弧、弦与圆心角关系定理
圆心角与弦、弧之间的关系
：
辫 如图， ￣Ａ Ｃ Ｉ Ｂ Ｄ的顶点Ａ为圆心，Ｂ为半径作圆， ） ２ Ａ 交
Ａ Ｂ Ｄ， Ｃ于 Ｅ， 延长 Ｆ，
证明
。 ．
面． 而 ． 都搪 七 即可．
交 ｏ 于 Ｇ 求证 ： ＝ ． 廓
连接
‘
在 同 圆或等 圆 中 ， 圆心 角 、 和 弦三者 之 问有 下列 关 系 ： 弧
１ 定理 ． 在 同 圆或 等 圆 中 ，相 等 的 圆心 角 所对 的弧 相等 ． 所
对 的弦也 相等 ． 几何 表达 式
注意
下罔．
应刚定理时 ， 在同圆 “
如 图 ， ＱＯ 中 ，・ ＡＯ ： Ｃ Ｄ０． Ｂ 面 ， ： Ｄ． 在 ・ ． Ｂ Ｏ Ａ ： ＡＢ Ｃ — ２ 推论 ． 在 同圆 或 等 圆 中 ， 等 的 两 条 弧 、 条 弦 、 个 圆心 相 两 两
在 同 心 圆 ００ 巾 ． ４Ｏ ＝ Ｂ
Ｃ ＯＤ． 但 ≠Ｃ ＡＢ≠Ｃ — Ｄ． Ｄ．
Ｏ ＝ Ｃ Ｄ． Ｂ Ｏ
此 定理 是证 明弧等 、 等 、 角 弦等 的 另一 个基 本方 法．
３ 圆心 角 的度数 等 于 圆心 角所对 弧 的度 数． ．
倒 １ 如图， Ａ ＝ Ｃ 求证 ：Ｂ Ｃ 已知 Ｄ Ｂ ， Ａ ＝Ｄ
日＝ ４Ｆ－． Ｂ＝ １ ． ．Ｌ ．
・
．
‘
Ｄ Ｃ ｌ ／２ ＬＢ ３ ∥Ｂ ． ＝ ， ＝ ．
２ ３ ： ． ． ： ・ ． 威
即
１ ５
浑 浑 噩 噩 的人 生 是 不 值 得 过 的人 ห้องสมุดไป่ตู้ 。— — 苏 格 拉 底
圆公共弦定理证明
圆公共弦定理证明圆的十八个定理1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形3、垂径定理：垂直弦的直径平分该弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
推论1：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等4、切线之判定定理：经过半径的外端并且垂直于该半径的直线是圆的切线。
5、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。
6、公切线长定理：如果两圆有两条外公切线或两条内公切线，那么这两条外公切线长相等，两条内公切线长也相等。
如果他们相交，那么交点一定在两圆的连心线上。
7、相交弦定理：圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段长的乘积相等。
8、切割线定理：从圆外一点向圆引一条切线和一条割线，则切线长是这点到割线与圆的两个交点的两条线段长的比例中项。
9、割线长定理：从圆外一点向圆引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
10、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心11、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等12、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦13、定理：把圆分成n（n≥3）：（1）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形14、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆15、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆16、定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形17、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
人教版初三数学上册 弧、弦、圆心角、圆周角 讲义
弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系解题技巧：1、顶点在圆心的角叫圆心角，顶点在圆周上的角叫圆周角2、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等（知道一组相等，就可以推出其它三组相等）3、圆周角定理：同弧所对圆周角是圆心角的一半4、直径所对圆周角等于90°，90°的圆周角所对的弦是直径例1、下列说法正确的是_________________①相等的圆周角所对的弧相等②相等的弦所对的弧相等③等弦对等弧④等弧对等弦例2、如图，点A、B、C在⊙O上，OC、OB是半径，∠COB=100°，则∠A的度数等于（）A、20°B、40°C、50°D、100°例3、如图所示，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为（）A、30°B、45°C、60°D、75°例4、如图，AB是⊙O的直径，BD=BC，∠A=25°，则∠BOD的度数为（）A、12.5°B、30°C、40°D、50°例5、如图所示，AB是⊙的直径，AC=CD=BD，E是⊙O上一点，连接CE、DE，则∠CED的度数为（）A、25°B、30°C、40