分式方程(优质课) (1)

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《分式方程》(第1课时)教案doc初中数学

《分式方程》（第1课时）教案doc 初中数学[教学目标]1．明白分式方程的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．2，了解分式方程产生增根的缘故，会判定所求得的根是否是分式方程的增根．3．会列出方程解决简单的实际咨询题，并能依照实际咨询题的意义检验所得结果是否合理．此外，通过经历〝实际咨询题一建立数学模型(方程)一讲明、应用与拓展〞的过程，体验解决咨询题的差不多策略，进展应用意识和解决咨询题的技能．[教学过程(第一课时)]1．情境创设咨询题是数学的心脏，遵循«标准»关于〝方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型〞的理念，同以往一样，我们仍旧从咨询题开始，让学生从实际咨询题数量关系的探究中，发觉一类未知数显现在分母中的新方程——分式方程．除课本提供的3个实例外，教师能够依照学生的实际情形，补充一些与学生生活相关的实际咨询题，激发学生学习分式方程的爱好．2．探究活动探究活动(一)：能够采纳不同的方式，探寻各个实际咨询题中的数量关系．例如：关于情境(一)，能够用表格揭示服装加工中的工作总量与工作时刻、个人工作效率之间的数量关系：依照咨询题中的相等关系，得x x 20124=+ 关于情境(二)，能够用数位填空的方式表示两位数的构成：原两位数改变后的两位数因此，可得方程47410104=++⨯x x 关于情境(三)，能够用线段示意图表示行程咨询题：由于自行车早动身40min ，但与汽车同时到达，多行驶了40min ，因此可得方程：604031515=-x x 探究活动(二)：探究分式方程的解法．仍以咨询题为先导，发动学生研究如何解分式方程?20124xx =+ 学生可能会显现多种思路，例如：其一，分式方程与含有分数系数的一元一次方程〝形似〞，容易想到通过类比提出猜想：解分式方程也应该先去分母(卡通人语)．猜想是否正确?实践之，检验之．要强调检验的必要性，通过检验能初步讲明猜想的正确性．然后告诉学生，解分式方程的一样方法是先去分母，把不熟悉的方程转化为熟悉的方程来解决．其二，移项进行减法运算，化简，得0)1(204=+-x x x 由分式的值为0的概念，得4x —20=0，从而得解x=5．正确否?可代人检验．其三，利用分式的差不多性质，使方程两边的分式的分子为它们的最小公倍数，如xx 612055120=+，由分式相等的概念，得5x+5＝6x ，从而得x=5．应注意的是，假如学生提出后两种解决咨询题的思路，教师那么要在给予充分确信后，引导学生连续探讨，得出解分式方程的一样方法；假如没有学生提出，那么不必刻意追求，幸免干扰本课主题——分式方程的一样解法．3．例题教学例1给出了解分式方程的一样过程及完整的书写格式，假设有必要，教师可增补例题，让学生学会求解并规范表述．。

《分式方程及其解法》优质课一等奖课件

在解分式方程时，如何避免增根和失根的情况？
解答及建议
在解分式方程时，需要注意增根和失根的情况。增根是指在求解过程中多出来的根，而失根则是指在求解过程中漏掉的根。为了避免这种情况的发生，建议在求解前先对原方程进行变形和化简，确保方程的准确性。同时，在求解后需要对解进行检验，确保解符合原方程的要求。
能力。
本课程旨在通过系统的教学和训练，使学生熟练掌握分式方程的解法，为后续的数学学习打下坚
实的基础。
教学目标与要求
知识与技能
掌握分式方程的基本概念、性质和解法，能够灵活运用所学知识解决实际问题。
过程与方法
通过讲解、示范、练习等多种教学方式，引导学生积极参与、主动思考，培养学生的自主学习能力和数学思维能力。
分式方程的实际应用
如何将分式方程应用于实际问题中，并解释其物理或经济意义，是一个值得思考的方向。
3
分式方程与其他知识点的联系
探索分式方程与其他数学知识点（如数列、概率统计等）之间的联系，可以进一步加深对数学知识的理解和应用能力。
THANKS
感谢观看
换元法求解技巧
01
观察分式方程，确定合适的换元变量。
02
通过换元，将分式方程化为整式方程或更简单的分式方程。
03
解整式方程或更简单的分式方程，得到换元后的解。
04
将换元后的解代回原方程，求得原方程的解。
实际应用问题建模与求解
分析实际问题背景，确定问题中的已知量和未知量。
利用去分母法或换元法求解分式方程，得到问题的解。
类型三
复杂分式方程，如
$frac{x+1}{x}
+
frac{x}{x+2}

分式方程1 公开课一等奖课件

2
1 k 4x 1 2 若方程x 2 x 2 x 4 会产生增根，
则（） A、k=±2 C、k=-2
B、k=2 D、k为任何实数
一化二解三检验 1、解分式方程的思路是：
分式方程
去分母
整式方程
2、解分式方程的一般步骤：
1 2 (1) 2x x 3
x 2 ( 2) 1 x 1 3x 3
高考总分:711分毕业学校:北京八中语文139分数学140分英语141分理综291分报考高校：
北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任孙烨：杨蕙心是一个目标高远的学生，而且具有很好的学习品质。学习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同学两三个小时才能完成的作业，她一个小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力很强，这一点在平常的考试中可以体现。每当杨蕙心在某科考试中出现了问题，她能很快找到问题的原因，并马上拿出解决办法。
1、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
2、解这个整式方程.
3、把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去. 一化二解三检验 4、写出原方程的根.
解分式方程:
x 3 2 x 1 2x 2
15.3 分式方程
第一课时分式方程
1. 什么叫做一元一次方程?
2. 下列方程哪些是一元一次方程?
(1)3x 5 3
( 3)x x 5
2
( 2 )x 2 y 5 x x1 ( 4) 1 2 3
3. 请解上述方程(4).
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间,与以最大航速逆

