弧、弦、圆心角练习题及答案
中考数学专项练习圆的圆心角、弧、弦的关系(含解析)
中考数学专项练习圆的圆心角、弧、弦的关系（含解析）【一】单项选择题1.如图，AB是⊙O的直径，弧BC=弧CD=弧DE，，那么的度数是〔〕A.B.C.D.2.如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC、那么与的数量关系是〔〕A.=B.＞C.＜D.无法确定3.如果所在圆的半径为3cm，它所对圆心角的度数是120°，那么的长是〔〕cm．A.6πB.3πC.2πD.π4.如下图，正六边形ABCDEF内接于圆O，那么∠ADB的度数为〔〕A.60°B.45°C.30°D.22.5°5.如图，⊙O的半径等于1cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且==，那么四边形ABCD的周长等于〔〕A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm6.如图，A，B是⊙O的直径，C、D在⊙O上，，假设∠DAB =58°，那么∠CAB=〔〕A.20°B.22°C.24°D.26°7.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接BC、BD、AC，以下结论中不一定正确的选项是〔〕A.∠ACB=90° B.OE=B E C.BD=BC D.△BDE ∽△CAE8.如下图，M是弧AB的中点，过点M的弦MN交AB于点C，设⊙O 的半径为4cm，MN=4 cm，那么∠ACM的度数是〔〕A.45°B.50°C.55°D.60°9.如图，AB是⊙O的直径，= = ，∠COD=34°，那么∠A EO的度数是〔〕A.51°B.56°C.68°D.78°10.如图，在⊙O中，=，那么AC与BD的关系是〔〕A.AC=BD B.AC ＜BDC.AC＞BDD.不确定【二】填空题11.如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=35°，那么∠AOE =________°．12.，半径为4的圆中，弦AB把圆周分成1：3两部分，那么弦AB长是________．13.圆的一条弦分圆成4：5两部分，那么此弦所对的圆心角等于_____ ___．14.如图，⊙O中，弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，那么∠A OC=________度．15.在⊙O中，弦AB∥CD，那么∠AOC________∠BOD、16.如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为底边向外作高为AC，BC长的等腰△ACM，等腰△BCN，，的中点分别是P，Q．假设MP+NQ=12，AC+BC=15，那么AB的长是_ _______．17.如下图，∠BOC=∠COD=∠DOE=∠AOE，那么∠DOE=36度，的度数为________度．18.如图，AB是⊙O的直径，如果∠COA=∠DOB=60°，那么与线段OA相等的线段有________，与相等的弧有________ ．【三】解答题19.：如下图，AD=BC。
垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习
CEOAD B600BB九年垂径定理、弦、弧、圆心角、弦心距练习1. 已知：AB 交圆O 于C 、D ，且AC ＝BD. 求证：OA ＝OB2. 如图所示，是一个直径为650mm 的圆柱形输油管的横截面，若油面宽 AB=600mm ，求油面的最大深度。
3.. 如图所示，在⊙O 中，AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，求证：四边形OEAD 为正方形。
4．如图所示，已知AB 为圆O 的直径，AC 为弦，OD ∥BC 交AC 于D ，OD=cm 2，求BC 的长；5．本市新建的滴水湖是圆形人工湖．为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A ，B ，C 三根木柱，使得A ，B 之间的距离与A ，C 之间的距离相等，并测得BC 长为240米，A 到的距离为米，如图所示．请你帮他们求出滴水湖的半径．6．如图，用一块直径为a 的圆桌布平铺在对角线长为a 的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x 为（ Ａ．)1aＢ．12a Ｃ．24a Ｄ．(2a - 7．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，点M 在线段AB （包括端点AB ，）上移动，则OM 的取值范围是（ ） Ａ．35OM ≤≤ Ｂ．35OM <≤ 45OM <≤8．如图，已知⊙O 的半径为5mm ，弦8mm AB =，则圆心O 到AB 的距离是（ ）A ．1mmB ．2mmC ．3mmD ．4mm9．如图，底面半径为5dm 的圆柱形油桶横放在水平地面上，向桶内加油后，量得长方形油面的宽度为8dm ，则油的深度（指油的最深处即油面到水平地面的距离）为（ ）Ａ．2dmＢ．3dmＣ．2dm 或3dmＤ．2dm 或8dm10．如图，已知在⊙O 中，直径10MN=，正方形ABCD 的四个顶点分别在半径OM ，OP 以及O 上，并且45POM =∠，则AB 的长为 ．11．如图，在半径为2的⊙O 中，弦AB 的长为_______AOB =∠12．在⊙O 中，弦CD 与直径AB 相交于点P ，夹角为30，且分直径为1:5两部分，6AB =厘米，则弦CD 的长为（Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．13．如图，在⊙O 中，AB 是弦，OC AB ⊥，垂足为C ，若AB ，6OC =，则O 的半径OA 等于（ ）Ａ．16Ｂ．12Ｃ．10Ｄ．814. 如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB 的垂直平分线交弧AB 于点C ， 交弦AB 于点D 。
圆心角、弧、弦的关系-北京习题集-教师版
圆心角、弧、弦的关系（北京习题集）（教师版）一．选择题（共5小题）1．（2017秋•北京期末）如图， 圆心角25AOB ∠=︒，将AB 旋转n ︒得到CD ，则COD ∠等于( )A ．25︒B ．25n ︒+︒C ．50︒D ．50n ︒+︒2．（2017秋•海淀区校级期中）如图， 在55⨯正方形网格中， 一条圆弧经过A 、B 、C 三点， 那么AC 所对的圆心角的大小是( )A ．60︒B ．75︒C ．80︒D ．90︒3．（2016秋•大兴区期末）如图，A ，B ，C 是O 上三个点，2AOB BOC ∠=∠，则下列说法中正确的是( )A ．OBA OCA ∠=∠B ．四边形OABC 内接于O C ．2AB BC =D ．90OBA BOC ∠+∠=︒4．（2016•海淀区校级模拟）如图，用不同颜色的马赛克覆盖一个圆形的台面，估计15︒的圆心角的扇形部分大约需要34片马赛克片．已知每箱装有125片马赛克片，那么应该购买多少箱马赛克片才能铺满整个台面( )A ．56-箱B ．67-箱C ．78-箱D ．89-箱5．（2015•通州区二模）如图，O 中，如果2AB AC =，那么( )A ．AB AC =B ．2AB AC =C ．2AB AC <D ．2AB AC >二．填空题（共6小题）6．（2019秋•西城区校级期中）已知弦AB 的长等于O 的半径，弦AB 所对的圆周角是 度．7．（2017秋•西城区期末）如图，O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120︒，那么圆心O 到弦AB 的距离等于 ．8．（2008秋•怀柔区期末）如图，AC 是O 的直径，AB AC =，AB 交O 于E ，BC 交O 于D ，44A ∠=︒，则DE 的度数是 度．9．（2009秋•海淀区期中）一条弦AB 将O 分成两条弧，其中一条弧是另一条弧的4倍，则弦AB 所对的圆心角的度数是 度．10．（2007•海淀区校级自主招生）如图，AB 是O 的直径，BC ，CD ，DA 是O 的弦， 且BC CD DA ==，则BCD ∠= ．11．（2016秋•西城区期中）如图，CD 是O 的直径，点A 是半圆上的三等分点，B 是弧AD 的中点，P 点为直线CD 上的一个动点，当4CD =时，AP BP +的最小值为 ．三．解答题（共4小题）12．（2019秋•海淀区期末）如图，在O 中，AC CB =，CD OA ⊥于点D ，CE OB ⊥于点E ． （1）求证：CD CE =；（2）若120AOB ∠=︒，2OA =，求四边形DOEC 的面积．13．（2019秋•西城区校级期中）ABC ∆的三个顶点在O 上，AD BC ⊥，D 为垂足，E 是BC 的中点，求证：12∠=∠（提示：可以延长AO 交O 于F ，连接)BF ．14．（2019秋•西城区校级期中）如图，以ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作A ，分别交BC ，AD 于E ，F 两点，交BA 的延长线于G ，判断弧EF 和弧FG 是否相等，并说明理由．15．（2018秋•海淀区校级月考）问题呈现： 阿基米德折弦定理： 如图 1 ，AB 和BC 是O 的两条弦 （即 折线ABC 是圆的一条折弦） ，BC AB >，M 是ABC 的中点， 则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点， 即CD AB BD =+． 下面是运用“截长法”证明CD AB BD =+的部分证明过程 ．证明： 如图 2 ，在CB 上截取CG AB =，连接MA ，MB ，MC 和MG ．M 是ABC 的中点，MA MC ∴=⋯⋯请按照上面的证明思路， 写出该证明的剩余部分； 实践应用：（1） 如图 3 ，已知ABC ∆内接于O ，BC AB AC >>，D 是ACB 的中点， 依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为 ．（2） 如图 4 ，已知等腰ABC ∆内接于O ，AB AC =，D 为AB 上一点， 连接DB ，45ACD ∠=︒，AE CD ⊥于点E ，BDC ∆的周长为422+，2BC =，请求出AC 的长 ．圆心角、弧、弦的关系（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2017秋•北京期末）如图， 圆心角25AOB ∠=︒，将AB 旋转n ︒得到CD ，则COD ∠等于( )A ．25︒B ．25n ︒+︒C ．50︒D ．50n ︒+︒【分析】根据旋转的性质得到AB CD =，根据圆心角、 弧、 弦的关系定理解答 ． 【解答】解：将AB 旋转n ︒得到CD ，∴AB CD =，25COD AOB ∴∠=∠=︒， 故选：A ．【点评】本题考查的是旋转变换的性质、 圆心角、 弧、 弦的关系， 在同圆或等圆中， 如果两个圆心角、 两条弧、 两条弦中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组量都分别相等 ． 2．（2017秋•海淀区校级期中）如图， 在55⨯正方形网格中， 一条圆弧经过A 、B 、C 三点， 那么AC 所对的圆心角的大小是( )A ．60︒B ．75︒C ．80︒D ．90︒【分析】根据垂径定理的推论： 弦的垂直平分线必过圆心， 分别作AB ，BC 的垂直平分线即可得到圆心， 进而解答即可 ．【解答】解： 作AB 的垂直平分线， 作BC 的垂直平分线， 如图，它们都经过Q ，所以点Q 为这条圆弧所在圆的圆心 ． 连接AQ ，CQ ， 在APQ ∆与CQN ∆中AP QN APQ QNC PQ CN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()APQ CQN SAS ∴∆≅∆，AQP CQN ∴∠=∠，PAQ CQN ∠=∠ 90AQP PAQ ∠+∠=︒， 90AQP CQN ∴∠+∠=︒， 90AQC ∴∠=︒，即AC 所对的圆心角的大小是90︒， 故选：D ．【点评】本题考查了垂径定理的推论： 弦的垂直平分线必过圆心 ． 这也常用来确定圆心的方法 ．3．（2016秋•大兴区期末）如图，A ，B ，C 是O 上三个点，2AOB BOC ∠=∠，则下列说法中正确的是( )A ．OBA OCA ∠=∠B ．四边形OABC 内接于O C ．2AB BC =D ．90OBA BOC ∠+∠=︒【分析】过O 作OD AB ⊥于D 交O 于E ，由垂径定理得到AE BE =，于是得到AE BE BC ==，推出AE BE BC ==，根据三角形的三边关系得到2BC AB >，故C 错误；根据三角形内角和得到1(180)902OBA AOB BOC ∠=︒-∠=︒-∠，13(180)9022OCA AOC BOC ∠=︒-∠=︒-∠，推出OBA OCA ∠≠∠，故A 错误；由点A ，B ，C 在O 上，而点O 在圆心，得到四边形OABC 不内接于O ，故B 错误；根据余角的性质得到90OBA BOC ∠+∠=︒，故D 正确； 【解答】解：过O 作OD AB ⊥于D 交O 于E ， 则AE BE =，AE BE ∴=，12AOE BOE AOB ∠=∠=∠，2AOB BOC ∠=∠， AOE BOE BOC ∴∠=∠=∠，∴AE BE BC ==，AE BE BC ∴==， 2BC AB ∴>，故C 错误； OA OB OC ==，1(180)902OBA AOB BOC ∴∠=︒-∠=︒-∠，13(180)9022OCA AOC BOC ∠=︒-∠=︒-∠，OBA OCA ∴∠≠∠，故A 错误；点A ，B ，C 在O 上，而点O 在圆心，∴四边形OABC 不内接于O ，故B 错误；12BOE BOC AOB ∠=∠=∠，90BOE OBA ∠+∠=︒，90OBA BOC ∴∠+∠=︒，故D 正确；故选：D ．【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，垂径定理，三角形的三边关系，正确的作出辅助线是解题的关键． 4．（2016•海淀区校级模拟）如图，用不同颜色的马赛克覆盖一个圆形的台面，估计15︒的圆心角的扇形部分大约需要34片马赛克片．已知每箱装有125片马赛克片，那么应该购买多少箱马赛克片才能铺满整个台面( )A ．56-箱B ．67-箱C ．78-箱D ．89-箱【分析】设需要x 箱马赛克片，由题意：3603412515x ⨯=，解方程即可． 【解答】解：设需要x 箱马赛克片．由题意：3603412515x ⨯=， 6.5x ∴≈．∴需要马赛克片67-箱．故选：B ．【点评】本题考查圆心角、弧弦之间的关系，一元一次方程等知识，解题的关键是学会设未知数列方程解决问题，属于中考常考题型．5．（2015•通州区二模）如图，O 中，如果2AB AC =，那么( )A ．AB AC =B ．2AB AC =C ．2AB AC <D ．2AB AC >【分析】取弧AB 的中点D ，连接AD ，DB ，由已知条件可知AD BD AC ==，在ADB ∆中由三角形的三边关系可知AD BD AB +>，即2AC AB >，问题得解． 【解答】解：取弧AB 的中点D ，连接AD ，DB ， 2AB AC =，AD BD AC ∴==，在ADB ∆中由三角形的三边关系可知AD BD AB +>， 2AC AB ∴>，即2AB AC <， 故选：C ．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，题目设计新颖，是一道不错的中考题． 二．填空题（共6小题）6．（2019秋•西城区校级期中）已知弦AB 的长等于O 的半径，弦AB 所对的圆周角是 30或150 度． 【分析】在圆中，由半径和弦组成的三角形是等腰三角形，又因为AB 的长等于半径，所以由弦和半径组成的三角形是等边三角形，根据等边三角形的性质，弦所对的圆心角为60︒，所以弦所对的圆周角为30︒或150︒．【解答】解：如图示，AB OA OB ==， OAB ∴∆是等边三角形， 60AOB ∴∠=︒， 30ACB ∴∠=︒， 150ADB ∴∠=︒．故弦AB 所对的圆周角是 30或150度． 故答案为：30或150．【点评】本题极易漏解，需注意圆中的一条弦对着两个圆周角，它们是互补关系．7．（2017秋•西城区期末）如图，O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120︒，那么圆心O 到弦AB 的距离等于 2 ．【分析】由圆心角120AOB ∠=︒，可得AOB ∆是等腰三角形，又由OC AB ⊥，再利用含30︒角的直角三角形的性质，可求得OC 的长．【解答】解：如图，圆心角120AOB ∠=︒，OA OB =，OAB ∴∆是等腰三角形， OC AB ⊥，90ACO ∴∠=︒，30A ∠=︒，122OC OA ∴==．故答案为：2【点评】此题考查了垂径定理、含30︒角的直角三角形的性质．注意根据题意作出图形是关键．8．（2008秋•怀柔区期末）如图，AC 是O 的直径，AB AC =，AB 交O 于E ，BC 交O 于D ，44A ∠=︒，则DE的度数是 44 度．【分析】通过A ∠的度数，可求出底角ABC ∠．又通过90AEC ∠=︒，求出ECB ∠．而DE 的度数是ECB ∠的两倍． 【解答】解：AB AC =，44A ∠=︒(18044)268ABC ∴∠=︒-︒÷=︒又AC 是O 的直径90AEC ∴∠=︒906822ECD ∴∠=︒-︒=︒∴DE 的度数为44︒．故填44︒．【点评】掌握等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，直径所对的圆周角是直角，弧的度数等于它所对的圆周角度数的两倍．9．（2009秋•海淀区期中）一条弦AB 将O 分成两条弧，其中一条弧是另一条弧的4倍，则弦AB 所对的圆心角的度数是 72 度．【分析】根据题意知，弦AB 将圆周分成了5等分，而弦AB 所对的圆心角占了其中的15，由此可求出此圆心角的度数．【解答】解：由于弦AB 将O 分成了1:4两段弧， AB ∴所对的圆心角1360725AOB ∠=⨯︒=︒．【点评】此题主要考查了圆心角、弧的关系．10．（2007•海淀区校级自主招生）如图，AB 是O 的直径，BC ，CD ，DA 是O 的弦， 且BC CD DA ==，则BCD ∠= 120︒ ．