竞赛辅导_一元二次方程[1]
初中数学竞赛第1讲一元二次方程的解法(含解答)
第1讲一元二次方程的解法一、引例瑞士的列昂纳德．欧拉（1707～1783），既是一位伟大的数学家，也是一位教子有方的父亲，他曾亲自编过许多数学趣题用以启发孩子们思考。
如下题：“父亲临终时立下遗嘱，要按下列方式分配遗产：老大分得100克朗和剩下的110；老二分得200克朗和剩下的110；老三分得300克朗和剩下的110；……；以此类推分给其他的孩子，最后发现，遗产全部分完后所有孩子分得的遗产相等；遗产总数、孩子人数和每个孩子分得的遗产各是多少？”这道题需要列方程求解。
解析设孩子数为x人，则最后一个孩子分得遗产为100x克朗,老大分得遗产[100+1 10 (100x2-100)]克朗，得方程100+110(100x2-100)=100x. 同学们，你会解此方程吗？整理方程得 x2-10x+9=0.(x-9)(x-1)=0,∴x1=9,x2=1(舍去).遗产总数是8100克朗；有９个孩子，每个孩子分得的遗产是900克朗。
点评：二、一元二次方程的解法运用因式分解法时，首先应将右边各项移到方程的左边，使方程右边为０；然后再将方程左边的式子分解因式，使原方程化为两个一元一次方程，常借助于提公因式法、公式法、十字相乘法等来分解因式。
例１用适当的方法解下列一元二次方程:(1)(2x-1)2-9=0; (2)x2+x-1=0;(3)x2-4x=1; (4)3x2-16x+5=0;(5)(3x+2)2=4(x-3)2; (6)(y-1)2=2y(1-y);(7)3a2x22=0(a≠0) (8)x2+2mx=(n+m)(n-m).解析 (1)两边开平方，得 2x-1=3或2x-1=-3,∴ x1=2,x2=-1;(2)已知：a=1,b=1,c=-1.∴ x1,x2;(3)整理原方程，得 x2-4x-1=0,∴ (x-2)2=5.∴ x12(4)原方程可化为(3x-1)(x-5)=0,∴ x1=13,x2=5;(5)两边开平方,得3x+2=2(x-3)或3x+2=-2(x-3),∴ x1=-8, x2=45.(6)原方程可化为(y-1)(3y-1)=0,∴ y1=1, y2=1 3 .(7)原方程可化为∴ x1=,x2(8)原方程可化为(x+n+m)(x+m-n)=0,∴ x1=-n-m, x2=n-m.点评此题主要考虑怎样选择一元二次方程的解法，使运算达到最简便。
一元二次方程竞赛解题方法
一元二次方程竞赛解题方法一元二次方程是初中教材的重点内容，也是竞赛题的特点。
除了掌握常规解法外，注意一些特殊或灵活的解法，往往能事半功倍。
以下是一些解题方法：一、换元法例如，考虑方程$x^2-2x-5|x-1|+7=0$的所有根的和。
我们可以令$y=|x-1|$，则原方程变为$y^2-2y-5y+7=0$，化简后得到$y=1$或$y=-5$，即$|x-1|=1$或$|x-1|=5$。
进一步解得$x=-1.0.2.6$，因此所有根的和为$7$，选项C。
二、降次法例如，考虑已知$\alpha。
\beta$是方程$x^2-x-1=0$的两个实数根，求$a^4+3\beta$的值。
我们可以利用方程$x^2-x-1=0$的性质，即$x^2=x+1$，将$a^4+3\beta$表示为$a^2(a^2+3\beta)$，再用$\alpha^2=\alpha+1$和$\beta^2=\beta+1$代入，得到$a^2(a^2+3\beta)=a^2(\alpha+1)(\alpha^2+3\beta^2)=a^2(\alpha+ 1)(4\alpha+3)$，因此$a^4+3\beta=4a^3+4a^2+a^2(\alpha+1)(4\alpha+3)=4a^3+4a^2+3 a^2+4a^3+3a^2=8a^3+6a^2$，选项B。
三、整体代入法例如，考虑二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1.x_2$，记$S_1=x_1+1993x_2.S_2=x_1^2+1993x_2^2.\dots。
S_n=x_1^n+1993x_2^n$，求证$aS_{1993}+bS_{1992}+cS_{1991}=0$。
我们可以将$x_1.x_2$表示为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$和$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，然后利用数列求和公式，得到$S_1=-\frac{b}{a}+1993\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$S_2=\frac{b^2-2ac}{a^2}+1993\frac{b^2-2ac+2b\sqrt{b^2-4ac}}{4a^2}$，$S_3=-\frac{b^3-3abc+2a\sqrt{b^2-4ac}(b^2-ac)}{a^3}+\dots$。
初中数学竞赛：一元二次方程
初中数学竞赛：一元二次方程一元二次方程是中学代数的重要内容之一，是进一步学习其他方程、不等式、函数等的基础，其内容非常丰富，本讲主要介绍一元二次方程的基本解法．方程ax2+bx+c=0(a≠0)称为一元二次方程．一元二次方程的基本解法有开平方法、配方法、公式法和国式分解法．对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)，△=b2-4ac称为该方程的根的判别式．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即当△=0时，方程有两个相等的实数根，即当△＜0时，方程无实数根．分析可以使用公式法直接求解，下面介绍的是采用因式分解法求解．因为所以例2 解关于x的方程：x2-(p2+q2)x+pq(p+q)(p-q)=0．解用十字相乘法分解因式得[x-p(p-q)][x-q(p+q)]=0，所以x1=p(p-q)，x2=q(p+q)．例3 已知方程(2000x)2-2001×1999x-1=0的较大根为a，方程x2+1998x-1999=0的较小根为β，求α-β的值．解由方程(2000x)2-2001×1999x-1=0得(20002x+1)(x-1)=0，(x+1999)(x-1)=0，故x1=-1999，x2=1，所以β=-1999．所以α-β=1-(-1999)=2000．例4 解方程：(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)．分析本题容易犯的错误是约去方程两边的(x-1)，将方程变为3x-1=4x+1，所以x=-2，这样就丢掉了x=1这个根．故特别要注意：用含有未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程失根．本题正确的解法如下．解 (3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0，(x-1)[(3x-1)-(4x+1)]=0，(x-1)(x+2)=0，所以 x1=1，x2=-2．例5 解方程：x2-3｜x｜-4=0．分析本题含有绝对值符号，因此求解方程时，要考虑到绝对值的意义．解法1 显然x≠0．当x＞0时，x2-3x-4=0，所以x1=4，x2=-1(舍去)．当x＜0时，x2+3x-4=0，所以x3=-4，x4=1(舍去)．所以原方程的根为x1=4，x2=-4．解法2 由于x2=｜x｜2，所以｜x｜2-3｜x｜-4=0，所以 (｜x｜-4)(｜x｜+1)=0，所以｜x｜=4，｜x｜=-1(舍去)．所以 x1=4，x2=-4．例6 已知二次方程3x2-(2a-5)x-3a-1=0有一个根为2，求另一个根，并确定a的值．解由方程根的定义知，当x=2时方程成立，所以3×22-(2a-5)×2-3a-1=0，故a=3．原方程为3x2-x-10=0，即(x-2)(3x+5)=0，例7 解关于x的方程：ax2+c=0(a≠0)．分析含有字母系数的方程，一般需要对字母的取值范围进行讨论．当c=0时，x1=x2=0；当ac＞0(即a，c同号时)，方程无实数根．例8 解关于x的方程：(m-1)x2+(2m-1)x+m-3=0．分析讨论m，由于二次项系数含有m，所以首先要分m-1=0与m-1≠0两种情况(不能认为方程一定是一元二次方程)；当m-1≠0时，再分△＞0，△=0，△＜0三种情况讨论．解分类讨论．(1)当m=1时，原方程变为一元一次方程x-2=0，所以x=2．(2)当m≠1时，原方程为一元二次方程．△=(2m-1)2-4(m-1)(m-3)=12m-11．例9 解关于x的方程：a2(x2-x+1)-a(x2-1)=(a2-1)x．解整理方程得(a2-a)x2-(2a2-1)x+(a2+a)=0．(1)当a2-a≠0，即a≠0，1时，原方程为一元二次方程，因式分解后为[ax-(a+1)][(a-1)x-a]=0，(2)当a2-a=0时，原方程为一元一次方程，当a=0时，x=0；当a=1时，x=2．例10 求k的值，使得两个一元二次方程x2+kx-1=0，x2+x+(k-2)=0有相同的根，并求两个方程的根．解不妨设a是这两个方程相同的根，由方程根的定义有a2+ka-1=0，①a2+a+(k-2)=0．②①-②有ka-1-a-(k-2)=0，即 (k-1)(a-1)=0，所以k=1，或a=1．(1)当k=1时，两个方程都变为x2+x-1=0，所以两个方程有两个相同的根没有相异的根；(2)当a=1时，代入①或②都有k=0，此时两个方程变为x2-1=0，x2+x-2=0．解这两个方程，x2-1=0的根为x1=1，x2=-1；x2+x-2=0的根为x1=1，x2=-2．x=1为两个方程的相同的根．例11 若k为正整数，且关于x的方程(k2-1)x2-6(3k-1)x+72=0有两个不相等的正整数根，求k的值．解原方程变形、因式分解为(k+1)(k-1)x2-6(3k-1)x+72=0，[(k+1)x-12][(k-1)x-6]=0，即4，7．所以k=2，3使得x1，x2同时为正整数，但当k=3时，x1=x2=3，与题目不符，所以，只有k=2为所求．例12 关于x的一元二次方程x2-5x=m2-1有实根a和β，且｜α｜+｜β｜≤6，确定m的取值范围．解不妨设方程的根α≥β，由求根公式得｜α｜+｜β｜=α+β=5＜6，符合要求，所以m2≤1．例13 设a，b，c为△ABC的三边，且二次三项式x2+2ax+b2与x2+2cx-b2有一次公因式，证明：△ABC一定是直角三角形．证因为题目中的两个二次三项式有一次公因式，所以二次方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0必有公共根，设公共根为x0，则两式相加得若x0=0，代入①式得b=0，这与b为△ABC的边不符，所以公共根x0=-(a＋c)．把x0=-(a＋c)代入①式得(a+c)2-2a(a+c)+bg2=0，整理得a2=b2+c2所以△ABC为直角三角形．例14 有若干个大小相同的球，可将它们摆成正方形或正三角形，摆成正三角形时比摆成正方形时每边多两个球，求球的个数．解设小球摆成正三角形时，每边有x个球，则摆成正方形时每边有(x-2)个球．此时正三角形共有球此时正方形共有(x-2)2个球，所以即 x2-9x+8=0，x1=1，x2=8．因为x-2≥1，所以x1=1不符合题意，舍去．所以x=8，此时共有球(x-2)2=36个．练习九1．解方程：(2)20x2+253x+800=0；(3)x2+｜2x-1｜-4=0．2．解下列关于x的方程：(1)abx2-(a4+b4)x+a3b3=0；(2)(2x2-3x-2)a2+(1-x2)b2=ab(1+x2)．3．若对任何实数a，关于x的方程x2-2ax-a+2b=0都有实数根，求实数b的取值范围．4．若方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0有一个公共根，求(a+b)2000的值．5．若a，b，c为△ABC的三边，且关于x的方程4x2+4(a2+b2+c2)x+3(a2b2+b2c2+c2a2)=0有两个相等的实数根，试证△ABC是等边三角形．。
第一讲 培优竞赛一元二次方程的解法辅导
第一讲 一元二次方程的定义及解法培优竞赛辅导【基础知识回顾】知识点一、一元二次方程的定义：1、一元二次方程：含有个未知数，并且未知数最高次数是2的方程2、一元二次方程的一般形式：,其中二次项是,一次项是，是常数项。
3 、一元一次方程的解:常用的两个结论是：①a ＋b ＋c=0,则方程ax 2＋bx ＋c=0﹙a ≠0﹚必有一根为1；②a －b ＋c=0,则方程ax 2＋bx ＋c=0﹙a ≠0﹚必有一根为－1;若c=0呢?题型一：一元二次方程的概念例1.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A 02=++c bx axB 02112=-+x xC 1222+=+x x xD ()()12132+=+x x 变:（1)当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
(2)方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为。
题型二：一元二次方程的解例2.关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为变:（1）已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为(2)若n ﹙n ≠0﹚是关于x 的方程x 2＋mx ＋2n ＝0的根，则m ＋n 的值。
(3)设设a 是方程x 2－2005x ＋1＝0的一个根，则a 2－2004a ＋＝ (4)已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为。
知识点二、一元二次方程的常用解法：1、直接开平方法：如果2ax b =( )，则2x = ，1x = ，2x = 。
2、因式分解法：一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生0A B = 的形式，则可将原方程化为两个方程，即、从而得方程的两根.3、配方法：解法步骤：①化二次项系数为即方程两边都二次项系数；②移项：把项移到方程的边；③配方：方程两边都加上把左边配成完全平方的形式；④解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程。
《一元二次方程》培优竞赛