°D、60°例6、如图，⊙O的直径是AB，∠C=35°，则∠DAB的度数是（）A、60°B、55°C、50°D、45°例7、如图，经过原点的⊙P与x轴，y轴分别交于A（3，0）、B（0,4）两点，点C是OB上一点，且BC=2，则AC=____1、如图，AB和CD都是⊙O的直径，∠AOC=52°，则∠C的度数是（）A、22°B、26°C、38°D、48°2、如图，AB为⊙O直径，∠ABC=25°，则∠D的度数为（）A、70°B、75°C、60°D、65°3、如图，AB是⊙O的直径，若∠BDC=30°，则∠AOC的度数为（）A、80°B、100°C、120°D、无法确定4、如图，⊙O中弦AB等于半径OA，点C在优弧AB上运动，则∠ACB的度数是（）A、30°B、45°C、60°D、无法确定5、如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）A、60°B、45°C、30°D、22.5°6、如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=35°，则∠OAB的度数是（）A、35°B、55°C、65°D、70°7、如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦。
(完整版)圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系定理知识点及练习,推荐文档
CD 的弦心距 OF＝_______cm，弦 CD 的长为________cm。
7、 已知⊙O 的半径为 5cm，过⊙O 内一已知点 P 的最短的弦长为 8cm，则 OP＝_______。
8‘已知 A、B、C 为⊙O 上三点，若 AB 、 BC 、 CA 度数之比为 1：2：3，则
∠AOB＝_______，∠BOC＝________，∠COA＝________。
（I）连过弧中点的半径；（II）连等弧对的弦；（III）作等弧所对的圆心角。
例： 如图，CD为⊙O的弦， AC BD ，OA、OB交CD于F、E。
求证：OE＝OF
证法一：连结 OC、OD
OC OD， C D
AC BD ， COA BOD（等弧所对的圆心角相等） COF DOE OE OF
∠BOC 的度数。
3、如图 3，C 是⊙O 直径 AB 上一点，过点 C 作弦 DE，使 CD＝CO，使 AD 的度数 40°，
AOB 100 , OBC 55 ， OEC =
度.
2、如图 4，已知 AB 是⊙ O 的直径，C、D 是⊙ O 上的两点， D 130 ，则 BAC 的度数是
.
3、如图 5，AB 是半圆 O 的直径，E 是 BC 的中点，OE 交弦 BC 于点 D，已知 BC=8cm,DE=2cm，则
AD 的长为
A． 40 B． 50 C． 70 D． 80
8、如图 3，AB 为⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的两点， BAC 20 ， AD CD ，则
∠DAC 的度数是（ ）
A. 70° D
B. 45° C
C. 35°
D. 30°
A
O
B
如图 3 二、填空题
弧、弦、圆心角的关系
M
N
今天作业 课本第94页 3，10
·
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N' N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N'
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N'
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， 由此可以看出，点N'仍落在圆上。
N' N
O
定理：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合( 圆的旋转不变性） 。
Ａ 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC
证明: ∵ A⌒B=A⌒C
∴ AB=AC, △ABC是等腰
Ｏ
三角形.
又 ∠ACB=60° ,
Ｂ
Ｃ
∴ △ABC是等边三角形,
∴ AB=BC=CA.
∴ ∠AOB=∠BOC=∠AOC.
例如图，AC与BD为⊙O的两条
互相垂直的直径
求证：A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒A;
反馈练习
1、在⊙O中，AB⌒=AC⌒，∠AOB=70°，E
则∠AOC =
70°
D C
2、如图，AB是⊙O 的直径，
A
·
O
B
，∠COD=35°，
则∠AOE 的度数是 75°
3、在⊙O中，弦AB所对的劣弧
为圆的1/3，圆的半径为2㎝，那么
AB =
㎝
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系--知识讲解(基础)
