大学物理热学第二章_(热平衡态的统计分布律)
大学物理(第三版)热学 第二章
一、 理想气体的微观图象
1. 质点 P nkT P 0
在 T 一定的情况下 n 值小 意味着分子间距大 2 .完全弹性碰撞
3. 除碰撞外 分子间无相互作用 f=0
范德瓦耳斯力(简称：范氏力)
f
斥力
合力
r0
O
s
10 -9m r
d
引力
分子力
气体之间的距离
r 8r0 引力可认为是零 可看做理想气体
第3步：dt时间内所有分子对dA的冲量
dI dIi ix 0
1 2
i
dIi
nimi2xdtdA
i
dIi
2ni mi2xdtdA
第4步：由压强的定义得出结果
P
dF dA
dI dtdA
i
ni
m
2 ix
i dA
ixdt
P
dF dA
dI dtdA
2. 气体分子的自由度
单原子分子 双原子分子 多原子分子
i3 i5 i6
二、 能量按自由度均分原理 条件：在温度为T 的平衡态下 1.每一平动自由度具有相同的平均动能
1 2
kT
1 3
3 2
kT
1 2
m
1
3
2
1 2
m
2 x
1 2
m
2 y
1 2
m
2 z
每一平动自由度的平均动能为 1 kT
2
2.平衡态 各自由度地位相等
每一转动自由度 每一振动自由度也具有 与平动自由度相同的平均动能 其值也为 1 kT
复旦大学物理-统计物理
∴ n∫
v1
N ΔN ΔN F ( v )d v = = V N V
表示分布在单位体积内，速率区间 v1 → v 2 内的分子数。
∫ (4) ∫
v2
v1 v2 v1
vF ( v ) d v F (v )dv
dN Q F (v) = Ndv
ΔN N
∫ =
N2
N1
vd N N
∫ =
N2
N1
vdN
ΔN
dP = F (v )dv
dP 1 dN F (v ) = = dv N dv
满足归一化：
∫ f ( x )dx = 1
平均值：
G = ∫ G ( x ) f ( x )dx
∫ F (v )dv = 1
G = ∫ G (v ) F (v )dv
例：N 个假想的气体分子的速率分布如图所示， 求：（1）由 N 和 v0 确定 N0； 解： 速率分布函数： N0 F (v ) = v , 当 0 < v < v0 Nv 0
∞
− mv
2
2 kT
dv 2
2
⎛ m ⎞ ⎛ 2 kT = 2 π⎜ ⎟ ⎜− ⎝ 2 π kT ⎠ ⎝ m
3 2
mv ∞ ⎛ 2m ⎞ ⎞ −2 kT =⎜ ⎟ ⎟e 0 ⎝ πkT ⎠ ⎠
1 2
麦克斯韦速度分布律
平衡态气体分子的速率及速度分布规律是Maxwell 在1859年发表的论文《气体动力理论的说明》中给 出的。 麦克斯韦速度分布率表达式为
mv ⎛ m ⎞ −2 =⎜ f (v ) = ⎟ e kT N d v x d v y d v z ⎝ 2 π kT ⎠
d N v x ,v y ,v z
热学教案(第二章)
32
e
mv 2 2 kT
v 2 dv
得：
m f v 4 2kT
32
e
mv 2 2 kT
v2
2009级物理学专业热学教案
第2章分子动理学理论的平衡态理论
2009级物理学专业热学教案
第2章分子动理学理论的平衡态理论
（2）利用概率统计的方法； （3）研究和预言大量粒子组成的物体的物理性质
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第2章分子动理学理论的平衡态理论
2.2 概率论的基本知识 2.2.1伽尔顿板实验 伽尔顿板实验表明：在小球数量足够多的情况下， 相同间隔内所获得的小球数量满足正态分布（较稳 定的） 2.2.2 等概率性与概率的基本性质 1.概率的定义： (1)随机事件：在一定条件下，如果某一现象或某一 事件可能发生也可能不发生。
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第2章分子动理学理论的平衡态理论
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第2章分子动理学理论的平衡态理论
2.速度分布： 速度分布函数为：
f v x ,v y ,v z
dN v x , v y , v z Ndvx dv y dvz
f v
dN Ndv
各速度分量的分布函数为：
NL PL lim N N
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第2章分子动理学理论的平衡态理论
3.概率的基本性质： （1）n个相互排斥事件发生的总概率是每个事件发 生概率之和，简称概率相加法则； （2）同时或依次发生的、互不相关的（或统计相关 的）事件发生的概率等于各个事件概率之乘积，简 称概率相乘法则； 2.2.3 平均值及其运算 1.平均值:某个随机变量的平均值可有两种方法求得： （1）先求出这N个统计单位的随机变量之和，然后 除以N个单位数
大学物理基础教程答案2-2热-2
Q内能:
Qν = 0.1
3 12 E = ∆U = ν R∆T = 10 (ev) 2
2E ∴∆T = = 1.28×10−7 k 3νR
2
2.0克的氢气装在容积为20升的容器内 克的氢气装在容积为20升的容器内, 2-4 2.0克的氢气装在容积为20升的容器内,当容器内的压力为 帕时,氢分子的平均平动动能是多少？总内能是多少？ 1.20x105 帕时,氢分子的平均平动动能是多少？总内能是多少？ 解： QT = µpv 288.8k
试说明下列各函数式的物理意义（ 2-7 试说明下列各函数式的物理意义（f(u)是麦克斯韦速率分 布函数） 布函数）
(1)
为平衡态下的气体分子出现在u 附近单位速率间隔中的几率或者 附近单位速率间隔中的分子数占总分子数的比率。 说其速率在u附近单位速率间隔中的分子数占总分子数的比率4。