《一元二次方程》培优【知识要点】：1、一元二次方程的解法 （1） 法；（2） 法；（3） 法；（4） 法2、一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）的根的判别式为△= ，当△>0时方程有两个不相等的实根x 1= 和x 2= ；当△=0时有两个相等的实根x 1=x 2= ； 当△<0时根据平方根的意义，负数没有平方根，所以一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0没有实数解．3、一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为 即x 1=，x 2那么：12x x += ，12x x = ，此结论称为”韦达定理”，其成立的前提是0∆≥．3．特别地， 以两个数根x 1和x 2为根的一元二次方程是x 2＋( x 1+x 2 )x ＋x 1.x 2 = 0．【精选题型】：1、已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围：（1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根 （3）方程有实数根； （4）方程无实数根．2 、若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 2212x x +； (2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．3、已知关于x 的方程22(2)04m x m x ---=．（1）求证：无论m 取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根x 1，x 2满足x 2＝x 1＋2，求m 的值及相应的x 1，x 2．4、已知关于x 的方程mx 2—(2m+1)x+2=0．（1）求证：无论m 取何实数时，原方程总有实数根；（2）若原方程有两个实数根x 1和x 2，当52221=+x x 时求m 的值（3）若原方程有两个实数根，能否存在一个根大于2，另一个根小于2 ？若存在，请求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【拓展练习】:1．若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为( )A ．2 B ．2-C ．12 D ．922．若t 是一元二次方程20 ax bx c ++=的根，则判别式24b ac ∆=-和完全平方式2(2)M at b =+的关系是( )A ．M ∆=B ．M ∆>C ．M ∆<D ．大小关系不能确定3．若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ）A ． m ＜14 B 。
八年级数学竞赛培优 一元二次方程的解法 含解析
一元二次方程的解法【思维入门】1．若关于x 的一元二次方程的两根为x 1＝1，x 2＝2，则这个方程是 ( )A ．x 2＋3x －2＝0B ．x 2－3x ＋2＝0C ．x 2－2x ＋3＝0D ．x 2＋3x ＋2＝02．用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，此方程可变形为 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝4ac －b 24a 2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 2a 2＝4ac －b 24a 2 3．一元二次方程2x 2－3x ＋1＝0的解为____．4．已知关于x 的一元二次方程2x 2－3kx ＋4＝0的一个根是1，则k ＝____．5．一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，则a ＝____．6. 先化简，再求值：(x －1)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－1，其中x 为方程x 2＋3x ＋2＝0的根．【思维拓展】7．若关于x 的方程m (x ＋h )2＋k ＝0(m ，h ，k 均为常数，m ≠0)的解是x 1＝－3，x 2＝2，则方程m (x ＋h －3)2＋k ＝0的解为( ) A ．x 1＝－6，x 2＝－1B ．x 1＝0，x 2＝5C ．x 1＝－3，x 2＝5D ．x 1＝－6，x 2＝28．定义运算“★”：对于任意实数a ，b ，都有a ★b ＝a 2－3a ＋b ，如：3★5＝32－3×3＋5.若x ★2＝6，则实数x 的值是____．9．关于x 的一元二次方程为(m －1)x 2－2mx ＋m ＋1＝0.(1)求出方程的根；(2)m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？10．某文献对分式方程验根的归纳如下：“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．”请你根据对这段话的理解，解决下面问题：已知关于x的方程m－1x－1－xx－1＝0无解，方程x2＋kx＋6＝0的一个根是m.(1)求m和k的值；(2)求方程x2＋kx＋6＝0的另一个根．【思维升华】11．若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2－5m＋6＝0的常数项为0，则m的值是()A．2 B．3C．2或3 D．012．若n(n≠0)是关于x的方程x2＋mx＋3n＝0的根，则m＋n的值是____．13．已知n为正整数，且n4＋2n3＋6n2＋12n＋25为完全平方数，则n＝____．14．若x2－||2x－1－4＝0，则满足该方程的所有根之和为____．15．若x＝－1是关于x的方程a2x2＋2 015ax－2 016＝0的一个根，则a的值为______．一元二次方程的解法【思维入门】1．若关于x 的一元二次方程的两根为x 1＝1，x 2＝2，则这个方程是 ( B )A ．x 2＋3x －2＝0B ．x 2－3x ＋2＝0C ．x 2－2x ＋3＝0D ．x 2＋3x ＋2＝02．用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，此方程可变形为 ( A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝4ac －b 24a 2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 2a 2＝4ac －b 24a 2 3．一元二次方程2x 2－3x ＋1＝0的解为__x 1＝1，x 2＝12__．4．已知关于x 的一元二次方程2x 2－3kx ＋4＝0的一个根是1，则k ＝__2__．5．一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，则a ＝__1__．【解析】 ∵一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，∴a ＋1≠0且a 2－1＝0，∴a ＝1.6. 先化简，再求值：(x －1)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－1，其中x 为方程x 2＋3x ＋2＝0的根． 解：原式＝(x －1)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x －1x ＋1＝(x －1)·x ＋1－x ＋1＝－x －1. 由x 2＋3x ＋2＝0，得x 1＝－1，x 2＝－2.当x 1＝－1时，原式无意义，所以x 1＝－1舍去．当x 2＝－2时，原式＝1.【思维拓展】7．若关于x 的方程m (x ＋h )2＋k ＝0(m ，h ，k 均为常数，m ≠0)的解是x 1＝－3，x 2＝2，则方程m (x ＋h －3)2＋k ＝0的解为( B ) A ．x 1＝－6，x 2＝－1 B ．x 1＝0，x 2＝5C．x1＝－3，x2＝5 D．x1＝－6，x2＝28．定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－3a＋b，如：3★5＝32－3×3＋5.若x★2＝6，则实数x的值是__－1或4__．9．关于x的一元二次方程为(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.(1)求出方程的根；(2)m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？解：(1)根据题意得m≠1，Δ＝(－2m)2－4(m－1)(m＋1)＝4，∴x1＝2m＋22()m－1＝m＋1m－1，x2＝2m－22()m－1＝1.(2)由(1)知x1＝m＋1m－1＝1＋2m－1，∵方程的两个根都是正整数，∴2m－1是正整数，∴m－1＝1或2.∴m＝2或3.10．某文献对分式方程验根的归纳如下：“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．”请你根据对这段话的理解，解决下面问题：已知关于x的方程m－1x－1－xx－1＝0无解，方程x2＋kx＋6＝0的一个根是m.(1)求m和k的值；(2)求方程x2＋kx＋6＝0的另一个根．解：(1)∵将分式方程m－1x－1－xx－1＝0去分母化成整式方程得(m－1)－x＝0，解得x＝m－1.又∵关于x的方程无解，∴x＝m－1是增根．∴m－1－1＝0，解得m＝2.∵方程x2＋kx＋6＝0的一个根是m，即x＝2.∴22＋2k＋6＝0.解得k＝－5.(2)x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3.【思维升华】11．若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2－5m＋6＝0的常数项为0，则m的值是(B)A．2 B．3C．2或3 D．012．若n(n≠0)是关于x的方程x2＋mx＋3n＝0的根，则m＋n的值是__－3__．13．已知n为正整数，且n4＋2n3＋6n2＋12n＋25为完全平方数，则n＝__8__．【解析】易知n＝1，n＝2均不符合题意，所以n≥3，此时一定有(n2＋n＋2)2＝n4＋2n3＋5n2＋4n＋4＜n4＋2n3＋6n2＋12n＋25，(n2＋n＋4)2＝n4＋2n3＋9n2＋8n＋16≥n4＋2n3＋6n2＋12n＋25，而n4＋2n3＋6n2＋12n＋25为完全平方数，所以一定有n4＋2n3＋6n2＋12n＋25＝(n2＋n＋3)2，整理得n2－6n－16＝0，解得n＝8(负根n＝－2舍去)．2x－1－4＝0，则满足该方程的所有根之和为．14．若x2－||15．若x＝－1是关于x的方程a2x2＋2 015ax－2 016＝0的一个根，则a的值为__2__016或－1__．【解析】∵x＝－1是关于x的方程a2x2＋2 015ax－2 016＝0的一个根，∴将x＝－1代入方程得a2－2 015a－2 016＝0，因式分解得(a－2 016)(a＋1)＝0，可化为a－2 016＝0或a＋1＝0，解得a1＝2 016，a2＝－1，则a的值为2 016或－1.。
与一元二次方程有关的竞赛题
与一元二次方程有关的竞赛题一、降次（一）直接用方程降次1．当219941+=x 时，多项式20013)199419974(--x x 的值为 。
分析与解：2．若,132=-x x 则200572129234+--+x x x x 的值等于 。
分析与解：3．设0772=+-x x ，则42749x x ++= 。
分析与解：（二）用根的关系式降次4．已知βα,是方程012=--x x 的两个根，则βα34+的值为 。
分析与解：5．设21,x x 是二次方程032=-+x x 的两个根，求1942231+-x x 的值。
分析与解：二、用根的判别式解题6．已知c b a ,,是整数，且,01,422=-+=-c ab b a 求c b a ++的值。
分析与解：7．已知c b a ,,均为实数，且4=+b a ，,103422-=-c ab c 求ab 的值。
分析与解：8．已知b a ,为整数，且032=-+-b ax x 有两个不相等的实数根；07)6(2=-+-+b x a x 有两个相等的实数根；0)5()4(2=-+-+b x a x 没有实数根，则b a += 。
分析与解：9．m 为整数时，关于x 的方程0)223()1(422=+-+--k m m x m x 的根是有理数，求k 的值。
分析与解：10．证明：已知关于x 的一元二次方程022=++c Bx Ax ① 022=++A Cx Bx ② 022=++B Ax cx ③中，至少有一个方程有实数根。
分析与解：11．设p 1、p 2、q 1、q 2为实数，且),(22121q q p p +=⋅证明方程0112=++q x p x 和0222=++q x p x 中至少有一个实数根。
分析与解：12．求方程012222=++-++y x y xy x 的整数解。
分析与解：三、用韦达定理解题13．若1≠ab ，且有09200352=++a a 及,05200392=++b b 则ba 的值是 。
人教版初三数学上册一元二次方程知识竞赛
一元二次方程知识竞赛（练习课）活动方案
开平四中梁溢沛一、设计背景
相对于传统的上课方式，利用竞赛的手段进行教学，更加能够引起学生
的兴趣，使学生感受到学习的乐趣，从而更加热爱学习。
二、教学设计
（一）教学目标：
1、让学生熟练掌握一元二次方程的基础知识，通过集体活动，促进团队合
作精神；
2、在知识竞赛中，创造浓厚的学习氛围，激发学生学生数学的兴趣。
（二）教学内容：一元二次方程知识竞赛（练习课）；
（三）教学重难点：
1、重点：通过竞赛，培养运用知识、技能解决问题
2、难点：让同学们在平常的学习中也要乐于学习。
三、教学过程
（一）必答题
必答题规则：
1.以小组为单位，每个小组有相同的答题机会；
2.每个小组3道题目，题目需要在指定的时间（3分钟内）完成，完成
后由该组一位组员答题，答对得10分，答错不扣分
（二）抢答题
抢答题规则：
出示题目后，每一小组都可以举手抢答，答对得10分，答错扣5分，答错的其他组也可以补答，正确同样得10分。
（三）统计两轮总分数，得出排名
根据各组的得分情况进行总分统计排名，进行颁奖。
（四）对本次知识竞赛进行小结。
初中数学竞赛：一元二次方程