分式方程（一）教案

5.4.1 分式方程（一）教学设计
2、甲、乙两班参加植树活动，已知乙班每小时比甲班多种3棵树，甲班种62棵树所用的时间与乙班种68棵树所用的时间相等．求甲、乙两班每小时各种多少棵树?
课堂小结 1.利用分式方程模型解决实际问题:
问题情境---提出问题---建立分式方程模型---解
决问题
2. 列分式方程的一般步骤小节由同学们
讨论，教师只
是顺势把学生
的话进行一个
归纳总结。

关注学生从现实
生活中发现并提
出数学问题的能
力，关注学生能
否尝试用不同方
法寻求问题中数
量关系，并用分
式方程表示，能
否表达自己解决
问题的过程。

板书
5.4.1 分式方程(一)
1、利用分式方程模型解决实际问题
2、列分式方程的一般步骤
例题
变式。

15.3 分式方程(第1课时)-公开课-优质课(人教版教学设计精品)

15.3 分式方程(第1课时)一、内容和内容解析1．内容分式方程的概念和解法．2．内容解析分式方程是分母中含有未知数的方程，它是整式方程的延伸和发展，是人们对方程认识的一次提升．解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，其关键步骤是去分母．去分母时可能引起方程同解性的变化．因此，检验分式方程的根是解分式方程过程中必不可少的重要环节．利用去分母的方法将分式方程化为整式方程，并把整式方程逐步化为x＝a的形式，然后对分式方程的根进行检验，这一过程蕴含着化归思想和程序化思想．基于以上分析，确定本课的教学重点是：利用去分母的方法解分式方程．二、目标和目标解析1．目标(1)了解分式方程的概念．(2)会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程，并了解对根进行检验的原因，体会化归思想和程序化思想．2．目标解析达成目标(1)的标志是学生知道分式方程的特征，能识别分式方程．达成目标(2)的标志是学生知道解分式方程要经历“去分母”“解整式方程”“检验”“得出分式方程的解”4个步骤，并能按照步骤解分式方程；知道“去分母”就是在分式方程两边同乘最简公分母，将分式方程化为整式方程；“解整式方程”目前就是解一元一次方程，逐步化为x＝a的形式；“检验”就是指用代入的方法检验所求的整式方程的解是否为原分式方程的解．在解分式方程的过程中，体会化归思想和程序化思想．知道在解分式方程时，当整式方程的解使得所乘最简公分母等于零时，相当于原分式方程两边同时乘零，使原方程的解发生变化，因此需要检验．三、教学问题诊断分析学生第一次接触分式方程，在对整式方程的认识还不够深入的情况下，就遇到比解整式方程复杂的求解过程和可能产生增根的新情境，学生对此内容的接受会有很大困难，特别是产生增根的原因，学生没有认知准备．学生在解整式方程时往往会有一种思维定势，即所有遇到的方程都是有解的，因此对有些分式方程“无解”产生疑惑和不理解，尤其不明白产生增根时，为什么有些方程“无解”．教学时，教师要从等式的性质2出发，让学生认识到解分式方程时产生增根的原因．本节课的教学难点是：了解用去分母的方法解分式方程产生增根的原因．四、教学过程设计1．了解分式方程的概念问题1为了解决引言中的问题，我们得到了方程9030＋v＝6030－v．仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？师生活动：学生独立思考并作答．设计意图：由实际问题引出分母中含有未知数的方程，让学生了解研究分式方程的必要性．追问1：方程12x＝23x＋，15x－＝21025x－，1xx＋＝2133xx＋＋，与上面的方程有什么共同特征？师生活动：学生观察并独立思考，尝试着进行概括，发现这几个方程不同于原来熟悉的方程，其特征是分母中含有未知数．师生共同概括出分式方程的概念——分母中含有未知数的方程叫做分式方程．教师指出，我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中．设计意图：让学生在观察和思考的过程中，发现并概括出分式方程的本质特征，了解分式方程的概念，认识其本质属性——分母中含有未知数，同时为后续探索解分式方程的基本思路(转化为整式方程)和关键步骤(去分母)做好铺垫．追问2：你能再写出几个分式方程吗？师生活动：学生思考并作答．设计意图：让学生进一步巩固对分式方程概念的认识．练习下列式子中，属于分式方程的是，属于整式方程的是(填序号)．①1132x x－＋＝；②22411x x＝－－；③21213x x＋＝；④1x＞5．师生活动：学生思考并作答．设计意图：用概念作判断，让学生进一步理解分式方程的概念．2．探索分式方程的解法问题2你能试着解分式方程9030＋v＝6030－v吗？师生活动：教师提出问题，学生独立思考，并尝试解这个方程，学生代表将不同的解法展示在黑板上，学生相互交流．设计意图：让学生在已有知识经验基础上，尝试解分式方程．问题3这些解法有什么共同特点？师生活动：学生讨论之后，教师总结，这些解法的共同特点是先去分母将分式方程转化为整式方程，再解整式方程．进而通过以下几个问题明确解分式方程的方法和依据：(1)如何把它转化为整式方程呢？(2)怎样去分母呢？(3)在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去呢？(4)这样做的依据是什么？学生思考后得出结论：分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程了．利用等式的性质2可以在方程两边都乘同一个式子——各分母的最简公分母．师生共同分析解法：方程两边同乘各分母的最简公分母(30＋v)(30－v)，则得到90 30＋v ·(30＋v)(30－v)＝6030－v·(30＋v)(30－v)，即90(30－v)＝60( 30＋v)．解得v＝6．设计意图：通过探究活动，学生探索出解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，并知道解决问题的关键是去分母．追问：你得到的解v＝6是分式方程9030＋v＝6030－v的解吗？师生活动：学生回答问题，相互补充．