云南昆明市2019届高三数学摸底试题(文科有答案)
云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试文科数学试题(解析版)
【点睛】本题考查了空间向量解决点的轨迹问题，圆的几何性质和三角形的面积的运算，属于中档题.
二、填空题：本題共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量 ， ，若 ，则 ______.
【答案】2
【解析】
【分析】
由 得 =0，计算可得t的值.
【详解】已知向量 ， ，所以复平面内，复数 对应的点位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【详解】在复平面内，复数 = =1﹣i对应的点（1，﹣1）位于第四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.已知 ， ， ，则下列不等式正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由指数函数的单调性得 ，与常数‘1’比较得 即可得答案.
【详解】因为 在R上递减，且 ，所以 .又因为 在R上递增，且 ，所以 .所以 .
故选：D.
【点睛】本题考查了指数函数的单调性和与常数‘1’比较大小，属于基础题.
D.利润率与人均销售额成负相关关系
【答案】C
【解析】
【分析】
由表格中的数据和线性相关关系的定义即可得到.
【详解】由表格中的数据显示，随着人均销售额的增加，利润率也随之增加，由变量之间的关系可得人均销售额和利润率成正相关关系.
故选：C.
【点睛】本题主要考查变量间的相关关系的定义，考查学生对基础知识的掌握，属于基础题.
故选：A.
【点睛】本题考查了函数切线斜率的应用和求函数的极大值的问题，利用导数判断函数的单调性是关键，属于中档题.
2019年云南省高考数学一模试卷(文科)(解析版)
2019年云南省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合S＝{0，1，2}，T＝{0，3}，P＝S∩T，则P的真子集共有（）A．0个B．1个C．2个D．3个2．（5分）已知i为虚数单位，则＝（）A．B．C．D．3．（5分）某学校为了了解高一年级、高二年级、高三年级这三个年级的学生对学校有关课外活动内容与时间安排的意见，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法C．分层抽样法D．系统抽样法4．（5分）已知点A（﹣1，1），B（0，2），若向量＝（﹣2，3），则向量＝（）A．（3，﹣2）B．（2，﹣2）C．（﹣3，﹣2）D．（﹣3，2）5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值等于（）A．B．C．D．6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1（单位mm），粗实线画出的是某种零件的三视图，则该零件的体积（单位：mm3）为（）A．108+24πB．72+16πC．96+48πD．96+24π7．（5分）为得到函数y＝2sin（3x﹣）的图象，只需要将函数y＝2sin（3x）的图象（）A．向左平行移动个单位B．向右平行移动个单位C．向左平行移动个单位D．向右平行移动个单位8．（5分）已知α，β都为锐角，若tanβ＝，cos（α+β）＝0，则cos2α的值是（）A．B．C．D．9．（5分）已知M是抛物线C：y2＝2px上的任意一点，以M为圆心的圆与直线x＝﹣1相切且经过点N（1，0），设斜率为1的直线与抛物线C交于P，Q两点，则线段PQ的中点的纵坐标为（）A．2B．4C．6D．810．（5分）已知函数f（x）＝，若f（a）＝﹣3，则f（a﹣7）＝（）A．B．C．D．11．（5分）双曲线M的焦点是F1，F2，若双曲线M上存在点P，使△PF1F2是有一个内角为的等腰三角形，则M的离心率是（）A．B．C．D．12．（5分）已知e是自然对数的底数，不等于1的两正数x，y满足log x y+log y x＝，若log x y ＞l，则xlny的最小值为（）A．﹣1B．C．D．﹣二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2019年云南省高考文科数学一模试卷及答案解析
2019年云南省高考文科数学一模试卷一、选择题：本大共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合{0S =，1，2}，{0T =，3}，P S T =I ，则P 的真子集共有( ) A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个2．（5分）复数12(1ii-=+ ) A ．1322i - B ．1322i -+C ．1322i --D ．1322i + 3．（5分）某学校为了了解高一年级、高二年级、高三年级这三个年级的学生对学校有关课外活动内容与时间安排的意见，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( ) A ．抽签法B ．随机数法C ．分层抽样法D ．系统抽样法4．（5分）已知点(1,1)A -，(0,2)B ，若向量(2,3)AC =-u u u r ，则向量(BC =u u u r )A ．(3,2)-B ．(2,2)-C ．(3,2)--D ．(3,2)-5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S 的值等于( )A ．201712B ．201812C ．201912D ．2020126．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1（单位)mm ，粗实线画出的是某种零件的三视图，则该零件的体积（单位：3)mm 为( )A ．10824π+B ．7216π+C ．9648π+D ．9624π+7．（5分）为得到函数2sin(3)3y x π=-的图象，只需要将函数2sin(3)2y x π=+的图象()A ．向左平行移动6π个单位 B ．向右平行移动6π个单位 C ．向左平行移动518π个单位D ．向右平行移动518π个单位8．（5分）已知α，β都为锐角，若4tan 3β=，cos()0αβ+=，则cos2α的值是( ) A ．1825B ．725C ．725-D ．1825-9．（5分）已知M 是抛物线2:2C y px =上的任意一点，以M 为圆心的圆与直线1x =-相切且经过点(1,0)N ，设斜率为1的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点，则线段PQ 的中点的纵坐标为( ) A ．2B ．4C ．6D ．810．（5分）已知函数1222,1()(1),1x x f x log x x -⎧-⎪=⎨-+>⎪⎩…，若f （a ）3=-，则(7)(f a -= )A ．73-B ．32-C ．35D ．4511．（5分）双曲线M 的焦点是1F ，2F ，若双曲线M 上存在点P ，使△12PF F 是有一个内角为23π的等腰三角形，则M 的离心率是( )A1 B1 CD12．（5分）已知e 是自然对数的底数，不等于1的两正数x ，y 满足5log log 2x y y x +=，若log x y l >，则xlny 的最小值为( )A ．1-B ．1e-C ．12e -D ．2e-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
云南省昆明市第一中学2019届高中新课标高三第一次摸底测试(文科)数学试卷及答案
14. 解析： N=12 6+14 6+9 6+13 6=288 ． 15. 解析：由图知，直线 z 4 y x 过 1,0 时， 4 y x 有最小值 1 . 16. 解析： 由已知得 f x log 2
1 9 x 2 3x 3 ， 所以 f x f x 6 ，
i i(1 i) i i 2 1 i ，选 C． 1 i (1 i)(1 i) 2 2
2. 3. 4.
解析：因为 解析：
18 =0.45 ，选 B． 40
5.
4 4 3 解析：由已知得 cos( ) ，即 cos( ) cos ，又 ，所以 （ ， ） 5 5 2 3 sin 0 ，且 sin 1 cos2 ，选 C． 5 解析：在长、宽、高分别为 2 ，1 ， 1 的长方体中截得该三棱锥 A b 3 ， e 1 ( )2 2 ， a a
a2 e a2 2 a 2 2 2 6 2 所以 ，选 A． 3 3 b 3a 3 3a
12. 解 析 ： 由 余 弦 定 理 及 b2 ac a2 得 ， b2 a2 c2 所以有 2 ac co s B 2a ， ac
an an1 d 则 an 2an1 2n d 2n 2n1
n 1
an1 2an 2n 1 d n 2 所以 an1 2an 2 d , an 2an 1 2 d
所以 an 1 2an
是首项为 4,公比为 2 的等比数列.
………6 分
云南省2019届高三第一次高中毕业生复习统一检测文科数学试卷附答案解析
云南省高中毕业生2019年第一次复习统一检测数学试卷（文）一、选择题：本大共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则的真子集共有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B【解析】【分析】先求得两个集合的交集，然后计算出真子集的个数.【详解】依题意，其真子集为，只有一个真子集，故选B.【点睛】本小题主要考查两个集合交集的运算，考查真子集的个数，属于基础题.2.已知为虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算，对题目所给表达式进行化简.【详解】依题意，原式，故选A.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查运算求解能力，属于基础题. 求解与复数概念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即的形式，再根据题意求解.3.某学校为了了解高一年级、高二年级、高三年级这三个年级的学生对学校有关课外活动内容与时间安排的意见，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A. 抽签法B. 随机数法C. 分层抽样法D. 系统抽样法【答案】C【解析】【分析】根据抽样方法适用的情形，结合题意，选出正确选项.【详解】由于研究对象是三个年级学生的意见，故应按分层抽样法来抽取，故选C.【点睛】本小题主要考查抽样方法的选择，考查分层抽样的适用情况，属于基础题.4.已知点，，若向量，则向量（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得，然后利用向量的减法运算求得.【详解】依题意，，故选D.【点睛】本小题主要考查平面向量的减法运算，考查平面向量的坐标运算，属于基础题.5.执行如图所示的程序框图，则输出的值等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】运行程序，计算的值，当时退出循环，求得输出的值.【详解】运行程序，，判断否，，判断否，，判断否，……，以此类推，，判断是，输出.故选C.【点睛】本小题主要考查计算循环结构程序框图输出的结果，属于基础题.6.如图，网格纸上小正方形的边长为1（单位mm），粗实线画出的是某种零件的三视图，则该零件的体积（单位：）为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三视图得到几何体是由一个圆柱和一个长方体构成，由此计算出几何体的体积.【详解】由三视图可知，该几何体是由一个圆柱和一个长方体构成，故体积为，故选A.【点睛】本小题主要考查由三视图判断原图，考查圆柱和长方体体积的计算，属于基础题.7.为得到函数的图象，只需要将函数的图象（）A. 向左平行移动个单位B. 向右平行移动个单位C. 向左平行移动个单位D. 向右平行移动个单位【答案】D【解析】【分析】利用计算出项右平移的单位.【详解】依题意向右平移个单位，得到的图像.【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，主要是平移变换，属于基础题.8.已知，都为锐角，若，，则的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用求得，由此求得的表达式，利用诱导公式化简，并利用齐次方程计算出的值.【详解】由于，所以，所以.故选B.【点睛】本小题主要考查余弦函数的零点，考查诱导公式、二倍角公式以及齐次方程，属于中档题.9.已知是抛物线：上的任意一点，以为圆心的圆与直线相切且经过点，设斜率为1的直线与抛物线交于，两点，则线段的中点的纵坐标为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】A【解析】【分析】根据抛物线的定义求得抛物线的方程，设出斜率为的直线的方程，联立直线的方程和抛物线方程，消去，然后利用韦达定理求得中点的纵坐标.【详解】由于为圆心的圆与直线相切且经过点，根据抛物线的定义可知为抛物线的焦点，故，，所以抛物线方程为.设斜率为的直线的方程为，则，代入抛物线方程得，即，所以，.即中点的纵坐标为，故选A.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题.10.已知函数，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通过分析后将代入函数第二段表达式，解方程求得的值，进而求得的值.【详解】由于，而，故，，所以.故.故选B.【点睛】本小题主要考查分段函数求值，考查指数函数的值域，考查对数运算，属于基础题.11.双曲线的焦点是，，若双曲线上存在点，使是有一个内角为的等腰三角形，则的离心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据是有一个内角为的等腰三角形，求得点的坐标，代入双曲线方程，化简后求得离心率.【详解】不妨设在第一象限，由于是有一个内角为的等腰三角形，故，代入双曲线方程得，化简得，，解得，故.所以选C.【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查等腰三角形的知识，属于基础题.12.已知是自然对数的底数，不等于1的两正数，满足，若，则的最小值为（）A. -1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用对数的运算公式，化简，求得的值，由此求得的关系式，化简，并利用导数求得最小值.【详解】依题意，即，由于，故上式解得，即.所以.构造函数（为不等于的正数）.，故函数在上递减，在上递增，所以最小值为.故选D.【点睛】本小题主要考查对数运算，考查利用导数求表达式的最小值的方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题。
云南省2019年高考数学一模试卷(文科)含答案解析
云南省2019年高考数学一模试卷（文科）（解析版）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合S={1，2，a}，T={2，3，4，b}，若S∩T={1，2，3}，则a﹣b=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣22．设i是虚数单位，复数化简是（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i3．已知平面向量=（x，1），=（2，﹣3），如果，那么x=（）A．B．﹣C．D．﹣4．函数y=sin2x﹣2sin2x+1的最大值为（）A．2 B．C．3 D．5．若运行如图所示程序框图，则输出结果S的值为（）A．94 B．86 C．73 D．566．如图是底面半径为1，高为2的圆柱被削掉一部分后剩余的几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图），则被削掉的那部分的体积为（）A ．B ．C ．﹣2D ．27．直线y=2x +1与圆x 2+y 2﹣2x +4y=0的位置关系为（ ） A ．相交且经过圆心 B ．相交但不经过圆心C ．相切D ．相离8．为得到函数y=sin （2x ﹣）的图象，只需将函数y=sin2x 的图象（ ）A ．向左平移个长度单位B ．向右平移个长度单位C ．向左平移个长度单位D ．向右平移个长度单位9．在数列{a n }中，a 1=，a 2=，a n a n+2=1，则a 2019+a 2019=（ ）A ．B ．C ．D ．510．在长为3m 的线段AB 上任取一点P ，则点P 与线段两端点A 、B 的距离都大于1m 的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．11．设F 1，F 2是双曲线C ：的两个焦点，点P 在C 上，且=0，若抛物线y 2=16x 的准线经过双曲线C 的一个焦点，则|||的值等于（ ）A ．2B ．6C ．14D ．1612．已知函数f（x）的定义域为实数集R，，则f（10）﹣f（﹣100）的值为（）A．﹣8 B．﹣16 C．55 D．101二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．曲线f（x）=2﹣xe x在点（0，2）处的切线方程为．14．若x，y满足约束条件，则z=3x+y+2的最大值为．15．已知三棱锥P﹣ABC的顶点P、A、B、C在球O的表面上，△ABC是边长为的等边三角形，如果球O的表面积为36π，那么P到平面ABC距离的最大值为．16．△ABC中，内角A、B、C对的边分别为a、b、c，如果△ABC的面积等于8，a=5，tanB=﹣，那么=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．等比数列{a n}的前n项和为S n，a1+a2+a3=26，S6=728．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：．18．某校高二年级共有1600名学生，其中男生960名，640名，该校组织了一次满分为100分的数学学业水平模拟考试，根据研究，在正式的学业水平考试中，本次成绩在[80，100]的学生可取得A等（优秀），在[60，80）的学生可取得B等（良好），在[40，60）的学生可取得C等（合格），在不到40分的学生只能取得D等（不合格），为研究这次考试成绩优秀是否与性别有关，现按性别采用分层抽样的方法抽取100名学生，将他们的成绩按从低到高分成[30，40）、[40，50）、[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]七组加以统计，绘制成频率分布直方图，如图是该频率分布直方图．（Ⅰ）估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中，成绩不合格的人数；（Ⅱ）请你根据已知条件将下列2×2列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”？附：．19．如图，在三棱锥A﹣BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：AE⊥BD；（Ⅱ）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求三棱锥D﹣ABC的体积．20．已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆E交于A、B两个相异点，且．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若，求m2的取值范围．21．已知常数a≠0，f（x）=alnx+2x．（1）当a=﹣4时，求f（x）的极值；（2）当f（x）的最小值不小于﹣a时，求实数a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，BC是⊙O的直径，EC与⊙O相切于C，AB是⊙O的弦，D是的中点，BD 的延长线与CE交于E．（Ⅰ）求证：BCCD=BDCE；（Ⅱ）若，求AB．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2019云南一模）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=．（I）直接写出直线l、曲线C的直角坐标方程；（II）设曲线C上的点到直线l的距离为d，求d的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x﹣2|+|x+1|+2|x+2|．（Ⅰ）求证：f（x）≥5；（Ⅱ）若对任意实数都成立，求实数a的取值范围．2019年云南省高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合S={1，2，a}，T={2，3，4，b}，若S∩T={1，2，3}，则a﹣b=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【分析】由S，T，以及S与T的交集确定出a与b的值，即可求出a﹣b的值．【解答】解：∵S={1，2，a}，T={2，3，4，b}，且S∩T={1，2，3}，∴a=3，b=1，则a﹣b=3﹣1=2，故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．设i是虚数单位，复数化简是（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【分析】复数的分子、分母同乘复数单位i，分母实数化，把式子化简到最简形式．【解答】解：复数===1﹣i．故选：D．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．已知平面向量=（x，1），=（2，﹣3），如果，那么x=（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】根据平面向量的坐标表示与共线定理，列出方程求出x的值．【解答】解：平面向量=（x，1），=（2，﹣3），且，∴﹣3x﹣1×2=0，解得x=﹣．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与共线定理的应用问题，是基础题目．4．函数y=sin2x﹣2sin2x+1的最大值为（）A．2 B．C．3 D．【分析】使用二倍角公式和两角和的正弦公式化简，根据正弦函数的性质得出最大值．【解答】解：y=sin2x+cos2x=sin（2x+）．∴y的最大值是．故选：B．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于基础题．5．若运行如图所示程序框图，则输出结果S的值为（）A．