福州市2019-2020年九年级上期末质量检测数学试卷及答案

福州市2019-2020年九年级上期末质量检测数学试卷及答案
—学年度第一学期九年级期末质量检测
数 学 试 卷
(满分150分；考试时间120分钟)
一、选择题(共10小题，每小题4分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂)
1．下列根式中，不是最简二次根式的是 A ．10 B ．8 C ． 6 D ． 2
2．下列图形依次是圆、正方形、平行四边形、正三角形，其中不是中心对称图形的是
3．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A ＝50°，则∠BOC 的度数是 A ．100° B ．80° C ．50° D ．40° 4．下列事件中，为必然事件的是
A ．购买一张彩票，一定中奖
B ．打开电视，正在播放广告
C ．一个袋中只有装有5个黑球，从中摸出一个球是黑球
D ．抛掷一枚硬币，正面向上
5．用扇形统计图反映地球上陆地面积与海洋面积所占比例时，陆地面积所对应的圆心角是108°，当宇宙中一块陨石落在地球上，则落在陆地上的概率是
A ．0.2
B ．0.3
C ．0.4
D ．0.5 6．方程x 2＝x 的解是
A ．x ＝1
B ．x ＝0
C ．x 1＝1，x 2＝0
D ．x 1＝－1，x 2＝0
7．在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式是
A ．y ＝(x －2)2＋2
B ．y ＝(x ―2)2―2
C ．y ＝(x ＋2)2＋2
D ．y ＝(x ＋2)2－2 8．若n (n ≠0)是关于x 的方程x 2＋mx ＋3n ＝0的一个根，则m ＋n 的值是 A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3
9．已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别是方程x 2－6x ＋5＝0的两根，且两圆的圆心距等于4，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是
A ．外离
B ．外切
C ．相交
D ．内切
10．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则点A (4a ＋2b ＋c ，abc )在 A ．第一象限 B ．第二象限
C
．第三象限
D ．第四象限
A B
C
D 第3题图
第5题图 第10题图 A
B
C D O 第14题图
二、填空题(共5小题，每小题4分．满分20分；请将正确答案填在答题卡相应位置) 11．使x －1有意义的x 的取值范围是_______________．
12．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字为6的概率是______________．
13．如果关于x 的方程x 2－2x ＋k ＝0(k 为常数)有两个相等的实数根，则k ＝_________．
14．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的⌒AB )，点O 是这段弧的圆心，C 是⌒AB 上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，AB ＝160m ，CD ＝40m ，则这段弯路的半径是___________m ．
15．已知二次函数y ＝―x 2―4x ＋3，则y 的最大值是____________；x ＋y 的最大值是____________．
三、解答题(满分90分；请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置，作图或添辅助线用铅笔画完，再用黑色签字笔描黑)
16．计算：(每小题7分，共14分)
(1) 8×12×18÷27； (2) 9x ＋6 x 4－2x 1
x
．
17．(本题15分)如图，△ABC 的顶点坐标分别为A (－3，1)，B (0，1)，C (0，3)，将△ABC 绕原点O 顺时针旋转90°，得到△A 1B 1C 1．
(1) 画出△A 1B 1C 1；
(2) 直接写出△A 1B 1C 1各顶点坐标；
(3) 若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点C 、B 1、C 1，求二次函
数的解析式；
(4) 请在右边的平面直角坐标系中画出(3)的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋
c
18．(本题12分)在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号1，2，3
，5．小明先随机地摸出一个小球，小强再随机地摸出一个小球．记小明摸出球的标号为x ，小强摸出球的标号为y ．小明和小强在此基础上共同协商一个游戏规则：当x 与y 的积为偶数时，小明获胜；否则小强获胜．
(1) 若小明摸出的球不放回，求小明获胜的概率；
(2) 若小明摸出的球放回后小强再随机摸球，问他们制定的游戏公平吗？请说明理由． 19．(本题10分)据媒体报道，某年旅游纯收入约2000万元，年旅游纯收入约2880万元，若年、年旅游纯收入逐年递增，请解答下列问题：
(1) 求这两年该旅游纯收入的年平均增长率；
(2) 如果今后两年仍保持相同的年平均增长率，请你预测到年该旅游纯收入约多少万元？
20．(本题12分)如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长
线交于点P ，且∠A ＝∠PCB ．