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系--知识讲解（基础）【学习目标】1.了解圆心角、圆周角的概念；2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．【要点梳理】要点一、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.要点二、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.4.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.【典型例题】类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用1.如图，在⊙O中，，求∠A的度数.【答案与解析】.【总结升华】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所对的弦也相等．举一反三：【变式】如图所示，中弦AB=CD，求证：AD=BC.【答案】证法1：∵AB=CD，∴(在同圆中，相等的弦所对的弧(同为优弧或同为劣弧)也相等) ∴∴AD=BC(在同圆中，相等的弧所对的弦也相等)证法2：如图，连接OA，OD，OB，OC，∵AB=CD，∴(在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等)∴∴AD=BC(在同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等)类型二、圆周角定理及应用2.观察下图中角的顶点与两边有何特征? 指出哪些角是圆周角?【思路点拨】判断圆周角必须同时满足两条：①顶点在圆上；②两边都和圆相交.【答案与解析】(a)∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角；(b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角；(c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角．(d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角；(e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角.【总结升华】紧扣定义，抓住二要素，正确识别圆周角．3.如图所示，AB为⊙O的直径，动点P在⊙O的下半圆，定点Q在⊙O的上半圆，设∠POA=x°，∠PQB=y°，当P点在下半圆移动时，试求y与x之间的函数关系式.【答案与解析】解法1：如图所示，∵AB为⊙O的直径，∠AOP=x°∴∠POB=180°-x°=(180-x)°又解法2：如图所示，连结AQ，则又∵AB是⊙O的直径，∴∠AQB=90°【总结升华】考查圆周角定理的应用.4．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？【思路点拨】连结AD，易证∠ADB=90°，即AD是等腰三角形△ABC的高．再由三线合一的性质得出BD与CD的大小关系.【答案与解析】BD=CD.理由是：如图，连接AD∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°即AD⊥BC又∵AC=AB，∴BD=CD.【总结升华】BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰三角形，要证明D是BC的中点，只要连结AD，证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．举一反三：【变式】如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点E，的度数为60°，的度数为100°，则∠AEC等于（）A. 60°B. 100°C. 80°D. 130°【答案】C.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
弧、弦、圆心角的关系
同圆或等圆中， 两个圆心角、两 条弧、两条弦中 有一组量相等， 它们所对应的其 余各组量也相 等．
四、练习
如图，AB、CD是⊙O的两条弦． （1）如果AB=CD，那么__A_B___=___C_D_，_________________．
（2）如果
，那么___A_B__=_C_D____，_____________．
C
O A
ED
∵ BC = CD = DE
C
A
·
O
B
七、思考
如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦， A⌒D=B⌒C, 求证AB=CD
C
B O
D A
如图，已知OA、OB是⊙O的半径，点C 为A⌒B的中点，M、N分别为OA、OB的 中点，求证：MC=NC
O
M
N
A
B
C
如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O 的半径，弦BE∥OA, 求证：A⌒C=A⌒E
∴AB A ' B '. 重合，AB与A′B′重合．
︵︵
AB A' B '.
三、定理
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角 _相__等__， 所对的弦___相_等____；