94 B．86 C．73 D．56【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=1i=2，S=4不满足条件i＞5，i=3，S=10，不满足条件i＞5，i=4，S=22，不满足条件i＞5，i=5，S=46，不满足条件i＞5，i=6，S=94，满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为94．故选：A．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法．6．如图是底面半径为1，高为2的圆柱被削掉一部分后剩余的几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图），则被削掉的那部分的体积为（）A．B．C．﹣2 D．2【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是半圆锥体与直三棱锥的组合体，求出该几何体的体积，再求出圆柱的体积，即可求出被削掉的那部分体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面半径为1，高为2的半圆锥体，与底面为等腰三角形高为2的三棱锥的组合体，其体积为πr2h+Sh=π×12×2+××2×1×2=；又圆柱的体积为πr2h=π×12×2=2π，所以被削掉的那部分的体积为2π﹣=．故选：B．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积的应用问题，也考查了三视图与实物图之间的关系问题，解题时应用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表体积的应用问题，是基础题目．7．直线y=2x+1与圆x2+y2﹣2x+4y=0的位置关系为（）A．相交且经过圆心B．相交但不经过圆心C．相切 D．相离【分析】先求出圆心和半径r，再求出圆心到直线的距离d，由d=r得直线y=2x+1与圆x2+y2﹣2x+4y=0的位置关系为相切．【解答】解：∵圆x2+y2﹣2x+4y=0的圆半径r==，圆心（1，﹣2），圆心（1，﹣2）到直线y=2x+1的距离d===r，∴直线y=2x+1与圆x2+y2﹣2x+4y=0的位置关系为相切．故选：C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与圆的位置关系的合理运用．8．为得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【分析】把函数y=sin（2x﹣）变为y=sin[2（x﹣）]，然后由x得变化得答案．【解答】解：∵y=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）]，∴要得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需将函数y=sin2x的图象向右平移个长度单位．故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的平移，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，是基础题．9．在数列{a n}中，a1=，a2=，a n a n+2=1，则a2019+a2019=（）A．B．C．D．5【分析】a1=，a2=，a n a n+2=1，可得：a4n﹣3=，a4n﹣1=2，a4n﹣2=，a4n=3．即可得出．【解答】解：∵a1=，a2=，a n a n+2=1，∴a3=2，a5=，…，可得：a4n﹣3=，a4n﹣1=2．同理可得：a4n﹣2=，a4n=3．∴a2019+a2019=3+=．故选：C．【点评】本题考查了数列的递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．在长为3m的线段AB上任取一点P，则点P与线段两端点A、B的距离都大于1m的概率是（）A．B．C．D．【分析】由题意可得，属于与区间长度有关的几何概率模型，试验的全部区域长度为3，基本事件的区域长度为1，代入几何概率公式可求【解答】解：设“长为3m的线段AB”对应区间[0，3]“与线段两端点A、B的距离都大于1m”为事件A，则满足A的区间为[1，2]根据几何概率的计算公式可得，故选：B【点评】本题主要考查了几何概型，解答的关键是将原问题转化为几何概型问题后应用几何概率的计算公式求解．11．设F1，F2是双曲线C：的两个焦点，点P在C上，且=0，若抛物线y2=16x的准线经过双曲线C的一个焦点，则|||的值等于（）A．2 B．6 C．14 D．16【分析】求得抛物线的准线方程x=﹣4，可得双曲线的c=4，由向量垂直的条件和勾股定理，可得PF12+PF22=F1F22=4c2=64，①由双曲线的定义可得|PF1﹣PF2|=2a=6，②，运用平方相减即可得到所求值．【解答】解：抛物线y2=16x的准线为x=﹣4，由题意可得双曲线的一个焦点为（﹣4，0），即有c=4，由=0可得PF1⊥PF2，由勾股定理可得，PF12+PF22=F1F22=4c2=64，①由双曲线的定义可得|PF1﹣PF2|=2a=6，②①﹣②2，可得2PF1PF2=28，即有|||的值等于14．故选：C．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查向量垂直的条件以及勾股定理，同时考查抛物线的方程和性质的运用，属于中档题．12．已知函数f（x）的定义域为实数集R，，则f（10）﹣f（﹣100）的值为（）A．﹣8 B．﹣16 C．55 D．101【分析】根据所给解析式凑数计算f（10）和f（﹣100）．【解答】解：f（10）=f（100﹣90）=lg100=2，f（﹣100）=f（﹣10﹣90）=﹣（﹣10）=10．∴f（10）﹣f（﹣100）=2﹣10=﹣8．故选：A．【点评】本题考查了函数值的计算，属于基础题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．曲线f（x）=2﹣xe x在点（0，2）处的切线方程为x+y﹣2=0．【分析】求得函数的导数，求出切线的斜率，由斜截式方程可得所求切线的方程．【解答】解：f（x）=2﹣xe x的导数为f′（x）=﹣（1+x）e x，可得在点（0，2）处的切线斜率为k=﹣1，即有在点（0，2）处的切线方程为y=﹣x+2，即为x+y﹣2=0．故答案为：x+y﹣2=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，正确求导和运用直线方程是解题的关键．14．若x，y满足约束条件，则z=3x+y+2的最大值为5．【分析】先作出约束条件，满足的可行域，再求z=3x+y+2的最大值．【解答】解：作出约束条件，满足的可行域：∵O（0，0），A（1，0），B（0，1），z=3x+y+2，∴z O=3×0+0+2=2，z A=3×1+0+2=5，Z B=3×0+1+2=3，∴z=3x+y+2的最大值为5．故答案为：5．【点评】本题考查简单的线性规划的应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答．15．已知三棱锥P﹣ABC的顶点P、A、B、C在球O的表面上，△ABC是边长为的等边三角形，如果球O的表面积为36π，那么P到平面ABC距离的最大值为．【分析】求出球心O到平面ABC的距离，即可求出P到平面ABC距离的最大值．【解答】解：△ABC是边长为的等边三角形，外接圆的半径为1，球O的表面积为36π，球的半径为3，∴球心O到平面ABC的距离为=2，∴P到平面ABC距离的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查P到平面ABC距离的最大值，考查勾股定理的运用，考查球的表面积，属于中档题．16．△ABC中，内角A、B、C对的边分别为a、b、c，如果△ABC的面积等于8，a=5，tanB=﹣，那么=．【分析】求出sinB，利用三角形的面积公式求出c的长度，进一步利用余弦定理求出b的长度，在应用正弦定理和等比性质求出结果．【解答】解：△ABC中，∵tanB=﹣，∴sinB=，cosB=﹣．又S==2c=8，∴c=4，∴b==．∴==．故答案为：．【点评】本题考查的知识点：三角形的面积公式，余弦定理和正弦定理的应用，等比性质的应用．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．等比数列{a n}的前n项和为S n，a1+a2+a3=26，S6=728．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：．【分析】（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，从而可得，从而解方程即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，从而写出，，从而证明．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，由728≠2×26得S6≠2S3，故q≠1，故，解得，∴．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得，；∴，，∴．【点评】本题考查了等比数列的性质应用及前n项和公式的应用．18．某校高二年级共有1600名学生，其中男生960名，640名，该校组织了一次满分为100分的数学学业水平模拟考试，根据研究，在正式的学业水平考试中，本次成绩在[80，100]的学生可取得A等（优秀），在[60，80）的学生可取得B等（良好），在[40，60）的学生可取得C等（合格），在不到40分的学生只能取得D等（不合格），为研究这次考试成绩优秀是否与性别有关，现按性别采用分层抽样的方法抽取100名学生，将他们的成绩按从低到高分成[30，40）、[40，50）、[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]七组加以统计，绘制成频率分布直方图，如图是该频率分布直方图．（Ⅰ）估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中，成绩不合格的人数；（Ⅱ）请你根据已知条件将下列2×2列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”？附：．【分析】（Ⅰ）利用频率分布直方图中的数据，求出不合格的概率，然后求解不合格的人数．（Ⅱ）由列联表中数据，代入公式，求出K2的值，进而与临界值比较，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）抽取的100名学生中，本次考试成绩不合格的有x人，根据题意得x=100×[1﹣10×（0.006+0.012×2+0.018+0.024+0.026）]=2．…（2分）据此估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中，成绩不合格的人数为（人）．…（4分）（Ⅱ）根据已知条件得2×2列联表如下：…（10分）∵，所以，没有90%的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”．…（12分）【点评】本题考查独立性检验的应用，考查数据处理能力、运算求解能力和应用意识，本题解题的关键是正确运算出观测值，理解临界值对应的概率的意义，要想知道两个变量之间的有关或无关的精确的可信程度，只有利用独立性检验的有关计算，才能做出判断，本题是一个基础题．19．如图，在三棱锥A﹣BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：AE⊥BD；（Ⅱ）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求三棱锥D﹣ABC的体积．【分析】（Ⅰ）设BD的中点为O，连接AO，EO，证明AO⊥BD，CD⊥BD，EO⊥BD．推出BD⊥平面AOE，然后证明AE⊥BD．（Ⅱ）利用三棱锥D﹣ABC与C﹣ABD的体积相等，求出S△ABD，然后求解三棱锥C﹣ABD 的体积即可．【解答】（Ⅰ）证明：设BD的中点为O，连接AO，EO，∵AB=AD，∴AO⊥BD，又∵E 为BC的中点，∴EO∥CD，∵CD⊥BD，∴EO⊥BD．…（3分）∵OA∩OE=O，∴BD⊥平面AOE，又∵AE⊂平面AOE，∴AE⊥BD．…（6分）（Ⅱ）解：由已知得三棱锥D﹣ABC与C﹣ABD的体积相等．…（7分）∵CD⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD，BD==．由已知可得：S△ABD=BD=．∴三棱锥C﹣ABD的体积．所以，三棱锥D﹣ABC的体积为．…（12分）【点评】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面垂直的性质定理的应用，考查转化思想以及计算能力，空间想象能力．20．已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆E交于A、B两个相异点，且．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若，求m2的取值范围．【分析】（Ⅰ）设椭圆E的方程为，通过离心率，以及a，b，c的关系，利用以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为，求出a，b，即可得到椭圆E的方程．（Ⅱ）求出P（0，m），设A（x1，kx1+m），B（x2，kx2+m），通过直线与椭圆方程联立，利用△＞0，推出不等式，k2﹣m2+4＞0．由，得到，然后求解m2的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）根据已知设椭圆E的方程为，焦距为2c，由已知得，∴．…（3分）∵以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为，∴，∴a=2，b=1．∴椭圆E的方程为．…（6分）（Ⅱ）根据已知得P（0，m），设A（x1，kx1+m），B（x2，kx2+m），由得（k2+4）x2+2mkx+m2﹣4=0，由已知得△=4m2k2﹣4（k2+4）（m2﹣4）＞0，即k2﹣m2+4＞0．且．…（9分）由得﹣x1=3x2，即x1=﹣3x2．∴，∴，即m2k2+m2﹣k2﹣4=0．当m2=1时，m2k2+m2﹣k2﹣4=0不成立．∴，∵k2﹣m2+4＞0，∴，即．∴1＜m2＜4，所以m2的取值范围为（1，4）．…（12分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．21．已知常数a≠0，f（x）=alnx+2x．（1）当a=﹣4时，求f（x）的极值；（2）当f（x）的最小值不小于﹣a时，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出f（x）的导数，得到函数的单调区间，求出函数的极小值即可；（2）问题转化为alnx+2x+a≥0，令g（x）=alnx+2x+a，g′（x）=+2，通过讨论g（x）的单调性，求出a的范围即可．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），a=﹣4时，f（x）=﹣4lnx+2x，f′（x）=2﹣=，令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：x＜2，∴f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，=f（2）=4﹣4ln2；∴f（x）极小值（2）f（x）的最小值不小于﹣a，即alnx+2x+a≥0，令g（x）=alnx+2x+a，g′（x）=+2，a≥0时，g（x）在（0，+∞）递增，无最小值，不合题意，a＜0时，令g′（x）＞0，解得：x＞﹣，令g′（x）＜0，解得：x＜﹣，∴g（x）在（0，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增，=g（﹣）=aln（﹣）≥0，∴g（x）最小值解得：﹣2≤a＜0．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，BC是⊙O的直径，EC与⊙O相切于C，AB是⊙O的弦，D是的中点，BD 的延长线与CE交于E．（Ⅰ）求证：BCCD=BDCE；（Ⅱ）若，求AB．【分析】（Ⅰ）根据切线的性质、直径所对的圆周角是直角得到角之间的关系，由三角形相似判定定理和性质，证明结论成立；（Ⅱ）根据等弧所对的圆周角相等得∠ABD=∠CBD，由直径所对的圆周角、三角形全等判定定理得△BDC≌△BDF，得到CD=FD，BC=BF，根据勾股定理、射影定理求出CD、BC，由割线定理得求出AB．【解答】证明：（Ⅰ）∵BC是⊙O的直径，EC与⊙O相切于C，D是AC弧的中点，∴∠CBD=∠ECD，∠BDC=∠CDE=∠BCE=90°，∴△BCD∽△CED．…（3分）∴，∴BCCD=BDCE．…（5分）解：（Ⅱ）设BA的延长线与CD的延长线交于F，∵D是AC弧的中点，∴∠ABD=∠CBD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=∠BDF=90°，∴△BDC≌△BDF．∴CD=FD，BC=BF，在Rt△CDE中，．∴．∵∠BDC=∠BCE=90°，∴CD2=BDDE，∴，∴，∴BF=4．…（8分）由割线定理得（FB﹣AB）FB=FDFC，即，解得．∴．…（10分）【点评】本题考查圆的切线性质，圆周角的性质，三角形相似、全等的判定定理，以及割线定理等应用，属于综合题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2019云南一模）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=．（I）直接写出直线l、曲线C的直角坐标方程；（II）设曲线C上的点到直线l的距离为d，求d的取值范围．【分析】（I）将直线的参数方程相减消去参数t，得到直线l的普通方程，将曲线的极坐标方程两边平方，得出曲线C的普通方程；（II）求出曲线C的参数方程，把参数方程代入点到直线的距离公式，利用三角函数的性质解出d的最值．【解答】解：（I）∵（t为参数），∴x﹣y=﹣3，即x﹣y+3=0．∴直线l的直角坐标方程是x﹣y+3=0．∵ρ=，∴ρ2=，即ρ2+2ρ2cos2θ=3．∴曲线C的直角坐标方程为3x2+y2=3，即．（II）曲线C的参数方程为（α为参数），则曲线C上的点到直线l的距离d==．∴当cos（）=1时，d取得最大值，当cos（）=﹣1时，d取得最小值．∴d的取值是[，]．【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，参数方程在求距离中的应用，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x﹣2|+|x+1|+2|x+2|．（Ⅰ）求证：f（x）≥5；（Ⅱ）若对任意实数都成立，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，得到关于f（x）的分段函数，从而求出f（x）的最小值即可；（Ⅱ）根据基本不等式的性质求出a的范围即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵，∴f（x）的最小值为5，∴f（x）≥5．…（5分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：15﹣2f（x）的最大值等于5．…（7分）∵，“=”成立，即，∴当时，取得最小值5．当时，，又∵对任意实数x，都成立，∴．∴a的取值范围为．…（10分）【点评】本题考查了绝对值不等式的问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题．。
云南省昆明市2019届高三高考模拟(第四次统测)文科数学试题(解析版)
