弧,弦与圆心角的关系定理
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E D C
= DE
∵
BC = CD
= DE
BOC=COD=DOE=35
B
A
O
·
AOE 180 3 35
75
七、思考
（2）如图，圆O的两条弦AB、CD互 相垂直且交于点P，OE垂直于AB，OF 垂直于CD,垂足分别是E、F,且弧AC= 弧BD，试探究四边形EOFP的形状， 并说明理由。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
五、议一议
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角 所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否 把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角 所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否 把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 不能去掉. 反例：如图，虽然∠AOB=∠A′O′B′， 但AB≠A′B′，弧AB≠弧A′B′
⌒ ⌒ 求证：AC=AE
C
A
O
E
B
3、如图，A、B分别为CD和EF的中点，AB分别交CD、EF于点M、N，且AM=BN。 求证：CD=EF 证：连结OA、OB， 设分别与CD、EF交于点F、G ∵A为CD中点，B为EF中点 ∴OA⊥CD，OB⊥EF 故∠AFC=∠BGE=90°①
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
⌒ ⌒
又由OA=OB，
2、如图，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于 点 A、B和C、D。 求证：AB=CD 证明：作OM⊥AB，ON⊥CD，M，N 为垂足。 M
MPO NPO OM AB OM ON ON CD AB CD。
N
推广：若将上题中的点O看作是沿着∠EPF的平分线运动的。 在∠EPF的每边与圆O有两个交点的时候，是否都能够得到上题的结论？
∴∠OAB=∠OBA ② 且AM=BN ∴△AFM≌△BGN ∴AF=BG ∴OF=OG ∴DC=EF ③
F
G
圆的轴对称性（圆是轴对称图形）
垂径定理 及其推论
圆的对称性
圆的中心对称性（圆是中心对称图形）
证明圆弧相等：（1）定义 （2）垂径定理 （3）圆心角、弧、弦、 弦心距之间的关系
圆心角、弧、弦、 弦心距之间的关 系
一、
忆一忆
圆的对称性如何？（导航17页请你思考1） （1）圆是轴对称图形，它的对称轴是过圆心的直 线。
（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
二、想一想
圆绕着它的圆心旋转多少度就能与原图形重合？
（3）结论：圆绕圆心旋转任意一个角度都能与原 图形重合，这是圆的旋转不变性。
想一想 P94 2
什么叫圆心角？（导航17页请你思考2）
①∠AOB=∠A′O′B′
四、练习
如图，AB、CD是⊙O的两条弦． AOB COD AB = CD （1）如果AB=CD，那么___________，_________________．
AOB COD AB=CD （2）如果 AB = CD ，那么____________，_____________． AB=CD AB = CD （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________．
• 圆心角 顶点在圆心的角叫圆心角。(如∠AOB). • 弦心距 过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距 离叫弦心距。(如线段OD).
D
A
●
B
O
三、
做一做
A′ B
A′
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置， 你能发现哪些等量关系？为什么？（导航17页请你思考3）
B′ B′
B
O
·
A
O
·
证明线段相等：（1）直线形的方法 （2）垂径定理 （3）圆心角、弧、弦、弦 心距之间的关系
七、思考
（4） 如图，已知AB、CD为⊙O的两条
弦，弧AD=弧BC, 求证AB=CD
C B O D A
（5）如图，已知OA、OB是⊙O的半径， ⌒ 点C为AB的中点，M、N分别为OA、 OB的中点，求证：MC=NC
O M A C N B
（6）如图，BC为⊙O的直径，
OA是⊙O的半径，弦BE∥OA,
AC
,∠ACB=60°,
A
证明：
∵
AB =
AC
B
O
∴ AB=AC． 又∠ACB=60°， ∴ AB=BC=CA.
·
C
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
巩固深化
• 在同圆或等圆中，一弦是另一弦的二 倍，那么它所对的弧是另一弦所对的 弧的二倍吗？试画图分析 • 反之呢？
六、练习
如图，AB是⊙O 的直径，BC = CD ∠COD=35°，求∠AOE 的度数． 解：
猜一猜P96 6
推论
① 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条 弧,③两条弦（4）两条弦心距中,有一组量 相等,那么它们所对应的其余各组量都分别 相等.
D
A
●
B
O
┏ A′ D′ B′
③AB=A′B′ 在这里可以不说“在同圆或等圆中”吗？ ④ OD=O′D′
如由条件: ②AB=A′B′
⌒ ⌒
可推出
A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位 置时， ∠AOB＝∠A′OB′，OA＝OB∴点 A与 A′重合，B与B′ 重合．
∴弧AB与弧A'B'重合，AB与A′B′重合．
AB A ' B '.
︵
︵
AB A ' B '.