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角 __相__等__，所对的弧___相__等____．
二、
探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你 能发现哪些等量关系？为什么？
A′ B
B′
A′
B
B′
·
O
A
·
O
A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位 置时， ∠AOB＝∠A′OB′，射线 OA与OA′重合，OB与OB′重 合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，∴点 A与 A′重 合，B与︵B′重合．︵
圆心角弧弦之间的关系公式
圆心角弧弦之间的关系公式文章一朋友们，咱们今天来聊聊圆心角弧弦之间的关系公式。
比如说，你想象一下有个圆形的大蛋糕，从圆心切出一个角来，这就是圆心角。
那连接圆心角两端的曲线就是弧啦。
而从圆心角的两个端点连接到圆上的线段，就是弦。
咱就拿个实际的例子说，一个半径为 5 厘米的圆，有个圆心角是60 度，那对应的弧长怎么算呢？这时候关系公式就派上用场啦！通过公式，咱们就能算出这段弧的长度。
其实啊，圆心角、弧和弦，它们就像是圆这个大家庭里的好伙伴，相互之间有着密切的联系，只要掌握了它们的关系公式，就能轻松解决好多和圆有关的问题。
文章二嗨，大家好！今天咱们要弄明白圆心角弧弦之间的关系公式。
比如说，你去公园玩，看到了一个圆形的喷泉，这时候你就可以想想圆心角弧弦啦。
想象一下从喷泉的中心引出一个角度，这就是圆心角。
沿着这个角度的边，那弯曲的部分就是弧。
而连接角度两边端点到圆边的线段，就是弦。
就像一个半径是 3 厘米的圆，有个圆心角是 90 度，那根据关系公式，就能很快算出弧长和弦长。
所以说，只要理解了这个公式，以后再看到圆的东西，心里就有数啦，是不是挺有趣的？文章三亲爱的小伙伴们，咱们一起来讲讲圆心角弧弦之间的关系公式。
打个比方，你正在画一个圆，然后在圆里随便画一个角，从圆的中心出发的这个角就是圆心角。
这个角所对应的圆上那一段弯曲的线，就是弧。
而把这个角的两个端点和圆连接起来的线段，就是弦。
比如说有个圆，半径是 4 厘米，圆心角是 120 度。
这时候用关系公式，就能算出弧长和弦长到底是多少。
学会了这个公式，不管是做数学题，还是在生活中看到圆形的东西，都能更明白其中的道理啦。
文章四朋友们，今天咱们来探讨一下圆心角弧弦之间的关系公式。
你可以想象一下，一个圆形的摩天轮，当你坐在上面，从摩天轮的中心看出去的角度就是圆心角。
你所经过的那一段圆形轨道就是弧。
而连接你所在位置和摩天轮边缘的线段就是弦。
比如有个半径为 6 厘米的圆，圆心角是 45 度，通过关系公式就能算出弧和弦的长度。
弧弦圆心角之间的关系
弧弦圆心角之间的关系
圆心角、弧、弦之间的关系如下：
1、在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
2、在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧）。
连接圆上任意两点的线段叫做弦（chord），在同一个圆内最长的弦是直径。
顶点在圆心上的角叫做圆心角。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧（arc），以“⌒”表示。
相关计算公式：（R是扇形半径，n是弧所对圆心角度数，π是圆周率，L是扇形对应的弧长）
扇形弧长L=圆心角（弧度制）×R= nπR/180（θ为圆心角）（R 为扇形半径）
扇形面积S=nπ R²/360=LR/2（L为扇形的弧长）
圆锥底面半径 r=nR/360（r为底面半径）（n为圆心角）。
弧弦圆心角关系定律
弧弦圆心角关系定律稿子一嗨，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊弧弦圆心角关系定律，这可是个超有趣的数学知识哟！你知道吗，当圆心角变大的时候，对应的弧也会变长，弦也会跟着变长。
就好像圆心角是个大老板，它一发话，弧和弦都得乖乖听话跟着变。
比如说，在一个圆里，如果圆心角是个小小的锐角，那对应的弧就像个胆小的孩子，不敢伸太长；弦呢，也像个害羞的小姑娘，不敢太张扬。
可要是圆心角突然变成个大大的钝角，哇，那对应的弧就像吃了大力菠菜，一下子变得长长的；弦也变得勇敢起来，变得更长更有气势！这三者之间的关系呀，紧密得就像一家人。
圆心角是家长，弧和弦就是听话的孩子。
家长一变，孩子们也跟着变。
而且哦，不管圆的大小怎么变，这个定律都一直存在呢。
是不是很神奇？就好像是一个永恒的魔法，一直守护着圆的世界。
所以呀，下次看到圆里的弧和弦，咱们就可以想想圆心角在背后捣的鬼，是不是很有意思呢？好啦，今天关于弧弦圆心角关系定律就聊到这儿，小伙伴们，拜拜啦！稿子二嘿，朋友们！今天咱们来好好唠唠弧弦圆心角关系定律。
咱们先想象一下，一个圆就像一个大舞台，圆心角就是舞台上的主角，弧和弦就是配角。
当圆心角这个主角开始表演，它的动作幅度大小可就决定了弧和弦这两个配角的表现。
如果圆心角轻轻摆动，那弧就像小步慢跑，不长不短；弦呢，也只是微微伸展。
