概率论-第六讲 谓词演算的永真公式
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谓词公式的分类与解释
第二节 谓词公式的分类与解释为了给出谓词公式的定义，先给出项和原子公式的定义。
定义2.1 项：（1） 个体常项和个体变项是项；（2） 设),...,,(21n x x x ϕ是任意的n 元函数，n t t t ,...,,21是项，则),...,,(21n t t t ϕ是项；（3） 有限地使用（1），（2）形成的符号串是项。
定义2.2 设),...,,(21n x x x R 是任意的n 元谓词，n t t t ,...,,21是项，则称),...,,(21n t t t R 是原子公式。
定义2.3合式公式：（1） 原子公式是合式公式；（2） 若A 是合式公式，则)(A ¬也是合式公式；（3） 若B A ,是合式公式，则)(),(),(),(B A B A B A B A ↔→∨∧也是合式公式；（4） 若A 是合式公式，则(),()xA xA ∀∃也是合式公式。
其中x 为任意的个体变项；（5） 有限次地应用（1）～（4）形成的字符串是合式公式。
这样定义的合式公式又称作谓词公式，简称公式。
合式公式的最外层括号可以省去。
定义2.4（1） 在公式xA ∀和xA ∃中，A 是相应量词的辖域，x 称为指导变量。
（2） 在公式xA ∀和xA ∃中，x 的所有出现都是约束出现的，不是约束出现的变项称为自由出现的。
例如：在公式))),,()((),((z y x L y G y y x F x ∧∃→∀中，∀的辖域为))),,()((),((z y x L y G y y x F ∧∃→∃的辖域为)),,()((z y x L y G ∧x ∀中的x 和y ∃中的y 都是指导变量。
x 的出现都是约束的，),(y x F 中的y 是自由出现的，)(y G 与),,(z y x L 中的y 是约束出现的，z 的出现是自由的。
一般情况下，在一个谓词公式A 中，除了可能含若干个个体常项，函数常项，谓词常 项外，还可能含个体变项，函数变项，谓词变项等。
1.7谓词演算的永真公式
P(x)：x今天没来校上课。
1 xP(x)：不是所有的大学生今天都来上课。
与 xP(x)：存在一些大学生今天没来上课。（含义相同）
2 xP(x)：今天没有(不存在)来上课的大学生。
与 xP(x)：所有的大学生今天都没来上课。（含义相同）
10
NUIST
3．量词辖域的扩张与收缩律
设P是不含自由变元x的任一谓词公式(包括命题公式)，
3
谓词公式类型的判断
NUIST
方法一：真值表法 ——当谓词公式A的个体域E是有限的，谓词变元的解释也
是有限的时，原则上可以用真值表来判断。
方法二：指派分析法 ——当谓词公式A的个体域E是无限的，或谓词变元的解释
是无限的时，谓词公式A的指派就是无限多个，无法实 现用真值表来判断，一般根据联结词、量词的意义，直 接用自然语言来叙述进行证明。
命题演算的等价式就转化为谓词演算的等价式。 依据：永真式的任何代入实例也必永真。 例如：1 由 P P
得： A(x) A(x) 2 由 P→Q P∨Q
得：xA(x)→xB(x) (xA(x))∨(xB(x))
二、由于引入量词而产生的谓词演算中特有的逻辑等价式、 永真蕴含式。
8
与量词有关的逻辑等价式
NUIST
1．量词的消去律
(1)设个体域为有限集D={a1, a2, …,an}时，则有
∀x P(x)
P(a1)∧P(a2)∧…∧P(an) （1）
∃x P(x)
P(a1) ∨P(a2) ∨…∨P(an) （2）
(2) 设A是不含自由变元x的谓词公式，则有
xA A
（3）
xA A
（4）
(因为A的真值与自由变元x无关)
第六讲谓词演算的永真公式
二、谓词演算的基本永真公式
5 量词的分配形式 ① x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) ② x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) ③ x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) ④ xA(x) xB(x) x(A(x) B(x)) 证： ①因为对一切x，A(x) B(x)为真，等价于对一切x， A(x)为真且B(x)为真。 ② 对① x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) 用¬A(x), ¬B(x)分别取代A(x),B(x),则
二、谓词演算的基本永真公式
1.命题演算的永真公式也是谓词演算的永真公式。 因为谓词演算是命题演算的扩充，所以列于表 1.2 -1 , 表1.2 -2 的恒等式和永真蕴含式同样适用于 谓词演算。 2.量词的增加与删除 1）
xA A xA A
A中不含自由变元x
因为A不含自由变元x，所以A的真值与x无关，故恒等 式成立。
谢谢同学们的主动配合！ 愿大家天天快乐！
一、谓词演算基本概念
4. 两个任意谓词公式A和B,
1) A与B等价， A B iffA B 永真； E 2)在E上A与B等价，A B iffA B 在E上永真.
5. 两个任意谓词公式A和B, 1) A永真蕴含B ， A B iff A → B 永真； E 2)在E上A永真蕴含B， A B iff A → B 在E上永真.
将y代以w，得xP(x, w) Q(w, w)
注意： 换名规则的对象：只用于约束变元，换名后所得公式与原式等价；
代入规则的对象：只用于自由变元，换名后所得公式与原式一般
不等价，除非是永真式。
三、变换规则
2）在一公式中, 一个n元(n≥0)谓词变元F(x1, x2,…, xn)可 代以至少有n个自由个体变元的公式G(y1, y2, …, yn, yn+1, …, yn+r), (这里r≥0, y1, y2, …, yn是分别对应于 x1, x2,…, xn的任意选定的n个自由变元), 只须该n元谓词 出现的各处都同样代入, 且代入的公式中, 后边的r个自由 变元不允许在原公式中以约束变元出现; 而F(x1,x2, …, xn) 中的变元也不允许在代入的公式中以约束变元出现。 例如:a) P Q P Q，
18谓词演算的推理规则.
12
量词消去与引入规则 UG
全称量词引入规则(UG)
A(x) xA(x)
该式成立的条件是 (1)Γ是公理和前提的合取，其中没有x的自由出现。其意
义：若从Γ可推出A(x)，那么从Γ中也可推出xA(x).
(2)在推出A(x)前提中，x必须不是自由的；且A(x)中x不
是由使用ES而引入的。
3
谓词逻辑中推理的形式结构
推理的形式结构 形式1 A1A2…AkB (*) 形式2 前提：A1, A2, … , Ak
结论： B 其中 A1,A2,…,Ak,B为谓词逻辑公式. 若(*)为永真式, 则称推理正确, 记作A1A2…Ak B
推理定律
推理定律: 谓词逻辑中永真的蕴涵式
8
注意
违反第二条： F(x,y):x>y，个体域为实数域
取A(5)= xF(x,5)—真命题 使用EG规则，若用x取代5,得xA(x)= xxF (x,x)
= xx (x>x) 假 若用y取代5,得yA(y)= yxF (x,y)
= yx (x>y) 真
9
量词消去与引入规则 EI
1.8 谓词演算的推理规则
1.8.1 谓词逻辑中推理的形式结构
重要推理定律
1.8.2 量词消去与引入规则
UI规则、UG规则、EG规则、EI规则
A(x)对y是自由的
• 如果在公式A(x)中，x不出现在量词y或 y的辖域之内，则称A(x)对y是自由的。
• 例如：B(x)= y P(y)Ｑ(x) R(z), B(x) 对y是自由的
量词消去与引入规则 UI
全称量词消去规则(UI)
xA( x) 或 xA( x)
A( y)
量词消去与引入规则 UG
全称量词引入规则(UG)
A(x) xA(x)
该式成立的条件是 (1)Γ是公理和前提的合取，其中没有x的自由出现。其意
义：若从Γ可推出A(x)，那么从Γ中也可推出xA(x).
