立体几何中的向量方法-二面角
用法向量求二面角的大小及其角度关系的确定
用法向量求二面角的大小及其角度关系的确定我们都知道，向量知识在数学学科里有其非常广泛的应用，尤其是在立体几何求角和距离时，若利用向量知识求解会得到事半功倍的效果，也正体现了向量知识的工具性和灵活性。
而在应用向量知识求解二面角的大小时，不是所有的二面角的两个半平面的法向量的夹角都和二面角相等，有时是互补，那么，什么时候相等，什么时候互补，如何确定其“角度之间的大小关系”一直以来是困扰很多教师和学生的一个难题。
向量有其自身的独特性质—自由性，当一个向量在空间的某一位置时，可以自由移动，只要满足其方向不变，其无论移动到任何位置，向量都是相等的。
根据这一性质，当我们把二面角的某个半平面的法向量求出后，把它的起点放到坐标原点，然后确定其向量的方向的指向，从而确定其法向量的夹角和二面角的大小的关系，在确定了法向量的夹角与二面角的关系后，再利用向量的数量积求出二面角的大小，下面就来具体阐述一下这一做法。
一．规定法向量的指向方向1.当法向量的方向指向二面角的内部时称之为向里指，如：图1中的向量。
1n 2.当法向量的方向指向二面角的外部时称之为向外指，如：图1中的向量。
2n 二．法向量的夹角和二面角大小的关系1.设 分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量21,n n βα,βα--l θ的夹角为，当两个法向量的方向都向里或都向外指时，则有21,n n ϕ（图2）；πϕθ=+2.当两个法向量的方向一个向里指一个向外指时（图3）ϕθ=图2图3三、在坐标系中做出法向量，从而确定法向量的方向指向1.已知二面角，若平面的法向量，由向量的相等条βα--l α)3,4,4(=n 件知，坐标是（4，4，3）的向量有无数多个，根据向量的自由性，我们只需n 做出由原点出发的一个向量便可，如图4所示，从而，我们很容易的判断出平面法向量的方向的指向，是指向二面角的里面。
α2.若平面法向量，同理可做出从原点出发的法向量，如图5α)1,3,4(--=n 所示，显然，方向是指向二面角的外面。
二面角向量法公式
二面角向量法公式在咱们学习立体几何的时候，有一个很重要的概念——二面角向量法公式。
这玩意儿可真是个厉害的工具，能帮咱们解决不少难题呢！先来说说啥是二面角。
想象一下，你有两块板子，它们斜着靠在一起，形成的那个“夹角”就是二面角。
要想准确算出这个角的大小，二面角向量法公式就派上用场啦。
公式是这样的：cosθ = |(n1·n2) / (|n1| × |n2|)| ，这里的 n1 和 n2 是两个平面的法向量。
可别被这一堆符号吓到，咱们慢慢捋一捋。
法向量又是啥呢？简单说，就是和平面垂直的向量。
比如说，有一个平面，你总能找到一个向量，它直直地立在这个平面上，那它就是法向量。
我记得我之前教过一个学生，叫小李。
这孩子呀，刚开始接触二面角向量法公式的时候，那叫一个迷糊。
有一次上课，我在黑板上写了一道例题，让大家试着用公式算一下二面角。
小李坐在那儿，抓耳挠腮，半天没动静。
我走过去一看，他连法向量都还没找对。
我就耐心地跟他说：“小李呀，你看这个平面的方程，先把它的系数找出来，然后设法向量是（x，y，z），根据垂直的条件列出方程组，就能求出法向量啦。
”小李似懂非懂地点点头，又埋头苦算了起来。
经过几次这样的耐心指导，小李终于慢慢掌握了窍门。
后来有一次小测验，碰到一道二面角的题目，他刷刷刷几下就把法向量求出来，然后顺利地用公式算出了二面角的大小。
看到他那自信满满的样子，我心里也特别欣慰。
那咱们再回到这个公式。
计算的时候，一定要注意向量的点乘和模长的计算，可别马虎。
有时候一个小数字算错了，整个结果就全错啦。
而且呀，用这个公式的时候，要先判断二面角是锐角还是钝角。
这就需要咱们对图形有一个清晰的认识。
比如说，如果两个法向量的方向都是从二面角内部指向外部，那算出的余弦值就是二面角的余弦值；如果一个从内部指向外部，一个从外部指向内部，那算出的余弦值的相反数才是二面角的余弦值。
总之，二面角向量法公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多做几道题，多琢磨琢磨，就能熟练掌握，让它成为咱们解决立体几何问题的有力武器。
立体几何向量法求二面角
立体几何向量法求二面角一、引言在几何学中，二面角是指两个平面或者一个平面和一个直线之间的夹角。
它是描述多面体中相邻两个面之间的夹角的重要参数。
在工程学、物理学和化学等领域，求解二面角是非常常见的问题。
本文将介绍立体几何向量法求解二面角的方法。
二、立体几何向量法立体几何向量法是一种非常有效的求解二面角的方法。
它基于向量叉积和点积的运算，通过将多面体分解成若干个三角形来计算二面角。
1. 向量叉积向量叉积是两个向量所构成的新向量，其大小等于两个向量所构成平行四边形的面积，方向垂直于这两个向量所构成平行四边形所在平面。
设有两个三维向量a = (a1, a2, a3)和b = (b1, b2, b3)，则它们的叉积c = a × b定义为：c = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)其中c表示a和b所构成平行四边形所在平面上一条垂直这个平行四边形的向量。
2. 向量点积向量点积是两个向量所构成的标量，其大小等于两个向量夹角的余弦值乘以两个向量的模长之积。
设有两个三维向量a = (a1, a2, a3)和b = (b1, b2, b3)，则它们的点积c = a · b定义为：c = a1b1 + a2b2 + a3b3其中c表示a和b之间夹角的余弦值乘以它们的模长之积。
3. 二面角计算公式二面角可以通过计算相邻两个面法线向量之间夹角的余弦值来求解。
具体地，设有一个多面体，其中相邻两个面A和B所对应的法线分别为nA和nB，则它们之间的二面角θAB可以通过以下公式计算：cosθAB = -nA·nB / |nA||nB|其中“·”表示向量点积，“| |”表示向量模长。
4. 多面体分解在实际问题中，通常需要将多面体分解成若干个三角形来计算二面角。
具体地，考虑一个四面体（如图1），其中相邻两个三角形ABC和ABD所对应的法线分别为nABC和nABD，则它们之间的二面角θABC-D可以通过以下公式计算：cosθABC-D = -nABC·nABD / |nABC||nABD|其中“·”表示向量点积，“| |”表示向量模长。
空间向量与立体几何向量法求二面角(二
D
AB CD
面面角：
②法向量法n1，n2源自 n1，n2n2
n1，n2
n2
n1，n2
n1
n1
l
l
cos cos n1, n2 cos cos n1, n2
注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角
(2)求证：PB⊥平面EFD
（2）证明：依题意得B(1,1,0),PB (1,1,1)
又DE (0, 1 , 1),故PB DE 0 1 1 0
22
所以PB DE
2 2Z
由已知EF PB,
P
且EF DE E,
所以PB 平面EFD
E F
D
C Y
A B
X
BC SO，BC AO，SO AO O BC 平面SOA， BC SA
(2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。 z
解：由(1)知SO，OA，BC两两垂直。
S
故以OA、OB、OS为正交基底建立
空间直角坐标系如图。则 S(0，0，1)，D( 2，- 2 2，0)，
C O By
四边形，侧面SBC 底面ABCD。已知 ABC 450
AB=2，BC= 2 2 ，SA=SB= 3 .
