高三数学函数的极值最值及应用苏教 知识精讲
江苏专版高中数学第5章5.3.2极大值与极小值课件苏教版选择性必修第一册

(1)求实数 的值;
解
′ = 3 2 + 2 .因为 在 = −2 处取得极值,所以 ′ −2 = 12 + 2 = 0 ,
解得 = −6 .经验证,当 = −6 时, 在 = −2 处取得极值,故 = −6 .
因为 ∈ 0, 时, ′ < 0 , ∈ , +∞ 时, ′ > 0 ,所以 在 = 处取得极小
值,且极小值为 = − ln ,无极大值.综上,当 ≤ 0 时,函数 无极值;当 > 0
时,函数 在 = 处取得极小值 − ln ,无极大值.
故实数 的取值范围是 [−16,16] .
0
+ 16 ≥ 0,
所以 −16 ≤ ≤ 16 .
− 16 ≤ 0,
4
规律方法 已知函数极值,确定函数解析式中的参数时,注意以下两点
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解;
(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后
(2)函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小
值可以不止一个.
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.在某一点的极小值也可能大于另一
点的极大值,即极大值不一定比极小值大,极小值也不一定比极大值小.
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.
(5)若函数在极值点处存在导数,则这点的导数为0,但导数为0的点可能不是函数
的变化情况如下表:
江苏2020版高考数学第二章基本初等函数、导数的应用12第12讲导数与函数的极值、最值课件

1
1 2 - a + ea 2 ≥ 0,
所以当 0<x0≤1 时,函数 F(x)必有零点,即当 0<x0≤1 时,必 存在 x2 使得(*)式成立;
即存在 x1,x2 使得函数 f(x)图象上点(x1,f(x1))处的切线与函数 g(x)图象上点(x2,g(x2))处的切线相同. 1 1 又由 y=x-2x 得,y′=-x2-2<0, 1 所以 y=x-2x 在(0,1]上单调递减, 1-2x2 1 0 因此 a= x =x -2x0∈[-1,+∞), 0 0 所以实数 a 的取值范围是[-1,+∞).
e 当 1<k< 时函数 f(x)的最大值为 f(1)=(1-k)e, e- 1 e 当 ≤k<2 时,函数 f(x)的最大值为 f(0)=-k, e- 1 当 k-1≥1 时,即 k≥2 时,函数 f(x)在[0,1]上单调递减. 所以 f(x)在[0,1]上的最大值为 f(0)=-k. e 综上所述,当 k< 时,f(x)的最大值为 f(1)=(1-k)e. e- 1 e 当 k≥ 时,f(x)的最大值为 f(0)=-k. e- 1
极小值点,f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值.
(2)函数的极大值 函数 y=f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近其他点 的 函 数 值 都 大 , f ′ (b) = 0 , 而 且 在 点 x = b 附 近 的 左 侧
f′(x)>0 ,右侧__________ f′(x)<0 ,则点 b 叫做函数 y=f(x)的极 ____________
2 1 a 1 2x +ax-1 则 F′(x)=-2x3+2x2+x= , 2x3
不妨设 2x2 0+ax0-1=0(x0>0),则当 0<x<x0 时,F′(x)<0,当 x>x0 时,F′(x)>0, 所以 F(x)在区间(0,x0)上单调递减,在区间(x0,+∞)上单调递 1-2x2 1 0 增,又 a= x =x -2x0, 0 0 所以 1 2 F(x)min=F(x0)=x0+2x0-x +ln 0
苏教版高考总复习一轮数学精品课件 主题二 函数 第四章 第三节 利用导数研究函数的极值、最值

自测诊断
1.如图是函数 = 的导函数的图象,下列结论正确的是() D
A. 在[−2, −1]上单调递增
B.当 = 3时, 取得最小值
C.当 = −1时, 取得极大值
D. 在[−1,2]上单调递增,在[2,4]上单调递减
[解析]根据题图知,当 ∈ [−, −], ∈ [, ]时,′ < ,函数 = 单调递
<<
.故选C.
[对点训练2](1)若函数 =
1 2
−
2
+ 4 − 2ln 有两个不同的极值点,则实
数的取值范围是() C
A. −∞, 1 B. 0,1 C. 0,2 D. 2, +∞
[解析]因为 = − + − 有两个不同的极值点,所以
′ = − +
1
2
1
2
没有极值;当 > 1时, 的极大值是− ,极小值是− 2 + ln .
规律方法
求函数的极值或极值点的步骤
(1)确定函数的定义域.
(2)解方程′ = 0,求出函数定义域内的所有根.
(3)由′ 在方程′ = 0的根左右的符号,来判断 在这个根处取极值的情况.
