高考数学总复习 第2章 函数概念与基本初等函数I 第5节 指数与指数函数课件 文 新人教A版
2025版高考数学总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第5讲指数与指数函数
指数函数中的分类与整合思想[解析] 设t ＝x 2＋2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0， 由图象得t ∈[－1,0]．①当a >1时，g (t )＝a t＋b 在[－1,0]上为增函数，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ＋b ，1＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1a ＋b ＝52，1＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝2.②当0<a <1时，g (t )＝a t＋b 在[－1,0]上为减函数，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋b ，1a ＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＝52，1a ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝23，b ＝32.综上所述，a ＝2，b ＝2或a ＝23，b ＝32.名师点拨：分类与整合就是所给变量不能进行统一研究时，要分类研究，再整合得到的结论．指数函数的单调性与底数的取值有关，如果底数是字母时，常分情况讨论．解指数函数综合问题的两个注意点：1．指数函数的底数不确定时，应分a >1和0<a <1两种情况讨论．2．解决和指数函数有关的值域或最值问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法求解时要注意新元的取值范围．【变式训练】设a >0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求实数a 的值．[解析] 设a x ＝t ，则a 2x ＝t 2，①当a >1时，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，y ＝t 2＋2t －1，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上为增函数，当t ＝a 时，取得最大值，a 2＋2a －1，所以a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍)； ②当0<a <1时，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，y ＝t 2＋2t －1，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上为增函数，当t ＝1a 时，取得最大值，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋2a －1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋2a －1＝14，解得a ＝13或a ＝－15(舍)．综上所述，a ＝3或13.。
高考数学一轮复习 第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 第五节 指数与指数函数实用课件 文
式子n a叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (2)a 的 n 次方根的表示 n x＝___a__当n为奇数且n＞1时， xn＝a⇒x＝_±_n__a_当n为偶数且n＞1时.
2．有理数指数幂
所以原式＝1487＋ ＋23＝25. 答案：25
02 突破点(二) 指数函数的图象及应用
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．指数函数的图象
函数
y＝ax(a＞0，且 a≠1)
0＜a＜1
a＞1
图象
在 x 轴_上__方_，过定点_(0_,_1_)
图象
特征 当 x 逐渐增大时，图象逐渐 当 x 逐渐增大时，图象
解析：原式＝(a
9 2
a
3 2
)
1 3
÷(a
7 3
a
13 3
)
1 2
＝(a3)
1 3
÷(a2)
1 2
＝a÷a＝1.
答案：1
4
1
3. 4b
a 3 －8a 3 b
2 3
＋23
ab＋a
2 3
÷a
2 3
－2
3
a
b×5
3
a·
a2
＝________.
a·3 a
11
1
1
1
21
解
析
：
原
式
＝
a
1 3
a 3 [a 2＋a
[解析] 当 a＞1 时函数单调递增，且函数图象过点0，1－1a， 因为 0＜1－1a＜1，故①②均不正确；当 0＜a＜1 时，函数单调递 减，且函数恒过点0，1－1a，因为 1－1a＜0，所以④正确．
高考数学一轮复习 第2章 函数的概念与基本初等函数(ⅰ) 第5节 指数与指数函数课件 文
‖基础自测‖
一、疑误辨析
1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
4
(1)
（－4）4＝－4.(
)
2
1
(2)(－1)4＝(－1)2＝ －1.( )
(3)函数 y＝2x－1 是指数函数．( )
(4)函数 y＝ax2＋1(a＞1)的值域是(0，＋∞)．( )
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考点 指数函数的图象及应用
【例】 (1)函数 f(x)＝ax－b 的图象如图所示，其中 a，b 为常数，则下列结论正确的 是( )
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 (2)若方程|3x－1|＝k 有一解，则 k 的取值范围为________．
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(2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ 6 __a_r_＋_s____ (a＞0，r，s∈Q)， ②(ar)s＝ 7 ___a_r_s____ (a＞0，r，s∈Q)， ③(ab)r＝ 8 __a_r_b_r____ (a＞0，b＞0，r∈Q)． 3．指数函数及其性质 (1)概念：函数 y＝ax(a＞0 且 a≠1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，函数的定 义域是 R，a 是底数．
性质 当 x＜0 时， 12 _0_＜__y_＜__1__ 当 x＞0 时， 14 _0_＜__y_＜__1__
在 ( － ∞ ， ＋ ∞) 上 是 15 在 ( － ∞ ， ＋ ∞) 上 是 16
_增__函__数____
_减__函__数____
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‖常用结论‖ 1．指数函数的单调性仅与底数 a 的取值有关． 2．画指数函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)， －1，1a.