四、说一说
弧、弦与圆心角的关系定理（ 等对等定理 ）
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？ 为什么？ OE﹦OF
证明：∵ OE⊥AB OF ⊥CD
A E B
∵ AB﹦CD ∵ OA﹦OC
∴ AE﹦CF ∴ RT△AOE≌RT △COF
C
O
·
F
D
∴ OE﹦OF
五、例题
例1 如图，在⊙O中， AB = 求证∠AOB=∠BOC=∠AOC
= DE
∵
BC = CD
= DE
BOC=COD=DOE=35
B
A
O
·
AOE 180 3 35
75
七、思考
（2）如图，圆O的两条弦AB、CD互 相垂直且交于点P，OE垂直于AB，OF 垂直于CD,垂足分别是E、F,且弧AC= 弧BD，试探究四边形EOFP的形状， 并说明理由。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
五、议一议
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角 所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否 把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角 所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否 把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 不能去掉. 反例：如图，虽然∠AOB=∠A′O′B′， 但AB≠A′B′，弧AB≠弧A′B′
⌒ ⌒ 求证：AC=AE
C
A
O
E
B
3、如图，A、B分别为CD和EF的中点，AB分别交CD、EF于点M、N，且AM=BN。 求证：CD=EF 证：连结OA、OB， 设分别与CD、EF交于点F、G ∵A为CD中点，B为EF中点 ∴OA⊥CD，OB⊥EF 故∠AFC=∠BGE=90°①
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
⌒ ⌒
又由OA=OB，
2、如图，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于 点 A、B和C、D。 求证：AB=CD 证明：作OM⊥AB，ON⊥CD，M，N 为垂足。 M
MPO NPO OM AB OM ON ON CD AB CD。
N
推广：若将上题中的点O看作是沿着∠EPF的平分线运动的。 在∠EPF的每边与圆O有两个交点的时候，是否都能够得到上题的结论？
∴∠OAB=∠OBA ② 且AM=BN ∴△AFM≌△BGN ∴AF=BG ∴OF=OG ∴DC=EF ③
F
G
圆的轴对称性（圆是轴对称图形）
垂径定理 及其推论
圆的对称性
圆的中心对称性（圆是中心对称图形）
证明圆弧相等：（1）定义 （2）垂径定理 （3）圆心角、弧、弦、 弦心距之间的关系
圆心角、弧、弦、 弦心距之间的关 系
一、
忆一忆
圆的对称性如何？（导航17页请你思考1） （1）圆是轴对称图形，它的对称轴是过圆心的直 线。
（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
二、想一想
圆绕着它的圆心旋转多少度就能与原图形重合？
（3）结论：圆绕圆心旋转任意一个角度都能与原 图形重合，这是圆的旋转不变性。
想一想 P94 2
什么叫圆心角？（导航17页请你思考2）
①∠AOB=∠A′O′B′
四、练习
如图，AB、CD是⊙O的两条弦． AOB COD AB = CD （1）如果AB=CD，那么___________，_________________．
AOB COD AB=CD （2）如果 AB = CD ，那么____________，_____________． AB=CD AB = CD （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________．
• 圆心角 顶点在圆心的角叫圆心角。(如∠AOB). • 弦心距 过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距 离叫弦心距。(如线段OD).
D
A
●
B
O
三、
做一做
A′ B
A′
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置， 你能发现哪些等量关系？为什么？（导航17页请你思考3）
B′ B′
B
O
·
A
O
·
证明线段相等：（1）直线形的方法 （2）垂径定理 （3）圆心角、弧、弦、弦 心距之间的关系
七、思考
（4） 如图，已知AB、CD为⊙O的两条
弦，弧AD=弧BC, 求证AB=CD
C B O D A
（5）如图，已知OA、OB是⊙O的半径， ⌒ 点C为AB的中点，M、N分别为OA、 OB的中点，求证：MC=NC
O M A C N B
（6）如图，BC为⊙O的直径，
OA是⊙O的半径，弦BE∥OA,
AC
,∠ACB=60°,
A
证明：
∵
AB =
AC
B
O
∴ AB=AC． 又∠ACB=60°， ∴ AB=BC=CA.
·
C
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
巩固深化
• 在同圆或等圆中，一弦是另一弦的二 倍，那么它所对的弧是另一弦所对的 弧的二倍吗？试画图分析 • 反之呢？
六、练习
如图，AB是⊙O 的直径，BC = CD ∠COD=35°，求∠AOE 的度数． 解：
猜一猜P96 6
推论
① 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条 弧,③两条弦（4）两条弦心距中,有一组量 相等,那么它们所对应的其余各组量都分别 相等.
D
A
●
B
O
┏ A′ D′ B′
③AB=A′B′ 在这里可以不说“在同圆或等圆中”吗？ ④ OD=O′D′
如由条件: ②AB=A′B′
⌒ ⌒
可推出
A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位 置时， ∠AOB＝∠A′OB′，OA＝OB∴点 A与 A′重合，B与B′ 重合．
∴弧AB与弧A'B'重合，AB与A′B′重合．
AB A ' B '.
︵
︵
AB A ' B '.
四、说一说
弧、弦与圆心角的关系定理（ 等对等定理 ）
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？ 为什么？ OE﹦OF
证明：∵ OE⊥AB OF ⊥CD
A E B
∵ AB﹦CD ∵ OA﹦OC
∴ AE﹦CF ∴ RT△AOE≌RT △COF
C
O
·
F
D
∴ OE﹦OF
五、例题
例1 如图，在⊙O中， AB = 求证∠AOB=∠BOC=∠AOC