【分析】由已知可得， 弦BC 、CD 、DA 三等分半圆， 从而不难求得BCD ∠的度数 ． 【解答】解： 连接OC 、OD ，BC CD DA ==，∴AD DC CB ==，∴弦BC 、CD 、DA 三等分半圆，∴弦BC 和CD 和DA 对的圆心角均为60︒， 1(18060)1202BCD ∴∠=︒+︒=︒． 故答案是：120︒．【点评】本题利用了弧、 弦与圆心角的关系求解， 注意半圆对的圆心角为180︒．11．（2016秋•西城区期中）如图，CD 是O 的直径，点A 是半圆上的三等分点，B 是弧AD 的中点，P 点为直线CD上的一个动点，当4CD =时，AP BP +的最小值为 22 ．【分析】本题是要在CD 上找一点P ，使PA PB +的值最小，设A '是A 关于CD 的对称点，连接A B '，与CD 的交点即为点P ．此时PA PB A B +='是最小值，可证△OA B '是等腰直角三角形，从而得出结果．【解答】解：作点A 关于CD 的对称点A '，连接A B '，交CD 于点P ，则PA PB +最小，连接OA '，AA '．点A 与A '关于CD 对称，点A 是半圆上的一个三等分点，60AOD AOD ∴∠'=∠=︒，PA PA ='，点B 是弧AD 的中点，30BOD ∴∠=︒，90AOB AOD BOD ∴∠'=∠'+∠=︒，又2OA OA ='=，22A B ∴'=．22PA PB PA PB A B ∴+='+='=故答案为：2【点评】此题主要考查了轴对称最短线段问题以及垂径定理和勾股定理等知识，正确确定P 点的位置是解题的关键，确定点P 的位置这类题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要．三．解答题（共4小题）12．（2019秋•海淀区期末）如图，在O 中，AC CB =，CD OA ⊥于点D ，CE OB ⊥于点E ．（1）求证：CD CE =；（2）若120AOB ∠=︒，2OA =，求四边形DOEC 的面积．【分析】（1）连接OC ，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到AOC BOC ∠=∠，根据角平分线的性质定理证明结论；（2）根据直角三角形的性质求出OD ，根据勾股定理求出CD ，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】（1）证明：连接OC ，AC BC =，AOC BOC ∴∠=∠，又CD OA ⊥，CE OB ⊥，CD CE ∴=；（2）解：120AOB ∠=︒，60AOC BOC ∴∠=∠=︒，90CDO ∠=︒，30OCD ∴∠=︒，112OD OC ∴==， 2222213CD OC OD ∴=--OCD ∴∆的面积132OD CD =⨯⨯= 同理可得，OCE ∆的面积132OD CD =⨯⨯= ∴四边形DOEC 的面积333=【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、勾股定理、直角三角形的性质，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．13．（2019秋•西城区校级期中）ABC∠=∠⊥，D为垂足，E是BC的中点，求证：12∆的三个顶点在O上，AD BC（提示：可以延长AO交O于F，连接)BF．【分析】连接OE，利用垂径定理可得OE BCOE AD，然后即可证明．⊥，可得//⊥，再利用AD BC【解答】证明：连接OE，E是BC的中点，∴弧BE=弧EC，∴⊥，OE BC⊥，AD BC∴，OE AD//∴∠=∠，OEA EADOE OA=，∴∠=∠，OAE OEA∴∠=∠．12【点评】此题主要考查学生对三角形内角和定理和圆心角、弧、弦的关系等知识点的理解和掌握，此题难度不大，关键是作好辅助线．14．（2019秋•西城区校级期中）如图，以ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作A ，分别交BC ，AD 于E ，F 两点，交BA 的延长线于G ，判断弧EF 和弧FG 是否相等，并说明理由．【分析】要证明EF FG =，则要证明DAE GAD ∠=∠，由AB AE =，得出ABE AEB ∠=∠，由平行四边形的性质得出B GAF ∠=∠，FAE AEB ∠=∠，GAF FAE ∠=∠，由圆心角、弧、弦的关系定理得出EF FG =．【解答】解：EF FG =，理由：连接AE ．AB AE ∴=，B AEB ∴∠=∠，四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，B GAF ∴∠=∠，FAE AEB ∠=∠，GAF FAE ∴∠=∠，∴EF FG =．【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，圆心角、弧、弦的关系定理等知识点的应用，关键是求出DAE GAD ∠=∠，题目比较典型，难度不大．15．（2018秋•海淀区校级月考）问题呈现： 阿基米德折弦定理： 如图 1 ，AB 和BC 是O 的两条弦 （即 折线ABC 是圆的一条折弦） ，BC AB >，M 是ABC 的中点， 则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点， 即CD AB BD =+． 下面是运用“截长法”证明CD AB BD =+的部分证明过程 ．证明： 如图 2 ，在CB 上截取CG AB =，连接MA ，MB ，MC 和MG ． M 是ABC 的中点，MA MC ∴=⋯⋯请按照上面的证明思路， 写出该证明的剩余部分；实践应用：（1） 如图 3 ，已知ABC ∆内接于O ，BC AB AC >>，D 是ACB 的中点， 依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为 BE CE AC =+ ．（2） 如图 4 ，已知等腰ABC ∆内接于O ，AB AC =，D 为AB 上一点， 连接DB ，45ACD ∠=︒，AE CD ⊥于点E ，BDC ∆的周长为422+，2BC =，请求出AC 的长 ．【分析】首先证明()MBA MGC SAS ∆≅∆，进而得出MB MG =，再利用等腰三角形的性质得出BD GD =，即可得出答案；（1） 直接根据阿基米德折弦定理得出结论；（2） 根据阿基米德折弦定理得出CE BD DE =+，进而求出CE ，最后用勾股定理即可得出结论 ．【解答】证明： 如图 2 ，在CB 上截取CG AB =，连接MA ，MB ，MC 和MG ， M 是ABC 的中点，MA MC ∴=．在MBA ∆和MGC ∆中，BA GC A C MA MC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MBA MGC SAS ∴∆≅∆，MB MG ∴=，又MD BC ⊥，BD GD ∴=，DC GC GD AB BD ∴=+=+；实践应用（1） 如图 3 ，依据阿基米德折弦定理可得：BE CE AC =+；故答案为：BE CE AC =+；（2）AB AC =，A ∴是BAC 的中点，AE CD ⊥，根据阿基米德折弦定理得，CE BD DE =+，BCD ∆的周长为422+，422BD CD BC ∴++=+，2422BD DE CE BC CE BC ∴+++=+=+，2BC =，22CE ∴=，在Rt ACE ∆中，45ACD ∠=︒，22AE CE ∴==，4AC ∴=．【点评】此题是圆的综合题， 考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，理解和应用阿基米德折弦定理是解题关键 ．。
2020年人教版九年级数学上册24.1.3《弧、弦、圆心角》同步练习 学生版
别交 BC，CD 于点 E，M，下列结论：①DM=CM；② AE=AD．其中正确的结论有 （填序号）．
；③⊙O 的直径为 2；④
23．如图，在⊙O 中，AB=DC，∠AOB=50°，则∠COD= ．
24．如图，已知 AB、CD 是⊙O 中的两条直径，且∠AOC=50°，过点 A 作 AE∥CD 交⊙O 于点 E，则 的度数为 ．
B．BE=CD
C．AC=BD
D．BE=AD
12．如图，圆心角∠AOB=25°，将 AB 旋转 n°得到 CD，则∠COD 等于（ ）
A．25°
B．25°+n°
C．50°
D．50°+n°
13．如图，⊙O 的半径为 1，动点 P 从点 A 处沿圆周以每秒 45°圆心角的速度逆时针匀速 运动，即第 1 秒点 P 位于如图所示的位置，第 2 秒中 P 点位于点 C 的位置，……，则第 2018 秒点 P 所在位置的坐标为（ ）
下列结论：①OE=OF；②AC=CD=DB；③CD∥AB；④ = ，其中正确的有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
二．填空题
16．如图，AB，CD 是⊙O 的直径，弦 CE∥AB，弧 CE 的度数为 40°，∠AOC 的度
数 ．
17．⊙O 的半径为 5，弦 AB 与弦 CD 相等，且 AB⊥CD 于 H，若 OH=3 ，则线段 BH 长 为 ． 18．如图，C 为弧 AB 的中点，CN⊥OB 于 N，CD⊥OA 于 M，CD=4cm，则 CN= cm．
A．40°
B．45°
C．55°
D．80°
4．如图，BC 为半圆 O 的直径，A、D 为半圆上的两点，若 A 为半圆弧 ADC=（ ）
圆心角与弧弦的关系专项练习60题(有答案)ok
圆心角与弧弦的关系专项练习60题（有答案）1．如图，在⊙O中，弦AB、CD于点E，且．求证：AE=DE．2．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，且=．（1）求证：AC∥OD．（2）若∠AOD=110°，求的度数．3．如图，在⊙O中，AB=CD，求证：AC∥DB．4．如图，在⊙O中，，试比较AB与CD的长度，并证明你的结论．5．已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB=CD．求证：∠OBA=∠ODC．6．如图，在⊙O中，与相等，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E，且OD=OE，那么△ABC是什么三角形，为什么？7．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB=CD．求证：BE=DE．8．如图，已知在⊙O中，∠ABD=∠CDB．（1）求证：AB=CD；（2）顺次连接ACBD四点，猜想得到的四边形是哪种特殊的四边形？并证明你的猜想．9．如图，在⊙O中，AD=BC．（1）比较与的长度，并证明你的结论；（2）求证：DE=BE．10．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB与OC、OD分别相交于E、F，AE=BF，说明AC=BD的理由．11．已知：⊙O中，OB、OC是半径，DF⊥OC于F，AE⊥OB于E，若AB=CD，求证：AE=DF．12．如图，⊙O中，弦AB=CD．求证：∠AOC=∠BOD．13．如图四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若再增加一个条件，就可使四边形ABCD成为等腰梯形，你所增加的条件是（只写出一个条件，图中不再增加其他的字母和线段．（给出证明）14．如图，D、E分别为⊙O半径OA、OB的中点，C是的中点，CD与CE相等吗？为什么？15．如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆分别交AD、BC于F、G，延长BA交圆于E．求证：=．16．如图，C是的中点，D、E分别是半径OA、OB上的点，且AD=BE．求证：∠CDO=∠CEO．17．如图，半径为2的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点．（1）求证：PA•PB=PC•PD；（2）若AB=8，CD=6，求OP的长．18．如图，M为⊙O上一点，弧MA=弧MB，MD⊥OA于D，ME⊥OB于E，求证：MD=ME．19．如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC．探索∠ACB与∠BAC之间的数量关系，并说明理由．20．如图，C是劣弧AB的中点，过点C分别作CD⊥OA，CE⊥OB，D、E分别是垂足，试判断CD、CE的大小关系，并证明你的结论．21．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，CD是∠ACB的平分线，过A，C，D三点的圆与斜边BC交于点E，连接DE．（1）求证：AC=EC；（2）若AC=，△ACD外接圆的半径为1，求△ABC的面积．22．如图，已知∠APC=30°，的度数为30°，求和∠AEC的度数．23．如图，AD，BC是⊙O的两条弦，且AD=BC，求证：AB=CD．24．如图所示，M、N分别是⊙O的弦AB、CD的中点，AB=CD．求证：∠AMN=∠CNM．25．如图，⊙O中，C为的中点，CD⊥OA，CE⊥OB，求证：AD=BE．26．AB、CD为⊙O内两条相交的弦，交点为E，且AB=CD．则以下结论中：①AE=EC、②AD=BC、③BE=EC、④AD∥BC，正确的有_________．试证明你的结论．27．如图，，C、D分别是半径OA、OB的中点，连接PC、PD交弦AB于E、F两点．求证：（1）PC=PD；（2）PE=PF．28．已知：如图，在⊙O中，弦AD=BC．求证：AB=CD．29．如图，D、E分别是⊙O的半径OA、OB的中点，点C是的中点．求证：CD=CE．30．如图，⊙O中两条不平行弦AB和CD的中点M，N．且AB=CD，求证：∠AMN=∠CNM．31．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，过点A作AE∥CD交⊙O于点E，连接BD，DE，求证：BD=DE．32．已知：如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠1=∠2，AC=3cm．（1）求证：=；（2）求BD的长．33．如图，点A、B、C、D是直径为AB的⊙O上四个点，C是劣弧BD的中点，AC交BD于点E，AE=2，EC=1．（1）求证：△DEC∽△ADC；（2）试探究四边形ABCD是否是梯形？若是，请你给予证明并求出它的面积；若不是，请说明理由．34．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦AD∥OC．求证：．35．如图，⊙O中，=，∠C=75°，求∠A的度数．36．如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，，求证：AB=CD．37．⊙O的一条弦AB分圆周长为3：7两部分，若圆的半径为4cm，试求：（1）优弧的长；（2）弦所对的圆周角的度数．38．如图⊙O中，AB、CD是两条直径，弦CE∥AB，弧EC的度数是40°，求∠BOD的度数．39．已知：如图，在⊙O中，弦AB和CD相交，连接AC、BD，且AC=BD．求证：AB=CD．40．已知如图所示，A，B，C是⊙O上三点，∠AOB=120°，C是的中点，试判断四边形OACB形状，并说明理由．41．如图，半径为2的半圆O中有两条相等的弦AC与BD相交于点P．（1）求证：PO⊥AB；（2）若BC=1，求PO的长．42．如图所示，在⊙O中，AB与CD是相交的两弦，且AB=CD，求证：．43．如图所示，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，作AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G，求证：．44．如图在⊙O中，AC=BC，OD=OE，求证：∠ACD=∠BCE．45．如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上的一点，的度数为40°，过点O作OC∥BE交⊙O于点C，求∠BCO 的度数．46．如图，A、B、C都是⊙O上的点，，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E．求证：OD=OE．47．如图，在⊙O是中A、B、C、D在圆上，AD=BC．求证：BD=AC．48．如图，⊙O中，AB是直径，半径CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，求证：=2．49．如图所示，已知F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任一点，A是弧BF的中点，AD⊥BC于点D，求证：AD=BF．50．如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠CAB=∠CBA，∠COB与∠COA相等吗？为什么？51．如图所示，⊙O中弦AB=CD，求证：．52．已知：如图，⊙O中弦AB=CD．求证：．53．如图所示，已知在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，证明：AC=BC．54．已知图所示，AB是半圆O的直径，，AB=4cm，求四边形ABCD的面积．55．如图所示，以等边三角形ABC的边BC为直径作⊙O交AB于D，交AC于E，判断，，之间的大小关系，并说明理由．56．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°，以点C为圆心、AC为半径作⊙C，交AB于点D，求的度数．57．已知如图所示，P为直径AB上一点，EF，CD为过点P的两条弦，且∠DPB=∠EPB；（1）求证：；（2）求证：CE=DF．58．如图，在⊙O中弦AB⊥CD于点E，过E作AC的垂线交BD于点Q，P为垂足，求证Q为BD的中点．59．如图所示，⊙O在△ABC三边截得的弦长相等，∠A=70°，求∠BOC．60．如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB的延长线交于点P，且DP=OB，若∠P=29°，求弧AC的度数．参考答案：1．方法一：连接AD，∵=∴AC=BD，∴∠BAD=∠CDA，∴AE=BE．