新教材高考数学一轮复习第2章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第5节指数与指数函数课件新人教A版
n＞1)
0 的正分数指数幂等于_0_，0 的负分数指数幂_没__有__意__义_
指数 幂的 aras＝_a_r_＋_s_(a＞0，r，s∈Q)；(ar)s＝_a_rs_(a＞0，r，s∈Q)； 运算 (ab)r＝_a_rb_r_(a＞0，b＞0，r∈Q) 性质
3.指数函数的概念 一般地，函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)叫做指数函数，其中指数 x 是 自变量，定义域是 R.形如 y＝kax，y＝ax＋k(k∈R 且 k≠0，a>0 且 a≠1) 的函数叫做指数型函数，不是指数函数．
减__函__数__
_增__函__数_
性质
0<a<1
a>1
过定点_(_0_,1_)_，即 x＝0 时，y＝1
当 x<0 时，_y_>_1_；
当 x>0 时，_y_>_1_；
当 x>0 时，_0_<_y_<_1__
当 x<0 时，_0_<_y_<_1__
减__函__数_的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx 的图象， 底数 a，b，c，d 与 1 之间的大小关系为 c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们 可得到以下规律：在第一象限内，指数函数 y＝ax(a＞0，a≠1)的图 象越高，底数越大．
( ×) ( ×) ( ×)
1
2．计算[(－2)6]2－(－1)0 的结果为( ) A．－9 B．7 C．－10 D．9
B 解析：原式＝26×12－1＝23－1＝7.故选 B．
3．若函数 f (x)＝ax(a>0，且 a≠1)的图象经过点 P2，12，则 f (－ 1)＝________.
高考数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第5节指数与指数函数课件新人教A版
(2)指数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域 值域
性质
R
_(_0_，___＋__∞___) __ 过定点_(_0_，__1__)_，即x＝0时，y＝1
当x>0时，___y_>_1___； 当x<0时，_0_<__y_<_1__
与 0<a<1 来研究. 3.在第一象限内，指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象越高，底数越大.
诊断自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)ห้องสมุดไป่ตู้ （－4）4＝－4.( )
(2)分数指数幂 amn可以理解为mn 个 a 相乘.(
)
(3)函数 y＝2x－1 是指数函数.( )
的大小关系是( )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.b<a<c
D.b<c<a
解 析 根 据 指 数 函 数 y ＝ 0.6x 在 R 上 单 调 递 减 可 得 0.61.5<0.60.6<0.60 ＝ 1 ， 而 c ＝
1.50.6>1，∴b<a<c.
答案 C
4.(2017·北京卷)已知函数 f(x)＝3x－13x，则 f(x)(
规律方法 求解与指数函数有关的复合函数问题，第一要熟知指数函数的定义域、 值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最 值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断. 易错警示 在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要 分类讨论.
高考数学总复习 第2章 第5讲 指数及指数函数课件 理 新人教A版
• (2) 有理数指数幂的运算性质 • ①ar·as＝________(a>0，r、s∈Q)； • ②(ar)s＝________(a>0，r、s∈Q)； • ③(ab)r＝________(a>0，b>0，r∈Q)． • 上述有理数指数幂的运算性质，对于无理数
指数幂也适用．
11
下列根式和分数指数幂的互化是否正确 ①(－ x)＝(－x)12(x≠0)( )
13
• 3. 指数函数的图象与性质
y＝ax
a>1
0<a<1
图象
定义域 值域
性质
____
________
过定点________
当x>0时，
当x>0时，
________；当x<0 ________；当x<0
时，________
时，________
在R上是________ 在R上是________
14
指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与y＝(
填一填：(1)(－∞，0] (2)[12，＋∞) (3)(1，＋∞)
18
核心要点研究
19
例1 化简下列各式(其中各字母均为正数)．
(1)
×(－
7 6
)0＋80.25×
4 2
＋(
3 2
×
3 )6－
；
. 20
• [审题视点] 熟记有理数指数幂的运算性质是 化简的关键．根式与指数式间互化也是解题 关键．
② ＝－3 x(x≠0)( )
③(yx)
4 ＝
yx3(x，y>0)(
)
④6 y2＝ (y<0)( )