设计意图：让学生知道检验分式方程的解的方法——将未知数的值代入原分式方程的两边，看左右两边的值是否相等；学生通过检验，发现这个整式方程的解就是原分式方程的解；说明上述解分式方程的方法是有效的，进而得知：将分式方程去分母化为整式方程是解分式方程必要和有效的步骤．3．分析增根产生的原因问题4解分式方程：15x－＝21025x－．师生活动：教师提出问题，学生在独立思考后解此方程，得出去分母后的整式方程的解x＝5．有的学生认为x＝5是原分式方程的解，有的学生发现当x＝5时，分式15x－，21025x－都没有意义，但不能解释其原因．设计意图：(1)让学生积累去分母的经验，去分母的通法是分式两边同乘最简公分母；(2)让学生感受到在去分母解分式方程的过程中已经对原分式方程进行了变形，这种变形可能会使方程的解发生变化．追问1：整式方程的解x＝5是分式方程15x－＝21025x－的解吗？如何验证呢？师生活动：学生先独立思考问题，然后相互交流．最后达成共识：x＝5是原分式方程变形后的整式方程的解，但不是原分式方程的解．设计意图：让学生发现问题——整式方程的解使原分式方程的分母为0，无法说明原分式方程两边的值是否相等；得出结论——这个整式方程的解不是原分式方程的解，所以原分式方程无解；获得猜想——可能存在一些分式方程，它们无解．追问2：上面两个分式方程的求解过程中，同样是去分母将分式方程化为整式方程，为什么整式方程90(30－v)＝60( 30＋v)的解v＝6是分式方程9030＋v＝6030－v的解，而整式方程x＋5＝10的解x＝5却不是分式方程15x－＝21025x－的解呢？师生活动：教师针对上面的两个分式方程的解答过程提出问题，学生独立思考，然后小组交流，教师适时点拨．最后达成共识：在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0；对根进行检验时，主要有两种方式，其一是将整式方程的解代入原分式方程，看左右两边是否相等；其二是将整式方程的解代入最简公分母，看是否为0．设计意图：让学生了解分式方程产生增根的原因——当整式方程的解使得所乘最简公分母不等于0时，相当于方程两边同时乘以非0数，方程的解不发生变化；当整式方程的解使得所乘最简公分母等于0时，相当于方程两边同时乘0，方程的解发生变化，此时出现了分母为0的情况．问题 5 回顾解分式方程9030＋v＝6030－v与15x－＝21025x－的过程，你能概括出解分式方程的基本思路和一般步骤吗？解分式方程应该注意什么？师生活动：学生回答，并相互补充，最后达成共识：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，一般步骤是“去分母”“解整式方程”“检验”，其中“去分母”是关键．去分母的通法是将方程两边同乘最简公分母，由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需要检验，检验的方法有两种，一是将整式方程的解代入原分式方程的两边，看左右两边的值是否相等，另一种是将整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，其中第二种方法更简捷．设计意图：让学生在解具体的分式方程后，反思解题思路和步骤，体会化归思想和程序化思想，积累解题经验．4．巩固分式方程的解法例1 解下列方程：(1)233x x＝－；(2)31112xx x x－＝－－－()()．师生活动：师生共同分析解答(1)，教师板书．学生独立完成(2)，然后分组交流．并对错例进行展示，师生共同分析错误原因．设计意图：规范解分式方程的步骤和格式，加深对分式方程解法的认识．练习解下列方程：(1)1223x x＝＋；(2)22311x x＝－－．师生活动：两名学生板书，其他学生在练习本上完成，教师巡视，指导．然后小组交流，并评价．设计意图：让学生按照规范的步骤和格式解分式方程，在积累解题经验的同时，体会化归思想和程序化思想．5．小结教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：(1)本节课学习了哪些主要内容？(2)解分式方程的基本思路和一般步骤是什么？解分式方程应该注意什么？设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，把握本节课的核心——分式方程的解法．6．布置作业教科书习题15.3第1(1)～(4)题．五、目标检测设计1．下列方程中，是分式方程的是( )．A．1132x＋＝B．25x x＝－C．12xx＋＝D．240x－＝设计意图：检测学生对分式方程概念的了解情况．2．将分式方程12xx x＝－化为整式方程时，方程两边可以同时乘( )．A．2x－B．x C．22x－()D．2x x－()设计意图：检测学生对解分式方程的关键步骤“去分母”的理解情况．3．解方程：(1)3531x x＝－＋；(2)221239x x＝－－；(3)32121xx x－－－－()．设计意图：检测学生对分式方程的解法的掌握情况．。

15.3分式方程1 公开课一等奖课件

上海 2006 高考理科状元-武亦文
武亦文格致中学理科班学生班级职务：学习委员高考志愿：复旦经济高考成绩：语文127分数学142分英语144分物理145分综合27分总分585分
“一分也不能少”
“我坚持做好每天的预习、复习，每天放学回家看半小时报纸，晚上10： 30休息，感觉很轻松地度过了三年高中学习。”当得知自己的高考成绩后，格致中学的武亦文遗憾地说道，“平时模拟考试时，自己总有一门满分，这次高考却没有出现，有些遗憾。”
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法，肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中，她的成绩一直稳定在年级前5名左右。
15.3 分式方程
第一课时分式方程
1. 什么叫做一元一次方程?
2. 下列方程哪些是一元一次方程?
(1)3x 5 3
( 3)x x 5
2
( 2 )x 2 y 5 x x1 ( 4) 1 2 3
3. 请解上述方程(4).
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间,与以最大航速逆
x3 3 1 x2 2 x
2x 2 1 2x 1 x2
x m 2 当m为何值时，方程 x 3 x3 会