可要是圆心角来个大幅度的旋转跳跃，那弧就像是飞奔起来，长得不得了；弦更是像被施了魔法，一下子拉长好多。
而且哟，这三者之间的关系是相互影响的。
弧变长了，圆心角肯定也变大了，弦自然也就跟着长啦。
比如说，我们画一个超级大的圆和一个小小的圆，就算它们大小不一样，但是只要圆心角相同，对应的弧和弦的比例关系也是一样的呢。
这就好像不管是在大城市还是小乡村，一家人之间的爱和关系都是不变的。
怎么样，是不是觉得这个弧弦圆心角关系定律还挺好玩的？数学世界里的这些小秘密，就等着我们去发现和探索呢！好啦，今天就聊到这儿，咱们下次见哟！。
弧弦圆心角三个定理
弧弦圆心角三个定理
弧弦圆心角三个定理是三个基本的几何定理，用于理解和应用圆中的几何关系，主要包括以下几个方面：
1. 圆心角定理：在同一个圆中，如果两个圆心角相等，则它们所对应的弧相等。
同时，这也意味着同弧所对的圆心角相等。
2. 弧长定理：在同一个圆中，弧长等于圆心角所对应的弧度的大小乘以半径的长度。
3. 弦长定理：在同一个圆中，弦长等于圆心角所对应的弧度的大小乘以弦心距的长度。
弦的大小与弦心距的大小有关，弦心距越小，弦越大。
这些定理在数学上有很多应用，例如勾股定理的应用。
在解题过程中，我们通常需要根据题目中的条件，灵活运用这些定理来推导出正确的结论。
需要注意的是，这三个定理在同圆或等圆中成立，如果两个角或两个弧不是在同一个圆中，那么它们所对应的弧和弦就不一定相等。
此外，当有弦的中点时，我们常连接弦心距，证两弦相等时也常作弦心距。
圆的性质与圆周角定理
【定理的证明】
⌢
已知：在⊙O中，BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC． 求证： ． 1
∠BAC = ∠BOC 2
证明：由圆周角在圆内的位置关系，分三种情况讨论．
（1）圆心O在∠BAC的一条边上（如图1），
∵ ，∴ ， OA = OC
∠C = ∠BAC
∵ ， ∠BOC = ∠BAC + ∠C
∴ ． 1 ∠BAC = ∠BOC 2
∵ ， ， 1 ∠DAB = ∠DOB
1 ∠DAC = ∠DOC
2
2
∴ ． 1
∠DAC − ∠DAB =
− (∠DOC − ∠DOB)
2
∴ ． 1 ∠BAC = ∠BOC 2
圆周角定理的推论
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等．
【注意】不能把“同弧或等弧”改成“同弦或等弦”，因为一条弦所对的圆周角有两种情况．一般情况下不相等， 如图2．
三、易错点辨析
（1）圆心角、弧、弦三者之间的关系可以直接运用定理推得，但弦心距的关系要通过全等等其它方法来证明． （2）应用圆心角、弧、弦之间的关系以及圆心角定理时，不要忽略“同圆或等圆”的前提． （3）弦所对的弧有优弧、劣弧两条，解题时要注意分类讨论． （4）在应用定理时，一定要保证在“同弧或等弧”前提．
二、解题方法技巧
（1）有关弧的中点引辅助线的方法： ①连过弧中点的半径； ②连等弧对的弦； ③连等弧对的圆心角． （2）有关弦中点的引辅助线的方法：连过弦中点的半径． （3）求弧的度数：构造弧所对的圆心角． （4）已知直径：构造直径所对的圆周角． （5）比较弧的大小，可以转化成比较弦、圆心角的大小． （6）有线段的倍分关系时，常利用“折半、加倍”的方法做辅助线．
弧弦与圆心角关系定理课件
弧弦与圆心角的关系定理
定理
在同圆或等圆中，弧弦与所对应的圆 心角相等。
证明思路
利用圆的基本性质，通过作图和角度 测量进行证明。
02
定理的证明过程
证明方法一：解析法
01
02
03
定义变量ห้องสมุดไป่ตู้
设圆心角为α，弧长为l， 半径为r。
建立数学方程
根据弧长公式，可建立以 下方程：l = αr / 180°
解析证明
对后续学习的建议与展望
加强基础知识的掌握
弧弦与圆心角关系定理是圆的基本性质之一，后续的学习需要建立 在扎实的基础知识之上，因此建议加强基础知识的掌握。
深入探究圆的性质
圆是几何学中的重要内容之一，后续的学习可以进一步深入探究圆 的性质和相关定理，如圆周角定理、相交弦定理等。
加强应用能力的培养
学习数学的目的在于解决实际问题，建议加强应用能力的培养，提高 解决实际问题的能力。
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结合解析法和几何法
将解析法和几何法相结合，综合两种方法的证明过程。
推导公式
通过综合法推导出弧长和圆心角的公式，并证明其正确性。
证明关系
结合解析法和几何法的证明结果，进一步证明弧长和圆心角之间的 关系。
03
定理的应用举例
弧长计算问题
总结词
利用弧弦与圆心角关系定理，可以根据圆心角的大小来计算弧线的长度。
详细描述
在圆中，弧线与弦的长度和所对应的圆心角的大小有着密切的关系。对于同一 个圆，圆心角越大，对应的弧线就越长。通过弧弦与圆心角关系定理，我们可 以根据圆心角的大小来计算弧线的长度。
圆心角计算问题
总结词
-圆心角定理
3.已知AB是⊙O的直径，M、N是AO、BO的中 点。CM⊥AB,DN⊥AB,分别与圆交于C、D点。 求证：⌒ ⌒ Ｄ AC=BD
Ａ Ｍ o
●
Ｎ Ｃ
Ｂ
例1 如图在⊙O中，AB=AC ，∠ACB=60°，
⌒ ⌒
求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.