0 为极____值
小
0 为极____值
极值点
大
0 为极____值点
小
0 为极____值点
图象
函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能称为极值点.在函数的整个定
义域内,极值不一定是唯一的,有可能有多个极大值或极小值.极大值与极小值之间
无确定的大小关系.
二、函数的最值
高中数学 第二章 函数 2.2.1 第2课时 函数的最大值、最小值 苏教版必修1PPT课件

[再练一题] 2.求函数 f (x)=x-x 1在[-4,-3]上的最值. 【解】 任取 x1,x2∈[-4,-3]且 x1<x2, 则 f (x1)-f (x2)=x1x-1 1-x2x-2 1=x1-x12-xx21- 1. ∵x1,x2∈[-4,-3],∴x1-1<0,x2-1<0. 又 x1<x2,∴x2-x1>0,
(2)由上述(1)可知,函数 f (x)=x-x 1在[3,4]上为单调递减函数, 所以在 x=3 时,函数 f (x)=x-x 1取得最大值32; 在 x=4 时,函数 f (x)=x-x 1取得最小值43.
1.当函数图象不好作或无法作出时,往往运用函数单调性求最值. 2.函数的最值与单调性的关系 (1)若函数在闭区间[a,b]上是减函数,则 f (x)在[a,b]上的最大值为 f (a),最 小值为 f (b);(2)若函数在闭区间[a,b]上是增函数,则 f (x)在[a,b]上的最大值为 f (b),最小值为 f (a);(3)求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间,则不 一定有最大(小)值.
(2)若函数 y=f (x)在区间[a,b]上单调递减,则 f (x)的最大值为________,最 小值为________.
(3)已知函数 y=f (x)的定义域是[a,b],当 x∈[a,c]时,f (x)是单调增函数; 当 x∈[c,b]时,f (x)是单调减函数,则 f (x)在 x=c 时取得________.
∴f (x1)-f (x2)>0,∴f (x1)>f (x2), ∴f (x)在[-4,-3]上单调递减, ∴f (x)max=f (-4)=45, f (x)min=f (-3)=34, ∴f (x)在[-4,-3]上最大值为45,最小值为34.
高中数学函数的极值与导数课件苏教版选修

总结词
通过代数运算,将函数表达式进行转化,从而找出极值点。
总结词
代数法适用于一些较为简单的函数,对于复杂函数可能计算量大且容易出错。
详细描述
代数法虽然简单易懂,但对于一些复杂函数,需要进行大量的代数运算,计算量较大,且容易出错。因此,对于复杂函数,需要采用其他方法进行求解。
基础习题1
求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$的单调区间。
基础习题3
已知函数$f(x) = x^2 - 2x$在区间$( - infty, a)$上是减函数,求实数$a$的取值范围。
求函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$在区间$( - infty, a)$上的最小值。
综合习题1
已知函数$f(x) = ln(x + sqrt{x^2 + 1})$,证明$f(x)$在$(0, + infty)$上是增函数。
综合习题2
求函数$f(x) = x^3 - x^2 - x$在区间$(0, a)$上的最大值和最小值。
综合习题3
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高中数学函数的极值与导数课件(苏教版选修
函数极值的基本概念导数在研究极值中的应用极值在实际问题中的应用极值问题的求解方法与技巧习题与解析
01
函数极值的基本概念
函数在某点的值大于或小于其邻近点的值,则称该点为函数的极值点,该值称为极值。
极值定义
极值性质
单调性判定
极值是局部最大或最小的点,函数在极值点两侧单调性相反。
详细描述
代数法是求解极值问题的一种基本方法,主要是通过代数运算,将函数表达式进行转化,将原函数转化为更容易处理的形式,从而找出极值点。
【2021】高考数学苏教版一轮核心考点精准研析:3.3 利用导数研究函数的极值、最值

核心考点·精准研析考点一 用导数解决函数的极值问题命 题 精 解 读 考什么:(1)考查求值、解方程、解不等式等问题.(2)考查数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养及数形结合、分类与整合等数学思想.怎么考:与函数图象、方程、不等式、函数单调性等知识结合考查求函数极值、知函数极值求参数等问题.新趋势:函数极值、导数的几何意义及函数图象等知识交汇考查为主学霸好方法1.求函数f(x)极值的一般解题步骤 (1)确定函数的定义域; (2)求导数f ′(x); (3)解方程f ′(x)=0,求出函数定义域内的所有根; (4)列表检验f ′(x)在f ′(x)=0的根x 0左右两侧值的符号.2.已知函数极值点或极值求参数的两个要领 (1)列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.(2)验证:因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.由图象判断函数的极值【典例】(2021·咸阳模拟)已知三次函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图所示,则f '(0)f '(1)=________.【解析】f ′(x)=3ax 2+2bx+c;根据图象知,x=-1,2是f(x)的两个极值点; 所以x=-1,2是方程3ax 2+2bx+c=0的两实数根; 根据根与系数的关系得,{-2b 3a=-1+2,c 3a=-2,所以2b=-3a,c=-6a, 所以f '(0)f '(1)=c3a+2b+c =-6a3a -3a -6a=1.答案:1由函数f(x)的图象确定极值点的主要依据是什么 提示:局部最高(低)点的横坐标是极大(小)值点.求已知函数的极值【典例】已知函数f(x)=x-1+ae x (a ∈R,e 为自然对数的底数).(1)若曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线平行于x 轴,求a 的值. (2)求函数f(x)的极值. 