12
第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第5节 指数与指数函数
索引
(2)如果函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是
___(_－__∞__，__－__1_]___.
解析 在同一平面直角坐标系中画出y＝|3x－1|与y ＝－m的图象，如图所示. 由函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限， 则y＝|3x－1|与y＝－m在第二象限没有交点， 由图象知－m≥1，即m≤－1.
索引
2.分数指数幂 规定：正数的正分数指数幂的意义是 amn＝__n_a_m(a>0，m，n∈N*，且 n>1)； 1 正数的负分数指数幂的意义是 a－mn＝_n__a_m(a>0，m，n∈N*，且 n>1)；0 的正 分数指数幂等于 0；0 的负分数指数幂__没__有__意__义__.
索引
3.指数幂的运算性质 实数指数幂的运算性质：aras＝__a_r＋__s _；(ar)s＝__a_r_s ；(ab)r＝_a_r_b_r_，其中a>0， b>0，r，s∈R.
索引
(3)函数 y＝14x－12x＋1 在区间[－3，2]上的值域是__34_，__5_7__. 解析 因为 x∈[－3，2]，所以若令 t＝12x，则 t∈14，8， 故 y＝t2－t＋1＝t－212＋43. 当 t＝12时，ymin＝34； 当 t＝8 时，ymax＝57. 故所求函数值域为34，57.
索引
角度2 解简单的指数方程或不等式
例
3 (1)已知实数 1
a≠1，函数
f(x)＝42xa， －x，x≥x<00，，若
f(1－a)＝f(a－1)，则
a
的值为
__2______.
解析 当 a<1 时，41－a＝21，解得 a＝12； 当 a>1 时，代入不成立，故 a 的值为12.
高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 5 第5讲 指数与指数函数课件 理
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[迁移探究 2] (变条件)将本例(2)改为：函数 y＝|2x－1|在(－∞， k]上单调递减，求 k 的取值范围．
解：因为函数 y＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以 k≤0， 即 k 的取值范围为(－∞，0]．
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(2)当 a＞1 时，如图②，而 y＝2a＞1 不符合要求．
所以 0＜a＜12. 答案：0，12
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指数函数的性质及应用(多维探究)
角度一 指数函数单调性的应用
(1)已知 a＝1223，b＝2－43，c＝1213，则下列关系式中正确的 是( )
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(2)有理数指数幂的运算性质 ①aras＝___a_r＋__s _ (a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝___a_r_s __ (a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝___a_rb_r__ (a>0，b>0，r∈Q)．
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第二章 函数(hánshù)概念与基本初等函 数(hánshù)
第 5 讲 指数与指数函数
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1．根式 (1)根式的概念 ①若___x_n＝__a___，则 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1 且 n∈N*. 式子___n__a____叫做根式，这里__n__叫做根指数，___a__叫做被 开方数．
所以原式＝1487＋ ＋23＝25.
高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.5
(2)有理数指数幂的性质
r＋s a ①a a ＝________(a＞0，r，s∈Q)；
r
s
rs a ②(a ) ＝________(a＞0，r，s∈Q)；
r s
r r a b ③(ab) ＝________( a＞0，b＞0，r∈Q)．
r
(1)[教材习题改编]若x＋x
－1
＝5，则x2－x
－2
± 5 21 ＝________.
(2)[教材习题改编]函数y＝
1 [0，＋∞) 1－ x的定义域为________. 2
1 解析：要使函数有意义，需满足1－2x≥0，得x≥0.
