组合数学中的概率论方法 (1)

组合数学中的概率论方法概率方法的背景和出发点—当今科学的发展表明：概率方法是组合数学中最强大和应用广泛的数学工具。

导致它迅速发展的一个主要原因在于理论计算机科学与统计物理学中重要研究对象的随机性。

概率方法的基本出发点可以描述如下：为了证明具有某一个组合结构性质的存在性，人们需要构造一个概率空间并且用它证明：在这个空间中随机选取的一个具有此组合性质的元素的概率值为正。

历史上最早运用这个方法的是伟大的数学家P.Erdos ！在过去的五十多年里面他对于这门学问的贡献是如此之大，以至于人们称之为“P.Erdos 方法”。

他在这个邻域里面的众多深邃的研究结果不但多如天上的繁星，更因为许多著名的公开问题和猜想而成为这门学科蓬勃发展的发动机。

这个讲义不可能完全介绍这门学科的全貌，它主要是介绍概率方法在组合数学邻域中的运用,尤其强调通过典型例子的形式来介绍这一方法。

知识背景：概率是描述事件发生可能性大小的数量指标，它是逐步形成可发展完善起来的。

最初人们讨论的是古典概型（随机）试验中事件发生的概率。

所谓古典概型试验是指样本空间中的点的样本点的个数是有限的且每一个样本点（组成事件）发生的可能性是相同的，简称为有限性与等可加性。

例如：掷一枚均匀骰子的试验与从一个装有n 个相同（编了号）的求中随机模一个球的试验都是古典概型试验。

对于古典概型试验，人们给出概率的如下定义：定义1.设试验E 是古典概型的，其样本空间Ω由n 个样本点组成，其中一事件A 由r 个样本点组成，则定义事件A 的概率为nr，记为 nrA A P =Ω=中样本点数目中样本点数目)(古典概率有下面几个基本性质：（1） 对于任意一个事件A ，有;1)(0≤≤A P （2） .1)(=ΩP（3） 设m A A A ,...,,21为互斥的m 个事件，则有∑===mi i m i i A P A P 11)()(注意：在实际应用当中，古典概型受到限制！因为他只用于有限概率空间。

而对于无限的情形，则要用到一点定义：定义2.设试验E 是的样本空间为某个可以度量的区域Ω，且Ω中任何一个区域出现的可能性大小与该区域的集合度量成正比，而与该区域的位置与形状无关。

则称E 为几何概型的试验，且定义事件A 的概率为几何度量几何度量Ω=A A P )(对于几何概型，除了上述(1)-(3)必须满足以外，还要满足下面的无限可加性条件： （4） 设,....,...,,21m A A A 为两两互斥的无穷多个事件，则∑∞=∞==11)()(i i i i A P A P 。

这个模式提供了一般概率的基本框架。

其中包括以下其它性质： （5）)(1)(A P A P -=（6）)()()(B A P B P A B P ⋂-=- （7）)()(B P A P B A ≤⇒⊆（8）对于一般位置上的事件m A A A ,...,,21，有以下的（容斥原理）)...()1(...)...()1(......)()()()(21 (111)112121m mmj i i i i i kmj i j imi i m i i m i i A A A P A A AP A A P A P A P A P k k -++-+-+-=∑∑∑∑≤<<<≤≤<≤===这里，求和是对m i i i k ≤<<<≤...121是对所有},...,3,2,1{m 的-k 组合k i i i ,...,,21进行的。

由此可见，从形式上看，对于每一个自然数,k 一共有)!(!!k m k m k m -=⎪⎪⎭⎫⎝⎛个单项式 （9）∑==≤mi imi iA P A P 11)()(（10）∑∞=∞=≤11)()(i ii iA P A P注意：(9)和（10）称为半可加性。

它们是估计概率大小的依据。

随机图定义—我们可以将n 个节点上的所有（带有标号）支撑子图的（n K 的所有支撑子图）全体视为样本空间，记为p n G ,（实际上就是有限概率空间),(p G n ，p 是一个概率函数。

）。

从p n G ,中挑选的一个元素G 被称为一个随机图。

下面是关于随机图的几个例子：1.：对于任意,n G G ∈G 的概率志)(G P 是一个常数.2,2⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n N N。

2. 依然取n G 如前所定义。

取介于0和1之间的任何一个数p 为一个待定的概率函数。

我们指定每一条边都具有相同的概率值p ，同时约定：这样的约定是相互独立的。

于是，p -1就是特定一条边没有被选中的概率。

对于一个边数为)(G e m =的随即图G 而言，它的概率值为m N m p p G P --=)1()(一个值得注意的现象是：p 越小，G 成为以个稀疏图的可能性（概率）就越大！而图论学家的正真兴趣在于：计算或估计一个随机图具有某个特性的概率有多大？下面就是一个关于概率空间p G ,3的例子：结论1--p G ,3中一个随机图连通的概率=)23()1(3232p p p p p -=+-；结论2--p G ,3中一个随机图是二部图的概率=31p -；结论3--p G ,3中一个随机图是二部连通图的概率=)1(32p p -； 结论4—如果设X 是p G ,3中元素中联通分支数目，则3322333))1(3(1)1(32)1(3)(p p p p p p p p X E +-=+-⨯+-⨯+-=设X 是一个非负随机变量而t 是一个正实数。