《分式方程》 word版公开课一等奖教案1

b a b a a b n n+++1520,10,7,7,175000当我们在日常办公时，经常会遇到一些不太好编辑和制作的资料。

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因为下次再搜索到我的机会不多哦！分式方程教学目标:1.了解分式的概念(了解,经历感受)2.了解分式有意义的条件3.会用分式表示简单实际问题中的数量.教学重点:分式的概念难点:例2问题情景较为复杂,并且涉及分式,求分式的值等多方面问题.一、创设情景（动物园）（依据课本引例每平方米北极熊的占有量）5个代数式（具体情景略）小组合作：请同学讨论将5个代数式分类它们有什么共同特征？分子分母都是整式，且分母中含有字母。

分式概念：两个整式相除，并且分母中含有字母的代数式叫分式。

（如果A 、B 表示两个整式，如果B 中含有字母，那么代数式BA 叫做分式）二、巩固练习：1。

判断分式或整式ba y x a a x ,523,12,1,23+-+ 2．从1，2，a ，b ，c 取若干个数字或字母编制三个代数式，一个整式，两个分式。

3 a 。

-2-1 0 1 2 。

a1。

。

1-a a。

。

（1）你在填表的时候发现了什么？从中你想到了什么？（2）你认为分式分母中的字母能取任何实数吗？有什么限制？分式中字母的取值不能使分母为零。

当分母的值为零时，分式就没有意义。

三、例题分析：例1：对于分式（1）当x 取什么数时，分式有意义？（2）当x 取什么数时，分式的值是零？（3）当x=1时，分式的值是多少？答:略例2：甲乙两人从一条公路的某处出发，同向而行。

全国优质课一等奖初中数学《分式方程第1课时》精品课件

x-1
值是______. 【解析】由题意得 2=-1
x-1
∴-x+1=2 ∴x=-1 当x=-1时，x-1≠0. 答案：-1
悟小结
1
不要忘了“
在解分式方程中你有何”收获字与体会.
• 解分式方程的一般步骤.
一化二解三检验
现在你还有什么疑惑吗？
悲观的人虽生犹死，乐观的人永生不老。 —— 拜伦
分母里不含有未知数的方程叫做整式方程.
学习目标
• 1.理解分式方程的意义. • 2.了解解分式方程的基本思路和解法. • 3.理解解分式方程时可能无解的原因,
并掌握解分式方程的验根的方法。
【跟踪训练】
下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程?
(1) x 2 x 23
(2) 4 3 7 xy
2-x
【解析】依题意可知, 1-x =3,
2-x
解得: x= 5 ,
2
经检验, x=是5 原方程的解.
2
则x的值为 5 .
2
解分式方程容易犯的错误有： (1)去分母时，原方程的整式部分漏乘． (2)约去分母后，分子是多项式时，没有添括号．(因分数线有括号的作用） (3)把整式方程的解代入最简公分母后的值为0，不舍掉.
通过本课时的学习，需要我们 1.理解分式方程的概念和分式方程产生无解的原因 ,会辨别整式方程与分式方程. 2.掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程 . 解分式方程的一般步骤: ①去分母,将分式方程转化为整式方程; ②解整式方程; ③验根作答.
【跟踪训练】
5.（宁夏·中考）若分式 2 与1互为相反数，则x的
无意义.所以x=5不是原分式方程的解.
∴原分式方程无解.

《分式方程》优课教学一等奖课件

解分式方程时,对所得根必须检验．检验的方法可以是代入原方程检
验．为了简便，通常把求得的根代入变形时所乘的整式(最简公分母)，看它的值是否为零，使它为零的根不是原方程的根，是增根，必须舍去．
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整式方程的过程中出现的不适合于原方程的根．
使分母值为零的根
解这个方程，得
x＝5
检验:将x＝5代入原方程得:
∵左边=
30 =5, 51
左边=右边
∴ x＝5是原方程的解
右边=
25 =5, 5
(2) 410 x 7 10x 4 4
解：方程两边同乘以4(10x＋4)，得
4× (4×10＋x)＝7(10x＋4)，
解这个方程，得
x＝2
检验:将x＝2代入原方程得:
解：去分母，方程两边同乘最简公分母(x＋9) (x＋9)，得整式方程 x＋9＝18
解，得
x＝9
检验:将x＝9代入原方程检验，发现这时分母x－9和x2－81的值都为0,相应的
分式无意义．因此x＝9
虽是方程x＝9不是原方程x＋9＝18的解，但不是原分式方程
的
解．
1 x9
18 x2 81
该分式方程无解．
解分式方程
2x 1 2 x3 3x
解：方程两边同乘（x－3），得 2－x＝－1－2 (x－3),
解，得 x＝3
检验：x＝3时，(x－3) =０，3不是原分式方程的解．
解分式方程 1 x 1 3
x2 x2
解：方程两边同乘(x－2)，得 1－(x－1) ＝－3 (x－2),
解，得 x＝2
检验：x＝2时(x－2) ＝０，2不是原分式方程的解，原分式方程无解．