(2)在推出A(x)前提中，x必须不是自由的；且A(x)中x不
是由使用ES而引入的。
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谓词逻辑中推理的形式结构
推理的形式结构 形式1 A1A2…AkB (*) 形式2 前提：A1, A2, … , Ak
结论： B 其中 A1,A2,…,Ak,B为谓词逻辑公式. 若(*)为永真式, 则称推理正确, 记作A1A2…Ak B
推理定律
推理定律: 谓词逻辑中永真的蕴涵式
8
注意
违反第二条： F(x,y):x>y，个体域为实数域
取A(5)= xF(x,5)—真命题 使用EG规则，若用x取代5,得xA(x)= xxF (x,x)
= xx (x>x) 假 若用y取代5,得yA(y)= yxF (x,y)
= yx (x>y) 真
9
量词消去与引入规则 EI
1.8 谓词演算的推理规则
1.8.1 谓词逻辑中推理的形式结构
重要推理定律
1.8.2 量词消去与引入规则
UI规则、UG规则、EG规则、EI规则
A(x)对y是自由的
• 如果在公式A(x)中，x不出现在量词y或 y的辖域之内，则称A(x)对y是自由的。
• 例如：B(x)= y P(y)Ｑ(x) R(z), B(x) 对y是自由的
量词消去与引入规则 UI
全称量词消去规则(UI)
xA( x) 或 xA( x)
A( y)
谓词逻辑永真公式
P(1,1): T； P(1,2): F； P(2,1):F； P(2,2): T – 则xyP(x,y)和yxP(x,y) 在解释I下的真值分
别为?
xyP(x,y) 关于x的一元函数
x y P(x,y) yP(x,y) xyP(x,y)
1
T
1
T
2
F
T
1
F
2
T
2
T
yxP(x,y) 关于y的一元函数
– 例：I(x)：x是整数，论域E为自然数集合
• I(x)在E上是永真式 • I(x) ∨ I(x)是与论域无关的永真式
• 谓词公式的永假式 • 谓词公式的可满足式
例：试说明以下公式的类型
1. xA(x)→A(y)
永真式
2. xA(x)→A(y)
可满足式
3. A(x) (A(x) ：x+6=5) 可满足式
x(A(x)∨B(x)) F
B(1) B(2) F
因此
xA(x) F
所以 xB(x) T
从而 A(1) A(2) B(1) B(2)
F
FT
结论：所给公式不是永真式
例(续前)：试判断xA(x)∨xB(x) → x(A(x)∨B(x)) 是否是永真式，并说明理由。
解：所给公式不是永真式，理由如下。
体函数常量
3. 对A中出现的每一个n元谓词，指定一个D上的n元谓词 常量
4. 对A中出现的每一个个体常量及自由变元，指定D中的 一个个体常量
5. 对A中出现的每一个命题变元P，指派一个真值T或F
由此得到一个命题AI，称AI的真值为公式A在 解释I 下的真值
例
• 取解释I如下：
– D={1,2}, – 定义D上的二元谓词P真值为
别为?
xyP(x,y) 关于x的一元函数
x y P(x,y) yP(x,y) xyP(x,y)
1
T
1
T
2
F
T
1
F
2
T
2
T
yxP(x,y) 关于y的一元函数
– 例：I(x)：x是整数，论域E为自然数集合
• I(x)在E上是永真式 • I(x) ∨ I(x)是与论域无关的永真式
• 谓词公式的永假式 • 谓词公式的可满足式
例：试说明以下公式的类型
1. xA(x)→A(y)
永真式
2. xA(x)→A(y)
可满足式
3. A(x) (A(x) ：x+6=5) 可满足式
x(A(x)∨B(x)) F
B(1) B(2) F
因此
xA(x) F
所以 xB(x) T
从而 A(1) A(2) B(1) B(2)
F
FT
结论：所给公式不是永真式
例(续前)：试判断xA(x)∨xB(x) → x(A(x)∨B(x)) 是否是永真式，并说明理由。
解：所给公式不是永真式，理由如下。
体函数常量
3. 对A中出现的每一个n元谓词，指定一个D上的n元谓词 常量
4. 对A中出现的每一个个体常量及自由变元，指定D中的 一个个体常量
5. 对A中出现的每一个命题变元P，指派一个真值T或F
由此得到一个命题AI，称AI的真值为公式A在 解释I 下的真值
例
• 取解释I如下：
– D={1,2}, – 定义D上的二元谓词P真值为
谓词公式的解释
解： 1 永真式 P(QP）的代换实例，故为逻辑有效的。 2 矛盾式 (PQ)Q 的代换实例，故为不可满足的。 3）解释I1: 个体域N, F(x):x>5, G(x): x>4, 公式为真 解释I2: 个体域N, F(x):x<5, G(x):x<4, 公式为假 结论: 为非永真式的可满足式
小结
例2.8
给定解释I如下：
1 个体域为实数集合R； 2 R中的特定元素a=0； 3 R上的特定函数f(x, y) =x+y,
g(x, y)=xy； 4 R上的特定谓词F(x, y)：x=y。
在解释I下，公式分别解释为： 1） xF(f(x, a), g(x, a)) 解释为：
在实数集合R中，x(x+0=x0)
把这样得到的公式记作A*。称A*为A在I下的解释，或A在I下被解释成A*。
例2.8
给定解释I如下：
1 个体域为实数集合R； 2 R中的特定元素a=0； 3 R上的特定函数f(x, y) =x+y,
g(x, y)=xy； 4 R上的特定谓词F(x, y)：x=y。
在解释I下，求下列各式的真值：
1）xF(f(x, a), g(x, a)) 2） xy(F(f(x, y), g(x, y))F(x, y)) 3 ）xF(g(x, y), a)
定理2.2 重言式的代换实例都是逻辑有效的，永假式的代换实例都是不可满足的。
பைடு நூலகம்2.9
判断下列公式中，哪些是逻辑 有效的，哪些是不可满足的？ 1）xF(x)(xyG(x,y)xF(x)) 2）(xF(x)yG(y))yG(y) 3）x(F(x)G(x))
分析——两种思路 1 公式的解释； （2）定理2.2。
小结
例2.8
给定解释I如下：
1 个体域为实数集合R； 2 R中的特定元素a=0； 3 R上的特定函数f(x, y) =x+y,
g(x, y)=xy； 4 R上的特定谓词F(x, y)：x=y。
在解释I下，公式分别解释为： 1） xF(f(x, a), g(x, a)) 解释为：
在实数集合R中，x(x+0=x0)
把这样得到的公式记作A*。称A*为A在I下的解释，或A在I下被解释成A*。
例2.8
给定解释I如下：
1 个体域为实数集合R； 2 R中的特定元素a=0； 3 R上的特定函数f(x, y) =x+y,
g(x, y)=xy； 4 R上的特定谓词F(x, y)：x=y。
在解释I下，求下列各式的真值：
1）xF(f(x, a), g(x, a)) 2） xy(F(f(x, y), g(x, y))F(x, y)) 3 ）xF(g(x, y), a)
定理2.2 重言式的代换实例都是逻辑有效的，永假式的代换实例都是不可满足的。
பைடு நூலகம்2.9
判断下列公式中，哪些是逻辑 有效的，哪些是不可满足的？ 1）xF(x)(xyG(x,y)xF(x)) 2）(xF(x)yG(y))yG(y) 3）x(F(x)G(x))
分析——两种思路 1 公式的解释； （2）定理2.2。
谓词公式的解释
谓词公式的解释2.2.3 谓词公式的解释定义2.12谓词逻辑中公式A的每一个解释（赋值）I由以下几部分构成：1）非空个体域D；2）D中的某些特定元素；3）D中的某些特定的函数；4）D中某些特定的谓词。
用一个解释I解释一个谓词公式A包括：将I的个体域D作为A的个体域，A中的个体常元用I中的特定元素代替，A中的函数用I中的特定函数代替，谓词用I上的特定谓词代替。
把这样得到的公式记作A*。
称A*为A在I下的解释，或A在I下被解释成A*。
给定解释I如下：1）个体域为实数集合R；2）R中的特定元素a=0；3）R上的特定函数f(x, y) =x+y, g(x, y)=xy；4）R上的特定谓词F(x, y)：x=y。
在解释I下，求下列各式的真值：1）∃xF(f(x, a), g(x, a))2）∀x∀y(F(f(x, y), g(x, y))→F(x, y)) 3）∀xF(g(x, y), a)给定解释I如下：1）个体域为实数集合R；2）R中的特定元素a=0；3）R上的特定函数f(x, y) =x+y, g(x, y)=xy；4）R上的特定谓词F(x, y)：x=y。
在解释I下，公式分别解释为：1）∃xF(f(x, a), g(x, a)) 解释为：2）∀x∀y(F(f(x, y), g(x, y))→F(x, y)) )) 解释为：3）∀xF(g(x, y), a) 解释为：封闭的公式在任何解释下都成为命题。
定理2.1在实数集合R中，∃x(x+0=x⋅0) 真值为1;在实数集合R中，∀x∀y(x+y=x⋅y→x=y) 真值为0;在实数集合R中，∀x(x⋅y=0) 真值不确定。
2.2.4 谓词公式的类型定义2.13若谓词公式A在任何解释下均为真, 则称A为逻辑有效的或永真式；若A在任何解释下均为假, 则称A为不可满足的或永假式；若至少有一个解释使A为真, 则称A为可满足的。
逻辑有效的公式为可满足的，但反之不真。
116谓词逻辑永真公式
– 联词与量词的关系 – 问题与否问题的关系 – 构造证法的一种典型情形 – 公式形成规则、联词、量词、变元约束等知识点 – 逐步推演思想 – 完整地自顶向下逐步求精思想
问题与否问题
• 问题：所给公式是永真式吗？ • 否问题：所给公式不是永真式吗？ • 这两个问题有不同的难度
– 是永真式：在任何论域的任何解释下皆为真 – 不是永真式：存在一个使该公式为假的特定
考虑D={1,2}上的解释I：
A(1) A(2) B(1) B(2)
FFFT
在I下： xB(x) A(1)∨B(1)
T
F
此处取T亦可
所以 xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x))
T
F
xA(x)∨xB(x) → x(A(x)∨B(x))
F
总结
• 总的思路：试图在D={1,2}上找到一个使所给公式 为假的解释。
P(1,1): T； P(1,2): F； P(2,1):F； P(2,2): T – 则xyP(x,y)和yxP(x,y) 在解释I下的真值分
别为?