初中数学竞赛：一元二次方程一元二次方程是中学代数的重要内容之一，是进一步学习其他方程、不等式、函数等的基础，其内容非常丰富，本讲主要介绍一元二次方程的基本解法．方程ax2+bx+c=0(a≠0)称为一元二次方程．一元二次方程的基本解法有开平方法、配方法、公式法和国式分解法．对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)，△=b2-4ac称为该方程的根的判别式．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即当△=0时，方程有两个相等的实数根，即当△＜0时，方程无实数根．分析可以使用公式法直接求解，下面介绍的是采用因式分解法求解．因为所以例2 解关于x的方程：x2-(p2+q2)x+pq(p+q)(p-q)=0．解用十字相乘法分解因式得[x-p(p-q)][x-q(p+q)]=0，所以x1=p(p-q)，x2=q(p+q)．例3 已知方程(2000x)2-2001×1999x-1=0的较大根为a，方程x2+1998x-1999=0的较小根为β，求α-β的值．解由方程(2000x)2-2001×1999x-1=0得(20002x+1)(x-1)=0，(x+1999)(x-1)=0，故x1=-1999，x2=1，所以β=-1999．所以α-β=1-(-1999)=2000．例4 解方程：(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)．分析本题容易犯的错误是约去方程两边的(x-1)，将方程变为3x-1=4x+1，所以x=-2，这样就丢掉了x=1这个根．故特别要注意：用含有未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程失根．本题正确的解法如下．解 (3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0，(x-1)[(3x-1)-(4x+1)]=0，(x-1)(x+2)=0，所以 x1=1，x2=-2．例5 解方程：x2-3｜x｜-4=0．分析本题含有绝对值符号，因此求解方程时，要考虑到绝对值的意义．解法1 显然x≠0．当x＞0时，x2-3x-4=0，所以x1=4，x2=-1(舍去)．当x＜0时，x2+3x-4=0，所以x3=-4，x4=1(舍去)．所以原方程的根为x1=4，x2=-4．解法2 由于x2=｜x｜2，所以｜x｜2-3｜x｜-4=0，所以 (｜x｜-4)(｜x｜+1)=0，所以｜x｜=4，｜x｜=-1(舍去)．所以 x1=4，x2=-4．例6 已知二次方程3x2-(2a-5)x-3a-1=0有一个根为2，求另一个根，并确定a的值．解由方程根的定义知，当x=2时方程成立，所以3×22-(2a-5)×2-3a-1=0，故a=3．原方程为3x2-x-10=0，即(x-2)(3x+5)=0，例7 解关于x的方程：ax2+c=0(a≠0)．分析含有字母系数的方程，一般需要对字母的取值范围进行讨论．当c=0时，x1=x2=0；当ac＞0(即a，c同号时)，方程无实数根．例8 解关于x的方程：(m-1)x2+(2m-1)x+m-3=0．分析讨论m，由于二次项系数含有m，所以首先要分m-1=0与m-1≠0两种情况(不能认为方程一定是一元二次方程)；当m-1≠0时，再分△＞0，△=0，△＜0三种情况讨论．解分类讨论．(1)当m=1时，原方程变为一元一次方程x-2=0，所以x=2．(2)当m≠1时，原方程为一元二次方程．△=(2m-1)2-4(m-1)(m-3)=12m-11．例9 解关于x的方程：a2(x2-x+1)-a(x2-1)=(a2-1)x．解整理方程得(a2-a)x2-(2a2-1)x+(a2+a)=0．(1)当a2-a≠0，即a≠0，1时，原方程为一元二次方程，因式分解后为[ax-(a+1)][(a-1)x-a]=0，(2)当a2-a=0时，原方程为一元一次方程，当a=0时，x=0；当a=1时，x=2．例10 求k的值，使得两个一元二次方程x2+kx-1=0，x2+x+(k-2)=0有相同的根，并求两个方程的根．解不妨设a是这两个方程相同的根，由方程根的定义有a2+ka-1=0，①a2+a+(k-2)=0．②①-②有ka-1-a-(k-2)=0，即 (k-1)(a-1)=0，所以k=1，或a=1．(1)当k=1时，两个方程都变为x2+x-1=0，所以两个方程有两个相同的根没有相异的根；(2)当a=1时，代入①或②都有k=0，此时两个方程变为x2-1=0，x2+x-2=0．解这两个方程，x2-1=0的根为x1=1，x2=-1；x2+x-2=0的根为x1=1，x2=-2．x=1为两个方程的相同的根．例11 若k为正整数，且关于x的方程(k2-1)x2-6(3k-1)x+72=0有两个不相等的正整数根，求k的值．解原方程变形、因式分解为(k+1)(k-1)x2-6(3k-1)x+72=0，[(k+1)x-12][(k-1)x-6]=0，即4，7．所以k=2，3使得x1，x2同时为正整数，但当k=3时，x1=x2=3，与题目不符，所以，只有k=2为所求．例12 关于x的一元二次方程x2-5x=m2-1有实根a和β，且｜α｜+｜β｜≤6，确定m 的取值范围．解不妨设方程的根α≥β，由求根公式得｜α｜+｜β｜=α+β=5＜6，符合要求，所以m2≤1．例13 设a，b，c为△ABC的三边，且二次三项式x2+2ax+b2与x2+2cx-b2有一次公因式，证明：△ABC一定是直角三角形．证因为题目中的两个二次三项式有一次公因式，所以二次方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0必有公共根，设公共根为x0，则两式相加得若x0=0，代入①式得b=0，这与b为△ABC的边不符，所以公共根x0=-(a＋c)．把x0=-(a ＋c)代入①式得(a+c)2-2a(a+c)+bg2=0，整理得a2=b2+c2所以△ABC为直角三角形．例14 有若干个大小相同的球，可将它们摆成正方形或正三角形，摆成正三角形时比摆成正方形时每边多两个球，求球的个数．解设小球摆成正三角形时，每边有x个球，则摆成正方形时每边有(x-2)个球．此时正三角形共有球此时正方形共有(x-2)2个球，所以即 x2-9x+8=0，x1=1，x2=8．因为x-2≥1，所以x1=1不符合题意，舍去．所以x=8，此时共有球(x-2)2=36个．练习1．解方程：(2)20x2+253x+800=0；(3)x2+｜2x-1｜-4=0．2．解下列关于x的方程：(1)abx2-(a4+b4)x+a3b3=0；(2)(2x2-3x-2)a2+(1-x2)b2=ab(1+x2)．3．若对任何实数a，关于x的方程x2-2ax-a+2b=0都有实数根，求实数b的取值范围．4．若方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0有一个公共根，求(a+b)2000的值．5．若a，b，c为△ABC的三边，且关于x的方程4x2+4(a2+b2+c2)x+3(a2b2+b2c2+c2a2)=0有两个相等的实数根，试证△ABC是等边三角形．。
竞赛辅导 一元二次方程
一． 一元二次方程的判别式若 x o 是一元二次方程 ax 2+bx+c=0 的根,则判别式△=b 2-4ac 与平方式 M=(2ax o +b)2 的关系是 (A)△＜M (B)△=M (C)△＞M (D)不确定.若a ，b ，c 为△ABC 的三边，且关于x 的方程4x 2+4(a 2+b 2+c 2)x+3(a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2)=0有两个相等的实数根，试证△ABC 是等边三角形．若对任何实数a ，关于x 的方程x 2-2ax-a+2b=0都有实数根，求实数b 的取值范围．已知 b 2 - 4ac 是一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 (a≠0)的一个实数根，则 ab 的取值范围为（ ） (A)ab≥1/8 (B)ab≤1/8 (C)ab≥1/4 (D)ab≤1/4若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定.1、a 、b 、c 都是实数，且a ≠0，a +b +2c =0，则方程a x 2+b x +c =0（ ）。
（A ）有两个正根 （B ）至少有一个正根 （C ）有且只有一个正根 （D ）无正根6、对a >b >c>0，作二次方程：()02=+++++-ca bc ab x c b a x .（1）若方程有实根，求证：a 、b 、c 不能成为一个三角形的三条边长。
（2）若方程有实根x 0，求证：c b x a +>>0. （3）当方程有实根6、9，求正整数a 、b 、c 。
已知a i 、b i (i=1，2，3)为实数，且a 21-a 22-a 23与b 21-b 22-b 23中至少有一个是正数.证明:关于x 的一元二次方程x 2+2(a 1b 1-a 2b 2-a 3b 3)x+(a 21-a 22-a 23)(b 21-b 22-b 23)=0①必有实根. 不妨设a 21-a 22-a 23>0，则a 1≠0.作一元二次方程(a 21-a 22-a 23)x 2+2(a 1b 1-a 2b 2-a 3b 3)x+(b 21-b 22-b 23)=0.②记f(x)=(a 21-a 22-a 23)x 2+2(a 1b 1-a 2b 2-a 3b 3)x+(b 21-b 22-b 23).则二次函数f(x)的图像开口向上.注意到f(x)=(a 1x+b 1)2-(a 2x+b 2)2-(a 3x+b 3)2(a 1≠0). 取x 0=-b 1/a 1，有f(x 0)≤0.所以，二次函数f(x)的图像与x 轴有交点，即方程②有实根.故方程②的判别式Δ≥0.因为方程①、②有相同的判别式Δ，所以，方程①有实根.已知关于x 的方程029|3|)2(62=-+--+-a x a x x 有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ D ）（A ）a ＝0 （B ）a ≥0 （C ）a ＝－2 （D ）a ＞0或a ＝－2二． 根与系数的关系△ABC 的三边长a 、b 、c 满足8=+c b ，52122+-=a a bc ，则△ABC 的周长等于 ．1411、已知实数z 、y 、z 满足x+y=5及z 2=xy+y-9，则x+2y+3z=_______________解：由已知条件知（x+1）＋y=6，(x ＋1)·y=z 2＋9，所以x ＋1，y 是t 2－6t ＋z 2＋9=0的两个实根，方程有实数解，则△＝（－6）2－4（z 2＋9）＝－4z 2≥0，从而知z=0，解方程得x+1=3，y=3。
初中数学竞赛代数专题之一元二次方程培优讲义例题练习及解答
初中数学竞赛之一元二次方程培优讲义形如0=a 的方程叫做一元二次方程。
当240b ac -≥时，一元二次方程的两根为1242b x a-±=、一、专题知识1.直接开平方法、配方法、公式法、因式分解发是一元二次方程的四种基本解法。
2.公式法是解一元二次方程最一般地方法：（1）240b ac ->时，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根122b x a-±=、（2）240b ac -=时，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-（3）240b ac -<时，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实数根二、经典例题例题1已知m n 、是有理数，方程20x mx n ++=2-，求m n +的值。
解：由题意得22)2)0m n ++=即(92)(0m n m -++-而m n 、是有理数，必有92040m n m -+=⎧⎨-=⎩，解得41m n =⎧⎨=-⎩，所以m n +的值为3.例题2求证：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠至多有两个不相等的实数根。
证明：用反证发假设方程20(0)ax bx c a ++=≠有三个不同的实数根1x 、2x 和3x ，则有2110(0)ax bx c a ++=≠①2220(0)ax bx c a ++=≠②2330(0)ax bx c a ++=≠③①—②得22121212()()0,a x x b x x x x -+-=≠有12()0a x xb ++=④同理②—③有23()0a x xb ++=⑤④—⑤得1313()0()a x x x x -=≠必有0a =，与已知条件矛盾，所以一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠至多有两个不相等的实数根。
例题3已知首项系数不相等的两个一元二次方程222(1)(2)(2)0a x a a a --+++=及222(1)(+2)(+2)0(,)b x b x b b a b Z -++=∈有一个公共根，求a bb aa b a b --++的值。
与一元二次方程有关的竞赛题求解的若干方法1
与一元二次方程有关的竞赛题求解的若干方法一元二次方程是初中教材的重点内容，也是竞赛题的特点，在掌握常规解法的基础上，注意一些特殊的、灵活的解法，往往能收到事半功倍的效果。
一、换元例1 方程x2-2x-5|x-1|+7=0的所有根的和是( )A、-2B、0C、2D、4(93年“希望杯”竞赛题) 解：原方程为(x-1)2-5|x-1|+6=0即|x-1|2-5|x-1|+6=0令|x-1|=A，则方程变为A2-5A+6=0∴A1=2，A2=3由|x-1|=2，得x1=3，x2=-1；由|x-1|=3，得x3=4，x4=-2。
x1+x2+x3+x4=4故选D。
二、降次例2 已知α、β是方程x2-x-1=0的两个实数根，不解方程，求a4+3β的值。
(96年江苏省竞赛题) 解：∵α是方程x2-x-1=0的根，∴α2-α-1=0，α2=α+1(二次转化为1次)α4=(α+1)2=α2+2α+1=α+1+2α+1=3α+2(四次转化为一次)∴α4+3β=3α+2+3β=3(α+β)+2=3×1+2=5三、整体代入例3 设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，记S1=x1+1993x2，S2=x+1993x，…，Sn=x+1993x，则aS1993+bS1992+cS1991= 。
(93年希望杯竞赛试题)解：∵x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根，∴ax+bx1+c=0，ax+bx2+c=0。
aS1993+bS1992+cS1991=a(x+1993x)+b(x+1993x)+c(x+1993x)=(ax+bx+cx)+(a·1993x+b·1993x+c·1993x)= x(ax+bx1+c)+1993x(ax+bx2+c)=0。
四、配偶例4 已知α、β是方程x2-7x+8=0的两根且α＞β，不解方程，利用韦达定理求+3β2的值。
(第八届“祖冲之”杯竞赛试题) 解：由韦达定理，得α+β=7，αβ=8∴α2+β2=(α+β)2-2αβ=49-16=33，(α-β)2=(α+β)2-4αβ=49-32=17∵α＞β，∴α-β=设A=+3β2，B=+3α2(A的配偶)则A+B=+3(α2+β2)=+3×33=A-B=-+3β2-3α2=-3(α+β)(α-β)=∴2A=A=五、反客为主例5 求所有正实数a，使得方程x2-ax+4a=0仅有整数根。