dN (2) f (u)du = N 为平衡态下的气体分子出现在速率u 附近du速率间隔中分子数 占总分子数的百分比。 占总分子数的百分比。 (3)Nf (u)du = dN 为平衡态下的气体分子出现在速率u 附近du速率间隔中分子数。 速率间隔中分子数。
解：
Q2H2O = 2H2 + O2
所以， 摩尔的水分解成2摩尔的氢和1 所以，2摩尔的水分解成2摩尔的氢和1摩尔的氧气
i 6 5 QU = νRT ∴UH2O = × 2× RT ∴UH2 = × 2× RT 2 2 2 5 (UH + UO ) − UH O 15 − 12 ∴UO2 = ×1× RT ∴ = = 25 0 0 2 UH O 12
4πA 1 3 3N (2)Q∫ f (u)du = ∫ 4πAu du N =1 即 uF = 1 ∴A = 3 0 0 N 3 4πuF 4πAu2 3u4 du = 3 du (3)Qf (u)du = N uF 0 uF uF 3 3 2 1 2 3 2 2 4 Q u = ∫ u f (u)du = ∫ 3 u du = uF ∴ εk = mu =7 εF 0 0 u 5 2 5 F
能量均分定理与热容 一 分子自由度
48理学院物理系陈强§2-4 能量均分定理与热容一. 分子自由度单原子分子可视作质点，具有3个平动自由度。
刚性双原子分子可视作由刚性杆连接的两个质点，具有3个平动自由度，2个转动自由度。
刚性多原子分子可视作刚体，具有3个平动自由度，3个转动自由度。
分子模型自由度数目分子结构单原子双原子多原子356质点刚体由刚性杆连接的两个质点理学院物理系陈强说明⑴分子的自由度不仅取决于其内部结构，还取决于温度。
(2) 实际上，双原子、多原子分子并不完全是刚性的，还有振动自由度。
但在常温下将其分子作为刚性处理，能给出与实验大致相符的结果，因此可以不考虑分子内部的振动，认为分子都是刚性的。
*非刚性双原子分子具有3个平动自由度，2个转动自由度，1个振动自由度。
49理学院物理系陈强第二章热平衡态的统计分布律“常温”下气体分子一般采用刚性模型:单原子分子i= 3;双原子分子i= 5非直线多原子分子i= 6“高温”下振动模式及能量不可忽略单原子分子i= 3;双原子分子i= 6非直线三原子分子i= 9一般多原子分子i= 3N5051理学院物理系陈强二. 能量均分定理理想气体分子的平均平动动能为Tk 23m 21B 2t ==v ε2z2y 2x 2m 21m 21m 21m 21v v v v ++=Tk 21m 21m 21m 21B 2z 2y 2x ===v v v 由于气体分子运动的无规则性，各自由度没有哪一个是特殊的，因此，可以认为气体分子的平均平动动能是平均分配在每一个平动自由度上的。
52理学院物理系陈强在温度为T 的平衡状态下，分子的每个自由度的平均动能均为。
推广：——能量按自由度均分定理说明能量按自由度均分定理是经典统计规律。
T k 21B •经典统计规律，可用玻耳兹曼分布证明。
•是频繁碰撞的结果•有局限性：低温下需要用量子理论！53理学院物理系陈强每个气体分子的平均势能为kT2s Tk s 2r t 21B )(++=ε每个气体分子的平均热运动总能量为•若某种气体分子具有t 个平动自由度和r 个转动自由度，s 个振动自由度，每个气体分子平均总动能为kTs r t 21k )(++=ε令i = t + r + 2s Tk 2iB =ε54理学院物理系陈强气体分子的平均总动能等于气体分子的平均总能量。
《热学》第二章和第三章复习
第二章分子动理学理论的平衡态理论 基本要求一、麦克斯韦速率分布（1）掌握麦克斯韦速率分布函数，理解它的物理意义和它的分布曲线，并知道它的分布曲线是如何随温度或者分子质量变化。
（2）熟练掌握平均速率、方均根速率、最概然速率3个公式。
二、 麦克斯韦速度分布 （1）掌握麦克斯韦速度分布。
（2）知道如何利用麦克斯韦速度分布导出麦克斯韦速率分布。
三、 气体分子碰壁数及其应用 （1）知道气体气体压强和碰壁数的物理意义。
(2)能利用麦克斯韦速度分布推导气体分子碰壁数公式和理想气体压强公式，并熟记它们。
（3）会利用气体分子碰壁数公式研究一些实际问题。
四、波尔兹曼分布（1）掌握粒子在外场中的分布；（2）掌握波尔兹曼分布；（3）会从波尔兹曼分布出发求粒子在外场中的分布和麦克斯韦速度分布。
五、能量均分定理（1）理解自由度和自由度数，知道单原子分子、双原子分子和多原子分子的自由度； （2）掌握能量积分定理；会求常温下理想气体的内能、定体热容等。
（3）了解固体的热容和杜隆－珀蒂定律第三章 输运现象与分子动理学理论的非平衡态理论 基本要求一、黏性现象知道什么是层流，什么是湍流。
掌握牛顿黏性定律，理解气体黏性微观机理。
二、 扩散现象掌握菲克定律，理解气体扩散微观机理。
三、 热传导定律掌握傅立叶定律，理解气体热传导微观机理。
四、 气体分子平均自由程（1）理解什么是碰撞（散射）截面，掌握刚性分子碰撞截面公式。
（2）掌握气体分子间平均碰撞频率和分子平均自由程公式。
五 气体输运系数知道气体黏性系数、导热系数、扩散系数如何随温度和压强变化。
