应用2-利用空间向量证明垂直问题
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Z
A1
D1
B1
A
C1
O
D y
1.三垂线 2.坐标法
B
C
x
（线与面—与法向量平行？）
1.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，且AC与BD交于点O，E
为棱DD1的中点。求证：B1O⊥平面EAC。 z
解：如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系 A-xyz，则A（0，0，0）,B（2，0，0），
A1
uuur uuur
,
A1E BD a a a a e a 0 0
,
A1E BD ,即 A1E BD.
(Ⅱ)由题设,
E
0,
a,
a 2
,设
BD的中点为
O,
则O
a 2
,
a 2
,
0
,
uuur OE
a 2
,
a 2
,
a 2
,
uuur BD
a,
a,
0
,Fra Baidu bibliotek
uuur 则OE
uuur BD
C1
B1 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建
0, 0,
M
6 2
A1 3,1, 6
立空间直角坐标系 C xyz
图中相应点的坐标为：
6
x C
1
90 3 30
A
3, 0, 0
2
B 0,1,0
y
所以：
uuur A1B
A1 3,1, 6 , B 0,1, 0
A 3, 0, 0
, M 0, 0,
uuuur
uuuur
A
AM (5, 2, 4), A1D (0,8, 4),
uuuur uuuur
xB
AM • A1D＝0 A1D AM .
D1 C1
Dy
C
作业 2.已知正方体 ABCD— A1B1C1D1 中,E 为棱 CC1上
的动点，
(Ⅰ)求证： A1E ⊥ BD ；
(Ⅱ)当 E 恰为棱 CC1 的中点时，
作业1：在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB=5，AD 8,
AA1 4, M为B1C1上的一点,且B1M 2,点N在线段A1D上，
求证：A1D AM .
z
（一）几何法
A1
（二）坐标法
B1 M
A(0, 0, 0), A1(0, 0, 4),D(0,8,0), M (5, 2, 4)
l1
e1 e2
l2
ur ur ur ur l1 l2 e1 e2 e1 e2 0
l
e1
n1
ur uur
l e1∥n1(一般不用)
2 n2
n1
1
1
2
ur uur n1 n2
（线与线）
例1、 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，CD1和DC1 相交于点 O ，求证：AO A1B
1
B x
2
2
0
O
0
C
y
uuuur uuur
uuuBur1OguAuuEr
(1,1,
uuuur
2)g(0,
uuur
2,1)
1
0
1
2
2
1
0
B1O AC B1O AE
即B1O⊥AC，B1O⊥AE，又ACI B O⊥平面EAC
AE=A
2. 已 知 PA 垂 直 于 正 方 形 ABCD 所 在 的 平 面 , M 、N 分 别 是 AB 、PC 的 中 点 , 并 且
求证：平面 A1BD ⊥平面 EBD.
1.解:以 DA, DC, DD1 所在直线为 x, y, z 轴,建立空间直角坐
标系,(Ⅰ)
A a, 0,
uuuur
0
,
B
a,
a,
0
,
C
0,
a,
0
,
A1
a,
0,
a
,
C1
0,
a,
a
设
E0,
uuur
a,
e,则
A1
E
a, a, e uuuur
a
uuur
,
BD a,a,0
0,
uuur OE
uuur BD
.
uuur OA1
a 2
,
a 2
,
a
uuur , 则OA1
uuur BD
uuur 0, OA1
uuur BD
, A1OE
为二
面角uuurA1
BD uuur
E
的平面角.
∵ OA1 OE 0 ,则 A1OE 90, 平面A1BD 平面EBD .
作业3：如图，在直三棱柱 ABC- A1B1C1中，
C（2，2，0），D（0，2，0）E（0，2，1），B1
QB1（O2，是0正，方2）形ABCD的中心， O（1，1，0）A
D1 C1
E
D
uuuur uuBur1O
(1,1,
2)
AC
uuuu(r2u,u2ur, B1OgAC
0) (1,1,
uuur AE (0,2,1)
2)g(2,2,0) 1
2
ACB 90,BAC 30, BC 1, A1A 6,
M 是棱 CC1 的中点，
求证：A1B AM
B1
A1
C1
6
M
B
1 90
30 A
C
思路1：uAu1uBr
uuuur AM
uuur uuur A1A AB
uuur uuuur AC CM
B1
A1
C1
6
M
B
1 90
30 A
C
z
证明：分别以 CA,CB,CC1
(1, 0,
2
1)
2
2
y
A
x
MB
传统思路
uuur
2
DCuuuur(0u,1u,ur0)
MN PD
2 (
1
,
0,
1
)
(1,
0,
1)
0
点积垂直
uuuur uuur MN PD
uuuur MN
uuur DC
2 (
1
2 , 0,
1
)
(0,1,
0)
0
uuuur MN
uuur DC
22
又Q PD I DC D MN 平面PDC
PA AD ,求证: MN 平面 PDC
证明:
z
P
N
建立如图所示空间直角坐标系 A xyz ， 则
D
C
A(0,0,0), B(0,1,0),C(1,1,0), D(1,0,0),
P(0, 0,1) M (0, 1 , 0), N ( 1 , 1 , 1)
uuuur MN
(
1
,
0,
1
2uuur
) PD
6 2
3, 0,
6
uuuur , AM
3, 0,
6 2
uuur uuuur
所以： A1B AM 0 即， A1B AM
A1
D1
B1
A
C1
O
D y
1.三垂线 2.坐标法
B
C
x
（线与面—与法向量平行？）
1.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，且AC与BD交于点O，E
为棱DD1的中点。求证：B1O⊥平面EAC。 z
解：如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系 A-xyz，则A（0，0，0）,B（2，0，0），
A1
uuur uuur
,
A1E BD a a a a e a 0 0
,
A1E BD ,即 A1E BD.