xyP(x,y) 关于x的一元函数
x y P(x,y) yP(x,y) xyP(x,y)
1
T
1
T
2
F
T
1
F
2
T
2
T
yxP(x,y) 关于y的一元函数
– 例：I(x)：x是整数，论域E为自然数集合
• I(x)在E上是永真式 • I(x) ∨ I(x)是与论域无关的永真式
• 谓词公式的永假式 • 谓词公式的可满足式
例：试说明以下公式的类型
1. xA(x)→A(y)
永真式
2. xA(x)→A(y)
可满足式
问题与否问题
• 问题：所给公式是永真式吗？ • 否问题：所给公式不是永真式吗？ • 这两个问题有不同的难度
– 是永真式：在任何论域的任何解释下皆为真 – 不是永真式：存在一个使该公式为假的特定
考虑D={1,2}上的解释I：
A(1) A(2) B(1) B(2)
FFFT
在I下： xB(x) A(1)∨B(1)
T
F
此处取T亦可
所以 xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x))
T
F
xA(x)∨xB(x) → x(A(x)∨B(x))
F
总结
• 总的思路：试图在D={1,2}上找到一个使所给公式 为假的解释。
P(1,1): T； P(1,2): F； P(2,1):F； P(2,2): T – 则xyP(x,y)和yxP(x,y) 在解释I下的真值分
别为?
xyP(x,y) 关于x的一元函数
x y P(x,y) yP(x,y) xyP(x,y)
1
T
1
T
2
F
T
1
F
2
T
2
T
yxP(x,y) 关于y的一元函数
– 例：I(x)：x是整数，论域E为自然数集合
• I(x)在E上是永真式 • I(x) ∨ I(x)是与论域无关的永真式
• 谓词公式的永假式 • 谓词公式的可满足式
例：试说明以下公式的类型
1. xA(x)→A(y)
永真式
2. xA(x)→A(y)
可满足式
17 谓词演算的永真公式
南京信息工程大学数理学院
谓词公式类型的判断
方法一：真值表法 ——当谓词公式A的个体域E是有限的，谓词变元的解释也 是有限的时，原则上可以用真值表来判断。 方法二：指派分析法 ——当谓词公式A的个体域E是无限的，或谓词变元的解释 是无限的时，谓词公式A的指派就是无限多个，无法实 现用真值表来判断，一般根据联结词、量词的意义，直 接用自然语言来叙述进行证明。
南京信息工程大学数理学院
二、谓词演算中的逻辑等价式和永真蕴含式
遍及个体域E等价（永真蕴含） 给定个体域E上的两个谓词公式A和B，若对E中的任意指派I， 1 A、B 都具有相同的真值（即谓词公式A↔B为永真式）， 则称谓词公式A和B在E上等价，记作：在E上AB。 2 当A为真时，B也为真（即谓词公式A→B为永真式）， 则称谓词公式A在E上永真蕴含B，记作：在E上AB。
P(x)∧xP(x)在E上可满足， xP(x)在E上永真。
南京信息工程大学数理学院
2 ∀xP(x)→∃xP(x) 解： 未指明个体域与谓词P(x)的含义 ---任意多组解释 设D为任意一个个体域，I为任意一个指派。 若∀xP(x)为真， 即对于D中任意x，P(x)均为真。 此时在D中当然至少有一个x，使P(x)为真。 则∃xP(x)为真。 所以在指派I下，∀xP(x)→∃xP(x)取值为真。 由I的任意性，∀xP(x) →∃xP(x)为永真式。
例如：对 x(P(x)→Q(x)) 指定：1.个体域D为全总个体域 2.Ｐ(x)：x是人；Ｑ(x)：x是黄种人。 则x(P(x)→Q(x))：所有的人都是黄种人。 F 思考：若 个体域D为实数集 Ｐ(x)：x是自然数；Ｑ (x)：x是有理数。 南京信息工程大学数理学院
例1-7-1 给定一个解释I： D={2，3}； D中的特定元素 a=2 D上的特定谓词 F(x)为：F(2)=0，F(3)=1 L(x,y)为：L(2,2)= L(3,3)=1; L(2,3)=L(3,2)=0. 在这个解释下，求下列各式的值。 1 ∀x(F(x)∧L(x,a)) (F(2)∧L(2,2))∧(F(3)∧L(3,2)) (0∧1)∧(1∧1) 0 2 ∀x∃y L(x,y) ∀x(L(x,2)∨L(x,3)) (L(2,2)∨L(2,3))∧(L(3,2)∨L(3,3)) (1∨0)∧(0∨1) 1
数学离散数学PPT课件
(b) 对公式 A: F(x, y)∧M→F(u, x)中的 F, 欲代以 B: G(x1)∨H(x2, s)→H(t, x2), 则只需x , y , u不是B内的约 束变元, 而且s , t不是A内的约束变元。 代入结果为 (G(x)∨H(y, s)→H(t, y))∧M→(G(u)∨H(x, s)→H(t, x))
第22页/共41页
表 1.7 -1 含有量词的永真公式概要表
第23页/共41页
谓词演算规则
1、代入规则 2、替换规则 3、对偶原理
第24页/共41页
1. 代入规则
(i)自由个体变元的代入：在一公式中, 任一自由个体变元 可代以另一个体变元, 只需该个体变元出现的各处都同样代入, 且代入的变元不允许在原来公式中以约束变元出现。 例: 在公式xP(x, y)∨Q(w, y)中, 将y代以z, 则得xP(x, z)∨Q(w, z)， 将y代以w, 则得xP(x, w)∨Q(w, w)。 所得公式称为原公式的代入实例。
1.后边的r个自由变元 不允许在原公式中以约束变元出现; 2. F(x1,x2, …, xn)中的变元也不允许在代入的公式中以约束变元 出现。
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例: (a) 对公式(P→Q) (P∨Q)中的P代以xP(x), Q代以S(x), 得
(xP(x)→S(x)) (xP(x)∨S(x))
Q4
xP(x) xQ(x)
E14
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(b) 证明
x(P(x) Q(x)) x(R(x) Q(x)) (R(x) P(x))
证： 根据CP规则, 上式等价于
x(P(x) Q(x)) x(R(x) Q(x)) (R(x) P(x))
而 x(P(x) Q(x)) x(R(x) Q(x))
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表 1.7 -1 含有量词的永真公式概要表
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谓词演算规则
1、代入规则 2、替换规则 3、对偶原理
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1. 代入规则