第二章和第三章复习题一 选择题1 水蒸气分解成同温度的氢气和氧气，内能增加了百分之几(不计振动自由度和化学能)？ (A) 66.7％． (B) 50％． (C) 25％． (D) 0． ［ ］2 做布朗运动的微粒系统可看作是在浮力ρρ/0mg -和重力场的作用下达到平衡态的巨分子系统．设m 为粒子的质量，ρ 为粒子的密度，ρ 0为粒子在其中漂浮的流体的密度，并令z = 0处势能为0，则在z 为任意值处的粒子数密度n 为 (A) )}1(exp{00ρρ-⋅-kTmgz n ．(B) )}1(exp{00ρρ-⋅kTmgz n ．(C) }/exp{00kT z mgn ρρ-．(D) }/exp{00kT z mgn ρρ．［ ］3 在二氧化碳激光器中，作为产生激光的介质CO 2分子的两个能级之能量分别为ε1 = 0.172 eV ，ε2 = 0.291eV ，在温度为 400℃时，两能级的分子数之比N 2∶N 1为（玻尔兹曼常量k = 1.38×10-23 J/K ，1 eV = 1.60×10-19 J ）(A) 31.5． (B) 7.7． (C) 0.13． (D) 0.03． ［ ］ 4 温度为T 时，在方均根速率s/m 50)(212±v 的速率区间内，氢、氨两种气体分子数占总分子数的百分率相比较：则有（附：麦克斯韦速率分布定律：v v v ∆⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛π=∆222/32exp 24kT m kT m N N，(A) ()()22N H //N N N N ∆>∆， (B) ()()22N H //N N N N ∆=∆，(C) ()()22N H //N N N N ∆<∆(D) 温度较低时()()22N H //N N N N ∆>∆ ，温度较高时()()22N H //N N N N ∆<∆ [ ]5 下列各图所示的速率分布曲线，哪一图中的两条曲线能是同一温度下氮气和氦气的分子速率分布曲线？ ［ ］6 在一个体积不变的容器中，储有一定量的理想气体，温度为T 0时，气体分子的平均速率为0v ，分子平均碰撞次数为0Z ，平均自由程为0λ．当气体温度升高为4T 0时，气体分子的平均速率v ，平均碰撞频率Z 和平均自由程λ分别为：(A) v ＝40v ，Z ＝40Z ，λ＝40λ． (B) v ＝20v ，Z ＝20Z ，λ＝0λ． (C) v ＝20v ，Z ＝20Z ，λ＝40λ． (D) v ＝40v ，Z ＝20Z ，λ＝0λ． ［ ］ 7 一定量理想气体分子的扩散情况与气体温度T 、压强p 的关系是：(A) T 越高、p 越大，则扩散越快． (B) T 越低、p 越大，则扩散越快． (C) T 越高、p 越小，则扩散越快． (D) T 越低、p 越小，则扩散越快． ［ ］ 二 填空题8 一容器内储有某种气体，若已知气体的压强为 3×105 Pa ，温度为27℃，密 度为0.24 kg/m 3，则可确定此种气体是________气；并可求出此气体分子热运动的最概然速率为_______________________m/s. (普适气体常量R = 8.31 J ·mol -1·K -1)9质量为 6.2×10-14 g 的某种粒子悬浮于27℃的气体中，观察到它们的方均根 速率为 1.4 cm/s ，则该种粒子的平均速率为__________．（设粒子遵守麦克斯韦速率分布律） 10 设气体分子服从麦克斯韦速率分布律，v 代表平均速率，v p 代表最概然速率，那么，速v v O O (B (A (D O(C O率在v p 到v 范围内的分子数占分子总数的百分率随气体的温度升高而__________(增加、降低或保持不变)．11用绝热材料制成的一个容器，体积为2V 0，被绝热板隔成A 、B 两部分，A 内储有1 mol 单原子分子理想气体，B 内储有2 mol 刚性双原子分子理想气体，A 、B 两部分压强相等均为p 0，两部分体积均为V 0，则两种气体各自的内能分别为E A ＝________；E B ＝________； (2) 抽去绝热板，两种气体混合后处于平衡时的温度为T ＝______．12一氧气瓶的容积为V ，充入氧气的压强为p 1，用了一段时间后压强降为p 2，则瓶中剩下的氧气的内能与未用前氧气的内能之比为__________．13 设某原子能反应堆中心处单位时间穿过单位面积的中子数为 4×1016 m -2·s -1，且设这些中子是温度为 300 K 的热中子，并服从麦克斯韦速度分布律，试求中子气的分压强． （阿伏伽德罗常量N A = 6.02×1023 mol -1,玻尔兹曼常量k = 1.38×10-23 J ·K -1 中子的摩尔质量为1.01×10-3 kg ）14玻尔兹曼分布律是自然界中的一条较为普遍的分布定律．对处于任何力场中的任何微粒系统只要______________________________可以忽略，这定律均适用． 15 一个很长的密闭容器内盛有分子质量为m 的理想气体，该容器以匀加速度a垂直于水平面上升（如图所示）．当气体状态达到稳定时温度为T ，容器底部的分子数密度为n 0，则容器内离底部高为h 处的分子数密度n =_____________________． 16 用总分子数N 、气体分子速率v 和速率分布函数f (v ) 表示下列各量：(1) 速率大于v 0的分子数＝____________________； (2) 速率大于v 0的那些分子的平均速率＝_________________；(3) 多次观察某一分子的速率，发现其速率大于v 0的概率＝_____________． 17 图示的曲线分别表示了氢气和氦气在同一温度下的分子速率的分布情况．由图可知，氦气分子的最概然速率为___________，氢气分子的最概然速率为________________．18 一定量的某种理想气体，先经过等体过程使其热力学温度升高为原来的4倍；再经过等温过程使其体积膨胀为原来的2倍，则分子的平均碰撞频率变为原来的__________倍．19 已知氦气和氩气的摩尔质量分别为M mol 1 = 0.004 kg/mol 和M mol 2 =0.04 kg/mol ，它们在标准状态下的粘度分别为η1 =18.8×10-6 N ·s ·m -2和η2 = 21.0×10-6 N ·s ·m -2．则此时氩气与氦气的扩散系数之比D 2/ D 1= __________________． 三 计算题20 由N 个分子组成的气体，其分子速率分布如图所示．(1) 试用N 与0v 表示a 的值． (2) 试求速率在1.50v ～2.00v 之间的分子数目． (3) 试求分子的平均速率．