一元二次方程,让你在数学竞赛中更加：教案分享
一元二次方程，是高中数学中最重要的概念之一。
在数学竞赛中，一元二次方程是必考的内容之一，而且往往也是考试中最重要的题型之一。
因此，掌握一元二次方程的知识，对于参加数学竞赛的学生来说，是非常重要的。
今天，我要跟大家分享一下如何通过一些简单的教学方法，帮助学生更加优秀地掌握一元二次方程的知识。
一、掌握一元二次方程的概念在开始讲授解一元二次方程的方法之前，首先需要让学生掌握一元二次方程的概念。
因此，教师可以在课堂上先给学生详细介绍一元二次方程的定义和基本形式，并且让学生理解一元二次方程的概念。
一元二次方程的定义：一元二次方程是指一个变量的二次方项系数不为0的二次方程，即ax² + bx + c = 0。
一元二次方程的基本形式：ax² + bx + c = 0，其中a、b、c是已知的实数，且a≠0。
在讲解这些概念的时候，教师可以通过举例的方式来让学生更好地理解。
让学生自己编写一些实例，也可以让他们更好地理解一元二次方程的概念。
二、通过实例演练，掌握一元二次方程的解法在教学中，演示一些解一元二次方程的实例是必不可少的。
教师可以通过给学生提供练习题来帮助他们掌握方程的解法，并且可以实时反馈学生的答案。
例如，给学生提供以下的一元二次方程：2x² + 3x – 2 = 01、分别写出方程中a、b、c的值。
a=2，b=3，c=-22、解出方程的答案。
x₁ = (-b + √(b²-4ac))/2ax₂ = (-b - √(b²-4ac))/2ax₁ = (-3 + √(3²-4×2×(-2)))/2×2 = 0.5x₂ = (-3 - √(3²-4×2×(-2)))/2×2 = -2因此，方程2x² + 3x – 2 = 0的解为x₁=0.5，x₂=-2。
教师可以在讲解的同时，让学生跟随讲解，尝试自己计算解的过程，并且可以带着问题，发现学生的问题所在，并及时进行解答。
九年级数学尖子生培优竞赛压轴题专题辅导第二章 一元二次方程21页
第二章 一元二次方程B 卷1（考点整合与提升） 考点一：一元二次方程的概念只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化成ax 2+bx+c=0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.一元二次方程必须具备的三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2.易错提示：①未整理、合并直接判断；②不是整式方程；③二次项系数不为零. 命题角度1：认识一元二次方程例1：下列方程中，①x 2=0；②x 2=y+4；③ax 2+2x-3=0(a 是常数)；④x(2x-3)=2x(x-1);⑤12（x 2+3）x ；⑥x1+x 2=5,一定是一元二次方程的是 .（填序号） 例1：答案：①⑤★★变式1：下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A.x 2+2x=x 2-1 B.5x 2-6y-2=0 C.22x +x D.ax 2+bx+c=0变式1：C★★变式2:下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A.（x+2）(x-3)=x 2B.y 2=6 C.2x －31x +=5 D.x 2+3y=1 变式2:B命题角度2：利用定义求字母的值（范围） 例2：当m= 时，关于x 的方程（m-2）22m x-+2x-1=0是一元二次方程.例2：-2★★变式1：已知关于x 的方程（a-1）x 2-2x+1=0是一元二次方程，则a 的取值范围是 . 变式1：a ≠1★★变式2：（m 2-1）x 2+(m+1)x+3m+2=0，当m= 时，方程为关于x 的一元一次方程；当m 时， 方程为关于x 的一元二次方程. 变式2：1，≠±1考点二：一元二次方程的解使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.命题角度1：利用解的定义求字母的值例3：关于x 的一元二次方程mx 2+4x+m 2-3m=0的一个根为0，则m 的值为 . 例3：3★★变式1：已知关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+5x+m 2-1=0的一个根为0，则m= . 变式1：-1★★变式2:若是方程x 2-4x+c=0的一个根，则另一根为 ，c= .变式1命题角度2：利用解的定义求代数式的值例4：已知方程x 2-x-1=0的一个根是m ，则代数式m 2-m+2018的值为 . 例4：2019★★变式1：已知a 是方程x 2-2018x+1=0的一个根，则a 2-2017a+220181a +的值为 . 变式1：2017★★变式2：若m,n 是方程x 2+2x=0的两个实根，则m 2-n 2+2m-2n= . 变式2：0★★变式3：已知m 是方程x 2-2017x+1=0的一个根，则代数式m 2-2018m+212017m ++3的值是 .变式3：2★★变式4：已知a 是方程x 2-3x+1=0的一个根，则3222511a a a a --++的值为 . 变式4：-1考点三：一元二次方程的解法命题角度1：直接开平方法例1：解方程：3（x-2）2=2.例1：x 12★★变式1：已知关于x 的方程m （x+a ）2+n=0的解是x 1=-3，x 2=1,则关于x 的方程m(x+a-2)2+n=0的解是 .变式1：x 1=-1,x 2=3★★变式2：若（x 2+y 2-1）2=4，则x 2+y 2= . 变式2：3命题角度2：配方法用配方法解一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的一般步骤： ①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； ③配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边为一个完全平方式，右边是一个常数的形式；④化原方程为（x+m ）2=n 的形式；⑤如果n ≥0，就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n ＜0，则原方程无解.例2：解方程：3x 2-6x+1=0.例2：x 12★★变式1:解方程：2x 2+1=4x.变式1: x 1=22+,x 2=22-. ★★变式2:解方程：x 2-x-34=0. 变式2：x 1=32,x 2=-12.命题角度3：公式法公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法.它是通过配方法推导出来的.一元二次方程的求根公式是x=2b a-± (b 2-4ac ≥0).例3：解方程：5x 2-4x=1. 例3：x 1=1,x 2=-15.★★变式1:解方程：x 214=0..变式1:x=22.★★变式2：解方程：x 2－3x －1=0.答案：x 命题角度4：因式分解法因式分解法的步骤： ①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.例4：解方程：3(x －1)2=x (x －1). 答案： x 1=1，x 2=32★★变式1：解方程：2(x －3)2=x 2－9. 答案： x 1=3，x 2=9★★变式2：解方程：2x 2－5x +3=0.答案： x 1=1，x 2=32命题角度5：换元法(补充)请你先认真阅读下面的材料，再参照例子解答问题： 已知(x +y －3)(x +y +4)=－10，求x +y 的值.解：设t =x +y ，则原方程变形为(t －3)(t +4)=－10，即t 2+t －2=0. ∴(t +2)(t －1)=0.解得t 1=－2，t 2=1，∴x +y =－2或x +y =1. 例5：已知(x 2+y 2 －4)(x 2+y 2+2)=7，求x ²+y 2的值. 答案：x ²+y 2=5或－3★★变式1：解方程：(x 2－2x )2－x 2+2x －6=0. 答案：x 1=－1，x 2=3★★变式2：解方程：x 2+21x +2x +2x=1(x 是实数).答案：x 1，x 2 考点四一元二次方程根的判别式我们把b ²－4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式，通常用“△”表示. 一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的情况可由△= b ²－4ac 来判定： ①△＞0时，方程有两个不相等的实数根； ②△=0时，方程有两个相等的实数根； ③△＜0时，分方程没有实数根； ④△≥0时，方程有实数根.一元二次方程根的判别式的应用： ①不解方程，判别根的情况；②根据方程的根的情况，求待定系数的取值范围； ③进行有关的证明.命题角度1：不解方程，判别根的情况例6：判断关于x 的一元二次方程x 2－4mx +4m 2－1=0的根的情况. 答案：方程有两个不相等的实数根命题角度2：根据方程的根的情况，求待定系数的值(范围)例7：已知关于x 的一元二次方程mx 2－3(m +1)x +2m +3=0有两个不相等的实数根，求m 的取值范围. 答案：m 的取值范围为m ≠0和m ≠－3★★变式1：若关于x 的方程kx 2－2(k +1)x +k =0有两个相等的实数根，求k 的取值范围.答案：k =－12★★变式2：若关于x 的方程kx 2－6x +9=0有实数根，求k 的取值范围. 答案：k ≤1命题角度3：利用根的判别式进行有关的证明例8：求证：关于x 的一元二次方程mx 2+(3－2m )x +(m －3)=0(m ≠0)总有两个不相等的实数根. 答案：证明：∵mx 2+(3－2m )x +(m －3)=0(m ≠0)，∴△=(3－2m )2－4 m (m －3)=9－12m +4m 2－4m 2+12m =9＞0，∴方程总有两个实数根；★★变式1：已知关于x 的一元二次方程x 2－(k +3)x +2k +2=0.(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于1，求k 的取值范围.答案： (1)证明：∵在方程x 2－(k +3)x +2k +2=0中，△=[－(k +3)]2－4×1×(2k +2)= k 2－2 k +1=(k －1)2≥0，∴方程总有两个实数根.(2)解：∵x 2－(k +3)x +2k +2=(x －2) (x －k －1)=0，∴x 1=2，x 2=k +1，∵方程有一个根小于1，∴k +1＜1，解得k ＜0，∴k 的取值范围为k ＜0.★★变式2：已知关于x 的一元二次方程x 2－(3k +1)x +2k 2+2k =0.(1)求证：无论k 取何实数值，方程总有实数根；(2)若等腰△ABC 的一边长a =6，另两边长b ，c 恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长.答案：(1)证明：∵一元二次方程x 2－(3k +1)x +2k 2+2k =0，∴△=(3k +1)2－4(2k 2+2k )=9k 2+6k +1－8k 2－8k = k 2－2k +1=(k －1)2≥0，∴无论k 取何实数值，方程总有实数根； (2)∵△ABC 为等腰三角形，∴有a =b =6，a =c =6或b =c 三种情况.①当a =b =6或a =c =6时，可知x =6为方程的一个根，∴62－6(3k +1)+2k 2+2k =0；解得k =3或k =5， 当k =3时，方程x 2－10x +24=0，解得x =4或x =6，∴三角形的三边长为4、6、6； 当k =5时，方程x 2－16x +60=0，解得x =6或x =10，∴三角形的三边长为10、6、6；②当b =c 时，方程有两个相等的实数根，∴△=0，即(k －1)2=0，解得k 1=k 2=1；∴方程为x 2－4x +4=0，解得x 1=x 2=2.此时三角形的三边长为6、2、2，不满足三角形三边关系，舍去； 综上，可知三角形的三边长为4、6、6或6、6、10.考点五：一元二次方程根与系数的关系如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根是x 1和x 2理，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1x 2＝ca.韦达定理变形公式：①()2221212122x x x x x x +=+-；②12121211x x x x x x ++=；③()212122112122x x x x x x x x x x +-+=；④()()21212222121221x x x x x x x x +-=+ ；⑤（x 1＋m ）（x 2＋m ）＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2）＋m 2； ⑥12x x -=．注意：运用根与系数的关系的前提条件是△≥0．命题角度1：已知方程的一个根，求另一个根或参数值例9：已知关于x 的一元二次方程x 2－2x －m ＋1＝0，若x ＝3是此方程的一个根，求m 的值及方程的另一个根．答案：∵x ＝3是该方程的一个根， ∴9－6－m ＋1＝0，解得m ＝4， ∴方程为x 2－2x －3＝0， 解得x ＝3或x ＝－1，即方程另一个根为x ＝－1．命题角度2：利用根与系数的关系求参数值（范围）例10：已知：x 1、x 2是一元二次方程2x 2－2x ＋1－3m ＝0的两个实数根，且x 1、x 2满足不等式x 1•x 2＋2（x 1＋x 2）＞0，求实数m 的取值范围．答案：∵x1、x2是一元二次方程2x2－2x＋1－3m＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝1，x1•x2＝132m-．又∵x1－x2＋2（x1＋x2）＞0，∴132m-＋2＞0 解得：m＜53，又∵原方程有实数根，∴b2－4ac＝（－2）2－4×2×（1－3m）＝4－8＋24m＝－4＋24m≥0，∴m≥16，∴16≤m＜53．★★变式1：已知关于x的方程x2＋(8－4m)x＋4m2＝0，是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．答案：不存在．假设存在，则有x12＋x22＝136．∵x1＋x2＝4m－8，x1x2＝4m2，∴（x1＋x2）2－2x1x2＝136．即（4m－8）2－2×4m2＝136，∴m2－8m－9＝0，（m－9）（m＋1）＝0，∴m1＝9，m2＝－1．∵△＝（8－4m）2－16m2＝64－64m≥0，∴0＜m≤1，∴m1＝9，m2＝－1都不符合题意，∴不存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136．