初中数学冀教版八年级上册《分式方程 (1)》优质课公开课比赛获奖课件面试试讲课件

一化二解三检验
作业
1、课本20页习题12.4
A组1题（3）（4） B组写作业本上
2、作业精选完成（B层可
有2-3题选做）
（1）
3 2 x x3
（2）
3 x 1 ( x 1 )( x 2 ) x 1
落实目标二
•了解分式方程产生增根的原因。
x 1 x 3 1 下面是小华解式方程 x 1 1 x
的过程:
方程两边同乘 x 1 ，得
x 1 ( x 3 ) ( x 1 )
38 2 2 9 1 x x
（2）如果是方程，它们与学过的方程形式
上有什么不同？
38 2 2 1 9x x
38 2 2 9 1 x x
像这样，分母里含有未知数的方程叫做分式方程。以前学过的分母里不含有未知数的方程叫做整式方程。
下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程.
x2 m 4.若分式方程有增根， x3 x3
则增根是此时 m ， .
随堂练习
解分式方程的思路是：
分式方程去分母
整式方程
解分式方程的一般步骤
1、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程. 2、解这个整式方程. 3、把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去. 4、写出原方程的根.
2. 下列方程是几元几次方程?
( 1 ) 3 x 5 3( 2 ) x 2 y 5 x x1 2 ( 3 ) x x 5 (4 ) 1 2 3
3. 叙述解方程(4)的步骤.
落实目标一
•了解分式方程的概念，会判断一个方程是否为分式方程.

同课异构省一等奖《分式方程(第1课时)》教案

本节课是本单元中，对知识的理解和贯彻最重要的一堂课。

在高效课堂模式中，一堂课的紧凑性和教师活动的多少，决定着课堂容量的高低。

但在实际教学中，教师应尽可能少地利用讲授法进行教学，多与学生进行交流，增加学生的实际操练和练习时间，对于一堂课来讲，是至关重要的。

对于课堂环节的布置，应该力求简练，语言应用尽量通俗易懂。

对于一名教师而言，教学质量的高低，与备课的充足与否有很大关系。

而教案作为这一行为的载体，巨大作用是不言而喻的。

本节课的准备环节，就充分地说明了这个道理。

分式方程课题15.3 分式方程（第1课时）教学目标知识与能力掌握解可化为一元一次方程的分式方程的基本思路和解法。

过程与方法通过发现法、练习法、合作学习的方法，经历解可化为一元一次方程的分式方程的过程，体会解方程中的化归思想。

态度与情感通过引例问题情境的创设，诱发学生的求知欲，进一步认识数学与生活的密切联系；通过解可化为一元一次方程的分式方程的过程，使学生主动地、富有个性地学习,不断提高发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力。

重点解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）的基本思路和解法难点理解解分式方程时可能无解的原因使用多媒体多媒体课件教学过程教师活动学生活动说明或设计意图情境导入幻灯片问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？分析：设水流的速度是v千米/时．填空：（1）轮船顺流航行速度为20+v 千米/时，逆流航行速度为 20--v千米/时．（2）顺流航行100千米所用时间为小时；（3）逆流航行60千米所用时间为小时；（4）根据题意可列方程为．100602020v v=+-在学生完成填空的过程中，教师关注学生能否把实际问题转化成数学问题，能否找到相等关系列出方程，基础较差的学（1）阅读理解问题1，找已知量，未知数并设未知数。