21 将1 kg 氦气和M kg 氢气混合，平衡后混合气体的内能是2.45×106 J ，氦分子平均动能a16v (m /s)f (v )1000020是 6×10-21 J ，求氢气质量M ． (玻尔兹曼常量k ＝1.38×10-23 J ·K -1 ,普适气体常量R ＝8.31 J ·mol -1·K -1)22 假设地球大气层由同种分子构成，且充满整个空间，并设各处温度T 相等．试根据玻尔兹曼分布律计算大气层中分子的平均重力势能P ε．(已知积分公式⎰∞+-=01/!d e n ax n a n x x )23 在直径为D 的球形容器中，最多可容纳多少个氮气分子，才可以认为分子之间不致相碰？（设氮分子的有效直径为d ）．24 一长为L ，半径为R 1 = 2 cm 的蒸汽导管，外面包围一层厚度为2 cm 的保温材料（导热系数为 K = 0.1 W ·m -1·K -1）蒸气的温度为100℃，保温材料的外表面温度为20℃．求：(1) 每秒钟从单位长度传出的热量； (2) 保温材料外表面的温度梯度． 四 理论推导和证明25 试根据麦克斯韦分子速率分布律222/3)2exp()2(π4)(v vv kTm kTm f -=,验证以下不等式成立 1)1(>⋅vv ． ［积分公式22321d )exp(λλ=-⎰∞x x x ，λλ21d )exp(02=-⎰∞x x x ］五 错误改正题26 已知有N 个粒子，其速率分布函数为： f ( v ) = d N / (N d v ) = c ( 0 ≤v ≤v 0 ) f ( v ) = 0 (v ＞v 0) 有人如下求得c 与v(1) 根据速率分布函数的归一化条件，求得常数c ，即有1d d )(00===⎰⎰∞v vv v v Nc Nc Nf∴ c = 1 / (N v 0) (2) 此粒子系统的平均速率⎰∞=0d )(v v v v Nf ⎰=0d 1v v v v N N0021d 10v v v vv ==⎰上述关于c 、v 的解答是否正确？如有错误请改正． 六 回答题27 由理想气体的内能公式mol2MiRTM E =可知内能Ｅ与气体的摩尔数M / M mol 、自由度i 以及绝对温度T 成正比，试从微观上加以说明.如果储有某种理想气体的容器漏气，使气体的压强、分子数密度都减少为原来的一半，则气体的内能是否会变化？为什么？气体分子的平均动能是否会变化？为什么？28在什么条件下，气体分子热运动的平均自由程λ与温度T 成正比？在什么条件下，λ与T 无关？(设气体分子的有效直径一定)29 什么叫分子的有效直径？它是否随温度变化而变化？为什么？30 什么是气体中的输运过程？。
第1章 热力学系统的平衡态及状态方程
对于 mol理想气体
pV RT
V Vmol
理想气体的状态方程
M
：摩尔质量，分子量
2015/3/4
37
p
V
RT
R N Ak B
p n
N A
V
k BT nk BT
气体的分子数密度
N A
V
p nk BT
理想气体的状态方程
R kB 1.380658 1023 J K NA
2015/3/4
稳定平衡
11
理解：
分子被假设为半径为r0的刚性小球 分子的大小：0.1 nm = 10-10 m = 105 fm 分子不接触时，r>>r0，其间无相互作用； 分子接触时，rr0，分子间碰撞为弹性碰撞。 (r ) 12 6 r r
Lennard-Jones Potential Model
p p0 (1 a pT )
(4) 阿伏伽德罗定律 在相同的温度和压强下，摩尔数相同的 各种气体所占的体积相同。
T0 273.16 K, p0 1 atm V0 22.4144 L/mol
2015/3/4 34
标准状况下
3．理想气体的状态方程
由玻意耳定律
pV C(T )
由温度决定的常数
热 学
第1章 热力学系统的平衡态及状态方程 第2章 热平衡态的统计分布律 第3章 近平衡态中的输运过程
2015/3/4
1
绪言
热学：研究物质的热运动、热运动对物质 宏观性质的影响及其与物质的其他运动形 式之间转换规律的物理学分支。
▲ 研究对象: 宏观物体（大量分子原子系统） 或物体系 — 热力学系统 。 ▲ 研究内容:与热现象有关的性质和规律。
第二章 分子动理学理论的平衡态理论
配情况，我们称为一种分布。
实验指出，只要小球的总数足够 大，则每次所得的分布几乎相等， 也即每个槽内的小球的数目与小球 总数之比
N1, N2, N3,,Ni , NNN N
几乎是完全确定的，即具有稳定的特性，只略有一些偏差。
§2.2 概率论的基本知识
由此可见，大量小球 在各槽内的一组分布决不 是偶然的，而是一个必然 规律。这种由大量偶然事 件的总体所服从的规律称
f (v) dN Ndv
f (v)
o
v
§2.3 麦克斯韦速率分布
2、三种统计速率
(1)、最概然速率v p
令
df (v) 0 dv vvp
f (v)
f max
根据分布函数求得
o vp
v
vp
2kT m
2RT Mm
物理意义
气体在一定温度下分布在最概然速
率 附v p近单位速率间隔内的相对分子
数最多。
二、麦克斯韦速率分布
1、麦克斯韦速率分布
麦克斯韦利用理想气体分子在三个方向上作独立运 动的假设,导出了理想气体分子在平衡态时按速度分布规 律，然后得到理想气体分子按速率分布规律。
在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略
时，分布在任意速率区间 v vdv分子数的比率
为
dN f(v )d v4 π ( m) e vd 32 m 2k v2T2 v
T130K0
f (v)
T2120K0
O2
H2
o v p1 vp2
v
N2 分子在不同温度下的 速率分布
o v p 0 v pH
v
同一温度下不同气体的速 率分布
§2.3 麦克斯韦速率分布
基基础础物物理理学学ⅡⅡ 热学
4
§1-4 温度与温标 分别与第三个系统处于热平衡的两个系统,它们彼此也必 定处于热平衡. —— 热平衡的互通性 处于热平衡的两个系统，它们的温度必定相等.
