人教B数学必修1：高中同步测试卷(六) Word版含答案

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最新人教B版高一数学必修一单元测试题全套及答案第一章检测试题一、选择题(每小题5分，共10小题，共50分.从给出的A、B、C、D四个选项中选出唯一正确的答案填在题后的括号内)1.若集合/={x|—2<x<l}, 5={x|0<x<2},则)A.{x| — 1<X<1}B. {x|—2<x<l}C. {x|-2<x<2}D. {x|0<x<l}解析利用数轴，数形结合可知D正确.答案D2.满足集合MU{1,2,3,4},且{1,2,4} = {1,4}的集合M的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4解析由题意可知，且2尙W,集合M可以是{1,4}, {1,3,4}.答案B3.设全集U=MUN={l,2,3,4,5},MQ([tW)={2,4},则N=( )A. {.1,2,3}B. {1,3,5}C. {1,4,5}D. {2,3,4}解析画出韦恩图，阴影部分为MQ(®N)= {2,4}，:.N= {1,3,5},故选B./UB={1,3,5}, U={1,2,3,4,5},.•.[亦UB） = {2,4}.答案B4.已知集合A = {0,l,2},则集合B={x~y\x^A, y^A}中元素的个数是（）A. 1B. 3C. 5D. 9解析逐个列举可得.x=0,尹=0,1,2时，x~y=0,—1, —2; x=l,尹=0,1,2 时，x—尹=1,0, —1; x=2,尹=0,1,2 时，X—y=2,l,0. 根据集合中元素的互异性可知集合B的元素为一2, -1,0,1,2.共5个.答案C5.设全集t/= {1,3,5,7,9},集合A={1, |tz-5|,9}, 血= {5,7}, 则a的值为（）A. 2B. 8C. —2 或8D. 2 或8解析由血= {5,7},可知/= {1,3,9},• • |tz—5] — 3, ..a = 8,或a=2.答案D6.已知集合B, C 中，A^B, A^C,若^={0,1,2,3}, C= {0,2,4},则/的子集最多有（）A. 2个B. 4个C. 6个D. 8个解析S, AQC,.•.佔{0,2}.当集合力={0,2}时，它的子集最多有4个. 答案B7. 已知全集 U=R,集合 M= {x|-2<x-l<2}和 N ={x|x=2広 —1, k^}的关系韦恩（Venn ）图，如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（）解析图中阴影部分表示的集合为MCN,集合M= {x|-l<x<3},集合N 中的元素为正奇数，:.MCN= {1,3}- 答案B8. 设集合 S={x|x>5 或则Q 的取值范围是（）A. —3<a<—1 C. aW — 3 或 — 1\a<— 1,解析借助数轴可知：［Q + 8>5.答案A9. 已知全集 /= {1,2,3,4,5,6,7,8},集合 M= {3,4,5},集合 N= {1,3,6},则集合{2,7,8}是（）A. MUNB. MCNC.L MU L ND.Cjl/A I I NT= {x\a<x<a + 8}, SUT=R,B. —3WaW — 1 D. a<—3 或 a>—1—3<a<— 1.答案Df 3 1 f 1 '10.设数集M=\x mWxWm +才爲N=(x "—亍WxW"爲P= {x|0WxWl},且M, N都是集合P的子集，如果把b~a叫做集合{xQWxWb}的“长度”,那么集合MCN的“长度”的最小值是()A-3 B.|。

高中数学必修1综合测试题及答案(K12教育文档)

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高中数学必修一综合测试一、选择题1．函数y ＝xln （1－x ）的定义域为（ ) A ．（0,1) B ．［0，1） C ．(0,1］ D ．[0,1］2．已知U ＝｛y|y ＝log 2x ，x>1｝，P ＝错误!，则∁U P ＝（ ) A 。

错误! B.错误! C ．(0，＋∞） D ．(－∞，0)∪错误!3．设a 〉1，函数f （x)＝log a x 在区间[a,2a ］上的最大值与最小值之差为12，则a＝（）A.错误! B ．2 C ．2 错误! D ．44．设f(x)＝g(x ）＋5，g(x)为奇函数，且f （－7）＝－17，则f(7)的值等于( ) A ．17 B ．22 C ．27 D ．125．已知函数f （x)＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx 2－ax －1的零点是（）A ．－1和－2B ．1和2 C.错误!和错误! D ．－错误!和－错误! 6．下列函数中，既是偶函数又是幂函数的是（ )A ．f(x)＝xB ．f(x ）＝x 2C ．f(x)＝x －3D ．f （x)＝x －1 7．方程2x ＝2－x 的根所在区间是（）.A ．(－1，0)B ．(2,3）C ．（1，2）D ．（0,1) 8．若log2 a ＜0，b⎪⎭⎫⎝⎛21＞1,则( ).A ．a ＞1,b ＞0B ．a ＞1，b ＜0C ．0＜a ＜1,b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜09．下列四类函数中,具有性质“对任意的x>0,y>0，函数f （x)满足f （x ＋y)＝f （x)f （y)”的是（ )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．一次函数10．函数y ＝x 416－的值域是（）.A ．[0，＋∞）B ．［0，4］C ．[0，4)D ．(0，4）二、填空题(每小题5分,共20分) 11．计算:错误!÷10012-＝__________。

新教材人教B版高中数学选择性必修第一册各章综合测验及模块测验含答案解析

人教B 选择性必修第一册综合测验第一章空间向量与立体几何............................................................................................ 1 第二章平面解析几何 .................................................................................................... 15 模块综合测验 . (28)第一章空间向量与立体几何一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,向量AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是( ) A.有相同起点的向量 B .等长的向量C.共面向量 D .不共面向量AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 显然不是有相同起点的向量,A 不正确; 由该平行六面体不是正方体可知,这三个向量不是等长的向量,B 不正确. 又∵AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 'D '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面,C 正确,D 不正确. 2.已知a =(-2,-3,1),b =(2,0,4),c =(-4,-6,2),则下列结论正确的是( ) A.a ∥c ,b ∥c B.a ∥b ,a ⊥c C.a ∥c ,a ⊥b D.以上都不对a =(-2,-3,1),b =(2,0,4),c =(-4,-6,2),∴a ·b =-4+0+4=0,∴a ⊥b .∵-4-2=-6-3=21,∴a ∥c .3.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) A.D 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .4.如图所示,已知空间四边形ABCD ,连接AC ,BD.M ,G 分别是BC ,CD 的中点,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( )A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗B.GA ⃗⃗⃗⃗⃗C.AG ⃗⃗⃗⃗⃗D.MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗M ,G 分别是BC ,CD 的中点,∴12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AG⃗⃗⃗⃗⃗ . 5.在四棱锥P-ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,-2,3),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,1,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-6,2,-8),则这个四棱锥的高h 等于 ( )A.1 B .2C.13D .26ABCD 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{4x -2y +3z =0,-4x +y =0.不妨令x=3,则y=12,z=4,可得n =(3,12,4), 四棱锥的高h=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=2613=2.6.已知两不重合的平面α与平面ABC ,若平面α的法向量为n 1=(2,-3,1),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-2),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1),则( ) A.平面α∥平面ABC B.平面α⊥平面ABCC.平面α、平面ABC 相交但不垂直D.以上均有可能,n 1·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1+(-3)×0+1×(-2)=0,得n 1⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 1·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1+(-3)×1+1×1=0,得n 1⊥AC⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以n 1⊥平面ABC ,所以平面α的法向量与平面ABC 的法向量共线,则平面α∥平面ABC.7.直线AB 与直二面角α-l-β的两个面分别交于A ,B 两点,且A ,B 都不在棱l 上,设直线AB 与α,β所成的角分别为θ和φ,则θ+φ的取值范围是( ) A.0°<θ+φ<90° B.0°<θ+φ≤90° C.90°<θ+φ<180° D.θ+φ=90°,分别过点A ,B 向平面β,α作垂线,垂足为A 1,B 1,连接BA 1,AB 1.由已知α⊥β,所以AA 1⊥β,BB 1⊥α,因此∠BAB 1=θ,∠ABA 1=φ.由最小角定理得∠BAA 1≥θ,而∠BAA 1+φ=90°,故θ+φ=θ+90°-∠BAA 1≤90°,当AB ⊥l 时,θ+φ=90°,应选B .8.长方体A 1A 2A 3A 4-B 1B 2B 3B 4的底面为边长为1的正方形,高为2,则集合{x|x=A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A i B j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,i ∈{1,2,3,4},j ∈{1,2,3,4}}中元素的个数为( )A.1 B .2 C .3 D .4长方体A 1A 2A 3A 4-B 1B 2B 3B 4的底面为边长为1的正方形,高为2,∴建立如图的空间直角坐标系, 则A 1(1,1,0),A 2(0,1,0),A 3(0,0,0),A 4(1,0,0), B 1(1,1,2),B 2(0,1,2),B 3(0,0,2),B 4(1,0,2), 则A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,2),与A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)相等的向量为A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 3B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 4B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4, 与A 1B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,2)相等的向量为A 2B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4, 与A 4B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)相等的向量为A 3B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 4B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4,与A 2B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,2)相等的向量为A 3B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 2B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+4=3,与A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,2)相等的向量为A 4B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5,体对角线向量为A 1B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,2),此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5,A 2B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,2),A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 2B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+4=3,A 3B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2),A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 3B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+4=3, A 4B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,2),A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 4B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5,综上集合{x|x=A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A i B j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,i ∈{1,2,3,4},j ∈{1,2,3,4}}={3,4,5},集合中元素的个数为3个.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分. 9.设向量a ,b ,c 可构成空间一个基底,下列选项中正确的是( ) A.若a ⊥b ,b ⊥c ,则a ⊥cB.则a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面C.对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=x a+y b+z cD.则a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底a,b,c是空间一个基底,知:在A中,若a⊥b,b⊥c,则a与c相交或平行,故A错误;在B中,a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面,故B正确;在C中,对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=x a+y b+z c,故C正确;在D中,a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底,故D正确.10.已知向量a=(1,2,3),b=(3,0,-1),c=(-1,5,-3),下列等式中正确的是()A.(a·b)c=b·cB.(a+b)·c=a·(b+c)C.(a+b+c)2=a2+b2+c2D.|a+b+c|=|a-b-c|左边为向量,右边为实数,显然不相等,不正确;B.左边=(4,2,2)·(-1,5,-3)=0,右边=(1,2,3)·(2,5,-4)=2+10-12=0,∴左边=右边,因此正确.C.a+b+c=(3,7,-1),左边=32+72+(-1)2=59,右边=12+22+32+32+0+(-1)2+(-1)2+52+(-3)2=59,∴左边=右边,因此正确.D.由C可得左边=√59,∵a-b-c=(-1,-3,7),∴|a-b-c|=√59,∴左边=右边,因此正确.故BCD正确.11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AB,CC1,A1D1,C1D1的中点,则下列结论正确的是 ()A.A1E⊥AC1B.BF∥平面ADD1A1C.BF⊥DGD.A1E∥CH解析设正方体的棱长为1,以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A 1(1,0,1),E (1,12,0),C (0,1,0),F (0,1,12),C 1(0,1,1),H 0,12,1,G (12,0,1),A (1,0,0),B (1,1,0),D (0,0,0),则A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,-1),AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,1),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,12),DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,0,1),CH ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-12,1), 所以A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12,所以A 1E 与AC 1不垂直,故A 错误; 显然平面ADD 1A 1的一个法向量v =(0,1,0), 有BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·v =0,所以BF ∥平面ADD 1A 1,故B 正确; BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以BF ⊥DG ,故C 正确; A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-CH⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以A 1E ∥CH ,故D 正确. 12.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A -BD -C ,有如下四个结论:①AC ⊥BD ;②△ACD 是等边三角形;③AB 与平面BCD 所成的角为60°;④AB 与CD 所成的角为60°.其中正确的结论有( ) A.① B.②C.③D.④,建立空间直角坐标系Oxyz ,设正方形ABCD 的边长为√2,则D (1,0,0),B (-1,0,0),C (0,0,1),A (0,1,0),所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-1),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,0),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故AC ⊥BD ,①正确.又|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2, 所以△ACD 为等边三角形,②正确. 对于③,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面BCD 的一个法向量, cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2·√1=√2=-√22.因为直线与平面所成的角∈[0°,90°],所以AB 与平面BCD 所成的角为45°,故③错误.又cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2·√2=-12,因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以AB 与CD 所成的角为60°,故④正确. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在棱长为a 的正四面体中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = . -a 22a 的正四面体中,AB=BC=a ,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°,AC ⊥BD.∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ·a cos120°+0=-a22.14.已知a =(1,2,-y ),b =(x ,1,2),且(a +2b )∥(2a -b ),则xy= .2a +2b =(1+2x ,4,-y+4),2a -b =(2-x ,3,-2y-2),因为(a+2b )∥(2a-b ),所以存在λ∈R 使得1+2x=λ(2-x )且4=3λ且-y+4=λ(-2y-2),所以λ=43,x=12,y=-4,所以xy=-2.15.设PA ⊥Rt △ABC 所在的平面α,∠BAC=90°,PB ,PC 分别与α成45°和30°角,PA=2,则PA 与BC 的距离是 ;点P 到BC 的距离是 . √3 √7AD ⊥BC 于点D ,∵PA ⊥面ABC ,∴PA ⊥AD.∴AD 是PA 与BC 的公垂线.易得AB=2,AC=2√3,BC=4,AD=√3,连接PD ,则PD ⊥BC ,P 到BC 的距离PD=√7. 16.已知向量m =(a ,b ,0),n =(c ,d ,1),其中a 2+b 2=c 2+d 2=1,现有以下命题:①向量n 与z 轴正方向的夹角恒为定值(即与c ,d 无关); ②m ·n 的最大值为√2;③<m ,n >(m ,n 的夹角)的最大值为3π4;④若定义u ×v =|u |·|v |sin ,则|m×n |的最大值为√2. 其中正确的命题有 .(写出所有正确命题的序号)取z 轴的正方向单位向量a =(0,0,1),则cos <n ,a >=n ·a|n ||a |=√c 2+d 2+12×1=√2=√22,∴向量n 与z 轴正方向的夹角恒为定值π4,命题正确;②m ·n =ac+bd ≤a 2+c 22+b 2+d 22=a 2+c 2+b 2+d 22=1+12=1,当且仅当a=c ,b=d 时取等号,因此m ·n 的最大值为1,命题错误;③由②可得|m ·n |≤1,∴-1≤m ·n ≤1, ∴cos <m ,n >=m ·n|m ||n | =√a 2+b 2·√c 2+d 2+12≥-1×√2=-√22, ∴<m ,n >的最大值是3π4,命题正确; ④由③可知:-√22≤cos <m ,n >≤√22,∴π4≤<m ,n >≤3π4,√22≤sin <m ,n >≤1,∴m×n =|m|×|n|×sin <m ,n >≤1×√2×1=√2,命题正确.综上可知,正确的命题序号是①③④.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)如图所示,在四棱锥M-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧棱AM 的长为3,且AM 和AB ,AD 的夹角都是60°,N 是CM 的中点,设a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,c =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,试以a ,b ,c 为基向量表示出向量BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,并求BN 的长.⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12[AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )] =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12a+12b+12c , |BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=-12a+12b+12c 2 =14(a 2+b 2+c 2-2a ·b-2a ·c+2b ·c )=174. 所以|BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√172,即BN 的长为√172.18.(12分)如图,正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,底面边长为√2. (1)设侧棱长为1,求证:AB 1⊥BC 1;(2)设AB 1与BC 1所成的角为π3,求侧棱的长.1=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为BB 1⊥平面ABC , 所以BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 又△ABC 为正三角形,所以<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=π-<BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ >=π-π3=2π3. 因为AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=-1+1=0, 所以AB 1⊥BC 1.(1)知AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-1.又|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=√2+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-12+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=12,所以|BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,即侧棱长为2.19.(12分)已知空间中三点A (2,0,-2),B (1,-1,-2),C (3,0,-4),设a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)若|c |=3,且c ∥BC⃗⃗⃗⃗⃗ ,求向量c ; (2)已知向量k a +b 与b 互相垂直,求k 的值; (3)求△ABC 的面积.∵空间中三点A (2,0,-2),B (1,-1,-2),C (3,0,-4),设a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b =AC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,-4)-(1,-1,-2)=(2,1,-2), ∵|c |=3,且c ∥BC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴c =m BC⃗⃗⃗⃗⃗ =m (2,1,-2)=(2m ,m ,-2m ), ∴|c |=√(2m )2+m 2+(-2m )2=3|m|=3,∴m=±1,∴c =(2,1,-2)或c =(-2,-1,2). (2)由题得a =(-1,-1,0),b =(1,0,-2),∴k a +b =k (-1,-1,0)+(1,0,-2)=(1-k ,-k ,-2),∵向量k a +b 与b 互相垂直,∴(k a +b )·b =1-k+4=0,解得k=5.∴k 的值是5. (3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,-2), cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√5=-√10,sin <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=√1-110=√10,∴S △ABC =12×|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |×sin <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=12×√2×√5×√10=32.20.(12分)已知E ,F ,G ,H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 的中点.(1)用向量法证明E ,F ,G ,H 四点共面; (2)用向量法证明:BD ∥平面EFGH ;(3)设M 是EG 和FH 的交点,求证:对空间任一点O ,有OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).如图,连接BG ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EF ⃗⃗⃗⃗⃗ +EH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 由共面向量定理的推论知E 、F 、G 、H 四点共面.(2)因为EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗=12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以EH ∥BD ,又EH ⊂平面EFGH ,BD ⊄平面EFGH , 所以BD ∥平面EFGH.(3)连接OM ,OA ,OB ,OC ,OD ,OE ,OG , 由(2)知EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 同理FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =FG⃗⃗⃗⃗⃗ , EH ∥FG ,EH=FG ,所以EG 、FH 交于一点M 且被M 平分,所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +OG ⃗⃗⃗⃗⃗ )=1212(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+12(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =14(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).21.(12分)(2021全国甲,理19)已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧面AA 1B 1B 为正方形,AB=BC=2,E ,F 分别为AC 和CC 1的中点,D 为棱A 1B 1上的点,BF ⊥A 1B 1. (1)证明:BF ⊥DE ;(2)当B 1D 为何值时,平面BB 1C 1C 与平面DFE 所成的二面角的正弦值最小?如图,连接A 1E ,取BC 中点M ,连接B 1M ,EM.∵E ,M 分别为AC ,BC 中点, ∴EM ∥AB.又AB ∥A 1B 1,∴A 1B 1∥EM ,则点A 1,B 1,M ,E 四点共面,故DE ⊂平面A 1B 1ME.又在侧面BCC 1B 1中,△FCB ≌△MBB 1,∴∠FBM=∠MB 1B. 又∠MB 1B+∠B 1MB=90°,∴∠FBM+∠B 1MB=90°,∴BF ⊥MB 1.又BF ⊥A 1B 1,MB 1∩A 1B 1=B 1,MB 1,A 1B 1⊂平面A 1B 1ME ,∴BF ⊥平面A 1B 1ME ,∴BF ⊥DE.(2)∵BF ⊥A 1B 1,∴BF ⊥AB ,∴AF 2=BF 2+AB 2=CF 2+BC 2+AB 2=9. 又AF 2=FC 2+AC 2,∴AC 2=8,则AB ⊥BC.如图,以B 为原点,BC ,BA ,BB 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则B (0,0,0),C (2,0,0),A (0,2,0),E (1,1,0),F (2,0,1).则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,1),ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,t-1,2),设DB 1=t ,则D (0,t ,2),0≤t ≤2.则平面BB 1C 1C 的法向量为m =(0,1,0),设平面DEF 的法向量为n =(x ,y ,z ),∴{EF⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{x -y +z =0,-x +(t -1)y +2z =0,∴n =(1+t ,3,2-t ). 则cos <m ,n >=√(1+t )+32+(2-t )=√2t 2-2t+14.要求最小正弦值,则求最大余弦值.当t=1时二面角的余弦值最大,2时二面角正弦值最小.则B1D=1222.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平AD=1,CD=√3.面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=12(1)求证:平面PBC⊥平面PQB;(2)当PM的长为何值时,平面QMB与平面PDC所成的角的大小为60°?AD,AD∥BC,Q为AD的中点,BC=12∴BC∥QD,BC=QD,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴BQ∥CD.∵∠ADC=90°,∴BC⊥BQ.∵PA=PD,AQ=QD,∴PQ⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PQ⊥平面ABCD,∴PQ ⊥BC.又∵PQ∩BQ=Q,∴BC⊥平面PQB.∵BC⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面PQB.(1)可知PQ⊥平面ABCD.如图,以Q为原点,分别以QA,QB,QP所在直线为x轴,y 轴,z轴,建立空间直角坐标系,则Q(0,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,√3),B(0,√3,0),C(-1,√3,0),∴QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0),DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,√3,-√3), PC=√(-1)2+(√3)2+(-√3)2=√7.设PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λ,√3λ,-√3λ),且0≤λ≤1,得M (-λ,√3λ,√3−√3λ),∴QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λ,√3λ,√3(1-λ)).设平面MBQ 的法向量为m =(x ,y ,z ),则{QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,QB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,即{-λx +√3λy +√3(1-λ)z =0,√3y =0.令x=√3,则y=0,z=λ1-λ,∴平面MBQ 的一个法向量为m =√3,0,λ1-λ. 设平面PDC 的法向量为n =(x',y',z'),则{DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{√3y '=0,x '+√3z '=0.令x'=3,则y'=0,z'=-√3,∴平面PDC 的一个法向量为n =(3,0,-√3).∴平面QMB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小为60°, ∴cos60°=|n ·m ||n ||m |=|3√3-√3·λ1-λ|√12·√3+(λ1-λ) 2=12,∴λ=12.∴PM=12PC=√72.即当PM=√72时,平面QMB 与平面PDC 所成的角大小为60°.第二章平面解析几何一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在平面直角坐标系中,记d 为点P (cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离,当θ,m 变化时,d 的最大值为 ( ) A.1 B.2C.3D.4cos 2θ+sin 2θ=1,∴P 为单位圆上一点,而直线x-my-2=0过点A (2,0),∴d 的最大值为|OA|+1=2+1=3,故选C .2.已知点P (-2,4)在抛物线y 2=2px (p>0)的准线上,则该抛物线的焦点坐标是( ) A.(0,2) B.(0,4) C.(2,0) D.(4,0)P (-2,4)在抛物线y 2=2px 的准线上,所以-p2=-2,所以p=4,则该抛物线的焦点坐标是(2,0).3.已知直线l 1:x cos 2α+√3y+2=0,若l 1⊥l 2,则l 2倾斜角的取值范围是( ) A.[π3,π2) B.[0,π6] C.[π3,π2] D.[π3,5π6]l 1:x cos 2α+√3y+2=0的斜率k 1=-2√3∈[-√33,0],当cos α=0时,即k 1=0时,k 不存在,此时倾斜角为12π,由l 1⊥l 2,k 1≠0时,可知直线l 2的斜率k=-1k 1≥√3,此时倾斜角的取值范围为[π3,π2).综上可得l 2倾斜角的取值范围为[π3,π2].4.(2021全国乙,文11)设B 是椭圆C :x 25+y 2=1的上顶点,点P 在C 上,则|PB|的最大值为( ) A.52 B.√6 C.√5 D.2方法一)由椭圆方程可得a=√5,b=1,故椭圆的上顶点为B (0,1).设P (x ,y ),则有x 25+y 2=1, 故x 2=5(1-y 2),由椭圆的性质可得-1≤y ≤1.则|PB|2=x 2+(y-1)2=5(1-y 2)+(y-1)2=-4y 2-2y+6=-4y 2+y2+6=-4y+142+254.因为-1≤y ≤1,所以当y=-14时,|PB|2取得最大值,且最大值为254,所以|PB|的最大值为52. (方法二)由题意可设P (√5cos θ,sin θ)(θ∈R ),又B (0,1),则|PB|2=5cos 2θ+(sin θ-1)2=5cos 2θ+sin 2θ-2sin θ+1=-4sin 2θ-2sin θ+6,于是当sin θ=-14时,|PB|2最大,此时|PB|2=-4×116-2×(-14)+6=-14+12+6=254,故|PB|的最大值为52.5.在一个平面上,机器人到与点C (3,-3)的距离为8的地方绕C 点顺时针而行,它在行进过程中到经过点A (-10,0)与B (0,10)的直线的最近距离为( ) A.8√2-8 B.8√2+8C.8√2D.12√2C (3,-3)距离为8的地方绕C 点顺时针而行,在行进过程中保持与点C 的距离不变,∴机器人的运行轨迹方程为(x-3)2+(y+3)2=64,如图所示;∵A (-10,0)与B (0,10),∴直线AB 的方程为x-10+y10=1,即为x-y+10=0, 则圆心C 到直线AB 的距离为d=√1+1=8√2>8,∴最近距离为8√2-8.6.设P 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)上的点,F 1,F 2是焦点,双曲线的离心率是43,且∠F 1PF 2=90°,△F 1PF 2的面积是7,则a+b 等于( ) A.3+√7 B.9+√7C.10D.16,不妨设点P 是右支上的一点,|PF 1|=m ,|PF 2|=n ,则{ 12mn =7,m -n =2a ,m 2+n 2=4c 2,c a =43,∴a=3,c=4.∴b=√c 2-a 2=√7.∴a+b=3+√7.7.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称,它的桥形可近似地看成抛物线,该桥的高度为h ,跨径为a ,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为()A.a 28ℎ B.a 24ℎC.a 22ℎD.a 2ℎ,以桥顶为坐标原点,桥形的对称轴为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,该抛物线方程可写为x 2=-2py (p>0).∵该抛物线经过点(a2,-ℎ),代入抛物线方程可得a 24=2hp ,解得p=a 28ℎ.∴桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离即为p=a 28ℎ.8.平面直角坐标系中,设A (-0.98,0.56),B (1.02,2.56),点M 在单位圆上,则使得△MAB 为直角三角形的点M 的个数是( ) A.1 B.2C.3D.4,如图,若△MAB为直角三角形,分3种情况讨论:①∠MAB=90°,则点M在过点A与AB垂直的直线上,设该直线为l1,又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),则k AB=2.56-0.561.02-(-0.98)=1,则k l1=-1,直线l1的方程为y-0.56=-(x+0.98),即x+y+0.42=0,此时原点O到直线l1的距离d=√2=21√2100<1,直线l1与单位圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点M;②∠MBA=90°,则点M在过点B与AB垂直的直线上,设该直线为l2,同理可得,直线l2的方程为y-2.56=-(x-1.02),即x+y-3.58=0,此时原点O到直线l2的距离d=√2=179√2100>1,直线l2与单位圆相离,没有公共点,即没有符合题意的点M;③∠AMB=90°,此时点M在以AB为直径的圆上,又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),设AB的中点为C,则C的坐标为(0.02,1.56),|AB|=√4+4=2√2,则以AB为直径的圆的圆心C为(0.02,1.56),半径r=12|AB|=√2,此时|OC|=√(0.02)2+(1.56)2=√2.4340,则有√2-1<|OC|<√2+1,两圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点M.综合可得,共有4个符合条件的点M.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分.9.已知圆C1:x2+y2=r2,圆C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于不同的A(x1,y1),B(x2,y2)两点,下列结论正确的有()A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0B.2ax1+2by1=a2+b2C.x1+x2=aD.y1+y2=2bAB的方程为a2+b2-2ax-2by=0,即2ax+2by=a2+b2,故B正确;分别把A(x1,y1),B(x2,y2)两点代入2ax+2by=a2+b2得2ax1+2by1=a2+b2,2ax2+2by2=a2+b2,两式相减得2a(x1-x2)+2b(y1-y2)=0,即a(x1-x2)+b(y1-y2)=0,故A正确;由圆的性质可知,线段AB与线段C1C2互相平分,∴x1+x2=a,y1+y2=b,故C正确,D错误.10.若P是圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上任一点,则点P到直线y=kx-1距离的值可以为()A.4B.6C.3√2+1D.8y=kx-1恒过定点A(0,-1)点,当直线与AC垂直时,点P到直线y=kx-1距离最大,等于AC+r,圆心坐标为(-3,3),所以为√(-3)2+(3+1)2+1=6,当直线与圆有交点时,点P到直线的距离最小为0,所以点P到直线y=kx-1距离的范围为[0,6].11.在平面直角坐标系中,曲线C上任意点P与两个定点A(-2,0)和点B(2,0)连线的斜率之和等于2,则关于曲线C的结论正确的有()A.曲线C是轴对称图形B.曲线C上所有的点都在圆x2+y2=2外C.曲线C是中心对称图形D.曲线C上所有点的横坐标x满足|x|>2P(x,y),则k PA+k PB=2,即yx+2+yx-2=2(x≠±2),整理得x2-xy=4(x≠±2),所以曲线C 是中心对称图形,不是轴对称图形,故C 正确,A 错误;由x 2-xy=4>2=x 2+y 2,所以曲线C 上所有的点都在圆x 2+y 2=2外,故B 正确; 由x 2-xy=4可知,x ∈R 且x ≠0,x ≠±2,故D 错误. 12.已知P 是椭圆E :x 28+y 24=1上一点,F 1,F 2为其左右焦点,且△F 1PF 2的面积为3,则下列说法正确的是 ( )A.P 点纵坐标为3B.∠F 1PF 2>π2C.△F 1PF 2的周长为4(√2+1)D.△F 1PF 2的内切圆半径为32(√2-1)P 点坐标为(x ,y ),S=12×2c×|y|=12×4×|y|=3,得y=32或y=-32,故A 错误;椭圆中焦点三角形面积为S=b 2tan θ2(θ为焦点三角形的顶角),S=4tan θ2=3,得tan θ2=34,则θ2<π4,∠F 1PF 2<π2,故B 错误;C △F 1PF 2=2a+2c=4(√2+1),故C 正确;设△F 1PF 2的内切圆半径为R ,12R (4√2+4)=3,得R=32(√2-1),故D 正确. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.经过点P (1,4),且在两坐标轴上的截距相反的直线方程是 .4x 或y=x+3,分2种情况讨论:①直线经过原点,则直线l 的方程为y=4x ;②直线不经过原点,设直线方程为x-y=a ,把点P (1,4)代入可得1-4=a ,解得a=-3,即直线的方程为y=x+3.综上可得,直线的方程为y=4x 或y=x+3.14.若双曲线x 2m −y 2m -5=1的一个焦点到坐标原点的距离为3,则m 的值为 .或-2c=3,当双曲线的焦点在x 轴上时,m>5,c 2=m+m-5=9,所以m=7;当双曲线的焦点在y 轴上时,m<0,c 2=-m+5-m=9,所以m=-2.综上,m=7或m=-2.15.如图,过抛物线y 2=4x 的焦点F 作直线,与抛物线及其准线分别交于A ,B ,C 三点,若FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则直线AB 的方程为 ,|AB|= .√3(x-1)163F (1,0),准线方程为x=-1,设C (-1,m ),B (a ,b ),∵FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴(-2,m )=3(a-1,b )=(3a-3,3b ),则3a-3=-2,m=3b ,即a=13,此时b 2=4×13,得b=-√43=-2√33,即m=-2√3,则C (-1,-2√3),则AB 的斜率k=2√32=√3,则直线方程为y=√3(x-1),代入y 2=4x ,得3x 2-10x+3=0,得x 1+x 2=103,即|AB|=x 1+x 2+2=103+2=163.16.已知点O (0,0),A (4,0),B (0,4).若从点P (1,0)射出的光线经直线AB 反射后过点Q (-2,0),则反射光线所在直线的方程为 ;若从点M (m ,0),m ∈(0,4)射出的光线经直线AB 反射,再经直线OB 反射后回到点M ,则光线所经过的路程是 (结果用m 表示).2y+2=0 √2m 2+32,设点P 1(a ,b )与点P (1,0)关于直线AB 对称,则P 1在反射光线所在直线上,又由A (4,0),B (0,4),则直线AB 的方程为x+y=4,则有{ba -1=1,a+12+b2=4,解得{a =4,b =3,即P 1(4,3), 反射光线所在直线的斜率k=3-04-(-2)=12, 则其方程为y-0=12(x+2),即x-2y+2=0;设点M 1(a 0,b 0)与点M 关于直线AB 对称,点M 2与M 关于y 轴对称,易得M 2(-m ,0); 线段M 1M 2的长度就是光线所经过的路程,则有{b 0a 0-m=1,m+a2+b 02=4,解得{a 0=4,b 0=4-m ,即M 1(4,4-m ),又由M 2(-m ,0),则|M 1M 2|=√(4+m )2+(4-m )2=√2m 2+32.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (2,4),B (0,-5),C (10,0),线段AC 的垂直平分线为l.(1)求直线l 的方程;(2)点P 在直线l 上运动,当|AP|+|BP|最小时,求此时点P 的坐标.直线AC 的斜率为k AC =4-02-10=-12,所以直线l 的斜率为k 1=2,直线AC 的中点为(6,2),所以直线l 的方程为y-2=2(x-6),即2x-y-10=0.(2)由(1)得点A 关于直线l 的对称点为点C ,所以直线BC 与直线l 的交点即为|AP|+|BP|最小的点.由B (0,-5),C (10,0)得直线BC 的方程为x10+y-5=1,即x-2y-10=0,联立方程{x -2y -10=0,2x -y -10=0,解得{x =103,y =-103,所以点P 的坐标为(103,-103). 18.(12分)已知直线l :ax-y-3a+1=0恒过定点P ,过点P 引圆C :(x-1)2+y 2=4的两条切线,设切点分别为A ,B.(1)求直线AB 的一般式方程;(2)求四边形PACB 的外接圆的标准方程.∵直线l :y-1=a (x-3).∴直线l 恒过定点P (3,1).由题意可知直线x=3是其中一条切线,且切点为A (3,0). 由圆的性质可知AB ⊥PC ,∵k PC =1-03-1=12,∴k AB =-2,所以直线AB 的方程为y=-2(x-3),即2x+y-6=0. (2)由题意知|PC|=√(3-1)2+(1-0)2=√5.∵PA ⊥AC ,PB ⊥BC ,所以四边形PACB 的外接圆是以PC 为直径的圆,PC 的中点坐标为(2,12),所以四边形PACB 的外接圆为(x-2)2+(y -12)2=54.19.(12分)已知F 1,F 2分别是双曲线E :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 是双曲线上一点,F 2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍, (1)求双曲线的渐近线方程;(2)当∠F 1PF 2=60°时,△PF 1F 2的面积为48√3,求此双曲线的方程.因为双曲线的渐近线方程为bx ±ay=0,则点F 2到渐近线距离为√b 2+a 2=b (其中c 是双曲线的半焦距),所以由题意知c+a=2b.又因为a 2+b 2=c 2,解得b=43a ,故所求双曲线的渐近线方程是4x ±3y=0.(2)因为∠F 1PF 2=60°,由余弦定理得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|cos60°=|F 1F 2|2,即|PF 1|2+|PF 2|2-|PF 1|·|PF 2|=4c 2. 又由双曲线的定义得||PF 1|-|PF 2||=2a ,平方得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|=4a 2,相减得|PF 1|·|PF 2|=4c 2-4a 2=4b 2.根据三角形的面积公式得S=12|PF 1|·|PF 2|sin60°=√34·4b 2=√3b 2=48√3,得b 2=48. 由(1)得a 2=916b 2=27,故所求双曲线方程是x 227−y 248=1.20.(12分)已知过抛物线x 2=2py (p>0)的焦点,斜率为√24的直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1<x 2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程;(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求λ的值.抛物线x 2=2py 的焦点为(0,p2),所以直线AB 的方程为y=√24x+p 2, 联立{y =√24x +p2,x 2=2py ,消去x ,得4y 2-5py+p 2=0,所以y 1+y 2=5p4,由抛物线定义得|AB|=y 1+y 2+p=9,即5p4+p=9,所以p=4.所以抛物线的方程为x 2=8y. (2)由p=4知,方程4y 2-5py+p 2=0, 可化为y 2-5y+4=0,解得y 1=1,y 2=4,故x 1=-2√2,x 2=4√2. 所以A (-2√2,1),B (4√2,4).则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2√2,1)+λ(4√2,4)=(-2√2+4√2λ,1+4λ).因为C 为抛物线上一点,所以(-2√2+4√2λ)2=8(1+4λ),整理得λ2-2λ=0,所以λ=0或λ=2.21.(12分)(2021全国乙,文20)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点F 到准线的距离为2. (1)求C 的方程;(2)已知O 为坐标原点,点P 在C 上,点Q 满足PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求直线OQ 斜率的最大值.在抛物线C 中,焦点F 到准线的距离为p ,故p=2,C 的方程为y 2=4x.(2)设点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2).又F (1,0),则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2-x 1,y 2-y 1),QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x 2,-y 2). 因为PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x 2-x 1=9(1-x 2),y 2-y 1=-9y 2, 得x 1=10x 2-9,y 1=10y 2.又因为点P 在抛物线C 上,所以y 12=4x 1,所以(10y 2)2=4(10x 2-9), 则点Q 的轨迹方程为y 2=25x-925. 易知直线OQ 的斜率存在.设直线OQ 的方程为y=kx ,当直线OQ 和曲线y 2=25x-925相切时,斜率取得最大值、最小值.由{y =kx ,y 2=25x -925,得k 2x 2=25x-925,即k 2x 2-25x+925=0,(*)当直线OQ 和曲线y 2=25x-925相切时,方程(*)的判别式Δ=0,即(-25)2-4k 2·925=0,解得k=±13,所以直线OQ 斜率的最大值为13. 22.(12分)如图所示,取同离心率的两个椭圆成轴对称内外嵌套得一个标志,为美观考虑,要求图中标记的①,②,③三个区域面积彼此相等.已知椭圆面积为圆周率与长半轴、短半轴长度之积,即椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)面积为S 椭圆=πab(1)求椭圆的离心率的值;(2)已知外椭圆长轴长为6,用直角角尺两条直角边内边缘与外椭圆相切,移动角尺绕外椭圆一周,得到由点M 生成的轨迹将两椭圆围起来,整个标志完成.请你建立合适的坐标系,求出点M 的轨迹方程.建立如图平面直角坐标系.设外椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),∵内外椭圆有相同的离心率且共轴,可得内椭圆长轴为b ,设内椭圆短轴长为b',焦距长为c',得ca =c 'b ,c'=bca ,b'2=b 2-c'2=b 2-b 2c2a 2=b 2(a 2-c 2)a 2=b 4a 2.∴内椭圆的方程为y 2b 2+x 2b 4a 2=1.图中标记的①,②,③三个区域面积彼此相等,由对称性只需S 外=3S 内,即πab=3πb ·b 2a 得a 2=3b 2,即a 2=3(a 2-c 2),故e=√63.(2)同(1)建立如图平面直角坐标系,由于外椭圆长轴为6,∴a=3,又e=√63,∴c=√6,b 2=3. 则外椭圆方程为x 29+y 23=1.设点M (x 0,y 0),切线方程为y-y 0=k (x-x 0),代入椭圆方程得,(1+3k 2)x 2+6k (y 0-kx 0)x+3(y 0-kx 0)2-9=0.∴Δ=36k 2(y 0-kx 0)2-4(1+3k 2)[3(y 0-kx 0)2-9]=0.化简得(x 0-9)k 2-2x 0y 0k+y 02-3=0.∵两条切线互相垂直,∴k 1k 2=-1,即y 02-3x 02-9=-1,即x 02+y 02=12(x 0≠±3).当两切线与坐标轴垂直时,四点(3,±√3),(-3,±√3)也满足方程,∴轨迹方程为x 2+y 2=12.模块综合测验一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件两直线平行,∴斜率相等.即可得ab=4,又因为不能重合,当a=1,b=4时,满足ab=4,但是重合,故“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的必要不充分条件.2.如图,四面体S-ABC 中,D 为BC 中点,点E 在AD 上,AD=3AE ,则SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.13SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13SC ⃗⃗⃗⃗B.23SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗ C.12SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14SC ⃗⃗⃗⃗ D.12SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗S-ABC 中,D 为BC 中点,点E 在AD 上,AD=3AE ,∴SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA⃗⃗⃗⃗⃗ +13×12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16(SC ⃗⃗⃗⃗ −SA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+16(SB ⃗⃗⃗⃗⃗ −SA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗ .3.圆P :(x+3)2+(y-4)2=1关于直线x+y-2=0对称的圆Q 的标准方程是( ) A.(x+2)2+(y-1)2=1 B.(x+2)2+(y-5)2=1 C.(x-2)2+(y+5)2=1 D.(x-4)2+(y+3)2=1P :(x+3)2+(y-4)2=1,圆心(-3,4),半径1,关于直线x+y-2=0对称的圆半径不变,设对称圆的圆心为(a ,b ),则{a -32+b+42-2=0,b -4a+3=1,解得{a =-2,b =5,所求圆Q 的标准方程为(x+2)2+(y-5)2=1.4.(2021新高考Ⅰ,5)已知F 1,F 2是椭圆C :x 29+y 24=1的两个焦点,点M 在C 上,则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( ) A.13 B.12 C.9 D.6|MF 1|+|MF 2|=2a=6,则√|MF 1|·|MF 2|≤|MF 1|+|MF 2|2=3,则|MF 1|·|MF 2|≤9,当且仅当|MF 1|=|MF 2|=3时,等号成立. 故|MF 1|·|MF 2|的最大值为9.故选C .5.坐标原点O (0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P ,若点Q (-1,-1),那么|PQ|的取值范围为( ) A.[√2,3√2] B.[√2,2√2] C.[2√2,3√2] D.[1,3√2]mx+ny-2m-2n=0,可化为m (x-2)+n (y-2)=0,故直线过定点M (2,2),坐标原点O (0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P ,故∠OPM=90°,所以P 在以OM 为直径的圆上,圆的圆心N为(1,1),半径为√2,根据点与圆的关系,|NQ|=√(1+1)2+(1+1)2=2√2, 故√2=2√2−√2≤|PQ|≤√2+2√2=3√2.6.正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯(如图)的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,若灯口直径是20 cm,灯深10 cm,则光源到反光镜顶点的距离是()A.2.5 cmB.3.5 cmC.4.5 cmD.5.5 cmxOy,如图所示,设对应抛物线的标准方程为y2=2px,由题意知抛物线过点(10,10),得100=2p×10,得p=5,=2.5,即焦点坐标为(2.5,0),则p2则光源到反光镜顶点的距离是2.5cm.7.如图,四棱锥S-ABCD 中,底面是正方形,各棱长都相等,记直线SA 与直线AD 所成角为α,直线SA 与平面ABCD 所成角为β,二面角S-AB-C 的平面角为γ,则( ) A.α>β>γ B.γ>α>β C.α>γ>β D.γ>β>αAC ,BD ,交于点O ,连接OS ,则OA ,OB ,OS 两两垂直,以O 为原点,OA 为x 轴,OB 为y 轴,OS 为z 轴,建立空间直角坐标系,设|AB|=2,则S (0,0,√2),A (√2,0,0),D (0,-√2,0),B (0,√2,0),SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,-√2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2,-√2,0),SB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,-√2),cos α=|SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||SA⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4×√4=12,平面ABCD 的法向量n =(0,0,1),cos β=|n ·SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |·|SA⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2√4=√22,设平面SAB 的法向量m =(x ,y ,z ),则{m ·SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x -√2z =0,m ·SB⃗⃗⃗⃗⃗ =√2y -√2z =0,取x=1,得m =(1,1,1),cos γ=|m ·n ||m |·|n |=√3=√33,∵cos α<cos γ<cos β,∴α>γ>β.8.设F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O 是坐标原点,过F 2作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF 1|=√6|OP|,则C 的离心率为( ) A.√5 B.√3 C.2 D.√2|PF 2|=b ,|OF 2|=c ,∴|PO|=a.在Rt △POF 2中,cos ∠PF 2O=|PF 2||OF 2|=bc ,∵在△PF 1F 2中,cos ∠PF 2F 1=|PF 2|2+|F 1F 2|2-|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=bc ,∴b 2+4c 2-(√6a )22b ·2c=bc ⇒c 2=3a 2,∴e=√3.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分. 9.(2021新高考Ⅰ,11)已知点P 在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A (4,0),B (0,2),则( ) A.点P 到直线AB 的距离小于10 B.点P 到直线AB 的距离大于2 C.当∠PBA 最小时,|PB|=3√2 D.当∠PBA 最大时,|PB|=3√2,记圆心为M ,半径为r ,则M (5,5),r=4.由条件得,直线AB 的方程为x4+y2=1,整理得x+2y-4=0,过点M 作MN 垂直于直线AB ,垂足为N ,直线MN 与圆M 分别交于点P 1,P 2,圆心M (5,5)到直线AB 的距离|MN|=√12+22=√5,于是点P 到直线AB 的距离最小值为|P 2N|=|MN|-r=√5-4,最大值为|P 1N|=|MN|+r=√5+4.又√5-4<2,√5+4<10,故A 正确,B 错误;过点B 分别作圆的两条切线BP 3,BP 4,切点分别为点P 3,P 4,则当点P 在P 3处时∠PBA 最大,在P 4处时∠PBA 最小.又|BP 3|=|BP 4|=√|BM |2-r 2=√52+(5-2)2-42=3√2,故C,D 正确.故选A,C,D .10.若a =(-1,λ,-2),b =(2,-1,1),a 与b 的夹角为120°,则λ的值为( ) A.17 B.-17 C.-1 D.1a =(-1,λ,-2),b =(2,-1,1),a 与b 的夹角为120°,∴cos120°=a ·b|a |·|b |=√5+λ2·√6,解得λ=-1或λ=17.11.已知P是椭圆C:x 26+y2=1上的动点,Q是圆D:(x+1)2+y2=15上的动点,则()A.C的焦距为√5B.C的离心率为√306C.圆D在C的内部D.|PQ|的最小值为2√55c=√6-1=√5,则C的焦距为2√5,e=√5√6=√306.设P(x,y)(-√6≤x≤√6),则|PD|2=(x+1)2+y2=(x+1)2+1-x 26=56(x+65)2+45≥45>15,所以圆D在C的内部,且|PQ|的最小值为√45−√15=√55.12.已知直线l过点P(1,0,-1),平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α的法向量可能是()A.(1,-4,2)B.(14,-1,12)C.(-14,1,-12) D.(0,-1,1),所研究平面的法向量垂直于向量a=(2,1,1)和向量PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 而PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3)-(1,0,-1)=(0,2,4),选项A,(2,1,1)·(1,-4,2)=0,(0,2,4)·(1,-4,2)=0满足垂直,故正确;选项B,(2,1,1)·(14,-1,12)=0,(0,2,4)·(14,-1,12)=0满足垂直,故正确;选项C,(2,1,1)·(-14,1,-12)=0,(0,2,4)·(-14,1,-12)=0满足垂直,故正确;选项D,(2,1,1)·(0,-1,1)=0,但(0,2,4)·(0,-1,1)≠0,故错误.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.过点(1,√2)的直线l将圆x2+y2-4x=0分成两段弧,当劣弧所对圆心角最小时,直线l的斜率k=.。