(1)求证 SA BC.
(2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。
S
C
OB
D
A
证明：(1)取BC中点O，连接OA、OS。 S
则由BC 2 2得OB 2，
又AB 2，ABC 450， 得OA 2
依题意得A(1, 0, 0), P(0, 0,1), P
二面角的求法和利用空间向量解决立体几何问题
二面角的定义:
1、定义
从一条直线出发的两个半平面所组成
的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角
l
的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.
2、二面角的表示方法
二面角－AB－
A
C
B
二面角－ l－
D
l
B
A
二面角C－AB－ D
F
E
A
B
D
C
二面角C－AB－ E
二面角的平面角:
以二面角的棱上任意一点为端
点, 在两个面内分别作垂直于棱的 两条射线, 这两条射线所成的角叫 做二面角的平面角。
面面平行
∥ n1 ∥ n2 n1 kn2
二、垂直关系：
设直线 l, m 的方向向量分别为 AB,CD ，
平面 , 的法向量分别为 n1 , n2 ， 线线垂直:
l ⊥ m AB ⊥ CD AB • CD 0 ；
Bl
A
平面 内的两个相交向量垂直
(4)解方程组，令其中一个量的值求另外两个， 即得法向量。
一、平行关系：
设直线 l, m 的方向向量分别为 AB,CD ，
lm
BD
平面 , 的法向量分别为
线线平行:
n1
, n2
，
l ∥ m AB ∥ CD AB kCD
；
x1 y1
=
A
x2 y2
=
C
x3 y3
线面平行
AB
l ∥ AB n1 AB n1 0 ；
分别作垂直于a 的两条射线OA,OB，则∠AOB就 是此二面角的平面角。
2、垂线法: 在一个平面 内选一点A向另一平面 作 垂线AB，
垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足 为O， 连结AO，则∠AOB就是二面角的平面角。
二面角求法及经典题型归纳
二面角求法归纳18题，通常是立体几何（12-14分），本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明，考查二面角的求法以及利用向量知识解决几何问题的能力，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。
以下是求二面角的五种方法总结，及题形归纳。
定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。
如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。
例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60°（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。
证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。
在等边三角形ABM 中过点B作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点，∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。
则GFB ∠即为所求二面角. ∵2=SM ，则22=GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3=BF在△GAB 中，26=AG ，2=AB ，090=∠GAB ，∴211423=+=BG 366232222113212cos 222-=-=⨯⨯-+=⋅-+=∠FB GF BG FB GF BFG FGFG∴二面角S AM B --的大小为)36arccos(-例2. （2010全国I 理，19题，12分）如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC . （Ⅰ）证明：SE=2EB ；（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 . (Ⅱ) 由225,1,2,,SA SD AD AB SE EB AB SA =+===⊥知22121,AD=133AE SA AB ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又.故ADE ∆为等腰三角形.取ED 中点F,连接AF,则226,3AF DE AF AD DF ⊥=-=. 连接FG ，则//,FG EC FG DE ⊥.所以，AFG ∠是二面角A DE C --的平面角. 连接AG,A G=2,2263FG DG DF =-=, 2221cos 22AF FG AG AFG AF FG +-∠==-,所以，二面角A DE C --的大小为120°.例3（2010浙江省理，20题，15分）如图， 在矩形ABCD 中，点,E F 分别 在线段,AB AD 上，243AE EB AF FD ====.沿直线EF 将 AEF 翻折成'A EF ，使平面'A EF BEF ⊥平面.（Ⅰ）求二面角'A FD C --的余弦值；（Ⅱ）点,M N 分别在线段,FD BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C 与'A 重合，求线段FM 的长.练习（2008山东）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，P A⊥平面ABCD，60ABC∠=︒,E，F分别是BC, PC的中点.（Ⅰ）证明：AE⊥PD;（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面P AD所成最大角的正切值为62，求二面角E—AF—C的余弦值.分析：第1题容易发现，可通过证AE⊥AD后推出AE⊥平面APD，使命题获证，而第2题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱AF上找到可计算二面角的平面角的顶点S，和两边SE与SC，进而计算二面角的余弦值。
立体几何中的向量方法及二面角的平面角求法总结