昆明市2019届高考模拟考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1.已知集合{(,)|}A x y y x ==-，{(,)|}B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】判断集合,A B 元素的属性特征，可以知道集合,A B 都是点集，所以A B 就是求直线,y x y x ==-的交点，这样就可以确定AB 中元素的个数.【详解】因为集合(){,|}A x y y x ==-，(){,|}B x y y x ==，所以{}(,)(0,0)y x A B x y y x ⎧⎫=⎧⎪⎪⋂==⎨⎨⎬=-⎩⎪⎪⎩⎭，所以A B 中元素的个数为1，故本题选B.【点睛】本题考查了集合的交集运算.解决此类问题的关键是对集合元素属性特征的认识.2.在复平面内，与复数11i+对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】应用复数除法的运算法则，简化复数，最后确定复数对应的点的位置.【详解】11111(1)(1)22i i i i i -==-++-,复数11i +对应的点为11(,)22-，它在第四象限，故本题选D. 【点睛】本题考查通过复数的除法运算法则，化简后判断复数对应的点的位置.3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，721S =，则4a =（ ） A. 0 B. 2C. 3D. 6【答案】C 【解析】 【分析】因为{}n a 是等差数列，根据721S =，可以求出176a a +=，利用等差数列的性质可以求出4a =3. 【详解】因为{}n a 是等差数列，所以1717744217)2(6263S a a a a a a ++=⇒=⇒=⇒==,故本题选C. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式和等差数列的性质.考查了运算能力.4.“1x >”是“21x >”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】判断充分条件还是必要条件，就看由题设能否推出结论，和结论能否推出题设，本着这个原则，显然1x >能推出21x >，但是21x >不一定能推出1x >，有可能1x <-，所以可以判断“1x >”是“21x >”的充分不必要条件.【详解】因为由1x >⇒21x >，由21x >推不出1x >，有可能1x <-， 所以“1x >”是“21x >”的充分不必要条件，故本题选A.【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的判定，解题的关键是理解掌握它们定义，对于本题正确求解不等式也很关键.5.已知双曲线C 的一个焦点坐标为，渐近线方程为y x =，则C 的方程是（ ） A. 2212y x -=B. 2212x y -=C. 2212y x -=D. 2212x y -=【答案】B 【解析】 【分析】通过双曲线C 的一个焦点坐标为),可以求出 c ，渐近线方程为y x =，可以得到2b a =，结合c =，可以求出,a b 的值，最后求出双曲线的方程.【详解】因为双曲线C 的一个焦点坐标为),所以c =，又因为双曲线C 的渐近线方程为y x =，所以有2b a =a ⇒=，c =而c ，所以解得1a b ==，因此双曲线方程为2212x y -=，故本题选B.【点睛】本题考查了求双曲线的标准方程，考查了解方程、运算能力.6.已知直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，若αβ⊥，则下列结论正确的是 A. l β∥或l β⊂ B. //l m C. m α⊥ D. l m ⊥【答案】A 【解析】 【分析】选项A 中l 与β位置是平行或在平面内，选项B 中l 与m 可能共面或异面，选项C 中m 与α的位置不确定，选项D 中l 与m 的位置关系不确定．【详解】对于A ，直线l ⊥平面α，αβ⊥，则l β//或l β⊂，A 正确；对于B ，直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，且αβ⊥，则//l m 或l 与m 相交或l 与m 异面，∴B 错误； 对于C ，直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，且αβ⊥，则m α⊥或m 与α相交或m α⊂或//m α，∴C 错误；对于D ，直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，且αβ⊥，则//l m 或l 与m 相交或l 与m 异面，∴D 错误． 故选：A ．【点睛】本题考查了空间平面与平面关系的判定及直线与直线关系的确定问题，也考查了几何符号语言的应用问题，是基础题．7.将函数sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A. 在区间,]1212π5π[-上单调递增 B. 在区间511[,]1212ππ上单调递增 C. 在区间[,]63ππ-上单调递增 D.区间5[,]36ππ上单调递增 【答案】A 【解析】 【分析】函数sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度，所得图象对应的函数的解析式为： sin 2()sin(2)63y x y x ππ=-⇒=-，单调递增区间：5222()()2321212k x k k Z k x k k Z πππππππππ-≤-≤+∈⇒-≤≤+∈， 单调递减区间：3511222()()2321212k x k k Z k x k k Z πππππππππ+≤-≤+∈⇒-≤≤+∈，由此可见，当0k =时，函数在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故本题选A. 【详解】本题考查了正弦型函数图象的平移变换以及求正弦型函数的单调区间.8.函数()y f x =的导函数()y f'x =的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】求出导函数大于零、小于零的区间，这样原函数的单调性的情况也就知道，对照选项，选出正确的答案. 【详解】如下图所示：当,x a b x c <<<时，'()0,()f x f x >单调递增；当,a x b x c <<>时，'()0,()f x f x <单调递减，所以整个函数从左到右，先增后减，再增最后减，选项A 中的图象符合，故本题选A.【点睛】本题考查了利用导函数的正负性研究原函数的单调性.本题容易受导函数的增减性干扰.9.黄金矩形是宽（b）与长（a）的比值为黄金分割比1()2ba=的矩形，如图所示，把黄金矩形ABCD分割成一个正方形ADEF和一个黄金矩形BCEF，再把矩形BCEF分割出正方形CEGH．在矩形ABCD 内任取一点，则该点取自正方形CEGH内的概率是（）A.12B.32-C. 2D.22【答案】C 【解析】【分析】设矩形的长，宽分别为,a b,所以b=，把黄金矩形ABCD分割成一个正方形ADEF和一个黄金矩形BCEF,所以CE a b=-=，设矩形ABCD的面积为S,正方形CEGH的面积为'S,设在矩形ABCD内任取一点，则该点取自正方形CEGH内的概率是P,则2')2SPS===，故本题选C.【详解】本题考查了几何概型，考查了运算能力.10.己知椭圆E：22221(0)x ya ba b+=>>，直线l过焦点且倾斜角为4π，以椭圆的长轴为直径的圆截l所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为（ ）A.3B.C.D.【答案】D 【解析】【详解】直线l 的方程为y x c =±，以椭圆的长轴为直径的圆截l 所得的弦为AB ,2AB c =，设O C A B⊥，垂足为C ，则2OC c ==，在Rt OAC ∆中，22222222113()222OA AC OC a AB c a c c e =+⇒=+⇒=⇒=⇒=，故本题选D. 【点睛】本题考查了椭圆的离心率的求法.考查了圆弦长公式，考查了运算能力.11.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若此几何体的各个顶点在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A. 8πB. 9πC. 32πD. 36π【答案】B 【解析】 【分析】通过三视图，还原为立体几何图形，然后补成长方体中，利用长方体对角线的长求出外接球的半径，进而求出球的表面积.【详解】通过三视图可知，该几何体是直三棱柱111D AC DAC -，其中底面是直角三角形，把它补成长方体如下图所示：连接1D B ,设外接球的半径为R ，所以有23R ====,球的表面积为249R ππ=,故本题选B.【点睛】本题考查了通过三视图，识别空间几何体，并求这个空间几何体外接球的表面积，考查了空间想象能力、运算能力.12.己知奇函数()f x 的导函数为'()f x ，x ∈R ．当(0,)x ∈+∞时，'()()0xf x f x +>．若()2(2)(2)af a f a af a ≥-+-，则实数a 的取值范围是（ ）A. (,1)-∞-B. [1,1]-C. (,1][1,)-∞-+∞D. [1,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】通过给出的不等式，可以联想导数的运算法则，再结合问题所给的形式，构造新函数()()g x xf x =，这样可以知道当(0,)x ∈+∞时，函数()g x 的单调性，再判断函数()g x 的奇偶性， 另一方面，利用奇函数()f x 的性质可以化简()2(2)(2)af a f a af a ≥-+-，这样可以得到与新函数的有关的不等式，利用()g x 的单调性、奇偶性可以求出实数a 的取值范围.【详解】设()()g x xf x =''()()()0g x f x xf x ⇒=+>所以当(0,)x ∈+∞时，()g x 是增函数，因为()f x 是奇函数，所以有()()f x f x -=-，因此有()()()()()g x x f x xf x g x -=--==，所以()g x 是偶函数， 而2(2)(2)2(2)(2)(2)(2)f a af a f a af a a f a -+-=---=--，()2(2)(2)af a f a af a ≥-+-可以化为()(2)(2)()(2)af a a f a g a g a ≥--⇒≥-，()g x 是偶函数，所以有()(2)()(2)g a g a g a g a ≥-⇒≥-，当(0,)x ∈+∞时，()g x 是增函数，所以有21a a a ≥-⇒≥，故本题选D.【点睛】本题考查通过构造函数解不等式问题.考查了奇偶函数的性质.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件02020x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x -的最小值为_____．【答案】-2 【解析】 【分析】在平面直角坐标中，画出可行解域，设y x z -=，平移直线y =x+z ，找到截距最小的位置，求出z 的最小值.【详解】在平面直角坐标中，画出可行解域，如下图所示：设y x z -=，平移直线y =x+z ，当直线经过(2,0)时，z 有最小值为022-=-. 【点睛】本题考查了求线性目标函数的最小值，考查了数形结合思想、运算能力.14.在边长为6的等边三角形ABC 中，23BD BC =．则AB AD ⋅=_____⋅ 【答案】24 【解析】 【分析】以,AB BC 为一组基底，AD 用,AB BC 这组基底表示,最后用数量积公式求得AB AD ⋅=24.【详解】2002()3236cos(18060)3213666()24.32AB AD AB AB BD AB AB BC AB BC ⋅=⋅+=+⋅=+⋅⋅-=+⨯⨯⨯-= 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算、平面向量基本定理、向量的加法几何意义，本题易错的地方是误把B Ð看成,AB BC 的夹角.15.能说明“已知2()1f x x =+，若()()fx gx ≥对任意的[0,2]x ∈恒成立，则在[0,2]上，min max ()()f xg x ≥为假命题的一个函数()g x _____⋅（填出一个函数即可） 【答案】x . 【解析】 【分析】可以根据212x x +≥这个不等式入手，令()2g x x =，当[]0,2x ∈时，min ()1f x =而max ()4g x =，显然min max () ()f x g x ≥是假命题，当然这样的()g x 函数有好多，比如()g x x =，2()3g x x =等等. 【详解】因为212x x +≥，所以令()2g x x =，当[]0,2x ∈时，min ()1f x =而max ()4g x =，所以min max () ()f x g x ≥是假命题，当然()g x x =，2()3g x x =也可以. 【点睛】本题考查了两个函数大小恒成立问题的判断，本题如果改成逆命题，就成立，也就是若对任意的[]0,2x ∈有min max () ()f x g x ≥成立，那么当[]0,2x ∈时，()()f x g x ≥恒成立.16.己知数列{}n a 满足11a =，122311n n na a a a a a n ++++=+，则n a =_____ 【答案】1n【解析】 【分析】由递推公式得2a ，又能得到11(1)n n a a n n +=+，再求出几项，这样可以猜想数列的通项公式，再由数学归纳法证明.【详解】由1122311,1n n na a a a a a a n +=++⋯+=+，可得212a =， 且122311(2)n n n a a a a a a n n--++⋯+=…，两式作差得， 221111(2)1(1)(1)n n n n n n a a n n n n n n n +--+=-==+++…，234111,,,234a a a =∴==⋯猜想1n a n=，现用数学归纳法证明：当1n =时，显然成立； 假设当n k =()*k ∈N时成立，即1k a k=当1n k =+时，*111(1)1k k a a k k k +==⋅++，即1n k =+时，也成立，综上1n a n=. 【点睛】本题考查了数列的递推公式、数学归纳法.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17--2I 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，AD AC ⊥，AB =BD =，2AD =.（1）求ADB ∠； （2）求ABC ∆的面积． 【答案】（1）34ADB π∠=（2）3 【解析】 【分析】（1）直接运用余弦定理，求出cos ADB ∠，进而求出ADB ∠的大小；（2）通过（1）可以判断出ADC 的形状，根据ABC ABD ADC S S S ∆∆∆=+，可以求出ABC 的面积.【详解】（1）已知AB =BD =，2AD =，在ABD △中，由余弦定理得222cos 2AD BD AB ADB AD BD +-∠==⨯⨯， 又因为()0,ADB π∠∈，所以34ADB π∠=. （2）因为ADB ADC π∠+∠=，所以4ADC π∠=，因AD AC ⊥，所以ADC 为等腰直角三角形，可得2AC =，所以112223222ABC ABD ADC S S S ∆∆∆=+=⨯+⨯⨯=.18.如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PAC 为等边三角形，AB AC ⊥，M 是BC 的点.(1)证明：AC PM ⊥；(2)若AB AC 2==，求B 到平面PAM 的距离.【答案】(1)见解析（2）7【解析】 【分析】（1）取AC 的中点为O ，证明AC ⊥平面POM ，即可证明⊥AC PM ；（2）计算三棱锥P ABM -的体积，利用B PAM P ABM V V --=，可以求出B 到平面PAM 的距离. 【详解】（1）证明：取AC 的中点为O ，连结OP ，OM ， 在等边三角形PAC 中，有OP AC ⊥， 由M 是BC 的中点，OM 是ABC △的中位线， 所以//OM AB ， 因AB AC ⊥，所以AC OM ⊥，又OP OM O ⋂=，所以AC ⊥平面POM ， 因为PM ⊂平面POM ， 所以⊥AC PM .（2）因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，OP AC ⊥，所以PO ⊥平面ABC ，在等腰直角ABC △中，2AB AC ==，2ABC S ∆=，所以，1233P ABC V -=⨯=，因为M 是BC 的中点，所以12P ABM P ABC V V --==，又因为12AM BC ==在Rt POM 中，2PM ==，在PAM △中，AM =2PA PM ==，故PAM S ∆=设B 到平面PAM 的距离为d ，因为B PAM P ABM V V --=，所以13=d =所以B 到平面PAM 的距离为7.【点睛】本题考查了通过线面垂直证明线线垂直、利用三棱锥的体积公式求点到面的距离.19.设抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ，(,1)M p p -是C 上的点．（1）求C 的方程：（2）若直线l ：2y kx =+与C 交于A ，B 两点，且13AF BF ⋅=，求k 的值． 【答案】（1）24x y =（2）1k =±. 【解析】 【分析】（1）直接把(,1)M p p -代入抛物线方程中，求出p ；（2）直线方程与抛物线方程联立，利用根与系数关系，化简||||AF BF ⋅，最后利用||||13AF BF ⋅=，求出k 的值.【详解】（1）因为(),1M p p -是C 上的点， 所以()221p p p =-，因为0p >，解得2p =， 抛物线C 的方程为24x y =. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由224y kx x y=+⎧⎨=⎩得2480x kx --=， 216320k ∆=+>则124x x k +=，128x x =-，由抛物线的定义知，11AF y =+，21BF y =+， 则()()()()12121133AF BF y y kx kx ⋅=++=++，()2121239k x x k x x =+++，24913k =+=，解得1k =±.【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了一元二次方程根与系数关系，考查了运算能力.20.改革开放以来，我国农村7亿多贫困人口摆脱贫困，贫困发生率由1978年的97.5%下降到2018年底的1.4%，创造了人类减贫史上的中国奇迹，为全球减贫事业贡献了中国智慧和中国方案．“贫困发生率”是指低于贫困线的人口占全体人口的比例.2012年至2018年我国贫困发生率的数据如表：（1）从表中所给的7个贫困发生率数据中任选两个，求两个都低于5%的概率；（2）设年份代码2015x t =-，利用回归方程，分析2012年至2018年贫困发生率的变化情况，并预测2019年的贫困发生率．附：回归直线y bx a =+$$$的斜率和截距的最小二乘估计公式为：1221ni ii ni i x y nx yb x nx==-=-∑∑，a y bx =-$$.【答案】（1）17（2）0.1%. 【解析】 【分析】（1）设2012年至2015年贫困发生率分别为1A ，2A ，3A ，4A ，均大于5%设2016年至2018年贫困发生率分别为1B ，2B ，3B ，均小于5%，列出从2012年至2018年贫困发生率的7个数据中任选两个，可能的情况，最后利用古典概型公式，求出概率; （2）根据题意列出年份代码与贫困发生率之间的关系，分别计算求出,,x y 71i ti x y =∑()721i i x x =-∑的值，代入公式，求出ˆb，ˆa 的值，求出回归直线方程，并通过回归直线方程预测2019年底我国贫困发生率. 【详解】（1）设2012年至2015年贫困发生率分别为1A ，2A ，3A ，4A ，均大于5% 设2016年至2018年贫困发生率分别为1B ，2B ，3B ，均小于5%从2012年至2018年贫困发生率的7个数据中任选两个，可能的情况如下：{}2,A A 、{},A A 、{},A A 、{},A B 、{}2,A B 、{}3,A B 、{}23,A A 、{}24,A A 、{}21,A B 、{}22,A B 、{}23,A B 、 {}34,A A 、{}31,A B 、{}32,A B 、{}33,A B 、 {}41,A B 、{}42,A B 、{}43,A B 、{}12,B B 、{}13,B B 、{}23,B B 共有21种情况，两个都低于5%的情况：{}12,B B 、{}13,B B 、{}23,B B ，共3种情况 所以，两个都低于5%的概率为31217=. （2）由题意可得：由上表可算得：0x =，10.28.57.2 5.7 4.5 3.1 1.45.87y ++++++==，()()()71310.2 1.428.5 3.17.2 4.539.9i ti x y==-⨯--⨯---=-∑，()72222123222128ii x x =-=⨯+⨯+⨯=∑，所以，71739.9ˆ70 5.81.4252828i ii x y xy b=---⨯⨯===-∑，()5.8ˆˆ 1.4250 5.8ay bx =-=--⨯=， 所以，线性回归方程为ˆ 1.425 5.8yx =-+， 由以上方程：ˆ0b<，所以在2012年至2018年贫困发生率在逐年下降，平均每年下降1.425%； 当4x =时，ˆ 1.4254 5.80.1y=-⨯+=， 所以，可预测2019年底我国贫困发生率为0.1%.21.已知函数()xf x e ax =-，()lng x x ax =-，a R ∈.（1）当a e <时，讨论函数()xf x e ax =-的零点个数．（2）()()()F x f x g x =-的最小值为m ，求()ln x mG x e e x =-的最小值．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】 【分析】 （1）求函数的导数，利用导数判断函数的单调性和极值，从而得到零点的个数；（2）()()()ln xF x f x g x e x =-=-，求导得1()xF x e x'=-，可以判断存在零点0x ，可以求出函数()F x 的最小值为()000ln xm F x e x ==-，可以证明出：0012m x x =+>，()ln ,()x m x xm G x e e x G x e e '=-=-，可证明()G x '在(1,)m 上有零点， ()G x 的最小值为()111ln x mG x e e x =-，结合110011ln ,ln m x x m x x =+=+，可求()G x 的最小值为()10G x =.【详解】（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，()xf x e a '=-.①当0a <时，()e 0xf x a ='->，()f x 单调递增，又()01f =，1110a f e a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以函数()f x 有唯一零点；②当0a =时，()0xf x e =>恒成立，所以函数()f x 无零点；③当0e a <<时，令()0x f x e a ='-=，得ln x a =.当ln x a <时，()0f x ¢<，()f x 单调递减；当ln x a >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增.所以()()()ln min ln ln 1ln af x f a ea a a a ==-=-.当0e a <<时，()ln 0f a >，所以函数()f x 无零点. 综上所述，当时函数()f x 无零点.当0a <，函数()f x 有一个零点.（2）由题意得，()ln xF x e x =-，则()x 1F x e x '=-，令()1x h x e x =-，则()210xh x e x=+>'， 所以()h x 在()0,+?上为增函数，即()F x '在()0,+?上为增函数.又()110F e -'=>，1202F '⎛⎫=<⎪⎝⎭，所以()F x '在()0,+?上存在唯一零点0x ，且01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()00010x F x e x '=-=，即01e x x =. 当()00,x x ∈时，()0F x '<，()F x 在()00,x 上为减函数，当()0,x x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 在()0,x +∞上为增函数，()F x 的最小值()000ln x m F x e x ==-.因为001x ex =，所以00ln x x =-，所以0012m x x =+>. 由()ln xmG x e e x =-得()mxe G x e x='-，易知()G x '在()0,+?上为增函数.因为2m >，所以()1e 0mG e =-<'，()110m mm e G m e e m m ⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭'，所以()G x '在 ()0,+?