高中同步测试卷·人教b数学必修1：高中同步测试卷(八) 含答案

高中同步测试卷(八) 单元检测指数函数(B 卷) (时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设m ，n 是正整数，a 是正实数，观察下列各式：①a mn ＝na m ；②a 0＝1；③a －m n＝1n a m.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．若a>1，b>0，a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b 等于( )A.6B ．2或－2C ．－2D ．23．若集合A ＝{y|y ＝2x ，x ∈R}，B ＝{y|y ＝x 2，x ∈R}，则( ) A ．A ⊆B B ．ABC ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅4．为了得到函数y ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 的图象，可以把函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 的图象( )A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度5．若函数y ＝a x ＋b －1(a>0，且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )A ．0<a<1，且b>0B ．a>1，且b>0C ．0<a<1，且b<0D ．a>1，且b<06．设x ，y 是正数，且x y ＝y x ，y ＝9x ，则x 的值为( ) A.19B.43C ．1 D.397．二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b a x 的图象只能是下图中的()8．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－1.5，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 29．化简(a 23·b 12)·(－3a 12b 13)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 16b 56的结果是( )A ．6aB ．－aC ．－9aD ．9a10．设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f(x)＝3x －1，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13C ．f ⎛⎪⎪⎫23<f ⎛⎪⎪⎫13<f ⎛⎪⎪⎫32D ．f ⎛⎪⎪⎫32<f ⎛⎪⎪⎫23<f ⎛⎪⎪⎫13二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．已知f(x)＝2x －1，且[f(a)＋1][f(b)＋1]＝8，则a ＋b 的值为________． 12．若x>0，则(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x －12(x －x 12)＝________．13.如图所示的曲线C 1，C 2，C 3，C 4是指数函数y ＝a x 的图象，而a ∈⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫22，12，3，π，则图象C 1，C 2，C 3，C 4对应的函数的底数依次是________、________、________、________．14．若定义在R 上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝e x ，则g(x)＝________．三、解答题(本大题共6小题，每小题10分，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．计算(或化简)下列各式：。

2023-2024学年人教B版数学必修第一册同步检测(解析版)1

1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定一、基础巩固1.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( )A.存在一个无理数,它的平方是有理数B.存在一个无理数,它的平方不是有理数C.任意一个无理数,它的平方不是有理数D.任意一个无理数,它的平方是有理数<2,则命题p的否定为( )2.设命题p:∃x∈(0,+∞),使得x+1x≥2A.∀x∈(0,+∞),x+1x≥2B.∃x∈(0,+∞),使得x+1x>2C.∀x∈(0,+∞),x+1x>2D.∃x∈(0,+∞),使得x+1x3.命题“对任意x∈[3,+∞),都有x2≥9”的否定是( )A.存在x∈[3,+∞),使得x2<9B.存在x∈[3,+∞),使得x2≥9C.对任意的x∈[3,+∞),都有x2<9D.对任意的x∈(-∞,3),都有x2≥94.命题“∀x∈R,∃n∈N+,使得n≥x2”的否定形式是( )A.∃x∈R,∃n∈N+,使得n<x2B.∃x∈R,∀n∈N+,使得n<x2C.∀x∈R,∃n∈N+,使得n<x2D.∀x∈R,∀n∈N+,使得n<x25.已知命题p:∃x>0,x+a-1=0,若p为假命题,则a的取值范围是.6.命题“有的有理数没有倒数”的否定是,否定后的命题是命题.(填“真”“假”之一)7.命题p是“对任意实数x,有x-a>0或x-b≤0”,其中a,b是常数.(1)写出命题p的否定.(2)当a,b满足什么条件时,命题p的否定为真命题?二、能力提升8.命题“∃x∈N,x3<x2”的否定是( )A.∃x∈N,x3≥x2B.∃x∉N,x3<x2C.∀x∈N,x3<x2D.∀x∈N,x3≥x29.(多选题)下列四个命题的否定为真命题的是( )A.r:∃x∈{x|x是无理数},x2是无理数B.s:对所有实数a,都有|a|>0C.p:所有四边形的内角和都是360°D.q:∃x∈R,x2+2x+2≤010.已知命题p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“∃x∈R,x2+2ax+4=0”.若命题¬p和命题q都是真命题,则实数a的取值范围是( )A.[1,+∞)B.[2,+∞)C.(-∞,-2]∪{1}D.(-∞,-2]∪[1,2]11.命题“∃x∈R,|2-x|+|x+3|>4”的否定是.12.命题“存在实数x,y,使得x+y>1”,用符号表示为.此命题的否定是,是命题(填“真”或“假”).13.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并写出这些命题的否定,并判断真假.(1)有一个奇数不能被3整除;(2)三角形的三个内角都为60°;(3)∀x∈Z,x2与3的和不等于0;(4)存在一个三角形至少有两个锐角.14.已知命题p:“至少存在一个实数x∈[1,2],使不等式x2+2ax+2-a>0成立”为真命题,试求实数a的取值范围.15.已知命题p:∀x∈R,x2+(a-1)x+1≥0,命题q:∃x∈R,ax2-2ax-3>0,若p假q真,求实数a的取值范围.参考答案一、基础巩固1.C2.A3.A4.B 先将条件中的全称量词变为存在量词,存在量词变为全称量词,再否定结论.故选B.5.[1,+∞) 因为p 为假命题,所以命题p 的否定:∀x>0,x+a-1≠0是真命题,所以x≠1-a,所以1-a≤0,所以a≥1.6.任意的有理数都有倒数假因为存在量词命题的否定为全称量词命题,所以命题的否定为:任意的有理数都有倒数.0没有倒数.7.解(1)命题p 的否定:存在实数x,有x-a≤0且x-b>0.(2)要使命题p 的否定为真,需要使不等式组{x -a ≤0,x -b >0的解集不为空集,通过画数轴可看出,a,b 应满足的条件是b<a.二、能力提升8.D9.BD10.B 若∀x ∈[1,2],x 2-a≥0,则a≤x 2,∴a≤1.若∃x ∈R ,x 2+2ax+4=0,则Δ=(2a)2-16≥0,解得a≤-2或a≥2.∵命题¬p 和命题q 都是真命题,∴{a >1,a ≤-2或{a >1,a ≥2, ∴a≥2,即a 的取值范围是[2,+∞).11.∀x ∈R ,|2-x|+|x+3|≤412.∃x,y ∈R ,x+y>1 ∀x,y ∈R ,x+y≤1 假此命题用符号表示为∃x,y ∈R ,x+y>1,此命题的否定是∀x,y ∈R ,x+y≤1,原命题为真命题,所以它的否定为假命题.13.解(1)存在量词命题,否定:所有奇数都能被3整除,假命题;(2)全称量词命题,否定:存在一个三角形的三个内角不都为60°,真命题;(3)全称量词命题,否定:∃x ∈Z ,x 2+3=0,假命题;(4)存在量词命题,否定:每个三角形最多有一个锐角,假命题.14.解由题意知,命题p为真命题,即x2+2ax+2-a>0在[1,2]上有解,>0.令y=x2+2ax+2-a,所以ymax又因为最大值在x=1或x=2时取到,所以只需x=1或x=2时,y>0即可,所以1+2a+2-a>0或4+4a+2-a>0,解得a>-3或a>-2,即a>-3.15.解因为命题p是假命题,所以¬p:∃x∈R,x2+(a-1)x+1<0是真命题,则(a-1)2-4>0,解得a<-1或a>3.因为命题q:∃x∈R,ax2-2ax-3>0是真命题.所以当a=0时,-3<0,不合题意;当a<0时,(-2a)2+12a>0,所以a<-3.当a>0时,函数y=ax2-2ax-3的图象开口向上,一定存在满足条件的x.故a<-3或a>0.综上,a的取值范围是(-∞,-3)∪(3,+∞).故实数a的取值范围为(-3,+∞).。

(人教版B版2017课标)高中数学必修第一册全册综合测试卷一(附答案)