§1-4 温度与温标
二.温标(temperature scale)
温标： 温度(高低的数值标定)的数值表示方法. 温标的三要素：
二.理想气体状态方程
气体系统处于平衡态时，可用p、V、T之间的函数关系表示， 称为气体状态方程． T f ( p,V ) 压强不太大，温度不太低时，气体遵从理想气体状态方程 (Clapeyron方程):
M
i
Mi
i
i
M
i
pV RT
M
RT
混合气体的总压强等于各气体的分压强之和.
12
2
§1-1 物质结构的基本图像 例子： 1. 1 cm3的空气中包含有2.7×1019 个分子 2. 水和酒精的混合 3. 石墨与硅单晶材料表面的STM图像
石墨的表面 原子结构
§1-1 物质结构的基本图像 粗略认识： 1. 气体、液体、固体的扩散 水和墨水的混合 2. 布朗运动 相互压紧的金属板
28
§1-5 状态方程的一般讨论
§1-6 气体的状态方程
二.描述物质状态变化性质的物理量
根据测量的可行性，引入如下物理量描述热力学系统状态变 化的基本性质. (1)体膨胀系数:
§1-6 气体的状态方程
一.理想气体
理想模型，宏观特征： 严格遵守Bolye定律、Charles定律、Gay-Lussac定律，且 其压强温度系数和体膨胀系数严格相等. 或：严格遵守Clapeyron方程的气体 实际气体多数情况下可近似为理想气体， 温度越高、压强越低，近似程度越好
热力学统计物理各章重点总结
第一章概念1.系统：孤立系统、闭系、开系与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统称为孤立系；与外界没有物质交换，但有能量交换的系统称为闭系；与外界既有物质交换，又有能量交换的系统称为开系；2.平衡态平衡态的特点:1.系统的各种宏观性质都不随时间变化；2。
热力学的平衡状态是一种动的平衡,常称为热动平衡;3.在平衡状态下，系统宏观物理量的数值仍会发生或大或小的涨落；4.对于非孤立系，可以把系统与外界合起来看做一个复合的孤立系统，根据孤立系统平衡状态的概念推断系统是否处在平衡状态.3.准静态过程和非准静态过程准静态过程：进行得非常缓慢的过程，系统在过程汇总经历的每一个状态都可以看做平衡态。
非准静态过程，系统的平衡态受到破坏4.内能、焓和熵内能是状态函数.当系统的初态A和终态B给定后，内能之差就有确定值，与系统由A到达B所经历的过程无关;表示在等压过程中系统从外界吸收的热量等于态函数焓的增加值。
这是态函数焓的重要特性克劳修斯引进态函数熵.定义:5.热容量：等容热容量和等压热容量及比值定容热容量：定压热容量:6.循环过程和卡诺循环循环过程（简称循环）:如果一系统由某个状态出发，经过任意一系列过程，最后回到原来的状态，这样的过程称为循环过程。
系统经历一个循环后,其内能不变。
理想气体卡诺循环是以理想气体为工作物质、由两个等温过程和两个绝热过程构成的可逆循环过程。
7.可逆过程和不可逆过程不可逆过程：如果一个过程发生后，不论用任何曲折复杂的方法都不可能使它产生的后果完全消除而使一切恢复原状。
可逆过程:如果一个过程发生后，它所产生的后果可以完全消除而令一切恢复原状.8.自由能：F和G定义态函数：自由能F，F＝U－TS定义态函数:吉布斯函数G,G=U-TS+PV，可得GA－GB－W1定律及推论1.热力学第零定律－温标如果物体A和物体B各自与外在同一状态的物体C达到热平衡,若令A与B进行热接触，它们也将处在热平衡.三要素：（1）选择测温质；(2）选取固定点；（3)测温质的性质与温度的关系。
大学物理振动和波及热学：第二章 热平衡态的统计分布规律简介
16
§3 能量均分定理
简化对于气体分子热运动动能的平均值的计算
将理想气体模型稍作修改，即将气体分为单原子 分子气体，双原子分子气体，多原子分子气体。 这样，气体分子除平动外，还有转动和分子内原 子之间的振动。作为统计初步，可不考虑分子内 部的振动，而认为分子是刚性的。为用统计方法 计算分子动能，首先介绍自由度的概念
17
3.1 自由度 i 在力学中，自由度i是指决定一个物
体的空间位置所需要的独立坐标数.
t : 平动自由度 r : 转动自由度 #单原子分子(自由运动质点) t=3 #刚性双原子分子 t=3 r=2 加以说明。 （两个被看作质点的原子被一条几何线连接） #刚性多原子分子 t=3 r=3
He
O2
H2O
P dI dt dA
dI Fdt m dv dI为大量分子在dt时间内施加
在器壁dA面上的平均冲量，
设在体积为V的容器中储有N个质量为m的分子组成 的理想气体。平衡态下，若忽略重力影响，则分子 在容器中按位置的分布是均匀的。分子数密度为
n=N/V.