★★变式2：关于x的方程x2－（2k－1）x＋k2－2k＋3＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，是否存在实数k，使得|x1|−|x2|＝答案：（1）∵原一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△＝（2k－1）2－4（k2－2k＋3）＞0，得：4k－11＞0，∴k＞114；（2）由一元二次方程的求根公式得：x1＝，x2＝，∵k＞114，∴2k−1＞0，0，∴x1＞0，又∵x1•x2＝k2－2k＋3＝（k－1）2＋2＞0，∴x2＞0，当|x1|−|x2|＝，有x1−x2＝即－＝∴4k－11＝3，∴k＝72，∴存在实数k＝72，使得|x1|−|x2|＝★★变式3：已知关于x的一元二次方程x²－6x＋m＋4＝0有两个实数根x1，x2.（1）求m的取值范围；（2）若x1，x2满足3xm＝2x＋2，求m的值．答案：（1）∵关于x的一元二次方程x2－6x＋m＋4＝0有两个实数根x1，x2，∴△＝（－6）2－4（m＋4）＝20－4m≥0，解得：m≤5，∴m的取值范围为m≤5．（2）∵关于x的一元二次方程x2－6x＋m＋4＝0有两个实数根x1，x2，∴x1＋x2＝6①，x1•x2＝m＋4②．∵3x1＝|x2|＋2，当x2≥0时，有3x1＝x2＋2③，联立①③解得：x1＝2，x2＝4，∴8＝m＋4，m＝4；当x2＜0时，有3x1＝－x2＋2④，联立①④解得：x1＝－2，x2＝8（不合题意，舍去）．∴符合条件的m的值为4．★★变式4：已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2一5x＋a＝0的两个实数根，且x12－x22＝10，求a 的值．答案：由两根关系，得根x1＋x2＝5，x1•x2＝a，由x12－x22＝10得（x1＋x2）（x1－x2）＝10，若x1＋x2＝5，即x1－x2＝2，∴（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1•x2＝25－4a＝4，∴a＝214，命题角度3：利用根与系数的关系构造新的一元二次方程例11：若实数a ，b （a ≠b ）满足a 2＋3a ＋1＝0，b 2＋3b ＋1＝0，求11a b+的值． 答案：∵实数a ，b 满足a 2＋3a －1＝0，b 2＋3b －1＝0（a ≠b ）， ∴a 、b 可以看作是方程x 2＋3x －1＝0的两个根， ∴a ＋b ＝－3，ab ＝－1，∴11331a b a b ab +-+===-．★★变式1：已知p 2－p －1－0， 1－q －q 2＝0，pq ≠1.求1pq q+值． 答案：由p 2－p －1＝0，1－q －q 2＝0，可知p ≠0，q ≠0 又∵pq ≠1∴p ≠1q ∴1－q －q 2＝0可变形为21q ⎛⎫ ⎪⎝⎭−1q－1＝0的特征，∴p 与1q 是方程x 2－x －1＝0的两个不相等的实数根由韦达定理得：p ＋1q＝1 ∴1pq q+＝1．★★变式2：已知2m 2－5m －1＝0，215n n +－2＝0，且m ≠n ，求11m n+的值． 答案：∵215n n+−2＝0， ∴2n 2－5n －1＝0，① ∵2m 2－5m －1＝0，② 由①－②，得 2（n －m ）（n ＋m ）－5（n －m ）＝0， ∵m ≠n ，∴2（n ＋m ）＝5，即n ＋m ＝52； 由①＋②，得2（n 2＋m 2）－5（n ＋m ）－2＝0，即2（n 2＋m 2）－5×－2＝0， 解得，n 2＋m 2＝294， ∴mn ＝[（m ＋n ）2－（n 2＋m 2）]÷2＝12-，∴11m nm n mn++=＝－5． ★★变式3：若非零实数a ，b 满足a 2＋5a －1＝0，b 2＋5b －1＝0，求b aa b+的值． 答案：∵b 2＋5b －1＝0，a 2＋5a －1＝0，∴当a ＝b 时，b aa b+＝1＋1＝2， 当a ≠b ，则a 、b 可看作方程x 2＋5x －1＝0的两实数根， ∴a ＋b ＝－5，ab ＝－1， ∴b a a b +＝()()()22222521271a b ab b a ab ab +---⨯-+===--.考点六：一元二次方程根的分布（补充）一元二次方程根的分布要充分利用根的判别式和韦达定理．（1）实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的所有根都大于零的充要条件是212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪-≥⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩.（2）实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的所有根都小于零的充要条件是212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩ （3）实系教一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个异号实数根的充要条件是212400b ac cx x a ⎧->⎪⎨=<⎪⎩.例12：当参数a 取什么值时，方程x 2－2ax ＋4a －3＝0（1）有两个正根？（2）有一个正根和一个负根？（3）两根都大于1？解：（1）方程有两个正根，则满足212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪-≥⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩，代入解得34＜a ≤1或a ≥3．（2）方程有一个正根和一个负根，则满足21240b ac cx x a ⎧->⎪⎨=<⎪⎩，代入解得a ＜34． （3）方程两根都大于1，则满足()()21212402110b ac x x x x ⎧-≥⎪+>⎨⎪-->⎩，代入解得a ≥3．★★变式1：若方程x 2－（k ＋2）x ＋4＝0有两个负根，求k 的取值范围．解：由方程有两个负根，得1212000x x x x ∆≥⎧⎪+<⎨⎪>⎩⇔()2[2]1602040k k ⎧-+-≥⎪+<⎨⎪>⎩⇔622k k k ≤-≥⎧⎨<-⎩或⇔6k ≤-． ★★变式2：若方程x 2－2tx ＋t 2－1＝0的两个实根都在－2和4之间，求实数t 的取值范围．解：2220x tx t -+=()()[1][1]0x t x t ⇔-+--=11x t ⇒=+，21x t =-， ∴1412t t +<⎧⎨->-⎩13t ⇒-<<．考点七：一元二次方程的应用由实际问题抽象出一元二次方程，要列方程，首先要根据题意找出存在的等量关系，再列出方程求解，最后要检验结果是不是合理．命题角度1：销售问题例13：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元．为了扩大销售、增加盈利及尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件．若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？请解答下列问题： （1）未降价之前，该商场衬衫的总盈利为__________元；（2）降价后，设该商场每件衬衫应降价x 元，则每件衬衫盈利_________元，平均每天可售出_________件（用含x 的代数式表示）； （3）请列出方程，求出x 的值． 解：（1）20×45＝900．故答案为：900．（2）降价后，设该商场每件衬衫应降价x 元，则每件衬衫盈利（45－x ）元，平均每天可售出（20＋4x ）件．故答案为：（45－x ）；（20＋4x ） （3）由题意，得（45－x ）（20＋4x ）＝2100，解得x 1＝10，x 2＝30．因要尽快减少库存，故x ＝30． 答：每件村衫应降价30元．★★变式1：某公司生产某种产品，每件成本价是400元，销售价为620元，本季度销售了5万件．为进一步扩大市场，企业决定降低生产成本，经过市场调研，预计下一季度这种产品每件售价会降低5%，销售量将提高10%．（1）下一季度每件产品的销售价和销售量各是多少？（2）为了使两个季度的销售利润保持不变，公司必须降低成本，问：每件产品的成本应降低多少元？ 解：（1）下一季度每件产品的销售价为620×（1－5％）＝589（元），销售量为（1＋10%）×50000＝55000（件）．（2）设每件产品的成本应降低x 元，则根据题意，得[589－（400－x ）]×55000＝（620－400）×50000，解得x ＝11．答：每件产品的成本应降低11元．★★变式2：一家水果店以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克4元的价格出售，每天可售出100千克．通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20千克． （1）若将这种水果每千克的售价降低x 元，则每天的销售量是多少千克（用含x 的代数式表示）？（2）销售这种水果要想每天盈利300元，且保证每天至少售出260千克，那么水果店需将每千克的售价降低多少元？解：（1）将这种水果每千克的售价降低x 元，则每天的销售量是100＋0.1x×20＝100＋200r （千克）．（2）根据题意，得（4－2－x）（100＋200r）＝300，解得11 2x=，21x=．当12x=时，销售量是11002002002602+⨯=<；当x＝1时，销售量是100＋200＝300（千克）∵每天至少售出260千克，∴x ＝1．答：水果店需将每千克的售价降低1元．★★变式3：某商店以每件50元的价格购进某种品牌衬衫100件．为使这批衬衫尽快出售，该商店先将进价提高到原来的2倍，共销售了10件，再降低相同的百分率作二次降价处理，第一次降价标出了“出厂价”，共销售了40件；第二次降价标出了“亏本价”，结果一抢而光，以“亏本价”销售时，每件衬衫仍有14元的利润．（1）求每次降价的百分率；（2）在这次销售活动中商店获得了多少利润？请通过计算加以说明．解：（1）设每次降价的百分率为x．由题意，得()250215014x⨯--=，解得x1＝0.2＝20％，21.8x=（不合题意，舍去）．答：每次降价的百分率为20％．（2）10×50×2＋40×50×2（1－20%）＋（100－10－40）×50×2（1－20％）2－50×100＝2400（元）．答：在这次销售活动中商店获得了2400元利润命题角度2：增长率问题例14：某市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9．8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元．试问哪种方案更优惠？解：（1）设平均每次下调的百分率为x．由题意，得6000（1－x）2＝4860，解得x1＝0.1，x2＝1.9（舍去）．答：平均每次下调的百分率为10％．（2）由题意，得方案①优惠：4860×100×（1－0.98）＝9720（元）；方案②优惠：80×100＝8000（元），∵9720＞8000，∴方案①更优惠．★★变式1：夏季来临之际，小王看准商机，从厂家购进A，B两款T恤衫进行销售，小王连续两周，每周都用25000元购进250件A款和150件B款．（1）小王在第一周销售时，每件A款的售价比每件B款的售价的2倍少10元，且两种T恤衫在一周之内全部售完，总盈利为5000元．小王销售B款的价格为每件多少元？（2）小王在第二周销售时，受到各种因素的影响，每件A款的售价比第一周A款的售价增加了a%，但A 款的销量比第一周A款的销量下降了a%；每件B款的售价比第一周B款的售价下降了a%，但B款的销量与第一周B款的销量相同，结果第二周的总销售额为30000元，求a的值．解：（1）设小王销售B款的价格为每件x元．由题意，得250×（2x－10）＋150x＝25000＋5000，解得x＝50．答：小王销售B款的价格为每件50元．（2）由题意，得90（1＋53a％）×250（1－a％）＋50（1－a％）×150＝30000，令a％＝m，整理得5m2－m＝0，解得m1＝20％，m2＝0（舍去），∴a＝20．答：m的值为20．★★变式2：为了巩固全国文明城市建设成果，突出城市品质的提升，近年来，某市积极落实节能减排政策，推行绿色建筑.据统计，该市2015年的绿色建筑面积约为700万平方米，2017年达到了1183万平方米.若2016年、2017年的绿色建筑面积按相同的增长率逐年递增，请解答下列问题：(1)求这两年该市推行绿色建筑面积的年平均增长率；(2)2018年该市计划推行绿色建筑面积达到1500万平方米，如果2018年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2018年该市能否完成计划目标.答案:(1)设这两年该市推行绿色建筑面积的年平均增长率为x.根据题意,得700(1＋x)2＝1183,解得x1＝0.3＝30%,x2＝－2.3(舍去).答:这两年该市推行绿色建筑面积的年平均增长率为30%.(2)根据题意,得1183×(1＋30%)＝1537.9(万平方米).∵1537.9＞1500,∴2018年该市能完成计划目标.★★变式3：某市为做好“统筹镇村，迁村并点推进城镇化”，在2015年投入资金1600万元，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金900万元.(1)从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？(2)2017年要安置搬迁户2000户，为了加快安置进度，该地拿出不高于400万元的资金，用于搬迁奖励，规定“舍旧家入新家”的前800户(含第800户)每户奖励3000元，800户以后每户奖励2000元，奖励资金用完为止，则2017年该地至少有多少户享受不到搬迁奖励？答案:(1)设从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为x.根据题意,得1600(1＋x)2＝900＋1600,解得x＝0.25或x＝－2.25(舍去).答:从2015年到2017年,该地投入异地安置资金的年平均增长率为25%.(2)设2017年该地有a户享受到搬迁奖励.根据题意,得800×3000＋(a－800)×2000≤4000000,解得a≤1600,2000－1600＝400(户),答:2017年该地至少有400户享受不到搬迁奖励.命题角度3：面积问题例15：一张长为30cm，宽为20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图2所示.如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长.图2图1答案:设剪掉的正方形纸片的边长为x cm.