则有tX E t X P )()(≤≥。

这个不等式表明：随机变量变大的可能性为零。

特别地，设n X 是一个取值为非负整数的随机变量，它的概率空间为),(n n P Ω。

如果0)(→n X E 当∞→n ，那么0)0(→=n X P 当∞→n 。

这个性质经常被用来证明：对于数值,10:≤≤p p 随机图p n G ,几乎具有某种特性。

以下是上述马尔科夫不等式的一个补充。

对于随机变量X 和正实数t ，有tX V t X E X P )()|)((|≤≥- 证明：根据马尔科夫不等式，22222)()))((()|)((|)|)((|tX V t X E X E t X E X P t X E X P =-≤≥-=≥-这个不等式经常被用于下面的形式：设n X 是一个取值为非负整数的随机变量，它的概率空间为),(n n P Ω，如果0)(≠n X E 且),()(2n n X E X V <<那么0)0(→=n X P （当∞→n ）。

证明：设n X X =且|)(|n X E t =，注意到由于|)(||)(|0n n n n X E X E X X =-⇒=，|))(||)((|)0(n n n n X E X E X PX P ≥-≤=一个随机变量X 的平均值就是它的数学期望，定义为：∑Ω∈=ωωω)()()(P X X E 关于数学期望，我们关心它的一些基本性质： （1）∑∑=)()(i i X E X E（2）)()()(Y sE X rE sY rX E +=+（3）如果A X 是一个随机特征变量，那么)1()(==A A X P X E （4）如果)()()(Y E X E XY E =，则称Y X ,是相互独立的随机变量。

),(p Ω里面都有所谓的“随机特征变量”：设A 是概率空间),(p Ω里面的一个事件，关于A 的特征随机变量定义为：⎩⎨⎧∉∈=⇒Ω∈∀A AX A ωωωω,0,1)( 因此，对于每一个事件都有一个特征随机变量与之对应。

反过来，对于一个随机变量X 和一个实数t ，我们都可以将它与下面事件})(|{t X =Ω∈ωω下面介绍在实际用应中数学期望的分解技术（即，将一个随机变量X 分解成为若干个具有特殊性质的集合之特征随机变量之和）。

由于我们的概率空间一般都是有限的，在计算数学期望时往往要用到组合数学中的一个重要方法---“算两次方法(Double Counting)”.例如：X 是定义在概率空间p n G ,上用来计算一个由一些支撑子图组成的集合H 中元素的随机变量。

根据定义，∑∈=pn G G G P G X X E ,)()()(是用来计算形如),(0H G 的数目的，这里，.,00G H H H ⊆∈且).(G P 其中伴随着权函数 我们首先根据定义，从外部循环开始，先对于空间p n G ,中的每一个元素（随即图）G ，执行“程序”：在内部循环（H H ∈0）里面看每一个H 中的元素0H ，如果G H ⊆0，针对对子),(0H G 计算概率)(G P ；对称地，我们也可以将这个过程反转过来：先从每一个H 中的元素0H 开始，扫描p n G ,中的元素（随即图），如果有支撑子图p n G G ,∈ 使得G H ⊆0，则计算权)(G P 。

这个计算的本质就是计算概率)(0G H P ⊆。

如果使用特征函数技巧，则有下列分解∑∈=HH H XE X E 00)()(这里，0H X 是0H 的特征随机函数。

上式的本质来自于下面分解{})|1)(()()(,(00,0000000G H H H G XG XG X G G XX GH H H H HH H p n HH H ⊆∈====∈∀⇔=∑∑∑⊆∈∈∈下面我们将通过一个实际的应用说明数学期望的分解方法。

例1：设空间p n G ,和自然数3≥k 。

我们计算一个随机图p n G G ,∈中长为k 的圈之数目的均值。

解答：设X 是p n G ,中每一个随机图G 中含有-k 圈的数目的均值（期望），显然，X 是一个定义在p n G ,上，取值于N 中的随机变量。

容易看出：p n G ,中-k 圈的数目为kk n n n k n k 2)1)...(1(2/)(+--=对于每一个-k 圈C ，我们可以定义它的特征随机变量为}1,0{:,→p n C G X 使得⎩⎨⎧⊄⊆=⇒∈∀.,0;,1)(,G C G C G X G G C p n 根据定义，)1(=C X P 恰好追踪的是全体p n G ,中这样的元素G ，使得,G C ⊆kGC G G G G CC pG C P G P G XG P X E p n pn =⊆===∑∑⊆∈∈)()()()()(,,。

由于,∑=CCXXk CC p kk n n n X E X E ⨯+--==∑2)1)...(1()()(注意：这里)(G C P ⊆是事件G C ⊆的概率，因此，G 不是某个固定元素。

有点类似于下面关系∑≥=≥ax x P a X P )()(粗略地讲，离散数学中的概率方法是沿着下面的想法发展的：为了证明具有某一种特性的对象存在，人们先定义一个足够大的概率空间，然后证明这个空间里面具有这种特性的元素的概率值为正值，下面我们将要证明著名数学家Erdos 早年一个关于大围长和大色数图存在的定理。