6
为讨论方便，将分子按速度分组，第i 组分子的 速度为vi（严格说在vi 附近）分子数为Ni，分子 数密度为 ni=Ni/V，并有
换算关系：设aºF=bºC, 则 a=32+1.8b
50ºC
P
P1
I ( P1 ,V! , T1 )
P2
O V1
II(P2 ,V2 ,T2 ) V2 V
0ºC -17.8ºC
212ºF 200ºF
122ºF 100ºF
32ºF 0ºF
3
第二章 热平衡态的统计分布规律简介
前言
• 宏观物体是由大量微粒-分子（或原子）组成的 • 物体中的分子处于永不停息的无规则运动中，其
第二章热平衡态的统计分布律
f (x) dP 1 dN dx N dx
x的概率分布函数， 概率密度
概率的归一性：
dP 1
概率函数的归一性： f (x)dx 1
2015/3/4
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连续随机变量的平均值
x
xf
(x)dx
x
dN N
任意物理量G(x)的平均值
G G(x) f (x)dx
2015/3/4
统计规律性反映大量偶然事件整体的必然联系。 某一偶然事件出现的概率相对误差=
1 N
2015/3/4
6
2. 随机变量与分布函数
统计的数学处理（以伽尔顿板实验为例）
编号 1 2 2015/3/4
小球总数： N 落入第i 个小槽的小球所占面积：
9
连续随机变量的概率
以伽尔顿板实验为例：
Pi
Ni N
xi hi x j hi
j
将小区间xi细化，当x无穷小量dx
Ni dN , P dP ,
dP dN h(x)dx
N h(x)dx
令
f (x) h(x)
h(x)dx
则
dP f (x)dx
Ai=xihi
i hi xi Ni
n
N Ni C Ai C xi hi
i
i
i
小球落入第i 个小槽的概
率为：
Pi
Ni N
xi hi x j hi
j
总的概率为：
Pi i
Ni iN
Ni
i
N
N N
1
大物知识点整理-热学
热学一、概念原理复习1、平衡态：是在不受外界影响的条件下，一个系统的宏观性质不随时间改变的状态，处于平衡态的系统，其状态可用少数几个宏观状态参量描述。
从微观上看，平衡态是分子运动的热动平衡状态。
2、温度：温度是决定一个系统能否与其它系统处于平衡的宏观性质，处于平衡态的各系统的温度相等。
温度相等的平衡态叫热平衡。
3、热力学定律1）热力学第零定律：如果系统A和系统B分别都与系统C的同一状态处于热平衡，那么当A和B接触时，他们必定处于热平衡状态。
2）热力学第一定律：从微观上应用对质心系的机械能守恒定律，以A‘表示外界对系统做的宏观功，以Q表示外界对系统做的微观功，即输入系统的热量。
以E表示系统的内能，则有A’+Q=⊿E，这一能量守恒式就叫热力学第一定律。
A表示系统对外界做的功。
由于A=-A’，所以可将上式换写为常用的形式Q=ΔE+A。
3）热力学第二定律克劳修斯表述：热量不能自动地由低温物体传向高温物体。
开尔文表述：其唯一效果是热全部转变为功的过程是不可能的（第二类永动机不可能造成）。
微观意义：自然过程总是沿着是分子运动更加无序的方向进行。
这是一条关于大量分子集体行为的统计规律。
玻尔兹曼表述：从微观上来看，对于一个系统状态的宏观表述是非常不完善的，系统的同一宏观状态可能对应于非常多的微观状态，而这些微观状态是粗略的宏观描述所不能加以区别的。
4）热力学第三定律：热力学温标的0K（又称绝对零度）是不能达到的。
4、理想气体状态方程在平衡态下，pV=mMRT或p=nkT,式中n为单位体积内气体的分子数，上式中R称为气体普适常量，R=p0v m,0T0=8.31 J/(mol·K),k称为玻尔兹曼常量，k=RN A=1.38×10-23 J/K。
5、气体的无规则运动1）平均自由程（λ）：分子的无规则运动中各段自由路程（连续两次碰撞间分子经过的路程）的平均值。
2）平均碰撞频率（z̅）：一个气体分子单位时间内被碰撞次数的平均值λ=v̅z̅。
大学物理化学 热力学第二定律
（1）隔离体系中所发生的一切不可逆过程，
都使其熵值增加： 过程方向的标志；
dS隔离，这0 是自发
（2）隔离体系中所发生的一切可逆过程， 其熵值都保持不变：dS隔离 0 ，这是体 系已达到平衡态的标志。平衡态是自发 过程的限度；
（3）隔离体系不可能发生使其熵值减少的 过程。
熵增加原理：隔离体系所发生的一切自 发过程都是朝着使其熵值增加的方向进 行，一直到隔离体系的熵值达到最大为 止，即体系处于平衡态。
三、熵的物理意义
1.自发过程的本质 自发过程的方向性归结为功热转换的不 可逆性。
热：分子混乱运动的表现；
功：一种稳定有序运动的表现；
功热转换：分子由有序状态自发地变为 无序状态，即混乱度增加。无序运动却 不会自动地变为有序运动。
从微观上讲：
热功转换不可逆性是分子运动由混乱程 度较小的状态自发地向混乱程度较大的 状态变化的必然结果。一切不可逆过程 都是向混乱度增加的方向进行。
RT2
ln V4 V3
CV ,m (T2
T1)
RT1
ln
V2 V1
RT2
ln V4 V3
TV 1 常数，有：
T1V2 1 T2V3 1,T2V4 1 T1V1 1
V2 V3
1
V1 V4
1
V2 V1
nA TA
恒容
nB TB
变温
nA T’
n=nA+nB T’
恒温
膨胀
nB T’
S S A S B
S A
nA .CV .m
ln
大学物理(热学篇)
v1
v´1
x
A1 y °
z
1秒钟A1受到分子的总冲量
2mv x
vx 2x
mv
2 x
x
第三步 N个分子在1秒内对A1的碰撞
A1在1秒内受到的冲量——平均作用力F
F 2mv1x
v1 x 2x
2mv2x
v2x 2x
2mv Nx
vNx 2x
m x
(v12x
v22x
vN2 x )
m x
N
即在平衡态，一个自由度，代表一种独立的 运动和一份能量
如某种分子有t个平动自由度，r个转动自由度v振动 自由度，则分子具有：
