第三章 水动力学基础7-8

vv A


A
u 2 dA
v2 A
动能修正系数是表示单位时间内通过断面的实际动量 与单位时间内以相应的断面平均流速通过的动量的比值。 常采用
1.0 ，因为 Q1 Q2 Q
故有： ΔM
ρQdt (β2 v2 β1 v1 )
于是得恒定总流的动量方程为：
ρQ(β2 v2 β1 v1 ) F
Rx p1 A1 1QV1
Rx p1 A1 1QV1
沿z方向列动量方程为：
沿y方向列动量方程为：
p2 A2 G Rz Q(2V2 0)
Ry p2 A2 Q(2V2 0) Ry p2 A2 2 QV2
Rz p2 A2 G 2 QV2
FP1 p1 A, FP 2 p2 A
沿x轴方向动量方程为 ρQβ(ν2 ν1cosθ ) p 1 A1cosθ p2 A2 FR x
因 ν1
Q A1
Q ν2 A2
2
代入上式可解出
FR x
1 cosθ βρQ ( ) p1 A1cosθ p2 A2 A2 A1
3.7.2 恒定总流动量方程式应用举例
应用实例（1）: 弯管内水流对管壁的作用力
弯管中水流为急变流，动水压 强分布规律和静水压强不同，因此 不能用静水压力的计算方法来计算 弯管中液体对管壁的作用力。但弯 管以外的渐变流段 p静=p动
取如图所示控制体，作用 于控制体上的力包括两端断面 上的动水压力，还有管壁对水 流的反作用力和重力。
上下游断面取 在渐变流段上。
分析问题时，首先要标清流速和作用力 的具体方向，然后选取合适的坐标轴，将各 矢量向坐标轴投影，把动量方程写成分量形 式求解。在这个过程中，要注意各投影分量 的正负号。
3
4 方程中应包括作用于控制 体内流体的一切外力：两断面 上的压力、重力、四周边界对 水流的作用力。不能将任何一 个外力遗漏。 5
水排
水排简介
东汉初（公元31年）杜诗制造的 “水排”，利用溪水流作原动力， 转 动鼓风机械供冶炼和铸造铁器农具。这种水平装置的转轮，利 用水流动量原理，是近代水轮机的先驱。水排主体包括装在同 一主轴上的两个水平木轮，将装有叶板的下轮放在河中，水流 冲击叶板即使下轮转动，上轮也同时转动，再带动旁边的绳轮 和连杆、平轴等传动机械，使鼓风的皮囊一开一合地连续运动， 即可把空气送到炼铁炉内。这种利用水流作用力推动轮叶的作 法，是完全和现代水力学的理论相符的，用于冶金、筛面、舂 米、磨面、纺纱和提水扬水工具。
应用动量方程时要注意以下各点：
1．建立坐标系：动量方程式是向量式，因此，必须首先选 定投影轴，标明正方向，其选择以计算方便为宜。
z FP1 FR
2
2
y
x
FG FP2
2．取脱离控制体：控制体一般取整个总流的边界作为控制 体边界，横向边界一般都是取过水断面。 3．动量方程式的左（右）端，必须是输出的动量减去输入的 动量，不可颠倒。 或（下游断面的动量）-（上游断面的动量）
总流的动量方程是一个矢量方程式。为了计算方便，在直角 坐标系中的投影为：
ρQ (β2 ν2 x β1ν1x ) Fx ρQ (β2 ν2 y β1ν1 y ) Fy ρQ (β2 ν2 z β1ν1z ) Fz
M 依动量定律： F t
弯管内水流对管壁的作用力
1 V1 Rz
管轴竖直放置 管轴水平放置
R
Fx V2 V1 Ry
P1=p1A1
1
R
Rx
P1=p1A1 x y
V2
z
2
2
G
x
y
P2=p2A· 2
P2=p2A· 2
沿x方向列动量方程为：
ห้องสมุดไป่ตู้
沿x方向列动量方程为：
p1 A1 Rx Q(0 1V1 )
p1 A1 Rx Q(0 1V1 )
3.7
恒定总流的动量方程
质点系运动的动量定律：质点系的动 量在某一方向的变化，等于作用于该质点 系上所有外力的冲量在同一方向上投影的 代数和。
3.7.1 恒定总流动量方程
1.在恒定总流中，取出某 一流段来研究。该流段两 端过水断面为1-1及2-2。 2.经微小时段 dt 后，设原流 段1-2移至新的位置1′-2′。 3.流段内动量的变化ΔM 应 等于1′-2′与1-2流段内液体 的动量 M1′-2′和 M1-2之差。
A1
A2
同理
M 22' ρ u 2 u2dtdA2 ρdt u 2 u2 dA2
A2
采用断面平均流速v代替u，有
M 11 dt u1u1dA1 dt1v1Q1
A1
M 22 dt u2u2 dA2 dt 2v2Q2
A2
其中
β