讲义：立体几何中的向量方法及二面角的平面角求法总结一、几种角的范围1、 _________________________________ 二面角平面角的范围：2、 _________________________________ 线面角的范围：3、 _________________________________ 直线倾斜角范围：4、异面直线夹角范围：_______________5、向量夹角范围：_________________二、立体几何中的向量方法1.三个重要向量(1)直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的向量，一条直线的方向向量有 ______ .(2)平面的法向量：直线I丄平面a取直线I的方向向量，则这个向量叫做平面a的法向量.显然一个平面的法向量有 ____ ，它们是共线向量.(3)直线的正法向量：直线L:Ax+By+C=O的正法向量为n=(A,B).2.直线的方向向量与平面的法向量在确定直线和平面位置关系中的应用(1)直线l i的方向向量为u 1= (a i, b i, c i),直线l2的方向向量为比=(a2, b2, C2).女口果丨1 //丨2,那么U1 // U2? 5=右2? _____________________________ ；女口果丨1丄l2, 那么U1丄U2? U1 U2= 0? ________________⑵直线I的方向向量为u= (a1, b1, C1),平面a的法向量为n= (a2, b2, C2).若I // a 贝U u 丄n? u n = 0? _________________若I 丄a 贝U u // n? u = k n? _____________________(3)平面a的法向量为U1 = (a1, b1, C1)，平面B的法向量为u2= (a2, b2, C2).若all B U1 / U2? U1 = k u2? (a1, b1, G)=_________ ；若a丄B 贝y U1 丄U2? U1 U2= 0? ____________________3.利用空间向量求空间角(1)求两条异面直线所成的角：设a, b分别是两异面直线I1, I2的方向向量，则(2) 求直线与平面所成的角：设直线I 的方向向量为a ,平面a 的法向量为n ,直线I 与平面a 所成的角为 0,则 si nA |cos 〈 a , n > |=(3) 求二面角的大小：(I )若 AB , CD 分别是二面角a — I — B 的两个半平面内与棱I 垂直的异面直线，则二面角的大 小就是向量AB , CD 的夹角(如图①所示).(H )设n i , n 2分别是二面角a — I — B 的两个半平面a, B 的法向量，贝U 向量n i 与n 2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的大小(如图②③).4. 求点面距：平面a 外一点P 到平面a 的距离为:其中n 为平面a 的法向量，PQ 为平面a 的斜线，Q 为斜足 5. 平面法向量的求法设出平面的一个法向量n = (x , y , z),利用其与该平面内的两个不共线向量垂直，即数量积为 0, 列出方程组，两个方程，三个未知数，此时给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一个非零 解,即得到这个法向量的坐标.注意，赋值不同得到法向量的坐标也不同， 法向量的坐标不唯一. 6. 射影面积公式：二面角的平面角为 a ,则cos a=7. 利用空间向量求角要注意的问题(1)异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角都可以转化成空间向量的夹角来求.⑵空间向量的夹角与所求角的范围不一定相同，如两向量的夹角范围是[0, n,两异面直线所成的角的范围是o , n . (3)用平面的法向量求二面角时，二面角的大小与两平面法向量的夹角有相等和互补两种情况 .三、二面角的平面角的求法1、定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 ，这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线d=② ③所成的角的大小就是二面角的平面角。
高中数学立体几何——二面角求法
二面角求法1 .定义法即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.例1 . 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求 二面角A-BD-C 1的正切值为 .解析：易知∠COC 1是二面角C-BD-C 1的平面角，且tan ∠COC 1=2。
例2.在锥体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形，且∠DAB=60︒，PA PD ==E,F 分别是BC,PC 的中点.求：二面角P-AD-B 的余弦值.解：由（1）知PGB ∠为二面角P AD B --的平面角，在Rt PGA ∆中，2217()24PG =-=；在Rt BGA ∆中，222131()24BG =-=；在PGB ∆中，222cos 2PG BG PB PGB PG BG +-∠==⋅.2 三垂线法此法最基本的一个模型为：如图3，设锐二面角βα--l ，过面α 内一点P 作PA ⊥α于A ，作AB ⊥l 于B ，连接PB ，由三垂线定理得PB ⊥l ，则∠PBA 为二面角βα--l 的平面角，故称此法为三垂线法.例3.如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l ，A ∈α，B ∈β，点A 在直线l 上的射影为A 1，点B 在l 的射影为B 1，已知AB=2，AA 1=1，BB 1=2， 求：二面角A 1－AB －B 1的正弦值.分析与略解：作A 1E ⊥AB 1于AB 1于E ，则可证A 1E ⊥平面AB 1B. 过E 作EF ⊥AB 交AB 于F ，连接A 1F ，则得A 1F ⊥AB ，∴∠A 1FE 就是所求二面角的平面角.依次可求得D B 1图1AO A 1CBD 1C 1O 1A 图3 αβPBl图4 B 1A αβA 1Bl EF GPAＳBＳCＳDＳFEAB 1=B 1B=2，A 1B=3，A 1E=22，A 1F=23，则在Rt △A 1EF 中，sin ∠A 1FE=A 1E A 1F =63 .例4.如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD,点E 在线段PC 上,PC ⊥平面BDE.若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A 的正切值.解:由(1)得BD ⊥平面PAC, ∴BD ⊥AC.又四边形ABCD 为矩形,∴四边形ABCD 是正方形.设AC 交BD 于O 点,∵PC ⊥平面BDE,∴∠BEO 即为二面角B-PC-A 的平面角. ∵PA=1,AD=2,∴AC=2,BO=OC=,∴PC==3,又OE===在直角三角形BEO 中,tan ∠BEO===3,∴二面角B-PC-A 的正切值为3.例5. 如图, 四棱锥P-ABCD 中, 底面ABCD 为矩形, PA ⊥底面ABCD, PA=AB=, 点E 是棱PB 的中点. (1) 若AD=, 求二面角A-EC-D 的平面角的余弦值.(1) 过点D 作DF ⊥CE, 交CE 于F, 过点F 作FG ⊥CE, 交AC 于G, 则∠DFG 为所求的二面角的平面角.由(Ⅰ) 知BC ⊥平面PAB, 又AD ∥BC, 得AD ⊥平面PAB, 故AD ⊥AE, 从而DE==. 在Rt △CBE 中, CE==. 由CD=, 所以△CDE 为等边三角形,故F 为CE 的中点, 且DF=CD ·sin =.因为AE ⊥平面PBC, 故AE ⊥CE, 又FG ⊥CE, 知FG=AE, 从而FG=, 且G 点为AC 的中点.连结DG, 则在Rt △ADG 中, DG=AC==.所以cos ∠DFG==.3、向量法向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。
求二面角的方法