由题意,得(30－2x)(20－2x)＝264.整理,得x2－25x＋84＝0.解方程,得x1＝4,x2＝21(不符合题意,舍去).答:剪掉的正方形纸片的边长为4cm.★★变式1：如图，为美化环境，某小区计划在一块长方形空地上修建一个面积为1500平方米的长方形草坪，并将草坪四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为60米，宽为40米. (1)求通道的宽度；(2)晨光园艺公司承揽了该小区草坪的种植工程，计划种植“四季青”和“黑麦草”两种绿草，该公司种植“四季青”的单价是30元/平方米，超过50平方米后，每多出5平方米，所有“四季青”的种植单价可降低1元，但单价不低于20元/平方米.已知该小区草坪种植“四季青”的面积超过了50平方米，支付晨光园艺公司种植“四季青”的费用为2000元，求种植“四季青”的面积.40答案:(1)设通道的宽度为x 米.由题意,得(60－2x )⋅(40－2x )＝1500,解得x ＝5或45(舍去).答:通道的宽度为5米.(2)设种植“四季青”的面积为y 平方米.由題意，得y (30－505y -)＝2000,解得y ＝100.答:神植“四季青”的面积为100平方米.★★变式2：如图，某农场老板准备建造一个矩形羊圈ABCD ，他打算让矩形羊圈的一面完全靠着墙MN ，墙MN 最大可利用的长度为25m ，另外三面用长度为50m 的篱笆围成(篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分).(1)若要使矩形羊圈的面积为300m 2，则垂直于墙的一边长AB 为多少米？(2)农场老板又想将羊圈重新改造，使其面积为320m 2，从而可以养更多的羊.他的这个想法能实现吗？为什么？DB ACN25mM答案:(1)设所围矩形ABCD 的宽AB 为x m ,则AD ＝(50－2x )m .依题意，得x ⋅(50－2x )＝300,即x 2－25x ＋150＝0,解方程,得x 1＝15,x 2＝10.∵墙的长度不超过25m ,∴x 2＝10不合题意,应舍去.∴垂直于墙的一边长AB 为15m .(2)不能.由x ⋅(50－2x )＝320,得x 2－25x ＋160＝0.∵b 2－4ac ＝252－4×1×160＝－15＜0,∴上述方程没有实数根.因此,不能使所围矩形羊圈的面积为320m 2.★★变式3：在一块长16m 、宽12m 的矩形荒地上建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半.下面分别是小明和小颖的设计方案.图1图216m12m小明说：我的设计方案如图1，其中花园四周小路的宽度相等.通过解方程，我得到小路的宽为2m . 小颖说：我的设计方案如图2，其中花园中每个角上的扇形相同. (1)你认为小明的结果对吗？请计算说明；(2)请你帮助小颖求出图中的x (结果保留根号和π).答案:(1)小明的结果正确.设小路的宽为x m ,则(16－2x )(12－2x )＝12×16×12,解得x ＝2或x ＝12(舍去).故小明的结果正确.(2)四个角上的四个扇形可合并成一个圆,设这个圆的半径为r m ,则有πr 2＝12×16×12,解得r ＝4π.故图中的x 为4πB 卷2 （易错题二次过关）一、忽视一元二次方程的二次项系数a ≠0例1：已知关于x 的方程01)12(22=+-+x k x k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围. 解：由题意得⎩⎨⎧≠>--=∆004)12222k k k （，解之41<k 且k ≠0.★★变式1：已知关于x 的方程044)1(2=+--x x k 有两个实数根，则k 的取值范围是 . 答案：k ≤8或k ≠1★★变式2：已知关于x 的方程044)1(2=+--x x k 有实数根，则k 的取值范围是 . 答案：k ≤8★★变式3：已知关于x 的二次方程012)21(2=---x k x k 有实根，则k 的取值范围是 . 答案：0≤k ≤1且21≠k 二、忽视根的判别式ac b 42-=∆的条件例2：已知关于x 的方程0122=-+-m mx x 的两个实数根的平方和为23，则m 的值为 .答案：-3★★变式1：若1x ，2x 是方程02)1(2=---x x m 的两个根，且81221221-=+x x x x ，则实数m 的值为 .答案：5★★变式2：若1x ，2x 是方程0)1()1(22=-+++m x m mx 的两个根，且2121x x x x =+，则m 的值 . 答案：不存在★★变式3：已知关于x 的一元二次方程0122=-+-m x x 有两个实数根，设p 是方程的一个实数根，且满足7)4)(32(2=++-m p p ，则m 的值为 . 答案：-3三、忽视题中隐含条件例3：已知关于x 的方程0422=++-a x a x 有两个不相等的实数根，求a 的取值范围. 答案：-2≤x ≤2★★变式：已知关于x 的方程01132=++-x k kx 有两个实数根，则a 的取值范围是.答案：131≤≤-k 且k ≠0B 卷3 （期中+期末）一、填空题1.（武侯）已知实数x 满足01122=--+x x xx ，则x x 1+= . 答案：22.（青羊）若实数a ，b 满足8)2)((2222=-++b a b a ，则22b a += . 答案：43.（锦江）已知a 是方程0120132=+x x 的一个根，则12013201222++-a a a 的值为 . 答案：20124.（锦江）若△ABC 的一条边BC 的长为5，另两边AB ，AC 的长是关于x 的一元二次方程023)32(22=++++-k k x k x 的两个实数根，当k = 时，△ABC 是等腰三角形；当k = 时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形. 答案：3或4；25.（金牛）关于x 的一元二次方程012)1(2=++-x x m 有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是 . 答案：m <2且m ≠16.（高新）设1x ，2x 是一元二次方程0242=-+-t x x 的两个实数根，则2221213x x x x ++的值为 .答案：107.（成华）已知t 为实数，关于x 的方程0242=-+-t x x 有两个非负实数根a ，b ，且0)1)(1(22=--b a ，则t 的值是 . 答案：58.（武侯）已知方程0122=--x x 的两根分别为m ，n ，则代数式1)(24--+m n m 的值为 . 答案：49.（锦江）若a ，b 是一元二次方程020162=--x x 的两根，则201620173-+b a 的值为 . 答案：201710.（金堂）设α,β是一元二次方程022=--x x 的两个实数根，则22βαβα+-的值为 . 答案：711.（双流）对于任意非零自然数n ，一元二次方程0)1(1)1(122=++++-n n x n n n x 的两个根在数轴上对应的点分别为点n A ，n B ，n n B A 表示这两点间的距离，则201520152211B A B A B A +⋅⋅⋅++的值是 .答案：2016201512.（温江）现有三张分别标有数字1，2，6的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张，将上面的数字记为a （不放回），再从中任意抽取一张，将上面的数字记为b ，这样的数字a ，b 能使关于x 的一元二次方程09)3(222=+---b x a x 有两个正根的概率为 .答案：31二、解答题1.（武侯）成都市某学校计划建一个长方形种植园，如图所示，种植园的一边靠墙，另三边用周长为30m 的篱笆围成，已知墙长为18m ，设这个种植园垂直于墙的一边长为x （m ），种植园的面积为y （m 2）. （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）根据实际需要，要求这个种植园的面积不小于100m 2，求x 的取值范围，并求这个种植园的面积的最大值.解：（1）根据题意，得y =(30-2x )x =-2x 2+30x .（2）油题意，得-2x 2+30x ≥100，解得5≤x ≤10. ∵30-2x ≤18，∴x ≥6，∴6≤x ≤10.∵y =-2x 2+30x =-2(x -7.5)2+112.5 . ∴当x =7.5时，这个种植园的面积最大，最大面积为112.5m 2.2.（孝感）已知关于x 的一元二次方程x 2-6x +m +4=0有两个实数根x 1，x 2. （1）求m 的取值范围.（2）若x 1，x 2满足3x 1=|x 2|+2，求m 的值.解：（1）关于二的一元二次方程x 2-6x +m +4=0有两个实数根x 1，x 2，∴△=(-6)2-4(m +4)=20-4m ≥0，解得m ≤5.m 的取值范围为m ≤5.（2）∵关于x 的一元二次方程x 2-6x +m +4=0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=6①，x 1·x 2=m+4②. ∵3x 1=|x 2|+2，当x 2≥0时，有3x 1=x 2+2③.联立①③解得x 1=2，x 2=4，∴8=m +4，m =4；当x 2<0时，有3x 1=-x 2+2④. 联立①④解得x 1=-2，x 2=8（不合题意，舍去）. ∴符合条件的m 的值为4.3.(北京)已知关于x 的一元二次方程x 2-(k +3)x +2k +2=0. （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求k 的取值范围.（1）证明：∵在方程x 2-(k+3)x +2k +2=0中，△=[-(k+3)]2-4×1×(2k +2)=k 2-2k +1=(k -1)2≥0.∴方程总有两个实数根.（2）解：∵x 2-(k+3)x +2k +2=(x -2)(x -k -1）=0，∴x 1=2，x 2=k +1. ∵方程有一根小于1，∴k +1<1，解得k <0.∴k 的取值范围为k <0.4.鄂州 已知关于x 的方程x ²－(2k －1)x ＋k ²－2k ＋3＝0有两个不相等的实数根. (1)求实数k 的取值范围.(2)设方程的两个实数根分别为1x ，2x ，是否存在这样的实数k ，使得|1x | －|2x |？若存在，求出这样的k 值；若不存在，请说明理由.答案：(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴∆＝[－(2k －1)]²－4(k ²－2k ＋3)＝4k －11＞0,解得k ＞114. (2)存在.由方程易得1x ＋2x ＝2k －1, 1x 2x ＝k ²－2k ＋3＝(k －1)²＋2＞0.将|1x |－|2x |两边平方，得1x ²－2|1x 2x |＋2x ²＝5,即(1x ＋2x )²－4|1x 2x |＝5. ∴(2k －1)²－4(k ²－2k ＋3)＝5,解得k ＝4.5．济宁 某地为做好“精准扶贫”，在2015年投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元.(1)从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？(2)在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户(含第1000户)每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，则2017年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？答案:(1)设该地投人异地安置资金的年平均增长率为x.根据题意,得1280(1＋x)²＝1280＋1600,解得x＝0.5或x＝－2.5(舍去).答:从2015年到2017年，该地投人异地安置资金的年平均增长率为50%.(2)设2017年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励.根据题意,得1000×8×400＋(a－1000)×5×400≥5000000,解得a≥1900.答:2017年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励.B 卷4(名校十直升)一、填空题1.成外 已知实数a ，b (a ≠b )，满足(a ＋1)²＝3－3(a ＋1)，3(b ＋1)＝3－(b ＋1)²，则值为 .答案：－23.2.成外 △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10cm ，∠A ，∠B 的正弦值是一元二次方程m (x ²－2x )＋5(x ²＋x )＋12＝0的两根，则Rt △ABC 的两直角边的长分别为 .答案：6cm 、8cm . 3.七中 若m 是方程x ²＋x －4＝0的根，则代数式3m ＋5m ²－5的值是 . 答案：11.4.七中 三张完全相同的卡片，正面分别标有数字0，1，2，先将三张卡片洗匀后反面朝上，随机抽取一张，记下卡片上的数字m ，放置一边，再从剩余的卡片中随机抽取一张，记下卡片上的数字n ，则满足关于x 的方程x ²＋mx ＋n ＝0有实数根的概率为 .答案：12. 5.七中实验 有6张正面分别标有－1，－2，－3，0，1，4的不透明卡片，它们除数字不同外，其余相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为m ，则使关于x 的分式方程1mx2x －－＋2＝12x－有正数解，且使一元二次方程mx ²＋4x ＋4＝0有两个实数根的概率为 . 答案：12.6.设1x ，2x 是一元二次方程x ²＋4x －3＝0的两个根，且21x (2x ²＋52x －3)＋a ＝2，则a 的值为 . 答案：8.7.四中 已知α，β为方程x ²＋4x ＋2＝0的两实根，则3α＋14β＋50＝ . 答案：2.8.四中 已知α，β是方程x ²－x －1＝0的两个实数根，则代数式α²＋α(β²－2)的值为 . 答案：0. 二、解答题1.成外 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，若关于x 的方程c (x ²＋1)－－a (x ²－1)＝0的两根的平方和为10，求ba的值.答案：原方程整理为(c －a )x ²－bx ＋(c ＋a )＝0.设1x ，2x 是方程的两个根,则1x ²＋2x ²＝10,即(1x ＋2x )²－21x 2x ＝10，把1x ＋2x 1x 2x ＝c aac ＋－代入,得)²一2×c aac ＋－＝10,即4b ²－(c ²－a ²)＝5(c －a )².由勾股定理,得c ²－a ²＝b ²,代入以上方程整理后得3b ² ＝5(c －a )².∵c 是斜边,∴c ＞a ,两边开平方,a c .两边同时平方,得3b ²。