指数函数常见误区：概念． 函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有a＝ 2 ________.
解析：根据定义有a2－3a＋3＝1，解得a＝2或a＝1(舍去)．
考点1
指数幂的化简与求值
1.根式 (1)根式的概念
n x ＝a ，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n ∈N*.式子 若________
n
a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (2)a的n次方根的表示 n * x ＝ a 当 n 为奇数且 n ∈ N 时， n x ＝a⇒ n * x ＝ ± a 当 n 为偶数且 n ∈ N 时.
＝3，则
x
＋2 ＝ － x2＋x 2＋3
3 2
3 － ＋x 2
＝3，得(x
1 2
1 － ＋x 2
)2＝9，
即x＋x－1＝7. x ＋2 x ＝ －2 2 x ＋x ＋3
3 2 3 － ＋x 2 1 2 1 － ＋x 2
x＋x 1－1＋2 x＋x－12－2＋3
－
20 2 ＝ ＝ . 50 5
2025版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第5讲指数与指数函数课件
3．若方程3|x|－1＝m有两个不同实根，则m的取值范围为_(_0_，__＋__∞_). [解析] 作出函数y＝3|x|－1与y＝m的图象如图所示，数形结合可得 m>0.
考向2 指数函数的性质及其应用——多维探究 角度1 比较指数幂的大小
(2024·福建质量检测)已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则( D ) A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>b>a
[解析] (1)当x＝1时，y＝4，因此函数y＝a1－x＋3过定点(1,4)． (2)曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图象如图所示，由图象 可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b 的取值范围是(0,1)． (3)因为函数y＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k≤0，即k 的取值范围为(－∞，0]．
函数在定义域R上为 增函数
函数在定义域R上为 减函数
归纳拓展 1．画指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的图象时注意两个关键点：(1，a)， (0,1)． 2．底数 a 的大小决定了图象相对位置的高低，不论是 a>1，还是 0<a<1， 在第一象限内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”．
3．f(x)＝ax 与 g(x)＝1ax(a>0 且 a≠1)的图象关于 y 轴对称．
第五讲 指数与指数函数
知识梳理 · 双基自测
知识梳理 知识点一 指数与指数运算 1．根式 (1)根式的概念
根式的概念
符号表示
如果__x_n＝___a__，那么 x 叫做 a 的 n 次方根
备注 n>1 且 n∈N*
当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个 __正__数____，负数的 n 次方根是一个__负__数___
高考总复习数学(理科)第二章 第五节 指数与指数函数
【例 2】 若函数 f(x)＝13ax2＋2x＋3的值域是0，19， 则 f(x)的单调递增区间是________．
解析：令 g(x)＝ax2＋2x＋3， 由于 f(x)的值域是0，19，所以 g(x)的值域是[2，＋
解析：画出曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 的图象如图所 示，由图象可知，如果|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点 则 b 应满足的条件是 b∈[－1，1]．
答案：[－1，1]
考点 3 指数函数的性质及应用(多维探究)
角度 指数函数的单调性
【例 1】 (2019·河南八市第一次测评)设函数 f(x)＝
3
2)6÷( 3)6
＝23＋2－89＝196.
(2)原式＝1 6040015－5223－28713－1
1 5 2
1
＝14035×－2×3－3233－1
＝52－32－1＝0.
第二章 函数、导数及其应用
第五节 指数与指数函数
最新考纲
1.了解指数函数模型的实际背 景． 2.理解有理数指数幂的含义， 了解实数指数幂的含义，掌握 幂的运算． 3.理解指数函数的概念，理解 指数函数的单调性，掌握指数 函数图象通过的特殊点． 4.知道指数函数是一类重要的 函数模型.
考情索引
2018·上海卷， T11 2017·北京卷， T8 2017·全国卷Ⅰ， T11 2016·全国卷Ⅲ， T6
核心素
1.逻辑 2.数学 3.直观
1．根式
n
(1)概念：式子 a叫做_根__式__，其中 n 叫做根指数， 叫做被开方数．
n
高考数学总复习 第二章 函数 第五节 指数与指数函数课件(理)
当a>1时,如图②,而y=2a>1,不符合题意.