上存在唯一零点1x ，且()11,x m ∈，()111e e 0mx G x x '=-=，当时，()0G x '<，()G x 在()10,x 上减函数，当()1,x x ∈+∞时，()0G x '>，()G x 在上为增函数，所以()G x 的最小值为()111e e ln xmG x x =-，因为11mx e e x =，所以11ln x m x =-，所以11ln m x x =+，又000011e ln ln xm x x x =-=+，所以110011ln ln x x x x +=+， 又函数ln y x x =+在()0,+?上为增函数，所以101x x =， ()000000111111ln 100001111ln ln ln x x x x x x mG x e e e e e e x x x x +=-⋅=-⋅=-⋅⋅()0011000000111ln ln x x e x e x x x x x ⎛⎫=⋅⋅-=⋅⋅+ ⎪⎝⎭因为00ln 0x x +=，所以()10G x =，即()G x 在()0,+?上的最小值为0.【点睛】本题考查利用函数的导函数研究函数单调性和零点问题，也考查了不等式恒成立问题.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩，（α为参数），将曲线C 按伸缩变换公式'1'2x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，变换得到曲线E . （1）求E 的普通方程；（2）直线l 过点(0,2)M -，倾斜角为4π，若直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，N 为AB 的中点，求OMN ∆的面积．【答案】（1）2214x y +=（2）85.【解析】 分析】（1）利用22sin cos 1αα+=，进行消参，然后根据伸缩变换公式，可以得到曲线E ；（2）求出直线l 的参数方程，与E 的普通方程联立，利用参数的几何意义求出MN ，利用面积公式求出OMN 的面积.【详解】（1）依题意，E 的参数方程为2,,x cos y sin αα=⎧⎨=⎩（α为参数），所以E 的普通方程为2214x y +=.（2）因为直线l 过点()0,2M -，倾斜角为4π， 所以l 的参数方程为,22,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），设A 、B 对应的参数分别为1t ，2t ，则N 对应的参数为122t t +， 【联立22,22,21,4x y x y ⎧=⎪⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪+=⎪⎪⎩，化简得25240t -+=，(245240∆=-⨯⨯>所以1225t t +=，即5MN =，所以118sin 22425OMN S MN MO π∆=⋅⋅==. 【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、曲线的伸缩变换，以及利用直线参数方程参数的意义求弦长问题.23.已知函数()243f x x x =---.（1）设在平面直角坐标系中作出()f x 的图象，并写出不等式()2f x ≤的解集M ．（2）设函数()()g x f x ax =-，x M ∈，若()0g x ≥，求a 的取值范围．【答案】（1）函数图象如下图：不等式()2f x …的解集{}13M x x =-≤≤；（2）122a -≤≤-. 【解析】【分析】（1）利用零点法化简函数的解析式，在直角坐标系内，画出函数图象，分类讨论解不等式； （2）根据（1）对x M ∈时，进行分类讨论：当[1,2]x ∈-时，()1(1)1g x x ax a x =-+-=-++,根据a 取值的不同范围，利用一次函数的单调性，求出a 的取值范围；当(2,3]x ∈时，()37(3)7g x x ax a x =--=--,根据a 取值的不同范围，利用一次函数的单调性，求出a 的取值范围，最后确定a 的取值范围.【详解】（1）1,3()24337,231,2x x f x x x x x x x -≥⎧⎪=---⇒-<<⎨⎪-+≤⎩，画出图象，如下图所示：当3x ≥时，()21233f x x x x ⇒-≤⇒≤∴=…；当23x <<时，()2372323;f x x x x ⇒-≤⇒≤∴<≤…当2x ≤时，()212112f x x x x ⇒-+≤⇒≥-∴-≤≤…，所以不等式()2f x …的解集{}13M x x =-≤≤.（2）当[1,2]x ∈-时，()1(1)1g x x ax a x =-+-=-++当1a =-时，()10g x =≥，显然成立； 当1a >-时，要想()0g x …，只需max ()0g x ≥即可，也就是 max 11()020122g x g a a ≥⇒≥⇒≤-∴-<≤-（）； 当1a <-时，要想()0g x …，只需min ()010221g x g a a ≥⇒-≥⇒≥-∴-≤<-（）， 所以当[1,2]x ∈-时，当()0g x …，a 的取值范围122a -≤≤-； 当(2,3]x ∈时，()37(3)7g x x ax a x =--=--， 当3a =时，显然()0g x …不成立；当3a >时，要想()0g x …，只需max 2()0303g x g a ≥⇒≥⇒≤∴（）不存在这样的a ； 当3a <时，要想()0g x …，只需112022g a a ≥⇒≤-∴≤-（）， 所以当[1,2]x ∈-时，当()0g x …，a 的取值范围是12a ≤-， 综上所述a 的取值范围122a -≤≤-. 【点睛】本题考查了画含绝对值的函数图象，考查含绝对值的不等式的解法，考查了恒成立问题.考查了分类讨论思想.当然本题，可以采用数形结合思想，进行思考，解题如下：（1）通过图象可以看到，当[1,3]x ∈-时，()2f x …；（2）()()0()g x f x ax f x ax =-≥⇒≥，[1,3]x ∈-，可以求出(1,2),(2,1)A B --12,2OA OB k k =-=-,通过图象可知：当122a -≤≤-时，()0g x ≥在[1,3]x ∈-恒成立.。
2019年云南省高考文科数学模拟试题与答案
2019年云南省高考文科数学模拟试题与答案（试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下面是关于复数2z i =-的四个命题：1:||5p z =；2:p z 的共轭复数为2+i ；23:34p z i =-；4121:33p i z =+.其中真命题为 A. 12p p ， B. 23p p ， C. 24p p ， D. 34p p ， 2. 已知平面向量(,1),(2,1)x x ==-a b ,且//a b ,则实数x 的值是A. 1-B. 1C. 2D. 1-或23.“2a =”是“直线20x y -+=与圆22(2)()2x y a -+-=相切”的 A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 下列函数中，与函数3y x =的单调性和奇偶性相同的函数是A.y x =B.ln y x =C.tan y x =D.x x y e e -=-5．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱 表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的 路径中，最短路径的长度为 A ．217B ．25C ．3D ．26．设曲线11x y x +=-在点()2,3处的切线与直线10ax y ++=平行，则a = A ．2- B ．21-C ．21D ．27． 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，()52log 42 3 04xax x x f x x x +>⎧⎪=⎨++<≤⎪⎩，，，若()()52f f -<，则a 的取值范围为 A.() 1-∞，B.() 2-∞，C.()2 -+∞，D.()2 +∞，8．在直角坐标系中，若角α的终边经过点()22sin ,cos sin 33P πππα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则A ．12B ．32C ．12-D ．32-9．已知数列{}n a 满足11255,,n n a a a a a +-=，且成等比数列，则该数列的前六项和6S =A. 60B. 75C. 90D. 10510．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出的s 的值是A ．1B ．2C ．4D ．711．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点作实轴的垂线,交双曲线于A ,B 两点,若线段AB 的长度恰等于焦距,则双曲线的离心率为 A ．1714+ B ．224 C ．512+ D ．10212．设函数f （x ）=2sin （2x+），将f （x ）图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数y=g （x ），则g （x ）的图象的一条对称轴方程为 A ．x= B ．x= C ．x= D ．x=二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 某中学高中一年级、二年级、三年级的学生人数比为5:4:3，现要用分层抽样的方法抽取一个容量为240的样本，则所抽取的二年级学生的人数是 ． 14．直线L 过P )1,3(与圆x 2＋y 2＝1交于A 、B 两点，则PB PA •=15．若,x y 满足约束条件0,20,230,x y x y x y +≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩则2z x y =+的最小值是 ．16． 已知等比数列{a n }的公比不为-1，设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S 12＝7S 4，则84S S = ． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17- -21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且 222sin sin sin 3sin sin A C B A C +-=⋅.（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）点D 在线段BC 上，满足DA DC =，且11a =，()5cos 5A C -=，求线段DC 的长.18.(本小题满分12分)如图所示，正方形ABCD 所在的平面与等腰ABE ∆所在的平面互相垂直，其中顶120BAE ∠=，4AE AB ==，F 为线段AE 的中点．（1）若H 是线段BD 上的中点，求证：//FH 平面CDE ；（2）若H 是线段BD 上的一个动点，设直线FH 与平面ABCD 所成角的大小为θ，求θtan 最大时三棱锥AFB H -的体积.19.（本小题12分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）20.(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝4x ，过其焦点F 作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线，它们分别交抛物线C 于点A 、B 和点C 、D ，线段AB 、CD 的中点分别为M 、N.(Ⅰ)求线段AB 的中点M 的轨迹方程；(Ⅱ)过M 、N 的直线l 是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．21. (本小题满分12分)已知函数()y f x =定义域为R ，对于任意x ∈R 恒有(2)2()f x f x =-. （1）若(1)3f =-，求(16)f 的值；（2）若(1,2]x ∈时，2()22f x x x =-+，求函数()y f x =，(1,8]x ∈的解析式及值域； （3）若(1,2]x ∈时，3()||2f x x =--，求()y f x =在区间(1,2]n ，*n N ∈上的最大值与最 小值.(二)选考题:共10分请考生在第22、23题中任选一题作答注意:只能做所选定的题目如果多做,则按所做第一个题目计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2,2x t y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为5cos ρθ=． （1）写出曲线1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；（2）记曲线1C 和2C 在第一象限内的交点为A ，点B 在曲线1C 上，且2AOB π∠=，求AOB ∆的面积．23．（本题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数()|1|||()f x x x a a =-+-∈R ． （1）当4a =时，求不等式()5f x ≥的解集； （2）若()4f x ≥对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围。
昆明市2019届高三复习诊断测试文数答案
文科数学参考答案及评分标准·第1页（共4页）昆明市2019届高三复习诊断测试文科数学参考答案及评分标准一、选择题二、填空题13．214．12（(0,1)的任意数均可） 15．3 161- 注：在数学历史上有很多公式都是数学家欧拉（Leonhard Euler ）发现的，它们都叫做欧拉公式，分散在各个数学分支之中。
在立体几何中，由若干平面多边形所围成成的封闭的几何体叫做多面体，这些平面多边形称为多面体的面，这些多边形的边和顶点分别称为多面体的棱和顶点。
如果多面体在它们每一面所决定的平面的同一侧，则称此多面体为凸多面体；一个凸多面体的表面可连续地变形为一个球面，则称之为简单多面体。
设一个简单多面体的顶点数为V （vertix ），棱数为E （edge ），面数为F （face ），则有著名的欧拉公式：2V E F -+=.在欧拉发现这一结果一百年后，德国几何学家冯∙施陶特（von Staudt ）给出了欧拉公式完整的证明。
我们可以验证：三棱锥（4V =，6E =，4F =），长方体（8V =，12E =，6F =）等多面体都符合这一关系式. 三、解答题17．解：（1）由已知得121112,7,a q a a q a q =⎧⎪⎨++=⎪⎩ …………………………2分 则14,1,2a q =⎧⎪⎨=⎪⎩或11,2a q =⎧⎨=⎩（舍去）． ……………………………4分 所以131422n n n a --=⨯=（）. …………………6分（2）因为322log log 23n n n b a n -===-． …………………………8分所以数列{}n b 是首项为2，公差为1-的等差数列. …………………………10分 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，文科数学参考答案及评分标准·第2页（共4页）CABDPEF所以(23)(5)22n n n n n T +--==. …………………………12分（1）由已知条件可知222AD BD AB +=，所以AD BD ⊥. 因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AD ⊥.又因为PD BD D =，所以AD ⊥平面PBD . 因为ABCD 是平行四边形，所以BC ∥AD ， 所以BC ⊥平面PBD . …………………4分 （2）连接AC 交BD 于F ，连接EF ， 则EF 是平面PAC 与平面BDE 的交线. 因为PA ∥平面BDE ，所以PA ∥EF .又因为F 是AC 中点，所以E 是PC 的中点,所以12PE PC =. ……………………………………8分文科数学参考答案及评分标准·第3页（共4页）（3）由（1）（2）知点E 到平面PBD 的距离等于132BC =，所以18E PBD P BDE V V --==，所以11631832PD ⨯⨯⨯⨯=，即6PD =. ……………………10分因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AD ⊥，PD BD ⊥，又因为6AD BD ==，AB =，所以PA =PB =PAB △是等边三角形，则PAB S =△. 设D 点到平面PAB 的距离为d ，因为D PAB P ABD V V --=,所以111666332d ⨯=⨯⨯⨯⨯，解得d =.所以D 点到平面PAB的距离为 ……………12分 20．解：（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则126x x +=，由抛物线的定义知11AF x =+，21BF x =+,…………………3分 则1228AF BF x x +=++=．……………………………………5分 （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ,直线l 的方程为1x my =-．由21,4,x my y x =-⎧⎨=⎩ 得2440y my -+=．……………………………7分 即124y y m +=，124y y =．由216160m ∆=->，得21m >．…………………………………8分 由抛物线的定义知11AF x =+，21BF x =+．则221212(1)(1)4AF BF x x m y y m ⋅=++==．……………………10分 因为21m >，所以4AF BF ⋅>．故AF BF ⋅的取值范围是(4,)+∞.…………………………………12分21．解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞． ……………………1分222222121(1)()10x x x f x x x x x -+---'=--==≤． ……………………3分所以函数()f x 是()0,+∞上的减函数． ……………………4分（2）证明：不妨设0a b >>，不等式ln ln a ba b --⇔ln ln a b -<⇔ln a b⇔0<. 由于()f x 是()0,+∞1，所以(1)0f f <=，即0f =<ln ln a ba b --. ……………………8分文科数学参考答案及评分标准·第4页（共4页）因为不等式ln ln 2a b a b a b -+<-⇔2()ln ln a b a b a b -->+⇔21ln 1a a b a b b⎛⎫- ⎪⎝⎭>+． 令2(1)()ln 1x g x x x -=-+，则22(1)()0(1)x g x x x -'=≥+，即()g x 在()0,+∞上是增函数． 所以()(1)0g x g >=，因为1a b >，所以21ln 1a a b a b b⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，从而ln ln 2a b a b a b -+<-． 综上所述，当a b ≠ln ln 2a b a ba b -+<-． ……………………………12分 22．解：（1）1C 的极坐标方程为：2228sin 90ρρθ+-=．………………5分（2）因为A ，B 两点在直线l 上，可设1π(,)6A ρ，2π(,)6B ρ．把点A 的极坐标代入1C 的方程得：22211π8sin 906ρρ+-=，解得1ρ=由已知A点在第一象限，所以1ρ=因为B 异于原点，所以把点B 的极坐标代入2C 的方程得：2π8cos 06ρ+=，解得2ρ=-所以，12AB ρρ=-==10分23．解：（1）原不等式等价于2111x x +-->．等价于1,230,x x ⎧≤-⎪⎨⎪-->⎩或11,2310,x x ⎧-<<⎪⎨⎪->⎩或1,10,x x ≥⎧⎨+>⎩解得3x <-或113x <<或1x ≥. 所以原不等式的解集为1{|3}3x x x <->或．……………………………………5分（2）由2()f x x x m <++得2211m x x x x >--++--． 令2()211g x x x x x =--++--，则由题意知max ()m g x >． 又222122,,21()2,1,22,1,x x x g x x x x x x ⎧---<-⎪⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩由图知max ()1g x =．所以1m >.………………………………………………10分。
云南省昆明市2019届高三数学5月模拟试题文(含解析)