（人教版B 版2017课标）高中数学必修第一册全册综合测试卷一（附答案）第一章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集{0,1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,3,5}A =，{2,4}B =，则()uA B =U ð（） A .{0,2,4}B .{4}C .{1,2,4}D .{0,2,3,4}2.已知集合{0,2,3}A =，{|,,}B x x a b a b A ==⋅∈，则集合B 的子集的个数是（） A .4B .8C .15D .163.如果甲是乙的必要不充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，则丁是甲的（） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分又不必要条件4.设a ，b ∈R ，集合{1,,}0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -=（）A .1B .1-C .2D .2-5.若集合{0,1,2}M =，{(,)|210210,,}N x y x y x y x y M =-+--∈且厔，则N 中元素的个数为（） A .9B .6C .4D .26.命题:q x ∀∈R ，3210x x -+„的否定是（） A .32,10x x x ∃∈-+R „B .32,10x x x ∃∈-+R …C .32,10x x x ∃∈-+R ＞D .32,10x x x ∀∈-+R ＞7.已知p 是r 的充分条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件.现有下列命题：①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件；③r 是q 的必要条件；④p ⌝是s ⌝的必要条件；⑤r 是s 的充分条件.则正确命题的序号是（） A .①④⑤B .①②④C .②③⑤D .②④⑤8.已知集合{}2|0M x x x =->，{|1}N x x =…，则M N =I （） A .[1,)+∞B .(1,)+∞C .∅D .(,0)(1,)-∞+∞U9.设集合{|0}M x x m =-„，{}2|(1)1,N y y x x ==--∈R .若M N =∅I ，则实数m 的取值范围是（） A .[1,)-+∞B .(1,)-+∞C .(,1]-∞-D .(,1)-∞-10.已知全集U R =，集合{|(2)0}A x x x =+<，{|||1}B x x =≤，则如图所示的阴影部分表示的集合是（）A .(2,1)-B .[1,0)[1,2)-UC .(2,1)[0,1]--UD .[0,1]11.设条件p ：关于x 的方程()221210m x mx -+-=的两根一个小于0，一个大于1，若p 是q 的必要不充分条件，则条件q 可设为（）A .(1,1)m ∈-B .(0,1)m ∈C .(1,0)m ∈-D .(2,1)m ∈-12.关于x 的方程2210ax x ++=至少有一个负根的充要条件是（） A .01a 剟B .1a ＜C .1a „D .01a ＜„或0a ＜二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上） 13.已知非空集合M 满足：{1,2,3,4,5}M ⊆，且若x M ∈，则6x M -∈.则满足条件的集合M 有__________个.14.设全集S 有两个子集A ，B ，若sA x x B ∈⇒∈ð，则x A ∈是x sB ∈ð的条件是__________. 15.关于x 的不等式2043x ax x +++＞的解集为(3,1)(2,)--+∞U 的充要条件是__________. 16.已知集合{|||1}A x x a =-„，{}2|540B x x x =-+…，若A B =∅I ，则实数a 的取值范围是__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知集合{|(2)[(31)]0}A x x x a =--+＜，()22|01x a B x x a ⎧⎫-⎪⎪=⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭＜. （1）当2a =时，求A B ⋂；（2）求使B A ⊆的实数a 的取值范围.18.（本小题满分12分）若{|68,,}A x x a b a b ==+∈Z ，{|2,}B x x m m ==∈Z ，求证：A B =.19.（本小题满分12分）已知命题p ：方程2220a x ax +-=在区间[1,1]-上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式2220x ax a ++≤.若命题“p 或q ”是假命题，求实数a 的取值范围.20.（本小题满分12分）已知{}2|320A x x x =++≥，{}2|410,B x mx x m m =-+-∈R ＞，若 0A B =I ，且A B A =U ，求实数m 的取值范围.21.（本小题满分12分）已知{}2:|10p A x x ax =++≤，{}2:|320q B x x x =-+≤，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.22.（本小题满分12分）已知集合{}2|8200P x x x =--≤，{||1|}S x x m =-„. （1）若()P S P ⊆U ，求实数m 的取值范围.（2）是否存在实数m ，使“x P ∈”是“x S ∈”的充要条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.第一单元测试答案解析一、 1.【答案】A【解析】由题意得uA {0,4}=ð，又{2,4}B =，所以(){0,2,4}uA B =U ð，故选A . 2.【答案】D【解析】∵{0,4,6,9}B =，∴B 的子集的个数为4216=. 3.【答案】A【解析】因为丁⇒丙⇔乙⇒甲，故丁⇒甲（传递性）. 4.【答案】C【解析】∵集合{1,,}0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，又0a ≠∵，0a b +=∴，即a b =-，1ba=-∴，1b =. 2b a -=∴，故选C .5.【答案】C【解析】N ∵为点集，x M ∈，y M ∈，∴由x ，y 组成的点有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2).其中满足210x y -+≥且210x y --≤的仅有(0,0)，(0,1)，(1,1)，(2,1)四个元素.6.【答案】C【解析】原命题的否定是“32,10x x x ∃∈-+R ＞”. 7.【答案】B【解析】由已知有p r ⇒，q r ⇒，r s ⇒，s q ⇒，由此得g s ⇒且s q ⇒，r q ⇒且q r ⇒，所以①正确，③不正确. 又p q ⇒，所以②正确.④等价于p s ⇒，正确.r s ⇒且s r ⇒，⑤不正确.故选B .8.【答案】B【解析】由20x x -＞得0x ＜或1x ＞，∵(1,)M N =+∞I .故选B . 9.【答案】D【解析】由已知得(,]M m =-∞，[1,)N =-+∞，∵M N =∅I ，1m ∴-＜，故选D . 10.【答案】C【解析】由已知得{|20}A x x =-＜＜，{|11}B x x =-≤≤，所以(2,1]A B =-U ，[1,0)A B =-I ，所以阴影部分表示的集合为()(2,1)[0,1]A B A B =--⋃U I ð，故选C .11.【答案】C【解析】构造函数()22121y m x mx =-+-，则0x =时，1y =-，函数的图像开口向上，由1x =时21210m m -+-＜得2m ＞或0m ＜，又p 是q 的必要不充分条件，所以p ⇒q ，q p ⇒，故选C .12.【答案】C【解析】若0∆=，则440a -=，1a =，满足条件，当0∆＞时，4401a a -⇒＞＜.所以1a ≤. 二、 13.【答案】7【解析】列举如下：{1,5}M =，{2,4}M =，{3}M =，{1,3,5)M =，{2,3,4}M =，{1,2,4,5}M =，{1,2,3,4,5}M =，共7个.14.【答案】必要不充分【解析】由已知得S A B ⊆ð，两边取补集，有()S S S A B ⊇痧?，即S A B ⊇ð，所以S x B x A ∈⇒∈ð，反之，不一定成立，故x ∈A 是S x B ∈ð的必要不充分条件.15.【答案】2a =-【解析】令2430x x ++=，得3x =-或1x =-，∴可猜想20a +=，即2a =-.代入原不等式得22043x x x -++＞，解得(3,1)(2,)x ∈--+∞U .故2a =-.16.【答案】(2,3)【解析】由题意得{|11}A x a x a =-+≤≤，{|14}B x x x 或剠，A B =∅Q I ，1114a a ->⎧⎨+<⎩∴，23a ∴＜＜.三、17.【答案】（1）∵当2a =时，{|27}A x x =＜＜，{|45}B x x =＜＜，{|45}A B x x =I ∴＜＜（2）由已知得{}2|21B x a x a =+＜＜，当13a ＜时，{|312}A x a x =+＜＜，要使B A ⊆，必须满足2231,12,a a a +⎧⎨+⎩…„此时1a =-；当13a =时，A =∅，使B A ⊆的a 不存在；当13a ＞时，(2,31)A a =+，要使B A ⊆，必须满足2222,131,12,a a a a a ⎧⎪++⎨⎪+≠⎩…„此时13a <„.综上可知，使B A ⊆的实数a 的取值范围为(1,3]{1}-U .18.【答案】证明：①设t A ∈，则存在,a b ∈Ζ，使得682(34)t a b a b =+=+.34a b +∈Z ∵t B ∈∴，t B ∴∈即A B ⊆.②设t B ∈，则存在m ∈Z ，使得26(5)84t m m m ==⨯-+⨯.0a =∴t A ∈∴ 5m -∈Z ∵，4m ∈Z ，，即B A ⊆. 由①②知A B =.19.【答案】由2220a x ax +-=，得(2)(1)0ax ax +-=，显然0a ≠，2x a =-∴或1x a=. [1,1]x ∈-∵，故21a ≤或11a„，||1a ∴…. “只有一个实数x 满足2220x ax a ++≤”即抛物线222y x ax a =++与x 轴只有一个交点，2480a a ∆=-=∴，或2a =，∴命题“p 或q ”为真命题时“||1a ≥或0a =”.∵命题“p 或q ”为假命题，∴实数a 的取值范围为{|10 01}a a a -＜＜或＜＜. 20.【答案】A B A =U ∵，B A ⊆∴，又A B =∅I ，B =∅∴{}2|410,B x mx x m m =-+-∈R ∵＞，∴对一切x ∈R ，使得2410mx x m -+-≤恒成立，于是有0,164(1)0,m m m ⎧⎨--⎩＜≤解得m „∴实数m的取值范围是|m m ⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭„21.【答案】{}2|320{|12}B x x x x x =∈-+=R 剟?，p ∵是q 的充分不必要条件，p q ⇒∴，q ⇒p ，即A 是B 的真子集，可A =∅或方程210x ax ++=的两根在区间[1,2]内，210a ∆=-∴＜或0,12,2110,4210,a a a ∆⎧⎪⎪-⎪⎨⎪++⎪++⎪⎩…剟……解得22a -＜„. 22.【答案】由28200x x --≤，得210x -剟，所以{|210P x x =-≤≤. 由|1|x m -≤，得11m x m -+剟.所以{|11}S x m x m =-+≤≤. （1）要使()P S P ⊆U ，则S P ⊆ ①若S =∅，则0m ＜；②若S ≠∅，则0,12,110,m m m ⎧⎪--⎨⎪+⎩……„解得03m 剟.综合①②可知，实数m 的取值范围为(,3]-∞.（2）由“x P ∈”是“x S ∈”的充要条件，知S P =，则12,110,m m -=-⎧⎨+=⎩此方程组无解，所以这样的实数m 不存在.第二章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若23A a ab =+，24B ab b =-，则A ，B 的大小关系是（） A .A B „B .A B …C .A B ＜或A B ＞D .A B ＞2.下列结论正确的是（） A .若ac bc ＞，则a b ＞ B .若22a b ＞，则a b ＞C .若a b ＞，0c ＜，则a c b c ++＜D .a b ＜3.下列变形是根据等式的性质的是（） A .由213x -=得24x = B .由2x x =得1x = C .由29x =得x=3 D .由213x x -=得51x =-4.实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（）A .0a b +=B .b a ＜C .0ab ＞D .||||b a ＜5.已知||a b a ＜＜，则（）A .11a b＞ B .1ab ＜C .1ab＞ D .22a b ＞6.若41x -＜＜，则222()1x x f x x -+=-（） A .有最小值2B .有最大值2C .有最小值2-D .有最大值2-7.已知0a ＞，0b ＞，2a b +=，则14y a b=+的最小值是（） A .72B .4C .92D .58.已知1x ，2x 是关于x 的方程230x bx +-=的两根，且满足121234x x x x +-=，那么b 的值为（） A .5B .5-C .4D .4-9.不等式22120x ax a --＜（其中0a ＜）的解集为（） A .(3,4)a a -B .(4,3)a a -C .(3,4)-D .(2,6)a a10.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析，每辆客车营运的总利润y （单位：10万元）与营运年数()*x x ∈N 为二次函数的关系（如图），则每辆客车营运_____年，营运的年平均利润最大（）A .3B .4C .5D .611.若正数x ，y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是（） A .245B .285C .5D .612.已知a b ＞，二次三项式220ax x b ++…对于一切实数x 恒成立，又0x ∃∈R ，使20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为（）A .1BC .2D .二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）13.当1x ＞时，不等式11x a x +-≥恒成立，则实数a 的取值范围为__________. 14.若0a b ＜＜，则1a b -与1a的大小关系为__________.15.若正数a ，b 满足3ab a b =++，则ab 的取值范围是__________.16.已知关于x 的一元二次方程2320x x m -+=有两个不相等的实数根1x 、2x .若1226x x -=，则实数m 的值为__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）解下列不等式（组）：（1）2(2)01x x x +⎧⎨⎩＞，＜；（2）262318x x x --＜„.18.（本小题满分12分）已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，且1abc =.111a b c++＜.19.（本小题满分12分）已知21()1f x x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.（1）当12a =时，解不等式()0f x „；（2）若0a ＞，解关于x 的不等式()0f x „.20.（本小题满分12分）某镇计划建造一个室内面积为2800 m 的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？21.（未小题满分12分）设函数2()3(0)f x ax bx a =++≠. （1）若不等式()0f x ＞的解集为(1,3)-，求a ，b 的值；（2）若(1)4f =，0a ＞，0b ＞，求14a b+的最小值.22.（本小题满分12分）解下列不等式. （1）2560x x --+＜；（2）()(2)0a x a x --＞.第二章综合测试答案解析一、 1.【答案】B【解析】()2222334240b A B a ab ab b a b ⎛⎫-=+--=-+ ⎪⎝⎭∵…，A B ∴….2.【答案】D【解析】当0c ＜时，A 选项不正确；当0a ＜时，B 选项不正确；两边同时加上一个数，不等号方向不改变，故C 选项错误. 3.【答案】A【解析】A .根据等式的性质1，在等式213x -=的左右两边同时加上1，可得24x =，故本选项正确；B .在等式2x x =的左右两边同时除以x ，可得1x =，但是当0x =时，不成立，故本选项错误；C .将等式29x =的左右两边开平方，可得3x =±，故本选项错误；D .根据等式的性质1，在等式213x x -=的左右两边同时加上(31)x +，可得561x x =+，故本选项错误. 4.【答案】D【解析】根据题图可知，21a --＜＜，01b ＜＜，所以||||b a ＜. 5.【答案】D【解析】由||a b a ＜＜，可知0||||b a ＜„，由不等式的性质可知22||||b a ＜，所以22a b ＞. 6.【答案】D【解析】2221()(1)11x x f x x x x -+==-+--.又41x -∴＜＜，10x -∴＜，(1)0x --∴＞ 1()(1)2(1)f x x x ⎡⎤=---+-⎢⎥--⎣⎦∴„当且仅当111x x -=-，即0x =时等号成立.7.【答案】C【解析】2a b +=∵，12a b+=∴∴14142a bab a b +⎛⎫+=+⋅⎪⎝⎭52592222a b b a ⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭… （当且仅当22a b b a =，即423b a ==时，等号成立）故14y a b=+的最小值为92.8.【答案】A【解析】12,x x ∵是关于x 的方程230x bx +-=的两根，12x x b +=-∴，123x x =-， 121234x x x x +-=∵，94b -+=∴，解得5b =.9.【答案】B【解析】方程22120x ax a --=的两根为4a ，3a -，且43a a -＜，43a x a <<-∴. 10.【答案】C【解析】求得函数式为2(6)11y x =--+，则营运的年平均利润2512122y x x x ⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭„，当且仅当25x x=时，取“=”号，解得5x =. 11.【答案】C【解析】35x y xy +=∵，13155y x+=∴1334(34)1(34)55x y x y x y y x ⎛⎫+=+⨯=++ ⎪⎝⎭∴3941213555555x y y x =++++=…当且仅当31255x y y x =，即1x =，12y =时等号成立. 12.【答案】D【解析】a b ∵＞，二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立， 0a ∴＞，且440ab ∆=-„，1ab ≥∴.再由0x ∃∈R ，使20020ax x b ++=成立，可得0∆…，1ab ∴…，又a b ＞，1a ＞.2224231101a a b a a a b a a a a+++==---∴＞ 2242484243624222211*********a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫+++ ⎪⎛⎫+++⎝⎭=== ⎪-+-⎛⎫⎝⎭+-+- ⎪⎝⎭ 22222221124412a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭令22112a a +=＞，则24231(2)4(2)44(2)444822a t t t a a t t ⎛⎫+-+-+==-+++= ⎪---⎝⎭…，当且仅当4t =，即a 时取等.故2431a a a ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭的最小值为8，故22a b a b +-二、13.【答案】(,3]-∞ 【解析】1x ∵＞，11(1)11311x x x x +=-++=--∴….3a ∴„. 14.【答案】11a b a-＜【解析】110()()a ab ba b a a a b a a b -+-==---∵＜. 11a b a-∴＜ 15.【答案】[9,)+∞【解析】33ab a b =++…，所以1)0…，3，所以9ab ….16.【答案】2-【解析】由题意知123x x +=，1226x x -=∵，即12236x x x +-=， 2336x -=∴，解得21x =-，代入到方程中，得1320m ++=，解得2m =-. 三、17.【答案】（1）原不等式组可化为 2 0,11,x x x -⎧⎨-⎩＜或＞＜＜即01x ＜＜，所以原不等式组的解集为{|01}x x ＜＜. （2）原不等式等价于22623,318,x x x x x ⎧--⎨-⎩≤＜即2260,3180,x x x x ⎧--⎨--⎩＜…因式分解，得(3)(2)0,(6)(3)0,x x x x -+⎧⎨-+⎩＜…所以 2 3,36,x x -⎧⎨-⎩或＜＜剠所以132x --＜≤或36x ＜„.所以不等式的解集为{|3236}x x x --＜≤或≤＜.18.【答案】证明：因为a ，b ，c 都是正实数，且1abc =，所以112a b +…11b c +=…11a c +=…以上三个不等式相加，得1112a b c ⎛⎫++ ⎪⎝⎭…，即111a b c++因为a，b，c不全相等，所以上述三个不等式中的“=”不同时成立.111a b c++＜.19.【答案】（1）当12a=时，有不等式25()102f x x x=-+≤，1(2)02x x⎛⎫--⎪⎝⎭∴„，122x∴剟，即所求不等式的解集为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）1()()0f x x x aa⎛⎫=--⎪⎝⎭∵„，0a＞且方程1()0x x aa⎛⎫--=⎪⎝⎭的两根为1x a=，21xa=，∴当1aa＞，即011a＜＜，不等式的解集为1,aa⎡⎤⎢⎥⎣⎦；当1aa＜，即1a＞，不等式的解集为1,aa⎡⎤⎢⎥⎣⎦；当1aa=，即1a=，不等式的解集为{1}.20.【答案】设矩形温室的左侧边长为 ma，后侧边长为 mb，蔬菜的种植面积为2mS，则800ab=.所以(4)(2)4288082(2)808648 S a b ab b a a b=--=--+=-+-„当且仅当2a b=，即40a=，20b=时等号成立，则648S=最大值.故当矩形温室的左侧边长为40 m，后侧边长为20 m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648 m.21.【答案】（1）因为不等式()0f x＞的解集为(1,3)-，所以1-和3是方程()0f x=的两个实根，从而有(1)30,(3)9330,f a bf a b-=-+=⎧⎨=++=⎩解得1,2,ab=-⎧⎨=⎩（2）由(1)4f=，得1a b+=，又0a＞，0b＞，所以1414()a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭4559b a a b =+++… 当且仅当4b a a b =即1,32,3a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立，所以14a b+的最小值为9. 22.【答案】（1）2560x x --+<∵，2560x x +->∴， (1)(6)0x x -+∴＞，解得6x -＜或1x ＞，∴不等式2560x x --+＜的解集是{| 6 1}x x x -＜或＞. （2）当0a ＜时，()(2)y a x a x =--的图象开口向下，与x 轴交点的横坐标为x a =，2x =，且2a <，()(2)0a x a a --∴＞的解集为{|2}x a x ＜＜.当0a =时，()(2)0a x a x --=，()(2)0a x a x --∴＞无解.当0a ＞时，抛物线()(2)y a x a x =--的图像开口向上，与x 轴交点的横坐标为x a =，2x =.当2a =时，不等式可化为22(2)0x -＞，解得2x ≠. 当2a ＞时，解得2x ＜或x a ＞. 当2a ＜时，解得x a ＜或2x ＞.综上，当0a ＜时，不等式的解集是{|2}x a x ＜＜；当0a =时，不等式的解集是∅；当02a ＜＜时，不等式的解集是{| 2}x x a x ＜或＞；当2a =时，不等式的解集是{|2}x x ≠；当2a ＞时，不等式的解集是{|2}x x x a ＜或＞.第三章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知2()1f x x =+，则[(1)]f f -的值等于（） A .2B .3C .4D .5 2.已知函数()1f x x =+，其定义域为{1,0,1,2}-，则函数的值域为（） A .[0,3]B .{0,3}C .{0,1,2,3}D .{|0}y y …3.函数0y =的定义域是（）A .{|01}x x 剟B .{| 1 1}x x x --＜或＞C .{|01}x x x ≠-＜且D .{}|1 0x x x ≠-≠且4.已知二次函数()y f x =满足(2)(2)f x f x +=-，且函数图像截x 轴所得的线段长为8，则函数()y f x =的零点为（） A .2，6B .2，6-C .2-，6D .2-，6-5.若函数()y f x =的定义域是{|01}x x ≤≤，则函数()()(2)(01)F x f x a f x a a =+++＜＜的定义域是（）A .1|22a a x x -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤≤B .|12a x x a ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭≤≤C .{|1}x a x a --≤≤D .1|2a x a x -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤≤6.如图所示，可表示函数()y f x =的图像的只可能是（）ABCD7.已知函数2()1f x ax bx =++为定义在[2,1]a a -上的偶函数，则a b +的值是（） A .1B .1-C .1或1-D .0或18.若()f x 满足()()f x f x -=-，且在(,0)-∞上是增函数，(2)0f -=，则()0xf x ＜的解集是（） A .(2,0)(0,2)-UB .(,2)(0,2)-∞-UC .(,2)(2,)-∞-+∞UD .(2,0)(2,)-+∞U9.设函数()f x 与()g x 的定义域是{|1}x x ∈≠±R ，函数()f x 是一个偶函数，()g x 是一个奇函数，且1()()1f xg x x -=-，则()f x 等于（） A .2221x x -B .211x -C .221x -D .221xx - 10.已知2()21(0)f x ax ax a =++＞，若()0f m ＜，则(2)f m +与1的大小关系式为（） A .(2)1f m +＜B .(2)1f m +=C .(2)1f m +＞D .(2)1f m +…11.函数()f x =（） A .是奇函数但不是偶函数 B .是偶函数但不是奇函数 C .既是奇函数又是偶函数D .既不是奇函数又不是偶函数12.已知2()2f x x x =+，若存在实数t ，使()3f x t x +„对[1,]x m ∈恒成立，则实数m 的最大值是（） A .6B .7C .8D .9二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）13.已知1,[0,1],()2,[0,1],x f x x x ∈⎧=⎨-∉⎩，当[()]1f f x =时，x ∈__________.14.关于x 的方程240x x a --=有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为__________.15.已知函数719()1x f x x +=+，则()f x 的图像的对称中心是__________，集合{}*|()x f x ∈=N __________.16.已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则52f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知函数2()2||1f x x x =--.（1）利用绝对值及分段函数知识，将函数()f x 的解析式写成分段函数；（2）在坐标系中画出()f x 的图像，并根据图像写出函数()f x 的单调区间和值域.18.（本小题满分12分）已知函数()f x 对任意实数x 均有()2(1)f x f x =-+，且()f x 在区间[0]1，上有解析式2()f x x =. （1）求(1)f -和(1.5)f 的值；（2）写出()f x 在区间[2,2]-上的解析式.19.（本小题满分12分）函数2()1ax bf x x +=+是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求实数a ，b 的值.（2）用定义证明()f x 在(1,1)-上是增函数；（3）写出()f x 的单调减区间，并判断()f x 有无最大值或最小值.如有，写出最大值或最小值（无需说明理由）.20.（本小题满分12分）已知定义域为R 的单调函数()f x ，且(1)f x -的图像关于点(1,0)对称，当0x ＞时，1()3x f x x=-. （1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的t ∈R ，不等式()()22220f t t f t k -+-＜恒成立，求实数k 的取值范围.21.（本小题满分12分）对于定义域为D 的函数()y f x =，若同时满足下列条件：①()f x在D 内单调递增或单调递减；②存在区间[,]a b D ⊆，使()f x 在[,]a b 上的值域为[,]a b ，那么称()()x D y f x =∈为闭函数.（1）求闭函数3y x =-符合条件②的区间[,]a b . （2）判断函数31()(0)4f x x x x=+＞是否为闭函数？并说明理由；（3）判断函数y k =+k 的取值范围.22.（本小题满分12分）设函数()f x 的定义域为R ，当0x ＞时，()1f x ＞，对任意,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=g ，且(2)4f =. （1）求(0)f ，(1)f 的值.（2）证明：()f x 在R 上为单调递增函数.（3）若有不等式1()2f x f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭g ＜成立，求x 的取值范围.第三章测试答案解析一、 1.【答案】D【解析】由条件知(-1)2f =，(2)5f =，故选D . 2.【答案】C【解析】将x 的值依次代入函数表达式可得0，1，2，3，所以函数的值域为{0,1,2,3}，故选C . 3.【答案】C【解析】由条件知10x +≠且0x x -＞，解得0x ＜且1x ≠-.故选C 4.【答案】C【解析】由于函数()y f x =满足(2)(2)f x f x +=-，所以直线2x =为二次函数()y f x =图像的对称轴，根据二次函数图像的性质，图像与x 轴的交点必关于直线2x =对称.又两交点间的距高为8，则必有两交点的横坐标分别为1246x =+=，2242x =-=-.故函数的零点为2-，6.故选C . 5.【答案】A【解析】由条件知01,021,x a x a +⎧⎨+⎩剟剟，又01a ＜＜则122a ax --≤≤，故选A .6.【答案】D【解析】由函数定义可得，任意一个x 有唯一的y 与之对应，故选D . 7.【答案】B【解析】因为函数2()1f x ax bx =++为定义在[2,1]a a -上的偶函数，所以21a a =-，1a =-，0b =，因此1a b +=-，故选B.8.【答案】A【解析】根据题意可知函数是奇函数，且在(,0)-∞，(0,)+∞上是增函数，对()0xf x ＜，分0x ＞，0x ＜进行讨论，可知解集为(2,0)(0,2)-U ，故选A.9.【答案】B【解析】1()()1f x g x x -=-∵，1()()1f x g x x ---=--∴，1()()1f xg x x +=--∴， 21122()111f x x x x =-=-+-∴，21()1f x x =-，故选B . 10.【答案】C【解析】因为2()21(0)f x ax ax a =++＞，所以其图像的对称轴为直线1x =-，所以()(2)0f m f m =--＜，又(0)1f =，所以(2)1f m +＞，故选C .11.【答案】A【解析】由定义城可知x 因此原式化简为()f x =那么根据函数的奇偶性的定义，可知该函数是奇函数不是偶函数，故选A . 12.【答案】C【解析】由题意知，对任意[1,]x m ∈，2()2()3x t x t x +++…恒成立，这个不等式可以理解为()f x t +的图像在直线3y x =的图像的下面时x 的取值范围.要使m 最大，需使两图像交点的横坐标分别为1和m .当1x =时，3y =，代入可求得4t =-（0t =舍去）.进而求得另一个交点为(8,24)，故8m =.故选C. 二、13.【答案】[0,1][2,3]{5}U U【解析】因为1,[0,1],()2,[0,1],x f x x x ∈⎧=⎨-∉⎩所以要满足元[()]1f f x =，需()[0,1]f x ∈，[0,1]x ∈或2[0,1]x -∈或5x =，这样解得x 的取值范围是[0,1][2,3]{5}U U .14.【答案】(0,4)【解析】原方程等价于24x x a -=，在同一坐标系内作出函数24y x x =-与函数y a =的图像，如图所示：平移直线y a =，可得当04a ＜＜时，两图像有4个不同的公共点，相应地方程240x x a --=有4个不相等的实数根，综上所述，可得实数a 的范围为04a ＜＜. 15.(1,7)- {13,7,5,4,3,0,1,2,3,5,11}----- 【解析】因为函数71912()711x f x x x +==+++，则()f x 的图像的对称中心为(1,7)-，集合{|()}{13,7,5,4,3,0,1,2,3,5,11}x f x *∈=-----N 16.【答案】0【解析】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，因此令12x =-，可知11112222f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，分别令32x =-，52x =-，可得302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，502f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，令1x =-.得(0)0f =，因此可知502f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 三、17.【答案】（1）22321,0()2||121,0x x x f x x x x x x ⎧--=--=⎨+-⎩＜….（2）图像如图所示.单调增区间为(1,0)-，(1,)+∞，单调减区间为(,1)-∞-，(0,1). 值域为[2,)-+∞.18.【答案】（1）由题意知(1)2(11)2(0)0f f f -=--+=-=，1111(1,5)(10.5)(0.5)2248f f f =+=-=-⨯=-. （2）当[0,1]x ∈时，2()f x x =；当(1,2]x ∈时，1(0,1]x -∈，211()(1)(1)22f x f x x =--=--；当[1,0)x ∈-时，1[0,1)x +∈， 2()2(1)2(1)f x f x x =-+=-+；当[2,1)x ∈--时，1[1,0)x +∈-，22()2(1)22(11)4(2)f x f x x x ⎡⎤=-+=-⨯-++=+⎣⎦.所以22224(2),[2,1),2(1),[1,0),(),[0,1],1(1),(1,2].2x x x x f x x x x x ⎧+∈--⎪-+∈-⎪⎪=⎨∈⎪⎪--∈⎪⎩19.【答案】（1）2()1ax bf x x +=+∵是奇函数()()f x f x -=-∴， 2211ax b ax bx x -++=-++∴，0b =∴. 故2()1ax f x x =+，又1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭∵，1a =∴ （2）证明：由（1）知2()1xf x x =+，任取1211x x -＜＜＜，()()()()()()1212121222121211111x x x x x xf x f x x x x x ---=-=++++1211x x -∵＜＜＜，1211x x -∴＜＜，120x x -＜，1210x x -＞，2110x +＞，2210x +＞，()()120f x f x -∴＜，即()()12f x f x ＜，()f x ∴在(1,1)-上是增函数.（3）单调减区间为(,1),(1,)-∞-+∞.当1x =-时，min 1()2f x =-；当1x =时，max 1()2f x =.20.【答案】（1）由题意知()f x 的图像关于点(0,0)对称，是奇函数，∴(0)0f = 当0x ＜时，0x -＞，1()3x f x x--=--∴，又∵函数()f x 是奇函数.∴()()f x f x -=-，1()3x f x x=-∴. 综上所述，1(0),()30(0).x x f x x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩（2）2(1)(0)03f f =-=∵＜，且()f x 在R 上单调.∴()f x 在R 上单调递减.由()()22220f t t f t k -+-＜，得()()2222f t t f t k ---＜.∵()f x 是奇函数，∴()()2222f t t f k t --＜，又∵()f x 是减函数， ∴2222t t k t --＞即2320t t k --＞对任意t ∈R 恒成立，∴4120k ∆=+＜，得13k -＜.21.【答案】（1）由题意，3y x =-，在[,]a b 上单调递减，则33,,,b a a b b a ⎧=-⎪=-⎨⎪>⎩解得1,1,a b =-⎧⎨=⎩所以，所求区间为[1,1]-.（2）取11x =，210x =，则()()1273845f x f x ==＜，即()f x 不是(0,)+∞上的减函数.取，1110x -=，21100x =，()()12331010040400f x f x =++=＜，即()f x 不是(0,)+∞上的增函数.所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数.（3）若y k =+[,]a b ，在区间[,]a b 上，函数()f x 的值域为[,]a b，即a k b k ⎧=+⎪⎨=⎪⎩∴a ，b为方程x k =的两个实根，即方程22(21)20(2,)x k x k x x k -++-=-厖有两个不等的实根，故两根均大于等于2-，且对称轴在直线2x =-的右边.当2k -„时，有220,(2)2(21)20,212,2k k k ⎧⎪∆⎪-+++-⎨⎪+⎪-⎩＞＞…解得924k --＜„.当2k -＞时，有220,(21)20,21,2k k k k k k ⎧⎪∆⎪-++-⎨⎪+⎪⎩＞＞…无解.综上所述，9,24k ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦.22.【答案】（1）因为(20)(2)(0)f f f +=g ，所以44(0)f =⋅，所以(0)1f =，又因为24(2)(11)(1)f f f ==+=，且当0x ＞时，()1f x ＞，所以(1)2f =.（2）证明：当0x ＜时，0x -＞，所以()1f x -＞，而(0)[()]()()f f x x f x f x =+-=-g ，所以1()()f x f x =-，所以0()1f x ＜＜，对任意的12,x x ∈R ，当12x x ＜时，有()()()]()()()1212222121f x f x f x x x f x f x f x x -=⎡-+-=--⎣，因为120x x ＜＜，所以120x x -＜，所以()1201f x x -＜＜，即()1210f x x --＜，所以()()120f x f x -＜，即()()12f x f x ＜，所以()f x 在R 上是单调递增函数.（3）因为1()12f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭g ＜，所以11(1)f x f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＜，而()f x 在R 上是单调递增函数，所以111x x ++＜，即10x x+＜，所以210x x +＜，所以0x ＜，所以x 的取值范围是(,0)-∞.。