解题宝典空间角主要包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角.二面角是指从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.求二面角的大小是一类常见的问题.本文重点介绍求二面角大小的四种方法:定义法、向量法、面积投影法、三垂线定理法.一、定义法过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角.一般地，要求得二面角的大小只需要求出二面角的平面角的大小即可.在求二面角的大小时，我们可以根据二面角的平面角的定义来求解.首先在二面角的棱上选取一点，在两个面内作棱的垂线，则两条垂线的夹角，即为二面角的平面角，求得平面角的大小即可得到二面角的大小.例题：如图1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）证明：BE⊥EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B-EC-C1正弦值．图1图2解：（1）略；（2）由（1）知∠BEB1=90°．由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB=45°，故AE=AB，AA1=2AB．如图2所示，在平面BCE内过B点作BM⊥CE于点M，取棱CC1的中点N，连结MN,EN.因为EC1=EC，所以EN⊥CC1，所以ΔCEN为直角三角形.因为BC⊥BE，所以ΔCEB为直角三角形.令AB=1，则BC=NC=1,BE=EN=2,CE=3，所以RtΔBEC≌RtΔNEC，所以MN⊥EC，则∠BMN即为二面角B-EC-C1的平面角.在RtΔBEC中，sin∠BCE=BE CE=BM BC，所以BM=，MN.在ΔBMN中，cos∠BMN=BM2+MN2-BN22BM∙MN=-12，则sin∠BMN=，故二面角B-EC-C1正弦值.利用定义法求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角.在作图的过程中要充分利用题目条件中隐含的垂直关系，如等腰三角形三线合一的性质、菱形或正方形的对角线相互垂直、直角三角形中勾股定理及其逆定理等.另外在构造二面角的平面角时，常用的方法还有垂面法，即经过两个面的垂线的平面与两个平面的交线所夹的角即为二面角的平面角.二、三垂线法三垂线法是指利用三垂线定理求作二面角的平面角，求得二面角大小的方法.在求作二面角的平面角时，需过其中一个面内的一点作另一个面的垂线，再经过垂足作棱的垂线，连接该点与棱上的垂足，进而构造出与二面角的平面角相关的角，再结合图形中的垂直关系求得二面角的大小.以上述例题为例.解：如图3，连接BD,AC，交点为O，过点O作CE的垂线，垂足为P，连接BP.由三垂线定理可知BP垂直于CE，所以∠BPO即为所求二面角平面角的补角.设AB=1，由（1）可知AE=1，所以BE=2，CE=3.因为BC⊥BE，所以ΔBCE为直角三角形，所以RtΔBCP∽RtΔBCE.陈秀林图342解题宝典所以BP.在Rt△BOP 中，sin ∠BPO =BC BP=，即所求二面角正弦值为.此法与定义法的不同之处是将所求二面角的相关角置于直角三角形中，从而使解题的过程更加简洁.三、向量法向量法是通过空间向量的坐标运算，将所求的二面角转化为两个平面的法向量的夹角的方法.解题的思路是通过建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，根据向量的数量积公式求出夹角，再利用法向量的夹角与二面角的关系来确定二面角的大小.值得说明的是，二面角的平面角与法向量的夹角的关系是相等或互补.以上述例题为例.解：（2）由（1）知∠BEB 1=90°.由题设知Rt△ABE ≌Rt△A 1B 1E ，所以∠AEB =45°，故AE =AB ，AA 1=2AB ．以D 为坐标原点，建立如图4所示的空间直角坐标系D -xyz ，则C (0,1,0),B (1,1,0),C 1(0,1,2),E (1,0,1)，所以 CB =(1,0,0)，CE =(1,-1,1)，CC 1=(0,0,2)．设平面BCE 的法向量为n =(x ,y ,z )，则ìíî CB ∙n =0,CE ∙n =0,即{x =0,x -y +z =0,令y =-1,得n =(0,-1,-1).设平面ECC 1的法向量为m =(x ,y ,z )，则ìíî CC 1∙m =0,CE ∙m =0,即{2z =0,x -y +z =0,令x =1得m=(1,1,0)．于是cos m,n =m ∙n |m |∙|n |=-12.所以二面角B -EC-C 1平面角正弦值为．向量的引入降低了立体几何问题的难度，但对同学们的运算能力提出了更高的要求.求法向量的原则是先找后求，即如果存在一条已知的直线与二面角的某一个平面垂直，则该直线的方向向量即可视为此平面的法向量.四、投影法投影法，即为构造出二面角的两个平面中的一个平面在另外一个平面内的投影，从而利用此平面与其投影的夹角θ来判断所求二面角的大小的方法.若该平面与其投影的面积分别为S 1,S 2，则cos θ=S 1S 2.θ与所求二面角的关系有两种，即相等或互补.以上述例题为例.解：如图5，连接BD 交AC 于点O ，连接EO .因为四边形ABCD 为正方形，所以BD ⊥AC ，所以点B 在面C 1CE 内的投影，三角形EOC 为ECB 的投影.设棱AB =1，由（1）可知AE =1，则AC =BE =2，EC =3，所以三角形OCE 的面积为S 1=12∙OC ∙AE =12，三角形BCE 的面积为S 2=12BC ∙BE =12×1×2.所以S 2S 1=42=12.所以面BCE 与面ECC 1所成锐二面角的余弦值为12，故二面角的正弦值为.在本题中，三角形ECB 与其在面ECC 1上的投影EOC 的夹角即为所求二面角的补角，而两角互补，则其正弦值相等，所以可直接利用投影法来求解.一般地，求二面角的问题主要有两类，即求有棱二面角的大小和无棱二面角的大小，虽然图形有所不同，但解题的方法基本上一致.同学们在解题的过程中要注意仔细审题，择优而用.（作者单位：江苏省大丰高级中学）图5图443。
立体几何二面角专题方法总结(定义法、向量法、三垂线法、补棱法)
3.三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过这个平面的一条 斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
如图 1，在二面角 —l 一 中，过平面 内一点 A 作 AO⊥平面 ，垂足为 O，过点 O 作 OB⊥l 于 B(过 A 点作 AB⊥于 B)，连结 AB(或 OB)，由三垂线定理(或逆定理)知 AB⊥ l(或 OB⊥l)，则∠ABO 为二面角 —l— 的平面角．
4 . 三垂线法三部曲（两垂一连） （ 1 ）作面的垂线（任一个半平面的垂线） （ 2 ）作棱的垂线
（ 3 ）连线 例 1 已知斜三棱柱 ABC—A1B1C1 中，∠BCA=90°，AC=BC，A1 在底面 ABC 的射影恰为 AC 的中点 M，又知 AA1 与底面 ABC 所成的角为 60°． (1)求证：BC⊥平面 AA1CC1； (2)求二面角 B 一 AA1—C 的正切值．
3
五、 射影法
若多边形面积为 S, 它在一个平面上的射影的面积为 S0, 则多边形所在平面与这个平面所 成的二面角 θ, 满足 S0=Scosθ, 利用这个公式求二面角的方法称“射影法”, 射影法对于 解决棱不太明显的二面角问题有独特的作用.