方法二：∵=，∴﹣=﹣，=，∴AC=BD在△ACE与△DBE中，∵，∴△ACE≌△DBE（ASA），∴AE=DE．2．（1）证明：如图，连接AD．∵=，∴=2∴∠CAB=2∠DAB．又∵∠DOB=2∠DAB，∴∠CAB=∠DOB，∴AC∥OD；（2）解：如图，连接OC．∵∠AOD=110°，∴∠DOB=70°．又∵=，∴∠COD=∠DOB=70°，∴∠AOC=∠AOD﹣∠COD=110°﹣70°=40°，∴=40°．3．∵在⊙O中，AB=CD，∴=，∴﹣=﹣，即=，∴∠ACD=∠BDC，∴AC∥DB（内错角相等，两直线平行）．4．AB=CD．理由如下：∵，∴+=+，即=，∴AB=CD．5．过点O分别作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F．∵AB=CD，∴OE=OF．又∵BO=DO，∴Rt△BOE≌Rt△DOF（HL），∴∠OBA=∠ODC．6．△ABC为等边三角形．理由如下：连OC，∵=，∴AB=BC，∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴CE=AC，CD=BC，∠ODC=∠OEC=90°∵在Rt△ODC和Rt△OEC中，，∴Rt△ODC≌Rt△OEC（HL）∴CD=CE，∴BC=AC，∴AB=AC=CB，∴△ABC为等边三角形．7．先连接BC、AD，∵AB=CD，∴=，∵=，∴BC=AD，在△BEC与△DEA中，∵，∴△BEC≌△DEA（ASA），∴BE=DE．8．（1）证明：∵∠ABD=∠CDB，∴弧AD=弧BC，∴弧AD+弧AC=弧BC+弧AC，∴弧AB=弧CD，∴AB=CD；（2）四边形ACBD是等腰梯形．理由如下：如图，连AC，CB，AD，∵弧AD=弧BC，∴AD=CB，∠1=∠2，∴AC∥BD，且AC≠BD，∴四边形ACBD是等腰梯形．9．（1）∵AD=BC，∴=，∴=；（2）∵=，∴AB=CD，在△ADE与△CBE中，∵∠DAB=∠BCD，AD=BC，∠ADC=∠ABC，∴△ADE≌△CBE，∴DE=BE，∵AB=CD，∴DE=BE10．∵OA=OB（同圆的半径相等），∴∠A=∠B（等角对等边）．在△AOE和△BOF 中，，∴△AOE≌△BOF（SAS）…（1分）∴∠AOC=∠BOD（全等三角形对应角相等）．∴AC=BD（同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）．11．连接OA、OD，∵AB=CD，∴∠AOB=∠COD，∵AE⊥OB，DF⊥OC，∴∠OEA=∠OFD=90°，又∵OA=OD，∴△AOE≌△DOF，∴AE=DF．12．∵弦AB=CD（已知），∴=；∴∠AOB=∠COD，∴∠AOB﹣∠BOC=∠COD﹣∠BOC，即∠AOC=∠BOD．13．添加的条件为=；证明：∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠A+∠C=180°；∵=，∴=；∴∠A=∠B；∴∠B+∠C=180°；∴AB∥CD；∵，∴AD=BC；又∵AB＞CD，∴四边形ABCD是等腰梯形．14．CD=CE，理由如下：（1分）连接OC，∵D、E分别为⊙O半径OA、OB的中点，∴OD=，，∵OA=OB，∴OD=OE，（2分）∵C 是的中点，∴，∴∠AOC=∠BOC，（4分）∴△DCO≌△ECO，（5分）∴CD=CE．（6分）故答案为：CD=CE．15．连接AG．∵A为圆心，∴AB=AG，∴∠ABG=∠AGB，（2分）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∠AGB=∠DAG，∠EAD=∠ABG，（4分）∴∠DAG=∠EAD，（5分）∴=．（6分）16．连接OC，∵OA=OB，又∵AD=BE，∴OD=OE，又∵∠AOC=∠BOC，∴OC=OC，∴△DOC≌△EOC（AAS）．∴∠CDO=∠CEO．17．（1）连接AD，BC，∵∠A、∠C所对的圆弧相同，∴∠A=∠C，∴Rt△APD∽Rt△CPB，∴，∴PA•PB=PC•PD；（2）作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，由垂径定理得：OM2=（2）2﹣42=4，ON2=（2）2﹣32=11，∵弦AB、CD互相垂直，∴∠DPB=90°，∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，∴∠OMP=∠ONP=90°∴四边形MONP是矩形，∴OP=．18．连接MO（1分）∵∴∠MOD=∠MOE（4分）又∵MD⊥OA于D，ME⊥OB于E∴MD=ME（7分）19．∠ACB=2∠BAC．证明：∵∠ACB=∠AOB，∠BAC=∠BOC；又∵∠AOB=2∠BOC，∴∠ACB=2∠BAC．20．CD=CE…（1分）理由：连接CO．∵C是弧AB 的中点，∴=，∴∠COD=∠COE…（2分），∵CD⊥AO、CE⊥BO，∴∠CDO=∠CEO=90°…（3分），又∵CO=CO…（4分），∴△COD≌△COE…（5分），∴CD=CE…（6分）．21．（1）证明：∵∠BAC=90°，∴∠DEC=∠BAC=90°，又∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠ECD．∴∠ADC=∠EDC．∴．∴AC=EC．（2）解：∵∠BAC=90°，CD=2，AC=，∴AD=1．∴∠ACD=∠ECD=30°，∴∠ACB=60°．在Rt△ABC中，AB=AC•tan60°=3，又∵AC=，∴S△ABC =×3×=22．连接AC，∵=30°，∴∠1=∠2==15°，∵∠APC=30°，∠ADC是△APD的外角，∴∠ADC=∠1+∠APC=15°+30°=45°，∴=2ADC=90°；∵∠AEC是△CDE的外角，∴∠AEC=∠ADC+∠2=45°+15°=60°．故答案为：90°，60°．23．：∵AD=BC，∴弧AD=弧BC，∴弧AD+弧BD=弧BC+弧BD，即弧AB=弧CD．∴AB=CD24．连接OM、ON，∵O为圆心，M、N分别为弦AB、CD的中点，∴OM⊥AB，ON⊥CD．∵AB=CD，∴OM=ON．∴∠OMN=∠ONM．∵∠AMN=90°﹣∠OMN，∵∠CNM=90°﹣∠ONM，∴∠AMN=∠CNM．25．∵点C是的中点，∴∠AOC=∠BOC；∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠ODC=∠OEC，又∵OC=OC，∴△COD≌△COE（AAS）．∴OD=OE，∵OA=OB，∴AD=BE．26．③BE=EC、④AD∥BC；∵AB=CD，∴弧AB=弧CD．∴弧AB﹣弧AD=弧CD﹣弧AD．即弧AC=弧BD．∴∠B=∠C．∴BE=EC．故③正确．由弧AC=弧BD得∠A=∠B，∴AD∥BC．故④正确．27．（1）连接PO，∵，∴∠POC=∠POD．∵C、D分别是半径OA、OB的中点，∴OC=OD．∵PO=PO，∴△PCO≌△PDO．∴PC=PD．（2）∵△PCO≌△PDO，∴∠PCO=∠PDO．∵OA=OB，∴∠A=∠B．∴∠AEC=∠BFD．∴∠PEF=∠PFE．∴PE=PF．28．∵AD=BC，∴．∴．∴．∴AB=CD．29．∵点C 是的中点，∴∠AOC=∠BOC；∵D、E分别是⊙O的半径OA、OB的中点，∴OD=OE=OA；又∵OC=OC，∴△COD≌△COE（SAS）．∴CD=CE．30．连OM，ON，如图，∵M，N分别为AB，CD的中点，∴OM⊥AB，ON⊥CD，∴∠AMO=∠CNO=90°，∵AB=CD，∴OM=ON，∴∠OMN=∠ONM，∴∠AMN=∠CNM．31．连接OE，如图，∵OA=OE，∴∠A=∠OEA，∵AE∥CD，∴∠BOD=∠A，∠DOE=∠OEA，∴∠BOD=∠DOE，∴BD=DE．32．（1）证明：∵∠1=∠2，∴=，∴+=+，∴=；（2）解：∵=，∴AC=BD，而AC=3cm，∴BD=3cm．33．（1）∵C为劣弧BD的中点，∴=，∴∠DAC=∠BAC，又∠DAC和∠BDC 对的弧都为，∴∠DAC=∠BDC．∴∠BAC=∠BDC，又∠DCA=∠DCA，∴△DEC∽△ADC．（2）由（1）知，△DEC∽△ADC，∴EC：DC=DC：AC．∴DC2=3，DC==BC．∵AB是直径，∴∠ACB=90°．在Rt△BCE中，CE=1，BC=，∴BE=2，∴∠CBE=30°，∴∠BAC=∠DAC=30°．∴劣弧BD的度数为2×2×30°=120°，劣弧AD的度数为60°．即∠DCA=30°=∠CAB．∴CD∥AB，且CD≠AB．∴四边形ABCD是上底为DC，下底为AB，高为直角三角形斜边AB边上的高的梯形．∵AC=AE+EC=3，BC=，根据勾股定理得AB=2，则∠CAB=30°，∴直角三角形斜边AB 边上的高为，∴S梯形ABCD ==．34．连接AC、OD．∵AD∥OC（已知），∴∠DAB=∠COB（两直线平行，同位角相等）；又∵∠CAB=∠COB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠DAB=∠CAB（等量代换），∵∠DAC=∠CAB，∠DAC=∠DOC（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠DOC=∠COB（等量代换）∴．35．∵⊙O 中，=，∠C=75°，∴∠B=∠C=75°，∴∠A=180°﹣75°×2=30°36．∵，∴，即：，∴AB=CD．37．（1）弦AB分圆周长为3：7两部分，则分圆心角也为3：7两部分．故优弧的圆心角为360×∴优弧AB==cm；（3分）（2）弦AB所对圆周角也被分成了3：7两部分．弦AB所对圆周角的度数为180°．故分别为54°或126°．38．连接DE，∵DC是圆的直径，∴∠DEC=90°．∵弧EC的度数是40°，∴∠EDC=40°．∴∠ECD=50°．∵CE∥AB，∴∠AOD=∠ECD=50°．∴∠BOD=130°39．∵AC=BD，∴．∴．∴AB=CD．40．AOBC是菱形．证明：连OC∵C 是的中点∴∠AOC=∠BOC=×120°=60°∵CO=BO（⊙O的半径），∴△OBC是等边三角形∴OB=BC同理△OCA是等边三角形∴OA=AC又∵OA=OB∴OA=AC=BC=BO∴AOBC是菱形．41．（1）证明：连接AD．∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°．∵AC=BD，AB=BA，∴△ABC≌△ABD．∴∠BAC=∠ABD，从而PA=PB．∵O是AB中点，∴PO⊥AB；（4分）（2）解：∵∠AOP=∠ACB=90°，∠OAP=∠CAB，∴△AOP∽△ACB．∴．∵AB=4，BC=1，∴AC==．∴OP==．42．在⊙O中，∵AB=CD，∴．∴．∴．43．连接AF，∵AB=AF，∴∠ABF=∠AFB．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAF=∠AFB，∠GAE=∠ABF．∴∠GAE=∠EAF．∴．44．连接OC，∵AC=BC，∴∠AOC=∠BOC，∵在△AOC和△BOC中，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴∠A=∠B，∵OD=OE，∴AD=BE，∵在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ACD=∠BCE．45．连接OE，∵的度数为40°，∴∠BOE=40°，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB=（180°﹣40°）÷2=70°，∵OC∥BE，∴∠C=∠1，∵CO=BO，∴∠2=∠C，∴∠1=∠2，∴∠BCO=∠1=∠OBE=35°46．∵，∴∠AOC=∠BOC，又∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CDO=∠CEO=90°，在△ODC和△OEC中，，∴△ODC≌△OEC（AAS），∴OD=OE．47．∵AD=BC，∴=，∴+=+，∴=，∴BD=AC．48．连接OE，∵AB⊥OC，DE∥AB，∴DE⊥OC，∴∠EDO=90°，∵D为OC中点，∴OD=OC=OE，∴∠DEO=30°，∴∠EOC=90°﹣30°=60°，∵OC⊥AB，∴∠AOC=90°，∴∠AOE=90°﹣60°=30°，即∠AOE=30°，∠COE=60°，∴=2（圆心角的度数等于它所对的弧的度数）．49．连接OA，交BF于点E，∵A是弧BF的中点，O为圆心，∴OA⊥BF，∴BE=BF，∵AD⊥BC于点D，∴∠ADO=∠BEO=90°，在△OAD与△OBE 中，，∴△OAD≌△OBE（AAS），∴AD=BE，∴AD=BF．50．∠COB=∠COA，理由是：∵∠CAB=∠CBA，∴AC=BC，∴弧AC=弧BC，∴∠COB=∠COA．51．连接AD，BD，CB，∵AB=CD，∴=，∴=，∴AD=BC．52．∵AB=CD，∴，∴﹣=﹣，∴．53．∵OC⊥AB，∴（垂径定理）．∴AC=BC（同圆中相等的弧所对的弦相等）54.∵，∴都为60°．连接DO，CO，∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°．∴△AOD≌△DOC≌△COB．∴S△AOD =AO•ODsin60°=×22=．∴四边形ABCD面积为3．55．相等．如右图所示，连接OD，OE，∵OB=OD=OE=OC，∠B=∠C=60°∴△BOD与△COE都是等边三角形∴∠BOD=∠COE=60°∠DOE=180°﹣∠BOD﹣∠COE=60°∴∠DOE=∠BOD=∠COE∴56．解法一：（用垂径定理求）如图，过点C作CE⊥AB于点E ，交于点F，∴，又∵∠ACB=90°，∠B=25°，∴∠FCA=25°，∴的度数为25°，∴的度数为50°；解法二：（用圆周角求）如图，延长AC交⊙C于点E，连接ED，∵AE是直径，∴∠ADE=90°，∵∠ACB=90°，∠B=25°，∴∠E=∠B=25°，∴的度数为50°；解法三：（用圆心角求）如图，连接CD，∵∠ACB=90°，∠B=25°，∴∠A=65°，∵CA=CD，∴∠ADC=∠A=65°，∴∠ACD=50°，∴的度数为50°．圆心角与弧弦的关系--21 57．（1）作ON ⊥EF ，OM ⊥CD ，∵∠DPB=∠EPB ；∴ON=OM ，∴CD=EF ， ∴=，﹣=﹣， 即．；； （2）证明：∵∴CE=DF ．58．∵AB ⊥CD 于点E ，过E 作AC 的垂线交BD 于点Q ，∴三角形ACE 、三角形PCE 、三角形APE 、三角形BED 都是直角三角形．∴∠DEQ=∠CEP （对顶角相等）．∠CEP=∠A （同角的余角相等）．又∵∠A=∠D （同弧所对的圆周角相等），∴∠DEQ=∠D ，∴EQ=QD （等角对等边）． 又∵∠QEB=∠B （等角的余角相等），∴EQ=QB ．∴EQ=QD=QB ，即Q 为BD 的中点．59．过O 作OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，OP ⊥BC ，垂足分别为M ，N ，P ，∵DE=FG=HI∴OM=OP=ON∴O 是∠B ，∠C 平分线的交点∵∠A=70°，∴∠B+∠C=180°﹣∠A=110°，又∵O 是∠B ，∠C 平分线的交点，∴∠BOC=180°﹣（∠B+∠C ）=180°﹣×110°=125°60．作直径DE ．∵OB=OD ，OB=PD ，∴DO=DP ，∵∠P=29°，∴∠DOP=∠DOP=29°=∠AOE ，∴弧AE 的度数是29°，∠CDE=∠P+∠DOP=58°， ∴弧CAE 的度数是2×58°=116°，∴弧AC 的度数是116°﹣29°=87°．。
(含答案)九年级数学人教版上册课时练第24章《24.1.3 弧、弦、圆心角》(1)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！课时练第24章圆24.1.3弧、弦、圆心角一、单选题1．下列图形中的角是圆心角的是（）A．B．C．D．2．如图所示，MN为⊙O的弦，∠N=52°，则∠MON的度数为（）A．38°B．52°C．76°D．104°3．如图，在O中，2=，则弦AC与AB的关系是（）AC ABA．AB=AC B．AC=2AB C．AC<2AB D．AC>2AB Ð=Ð，下列结论不一定成立的是（）4．已知，如图，AOB CODA ．AB CD=B ．AB CD =C ．AOB COD ≌D ．,AOB COD△△都是等边三角形5．如图，在O 中，已知AB=CD ，则AC 与BD 的关系是（）A ．AC BD =B ．AC BD <C ．AC BD >D ．不确定6．如图，,AB CD 是O 的直径，AE BD =，若32AOE °Ð=，则COE Ð的度数是（）A ．32°B ．60°C ．68°D ．64°7．下列说法：①相等的弦所对的圆心角相等；②等圆中相等的圆心角所对的弧相等；③同圆中等弧所对的圆心角相等.其中正确的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．③8．如图，CD 为O 的直径，CD EF ^，垂点为G ，40EOD Ð= ，则(DCF Ð=)A ．80°B ．50°C ．40°D ．20°9．如图，AB 是圆O 的直径，BC ，CD ，DA 是圆O 的弦，且BC =CD =DA ，则∠BCD 等于（）A ．100°B ．110°C ．120°D ．135°二、填空题10．如图，在O 中，点C 是AB 的中点，50A Ð=°，则BOC Ð等于________．11．若一条弦把圆周分成2:3的两段弧，则劣弧所对圆心角的度数是________．12．如图，在⊙O 中，弧AB =弧CD ，∠AOB 与∠COD 的关系是_____．13．已知在⊙O 中,AB=BC,且:3:4AB AMC =,则∠AOC=________.14．如图,ABD =BDC ,若AB=3,则CD=____.15．如图，已知AB,CD 是⊙O 的直径，CE 是弦，且AB ∥CE ,∠C=35°，则弧BE 的度数________.16．如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点P ，若AB=CD ，∠APO=65°，则∠APC=________度．三、解答题17．如图，AB 是O 的直径，,35BC CD DE COD ==Ð=°．求AOE Ð的度数．18．如图，,AB CD 是O 的两条弦．（1）如果AB CD =，那么__________，___________．（2）如果AB CD =，那么__________，___________．（3）如果AOB COD Ð=Ð，那么__________，___________．（4）如果,,AB CD OE AB OF CD =^^，垂足分别为,,E F OE 与OF 相等吗？为什么？19．已知：如图，在⊙O 中，弦AB 与半径OE 、OF 交于点C 、D ，AC ＝BD ，求证：（1）OC ＝OD ：（2）A E B F =．BC AD 20．如图，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB长为半径作A，分别交,于,E F两点，交BA的延长线于点G．（1）求证：»»=；EF FG（2）连接AE，若140Ð的度数．Ð=，求DEAG°6/6参考答案1．B2．C3．C4．D5．A6．D7．C8．D9．C10．40°11．144°12．∠AOB =∠COD13．144°14．315．35°16．5017．75°18．（1）AB CD =，∠AOB ＝∠COD ；（2）AB ＝CD ；∠AOB ＝∠COD ；（3）AB ＝CD ，AB CD =；（4）OE 与OF 相等20．70°。