(i)自由个体变元的代入：在一公式中, 任一自由个体变元 可代以另一个体变元, 只需该个体变元出现的各处都同样代入, 且代入的变元不允许在原来公式中以约束变元出现。 例: 在公式xP(x, y)∨Q(w, y)中, 将y代以z, 则得xP(x, z)∨Q(w, z)， 将y代以w, 则得xP(x, w)∨Q(w, w)。 所得公式称为原公式的代入实例。
1.后边的r个自由变元 不允许在原公式中以约束变元出现; 2. F(x1,x2, …, xn)中的变元也不允许在代入的公式中以约束变元 出现。
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例: (a) 对公式(P→Q) (P∨Q)中的P代以xP(x), Q代以S(x), 得
(xP(x)→S(x)) (xP(x)∨S(x))
Q4
xP(x) xQ(x)
E14
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(b) 证明
x(P(x) Q(x)) x(R(x) Q(x)) (R(x) P(x))
证： 根据CP规则, 上式等价于
x(P(x) Q(x)) x(R(x) Q(x)) (R(x) P(x))
而 x(P(x) Q(x)) x(R(x) Q(x))
离散数学21.谓词演算的等价式
(x)(A(x)∨B(x)) (A(a1)∨B(a1))∨(A(a2)∨B(a2))∨…∨(A(an)∨B(an)) (A(a1)∨A(a2)∨...∨A(an))∨(B(a1)∨B(a2)∨...∨B(an)) (x)A(x)∨(x)B(x)
1. (x)P(x)(x)P(x)； 2. (x)P(x)(x)P(x). 对这两个公式可以证明如下： 证明：设论域为{a1,a2,....,an}，则 (x)P(x)(P(a1)∧P(a2)∧...∧P(an))
P(a1)∨P(a2)∨...∨P(an)(x)P(x). 类似可以证明另一个公式.
(x)P(x)表示：不是所有人都是优等生.
(x) P(x)表示：有些人不是优等生.
(x)P(x)表示：没有人是优等生.
(x)P(x)表示：所有人都不是优等生.
显然：
“不是所有人都是优等生.”与“有些人不是优等生.”是等价 的.
“没有人是优等生.”与“所有人都不是优等生.”是等价的.于 是有：
从这两个公式，可以总结出如下规律：
将量词前的“”移到量词的后边，全称量词改成存在量 词，存在量词改成全称量词;反之也要做相应改变.
4、量词作用域的扩张与收缩
在量词的作用域中，对于合取或者析取项，如果其中一个 为命题，则可将该命题移直量词辖域外.
1. (x)(A(x)∨B)(x)A(x)∨B； 2. (x)(A(x)∧B)(x)A(x)∧B； 3. (x)(A(x)∨B)(x)A(x)∨B； 4. (x)(A(x)∧B)(x)A(x)∧B； 5. (x)A(x)→B(x)(A(x)→B)； 6. (x)A(x)→B(x)(A(x)→B)； 7. B→(x)A(x)(x)(B→A(x))；
谓词演算的等价式
1. (x)P(x)(x)P(x)； 2. (x)P(x)(x)P(x). 对这两个公式可以证明如下： 证明：设论域为{a1,a2,....,an}，则 (x)P(x)(P(a1)∧P(a2)∧...∧P(an))
P(a1)∨P(a2)∨...∨P(an)(x)P(x). 类似可以证明另一个公式.
(x)P(x)表示：不是所有人都是优等生.
(x) P(x)表示：有些人不是优等生.
(x)P(x)表示：没有人是优等生.
(x)P(x)表示：所有人都不是优等生.
显然：
“不是所有人都是优等生.”与“有些人不是优等生.”是等价 的.
“没有人是优等生.”与“所有人都不是优等生.”是等价的.于 是有：
从这两个公式，可以总结出如下规律：
将量词前的“”移到量词的后边，全称量词改成存在量 词，存在量词改成全称量词;反之也要做相应改变.
4、量词作用域的扩张与收缩
在量词的作用域中，对于合取或者析取项，如果其中一个 为命题，则可将该命题移直量词辖域外.
1. (x)(A(x)∨B)(x)A(x)∨B； 2. (x)(A(x)∧B)(x)A(x)∧B； 3. (x)(A(x)∨B)(x)A(x)∨B； 4. (x)(A(x)∧B)(x)A(x)∧B； 5. (x)A(x)→B(x)(A(x)→B)； 6. (x)A(x)→B(x)(A(x)→B)； 7. B→(x)A(x)(x)(B→A(x))；
谓词演算的等价式
谓词演算的等价式和蕴含式
（9） x(H ( x ) S ( x )) （10）H (a ) S (a )
B xA( x ) x( B A( x ))
xP( x ) xQ( x ) x( P ( x ) Q( x ))
x( P( x ) Q( x )) xP( x ) xQ( x )
xA( x ) xB( x ) x( A( x ) B( x ))
x( A( x ) B) xA( x ) B
x( A( x ) B) xA( x ) B
xA( x ) B x( A( x ) B)
xA( x ) B x( A( x ) B)
B xA( x ) x( B A( x ))
x (H ( x ) S ( x )) x ( H ( x ) C ( x )) x (C ( x ) E ( x )) xE ( x )
xS( x )
证明： （1）xE ( x ) （2） E (a ) （3）x(C ( x ) E ( x )) （4） C (a ) E (a ) （5） C (a ) （6）x( H ( x ) C ( x )) （7） H (a ) C (a )
I15
I16
例2-15用谓词演算的等价式和蕴含式证明 （1）x( P ( x ) Q( x )) xP( x ) xQ( x ) （2） xy( P( x ) Q( y )) xP( x ) yQ( y ) （3） x( P( x ) Q( x )) xP( x ) xQ( x ) 证明(1)： x( P( x ) Q( x ))
如果论域D中的任意一个个体c，都能使A(c)成立， 则由该规则可得结论成立。注意，此时的个体c不是论域 中某一特定的个体，而是泛指论域中所有的个体。
B xA( x ) x( B A( x ))
xP( x ) xQ( x ) x( P ( x ) Q( x ))
x( P( x ) Q( x )) xP( x ) xQ( x )
xA( x ) xB( x ) x( A( x ) B( x ))
x( A( x ) B) xA( x ) B
x( A( x ) B) xA( x ) B
xA( x ) B x( A( x ) B)