云南省昆明市2019届高三数学5月模拟试题 文（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合{(,)|}A x y y x ==-，{(,)|}B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】判断集合,A B 元素的属性特征，可以知道集合,A B 都是点集，所以AB 就是求直线,y x y x ==-的交点，这样就可以确定A B 中元素的个数.【详解】因为集合(){,|}A x y y x ==-，(){,|}B x y y x ==，所以{}(,)(0,0)y x A B x y y x ⎧⎫=⎧⎪⎪⋂==⎨⎨⎬=-⎩⎪⎪⎩⎭，所以A B 中元素的个数为1，故本题选B.【点睛】本题考查了集合的交集运算.解决此类问题的关键是对集合元素属性特征的认识.2.在复平面内，与复数11i+对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】应用复数除法的运算法则，简化复数，最后确定复数对应的点的位置.【详解】11111(1)(1)22i i i i i -==-++-,复数11i +对应的点为11(,)22-，它在第四象限，故本题选D.【点睛】本题考查通过复数的除法运算法则，化简后判断复数对应的点的位置.3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，721S =，则4a =（ ） A. 0B. 2C. 3D. 6【答案】C 【解析】 【分析】因为{}n a 是等差数列，根据721S =，可以求出176a a +=，利用等差数列的性质可以求出4a =3.【详解】因为{}n a 是等差数列，所以1717744217)2(6263S a a a a a a ++=⇒=⇒=⇒==,故本题选C. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式和等差数列的性质.考查了运算能力.4.“1x >”是“21x >”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】判断充分条件还是必要条件，就看由题设能否推出结论，和结论能否推出题设，本着这个原则，显然1x >能推出21x >，但是21x >不一定能推出1x >，有可能1x <-，所以可以判断“1x >”是“21x >”的充分不必要条件.【详解】因为由1x >⇒21x >，由21x >推不出1x >，有可能1x <-， 所以“1x >”是“21x >”的充分不必要条件，故本题选A.【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的判定，解题的关键是理解掌握它们定义，对于本题正确求解不等式也很关键.5.已知双曲线C 的一个焦点坐标为0)，渐近线方程为2y x =±，则C 的方程是（ ） A. 2212y x -=B. 2212x y -=C. 2212y x -=D. 2212x y -=【答案】B 【解析】 【分析】通过双曲线C 的一个焦点坐标为),可以求出 c ，渐近线方程为2y x =±，可以得到2b a =，结合c ,a b 的值，最后求出双曲线的方程.【详解】因为双曲线C 的一个焦点坐标为),所以c =C 的渐近线方程为2y x =±，所以有2b a =a ⇒=，c =c =1a b ==，因此双曲线方程为2212x y -=，故本题选B.【点睛】本题考查了求双曲线的标准方程，考查了解方程、运算能力.6.已知直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，若αβ⊥，则下列结论正确的是 A. l β∥或l β⊄ B. //l m C. m α⊥ D. l m ⊥【答案】A 【解析】 【分析】选项A 中l 与β位置是平行或在平面内，选项B 中l 与m 可能共面或异面，选项C 中m 与α的位置不确定，选项D 中l 与m 的位置关系不确定．【详解】对于A ，直线l ⊥平面α，αβ⊥，则//l β或l β⊂，A 正确；对于B ，直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，且αβ⊥，则//l m 或l 与m 相交或l 与m 异面，∴B 错误；对于C ，直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，且αβ⊥，则m α⊥或m 与α相交或m α⊂或//m α，∴C 错误；对于D ，直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，且αβ⊥，则//l m 或l 与m 相交或l 与m 异面，∴D 错误． 故选：A ．【点睛】本题考查了空间平面与平面关系的判定及直线与直线关系的确定问题，也考查了几何符号语言的应用问题，是基础题．7.将函数sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A. 在区间5[,]1212ππ-上单调递增B. 在区间511[,]1212ππ上单调递增 C. 在区间[,]63ππ-上单调递增D. 在区间5[,]36ππ上单调递增 【答案】A 【解析】 【分析】函数sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度，所得图象对应的函数的解析式为： sin 2()sin(2)63y x y x ππ=-⇒=-，单调递增区间：5222()()2321212k x k k Z k x k k Z πππππππππ-≤-≤+∈⇒-≤≤+∈， 单调递减区间：3511222()()2321212k x k k Z k x k k Z πππππππππ+≤-≤+∈⇒-≤≤+∈，由此可见，当0k =时，函数在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故本题选A. 【详解】本题考查了正弦型函数图象的平移变换以及求正弦型函数的单调区间.8.函数()y f x =的导函数()y f'x =的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】求出导函数大于零、小于零的区间，这样原函数的单调性的情况也就知道，对照选项，选出正确的答案.【详解】如下图所示：当,x a b x c <<<时，'()0,()f x f x >单调递增；当,a x b x c <<>时，'()0,()f x f x <单调递减，所以整个函数从左到右，先增后减，再增最后减，选项A 中的图象符合，故本题选A.【点睛】本题考查了利用导函数的正负性研究原函数的单调性.本题容易受导函数的增减性干扰.9.黄金矩形是宽（b）与长（a）的比值为黄金分割比(ba=的矩形，如图所示，把黄金矩形ABCD分割成一个正方形ADEF和一个黄金矩形BCEF，再把矩形BCEF分割出正方形CEGH．在矩形ABCD内任取一点，则该点取自正方形CEGH内的概率是（）2D.22【答案】C【解析】【分析】设矩形的长，宽分别为,a b,所以b=，把黄金矩形ABCD分割成一个正方形ADEF和一个黄金矩形BCEF,所以32CE a b a-=-=，设矩形ABCD的面积为S,正方形CEGH的面积为'S,设在矩形ABCD内任取一点，则该点取自正方形CEGH内的概率是P,则2')22SPS===，故本题选C.【详解】本题考查了几何概型，考查了运算能力.10.己知椭圆E：22221(0)x ya ba b+=>>，直线l过焦点且倾斜角为4π，以椭圆的长轴为直径的圆截l所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为（）【答案】D 【解析】【详解】直线l 的方程为y x c =±，以椭圆的长轴为直径的圆截l 所得的弦为AB ,2AB c =，设OC AB ⊥，垂足为C ，则2OC ==，在Rt OAC ∆中，22222222113()22233OA AC OC a AB c a c c a e =+⇒=+⇒=⇒=⇒=，故本题选D.【点睛】本题考查了椭圆的离心率的求法.考查了圆弦长公式，考查了运算能力.11.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若此几何体的各个顶点在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A. 8πB. 9πC. 32πD. 36π【答案】B 【解析】 【分析】通过三视图，还原为立体几何图形，然后补成长方体中，利用长方体的对角线的长求出外接球的半径，进而求出球的表面积.【详解】通过三视图可知，该几何体是直三棱柱111D AC DAC -，其中底面是直角三角形，把它补成长方体如下图所示：连接1D B ,设外接球的半径为R ，所以有23R ====,球的表面积为249R ππ=,故本题选B.【点睛】本题考查了通过三视图，识别空间几何体，并求这个空间几何体外接球的表面积，考查了空间想象能力、运算能力.12.己知奇函数()f x 的导函数为'()f x ，x ∈R ．当(0,)x ∈+∞时，'()()0xf x f x +>．若()2(2)(2)a f a f a a f a ≥-+-，则实数a 的取值范围是（ ）A. (,1)-∞-B. [1,1]-C. (,1][1,)-∞-+∞D. [1,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】通过给出的不等式，可以联想导数的运算法则，再结合问题所给的形式，构造新函数()()g x xf x =，这样可以知道当(0,)x ∈+∞时，函数()g x 的单调性，再判断函数()g x 的奇偶性， 另一方面，利用奇函数()f x 的性质可以化简()2(2)(2)af a f a af a ≥-+-，这样可以得到与新函数的有关的不等式，利用()g x 的单调性、奇偶性可以求出实数a 的取值范围.【详解】设()()g x xf x =''()()()0g x f x xf x ⇒=+>所以当(0,)x ∈+∞时，()g x 是增函数，因为()f x 是奇函数，所以有()()f x f x -=-，因此有()()()()()g x x f x xf x g x -=--==，所以()g x 是偶函数， 而2(2)(2)2(2)(2)(2)(2)f a af a f a af a a f a -+-=---=--，()2(2)(2)af a f a af a ≥-+-可以化为()(2)(2)()(2)af a a f a g a g a ≥--⇒≥-，()g x 是偶函数，所以有()(2)()(2)g a g a g a g a ≥-⇒≥-，当(0,)x ∈+∞时，()g x 是增函数，所以有21a a a ≥-⇒≥，故本题选D.【点睛】本题考查通过构造函数解不等式问题.考查了奇偶函数的性质.二、填空题．13.若x ，y 满足约束条件02020x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x -的最小值为_____．【答案】-2 【解析】 【分析】在平面直角坐标中，画出可行解域，设y x z -=，平移直线y =x+z ，找到截距最小的位置，求出z 的最小值.【详解】在平面直角坐标中，画出可行解域，如下图所示：设y x z -=，平移直线y =x+z ，当直线经过(2,0)时，z 有最小值为022-=-. 【点睛】本题考查了求线性目标函数的最小值，考查了数形结合思想、运算能力.14.在边长为6的等边三角形ABC 中，23BD BC =．则AB AD ⋅=_____⋅ 【答案】24 【解析】 【分析】以,AB BC 为一组基底，AD 用,AB BC 这组基底表示,最后用数量积公式求得AB AD ⋅=24.【详解】2002()3236cos(18060)3213666()24.32AB AD AB AB BD AB AB BC AB BC ⋅=⋅+=+⋅=+⋅⋅-=+⨯⨯⨯-= 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算、平面向量基本定理、向量的加法几何意义，本题易错的地方是误把B Ð看成,AB BC 的夹角.15.能说明“已知2()1f x x =+，若()()f x g x ≥对任意的[0,2]x ∈恒成立，则在[0,2]上，min max ()()f x g x ≥为假命题的一个函数()g x _____⋅（填出一个函数即可）【答案】x . 【解析】 【分析】可以根据212x x +≥这个不等式入手，令()2g x x =，当[]0,2x ∈时，m i n ()1f x =而max ()4g x =，显然min max () ()f x g x ≥是假命题，当然这样的()g x 函数有好多，比如 ()g x x =，2()3g x x =等等. 【详解】因为212x x +≥，所以令()2g x x =，当[],2x ∈时，min ()1f x =而max ()4g x =，所以min max () ()f x g x ≥是假命题，当然()g x x =，2()3g x x =也可以. 【点睛】本题考查了两个函数大小恒成立问题的判断，本题如果改成逆命题，就成立，也就是若对任意的[]0,2x ∈有min max () ()f x g x ≥成立，那么当[]0,2x ∈时，()()f x g x ≥恒成立.16.己知数列{}n a 满足11a =，122311n n na a a a a a n ++++=+，则n a =_____ 【答案】1n【解析】 【分析】由递推公式得2a ，又能得到11(1)n n a a n n +=+，再求出几项，这样可以猜想数列的通项公式，再由数学归纳法证明.【详解】由1122311,1n n na a a a a a a n +=++⋯+=+，可得212a =， 且122311(2)n n n a a a a a a n n--++⋯+=…，两式作差得， 221111(2)1(1)(1)n n n n n n a a n n n n n n n +--+=-==+++…，234111,,,234a a a =∴==⋯猜想1n a n=，现用数学归纳法证明： 当1n =时，显然成立； 假设当n k =()*k ∈N时成立，即1k a k=当1n k =+时，*111(1)1k k a a k k k +==⋅++，即1n k =+时，也成立，综上1n a n=. 【点睛】本题考查了数列的递推公式、数学归纳法.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，AD AC ⊥，AB =，BD =，2AD =.（1）求ADB ∠； （2）求ABC ∆的面积． 【答案】（1）34ADB π∠=（2）3 【解析】 【分析】（1）直接运用余弦定理，求出cos ADB ∠，进而求出ADB ∠的大小；（2）通过（1）可以判断出ADC 的形状，根据ABC ABD ADC S S S ∆∆∆=+，可以求出ABC 的面积.【详解】（1）已知AB ，BD =，2AD =，在ABD △中，由余弦定理得222cos 2AD BD AB ADB AD BD +-∠==⨯⨯， 又因为()0,ADB π∠∈，所以34ADB π∠=. （2）因为ADB ADC π∠+∠=，所以4ADC π∠=，因AD AC ⊥，所以ADC 为等腰直角三角形，可得2AC =，所以112223222ABC ABD ADC S S S ∆∆∆=+=⨯+⨯⨯=.18.如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PAC 为等边三角形，AB AC ⊥，M 是BC 的点.(1)证明：AC PM ⊥；(2)若AB AC 2==，求B 到平面PAM 的距离.【答案】(1)见解析（2）7【解析】 【分析】（1）取AC 的中点为O ，证明AC ⊥平面POM ，即可证明⊥AC PM ；（2）计算三棱锥P ABM -的体积，利用B PAM P ABM V V --=，可以求出B 到平面PAM 的距离.【详解】（1）证明：取AC 的中点为O ，连结OP ，OM ， 在等边三角形PAC 中，有OP AC ⊥， 由M 是BC 的中点，OM 是ABC △的中位线， 所以//OM AB ，因为AB AC ⊥，所以AC OM ⊥， 又OP OM O ⋂=，所以AC ⊥平面POM ， 因为PM ⊂平面POM ， 所以⊥AC PM .（2）因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，OP AC ⊥，所以PO ⊥平面ABC ，在等腰直角ABC △中，2AB AC ==，2ABC S ∆=，所以，123P ABC V -=⨯=，因为M 是BC 的中点，所以123P ABM P ABC V V --==，又因为12AM BC ==在Rt POM 中，2PM ==，在PAM △中，AM =2PA PM ==，故PAM S ∆=设B 到平面PAM 的距离为d ，因为B PAM P ABM V V --=，所以13d =7d =所以B 到平面PAM 【点睛】本题考查了通过线面垂直证明线线垂直、利用三棱锥的体积公式求点到面的距离.19.设抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ，(,1)M p p -是C 上的点． （1）求C 的方程：（2）若直线l ：2y kx =+与C 交于A ，B 两点，且13AF BF ⋅=，求k 的值． 【答案】（1）24x y =（2）1k =±. 【解析】 【分析】（1）直接把(,1)M p p -代入抛物线方程中，求出p ；（2）直线方程与抛物线方程联立，利用根与系数关系，化简||||AF BF ⋅，最后利用||||13AF BF ⋅=，求出k 的值.【详解】（1）因为(),1M p p -是C 上的点， 所以()221p p p =-，因0p >，解得2p =，抛物线C 的方程为24x y =. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ， 由224y kx x y=+⎧⎨=⎩得2480x kx --=， 216320k ∆=+>则124x x k +=，128x x =-，由抛物线的定义知，11AF y =+，21BF y =+，则()()()()12121133AF BF y y kx kx ⋅=++=++，()2121239k x x k x x =+++，24913k =+=，解得1k =±.【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了一元二次方程根与系数关系，考查了运算能力.20.改革开放以来，我国农村7亿多贫困人口摆脱贫困，贫困发生率由1978年的97.5%下降到2018年底的1.4%，创造了人类减贫史上的中国奇迹，为全球减贫事业贡献了中国智慧和中国方案．“贫困发生率”是指低于贫困线的人口占全体人口的比例.2012年至2018年我国贫困发生率的数据如表：（1）从表中所给的7个贫困发生率数据中任选两个，求两个都低于5%的概率； （2）设年份代码2015x t =-，利用回归方程，分析2012年至2018年贫困发生率的变化情况，并预测2019年的贫困发生率．附：回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式为：1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-.【答案】（1）17（2）0.1%. 【解析】 【分析】（1）设2012年至2015年贫困发生率分别1A ，2A ，3A ，4A ，均大于5%设2016年至2018年贫困发生率分别为1B ，2B ，3B ，均小于5%，列出从2012年至2018年贫困发生率的7个数据中任选两个，可能的情况，最后利用古典概型公式，求出概率; （2）根据题意列出年份代码与贫困发生率之间的关系，分别计算求出,,x y 71i ti x y =∑()721i i x x =-∑的值，代入公式，求出ˆb，ˆa 的值，求出回归直线方程，并通过回归直线方程预测2019年底我国贫困发生率.【详解】（1）设2012年至2015年贫困发生率分别为1A ，2A ，3A ，4A ，均大于5% 设2016年至2018年贫困发生率分别为1B ，2B ，3B ，均小于5%从2012年至2018年贫困发生率的7个数据中任选两个，可能的情况如下：{}2,A A 、{},A A 、{},A A 、{},A B 、{}2,A B 、{}3,A B 、{}23,A A 、{}24,A A 、{}21,A B 、{}22,A B 、{}23,A B 、 {}34,A A 、{}31,A B 、{}32,A B 、{}33,A B 、 {}41,A B 、{}42,A B 、{}43,A B 、{}12,B B 、{}13,B B 、 {}23,B B 共有21种情况，两个都低于5%的情况：{}12,B B 、{}13,B B 、{}23,B B ，共3种情况 所以，两个都低于5%的概率为31217=. （2）由题意可得：由上表可算得：0x =，10.28.57.2 5.7 4.5 3.1 1.45.87y ++++++==，()()()71310.2 1.428.5 3.17.2 4.539.9i ti x y==-⨯--⨯---=-∑，()72222123222128i i x x =-=⨯+⨯+⨯=∑，所以，71739.9ˆ70 5.81.4252828i ii x y xy b=---⨯⨯===-∑，()5.8ˆˆ 1.4250 5.8ay bx =-=--⨯=， 所以，线性回归方程ˆ 1.425 5.8yx =-+， 由以上方程：ˆ0b<，所以在2012年至2018年贫困发生率在逐年下降，平均每年下降1.425%； 当4x =时，ˆ 1.4254 5.80.1y=-⨯+=， 所以，可预测2019年底我国贫困发生率为0.1%.21.已知函数()xf x e ax =-，()lng x x ax =-，a R ∈.（1）当a e <时，讨论函数()xf x e ax =-的零点个数．（2）()()()F x f x g x =-的最小值为m ，求()ln x mG x e e x =-的最小值．【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）求函数的导数，利用导数判断函数的单调性和极值，从而得到零点的个数；（2）()()()ln xF x f x g x e x =-=-，求导得1()xF x e x'=-，可以判断存在零点0x ，可以求出函数()F x 的最小值为()000ln xm F x e x ==-，可以证明出：0012m x x =+>，()ln ,()x m x x m G x e e x G x e e'=-=-，可证明()G x '在(1,)m 上有零点， ()G x 的最小值为()111ln x m G x e e x =-，结合110011ln ,ln m x x m x x =+=+，可求()G x 的最小值为()10G x =.【详解】（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，()xf x e a '=-.①当0a <时，()e 0xf x a ='->，()f x 单调递增，又()01f =，1110a f e a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以函数()f x 有唯一零点；②当0a =时，()0xf x e =>恒成立，所以函数()f x 无零点；③当0e a <<时，令()0xf x e a ='-=，得ln x a =.当ln x a <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当ln x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增. 所以()()()ln min ln ln 1ln af x f a ea a a a ==-=-.当0e a <<时，()ln 0f a >，所以函数()f x 无零点. 综上所述，当时函数()f x 无零点.当0a <，函数()f x 有一个零点.（2）由题意得，()ln xF x e x =-，则()x1F x e x '=-，令()1xh x e x=-，则()210x h x e x=+>'， 所以()h x 在()0,+∞上为增函数，即()F x '在()0,+∞上为增函数.又()110F e -'=>，1202F '⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以()F x '在()0,+∞上存在唯一零点0x ， 且01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()00010x F x e x '=-=，即01e x x =.当()00,x x ∈时，()0F x '<，()F x 在()00,x 上为减函数，当()0,x x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 在()0,x +∞上为增函数，()F x 的最小值()000ln x m F x e x ==-.因为001x ex =，所以00ln x x =-，所以0012m x x =+>. 由()ln xmG x e e x =-得()mxe G x e x='-，易知()G x '在()0,+∞上为增函数.