【解析】(1)由f(x)=x-1+ae x ,得f ′(x)=1-aex .又曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线平行于x 轴, 所以f ′(1)=0,即1-ae =0,解得a=e.(2)f ′(x)=1-aex ,当a ≤0时,f ′(x)>0,f(x)为(-∞,+∞)上的增函数,所以函数f(x)无极值. 当a>0时,令f ′(x)=0,得e x =a,即x=ln a, 当x ∈(-∞,ln a)时, f ′(x)<0; 当x ∈(ln a,+∞)时, f ′(x)>0, 所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增,故f(x)在x=ln a 处取得极小值且极小值为f(ln a)=ln a,无极大值.综上,当a ≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,f(x)在ln a 处得极小值ln a,无极大值.若函数f(x)在区间[a,b]内有极值,则极值点有可能是a 或b 吗f(x)在(a,b)内可以是单调函数吗提示:若函数y=f(x)在区间[a,b]内有极值,那么y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值,且极值点一定不是a 和b.已知函数极值情况求参数值(范围)【典例】设a ∈R,若函数y=x+aln x 在区间(1e ,e)上有极值点,则a 的取值范围为 ( ) A.(1e ,e)B.(-e ,-1e )C.(-∞,1e )∪(e,+∞)D.(-∞,-e)∪(-1e,+∞)【解析】选B.因为函数y=f(x)=x+aln x在区间(1e,e)上有极值点,所以y′在区间(1e,e)上有零点.f′(x)=1+ax =x+ax(x>0).所以f′(1e)·f′(e)<0,所以(ea+1)(1+ae)<0,解得-e<a<-1e,所以a的取值范围为(-e,-1e).已知函数极值求参数,常转化为什么问题提示:常转化为方程的根和函数零点的问题.1.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)【解析】选D.由题图可知,当x<-2时,1-x>3,此时f ′(x)>0;当-2<x<1时,0<1 -x<3,此时f ′(x)<0;当1<x<2时,-1<1-x<0,此时f ′(x)<0;当x>2时,1-x<-1,此时f ′(x)>0,由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.2.设函数f(x)=ln x+ax 2-32x,若x=1是函数f(x)的极大值点,则函数f(x)的极小值为________. 【解析】函数f(x)=ln x+ax 2-32x,函数定义域为(0,+∞),f ′(x)=1x+2ax-32.若x=1是函数f(x)的极大值点,则f ′(1)=0,解得a=14;所以f(x)=lnx+14x 2-32x,f ′(x)=1x +12x-32=x 2-3x+22x=(x -1)(x -2)2x;当f ′(x)>0时,0<x<1或x>2; 函数在(0,1)和(2,+∞)上单调递增;当f ′(x)<0时,1<x<2,函数在(1,2)上单调递减;所以函数在x=1时有极大值;函数在x=2时有极小值为f(2)=ln 2-2. 答案:ln 2-23.(2021·荆门模拟)已知函数f(x)=x 2+2x-2xe x .求函数f(x)的极值. 【解析】因为函数f(x)=x 2+2x-2xe x (x ∈R), 所以f ′(x)=2x+2-2e x -2xe x =(2x+2)(1-e x ), 由f ′(x)=0,得x=-1或x=0, 列表讨论,得:f ′(x) - 0 + 0 - f(x) ↘极小值↗极大值↘所以当x=-1时,f(x)极小值=f(-1)=1-2+2×1e =2e-1,当x=0时,f(x)极大值=f(0)=0.设函数f(x)=e x (sin x-cos x)(0≤x ≤2 016π),则函数f(x)的各极大值之和为 ( ) A.e π(1-e 2 017π)1-e 2πB.e π(1-e 1 009π)1-e πC.e π(1-e 1 008π)1-e 2πD.e π(1-e 2 016π)1-e 2π【解析】选D.因为函数f(x)=e x (sin x-cos x),所以f ′(x)=[e x (sin x-cos x)]′=e x (sin x-cos x)+e x (cos x+sin x)=2e x sin x;令f ′(x)=0,解得x=k π(k ∈Z);所以当2k π<x<2k π+π时,f ′(x)>0,原函数单调递增,当2k π+π<x<2k π+2π时,f ′(x)<0,原函数单调递减;所以当x=2k π+π时,函数f(x)取得极大值,此时f(2k π+π)=e 2k π+π[sin (2k π+π)-cos(2k π+π)]=e 2k π+π; 又因为0≤x ≤2 016π,所以0和2 016π都不是极值点, 所以函数f(x)的各极大值之和为: e π+e 3π+e 5π+…+e 2 015π=e π(1-e 2 016π)1-e 2π.考点二 用导数解决函数的最值问题【典例】(2021·淮安模拟)已知函数f(x)=lnx x-ax,曲线y=f(x)在x=1处的切线经过点(2,-1). (1)求实数a 的值;(2)设b>1,求f(x)在区间[1b,b]上的最大值和最小值.【解题导思】【解析】(1)f(x)的导函数为 f ′(x)=1-lnx -ax 2x 2⇒f ′(1)=1-0-a 1=1-a,依题意,有f (1)-(-1)1-2=1-a,即-a+11-2=1-a,解得a=1.(2)由(1)得f ′(x)=1-lnx -x 2x 2,当0<x<1时,1-x 2>0,-ln x>0, 所以f ′(x)>0,故f(x)在(0,1)上单调递增;当x>1时,1-x2<0,-ln x<0,所以f′(x)<0,故f(x)在(1,+∞)上单调递减,所以f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减. 因为0<1b<1<b,所以f(x)的最大值为f(1)=-1.