高中数学人教版B必修一练习题及详解

练习四函数的单调性一、选择题1．若是的单调增区间，，且，则有（）A．B．C．D．2．函数的单调递减区间为（）A．B．C．D．3．下列函数中，在区间上递增的是（）B．C．D．A．4. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（）A．B．C．D．5. 设函数在上是减函数，则有（）A．B．C．D．6. 如果函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题7．函数的单调递增区间是____________.8．已知函数在是增函数，则,,的大小关系是__________________________.9．函数的单调递增区间是_______.10．若二次函数在区间是减函数，在区间上是增函数，则________.三、解答题11. 证明函数在上是增函数.12．判断函数在区间上的单调性，并给出证明．13．已知函数在上是减函数，且，求的取值范围．能力题14．若函数在上是单调递增函数，求的取值范围.15．讨论函数在内的单调性.练习四一、选择题二、填空题7．8．9．10．三、解答题11．设，且，则，则.，∴∴.∴在上是增函数.12．函数在区间上单调递增．证明如下：设，且，则，则．，∴，，，∴，∴在区间上的单调递增.13．函数在上是减函数，且,∴解得. ∴的取值范围是.能力题14．在上是单调增函数,∴ ，解得∴.15．，对称轴.∴若，则在上是增函数；若，则在上是减函数，在上是增函数；若，则在上是减函数.练习五函数的奇偶性一、选择题1．若是奇函数，则其图象关于（）A．轴对称B．轴对称C．原点对称D．直线对称2．若函数是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数图象上的是（）A．B．C．D．3．下列函数中为偶函数的是（）B．C．D．A．4. 如果奇函数在上是增函数，且最小值是5，那么在上是（）A．增函数，最小值是-5 B．增函数，最大值是-5C．减函数，最小值是-5 D．减函数，最大值是-55. 已知函数是奇函数，则的值为（）A．B．C．D．6.已知偶函数在上单调递增，则下列关系式成立的是( )A．B．C．D．二、填空题7．若函数是奇函数，，则的值为____________ .8．若函数是偶函数，且，则与的大小关系为__________________________.9．已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如右图所示，那么f (x) 的值域是 .10．已知分段函数是奇函数，当时的解析式为，则这个函数在区间上的解析式为．三、解答题11. 判断下列函数是否具有奇偶性：(1)； (2) ；(3)； (4)； (5).12．判断函数的奇偶性，并指出它的单调区间.13．已知二次函数的图象关于轴对称，写出函数的解析表达式，并求出函数的单调递增区间. 能力题14．设是定义在上的偶函数,且在上是增函数,则与（）的大小关系是（）A ．B ．C ．D ．与的取值无关若函数15．已知是奇函数，是偶函数，且在公共定义域上有，求的解析式. 练习五一、选择题二、填空题 7． 8． 9．10．三、解答题11．(1)奇函数，(2)非奇非偶，(3)偶函数，(4) 非奇非偶函数，(5)偶函数12．偶函数. ∴函数的减区间是和，增区间是和.13．二次函数的图象关于轴对称，∴，则，函数的单调递增区间为.能力题14．B (提示: 是定义在上的偶函数,且在上是增函数,∴在上是减函数，.,∴，因此. )15．得 .练习六一次函数与二次函数一、选择题1．已知一次函数，满足，，则（）D．A．B．C．2．下列关于函数，的结论正确的是（）A．递增函数B．递减函数C．最小值是2 D．最大值是53．函数的值域为（）A．B．C．D．4. 若二次函数在区间是减函数，在区间上是增函数，则（）A．B．C．D．5. 若二次函数图象关于轴对称，则函数的单调增区间为 ( )A．B．C．D．6.函数上是单调递增的奇函数，则( )A．B．C．D．二、填空题7．二次函数的图象的顶点坐标为________，对称轴方程是_________ .8．已知定义域为，则实数的区值范围是 .9．已知，则直线一定不经过第象限.10．已知是一次函数的图象与轴交点的横坐标，又二次函数的图象与轴有交点则.三、解答题11. 已知二次函数：（1）求它的图象顶点坐标和与轴交点的坐标；（2）作出它的图象；（3）求点关于图象对称轴的对称点的坐标.12．已知函数判断该函数的奇偶性，并求该函数的最小值及单调区间.13．写出二次函数在区间上的最大值和最小值.能力题14．设函数，已知且，求实数的取值范围.15．已知，为常数，且，，且，方程有相等实根.（1）求函数的解析式，函数的最大值，并比较与的大小.若，判断的奇偶性，并证明你的结论.练习六一、选择题二、填空题7．，8．9．三10．三、解答题11．（1）顶点坐标，与轴交点的坐标，；（2）略；（3）二次函数图象对称轴为，∴点关于图象对称轴的对称点为，即.12．偶函数，，单减区间和；单增区间和. 13．当时，；当时，；当时，；当时,.能力题14．，即由于，，代入上式又有可解得的取值范围是.15．（1）由，得；由方程有相等实根，得，并且，即，由得，∴，，∴，故是奇函数.练习七函数的应用一、选择题t01．某学生从家里去学校上学，骑自行车一段时间，因自行车爆胎，后来推车步行，下图中横轴表示出发后的时间，纵轴表示该生离学校的距离，则较符合该学生走法的图是（）2．某商店卖、两种价格不同的商品，由于商品连续两次提价%，同时商品连续两次降价%，结果都以每件元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升、不降的情况相比较，商店盈利的情况是（） A ．多赚元 B ．少赚元 C ．多赚元 D ．利益相同3．拟定从甲地到乙地通话分钟的电话费由给出，其中，是大于或等于的最小整数，(如，，)，则从甲地到乙地通话时间为分钟的话费为（）A ．B ．C ．D ．4．有一批材料可以建成长为的围墙，如果用材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图），则围成的矩形的最大面积是（）A ．B ．C ．D ．5．某商品进货单价为元，若销售价为元，可卖出个，如果销售单价每涨元，销售量就减少个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为（）A ．元B ．元C ．元D ．元6．抛物线型拱桥的跨度是米，拱高是米，建桥时每隔米用一根支柱支撑，其中最长的支柱是（）A ．米B ．米C ．米D ．米二、填空题7．某乡镇现在人均一年占有粮食千克，如果该乡镇人口平均每年增长%，粮食总产量平均每年增长%，那么年后若人均一年占有千克粮食，则函数关于的解析式是______________________.8．某客运公司定客票的方法是：如果行程不超过，票价是元，如果超过，超过部分按元定价，则客运票价元与行程公里数之间的函数关系式是．9．一个高中研究性学习小组对本地区年至年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭万盒．10．某商人将彩电先按原价提高%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了元，则每台彩电原价是元.三、解答题11．把长为的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若求此框架围成平面图形的面积与之间的函数关系式，并求其定义域.12．经市场调查，某商品在过去天内的销售量和价格均为时间（）的函数，且销售量近似地满足（，）；前天价格为（，），后天的价格为（，），试写出该种商品的日销售额与时间的函数关系．13．某商场购进一批单价为元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商场决定提高销售价格．经试验发现，若按每件元的价格销售时，每月能卖件，若按元的价格销售时，每月能卖件，假定每月销售件数（件）是价格（元/件）的一次函数．（1）试求与之间的关系式；（2）在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能时每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？能力题14．某宾馆有相同标准的床位张，根据经验，当该宾馆的床价（即每张床价每天的租金）不超过元时，床位可以全部租出，当床位高于元时，每提高元，将有张床位空闲．为了获得较好的效益，该宾馆要给床位订一个合适的价格，条件是：①要方便结账，床价应为元的整数倍；②该宾馆每日的费用支出为元，床位出租的收入必须高于支出，而且高出得越多越好．若用表示床价，用表示该宾馆一天出租床位的净收入（即除去每日的费用支出后的收入）（1）把表示成的函数，并求出其定义域；（2）试确定该宾馆床位定为多少时既符合上面的两个条件，又能使净收入最多？15．经研究发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述总量所用的时间，开始讲题时，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用表示学生掌握和接受概念的能力，表示提出和讲授概念的时间（单位：分），有以下的公式：（1）开讲后分钟与开讲后分钟比较，学生的接受能力何时强呢？（2）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长的时间？（3）若讲解这道数学题需要的接受能力以及分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲完这道题？练习七一、选择题二、填空题7．8．9．10．三、解答题11．.,由,有.12．13．设（），由解得所以．设利润为，则有所以，当时有最大值为元．能力题14．（1）由已知有，令解得且．所以函数的定义域为．（2）当时，显然当时，取得最大值为（元）；当时，，仅当时，取最大值．又因为，所以当时，取得最大值，最大值为元．比较两种情况的最大值，所以当床位定价为元时净收入最多．15．，，所以．所以开讲后分钟学生的接受能力比开讲后分钟强．当时，，所以是增函数，．当时，是递减的函数，所以，故开讲后钟学生达到最强的接受能力，并维持分钟．当时，令，解得．当时，令，解得则．因此，学生达到或超过的接受能力的时间分钟，小于分钟，故这位老师不能在学生所需状态下讲完这道题．练习九指数与指数函数一、选择题1．计算的结果是（）A．B．C．D．2．将根式化成分数指数幂为（）C．D．A．B．3．某林场计划第一年造林亩，以后每年比前一年多造林％，则第四年造林（）A．亩B．亩C．亩D．亩4．曲线分别是指数函数的图象,则与的大小关系是 ( )A．B．C．D．5．若，则下列不等式中成立的是( )A．B．C．D．6．要得到函数的图象，只需将函数的图象( )A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位二、填空题7．函数是指数函数，则的取值为 . 8．比较下列各组数的大小:(1)______ ; (2) ______;(3)______9．函数的定义域是．10．若，则 .三、解答题11．化简12．已知函数的定义域是，求的取值范围.13．设，是上的偶函数．求的值；证明在上是增函数．能力题14. 已知，当该函数的值域为时，求的取值范围．15. 已知，判断的奇偶性；证明．练习九一、选择题二、填空题7．8．> > >9．10．三、解答题11．.12．由，得，因为定义域为，所以. 13．因为是上的偶函数，所以，即，解得，因为所以．在上任取，且，则，因为且，所以，即，且，所以式，即．所以在上是增函数．能力题14．设，则，即．因为，所以，所以．15．任取且，则．因为所以是偶函数．当时，，即，所以．所以，所以．因为是偶函数，所以当时，．所以当且时，都有.练习十对数与对数函数一、选择题1．若，那么用表示是（）A．B．C．D．2．若等于（）C．D．A．B．3．下列函数中，在区间(0，+∞)上是减函数的是（）A．B．C．D．4．下列函数与有相同图象的一个函数是（）A．B．C．D．5．函数（）A．是偶函数，在区间上单调递增B．是偶函数，在区间上单调递减C．是奇函数，在区间上单调递增D．是奇函数，在区间上单调递减6．已知，为不等于1的正数，则下列关系中正确的是（）A．B．C．D．二、填空题7．使对数式有意义的的取值范围是．8．比较大小； 1；0；0；；.9．函数与的图像关于对称．10．函数的值域是__________.三、解答题11．已知函数的定义域是，函数的定义域是，确定集合、的关系？12．已知函数在区间上的最大值是最小值的倍，求的值．13．已知函数且．（1）求函数的定义域；（2）求使的的取值范围．能力题14．（1）若函数的定义域为，求的取值范围；（2）若函数的值域为，求的取值范围．15．已知函数．（1）求函数的定义域；（2）讨论函数的奇偶性和单调性．练习十一、选择题二、填空题7．且8．9．轴10．三、解答题11．∵或，,∴．12．∵函数在区间上是减函数，∴．13．（1）函数的定义域是；（2）当时，；当时，．能力题14．（1）恒成立，则，得．（2）须取遍所有的正实数，当时，符合条件；当时，则，得，即．15．（1）函数的定义域为；（2）∵，∴为奇函数；在上为减函数．练习十一幂函数一、选择题1．下列所给出的函数中，是幂函数的是（）A．B．C．D．2．所有幂函数的图象都通过点（）A．B．C．D．3．函数在区间上的最大值是（）B．A．C．D．4．下列函数中为偶函数的是（）A．y =B．y = xC．y = x2 D．y = x3+15．当时，函数与函数的图象（）A．关于原点对称B．关于轴对称C．关于轴对称D．关于直线对称6．若函数在上为增函数，则的取值范围是（）A．B．C．R D．二、填空题7．函数的定义域是．8．比较大小；；.9．已知幂函数的图象经过点，这个函数的解析式为．10．已知幂函数，若，则幂函数在区间上是增函数；若，则幂函数在区间上是减函数．三、解答题11．比较下列两个代数式值的大小：（1），；（2），12．已知函数f (x) =-2.（1）求f (x) 的定义域；（2）证明函数f (x) =-2在 (0，+∞)上是减函数.13．已知幂函数轴对称，试确定的解析式.能力题14．如图所示，曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知分别取四个值，写出图象，，，相应的解析式.15．求证：函数在R上为奇函数且为增函数.练习十一一、选择题二、填空题7．8．9．10．，三、解答题11．；≤12．（1）f (x) 的定义域是｛x∈R| x≠0｝；（2）设x1，x2是(0，+∞)上的两个任意实数，且x1 < x2，则x = x1-x2 < 0，y = f (x1) - f (x2) =-2- (-2) =-=.因为x2- x1 = -x >0，x1x2 >0 , 所以y >0.因此 f (x) =-2是 (0，+∞)上的减函数.13．由能力题14．：；：；：；：15．∵，∴在R上为奇函数.设x1，x2是R上的两个任意实数，且x1 < x2，则x = x1- x2 < 0，y = f (x1) - f (x2) =, 因为，=，由于，，且不能同时为0，否则，故.所以y<0.因此函数在R上为增函数.。