证明：∵AB=AC
⌒ ⌒
AB=AC, △ABC 等腰三角形．
B
M O A
图1
一般的，n。的圆心角对着n。的弧，n。的弧对 着n。的圆心角，即圆心角的度数和它所对的 弧的度数相等。
1、判别下列各图中的角是不是圆心角， 并说明理由。
①
②
③
④
2、下列图中弦心距做对了的是（
）
┐
①
②
┐
③
④
探究
如图， 若∠AOB＝∠A′OB′将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到 ∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ A′ A′ D′ B B D′ B′ B′ D D O
⌒ ⌒ ∠AOB=∠COD OE=OF AB=CD _____________,________,____________。
⌒ ⌒ ∠AOB=∠COD AB=CD AB=CD _____________,________,____________。 ⌒ ⌒ （3）如果AB=CD 那么
∠ AOB=∠COD AB=CD OE=OF ______________,__________,____________ 。
⌒
⌒
┏ A′ D′ B′
③AB=A′B′ ④ OD=O′D′
弧所对的圆心角相等 在同圆或等圆中 如果弧相等 那么 弧所对的弦相等 弧所对的弦的弦心距相等
圆心角弧弦之间的关系
圆心角弧弦之间的关系
《圆心角弧弦之间的关系》
在数学中，圆心角弧弦之间的关系可被简单地描述为，一个弧（圆线）的所在
的扇形的圆心几个与该弧（圆线）的弦所夹的角的大小相等。
也就是说，在数学上，圆心角弦的关系能够有效地帮助我们确定不同圆线及扇形之间的关系。
圆心角弦之间的关系思想源自半径角关系，具体来讲，该关系给出了一个三点
在一个圆上的关系：半径上垂直与弦（圆线）夹角相等，从而形成了一个三角形。
与半径角关系类似，圆心角弦之间的关系也给出了两个三角形：一个角落点位于圆心，相邻的两条边为该弧（圆线）的两个切点，而另一个三角形的第三个顶点位于圆心外的另一条弧（圆线）上。
同样，圆心角弦之间的关系也能用来说明圆的特点，比如圆的周长、圆的面积
或者半径的变化等现象。
例如，两个具有不同半径的圆，同样的圆心角所夹的弦（圆线）距离也不相同，且距离变化越大，其弦越长。
同时，圆心角弦之间关系还可以用于几何形状的构建。
比如，根据两个圆形构
成的扇形，如果让圆心角相等，同时弦（圆线）之间的距离也相等，则就可以构建一个几何形状，即“几何-半径-弦角”关系构建的图形。
总之，圆心角弦之间的关系是一种综合性的数学关系，可以用来确定不同圆线
及扇形之间的关系，也可以用来说明圆的特点，也可以一定程度上构建相关几何形状，所以该关系十分重要，有着丰富的应用价值。
弧、弦、圆心角的关系最新版
现代人每天生活在纷繁、复杂的社会当中，紧张、高速的节奏让人难得有休闲和放松的时光。人们在奋斗事业的搏斗中深感身心的疲惫。然而，如果你细心观察，你会发现作 为现代人，其实人们每天都在尽可能的放松自己，调整生活节奏，追求充实快乐的人生。看似纷繁的社会里，人们的生活方式其实也不复杂。大家在忙忙碌碌中体味着平凡的 人生乐趣。由此我悟出一个道理，那就是----生活简单就是幸福。生活简单就是幸福。一首优美的音乐、一支喜爱的歌曲，会让你心境开朗。你可以静静地欣赏你喜爱的音乐， 可以在流荡的旋律中回忆些什么，或者什么都不去想；你可以一个人在房间里大声的放着摇滚，也可以在网上用耳麦与远方的朋友静静地共享；你还可以一边放送着音乐，一 边做着家务....生活简单就是幸福。一杯清茶，或一杯咖啡，放在你的桌边，你的心情格外的怡然。你可以浏览当天的报纸，了解最新的国内外动态，哪怕是街头趣闻；或者捧 一本自己喜欢的杂志、小说，从字里行间获得那种特别的轻松和愉悦....生活简单就是幸福。经过精心的烹制，一桌可心的菜肴就在你的面前，你招呼家人快来品尝，再备上最 喜欢的美酒，这是多么难得的享受！生活简单就是幸福。春暖花开的季节，或是清风送爽的金秋，你和家人一起，或是朋友结伴，走出户外，来一次假日的郊游，享受大自然 带给你的美丽、芬芳。吸一口新鲜的空气，忘却都市的喧嚣，身心仿佛受到一番洗涤，这是一种什么样的轻松感受！生活简单就是幸福。你参加朋友们的一次聚会，那久违的 感觉带给你温馨和激动，在觥酬交错之间你享受与回味真挚的友情。朋友，是那样的弥足珍贵....生活简单就是幸福。周末的夜晚，一家老小围坐在电视机旁，尽享团圆的欢乐 现代人越来越会生活，越来越会用各种不同的方式来放松自己。垂钓、上网、打牌、玩球、唱卡拉OK、下棋.....不一而足。人们根据自己的兴趣爱好寻找放松身心的最佳方式， 在相对固定的社交圈子里怡然的生活，而且不断的扩大交往的圈子，结交新的朋友有时，你会为新添置的一套漂亮时装而快乐无比；有时，你会为孩子的一次小考成绩优异而 倍感欣慰；有时，你会为刚参加的一项比赛拿了名次而喜不自胜；有时，你会为完成了上司交给的一个任务而信心大增生活简单就是幸福！