A
u udA
沿z轴动量方程
βρQ0 ( ν1sinθ) p1 A1sinθ G FR z
由上式可解出
sinθ FR z βρQ p1 A1 sinθ G A1
2
液体对弯管离心力的作用使弯头有发生位 移的趋势，同时由于动水压力的脉动影响可以 使管道产生振动，为此在工程大型管道转弯的 地方，都设置有体积较大的镇墩将弯道加以固 定。
本例中流体水平转 弯，铅垂方向无动量变 化，重力不出现。
6
7
对于未知的边界作用力可先 假定一个方向，如解出结果为正 值，说明原假设方向正确；如解 出结果为负值，则作用力方向与 原假设方向相反。
动量方程中出 现的是弯管对水流 的作用力，水流对 弯管的作用力是其 反作用力。
例3 有一沿铅垂直立墙壁敷设的弯管如图所示， 弯头转角为90o,起始断面1-1与终止断面2-2间的轴线长 度L为3.14m，两断面中心高差z为2m，已知1-1断面中 心处动水压强 p1 为117.6kN/m2，两断面之间水头损失 hw为0.1m，已知管径d为0.2m，试求当管中通过流量 Q 为0.06m3/s时，水流对弯头的作用力。
有 而
ΔM M12 M12
M12 M11 M12 M12 M12 M 22
故有
ΔM M 22 M11
ρu1dtdA1 u1

任取一微小流束MN，微小流束1-1′流段内液体的动量 对断面A1积分有 M11'