因为2m >，所以()1e 0mG e =-<'，()110m mm e G m e e m m ⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭'，所以()G x '在 ()0,+∞上存在唯一零点1x ，且()11,x m ∈，()111e e 0mx G x x '=-=，当时，()0G x '<，()G x 在()10,x 上为减函数，当()1,x x ∈+∞时，()0G x '>，()G x 在上为增函数，所以()G x 的最小值为()111e e ln xmG x x =-，因为11mx e e x =，所以11ln x m x =-，所以11ln m x x =+，又000011e ln ln x m x x x =-=+，所以110011ln ln x x x x +=+， 又函数ln y x x =+在()0,+∞上为增函数，所以101x x =， ()000000111111ln 100001111ln ln ln x x x x x x mG x e e e e e e x x x x +=-⋅=-⋅=-⋅⋅()0011000000111ln ln x x e x e x x x x x ⎛⎫=⋅⋅-=⋅⋅+ ⎪⎝⎭因为00ln 0x x +=，所以()10G x =，即()G x 在()0,+∞上的最小值为0.【点睛】本题考查利用函数的导函数研究函数单调性和零点问题，也考查了不等式恒成立问题.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩，（α为参数），将曲线C按伸缩变换公式'1'2x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩，变换得到曲线E .（1）求E 的普通方程；（2）直线l 过点(0,2)M -，倾斜角为4π，若直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，N 为AB 的中点，求OMN ∆的面积．【答案】（1）2214x y +=（2）85.【解析】 【分析】（1）利用22sin cos 1αα+=，进行消参，然后根据伸缩变换公式，可以得到曲线E ；（2）求出直线l 的参数方程，与E 的普通方程联立，利用参数的几何意义求出MN ，利用面积公式求出OMN 的面积.【详解】（1）依题意，E 的参数方程为2,,x cos y sin αα=⎧⎨=⎩（α为参数），所以E 的普通方程为2214x y +=.（2）因为直线l 过点()0,2M -，倾斜角为4π， 所以l的参数方程为,2,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），设A 、B 对应的参数分别为1t ，2t ，则N 对应的参数为122t t +， 联立22,22,21,4x y x y ⎧=⎪⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪+=⎪⎪⎩，化简得25240t -+=， (245240∆=-⨯⨯>所以122t t +=，即MN =， 所以118sin 2242525OMN S MN MO π∆=⋅⋅=⨯⨯=. 【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、曲线的伸缩变换，以及利用直线参数方程参数的意义求弦长问题.23.已知函数()243f x x x =---.（1）设在平面直角坐标系中作出()f x 的图象，并写出不等式()2f x ≤的解集M ．（2）设函数()()g x f x ax =-，x M ∈，若()0g x ≥，求a 的取值范围．【答案】（1）函数图象如下图：不等式()2f x …的解集{}13M x x =-≤≤；（2）122a -≤≤-. 【解析】【分析】（1）利用零点法化简函数的解析式，在直角坐标系内，画出函数图象，分类讨论解不等式；（2）根据（1）对x M ∈时，进行分类讨论：当[1,2]x ∈-时，()1(1)1g x x ax a x =-+-=-++,根据a 取值的不同范围，利用一次函数的单调性，求出a 的取值范围；当(2,3]x ∈时，()37(3)7g x x ax a x =--=--,根据a 取值的不同范围，利用一次函数的单调性，求出a 的取值范围，最后确定a 的取值范围.【详解】（1）1,3()24337,231,2x x f x x x x x x x -≥⎧⎪=---⇒-<<⎨⎪-+≤⎩，画出图象，如下图所示：当3x ≥时，()21233f x x x x ⇒-≤⇒≤∴=…；当23x <<时，()2372323;f x x x x ⇒-≤⇒≤∴<≤…当2x ≤时，()212112f x x x x ⇒-+≤⇒≥-∴-≤≤…，所以不等式()2f x …的解集{}13M x x =-≤≤.（2）当[1,2]x ∈-时，()1(1)1g x x ax a x =-+-=-++当1a =-时，()10g x =≥，显然成立；当1a >-时，要想()0g x …，只需max ()0g x ≥即可，也就是 max 11()020122g x g a a ≥⇒≥⇒≤-∴-<≤-（）； 当1a <-时，要想()0g x …，只需min ()010221g x g a a ≥⇒-≥⇒≥-∴-≤<-（）， 所以当[1,2]x ∈-时，当()0g x …，a 的取值范围122a -≤≤-； 当(2,3]x ∈时，()37(3)7g x x ax a x =--=--， 当3a =时，显然()0g x …不成立； 当3a >时，要想()0g x …，只需max 2()0303g x g a ≥⇒≥⇒≤∴（）不存在这样的a ； 当3a <时，要想()0g x …，只需112022g a a ≥⇒≤-∴≤-（）， 所以当[1,2]x ∈-时，当()0g x …，a 的取值范围是12a ≤-， 综上所述a 的取值范围122a -≤≤-. 【点睛】本题考查了画含绝对值的函数图象，考查含绝对值的不等式的解法，考查了恒成立问题.考查了分类讨论思想.当然本题，可以采用数形结合思想，进行思考，解题如下：（1）通过图象可以看到，当[1,3]x ∈-时，()2f x …；（2）()()0()g x f x ax f x ax =-≥⇒≥，[1,3]x ∈-，可以求出(1,2),(2,1)A B --12,2OA OB k k =-=-,通过图象可知：当122a -≤≤-时，()0g x ≥在[1,3]x ∈-恒成立.。
2019年云南省昆明市县街中学高三数学文模拟试卷含解析
2019年云南省昆明市县街中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数（）的图象在区间上恰有3个最高点，则的取值范围为A．B．C．D．参考答案：C2. 已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若?x1∈[﹣1，2]，?x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是（）A．B．C．（0，3] D．[3，+∞）参考答案：D【考点】34：函数的值域．【分析】根据二次函数的图象求出f（x）在[﹣1，2]时的值域为[﹣1，3]，再根据一次g （x）=ax+2（a＞0）为增函数，求出g（x2）∈[2﹣a，2a+2]，由题意得f（x）值域是g （x）值域的子集，从而得到实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x=1对称∴x1∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值为f（1）=﹣1，最大值为f（﹣1）=3，可得f（x1）值域为[﹣1，3]又∵g（x）=ax+2（a＞0），x2∈[﹣1，2]，∴g（x）为单调增函数，g（x2）值域为[g（﹣1），g（2）]即g（x2）∈[2﹣a，2a+2]∵?x1∈[﹣1，2]，?x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），∴?a≥3故选D3. 根据新高考改革方案，某地高考由文理分科考试变为“3+3”模式考试．某学校为了解高一年425名学生选课情况，在高一年下学期进行模拟选课，统计得到选课组合排名前4种如下表所示，其中物理、化学、生物为理科，政治、历史、地理为文科，“√”表示选择该科，“×”表示未选择该科，根据统计数据，下列判断错误的是A. 前4种组合中，选择生物学科的学生更倾向选择两理一文组合B. 前4种组合中，选择两理一文的人数多于选择两文一理的人数C. 整个高一年段，选择地理学科的人数多于选择其他任一学科的人数D. 整个高一年段，选择物理学科的人数多于选择生物学科的人数参考答案：D【分析】根据图表依次分析即得.【详解】解析：前4种组合中，选择生物学科的学生有三类：“生物＋历史＋地理”共计101人，“生物＋化学＋地理”共计86人，“生物＋物理＋历史”共计74人，故选择生物学科的学生中，更倾向选择两理一文组合，故A正确．前4种组合中，选择两理一文的学生有三类：“物理＋化学＋地理”共计124人，“生物＋化学＋地理”共计86人，“生物＋物理＋历史”共计74人；选择两文一理的学生有一类：“生物＋历史＋地理”共计101人，故B正确．整个高一年段，选择地理学科的学生总人数有人，故C正确．整个高一年段，选择物理学科的人数为198人，选择生物学科的人数为261人，故D错误．综上所述，故选D．【点睛】本题考查根据图表作出统计分析，考查学生的观察能力，属于中档题．4. 圆为参数）的圆心到直线（t为参数）的距离是A. 1 BC D 3参考答案：A5. 函数y=﹣的图象按向量=（1，0）平移之后得到的函数图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的橫坐标之和等于( )A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：D考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：压轴题；数形结合．分析：y1=的图象由奇函数y=﹣的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinπx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2．由此不难得到正确答案．解答：解：函数y=﹣的图象按向量=（1，0）平移之后得到函数y1=，y2=2sinπx 的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象如图：当1＜x≤4时，y1＜0，而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在（1，）和（，）上是减函数；在（，）和（，4）上是增函数．∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H，相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D，且：x A+x H=x B+x G═x C+x F=x D+x E=2，故所求的横坐标之和为8，故选：D．点评：发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y2=2sinπx的单调性找出区间（1，4）上的交点个数是本题的难点所在．6. 设函数,则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．参考答案：A7. 若向量的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（）A．B． C. D．参考答案：A8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A． B． C．D．参考答案：B9. O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF 的面积为（）A．2 B．2C．2D．4参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线方程，算出焦点F坐标为（）．设P（m，n），由抛物线的定义结合|PF|=4，算出m=3，从而得到n=，得到△POF的边OF上的高等于2，最后根据三角形面积公式即可算出△POF的面积．【解答】解：∵抛物线C的方程为y2=4x∴2p=4，可得=，得焦点F（）设P（m，n）根据抛物线的定义，得|PF|=m+=4，即m+=4，解得m=3∵点P在抛物线C上，得n2=4×3=24∴n==∵|OF|=∴△POF的面积为S=|OF|×|n|==2故选：C10. 在曲线上切线斜率为1的点是（▲）A. (0,0)B. C . D. (2,4)参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知a、b、x是实数，函数与函数的图象不相交，记参数a、b所组成的点(a，b)的集合为A,则集合A所表示的平面图形的面积为______. 参考答案：12. 已知双曲线C：的一条渐近线l 的倾斜角为，且C 的一个焦点到l 的距离为，则C 的方程为_______．参考答案：2，【知识点】双曲线【试题解析】由题知：所以，所以因为双曲线的焦点到渐近线的距离为b，所以b=2，所以所以的方程为：故答案为： 2，13. 如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均相等，D为AA1的中点，M，N分别是线段BB1和线段CC1上的动点（含端点），且满足BM=C1N，当M，N运动时，下列结论中正确的序号为．①△DMN可能是直角三角形；②三棱锥A1﹣DMN的体积为定值；③平面DMN⊥平面BCC1B1；④平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为（0，]．参考答案：②③④【考点】MT：二面角的平面角及求法．【分析】①，利用反证法思想说明△DMN不可能为直角三角形；②，由△A1DM的面积不变，N到平面A1DM的距离不变，得到三棱锥A1﹣DMN的体积为定值；③，由BM=C1N，得线段MN必过正方形BCC1B1的中心O，由DO⊥平面BCC1B1，可得平面DMN⊥平面BCC1B1；④，平面DMN与平面ABC平行时所成角为0，当M与B重合，N与C1重合时，平面DMN与平面ABC所成的锐二面角最大．【解答】解：如图，对于①，若△DMN为直角三角形，则必是以∠MDN为直角的直角三角形，但MN的最大值为BC1，而此时DM，DN的长大于BB1，∴△DMN不可能为直角三角形，故错误；对于②，当M、N分别在BB1、CC1上运动时，△A1DM的面积不变，N到平面A1DM的距离不变，∴棱锥N﹣A1DM的体积不变，即三棱锥A1﹣DMN的体积为定值，故正确；对于③，当M、N分别在BB1、CC1上运动时，若满足BM=C1N，则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O，而DO⊥平面BCC1B1，∴平面DMN⊥平面BCC1B1，故正确；对于④，当M、N分别为BB1，CC1中点时，平面DMN与平面ABC所成的角为0，当M与B重合，N与C1重合时，平面DMN与平面ABC所成的锐二面角最大，为∠C1BC，等于．∴平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为（0，]，故正确，∴正确的是②③④．故答案为：②③④．14. 已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数，则a=．参考答案：2略15. 已知曲线在点(1,0)处的切线方程为，则实数a的值为．参考答案：2，，∴．16. 若是奇函数，则．参考答案：17. 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱，P为上底面A1B1C1D1上的动点，给出下列四个结论：①若，则满足条件的P点有且只有一个；②若，则点P的轨迹是一段圆弧；③若PD∥平面ACB1，则PD与平面ACC1A1所成角的正切的最大值为；④若PD∥平面ACB1，则平面BDP截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球所得图形面积最大值为.其中所有正确结论的序号为．参考答案：①②③三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019年云南省昆明市第十九中学高三数学文模拟试卷含解析
2019年云南省昆明市第十九中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有 ( )A 24种 B．18种 C．12种 D．6种参考答案：答案:B2. “”是“直线和直线垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：C3. 如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线和曲线围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是(A) (B) (C) ( D)参考答案：D略4. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是（）A.B.C. 三棱锥A-BEF的体积为定值D. 异面直线AE，BF所成的角为定值参考答案：D试题分析：∵AC⊥平面，又BE?平面，∴AC⊥BE．故A正确．∵EF垂直于直线，，∴⊥平面AEF．故B正确．C中由于点B到直线的距离不变，故△BEF的面积为定值．又点A到平面BEF的距离为，故VA-BEF为定值．C正确当点E在处，F为的中点时，异面直线AE，BF所成的角是∠FBC1，当E在上底面的中心时，F在C1的位置，异面直线AE，BF所成的角是∠EAA1显然两个角不相等，D不正确5. 若抛物线在点（a,a2）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为16，则a=A．4 B．±4C．8 D．±8参考答案：B略6. 已知集合A={x∈N|0≤x≤4}，则下列说法正确的是（）A．0?A B．1?A C．D．3∈A参考答案：D【考点】12：元素与集合关系的判断．【分析】先区分是集合还是元素，而后选用符合的符号．【解答】解：集合A={x∈N|0≤x≤4}∴0∈A，1∈A，?A，3∈A故选：D．7. 第22届冬季奥运会于2014年2月7日在俄罗斯索契开幕，到冰壶比赛场馆服务的大学生志愿者中，有2名自莫斯科国立大学，有4名自圣彼得堡国立大学，现从这6名志愿者中随机抽取2人，则至少有1名志愿者自莫斯科国立大学的概率是（）A. B. C. D.参考答案：C8. 若复数z满足（2﹣i）z=|1+2i|，则z的虚部为( )A．﹣B．C．D．﹣参考答案：B考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：设复数z=a+bi（a，b∈R），由于复数z满足（2﹣i）z=|1+2i|，可得2a+b+（2b ﹣a）i=，利用复数相等即可得出．解答：解：设复数z=a+bi（a，b∈R），∵复数z满足（2﹣i）z=|1+2i|，∴（2﹣i）（a+bi）=，∴2a+b+（2b﹣a）i=，∴，解得．故选：B．点评：本题考查了复数的运算和相等，属于基础题．9. 一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为( )参考答案：D如图所示，四面体为正四面体.10. 下列命题中错误的是（）A．如果平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B．如果平面α不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C．如果平面，平面，，那么D．如果平面，那么平面内所有直线都垂直于平面参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知为实数集，集合，则= ___▲_ .参考答案：12. 已知有2个零点，则实数的取值范围是．参考答案：试题分析：由题意，有两个零点，即函数的图象与直线有两个交点，直线过原点，又，因此一个交点为原点，又记，，，即在原点处切线斜率大于，并随的增大，斜率减小趋向于0，可知的图象与直线在还有一个交点，因此没有负实数根．所以，．考点：函数的零点．【名师点睛】函数的零点，是函数图象与轴交点的横坐标，零点个数就是方程解的个数，对于较复杂的函数零点问题一般要转化为两函数图象的交点问题，这样可以应用数形结合思想，借助函数图象观察寻找方法与结论．在转化时要注意含有参数的函数最好是直线，或者是基本初等函数，这样它们的变化规律易于掌握，交点个数易于判断．13. 如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体外接球的表面积为．参考答案：14. 已知向量与的夹角为，，，则__________．参考答案：6，，与的夹角为，，又，，故答案为．15.以a、b、c依次表示方程2x＋x＝1、2x＋x＝2、3x＋x＝2的解，则a、b、c的大小关系为________．参考答案：a<c<b16. 设，，且，则________．参考答案：略17. 已知两向量与满足||=4，||=2，且（+2）?（+）=12，则与的夹角为．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据，进行数量积的运算，便可由求出的值，进而求出向量的夹角．【解答】解：根据条件：=；∴；又；∴与的夹角为．故答案为：．【点评】本题考查数量积的运算及计算公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
云南省昆明市2019届高三高考模拟(第四次统测)文科数学试卷含详解