新教材人教B版高中数学选择性必修第一册全册书各章节课时练习题及章末综合测验含答案解析

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第一章空间向量与立体几何...................................................................................................... - 2 -1.1空间向量及其运算......................................................................................................... - 2 -1.1.1空间向量及其运算.............................................................................................. - 2 -1.1.2空间向量基本定理.............................................................................................. - 9 -1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系................................................................ - 17 -1.2空间向量在立体几何中的应用................................................................................... - 25 -1.2.1空间中的点、直线与空间向量........................................................................ - 25 -1.2.2空间中的平面与空间向量................................................................................ - 32 -1.2.3直线与平面的夹角............................................................................................ - 44 -1.2.4二面角 ............................................................................................................... - 53 -1.2.5空间中的距离 ................................................................................................... - 70 -第一章综合测验 ................................................................................................................... - 81 - 第二章平面解析几何 ................................................................................................................... - 95 -2.1坐标法 .......................................................................................................................... - 95 -2.2直线及其方程............................................................................................................. - 102 -2.2.1直线的倾斜角与斜率...................................................................................... - 102 -2.2.2直线的方程 ..................................................................................................... - 108 -2.2.3两条直线的位置关系...................................................................................... - 119 -2.2.4点到直线的距离.............................................................................................. - 126 -2.3圆及其方程 ................................................................................................................ - 133 -2.3.1圆的标准方程 ................................................................................................. - 133 -2.3.2圆的一般方程 ................................................................................................. - 140 -2.3.3直线与圆的位置关系...................................................................................... - 146 -2.3.4圆与圆的位置关系.......................................................................................... - 154 -2.4曲线与方程................................................................................................................. - 162 -2.5椭圆及其方程............................................................................................................. - 168 -2.5.1椭圆的标准方程.............................................................................................. - 168 -2.5.2椭圆的几何性质.............................................................................................. - 176 -2.6双曲线及其方程......................................................................................................... - 186 -2.6.1双曲线的标准方程.......................................................................................... - 186 -2.6.2双曲线的几何性质.......................................................................................... - 194 -2.7抛物线及其方程......................................................................................................... - 202 -2.7.1抛物线的标准方程.......................................................................................... - 202 -2.7.2抛物线的几何性质.......................................................................................... - 209 -第二章综合训练 ................................................................................................................. - 217 -第一章空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算1.1.1 空间向量及其运算1.下列命题中为真命题的是( ) A.向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度相等B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点,则它们的终点构成一个圆C.空间向量就是空间中的一条有向线段D.不相等的两个空间向量的模必不相等2.下列向量的运算结果为零向量的是( ) A.BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗B.PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +GM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QG ⃗⃗⃗⃗⃗D.BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗3.已知e 1,e 2为单位向量,且e 1⊥e 2,若a =2e 1+3e 2,b =k e 1-4e 2,a ⊥b ,则实数k 的值为( ) A.-6 B.6C.3D.-3a ·b=0,e 1·e 2=0,|e 1|=|e 2|=1,所以(2e 1+3e 2)·(k e 1-4e 2)=0,所以2k-12=0, 所以k=6.故选B .4.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ,点E ,F 分别是BC ,AD 的中点,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A.a 2 B.12a 2 C .14a 2 D .√34a 2⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·12AD ⃗⃗⃗⃗⃗=14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14a×a×12+a×a×12=14a 2.5.(多选)已知四边形ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD 连接AC ,BD ,PB ,PC ,PD ,则下列各组向量中,数量积一定为零的是( ) A.PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B .DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与PB ⃗⃗⃗⃗⃗ C.PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ D .PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(BA⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2+(BC⃗⃗⃗⃗⃗ )2≠0. 因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥CD , 即PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,又因为AD ⊥AB ,AD ⊥PA ,所以AD ⊥平面PAB ,所以AD ⊥PB ,所以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,同理PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,因此B,C,D 中的数量积均为0.故选B,C,D .6.设e 1,e 2是平面内不共线的向量,已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+k e 2,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1+3e 2,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1-e 2,若A ,B ,D 三点共线,则k= .87.化简:12(a +2b -3c )+5(23a -12b +23c)-3(a -2b +c )= .+92b -76c8.如图,平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,AB=AD=1,AA'=2,∠BAD=∠BAA'=∠DAA'=60°,则AC'的长为 .√11AC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CC'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12+12+22+2×1×1×cos60°+2×1×2×cos60°+2×1×2×cos60°=11,则|AC'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√11. 9.在四面体ABCD 中,E ,F 分别为棱AC ,BD 的中点,求证:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EF ⃗⃗⃗⃗⃗ .=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +2CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=4EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =右边,得证. 10.如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是C 1D 1,D 1D 的中点,正方体的棱长为1. (1)求<CE⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ >的余弦值; (2)求证:BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EF ⃗⃗⃗⃗⃗ .⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12.又|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√52,所以cos <CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF⃗⃗⃗⃗⃗ >=25.1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ), 所以BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EF ⃗⃗⃗⃗⃗ .11.已知空间向量a =(t ,1,t ),b =(t-2,t ,1),则|a -b |的最小值为( ) A.√2 B.√3C.2D.4a =(t ,1,t ),b =(t-2,t ,1),∴a -b =(2,1-t ,t-1),则|a-b |=√22+(1-t )2+(t -1)2=√2(t -1)2+4, ∴当t=1时,|a-b |取最小值为2.故选C .12.设平面上有四个互异的点A ,B ,C ,D ,已知(DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ -2DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,则△ABC 是( ) A.直角三角形 B .等腰三角形 C.钝角三角形 D .锐角三角形DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ -2DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=0,所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |,即△ABC 是等腰三角形. 13.如图,已知PA ⊥平面ABC ,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC 等于( )A.6√2 B .6C.12D .144PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =36+36+36+2×36×cos60°=144,所以PC=12. 14.给出下列几个命题:①方向相反的两个向量是相反向量;②若|a|=|b|,则a=b 或a=-b ;③对于任意向量a ,b ,必有|a+b|≤|a|+|b|.其中所有真命题的序号为 .①,长度相等且方向相反的两个向量是相反向量,故①错误;对于②,若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等,但方向没有任何联系,故不正确;只有③正确.15.等边三角形ABC 中,P 在线段AB 上,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数λ的值为 .-√22|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a (a>0),由题知,0<λ<1.如图, CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |cos A=a 2λ-12a 2, PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(1-λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(λ-1)|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=λ(λ-1)a 2, 则a 2λ-12a 2=λ(λ-1)a 2, 解得λ=1-√22λ=1+√22舍.16.如图,平面α⊥平面β,AC ⊥AB ,BD ⊥AB ,且AB=4,AC=6,BD=8,用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示CD ⃗⃗⃗⃗⃗ = ,|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |= .−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2√29CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2 =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16+36+64=116,∴|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√29.17.已知ABCD-A'B'C'D'是平行六面体,AA'的中点为E ,点F 为D'C'上一点,且D'F=23D'C'.(1)化简:12AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ;(2)设点M 是底面ABCD 的中心,点N 是侧面BCC'B'对角线BC'上的34分点(靠近C'),设MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =αAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +βAD ⃗⃗⃗⃗⃗ +γAA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,试求α,β,γ的值.由AA'的中点为E ,得12AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 又BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =A 'D '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,D'F=23D'C',因此23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23D 'C '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =D 'F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .从而12AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =EA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 'D '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 'F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EF⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+34(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(-AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+34(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,因此α=12,β=14,γ=34.18.如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,M ,N 分别是A 1B ,B 1C 1上的点,且BM=2A 1M ,C 1N=2B 1N.设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c . (1)试用a ,b ,c 表示向量MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)若∠BAC=90°,∠BAA 1=∠CAA 1=60°,AB=AC=AA 1=1,求MN 的长.MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(c-a )+a+13(b-a ) =13a+13b+13c.(2)因为(a+b+c )2=a 2+b 2+c 2+2a ·b+2b ·c+2a ·c=1+1+1+0+2×1×1×12+2×1×1×12=5,所以|a+b+c|=√5,所以|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=13|a+b+c |=√53,即MN=√53. 19.如图所示,已知线段AB 在平面α内,线段AC ⊥α,线段BD ⊥AB ,且AB=7,AC=BD=24,线段BD 与α所成的角为30°,求CD 的长.AC ⊥α,可知AC ⊥AB ,过点D 作DD 1⊥α, D 1为垂足,连接BD 1,则∠DBD 1为BD 与α所成的角,即∠DBD 1=30°,所以∠BDD 1=60°,因为AC ⊥α,DD 1⊥α,所以AC ∥DD 1,所以<CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=60°,所以<CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=120°.又CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 因为BD ⊥AB ,AC ⊥AB , 所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.故|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗=242+72+242+2×24×24×cos120°=625, 所以|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=25,即CD 的长是25.20.如图所示,在矩形ABCD 中,AB=1,BC=a ,PA ⊥平面ABCD (点P 位于平面ABCD 的上方),则边BC 上是否存在点Q ,使PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ?Q (点Q 在边BC 上),使PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥QD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 连接AQ ,因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥QD. 又PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 又PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 即点Q 在以边AD 为直径的圆上,圆的半径为a2.又AB=1,所以当a2=1,即a=2时,该圆与边BC 相切,存在1个点Q 满足题意; 当a2>1,即a>2时,该圆与边BC 相交,存在2个点Q 满足题意; 当a 2<1,即a<2时,该圆与边BC 相离,不存在点Q 满足题意. 综上所述,当a ≥2时,存在点Q ,使PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 当0<a<2时,不存在点Q ,使PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .1.1.2 空间向量基本定理1.如图所示,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 为AC 与BD 的交点.若A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则下列向量中与B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( )A.-12a +12b +c B.12a +12b +c C.12a -12b +c D.-12a -12b +c1M =B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=c +12(-a +b )=-12a +12b +c .2.对于空间一点O 和不共线的三点A ,B ,C ,且有6OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( ) A.O ,A ,B ,C 四点共面 B.P ,A ,B ,C 四点共面 C.O ,P ,B ,C 四点共面 D.O ,P ,A ,B ,C 五点共面6OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )+3(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ),即AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共面.又三个向量的基线有同一公共点P ,∴P ,A ,B ,C 四点共面. 3.(多选)已知点M 在平面ABC 内,并且对空间任意一点O ,有OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x 的值不可能为 ( ) A.1 B .0 C .3D .13OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且M ,A ,B ,C 四点共面,∴x+13+13=1,∴x=13.4.已知向量a ,b ,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +2b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-5a +6b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =7a -2b ,则一定共线的三点是( ) A.A ,B ,D B .A ,B ,C C.B ,C ,D D .A ,C ,DAD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a +6b =3(a +2b )=3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点A ,所以A ,B ,D 三点共线. 5.下列说法错误的是( )A.设a ,b 是两个空间向量,则a ,b 一定共面B.设a ,b 是两个空间向量,则a ·b =b ·aC.设a ,b ,c 是三个空间向量,则a ,b ,c 一定不共面D.设a ,b ,c 是三个空间向量,则a ·(b+c )=a ·b+a ·c设a ,b 是两个空间向量,则a ,b 一定共面,正确,因为向量可以平移;B.设a ,b 是两个空间向量,则a ·b=b ·a ,正确,因为向量的数量积满足交换律;C.设a ,b ,c 是三个空间向量,则a ,b ,c 可能共面,可能不共面,故C 错误;D.设a ,b ,c 是三个空间向量,则a ·(b+c )=a ·b+a ·c ,正确,因为向量的数量积满足分配律.故选C .6.设e 1,e 2是空间两个不共线的向量,已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1+k e 2,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =5e 1+4e 2,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-e 1-2e 2,且A ,B ,D 三点共线,实数k= .AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =7e 1+(k+6)e 2,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,故AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 即7e 1+(k+6)e 2=x e 1+xk e 2,故(7-x )e 1+(k+6-xk )e 2=0,又e 1,e 2不共线, ∴{7-x =0,k +6-kx =0,解得{x =7,k =1,故k 的值为1. 7.在以下三个命题中,所有真命题的序号为 .①三个非零向量a ,b ,c 不能构成空间的一个基底,则a ,b ,c 共面;②若两个非零向量a ,b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则a ,b 共线; ③若a ,b 是两个不共线的向量,而c=λa +μb (λ,μ∈R 且λμ≠0),则{a ,b ,c }构成空间的一个基底.与a ,b 共面,不能构成基底.8.已知平行六面体OABC-O'A'B'C',且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OO '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c . (1)用a ,b ,c 表示向量AC'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)设G ,H 分别是侧面BB'C'C 和O'A'B'C'的中心,用a ,b ,c 表示GH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .AC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OO '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b+c-a .(2)GH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =GO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-OG ⃗⃗⃗⃗⃗ +OH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+12(OB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OO '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12(a+b+c+b )+12(a+b+c+c )=12(c-b ).9.已知三个向量a ,b ,c 不共面,并且p =a +b -c ,q =2a -3b -5c ,r =-7a +18b +22c ,向量p ,q ,r 是否共面?λ,μ,使p =λq +μr ,则a +b -c =(2λ-7μ)a +(-3λ+18μ)b +(-5λ+22μ)c .∵a ,b ,c 不共面,∴{2λ-7μ=1,-3λ+18μ=1,-5λ+22μ=-1,解得{λ=53,μ=13,即存在实数λ=53,μ=13,使p =λq +μr ,∴p ,q ,r 共面.10.如图所示,四边形ABCD 和ABEF 都是平行四边形,且不共面,M ,N 分别是AC ,BF 的中点.判断CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 与MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是否共线?M ,N 分别是AC ,BF 的中点,而四边形ABCD ,ABEF 都是平行四边形,∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +12FB⃗⃗⃗⃗⃗ .又MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −12FB⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +12FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −12FB⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FN ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即CE⃗⃗⃗⃗⃗ 与MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线.11.如图,梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB=2CD ,点O 为空间内任意一点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,向量OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x a +y b +z c ,则x ,y ,z 分别是 ( ) A.1,-1,2 B.-12,12,1 C.12,-12,1 D.12,-12,-1⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12OA⃗⃗⃗⃗⃗ −12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a -12b+c ,因此,x=12,y=-12,z=1.故选C .12.在平行六面体ABCD-EFGH 中,若AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2y BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +3z DH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x+y+z 等于( )A.76 B .23C .34D .56于AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,对照已知式子可得x=1,-2y=1,3z=1,故x=1,y=-12,z=13,从而x+y+z=56.13.(多选)在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P ,M 为空间任意两点,如果有PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +7BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +6AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么对点M 判断错误的是( ) A.在平面BAD 1内 B .在平面BA 1D 内 C.在平面BA 1D 1内 D .在平面AB 1C 1内=PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +7BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +6AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +6BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +6BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +6(PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )-4(PD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =11PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -6PB ⃗⃗⃗⃗⃗ -4PD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,且11-6-4=1, 于是M ,B ,A 1,D 1四点共面.14.已知空间单位向量e 1,e 2,e 3,e 1⊥e 2,e 2⊥e 3,e 1·e 3=45,若空间向量m =x e 1+y e 2+z e 3满足:m ·e 1=4,m ·e 2=3,m ·e 3=5,则x+y+z= ,|m |=.√34为e 1⊥e 2,e 2⊥e 3,e 1·e 3=45,空间向量m =x e 1+y e 2+z e 3满足:m ·e 1=4,m ·e 2=3,m ·e 3=5,所以{(xe 1+ye 2+ze 3)·e 1=4,(xe 1+ye 2+ze 3)·e 2=3,(xe 1+ye 2+ze 3)·e 3=5,即{x +45z =4,y =3,45x +z =5,解得{x =0,y =3,z =5,所以x+y+z=8,|m |=√34.15.已知O 是空间任一点,A ,B ,C ,D 四点满足任三点均不共线,但四点共面,且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +3y CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +4z DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则2x+3y+4z= .1=2x BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +3y CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +4z DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2x OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -3y OC ⃗⃗⃗⃗⃗ -4z OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .由四点共面的充要条件知-2x-3y-4z=1, 即2x+3y+4z=-1.16.如图,设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点,E 为OC 的中点,若AE⃗⃗⃗⃗⃗ =12OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +x OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求x ,y 的值.AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-32OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以x=12,y=-32.17.已知非零向量e 1,e 2不共线,如果AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1+e 2,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+8e 2,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3e 1-3e 2,求证:A ,B ,C ,D 四点共面.:令λ(e 1+e 2)+μ(2e 1+8e 2)+v (3e 1-3e 2)=0,则(λ+2μ+3v )e 1+(λ+8μ-3v )e 2=0.∵e 1,e 2不共线,∴{λ+2μ+3v =0,λ+8μ-3v =0.易知{λ=-5,μ=1,v =1是其中一组解,则-5AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.∴A ,B ,C ,D 四点共面.证法二:观察易得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2e 1+8e 2)+(3e 1-3e 2)=5e 1+5e 2=5(e 1+e 2)=5AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .由共面向量知,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共面. 又它们有公共点A ,∴A ,B ,C ,D 四点共面.18.如图,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 是B 1D 1的中点,求证:B 1C ∥平面ODC 1.1C ⃗⃗ =B 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +C 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=B 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵O 是B 1D 1的中点,∴B 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面,且B 1C ⊄平面OC 1D. ∴B 1C ∥平面ODC 1.19.如图所示,四边形ABCD 是空间四边形,E ,H 分别是边AB ,AD 的中点,F ,G 分别是边CB ,CD 上的点,且CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ .求证:四边形EFGH 是梯形.E ,H 分别是边AB ,AD 的中点,∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AE⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 又FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =CG ⃗⃗⃗⃗⃗ −CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34FG⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥FG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=34|FG ⃗⃗⃗⃗⃗ |. ∵点F 不在EH 上,∴四边形EFGH 是梯形. 20.已知平行四边形ABCD ,从平面ABCD 外一点O 引向量OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =k OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =k OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .求证:(1)点E ,F ,G ,H 共面; (2)直线AB ∥平面EFGH.∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴k OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +k AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =k OB⃗⃗⃗⃗⃗ . 而OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =k OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +k AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 同理,EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =k AC⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴EG ⃗⃗⃗⃗⃗ k =EF ⃗⃗⃗⃗⃗ k+EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ k,即EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EF ⃗⃗⃗⃗⃗ +EH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 又它们有同一公共点E ,∴点E ,F ,G ,H 共面. (2)由(1)知EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥EF⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AB ∥EF .又AB ⊄平面EFGH , ∴AB 与平面EFGH 平行,即AB ∥平面EFGH.1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系1.已知向量a =(1,-2,1),a +b =(-1,2,-1),则向量b 等于( ) A.(2,-4,2) B .(-2,4,-2) C.(-2,0,-2) D .(2,1,-3)2.向量a =(1,2,x ),b =(2,y ,-1),若|a |=√5,且a ⊥b ,则x+y 的值为( ) A.-2 B .2 C.-1 D .1{√12+22+x 2=√5,2+2y -x =0,即{x=0,y=-1,∴x+y=-1.3.若△ABC中,∠C=90°,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则k的值为()A.√10B.-√10C.2√D.±√10⃗⃗⃗ =(-6,1,2k),CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,2,-k),则CB⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(-6)×(-3)+2+2k(-k)=-2k2+20=0,∴k=±√10.4.若△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形=(3,4,2),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,1,3),BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-3,1).由AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ >0,得A为锐角;由CA⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB⃗⃗⃗⃗⃗ >0,得C为锐角;由BA⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ >0,得B为锐角.所以△ABC为锐角三角形.5.(多选)如图所示,设Ox,Oy是平面内相交成θ(θ≠π2)角的两条数轴,e1,e2分别是与x,y轴正方向同向的单位向量,则称平面坐标系xOy为θ反射坐标系,若OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x e1+y e2,则把有序数对(x,y)叫做向量OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的反射坐标,记为OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y),在θ=2π3的反射坐标系中,a=(1,2),b=(2,-1).则下列结论正确的是()A.a-b=(-1,3)B.|a|=√3C.a⊥bD.a∥b=(e1+2e2)-(2e1-e2)=-e1+3e2,则a-b =(-1,3),故A 正确; |a |=√(e 1+2e 2)2=√5+4cos2π3=√3,故B 正确;a ·b =(e 1+2e 2)·(2e 1-e 2)=2e 12+3e 1·e 2-2e 22=-32,故C 错误;D 显然错误.6.已知向量a =(1,2,3),b =(x ,x 2+y-2,y ),并且a ,b 同向,则x+y 的值为 .a ∥b ,所以x1=x 2+y -22=y3,即{y =3x ,①x 2+y -2=2x ,②把①代入②得x 2+x-2=0,即(x+2)(x-1)=0, 解得x=-2或x=1. 当x=-2时,y=-6;当x=1时,y=3.则当{x =-2,y =-6时,b =(-2,-4,-6)=-2a ,向量a ,b 反向,不符合题意,故舍去. 当{x =1,y =3时,b =(1,2,3)=a , a 与b 同向,符合题意,此时x+y=4.7.已知向量a =(5,3,1),b =-2,t ,-25,若a 与b 的夹角为钝角,则实数t 的取值范围为 . 答案-∞,-65∪-65,5215解析由已知得a ·b =5×(-2)+3t+1×-25=3t-525,因为a 与b 的夹角为钝角,所以a ·b <0,即3t-525<0,所以t<5215.若a 与b 的夹角为180°,则存在λ<0,使a =λb (λ<0), 即(5,3,1)=λ-2,t ,-25, 所以{5=-2λ,3=tλ,1=-25λ,解得{λ=-52,t =-65, 故t 的取值范围是-∞,-65∪-65,5215.8.已知O 为坐标原点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,2),OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2),点Q 在直线OP 上运动,则当QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时,求Q 的坐标. 解设OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -λOP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ,2-λ,3-2λ),QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -λOP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-λ,1-λ,2-2λ),所以QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ,2-λ,3-2λ)·(2-λ,1-λ,2-2λ)=2(3λ2-8λ+5)=23λ-432-13.当λ=43时,QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值,此时点Q 的坐标为43,43,83.9.已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长AB=2,AB 1⊥BC 1,点O ,O 1分别是棱AC ,A 1C 1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求该三棱柱的侧棱长;(2)若M 为BC 1的中点,试用向量AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示向量AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (3)求cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >.设该三棱柱的侧棱长为h ,由题意得A (0,-1,0),B (√3,0,0),C (0,1,0),B 1(√3,0,h ),C 1(0,1,h ),则AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,h ),BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,h ),因为AB 1⊥BC 1,所以AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3+1+h 2=0,所以h=√2.(2)AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .(3)由(1)可知AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,√2),BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,0), 所以AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3+1=-2,|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,所以cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=2√6=-√66.10.(多选)已知点P 是△ABC 所在的平面外一点,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,4),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0),则( ) A.AP ⊥AB B.AP ⊥BP C.BC=√53 D.AP ∥BC⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2-2+4=0,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AP ⊥AB ,故A 正确;BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-4)+(1,-2,1)=(3,-3,-3),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3+6-3=6≠0,∴AP 与BP 不垂直,故B 不正确;BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0)-(-2,1,4)=(6,1,-4),∴|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√62+12+(-4)2=√53,故C 正确;假设AP⃗⃗⃗⃗⃗ =k BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则{1=6k ,-2=k ,1=-4k ,无解,因此假设不成立,即AP 与BC 不平行,故D 不正确.11.已知点A (1,0,0),B (0,-1,1),若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点)的夹角为120°,则λ的值为( ) A.√66 B .-√66C.±√66D .±√6OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1),OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-λ,λ), cos120°=(OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2λ2+1×2=-12,可得λ<0,解得λ=-√66.故选B .12.已知点A (1,-1,2),B (5,-6,2),C (1,3,-1),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影为 .4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,-6,2)-(1,-1,2)=(4,-5,0),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3,-1)-(1,-1,2)=(0,4,-3), ∴cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=√42+(-5)×√42+(-3)=-5√41,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ > =√42+(-5)2×-5√41=-4.13.已知空间向量a =(1,-2,3),则向量a 在坐标平面xOy 上的投影向量是 .-2,0)14.已知A ,B ,C 三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ ),则点P 的坐标是 .,12,0)CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,3,-4),设P (a ,b ,c ), 则(a-2,b+1,c-2)=(3,32,-2),∴a=5,b=12,c=0,∴P (5,12,0). 15.如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,侧棱P A ⊥底面ABCD ,AB=√3,BC=1,P A=2,E 为PD 的中点.建立空间直角坐标系, (1)求cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB⃗⃗⃗⃗⃗ >; (2)在侧面P AB 内找一点N ,使NE ⊥平面P AC ,求N 点的坐标.解(1)由题意,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,0,0),B (√3,0,0),C (√3,1,0),D (0,1,0),P (0,0,2),E 0,12,1,从而AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,-2). 则cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||PB ⃗⃗⃗⃗⃗ | =2√7=3√714.∴<AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >的余弦值为3√714. (2)由于N 点在侧面P AB 内,故可设N 点坐标为(x ,0,z ),则NE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-x ,12,1-z , 由NE ⊥平面P AC 可得,{NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP⃗⃗⃗⃗⃗ =0,NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{(-x ,12,1-z)·(0,0,2)=0,(-x ,12,1-z)·(√3,1,0)=0,化简得{z -1=0,-√3x +12=0,∴{x =√36,z =1,即N 点的坐标为√36,0,1.16.已知点A (0,2,3),B (-2,1,6),C (1,-1,5).(1)求以向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在有向线段为边的平行四边形的面积; (2)若|a |=√3,且向量a 分别与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直,求向量a .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-1,3),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-3,2), 设θ为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角, 则cos θ=AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4+1+9·√1+9+4=12,∴sin θ=√32.∴S ▱=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |sin θ=7√3. ∴以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为边的平行四边形面积为7√3. (2)设a =(x ,y ,z ),由题意,得{-2x -y +3z =0,x -3y +2z =0,x 2+y 2+z 2=3.解得{x =1,y =1,z =1或{x =-1,y =-1,z =-1.∴a =(1,1,1)或a =(-1,-1,-1). 17.P是平面ABC外的点,四边形ABCD是平行四边形,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-4),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0),AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,-1).(1)求证:P A ⊥平面ABCD ; (2)对于向量a =(x 1,y 1,z 1),b =(x 2,y 2,z 2),c =(x 3,y 3,z 3),定义一种运算:(a×b )·c =x 1y 2z 3+x 2y 3z 1+x 3y 1z 2-x 1y 3z 2-x 2y 1z 3-x 3y 2z 1,试计算(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的绝对值;说明其与几何体P-ABCD 的体积关系,并由此猜想向量这种运算(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的绝对值的几何意义.⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-4)·(-1,2,-1)=-2+(-2)+4=0,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AP ⊥AB.同理,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,-1)·(4,2,0)=-4+4+0=0,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗ , 即P A ⊥AD.又AB ⊂平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD ,AB ∩AD=A ,∴P A ⊥平面ABCD.(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=48, 又cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=√105,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√21,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5,|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6, V=13|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |·sin <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ >·|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=16,可得|(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=3V P-ABCD . 猜测:|(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |在几何上可表示以AB ,AD ,AP 为棱的平行六面体的体积(或以AB ,AD ,AP 为棱的四棱柱的体积).18.正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是边长为4的正方形,A 1C 1与B 1D 1交于点N ,BC 1与B 1C 交于点M ,且AM ⊥BN ,建立空间直角坐标系. (1)求AA 1的长; (2)求<BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >;(3)对于n 个向量a 1,a 2,…,a n ,如果存在不全为零的n 个实数λ1,λ2,…,λn ,使得λ1a 1+λ2a 2+…+λn a n =0成立,则这n 个向量a 1,a 2,…,a n 叫做线性相关,不是线性相关的向量叫线性无关,判断AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是否线性相关,并说明理由.以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设AA 1的长为a ,则B (4,4,0),N (2,2,a ),BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,a ),A (4,0,0),M (2,4,a 2),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,4,a2),由BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,得BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即a=2√2,即AA 1=2√2.(2)BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,2√2),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,0,2√2),cos <BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√63, <BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=arccos √63.(3)由AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,4,√2),BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,2√2),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-4,0),λ1(-2,4,√2)+λ2(-2,-2,2√2)+λ3(0,-4,0)=(0,0,0),得λ1=λ2=λ3=0,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 线性无关.1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.1 空间中的点、直线与空间向量1.已知l 1的方向向量为v 1=(1,2,3),l 2的方向向量为v 2=(λ,4,6),若l 1∥l 2,则λ等于( ) A.1 B .2 C .3 D .4l 1∥l 2,得v 1∥v 2,得1λ=24=36,故λ=2.2.空间中异面直线a 与b 所成角的取值范围是( ) A.[0,π] B.(0,π) C.(0,π2] D.(0,π2),空间中异面直线a 与b 所成角的取值范围是(0,π2]. 3.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,若E 为A 1C 1的中点,则直线CE 垂直于( ) A.BDB.ACC.A 1DD .A 1A。

人教B版数学必修一综合测试附答案

人教B 版数学必修一本册综合测试附解析时间：90分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知集合A ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y | y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x >1，则A ∩B ＝( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫y | 0<y <12 B ．{y |0<y <1} C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫y | 12<y <1D ．∅B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪⎭⎪⎫y ＝⎝ ⎛12x，x >1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪0<y <12，∴A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪0<y <12，故选A ．2．已知f (x ＋1)＝x 2＋1，则f (x －2)＝( ) A ．x 2－6x ＋10 B ．(x －2)2＋1 C ．(x ＋1)2＋1D ．x 2－23．已知集合{x |mx 2＋2x －1＝0}有且只有一个元素，则m 的值是( ) A ．0 B ．1 C ．0或1D ．0或－14．幂函数f (x )＝x 45，若0<x 1<x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22与f (x 1)＋f (x 2)2的大小关系是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f (x 1)＋f (x 2)2B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝f (x 1)＋f (x 2)2D ．无法确定5．(2018·天津卷)已知a ＝log 372，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1413，c ＝log1315，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b6．根据表格中的数据，可以断定：方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间是( )x －1 01 2 3 e x 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x ＋21234 5A ．(2,3) C ．(0,1)D ．(－1,0)7．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝512－xB ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xC ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1 D ．y ＝1－2x8．如果函数f (x )＝(a 2－1)x 在R 上是减函数，那么实数a 的取值范围是( ) A ．|a |>1 B ．|a |<2 C ．|a |>3D ．1<|a |< 29．对于每个实数x ，设f (x )取y ＝x 2－3x ＋2，y ＝x －1，y ＝5－x 三个函数中的最小值，则f (x )的最大值是( )A ．－1B ．0C ．1D ．210．若函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象如下图所示，则下列函数图象正确的是( )11．(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A ．y ＝ln(1－x )B ．y ＝ln(2－x )C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x )12．已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52的值是( )A ．0B ．12C ．1D ．52二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫－250－30.064＋3log 325＋lg 2－lg 15的结果是______．14．设实数a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，12，1，3，如果函数y ＝x a 是定义域为R 的奇函数，则a 的值的集合为________．15．若函数f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x ，则f (2)，g (0)，f (3)的大小关系是____________．16．已知函数f (x )满足条件：①对任意x 1，x 2，且x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2)； ②f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)．那么满足这2个条件的函数解析式为__________．(举一例即可) 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知集合A ＝{x |3≤x <6}，B ＝{y |y ＝2x,2≤x <3}． (1)求A ∩B ；(2)已知C ＝{x |a <x <a ＋1}，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围．18．(12分)已知函数f (x )＝x 21＋x 2，x ∈R .(1)求f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 的值；(2)计算f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14.19．(12分)已知函数f (x )＝x-k 2+k +2(k ∈N )，满足f (2)<f (3)．(1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；(2)对于(1)中的函数f (x )，试判断是否存在m ，使得函数g (x )＝f (x )－2x ＋m 在[0,2]上的值域为[2,3]，若存在，请求出m ，若不存在，请说明理由．20．(12分)若在定义域内存在实数x 0使得f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)成立则称函数f (x )有“溜点x 0”．若函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋mx 2在(0,1)上有“溜点”，求实数m 的取值范围．21．(12分)如图，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ，腰长为22cm ，当一条垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x .(1)试写出直线l 左边部分的面积f (x )与x 的函数；(2)已知A ＝{x |f (x )<4}，B ＝{x |a －2<x <a ＋2}，若A ∪B ＝B ，求a 的取值范围．22．(12分)已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，点(x ，y )在函数y ＝f (x )的图象上运动，点(t ，s )在函数y ＝g (x )的图象上运动，并且满足t ＝x3，s ＝y .(1)求出y ＝g (x )的解析式；(2)求出使g (x )≥f (x )成立的x 的取值范围； (3)在(2)的范围内求y ＝g (x )－f (x )的最小值．(本册综合测试)时间：90分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合A ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y | y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x >1，则A ∩B ＝( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫y | 0<y <12 B ．{y |0<y <1} C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫y | 12<y <1D ．∅解析：A A ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}＝{y |y >0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪⎭⎪⎫y ＝⎝ ⎛12x，x >1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪0<y <12， ∴A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪0<y <12，故选A ．2．已知f (x ＋1)＝x 2＋1，则f (x －2)＝( ) A ．x 2－6x ＋10 B ．(x －2)2＋1 C ．(x ＋1)2＋1D ．x 2－2解析：A f (x ＋1)＝x 2＋1，令x ＋1＝t ，∴x ＝t －1. ∴f (t )＝(t －1)2＋1＝t 2－2t ＋2，∴f (x )＝x 2－2x ＋2，则f (x －2)＝(x －2)2－2(x －2)＋2＝x 2－6x ＋10.故选A ．3．已知集合{x |mx 2＋2x －1＝0}有且只有一个元素，则m 的值是( ) A ．0 B ．1 C ．0或1D ．0或－1解析：D 当m ＝0时，方程化为2x －1＝0符合题意；当m ≠0时，由题意得Δ＝4＋4m ＝0，得m ＝－1.综上得m ＝0或m ＝－1.4．幂函数f (x )＝x 45，若0<x 1<x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22与f (x 1)＋f (x 2)2的大小关系是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f (x 1)＋f (x 2)2B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝f (x 1)＋f (x 2)2D ．无法确定解析：A f (x )＝x 45的图象如图所示，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f (x 1)＋f (x 2)2，故选A ．5．(2018·天津卷)已知a ＝log 372，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1413，c ＝log1315，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b解析：D 由题意可知，log 33<log 372<log 39，即1<a <2，0<⎝ ⎛⎭⎪⎫1413<⎝ ⎛⎭⎪⎫140，即0log 372，即c >a ，综上可得c >a >b .故选D ．6．根据表格中的数据，可以断定：方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间是( )A ．(2,3) C ．(0,1)D ．(－1,0)解析：B 令f (x )＝e x －(x ＋2)，若f (a )·f (b )<0，则在(a ，b )内有零点．由表知：f (－1)<0，f (0)<0，f (1)<0，f (2)>0，所以零点位于区间(1,2)，故答案为B ．7．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝512－xB ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xC ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1 D ．y ＝1－2x答案：B8．如果函数f (x )＝(a 2－1)x 在R 上是减函数，那么实数a 的取值范围是( ) A ．|a |>1 B ．|a |<2 C ．|a |>3D ．1<|a |<2解析：D 由题可得0<a 2－1<1， ∴1<a 2<2，即1<|a |<2，故选D ．9．对于每个实数x ，设f (x )取y ＝x 2－3x ＋2，y ＝x －1，y ＝5－x 三个函数中的最小值，则f (x )的最大值是( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 解析：D 在同一直角坐标系中画出y ＝x 2－3x ＋2，y ＝x －1，y ＝5－x 的图象，由图象可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤1，x 2－3x ＋2，1<x ≤3，5－x ，x >3，∴f (x )max ＝f (3)＝2.10．若函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象如下图所示，则下列函数图象正确的是( )解析：B 由y ＝log a x 的图象可知y ＝log a x 过(3,1)点， ∴log a 3＝1，∴a ＝3，故y ＝x 3的图象正确，故选B ．11．(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A ．y ＝ln(1－x )B ．y ＝ln(2－x )C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x )解析：B 函数y ＝ln x 过定点(1,0)，(1,0)关于x ＝1对称的点还是(1,0)，只有y ＝ln(2－x )过此点．12．已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52的值是( )A ．0B ．12C ．1D ．52解析：A 由题可知f (－x )＝f (x )，且xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，令x ＝32，则32f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝52f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝53f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，令x ＝12，则12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝32f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，令x ＝－12，则－12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝0，故选A ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫－250－30.064＋3log 325＋lg 2－lg 15的结果是______．解析：原式＝1－0.4＋25＋lg 2＋lg 5＝2. 答案：2 14．设实数a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，12，1，3，如果函数y ＝x a 是定义域为R 的奇函数，则a 的值的集合为________．解析：∵实数a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，12，1，3，∴当a ＝－1时，函数y ＝x －1是定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，不满足题意；当a ＝1时，函数y ＝x 是定义域R 上的奇函数，满足题意；当a ＝3时，函数y ＝x 3是定义域R 上的奇函数，满足题意； ∴a 的取值集合为{1,3}．答案：{1,3}15．若函数f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x ，则f (2)，g (0)，f (3)的大小关系是____________．解析：由题可得f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，由f (x )－g (x )＝e x ，① 得f (－x )－g (－x )＝e －x ，即－f (x )－g (x )＝e －x ，②①－②得f (x )＝e x －e －x2，f (x )为增函数，∴f (2)<f (3)． ①＋②得g (x )＝－e x ＋e －x 2，∴g (0)＝－1，f (2)＝e 2－e －22>0， ∴g (0)<f (2)<f (3)．答案：g (0)<f (2)<f (3) 16．已知函数f (x )满足条件：①对任意x 1，x 2，且x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2)； ②f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)．那么满足这2个条件的函数解析式为__________．(举一例即可)解析：求这样的函数解析式只需从已学过的基本函数出发，一一对比，最后找出．根据条件①知该函数为增函数，又由②知，在基本函数中只有y ＝a x 满足这个条件．由①②知，此函数为y ＝a x 且a >1.答案：y ＝2x三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知集合A ＝{x |3≤x <6}，B ＝{y |y ＝2x,2≤x <3}． (1)求A ∩B ；(2)已知C ＝{x |a <x <a ＋1}，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围．解：(1)B ＝{y |y ＝2x,2≤x <3}＝{y |4≤y <8}， ∴A ∩B ＝{x |4≤x <6}．(2)若C ⊆B ，则⎩⎨⎧a ≥4，a ＋1≤8，∴4≤a ≤7.∴实数a 的取值范围为[4,7]．18．(12分)已知函数f (x )＝x 21＋x 2，x ∈R .(1)求f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 的值；(2)计算f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14.解：(1)∵f (x )＝x 21＋x 2，x ∈R ，∴f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋1x 21＋1x 2＝x 21＋x 2＋11＋x 2，∴f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1. (2)由(1)可得f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝72.19．(12分)已知函数f (x )＝x-k 2+k +2(k ∈N )，满足f (2)<f (3)．(1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；(2)对于(1)中的函数f (x )，试判断是否存在m ，使得函数g (x )＝f (x )－2x ＋m 在[0,2]上的值域为[2,3]，若存在，请求出m ，若不存在，请说明理由．解：(1)由f (2)<f (3)，则－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k <2，又k ∈N ，则k ＝0，或k ＝1.当k ＝0，或k ＝1时，f (x )＝x 2.(2)由g (x )＝f (x )－2x ＋m ＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1，当x ∈[0,2]时，作出函数图象得g (x )∈[m －1，m ]，由已知g (x )的值域为[2,3]，则m ＝3. 故存在这样的m 值，且m ＝3.20．(12分)若在定义域内存在实数x 0使得f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)成立则称函数f (x )有“溜点x 0”．若函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋mx 2在(0,1)上有“溜点”，求实数m 的取值范围．解：f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋mx 2在(0,1)上有溜点，即f (x ＋1)＝f (x )＋f (1)在(0,1)上有解，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1＋m (x ＋1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋mx 2＋12＋m 在(0,1)上有解，即4mx －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0,1)上有解，即h (x )＝4mx －1与g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象在(0,1)上有交点．如图所示，只需h (1)>g (1)，即4m －1>12，∴m >38. 故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫38，＋∞.21．(12分)如图，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ，腰长为22cm ，当一条垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x .(1)试写出直线l 左边部分的面积f (x )与x 的函数；(2)已知A ＝{x |f (x )<4}，B ＝{x |a －2<x <a ＋2}，若A ∪B ＝B ，求a 的取值范围．解：(1)函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2，0<x ≤2，2x －2，2<x ≤5，－12(x －7)2＋10，5<x ≤7.(2)∵f (x )<4，∴A ＝{x |0<x <3}，由A ⊆B ，得⎩⎨⎧a ＋2≥3，a －2≤0，∴1≤a ≤2.∴a 的取值范围为{a |1≤a ≤2}．22．(12分)已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，点(x ，y )在函数y ＝f (x )的图象上运动，点(t ，s )在函数y ＝g (x )的图象上运动，并且满足t ＝x3，s ＝y .(1)求出y ＝g (x )的解析式；(2)求出使g (x )≥f (x )成立的x 的取值范围； (3)在(2)的范围内求y ＝g (x )－f (x )的最小值．解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝t ，y ＝s ，则⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝s .∵点(x ，y )在函数y ＝log 2(x ＋1)的图象上， ∴s ＝log 2(3t ＋1)，即：y ＝g (x )＝log 2(3x ＋1)． (2)由g (x )≥f (x )，即log 2(3x ＋1)≥log 2(x ＋1)得⎩⎨⎧3x ＋1≥x ＋1，3x ＋1>0，x ＋1>0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x >－13⇒x ≥0，x >－1.∴使g (x )≥f (x )成立的x 的取值范围是x ≥0. (3)y ＝g (x )－f (x )＝log 2(3x ＋1)－log 2(x ＋1)＝ log 23x ＋1x ＋1＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x ＋1， ∵x ≥0，∴1≤3－2x ＋1<3，又∵y ＝log 2x 在x ∈(0，＋∞)上单调递增， ∴当x ≥0时，y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x ＋1≥log 21＝0，即y min ＝0.。

