2019年浙江省杭州市高考数学二模试卷答案解析

2019年浙江省杭州市高考数学二模试卷（理科）答案解析一．选择题（共10小题）1．设集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x2≤4}，则A∩B＝（）A．（1，2）B．（1，2]C．（0，2]D．（1，+∞）【解答】解：B＝{x|﹣2≤x≤2}；∴A∩B＝（1，2]．故选：B．2．已知复数z＝1+i（i是虚数单位），则＝（）A．i B．﹣i C．1+i D．1﹣i【解答】解：∵z＝1+i，∴＝＝＝i．故选：A．3．二项式的展开式的常数项为（）A．20B．﹣20C．160D．﹣160【解答】解：二项式（2x﹣）6的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•26﹣r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得展开式中的常数项是﹣8•＝﹣160，故选：D．4．设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：若a＞b，①a＞b≥0，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞b•b，此时成立．②0＞a＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为﹣a•a＞﹣b•b，即a2＜b2，此时成立．③a≥0＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞﹣b•b，即a2＞﹣b2，此时成立，即充分性成立．若a|a|＞b|b|，①当a＞0，b＞0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＞0，因为a+b＞0，所以a﹣b＞0，即a＞b．②当a＞0，b＜0时，a＞b．③当a＜0，b＜0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＜0，因为a+b＜0，所以a﹣b＞0，即a＞b．即必要性成立，综上“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件，故选：C．5．《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（音meng，底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．已知该刍甍的三视图如图所示，则此刍甍的体积等于（）A．3B．5C．6D．12【解答】解：由三视图还原原几何体如图：沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，则三棱柱的体积V1＝×3×1×2＝3，四棱锥的体积V2＝×1×3×1＝1，由三视图可知两个四棱锥大小相等，∴此刍甍的体积V＝V1+2V2＝5（立方丈），故选：B．6．函数y＝（x﹣1）2（x﹣2）e x（其中e为自然对数的底数）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：当x→+∞，f（x）→+∞，排除C，D，由f（x）＝0得x＝2或x＝1，且当1＜x＜2时，f（x）＜0，排除B，故选：A．7．已知a≠c，随机变量ξ，η的分布列如表所示．ξ123P a b cη123P c b a命题p：Eξ＝Eη，命题q：Dξ＝Dη，则（）A．p真q真B．p真q假C．p假q真D．p假q假【解答】解：依题意Eξ＝a+2b+3c，Eη＝c+2b+3a，Eξ﹣Eη＝2c﹣2a，a≠c，故Eξ﹣Eη≠0，即p为假命题．E（ξ2）＝a+4b+9c，所以D（ξ）＝E（ξ2）﹣E2（ξ）＝a+4b+9c﹣（a+2b+3c）2．同理：D（η）＝c+4b+9a﹣（c+2b+3a）2，∴D（ξ）﹣D（η）＝a+4b+9c﹣（a+2b+3c）2﹣c+4b+9a﹣（c+2b+3a）2＝8（c﹣a）+（2a ﹣2c）（4a+4b+4c）因为a+b+c＝1，所以D（ξ）﹣D（η）＝8（c﹣a）﹣8（c﹣a）＝0，即D（ξ）＝D（η），故q真．综上p假q真，故选：C．8．设函数，则函数y＝f（f（x））（）A．是偶函数也是周期函数B．是偶函数但不是周期函数C．不是偶函数是周期函数D．既不是偶函数也不是周期函数【解答】解：根据题意，f（x）＝＝，则有f（﹣x）＝f（x），即函数f（x）为偶函数，则f（f（﹣x））＝f（f（x）），即函数y ＝f（f（x））为偶函数；又由f（x）＝＝，当x＜﹣1时，f（x）＝2﹣2x+1，有﹣＜f（x）＜，当﹣1≤x≤1时，f（x）＝﹣，当x＞1时，f（x）＝2﹣（）x﹣1，有﹣＜f（x）＜，综合可得：﹣＜f（x）＜，则f（f（x））＝﹣，其函数值为常数，y＝f（f（x））为周期函数；故y＝f（f（x））为偶函数且是周期函数；故选：A．