xA( x ) B x( A( x ) B)
B xA( x ) x( B A( x ))
x (H ( x ) S ( x )) x ( H ( x ) C ( x )) x (C ( x ) E ( x )) xE ( x )
xS( x )
证明： （1）xE ( x ) （2） E (a ) （3）x(C ( x ) E ( x )) （4） C (a ) E (a ) （5） C (a ) （6）x( H ( x ) C ( x )) （7） H (a ) C (a )
I15
I16
例2-15用谓词演算的等价式和蕴含式证明 （1）x( P ( x ) Q( x )) xP( x ) xQ( x ) （2） xy( P( x ) Q( y )) xP( x ) yQ( y ) （3） x( P( x ) Q( x )) xP( x ) xQ( x ) 证明(1)： x( P( x ) Q( x ))
如果论域D中的任意一个个体c，都能使A(c)成立， 则由该规则可得结论成立。注意，此时的个体c不是论域 中某一特定的个体，而是泛指论域中所有的个体。
1.8谓词演算的推理规则
离散数学 数理逻辑Discrete Mathematics张晓 西北工业大学计算机学院 zhangxiao@ 2011-1-101.8.1“A(x)对y是自由的”可以这样吧 x替换为y 吗？ ∀yP(y)∨Q(y)∨R(x) ∃yP(y,y)∨Q(y,y) ∀yP(y)∨Q(y,y)考察以下谓词公式:∀yP(y)∨Q(x)∨R(x) ∃yP(x,y)∨Q(x,y) ∀yP(y)∨Q(x,y)2011-1-10离散数学2术语“A(x)对y是自由的”: 如果公式A(x)中, x不出现在量词∀y或∃y的辖域之内, 则称A(x)对y 是自由的。
上面的例子中，第二个式子中的x是对y不自由的。
不自由变量，不能进行代入。
想替换x为y时，可以替换与y没有关系（自由）的x，否则不能替换2011-1-10离散数学3(2)式如果有必要代入y, 则应先将式中的约束变元y改名, 例 如, 把(2)式改名为: ∃zP(x, z)∨Q(x, y) 然后代入得 ∃zP(y, z)∨Q(y, y)2011-1-10离散数学41.8.2谓词演算中的推理规则- 命题演算中所有推理规则都是谓词演算中的推理规则; - 谓词演算中的所有永真蕴含式 , 恒等式和代入规则 也都可作为推理规则。
2011-1-10离散数学5(1) 全称指定规则(全称特定化规则/全称量词消去规则 ) (Universal Specification)简记为US∀ xA( x) ∴ A( y )应用US规则的条件是: A(x)对于y必须是自由的。
( 设 A( x) = ∃y( x > y) 则 ∀xA x) = ∀x∃y( x > y) , x,y的 个体域为R， 是一真命题.若应用US得 ∃y( y > y) ，则是错误的。
正确的做法是换成 ∃y( z > y) ( z ∈ R)这一规则也可写为:∀ xA( x)推得A( x) 或它的意义是, 全称量词可以删除。
5.谓词演算(5.1-5.5)
W2
（2）全称消去推理： xW ( X ) W ( A) 6 谓词公式的真值：给定谓词公式wff A，个体域E （1）如果对于A的所有赋值wff A都为真，则称wff A在E上是有效的（永真） （2）如果对于A的所有赋值wff A都为假，则称wff A在E上是不可满足的（永假） （3）如果至少在一种赋值下wff A为真，则称wff A在E上是可满足的
3 变量标准化： 利用变量代换使不同的量词所约束的变元各不相同
x{~ P( x) [y(~ P( y) P( f ( x, y))) w(Q( x, w) ~ P( w))]}
4 消去存在量词： （斯托林标准化） 例如： yxP( x, y ) 解释为：对于任何一个学生y，都存在一个老师x 。显然任取的学生不同，所
xy{[~ P( x) ~ P( y) P( f ( x, y))] [~ P( x) Q( x, g ( x))] [~ P( x) ~ P( g ( x))]}
7 消去全称量词：
由于公式中的所有变元均受全程量词约束，所以可直接将全称量词消去。
[~ P( x) ~ P( y) P( f ( x, y))] [~ P( x) Q( x, g ( x))] [~ P( x) ~ P( g ( x))]
8 消去合取符号：
每个合取项用一个与其等价的子句表示，得到一个子句集。
（ ） P( x) ~ P( y) P( f ( x, y)) 1 ~ （2） P( x) Q( x, g ( x)) ~ （3） P( x) ~ P( g ( x)) ~
9 更换变元名称： （变元分离标准化）
（ ） P( x1) ~ P( y ) P( f ( x1, y)) 1 ~ （2） P( x 2) Q( x 2, g ( x 2)) ~ （3） P( x3) ~ P( g ( x3)) ~
1.8谓词演算的推理规则
☞ 1.8 谓词演算的推理规则
(4)存在指定规则(ES)/存在量词消去规则(EI)
∃xA( x) ∴ A(c)
☞ 1.8 谓词演算的推理规则
这个规则的意思是说:如果个体域中存在着具 有性质A的元素,那么个体域中必有某一元 素c具有性质A. 该式成立的条件是: (1)c是使A为真的特定的个体常项; (2) c不在A(x)中出现; (3)若A(x)中除自由出现的x外,还有其它自由 出现的个体变项,此规则不能使用.
或
∀xA( x) ∴ A(c)
☞ 1.8 谓词演算的推理规则
这个规则的意思是说:如果个体域中的所有元 素都具有性质A,那么个体域中的任一元素 (或某一个元素c)皆具有性质A. 两式成立的条件是: (1)在第一式中,取代x的y应为任意的不在A(x) 中约束出现的个体变项; (2)在第二式中,c为任意的不在A(x)中出现过的 个体常项;
如果个体域中的所有元素都具有性质a那么个体域中的任一元素或某一个元素c皆具有性质a
离散数学
卓泽朋
zhuozepeng@
数学科学学院
☞ 1.8 谓词演算的推理规则
主要内容 一. 推理规则 二. 推理举例
☞ 1.8 谓词演算的推理规则
第1组: 命题演算中的推理规则都是谓词演 算中的推理规则(教材P26). 第2组:谓词演算中所有的永真蕴含式,恒等 式和代入规则都是推理规则(教材P45-P46).
☞ 1.8 谓词演算的推理规则
例3 在个体域为实数集合上构造下列推理的 证明: 所有的有理数是实数.某些有理数是整数.因此 某些实数是整数.
☞ 1.8 谓词演算的推理规则
注: (1)四种规则的意思和各式成立的条件务必 记住; (2)证明方法通常有直接证法和间接证法; (3)证明过程中要先引进带存在量词的前提.