设h(b)=f(b)-f(1b )=(b+1b)ln b-b+1b,其中b>1则h′(b)=(1-1b2)ln b>0,故h(b)在区间(1,+∞)上单调递增.当b→1时,h(b)→0⇒h(b)>0⇒f(b)>f(1b).故f(x)的最小值为f(1b )=-bln b-1b.求函数f(x)在闭区间[a,b]内的最大值和最小值的思路(1)若所给的闭区间[a,b]不含参数,则只需对函数f(x)求导,并求f ′(x)=0在区间[a,b]内的根,再计算使导数等于零的根的函数值,把该函数值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.(2)若所给的闭区间[a,b]含参数,则需对函数f(x)求导,通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值.(2021·南昌模拟)设函数f(x)=ln x-2mx2-n(m,n∈R).(1)讨论f(x)的单调性.(2)若f(x)有最大值-ln 2,求m+n的最小值.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1x -4mx=1-4mx2x,当m ≤0时,f ′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当m>0时,令f ′(x)>0,得0<x<√m2m, 令f ′(x)<0得x>√m2m,所以f(x)在(0,√m 2m )上单调递增,在(√m2m,+∞)上单调递减.(2)由(1)知,当m>0时,f(x)在(0,√m 2m )上单调递增,在(√m2m,+∞)上单调递减. 所以f(x)max =f (√m 2m )=ln √m2m -2m ·14m-n=-ln 2-12ln m-12-n=-ln 2,所以n=-12ln m-12,所以m+n=m-12ln m-12, 令h(x)=x-12ln x-12(x>0),则h ′(x)=1-12x=2x -12x,所以h(x)在(0,12)上单调递减,在(12,+∞)上单调递增,所以h(x)min =h (12)=12ln 2,所以m+n 的最小值为12ln 2.考点三 用导数解决生活中的优化问题【典例】某食品厂进行蘑菇的深加工,每千克蘑菇的成本为20元,并且每千克蘑菇的加工费为t 元(t 为常数,且2≤t ≤5).设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x 元(25≤x ≤40),根据市场调查,日销售量q 千克与e x 成反比,当每千克蘑菇的出厂价为30元时,日销售量为100千克. (1)求该工厂的每日利润y 元与每千克蘑菇的出厂价x 元的函数关系式.(2)若t=5,当每千克蘑菇的出厂价x 为多少时,该工厂的每日利润y 最大并求最大值. 【解题导思】 序号联想解题 (1) 待定系数法求函数关系根据已知条件得出日销量函数表达式q=kex (k ≠0),将x=30,q=100代入日销量函数表达式中求出k 的值,进而得到利润y 与出厂价x 之间的函数关系式.(2) 通过求函数最值,解答实际问题将t=5代入函数中,根据导数求得函数的单调区间,进而得函数的最值.【解析】(1)设日销量q=ke x (k ≠0),则k e 30=100,所以k=100e 30,所以日销量q=100e 30e x,所以y=100e 30(x -20-t )e x(25≤x ≤40).(2)当t=5时,y=100e 30(x -25)e x,y ′=100e 30(26-x )e x.由y ′≥0得x ≤26,由y ′≤0,得x ≥26,所以y 在区间[25,26]上单调递增,在区间[26,40]上单调递减,所以当x=26时,y max =100e 4,即当每千克蘑菇的出厂价为26元时,该工厂的每日利润最大,最大值为100e 4元.利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系,建立实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x).(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0.(3)比较函数在区间端点和f′(x)=0处的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.(4)回归实际问题作答.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=ax-2+10(x-5)2,其中2<x<5,a为常数.已知销售价格为4元/千克时,每日可售出该商品10.5千克.(1)求a的值;(2)若该商品的成本为2元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.【解析】(1)因为x=4时,y=,所以a2+10=,所以a=1.(2)由(1)可知,该商品每日的销售量y=1x-2+10(x-5)2,所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=(x-2)[1x-2+10(x-5)2]=1+10(x-2)(x-5)2,2<x<5.从而,f′(x)=10[(x-5)2+2(x-2)(x-5)]=30(x-3)(x-5).于是,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表:由表可得,x=3是函数f(x)在区间(2,5)内的极大值点,也是最大值点.所以当x=3时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于41.答:当销售价格为3元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.。
高中数第2章函数2.2.1.2函数的最大值、最小值课件苏教版必修1

典例导学
即时检测
一
二
解(1)若 k>0,则由条件得
- + = -3,
3 + = 5,
= 2,
解得
y=2x-1.
= -1,
若 k<0,则由条件得
解得
3 + = -3,
- + = 5,
= -2,
y=-2x+3.
= 3,
典例导学
即时检测
一
二
(2)函数f(x)的对称轴为x=a,且开口向上,如图.
3
4
+ ≥
4
0,
3
.
3
,从而
4
4
f(x)max= .
3