(1) 求证：PC 是⊙O 的切线； (2) 若CA ＝CP ，PB ＝1，求⌒BC 的弧长．
第20题图
21．(本题13分)在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠C ＝90°．将一块三角板的直角顶点放在斜边AB 的中点P 处，将三角板绕点P 旋转，三角板的两直角边分别交边AC 、CB 于点D 、E ．
(1) 如图①，当PD ⊥AC 时，则DC ＋CE 的值是____________．
(2) 如图②，当PD 与AC 不垂直时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
(3) 如图③，在∠DPE 内作∠MPN ＝45°，使得PM 、PN 分别交DC 、CE 于点M 、N ，连接MN ．那么△CMN 的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
22．(本题14分)如图，抛物线y ＝x 2－4x ＋1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．
(1) 求点A 、B 的坐标及线段AB 的长； (2) 求△ABC 的外接圆⊙D 的半径；
(3) 若(2)中的⊙D 交抛物线的对称轴于M 、N 两点(点M 在点N 的上方)，在对称轴右边的抛物线上有一动点P ，连接PM 、PN 、PC ，线段PC 交弦MN 于点G ．若PC 把图形PMCN (指圆弧⌒MCN 和线段PM 、PN 组成的图形)分成两部分，当这两部分面积之差等于4时，求出点P 的坐标．
A C D
E
P 第21题图① 第21题图② A B C D
E P 第21题图③ A C D E M
P
N 第22题图①
第22题图②
福州市—学年第一学期九年级期末质量检测
数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题(每小题4分，共40分)
1．B 2．D 3．A 4．C 5．B 6．C 7．A 8．A 9．D 10．D 二、填空题(每小题4分，共20分)：
11．x ≥1 12． 1 6 13．1 14．100 15．7； 21
4
(正确一个得2分)
三、解答题：(满分90分) 16．(每小题7分，共14分)
解：(1) 8×12×18÷27
＝22×23×32÷3 3 ……………………………………………………………4分 ＝8． ……………………………………………………………………………………7分
(2) 9x ＋6
x 4－2x 1 x
＝3x ＋3x －2x ……………………………………………………………………6分
＝
4x ． …………………………………………………………………………………7分
17．解：(1) △A 1B 1C 1如右下图； ………………………………………………………………3分
(2) A 1(1，3)，B 1(1，0)，C 1(3，0)； …………………………………………………
6分
(3) 由抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点C 、B 1、C 1，可得：
⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3
a ＋
b ＋
c ＝09a ＋3b ＋c ＝0
， ………………………………………………………………9分
解得：⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－4c ＝3， …………………………………10分
∴抛物线的解析式为：y ＝x 2－4x ＋3． ……………11分 (答案用一般式或顶点式表示，否则扣2分)
18．解：(1) 列树状图如下：
……………
…3分
由树状图可知：所有可能出现的结果共12种情况，并且每种情况出现的可能性相等．其中x 与y 的积为偶数有6种．
…………………………………………………………………………………4分
∴小明获胜的概率P (x 与y 的积为偶数)＝6 12 ＝ 1
2
． (6)
分
(2) 列树状图如下：
…………
…9分
由树状图可知，所有可能出现的结果共16种情况，并且每种情况出现的可能性相等．其中x 与y 的积为偶数有7种． ……………………………………………………………………………10分
∴小明获胜的概率P (x 与y 的积为偶数)＝7 16 ＜ 1
2
， (11)
1 2 3 5
1 2 3 5 1 2 3 5 1 2 3 5 小明 小强 小明 小强 1 2 3 5 1 2 3 5 1 2 3 5 1 2 3 5 1 2 3 5
分
(或证明
7 16 ≠9
16
也可) ∴游戏规则不公平． ……………………………………………………………………12分
19．解：(1) 设这两年该旅游纯收入的年平均增长率为x ．根据题意得： ………………1分
2000(1＋x )2＝2880． (4)
分
解得：x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2 (不合题意，舍
去)． ………………………6分
答：这两年该旅游纯收入的年平均增长率为20%． (7)
分
(2) 如果到2015年仍保持相同的年平均增长率，
则2015年该旅游纯收入为 2880(1＋0.2)2＝4147.2(万元)． ………………………9分
答：预测2015年该旅游纯收入约4147.2万元． ………………………10分 20．解：(1) 连接OC ． …………………………………………1分
∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，即∠ACO ＋∠OCB ＝90°． ………2分 ∵OA ＝OC ，
∴∠A ＝∠ACO ， ………………………………3分 ∵∠A ＝∠PCB ，