人教B版高中数学必修1同步章节训练题及答案全册汇编

人B版高中数学必修1同步习题目录1.1 集合与集合的表示方法1.2-集合与集合的运算第1章《集合》测试2.1.1《函数》测试题(1)(新人教B必修1)2.1.2《函数表示法》测试题(2)(新人教B必修1)2.1.3《函数的单调性》测试题(新人教B必修1)2.1.4《函数的奇偶性》测试题(新人教B必修1)2.2.1《一次函数的性质与图象》测试题2.2.2《二次函数综合题》测试2.2.3《待定系数法》同步测试2.3《函数的应用(Ⅰ)》同步测试2.4.1《函数的零点》同步测试2.4.2《求函数零点近似解的一种计算方法?二分法》同步测试第2章《函数》测试3.1.1《实数指数幂及其运算》同步测试3.1.2《指数函数》同步测试3.2.1《对数及其运算》同步测试3.2.2《对数函数》同步测试3.3《幂函数》同步测试3.4《函数的应用》测试第3章《基本初等函数1》测试1.1 集合与集合的表示方法1.下面四个命题正确的是 ( )A.10以内的质数集合是0,3,5,7B.“个子较高的人”不能构成集合C.方程的解集是1,1D.1是集合N中最小的数2.下面的结论正确的是 ( )A.若,则B.若,则自然数C.的解集是-1,1D.所有的正偶数组成的集合是有限集3.已知集合S中的三个元素可构成ABC的三条边长,那么ABC一定不是 ( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形4.下面四个关系式中,正确的是A.∈0B.aaC.a∈a,bD.a∈a,b5.下列语句:(1)0与0表示同一个集合;(2)由1,2,3组成的集合可表示为1,2,3或3,2,1;(3)方程(x-1)2x-220的所有解的集合可表示为1,1,2;(4)不等式的解集是有限集,正确的是 ()A.只有(1)和(4)B.只有(2)和(3)C.只有(2)D.以上语句都不对6.下列六个关系式①0 ②0 ③④ 0 ⑤0 ⑥其中正确的个数( )A.3B.4C.5D.67.若方程的解集中有且只有一个元素,则的取值集合是( )A.{1}B.{-1}C.{0,1}D.{-1,0,1}8.A面积为1的矩形,B{面积为1的正三角形},则( )A. A,B都是有限集B. A,B都是无限集C. A是有限集,B是无限集D. A是无限集,B是有限集9.若,则实数的值为( )A.-1B.0C.-1或0D.-1或0或-210.若方程和的解为元素的集合是M,则M中元素的个数( )A.1B.2C.3D.411.如果方程的解集是M, 方程的解集是N, 3∈M且3∈N,那么等于14B. 2 C. 11D. 712.方程组解集为 ( )A.0B.1C.1,0 D.(0,1)13.用数对的集合表示方程的一切正整数解为 .14.实数集中的元素应该满足的条件是 .15.已知数集 Aa+2,a+12,a2+3a+3, 且 1∈A, 求实数 a 的值1.1 集合与集合的表示方法1.1.1 集合的概念题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B C D D C B D D C C A D13. ;1415.解: 若a+daq 解之得q1 a+2daq2当q1时,有aaqaq2与元素的互异性矛盾。

(人教版B版2017课标)高中数学必修第一册全册综合测试卷一(附答案)

（人教版B 版2017课标）高中数学必修第一册全册综合测试卷一（附答案）第一章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集{0,1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,3,5}A =，{2,4}B =，则()uA B =U ð（） A .{0,2,4}B .{4}C .{1,2,4}D .{0,2,3,4}2.已知集合{0,2,3}A =，{|,,}B x x a b a b A ==⋅∈，则集合B 的子集的个数是（） A .4B .8C .15D .163.如果甲是乙的必要不充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，则丁是甲的（） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分又不必要条件4.设a ，b ∈R ，集合{1,,}0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -=（）A .1B .1-C .2D .2-5.若集合{0,1,2}M =，{(,)|210210,,}N x y x y x y x y M =-+--∈且厔，则N 中元素的个数为（） A .9B .6C .4D .26.命题:q x ∀∈R ，3210x x -+„的否定是（） A .32,10x x x ∃∈-+R „B .32,10x x x ∃∈-+R …C .32,10x x x ∃∈-+R ＞D .32,10x x x ∀∈-+R ＞7.已知p 是r 的充分条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件.现有下列命题：①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件；③r 是q 的必要条件；④p ⌝是s ⌝的必要条件；⑤r 是s 的充分条件.则正确命题的序号是（） A .①④⑤B .①②④C .②③⑤D .②④⑤8.已知集合{}2|0M x x x =->，{|1}N x x =…，则M N =I （） A .[1,)+∞B .(1,)+∞C .∅D .(,0)(1,)-∞+∞U9.设集合{|0}M x x m =-„，{}2|(1)1,N y y x x ==--∈R .若M N =∅I ，则实数m 的取值范围是（） A .[1,)-+∞B .(1,)-+∞C .(,1]-∞-D .(,1)-∞-10.已知全集U R =，集合{|(2)0}A x x x =+<，{|||1}B x x =≤，则如图所示的阴影部分表示的集合是（）A .(2,1)-B .[1,0)[1,2)-UC .(2,1)[0,1]--UD .[0,1]11.设条件p ：关于x 的方程()221210m x mx -+-=的两根一个小于0，一个大于1，若p 是q 的必要不充分条件，则条件q 可设为（）A .(1,1)m ∈-B .(0,1)m ∈C .(1,0)m ∈-D .(2,1)m ∈-12.关于x 的方程2210ax x ++=至少有一个负根的充要条件是（） A .01a 剟B .1a ＜C .1a „D .01a ＜„或0a ＜二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上） 13.已知非空集合M 满足：{1,2,3,4,5}M ⊆，且若x M ∈，则6x M -∈.则满足条件的集合M 有__________个.14.设全集S 有两个子集A ，B ，若sA x x B ∈⇒∈ð，则x A ∈是x sB ∈ð的条件是__________. 15.关于x 的不等式2043x ax x +++＞的解集为(3,1)(2,)--+∞U 的充要条件是__________. 16.已知集合{|||1}A x x a =-„，{}2|540B x x x =-+…，若A B =∅I ，则实数a 的取值范围是__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知集合{|(2)[(31)]0}A x x x a =--+＜，()22|01x a B x x a ⎧⎫-⎪⎪=⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭＜. （1）当2a =时，求A B ⋂；（2）求使B A ⊆的实数a 的取值范围.18.（本小题满分12分）若{|68,,}A x x a b a b ==+∈Z ，{|2,}B x x m m ==∈Z ，求证：A B =.19.（本小题满分12分）已知命题p ：方程2220a x ax +-=在区间[1,1]-上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式2220x ax a ++≤.若命题“p 或q ”是假命题，求实数a 的取值范围.20.（本小题满分12分）已知{}2|320A x x x =++≥，{}2|410,B x mx x m m =-+-∈R ＞，若 0A B =I ，且A B A =U ，求实数m 的取值范围.21.（本小题满分12分）已知{}2:|10p A x x ax =++≤，{}2:|320q B x x x =-+≤，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.22.（本小题满分12分）已知集合{}2|8200P x x x =--≤，{||1|}S x x m =-„. （1）若()P S P ⊆U ，求实数m 的取值范围.（2）是否存在实数m ，使“x P ∈”是“x S ∈”的充要条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.第一单元测试答案解析一、 1.【答案】A【解析】由题意得uA {0,4}=ð，又{2,4}B =，所以(){0,2,4}uA B =U ð，故选A . 2.【答案】D【解析】∵{0,4,6,9}B =，∴B 的子集的个数为4216=. 3.【答案】A【解析】因为丁⇒丙⇔乙⇒甲，故丁⇒甲（传递性）. 4.【答案】C【解析】∵集合{1,,}0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，又0a ≠∵，0a b +=∴，即a b =-，1ba=-∴，1b =. 2b a -=∴，故选C .5.【答案】C【解析】N ∵为点集，x M ∈，y M ∈，∴由x ，y 组成的点有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2).其中满足210x y -+≥且210x y --≤的仅有(0,0)，(0,1)，(1,1)，(2,1)四个元素.6.【答案】C【解析】原命题的否定是“32,10x x x ∃∈-+R ＞”. 7.【答案】B【解析】由已知有p r ⇒，q r ⇒，r s ⇒，s q ⇒，由此得g s ⇒且s q ⇒，r q ⇒且q r ⇒，所以①正确，③不正确. 又p q ⇒，所以②正确.④等价于p s ⇒，正确.r s ⇒且s r ⇒，⑤不正确.故选B .8.【答案】B【解析】由20x x -＞得0x ＜或1x ＞，∵(1,)M N =+∞I .故选B . 9.【答案】D【解析】由已知得(,]M m =-∞，[1,)N =-+∞，∵M N =∅I ，1m ∴-＜，故选D . 10.【答案】C【解析】由已知得{|20}A x x =-＜＜，{|11}B x x =-≤≤，所以(2,1]A B =-U ，[1,0)A B =-I ，所以阴影部分表示的集合为()(2,1)[0,1]A B A B =--⋃U I ð，故选C .11.【答案】C【解析】构造函数()22121y m x mx =-+-，则0x =时，1y =-，函数的图像开口向上，由1x =时21210m m -+-＜得2m ＞或0m ＜，又p 是q 的必要不充分条件，所以p ⇒q ，q p ⇒，故选C .12.【答案】C【解析】若0∆=，则440a -=，1a =，满足条件，当0∆＞时，4401a a -⇒＞＜.所以1a ≤. 二、 13.【答案】7【解析】列举如下：{1,5}M =，{2,4}M =，{3}M =，{1,3,5)M =，{2,3,4}M =，{1,2,4,5}M =，{1,2,3,4,5}M =，共7个.14.【答案】必要不充分【解析】由已知得S A B ⊆ð，两边取补集，有()S S S A B ⊇痧?，即S A B ⊇ð，所以S x B x A ∈⇒∈ð，反之，不一定成立，故x ∈A 是S x B ∈ð的必要不充分条件.15.【答案】2a =-【解析】令2430x x ++=，得3x =-或1x =-，∴可猜想20a +=，即2a =-.代入原不等式得22043x x x -++＞，解得(3,1)(2,)x ∈--+∞U .故2a =-.16.【答案】(2,3)【解析】由题意得{|11}A x a x a =-+≤≤，{|14}B x x x 或剠，A B =∅Q I ，1114a a ->⎧⎨+<⎩∴，23a ∴＜＜.三、17.【答案】（1）∵当2a =时，{|27}A x x =＜＜，{|45}B x x =＜＜，{|45}A B x x =I ∴＜＜（2）由已知得{}2|21B x a x a =+＜＜，当13a ＜时，{|312}A x a x =+＜＜，要使B A ⊆，必须满足2231,12,a a a +⎧⎨+⎩…„此时1a =-；当13a =时，A =∅，使B A ⊆的a 不存在；当13a ＞时，(2,31)A a =+，要使B A ⊆，必须满足2222,131,12,a a a a a ⎧⎪++⎨⎪+≠⎩…„此时13a <„.综上可知，使B A ⊆的实数a 的取值范围为(1,3]{1}-U .18.【答案】证明：①设t A ∈，则存在,a b ∈Ζ，使得682(34)t a b a b =+=+.34a b +∈Z ∵t B ∈∴，t B ∴∈即A B ⊆.②设t B ∈，则存在m ∈Z ，使得26(5)84t m m m ==⨯-+⨯.0a =∴t A ∈∴ 5m -∈Z ∵，4m ∈Z ，，即B A ⊆. 由①②知A B =.19.【答案】由2220a x ax +-=，得(2)(1)0ax ax +-=，显然0a ≠，2x a =-∴或1x a=. [1,1]x ∈-∵，故21a ≤或11a„，||1a ∴…. “只有一个实数x 满足2220x ax a ++≤”即抛物线222y x ax a =++与x 轴只有一个交点，2480a a ∆=-=∴，或2a =，∴命题“p 或q ”为真命题时“||1a ≥或0a =”.∵命题“p 或q ”为假命题，∴实数a 的取值范围为{|10 01}a a a -＜＜或＜＜. 20.【答案】A B A =U ∵，B A ⊆∴，又A B =∅I ，B =∅∴{}2|410,B x mx x m m =-+-∈R ∵＞，∴对一切x ∈R ，使得2410mx x m -+-≤恒成立，于是有0,164(1)0,m m m ⎧⎨--⎩＜≤解得m „∴实数m的取值范围是|m m ⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭„21.【答案】{}2|320{|12}B x x x x x =∈-+=R 剟?，p ∵是q 的充分不必要条件，p q ⇒∴，q ⇒p ，即A 是B 的真子集，可A =∅或方程210x ax ++=的两根在区间[1,2]内，210a ∆=-∴＜或0,12,2110,4210,a a a ∆⎧⎪⎪-⎪⎨⎪++⎪++⎪⎩…剟……解得22a -＜„. 22.【答案】由28200x x --≤，得210x -剟，所以{|210P x x =-≤≤. 由|1|x m -≤，得11m x m -+剟.所以{|11}S x m x m =-+≤≤. （1）要使()P S P ⊆U ，则S P ⊆ ①若S =∅，则0m ＜；②若S ≠∅，则0,12,110,m m m ⎧⎪--⎨⎪+⎩……„解得03m 剟.综合①②可知，实数m 的取值范围为(,3]-∞.（2）由“x P ∈”是“x S ∈”的充要条件，知S P =，则12,110,m m -=-⎧⎨+=⎩此方程组无解，所以这样的实数m 不存在.第二章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若23A a ab =+，24B ab b =-，则A ，B 的大小关系是（） A .A B „B .A B …C .A B ＜或A B ＞D .A B ＞2.下列结论正确的是（） A .若ac bc ＞，则a b ＞ B .若22a b ＞，则a b ＞C .若a b ＞，0c ＜，则a c b c ++＜D .a b ＜3.下列变形是根据等式的性质的是（） A .由213x -=得24x = B .由2x x =得1x = C .由29x =得x=3 D .由213x x -=得51x =-4.实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（）A .0a b +=B .b a ＜C .0ab ＞D .||||b a ＜5.已知||a b a ＜＜，则（）A .11a b＞ B .1ab ＜C .1ab＞ D .22a b ＞6.若41x -＜＜，则222()1x x f x x -+=-（） A .有最小值2B .有最大值2C .有最小值2-D .有最大值2-7.已知0a ＞，0b ＞，2a b +=，则14y a b=+的最小值是（） A .72B .4C .92D .58.已知1x ，2x 是关于x 的方程230x bx +-=的两根，且满足121234x x x x +-=，那么b 的值为（） A .5B .5-C .4D .4-9.不等式22120x ax a --＜（其中0a ＜）的解集为（） A .(3,4)a a -B .(4,3)a a -C .(3,4)-D .(2,6)a a10.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析，每辆客车营运的总利润y （单位：10万元）与营运年数()*x x ∈N 为二次函数的关系（如图），则每辆客车营运_____年，营运的年平均利润最大（）A .3B .4C .5D .611.若正数x ，y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是（） A .245B .285C .5D .612.已知a b ＞，二次三项式220ax x b ++…对于一切实数x 恒成立，又0x ∃∈R ，使20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为（）A .1BC .2D .二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）13.当1x ＞时，不等式11x a x +-≥恒成立，则实数a 的取值范围为__________. 14.若0a b ＜＜，则1a b -与1a的大小关系为__________.15.若正数a ，b 满足3ab a b =++，则ab 的取值范围是__________.16.已知关于x 的一元二次方程2320x x m -+=有两个不相等的实数根1x 、2x .若1226x x -=，则实数m 的值为__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）解下列不等式（组）：（1）2(2)01x x x +⎧⎨⎩＞，＜；（2）262318x x x --＜„.18.（本小题满分12分）已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，且1abc =.111a b c++＜.19.（本小题满分12分）已知21()1f x x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.（1）当12a =时，解不等式()0f x „；（2）若0a ＞，解关于x 的不等式()0f x „.20.（本小题满分12分）某镇计划建造一个室内面积为2800 m 的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？21.（未小题满分12分）设函数2()3(0)f x ax bx a =++≠. （1）若不等式()0f x ＞的解集为(1,3)-，求a ，b 的值；（2）若(1)4f =，0a ＞，0b ＞，求14a b+的最小值.22.（本小题满分12分）解下列不等式. （1）2560x x --+＜；（2）()(2)0a x a x --＞.第二章综合测试答案解析一、 1.【答案】B【解析】()2222334240b A B a ab ab b a b ⎛⎫-=+--=-+ ⎪⎝⎭∵…，A B ∴….2.【答案】D【解析】当0c ＜时，A 选项不正确；当0a ＜时，B 选项不正确；两边同时加上一个数，不等号方向不改变，故C 选项错误. 3.【答案】A【解析】A .根据等式的性质1，在等式213x -=的左右两边同时加上1，可得24x =，故本选项正确；B .在等式2x x =的左右两边同时除以x ，可得1x =，但是当0x =时，不成立，故本选项错误；C .将等式29x =的左右两边开平方，可得3x =±，故本选项错误；D .根据等式的性质1，在等式213x x -=的左右两边同时加上(31)x +，可得561x x =+，故本选项错误. 4.【答案】D【解析】根据题图可知，21a --＜＜，01b ＜＜，所以||||b a ＜. 5.【答案】D【解析】由||a b a ＜＜，可知0||||b a ＜„，由不等式的性质可知22||||b a ＜，所以22a b ＞. 6.【答案】D【解析】2221()(1)11x x f x x x x -+==-+--.又41x -∴＜＜，10x -∴＜，(1)0x --∴＞ 1()(1)2(1)f x x x ⎡⎤=---+-⎢⎥--⎣⎦∴„当且仅当111x x -=-，即0x =时等号成立.7.【答案】C【解析】2a b +=∵，12a b+=∴∴14142a bab a b +⎛⎫+=+⋅⎪⎝⎭52592222a b b a ⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭… （当且仅当22a b b a =，即423b a ==时，等号成立）故14y a b=+的最小值为92.8.【答案】A【解析】12,x x ∵是关于x 的方程230x bx +-=的两根，12x x b +=-∴，123x x =-， 121234x x x x +-=∵，94b -+=∴，解得5b =.9.【答案】B【解析】方程22120x ax a --=的两根为4a ，3a -，且43a a -＜，43a x a <<-∴. 10.【答案】C【解析】求得函数式为2(6)11y x =--+，则营运的年平均利润2512122y x x x ⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭„，当且仅当25x x=时，取“=”号，解得5x =. 11.【答案】C【解析】35x y xy +=∵，13155y x+=∴1334(34)1(34)55x y x y x y y x ⎛⎫+=+⨯=++ ⎪⎝⎭∴3941213555555x y y x =++++=…当且仅当31255x y y x =，即1x =，12y =时等号成立. 12.【答案】D【解析】a b ∵＞，二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立， 0a ∴＞，且440ab ∆=-„，1ab ≥∴.再由0x ∃∈R ，使20020ax x b ++=成立，可得0∆…，1ab ∴…，又a b ＞，1a ＞.2224231101a a b a a a b a a a a+++==---∴＞ 2242484243624222211*********a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫+++ ⎪⎛⎫+++⎝⎭=== ⎪-+-⎛⎫⎝⎭+-+- ⎪⎝⎭ 22222221124412a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭令22112a a +=＞，则24231(2)4(2)44(2)444822a t t t a a t t ⎛⎫+-+-+==-+++= ⎪---⎝⎭…，当且仅当4t =，即a 时取等.故2431a a a ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭的最小值为8，故22a b a b +-二、13.【答案】(,3]-∞ 【解析】1x ∵＞，11(1)11311x x x x +=-++=--∴….3a ∴„. 14.【答案】11a b a-＜【解析】110()()a ab ba b a a a b a a b -+-==---∵＜. 11a b a-∴＜ 15.【答案】[9,)+∞【解析】33ab a b =++…，所以1)0…，3，所以9ab ….16.【答案】2-【解析】由题意知123x x +=，1226x x -=∵，即12236x x x +-=， 2336x -=∴，解得21x =-，代入到方程中，得1320m ++=，解得2m =-. 三、17.【答案】（1）原不等式组可化为 2 0,11,x x x -⎧⎨-⎩＜或＞＜＜即01x ＜＜，所以原不等式组的解集为{|01}x x ＜＜. （2）原不等式等价于22623,318,x x x x x ⎧--⎨-⎩≤＜即2260,3180,x x x x ⎧--⎨--⎩＜…因式分解，得(3)(2)0,(6)(3)0,x x x x -+⎧⎨-+⎩＜…所以 2 3,36,x x -⎧⎨-⎩或＜＜剠所以132x --＜≤或36x ＜„.所以不等式的解集为{|3236}x x x --＜≤或≤＜.18.【答案】证明：因为a ，b ，c 都是正实数，且1abc =，所以112a b +…11b c +=…11a c +=…以上三个不等式相加，得1112a b c ⎛⎫++ ⎪⎝⎭…，即111a b c++因为a，b，c不全相等，所以上述三个不等式中的“=”不同时成立.111a b c++＜.19.【答案】（1）当12a=时，有不等式25()102f x x x=-+≤，1(2)02x x⎛⎫--⎪⎝⎭∴„，122x∴剟，即所求不等式的解集为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）1()()0f x x x aa⎛⎫=--⎪⎝⎭∵„，0a＞且方程1()0x x aa⎛⎫--=⎪⎝⎭的两根为1x a=，21xa=，∴当1aa＞，即011a＜＜，不等式的解集为1,aa⎡⎤⎢⎥⎣⎦；当1aa＜，即1a＞，不等式的解集为1,aa⎡⎤⎢⎥⎣⎦；当1aa=，即1a=，不等式的解集为{1}.20.【答案】设矩形温室的左侧边长为 ma，后侧边长为 mb，蔬菜的种植面积为2mS，则800ab=.所以(4)(2)4288082(2)808648 S a b ab b a a b=--=--+=-+-„当且仅当2a b=，即40a=，20b=时等号成立，则648S=最大值.故当矩形温室的左侧边长为40 m，后侧边长为20 m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648 m.21.【答案】（1）因为不等式()0f x＞的解集为(1,3)-，所以1-和3是方程()0f x=的两个实根，从而有(1)30,(3)9330,f a bf a b-=-+=⎧⎨=++=⎩解得1,2,ab=-⎧⎨=⎩（2）由(1)4f=，得1a b+=，又0a＞，0b＞，所以1414()a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭4559b a a b =+++… 当且仅当4b a a b =即1,32,3a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立，所以14a b+的最小值为9. 22.【答案】（1）2560x x --+<∵，2560x x +->∴， (1)(6)0x x -+∴＞，解得6x -＜或1x ＞，∴不等式2560x x --+＜的解集是{| 6 1}x x x -＜或＞. （2）当0a ＜时，()(2)y a x a x =--的图象开口向下，与x 轴交点的横坐标为x a =，2x =，且2a <，()(2)0a x a a --∴＞的解集为{|2}x a x ＜＜.当0a =时，()(2)0a x a x --=，()(2)0a x a x --∴＞无解.当0a ＞时，抛物线()(2)y a x a x =--的图像开口向上，与x 轴交点的横坐标为x a =，2x =.当2a =时，不等式可化为22(2)0x -＞，解得2x ≠. 当2a ＞时，解得2x ＜或x a ＞. 当2a ＜时，解得x a ＜或2x ＞.综上，当0a ＜时，不等式的解集是{|2}x a x ＜＜；当0a =时，不等式的解集是∅；当02a ＜＜时，不等式的解集是{| 2}x x a x ＜或＞；当2a =时，不等式的解集是{|2}x x ≠；当2a ＞时，不等式的解集是{|2}x x x a ＜或＞.第三章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知2()1f x x =+，则[(1)]f f -的值等于（） A .2B .3C .4D .5 2.已知函数()1f x x =+，其定义域为{1,0,1,2}-，则函数的值域为（） A .[0,3]B .{0,3}C .{0,1,2,3}D .{|0}y y …3.函数0y =的定义域是（）A .{|01}x x 剟B .{| 1 1}x x x --＜或＞C .{|01}x x x ≠-＜且D .{}|1 0x x x ≠-≠且4.已知二次函数()y f x =满足(2)(2)f x f x +=-，且函数图像截x 轴所得的线段长为8，则函数()y f x =的零点为（） A .2，6B .2，6-C .2-，6D .2-，6-5.若函数()y f x =的定义域是{|01}x x ≤≤，则函数()()(2)(01)F x f x a f x a a =+++＜＜的定义域是（）A .1|22a a x x -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤≤B .|12a x x a ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭≤≤C .{|1}x a x a --≤≤D .1|2a x a x -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤≤6.如图所示，可表示函数()y f x =的图像的只可能是（）ABCD7.已知函数2()1f x ax bx =++为定义在[2,1]a a -上的偶函数，则a b +的值是（） A .1B .1-C .1或1-D .0或18.若()f x 满足()()f x f x -=-，且在(,0)-∞上是增函数，(2)0f -=，则()0xf x ＜的解集是（） A .(2,0)(0,2)-UB .(,2)(0,2)-∞-UC .(,2)(2,)-∞-+∞UD .(2,0)(2,)-+∞U9.设函数()f x 与()g x 的定义域是{|1}x x ∈≠±R ，函数()f x 是一个偶函数，()g x 是一个奇函数，且1()()1f xg x x -=-，则()f x 等于（） A .2221x x -B .211x -C .221x -D .221xx - 10.已知2()21(0)f x ax ax a =++＞，若()0f m ＜，则(2)f m +与1的大小关系式为（） A .(2)1f m +＜B .(2)1f m +=C .(2)1f m +＞D .(2)1f m +…11.函数()f x =（） A .是奇函数但不是偶函数 B .是偶函数但不是奇函数 C .既是奇函数又是偶函数D .既不是奇函数又不是偶函数12.已知2()2f x x x =+，若存在实数t ，使()3f x t x +„对[1,]x m ∈恒成立，则实数m 的最大值是（） A .6B .7C .8D .9二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）13.已知1,[0,1],()2,[0,1],x f x x x ∈⎧=⎨-∉⎩，当[()]1f f x =时，x ∈__________.14.关于x 的方程240x x a --=有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为__________.15.已知函数719()1x f x x +=+，则()f x 的图像的对称中心是__________，集合{}*|()x f x ∈=N __________.16.已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则52f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知函数2()2||1f x x x =--.（1）利用绝对值及分段函数知识，将函数()f x 的解析式写成分段函数；（2）在坐标系中画出()f x 的图像，并根据图像写出函数()f x 的单调区间和值域.18.（本小题满分12分）已知函数()f x 对任意实数x 均有()2(1)f x f x =-+，且()f x 在区间[0]1，上有解析式2()f x x =. （1）求(1)f -和(1.5)f 的值；（2）写出()f x 在区间[2,2]-上的解析式.19.（本小题满分12分）函数2()1ax bf x x +=+是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求实数a ，b 的值.（2）用定义证明()f x 在(1,1)-上是增函数；（3）写出()f x 的单调减区间，并判断()f x 有无最大值或最小值.如有，写出最大值或最小值（无需说明理由）.20.（本小题满分12分）已知定义域为R 的单调函数()f x ，且(1)f x -的图像关于点(1,0)对称，当0x ＞时，1()3x f x x=-. （1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的t ∈R ，不等式()()22220f t t f t k -+-＜恒成立，求实数k 的取值范围.21.（本小题满分12分）对于定义域为D 的函数()y f x =，若同时满足下列条件：①()f x在D 内单调递增或单调递减；②存在区间[,]a b D ⊆，使()f x 在[,]a b 上的值域为[,]a b ，那么称()()x D y f x =∈为闭函数.（1）求闭函数3y x =-符合条件②的区间[,]a b . （2）判断函数31()(0)4f x x x x=+＞是否为闭函数？并说明理由；（3）判断函数y k =+k 的取值范围.22.（本小题满分12分）设函数()f x 的定义域为R ，当0x ＞时，()1f x ＞，对任意,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=g ，且(2)4f =. （1）求(0)f ，(1)f 的值.（2）证明：()f x 在R 上为单调递增函数.（3）若有不等式1()2f x f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭g ＜成立，求x 的取值范围.第三章测试答案解析一、 1.【答案】D【解析】由条件知(-1)2f =，(2)5f =，故选D . 2.【答案】C【解析】将x 的值依次代入函数表达式可得0，1，2，3，所以函数的值域为{0,1,2,3}，故选C . 3.【答案】C【解析】由条件知10x +≠且0x x -＞，解得0x ＜且1x ≠-.故选C 4.【答案】C【解析】由于函数()y f x =满足(2)(2)f x f x +=-，所以直线2x =为二次函数()y f x =图像的对称轴，根据二次函数图像的性质，图像与x 轴的交点必关于直线2x =对称.又两交点间的距高为8，则必有两交点的横坐标分别为1246x =+=，2242x =-=-.故函数的零点为2-，6.故选C . 5.【答案】A【解析】由条件知01,021,x a x a +⎧⎨+⎩剟剟，又01a ＜＜则122a ax --≤≤，故选A .6.【答案】D【解析】由函数定义可得，任意一个x 有唯一的y 与之对应，故选D . 7.【答案】B【解析】因为函数2()1f x ax bx =++为定义在[2,1]a a -上的偶函数，所以21a a =-，1a =-，0b =，因此1a b +=-，故选B.8.【答案】A【解析】根据题意可知函数是奇函数，且在(,0)-∞，(0,)+∞上是增函数，对()0xf x ＜，分0x ＞，0x ＜进行讨论，可知解集为(2,0)(0,2)-U ，故选A.9.【答案】B【解析】1()()1f x g x x -=-∵，1()()1f x g x x ---=--∴，1()()1f xg x x +=--∴， 21122()111f x x x x =-=-+-∴，21()1f x x =-，故选B . 10.【答案】C【解析】因为2()21(0)f x ax ax a =++＞，所以其图像的对称轴为直线1x =-，所以()(2)0f m f m =--＜，又(0)1f =，所以(2)1f m +＞，故选C .11.【答案】A【解析】由定义城可知x 因此原式化简为()f x =那么根据函数的奇偶性的定义，可知该函数是奇函数不是偶函数，故选A . 12.【答案】C【解析】由题意知，对任意[1,]x m ∈，2()2()3x t x t x +++…恒成立，这个不等式可以理解为()f x t +的图像在直线3y x =的图像的下面时x 的取值范围.要使m 最大，需使两图像交点的横坐标分别为1和m .当1x =时，3y =，代入可求得4t =-（0t =舍去）.进而求得另一个交点为(8,24)，故8m =.故选C. 二、13.【答案】[0,1][2,3]{5}U U【解析】因为1,[0,1],()2,[0,1],x f x x x ∈⎧=⎨-∉⎩所以要满足元[()]1f f x =，需()[0,1]f x ∈，[0,1]x ∈或2[0,1]x -∈或5x =，这样解得x 的取值范围是[0,1][2,3]{5}U U .14.【答案】(0,4)【解析】原方程等价于24x x a -=，在同一坐标系内作出函数24y x x =-与函数y a =的图像，如图所示：平移直线y a =，可得当04a ＜＜时，两图像有4个不同的公共点，相应地方程240x x a --=有4个不相等的实数根，综上所述，可得实数a 的范围为04a ＜＜. 15.(1,7)- {13,7,5,4,3,0,1,2,3,5,11}----- 【解析】因为函数71912()711x f x x x +==+++，则()f x 的图像的对称中心为(1,7)-，集合{|()}{13,7,5,4,3,0,1,2,3,5,11}x f x *∈=-----N 16.【答案】0【解析】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，因此令12x =-，可知11112222f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，分别令32x =-，52x =-，可得302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，502f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，令1x =-.得(0)0f =，因此可知502f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 三、17.【答案】（1）22321,0()2||121,0x x x f x x x x x x ⎧--=--=⎨+-⎩＜….（2）图像如图所示.单调增区间为(1,0)-，(1,)+∞，单调减区间为(,1)-∞-，(0,1). 值域为[2,)-+∞.18.【答案】（1）由题意知(1)2(11)2(0)0f f f -=--+=-=，1111(1,5)(10.5)(0.5)2248f f f =+=-=-⨯=-. （2）当[0,1]x ∈时，2()f x x =；当(1,2]x ∈时，1(0,1]x -∈，211()(1)(1)22f x f x x =--=--；当[1,0)x ∈-时，1[0,1)x +∈， 2()2(1)2(1)f x f x x =-+=-+；当[2,1)x ∈--时，1[1,0)x +∈-，22()2(1)22(11)4(2)f x f x x x ⎡⎤=-+=-⨯-++=+⎣⎦.所以22224(2),[2,1),2(1),[1,0),(),[0,1],1(1),(1,2].2x x x x f x x x x x ⎧+∈--⎪-+∈-⎪⎪=⎨∈⎪⎪--∈⎪⎩19.【答案】（1）2()1ax bf x x +=+∵是奇函数()()f x f x -=-∴， 2211ax b ax bx x -++=-++∴，0b =∴. 故2()1ax f x x =+，又1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭∵，1a =∴ （2）证明：由（1）知2()1xf x x =+，任取1211x x -＜＜＜，()()()()()()1212121222121211111x x x x x xf x f x x x x x ---=-=++++1211x x -∵＜＜＜，1211x x -∴＜＜，120x x -＜，1210x x -＞，2110x +＞，2210x +＞，()()120f x f x -∴＜，即()()12f x f x ＜，()f x ∴在(1,1)-上是增函数.（3）单调减区间为(,1),(1,)-∞-+∞.当1x =-时，min 1()2f x =-；当1x =时，max 1()2f x =.20.【答案】（1）由题意知()f x 的图像关于点(0,0)对称，是奇函数，∴(0)0f = 当0x ＜时，0x -＞，1()3x f x x--=--∴，又∵函数()f x 是奇函数.∴()()f x f x -=-，1()3x f x x=-∴. 综上所述，1(0),()30(0).x x f x x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩（2）2(1)(0)03f f =-=∵＜，且()f x 在R 上单调.∴()f x 在R 上单调递减.由()()22220f t t f t k -+-＜，得()()2222f t t f t k ---＜.∵()f x 是奇函数，∴()()2222f t t f k t --＜，又∵()f x 是减函数， ∴2222t t k t --＞即2320t t k --＞对任意t ∈R 恒成立，∴4120k ∆=+＜，得13k -＜.21.【答案】（1）由题意，3y x =-，在[,]a b 上单调递减，则33,,,b a a b b a ⎧=-⎪=-⎨⎪>⎩解得1,1,a b =-⎧⎨=⎩所以，所求区间为[1,1]-.（2）取11x =，210x =，则()()1273845f x f x ==＜，即()f x 不是(0,)+∞上的减函数.取，1110x -=，21100x =，()()12331010040400f x f x =++=＜，即()f x 不是(0,)+∞上的增函数.所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数.（3）若y k =+[,]a b ，在区间[,]a b 上，函数()f x 的值域为[,]a b，即a k b k ⎧=+⎪⎨=⎪⎩∴a ，b为方程x k =的两个实根，即方程22(21)20(2,)x k x k x x k -++-=-厖有两个不等的实根，故两根均大于等于2-，且对称轴在直线2x =-的右边.当2k -„时，有220,(2)2(21)20,212,2k k k ⎧⎪∆⎪-+++-⎨⎪+⎪-⎩＞＞…解得924k --＜„.当2k -＞时，有220,(21)20,21,2k k k k k k ⎧⎪∆⎪-++-⎨⎪+⎪⎩＞＞…无解.综上所述，9,24k ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦.22.【答案】（1）因为(20)(2)(0)f f f +=g ，所以44(0)f =⋅，所以(0)1f =，又因为24(2)(11)(1)f f f ==+=，且当0x ＞时，()1f x ＞，所以(1)2f =.（2）证明：当0x ＜时，0x -＞，所以()1f x -＞，而(0)[()]()()f f x x f x f x =+-=-g ，所以1()()f x f x =-，所以0()1f x ＜＜，对任意的12,x x ∈R ，当12x x ＜时，有()()()]()()()1212222121f x f x f x x x f x f x f x x -=⎡-+-=--⎣，因为120x x ＜＜，所以120x x -＜，所以()1201f x x -＜＜，即()1210f x x --＜，所以()()120f x f x -＜，即()()12f x f x ＜，所以()f x 在R 上是单调递增函数.（3）因为1()12f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭g ＜，所以11(1)f x f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＜，而()f x 在R 上是单调递增函数，所以111x x ++＜，即10x x+＜，所以210x x +＜，所以0x ＜，所以x 的取值范围是(,0)-∞.。