典例导学
即时检测
1
2
3
4
3.已知函数f(x)的图象如图所示,则其单调增区间是
大值为
,最小值是
. (导学号51790051)
,最
答案:[-3,1] 3 0
解析:结合图象分析可知,函数在区间[-3,1]上是上升的,故其单调增
区间为[-3,1].图象上位置最高的点是(1,3),最低点是(-3,0),所以当
作出函数图象如图.
∴当 t=5 时,ymax=1 225;当 t=20 时,y min=600.
典例导学
即时检测
一
二
求解实际问题“四步曲”:
(1)读题:分为读懂和深刻理解两个层次,把“问题情景”译为数学语
言,找出问题的主要关系(目标与条件的关系).
(2)建模:把问题中的关系转化成函数关系,列出函数解析式,把实际
典例导学
即时检测
一
二
高考数学一轮复习 极值最值知识梳理2 苏教版

函数极值与最值一、考点说明:导数法处理函数的极值与最值是36个B 级考点之一36个B 级要求知识点的考查比例要达到60%以上。
尤其是导数的运算及运用等,仍为考查重点。
08年填空题14题以三次函数为模型考查。
17题以实际应用为载体考查。
09年填空题3题以三次函数为模型考查。
10年填空题14题以分式函数和实际应用为模型结合考查。
20题以指对函数模型考查。
11年填空题12题以指对函数为模型考查。
19题以三次函数和二次函数为模型综合考查。
应重视导数题的考查,以中档题为主。
小题中两年都考了三次函数,应该更加关注指、对数函数,三角函数的导数及相关的超越函数. 二、知识梳理:1.在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值。
请注意以下几点:(ⅰ)极值是一个局部概念。
由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。
并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
(ⅱ)函数的极值不是唯一的。
即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。
(ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系。
即一个函数的极大值未必大于极小值,(ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点。
而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点。
由上图可以看出,在函数取得极值处,如果曲线有切线的话,则切线是水平的,从而有0)(='x f 。
但反过来不一定。
基础体验:1.【某某株洲08届二检】已知函数)(x f y =的导函数)(x f y '=的图像如下,则▲. A .函数)(x f 有1个极大值点,1个极小值点 B .函数)(x f 有2个极大值点,2个极小值点 C .函数)(x f 有3个极大值点,1个极小值点 D .函数)(x f 有1个极大值点,3个极小值点2.【08某某11】如果函数y=f(x)的图象如图所示,那么导函数'()y f x =的图象可能是▲.解析:由y =f (x )的图象可知其单调性从左向右依次为增减增减,所以其导数y =f ′(x )的函数值依次为正负正负.由此可排除B 、C 、D.答案A 3.【2011.某某】9.函数2sin 2xy x =-的图象大致是▲.解析:函数2sin 2x y x =-为奇函数,且12cos 2y x '=-,令0y '=得1cos 4x =,由于函数cos y x =为周期函数,而当2x π>时,2sin 02xy x =->,当2x π<-时,2sin 02xy x =-<,则答案应选C 。
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高三数学函数的极值、最值及应用苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容:函数的极值、最值及应用 二、本周教学目标:1、理解可导函数的单调性与其导数的关系;2、了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);3、会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值. 三、本周知识要点:1、极大值:一般地,设函数f (x )在点x 0附近有定义,如果对x 0附近的所有的点,都有f (x )<f (x 0),就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值,记作y 极大值=f (x 0),x 0是极大值点.2、极小值:一般地,设函数f (x )在x 0附近有定义,如果对x 0附近的所有的点,都有f (x )>f (x 0)就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值,记作y 极小值=f (x 0),x 0是极小值点.3、极大值与极小值统称为极值(ⅰ)极值是一个局部概念由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数整个的定义域内最大或最小.(ⅱ)函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个.(ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值.(ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点.4、判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ,且在0x 的两侧)(x f 的导数异号,则0x 是)(x f 的极值点,)(0x f 是极值,并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”,则0x 是)(x f 的极大值点,)(0x f 是极大值;如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”,则0x 是)(x f 的极小值点,)(0x f 是极小值.5、求函数f (x )的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间,求导数f ′(x ). (2)求方程f ′(x )=0的根.