人教版九年级上知识点试题精选--圆心角、弧、弦的关系
圆心角、弧、弦的关系一．选择题（共20小题）1．如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=52°，则α的度数是（）A．51.5°B．60°C．72°D．76°2．在半径为1cm的⊙O中，弦长为cm的弦所对的圆心角度数为（）A．60゜B．90゜C．120゜D．45゜3．已知AB，CD是⊙O的两条弦且都不是直径，如果AB=CD，那么下列结论中不一定成立的是（）A．∠AOB=∠COD B．C．∠ABC=∠ADB D．O到两条弦的距离相等4．下列命题中正确的是（）A．长度相等的弧是等弧B．相等的弦所对的弧相等C．垂直于弦的直径必平分弦D．平分弦的直径必垂直于弦5．如图，已知在⊙O中，AB=CD=EF=HG，BC=DE=FG=AH，则∠AHG的度数是（）A．120°B．125°C．130° D．135°6．下列说法：①直径不是弦；②相等的弦所对的弧相等；③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；④在同圆或等圆中，较长的弧所对的弦也较长．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．如图：AB是所对的弦，AB的中垂线CD分别交于C，交AB于D，AD的中垂线EF分别交于E，交AB于F，DB的中垂线GH分别交于G，交AB于H，下列结论中不正确的是（）A．=B．=C．=D．EF=GH8．在☉O中=2，则弦AB与弦CD的大小关系是（）A．AB＞2CD B．AB=2CD C．AB＜2CD D．AB=CD9．在同圆或等圆中，下列说法错误的是（）A．相等弦所对的弧相等B．相等弦所对的圆心角相等C．相等圆心角所对的弧相等D．相等圆心角所对的弦相等10．下列语句中不正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；④长度相等的两条弧是等弧．A．3个 B．2个 C．1个 D．以上都不对11．如图所示，∠AOB=2∠COD，则下列结论成立的是（）A．＞2B．=2C．＜2D．不能确定与2的大小关系12．⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是（）A．∠AOB＞2∠AOMB．∠AOB=2∠AOMC．∠AOB＜2∠AOMD．∠AOB与2∠AOM的大小不能确定13．半径为9cm的圆中有一段长度为6πcm的圆弧，则这段圆弧所对的圆心角的度数为（）A．60°B．120°C．240° D．60°或120°14．如图，弧BE是⊙D的圆周，点C在弧BE上运动（不与B重合），则∠C 的取值范围是（）A．0°≤∠C≤45°B．0°＜∠C≤45°C．45°＜∠C＜90°D．45°≤∠C＜90°15．如图，AB是半圆的直径，∠BAC=20°，D是的中点，则∠DAC的度数是（）A．30°B．35°C．45°D．70°16．圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：4：6，则∠D的度数为（）A．60 B．80 C．100 D．12017．下列命题正确的是（）A．相等的圆周角对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．三点确定一个圆 D．平分弦的直径垂直于弦18．如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A．4cm B．3cm C．5cm D．4cm19．P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知、的度数别为88°、32°，则∠P的度数为（）A．26°B．28°C．30°D．32°20．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC．那么与的数量关系是（）A．=B．＞C．＜D．无法确定二．填空题（共20小题）21．一条弦把圆分成2：1的两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为．22．圆的一条弦分圆为4：5两部分，其中优弧的度数为°．23．一条弦把圆分成3：7两部分，则这条弦所对的圆心角的度数为．24．在同圆中，如果=2，那么弦AB、CD的关系为AB2CD．25．如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC等于度．26．如图，AB是⊙O的直径，弧BC、弧CD与弧DE相等，∠COD=40°，则∠AOE=．27．如图，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=48°，则α的度数是．28．如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=56°，则α的度数是．29．⊙O的半径是2cm，弦AB=2cm，则∠AOB=．30．已知△ABC内接于⊙O，AE平分∠BAC交BC于E，的度数为100°，的度数为140°，则∠AEC的度数为．31．如图，在扇形AOB中，∠AOB=60°，AO=6，点D为的中点，C为半径OA 上一动点（点A除外），沿CD对折后点A恰好落在扇形AOB的边线OB或OA上，AC的长可以是．32．下列四种说法：①等弧所对的圆心角相等；②两个圆心角相等，它们所对的弧也相等；③两条弦相等，它们所对的圆心角相等；④在等圆中，圆心角相等，它们所对的弦也相等，其中正确的有（填所有正确答案的序号）33．若一个圆的半径是6cm，则90度的圆心角所对的弦的长度为．34．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=35°，点C为圆心、CA为半径的圆交AB于D点，则弧AD为度．35．如图，PB交⊙O于点A，B，PD交⊙O于点C，D，已知弧DQ=42°，弧BQ=38°，则∠P+∠Q的度数为．36．如图，等腰△ABC的顶角∠A=40°，以AB为直径的半圆与BC、AC分别交于D、E两点，则∠EBC=，的度数为．37．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，的度数是72°，∠BCD=68°，则∠AED的度数为．38．如图所示，弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P 为弧AD上任意一点，若AC=5，则四边形ACBP周长的最大值是．39．如图所示，在⊙O中，=，∠B=70°，则的度数=．40．在半径为3的圆中，长度等于3的弦所对的圆心角是度．三．解答题（共10小题）41．如图，在☉O中，AB是直径，C、D是圆上两点，使得AD=BC．求证：AC=BD．42．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，且=．（1）求证：AC∥OD．（2）若∠AOD=110°，求的度数．43．已知⊙O的半径为12cm，弦AB将圆分成的两段弧所对的圆心角度数之比为1：5，求∠AOB的角度及弦AB的长．44．如图，AB是⊙O的直径，CD的是⊙O中非直径的任意一条弦，试比较AB 与CD的大小，并说明理由．45．如图，AD、BE、CF是⊙O的直径，且∠AOF=∠BOC=∠DOE．求证：AB=CD=EF．46．如图，已知P是⊙O外任意一点，过点P作直线PAB，PCD，分别交⊙O于点A，B，C，D．求证：∠P=（的度数﹣的度数）．47．如图，AB是⊙O的直径，AC，CD，DE，EF，FB都是⊙O的弦，且AC=CD=DE=EF=FB，求∠AOC与∠COF的度数．48．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=135°，以A为圆心，AB为半径作⊙A交AD，BC于E，F两点，并交BA延长线于G．求弧BF的度数．49．已知：如图，AE，DB是⊙O的直径，F是⊙O上一点，∠AOB=60°，且F是的中点．求证：AB=BF．50．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC=20°，=，求：∠BCD的度数．圆心角、弧、弦的关系参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=52°，则α的度数是（）A．51.5°B．60°C．72°D．76°【分析】要求α的度数，只需求出∠AOB的度数，根据已知条件，易证∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，所以可以求出α的度数．【解答】解：连接OD．∵∠BAO=∠CBO=α，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，∵∠AOE=52°，∴∠AOB=（360°﹣52°）÷4=77°，∴α=（180°﹣77°）÷2=51.5°．故选A．【点评】本题考查了与圆有关的性质，在圆中，半径处处相等，由半径和弦组成的三角形是等腰三角形，证明题目时要注意应用．2．在半径为1cm的⊙O中，弦长为cm的弦所对的圆心角度数为（）A．60゜B．90゜C．120゜D．45゜【分析】根据题意画出图形，再根据勾股定理可证明△AOB为直角三角形，进而得到圆心角度数为90°．【解答】解：由题意得：AO=BO=1cm，AB=cm，∵12+12=（）2，∴∠AOB=90°，故选：B．【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及圆心角、弧、弦的关系，关键是掌握勾股定理．3．已知AB，CD是⊙O的两条弦且都不是直径，如果AB=CD，那么下列结论中不一定成立的是（）A．∠AOB=∠COD B．C．∠ABC=∠ADB D．O到两条弦的距离相等【分析】根据圆的圆心角、弧、弦间的关系进行分析、判断并作出选择．【解答】解：A、∵AB=CD，∴=，∴∠AOB=∠COD（等弧所对的圆心角相等）；故本选项正确；B、∵AB=CD，∴=（在同圆中，等弦所对的弧相等）；故本选项正确；C、当≠时，∠ACB≠∠ADB，∴∠ACB=∠ADB这一结论不一定成立；故本选项错误；D、∵AO=CO，BO=DO，AB=CD，∴△AOB≌△COD，∴OE=OF（全等三角形的对应高相等）；故本选项正确；故选C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦间的关系．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．4．下列命题中正确的是（）A．长度相等的弧是等弧B．相等的弦所对的弧相等C．垂直于弦的直径必平分弦D．平分弦的直径必垂直于弦【分析】根据在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，相等的弦所对应的弧相等判断A，B．根据垂径定理及其推论判断C，D．【解答】解：长度相等的弧其弧度不一定相等，所以不等称等弧，A错；在同圆中，一条弦对劣弧和优弧，所以相等的弦所对的弧不一定相等，B错．由垂径定理得C对；任意两直径互相平分但不一定垂直，所以D错．故选C．【点评】理解等弧的定义．熟练掌握垂径定理及其推论．5．如图，已知在⊙O中，AB=CD=EF=HG，BC=DE=FG=AH，则∠AHG的度数是（）A．120°B．125°C．130° D．135°【分析】连结OA、OG、AD、GD，如图，根据圆心角、弧、弦的关系得到===，===，则+=+=+=+，所以∠AOG=90°，然后根据圆周角定理计算出∠ADG=45°，再利用圆内接四边形的性质求∠AHG．【解答】解：连结OA、OG、AD、GD，如图，∵AB=CD=EF=HG，BC=DE=FG=AH，∴===，===，∴+=+=+=+，即+为圆周的，∴∠AOG=360°×=90°，∴∠ADG=∠AOG=45°，∴∠AHG=180°﹣∠ADG=180°﹣45°=135°．故选D．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了圆周角定理．6．下列说法：①直径不是弦；②相等的弦所对的弧相等；③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；④在同圆或等圆中，较长的弧所对的弦也较长．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据直径的定义判断①；根据圆心角、弧、弦的关系判断②；根据圆的对称性判断③；根据圆心角、弧、弦的关系判断④．【解答】解：①直径是弦，并且是圆中最长的弦，故说法错误；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，故说法错误；③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，故说法正确；④在同圆或等圆中，较长的弧所对的弦也较长，故说法错误．故选A．【点评】本题考查的是圆的有关定义及性质，圆心角、弧、弦的关系，解题时一定要注意是在同圆或等圆中此类定理才成立，不要滥用．7．如图：AB是所对的弦，AB的中垂线CD分别交于C，交AB于D，AD的中垂线EF分别交于E，交AB于F，DB的中垂线GH分别交于G，交AB于H，下列结论中不正确的是（）A．=B．=C．=D．EF=GH【分析】由AB是所对的弦，AB的中垂线CD分别交于C，交AB于D，AD 的中垂线EF分别交于E，交AB于F，DB的中垂线GH分别交于G，根据垂径定理与弦与弧的关系，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．【解答】解：连接EG，AE，∵AB的中垂线CD分别交于C，∴=，故A正确；∵AD的中垂线EF分别交于E，交AB于F，DB的中垂线GH分别交于G，∴=，故B正确；∴四边形EFHG是矩形，∴EF=GH，故D正确．∵AE＞AF=DF，∴AE＞EC，∴＞，故C错误．故选C．【点评】此题考查了弦与弧的关系以及垂径定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．8．在☉O中=2，则弦AB与弦CD的大小关系是（）A．AB＞2CD B．AB=2CD C．AB＜2CD D．AB=CD【分析】根据两弧的关系，作出的中点E，则AE=BE=CD，根据三角形两边之和大于第三边就可以得到结论．【解答】解：AB＜2CD．取的中点E，连接EA、EB，则==，所以EA=EB=CD，在△ABE中，AE+BE＞AB，即2CD＞AB，则AB＜2CD，∴CD＜AB＜2CD，故选C．【点评】本题主要考查了：在同圆或等圆中圆心角相等，弧相等，弦相等，弦心距相等，在这几组相等关系中，只要有一组成立，则另外几组一定成立．9．在同圆或等圆中，下列说法错误的是（）A．相等弦所对的弧相等B．相等弦所对的圆心角相等C．相等圆心角所对的弧相等D．相等圆心角所对的弦相等【分析】利用在同圆和等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，判断出B、C、D三选项都正确；而同圆或等圆中，同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，所以可判断出A选项错误．【解答】解：A、相等弦所对的弧不一定相等，故本选项错误；B、相等弦所对的圆心角相等，故本选项正确；C、相等圆心角所对的弧相等，故本选项正确；D、相等圆心角所对的弦相等，故本选项正确．故选A．【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．注意：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．10．下列语句中不正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；④长度相等的两条弧是等弧．A．3个 B．2个 C．1个 D．以上都不对【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对①进行判断；根据垂径定理对②进行判断；根据圆的对称性对③进行判断；根据等弧的定义对④进行判断．【解答】解：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以①的说法错误；平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以②的说法错误；圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，所以③的说法正确；能完全重合的两条弧是等弧，所以④的说法错误．故选A．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．11．如图所示，∠AOB=2∠COD，则下列结论成立的是（）A．＞2B．=2C．＜2D．不能确定与2的大小关系【分析】根据圆心角与弦的关系可直接求解．【解答】解：∵∠AOB=2∠COD，∴=2．故选B．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，即在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．