人教初中数学八上《分式方程》教案 (公开课获奖)1

15．3分式方程(一)一、教学目标：1．了解分式方程的概念, 和产生增根的原因.2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 二、重点、难点1．重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.2．难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 三、教学过程：〔一〕板书标题，呈现教学目标：1．了解分式方程的概念, 和产生增根的原因.2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.〔二〕引导学生自学：阅读P26-29练习，并思考以下问题: 1.分式方程的概念？2.解整式方程的一般步骤？解分式方程的一般步骤又是什么？3.为什么有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就是原方程的解，而有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就不是原方程的解？4．分式方程为什么要检验？检验的方法的理论根据是什么？8分钟后，检查自学效果〔三〕学生自学，教师巡视：学生认真自学，并完成P29练习〔四〕检查自学效果：1．学生答复老师所提出的问题 2．学生答复P29练习〔五〕引导学生更正，归纳： 1．更正学生错误；2．分母中含未知数的方程叫做分式方程.3．要使学生掌握解分式方程的根本思路是将分式方程转化整式方程，具体的方法是“去分母〞，即方程两边同乘最简公分母.4．P28例1.找对最简公分母x(x-3),方程两边同乘x(x-3),把分式方程转化为整式方程，整式方程的解必须验根这道题还有解法二：利用比例的性质“内项积等于外项积〞，这样做也比拟简便. 5．P28例2.找对最简公分母(x -1)(x+2),方程两边同乘(x-1)(x+2)时,不要整数1漏乘最简公分母(x-1)(x+2)，整式方程的解必须验根. 〔六〕课堂练习 1．解方程(1) 01152=+-+x x (2) xx x 38741836---=- (3)01432222=---++x x x x x (4) 4322511-=+-+x x2．X 为何值时，代数式xx x x 231392---++的值等于2？作业：1．习题15.3第1题(B 本)2．《感悟》P14-16 分式方程(一) 3.预习P29-31练习.15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-〞号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相照应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解〔教科书〕例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.〔教科书〕例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习计算：(1) x x x x x 22)242(2+÷-+- 〔2〕)11()(ba ab b b a a -÷--- 〔3〕)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+(3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、〔1〕2x 〔2〕ba ab- 〔3〕3 五、1.(1)22y x xy - (2)21-a 〔3〕z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.13.3.1 等腰三角形教学目标〔一〕教学知识点1．等腰三角形的概念． 2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用．〔二〕能力训练要求1．经历作〔画〕出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点． 2．探索并掌握等腰三角形的性质．〔三〕情感与价值观要求通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．重点难点重点：1．等腰三角形的概念及性质． 2．等腰三角形性质的应用．难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．教学方法探究归纳法．教具准备师：多媒体课件、投影仪；生：硬纸、剪刀．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．[师]那什么样的三角形是轴对称图形？[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两局部能够完全重合的就是轴对称图形．[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．Ⅱ．导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．ABICABI作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA，那么可得到一个等腰三角形．[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形．……[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．[师]有了上述概念，同学们来想一想．〔演示课件〕1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？[生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的局部就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的局部互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴． [师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察． [生齐声]它们是同一条直线．[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的局部互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．[师]很好，大家看屏幕．〔演示课件〕等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等〔简写成“等边对等角〞〕．2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合〔通常称作“三线合一〞〕．[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程〕．〔投影仪演示学生证明过程〕[生甲]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ，因为,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD 〔SSS 〕．所以∠B=∠C ．[生乙]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ，因为,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD ．所以BD=CD ，∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°．[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很标准．下面我们来看大屏幕．〔演示课件〕[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，D CA BD CABDCA B求：△ABC 各角的度数．[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到 ∠A=∠ABD ，∠ABC=∠C=∠BDC ，•再由∠BDC=∠A+∠ABD ，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A ．再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC 的三个内角．[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A 设为x 的话，那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷．〔课件演示〕[例]因为AB=AC ，BD=BC=AD ，所以∠ABC=∠C=∠BDC ． ∠A=∠ABD 〔等边对等角〕．设∠A=x ，那么∠BDC=∠A+∠ABD=2x ，从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x ．于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°．在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．[师]下面我们通过练习来稳固这节课所学的知识． Ⅲ．随堂练习〔一〕课本练习 1、2、3．练习1．如图，在以下等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．(2)120︒36︒(1)答案：〔1〕72° 〔2〕30°2.如图，△ABC 是等腰直角三角形〔AB=AC ，∠BAC=90°〕，AD 是底边BC 上的高，标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？D CAB答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ．3.如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和 ∠C 的度数．答：∠B=77°，∠C=38.5°．D CA B〔二〕阅读课本，然后小结． Ⅳ．课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等〔等边对等角〕，等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． Ⅴ．课后作业〔一〕习题13.3 第1、3、4、8题．〔二〕1．预习课本．2．预习提纲：等腰三角形的判定． Ⅵ．活动与探究如图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．求证：AE=CE ．EDCAB过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质．结果：证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如图，在△ADP 和△ADC 中，12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC ． ∴∠P=∠ACD ．又∵DE ∥AP ， ∴∠4=∠P ． ∴∠4=∠ACD ． ∴DE=EC ．同理可证：AE=DE ．∴AE=C E ．板书设计一、设计方案作出一个等腰三角形二、等腰三角形性质 1．等边对等角 2．三线合一三、例题分析EDCABP四、随堂练习五、课时小结六、课后作业备课资料参考练习1．如果△ABC是轴对称图形，那么它的对称轴一定是〔〕A．某一条边上的高B．某一条边上的中线C．平分一角和这个角对边的直线D．某一个角的平分线2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是〔〕A．80°B．20°C．80°和20°D．80°或50°答案：1．C 2．C3. 等腰三角形的腰长比底边多2 cm，并且它的周长为16 cm．求这个等腰三角形的边长．解：设三角形的底边长为x cm，那么其腰长为〔x+2〕cm，根据题意，得2〔x+2〕+x=16．解得x=4．所以，等腰三角形的三边长为4 cm、6 cm和6 cm．15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算.2．难点：熟练地进行分式的混合运算.3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-〞号提到分式本身的前面.教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相照应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题.二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同.三、例题讲解〔教科书〕例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.〔教科书〕例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习计算：(1) x x x x x 22)242(2+÷-+- 〔2〕)11()(ba ab b b a a -÷--- 〔3〕)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+(3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、〔1〕2x 〔2〕ba ab- 〔3〕3 五、1.(1)22y x xy - (2)21-a 〔3〕z 1 2.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.。

人教数学八上15.3.1分式方程的解法[韩老师]【市一等奖】优质课

教学目标
1.经历探索分式方程概念、分式方程解法的过程.
2. 理解分式方程与整式方程之间的联系与区别,进一步体验“转化”的数学
思想.
3.了解分式方程无解的含义,体会解分式方程验根的必要性.
4. 培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯,培养严谨的治学态度.
2学情分析
八年级学生绝大部分学习积极性较高,能较好完成学习任务,只是部分同学学习习惯不好,计算准确性、速度有待提高。

分式方程(一)这一课题是建立在整式方程基础上的学习;分式方程是方程模型的一种,是刻画现实世界的有效模型,在数与代数中占有重要地位.分式方程与实际生活紧密联系,更能充分体现数学的科学性,体现数学的应用价值,能帮助学生从数量关系角度更准确清晰地认识、描述和把握现实世界,使学生完善知识结构,提高计算能力,获得必需的数学能力.
3重点难点
分式方程的解法
分式方程无解的原因
4教学过程
4.1 分式方程（一）
4.1.1教学活动
活动1【导入】预习
活动2【导入】情景问题
活动3【讲授】探究一
活动4【活动】学生活动一活动5【讲授】探究二
活动6【活动】学生活动二活动7【练习】当堂训练
活动8【活动】拓展提升
活动9【活动】学生活动三
活动10【测试】达标检测活动11【作业】作业
课后习题(一)(二)。

分式方程市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案幼儿园

分式方程教案幼儿园一、教学目标：1. 让幼儿了解并理解分式方程的概念；2. 培养幼儿解决分式方程问题的能力；3. 培养幼儿的逻辑思维和推理能力；4. 培养幼儿的合作意识和团队精神。