(3)用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格检查f ′(x )在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f (x )在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f (x )在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负,则f (x )在这个根处无极值 6、函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值.(1)在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值.(2)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近函数值得出的.(3)函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续,是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件.(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有.7、利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值;⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值.8、利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤. (1)求f '(x ).(2)确定f '(x )在(a ,b )内符号.(3)若f '(x )>0在(a ,b )上恒成立,则f (x )在(a ,b )上是增函数;若f '(x )<0在(a ,b )上恒成立,则f (x )在(a ,b )上是减函数. 9、用导数求多项式函数单调区间的一般步骤. (1)求f '(x )(2)f '(x )>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间;f '(x )<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.【典型例题】例1、求函数的极值:2122-+=x xy 解:22222/2)1()1)(1(2)1(22)1(2)(,212)(x x x x x x x x f x x x f ++-=+⋅-+=∴-+= 令0)(/=x f ,得驻点1,1x x =-=∴当极小极大例2、设f (x )=x 3-3ax 2+2bx 在x =1处有极小值-1,试求a 、b 的值,并求出f (x )的单调区间.剖析:由已知x =1处有极小值-1,点(1,-1)在函数f (x )上,得方程组解之可得a 、b .解:f '(x )=3x 2-6ax +2b ,由题意知⎪⎩⎪⎨⎧-=⨯+⨯-=+⨯-⨯,112131,021613232b a b a 即⎩⎨⎧=+-=+-.0232,0263b a b a 解之得a =31,b =-21此时f (x )=x 3-x 2-x ,f '(x )=3x 2-2x -1=3(x +31)(x -1)当f '(x )>0时,x >1或x <-31,当f '(x )<0时,-31<x <1∴函数f (x )的单调增区间为(-∞,-31)和(1,+∞),减区间为(-31,1)点评:极值点、最值点这些是原函数图象上常用的点.例3、设e e x ax x f x()1()(2-⋅-+=为自然对数的底,a 为常数且R x a ∈<,0),)(x f 取极小值时,求x 的值解:)1()1()12()(2-⋅⋅-++⋅+='--x xe x ax e ax x f令210)(或ax x f -=⇒=' (1)0121<<->-a 即当,由表)(,1x f a x 时-=∴取极小值(2)0)2(21)(,21212≤-⋅⋅-='-==--x e x f a a x 时即当无极值(3)121-<<-a 即当时,由表取极小值时时当)x (f ,2x ,2a =-<.例4、设函数f (x )=12+x -ax ,其中a >0,求a 的范围,使函数f (x )在区间)[0∞+,上是单调函数分析:要使f (x )在)[0∞+,上是单调函数,只需f ′(x )在)[0∞+,上恒正或恒负即可解:f ′(x )=21xx+-a .当x >0时,01<<因为a >0,所以当且仅当a ≥1时,f ′(x )=21xx +-a 在)[0∞+,上恒小于0,此时f (x )是单调递减函数点评:要使f (x )在(a ,b )上单调,只需f ′(x )在(a ,b )上恒正或恒负,即f ′(x )>0(或<0=⇒单调递增(或减).例5、用总长148m 的钢条制作一个长方体容器的框架如果所制作容器的底面的一边比另一边长05 m ,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.解:设容器底面短边长为x m ,则另一边长为(x +05)m ,高为4)5.0(448.14+--x x =32-2x (m )设容积为y m 3,则y =x (x +05)(32-2x )(0<x <16=整理,得y =-2x 3+22x 2+16x .所以y ′=-6x 2+44x +16.令y ′=0,即-6x 2+44x +16=0,所以15x 2-11x -4=0.解得x =1或x =-154(不合题意,舍去).从而在定义域(0,16)内只有x =1处使得y ′=0.由题意,若x 过小(接近0)或过大(接近16)时,y 值很小(接近0). 因此,当x =1时,y 有最大值且y max =-2+22+16=18, 此时,高为32-2×1=1.2(m )答:容器的高为1.2m 时,容积最大,最大容积为1.8m 3.【模拟试题】1、某物体做s =2(1-t )2的直线运动,则t =08 s 时的瞬时速度为( )A 、4B 、-4C 、-48D 、-082、函数f (x )=x 3-6bx +3b 在(0,1)内有极小值,则( )A 、b >0B 、b <21C 、0<b <22D 、b <13、函数f (x )=a x+log a (x +1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ,则a 的值为( )A 、41B 、21C 、2D 、44、若曲线f (x )=x 4-x 在点P 处的切线平行于直线3x -y =0,则点P 的坐标为( ) A 、(1,3) B 、(-1,3) C 、(1,0) D 、(-1,0)5、已知曲线y =31x 3+34,则过点P (2,4)的切线方程是__________.6、设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ,那么其表面积最小时,底面边长为___________。