12．⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是（）A．∠AOB＞2∠AOMB．∠AOB=2∠AOMC．∠AOB＜2∠AOMD．∠AOB与2∠AOM的大小不能确定【分析】根据题意先画出图形，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得出正确的结论．【解答】解：根据题意如图：∵在⊙O中，M为的中点，∴=，∴∠AOM=∠MOB，∴∠AOB=2∠AOM；故选B．【点评】此题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是本题的关键．13．半径为9cm的圆中有一段长度为6πcm的圆弧，则这段圆弧所对的圆心角的度数为（）A．60°B．120°C．240° D．60°或120°【分析】根据弧长的计算公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），代入即可求出圆心角的度数．【解答】解：由题意得，6π=，解得：n=120．故选B．【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题关键是熟练掌握弧长的计算公式，及公式字母表示的含义．14．如图，弧BE是⊙D的圆周，点C在弧BE上运动（不与B重合），则∠C 的取值范围是（）A．0°≤∠C≤45°B．0°＜∠C≤45°C．45°＜∠C＜90°D．45°≤∠C＜90°【分析】由于是⊙D的圆周，则可计算出∠BDE=90°，再根据等腰三角形的性质由DB=DC，则∠B=∠BCD，于是根据三角形内角和定理得到∠BCD=90°﹣∠BDC，然后根据0≤∠BDC≤90°求∠BCD的取值范围．【解答】解：∵是⊙D的圆周，∴∠BDE=×360°=90°，∵DB=DC，∴∠B=∠C，∴∠C=（180°﹣∠BDC）=90°﹣∠BDC，∵0≤∠BDC≤90°，∴45°≤∠C≤90°，故选D．【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．15．如图，AB是半圆的直径，∠BAC=20°，D是的中点，则∠DAC的度数是（）A．30°B．35°C．45°D．70°【分析】首先连接BC，由AB是半圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠C=90°，继而求得∠ABC的度数，然后由D是的中点，根据弧与圆周角的关系，即可求得答案．【解答】解：连接BC，∵AB是半圆的直径，∴∠C=90°，∵∠BAC=20°，∴∠B=90°﹣∠BAC=70°，∵D是的中点，∴∠DAC=∠ABC=35°．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．16．圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：4：6，则∠D的度数为（）A．60 B．80 C．100 D．120【分析】根据圆内接四边形的对角互补和四边形的内角和为360度进行分析求解．【解答】解：∵内接四边形的对角互补，∴∠A：∠B：∠C：∠D=3：4：6：5设∠A的度数为3x，则∠B，∠C，∠D的度数分别为4x，6x，5x∴3x+4x+6x+5x=360°∴x=20°∴∠D=100°故选C．【点评】本题考查圆内接四边形的对角互补和四边形的内角和为360°的理解及运用．17．下列命题正确的是（）A．相等的圆周角对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．三点确定一个圆 D．平分弦的直径垂直于弦【分析】等弧只有在同圆或等圆中才能出现，因此，等弧所对的弦相等是正确的．【解答】解：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故A错误；等弧只有在同圆或等圆中才能出现，因此，等弧所对的弦相等是正确的，故B 正确；不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故C错误；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故D错误．故选B．【点评】题目考查了圆心角、弧、弦、基本定义等知识，通过知识的考查，学生可以将定义或相关定理理解得更加准确，是不错的题目．18．如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A．4cm B．3cm C．5cm D．4cm【分析】连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，运用圆周角定理，可证得∠DOB=∠OAC，即证△AOF≌△OED，所以OE=AF=3cm，根据勾股定理，得DE=4cm，在直角三角形ADE中，根据勾股定理，可求AD的长．【解答】解：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵∠CAD=∠BAD，∴=，∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，在△AOF和△ODE中，，∴△AOF≌△ODE，∴OE=AF=AC=3，在Rt△DOE中，DE==4，在Rt△ADE中，AD==4，故选：A．【点评】本题考查了翻折变换及圆的有关计算，涉及圆的题目作弦的弦心距是常见的辅助线之一，注意熟练运用垂径定理、圆周角定理和勾股定理．19．P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知、的度数别为88°、32°，则∠P的度数为（）A．26°B．28°C．30°D．32°【分析】先由圆周角定理求出∠A与∠ADB的度数，然后根据三角形外角的性质即可求出∠P的度数即可．【解答】解：∵和所对的圆心角分别为88°和32°，∴∠A=×32°=16°，∠ADB=×88°=44°，∵∠P+∠A=∠ADB，∴∠P=∠ADB﹣∠P=44°﹣16°=28°．故选B．【点评】此题考查的是圆心角、弧、弦的关系及三角形外角的性质，解题的关键是：熟记并能灵活应用圆周角定理及三角形外角的性质解题．20．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC．那么与的数量关系是（）A．=B．＞C．＜D．无法确定【分析】根据平行线的性质得∠DAC=∠ACB，根据圆周角定理得=．【解答】证明：连接AC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴=．故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．二．填空题（共20小题）21．一条弦把圆分成2：1的两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为120°．【分析】根据圆一周上弧的度数为360°，设出弦AB分圆的两部分长，列出方程，求出x值，再由圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到x的值即为要求的劣弧所对圆心角的度数．【解答】解：设弦AB分圆的两部分别为x，2x，∴x+2x=360°，解得：x=120°，则劣弧所对圆心角为120°．故答案为：120°【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，设出适当的未知数，列出方程是解本题的关键．22．圆的一条弦分圆为4：5两部分，其中优弧的度数为200°．【分析】根据在同圆或等圆中，一条弧所对圆心角的度数与这条弧的度数相等解答．【解答】解：∵圆的一条弦分圆为4：5两部分，∴优弧所对圆心角的度数=×360°=200°，∴优弧的度数为200°．故答案为：200°．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，即一条弧所对圆心角的度数与这条弧的度数相等．23．一条弦把圆分成3：7两部分，则这条弦所对的圆心角的度数为108°．【分析】先根据弦把圆分成3：7的两部分求出所对圆心角的度数即可求解．【解答】解：∵弦AB把⊙O分成3：7的两部分，∴所对圆心角的度数=360°×=108°．故答案为：108°．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．24．在同圆中，如果=2，那么弦AB、CD的关系为AB＜2CD．【分析】根据题意画出图形，利用弧、弦的关系得出==，AE=BE=CD，再由三角形的三边关系即可求解．【解答】解：如图所示，=2，==，∵==，∴AE=BE=CD，在△ABE中，AE+BE＞AB，∴AB＜2CD．故答案为：＜．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及三角形的三边关系，能根据题意画出图形是解答此题的关键．25．如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC等于40度．【分析】由于点C是弧AB的中点，根据等弧对等角可知：∠BOC是∠BOA的一半；在等腰△AOB中，根据三角形内角和定理即可求出∠BOA的度数，由此得解．【解答】解：△OAB中，OA=OB，∴∠BOA=180°﹣2∠A=80°；∵点C是弧AB的中点，即=，∴∠BOC=∠BOA=40°．故答案为：40．【点评】此题主要考查了圆心角、弧的关系：在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等．26．如图，AB是⊙O的直径，弧BC、弧CD与弧DE相等，∠COD=40°，则∠AOE= 60°．【分析】由在同圆中等弧对的圆心角相等得，∠BOC=∠COD=∠EOD=40°从而根据平角的定义求得∠AOE的度数．【解答】解：∵，∠COD=40°，∴∠BOC=∠COD=∠EOD=40°，∴∠AOE=180°﹣∠BOE=60°．故答案为60°．【点评】本题利用了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．27．如图，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=48°，则α的度数是51°．【分析】要求α的度数，只需求出∠AOB的度数，根据已知条件，易证∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，所以可以求出α的度数．【解答】解：连接OD，∵∠BAO=∠CBO=α，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，∵∠AOE=48°，∴∠AOB==78°，∴α==51°．故答案为：51°．【点评】本题考查了与圆有关的性质，在圆中，半径处处相等，由半径和弦组成的三角形是等腰三角形，证明题目时要注意应用．28．如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=56°，则α的度数是52°．【分析】要求α的度数，只需求出∠AOB的度数，根据已知条件，易证∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，所以可以求出α的度数．【解答】解：连接OC、OD，∵∠BAO=∠CBO=α，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，∵∠AOE=56°，∴∠AOB==76°，∴α==52°．故答案为：52°．【点评】本题考查了与圆有关的性质，在圆中，半径处处相等，由半径和弦组成的三角形是等腰三角形，证明题目时要注意应用．29．⊙O的半径是2cm，弦AB=2cm，则∠AOB=90°．【分析】作OC⊥AB于C，利用垂径定理得到直角三角形，解此直角三角形求得圆的半径即可．【解答】解：作OC⊥AB于C，如图所示，则AC=AB=cm，∴OC==，∴AC=OC，∴∠AOC=45°，∴∠AOB=2∠AOC=90°；故答案为：90°．【点评】本题考查的是垂径定理及解直角三角形的知识，解题的关键是利用垂径定理构造直角三角形．30．已知△ABC内接于⊙O，AE平分∠BAC交BC于E，的度数为100°，的度数为140°，则∠AEC的度数为100°．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得出∠B=70°，∠C=50°，然后根据三角形内角和定理得出∠BAC=60°，进而求得∠BAE=30°，根据三角形外角的性质即可求得∠AEC的度数．【解答】解；∵的度数为100°，的度数为140°，∴∠B=70°，∠C=50°，∴∠BAC=60°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=30°，∴∠AEC=∠B+∠BAE=100°．故答案为100°．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，根据圆心角、弧、弦的关系求得∠B，∠C的度数是解题的关键．31．如图，在扇形AOB中，∠AOB=60°，AO=6，点D为的中点，C为半径OA 上一动点（点A除外），沿CD对折后点A恰好落在扇形AOB的边线OB或OA上，AC的长可以是6﹣3或6或9﹣3．【分析】根据点A′落在半径OA上．可以画出相应的图形，可知点A与点A′关于点CD对称，从而可以得到DA′=DA，由点C为弧AB的中点，∠AOB=60°，OD=OA=6，可以求得OC的长，从而可以求得AC的长；根据点A′落在半径OB上，画出相应的图形，由C为半径OB上一动点（点A除外），设点A关于直线CD的对称点为A′，可知DB=DA′=DA，由点D为弧AB的中点，∠AOB=60°，OD=OA=6，可以求得DF和AF的长，从而可以求得BA′的长，进而得到A′C的长；根据题意A′C的长与AC的长相等，可以求得AC的长．【解答】解：①当点E落在半径OA上时，连接OD，如图1所示，∵∠ACD=90°，∠AOB=60°，点D为弧AB的中点，点A（2，0），∴∠COD=30°，OA=OD=6，∴OC=OD•cos30°=6×=3，∴AC=OA﹣OC=6﹣3；②如图2，沿CD对折后点A恰好落在边线OB上，且A′和B重合时，则C和O重合，此时，AC=OA=6；③沿CD对折后点A恰好落在边线OB上，且A′和B不重合时，如图3；连接OD、BD、AD，作DF⊥OA于F，∵∠AFD=90°，∠AOB=60°，点D为弧AB的中点，∴∠AOD=∠BOD=30°，∠OAD=∠OBD，∵OA=OD=6，∴DF=OD•sin30°=6×=3，∠OAD=75°，∴OF=OD•cos30°=6×=3，∴AF=OA﹣OD=6﹣3，∵DA′=DA=DB，∠OAD=∠OBD=75°，∴BA′=2AF=12﹣6，∠DA′B=∠OBD=75°，∴OA′=OB﹣BA′=6﹣（12﹣6）=6﹣6，∵∠CA′D=∠CAD=75°，∴∠BA′C=150°，∴∠OA′C=30°，∴∠A′CO=90°，∴CA′=OA′•sin60°=（6﹣6）×=9﹣3，∴AC=CA′=9﹣3．故答案为：6﹣3或6或9﹣3．【点评】本题考查圆的综合题、特殊角的三角函数值，解题的关键是明确题意，画出相应的图形，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．32．下列四种说法：①等弧所对的圆心角相等；②两个圆心角相等，它们所对的弧也相等；③两条弦相等，它们所对的圆心角相等；④在等圆中，圆心角相等，它们所对的弦也相等，其中正确的有①④（填所有正确答案的序号）【分析】根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，即可判定④正确；②③少了条件在同圆或等圆中，故错误；而等弧，即是在同圆或等圆中的条件下判定的，所以①正确．【解答】解：①等弧所对的圆心角相等，故正确；②两个圆心角相等，它们所对的弧也相等，故错误；③两条弦相等，它们所对的圆心角相等，故错误；④在等圆中，圆心角相等，它们所对的弦也相等，故正确；故答案为①④．【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系．此题比较简单，注意掌握定理的条件（在同圆或等圆中）是解此题的关键．33．若一个圆的半径是6cm，则90度的圆心角所对的弦的长度为6cm．【分析】根据题意得到等腰直角三角形，根据勾股定理计算即可．【解答】解：∵圆心角为90°，∴所得三角形是等腰直角三角形，又半径为6cm，∴弧所对的弦长6cm．故答案为：6cm．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、等腰直角三角形的性质，掌握等腰直角三角形的性质、灵活运用勾股定理是解题的关键．34．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=35°，点C为圆心、CA为半径的圆交AB于D点，则弧AD为70度．。
初三数学弧弦圆心角的练习题
初三数学弧弦圆心角的练习题1. 圆心角是90°的扇形的圆的周长为12π cm，求该扇形的面积。
解析：假设扇形的半径为r cm，则圆心角为90°的弧长为r cm。
根据圆的周长公式，可得：2πr = 12π解得：r = 6 cm扇形的面积为：(1/4)πr² = (1/4)π(6)² = 9π cm²2. 若圆心角为30°，则它所对的弧的度数是多少？解析：圆心角度数与所对弧度数相等，因此该圆心角所对的弧的度数是30°。
3. 在圆上，直径AB的长度为12 cm，弦CD的长度为8 cm。
求圆心角ACB的度数。
解析：对于圆上的任意一个圆心角，其所对的弦长是固定的。
设弦长CD = 8 cm，直径AB = 12 cm。
由于直径等于两个弦加起来的长度，可得：12 cm = 8 cm + CE解得：CE = 4 cm由于圆心角ACB所对的弦CD等于1/2的直径AB，所以CE = 1/2 AB。
因此，圆心角ACB所对的弦CD是直径AB的1/2，即圆心角ACB 的度数为180°的1/2，即90°。
4. 在圆上，弦AC的度数为60°，则对应的圆心角ABC的度数是多少？解析：对于圆上的任意一个圆心角，其度数等于所对的弦的度数的2倍。
因此，圆心角ABC的度数为60°的2倍，即120°。