(第6讲)谓词逻辑
XDC
C S | S W U S T (4).量词与否定的交换 量词与否定的交换 ¬∀xA(x) ⇔ ∃x¬A(x) ① ¬∀ ¬ ¬∃xA(x) ⇔ ∀x¬A(x) ② ¬∃ ¬ 例如， D={a，b，c}时 例如，在D={a，b，c}时 ①式左边¬∀ 式左边¬∀xA(x) ⇔¬(A(a) ∧A(b) ∧A(c)) ⇔¬ ¬∀ ⇔¬A(a) ∨¬ ∨¬A(b)∨ ¬A(c) ①式右边∃x¬A(x) ⇔¬ 式右边∃ ¬ ∨ 比较两公式右边可得。 比较两公式右边可得。 在命题逻辑中相当于德.摩根律 摩根律。 ① ②在命题逻辑中相当于德 摩根律。
C S | S W U S T
1.7
谓词演算的公式
例如： 例如：G⇔P→Q∧R P→Q∧ 例如： P(a)→( x)P(f(x)) 例如：A⇔P(a)→(∃x)P(f(x)) 一、谓词公式的解释指对以下一些符号进行指定： 谓词公式的解释指对以下一些符号进行指定： 指对以下一些符号进行指定 1.谓词公式 的论述域为D 谓词公式A的论述域为 谓词公式 的论述域为 2.每一个个体常元指定 中的一个元素 每一个个体常元指定D中的一个元素 每一个个体常元指定 3.每一个 元函数为 n到D的一个映射 每一个n元函数为 每一个 元函数为D 的一个映射 4.每一个 元谓词为 n 到{0,1}的一个映射 每一个n元谓词为 每一个 元谓词为D 的一个映射 称以上一组指定为谓词公式A的一个解释或 称以上一组指定为谓词公式 的一个解释或赋值 的一个解释
XDC
C S | S W U S T (1).命题逻辑中结论的推广 命题逻辑中结论的推广 在命题逻辑中成立的基本逻辑恒等式和 在命题逻辑中成立的基本逻辑恒等式和基本重 基本逻辑恒等式 言蕴含式的代换实例都是谓词逻辑的逻辑等价 言蕴含式的代换实例都是谓词逻辑的逻辑等价 式和重言蕴含式。 式和重言蕴含式。 例：幂等律 蕴含律 ∃xA(x)∧∃ ∧∃xA(x)⇔ ∃xA(x) ∧∃ ⇔ ⇔∀x(¬ ∀x(A(x)→B)⇔∀ ¬A(x)∨B) → ⇔∀ ∨
C S | S W U S T (4).量词与否定的交换 量词与否定的交换 ¬∀xA(x) ⇔ ∃x¬A(x) ① ¬∀ ¬ ¬∃xA(x) ⇔ ∀x¬A(x) ② ¬∃ ¬ 例如， D={a，b，c}时 例如，在D={a，b，c}时 ①式左边¬∀ 式左边¬∀xA(x) ⇔¬(A(a) ∧A(b) ∧A(c)) ⇔¬ ¬∀ ⇔¬A(a) ∨¬ ∨¬A(b)∨ ¬A(c) ①式右边∃x¬A(x) ⇔¬ 式右边∃ ¬ ∨ 比较两公式右边可得。 比较两公式右边可得。 在命题逻辑中相当于德.摩根律 摩根律。 ① ②在命题逻辑中相当于德 摩根律。
C S | S W U S T
1.7
谓词演算的公式
例如： 例如：G⇔P→Q∧R P→Q∧ 例如： P(a)→( x)P(f(x)) 例如：A⇔P(a)→(∃x)P(f(x)) 一、谓词公式的解释指对以下一些符号进行指定： 谓词公式的解释指对以下一些符号进行指定： 指对以下一些符号进行指定 1.谓词公式 的论述域为D 谓词公式A的论述域为 谓词公式 的论述域为 2.每一个个体常元指定 中的一个元素 每一个个体常元指定D中的一个元素 每一个个体常元指定 3.每一个 元函数为 n到D的一个映射 每一个n元函数为 每一个 元函数为D 的一个映射 4.每一个 元谓词为 n 到{0,1}的一个映射 每一个n元谓词为 每一个 元谓词为D 的一个映射 称以上一组指定为谓词公式A的一个解释或 称以上一组指定为谓词公式 的一个解释或赋值 的一个解释
XDC
C S | S W U S T (1).命题逻辑中结论的推广 命题逻辑中结论的推广 在命题逻辑中成立的基本逻辑恒等式和 在命题逻辑中成立的基本逻辑恒等式和基本重 基本逻辑恒等式 言蕴含式的代换实例都是谓词逻辑的逻辑等价 言蕴含式的代换实例都是谓词逻辑的逻辑等价 式和重言蕴含式。 式和重言蕴含式。 例：幂等律 蕴含律 ∃xA(x)∧∃ ∧∃xA(x)⇔ ∃xA(x) ∧∃ ⇔ ⇔∀x(¬ ∀x(A(x)→B)⇔∀ ¬A(x)∨B) → ⇔∀ ∨
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将y代以w，得∀xP( x, w ) ∨ Q( w, w )
如果原式是永真公式, 则代入后仍得永真公式。若原 式是非永真式, 则代入后可能变化。
15
三、变换规则
2）在一公式中, 一个n元(n≥0)谓词变元F(x1, x2,…, xn)可 代以至少有n个自由个体变元的公式G(y1, y2, …, yn, yn+1, …, yn+r), (这里r≥0, y1, y2, …, yn是分别对应于 x1, x2,…, xn的任意选定的n个自由变元), 只须该n元谓词 出现的各处都同样代入, 且代入的公式中, 后边的r个自由 变元不允许在原公式中以约束变元出现; 而F(x1,x2, …, xn) 中的变元也不允许在代入的公式中以约束变元出现。 例如:a)
13
表 1.7 -1 含有量词的永真公式概要表
14
三、变换规则
1.代入规则 1）在一公式中, 任一自由个体变元可代以另一个体变 元, 只需该个体变元出现的各处都同样代入, 且代 入的变元不允许在原来公式中以约束变元出现。 如 ∀xP( x , y) ∨ Q( w , y)，将y代以z，得∀xP( x , z) ∨ Q( w , z)
说明否定词可通 过量词深入到辖 域且两个量词可 相互表达
① 从语义上理解 例如P(x):x今天来上课了； ¬P(x):x今天没来上课。 “不是所有的人都来上课了”等价于“有些人今天没 来上课”。 ②证明：（在有限个体域上证） 设个体域中个体变元为a1,a2,…,an 则 ¬(∀xA(x)) ⇔ ¬(A(a1 ) ∧ A(a 2 ) ∧ ... ∧ A(a n ))
含义：如果对某一确定的x，P(x)为真，则“存在一 个x,使P(x)为真”成立。
由∀xP(x) ⇒ P(x)和P(x) ⇒ ∃xP(x)根据前提三段论得 ∀xP(x) ⇒ ∃xP(x)
7
二、谓词演算的基本永真公式
3）量词的否定
¬ ( ∀ xP(x)) ¬ ( ∃ xP(x)) ⇔ ∃ x ¬ P(x) ⇔ ∀ x ¬ P(x)
11
二、谓词演算的基本永真B( x )) ⇒ ∃xA ( x ) ∧ ∃xB( x ) 因为存在一个x，使A(x) ∧B(x)为真，则存在一个x， 使A(x)为真，同时使B(x)也为真。 注：∃xA ( x ) ∧ ∃xB( x ) ≠> ∃x ( A ( x ) ∧ B( x )) 如A(x):x是奇数；B(x)：x是偶数；论述域为N。 则∃xA( x ) ∧ ∃xB( x )为真，而∃x (A( x ) ∧ B( x ))为假。 ④ 对③用¬A(x), ¬B(x)分别取代A(x),B(x),则 ∃x(¬A ( x ) ∧ ¬B( x )) ⇒ ∃x¬A ( x ) ∧ ∃x¬B( x )) ∃x¬( A ( x ) ∨ B( x )) ⇒ ¬∀xA ( x ) ∧ ¬∀xB( x )
10
二、谓词演算的基本永真公式
5)量词的分配形式 ① ∀x ( A ( x ) ∧ B( x )) ⇔ ∀xA ( x ) ∧ ∀xB( x ) ② ∃x ( A ( x ) ∨ B( x )) ⇔ ∃xA ( x ) ∨ ∃xB( x ) ③ ∃x ( A ( x ) ∧ B( x )) ⇒ ∃xA ( x ) ∧ ∃xB( x ) ④ ∀xA ( x ) ∨ ∀xB( x ) ⇒ ∀x(A ( x ) ∨ B( x )) 证： ①因为对一切x，A(x) ∧ B(x)为真，等价于对一切x， A(x)为真且对一切x， B(x)为真。 ② 对① ∀x (A ( x ) ∧ B( x )) ⇔ ∀xA ( x ) ∧ ∀xB( x ) 用¬A(x), ¬B(x)分别取代A(x),B(x),则
∀xA ⇔ A ∃xA ⇔ A
因为A不含变元x，所以A的真值与x无关，故等式 成立。
6
二、谓词演算的基本永真公式
2）∀xP(x) ⇒ P(y)或∀xP(x) ⇒ P(x) 含义：如果对一切x,P(x)为真，则对任一确定的x， P(x)为真。
P(y) ⇒ ∃xP( x )或P(x) ⇒ ∃xP(x)
当谓词的解释和个体变元的数量稍大, 用真值表判定就 难以实现。一般利用推导方法, 因此, 如同命题演算一样, 首 先要求出基本的永真公式, 以作为推导的根据。
5
二、谓词演算的基本永真公式
1.命题演算的永真公式也是谓词演算的永真公式。 因为谓词演算是命题演算的扩充，所以列于表 1.2 -1 , 表1.2 -2 的恒等式和永真蕴含式同样适用于 谓词演算。 2.含有量词的谓词演算的基本永真公式 1）
∀x ( P( x ) → Q( x )) ∧ ∀x (R ( x ) → ¬Q( x )) ⇒ ( R ( x ) → ¬P( x ))