平均平动动能 平均转动动能 平均振动动能
为什么均分到各自由度所对应的运动能量都 是二分之一KT呢？ 主要是分子不断碰撞以达到平衡态的结果。
注意
１、 一般温度下（T <10 3 K）振
（1)每个分子作用于气壁的冲量I
解（1）每个分子作用于气壁的冲量等于气体 分子动量增量的负值
I 2mv 1.21024kgm/ s
（2)每秒钟碰在器壁单位面积上的分子数n0
解（2）器壁ΔA面积上在Δt时间内碰撞的分子数
N A vt n
z
6
n0
N At
nv 6
n0
1 6
nv
0.31028
/
m3
物体运动形式：平动、转动、振动
自由度数目 i t r v
平转振 动动动
例1 自由运动的质点 (三维空间) 3 个 平动自由度 记作 t = 3
若受到限制，自由度降低 平面上 ： t=2 直线上 ：t=1
例2 自由运动刚体 (如手榴弹)自由度。
大学物理热学第二章(热平衡态的统计分布律)
19
理学院 物理系 陈强
第二章 热平衡态的统计分布律
速度空间: v v dv
z
v
x O
y
速率空间: d
+d
体积元 dv x dv ydvz
x xf ( x)dx
对任意物理量G=G(x), 其平均值:
G G( x) f ( x)dx 13
理学院 物理系 陈强
第二章 热平衡态的统计分布律
例 微观粒子的速度分布函数:
f (v)
1 N
dN dv
表示组成系统的微观粒子中速度处在v附近单位区间
内的粒子数占总粒子数的比例. （概率密度）
i
i
i
小球落入i小槽内的概率为：Pi
N i
N
hi xi hi xi
i
由此例抽象出表示某事件是否发生的一些量的数值：
X x1 , x2 , , xi , ——随机变量
10
理学院 物理系 陈强
第二章 热平衡态的统计分布律
随 机 变 量离连散续随随机机变变量量:: 取取不连连续续变离化散的数数值值 如伽尔顿板：
2 z
1v 2 3
8
理学院 物理系 陈强
第二章 热平衡态的统计分布律
二.伽耳顿板实验
若无小钉：必然事件 若有小钉：偶然事件
实验现象 一个小球落在哪里有偶然性 少量小球的分布每次不同 大量小球的分布近似相同
第二章 热平衡态的统计分布律
引言
第二章热平衡态的统计分布律
3 2
kBT
与温度的统计解释的结果一致。
28
应用(2)：气体分子碰壁数与泻流速率
气体分子处于不停顿的无规运动状态。 单位时间内碰到单位面积器壁上的分子数称为该气体分子的碰 壁数率，记作。
则：t时间内碰到面积为S器壁上的分子数为： Nc St
无穷小时间dt内碰到面元dS上的分子数为： dNc ddSdt
f ( ) 1 dN N d
f ( )d 表示速度处于~ +d 区间中粒子占所有粒子的比率。
2015/3/4
12
例题：
2015/3/4
13
2015/3/4
14
二、 麦克斯韦分布律与麦克斯韦—玻尔兹曼分布律
1. 速度空间与速度分布律
位形空间(x, y, z) Configuration space
第二章 热平衡态的统计分布律
2.1 统计规律与分布函数的规律 2.2 麦克斯韦分布律与麦克斯韦—玻尔兹曼
分布律 2.3 能量均分定理与热容量
2015/3/4
1
一、 统计规律与分布函数的规律
1. 概率
微观：粒子无规则热运动、碰撞、状态随时变化 偶然性、无规律
宏观：速度、速率、运动能量、温度等
必然性、规律性
M-K实验装置如图所示：实验时，铊蒸
汽经狭缝S进入圆筒R, 经筒壁上的斜槽
穿出圆筒后，由探测器D测量到。圆筒
长度为L, 以角速度 (可调)转动，铊分
子进入和穿出圆筒处两半径的夹角为，
则
L v
F ( )
F
理论结果与实验结果符合得很好。
2015/3/4
铊分子沿直线运动 25
气体分子的泻流数率为：
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思考: f()
3kBT
m O p
f()
m m'
2
O 1 2 O
31
第二章 热平衡态的统计分布律
说明 一般三种速率用途各不相同
• 讨论速率分布一般用 v p
• 讨论分子的碰撞次数用v
• 讨论分子的平均平动动能用 v 2
dN 仅是 的函数.
Nd
f(v)
•曲线下面的总面积，等于分
布在整个速率范围内所有各个
速率间隔中的分子数与总分子 O
数的比率的总和
f (v )dv 1
(归一化条件)
0
26
第二章 热平衡态的统计分布律
(2) 不同气体, 不同温度下的速率分布曲线的关系
由于曲线下的面积不变,由此可见 ① m 一定,T 越大, v p 越大, 这时曲线向右移动 ② T 一定, m 越大, v p 越小, 这时曲线向左移动
f(v) T1
f(v) m2(> m1)
T2(> T1)
m1
O v p1 v p2
v O v p2 v p1
v
27
第二章 热平衡态的统计分布律
三. Maxwell速率分布律的实验验证
➢与实验曲线相符密勒－库士实验：
1. 实验装置 2. 测量原理 (1) 能通过细槽到达检测器 D
的分子所满足的条件
v L
又
dN (vx ,vy ) N
f (vx )dvx f (v y )dvy f (vx ,v y )dvxdvy
dN (vx ,v y ) N
所以 f (vx ,vy ) f (vx ) f (vy )
同理可得，在三维空间 f (vx ,vy ,vz ) f (vx ) f (vy ) f (vz2)2
就相同的速率间隔而言, 分子的速率处在 p所在
间隔里的概率最大，也称最可几速率
2. (算术)平均速率
在整个速率区间平均：(0 )
f ( )d
0
3. 方均根速率 2
2
2
f
( )d
1
2
0
30
第二章 热平衡态的统计分布律
在M-速率分布下有:
f()
p
2kBT m
2 RT
8kBT 2 m
19
第二章 热平衡态的统计分布律
速度空间: v v dv
z
v
x O
y
速率空间: d
+d
体积元 dv x dv ydvz
体积元
4 2d
20
第二章 热平衡态的统计分布律