5. 在圆上，弦DE的度数等于圆心角DFE的度数的4倍，并且圆心角DFE的度数比弦DE多30°。
求弦DE所对的圆心角的度数。
解析：设圆心角DFE的度数为x°。
根据题意可得：弦DE的度数 = 圆心角DFE的度数的4倍 = 4x°圆心角DFE的度数 = 弦DE的度数 + 30° = 4x° + 30°根据圆心角与所对弦的关系，可得：弦DE所对的圆心角的度数 = 圆心角DFE的度数的2倍 = 2(4x° + 30°) = 8x° + 60°综上所述，弦DE所对的圆心角的度数为8x° + 60°。
完整版)圆心角圆周角练习题
完整版)圆心角圆周角练习题知识点三：弧、弦、圆心角与圆周角1.定义圆心角为顶点在圆心的角。
2.在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角之间的关系：两个圆心角相等，圆心角所对的弧相等（无论是优弧还是劣弧），圆心角所对的弦相等。
3.一个角是圆周角必须满足两个条件：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边都与圆有除顶点外的交点。
4.同一条弧所对的圆周角有两个。
5.圆周角定理：圆周角等于圆心角的一半。
6.圆周角定理的推论：（1）同弦或等弦所对的圆周角相等；（2）半圆或直径所对的圆周角相等；（3）90°的圆周角所对的弦是直径。
需要注意的是，“同弦或等弦”改为“同弧或等弧”结论就不一定成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类，它们是相等或互补关系。
7.圆内接四边形定义为所有顶点都在圆上的多边形，圆心即为这个圆内接四边形的交点。
圆内接四边形的对角线相互垂直，且交点为对角线的中点。
夯实基础1.如果两个圆心角相等，则它们所对的弧相等，选项B正确。
2.不正确的语句为③，因为圆不一定是轴对称图形，只有圆上的任何一条直径所在直线才是它的对称轴。
3.错误的说法是D，相等圆心角所对的弦不一定相等。
4.根据圆心角的性质，∠A=2∠B，所以∠A=140°。
5.∠BAC与∠BCD互补，∠BCD与∠CBD相等，所以与∠BAC相等的角有2个，即∠CBD和∠ABD。
6.因为∠CAB为30°，所以∠ABC为60°，由正弦定理可得BC=5√3.7.根据圆周角定理，∠ACB=40°。
8.设∠A=3x，∠B=4x，∠C=6x，则∠D=360°-3x-4x-6x=120°。
9.∠DCE=∠A。
1、如图，AB是⊙O的直径，C，D是BE上的三等分点，∠AOE=60°，求证∠COE=80°。
证明：由三等分点的性质可知，BC=CD=DE，又∠AOE=60°，所以∠AOC=120°。
2020年全国中考数学试题分类(11)——圆(含答案)
2020年全国中考数学试题分类（11）——圆一．圆心角、弧、弦的关系（共1小题）1．（2020•广安）如图，点A，B，C，D四点均在⊙O上，∠AOD＝68°，AO∥DC，则∠B的度数为（）A．40°B．60°C．56°D．68°二．圆周角定理（共9小题）2．（2020•巴中）如图，在⊙O中，点A、B、C在圆上，∠ACB＝45°，AB=2√2，则⊙O的半径OA的长是（）A．√2B．2 C．2√2D．33．（2020•贵港）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠ACB＝130°，则∠α的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°̂上任意一4．（2020•临沂）如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC＝80°．点D为弦AC的中点，点E为BB 点．则∠CED的大小可能是（）A．10°B．20°C．30°D．40°5．（2020•陕西）如图，点A、B、C在⊙O上，BC∥OA，连接BO并延长，交⊙O于点D，连接AC，DC．若∠A＝25°，则∠D的大小为（）A．25°B．30°C．40°D．50°6．（2020•兰州）如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝20°，则∠ADC＝（）A ．40°B ．60°C ．70°D ．80°7．（2020•阜新）如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 是圆周上的两点，若∠ABC ＝38°，则锐角∠BDC 的度数为（ ）A ．57°B ．52°C ．38°D ．26°8．（2020•赤峰）如图，⊙A 经过平面直角坐标系的原点O ，交x 轴于点B （﹣4，0），交y 轴于点C （0，3），点D 为第二象限内圆上一点．则∠CDO 的正弦值是（ ）A ．35B ．−34C ．34D ．45 9．（2020•眉山）如图，四边形ABCD 的外接圆为⊙O ，BC ＝CD ，∠DAC ＝35°，∠ACD ＝45°，则∠ADB的度数为（ ）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°10．（2020•河池）如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D ，E 都在⊙O 上，∠1＝55°，则∠2＝ °．三．圆内接四边形的性质（共2小题）11．（2020•广西）如图，已知四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，BD 平分∠ABC ，DH ⊥AB 于点H ，DH =√3，∠ABC＝120°，则AB+BC的值为（）A．√2B．√3C．2 D．√512．（2020•雅安）如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．四．点与圆的位置关系（共1小题）13．（2020•广东）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC ＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为．五．三角形的外接圆与外心（共3小题）14．（2020•赤峰）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为（）A．3πB．4πC．6πD．9π̂的长为．15．（2020•锦州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝30°，AC＝6，则BB16．（2020•黄石）如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，̂的长等于．作△ABC的外接圆，则BB六．直线与圆的位置关系（共1小题）17．（2020•泰州）如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4cm，O为直线b上一动点，若以1cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为．七．切线的性质（共4小题）18．（2020•桂林）如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC 的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°19．（2020•眉山）如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线P A、PB，点A、B为切点，连接AO并延长交PB的延长线于点C，过点C作CD⊥PO，交PO的延长线于点D．已知P A＝6，AC＝8，则CD的长为．20．（2020•呼和浩特）已知AB为⊙O的直径且长为2r，C为⊙O上异于A，B的点，若AD与过点C的⊙O的切线互相垂直，垂足为D．①若等腰三角形AOC的顶角为120度，则CD=12r，②若△AOC为正三角形，则CD=√32r，③若等腰三角形AOC的对称轴经过点D，则CD＝r，④无论点C在何处，将△ADC沿AC折叠，点D一定落在直径AB上，其中正确结论的序号为．21．（2020•济南）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．八．切线的判定与性质（共9小题）22．（2020•兰州）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，点C是AB的中点，以OC为半径作⊙O．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若OC＝2，求OA的长．23．（2020•西藏）如图所示，AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，CD与⊙O有公共点E，且AD＝DE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝12，BC＝4，求AD的长．24．（2020•葫芦岛）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，AB＝BC，连接BD，过点D的直线与CA的延长线相交于点E，且∠EDA＝∠ACD．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若AD＝6，CD＝8，求BD的长．25．（2020•镇江）如图，▱ABCD 中，∠ABC 的平分线BO 交边AD 于点O ，OD ＝4，以点O 为圆心，OD 长为半径作⊙O ，分别交边DA 、DC 于点M 、N ．点E 在边BC 上，OE 交⊙O 于点G ，G 为BB̂的中点． （1）求证：四边形ABEO 为菱形；（2）已知cos ∠ABC =13，连接AE ，当AE 与⊙O 相切时，求AB 的长． 26．（2020•宁夏）如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，点D 为AC 上一点，以CD 为直径的⊙O 交AB 于点E ，连接CE ，且CE 平分∠ACB ．（1）求证：AE 是⊙O 的切线；（2）连接DE ，若∠A ＝30°，求BB BB ．27．（2020•烟台）如图，在▱ABCD 中，∠D ＝60°，对角线AC ⊥BC ，⊙O 经过点A ，B ，与AC 交于点M ，连接AO 并延长与⊙O 交于点F ，与CB 的延长线交于点E ，AB ＝EB ．（1）求证：EC 是⊙O 的切线；（2）若AD ＝2√3，求BB ̂的长（结果保留π）．28．（2020•广东）如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DAB ＝90°，AB 是⊙O 的直径，CO 平分∠BCD ．（1）求证：直线CD 与⊙O 相切；（2）如图2，记（1）中的切点为E ，P 为优弧BB̂上一点，AD ＝1，BC ＝2．求tan ∠APE 的值．29．（2020•株洲）AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC、BC，直线MN过点C，满足∠BCM＝∠BAC＝α．（1）如图①，求证：直线MN是⊙O的切线；（2）如图②，点D在线段BC上，过点D作DH⊥MN于点H，直线DH交⊙O于点E、F，连接AF并延长交直线MN于点G，连接CE，且CE=53，若⊙O的半径为1，cosα=34，求AG•ED的值．30．（2020•潍坊）如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧BB̂的中点，过点C作CE ⊥AD，垂足为E，连接AC．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．九．三角形的内切圆与内心（共1小题）31．（2020•随州）设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是（）A．h＝R+r B．R＝2r C．r=√34a D．R=√3 3a一十．正多边形和圆（共7小题）32．（2020•济南）如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C，F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则正六边形的边长为．33．（2020•黄石）匈牙利著名数学家爱尔特希（P．Erdos，1913﹣1996）曾提出：在平面内有n个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，人们将具有这样性质的n个点构成的点集称为爱尔特希点集．如图，是由五个点A、B、C、D、O构成的爱尔特希点集（它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成），则∠ADO的度数是．34．（2020•株洲）据《汉书律历志》记载：“量者，龠（yuè）、合、升、斗、斛（hú）也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的周长为尺．（结果用最简根式表示）35．（2020•南京）如图，在边长为2cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为cm2．̂上一点（点P与点D，点E不重合），连36．（2020•绥化）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为BB接PC、PD，DG⊥PC，垂足为G，∠PDG等于度．37．（2020•成都）如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线F A1B1C1D1E1F1…叫做“正六边形的渐开线”，BB 1̂，B 1B 1̂，B 1B 1̂，B 1B 1̂，B 1B 1̂，B 1B 1̂，…的圆心依次按A ，B ，C ，D ，E ，F 循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当AB ＝1时，曲线F A 1B 1C 1D 1E 1F 1的长度是 ．38．（2020•通辽）中心为O 的正六边形ABCDEF 的半径为6cm ，点P ，Q 同时分别从A ，D 两点出发，以1cm /s 的速度沿AF ，DC 向终点F ，C 运动，连接PB ，PE ，QB ，QE ，设运动时间为t （s ）．（1）求证：四边形PBQE 为平行四边形；（2）求矩形PBQE 的面积与正六边形ABCDEF 的面积之比．一十一．弧长的计算（共4小题）39．（2020•盘锦）如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，点E 为线段OB 上的一点，OE ：EB ＝1：√3，连接DE 并延长交CB 的延长线于点F ，连接OF 交⊙O 于点G ，若BF ＝2√3，则BB̂的长是（ ） A ．B 3 B ．B 2 C ．2B 3 D ．3B 440．（2020•沈阳）如图，在矩形ABCD 中，AB =√3，BC ＝2，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧交边BC 于点E ，连接AE ，则BB̂的长为（ ） A ．4B 3 B ．π C ．2B 3 D ．B 3 41．（2020•潍坊）如图，四边形ABCD 是正方形，曲线DA 1B 1C 1D 1A 2…是由一段段90度的弧组成的．其中：BB 1̂的圆心为点A ，半径为AD ；B 1B 1̂的圆心为点B ，半径为BA 1；B 1B 1̂的圆心为点C ，半径为CB 1；B 1B 1̂的圆心为点D ，半径为DC 1；⋯BB 1̂，B 1B 1̂，B 1B 1̂，B 1B 1̂，…的圆心依次按点A ，B ，C ，D 循环．若正方形ABCD 的边长为1，则B 2020B 2020̂的长是 ．42．（2020•河南）如图，在扇形BOC 中，∠BOC ＝60°，OD 平分∠BOC 交BB̂于点D ，点E 为半径OB 上一动点．若OB ＝2，则阴影部分周长的最小值为 ．一十二．扇形面积的计算（共6小题）43．（2020•山西）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC ＝BD ＝12cm ，C ，D 两点之间的距离为4cm ，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是（ ）A ．80πcm 2B ．40πcm 2C ．24πcm 2D ．2πcm 244．（2020•日照）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为⊙O 的弦，AB ⊥CD 于点E ，若CD ＝6√3，AE ＝9，则阴影部分的面积为（ ） A ．6π−92√3 B ．12π﹣9√3C ．3π−94√3D ．9√3 45．（2020•西藏）如图，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上的一点，OD ⊥AC ，垂足为D ，延长OD 与半圆O 交于点E ．若AB ＝8，∠CAB ＝30°，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．43π−√3B ．43π﹣2√3C ．83π−√3D ．83π﹣2√3 46．（2020•呼伦贝尔）若一个扇形的弧长是2πcm ，面积是6πcm 2，则扇形的圆心角是 度．47．（2020•鄂尔多斯）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，∠BCD ＝30°，CD ＝2√3，则阴影部分面积S 阴影＝ ．48．（2020•福建）一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为 ．（结果保留π）一十三．圆锥的计算（共1小题）49．（2020•广东）如图，从一块半径为1m 的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC ，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为 m ．一十四．圆的综合题（共1小题）50．（2020•呼和浩特）某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现著名的黄金分割比√5−12≈0.618．