A1
ρ u1 u1dtdA1 ρdt u1 u1dA1
第三章 水动力学基础
本章学习基本要求：
了解描述流体运动的两种方法；
理解流动类型和流束与总流等相关概念； 掌握总流连续性方程、能量方程和动量方程及其应用； 理解量纲分析法。
第三章 水动力学基础
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 描述液体运动的两种方法 液体运动的基本概念 恒定总流的连续性方程 恒定元流的能量方程 恒定总流的能量方程 能量方程的应用 恒定总流的动量方程 量纲分析与 定理
0
0 Q( 2v2 y 1v1y ) P sin 60 R 1 y
1 2 πd 4 Q v1 v2 A v1x v1 cos 600 A
R’
R’ y 2 v2 2
y
v1 y v1 sin600
P2
R’x
1
v1 60o
1
代 入 解 得
v2 x v2
v2 y 0
P 1 p1 A P2 p2 A
Ry Rx
P1
2 1 1.0
o
x
R y tan( R , x ) R Rx R y Rx R为R’的反作用力
2 2
本例要点 1 动量方程是矢量式，式中 作用力、流速都是矢量。动量 方程式中流出的动量为正，流 入为负。 2
p2 p1 于是 Δz hw ρg ρg
p1 =117.6 kPa代入上式可求出： 将hw=0.1 m，
p1 p2 ρg (Δz hw ) ρg
117.6 9.8(2 0.1) 136.2kN / m 2 9.8
（3）求弯头内水重
2 π 2 3.14 (0.2) G ρgV ρg L d 9.8 3.14 0.98kN 4 4
ρQ1
v1 v2 v3 3 3 ρQ3 1 2 ρQ2
1
F Q22V2 Q33V3 Q11V1
2
一维化的恒定总流动量方程
( 2v2 v2 A2 1v1 v1 A1 ) F 或 Q( 2 v2 1v1 ) F
实际液体恒定总流的动量方程式
1′ 1
t时刻
u1
2 t+△t时刻
2′
即：单位时间内，物体动量 的增量等于物体所受的合外力 △t时段内，动量的增量：
dA1 1 2
u2 dA2 2′
代入动量定律，整理得： F Q(2V2 1V 1)
即为实际液体恒定总流的动量方程式
M M 1 2 M 1 2 M 2 2 M11 在均匀流或渐变流过水断面上 u2 u2 dtdA2 u1 u1dtdA1 u V A2 A1 单位时间内，通过所研究流段 V u dtdA V u dtdA 作用于总流流段上所有 下游断面流出的动量与上游断 2 2 2 1 1 1 2V2 dt U 2 d A2 1V1 dt U1d A1 A2 A1 外力的矢量和 面流入的动量之差 2 dtQ2V2 1 dtQV V1 ) 1 1 dtQ(2V2 1
例1
水流对弯管的作用力 已知
R’ R’ y 2 R’x v2 2 P2
弯管水平转过60度
d = 500mm Q = 1m3/s
p1 18 m( H 2 O) g p2 17 .7 m( H 2 O) g
y
1
v1 60o
1
P1
o
x
求
水流对弯管的 作用力R
Q( 2v2 x 1v1x ) P 1 cos60 P 2 Rx
解： （1）求管中流速
Q 0.06 0.06 v 1.91m /s A π d 2 3.14 0.2 2 4 4
（2）求2-2断面中心处动水压强
p2
以2-2断面为基准面，对1-1与2-2断面写能量方程为
p1 αν2 p2 αν2 Δz 0 hw ρg 2 g ρg 2 g
dm u1dtdA1 dM u1 dm u1 u1dtdA1
1′
动量方程的投影表达式：
F F F
x y z
Q(2V2 x 1V1x ) Q(2V2 y 1V1y ) Q(2V2 z 1V1z )
适用条件：不可压缩液体、恒定流、过水断面为均匀流或 渐变流过水断面、无支流的汇入与分出。 如图所示的一分叉管路，动量 方程式应为：
F 上游水流作用于断
面A1上的动水压力P1，下 游水流作用于断面A2上的 动水压力 P2 ，重力 G 和总 流侧壁边界对这段水流的 总作用力R’。其中只有重 力是质量力，其它都是表 面力。
R’
P2
A2
*************
v2
G
P1
v1
水流对侧 壁的作用力 R 是 R’ 的 反作用力
恒定总流动量方程是矢 量方程，实际使用时一般 都要写成分量形式
Q( 2v2 x 1v1x ) F x
Q( 2 v2 y 1v1 y ) F y
Q( 2v2 z 1v1z ) F z
恒定总流动量方程建 立了流出与流进控制体 的动量流量之差与控制 体内流体所受外力之间 的关系，避开了这段流 动内部的细节。对于有 些水力学问题，能量损 失事先难以确定，用动 量方程来进行分析常常 是方便的。
应用动量方程时要注意以下各点：
z FP1 FR
2
2
y
x
FG FP2
4．正确分析受力，未知力设定方向：对欲求的未知力，可以 暂时假定一个方向，若求得的该力的计算值为正，表明原假定 方向正确，若所求得的值为负，表明与原假定方向相反。 ５．设β１≈1，β２≈1。 6．动量方程只能求解一个未知数，若方程中未知数多于一个时， 必须借助于和其他方程式（如连续性方程、能量方程）联合求 解。