所以0<a< 1 .
2
考点三 指数函数的性质及应用
角度一 比较指数幂的大小
2
1
典例4
(1)已知a=
1 2
3
,b=
2
4 3
,c=
1 2
2
,则下列关系式中正确的是
(B)
A.c<a<b
B.b<a<c
C.a<c<b
D.a<b<c
(2)设a=0.230.32,b=20.01,c=0.320.23,则a,b,c的大小关系为 a<c<b .
(x∈A)的值域是[-1,8].
典例7
(1)函数f(x)=
1 2
x2
2
x
1
的单调减区间为
(-∞,1]
.
(2)已知奇函数f(x)=a-
e
x
2
(a∈R,e为自然对数的底数).
1
①判断f(x)的单调性(不用证明);
②若对任意的实数x, f(x)>m2-4m+2恒成立,求实数m的取值范围.
解析 (1)令u=-x2+2x+1,
解析
(1)b=
1 2
4 3
,且函数y=
1 2
x
在R上为减函数,
4 3
>
2 3
>
1 2
,所以
1 2
4 3
<
1 2
2 3
<
1
1 2
2
,即b<a<c.
(2)0.230.32<0.230.23<0.320.23<1<20.01,所以a<c<b.
高考数学总复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第5讲 指数与指数函数
第5讲指数与指数函数最新考纲 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点；4.知道指数函数是一类重要的函数模型．知识梳理1．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是amn＝n a m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；正数的负分数指数幂的意义是a-mn＝1na m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理指数幂的运算性质：a r a s＝a r＋s，(a r)s＝a rs，(ab)r＝a r b r，其中a＞0，b＞0，r，s∈Q.2．指数函数的图象与性质y＝a x a＞10＜a＜1图象定义域(1)R值域(2)(0，＋∞)性质(3)过定点(0,1)(4)当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1 (5)当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)(4－4)4＝－4.(×)(2)(－1)24＝(－1)12＝－1.(×)(3)函数y＝2x－1是指数函数．(×)(4)函数y＝⎝⎛⎭⎪⎫14|x|的值域是(－∞，1]．(×)2．已知函数f (x )＝a x(0＜a ＜1)，对于下列命题： ①若x ＞0，则0＜f (x )＜1； ②若x ＜1，则f (x )＞0； ③若f (x 1)＞f (x 2)，则x 1＜x 2. 其中正确的命题( ) A ．有3个 B ．有2个 C ．有1个D ．不存在解析 结合指数函数图象可知①②③正确． 答案 A3．(2014·陕西卷)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝3xC ．f (x )＝x 12D ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x解析 ∵ax ＋y ＝a x·a y，满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，∴可先排除A ，C ，又因为f (x )为单调递增函数，故选B. 答案 B4．若函数y ＝(a 2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 解析 由y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，得0＜a 2－1＜1，∴1＜a 2＜2，即1＜a ＜2或－2＜a ＜－1.答案 (－2，－1)∪(1，2)5．(人教A 必修1P52例4(1)改编)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 23 b 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6a 12 b 13 ÷ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 16 b 56 ＝________.答案 4a考点一 指数幂的运算 例1 化简下列各式：(1)[(0.06415 )－2.5]23 －3338－π0；(2)a 43 －8a 13 b4b 23 ＋23ab ＋a 23÷⎝⎛⎭⎪⎪⎫a -23 －23b a ×a ·3a 25a ·3a.规律方法(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．考点二指数函数的图象及其应用例2 (1)函数f(x)＝a x－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0(2)已知实数a，b满足等式2 014a＝2 015b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析(1)由f(x)＝a x－b的图象可以观察出，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1.函数f(x)＝a x－b的图象是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的，所以b＜0，故选D.(2)设2 014a＝2 015b＝t，如图所示，由函数图象，可得若t＞1，则有a＞b＞0；若t＝1，则有a＝b＝0；若0＜t＜1，则有a＜b＜0.故①②⑤可能成立，而③④不可能成立．答案(1)D (2)B规律方法(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．【训练2】(2015·衡水模拟)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．解析曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．答案[－1,1]考点三指数函数的性质及其应用例3 (1)下列各式比较大小正确的是( )A．1.72.5>1.73B．0.6－1>0.62C．0.8－0.1>1.250.2D．1.70.3<0.93.1(2)若函数f(x)＝a x(a＞0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.解析(1)A中，∵函数y＝1.7x是增函数，2.5<3，∴1.72.5<1.73.B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，∴0.6－1>0.62.C中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2.D 中，∵1.70.3>1,0＜0.93.1<1，∴1.70.3>0.93.1.(2)若a ＞1，有a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意．若0＜a ＜1，有a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意．