如图，圆内接正五边形ABCDE ，圆心为O ，OA 与BE 交于点H ，AC 、AD 与BE 分别交于点M 、N ．根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究．（其它可同理得出）（1）求证：△ABM 是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出△BAN 的形状；（2）求证：BB BB =BB BB ，且其比值k =√5−12；（3）由对称性知AO ⊥BE ，由（1）（2）可知BB BB 也是一个黄金分割数，据此求sin18°的值．2020年全国中考数学试题分类（11）——圆参考答案与试题解析一．圆心角、弧、弦的关系（共1小题）1．【解答】解：如图，连接OC，∵AO∥DC，∴∠ODC＝∠AOD＝68°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD＝68°，∴∠COD＝44°，∴∠AOC＝112°，∴∠B=12∠AOC＝56°．故选：C．二．圆周角定理（共9小题）2．【解答】解：根据圆周角定理得：∠AOB＝2∠ACB，∵∠ACB＝45°，∴∠AOB＝90°，∵AB＝2√2，OA＝OB，∴2OA2＝AB2，∴OA＝OB＝2，故选：B．3．【解答】解：在优弧AB上任意找一点D，连接AD，BD．∵∠D＝180°﹣∠ACB＝50°，∴∠AOB＝2∠D＝100°，故选：A．4．【解答】解：连接OD、OE，∵OC＝OA，∴△OAC是等腰三角形，∵点D为弦AC的中点，∴∠DOC＝40°，∠BOC＝100°，设∠BOE ＝x ，则∠COE ＝100°﹣x ，∠DOE ＝100°﹣x +40°， ∵OC ＝OE ，∠COE ＝100°﹣x ，∴∠OEC ＝∠OCE ＝40°+12x ，∵OD ＜OE ，∠DOE ＝100°﹣x +40°＝140°﹣x ，∴∠OED ＜20°+12x ， ∴∠CED ＝∠OEC ﹣∠OED ＞（40°+12x ）﹣（20°+12x ）＝20°，∵∠CED ＜∠ABC ＝40°，∴20°＜∠CED ＜40°故选：C ．5．【解答】解：∵BC ∥OA ，∴∠ACB ＝∠A ＝25°，∠B ＝∠AOB ＝2∠ACB ＝50°，∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BCD ＝90°，∴∠D ＝90°﹣∠B ＝90°﹣50°＝40°，故选：C ．6．【解答】解：∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠BAC ＝20°，∴∠ABC ＝90°﹣20°＝70°，∴∠ADC ＝∠ABC ＝70°，故选：C ．7．【解答】解：连接AC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠ABC ＝38°，∴∠BAC ＝90°﹣∠ABC ＝52°，∴∠BDC ＝∠BAC ＝52°．故选：B ．8．【解答】解：连接BC ，如图，∵B （﹣4，0），C （0，3），∴OB ＝4，OC ＝3，∴BC =√32+42=5，∴sin ∠OBC =BB BB =35， ∵∠ODC ＝∠OBC ，∴sin ∠CDO ＝sin ∠OBC =35．故选：A ．9．【解答】解：∵BC ＝CD ， ∴BB̂=BB ̂， ∵∠ABD 和∠ACD 所对的弧都是BB̂， ∴∠BAC ＝∠DAC ＝35°，∵∠ABD ＝∠ACD ＝45°，∴∠ADB ＝180°﹣∠BAD ﹣∠ABD ＝180°﹣70°﹣45°＝65°． 故选：C ．10．【解答】解：如图，连接AD ．∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°，∵∠1＝∠ADE ，∴∠1+∠2＝90°，∵∠1＝55°，∴∠2＝35°，故答案为35．三．圆内接四边形的性质（共2小题）11．【解答】解：延长BA 到E ，使AE ＝BC ，连接DE ，如图，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD =12∠ABC =12×120°＝60°，∵∠DAC ＝∠DBC ＝60°，∠DCA ＝∠DBA ＝60°，∴△DAC 为等边三角形，∴DA ＝DC ，在△ADE 和△BCD 中，{BB =BB BBBB =BBBB BB =BB ，∴△ADE ≌△BCD （SAS ），∴∠E ＝∠DBC ＝60°，而∠DBA ＝60°，∴△DBE 为等边三角形，∵DH ⊥AB ，∴BH ＝EH ，在Rt △BDH 中，BH =√33DH =√33×√3=1，∴BE ＝2BH ＝2，∴AB +BC ＝2．故选：C ．12．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 内接于圆．∴∠ABC +∠ADC ＝180°，∵∠ABC ＝60°，∴∠ADC ＝120°，∵DB 平分∠ADC ，∴∠ADB ＝∠CDB ＝60°，∴∠ACB ＝∠ADB ＝60°，∠BAC ＝∠CDB ＝60°，∴∠ABC ＝∠BCA ＝∠BAC ，∴△ABC 是等边三角形．（2）过点A 作AM ⊥CD ，垂足为点M ，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为点N ． ∴∠AMD ＝90°，∵∠ADC ＝120°，∴∠ADM ＝60°，∴∠DAM ＝30°，∴DM =12AD ＝1，AM =√BB 2−BB 2=√22−12=√3，∵CD ＝3，∴CM ＝CD +DM ＝1+3＝4，∴S △ACD =12CD •AM =12×3×√3=3√32，Rt △AMC 中，∠AMD ＝90°，∴AC =√BB 2+BB 2=√3+16=√19，∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC =√19，∴BN =√32BC =√572，∴S △ABC =12×√19×√572=19√34， ∴四边形ABCD 的面积=19√34+3√32=25√34， ∵BE ∥CD ，∴∠E +∠ADC ＝180°，∵∠ADC ＝120°，∴∠E ＝60°，∴∠E ＝∠BDC ，∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠EAB ＝∠BCD ，在△EAB 和△DCB 中，{∠B =∠BBBBBBB =BBBB BB =BB，∴△EAB ≌△DCB （AAS ），∴△BDE 的面积＝四边形ABCD 的面积=25√34． 四．点与圆的位置关系（共1小题）13．【解答】解：如图，连接BE ，BD ．由题意BD =√22+42=2√5，∵∠MBN ＝90°，MN ＝4，EM ＝NE ，∴BE =12MN ＝2，∴点E 的运动轨迹是以B 为圆心，2为半径的弧， ∴当点E 落在线段BD 上时，DE 的值最小，∴DE 的最小值为2√5−2．（也可以用DE ≥BD ﹣BE ，即DE ≥2√5−2确定最小值） 故答案为2√5−2．五．三角形的外接圆与外心（共3小题）14．【解答】解：∵AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线， ∴BD ＝CD ，AD ⊥BC ，∵EF 是AC 的垂直平分线，∴点O 是△ABC 外接圆的圆心，∵OA ＝3，∴△ABC 外接圆的面积＝πr 2＝π×32＝9π．故选：D ．15．【解答】解：连接OC ，OA ．∵∠AOC ＝2∠ABC ，∠ABC ＝30°，∴∠AOC ＝60°，∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形，∴OA ＝OC ＝AC ＝6，∴BB ̂的长=60⋅B ⋅6180=2π， 故答案为2π．16．【解答】解：∵每个小方格都是边长为1的正方形， ∴AB ＝2√5，AC =√10，BC =√10，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴△ACB 为等腰直角三角形，∴∠A ＝∠B ＝45°，∴连接OC ，则∠COB ＝90°，∵OB =√5，∴BB̂的长为：90⋅B ×√5180=√52π， 故答案为：√52π． 六．直线与圆的位置关系（共1小题）17．【解答】解：∵直线a ⊥b ，O 为直线b 上一动点， ∴⊙O 与直线a 相切时，切点为H ，∴OH ＝1cm ，当点O 在点H 的左侧，⊙O 与直线a 相切时，如图1所示：OP ＝PH ﹣OH ＝4﹣1＝3（cm ）；当点O 在点H 的右侧，⊙O 与直线a 相切时，如图2所示：OP ＝PH +OH ＝4+1＝5（cm ）；∴⊙O 与直线a 相切，OP 的长为3cm 或5cm ，故答案为：3cm 或5cm ．七．切线的性质（共4小题）18．【解答】解：∵AC 与⊙O 相切于点A ，∴AC ⊥OA ，∴∠OAC ＝90°，∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ．∵∠O ＝130°，∴∠OAB=180°−BB2=25°，∴∠BAC＝∠OAC﹣∠OAB＝90°﹣25°＝65°．故选：B．19．【解答】解：连接OB，如图，∵P A、PB为⊙O的切线，∴PB＝P A＝6，OB⊥PC，OA⊥P A，∴∠CAP＝∠CBO＝90°，在Rt△APC中，PC=√BB2+BB2=√62+82=10，∴BC＝PC﹣PB＝4，设⊙O的半径为r，则OA＝OB＝r，OC＝8﹣r，在Rt△BCO中，42+r2＝（8﹣r）2，解得r＝3，∴OA＝3，OC＝5，在Rt△OP A中，OP=√BB2+BB2=√32+62=3√5，∵CD⊥PO，∴∠CDO＝90°，∵∠COD＝∠POA，∠CDO＝∠P AO，∴△COD∽△POA，∴CD：P A＝OC：OP，即CD：6＝5：3√5，∴CD＝2√5．故答案为2√5．20．【解答】解：①如图1，∵∠AOC＝120°，∴∠CAO＝∠ACO＝30°，∵CD和圆O相切，AD⊥CD，∴∠OCD＝90°，AD∥CO，∴∠ACD＝60°，∠CAD＝30°，∴CD=12AC，∵C为⊙O上异于A，B的点，∴AC＜AB，∴CD≠12r，故①错误；②如图2，过点A作AE⊥OC，垂足为E，若△AOC为正三角形，∠AOC＝∠OAC＝60°，AC＝OC＝OA＝r，∴∠OAE＝30°，∴OE=12AO，AE=√32AO=√32r，∵四边形AECD为矩形，∴CD＝AE=√32r，故②正确；③若等腰三角形AOC的对称轴经过点D，如图3，∴AD＝CD，而∠ADC＝90°，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，又∠OCD＝90°，∴∠ACO＝∠CAO＝45°∴∠DAO＝90°，∴四边形AOCD为矩形，∴CD＝AO＝r，故③正确；④如图4，过点C作CE⊥AO，垂足为E，连接DE，∵OC⊥CD，AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠CAD＝∠ACO，∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠CAD＝∠CAO，∴CD＝CE，在△ADC和△AEC中，∠ADC＝∠AEC＝90°，CD＝CE，AC＝AC，∴△ADC≌△AEC（HL），∴AD＝AE，∴AC垂直平分DE，则点D和点E关于AC对称，即点D一定落在直径上，故④正确．故正确的序号为：②③④，故答案为：②③④．21．【解答】解：（1）证明：连接OC，如图，∵CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD ＝90°，∴∠ACD +∠ACO ＝90°，∵AD ⊥DC ，∴∠ADC ＝90°，∴∠ACD +∠DAC ＝90°，∴∠ACO ＝∠DAC ，∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∴∠DAC ＝∠OAC ，∴AC 是∠DAB 的角平分线；（2）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠D ＝∠ACB ＝90°，∵∠DAC ＝∠BAC ，∴Rt △ADC ∽Rt △ACB ，∴BB BB =BB BB ，∴AC 2＝AD •AB ＝2×3＝6，∴AC =√6．八．切线的判定与性质（共9小题）22．【解答】（1）证明：∵OA ＝OB ，点C 是AB 的中点，∴OC ⊥AB ，∵OC 为⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线；（2）∵△AOB 是等腰直角三角形，点C 是AB 的中点，∴OC ⊥AB ，AB ＝2OC ＝4，∵12OA 2=12BB ⋅BB ， ∴OA =√2×4=2√2．23．【解答】（1）证明：连接OD ，OE ，∵AD 切⊙O 于A 点，AB 是⊙O 的直径，∴∠DAB ＝90°，∵AD ＝DE ，OA ＝OE ，OD ＝OD ，∴△ADO ≌△EDO （SSS ），∴∠OED ＝∠OAD ＝90°，∴CD 是⊙O 的切线；（2）解：过C 作CH ⊥AD 于H ，∵AB 是⊙O 的直径，AD 和BC 分别切⊙O 于A ，B 两点，∴∠DAB ＝∠ABC ＝∠CHA ＝90°，∴四边形ABCH 是矩形，∴CH ＝AB ＝12，AH ＝BC ＝4，∵CD 是⊙O 的切线，∴AD ＝DE ，CE ＝BC ，∴DH ＝AD ﹣BC ＝AD ﹣4，CD ＝AD +4，∵CH 2+DH 2＝CD 2，∴122+（AD ﹣4）2＝（AD +4）2，∴AD ＝9．24．【解答】（1）证明：连接OD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，∵∠EDA＝∠ACD，∴∠ADO+∠ODC＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是半径，∴直线DE是⊙O的切线．（2）解法一：过点A作AF⊥BD于点F，则∠AFB＝∠AFD＝90°，∵AC是直径，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∵在Rt△ACD中，AD＝6，CD＝8，∴AC2＝AD2+CD2＝62+82＝100，∴AC＝10，∵在Rt△ABC中，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∵BBB∠BBB=BB BB，∴BB=BBB45°⋅BB=5√2，∵∠ADB＝∠ACB＝45°，∵在Rt△ADF中，AD＝6，∵BBB∠BBB=BB BB，∴BB=BBB45°⋅BB=3√2，∴BB=BB=3√2，在Rt△ABF中，BB2=BB2−BB2=(5√2)2−(3√2)2=32，∴BB=4√2，∴BB=BB+BB=7√2．解法二：过点B作BH⊥BD交DC延长线于点H．∴∠DBH＝90°，∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∵∠ABD＝90°﹣∠DBC，∠CBH＝90°﹣∠DBC，∴∠ABD＝∠CBH，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠BCH＝180°，∴∠BAD＝∠BCH，∵AB＝CB，∴△ABD≌△CBH（ASA），∴AD ＝CH ，BD ＝BH ，∵AD ＝6，CD ＝8，∴DH ＝CD +CH ＝14，在Rt △BDH 中，∵BD 2＝DH 2﹣BH 2，BD ＝BH ，则BD 2＝98．∴BB =7√2．25．【解答】解：（1）证明：∵G 为BB̂的中点， ∴∠MOG ＝∠MDN ．∵四边形ABCD 是平行四边形．∴AO ∥BE ，∠MDN +∠A ＝180°，∴∠MOG +∠A ＝180°，∴AB ∥OE ，∴四边形ABEO 是平行四边形．∵BO 平分∠ABE ，∴∠ABO ＝∠OBE ，又∵∠OBE ＝∠AOB ，∴∠ABO ＝∠AOB ，∴AB ＝AO ，∴四边形ABEO 为菱形；（2）如图，过点O 作OP ⊥BA ，交BA 的延长线于点P ，过点O 作OQ ⊥BC 于点Q ，设AE 交OB 于点F ，则∠P AO ＝∠ABC ，设AB ＝AO ＝OE ＝x ，则∵cos ∠ABC =13，∴cos ∠P AO =13，∴BB BB =13，∴P A =13x ， ∴OP ＝OQ =2√23x当AE 与⊙O 相切时，由菱形的对角线互相垂直，可知F 为切点，∴在Rt △OBQ 中，由勾股定理得：(43B )2+(2√23B )2=82， 解得：x ＝2√6（舍负）．∴AB 的长为2√6．26．【解答】（1）证明：连接OE ，如图1所示：∵CE 平分∠ACB ，∴∠ACE ＝∠BCE ，又∵OE ＝OC ，∴∠ACE ＝∠OEC ，∴∠BCE ＝∠OEC ，∴OE ∥BC ，∴∠AEO ＝∠B ，又∵∠B ＝90°，∴∠AEO ＝90°，即OE ⊥AE ，∵OE 为⊙O 的半径，∴AE 是⊙O 的切线；（2）解：连接DE ，如图2所示：∵CD 是⊙O 的直径，∴∠DEC ＝90°，∴∠DEC ＝∠B ，又∵∠DCE ＝∠ECB ，∴△DCE ∽△ECB ，∴BB BB =BB BB ，∵∠A ＝30°，∠B ＝90°，∴∠ACB ＝60°，∴∠DCE =12∠ACB =12×60°＝30°，∴BB BB =cos ∠DCE ＝cos30°=√32，∴BB BB =√32．27．【解答】（1）证明：连接OB ，连接OM ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABC ＝∠D ＝60°，∵AC ⊥BC ，∴∠ACB ＝90°，∵BE ＝AB ，∴∠E ＝∠BAE ，∵∠ABC ＝∠E +∠BAE ＝60°，∴∠E ＝∠BAE ＝30°，∵OA ＝OB ，∴∠ABO ＝∠OAB ＝30°，∴∠OBC ＝30°+60°＝90°，∴OB ⊥CE ，∴EC 是⊙O 的切线；（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ＝AD ＝2√3，过O 作OH ⊥AM 于H ，则四边形OBCH 是矩形，∴OH ＝BC ＝2√3，∴OA =BB BBB60°=4，∠AOM ＝2∠AOH ＝60°，∴BB ̂的长度=60⋅B ×4180=4B 3． 28．