生活简单就是幸福，不意味着我们 放弃了对目标的追逐，是在忙碌中的停歇，是身心的恢复和调整，是下一步冲刺的前奏，是以饱满的精力和旺盛的热情去投入新的“战斗”的一个“驿站”；生活简单就是幸 福，不意味着我们放弃了对生活的热爱，是于点点滴滴中去积累人生，在平平淡淡中寻求充实和快乐。放下沉重的负累，敞开明丽的心扉，去过好你的每一天。生活简单就是 幸福！我的心徜徉于春风又绿的江南岸，纯粹，清透，雀跃，欣喜。原来，真正的愉悦感莫过于触摸到一颗不染的初心。人到中年，初心依然，纯真依然，情怀依然，幸甚至 哉。生而为人，芳华刹那，真的不必太多要求，一盏茶，一本书，一颗笃静的心，三两心灵知己，兴趣爱好一二，足矣。亦舒说：“什么叫做理想生活？不用吃得太好穿得太 好住得太好，但必需自由自在，不感到任何压力，不做工作的奴隶，不受名利的支配，有志同道合的伴侣，活泼可爱的孩子，丰衣足食，已经算是理想。”时间如此猝不及防， 生命如此仓促，忠于自己的内心才是真正的勇敢，以不张扬的姿态，将自己活成一道独一无二的风景，才是最大的成功。试问，你有多久没有靠在门槛上看月亮了，你有多久 没有在家门口的那棵大树下乘凉了，你有多久没有因为一个人一件事而心生感动了，你又有多久没有审视自己的内心了？与命运的较量中，我们被迫前行，却忘记了来时的方
弦,圆心角,弧,弦心距关系定理及内接四边形
四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理【考点速览】圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.（务必注意前提为：在同圆或等圆中）例1．如图所示，点O是∠EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于A、B和C、D，求证：AB=CD．ABE OOPO 1O 2O例2、已知：如图，EF 为⊙O 的直径，过EF 上一点P 作弦AB 、CD ，且∠APF=∠CPF 。
求证：PA=PC 。
例3．如图所示，在ABC ∆中，∠A=︒72，⊙O 截ABC ∆的三条边长所得的三条弦等长，求∠BOC.例4．如图，⊙O 的弦CB 、ED 的延长线交于点A ，且BC=DE ．求证：AC=AE ．·OAB CO ·CAEBD例5．如图所示，已知在⊙O 中，弦AB=CB ，∠ABC=︒120，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥BC 于E ． 求证：ODE ∆是等边三角形．综合练习一、选择题1．下列说法中正确的是（ ）A 、相等的圆心角所对的弧相等B 、相等的弧所对的圆心角相等C 、相等的弦所对的弦心距相等D 、弦心距相等，则弦相等2．如图，在⊙O 中，AB 的度数是︒50，∠OBC=︒40，那么∠OAC 等于（ ） A 、︒15 B 、︒20 C 、︒25 D 、︒303．P 为⊙O 内一点，已知OP=1cm ，⊙O 的半径r=2cm ，则过P 点弦中，最短的弦长为（ ） A 、1cm B 、3cm C 、32cm D 、4cm4．在⊙O 中，AB 与CD 为两平行弦，AB >CD ，AB 、CD 所对圆心角分别为︒︒60,120，若⊙O 的半径为6，则AB 、CD 两弦相距（ ）A 、3B 、6C 、13+D 、333± 5.如图所示，已知△ABC 是等边三角形，以BC 为直径的⊙O 分别交AB 、AC 于点D 、E 。
弧与弦的关系公式
弧与弦的关系公式
弧与弦是圆弧的两个部分，它们之间有一些关系。
弧长公式：弧长 = 圆心角 * 半径。
这个公式表示，弧的长度等于圆心角的度数乘以半径的长度。
弧与圆的关系公式：圆周长 = 弧长 + 2 * 半径。
这个公式表示，圆的周长等于弧的长度加上两倍的半径。
弧与圆的面积公式：圆面积 = 圆心角/360 * 圆周长 * 半径。
这个公式表示，圆的面积等于圆心角的度数除以360，再乘以圆周长和半径的乘积。
弦与圆的关系公式：圆周长 = 弦长 + 2 * 弦中线。
这个公式表示，圆的周长等于弦的长度加上两倍的弦中线。
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C B O D A
（5）如图，已知OA、OB是⊙O的半径， ⌒ 点C为AB的中点，M、N分别为OA、 OB的中点，求证：MC=NC
O M A C N B
收获与体会
同圆或等圆中，两个 圆心角、两条弧、两条弦 中有一组量相等，它们所 对应的其余各组量也相 等．
作业
1、教材87－88页
第2、11题 2、完成优+学案相关部分作业。
圆心角 相等
弧 相等
弦 相等
思考
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件 “在同圆或等圆中”去掉？为什么？
探究二
在同圆中，
︵ ︵
（1）、如果 AB A ' B '. 那么∠AOB＝∠A′OB′， AB A ' B '. 成立吗 ?
