与一元二次方程有关的竞赛题

与一元二次方程有关的竞

赛题

Prepared on 22 November 2020

与一元二次方程有关的竞赛题

一、降次

（一）直接用方程降次

1．当2

19941+=x 时，多项式20013)199419974(--x x 的值为 。 分析与解：

2．若,132=-x x 则200572129234+--+x x x x 的值等于 。

分析与解：

3．设0772=+-x x ，则42749x x ++= 。

分析与解：

（二）用根的关系式降次

4．已知βα,是方程012=--x x 的两个根，则βα34+的值为 。 分析与解：

5．设21,x x 是二次方程032=-+x x 的两个根，求19422

31+-x x 的值。 分析与解：

二、用根的判别式解题

6．已知c b a ,,是整数，且,01,422=-+=-c ab b a 求c b a ++的值。

分析与解：

7．已知c b a ,,均为实数，且4=+b a ，,103422-=-c ab c 求ab 的值。 分析与解：

8．已知b a ,为整数，且032=-+-b ax x 有两个不相等的实数根；

07)6(2=-+-+b x a x 有两个相等的实数根；0)5()4(2=-+-+b x a x 没有实数根，则b a += 。

分析与解：

9．m 为整数时，关于x 的方程0)223()1(422=+-+--k m m x m x 的根是有理数，求k 的值。

分析与解：

10．证明：已知关于x 的一元二次方程022=++c Bx Ax ①

022=++A Cx Bx ② 022=++B Ax cx ③中，至少有一个方程有实数根。

分析与解：

11．设p 1、p 2、q 1、q 2为实数，且),(22121q q p p +=⋅证明方程0112=++q x p x 和0222=++q x p x 中至少有一个实数根。

分析与解：

12．求方程012222=++-++y x y xy x 的整数解。

分析与解：

三、用韦达定理解题

13．若1≠ab ，且有09200352=++a a 及,05200392=++b b 则

b

a 的值是 。

分析与解：

14．已知21,x x 是0132=--x x 的两根，不解方程。

求（1）)1(3221+x x 的值；

（2）22131669x x x ++的值。

分析与解：

四、构造一元二次方程解题

15．已知实数b a ,满足,122=++b ab a 且22b a ab t --=，那么t 的取值范围是 。

16．若c b a ,,均为实数，且,0=++c b a ,2=abc 那么||||||c b a ++的最小值可达到

。

17．已知p 、q 是有理数，2

15-=x 满足,03=++q px x 则q p +的值是 。 18．若1≠ab ，且有09200152=++a a 及05200192=++b b ，则

b

a 的值是 。

19．已知实数c b a ,,满足.4,2==++abc c b a （1）求c b a ,,中的最大者的最小值；（2）求||||||c b a ++的最小值。

分析与解：

20．已知))(()(412a c b a c b --=-且0≠a ，则=+a

c b 。 分析与解：

21．已知实数a 、b 、c 满足b a ≠，且,0)()(1999)(1999=-+-+-a c c b b a 求2

)())((b a a c b c ---的值。 分析与解：

22．已知实数x 、y 、z 满足5=+y x 及92-+=y xy z ，则z y x 32++= 。

23．当x 变化时，分式12

156322++++x x x x 的最小值是 。 24．已知,31=+x

x 则173163234-+-+x x x x 的值等于 。 25．E 、F 分别在矩形ABCD 的边BC 和CD 上，若∆CEF 、∆ABE 、∆ADF 的面积分别是3，4，5，求∆AEF 的面积S 。

分析与解：

26．已知实数b a ≠，且满足22)1(3)1(3),1(33)1(+-=++-=+b b a a ，求b

a a a

b b +的值。 分析与解：

五、一元二次方程的整数根的探究

27．已知方程015132)83(2222=+-+--a a x a a x a （其中a 是非负整数）至少有一个整数根，那么，a = 。

28．设关于x 的二次方程4)462()86(2222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数。求满足条件的所有实数k 的值。

分析与解：

29．设m 为整数且404<

分析与解：

30．已知方程0)3(22=++-k x k x 的根都是整数，求整数k 的值及方程的根。 分析与解：

31．一直角三角形的两直角边长为整数，且满足方程,04)2(2=++-m x m x 试求m 的值及此直角三角形三边的长。

分析与解：

32．求使关于x 的方程062)1()1(322=-++-+a x a x a 有整数根时所有整数a 。 分析与解：