二、教学准备：1. 教师准备一些简单的分式方程题目，如：1/x + 1/(x+1) = 1/2；2. 幼儿学习材料，如纸和铅笔；3. 幼儿游戏道具，如计数棒等。

三、教学过程：1. 导入新知：教师介绍分式方程的概念。

并以真实生活中的例子引出：如果小明的一半糖果加上他弟弟的三分之一糖果等于他们家里一共有的五分之二糖果，那么小明和他弟弟一共有多少个糖果？2. 给出解题方案：教师引导幼儿使用分式方程的方法来解决这个问题。

首先，设小明有x个糖果，弟弟有y个糖果，根据题意可以得到以下两个方程：1/2x + 1/3y = 5/2；x + y = ?；3. 进行解题练习：教师辅导幼儿使用适当的方法解决这个分式方程。

可以通过通分、消元等方法来解决，最终得到x和y的值。

4. 检查学习成果：教师提供其他类似的分式方程题目，让幼儿独立解决，并进行互相分享和讨论。

5. 游戏活动：教师引导幼儿进行分组活动，每个小组设计一个分式方程游戏，其他小组进行挑战。

通过游戏的方式，巩固幼儿对分式方程的理解和应用能力。

6. 小结：教师回顾今天学习的内容，提醒幼儿掌握了什么知识和技能，帮助他们总结经验和教训，形成正确的学习态度和方法。

四、教学反思：通过本课的教学，幼儿可以了解到分式方程的概念和应用方法，锻炼他们的逻辑思维和推理能力。

同时，通过游戏活动，培养了幼儿的合作意识和团队精神，使学习更加有趣和有意义。

然而，在教学过程中，教师需要注意引导幼儿的解题思路和方法，确保他们理解和掌握基本概念与技能。

另外，教师还需要根据幼儿的实际情况进行个性化的教学，确保每个幼儿都能够参与到学习中来，从而更好地达到教学目标。

分式方程市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案大班

分式方程教案大班一、教学目标1. 了解分式方程的概念和基本性质；2. 掌握解分式方程的基本方法与技巧；3. 能够运用所学知识解决实际问题。

二、教学内容1. 分式方程的定义与基本性质；2. 解一元一次分式方程；3. 解一元二次分式方程；4. 实际问题中的应用。

三、教学步骤步骤一：引入教师可以通过提问或举例的方式引入分式方程的概念，引导学生思考为什么需要引入分式方程，并与线性方程进行对比，激发学生的兴趣。

步骤二：讲解与示范1. 首先讲解分式方程的定义，即含有一个或多个未知数的分式等式；2. 接着介绍一元一次分式方程的解法，重点讲解如何消去分母，使方程化为简单的线性方程，再求解得出结果；3. 然后讲解一元二次分式方程的解法，重点讲解如何将其化为一元二次方程，并运用二次方程求根公式或配方法求解；4. 最后通过一些实际问题的示例，展示分式方程在实际生活中的应用。

步骤三：练习与巩固安排一定数量的练习题，分别涵盖一元一次和一元二次分式方程的解法，让学生通过练习来巩固所学知识，并培养他们解题的能力和思维逻辑。

步骤四：拓展与应用安排一些拓展题，使学生能够将所学知识应用到更复杂的问题中，培养他们的问题分析和解决能力。

四、教学重点与难点教学重点：分式方程的定义与基本性质，一元一次和一元二次分式方程的解法。

教学难点：一元二次分式方程的解法。

五、教学方法与手段1. 讲授法：通过讲解、示范和解题示例等方式，向学生传递知识；2. 实践与体验法：通过实际问题的应用，引导学生参与探究，培养问题解决能力；3. 练习与巩固法：通过大量的练习题目巩固学生的知识，并培养解题的技巧与思维能力。

六、教学资源黑板、粉笔、教辅资料等。

七、教学评价与反馈1. 在课堂上进行教学评价，分别针对基础知识、能力素养和实际应用进行评价；2. 提供针对性的反馈，帮助学生发现和解决问题。

八、教学延伸分式方程是解决实际问题中常见的数学工具，教师可引导学生继续探究其他类型的分式方程，如含有多个分式项的方程，或含有复杂系数的方程等，提升学生的数学建模能力。