答案 (1)B (2)14规律方法 (1)应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小．(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，与前面所讲一般函数的求解方法一致，只需根据条件灵活选择即可．【训练3】 设函数f (x )＝ka x －a －x(a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)若f (1)>0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)>0的解集；(2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x－4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值．解 因为f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，所以k －1＝0，即k ＝1，f (x )＝a x－a －x. (1)因为f (1)>0，所以a －1a>0，又a >0且a ≠1，所以a >1.因为f ′(x )＝a x ln a ＋a －x ln a ＝(a x ＋a －x)ln a >0，所以f (x )在R 上为增函数，原不等式可化为f (x 2＋2x )>f (4－x )， 所以x 2＋2x >4－x ，即x 2＋3x －4>0， 所以x >1或x <－4.所以不等式的解集为{x |x >1或x <－4}． (2)因为f (1)＝32，所以a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，所以a ＝2或a ＝－12(舍去)．所以g (x )＝22x＋2－2x－4(2x －2－x)＝(2x－2－x )2－4(2x －2－x)＋2.令t (x )＝2x －2－x(x ≥1)，则t (x )在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，即t (x )≥t (1)＝32， 所以原函数为ω(t )＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2－2， 所以当t ＝2时，ω(t )min ＝－2，此时x ＝log 2(1＋2)． 即g (x )在x ＝log 2(1＋2)时取得最小值－2.[思想方法]1．判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较． 2．比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．3．指数函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)的单调性和底数a 有关，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．4．与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成；而与其有关的最值问题，往往转化为二次函数的最值问题．[易错防范]1．指数幂的运算容易出现的问题是误用指数幂的运算法则，或在运算中变换的方法不当，不注意运算的先后顺序等．2．复合函数的问题，一定要注意函数的定义域．3．形如a 2x＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x＋c ≥0(≤0)形式，常借助换元法转化为二次方程或不等式求解，但应注意换元后“新元”的范围．基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．若x ＝log 43，则(2x －2－x )2＝( ) A.94 B ．54 C.103D ．43解析 由x ＝log 43，得4x＝3，即2x＝3，2－x＝33， 所以(2x－2－x )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝43. 答案 D2．函数y ＝a x－a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )解析 当x ＝1时，y ＝0，故函数y ＝a x－a (a >0，且a ≠1)的图象必过点(1,0)，显然只有C 符合．答案 C3．(2014·武汉模拟)设a ＝(2)1.4，b ＝332 ，c ＝ln 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞a ＞bD ．b ＞a ＞c解析 c ＝ln 32＜1＝(2)0＜a ＝(2)1.4＜(2)32 ＜b ＝332 ，故选D.答案 D4．(2014·东北三校联考)函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( )A ．y ＝1－xB ．y ＝|x －2|C ．y ＝2x－1 D ．y ＝log 2(2x )解析 f (x )＝ax －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点(1,1)，又由0＝1－1知(1,1)不在函数y＝1－x 的图象上．答案 A5．若函数f (x )＝a |2x －4|(a ＞0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析 由f (1)＝19得a 2＝19，∴a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增， 所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．故选B. 答案 B二、填空题 6.a 3a ·5a 4(a ＞0)的值是________．解析a3a ·5a 4＝a3a 12 ·a 45＝a3－12－45＝a 1710 .答案 a 17107．函数f (x )＝a x(a ＞0，a ≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．解析 当0＜a ＜1时，a －a 2＝a2，∴a ＝12或a ＝0(舍去)．当a ＞1时，a 2－a ＝a 2，∴a ＝32或a ＝0(舍去)．综上所述，a ＝12或32.答案 12或328．已知函数f (x )＝a －x(a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________．解析 因为f (x )＝a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ，且f (－2)＞f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增，所以1a＞1，解得0＜a ＜1.答案 (0,1) 三、解答题9．求下列函数的定义域、值域及单调性．(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 6＋x －2x 2；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |.解 (1)函数的定义域为R ，令u ＝6＋x －2x 2，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u .∵二次函数u ＝6＋x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋498，∴函数的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12498. 