7、已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +a 2在x =1处有极值为10,则f (2)=______. 8、已知二次函数y =f (x )经过点(0,10),导函数)x ('f =2x -5,当x ∈(n ,n +1)(n ∈N*)时,f (x )是整数的个数,记为a n 求数列{a n }的通项公式.9、设函数f (x )=x 3-21ax 2+3x +5(a >0),求f (x )的单调区间.【试题答案】1、解析:s ′=-4(1-t ),∴当t =0.8s 时,v =-08. 答案:D2、解析:)x ('f =3x 2-6b ,令)x ('f =0,得x =±2b . ∵f (x )在(0,1)内有极小值,∴0<2b <1.∴0<b <22. 答案:C3、解析:f ′(x )=a xln a +11+x log a e . ∵x ∈[0,1],∴当a >1时,a xln a +11+x log a e >0,∴f (x )为增函数. 当0<a <1时,a xln a +11+x log a e <0,∴f (x )为减函数.∴f (0)+f (1)=a ∴a =21.答案:B4、解析:f ′(x )=4x 3-1=3,∴x =1. 答案:C5、解析:y ′=x 2,当x =2时,y ′=4.∴切线的斜率为4. ∴切线的方程为y -4=4(x -2),即y =4x -4. 答案:4x -y -4=06、解析:设底面边长为x ,则高为h =234xV, ∴S 表=3×234x V ·x +2×43x 2=xV 34+23x 2.∴S ′=-234xV+3x 令S ′=0,得x =答案:34V7、解析:f ′(x )=3x 2+2ax +b ,由题意得⎩⎨⎧==',10)1(,0)1(f f∴⎩⎨⎧=+++=++.110232a b a b a ∴⎩⎨⎧=-=3,3b a 或⎩⎨⎧-==.11,4b a ∴f (2)=11或f (2)=18. 答案:11或188、解:由)x ('f =2x -5可设f (x 高三数学函数的极值、最值及应用苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容:函数的极值、最值及应用 二、本周教学目标:1、理解可导函数的单调性与其导数的关系;2、了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);3、会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值. 三、本周知识要点:1、极大值:一般地,设函数f (x )在点x 0附近有定义,如果对x 0附近的所有的点,都有f (x )<f (x 0),就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值,记作y 极大值=f (x 0),x 0是极大值点.2、极小值:一般地,设函数f (x )在x 0附近有定义,如果对x 0附近的所有的点,都有f (x )>f (x 0)就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值,记作y 极小值=f (x 0),x 0是极小值点.3、极大值与极小值统称为极值(ⅰ)极值是一个局部概念由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数整个的定义域内最大或最小.(ⅱ)函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个.(ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值.(ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点.4、判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ,且在0x 的两侧)(x f 的导数异号,则0x 是)(x f 的极值点,)(0x f 是极值,并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”,则0x 是)(x f 的极大值点,)(0x f 是极大值;如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”,则0x 是)(x f 的极小值点,)(0x f 是极小值.5、求函数f (x )的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间,求导数f ′(x ). (2)求方程f ′(x )=0的根.(3)用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格检查f ′(x )在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f (x )在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f (x )在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负,则f (x )在这个根处无极值 6、函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值.