例 1 过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA⊥平面 ABCD, 若 AB=PA, 则平
→→
→
b=
a b
．利用这一结论，我们可以较方便地处理立体几何中二面角的问题．
→
→
| a ||b|
例 1 在四棱锥 V-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三 角形，平面 VAD⊥底面 ABCD．求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的余 弦值．
用法向量求二面角
探究新知
• 结论 •
法向量的夹角与二面角的大小是相等或
互补。
尝试：已知两平面的法向量分别为m=（0，1，0），
n=（0，1，1）,则两平面所成的二面角为( C )
A.45°
B.135°
C.45°或135°
D.90°
解析
cos m , n
|
m m
n || n
|
1 1
2
2, 2
即〈m,n〉=45°，其补角为135°.
启示：
求二面角的平面角可转化为求两法向量的夹角。
如图，ABCD是直角梯形，ABC BAD 90,
又SA 面ABCD,
SA
AB
BC
1,
AD
1 2
,
求面
SCD
与面SAB 所成的二面角的余弦值。
解：建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz,
则 A(0,0,0), 设n (x, y,
又SA 面ABCD, SA AB BC 1, AD 1 ,
2
求面SCD与面 SAB 所成的二面角的余弦值。
S
你能找到所求 二面角的棱吗？
B
C
A
D
探究新知
问题：
二面角的平面角与两个半平面的法向量的夹角有没
有关系？
n1 n2
l
探究新知
n1, n2
探究新知
n1, n2
D(1 ,0,0), C (1,1,0), S(0,0,1), 2
z)是面SCD的法向量， 则
S
z
n DC,
n
利用法向量求二面角5则
利用法向量求二面角5则以下是网友分享的关于利用法向量求二面角的资料5篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。
关于利用法向量求二面角的问题（一）关于利用法向量求二面角的问题我们知道法向量是解决立体几何问题的有力工具，但是在利用法向量在求二面角的时候，求出的两个法向量的夹角是与所求二面角相等还是互补，却没有认真思考过，这个还得从两个向量的外积说起.两个向量外积的定义：两个向量a与b的外积（也称向量积）是一个向量，即为a b，它的长度（模）为| |=||||，它的方向与和都垂直，并且按,, 的顺序构成右手标架（如下图所示）若是 ，则所得向量长度与 相等，但是方向却刚好相反，所以向量外积不满足交换律.我们可以根据这个定义来确定平面法向量的方向.设平面内有三个点A(x1y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3)，则(x2 x1,y2 y1，z2 z1)， (x3 x1,y3 y1,z3 z1)，所以y2 y1y3 y1z2 z1z3 z1z2 z1z3 z1x2 x1x3 x1x2 x1x3 x1y2 y1y3 y1(，，），很明显，向量 可以为平面 的法向量.此时 的方向应该是垂直平面 并且向上.我们利用这个结论来求二面的大小. 说明：行列式abcdad b c，上面有关内容请参考高等代数的相关内容.如图所示，设平面 与平面 所成的二面角为 ，法向量分别为,，显然与所成的角为 ，且 ，即此时与所成的角 就是平面 与平面 所成的二面角为 ，从这里我们可以看出，只要平面 与平面 的法向量,方向一个朝向二面角的里面，一个朝向二面角的外面，求出的法向量的夹角即为所求二面角.那怎样做到这一点呢？那就要用到我们前面所讲到的右手标架.如图，我们来求平面与平面 所成的二面角 ，设 (x1,y1,z1)，AC (x2,y2,z2)，x1y1z1x1y1z1，且设z若x1y1x2y2，yz1x1z2x2，xy1z1y2z2x2y2z2x2y2z2则平面 的一个法向量 (x,y,z)，根据右手标架应该是竖直向上，即朝向这个二面角的外面，此时我们求平面 的法向量方向应该是朝向二面角的里面.设 (x3,y3,z3)， (x4,y4,z4),要使平面 的法向量方向朝向二面角的里面，根据右手标架，我们计算应该是 ，若x4y4z4x4y4z4x3y3z3x3y3z3，并且设cx4y4x3y3b ，x4y4x3y3，ay4z4y3z3，则平面 的一个法向量 (a,b,c)根据右手标架，此时n的方向就是朝向二面角的外面.那么m与n的夹角即为所求二面角.cosxa y b z cx y z a b c22222当然，这里需要注意的是，我们这里建立的空间直角坐标系一定要是右手直角坐标系.利用向量求二面角大小的又一方法（二）利用向量求二面角大小的又一方法福建南安国光中学黄耿跃文[1]给出一种判定“二面角的平面角与其面的法向量夹角的关系”,读完这篇文章后,获益匪浅.笔者通过研究给出另一种利用向量求二面角大小的可行性方法,此法可以避免产生二面角的平面角与其面的法向量夹角的关系误判,而且思路更直观、清晰.定理1如下左图已知二面角αLβ的平面角为θ,A∈α且AL,B∈β且BL,AM⊥L于MJJJ,BNGJJJ⊥L于N,则cosθ=|JJJJGMANBMA||JJJJNBG|.由二面角的平面角的定义易证定理1.定理2如上右图,空间任意一条直线L,A,B是直线L上的两个点,M是空间任意一点,MN⊥L于N,则JJJJNMG=JJJJAMGJJJJAGJJJG|JJJJMABJJJGABG|2AB.证明∵向量JJJGAN为JJJJAMG在JJJABG影向量,设GJJJ方向上的投e=JJJJJABGJJJGJJJJG|ABG|为AB方向的单位向量,JJJJ∴JJJGAN=AMJJJABGGAMGJJJABGJJJ|JJJJABG|e=ABG,|JJJJJABG2∴JJJJNMG=JJJJAMGJJJGJJJJ|GJJJGAN=JJJJAMGAMABJJJG|JJJJJAB.ABG|2例1(2004湖南理19)如图,在底面是菱形的四棱锥PABCD 中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=2a,点E在PD上,且PE:ED=2:1.(I)证明:PA⊥平面ABCD;(II)求以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角θ的大小;(III)在棱PC上是否存在一点F,使BF//平面AEC？证明你的结论.解(I)略;(II)以A为坐标原点,直线AD、AP分别为y轴、z轴,过点A垂直平面PAD的直线为x轴,建立空间直角坐标系如右图.