N个粒子系统中有dN(vx,vy,vz)个粒子处在vx~vx+dvx,
vy~vy+dvy, vz~vz+dvz 区间中，这种粒子占总粒子数的
概率：dN (vx ,vy ,vz ) N
f (vx ,v y ,vz )dvxdvydvz ——粒子的速度分布函数
f
(vx
,vy
,vz
)
dN (vx ,v y ,vz ) Ndvxdv ydvz
N个粒子系统中dN(vx,vy,vz)个粒子处在vx~vx+dvx, vy~ vy+dvy, vz~vz+dvz 区间单位速度空间的概率。
v
2 x
v
2 y
v
2 z
v
x
v
2 y
v
2 z
1v 2 3
8
第二章 热平衡态的统计分布律
二.伽耳顿板实验
若无小钉：必然事件 若有小钉：偶然事件
实验现象 一个小球落在哪里有偶然性 少量小球的分布每次不同 大量小球的分布近似相同
结论
(1) 统计规律是大量偶然事件的总体所遵从的规律。
av v0 0 v v0
f (v ) a
v0 v 2v0
0
v 2v0
求 (1) 作速率分布曲线并求常数 a
(2) 速率大于v0 和速率小于v0 的粒子数
解 (1) 由归一化条件得
v0 av dv 2v0 adv 1
0 v0
v0
21v0a v0a 1
a 2 3v0
f (v ) a O v0
f
(
)
4
2
dN
v
Ndvx dv y dvz
4
2f
(v
)
4
m
2 kT
3
/
2
m 2
e2 2kBT
对自由粒子,
M-分布给出:
f
(v
)
~
e k
/ kBT
24
第二章 热平衡态的统计分布律
2. Mf a(xw) ell4速率2 分f (v布) 律
3/2
f ( ) 4 m e2 m 2 / 2kBT 2kBT
——概率密度
速度 v 附近粒子的概率密度即粒子的速度分布函数。
21
第二章 热平衡态的统计分布律
无外界影响时，粒子的运动完全无规vx,vy,vz为独立随 机事件，可分别考察. 如：
f
(vx
)
dN (vx Ndv x
)
f
(v y
)
dN (v y Ndv y
)
f
(vz
)
dN (vz Ndvz
)
根据独立事件概率乘法规则，有
2v0 v 15
第二章 热平衡态的统计分布律
(2) 因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区 间内的分子数与总分子数的比率，所以
v v0 的分子数与总分子数的比率为
ΔN N
v0a
v0
2 3v
0
2 3
N 2 N 3
因此，v>v0 的分子数为 ( 2N/3 )
同理 v<v0 的分子数为 ( N/3 )
求速率在
区间的粒子数
概率分布函数应满足 归一化条件
本题
要求
抛物线方程
+
得 Max
得
速率在 区间的粒子数
得
18
第二章 热平衡态的统计分布律
§2-1.Maxwell速度分布律 一、速度空间与速度分布律的概念
经典物理中，微粒运动状态用坐标和动量描述 位形空间：以位置分量为坐标架建立的空间
直角坐标下， r 附近微小变化 dr 形成体积元 d 3r dxdydz 速度空间：以速度分量为坐标架建立的空间 直角坐标下， v附近微小变化 dv 形成体积元 d 3v dvxdvydvz
5
第二章 热平衡态的统计分布律
如 • 求物理量M 的统计平均值
M NAMA NBMB N
N NA NB
Ni 是M 的测量值为 Mi 的次数，实验总次数为N
状态A出现的概率 WA N A N
M
NAMA N
NBMB N
WAMA
WB M B
Wi Mi
i
归一化条件 Wi 1 i
6
第二章 热平衡态的统计分布律
+d
f ( ) dN Nd
物理意义: 速率在附近、单位速率间隔内的分子
数占总分子数的比率;
或: 分子速率处在附近单位速率间隔内的概率
显然应有
f ( )d 1
归一化条件
0
25
第二章 热平衡态的统计分布律
3. Maxwell速率分布律的性质与特征 (1) 麦克斯韦速率分布曲线
• 对于相同, 比率与 的关系呈两头小, 中间大。
概率分布函数也具有归一性： f ( x)dx 1
所以，dP f ( x)dx
——随机变量x-x+dx内的数值的概率 随机变量x的平均值:
x xf ( x)dx
对任意物理量G=G(x), 其平均值:
G G( x) f ( x)dx 13
第二章 热平衡态的统计分布律
例 微观粒子的速度分布函数:
16
假设有大量的某种粒子，总数目为N，其速率分布函数为
均为正常数，且 为已知
画出该速率分布函数曲线
根据概率分布函数应满足的基本条件，确定系数
求速率在
区间的粒子数
抛物线方程
+
得 Max
17
假设有大量的某种粒子，总数目为N，其速率分布函数为
均为正常数，且 为已知
画出该速率分布函数曲线
根据概率分布函数应满足的基本条件，确定系数
大量微观粒子+无规运动—热力学系统 研究方法：统计物理
一定条件下，诸如速度、速率、运动能量等微观 状态都有一定的统计规律
研究目标： 热力学平衡状态下微观粒子运动状态的统计分 布规律
3
第二章 热平衡态的统计分布律
§2-1.统计规律与分布函数的概念 一.统计规律性概念
统计规律: 大量个别、偶然事件集体、必然规律 统计物理: 大量粒子系统的物理规律，热现象为主
内容: 从粒子微观量用统计平均方法导出系统宏观量. 特点: 单个粒子遵从牛顿力学
整体行为服从统计规律(不能用牛顿力学解决)
4
第二章 热平衡态的统计分布律
气体分子热运动模型的图象:
• 相当稀疏, 标准状态下: 线度~10-10 m; 距离~10-7 m (dV = dxdydz 宏观小、微观大)
除分子与分子、分子与器壁相互碰撞的瞬间外， 气体分子间相互作用的分子力是极其微小的。 • 碰撞频繁, ~1010 次/s, 碰撞时间~10-13 s 两次碰撞间经历的路程~10-7 m, 速率~500m/s 碰撞遵循力学规律 • 整体行为服从统计规律
(2) 统计规律和涨落现象是分不开的。
9
第二章 热平衡态的统计分布律
三. 随机变量与分布函数
1.随机变量