9．已知数列{a n}满足2a n≤a n﹣1+a n+1（n∈N*，n≥2），则（）A．a5≤4a2﹣3a1B．a2+a7≤a3+a6C．3（a7﹣a6）≥a6﹣a3D．a2+a3≥a6+a7【解答】解：∵2a n≤a n﹣1+a n+1（n∈N*，n≥2），∴a n﹣a n﹣1≤a n+1﹣a n，∴a4﹣a3≤a5﹣a4≤a6﹣a5≤a7﹣a6，∴a6﹣a3＝a6﹣a5+a5﹣a4+a4﹣a3≤3（a7﹣a6），即3（a7﹣a6）≥a6﹣a3，故选：C．10．已知椭圆，直线x+y＝1与椭圆Γ交于M，N两点，以线段MN为直径的圆经过原点．若椭圆Γ的离心率不大于，则a的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：椭圆，直线x+y＝1与椭圆Γ交于M，N两点，可得a＞1，由x+y＝1联立椭圆方程可得（a2+b2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得x1+x2＝，x1x2＝，线段MN为直径的圆经过原点，可得OM⊥ON，即有x1x2+y1y2＝0，可得x1x2+（1﹣x1）（1﹣x2）＝0，化为2x1x2+1﹣（x1+x2）＝0，则2•+1﹣＝0，化为a2+b2＝2a2b2，由e≤，可得1﹣≤，即b2≥a2，可得≥a2，即有2a2﹣1≤4，解得a≤，可得1＜a≤，故选：D．二．填空题（共7小题）11．双曲线的焦距为；渐近线方程为y＝．【解答】解：由题知，a2＝4，b2＝1，故c2＝a2+b2＝5，∴双曲线的焦距为：，渐近线方程为：．故答案为：；．12．设函数，若，则实数a＝，f（f（2））＝．【解答】解：函数，若，可得，解得a＝；f（2）＝＝﹣．f（f（2））＝f（﹣）＝＝＝．故答案为：；．13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则sin C＝；当a＝2，2sin A＝sin C时，则b＝或2．【解答】解：因为cos2C＝1﹣2sin2C＝﹣，及0＜C＜π，所以解得：sin C＝．当a＝2，2sin A＝sin C时，由正弦定理，解得：c＝＝4．由cos2C＝2cos2C﹣1＝﹣，及0＜C＜π得cos C＝±．由余弦定理c2＝a2+b2﹣2ab cos C，得b2±b﹣12＝0，解得b＝，或b＝2．故答案为：，或2．14．设实数x，y满足不等式组则x+2y的最小值是5；设d＝x2+y2，则d的最小值等于10．【解答】解：依题意作出实数x，y满足不等式组可行性区域如图，目标函数z＝x+2y在点（3，1）处取到最小值：5．d＝x2+y2，由图形可知，A到原点的距离最小，则d的最小值等于：10故答案为：5；10．15．已知集合A＝{1，3，5}，B＝{0，2，4}，分别从A，B中各取2个不同的数，能组成不同的能被3整除的四位偶数的个数是32（用数字作答）．【解答】解：若A选1，3，则B中只能选0，2，若个位是0，则有A＝6，若个位是4，则有C A＝4种，此时有6+4＝10种，若A选1，5，则B中只能选4，2，此时偶数有C A＝12种，若A选3，5，则B中只能选0，4，若个位是0，则有A＝6，若个位是4，则有C A＝4种，此时有6+4＝10种，综上共有10+12+10＝32种，故答案为：32．16．已知向量，平面向量满足，则的最小值等于20．【解答】解：向量，平面向量满足，可得22+•＝10+•＝||，可得•＝||﹣10，则＝2﹣4•＝||2﹣4||+40＝（||﹣2）2+20，当||＝2，可得的最小值为20．故答案为：20．17．如图，已知矩形ABCD，，AD＝1，AF⊥平面ABC，且AF＝3．E为线段DC 上一点，沿直线AE将△DAE翻折成△D'AE，M为BD'的中点，则三棱锥M﹣BCF体积的最小值是．【解答】解：选固定点E，可知D′在圆上运动，现E在线段DC上运动，且AD′＝1，∴D′的运动轨迹为以A为球心，半径为AD′＝1的球面的一部分，∵S△BCF＝＝＝，∴求三棱锥M﹣BCF体积的最小值只需求M到面BCF的距离d1的最小值，即求D′到面BCF的距离d的最小值，过A作BF的垂线，垂足为H，当D′为AH与球面的交点G时，D′到面BCF的距离最小，此时点E在DC上，d＝AF﹣1＝，d1＝＝，∴三棱锥M﹣BCF体积的最小值为：V min＝S△BCF×d1＝．故答案为：．三．解答题（共5小题）18．已知函数．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）当时，求函数f（x）的值域．