则A(0,0,0),c(32a,12a,0),JDJG=(0,a,0),E(0,2JJJ3a,13a),于是AEG=(0,23a,13a),JJJGAC=(31JJJG2a,2a,0),AD=(0,a,0).作EM⊥AC于M,DN⊥AC于N,则由定理1JJJJ得MEG:与JJJGND所成的角的大小为EAC与DAC为面的二面角θ的大小.由定理2可得JJJJMEG=JJJAEGJJJJAMG=JJJAEGJJJAEGJJJG|JJJACGACJJJG|2AC121a2=(0,a,a)3333a2(12a,2a,0)=(36a,12a,13a).JJJGND=JJJGADJJJGAN=JJJGJJJADADGJJJG |JJJACGACJJJG|2AC12=(0,a,0)2aa2(32a,12a,0)=(34a,34a,0),JJJJG∴cosθ=MEJJJNDG|JJJMEJG||JJJGND|293a2+3a2=248342=2.6a34a∴以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角θ的大小为30°.例2(2004浙江)如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=2,AF=1,M是线段EF的中点.(I)求证AM⊥平面BDF;(II)求二面角ADFB的大小.解(I)略.(II)如图建立空间直角坐标Cxyz,∵A(2,2,0),B(0,2,0),D(2,0,0),F(2,∴JJJG2,1).DF=JJJDBGJJJDA=G(0,2,1),(0,2,0),JJJG=(2,2,0),DF=(0,2,1).作AM⊥DF于M,BN⊥DF的延长线于N,JJJG则由定理1得:MA与JJJNBG所成的解θ的大小为二面角ADFB的大小.由定理2可得:JJJGMA=JJJDAGJJJJDMG=JJJDAGJJJDAGJJJG DFJJJG|JJJGDF|2DF=(0,2,0)23(0,2,1)=(0,2,2),JJJNBG=JJJGDBJJJJDNGJJJG 3JJJG3=JJJDBGDBDFJJJG|JJJGDF|2DF=(2,2,0)2(0,2,1)/3=(2,JJJG2JJJ/3,2/3),cosθ=MANBG|JJJGMA||JJJNBG|6=91(6/3)(24/3)=2.∴二面角ADFB的大小为60°.例3(2005福建)如图,直二面角30DABE中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.(I)求证:AE⊥平面BCE;(II)求二面角BACE的大小;(III)求点D到平面ACE的距离.解(I)略;(Ⅱ)如图所示,以线段AB的中点原点O,OE所在的直线为x 轴,AB所在的直线为y轴,过O作平行于AD的直线为z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,则A(0,1,0),E(1,0,0),C(0,1,2)B(0,1,0)JJJG=JJJ(0,2,2),JJJAEG,AC=(1,1,0),ABG=(0,2,0).作BM⊥AC于M,EN⊥AC理1得,JJJ于NEGN,则由定与JJJGMB所成的角θ的大小为二面角BACE的大小由定理JJJ2得NEG=JJJAEGJJJG=JJJAEGJJJANAEGJJJG|JJJACGACJJJ|2ACG=(1,1,0)2(0,2,2)=11JJJG2),MB=JJJ8(0,2,ABGJJJJGJJJAGMJJJG=JJJABGAB|JJJACJJJGACG|2AC=(0,2,0)4(0,2,2)=(0,1,1)JJJGJJJG8,cosθ=NEMB13|JJJNEG||JJJGMB|=3=3,22∴二面角BACE的大小为arccos33.参考文献[1]郑剑晖,郑毓青.二面角的平面角与其面的法向量夹角的关系判定.2005.1.利用空间向量求二面角的判定方法（三）利用空间向量求二面角的判定方法法一：若点A、B分别为二面角α−l−β的两个半平面α与β上的任两点，且A∉l,B∉l，n1、n2分别为平面α、β的法向量，则（1）当（ABn1）（ABn2）>0 时，二面角α−l−β的大小与两个法向量夹角相等；（2）当（ABn1）（ABn2）互补；l法二：若点P为二面角α−l−β的棱l上的任一点，Q 为两个二面角α−l−β内的任一点, n1、n2分别为平面α、β的法向量，则（1）当（PQn1）（PQn2）相等；（1）当（PQn1）（PQn2）>0 时，二面角α−l−β的大小与两个法向量夹角互补；l利用法向量求二面角的正负（四）利用法向量求二面角的平面角授课教师：陈诚班级：高二（14）班时间：2010-01-14 【教学目标】1、让学生初步理解二面角的平面角与半平面法向量的关系，并能解决与之有关的简单问题。
线线角、线面角,二面角(高考立体几何法宝)
1A 1B 1C 1D ABCD E FG线线角、线面角、二面角的求法1.空间向量的直角坐标运算律：⑴两个非零向量与垂直的充要条件是1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=⑵两个非零向量与平行的充要条件是a ·b =±|a ||b | 2.向量的数量积公式若a 与b 的夹角为θ(0≤θ≤π),且123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =,则 （1）点乘公式： a ·b =|a ||b | cos θ（2）模长公式：则212||a a a a a =⋅=++2||b b b b =⋅=+（3）夹角公式：2cos ||||a ba b a b a ⋅⋅==⋅+（4）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2||(AB AB x ==,A B d =①两条异面直线a 、b 间夹角0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭在直线a 上取两点A 、B ，在直线b 上取两点C 、D ，若直线a 与b 的夹角为θ，则cos |cos ,|AB CD θ=<>=例1 (福建卷)如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（ ）A ．515arccosB ．4π C ．510arccosD ．2π（向量法，传统法）PBCA例 2 (2005年全国高考天津卷)如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒且PA AC BC a ===，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于_____．