∴∠ACO ＝∠PCB ． ………………………………4分 ∴∠PCB ＋∠OCB ＝∠ACO ＋∠OCB ＝90°，即∠PCO ＝90°． ∴PC ⊥OC ． ………………………………5分 又∵OC 为⊙O 的半径，
∴PC 是⊙O 的切线． ………………………………6分
(2) ∵AC ＝PC ，
∴∠A ＝∠P ， ………………………………………7分 ∴∠PCB ＝∠A ＝∠P ．
∴BC ＝BP ＝1． ………………………………………8分 ∴∠CBO ＝∠P ＋∠PCB ＝2∠PCB ． 又∵∠COB ＝2∠A ＝2∠PCB ，
∴∠COB ＝∠CBO ， …………………………………9分 ∴BC ＝OC ． 又∵OB ＝OC ，
∴OB ＝OC ＝BC ＝1，即△OBC 为等边三角形． ……10分 ∴∠COB ＝60°． ………………………………11分
∴l ⌒BC ＝ 1×60π 180＝ 1
3
π． ……………………………12分 21．解：(1) DC ＋CE ＝2； …………………………………3分
(2) 结论成立.连接PC ，如图． …………………………4分 ∵△ABC 是等腰直角三角形，P 是AB 的中点，
∴CP ＝PB ，CP ⊥AB ，∠ACP ＝ 1
2∠ACB ＝45°．
∴∠ACP ＝∠B ＝45°，∠CPB ＝90°． …………………5分
A B C O
A D
P
∴∠BPE ＝90°－∠CPE ． 又∵∠DPC ＝90°－∠CPE ，
∴∠DPC ＝∠EPB ． ………………………………6分 ∴△PCD ≌△PBE ．
∴DC ＝EB ， …………………………………………7分 ∴DC ＋CE ＝EB ＋CE ＝BC ＝2． ……………………8分
(3) △CMN 的周长为定值，且周长为2． …………9分
在EB 上截取EF ＝DM ，如图， …………………10分 由(2)可知：PD ＝PE ，∠PDC ＝∠PEB ，
∴△PDM ≌△PEF ， ………………………………11分
∴∠DPM ＝∠EPF ，PM ＝PF ． ∵∠NPF ＝∠NPE ＋∠EPF ＝∠NPE ＋∠DPM ＝∠DPE －∠MPN ＝45°＝∠NPM ．
∴△PMN ≌△PFN ，
∴MN ＝NF ． ……………………………………………12分 ∴MC ＋CN ＋NM ＝MC ＋CN ＋NE ＋EF
＝MC ＋CE ＋DM ＝DC ＋CE ＝2．
∴△CMN 的周长是2． …………………………………13分 22．解：(1) 令y ＝0，得：x 2－4x ＋1＝0， …………………1分
解得：x 1＝2＋3，x 2＝2－3． …………………3分
∴点A 的坐标为(2－3，0)，点B 的坐标为(2＋3，0)． …4分 ∴AB 的长为23． ………………………………5分 (由韦达定理求出AB 也可)
(2) 由已知得点C 的坐标为(0，1)，
由y ＝x 2－4x ＋1＝(x ―2)2―3， 可知抛物线的对称轴为直线x ＝2， ……………………6分 设△ABC 的外接圆圆心D 的坐标为(2，n )，连接AD 、CD ，
∴DC ＝DA ，即22＋(n －1)2＝[2―(2―3)]2＋n 2，……………8分 解得：n ＝1， …………………………………………9分 ∴点D 的坐标为(2，1)，
∴△ABC 的外接圆⊙D 半径为2． ……………………10分 (3) 解法一：由(2)知，C 是弧MN 的中点．
在半径DN 上截取EN ＝ MG ， ……………………11分 又∵DM ＝DN ，∴DG ＝DE ．
则点G 与点E 关于点D 对称，连接CD 、CE 、PD 、PE ．由圆的对称性可得：图形PMC 的面积与图形PECN 的面积相等． …………………………………………12分 由PC 把图形PMCN (指圆弧⌒MCN 和线段PM 、PN 组成的图形)分成两部分，这两部分面积之差为4．可知△PCE 的面积为4．设点P 坐标为(m ，n ) ∴S △CEP ＝2S △CDP ＝2× 1
2
·CD ·n －1＝4，
∴n 1＝3，n 2＝－1． ……………………………………13分
由点P 在抛物线y ＝x 2－4x ＋1上，得：
x 2－4x ＋1＝3，解得：x 1＝2＋6，x 2＝2－6(舍去)；
A C
D E M
P N F
或x 2－4x ＋1＝－1，解得：x 3＝2＋2，x 4＝2－2(舍去)．
∴点P 的坐标为(2＋2，－1)或(2＋6，3)． ……………14分 解法二：
设点P 坐标为(m ，n )，点G 坐标为(2，c )，直线PC 的解析式为y ＝kx ＋b ，
得：⎩⎨⎧b ＝1
n ＝km ＋b ，解得：⎩⎪⎨
⎪⎧k ＝ n －1 m b ＝1
， ∴直线PC 的解析式为y ＝ n －1
m
x ＋1． …………………11分
当x ＝2时，c ＝ 2(n －1)
m
＋1．
由(2)知，C 是弧MN 的中点，
连接CD ， 图形PCN 的面积与图形PMC 的面积差为： ＝S 扇形DCN ＋S △GCD ＋S △PGN －(S 扇形MCD －S △GCD ＋S △PMG ) ＝2S △GCD ＋S △PGN －S △PMG
＝2×1 2 ×2(c －1)＋1 2 (1＋c )(m ―2)―1
2 (3―c )(m ―2)
＝2(c －1)＋1
2 (2c ―2)(m ―2)
＝(c －1)(2＋m ―2) ＝[ 2(c －1) m ＋1―1]m
＝2(n －1)＝4．
∴n 1＝3，n 2＝－1． ……………………………………13分 由点P 在抛物线y ＝x 2－4x ＋1上，得：
x 2－4x ＋1＝3，解得：x 1＝2＋6，x 2＝2－6(舍去)；
或x 2－4x ＋1＝－1，解得：x 3＝2＋2，x 4＝2－2(舍去)．
∴点P 的坐标为(2＋2，－1)或(2＋6
，3)． ……………14分。