(1)在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值.(2)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近函数值得出的.(3)函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续,是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件.(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有.7、利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值;⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值.8、利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤. (1)求f '(x ).(2)确定f '(x )在(a ,b )内符号.(3)若f '(x )>0在(a ,b )上恒成立,则f (x )在(a ,b )上是增函数;若f '(x )<0在(a ,b )上恒成立,则f (x )在(a ,b )上是减函数. 9、用导数求多项式函数单调区间的一般步骤. (1)求f '(x )(2)f '(x )>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间;f '(x )<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.【典型例题】例1、求函数的极值:2122-+=x xy解:22222/2)1()1)(1(2)1(22)1(2)(,212)(x x x x x x x x f x x x f ++-=+⋅-+=∴-+= 令0)(/=x f ,得驻点1,1x x =-=∴当极小极大例2、设f (x )=x 3-3ax 2+2bx 在x =1处有极小值-1,试求a 、b 的值,并求出f (x )的单调区间.剖析:由已知x =1处有极小值-1,点(1,-1)在函数f (x )上,得方程组解之可得a 、b .解:f '(x )=3x 2-6ax +2b ,由题意知⎪⎩⎪⎨⎧-=⨯+⨯-=+⨯-⨯,112131,021613232b a b a 即⎩⎨⎧=+-=+-.0232,0263b a b a 解之得a =31,b =-21此时f (x )=x 3-x 2-x ,f '(x )=3x 2-2x -1=3(x +31)(x -1)当f '(x )>0时,x >1或x <-31,当f '(x )<0时,-31<x <1∴函数f (x )的单调增区间为(-∞,-31)和(1,+∞),减区间为(-31,1)点评:极值点、最值点这些是原函数图象上常用的点.例3、设e e x ax x f x()1()(2-⋅-+=为自然对数的底,a 为常数且R x a ∈<,0),)(x f 取极小值时,求x 的值解:)1()1()12()(2-⋅⋅-++⋅+='--xx e x ax e ax x f令210)(或ax x f -=⇒=' (1)0121<<->-a 即当,由表)(,x f a x 时-=∴取极小值(2)0)2(21)(,21212≤-⋅⋅-='-==--x e x f a a x 时即当无极值(3)121-<<-a 即当时,由表取极小值时时当)x (f ,2x ,2a =-<.例4、设函数f (x )=12+x -ax ,其中a >0,求a 的范围,使函数f (x )在区间)[0∞+,上是单调函数分析:要使f (x )在)[0∞+,上是单调函数,只需f ′(x )在)[0∞+,上恒正或恒负即可解:f ′(x )=21xx+-a .当x >0时,01<<因为a >0,所以当且仅当a ≥1时,f ′(x )=21xx +-a 在)[0∞+,上恒小于0,此时f (x )是单调递减函数点评:要使f (x )在(a ,b )上单调,只需f ′(x )在(a ,b )上恒正或恒负,即f ′(x )>0(或<0=⇒单调递增(或减).例5、用总长148m 的钢条制作一个长方体容器的框架如果所制作容器的底面的一边比另一边长05 m ,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.解:设容器底面短边长为x m ,则另一边长为(x +05)m ,高为4)5.0(448.14+--x x =32-2x (m )设容积为y m 3,则y =x (x +05)(32-2x )(0<x <16=整理,得y =-2x 3+22x 2+16x .所以y ′=-6x 2+44x +16.令y ′=0,即-6x 2+44x +16=0,所以15x 2-11x -4=0.解得x =1或x =-154(不合题意,舍去).从而在定义域(0,16)内只有x =1处使得y ′=0.由题意,若x 过小(接近0)或过大(接近16)时,y 值很小(接近0). 因此,当x =1时,y 有最大值且y max =-2+22+16=18, 此时,高为32-2×1=1.2(m )答:容器的高为1.2m 时,容积最大,最大容积为1.8m 3.【模拟试题】1、某物体做s =2(1-t )2的直线运动,则t =08 s 时的瞬时速度为( ) A 、4 B 、-4 C 、-48 D 、-082、函数f (x )=x 3-6bx +3b 在(0,1)内有极小值,则( )A 、b >0B 、b <21C 、0<b <22D 、b <13、函数f (x )=a x+log a (x +1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ,则a 的值为( )A 、41B 、21C 、2D 、44、若曲线f (x )=x 4-x 在点P 处的切线平行于直线3x -y =0,则点P 的坐标为( ) A 、(1,3) B 、(-1,3) C 、(1,0) D 、(-1,0)5、已知曲线y =31x 3+34,则过点P (2,4)的切线方程是__________. 6、设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ,那么其表面积最小时,底面边长为___________。