解：（1）向量法（2）割补法：将此多面体补成正方体'''DBCA D B C P -，PB 与AC 所成的角的大小即此正方体主对角线PB 与棱BD 所成角的大小，在Rt △PDB中，即t a n 2PDDBA DB∠==． 点评：本题是将三棱柱补成正方体'''DBCA D B C P -②直线a 与平面α所成的角0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦(重点讲述平行与垂直的证明)可转化成用向量→a 与平面α的法向量→n 的夹角ω表示，由向量平移得：若ππ（图）；若ππ平面α的法向量→n 是向量的一个重要内容，是求直线与平面所成角、求点到平面距离的必备工具.求平面法向量的一般步骤：(1)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)a a b c b a b c == (2)设出平面的一个法向量为(,,)n x y z =(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z 的方程组(0a <(4)解方程组，取其中的一组解，即得法向量。
解答二面角问题的三种措施
备考指南理能力.结合实例进行探讨.一、利用定义法一般地，在二面角的棱上选取一点，垂直于棱的射线，的平面角.面角的平面角；角形，根据正余弦定理、例1.如图1，四棱锥S -底面ABCD ，AD =2,DC =SD 点，∠ABM =60°，求二面角S -图1解：过B 点作BF ⊥AM ，过AC ，如图2所示，因为SD ⊥底面ABCD ，所以∠ADS =∠ADC =90°，因为DC =SD =2，所以Δ所以AC =AS ，因为AM ⊥SC ,GF ⊥AM ，中点，的中位线，点G 为AS 的中点，S -AM -B 的平面角，SA =AC =6,BM =2,3，=BF =3，GF 2+BF 2-GB 22GF ∙BF =，-B 的余弦值为最重要的一步便是找到二面角首先要根据二面角的平面角、AMB 及其棱AM ；然后在两BF ,GF ，则∠GFB 即为所求二将问题转.首先需根据题目中给出的来建立空间直角坐标系；然后求m 、n ；再根<m ,n >=m ∙n |m |∙|n |；最后还需根据.P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠BAD =120°，PA =AD =1,AB苏其亮54备考指南=2，M 、N（1）（2）解：（线为x 、y 则A N 12则 CM 设m则{令x 1设n则{n n 令x 2cos <直线为x 要先根据题意寻找垂其与二面然后根据平面几何知识，三角形的性质、平行四边形即可解题.棱锥S -ABC 中，SA ⊥平面垂直平分AC 、SC ，且交AC 、SC =BC ，求二面角E -BD -C 的、DB ，E 是SC 中点，SBC 的中线，则BE ⊥SC ，⋂DE =E ，BE 、DE ⊂平面BDE ，，所以SC ⊥BD .，BD ⊂平面ABC ，、SA ⊂平面SAC ，，平面BDE =DE ，平面SAC ⋂平⊥DC ，E -BD -C 的平面角，，所以SA ⊥AB ,SA ⊥AC ，2,SB =BC =22，AC =23,∠ACS =30°，所以∠EDC =60°，-C 的大小为60°..，DE 垂直平分AC 、SC ，即可.再在直角三角形SAB 、SAC 、即可解题.向量法、垂面法都是解答二面向却比较便捷，能有效.甘肃省白银市靖远县第一中学）55。
立体几何-利用空间向量求二面角的平面角
利用空间向量求二面角的平面角2 解：过D 作DF BC 于F ，过D 作DEFED 为二面角B AC D 的平面角， 又AB 平面BCD , AC 于E ，连结EF ，则AC 垂直于平面DEF ,• AB DF , AB CD , • DF 平面ABC ,• DF EF又••• AB CD , BD CD , • CD 平面 ABD , • CD AD ,设BD a ，贝U AB BC 2a , 在Rt BCD 中，S BCD 1-BC DF 21-BD CD , • DF 2.3 a1. 二面角的概念：二面角的定义•从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做 二面角的面.若棱为I ，两个面分别为 ，的二面角记为 丨2. 二面角的平面角：(1) 过二面角的棱上的一点 0分别在两个半平面内作棱的两条垂线 OA,OB ，则 AOB 叫做二面角 I 的平面角+(2)一个平面垂直于二面角 I 的棱I ,且与两半平面交线分别为 OA,OB, 0为垂足，则 AOB也是 I 的平面角+说明：(1) 二面角的平面角范围是 [0°,180°];(2) 二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直 引导：请学生归纳已学过的求二面角的大小的方法，教师作必要的补充与引导•明确本节课的课题. 二. 求二面角的平面角：【回顾复习定义法求二面角的平面角】例 1：在棱长为1的正方体AC !中，求平面C^D 与底面ABCD 所成二面可以求得： sin COC 16，所以，平面GBD 与底面ABCD 所成3二面角C 1 BDC 的平面角的正弦值大小为63【回顾复习用三垂线法求二面角的平面角】例 2.如图，AB 平面BCD , BD CD ，若AB BC 2BD ，求.面角B AC D 的正弦值•分析：要求二面角的正弦值，首先要找到二面角的平面角角C 1 BD C 的平面角正弦值大小. 解：过C 1作C 1O BD 于点O ,•••正方体 AC 1 ,••• CC 1 平面 ABCD , 二 COC 1为平面GBD 与平面ABCD 所成二面角C 1G BD C 的平面角,C所以，二面角B AC D 的正弦值为一10 .5通过观察探究利用法向量解决： 例1 ：解：建立空间直角坐标系得：DC i (0,1,1)，DB (1,1,0)，DC (0,1,0)设平面 GBD 的法向量 n-i(x 1, y 1, Z |)，平面 CBD 的法向量 n 2 (x 2,y 2,z 2)，可得 n (1, 1,1)， n 2 (0,0,1)，口 (0,0,1) , n 2所以，二面角B AC D 的正弦值为一105三. 归纳小结：本节课回忆巩固了求解二面角的一些方法，并且通过类比用空间向量知识求解二面角，我们感受到空 间向量的巧妙之处，但要让同学们认识到法向量之间的夹角与二面角的平面角的异同之处。
二面角向量夹角公式
二面角向量夹角公式1.引入在立体几何中，我们经常需要计算空间中两个向量的夹角，这个夹角的大小可以用二面角来表示。
本文将介绍二面角的概念和向量夹角的计算公式。
2.二面角概念二面角是指两个平面的夹角，这两个平面分别与一个公共的边相交。