(Ⅱ)由题设,
E
0,
a,
a 2
,设
BD的中点为
O,
则O
a 2
,
a 2
,
0
,
uuur OE
a 2
,
a 2
,
a 2
,
uuur BD
a,
a,
0
,Fra Baidu bibliotek
uuur 则OE
uuur BD
C1
B1 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建
0, 0,
M
6 2
A1 3,1, 6
立空间直角坐标系 C xyz
图中相应点的坐标为：
6
x C
1
90 3 30
A
3, 0, 0
2
B 0,1,0
y
所以：
uuur A1B
A1 3,1, 6 , B 0,1, 0
A 3, 0, 0
, M 0, 0,
uuuur
uuuur
A
AM (5, 2, 4), A1D (0,8, 4),
uuuur uuuur
xB
AM • A1D＝0 A1D AM .
D1 C1
Dy
C
作业 2.已知正方体 ABCD— A1B1C1D1 中,E 为棱 CC1上
的动点，
(Ⅰ)求证： A1E ⊥ BD ；
(Ⅱ)当 E 恰为棱 CC1 的中点时，
作业1：在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB=5，AD 8,
AA1 4, M为B1C1上的一点,且B1M 2,点N在线段A1D上，
求证：A1D AM .
z
（一）几何法
A1
（二）坐标法
B1 M
A(0, 0, 0), A1(0, 0, 4),D(0,8,0), M (5, 2, 4)
l1
e1 e2
l2
ur ur ur ur l1 l2 e1 e2 e1 e2 0
l
e1
n1
ur uur
l e1∥n1(一般不用)
2 n2
n1
1
1
2
ur uur n1 n2
（线与线）
例1、 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，CD1和DC1 相交于点 O ，求证：AO A1B
1
B x
2
2
0
O
0
C
y
uuuur uuur
uuuBur1OguAuuEr
(1,1,
uuuur
2)g(0,
uuur
2,1)
1
0
1
2
2
1
0
B1O AC B1O AE
即B1O⊥AC，B1O⊥AE，又ACI B O⊥平面EAC
AE=A
2. 已 知 PA 垂 直 于 正 方 形 ABCD 所 在 的 平 面 , M 、N 分 别 是 AB 、PC 的 中 点 , 并 且
求证：平面 A1BD ⊥平面 EBD.
1.解:以 DA, DC, DD1 所在直线为 x, y, z 轴,建立空间直角坐
标系,(Ⅰ)
A a, 0,
uuuur
0
,
B
a,
a,
0
,
C
0,
a,
0
,
A1
a,
0,
a
,
C1
0,
a,
a
设
E0,
uuur
a,
e,则
A1
E
a, a, e uuuur
a
uuur
,
BD a,a,0
0,
uuur OE
uuur BD
.
uuur OA1
a 2
,
a 2
,
a
uuur , 则OA1
uuur BD
uuur 0, OA1
uuur BD
, A1OE
为二
面角uuurA1
BD uuur
E
的平面角.
∵ OA1 OE 0 ,则 A1OE 90, 平面A1BD 平面EBD .
作业3：如图，在直三棱柱 ABC- A1B1C1中，
C（2，2，0），D（0，2，0）E（0，2，1），B1
QB1（O2，是0正，方2）形ABCD的中心， O（1，1，0）A
D1 C1
E
D
uuuur uuBur1O
(1,1,
2)
AC
uuuu(r2u,u2ur, B1OgAC
0) (1,1,
uuur AE (0,2,1)
2)g(2,2,0) 1
2
ACB 90,BAC 30, BC 1, A1A 6,
M 是棱 CC1 的中点，
求证：A1B AM
B1
A1
C1
6
M
B
1 90
30 A
C
思路1：uAu1uBr
uuuur AM
uuur uuur A1A AB
uuur uuuur AC CM
B1
A1
C1
6
M
B
1 90
30 A
C
z
证明：分别以 CA,CB,CC1
(1, 0,
2
1)
2
2
y
A
x
MB
传统思路
uuur
2
DCuuuur(0u,1u,ur0)
MN PD
2 (
1
,
0,
1
)
(1,
0,
1)
0
点积垂直
uuuur uuur MN PD
uuuur MN
uuur DC
2 (
1
2 , 0,
1
)
(0,1,
0)
0
uuuur MN
uuur DC
22
又Q PD I DC D MN 平面PDC
PA AD ,求证: MN 平面 PDC
证明:
z
P
N
建立如图所示空间直角坐标系 A xyz ， 则
D
C
A(0,0,0), B(0,1,0),C(1,1,0), D(1,0,0),
P(0, 0,1) M (0, 1 , 0), N ( 1 , 1 , 1)
uuuur MN
(
1
,
0,
1
2uuur
) PD
6 2
3, 0,
6
uuuur , AM
3, 0,
6 2
uuur uuuur
所以： A1B AM 0 即， A1B AM