昆明市2019届高考模拟考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1.己知集合，，则中元素的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】判断集合元素的属性特征，可以知道集合都是点集，所以就是求直线的交点，这样就可以确定中元素的个数.【详解】因为集合，，所以，所以中元素的个数为1，故本题选B.【点睛】本题考查了集合的交集运算.解决此类问题的关键是对集合元素属性特征的认识.2.在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限. 【答案】D【解析】【分析】应用复数除法的运算法则，简化复数，最后确定复数对应的点的位置.【详解】,复数对应的点为，它在第四象限，故本题选D. 【点睛】本题考查通过复数的除法运算法则，化简后判断复数对应的点的位置.3.已知等差数列的前项和为，，则（）A. 0B. 2C. 3D. 6【答案】C【解析】【分析】因为是等差数列，根据，可以求出，利用等差数列的性质可以求出 3.【详解】因为是等差数列，所以,故本题选C. 【点睛】本题考查了等差数列前项和公式和等差数列的性质.考查了运算能力.4.“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】判断充分条件还是必要条件，就看由题设能否推出结论，和结论能否推出题设，本着这个原则，显然能推出，但是不一定能推出，有可能，所以可以判断“”是“”的充分不必要条件.【详解】因为由，由推不出，有可能，所以“”是“”的充分不必要条件，故本题选A.【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的判定，解题的关键是理解掌握它们定义，对于本题正确求解不等式也很关键.5.已知双曲线的一个焦点坐标为渐近线方程为，则的方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通过双曲线的一个焦点坐标为可以求出，渐近线方程为，可以得到，结合，可以求出的值，最后求出双曲线的方程.【详解】因为双曲线的一个焦点坐标为所以，又因为双曲线的渐近线方程为，所以有，而，所以解得，因此双曲线方程为，故本题选B.【点睛】本题考查了求双曲线的标准方程，考查了解方程、运算能力.6.己知直线平面，直线平面，若，则下列结论正确的是（ ）A.或B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】 根据已知直线平面，，可以证明出不成立，这样就可以选出正确答案，也可以这样考虑；当直线平面时，直线可以在平面内，所以选项C 不正确，的位置关系不确定，故选项B,D 也不正确，用排除法，可以选出正确答案. 【详解】当直线平面，时，假设,过在平面内作，根据面面垂直的性质定理可知：，这样过一点有两条直线与平面垂直，这与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直相矛盾，故假设不成立，所以或，故本题选A,也可以这样思考：当直线平面时，直线可以在平面内，所以选项C 不正确，的位置关系不确定，故选项B,D 也不正确，可以选出正确答案.【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系、面面垂直的性质定理、线面平行的性质等. 7.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增D. 在区间上单调递减【答案】A 【解析】 【分析】 函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数的解析式为：，单调递增区间：，单调递减区间：，由此可见，当时，函数在上单调递增，故本题选A.【详解】本题考查了正弦型函数图象的平移变换以及求正弦型函数的单调区间.8.函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出导函数大于零、小于零的区间，这样原函数的单调性的情况也就知道，对照选项，选出正确的答案.【详解】如下图所示：当时，单调递增；当时，单调递减，所以整个函数从左到右，先增后减，再增最后减，选项A中的图象符合，故本题选A.【点睛】本题考查了利用导函数的正负性研究原函数的单调性.本题容易受导函数的增减性干扰.9.黄金矩形是宽与长的比值为黄金分割比的矩形，如图所示，把黄金矩形分割成一个正方形和一个黄金矩形，再把矩形分割出正方形.在矩形内任取一点，则该点取自正方形内的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设矩形的长，宽分别为,所以，把黄金矩形分割成一个正方形和一个黄金矩形,所以，设矩形的面积为,正方形的面积为,设在矩形内任取一点，则该点取自正方形内的概率是,则，故本题选C.【详解】本题考查了几何概型，考查了运算能力.10.己知椭圆直线过焦点且倾斜角为，以椭圆的长轴为直径的圆截所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】直线的方程为，以椭圆的长轴为直径的圆截所得的弦为,，设，垂足为，则，在中，，故本题选D.【点睛】本题考查了椭圆的离心率的求法.考查了圆弦长公式，考查了运算能力.11.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若此几何体的各个顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通过三视图，还原为立体几何图形，然后补成长方体中，利用长方体的对角线的长求出外接球的半径，进而求出球的表面积.【详解】通过三视图可知，该几何体是直三棱柱，其中底面是直角三角形，把它补成长方体如下图所示：连接,设外接球的半径为，所以有,球的表面积为,故本题选B.【点睛】本题考查了通过三视图，识别空间几何体，并求这个空间几何体外接球的表面积，考查了空间想象能力、运算能力.12.己知奇函数的导函数为，当时，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通过给出的不等式，可以联想导数的运算法则，再结合问题所给的形式，构造新函数，这样可以知道当时，函数的单调性，再判断函数的奇偶性，另一方面，利用奇函数的性质可以化简，这样可以得到与新函数的有关的不等式，利用的单调性、奇偶性可以求出实数的取值范围.【详解】设所以当时，是增函数，因为是奇函数，所以有，因此有，所以是偶函数，而，可以化为，是偶函数，所以有，当时，是增函数，所以有，故本题选D.【点睛】本题考查通过构造函数解不等式问题.考查了奇偶函数的性质.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若，满足约束条件则的最小值为___________【答案】-2【解析】【分析】在平面直角坐标中，画出可行解域，设，平移直线，找到截距最小的位置，求出的最小值.【详解】在平面直角坐标中，画出可行解域，如下图所示：设，平移直线，当直线经过时，有最小值为.【点睛】本题考查了求线性目标函数的最小值，考查了数形结合思想、运算能力.14.在边长为6的等边三角形中,，则__________【答案】24【解析】【分析】以为一组基底，用这组基底表示,最后用数量积公式求得24.【详解】【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算、平面向量基本定理、向量的加法几何意义，本题易错的地方是误把看成的夹角.15.能说明“己知，若对任意的恒成立，则在上，”为假命题的一个函数__________（填出一个函数即可）【答案】.【解析】【分析】可以根据这个不等式入手，令，当时，而，显然是假命题，当然这样的函数有好多，比如，等等.【详解】因为，所以令，当时，而，所以是假命题，当然，也可以.【点睛】本题考查了两个函数大小恒成立问题的判断，本题如果改成逆命题，就成立，也就是若对任意的有成立，那么当时，恒成立.16.己知数列满足，则__________【答案】【解析】【分析】由递推公式得，又能得到，再求出几项，这样可以猜想数列的通项公式，再由数学归纳法证明.【详解】由，可得，且，两式作差得，，猜想，现用数学归纳法证明：当时，显然成立；假设当时成立，即当时，，即时，也成立，综上.【点睛】本题考查了数列的递推公式、数学归纳法.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17--2I题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.在中，为边上一点，，，，.(1)求；(2)求的面积.【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）直接运用余弦定理，求出，进而求出的大小；（2）通过（1）可以判断出的形状，根据，可以求出的面积. 【详解】（1）已知，，，在中，由余弦定理得，又因为，所以.（2）因为，所以，因，所以为等腰直角三角形，可得，所以.18.如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，，是的点.(1)证明：；(2)若，求到平面的距离.【答案】(1)见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点为，证明平面，即可证明；（2）计算三棱锥的体积，利用，可以求出到平面的距离.【详解】（1）证明：取的中点为，连结，，在等边三角形中，有，由是的中点，是的中位线，所以，因为，所以，又，所以平面，因为平面，所以.（2）因为平面平面，平面平面，，所以平面，在等腰直角中，，，所以，，因为是的中点，所以，又因为，在中，，在中，，，故.设到平面的距离为，因为，所以，即，所以到平面的距离为.【点睛】本题考查了通过线面垂直证明线线垂直、利用三棱锥的体积公式求点到面的距离.19.设抛物线的焦点为，是上的点.(1)求的方程：(2)若直线与交于,两点，且，求的值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）直接把代入抛物线方程中，求出；（2）直线方程与抛物线方程联立，利用根与系数关系，化简，最后利用，求出的值.【详解】（1）因为是上的点，所以，因为，解得，抛物线的方程为.（2）设，，由得，则，，由抛物线的定义知，，，则，，，解得.【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了一元二次方程根与系数关系，考查了运算能力.20.改革开放以来，我国农村7亿多贫困人口摆脱贫困，贫困发生率由1978年的97.5%下降到201 8年底的1.4%，创造了人类减贫史上的中国奇迹，为全球减贫事业贡献了中国智慧和中国方案.“贫困发生率”是指低于贫困线的人口占全体人口的比例.201 2年至201 8年我国贫困发生率的数据如下表：年份() 2012 2013 2014 2015 201 6 201 7 201 8贫困发生率 (%) 10.2 8.5 7.2 5.7 4.5 3.1 1.4（1）从表中所给的7个贫困发生率数据中任选两个，求两个都低于5%的概率；（2）设年份代码，利用回归方程，分析2012年至2018年贫困发生率的变化情况，并预测2019年的贫困发生率.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式为：，【答案】（1）（2）0.1%.【解析】【分析】（1）设2012年至2015年贫困发生率分别为，，，，均大于5%设2016年至2018年贫困发生率分别为，，，均小于5%，列出从2012年至2018年贫困发生率的7个数据中任选两个，可能的情况，最后利用古典概型公式，求出概率;（2）根据题意列出年份代码与贫困发生率之间的关系，分别计算求出的值，代入公式，求出，的值，求出回归直线方程，并通过回归直线方程预测2019年底我国贫困发生率.【详解】（1）设2012年至2015年贫困发生率分别为，，，，均大于5%设2016年至2018年贫困发生率分别为，，，均小于5%从2012年至2018年贫困发生率的7个数据中任选两个，可能的情况如下：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、共有21种情况，两个都低于5%的情况：、、，共3种情况所以，两个都低于5%的概率为.（2）由题意可得：由上表可算得：，，，，所以，，，所以，线性回归方程为，由以上方程：，所以在2012年至2018年贫困发生率在逐年下降，平均每年下降1.425%；当时，，所以，可预测2019年底我国贫困发生率0.1%.21.已知函数，.（1）当时，讨论函数的零点个数.（2）的最小值为，求的最小值.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）求函数的导数，利用导数判断函数的单调性和极值，从而得到零点的个数；（2），求导得，可以判断存在零点，可以求出函数的最小值为，可以证明出：，，可证明在上有零点，的最小值为，结合，可求的最小值为.【详解】（1）的定义域为，.①当时，，单调递增，又，，所以函数有唯一零点；②当时，恒成立，所以函数无零点；③当时，令，得.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以.当时，，所以函数无零点.综上所述，当时函数无零点.当，函数有一个零点.（2）由题意得，，则，令，则，所以在上为增函数，即在上为增函数.又，，所以在上存在唯一零点，且，，即.当时，，在上为减函数，当时，，在上为增函数，的最小值.因为，所以，所以.由得，易知在上为增函数.因为，所以，，所以在上存在唯一零点，且，，当时，，在上为减函数，当时，，在上为增函数，所以的最小值为，因为，所以，所以，又，所以，又函数在上为增函数，所以，因为，所以，即在上的最小值为0.【点睛】本题考查利用函数的导函数研究函数单调性和零点问题，也考查了不等式恒成立问题. 22.在平面直角坐标系中，曲线参数方程为（为参数），将曲线按伸缩变换公式变换得到曲线(1)求的普通方程；(2)直线过点，倾斜角为，若直线与曲线交于，两点，为的中点，求的面积.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）利用，进行消参，然后根据伸缩变换公式，可以得到曲线；（2）求出直线的参数方程，与的普通方程联立，利用参数的几何意义求出，利用面积公式求出的面积.【详解】（1）依题意，的参数方程为（为参数），所以的普通方程为.（2）因为直线过点，倾斜角为，所以的参数方程为（为参数），设、对应的参数分别为，，则对应的参数为，联立，化简得，所以，即，所以. 【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、曲线的伸缩变换，以及利用直线参数方程参数的意义求弦长问题.23.已知函数(1)在平面直角坐标系中作出的图象，并写出不等式的解集M.(2)设函数，，若，求的取值范围.【答案】（1）函数图象如下图：不等式的解集；（2）.【解析】【分析】（1）利用零点法化简函数的解析式，在直角坐标系内，画出函数图象，分类讨论解不等式；（2）根据（1）对时，进行分类讨论：当时，,根据取值的不同范围，利用一次函数的单调性，求出的取值范围；当时，,根据取值的不同范围，利用一次函数的单调性，求出的取值范围，最后确定的取值范围.【详解】（1），画出图象，如下图所示：当时，；当时，当时，，所以不等式的解集.（2）当时，当时，，显然成立；当时，要想，只需即可，也就是；当时，要想，只需，所以当时，当，的取值范围；当时，，当时，显然不成立；当时，要想，只需不存在这样的；当时，要想，只需，所以当时，当，的取值范围是，综上所述的取值范围.【点睛】本题考查了画含绝对值的函数图象，考查含绝对值的不等式的解法，考查了恒成立问题.考查了分类讨论思想.当然本题，可以采用数形结合思想，进行思考，解题如下：（1）通过图象可以看到，当时，；（2），，可以求出,通过图象可知：当时，在恒成立.。
云南省昆明市2019届高三高考模拟(第四次统测)文科数学试题(解析版)
2019年云南省昆明市高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x |0≤x ≤2}，集合B ={x |x 2≤4}，则A ∩B =（ ）A. {0,1，2}B. {−2,−1,0，1，2}C. [0,2]D. [0,4] 2. 设复数z 满足（1+i ）z =3-i ，则|z |=（ ）A. √5B. 2√2C. √10D. 5 3. 已知命题p ：∃x 0＜0，e x 0+e −x 0＜2，则￢p 为（ ）A. ∃x 0≥0，e x 0+e −x 0≥2B. ∃x 0<0，e x 0+e −x 0≥2C. ∀x ≥0，e x +e −x ≥2D. ∀x <0，e x +e −x ≥2 4. 若x ，y 满足约束条件{x −y +1≤0,x+y−1≥0,则x +2y （ ）A. 有最小值也有最大值B. 无最小值也无最大值C. 有最小值无最大值D. 有最大值无最小值5. 如图是某商场2018年洗衣机、电视机和电冰箱三种电器各季度销量的百分比堆积图（例如：第3季度内，洗衣机销量约占20%，电视机销量约占50%，电冰箱销量约占30%）．根据该图，以下结论中一定正确的是（ ）A. 电视机销量最大的是第4季度B. 电冰箱销量最小的是第4季度C. 电视机的全年销量最大D. 电冰箱的全年销量最大6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 4+2π3 B. 4+4π3 C. 12+2π3 D. 12+4π37.已知直线y=ax与圆C：x2+y2-6y+6=0相交于A、B两点，C为圆心．若△ABC为等边三角形，则a的值为（）A. 1B. ±1C. √3D. ±√38.函数y=1x−ln(x+1)的图象大致为（）A. B. C. D.9.将函数y=sin(2x−π4)的图象向左平移π4个单位，所得图象对应的函数在区间[-m，m]上单调递增，则m的最大值为（）A. π8B. π4C. 3π8D. π210.数列{F n}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记该数列{F n}的前n项和为S n，则下列结论正确的是（）A. S2019=F2021+2B. S2019=F2021−1C. S2019=F2020+2D. S2019=F2020−111.已知函数f（x）=ax2+bx+c ln x（a＞0）在x=1和x=2处取得极值，且极大值为−52，则函数f（x）在区间（0，4]上的最大值为（）A. 0B. −52C. 2ln2−4D. 4ln2−412.三棱锥P-ABC的所有顶点都在半径为2的球O的球面上．若△PAC是等边三角形，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥BC，则三棱锥P-ABC体积的最大值为（）A. 2B. 3C. 2√3D. 3√3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知a⃗，b⃗ 均为单位向量，若|a⃗-2b⃗ |=√3，则a⃗与b⃗ 的夹角为______．14.已知递增等比数列{a n}满足a2+a3=6a1，则{a n}的前三项依次是______．（填出满足条件的一组即可）15.已知抛物线y2=4x上一点P到准线的距离为d1，到直线l：4x-3y+11=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为______．16.已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a3=3，a n+3=a n（n∈N*）．若a n=A sin（ωn+φ）+c(ω＞0，|φ|＜π2)，则实数A=______．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知√3asinB−bcosA=0．（1）求角A；（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．18.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，M是棱DD1上的一点，AA1⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AA1=AB=2AD=2DC．（1）若M是DD1的中点，证明：平面AMB⊥平面A1MB1；的（2）设四棱锥M-ABB1A1与四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积分别为V1与V2，求V1V2值．19.某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树．某农户考察三种不同的果树苗A、B、C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B、C的自然成活率均为0.9．（1）若引种树苗A、B、C各10棵．①估计自然成活的总棵数；②利用①的估计结论，从没有自然成活的树苗中随机抽取两棵，求抽到的两棵都是树苗A的概率；（2）该农户决定引种B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种树苗多少棵？)．20.已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F1(−√3，0)，且C经过点P(√3，12（1）求C的方程；（2）设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y=kx+m与C交于A、B两点（l不经过D点），且AD⊥BD．证明：直线l经过定点，并求出该定点的坐标．21. 已知函数f （x ）=a （x -sin x ）（a ∈R 且a ≠0）．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）设g(x)=e x (14x 2+2x −1)−ax +a ，若对任意x ≥0，都有f （x ）+g （x ）≥0，求a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2+√3cosα，y =√3sinα，（α为参数），直线l 的参数方程为{y =tsinβ,x=tcosβ,（t 为参数，0≤β＜π），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）已知直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|OA |-|OB |=2，求β．23. 已知函数f （x ）=|2x -1|．（1）解不等式f （x ）+f （x +1）≥4；（2）当x ≠0，x ∈R 时，证明：f(−x)+f(1x )≥4．答案和解析1.【答案】C【解析】解：B={x|-2≤x≤2}；∴A∩B=[0，2]．故选：C．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.【答案】A【解析】解：由（1+i）z=3-i，得z=，∴|z|=．故选：A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】D【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题p：∃x0＜0，＜2，则￢p为：∀x＜0，e x+e-x≥2．故选：D．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．4.【答案】C【解析】解：x，y满足约束条件的可行域如图：可知平移直线x+2y=0，经过可行域的A时，x+y取得最小值；没有最大值，故选：C．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，判断选项即可．本题考查线性规划的简单应用，是基本知识的考查．5.【答案】C【解析】解：由某商场2018年洗衣机、电视机和电冰箱三种电器各季度销量的百分比堆积图，知：在A中，电视机销量所占面百分比最大的是第4季度，故A错误；在B中，电冰箱销量所占百分比最小的是第4季度，故B错误；在C中，电视机的全年销量最大，故C正确；在D中，电视机的全年销量最大，故D错误．