可以用一个开合角来描述二面角的大小，当两个平面互相垂直时，二面角为90度，如果二面角小于90度，则称为锐角，大于90度则为钝角。
3.向量夹角公式对于空间中的两个向量，记它们的夹角为θ，则有以下计算公式：cosθ=(a·b)/(│a││b│)其中，a和b分别代表两个向量，│a│和│b│代表它们的长度，a·b代表它们的点积。
夹角可以用反三角函数cos^-1来计算，即θ=cos^-1([(a·b)/(│a││b│)])如果直接计算夹角的话，需要不断开方和乘除，比较复杂，我们可以将cos θ展开后用向量模长的乘积来计算：cosθ=(a·b)/(│a││b│)=(a1b1+a2b2+a3b3)/(│a││b│)=(a1/│a│)(b1/│b│)+(a2/│a│)(b2/│b│)+(a3/│a│)(b3/│b│)=cosαcosβ+cosγcosδ+cosεcosζ其中，α、β、γ、δ、ε、ζ分别是向量a和向量b各个分量的夹角。
这个公式看上去很长，但实际上，它的计算比较简便，只需要计算六个三角函数的值，不用进行开方和乘除运算，因此，在计算机图形学和计算机视觉等领域中得到了广泛的应用。
4.总结本文介绍了二面角的概念和向量夹角的计算公式。
对于计算机科学中的相关问题，特别是在计算机图形学和计算机视觉领域中，掌握向量夹角公式是非常重要的。
不仅帮助我们了解计算机图形学中的矩阵变换和仿射变换，还可以用于图像处理、目标检测等领域的算法设计和性能评价。
二面角正弦值公式
二面角正弦值公式二面角是在立体几何中常用的一个概念，它描述了两个平面或直线之间的夹角。
而正弦是一个三角函数，它在数学中有着重要的应用。
本文将介绍二面角的概念和性质，并探讨二面角的正弦值公式。
一、二面角的概念和性质在空间中，两个平面或直线之间的夹角称为二面角。
我们可以通过两个向量的夹角来表示二面角的大小。
具体而言，设有两个非零向量a和b，它们分别在两个平面或直线上，那么二面角θ的余弦可以通过向量的点乘公式来计算：cosθ = (a·b) / (|a||b|)其中，a·b表示向量a与向量b的点乘，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模长。
二面角有一些重要的性质。
首先，二面角的范围是[0, π]，即它的取值在0到π之间。
其次，二面角的正弦值和余弦值是一对相关的三角函数，它们之间有着特殊的关系。
最后，二面角的大小与其对应的正弦值和余弦值有着直观的关系，即二面角越大，其正弦值越接近1，余弦值越接近0。
二、二面角的正弦值公式根据三角函数的定义，我们可以得到二面角正弦值与余弦值之间的关系。
根据余弦值公式：cos^2θ + sin^2θ = 1我们可以得到二面角的正弦值公式：sin^2θ = 1 - cos^2θ通过这个公式，我们可以根据已知的二面角的余弦值来计算其正弦值。
同时，我们也可以根据已知的二面角的正弦值来计算其余弦值。
三、实际应用二面角的概念和性质在物理学、几何学和工程学等领域有着广泛的应用。
在物理学中，二面角被用于描述电场线与电荷分布面的夹角。
在几何学中，二面角被用于计算多面体的体积和表面积。
在工程学中，二面角被用于计算材料力学性能和结构的稳定性。
总结通过本文的介绍，我们了解了二面角的概念和性质，以及二面角的正弦值公式。
二面角是一个重要的几何概念，它在数学和应用领域都有着广泛的应用。
正弦值公式是计算二面角正弦值的重要工具，它可以帮助我们计算二面角的正弦值，并应用到各种实际问题中。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§3.2立体几何中的向量方法——二面角
自我评价 你完成本节导学案的情况为：A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 一、学习目标： 1．掌握二面角的概念；
2．能用向量方法解决二面角的计算问题。
二、学法指导
复习：平面与平面所成角的取值范围___________________.
如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量1n 与2n ，则平面α与β所成的角跟法向量1n 与2n 所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角。
设21,n n 分别是二面角βα—l —的两个平面βα,的法向量，则
21212
121,,|
|||,cos n n n n n n n n ⋅⋅=
就是二面角的平面角或其补角。
三典型例题
例：在正方体1111D C B A ABCD -中,求二面角11C BD A --的大小。
解：设正方体棱长为1，以1,,DD DC DA 为单位正交基底， 建立如图所示坐标系D -xyz
四、探究问题
探究问题一：如图,PA ⊥平面ABC,AC ⊥求二面角A-PB-C 的余弦值.
坐标系
探究问题二：如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1
3
AA AB a =
=，E 、F 分别是1BB 、1CC 上的点，且BE=a CF=2a 。
求证:面AEF ⊥面ACF 。
图，坐标系
探究问题三：已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，
//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且1
2
PA AD DC ===
，1AB =，M 是PB 的中点。
（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ；
（Ⅱ）求AC 与PB 所成的角的余弦值；
（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的余弦值。
探究问题四：如图，长方体1111ABCD A B C D -中，点E ,F 分别在11,BB DD 上且 1AE A B ⊥,1AF A D ⊥. ⑴ 求证：1
AC ⊥平面AEF ; ⑵ 当134,5AD AB AA ===，时，求平面AEF 与平面11D B BD 所成的角的余弦
值.
四、课后归纳：
用向量的方法求解二面角，应注意哪些问题？
五、当堂检测
在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD DC =,点E 是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F ， （1）求证：PA ∥平面EDB ; （2）求证：PB ⊥平面EFD ； （3）求二面角C PB D --的大小。
（4）求F 点坐标（选做）。