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一、复习提问 1、什么叫做方程？什么是一元一次方程？什么是方程的解？ 2、解一元一次方程的基本方法和步骤是什么？ 3、分式有意义的条件是什么？
4、分式的基本性质是怎样的？
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引入问题
课前热身
轮船在顺水中航行100千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知轮船在静水中的速度20千米/时，求水流的速度是多少？
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三、例题讲解与练习
1 2 例1 解方程： 2 x 1 x 1 解方程两边同乘以（x2-1）,约去分母，得 x+1=2. 解这个整式方程，得 x=1. 事实上，当x=1时，原分式方程左边和右边的分母（x－1）与（x2－1）都是0，方程中出现的两个分式都没有意义，因此，x=1不是原分式方程的根，应当舍去. 所以原分式方程无解.
•分式方程的主要特征：
方程.
（1）含有分式；（2）分母中含有未知数。
你还能举出一个分式方程的吗？
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三、例题讲解与练习
辨析：判断下列各式哪个是分式方程． (1) (2) (3) (4)
(5)
分析：根据定义可得：(1)、(2) 是整式方程，(3) 是分式，(4)(5) 是分式方程．
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7、当m为何值时，去分母解方程： 2 mx 0 会产生增根 ? 没有解. x2 2 x 解：两边同时乘以 ( x 2)得
2 mx 0
若有增根，则增根是 x 2. 2 若方程没有解，则 x
把 x 2代入得：
2 2m 0
m 1
反思：分式方程产生增根，也就是使分母等于0. 将原分式方程去分母后，代入增根.
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下列关于X方程，哪些是分式方程：
m 1 (5) 2 1 x x 1 (6) 2 1 m 2 x 1 (7 ) 1 x 1
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探究分式方程的解法
1、思考：怎样解分式方程呢？
100 60 v 20 20 v
1）、回顾一下一元一次方程时是怎么去分母的，从中能否得到一点启发？ 2）有没有办法可以去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢？
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改错
x 8 1 2x 解分式方程： 8 x7 7x
解：方程两边都乘以 x 7 ，得
x 8 1 2x 8
解这个整式方程，得
x 17
∴ x 17是原方程的根。
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课堂小结
解分式方程的注意点：
（1）去分母时，先确定最简公分母；若分母是多项式，要进行因式分解；（2）去分母时，不要漏乘不含分母的项；约去分母后，分子是多项式时，要注意
探究分式方程的验根方法
验根的方法
解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零.有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式（即最简公分母），看它的值是否为零.如果为零，即为增根. 如例1中的x=1，代入x2－1 ＝0，可知x=1 是原分式方程的增根.
有了上面的经验，我们再来完整地解二个分式方程. 首页上页下页返回
对于原分式方程的解来说，必须要求使方程中各分式的分母的值均不为零，但变形后得到的整式方程则没有这个要求.如果所得整式方程的某个解，恰好使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为零，也就是说使变形时所乘的整式（各分式的最简公分母）的值为零，它就不适合原方程，即是原分式方程的增根.
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2、在学习的过程中
你有什么体会？
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作业
课本《黄冈经典教程练与测》 16.3分式方程
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三、例题讲解与练习
x2 16 x2 (2) x 2 x 2 4 x 2
方程两边同乘以 ( x 2)(x 2), 2 2 得， ( x 2) 16 ( x 2) ,
x 2. 检验：把x=2代入 x2-4，得x2-4=0。 ∴x=2是增根，从而原方程无解。.
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x 4x 4 16 x 4x 4,
2 2
注意：分式方程的求解过程不一定是同解变形，所以分式方程一定要验根！
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1、解分式方程的思想方法是？
解分式方程的思路和方法是：
利用化归的思想方式 ,去掉分式方程的分母，把分式方程化成简单的、我们已会解决的整式方程，然后利用解整式方程的方法求解。
三、例题讲解与练习
x 5 1 (1)1 (注意书写的格式 ) 4 x x4 x5 1 解：检验：把x=5代入 x-4， 1 x4 x4 得x-4≠0
方程两边同乘以 x 4,
例2
解方程：
得，x 4 x 5 1
∴x=5是原方程的解.
x 5
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分析：设江水的水流速度为v千米/时，轮船顺流航行的速度为 (20+v) 千米/时，逆流航行的速度为(20-v) 千米/时， 100 小时,逆流航行60千顺流航行100千米所用时间为______ 60 小时. 20 v 米所用时间为______
20 v
100 60 20 v 20 v 这个方程有何特点？
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3、解分式方程一般需要哪几个步骤?
①去分母，化为整式方程： ⑴把各分母分解因式;
⑵找出各分母的最简公分母;
⑶方程两边各项乘以最简公分母; ②解整式方程. ③检验.
必须检验
把未知数的值代入最简公分母，看结果是不是零，若结果不是0，说明此根是原方程的根；若结果是0，说明此根是原方程的增根，必须舍去 ④结论：确定分式方程的解.
添括号；
（3）最后不要忘记检验。
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做一做
①课本29页练习1。 ②解下列分式方程：
x x 4 1 21 2 1 0 x 1 x 1 x x 1 2 x 5 5x 4 1 3 3x 6 2 x 4 2 3 2 6 4 2 2 2 x x x x x 1 1 1 5 ( x 2)(x 3) ( x 4)(x 5)
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温故知新
x x 1 2 3
例题讲解
100 60 20 v 20 v
解：去分母，得解：方程两边都乘以（20+V） 3x=6+2x (20-V), 解得: x=6 得:100(20-V)=60(20+v) 检验:将x=6代入原方程,得解整式方程,得:x=5 检验:将x=5代入原方程, 左边=3=右边
所以,x=6是原方程的根.
得:左边=4=右边
所以,x=4是原方程的根.
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探究分式方程的解法
2、归纳上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.
请动手做一做：
1 2 2 解方程： x 1 x 1
⑵找出各分母的最简公分母;
⑶方程两边各项乘以最简公分母; ②解整式方程. ③检验.
必须检验
把未知数的值代入最简公分母，看结果是不是零，若结果不是0，说明此根是原方程的根；若结果是0，说明此根是原方程的增根，必须舍去 ④结论：确定分式方程的解.
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1、你学到了哪些知识？
要注意什么问题？
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x m 2 1.当m为何值时，方程 x 3 x3 会
产生增根
x-3 2. 解关于x的方程 x-1 = 则常数m的值等于( )
m x-1
产生增根,
(A)-2
(B)-1
(C ) 1
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(D) 2
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3、解分式方程一般需要哪几个步骤?
①去分母，化为整式方程： ⑴把各分母分解因式;
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想一想
概括：方程（1）有何特点？观察分析后，发表意见，达成共识：
特征：方程的两边的代数式是分式。
或者说末知数在分母上的方程。
提问：你还能举出一个类似的例子吗？
首页上页下页Biblioteka 返回分式方程的概念100 60 方程中含有分式，并且 v 20 20 v
分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式
.
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探究分式方程的增根原因
在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根. 因此，在解分式方程时必须进行检验.
那么，可能产生“增根”的原因在哪里呢？
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探究分式方程的增根原因