时的瞬时速度为（
）
A、 4
B
、－ 4
C
、－ 4 8