（1）
探究二
在同圆中，
（2）、如果 AB A ' B '. 那么∠AOB＝∠A′OB′， ︵ ︵ AB A ' B '. 成立吗 ?
（2）
小结
弧、弦与圆心角的关系定理
1、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦 也相等． 相等 2、在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角_____， 所对的 相等 弦________； 相等 3、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角______，所对 相等 的弧_________． 在同圆或等圆中，两个 圆心角、两条弧、两条 弦中有一组量相等，它 们所对应的其余各组量 也相等．
︵
AB A ' B '.
探究一
思考：如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠A′O ′ B′， 你发现的等量关系是否依然成立？为什么？
A
B
A′
B′
O
·
O′
·
由∠AOB＝∠A′O ′ B′可得 ︵ ︵ 到：
AB A ' B '.
AB A ' B '.
小结
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
七、思考
（3）如图点O是∠EPF的角平分线上 的一点，圆O与∠EPF的两边分别交于 点A,B,C,D,根据上述条件，可以推出 （ ）（要求：尽可能地写出你认为 正确的结论即可，不再标注其他字母， ° 不写推理过程）（导航17页请你思考6）
七、思考
（4） 如图，已知AB、CD为⊙O的两条
弦，弧AD=弧BC, 求证AB=CD
A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位 置时， ∠AOB＝∠A′OB′，射线 OA与OA′重合，OB与OB′重 合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，∴点 A与 A′重 合，B与B′重合．
∴弧AB与弧A'B'重合，AB与A′B′重合．
AB A ' B '.
︵
1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并
说明理由。
①
②
③
④
任意给圆心角，对应出现三个量：
A
圆心角
弧
O·
弦
B
疑问：这三个量之间会有什么关系呢？
做一做
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置， 你能发现哪些等量关系？为什么？（导航17页请你思考3）
A′ B B′ B′
A′ B
O
·
A
O
·
·60°
C
练习
1、如图，AB是⊙O 的直径， BC = ∠COD=35°，求∠AOE 的度数．
解：
E D C
CD
= DE
∵
BC = CD
= DE
A
O
·
BOC=COD=DOE=35
B
AOE 180 3 35
75
练习
2、如图，AD=BC, 比较AB与CD的长度，并证明你的结
坞墙二中数学组
观察与发现
A D
O
B
C
知识回顾
圆的对称性：
1、圆是轴对称图形
垂径定理及其推论
2、圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它 ? 都能与自身重合。（圆的旋转不变性）
概念
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. A
O
O · B
A
D
B
练一练：找出右上图
中的圆心角。
圆心角有：
∠AOD,∠BOD,∠AOB
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？ 为什么？
A E B
OE﹦OF
C
O
·
F
D
例题
例1 如图，在⊙O中， AB=AC ,∠ACB=60°,
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC
A
⌒
⌒
Hale Waihona Puke 证明：∵ AB =
AC
B
O
∴ AB=AC．⊿ABC是等腰三角形 又∠ACB=60°， ∴ ⊿ABC是等边三角形 , AB=BC=CA. ∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
圆心角 相等
弧 相等
弦 相等
练习
如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
AOB COD AB = CD （1）如果AB=CD，那么___________，_________________．
AOB COD AB=CD （2）如果 AB = CD ，那么____________，_____________． AB=CD AB = CD （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________．
⌒ ⌒
论。
练习
3、如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O的半径，
弦BE∥OA,求证：AC=AE
C
⌒ ⌒
A
O
E
B
七、思考
（2）如图，圆O的两条弦AB、CD互 相垂直且交于点P，OE垂直于AB，OF 垂直于CD,垂足分别是E、F,且弧AC= 弧BD，试探究四边形EOFP的形状， 并说明理由。（导航17页请你思考5）