故选：C．电视机销量所占面百分比最大的是第4季度；电冰箱销量所占百分比最小的是第4季度；电视机的全年销量最大．本题考查命题真假的判断，考查百分比堆积图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数据处理能力，是基础题．6.【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底部为正四棱柱，上部为半球体的组合体；且正四棱柱的底面边长为2，高为3，半球体的半径为1；所以，该组合体的体积为V几何体=2×2×3+=12+．故选：C．根据几何体的三视图，得出该几何体是长方体与半球体的组合体，结合图中数据求出它的体积．本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．7.【答案】D【解析】解：根据题意，圆C：x2+y2-6y+6=0即x2+（y-3）2=3，其圆心为（0，3），半径r=，直线y=ax与圆C：x2+y2-6y+6=0相交于A、B两点，若△ABC为等边三角形，则圆心C到直线y=ax的距离d=，则有=，解可得：a=±；故选：D．根据题意，分析圆C的圆心与半径，结合等边三角形的性质分析可得圆心C 到直线y=ax的距离d=，则有=，解可得a的值，即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，注意将原问题转化为点到直线的距离，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：由于函数y=-ln（x+1）在（-1，0），（0，+∞）单调递减，故排除B，D，当x=1时，y=1-ln2＞0，故排除C，故选：A．根据函数的单调性排除B，D，根据函数值，排除C本题考查了函数的图象与性质的应用，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：∵将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为y=sin（2x+）在区间[-m，m]上单调递增，∴2m+≤，且-2m+≥-，求得m≤，则m的最大值为，故选：A．利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，求得m的最大值．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：数列为：1，1，2，3，5，8…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．则：F n+2=F n+F n+1=F n+F n-1+F n=F n+F n-1+F n-2+F n-1=F n+F n-1+F n-2+F n-3+F n-2=…=F n+F n-1+F n-2+F n-3+…+F2+F1+1，∴S2019=F2021-1故选：B．利用迭代法可得F n+2=F n+F n-1+F n-2+F n-3+…+F2+F1+1，可得S2019=F2021-1，代值计算可得结果．本题考查的知识要点：迭代法在数列中的应用．11.【答案】D【解析】解：函数的导数f′（x）=2ax+b+=∵f（x）在x=1和x=2处取得极值，∴f′（1）=2a+b+c=0 ①f′（2）=4a+b+=0 ②，∵f（x）极大值为，∵a＞0，∴由函数性质当x=1时，函数取得极大值为，则f（1）=a+b+cln1=a+b=，③，由①②③得a=，b=-3，c=2，即f（x）=x2-3x+2lnx，f′（x）=x-3+==，由f′（x）＞0得4≥x＞2或0＜x＜1，此时为增函数，由f′（x）＜0得1＜x＜2，此时f（x）为减函数，则当x=1时，f（x）取得极大值，极大值为，又f（4）=8-12+2ln4=4ln2-4＞，即函数在区间（0，4]上的最大值为4ln2-4，故选：D．求函数的导数，根据函数极值和导数之间的关系，建立方程组求出a，b，c的值，结合函数最值性质进行求解即可．本题主要考查函数极值和最值的应用，根据条件求函数的导数，建立方程组求出a，b，c的值是解决本题的关键．难度不大．12.【答案】B【解析】解：设AC的中点为D，连接PD，则PD⊥AC，∵平面PAC⊥平面ABC，∴PD⊥平面ABC，∵AB⊥BC，∴AC为平面ABC所在截面圆的直径，∴球心O在直线PD上，又△PAC是等边三角形，∴△PAC的中心为棱锥外接球的球心，即OP=2，∴OD=1，AC=2，∴B到平面APC的距离的最大值为AC=，∴三棱锥P-ABC体积的最大值为V=×××=3．故选：B．根据三角形的形状判断球心O的位置，得出B到平面APC的最大距离，再计算体积．本题考查棱锥与外接球的位置关系，球的结构特征，属于中档题．13.【答案】π3【解析】解：∵，均为单位向量，设与的夹角为θ，又|-2|=，∴，∴=，则与的夹角cos=，∴，故答案为：．由|-2|=，结合向量数量积的性质可求，然后代入到夹角公式cos即可求解．本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．14.【答案】1，2，4（填首项为正数，公比为2的等比数列均可）【解析】解：因为等比数列的项a n≠0，故由a2+a3=6a1得，q+q2=6，所以q=2或q=-3，若q＞1，则a1≥1时即可满足等比数列{a n}递增，若q＜0，则{a n}为摆动数列．不满足递增．取a1=1，则{a n}的前三项依次是1，2，4．故答案为：1，2，4．因为等比数列的项a n≠0，故由a2+a3=6a1得，q+q2=6，所以q=2或q=-3，若q ＞1，则a≥1时即可满足等比数列{a n}递增，若q＜0，则{a n}为摆动数列．解决本题的关键在于了解等比数列递增，递减时应满足的条件，属于基础题．15.【答案】3【解析】解：∵点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，∴过焦点F作直线4x-3y+11=0的垂线，则点到直线的距离为d1+d2最小值，∵F（1，0），直线4x-3y+11=0，∴d1+d2==3，故答案为：3．利用抛物线的定义，将d1+d2的最小值转化为点到直线的距离即可求得结论．本题主要考查了抛物线的简单性质，点到直线距离公式的应用，将d1+d2的最小值转化为点到直线的距离是关键．16.【答案】−2√33【解析】解：数列{a n}满足a1=1，a2=2，a3=3，a n+3=a n（n∈N*）；且a n=Asin（ωn+φ）+c（ω＞0，|φ|＜），∴=3，解得ω=；∴a n=Asin（n+φ）+c（|φ|＜），∴1=Asin（+φ）+c，2=Asin（+φ）+c，3=Asin（2π+φ）+c；化为：1=Asin（+φ）+c，2=-Asin（+φ）+c，3=Asinφ+c；∴1=Asinφ+Asin（+φ），2=Asinφ-Asin（+φ）；联立方程组，化简得，解得Asinφ=1，Acosφ=-；∴tanφ=-；又|φ|＜，∴φ=-，∴A==-．故答案为：-．根据题意知a n=Asin（ωn+φ）+c的最小正周期为T=3，由此求得ω的值，再令n=1、2、3，联立方程组求出A的值．本题考查了数列递推关系、数列与三角函数的周期性，也考查了推理与计算能力，是中档题．17.【答案】解：（1）由√3asinB−bcosA=0及正弦定理得：√3sinAsinB−sinBcosA=0，因为sin B≠0，所以√3sinA=cosA，即tanA=√33．因为0＜A＜π，所以A=π6．……………………………………（6分）（2）因为a=2，所以4=c2+b2−√3bc≥2bc−√3bc，所以4(2+√3)≥bc，因为S△ABC=12bcsinA=14bc，所以当且仅当b=c=√6+√2时S△ABC最大，所以S△ABC最大值为2+√3．………………………（12分）【解析】（1）通过已知条件，结合正弦定理，转化求解A即可．（2）利用余弦定理以及基本不等式求出bc，说明面积的最大值即可．本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．18.【答案】（1）证明：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB，又AB⊥AD，AA1∩AD=A，所以BA⊥平面AA1D1D，MA1⊂平面AA1D1D，故BA⊥MA1．……………………（2分）因为AD=DM，所以∠AMD=45°，同理∠A1MD1=45°，所以AM⊥MA1，又AM∩BA=A，所以MA1⊥平面AMB，………………（4分）MA1⊂平面A1MB1，故平面AMB⊥平面A1MB1；………………（6分）（2）解：设AD=1，四棱锥M-ABB1A1的底面ABB1A1的面积为S ABB1A1=4，高为AD=1，所以四棱锥M-ABB1A1的体积V1=13S ABB1A1×AD=43，………………（8分）四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 的面积为S ABCD =32，高为AA 1=2， 所以四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积V 2=S ABCD ×AA 1=3，………………（10分） 即V 1V 2=49．………………………………（12分） 【解析】（1）证明AA 1⊥AB ，AB ⊥AD ，推出BA ⊥平面AA 1D 1D ，得到BA ⊥MA 1．证明AM ⊥MA 1，即可证明MA 1⊥平面AMB ，说明平面AMB ⊥平面A 1MB 1． （2）设AD=1，求出四棱锥M-ABB 1A 1的体积，四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积V 2=S ABCD ×AA 1=3，即可得到比值．本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 19.【答案】解：（1）①依题意：10×0.8+10×0.9+10×0.9=26， 所以自然成活的总棵数为26．②没有自然成活的树苗共4棵，其中两棵A 种树苗、一棵B 种树苗、一棵C 种树苗， 分别设为a 1，a 2，b ，c ，从中随机抽取两棵，可能的情况有：（a 1，a 2），（a 1，b ），（a 1，c ），（a 2，b ），（a 2，c ），（b ，c ）， 抽到的两棵都是树苗A 的概率为16．（2）设该农户种植B 树苗n 棵，最终成活的棵数为0.9n +(1−0.9)n ×34×0.8=0.96n ， 未能成活的棵数为n -0.96n =0.04n ，由题意知0.96n ×300-0.04n ×50≥200000，则有n ≥699.3． 所以该农户至少种植700棵树苗，就可获利不低于20万元． 【解析】（1）①依题意：10×0.8+10×0.9+10×0.9=26，由此能求出自然成活的总棵数． ②没有自然成活的树苗共4棵，其中两棵A 种树苗、一棵B 种树苗、一棵C 种树苗，分别设为a 1，a 2，b ，c ，从中随机抽取两棵，利用列举法能求出抽到的两棵都是树苗A 的概率．（2）设该农户种植B 树苗n 棵，最终成活的棵数为，未能成活的棵数为n-0.96n=0.04n ，由题意知0.96n×300-0.04n×50≥200000，由此能求出该农户至少种植700棵树苗，就可获利不低于20万元．本题考查自然成活动总棵数、概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 20.【答案】（1）解：由题意，设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，焦距为2c ，则c =√3，椭圆的另一个焦点为F 2(√3，0)，由椭圆定义得2a =|PF 1|+|PF 2|=72+12=4，则a =2， ∴b =√a 2−c 2=1， ∴C 的方程x 24+y 2=1；（2）证明：由已知得D （0，1），由{y =kx +mx 24+y 2=1，得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2-4=0， 当△＞0时，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则x 1+x 2=−8km1+4k 2，x 1x 2=4m 2−41+4k 2，y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2m1+4k 2，y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=m 2−4k 21+4k 2，由AD ⊥BD 得，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+（y 1-1）（y 2-1）=0，即5m 2−2m−31+4k 2=0，∴5m 2-2m -3=0，解得m =1或m =−35， ①当m =1时，直线l 经过点D ，舍去；②当m =−35时，显然有△＞0，直线l 经过定点(0，−35)． 【解析】（1）由题意设椭圆，可得，求得椭圆的另一个焦点坐标，利用定义求解a=2，再由隐含条件求得b ，则椭圆方程可求； （2）由已知得D （0，1），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系可得A ，B 横纵坐标的和与积，结合AD ⊥BD ，得=x 1x 2+（y 1-1）（y 2-1）=0，由此求解m 值，得到当时，有△＞0，直线l 经过定点．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21.【答案】解：（1）f（x）的定义域为x∈R；由题意，得f'（x）=a（1-cos x）．当a＞0时，x∈R，f'（x）≥0，所以f（x）在R上单调递增．当a＜0时，x∈R，f'（x）≤0，所以f（x）在R上单调递减．…………………（4分）（2）由题意得，当x=0时，f（0）+g（0）=a-1≥0，则有a≥1．下面证当a≥1时，对任意x≥0，都有f(x)+g(x)=e x(14x2+2x−1)+a(1−sinx)≥0．由于x∈R时，1-sin x≥0，当a≥1时，则有f(x)+g(x)≥e x(14x2+2x−1)+1−sinx．只需证明对任意x≥0，都有e x(14x2+2x−1)+1−sinx≥0．………………（6分）证明：由（1）可知f（x）=x-sin x在[0，+∞）上单调递增；所以当x≥0时，f（x）≥f（0）=0，即x≥sin x，所以1-x≤1-sin x，则e x(14x2+2x−1)+1−sinx≥e x(14x2+2x−1)+1−x．……（7分）设F(x)=e x(14x2+2x−1)+1−x，x≥0，则F′(x)=e x(14x2+52x+1)−1．当x≥0时，e x≥1，14x2+52x+1≥1，所以F'（x）≥0，所以F（x）在[0，+∞）上单调递增；当x≥0时，F（x）≥F（0）=0．所以对任意x≥0，都有e x(14x2+2x−1)+1−sinx≥0．所以，当a≥1时，对任意x≥0，都有f（x）+g（x）≥0．………………（12分）【解析】（1）f（x）的定义域为x∈R；由题意，得f'（x）=a（1-cosx）．对a分类讨论即可得出单调性．（2）由题意得，当x=0时，f（0）+g（0）=a-1≥0，有a≥1．下面证当a≥1时，对任意x≥0，都有．只需证明对任意x≥0，都有．由（1）可知f（x）=x-sinx在[0，+∞）上单调递增．当x≥0时，f（x）≥f（0）=0，即x≥sinx，可得1-x≤1-sinx，．设，x≥0，利用导数已经其单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（1）由曲线C的参数方程可得普通方程为（x-2）2+y2=3，即x2+y2-4x+1=0，……………………（2分）所以曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ+1=0．……………………（5分）（2）由直线l 的参数方程可得直线的极坐标方程为θ=β（ρ∈R ），……………（6分） 因为直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，所以设A （ρ1，β），B （ρ2，β）， 联立{θ=βρ2−4ρcosθ+1=0可得ρ2-4ρcosβ+1=0，…………………（7分）因为△=16cos 2β-4＞0，即cos 2β＞14，…………………（8分） 所以|OA |-|OB |=|ρ1-ρ2|=√(ρ1+ρ2)2−4ρ1ρ2=√16cos 2β−4=2，解得cosβ=±√22，所以β=π4或3π4．…………………（10分）【解析】（1）先消去α得普通方程，再通过互化公式化成极坐标方程；（2）利用直线l 和曲线C 的极坐标方程联立，根据极径的几何意义可得． 本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）原不等式f （x ）+f （x +1）≥4等价于|2x -1|+|2x +1|≥4，等价于{x ＜−12−4x ≥4 或{−12≤x ≤122≥4或{x ＞124x ≥4， 解得x ≤-1或x ≥1，所以原不等式的解集是（-∞，-1]∪[1，+∞）． （2）当x ≠0，x ∈R 时，f （-x ）+f （1x ）=|-2x -1|+|2x −1|， 因为|-2x -1|+|2x −1|≥|-2x -1-（2x -1）|=|2x +2x |=2|x |+2|x|≥4， 当且仅当{(2x +1)(2x −1)≥02|x|=2|x|即x =±1时等号成立， 所以f(−x)+f(1x )≥4． 【解析】（1）讨论x 的范围，去掉绝对值符号解不等式； （2）利用绝对值不等式和基本不等式即可证明．本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值不等式的应用，考查分类讨论思想，属于中档题．。
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云南昆明市2019届高三数学摸底试题（文科有答案）
云南省昆明市2019届高三摸底调研测试文科数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A={x|-1<x<6}，B={x|x>0}，则A∩B= A．(-1，+∞) B．(-1，0) C.(0，6) D.(-1，6) 2. = A．1+i B．-1+i C．-1-i D．1-i 3.已知双曲线C：，则C 的离心率为 A. B. C． D． 4.设a=�S0.37，b=�S0.36,c= ，则a，b，c的大小关系为 A．a>b>c B.a>c>b C．c>a>b D.c>b>a 5．设l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，l ，m .下列结论正
确的是 A．若∥ ，则l∥ B.若l∥m，则∥ C．若⊥ ，则l⊥ D.若l⊥m，则⊥ 6．函数的图象大致是 A B C D 7．直线l:x-y=0
与圆C:(x-2)2+y2=6相交于A，B两点，|AB|= A．2 B．4 C． D. 8．已知平行四边形OABC中，O为坐标原点，A(2,2),C(l,-2)，则 = A．-6 B．-3 C．3 D．6 9．法国学者贝特朗于1899年针对几何概型提出了贝特朗悖论，内容如下：在半径为1的圆内随机地取一条弦，问：弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率等于多少？基于对术语“随
机地取一条弦”含义的不同解释，存在着不同答案.现给出其中一种
解释：固定弦的一个端点A，另一端点在圆周上随机选取，其答案
为
A． B． C． D． 10.如图，边长为1的正方形网格中，实线画出的
是某种装饰品的三视图.已知该装饰品由木质毛坯切削得到，则所用
毛坯可以是 A．棱长都为2的四面体 B.棱长都为2的直三棱柱 C.
底面直径和高都为2的圆锥 D．底面直径和高都为2的圆柱 11.设点M为抛物线C：的准线上一点（不同于准线与x轴的交点），过抛物
线C的焦点F，且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，设MA，MF，MB的斜率分别为k1，k2，k3，则的值为 A.2 B.2 C.4 D.4 12.已知不等式(x-2)ex≥a对任意的x∈R恒成立，则整数a的最大值为 A．-3 B.-2 C.-1 D.O 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．满足a，1，b三个数成等差数列的一组a，b的值分别为 . 14.函数的图象上相邻的两个最高点之间的距离为 . 15.若变量x，y满足 ,则z=2x+y的最小值为 . 16.已知函数， ,若g(x)存在两个零点，则实数a的取值范围是 . 三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 . (1)求C; (2)若a=5,c=7，求△ABC的面积. 18.(12分) 某校为了解“准高三”学生的数学成绩情况，从一次模拟考试中随机抽取了25名学生的数学成绩如下： 78 64 88 104 53 82 86 93 90 105 77 92 116 81 60 82 74 105 91 103 78 88 111 82 71 (l)完成这25名学生数学成绩的茎叶图： (2)确定该样本的中位数和众数： (3)从该样本分数在[100,120)的学生中任意抽出2名，求抽到2名学生的成绩都在区间[1OO，110)的概率．19.(12分) 已知等比数列前n项和为Sn，，S3=21. (l)求数列的通项公式；（2)求数列的前n项和Tn. 20．（12分）阳马和鳖�(biē nào)是《九章算术•商功》里对两种锥体的称谓.如下图所示，取一个长方休，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵．长方体堑堵堑堵再沿其中一个堑堵的一个顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个,以矩形为底，有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马(四棱锥E-ABCD)，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体（三棱锥E-FCD）称为鳖�. 堑堵阳马鳖� (1)在阳马（四棱锥E-ABCD）中，连接BD，若AB=AD，证明:EC⊥BD; (2)求阳马（四棱锥E-ABCD）和鳖�（三棱锥E-FCD）的体积比． 21．(12分) 已知椭圆的右焦点为F(1,0)，过原点O的动直线与椭圆C交于P，Q两点，且△OFP面积的最大值为 . (1)求椭圆C的方程； (2)
经过点F(l，0）的直线l，与椭圆C交于A，B两点，四边形OAPB能否为平行四边形? 若能，求此时直线l的方程，若不能，说明理由.
22.(12分) 已知函数 . (1)求曲线y=f(x)在点(0，-1)处的切线方程；
(2)设函数，若x=2是g(x)的唯一极值点，求a.。