高等数学-第七版-课件-3-6 函数的极值与最大值最小值

o
x
定义 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义， 如果对于去心邻域U0(x0)内的任一x，有 y f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0)) 称f(x0)为函数f(x)的一个极大值（极小值） 函数的极大值与极小值统称为函数的极值， 使函数取得极值的点称为极值点 注 极值是一个局部的概念
海岸位于A点南侧40km，是一条东西走向的笔直长堤. 演习中部队先从A出发陆上行军到达海堤，再从海堤处乘舰艇 到达海岛B. 已知陆上行军速度为每小时36km，舰艇速度为
每小时12km.问演习部队在海堤的何处乘舰艇才能使登岛用 y 时最少？ 分析 陆上行军耗时 o 海上行军耗时 A
(0,40)
？ R(x,0) B
x
(140,-60)
三、最大值最小值问题
（一）最大值最小值求法
（二）最值应用问题
三、最大值最小值问题
（一）最大值最小值求法
（二）最值应用问题
例4 从边长为a的一张正方形薄铁皮的四角切去 边长为x的四个小正方形，折转四边，作一 个盒子，问x为何值时盒子的容积最大？
例5 某企业以钢材为主要生产材料。设该厂每天的钢材需求量为 R吨，每次订货费为C1元，每天每吨钢材的存贮费为C2元 （其中R、 C1、 C2为常数），并设当存贮量降为零时，能 立即得到补充（在一个订货周期内每天的平均存贮量为订货 量的二分之一）求一个最佳的订货周期，使每天的平均费用 最小？ q(t) Q o T C C0
o
x
定义 设函数f(x)在区间I上有定义，如果存在x0∈I,使得对于区间I内 的任一x，有 f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),则称f(x0)为函数f(x) 在区间I上的最大值(或最小值).
二、函数的极值及其求法
（一）极值的概念 （二）极值的存在条件与求法
二、函数的极值及其求法
（一）极值的概念 （二）极值的存在条件与求法
y
y o
y
x o x
3
o
x
4
y x
y x
4
y x
极值存在的充分条件 定理3（第二充分条件） 设函数f (x)在x0处具有二阶导数且f '(x0)=0, f "(x0)≠0,则 (1)当f "(x0)<0时,函数f (x)在x0处取得极大值 (2) 当f "(x0)>0时, 函数f (x)在x0处取得极小值 注 若f "(x0)=0,则不能判定f(x)在x0处是否取得极值 例2 求函数
特例1
若f (x)在一个区间内可导且只有一个驻点，若这个驻点 是极值点，则f (x)在该点处取得最大值或最小值. 注 这里无须和端点处的函数值比较.
y
y
o 特例2
x
o
x
若根据问题的性质可以断定f(x)的最值在区间内部取得 且区间内部只有一个驻点，则f(x)在该点处取得最值. 注 这里无须判断极值，也无须和端点处的函数值比较.
2T 3T t
o
存贮曲线图
t0
费用曲线图
t
例6 假设某工厂生产某产品x千件的成本是c(x)=x3-6x2+15x,售出 该产品x千件的收入是r(x)=9x，问是否存在一个能取得最大 利润的生产水平？如果存在的话，找出这个生产水平.
y
o
x1
x2
x
成本曲线和收入曲线图
例7 某渡海登岛演习场地情况如图所示： 参演部队驻地在陆地A处，
f ( x ) 0, f ( x ) 0, 而 x ( x0 , x0 ) 时， (1)若 x ( x0 , x0 ) 时，
o
则 f ( x )在 x0 处取得极大值；
f ( x ) 0, f ( x ) 0, 而 x ( x0 , x0 ) 时， (2)若 x ( x0 , x0 ) 时，
则 f ( x )在 x0 处取得极小值；
f ( x ) 的符号保持不变, (3)若 x U ( x0 , ) 时，
o
y
则 f ( x )在 x0 处没有极值
o
+－
x
极值存在的充分条件 定理2（第一充分条件） 设函数f(x)在x0处连续，且在x0的某去心邻域 U ( x0 , 的充分条件 定理3（第二充分条件） 设函数f (x)在x0处具有二阶导数且f '(x0)=0, f "(x0)≠0,则 (1)当f "(x0)<0时,函数f (x)在x0处取得极大值; (2) 当f "(x0)>0时, 函数f (x)在x0处取得极小值.