数学人教B版必修1 模块综合测评含解析精品

数学人教B 必修1模块综合测评(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与函数f (x )＝|x |是同一个函数的是( )A ．y =B ．2x y x=C ．y ＝e ln xD ．y ＝log 33x 2．若2()|21y A x y x -⎧⎫==⎨⎬+⎩⎭，，B ＝{(x ，y )|y ＝ax －3}，若A ∩B ＝，则实数a 的取值是( )A ．2B ．－5C ．2或－5D ．13．定义域为R 的函数y ＝f (x )的值域为[a ，b ]，则函数y ＝f (x ＋a )的值域为( ) A ．[2a ，a ＋b ] B ．[0，b －a ] C ．[a ，b ] D ．[－a ，a ＋b ]4．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1)＜13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的x 的取值范围是( )A ．1233⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．1233⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C ．1223⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．1223⎡⎫⎪⎢⎣⎭，5．定义域为R 的二次函数f (x )，其对称轴为y 轴，且它在(0，＋∞)上是减函数，则下列不等式中成立的是( )A ．34f ⎛⎫-⎪⎝⎭＞f (a 2－a ＋1) B ．34f ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥f (a 2－a ＋1)C ．34f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＜f (a 2－a ＋1)D ．34f ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤f (a 2－a ＋1)6．(2011·湖北荆州中学高一期末)函数12log (1)(1)x y x x =++-的定义域是( ) A ．(－1,0) B ．(－1,1) C ．(0,1) D ．(0,1]7．已知集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}．若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．48．(2011·山东日照高一期末)计算3log 213lg lg 52+-的结果为( )A ．2B ．1C ．3D ．－19．若函数y ＝ax 与by x=-在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增10．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点a )，则f (x )＝( )A ．log 2xB ．12log xC ．12x D ．x 2 11．幂函数y ＝x 2，y ＝x －1，13y x =，12y x-=在第一象限内的图象依次是图中的曲线()A ．C 2，C 1，C 3，C 4B ．C 4，C 1，C 3，C 2 C ．C 3，C 2，C 1，C 4D ．C 1，C 4，C 2，C 312．函数f (x )，f (x ＋2)均为偶函数，且当x ∈[0,2]时，f (x )是减函数，设81log 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，b ＝f (7.5)，c ＝f (－5)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上)13．化简：2lg2lg3111lg0.36lg823+++的结果等于__________．14．(2011·山东日照高一期末)已知幂函数f (x )＝x n 的图象过点(2，)，则f (9)＝__________.15．如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间112⎛⎫⎪⎝⎭，上是增函数，那么f (2)的取值范围是__________．16．函数1()m m f x x +=(m ∈N ＋)的定义域是__________，其单调减区间是__________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)设A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}． (1)A ∩B ＝A ∪B ，求a 的值．(2)A ∩B ，且A ∩C ＝，求a 的值；(3)A ∩B ＝A ∩C ≠，求a 的值．18．(12分)(1)已知21lg f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求f (x )； (2)已知函数f (x )满足f (3x ＋1)＝9x 2－6x ＋5，求f (x )．19．(12分)某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初始含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，问至少过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)20．(12分)已知函数()f x=A．(1)求集合A；(2)若函数g(x)＝(log2x)2－2log2x－1，且x∈A，求函数g(x)的最值及对应的x值．21．(12分)当m为何值时，关于x的方程||12xm⎛⎫=⎪⎝⎭，(1)有唯一解；(2)有两个不同的解；(3)无解？22．(14分)已知定义域为R的函数2()21xxaf x-+=+是奇函数．(1)求实数a的值；(2)用定义证明f(x)在R上是减函数；(3)已知不等式3log(1)04mf f⎛⎫+->⎪⎝⎭恒成立，求实数m的取值范围．参考答案1. 答案：A由于y x ==，所以函数f (x )＝|x |与y =R ，且解析式相同，是同一函数．2. 答案：C 集合A 表示一条直线y －2＝2(x ＋1)上除去点(－1,2)的点的集合，集合B 是直线y ＝ax －3上的点的集合，A ∩B ＝，则说明两条直线平行或直线y ＝ax －3经过点(－1,2)，可得a ＝2或－5.3. 答案：C4. 答案：A 因为f (x )是偶函数，所以f (2x －1)＝f (|2x －1|)．又f (x )在[0，＋∞)上单调增加，∴|2x －1|＜13，解得1233x <<. 5. 答案：B ∵a 2－a ＋1＝212a ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋34≥34，∴f (a 2－a ＋1)≤3344f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选B.6. 答案：C 由100110x x x x +>⎧⎪>≠⎨⎪-≥⎩，且，，得0＜x ＜1.∴定义域为(0,1)．7. 答案：D 由已知，得a ＝4且a 2＝16，或a ＝16且a 2＝4，显然只有a ＝4.故选D. 8. 答案：B 3log 213lg lg 52+-＝2－(lg 2＋lg 5)＝2－1＝1.故选B.9. 答案：B 依题意，得a ＜0，b ＜0，y ＝ax 2＋bx ＝2224b b a x a a ⎛⎫+-⎪⎝⎭. ∵a ＜0，b ＜0，∴x ＝2ba-＜0.∴y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是减函数，故选B.10. 答案：B 由题意，知f (x )＝log a x ，又点a )在反函数的图象上，∴1log 2a ==，故选B. 11. 答案：D12. 答案：A 因为f (x ＋2)为偶函数，所以f (x ＋2)＝f (2－x )，故函数f (x )图象关于x ＝2对称，又f (x )为偶函数，所以f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝f [2－(2＋x )]＝f (－x )＝f (x )，1133a f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，b ＝f (7.5)＝f (－0.5)＝f (0.5)，c ＝f (－5)＝f (5)＝f (1)．又因为当x ∈[0,2]时，f (x )是减函数，且13＜0.5＜1，所以有a ＞b ＞c .13. 答案：1 2lg(23)lg12=1lg(100.62)lg12⨯==⨯⨯原式.14. 答案：3 由f (2)＝2n12n =.∴f (9)3.15. 答案：[7，＋∞) f (x )的对称轴为12a x -=，∴1122a -≤. ∴a ≤2.∴f (2)＝4－2(a －1)＋5＝11－2a ≥7.16. 答案：[0，＋∞) 不存在由于m 2＋m ＝m (m ＋1)且m ∈N ，故m (m ＋1)一定是偶数，因此f (x )的定义域是[0，＋∞)．又210m m>+，所以f (x )只有增区间[0，＋∞)，无减区间． 17. 答案：解：(1)∵A ∩B ＝A ∪B ，∴A ＝B . ∴25196a a =⎧⎨-=⎩，，解得a ＝5. (2)由于B ＝{2,3}，C ＝{－4,2}，故只可能3∈A . 此时a 2－3a －10＝0，即a ＝5或a ＝－2，由(1)可得a ＝－2.(3)此时只可能2∈A ，有a 2－2a －15＝0，即a ＝5或a ＝－3，由(1)可得a ＝－3. 18. 答案：解：(1)换元法：令t ＝2x＋1，则21x t =-，∵x ＞0，∴t ＞1. ∴2()lg 1f t t =-，t ＞1.∴2()lg 1f x x =-，x ＞1.(2)令t ＝3x ＋1，则3x ＝t －1. ∵x ∈R ，所以t ∈R .∴f (t )＝(t －1)2－2(t －1)＋5＝t 2－2t ＋1－2t ＋7＝t 2－4t ＋8，t ∈R . ∴f (x )＝x 2－4x ＋8，x ∈R .19. 答案：解：依题意，得22110031000n ⎛⎫⋅≤⎪⎝⎭，即21320n⎛⎫≤ ⎪⎝⎭. 则n (lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，故1lg27.4lg3lg2n +≥≈-，考虑到n ∈N ，故n ≥8，即至少要过滤8次才能达到市场要求． 20. 答案：解：(1)要使函数有意义，则有3log (41)0,1620.xx -≥⎧⎨-≥⎩ 解得4411,22.x x -≥⎧⎨≤⎩∴12≤x ≤4.∴1|42A x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭. (2)令log 2x ＝t ，∵1,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴t ∈[－1,2]，∴g (t )＝t 2－2t －1＝(t －1)2－2 .∴当t ＝1时，g (t )min ＝－2，此时x ＝2；当t ＝－1时，g (t )max ＝2，此时12x =. 21. 答案：解：设||112x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，y 2＝m .在同一平面直角坐标系内作出函数||112x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数y 2＝m 的图象，如图所示．由图可知：(1)若函数y 2＝m 与||112x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象只有一个交点，即方程有唯一解，此时直线为y 2＝1，即m ＝1；(2)若函数y 2＝m 与||112x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象有两个交点，即方程有两个不同的解，此时0＜m＜1；(3)若函数||112x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与y 2＝m 的图象无交点，即方程无解，此时m ＞1或m ≤0.综上，(1)当m ＝1时，方程有唯一解； (2)当0＜m ＜1时，方程有两个不同的解； (3)当m ＞1或m ≤0时，方程无解． 22. 答案：解：(1)∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )．令x ＝0，则f (0)＝0，即102a -=，∴a ＝1. ∴12()12xxf x -=+. (2)证明：由(1)知122()11221x x x f x -==-+++，任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则∆x ＝x 2－x 1＞0，∆y ＝f (x 2)－f (x 1)＝122112222(22)112121(21)(21)x x x x x x -⎛⎫⎛⎫-+--+= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. ∵x 1＜x 2，故2x 1＜2x 2.又2x 1＞0,2x 2＞0，从而f (x 2)－f (x 1)＝12122(22)0(21)(21)x x x x -<++，即∆y ＜0，故f (x )在R 上是减函数．(3)∵f (x )是奇函数，从而不等式3log 4mf ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f (－1)＞0等价于3log 4m f ⎛⎫⎪⎝⎭＞－f (－1)＝f(1)．∵f(x)在R上为减函数，由上式推得：3log4m＜1＝log m m.∴当0＜m＜1时，上式等价于34m >，∴0＜m＜34；当m＞1时，上式等价于34m <，∴m＞1.综上，30,(1)4m⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭,．。

人教B数学必修1：高中同步测试卷(十二) Word版含答案

高中同步测试卷(十二)函数性质微专题(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )＝11－x ＋lg(1＋x )的定义域是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)2．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝( )A ．2B ．1C ．0D ．－23．关于函数y ＝－3x 的单调性的叙述正确的是( )A ．在(－∞，0)上是递增的，在(0，＋∞)上是递减的B ．在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递增C ．在[0，＋∞)上递增D ．在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是递增的4．已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－1)＝f (3)，则( ) A ．f (－3)<c <f ⎝⎛⎭⎫52 B ．f ⎝⎛⎭⎫52<c <f (－3) C ．f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)<cD ．c <f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)5．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为( )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－46．函数f (x )＝a |x ＋1|(a ＞0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( ) A ．f (－4)＞f (1) B ．f (－4)＝f (1) C ．f (－4)＜f (1)D ．不能确定7．已知奇函数f (x )对任意的正实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))＞0，则一定正确的是( )A ．f (4)＞f (－6)B ．f (－4)＜f (－6)C ．f (－4)＞f (－6)D ．f (4)＜f (－6)8．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1，2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>09．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1，0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝( )A ．1 B.45 C ．－1D ．－4510．设f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1，1]上的增函数，且f (－12)·f (12)＜0，则方程f (x )＝0在[－1，1]内( )A ．可能有3个实数根B ．可能有2个实数根C ．有唯一的实数根D ．没有实数根二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．函数y ＝6x，x ∈[2，6]的值域为________．12．如果函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，（x >0）f （x ），（x <0）是奇函数，则f (x )＝________．13．已知函数f (x )＝4x 2＋kx －8在[－1，2]上具有单调性，则实数k 的取值范围是________． 14．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________．三、解答题(本大题共6小题，每小题10分，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．已知函数f (x )＝－2x ＋m ，其中m 为常数． (1)求证：函数f (x )在R 上是减函数； (2)当函数f (x )是奇函数时，求实数m 的值．16．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23|x |－a.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值等于94，求a 的值．17.已知函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，当x >0时，f (x )＝log 2x . (1)求当x <0时，函数f (x )的表达式；(2)若g (x )＝2x (x ∈R )，集合A ＝{x |f (x )≥2}，B ＝{y |y ＝g (x )，x ∈A }，试求集合B . 18．已知函数f (x )是正比例函数，函数g (x )是反比例函数，且f (1)＝1，g (1)＝2. (1)求函数f (x )和g (x )；(2)判断函数f (x )＋g (x )的奇偶性；(3)求函数f (x )＋g (x )在(0，2]上的最小值．附加题19．定义在[－1，1]上的偶函数f(x)，已知当x∈[0，1]时的解析式为f(x)＝－22x＋2x a(a∈R)．(1)求f(x)在[－1，0]上的解析式．(2)求f(x)在[0，1]上的最大值h(a)．20．已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)．(1)若该函数经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围；(2)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性．参考答案与解析1．[03090224] 【解析】选C.要使函数有意义，须满足：⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠0，1＋x >0，解之得x >－1且x ≠1.故其定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)． 2．[03090225] 【解析】选D.由f (x )为奇函数知f (－1)＝－f (1)＝－2.3．[03090226] 【解析】选D.由于函数y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上是递减的，且－3<0，因此函数y ＝－3x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是递增的，这里特别注意两区间之间只能用“和”或“，”，一定不能用“∪”．4．[03090227] 【解析】选D.由已知可得二次函数图象关于直线x ＝1对称，又f (－3)＝f (5)，c ＝f (0)＝f (2)，二次函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故有f (－3)＝f (5)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (2)＝f (0)＝c ，故选D.5．[03090228] 【解析】选A.设g (x )＝x ，h (x )＝e x ＋a e －x ，因为函数g (x )＝x 是奇函数，则由题意知，函数h (x )＝e x ＋a e －x 为奇函数，又函数f (x )的定义域为R ，所以h (0)＝0，解得a＝－1.6．[03090229] 【解析】选A.由题意知a ＞1，∴f (－4)＝a 3，f (1)＝a 2，由单调性知a 3＞a 2，∴f (－4)＞f (1)，故选A.7．[03090230] 【解析】选C.由(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))＞0 知f (x )在(0，＋∞)上递增， ∴f (4)＜f (6)⇔f (－4)＞f (－6)．8．[03090231] 【解析】选B.函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上是增函数，而f (2)＝0，所以当x 1∈(1，2)时，有f (x 1)<f (2)＝0；当x 2∈(2，＋∞)时，有f (x 2)>f (2)＝0.故选B.9．[03090232] 【解析】选C.由f (x －2)＝f (x ＋2)⇒f (x )＝f (x ＋4)，因为4<log 220<5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f (log 245)＝－1.10．[03090233] 【解析】选C.由f (x )在[－1，1]上是增函数，且f (－12)·f (12)＜0，知f (x )在[－12，12]上有唯一实数根，所以方程f (x )＝0在[－1，1]上有唯一实数根．11．[03090234] 【解析】∵y ＝6x 在(0，＋∞)上为减函数，∴当x ＝2时，y max ＝3，当x ＝6时，y min ＝1. ∴y ∈[1，3]．【答案】[1，3]12．[03090235] 【解析】令x <0，∴－x >0，g (－x )＝－2x －3， ∴g (x )＝2x ＋3，∴f (x )＝2x ＋3. 【答案】2x ＋313．[03090236] 【解析】函数f (x )＝4x 2＋kx －8的对称轴为x ＝－k 8，依题意有：－k8≤－1或－k8≥2，解得k ≥8或k ≤－16.【答案】k ≥8或k ≤－1614．[03090237] 【解析】当x ≥1时，log 12x ≤0，当x <1时，0<2x <2，故值域为(0，2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．【答案】(－∞，2)15．[03090238] 【解】(1)证明：设x 1，x 2是R 上的任意两个不相等的实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(－2x 1＋m )－(－2x 2＋m )＝2(x 2－x 1)． ∵x 1<x 2，∴x 2－x 1>0.∴f (x 1)>f (x 2)． ∴函数f (x )在R 上是减函数． (2)∵函数f (x )是奇函数，∴对任意x ∈R ，有f (－x )＝－f (x )． ∴2x ＋m ＝－(－2x ＋m )．∴m ＝0.16．[03090239] 【解】(1)令t ＝|x |－a ，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫23t，不论a 取任何值，t 在(－∞，0)上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y ＝⎝⎛⎭⎫23t是单调递减的，因此f (x )的单调递增区间是(－∞，0)，单调递减区间是[0，＋∞)；(2)由于f (x )的最大值是94，且94＝⎝⎛⎭⎫23－2，所以g (x )＝|x |－a 应该有最小值－2，从而a ＝2.17．[03090240] 【解】(1)当x <0时，－x >0，则有f (－x )＝log 2(－x )，又f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x )． (2)当x >0时，由f (x )≥2，得x ≥4；当x <0时，由f (x )≥2，得－14≤x <0.所以集合A ＝{x |x ≥4或－14≤x <0}，当x ≥4时，y ＝g (x )＝2x ≥16；当－14≤x <0时，y ＝g (x )＝2x ∈[2－14，1)．所以B ＝{x |2－14≤x <1或x ≥16}．18．[03090241] 【解】(1)设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x ，其中k 1k 2≠0.∵f (1)＝1，g (1)＝2，∴k 1×1＝1，k 21＝2，∴k 1＝1，k 2＝2.∴f (x )＝x ，g (x )＝2x .(2)设h (x )＝f (x )＋g (x )，则h (x )＝x ＋2x ，∴函数h (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵h (－x )＝－x ＋2－x＝－⎝⎛⎭⎫x ＋2x ＝－h (x )， ∴函数h (x )是奇函数，即函数f (x )＋g (x )是奇函数． (3)由(2)，知h (x )＝x ＋2x.设x 1，x 2是(0，2]上的任意两个不相等的实数，且x 1<x 2，则h (x 1)－h (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋2x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 2＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫2x 1－2x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－2x 1x 2＝（x 1－x 2）（x 1x 2－2）x 1x 2. ∵x 1，x 2∈(0，2]，且x 1<x 2， ∴x 1－x 2<0，0<x 1x 2<2.∴x 1x 2－2<0，∴(x 1－x 2)(x 1x 2－2)>0. ∴h (x 1)>h (x 2)．∴函数h (x )在(0，2]上是减函数，函数h (x )在(0，2]上的最小值是h (2)＝22，即函数f (x )＋g (x )在(0，2]上的最小值是2 2. 19．[03090242] 【解】(1)设x ∈[－1，0]，则－x ∈[0，1]，f (－x )＝－2－2x＋2－x a ，又∵函数f (x )为偶函数， ∴f (x )＝f (－x )， ∴f (x )＝－2－2x＋2－x a ，x ∈[－1，0]．(2)∵f (x )＝－22x ＋2x a ，x ∈[0，1]，令t ＝2x ，t ∈[1，2]． ∴g (t )＝at －t 2＝－(t －a 2)2＋a 24.当a2≤1，即a ≤2时，h (a )＝g (1)＝a －1；当1<a 2<2，即2<a <4时，h (a )＝g (a 2)＝a 24；当a2≥2，即a ≥4时，h (a )＝g (2)＝2a －4. 综上所述，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1， a ≤2，a24， 2<a <4，2a －4， a ≥4.20．[03090243] 【解】(1)∵函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝2(m 2＋m )－1，即212＝2(m 2＋m )－1，∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2.又∵m ∈N *，∴m ＝1. ∴f (x )＝x 12，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增．由f (2－a )>f (a －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32.∴a 的取值范围为[1，32)．(2)m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *，而m 与m ＋1中必有一个为偶数，∴m (m ＋1)为偶数．∴函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．。

