2弧、弦、圆心角1

（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，
OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？ 为什么？
C A E
⌒ ⌒ AB=CD
AOB COD ． AB=CD ，_____________ ，那么____________
B
O
·
F
D
知识应用
⌒ ⌒ 例. 如图, 在⊙O中，AB=AC ，∠ACB=60°， A 求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.
B
⌒ ⌒ ⌒

A
O
·
AOE 180 3 35


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2.如图,AB、AC、BC都是⊙O的弦,且∠CAB=∠CBA 求证:∠COB=∠COA.
证明：Q∠CAB=∠CBA
AC=BC
O
∠COB=∠COA
B
A C
3.如图，已知AB、CD为 ⊙O 的两条弦，
︵ ︵ AD=BC ，求证：AB＝CD.
A D M O C
B
⌒ = BC ⌒ 证明： AD Q ⌒ AC ⌒ BC ⌒ + AC ⌒ AD + = ⌒ = CD ⌒ AB AB＝CD
拓展提升 在 ABCD中,以A为圆心,AB长为半径的圆分别
⌒ ⌒
交AD,BC于F,G,交BA的延长线于E,求证:EF=FG.
E 1 A 2 3 B 4 F D
探究
如图， AOB A' OB' ,将圆心角∠AOB绕圆心O旋转 到A' OB' 的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
A′ A′
A′
B B
B′
B′
B′ A
B
· O · O
⌒ ⌒
A
O
·
A
相等的弧是指能够重合的弧（长度与曲度都相等）
结论:AB=A’B’ AB=A’B’ 上述结论在等圆中成立吗?
基础巩固
如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
AOB COD ． AB=CD ，_________________ （1）如果AB=CD，那么___________
（2）如果
⌒ ⌒
⌒ ⌒ ，_________ AB=CD ． AB=CD （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________
G
C
小结: (1)圆心角的概念, (2)弧,弦,圆心角之间的关系定理,
在同圆和等圆中
圆心角相等
弧相等
弦相等
O.
A B
B’
A’
(3)应用上述定理证明其中的一组 量相等,通常转化为证明其余的一 组量相等.
我们知道，圆是旋转对称图形, 一个圆绕圆心旋转任何角度都能够 与自身重合,圆的这种性质称为圆的 旋转不变性.
根据圆的旋转不变性,可以得出圆的一个 重要性质:弧,弦,圆心角之间的关系定理.
O
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
A
O·
A
O3
1
· 2
B
B
C
D
∠1 、∠2 、∠3 右图中小于180°的圆心角分别为__________ ∠BOC、 ∠AOD
题设
在同圆或等圆中① 两个圆心角相等 ∠AOB=∠A’OB’
→{ }
结论 ⌒ ⌒ ②AB=A’B’
③AB=A’心 角相等，那么它所对的弧相等， 所对的弦也相等．
· O
反例
C
A
A
注意：定理的条件：“在同圆或等圆中”。
.O
D
B
同样我们可以得到：在同圆或等圆中，如果 相等 所对 弧相等，那么它所对的圆心角______, 相等 的弦_______. 在同圆或等圆中，如果弦相等， 相等 相等 圆心角所对的弧_______. 那么它所对的圆心角______,
⌒ ⌒ 证明： AB AC
∴ AB=AC 又∠ACB=60°
∴ △ ABC是等边三角形, ∴ AB=BC=CA ∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC
B
O
·
C
⌒ ⌒ 练习1.如图，AB是⊙O 的径,BC=CD=DE 求∠AOE 的度数．
E
⌒ ,∠COD=35°,
解：
D C
BC=CD=DE
BOC=COD=DOE=35