初中数学竞赛辅导资料(四)一元二次方程的解
初中数学竞赛辅导资料（45）一元二次方程的根甲内容提要1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的. 根公式是：x=aacb b 242-±－. (b 2－4ac ≥0)2. 根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数. 3. 设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么① ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；② x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)；③ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac (a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4. 方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数. 特殊的例子有：C=0⇔x 1=0 ， a+b+c=0⇔x 1=1 ， a －b+c=0⇔x 1=－1. 乙例题例1. 已知：a, b, c 是实数，且a=b+c+1.求证：两个方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.（1990年泉州市初二数学双基赛题）证明 （用反证法）设 两个方程都没有两个不相等的实数根， 那么△1≤0和△2≤0.即⎪⎩⎪⎨⎧++=≤-≤ ③ ② ①－1040412c b a c a b 由①得b ≥41，b+1 ≥45代入③，得 a －c=b+1≥45， 4c ≤4a －5 ④②＋④：a 2－4a+5≤0，即（a －2）2+1≤0，这是不能成立的.既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0.∴方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.本题也可用直接证法：当△1＋△2＞0时，则△1和△2中至少有一个是正数. 例2. 已知首项系数不相等的两个方程：（a －1）x 2－(a 2+2)x+(a 2+2a)=0和 (b －1)x 2－(b 2+2)x+(b 2+2b)=0 (其中a,b 为正整数) 有一个公共根. 求a, b 的值.（1989年全国初中数学联赛题）解：用因式分解法求得：方程①的两个根是 a 和12-+a a ； 方程②两根是b 和12-+b b . 由已知a>1, b>1且a ≠b. ∴公共根是a=12-+b b 或b=12-+a a . 两个等式去分母后的结果是一样的.即ab －a=b+2, ab －a －b+1=3, (a －1)(b －1)=3. ∵a,b 都是正整数， ∴ ⎩⎨⎧=-3111b a ＝－； 或⎩⎨⎧=-1131b a ＝－.解得⎩⎨⎧=42b a ＝； 或⎩⎨⎧==24b a .又解： 设公共根为x 0那么⎪⎩⎪⎨⎧=+++--=+++-- ②（ ①0)2()2()10)2()2()1(22202220b b x b x b a a x a x a 先消去二次项： ①×（b －1）－②×（a －1） 得［－（a 2+2）(b －1)+(b 2+2)(a －1)］x 0+(a 2+2a)(b －1)－(b 2+2b)(a －1)=0.整理得 （a －b ）(ab －a －b －2)(x 0－1)=0.∵a ≠b∴x 0＝1； 或 (ab －a －b －2)＝0. 当x 0＝1时，由方程①得 a=1, ∴a －1=0，∴方程①不是二次方程. ∴x 0不是公共根.当(ab －a －b －2)＝0时， 得(a －1)(b －1)=3 ……解法同上.例3. 已知：m, n 是不相等的实数，方程x 2+mx+n=0的两根差与方程y 2+ny+m=0的两根差相等.求：m+n 的值. （1986年泉州市初二数学双基赛题） 解：方程①两根差是21x x -＝221)x x -（＝212214)(x x x x -+＝n m 42-同理方程②两根差是21y y -＝m n 42-依题意，得n m 42-＝m n 42-. 两边平方得：m 2－4n=n 2－4m.∴（m －n ）(m+n+4)=0∵m ≠n ，∴ m+n+4＝0， m+n ＝－4.例4. 若a, b, c 都是奇数，则二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根. 证明：设方程有一个有理数根nm（m, n 是互质的整数）. 那么a(n m )2+b(nm)+c=0, 即an 2+bmn+cm 2=0. 把m, n 按奇数、偶数分类讨论，∵m, n 互质，∴不可能同为偶数.① 当m, n 同为奇数时，则an 2+bmn+cm 2是奇数＋奇数＋奇数＝奇数≠0；② 当m 为奇数, n 为偶数时，an 2+bmn+cm 2是偶数＋偶数＋奇数＝奇数≠0；③ 当m 为偶数, n 为奇数时，an 2+bmn+cm 2是奇数＋偶数＋偶数＝奇数≠0. 综上所述不论m, n 取什么整数，方程a(n m )2+b(nm)+c=0都不成立. 即 假设方程有一个有理数根是不成立的.∴当a, b, c 都是奇数时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.例5. 求证：对于任意一个矩形A ，总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k (k ≥1). （1983年福建省初中数学竞赛题） 证明：设矩形A 的长为a, 宽为b ，矩形B 的长为c, 宽为d. 根据题意，得k abcdb a dc ==++. ∴c+d=(a+b)k, cd=abk.由韦达定理的逆定理，得c, d 是方程z 2－(a+b)kz+abk=0 的两个根. △ ＝［－（a+b ）k ］2－4abk＝（a 2+2ab+b 2）k 2－4abk =k ［(a 2+2ab+b 2)k －4ab ］ ∵k ≥1，a 2+b 2≥2ab,∴a 2+2ab+b 2≥4ab ，(a 2+2ab+b 2)k ≥4ab.∴△≥0.∴一定有c, d 值满足题设的条件.即总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k (k ≥1). 例6. k 取什么整数值时，下列方程有两个整数解？①（k 2－1）x 2－6(3k －1)x+72=0 ； ②kx 2+(k 2－2)x －(k+2)=0. 解：①用因式分解法求得两个根是：x 1=112+k ， x 2=16－k . 由x 1是整数，得k+1=±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.由x 2是整数，得k －1=±1, ±2, ±3, ±6.它们的公共解是：得k=0, 2, －2, 3, －5.答：当k=0, 2, －2, 3, －5时，方程①有两个整数解. ②根据韦达定理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=+-=--=+k k k k x x k k k k x x 222221221 ∵x 1, x 2, k 都是整数，∴k=±1，±2. （这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.） 把k=1,－1, 2, －2， 分别代入原方程检验，只有当k=2和k=－2 时适合. 答：当k 取2和－2时，方程②有两个整数解. 丙练习451. 写出下列方程的整数解：① 5x 2－3x=0的一个整数根是＿＿＿.② 3x 2+(2－3)x －2=0的一个整数根是＿＿＿.③ x 2+(5+1)x+5=0的一个整数根是＿＿＿.2. 方程（1－m ）x 2－x －1=0 有两个不相等的实数根，那么整数m 的最大值是＿＿＿＿.3. 已知方程x 2－(2m －1)x －4m+2=0 的两个实数根的平方和等于5，则m=＿＿＿.4. 若x ≠y ，且满足等式x 2+2x －5=0 和y 2+2y －5=0. 那么yx 11+＝＿＿＿.（提示：x, y 是方程z 2+5z －5=0 的两个根.） 5. 如果方程x 2+px+q=0 的一个实数根是另一个实数根的2倍，那么p, q 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （1986年全国初中数学联赛题）6. 若方程ax 2+bx+c=0中a>0, b>0, c<0. 那么两实数根的符号必是＿＿＿＿＿＿.（1987年泉州市初二数学双基赛题） 7. 如果方程mx 2－2(m+2)x+m+5=0 没有实数根，那么方程（m －5）x 2－2mx+m=0实数根的个数是（ ）.(A)2 （B ）1 （ C ）0 （D ）不能确定 （1989年全国初中数学联赛题） 8. 当a, b 为何值时，方程x 2+2(1+a)x+(3a 2+4ab+4b 2+2)=0 有实数根？（1987年全国初中数学联赛题）9. 两个方程x 2+kx －1=0和x 2－x －k=0有一个相同的实数根，则这个根是（ ）(A)2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－1 （1990年泉州市初二数学双基赛题） 10. 已知：方程x 2+ax+b=0与x 2+bx+a=0仅有一个公共根，那么a, b 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.11. 已知：方程x 2+bx+1=0与x 2－x －b=0有一个公共根为m ，求：m ，b 的值.12. 已知：方程x 2+ax+b=0的两个实数根各加上1，就是方程x 2－a 2x+ab=0的两个实数根.试求a,b 的值或取值范围. （1997年泉州市初二数学双基赛题）13. 已知：方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根和等于s 1，两根的平方和等于s 2, 两根的立方和等于s 3.求证：as 3+bs 2+cs 1=0.14. 求证：方程x 2－2(m+1)x+2(m －1)=0 的两个实数根，不能同时为负.（可用反证法）15. 已知：a, b 是方程x 2+mx+p=0的两个实数根；c, d 是方程x 2+nx+q=0 的两个实数根. 求证：（a －c ）(b －c)(a －d)(b －d)=(p －q)2.16. 如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5，两实数根的积是2，那么这个方程是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （1990年泉州市初二数学双基赛题）17. 如果方程（x －1）(x 2－2x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m 的取值范围是 （ ）（A ） 0≤m ≤1 （B ）m ≥43 （C ）43<m ≤1 （D ）43≤m ≤1 （1995年全国初中数学联赛题）18. 方程7x 2－(k+13)x+k 2－k －2=0 (k 是整数)的两个实数根为α，β且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k 的取值范围是( )（A ）3<k<4 (B)-2<k<-1 (C) 3<k<4 或-2<k<-1 （D ）无解（1990年全国初中数学联赛题）。
一元二次方程(竞赛培训资料)
一元二次方程含有字母系数的方程１．解关于x 的方程：()02122=+++-m x m mx练习：解关于x 的方程：()()02=-+-+-a c x c b x b a 含绝对值的方程 ２．解方程：0232=+-x x练习：求方程629332+=-+++x x x x的实数根。
方程的根３．方程()012006200420052=-⨯-x x 较大根为r ，020*******=-+x x 的较小的根为s ，求s r -。
练习1：已知二次方程02=++c bx ax的两根和为1S ，两根的平方和为2S ，两根的立方和为3S ，试求123cS bS aS ++的值。
练习2：已知a 是方程0120032=+-x x 的一个根，求12003200222++-a a a 的值。
练习3：已知a 是方程0199762=--x x 的一个正根，求代数式a19976199761997619978++++的值。
公共根４．已知关于x 的方程()0212=-+-x k x 和方程()0122=+--k k x x 只有一个相同的根，求k 的值和此公共根。
练习：已知关于x 的方程()0312=-++x m x和方程042=--m x x 有一个公共根，求两个非公共根的和。
巧解方程（组）５．解方程（组）：（１）()0178322=-+-x x （可变为()()05324322=--+-x x ） （２）011223334251=++++-+-+++xx x x x x（３）421131132=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-x x x x x x （４）()3322222-+=-+++-x x x x x x （５）()()821344=+++x x （６）()()2229152132x x x x x =+++- （７）解关于x 的方程：()()()0=+++++++abc b a x a c x c b x（８）解关于x 的方程：()()0212223=-+--+t t tx x t x（９）解方程：x x x x x 31132232552-=++++ （１０）解方程：()()221112++-=-+x x x x （１１）解方程：()()10625625=-++x x （１２）解方程：2937322=-+-++x x x x （１３）解方程：397397373373----+-=--+-++x x x x x x x x （１４）解方程：⎩⎨⎧=+=+8428322y xy xy x （１５）解方程组：⎩⎨⎧=++=++1712222y y x x y xy x （１６）解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+++812331y y x y x y x （１７）解方程组：()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=+=+043511211xz z x zy yz xy y x（１８）解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++251x z zx z y yz y x xy根与系数的关系：１．()a c x x a b x x a c bx ax=-=+−−→−≠=++≥∆212102,00 ２．()2122122212x x x x x x -+=+，()()21221221214x x x x x x x x -+=-=- ()()212132132313x x x x x x x x +-+=+，21212111x x x x x x +=+ 例１、 已知方程()0134222=-+-m mx x ，求当m 为何值时，方程（1）有两个正根；（2）两根异号；（3）有一根为0。