而 ∀x (P( x ) → Q( x )) ∧ ∀x (R ( x ) → ¬Q( x )) ⇔ ∀x (( P ( x ) → Q( x )) ∧ ( R ( x ) → ¬Q( x )))
⇔ ¬A(a1 ) ∨ ¬A(a 2 ) ∨ ... ∨ ¬A(a n ) ⇔ ∃x¬A(x)
同理可证 ¬(∃xP(x)) ⇔ ∀x¬P(x)
8
二、谓词演算的基本永真公式
例1 x y z(x+z=y) x y z(x+z=y) ⇔∃ ¬∀ ∀ ∃ ∀ ∃
⇔ ∃ x∃ y z(x+z=y) ∃
∀x(¬A ( x ) ∧ ¬B( x )) ⇔ ∀x¬A ( x ) ∧ ∀x¬B( x )) ∀x¬( A ( x ) ∨ B( x )) ⇔ ¬∃xA ( x ) ∧ ¬∃xB( x ) ¬∃x ( A ( x ) ∨ B( x )) ⇔ ¬(∃xA ( x ) ∨ ∃xB( x )) ∃x ( A ( x ) ∨ B( x )) ⇔ ∃xA ( x ) ∨ ∃xB( x )
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一、基本定义
4 .给定任一谓词公式A, 如果在任意论述域上, 对上述两种指派： (1) A永真, 则称A永真或有效。 (2) A至少在一个域上可满足, 则称A可满足。 (3) A永假, 则称A永假或不可满足。 5.解释（相当于命题逻辑中的指派） 如何得到谓词的解释？ 1）确定一个个体域D； 2）给谓词变元指定D上特定谓词； 3）对个体常元指定D上元素； 4）对自由变元指定D上元素。
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作业：P46 1. 证Q17、Q19 2. (b),(c) 4. (b),(d) 5. (c)
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回顾：
谓词和量词 谓词公式及翻译 约束变元和自由变元
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2.2谓词演算的永真公式
一、基本定义 1. 两个任意谓词公式A和B, E是它们公有的论述 域, 若 1) 对公式A和B中的谓词变元(包括命题变元), 指派以任一在E上有定义的确定的谓词。 2) 对谓词命名式中的个体变元, 指派以E中的 任一确定的个体。 所得的命题具有同样的真值, 则称公式A和B遍 及E等价, 记为“在E上A ⇔ B。”
7）关于多个量词的永真式 ① ∀x∀yP( x , y) ⇔ ∀y∀xP( x , y) ② ∀x∀yP( x , y) ⇒ ∃x∀yP( x , y); ∀x∀yP( x , y) ⇒ ∃y∀xP( x , y); ③ ∃y∀xP( x , y) ⇒ ∀x∃yP( x , y) ④ ∀x∃yP( x , y) ⇒ ∃x∃yP( x , y) ⑤ ∃x∃yP( x , y) ⇔ ∃y∃xP( x , y)
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一、基本定义 2 . 如果两谓词公式A和B, 在任意论述域上都等价, 则称A和B等价, 记为A ⇔ B。 3 . 给定任一谓词公式A, 如果在论述域E上, 对公 式A中的谓词和个体变元进行定义 1 中的两种 指派, 所得命题 ： (1) 都真,则称A在E上有效或在E上永真。 (2) 至少有一个是真, 则称A在E上可满足。 (3) 都假, 则称A在E上永假或在E上不可满足。
Q10 ⇔ ∀x ((R ( x ) → ¬Q( x )) ∧ (¬Q( x ) → ¬P( x ))) E5,E24 ⇒ ( R ( x ) → ¬Q( x )) ∧ (¬Q( x ) → ¬P ( x )) Q1 I6 ⇒ R ( x ) → ¬P ( x )
所以
∀x ( P ( x ) → Q( x )) ⇒ ∀x ( R ( x ) → ¬Q( x )) → ( R ( x ) → ¬P ( x ))
⇔ ∃x∃ y z ∀ (x+z=y)
⇔∃ x∃ y z(x+z≠y) ∀
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二、谓词演算的基本永真公式
4）量词辖域的扩张和收缩 ∀xA ( x ) ∨ P ⇔ ∀x(A( x ) ∨ P) ∀xA ( x ) ∧ P ⇔ ∀x(A( x ) ∧ P) ∃xA ( x ) ∨ P ⇔ ∃x(A( x ) ∨ P) ∃xA ( x ) ∧ P ⇔ ∃x(A( x ) ∧ P) P是不含自由变元x的谓词。 证：不论P为T或F，式子左右同真值。
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一、基本定义
若谓词公式A的个体域是有限的, 谓词的解释也有限, 则 可用真值表判定谓词公式A是否永真。 例如: 设P(x)仅可表示为① A(x):x是质数, ② B(x):x是合数。 论述域是{3, 4}, 判定P( x ) ∧ ∃xP( x )是否永真。
⇔ A(3) ∧ (A(3) ∨ A(4)) ⇔ 1 ∧ (1 ∨ 0) ⇔1
P → Q ⇔ ¬P ∨ Q， P代以∀xP( x )，Q代以S(x) 得 ∀xP( x ) → S(x) ⇔ ¬∀xP( x ) ∨ S(x)
若原式是永真式, 则代入后仍得永真式; 若原式是非永真式, 则代 入后可能变化。另外, 命题演算中的代入规则是本规则的特例。
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三、变换规则
2.替换规则
设A(x1 , x 2 ,..., x n ) ⇔ B(x1 , x 2 ,..., x n )，而A是公式C中的 子公式，将B去替换C中的A(不必每一处)，得到D, 则 C ⇔ D。
如果原式是永真公式, 则代入后仍得永真公式。若原 式是非永真式, 则代入后可能变化。
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三、变换规则
2）在一公式中, 一个n元(n≥0)谓词变元F(x1, x2,…, xn)可 代以至少有n个自由个体变元的公式G(y1, y2, …, yn, yn+1, …, yn+r), (这里r≥0, y1, y2, …, yn是分别对应于 x1, x2,…, xn的任意选定的n个自由变元), 只须该n元谓词 出现的各处都同样代入, 且代入的公式中, 后边的r个自由 变元不允许在原公式中以约束变元出现; 而F(x1,x2, …, xn) 中的变元也不允许在代入的公式中以约束变元出现。 例如:a)
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表 1.7 -1 含有量词的永真公式概要表
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三、变换规则
1.代入规则 1）在一公式中, 任一自由个体变元可代以另一个体变 元, 只需该个体变元出现的各处都同样代入, 且代 入的变元不允许在原来公式中以约束变元出现。 如 ∀xP( x , y) ∨ Q( w , y)，将y代以z，得∀xP( x , z) ∨ Q( w , z)
说明否定词可通 过量词深入到辖 域且两个量词可 相互表达
① 从语义上理解 例如P(x):x今天来上课了； ¬P(x):x今天没来上课。 “不是所有的人都来上课了”等价于“有些人今天没 来上课”。 ②证明：（在有限个体域上证） 设个体域中个体变元为a1,a2,…,an 则 ¬(∀xA(x)) ⇔ ¬(A(a1 ) ∧ A(a 2 ) ∧ ... ∧ A(a n ))
含义：如果对某一确定的x，P(x)为真，则“存在一 个x,使P(x)为真”成立。
由∀xP(x) ⇒ P(x)和P(x) ⇒ ∃xP(x)根据前提三段论得 ∀xP(x) ⇒ ∃xP(x)
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二、谓词演算的基本永真公式
3）量词的否定
¬ ( ∀ xP(x)) ¬ ( ∃ xP(x)) ⇔ ∃ x ¬ P(x) ⇔ ∀ x ¬ P(x)