人教B数学必修1：高中同步测试卷(五) Word版含答案

高中同步测试卷(五)单元检测函数的基本性质(B 卷) (时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a 为实数，则有( ) A ．f (a )<f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2＋a )<f (a )D ．f (a 2＋1)>f (a )2．下列说法正确的是( )①若一个图象关于y 轴对称，则该图象一定是偶函数的图象； ②若一个函数是奇函数，其图象一定关于原点对称； ③若y ＝f (x )是奇函数，则一定有f (0)＝0； ④不存在既是奇函数又是偶函数的函数． A ．①② B ．②③ C ．①③④D ．②3．已知f (x )是奇函数且对任意正实数x 1、x 2(x 1≠x 2)，恒有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则下式中一定正确的是( )A ．f (3)>f (－5)B ．f (－3)<f (－5)C ．f (－5)>f (3)D ．f (－3)>f (－5)4．若函数y ＝1x 2－ax ＋4在[2，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．[－4，4]C ．(0，12)D ．(0，4)5．函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，且f (x )在区间[3，7]上是增函数，最小值为5.则函数y ＝f (x )在区间[－7，－3]上是( )A ．增函数，且最小值为－5B ．增函数，且最大值为－5C ．减函数，且最小值为－5D ．减函数，且最大值为－56．若函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象分别如图所示，则f (x )·g (x )的图象可能是( )7．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－1，0)∪(0，1) B ．(－1，0)∪(0，1] C ．(0，1)D ．(0，1]8．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使f (x )<0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，2)9．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋4)，当x >2时，f (x )单调递增，如果x 1＋x 2<4，且(x 1－2)(x 2－2)<0，那么f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能为0D ．可正可负10．已知函数f (x ＋1)是偶函数，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <a <cB ．c 0时，给出下列四个关系： ①f (a )＋f (b )>f (－a )＋f (－b )；②f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )； ③f (a )＋f (－a )>f (－b )＋f (b )； ④f (a )＋f (－a )<f (b )＋f (－b )．其中不正确的是________．(填序号)12．若函数f (x )＝(k －2)x 2＋(k －1)x ＋2是偶函数，则f (x )的单调增区间是________． 13．已知函数y ＝f (x ＋1)为奇函数，y ＝f (x －1)为偶函数，且f (0)＝2，则f (4)＝________． 14．函数y ＝－x 2＋6x ＋9在区间[a ，b ](a 0时，f (x )＝x 3＋x ＋1，求f (x )的解析式．16．设函数f (x )＝x ＋2x ＋1，求f (x )的单调区间，并证明f (x )在其单调区间上的单调性．17.已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝4时，求f (x )的最小值； (2)当a ＝12时，求f (x )的最小值；(3)若a 为正常数，求f (x )的最小值．18．设函数f (x )在R 上是偶函数，在(－∞，0)上递增，且有f (2a 2＋a ＋1)<f (－3a 2＋2a －1)，求实数a 的取值范围．附加题19．已知函数f (x )＝x ＋4x ，x ∈[1，3]．(1)判断f (x )在[1，2]和[2，3]上的单调性； (2)根据f (x )的单调性写出f (x )的最值．20．已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且对任意x ，x ′∈R ，均有f (x ＋x ′)＝f (x )＋f (x ′)，对任意x >0，都有f (x )<0，f (3)＝－3.(1)证明函数y＝f(x)是R上的单调减函数；(2)试求函数y＝f(x)在[m，n](m，n∈Z，且mn<0)上的值域．参考答案与解析1．[03090080] 【解析】选D.∵a 2＋1>a ， ∵f (x )在R 上单调递增， ∴f (a 2＋1)>f (a )．2．[03090081] 【解析】选D.①中该图象不一定是函数图象；②正确；③y ＝f (x )是奇函数，不一定在原点处有定义，如f (x )＝1x；④f (x )＝0(x ∈R )既是奇函数又是偶函数．3．[03090082] 【解析】选D.由不等式可知f (x )在(0，＋∞)上是增函数，又f (x )是奇函数，故f (x )在(－∞，0)上是增函数，但f (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不一定是增函数，故选D ，而不能选A.4．[03090083] 【解析】选A.设u ＝x 2－ax ＋4，则函数u (x )在⎝⎛⎭⎫a2，＋∞上是增函数， y ＝1u 在⎝⎛⎭⎫a2，＋∞上是减函数． ∴a2≤2，即a ≤4. 又u (x )在[2，＋∞)应满足u (x )>0. 因此u (2)>0，即4－2a ＋4>0. ∴a <4.5．[03090084] 【解析】选B.利用函数的对称性画出图象即可得到函数y ＝f (x )在区间[－7，－3]上是增函数，且最大值为－5.6．[03090085] 【解析】选C.由图象知y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，故f (x )·g (x )为奇函数，排除A 、B.又当x ∈(3，＋∞)时，f (x )<0且g (x )<0， ∴f (x )·g (x )>0.而当x ∈(0，3)时，f (x )>0，g (x )<0， ∴f (x )·g (x )<0.综上分析知f (x )·g (x )的图象只能是C.7．[03090086] 【解析】选D.f (x )在[a ，＋∞)上是减函数，对于g (x )，只有当a >0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1，2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可，则a 的取值范围是0<a ≤1. 故选D.8．[03090087] 【解析】选D.由函数f (x )的性质可画出其草图，如图所示．则当f (x )<0时，－2<x <2.9．[03090088] 【解析】选A.∵(x 1－2)(x 2－2)<0， ∴不妨设x 1－2>0，x 2－2<0， ∴x 1>2，x 2<2，4－x 2>2. 又∵x 1＋x 2<4， ∴x 1<4－x 2.∵当x >2时，f (x )单调递增， ∴f (x 1)<f (4－x 2)．对于f (－x )＝－f (x ＋4)，把x 换成－x 2，则可得f (x 2)＝－f (4－x 2)，即f (4－x 2)＝－f (x 2)，∴f (x 1)<－f (x 2)，即f (x 1)＋f (x 2)<0.10．[03090089] 【解析】选A.由于f (x ＋1)是偶函数，则f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，则a ＝f ⎝⎛⎭⎫－32＋1＝f ⎝⎛⎭⎫32＋1＝f ⎝⎛⎭⎫52，又当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0恒成立，所以函数f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数．又2<52<3，所以f (2)<f ⎝⎛⎭⎫52<f (3)．所以b <a <c .11．[03090090] 【解析】∵a ＋b >0，∴a >－b ，b >－a . 又∵f (x )在R 上是减函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )．∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．【答案】①③④12．[03090091] 【解析】∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝(k －2)·(－x )2＋(k －1)·(－x )＋2＝f (x )＝(k －2)x 2＋(k －1)·x ＋2.∵对于x 来说可以取任意数，∴对应项系数相等，即k －1＝1－k ，∴k ＝1. ∴f (x )＝－x 2＋2，它的对称轴是y 轴，开口向下，单调递增区间是(－∞，0]．【答案】(－∞，0]13．[03090092] 【解析】由f (x －1)＝f (－x －1)，得f (0)＝f (－2)＝2，由f (x ＋1)＝－f (－x ＋1)，得f (4)＝－f (－2)＝－2. 【答案】－214．[03090093] 【解析】y ＝－x 2＋6x ＋9＝－(x －3)2＋18，对称轴为x ＝3，开口向下． ∵a 0，得f (－x )＝(－x )3＋(－x )＋1 ＝－x 3－x ＋1.又∵f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )． ∴－x 3－x ＋1＝－f (x )，即f (x )＝x 3＋x －1. ∴当x <0时，f (x )＝x 3＋x －1.又f (x )是定义在R 上的奇函数，故f (0)＝0. ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋x ＋1，x >0，0， x ＝0，x 3＋x －1，x <0.16．[03090095] 【解】函数f (x )的单调区间是(－∞，－1)，(－1，＋∞)．证明f (x )在其单调区间上的单调性如下：f (x )＝（x ＋1）＋1x ＋1＝1＋1x ＋1，函数的定义域为{x ∈R |x ≠－1}．任取x 1，x 2≠－1，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫1＋1x 1＋1－⎝⎛⎭⎫1＋1x 2＋1＝x 2－x 1（x 1＋1）（x 2＋1）.∵x 1<x 2，∴x 2－x 1>0.当x 1<x 2<－1时，x 1＋1<0，x 2＋1<0， ∴(x 1＋1)(x 2＋1)>0，∴x 2－x 1（x 1＋1）（x 2＋1）>0，即f (x 1)－f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )是减函数；当－1<x 1<x 2时，x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴(x 1＋1)(x 2＋1)>0，∴x 2－x 1（x 1＋1）（x 2＋1）>0，即f (x 1)－f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )是减函数．∴函数f (x )在区间(－∞，－1)和(－1，＋∞)上都是减函数．17．[03090096] 【解】(1)当a ＝4时，f (x )＝x ＋4x ＋2，易知f (x )在[1，2]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数．故f (x )min ＝f (2)＝6；(2)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2.易知f (x )在[1，＋∞)上为增函数．故f (x )min ＝f (1)＝72；(3)函数f (x )＝x ＋ax＋2在(0，a )上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．若a >1，即a >1时，f (x )在区间[1，＋∞)上先减后增，f (x )min ＝f (a )＝2a ＋2；若a ≤1，即0<a ≤1时，f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，f (x )min ＝f (1)＝a ＋3.18．[03090097] 【解】由f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，则f (x )在(0，＋∞)上递减．因为2a 2＋a ＋1＝2⎝⎛⎭⎫a ＋142＋78>0，－3a 2＋2a －1＝－3⎝⎛⎭⎫a －132－23<0，又因为f (2a 2＋a ＋1)<f (－3a 2＋2a －1)＝f (3a 2－2a ＋1)，所以2a 2＋a ＋1>3a 2－2a ＋1，即a 2－3a <0，解得0<a <3.19．[03090098] 【解】(1)设x 1，x 2是区间[1，3]上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2＋4x 1－4x 2＝(x 1－x 2)(1－4x 1x 2)． ∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0.当1≤x 1<x 2≤2时，1<x 1x 2<4，∴4x 1x 2>1.∴1－4x 1x 2<0.∴f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )在[1，2]上是减函数．当2≤x 1<x 2≤3时，4<x 1x 2<9，∴49<4x 1x 2<1.∴1－4x 1x 2>0，f (x 1)－f (x 2)<0.∴f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在[2，3]上是增函数．(2)由(1)知f (x )的最小值为f (2)＝2＋42＝4，又∵f (1)＝5，f (3)＝3＋43＝133<f (1)，∴f (x )的最大值为5.20．[03090099] 【解】(1)证明：对任意x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，f (x 2)＝f [x 1＋(x 2－x 1)]，于是由题设条件f (x ＋x ′)＝f (x )＋f (x ′)，可知f (x 2)＝f (x 1)＋f (x 2－x 1)． ∵x 2>x 1，∴x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)<0. ∴f (x 2)＝f (x 1)＋f (x 2－x 1)<f (x 1)．故函数y ＝f (x )是R 上的单调减函数． (2)∵函数y ＝f (x )是R 上的单调减函数，∴y＝f(x)在[m，n]上单调递减，∴y＝f(x)在[m，n]上的最大值为f(m)，最小值为f(n)．f(n)＝f[1＋(n－1)]＝f(1)＋f(n－1)＝2f(1)＋f(n－2)＝…＝nf(1)，同理可得f(m)＝mf(1)．∵f(3)＝3f(1)＝－3，∴f(1)＝－1，∴f(m)＝－m，f(n)＝－n.因此函数y＝f(x)在[m，n]上的值域为[－n，－m]．- 11 -。

人教B版数学高一版必修1模块综合测评

数学人教B 必修1模块综合测评(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与函数f (x )＝|x |是同一个函数的是( )A ．2y x = B ．2x y x=C ．y ＝e ln xD ．y ＝log 33x 2．若2()|21y A x y x -⎧⎫==⎨⎬+⎩⎭，，B ＝{(x ，y )|y ＝ax －3}，若A ∩B ＝，则实数a 的取值是( )A ．2B ．－5C ．2或－5D ．13．定义域为R 的函数y ＝f (x )的值域为[a ，b ]，则函数y ＝f (x ＋a )的值域为( ) A ．[2a ，a ＋b ] B ．[0，b －a ] C ．[a ，b ] D ．[－a ，a ＋b ]4．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1)＜13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的x 的取值范围是( )A ．1233⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．1233⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C ．1223⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．1223⎡⎫⎪⎢⎣⎭，5．定义域为R 的二次函数f (x )，其对称轴为y 轴，且它在(0，＋∞)上是减函数，则下列不等式中成立的是( )A ．34f ⎛⎫-⎪⎝⎭＞f (a 2－a ＋1) B ．34f ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥f (a 2－a ＋1)C ．34f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＜f (a 2－a ＋1)D ．34f ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤f (a 2－a ＋1)6．(2011·湖北荆州中学高一期末)函数12log (1)(1)x y x x =++-的定义域是( ) A ．(－1,0) B ．(－1,1) C ．(0,1) D ．(0,1]7．已知集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}．若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．48．(2011·山东日照高一期末)计算3log 213lg lg 52+-的结果为( )A ．2B ．1C ．3D ．－1 9．若函数y ＝ax 与by x=-在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增10．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )＝( )A ．log 2xB ．12log xC ．12x D ．x 2 11．幂函数y ＝x 2，y ＝x －1，13y x =，12y x -=在第一象限内的图象依次是图中的曲线( )A ．C 2，C 1，C 3，C 4B ．C 4，C 1，C 3，C 2 C ．C 3，C 2，C 1，C 4D ．C 1，C 4，C 2，C 312．函数f (x )，f (x ＋2)均为偶函数，且当x ∈[0,2]时，f (x )是减函数，设81log 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，b ＝f (7.5)，c ＝f (－5)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上)13．化简：2lg2lg3111lg0.36lg823+++的结果等于__________．14．(2011·山东日照高一期末)已知幂函数f (x )＝x n 的图象过点(2，2)，则f (9)＝__________.15．如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间112⎛⎫⎪⎝⎭，上是增函数，那么f (2)的取值范围是__________．16．函数21()mmf x x +=(m ∈N ＋)的定义域是__________，其单调减区间是__________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)设A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}． (1)A ∩B ＝A ∪B ，求a 的值． (2)A ∩B ，且A ∩C ＝，求a 的值；(3)A ∩B ＝A ∩C ≠，求a 的值．18．(12分)(1)已知21lgf xx⎛⎫+=⎪⎝⎭，求f(x)；(2)已知函数f(x)满足f(3x＋1)＝9x2－6x＋5，求f(x)．19．(12分)某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初始含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，问至少过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)20．(12分)已知函数()f x=A．(1)求集合A；(2)若函数g(x)＝(log2x)2－2log2x－1，且x∈A，求函数g(x)的最值及对应的x值．21．(12分)当m为何值时，关于x的方程||12xm⎛⎫=⎪⎝⎭，(1)有唯一解；(2)有两个不同的解；(3)无解？22．(14分)已知定义域为R的函数2()21xxaf x-+=+是奇函数．(1)求实数a的值；(2)用定义证明f(x)在R上是减函数；(3)已知不等式3log(1)04mf f⎛⎫+->⎪⎝⎭恒成立，求实数m的取值范围．参考答案1. 答案：A 由于2y x x ==，所以函数f (x )＝|x |与2y x =的定义域均为R ，且解析式相同，是同一函数．2. 答案：C 集合A 表示一条直线y －2＝2(x ＋1)上除去点(－1,2)的点的集合，集合B 是直线y ＝ax －3上的点的集合，A ∩B ＝，则说明两条直线平行或直线y ＝ax －3经过点(－1,2)，可得a ＝2或－5.3. 答案：C4. 答案：A 因为f (x )是偶函数，所以f (2x －1)＝f (|2x －1|)．又f (x )在[0，＋∞)上单调增加，∴|2x －1|＜13，解得1233x <<. 5. 答案：B ∵a 2－a ＋1＝212a ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋34≥34，∴f (a 2－a ＋1)≤3344f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选B.6. 答案：C 由100110x x x x +>⎧⎪>≠⎨⎪-≥⎩，且，，得0＜x ＜1.∴定义域为(0,1)．7. 答案：D 由已知，得a ＝4且a 2＝16，或a ＝16且a 2＝4，显然只有a ＝4.故选D. 8. 答案：B 3log 213lg lg 52+-＝2－(lg 2＋lg 5)＝2－1＝1.故选B.9. 答案：B 依题意，得a ＜0，b ＜0，y ＝ax 2＋bx ＝2224b b a x a a ⎛⎫+-⎪⎝⎭. ∵a ＜0，b ＜0，∴x ＝2ba-＜0.∴y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是减函数，故选B.10. 答案：B 由题意，知f (x )＝log a x ，又点a a )在反函数的图象上， ∴1log 2a a ==，故选B. 11. 答案：D12. 答案：A 因为f (x ＋2)为偶函数，所以f (x ＋2)＝f (2－x )，故函数f (x )图象关于x ＝2对称，又f (x )为偶函数，所以f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝f [2－(2＋x )]＝f (－x )＝f (x )，1133a f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，b ＝f (7.5)＝f (－0.5)＝f (0.5)，c ＝f (－5)＝f (5)＝f (1)．又因为当x ∈[0,2]时，f (x )是减函数，且13＜0.5＜1，所以有a ＞b ＞c .13. 答案：1 2lg(23)lg12=1lg(100.62)lg12⨯==⨯⨯原式.14. 答案：3 由f (2)＝2n，得12n =. ∴f (9)3.15. 答案：[7，＋∞) f (x )的对称轴为12a x -=，∴1122a -≤. ∴a ≤2.∴f (2)＝4－2(a －1)＋5＝11－2a ≥7.16. 答案：[0，＋∞) 不存在由于m 2＋m ＝m (m ＋1)且m ∈N ，故m (m ＋1)一定是偶数，因此f (x )的定义域是[0，＋∞)．又210m m>+，所以f (x )只有增区间[0，＋∞)，无减区间． 17. 答案：解：(1)∵A ∩B ＝A ∪B ，∴A ＝B . ∴25196a a =⎧⎨-=⎩，，解得a ＝5. (2)由于B ＝{2,3}，C ＝{－4,2}，故只可能3∈A . 此时a 2－3a －10＝0，即a ＝5或a ＝－2，由(1)可得a ＝－2.(3)此时只可能2∈A ，有a 2－2a －15＝0，即a ＝5或a ＝－3，由(1)可得a ＝－3. 18. 答案：解：(1)换元法：令t ＝2x＋1，则21x t =-，∵x ＞0，∴t ＞1. ∴2()lg 1f t t =-，t ＞1.∴2()lg 1f x x =-，x ＞1.(2)令t ＝3x ＋1，则3x ＝t －1. ∵x ∈R ，所以t ∈R .∴f (t )＝(t －1)2－2(t －1)＋5＝t 2－2t ＋1－2t ＋7＝t 2－4t ＋8，t ∈R . ∴f (x )＝x 2－4x ＋8，x ∈R .19. 答案：解：依题意，得22110031000n ⎛⎫⋅≤⎪⎝⎭，即21320n⎛⎫≤ ⎪⎝⎭. 则n (lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，故1lg27.4lg3lg2n +≥≈-，考虑到n ∈N ，故n ≥8，即至少要过滤8次才能达到市场要求．20. 答案：解：(1)要使函数有意义，则有3log (41)0,1620.xx -≥⎧⎨-≥⎩解得4411,22.x x -≥⎧⎨≤⎩∴12≤x ≤4.∴1|42A x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭. (2)令log 2x ＝t ，∵1,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴t ∈[－1,2]，∴g (t )＝t 2－2t －1＝(t －1)2－2 .∴当t ＝1时，g (t )min ＝－2，此时x ＝2；当t ＝－1时，g (t )max ＝2，此时12x =. 21. 答案：解：设||112x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，y 2＝m .在同一平面直角坐标系内作出函数||112x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数y 2＝m 的图象，如图所示．由图可知：(1)若函数y 2＝m 与||112x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象只有一个交点，即方程有唯一解，此时直线为y 2＝1，即m ＝1；(2)若函数y 2＝m 与||112x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象有两个交点，即方程有两个不同的解，此时0＜m＜1；(3)若函数||112x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与y 2＝m 的图象无交点，即方程无解，此时m ＞1或m ≤0.综上，(1)当m ＝1时，方程有唯一解； (2)当0＜m ＜1时，方程有两个不同的解； (3)当m ＞1或m ≤0时，方程无解． 22. 答案：解：(1)∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )．令x ＝0，则f (0)＝0，即102a -=，∴a ＝1. ∴12()12xxf x -=+.(2)证明：由(1)知122()11221x x xf x -==-+++，任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则∆x ＝x 2－x 1＞0，∆y ＝f (x 2)－f (x 1)＝122112222(22)112121(21)(21)x x x x x x -⎛⎫⎛⎫-+--+= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭.∵x1＜x2，故2x1＜2x2.又2x1＞0,2x2＞0，从而f(x2)－f(x1)＝12122(22)0 (21)(21)x xx x-<++，即∆y＜0，故f(x)在R上是减函数．(3)∵f(x)是奇函数，从而不等式3log4mf⎛⎫⎪⎝⎭＋f(－1)＞0等价于3log4mf⎛⎫⎪⎝⎭＞－f(－1)＝f(1)．∵f(x)在R上为减函数，由上式推得：3log4m＜1＝log m m.∴当0＜m＜1时，上式等价于34m >，∴0＜m＜34；当m＞1时，上式等价于34m <，∴m＞1.综上，30,(1)4m⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭,．。

高中数学综合测试6 新人教B版必修1必修2

A 1A B1C C1B 高中数学综合测试6 新人教B 版必修1必修2一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{2,3,4,5}A =，则U A =(A){1 , 3} (B){2 , 6} (C){1 , 6} (D){1 , 5} （2）点(3,5)A -关于原点的对称点是(A)(5,3)-- (B)(3,5)-- (C)(3,5)- (D)(3,5)（3）计算3log 213lg lg52+-的结果为(A)2 (B)1 (C)3 (D)-1（4）集合{|12},{|}A x x B x x a =<<=<，若A B ，则实数a 的取值范围是(A){|2}a a ≥ (B){|1}a a ≤ (C){|1}a a ≥ (D){|2}a a ≤（5）如右图几何体中，ABC ∆为锐角三角形，1AA //1BB //1CC ,1CC ⊥平面ABC ，且31AA =321BB =1CC ,则多面体ABC –A 1B 1C 1 的主视图是(A) (B) (C) (D)（6）若 1.23353(), 1.2,log 1.25a b c ===，则a 、b 、c 的大小关系是(A)c b a << (B)a b c << (C)b a c << (D)b c a <<（7）直线70x ay +-=与直线(1)2140a x y ++-=互相平行，则a 的值是 (A)1 (B)-2(C)1或-2(D)-1或2（8）函数22(1)()(12)x x f x xx +-⎧=⎨-<<⎩≤，若3)(=x f ，则x 的值是(A)3(B)±3 (C)1 (D)3或1（9）如果某林区森林木材蓄积量每年平均比上一年增长11.3%，经过x 年可以增长到原来的y 倍，则函数)(x f y =的图象大致为(A) (B) (C) (D) （10）在下列关于直线,l m 与平面,αβ的命题中，正确的是(A)若l β⊂且αβ⊥，则l α⊥ (B)若l β⊥且α∥β，则l α⊥ (C)若l β⊥且αβ⊥，则l ∥α (D)若m αβ=，且l ∥m ，则l ∥α（11）若直线2=-y x 被圆4)(22=+-y a x 所截得的弦长为22a 的值为(A) -1或3 (B) 1或3 (C) -2或6 (D) 0或4（12）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0)-∞上是减函数，且(3)0f =，则使()0f x <的x 范围为(A)(3,3)-(B) (3,)+∞ (C)(,3)-∞ (D)(,3)(3,)-∞+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.（13）已知幂函数()n f x x =的图象经过点)2,2(，则=)9(f .（14）圆x 2+y 2-4x -2y -5=0的圆心坐标是 .（15）若函数()3lg(2)f x x x +-的定义域为A ，集合{|e 1}x B x =≥，则A B = . （16）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的体积为 . 三、解答题：本大题共6小题，共74分. （17）（本小题满分12分）已知函数2()1f x x=-. （Ⅰ）若()()g x f x a =-为奇函数，求a 的值；（Ⅱ）试判断()f x 在(0,)+∞内的单调性，并用定义证明. （18）（本小题满分12分）已知直线l 经过点P （－2，5），且斜率为.43-（Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）求与直线l 切于点（2，2），圆心在直线110x y +-=上的圆的方程. （19）（本小题满分12分）某几何体的直观图与三视图如下，其中主视图、俯视图都是直角三角形，左视图是等边三角形.（Ⅰ）证明：AB ⊥CD ；（Ⅱ）求该几何体的体积.（20）（本小题满分12分）根据市场调查，某种新产品投放市场的30天内，每件销售价格P （元）与时间t （天 t +∈N ）的关系满足下图，日销量Q （件）与时间t （天）之间的关系是40()N Q t t +=-+∈．（Ⅰ）写出该产品每件销售价格P 与时间t 的函数关系式；（Ⅱ）在这30天内，哪一天的日销售金额最大？（日销量金额=每件产品销售价格×日销量）（21）（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ABC =90°，BC =CC 1，M 、N 分别为BB 1、A 1C 1的中点.（Ⅰ）求证：CB 1⊥平面ABC 1；（Ⅱ）求证：MN //平面ABC 1.（22）（本小题满分14分）已知二次函数2()f x ax bx =+满足(1)()1f x f x x -=+-. （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）求函数()f x 的零点，并写出()0f x <时，x 取值的集合；（Ⅲ）设2()4()31(01)x x F x f a a a a =+->≠且，当[1,1]x ∈-时，()F x 有最大值14, 试求a 的值.参考答案一、选择题：每小题5分，共60分.CCBAD CBADB DA二、填空题：每小题4分，共16分.（13）3；（14）（2，1）；（15）[0,2)；（16）．三、解答题：本大题共6小题，共74分．（17）解：（Ⅰ）由已知()()g x f x a =-得：2()1g x a x=--， …………2分 ∵()g x 是奇函数，∴()()g x g x -=-，即221(1)()a a x x--=----，解得 1.a =………5分（Ⅱ）设120x x <<，则121222()()1(1)f x f x x x -=---12122()x x x x -=. 9分 ∵120x x <<，∴12120,0x x x x -<>，从而12122()0x x x x -<， 11分即12()()f x f x <.所以函数()f x 在(0,)+∞内是单调增函数. 12分（18）解：（Ⅰ）由直线方程的点斜式，得),2(435+-=-x y 整理，得所求直线方程为.01443=-+y x………………4分（Ⅱ）过点（2，2）与l 垂直的直线方程为4320x y --=， ………………6分由110,4320.x y x y +-=⎧⎨--=⎩得圆心为（5，6），………………8分∴半径5R =， ………………10分故所求圆的方程为22(5)(6)25x y -+-=． …………12分（19）解：（I ）由三视图知三棱锥A -BCD 中，面ABC ⊥面BCD ,∠BCD =90°,AC =CD =BC , ……………4分面ABC ⊥面BCD , 面ABC ∩面BCD =BC ,∵CD ⊥BC ，∴CD ⊥面ABC .∵AB ⊂面ABC ∴CD ⊥AB . ……………8分（II ）三棱锥A -BCD的体积为3111223323ABC V S CD a a ∆=⋅⋅=⋅⋅⋅=． ………12分（20）解：（Ⅰ）根据图象，每件销售价格P 与时间t 的函数关系为：30(020,)50(2030,)N N t t t P t t +++<≤∈⎧=⎨<≤∈⎩. ………………4分（Ⅱ）设日销售金额y （元），则(30)(40)(020,)50(40)(2030,)t t t t y t t t +++-+<≤∈⎧=⎨-+<≤∈⎩N N …………6分2101200(020,)502000(2030,).N N t t t t t t t ++⎧-++<≤∈⎪=⎨-+<≤∈⎪⎩ (8)分若020,N t t +<≤∈时，,1225)5(12001022+--=++-=t t t y ………………10分 ∴当t =5时，;1225max =y 若20<t ≤30，t ∈N +时，y =－50t +2000是减函数，∴y <－50×20+2000=1000,因此，这种产品在第5天的日销售金额最大，最大日销售金额是1225元. ……………………12分（21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC ，且侧面BB 1C 1C ∩底面ABC =BC ， ∵∠ABC =90°，即AB ⊥BC ，∴AB ⊥平面BB 1C 1 ………………2分 ∵CB 1⊂平面BB 1C 1C ，∴AB ⊥CB 1. …………… 4分 ∵1BC CC =，1CC BC ⊥，∴11BCC B 是正方形， ∴11CB BC ⊥，∴CB 1⊥平面ABC 1.（Ⅱ）取AC 1的中点F ，连BF 、NF . ………………7分在△AA 1C 1中，N 、F 是中点，∴NF 1//2=AA 1，又∵BM 1//2=AA 1，∴EF //=BM ，………8分故四边形BMNF 是平行四边形，∴MN //BF ，…………10分而EF ⊂面ABC 1，MN ⊄平面ABC 1，∴MN //面ABC 1…12分（22）解：（Ⅰ）2()f x ax bx =+满足(1)()1,f x f x x -=+-22(1)(1)1,a x b x ax bx x ∴-+-=++-22(2)(1)1,ax a b x a b ax b x --+-=++-即(2)111,,.122a b b a b a b --=+⎧∴=-=⎨-=-⎩解得211().22f x x x ∴=-+ ……………………5分（II ）由()0f x =得函数的零点为0，1.又函数()f x 的图像是开口向下的抛物线，∴()0f x <时10.x x ><或∴x 取值的集合为{}10.x x x ><或 …………………………………………9分（III ）由2()4()31(01),xxF x f a a a a =+->≠且得2()21x x F x a a =+-.①当1a >时，令x u a =,[1,1]x ∈-，1[,]u a a∴∈，22()21(1)2g u u u u =+-=+-令， 1[,]u a a∈.对称轴1u =-,∴()g u 在1[,]a a上是增函数.2max ()()2114g u g a a a ∴==+-=， 22150a a ∴+-=,3,5a a ∴==-（舍）.②当01a <<时,令xu a =,[1,1]x ∈-1[,]u a a∴∈22()21(1)2g u u u u ∴=+-=+- ， 1[,]u a a∈，对称轴1u =-,∴()g u 在1[,]a a上是增函数.2max 112()()()114g u g a a a ∴==+-=， 113,5a a ∴==-（舍），13a ∴=. 综上13a =或3a =. ……………………14分。

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