初中数学竞赛——一元二次方程的认识
第8讲 一元二次方程的认识知识总结归纳一．解一元二次方程的主要思想：降次，化二次为一次二．解一元二次方程的方法：（1）因式分解法；（2）配方法；（3）公式法；三．一元二次方程的求根公式：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，当240b ac -≥时，它的根是x = 四．一元二次方程的根的判别式：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的情况由判别式24b ac ∆=-的符号确定：（1）0∆＞，有两不相等的实根2b x a -=； （2）0∆=，有两相等的实根2b x a-=； （3）0∆＜，没有实根．典型例题【例1】 用因式分解法解一元二次方程：（1）26160x x --=；（2）3)(1)2(3)x x x +-=+（；（3）261360x x ++=；（4）20x x -+；（5）2269(21)x x x -+=+．【例2】 用配方法解一元二次方程：（1）225x =；（2）22(1)50y --+=；（3）22760x x -+=；（4）22(21)(3)x x -=+；（5）22490x x -+=．【例3】 求221a a -+的最小值．【例4】 已知实数a 、b 满足226540216b a a b -+-+=，求2a -的值．【例5】 用公式法解一元二次方程：（1）2420x x --=；（2）21202x x -++=；（3）2(1(30x x -+．【例6】下列方程中，有两个不相等的实根的是（1）2210x x--=；（2）2230x x-+=；（3）230x-+=；（4）2440x x-+=．【例7】已知方程20x bx a++=有一个根是a-（0a≠），求a b-．【例8】已知b、c为方程20x bx c++=的两个根，且0c≠，b c≠，求b、c．【例9】已知220a ab b+-=（0ab≠），求ab．【例10】 已知关于x 的方程2(2)(21)0x m x m -++-=．（1）求证：此方程恒有两个不相等的实数根；（2）如果此方程的一个根式1，请求出方程的另外一个根．【例11】 解方程：（1）220x x --=；（2）22320x x --=【例12】 解方程：2330x x ---=；【例13】 解关于x 的方程：2()2()0a b c x ax a b c -++++-=．【例14】 解关于x 的方程：3222(1)2()0x t x tx t t +--+-=．作业1. 用适当的方法解一元二次方程：（1）2230x x --=；（2）2(3)4(3)0x x x -+-=；（3）2610x x -+=；（4）22530x x +-=；（5）213602x x --+=．2. 已知m n 、是有理数，并且方程20x mx n ++=2，那么m n +的值是多少？3. 解方程：210x x --=．4. 解方程：()()211111022x x ----=．5. 解方程：22140x x ---=．6. 解方程：321)30x x -++=．。
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一． 一元二次方程的判别式若 x o 是一元二次方程 ax 2+bx+c=0 的根,则判别式△=b 2-4ac 与平方式 M=(2ax o +b)2的关系是 (A)△＜M (B)△=M (C)△＞M (D)不确定.若a ，b ，c 为△ABC 的三边，且关于x 的方程4x 2+4(a 2+b 2+c 2)x+3(a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2)=0有两个相等的实数根，试证△ABC 是等边三角形．若对任何实数a ，关于x 的方程x 2-2ax-a+2b=0都有实数根，求实数b 的取值范围．已知 b 2 - 4ac 是一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 (a≠0)的一个实数根，则 ab 的取值范围为（ ） (A)ab≥1/8 (B)ab≤1/8 (C)ab≥1/4 (D)ab≤1/4若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定.1、a 、b 、c 都是实数，且a ≠0，a +b +2c =0，则方程ax 2+bx +c =0（ ）。
（A ）有两个正根 （B ）至少有一个正根 （C ）有且只有一个正根 （D ）无正根6、对a>b>c>0，作二次方程：()02=+++++-ca bc ab x c b a x .（1）若方程有实根，求证：a 、b 、c 不能成为一个三角形的三条边长。
（2）若方程有实根x 0，求证：c b x a +>>0. （3）当方程有实根6、9，求正整数a 、b 、c 。
已知a i 、b i (i=1，2，3)为实数，且a 21-a 22-a 23与b 21-b 22-b 23中至少有一个是正数.证明:关于x 的一元二次方程x 2+2(a 1b 1-a 2b 2-a 3b 3)x+(a 21-a 22-a 23)(b 21-b 22-b 23)=0①必有实根. 不妨设a 21-a 22-a 23>0，则a 1≠0.作一元二次方程(a 21-a 22-a 23)x 2+2(a 1b 1-a 2b 2-a 3b 3)x+(b 21-b 22-b 23)=0.②记f(x)=(a 21-a 22-a 23)x 2+2(a 1b 1-a 2b 2-a 3b 3)x+(b 21-b 22-b 23).则二次函数f(x)的图像开口向上.注意到f(x)=(a 1x+b 1)2-(a 2x+b 2)2-(a 3x+b 3)2(a 1≠0). 取x 0=-b 1/a 1，有f(x 0)≤0.所以，二次函数f(x)的图像与x 轴有交点，即方程②有实根.故方程②的判别式Δ≥0.因为方程①、②有相同的判别式Δ，所以，方程①有实根.已知关于x 的方程029|3|)2(62=-+--+-a x a x x 有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ D ）（A ）a ＝0 （B ）a ≥0 （C ）a ＝－2 （D ）a ＞0或a ＝－2二． 根与系数的关系△ABC 的三边长a 、b 、c 满足8=+c b ，52122+-=a a bc ，则△ABC 的周长等于 ．1411、已知实数z 、y 、z 满足x+y=5及z 2=xy+y-9，则x+2y+3z=_______________解：由已知条件知（x+1）＋y=6，(x ＋1)·y=z 2＋9，所以x ＋1，y 是t 2－6t ＋z 2＋9=0的两个实根，方程有实数解，则△＝（－6）2－4（z 2＋9）＝－4z 2≥0，从而知z=0，解方程得x+1=3，y=3。
所以x+2y+3z ＝8三． 一元二次方程的整数根 方程01)8)((=---x a x ，有两个整数根，则=a方程02=++q px x 的两根都是非零整数，且198=+q p ，则p ＝ ． 已知a 是正整数．如果关于x 的方程056)38()17(23=--+++x a x a x 的根都是整数，求a 的值及方程的整数根．已知方程()015132832222=+-+--a a x a a x a （其中a 是非负整数），至少有一个整数根，那么a =___________。
设关于的二次方程的两根都是整数，求满足条件的所有实数的值。
试求出所有这样的正整数a 使得关于x 的二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数 根.例11 若k 为正整数，且关于x 的方程 (k 2-1)x 2-6(3k-1)x+72=0有两个不相等的正整数根，求k 的值． 解 原方程变形、因式分解为 (k+1)(k-1)x 2-6(3k-1)x+72=0， [(k+1)x-12][(k-1)x-6]=0， 即4，7．所以k=2，3使得x 1，x 2同时为正整数，但当k=3时，x 1=x 2=3，与题目不符，所以，只有k=2为所求． 四． 一元二次方程的实根分布方程 7x 2-(k+13)x + k 2 - k - 2 = 0,(k 是实数)有两个实根 α 、β，且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k 的取值范围是（ ）（A ）3＜k ＜4 （B ）－2＜k ＜－1 （C ）3＜k ＜4 或 －2＜k ＜－1 （D ）无解。
已知为整数，方程的两根都大于－1且小于0，求和的值。
解：根据函数的图象和题设条件知：当时，，∴…①；当时，，∴…②。
抛物线顶点的横坐标满足，∴…③。
∵，即，∴…④，由①、③、④得，若，则由②、④得且，得；若，则且，无整数解；若，则且，无整数解；若，则且，无整数解；故所求的值为方程012=--x x 的解是（A ）251±； （B ）251±-；（C ）251±或251±-； （D ）251±-±．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+acb 32 ． 设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.1．方程1)1(32=-++x x x 的所有整数解的个数是（ ）（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个在正实数范围内，只存在一个数是关于x 的方程k x x kx x +=-++3132的解，求实数k 的取值范围．原方程可化为0)3(322=+--k x x ，①（1）当△＝0时，833-=k ，4321==x x 满足条件； （2）若1=x 是方程①的根，得0)3(13122=+-⨯-⨯k ，4-=k ．此时方程①的另一个根为21，故原方程也只有一根21=x ； （3）当方程①有异号实根时，02321<+-=k x x ，得3->k ，此时原方程也只有一个正实数根；（4）当方程①有一个根为0时，3-=k ，另一个根为23=x ，此时原方程也只有一个正实根。
综上所述，满足条件的k 的取值范围是833-=k 或4-=k 或3-≥k ． 2．方程xx x x ||34||=-的实根的个数为（ A ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4已知,,a b c 均为整数,且满足2223a b c +++＜32ab b c ++.则以,a b c b +-为根的一元二次方程是:(A)2320x x -+= (B)2280x x +-=(C)2450x x --= (D)2230x x --=已知t 是一元二次方程x 2-x-1=0的一个根.对任意的有理数a ，有理数b 、c 满足(at+1)(bt+c)=1.(1)求b 和c(用a 的代数式表示);(2)是否存在这样的有理数a ，使得b 或c 中至少有一个等于1|2014?若存在，求出这样的a 值;若不存在，说明理由.(1)因t 是x 2-x-1=0的根，则，t 2=t+1. 由(at+1)(bt+c)=1，得abt 2+act+bt+c-1=0， 即 ab(t+1)+act+bt+c-1=0. 从而，(ab+ac+b)t+ab+c-1=0.又t 是无理数，a 、b 、c 是有理数，所以， ab+ac+b=0， ab+c-1=0. 解得b=1-a -a a 2，c=-1-a -a 1a 2+.(2)不存在. 若b=1/2 008，则1-a -a 1a 2+=1/2 008，即 a 2-2 009a-1=0， 此方程的根是无理数. 若c=1/2 008，则1-a -a 1a 2+=1/2 008，即a 2+2 007a+2 007=0， 此方程无有理数根.故满足条件的有理数a 不存在.例10 求k 的值，使得两个一元二次方程 x 2+kx-1=0，x 2+x+(k-2)=0有相同的根，并求两个方程的根．解 不妨设a 是这两个方程相同的根，由方程根的定义有a2+ka-1=0，①a2+a+(k-2)=0．②①-②有ka-1-a-(k-2)=0，即(k-1)(a-1)=0，所以k=1，或a=1．(1)当k=1时，两个方程都变为x2+x-1=0，所以两个方程有两个相同的根没有相异的根；(2)当a=1时，代入①或②都有k=0，此时两个方程变为x2-1=0，x2+x-2=0．解这两个方程，x2-1=0的根为x1=1，x2=-1；x2+x-2=0的根为x1=1，x2=-2．x=1为两个方程的相同的根．例12 关于x的一元二次方程x2-5x=m2-1有实根a和β，且｜α｜+｜β｜≤6，确定m的取值范围．解不妨设方程的根α≥β，由求根公式得｜α｜+｜β｜=α+β=5＜6，符合要求，所以m2≤1．例13 设a，b，c为△ABC的三边，且二次三项式x2+2ax+b2与x2+2cx-b2有一次公因式，证明：△ABC一定是直角三角形．证因为题目中的两个二次三项式有一次公因式，所以二次方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0必有公共根，设公共根为x0，则两式相加得若x0=0，代入①式得b=0，这与b为△ABC的边不符，所以公共根x0=-(a＋c)．把x0=-(a＋c)代入①式得(a+c)2-2a(a+c)+bg2=0，整理得a2=b2+c2所以△ABC为直角三角形．例14 有若干个大小相同的球，可将它们摆成正方形或正三角形，摆成正三角形时比摆成正方形时每边多两个球，求球的个数．解 设小球摆成正三角形时，每边有x 个球，则摆成正方形时每边有(x-2)个球．此时正三角形共有球此时正方形共有(x-2)2个球，所以即 x 2-9x+8=0， x 1=1，x 2=8．因为x-2≥1，所以x 1=1不符合题意，舍去．所以x=8，此时共有球(x-2)2=36个．对于一切不小于2的自然数n ，关于x 的一元二次方程02)2(22=-+-n x n x 的两个根记作)2(≥n b a n n 、．则+--+--)2)(2(1)2)(2(13322b a b a )2)(2(120072007--+b a= .。