【解答】（本题满分为14分）解：（1）∵＝2sin（2x﹣）+1，…5分∴2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，…9分（2）因为，∴2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣1，]，∴函数f（x）的值域为：[﹣1，2]．…14分19．如图，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF＝90°，AD ＝2，AB＝AF＝1，点P在线段DF上．（1）证明：AF⊥平面ABCD．（2）若二面角DF﹣AP﹣C的余弦值为，求PF的长度．【解答】（I）证明：∵∠BAF＝90°，∴AB⊥AF．又平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD＝AB，AF⊂平面ABEF，∴AF⊥平面ABCD．（II）解：以A为原点，以AB，AD，AF为坐标轴建立空间坐标系，如图所示，则B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），∵AB⊥平面ADF，∴＝（1，0，0）为平面ADF的一个法向量，设＝λ，则P（0，2λ，1﹣λ），∴＝（0，2λ，1﹣λ），＝（1，2，0）．设平面APC的法向量为＝（x，y，z），则，∴，令y＝1可得＝（﹣2，1，），∴|cos＜＞|＝||＝||＝，解得λ＝，∴PF＝．20．设等差数列{a n}前n项和为A n，等比数列{b n}前n项和为B n．若B n+3＝8B n+7，a1＝b2，a4＝b4．（1）求b n和A n；（2）求数列{b n﹣A n}的最小项．【解答】解：（1）等差数列{a n}的公差设为d，等比数列的公比设为q，B n+3＝8B n+7，可得b1+b2+b3+（b4+…+b n+3）＝b1+b2+b3+q3B n＝8B n+7，则q3＝8，b1+b2+b3＝7，解得q＝2，b1＝1，则b n＝2n﹣1；a1＝b2＝2，a4＝b4＝8，可得d＝＝2，A n＝2n+•2•n（n﹣1）＝n2+n；（2）设c n＝b n﹣A n＝2n﹣1﹣n2﹣n，c n+1﹣c n＝2n﹣（n+1）2﹣n﹣1﹣（2n﹣1﹣n2﹣n）＝2n﹣1﹣2（n+1），当n≤4时，c n+1＜c n；当n≥5时，c n+1＞c n，可得数列{b n﹣A n}的最小项为c5＝﹣14．21．如图，已知P（1，1）为抛物线y＝x2上一点，斜率分别为k，﹣k（k＞2）的直线P A，PB分别交抛物线于点A，B（不与点P重合）．（1）证明：直线AB的斜率为定值；（2）若△ABP的内切圆半径为，（i）求△ABP的周长（用k表示）；（ii）求直线AB的方程．【解答】证明：（1）设直线P A的方程为y＝k（x﹣1）+1，与抛物线联立可得x2﹣kx+k ﹣1＝0，易知A（k﹣1，（k﹣1）2），B（﹣k﹣1，（k+1）2），∴直线AB的斜率k AB＝＝﹣2为定值．（2）由（1）可得直线AB的方程为y＝﹣2（x﹣k+1）+（k﹣1）2，∴点P到直线AB的距离d＝，|AP|＝•（k﹣2），|BP|＝（k+2），|AB|＝2k，（i）△ABP的周长l＝2k+2k，（ii）设△ABP的内切圆半径为r，则r＝﹣，即r＝＝＝﹣，即﹣＝﹣，解得k＝5，∴直线AB的方程为y＝﹣2x+24．22．已知函数f（x）＝（x﹣1）e x．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若方程f（x）＝ax+b（a，b∈R）有非负实数解，求a2+4b的最小值．【解答】解：（1）由f（x）＝（x﹣1）e x，的f′（x）＝xe x，由f′（x）＝xe x＞0，得x＞0，∴函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；（2）设g（x）＝（x﹣1）e x﹣ax﹣b，则g′（x）＝xe x﹣a．当a≤0时，g′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，可得g（x）在[0，+∞）上单调递增，∴g（0）＝﹣1﹣b≤0，得b≥﹣1，故a2+4b≥﹣4；当a＞0时，存在x0＞0，使g′（x0）＝0，即，且g（x）在[0，x0]上单调递减，在[x0，+∞）上单调递增．∴≤0，解得．因此，．设h（x）＝x2e2x﹣4（x2﹣x+1）e x，则h′（x）＝2（x2+x）e x（e x﹣2）．∴h（x）在[0，ln2]上单调递减，在[ln2，+∞）上单调递增．∴h（ln2）＜h（0）＝﹣4，h（x）≥h（ln2）＝﹣4ln22+8ln2﹣8．∴当a＝2ln2，b＝﹣2ln22+2ln2﹣2时，a2+4b取到最小值﹣4（ln2﹣1）2﹣4，此时方程f（x）＝ax+b有非负实数解ln2．综上所述，a2+4b的最小值为﹣4（ln2﹣1）2﹣4．。