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二、谓词演算的基本永真B( x )) ⇒ ∃xA ( x ) ∧ ∃xB( x ) 因为存在一个x，使A(x) ∧B(x)为真，则存在一个x， 使A(x)为真，同时使B(x)也为真。 注：∃xA ( x ) ∧ ∃xB( x ) ≠> ∃x ( A ( x ) ∧ B( x )) 如A(x):x是奇数；B(x)：x是偶数；论述域为N。 则∃xA( x ) ∧ ∃xB( x )为真，而∃x (A( x ) ∧ B( x ))为假。 ④ 对③用¬A(x), ¬B(x)分别取代A(x),B(x),则 ∃x(¬A ( x ) ∧ ¬B( x )) ⇒ ∃x¬A ( x ) ∧ ∃x¬B( x )) ∃x¬( A ( x ) ∨ B( x )) ⇒ ¬∀xA ( x ) ∧ ¬∀xB( x )
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二、谓词演算的基本永真公式
5)量词的分配形式 ① ∀x ( A ( x ) ∧ B( x )) ⇔ ∀xA ( x ) ∧ ∀xB( x ) ② ∃x ( A ( x ) ∨ B( x )) ⇔ ∃xA ( x ) ∨ ∃xB( x ) ③ ∃x ( A ( x ) ∧ B( x )) ⇒ ∃xA ( x ) ∧ ∃xB( x ) ④ ∀xA ( x ) ∨ ∀xB( x ) ⇒ ∀x(A ( x ) ∨ B( x )) 证： ①因为对一切x，A(x) ∧ B(x)为真，等价于对一切x， A(x)为真且对一切x， B(x)为真。 ② 对① ∀x (A ( x ) ∧ B( x )) ⇔ ∀xA ( x ) ∧ ∀xB( x ) 用¬A(x), ¬B(x)分别取代A(x),B(x),则
∀xA ⇔ A ∃xA ⇔ A
因为A不含变元x，所以A的真值与x无关，故等式 成立。
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二、谓词演算的基本永真公式
2）∀xP(x) ⇒ P(y)或∀xP(x) ⇒ P(x) 含义：如果对一切x,P(x)为真，则对任一确定的x， P(x)为真。
P(y) ⇒ ∃xP( x )或P(x) ⇒ ∃xP(x)
当谓词的解释和个体变元的数量稍大, 用真值表判定就 难以实现。一般利用推导方法, 因此, 如同命题演算一样, 首 先要求出基本的永真公式, 以作为推导的根据。
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二、谓词演算的基本永真公式
1.命题演算的永真公式也是谓词演算的永真公式。 因为谓词演算是命题演算的扩充，所以列于表 1.2 -1 , 表1.2 -2 的恒等式和永真蕴含式同样适用于 谓词演算。 2.含有量词的谓词演算的基本永真公式 1）
∀x ( P( x ) → Q( x )) ∧ ∀x (R ( x ) → ¬Q( x )) ⇒ ( R ( x ) → ¬P( x ))
而 ∀x (P( x ) → Q( x )) ∧ ∀x (R ( x ) → ¬Q( x )) ⇔ ∀x (( P ( x ) → Q( x )) ∧ ( R ( x ) → ¬Q( x )))
⇔ ¬A(a1 ) ∨ ¬A(a 2 ) ∨ ... ∨ ¬A(a n ) ⇔ ∃x¬A(x)
同理可证 ¬(∃xP(x)) ⇔ ∀x¬P(x)
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二、谓词演算的基本永真公式
例1 x y z(x+z=y) x y z(x+z=y) ⇔∃ ¬∀ ∀ ∃ ∀ ∃
⇔ ∃ x∃ y z(x+z=y) ∃
∀x(¬A ( x ) ∧ ¬B( x )) ⇔ ∀x¬A ( x ) ∧ ∀x¬B( x )) ∀x¬( A ( x ) ∨ B( x )) ⇔ ¬∃xA ( x ) ∧ ¬∃xB( x ) ¬∃x ( A ( x ) ∨ B( x )) ⇔ ¬(∃xA ( x ) ∨ ∃xB( x )) ∃x ( A ( x ) ∨ B( x )) ⇔ ∃xA ( x ) ∨ ∃xB( x )
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一、基本定义
4 .给定任一谓词公式A, 如果在任意论述域上, 对上述两种指派： (1) A永真, 则称A永真或有效。 (2) A至少在一个域上可满足, 则称A可满足。 (3) A永假, 则称A永假或不可满足。 5.解释（相当于命题逻辑中的指派） 如何得到谓词的解释？ 1）确定一个个体域D； 2）给谓词变元指定D上特定谓词； 3）对个体常元指定D上元素； 4）对自由变元指定D上元素。
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作业：P46 1. 证Q17、Q19 2. (b),(c) 4. (b),(d) 5. (c)
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谓词和量词 谓词公式及翻译 约束变元和自由变元
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2.2谓词演算的永真公式
一、基本定义 1. 两个任意谓词公式A和B, E是它们公有的论述 域, 若 1) 对公式A和B中的谓词变元(包括命题变元), 指派以任一在E上有定义的确定的谓词。 2) 对谓词命名式中的个体变元, 指派以E中的 任一确定的个体。 所得的命题具有同样的真值, 则称公式A和B遍 及E等价, 记为“在E上A ⇔ B。”
7）关于多个量词的永真式 ① ∀x∀yP( x , y) ⇔ ∀y∀xP( x , y) ② ∀x∀yP( x , y) ⇒ ∃x∀yP( x , y); ∀x∀yP( x , y) ⇒ ∃y∀xP( x , y); ③ ∃y∀xP( x , y) ⇒ ∀x∃yP( x , y) ④ ∀x∃yP( x , y) ⇒ ∃x∃yP( x , y) ⑤ ∃x∃yP( x , y) ⇔ ∃y∃xP( x , y)
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一、基本定义 2 . 如果两谓词公式A和B, 在任意论述域上都等价, 则称A和B等价, 记为A ⇔ B。 3 . 给定任一谓词公式A, 如果在论述域E上, 对公 式A中的谓词和个体变元进行定义 1 中的两种 指派, 所得命题 ： (1) 都真,则称A在E上有效或在E上永真。 (2) 至少有一个是真, 则称A在E上可满足。 (3) 都假, 则称A在E上永假或在E上不可满足。
Q10 ⇔ ∀x ((R ( x ) → ¬Q( x )) ∧ (¬Q( x ) → ¬P( x ))) E5,E24 ⇒ ( R ( x ) → ¬Q( x )) ∧ (¬Q( x ) → ¬P ( x )) Q1 I6 ⇒ R ( x ) → ¬P ( x )
所以
∀x ( P ( x ) → Q( x )) ⇒ ∀x ( R ( x ) → ¬Q( x )) → ( R ( x ) → ¬P ( x ))
⇔ ∃x∃ y z ∀ (x+z=y)
⇔∃ x∃ y z(x+z≠y) ∀
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二、谓词演算的基本永真公式
4）量词辖域的扩张和收缩 ∀xA ( x ) ∨ P ⇔ ∀x(A( x ) ∨ P) ∀xA ( x ) ∧ P ⇔ ∀x(A( x ) ∧ P) ∃xA ( x ) ∨ P ⇔ ∃x(A( x ) ∨ P) ∃xA ( x ) ∧ P ⇔ ∃x(A( x ) ∧ P) P是不含自由变元x的谓词。 证：不论P为T或F，式子左右同真值。
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一、基本定义
若谓词公式A的个体域是有限的, 谓词的解释也有限, 则 可用真值表判定谓词公式A是否永真。 例如: 设P(x)仅可表示为① A(x):x是质数, ② B(x):x是合数。 论述域是{3, 4}, 判定P( x ) ∧ ∃xP( x )是否永真。
⇔ A(3) ∧ (A(3) ∨ A(4)) ⇔ 1 ∧ (1 ∨ 0) ⇔1
P → Q ⇔ ¬P ∨ Q， P代以∀xP( x )，Q代以S(x) 得 ∀xP( x ) → S(x) ⇔ ¬∀xP( x ) ∨ S(x)
若原式是永真式, 则代入后仍得永真式; 若原式是非永真式, 则代 入后可能变化。另外, 命题演算中的代入规则是本规则的特例。
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三、变换规则
2.替换规则
设A(x1 , x 2 ,..., x n ) ⇔ B(x1 , x 2 ,..., x n )，而A是公式C中的 子公式，将B去替换C中的A(不必每一处)，得到D, 则 C ⇔ D。