又∵二次函数u ＝6＋x －2x 2的对称轴为x ＝14，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞上u ＝6＋x －2x 2是减函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14上是增函数，又函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u是减函数，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋x －2x 2在⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞上是增函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14上是减函数．(2)定义域为x ∈R .∵|x |≥0，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32|x |≥⎝ ⎛⎭⎪⎫320＝1.故y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |的值域为{y |y ≥1}．又∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |是偶函数，且y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫32x x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫23xx ＜0.所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数．(此题可借助图象思考)10．已知f (x )是定义在实数集R 上的奇函数，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求函数f (x )在(－1,1)上的解析式； (2)判断f (x )在(0,1)上的单调性．解 (1)∵f (x )是x ∈R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 设x ∈(－1,0)，则－x ∈(0,1)．f (－x )＝2－x4－x ＋1＝2x 4x ＋1＝－f (x )，∴f (x )＝－2x4x ＋1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x4x ＋1，x ∈－1，0，0，x ＝0，2x 4x＋1，x ∈0，1.(2)设0＜x 1＜x 2＜1，f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－2x 2＋2x 1＋2x 2－2x 2＋2x 14x 1＋14x 2＋1＝2x 1－2x 21－2x 1＋x 24x 1＋14x 2＋1，∵0＜x 1＜x 2＜1，∴2x 1＜2x 2，2x 1＋x 2＞20＝1，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，∴f (x )在(0,1)上为减函数．能力提升题组 (建议用时：25分钟)11．函数y ＝a x－b (a ＞0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a b的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(0,1)D ．无法确定解析 函数经过第二、三、四象限，所以函数单调递减且图象与y 轴的交点在负半轴上．而当x ＝0时，y ＝a 0－b ＝1－b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，1－b ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，b ＞1，所以a b∈(0,1)．答案 C12．若关于x 的方程|a x－1|＝2a (a ＞0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)∪(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析 方程|a x－1|＝2a (a ＞0且a ≠1)有两个实数根转化为函数y ＝|a x－1|与y ＝2a 有两个交点．①当0＜a ＜1时，如图(1)，∴0＜2a ＜1，即0＜a ＜12.②当a ＞1时，如图(2)，而y ＝2a ＞1不符合要求．综上，0＜a ＜12.答案 D13．当x ∈[－2,2]时，a x<2(a >0，且a ≠1)，则实数a 的范围是________． 解析 x ∈[－2,2]时，a x<2(a >0，且a ≠1)，若a >1，y ＝a x 是一个增函数，则有a 2<2，可得a <2， 故有1<a <2；若0<a <1，y ＝a x是一个减函数，则有a －2<2，可得a >22，故有22<a <1.综上知a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1∪(1，2)．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1∪(1，2) 14．设a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．解 令t ＝a x(a ＞0且a ≠1)，则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2(t ＞0)． ①当0＜a ＜1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ， 此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上为增函数． 所以f (t )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12＝16，所以a ＝－15或a ＝13. 又因为a ＞0，所以a ＝13. ②当a ＞1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ， 此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上是增函数． 所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(a ＝－5舍去)．综上得a ＝13或3.。
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[探究1] 若将本例(2)中“|y|＝2x＋1”改为“y＝|2x－1|”， 且与直线y＝b有两个公共点，求b的取值范围．
解：曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图象如图所示，由图象 可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b的取 值范围是(0,1)．
n a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (2)a的n次方根的表示
xn＝a⇒x＝
n
a当n为奇数且n∈N*时，
x＝±n a当n为偶数且n∈N*时.