极值存在的充分条件 定理3（第二充分条件） 设函数f (x)在x0处具有二阶导数且f '(x0)=0, f "(x0)≠0,则 (1)当f "(x0)<0时,函数f (x)在x0处取得极大值 (2) 当f "(x0)>0时, 函数f (x)在x0处取得极小值 分析
y
o
x3 x1
x2 x
函数的极值与最大值最小值
一、引言
二、函数的极值及其求法
三、最大值最小值问题
函数的极值与最大值最小值
一、引言
二、函数的极值及其求法
三、最大值最小值问题
二、函数的极值及其求法
（一）极值的概念 （二）极值的存在条件与求法
二、函数的极值及其求法
（一）极值的概念 （二）极值的存在条件与求法
定义 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义， 如果对于去心邻域U0(x0)内的任一x，有 y f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0)) 称f(x0)为函数f(x)的一个极大值(或极小值). 函数的极大值与极小值统称为函数的极值， 使函数取得极值的点称为极值点 注 极值是一个局部的概念 定义 设函数f(x)在区间I上有定义，如果存在x0∈I,使得对于区间I内 的任一x，有 f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),则称f(x0)为函数f(x) 在区间I上的最大值（最小值）
第六讲 函数的极值与最大值最小值
函数的极值与最大值最小值
一、引言
二、函数的极值及其求法
三、最大值最小值问题
函数的极值与最大值最小值
一、引言
二、函数的极值及其求法
三、最大值最小值问题
问题
从边长为a的一张正方形薄铁皮的四角切去 边长为x的四个小正方形，折转四边，作一 个盒子，问x为何值时盒子的容积最大？
（二）最值应用问题
假定
(1) f (x)在[a,b]上连续； (2) f(x)在(a,b)内除有限个点外可导，且至多有有限个驻点.
求法
(1) 求出f (x)在(a,b)内的驻点和不可导点; (2) 计算f (x)在上述驻点、不可导点处的函数值及f(a),f(b); (3) 上述函数值中，最大者为最大值，最小者为最小值. 注 上述求法中无须判断极值. 例3 求函数 y x 1 x 在[-5，1]上的最大值和最小值
极值存在的必要条件
y
oa
b x
极值存在的必要条件
定理1 设函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值， 则f '(x0)=0 注 可导函数： 驻点 极值点 极值嫌疑点 不可导点 极值嫌疑点
例：
yx
y
3
y x
y
o
x
o
x
极值存在的充分条件 y
o
x1 x2
x
极值存在的充分条件 定理2（第一充分条件） 设函数f(x)在x0处连续，且在x0的某去心邻域 U ( x0 , )内可导.
y ( x 1) 1的极值
2
3
极值的求法（用第二充分条件）
(1) 明确函数的定义域
(2) 求出驻点 (3) 求出上述点处的二阶导数，判定是否取得极值
两种方法的比较 第一充分条件 使用条件 适用范围 弱 宽 第二充分条件
强
窄 简
繁简程度 两种方法的选择
驻点 求出 极值嫌疑点
繁
试求 二阶导数
攻击目标在海岛B处， A、B南北相距100km，
A
100
B
例7 某渡海登岛演习场地情况如图所示： 参演部队驻地在陆地A处，
攻击目标在海岛B处， A、B南北相距100km， 东西相距140km，
140
A
B
例7 某渡海登岛演习场地情况如图所示： 参演部队驻地在陆地A处，
攻击目标在海岛B处， A、B南北相距100km， 东西相距140km，
f ( x ) 0, f ( x ) 0, 而 x ( x0 , x0 ) 时， (1)若 x ( x0 , x0 ) 时，
o
则 f ( x )在 x0 处取得极大值；
f ( x ) 0, f ( x ) 0, 而 x ( x0 , x0 ) 时， (2)若 x ( x0 , x0 ) 时，
则 f ( x )在 x0 处取得极小值；
f ( x ) 的符号保持不变, (3)若 x U ( x0 , ) 时，
o
则 f ( x )在 x0 处没有极值
例1 求函数
y ( x 4)3 ( x 1) 2 的极值
极值的求法 (1) 明确函数的定义域 (2) 求出f '(x)=0的点，明确不可导点 (3) 将上述点从小到大排列，把定义区间划分为若干子区间 (4) 在每个子区间上讨论f '(x)的符号，判定是否取得极值
f ( x0 ) lim
x x0
f) ( xf ) ( x0 ) f ( x 0 x x x x 00
保 号 性
f ( x ) 0 U ( x0 , ) : x x0
o
x0 x x0 x0 x x0