2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念
m
①正分数指数幂：a n ＝
(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
m
②负分数指数幂：a－ n ＝
＝
(a＞0，m，n∈N*，且
[探究2] 若将本例(2)改为：函数y＝|2x－1|在(－∞，k]上单 调递减，则k的取值范围是什么？
解：因为函数y＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所 以k≤0，即k的取值范围为(－∞，0]．
(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断 选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．
A．a＞1，b＜0 C．0＜a＜1，b＞0
B．a＞1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0
解析：选D 由函数f(x)的图象特征知，0＜a＜1，又f(0)＝a－b ＜1＝a0，所以－b＞0，即b＜0.
2．已知实数a，b满足等式12a＝13b，下列五个关系式： ①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b. 其中不可能成立的关系式有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：选B 函数y1＝12x与y2＝13x的图象如图所示．
∵y＝25x(x∈R)为减函数，∴c>b，∴a>c>b. 答案：(1)C (2)a>c>b
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本 的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得
到．特别地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类
讨论． (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应
的指数型函数图象，数形结合求解.
1．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列 结论正确的是( )
答案：(1)6 (2)4a
4．已知函数f(x)＝4＋ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标 是________．
答案：(1,5)
5．若指数函数f(x)＝(a－2)x为减函数，则实数a的取值范围 为________．
答案：(2,3)
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指 数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相 乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．
[听前试做] (1)由f(x)＝2|x－m|－1是偶函数可知m＝0，所以f(x) ＝2|x|－1.
所以a＝f(log0.53)＝2|log0.53|－1＝2log23－1＝2， b＝f(log25)＝2|log25|－1＝2log25－1＝4， c＝f(0)＝2|0|－1＝0，所以c<a<b.
2
(2)∵y＝x5(x>0)为增函数，∴a>c.
n＞1)； ③0的正分数指数幂等于 0 ,0的负分数指数幂 无意义 ．
(2)有理数指数幂的性质
①aras＝ ar＋s ②(ar)s＝ ars
③(ab)r＝ arbr
(a＞0，r，s∈Q)； (a＞0，r，s∈Q)； (a＞0，b＞0，r∈Q)．
3．指数函数的图象与性质
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
[听前试做] (1)当a>1时函数单调递增，且函数图象过点
0，1－1a
，因为0<1－
1 a
<1，故A，B均不正确；当0<a<1时，函数
单调递减，且函数恒过点0，1－1a，因为1－1a<0，所以选D.
(2)曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 的图象如图所示，由图象可得： 如果|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，则 b 应满足的条件是 b∈ [－1，1]．
(3)分数指数幂 amn可以理解为mn 个 a 相乘．(
)
(4)函数 y＝3·2x 与 y＝2x＋1 都不是指数函数．( )
(5)若 am<an(a>0 且 a≠1)，则 m<n.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×
2．化简
(a>0，b>0)的结果为________．
答案：ab－1 3．(1)2 3×3 1.5×6 12＝________.
由12a＝13b得，a<b<0或0<b<a或a＝b＝0. 故①②⑤可能成立，③④不可能成立．
高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用， 难度偏小，属中低档题，且主要有以下几个命题角度：
角度一：比较指数式的大小 [典题3] (1)(2015·天津高考)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m| －1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)， 则a，b，c的大小关系为( ) A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a
定义域 值域
性质
R
(0，＋∞)
过定点 (0,1)
当x＞0时， y＞1 ；x＜0 当x＞0时，0＜y＜1 ；
时， 0＜y＜1
x＜0时， y＞1
在R上是 增函数
在R上是 减函数
[自我查验] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
n (1)
an与(n
a)n
都等于
a(n∈N*)．(
)
(2)当 n∈N*时，(n －3)n 都有意义．( )
考纲要求： 1.了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌 握幂的运算． 3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指 数函数图象通过的特殊点． 4．知道指数函数是一类重要的函数模型．
1．根式 (1)根式的概念 若 xn＝a ，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有 分母又含有负指数．
[典题2]
(1)(2016·西安模拟)函数y＝ax－
1 a
(a>0，a≠1)的图象
可能是( )
A
B
C
D
(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围
是________．