【解答】（1）证明：作OE ⊥CD 于E ，如图1所示：则∠OEC ＝90°，∵AD ∥BC ，∠DAB ＝90°，∴∠OBC ＝180°﹣∠DAB ＝90°，∴∠OEC ＝∠OBC ，∵CO 平分∠BCD ，∴∠OCE ＝∠OCB ，在△OCE 和△OCB 中，{∠BBB =∠BBBBBBB =BBBB BB =BB，∴△OCE ≌△OCB （AAS ），∴OE ＝OB ，又∵OE ⊥CD ，∴直线CD 与⊙O 相切；（2）解：作DF ⊥BC 于F ，连接BE ，如图2所示：则四边形ABFD 是矩形，∴AB ＝DF ，BF ＝AD ＝1，∴CF ＝BC ﹣BF ＝2﹣1＝1，∵AD ∥BC ，∠DAB ＝90°，∴AD ⊥AB ，BC ⊥AB ，∴AD 、BC 是⊙O 的切线，由（1）得：CD 是⊙O 的切线，∴ED ＝AD ＝1，EC ＝BC ＝2，∴CD ＝ED +EC ＝3，∴DF =√BB 2−BB 2=√32−12=2√2，∴OB=√2，∵CO平分∠BCD，∴CO⊥BE，∴∠BCH+∠CBH＝∠CBH+∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠BCH，∵∠APE＝∠ABE，∴∠APE＝∠BCH，∴tan∠APE＝tan∠BCH=BBBB=√22．29．【解答】（1）证明：连接OC，如图①，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵OC＝OB，∴∠B＝∠OCB，∵∠BCM＝∠A，∴∠OCB+∠BCM＝90°，即OC⊥MN，∴MN是⊙O的切线；（2）解：如图②，∵AB是⊙O的直径，⊙O的半径为1，∴AB＝2，∵cos∠BAC=BBBB=BBBB=34，即BB2=34，∴BB=3 2，∵∠AFE＝∠ACE，∠GFH＝∠AFE，∴∠GFH＝∠ACE，∵DH⊥MN，∴∠GFH+∠AGC＝90°，∵∠ACE+∠ECD＝90°，∴∠ECD＝∠AGC，又∵∠DEC＝∠CAG，∴△EDC∽△ACG，∴BB BB =BB BB ，∴BB ⋅BB =BB ⋅BB =32×53=52．30．【解答】解：（1）连接BF ，OC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AFB ＝90°，即BF ⊥AD ，∵CE ⊥AD ，∴BF ∥CE ，连接OC ，∵点C 为劣弧BB ̂的中点，∴OC ⊥BF ，∵BF ∥CE ，∴OC ⊥CE ，∵OC 是⊙O 的半径，∴CE 是⊙O 的切线；（2）连接OF ，CF ，∵OA ＝OC ，∠BAC ＝30°，∴∠BOC ＝60°，∵点C 为劣弧BB ̂的中点，∴BB ̂=BB ̂，∴∠FOC ＝∠BOC ＝60°，∵OF ＝OC ，∴∠OCF ＝∠COB ，∴CF ∥AB ，∴S △ACF ＝S △COF ，∴阴影部分的面积＝S 扇形COF ，∵AB ＝4，∴FO ＝OC ＝OB ＝2，∴S 扇形FOC =60⋅B ×22360=23B ， 即阴影部分的面积为：23B ． 九．三角形的内切圆与内心（共1小题）31．【解答】解：如图，∵△ABC 是等边三角形，∴△ABC 的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O ，设OE ＝r ，AO ＝R ，AD ＝h ，∴h ＝R +r ，故A 正确；∵AD ⊥BC ，∴∠DAC =12∠BAC =12×60°＝30°，在Rt △AOE 中，∴R ＝2r ，故B 正确；∵OD ＝OE ＝r ，∵AB ＝AC ＝BC ＝a ，∴AE =12AC =12a ，∴（12a ）2+r 2＝（2r ）2，（12a ）2+（12R ）2＝R 2， ∴r =√3B 6，R =√33a ，故C 错误，D 正确；故选：C ．一十．正多边形和圆（共7小题）32．【解答】解：∵正六边形的内角是120度，阴影部分的面积为24π，设正六边形的边长为r ，∴120B ×B 2360×2＝24π，解得r ＝6．则正六边形的边长为6．33．【解答】解：由题意知点A 、B 、C 、D 为正五边形任意四个顶点，且O 为正五边形中心， ∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD =360°5=72°，∴∠AOD ＝360°﹣3∠AOB ＝144°，又∵OA ＝OD ，∴∠ADO =180°−BBBB 2=180°−144°2=18°， 故答案为：18°．34．【解答】解：如图，∵四边形CDEF为正方形，∴∠D＝90°，CD＝DE，∴CE为直径，∠ECD＝45°，由题意得AB＝2.5，∴CE＝2.5﹣0.25×2＝2，∴CD＝CE⋅BBB∠BBB=2×√22=√2，∴正方形CDEF周长为4√2尺．故答案为：4√2．35．【解答】解：连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T∵ABCDEF是正六边形，∴CB∥EF，AB＝AF，∠BAF＝120°，∴S△PEF＝S△BEF，∵AT⊥BF，AB＝AF，∴BT＝FT，∠BAT＝∠F AT＝60°，∴BT＝FT＝AB•sin60°=√3，∴BF＝2BT＝2√3，∵∠AFE＝120°，∠AFB＝∠ABF＝30°，∴∠BFE＝90°，∴S△PEF＝S△BEF=12•EF•BF=12×2×2√3=2√3，故答案为2√3．36．【解答】解：连接OC、OD，如图所示：∵ABCDE是正五边形，∴∠COD=360°5=72°，∴∠CPD=12∠COD＝36°，∵DG⊥PC，∴∠PGD＝90°，∴∠PDG＝90°﹣∠CPD＝90°﹣36°＝54°，故答案为：54．37．【解答】解：BB 1̂的长=60⋅B ⋅1180=B 3，B 1B 1̂的长=60⋅B ⋅2180=2B 3， B 1B 1̂的长=60⋅B ⋅3180=3B 3，B 1B 1̂的长=60⋅B ⋅4180=4B 3，B 1B 1̂的长=60⋅B ⋅5180=5B 3， B 1B 1̂的长=60⋅B ⋅6180=6B 3，∴曲线F A 1B 1C 1D 1E 1F 1的长度=B 3+2B 3+⋯+6B 3=21B 3=7π， 故答案为7π．38．【解答】（1）证明：∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ＝F A ，∠A ＝∠ABC ＝∠C ＝∠D ＝∠DEF ＝∠F ，∵点P ，Q 同时分别从A ，D 两点出发，以1cm /s 速度沿AF ，DC 向终点F ，C 运动， ∴AP ＝DQ ＝t ，PF ＝QC ＝6﹣t ，在△ABP 和△DEQ 中，{BB =BBBB =BB BB =BB ，∴△ABP ≌△DEQ （SAS ），∴BP ＝EQ ，同理可证PE ＝QB ，∴四边形PEQB 为平行四边形．（2）解：连接BE 、OA ，则∠AOB =360°6=60°，∵OA ＝OB ，∴△AOB 是等边三角形，∴AB ＝OA ＝6，BE ＝2OB ＝12，当t ＝0时，点P 与A 重合，Q 与D 重合，四边形PBQE 即为四边形ABDE ，如图1所示： 则∠EAF ＝∠AEF ＝30°，∴∠BAE ＝120°﹣30°＝90°，∴此时四边形ABDE 是矩形，即四边形PBQE 是矩形．当t ＝6时，点P 与F 重合，Q 与C 重合，四边形PBQE 即为四边形FBCE ，如图2所示： 同法可知∠BFE ＝90°，此时四边形PBQE 是矩形．综上所述，t ＝0s 或6s 时，四边形PBQE 是矩形，∴AE =√122−62=6√3，∴矩形PBQE 的面积＝矩形ABDE 的面积＝AB ×AE ＝6×6√3=36√3；∵正六边形ABCDEF 的面积＝6△AOB 的面积＝6×14矩形ABDE 的面积＝6×14×36√3=54√3， ∴矩形PBQE 的面积与正六边形ABCDEF 的面积之比=23．一十一．弧长的计算（共4小题）39．【解答】解：连接OD 、BD ，∵在△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，∴∠A ＝∠C ＝45°，∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°，∵OA ＝OB ，∴OD ⊥AB ，∴∠AOD ＝90°，∴∠AOD ＝∠ABC ，∴OD ∥FC ，∴△DOE ∽△FBE ，∴BB BB =BB BB ，∵OB ＝OD ，OE ：EB ＝1：√3，∴tan ∠BOF =BB BB =√3， ∴∠BOF ＝60°，∴BF ＝2√3，∴OB ＝2，∴BB̂的长=60B ×2180=23π， 故选：C ．40．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝2，∠B ＝90°，∴AE ＝AD ＝2，∵AB =√3，∴cos ∠BAE =BB BB =√32， ∴∠BAE ＝30°，∴∠EAD ＝60°，∴BB̂的长=60⋅B ×2180=2B 3， 故选：C ．41．【解答】解：由图可知，曲线DA 1B 1C 1D 1A 2…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，AD ＝AA 1＝1，BA 1＝BB 1＝2，……，AD n ﹣1＝AA n ＝4（n ﹣1）+1，BA n ＝BB n ＝4（n ﹣1）+2，故B 2020B 2020̂的半径为BA 2020＝BB 2020＝4（2020﹣1）+2＝8078，B 2020B 2020̂的弧长=90180×8078B =4039B ． 故答案为：4039π．42．【解答】解：如图，作点D 关于OB 的对称点D ′，连接D ′C 交OB 于点E ′，连接E ′D 、OD ′， 此时E ′C +E ′D 最小，即：E ′C +E ′D ＝CD ′，由题意得，∠COD ＝∠DOB ＝∠BOD ′＝30°，∴∠COD ′＝90°，∴CD ′=√BB 2+BB′2=√22+22=2√2，BB ̂的长l =30B ×2180=B 3， ∴阴影部分周长的最小值为2√2+B 3=6√2+B 3． 故答案为：6√2+B 3．一十二．扇形面积的计算（共6小题）43．【解答】解：如图，连接CD ．∵OC ＝OD ，∠O ＝60°，∴△COD 是等边三角形，∴OC ＝OD ＝CD ＝4cm ，∴S 阴＝S 扇形OAB ﹣S 扇形OCD =60⋅B ⋅162360−60⋅B ⋅42360=40π（cm 2）， 故选：B ．44．【解答】 解：∵AB 是⊙O 的直径，CD 为⊙O 的弦，AB ⊥CD 于点E ， ∴CE ＝DE =12BB =3√3． 设⊙O 的半径为r ，在直角△OED 中，OD 2＝OE 2+DE 2，即B 2=(9−B )2+(3√3)2， 解得，r ＝6，∴OE ＝3，∴cos ∠BOD =BB BB =36=12，∴∠EOD ＝60°，∴B 扇形BBB =16B ×36=6B ，B BB △BBB =12×3×3√3=92√3，∴B 阴影=6B −92√3，故选：A ．45．【解答】解：∵OD ⊥AC ， ∴∠ADO ＝90°，BB̂=BB ̂，AD ＝CD ， ∵∠CAB ＝30°，OA ＝4，∴OD =12OA ＝2，AD =√32OA ＝2√3， ∴图中阴影部分的面积＝S 扇形AOE ﹣S △ADO =60⋅B ×42360−12×2√3×2=8B 3−2√3，故选：D ．46．【解答】解：设圆心角都度数为n 度，扇形的面积=12BB =6π，解得：r ＝6，又∵B =BB ×6180=2π， ∴n ＝60．故答案为：60．47．【解答】解：连接OC ．∵AB ⊥CD ，∴BB̂=BB ̂，CE ＝DE =√3， ∴∠COB ＝∠BOD ，∵∠BOD ＝2∠BCD ＝60°，∴∠COB ＝60°，∵OC ＝OB ＝OD ，∴△OBC ，△OBD 都是等边三角形，∴OC ＝BC ＝BD ＝OD ，∴四边形OCBD 是菱形，∴OC ∥BD ，∴S △BDC ＝S △BOD ，∴S 阴＝S 扇形OBD ，∵OD =BB BBB60°=2，∴S 阴=60⋅B ⋅22360=2B 3，故答案为2B 3． 48．【解答】解：S 扇形=90⋅B ⋅42360=4π， 故答案为：4π．一十三．圆锥的计算（共1小题）49．【解答】解：如图，连接OB ，OC ，OA ，∵OB ＝OA ，OA ＝OC ，AB ＝AC ，∴△ABO ≌△ACO （SSS ），∴∠BAO ＝∠CAO ＝60°，∵AO ＝BO ，∴△ABO 是等边三角形，∴AB ＝AO ＝1，由题意得，阴影扇形的半径为1m ，圆心角的度数为120°， 则扇形的弧长为：120B ×1180， 而扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长，因此有： 2πr =120B ×1180， 解得，r =13，故答案为：13． 一十四．圆的综合题（共1小题）50．【解答】解：（1）连接圆心O 与正五边形各顶点， 在正五边形中，∠AOE ＝360°÷5＝72°，∴∠ABE =12∠AOE ＝36°，同理∠BAC =12×72°＝36°，∴AM ＝BM ，∴△ABM 是等腰三角形且底角等于36°，∵∠BOD ＝∠BOC +∠COD ＝72°+72°＝144°，∴∠BAD =12∠BOD ＝72°， ∴∠BNA ＝180°﹣∠BAD ﹣∠ABE ＝72°，∴AB ＝NB ，即△ABN 为等腰三角形；（2）∵∠ABM ＝∠ABE ，∠AEB =12∠AOB ＝36°＝∠BAM ， ∴△BAM ∽△BEA ，∴BB BB =BB BB ，而AB ＝BN ， ∴BB BB =BB BB ，设BM ＝y ，AB ＝x ，则AM ＝AN ＝y ，AB ＝AE ＝BN ＝x ，∵∠AMN ＝∠MAB +∠MBA ＝72°＝∠BAN ，∠ANM ＝∠ANB ， ∴△AMN ∽△BAN ，∴BB BB =BB BB ，即B B =B −B B ，则y 2＝x 2﹣xy ，两边同时除以x 2，得：(B B )2=1−B B ，设B B=t ， 则t 2+t ﹣1＝0，解得：t =√5−12或−1−√52（舍）， ∴BB BB =BB BB =B B =√5−12； （3）∵∠MAN ＝36°，根据对称性可知：∠MAH ＝∠NAH =12∠MAN ＝18°， 而AO ⊥BE ，∴sin18°＝sin ∠MAH =BB BB =12BB BB =12(B −B )B =B −B 2B =12×B B −12=12×√5−1−12=√5−14．。
弧、弦、圆心角-九年级数学人教版(上)(原卷版+解析版)
第二十四章圆24.1.3弧、弦、圆心角一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，已知AB是O的直径，D，C是劣弧EB的三等分点，∠BOC=40°，那么∠AOE=A．40°B．60°C．80°D．120°2．将一个圆分割成四个大小相同的扇形，则每个扇形的圆心角是（）度．A．45 B．60C．90 D．1203．已知AB与A′B′分别是O与O′的两条弦,AB=A′B′,那么∠AOB与∠A′O′B′的大小关系是A．∠AOB=∠A′O′B′ B．∠AOB>∠A′O′B′C．∠AOB<∠A′O′B′ D．不能确定4．下列图形中表示的角是圆心角的是A．A B．BC．C D．D5．如果两个圆心角相等，那么A．这两个圆心角所对的弦相等B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D．以上说法都不对6．在同圆中，下列四个命题:(1)圆心角是顶点在圆心的角；(2)两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；(3)两条弦相等，它们所对的弧也相等；(4)等弧所对的圆心角相等.其中真命题有 A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个7．如图，已知A 、B 、C 、D 是⊙O 上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有 ①AB CD =；②BD AC =；③AC ＝BD ；④∠BOD ＝∠AO C ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题：请将答案填在题中横线上．8．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠AOC =40°，D 是弧BC 的中点，则∠ACD = ________．9．在半径为R 的⊙O 中，有一条弦等于半径，则弦所对的圆心角为 ________． 10．弦AB 将⊙O 分成度数之比为1：5的两段弧，则∠AOB = _________°. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．如图,AB,CD,EF 都是O 的直径,且∠1=∠2=∠3,求证:AC =EB =DF .第二十四章圆24.1.3弧、弦、圆心角一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，已知AB是O的直径，D，C是劣弧EB的三等分点，∠BOC=40°，那么∠AOE=A．40°B．60°C．80°D．120°【答案】B2．将一个圆分割成四个大小相同的扇形，则每个扇形的圆心角是（）度．A．45 B．60C．90 D．120【答案】C【解析】∵圆心处构成一个周角,∴圆心角为360°,∵将圆分割成四个大小相同的扇形,∴每个扇形的圆心角是90°,故选C.【名师点睛】本题考查了扇形和圆心角的定义，解题的关键是掌握一个圆的圆心角为360°.3．已知AB与A′B′分别是O与O′的两条弦,AB=A′B′,那么∠AOB与∠A′O′B′的大小关系是A．∠AOB=∠A′O′B′ B．∠AOB>∠A′O′B′C．∠AOB<∠A′O′B′ D．不能确定【答案】D【解析】由弦相等推弦所对的圆心角相等,必须保证在同圆或等圆中.此题没有限制,所以不能确定∠AOB 和∠A′O′B′的大小关系.4．下列图形中表示的角是圆心角的是A ．AB ．BC ．CD ．D【答案】A【解析】根据圆心角的定义:顶点在圆心的角是圆心角可知,B,C,D 项图形中的顶点都不在圆心上,所以它们都不是圆心角.故选A. 5．如果两个圆心角相等，那么 A ．这两个圆心角所对的弦相等B ．这两个圆心角所对的弧相等C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D ．以上说法都不对 【答案】D6．在同圆中，下列四个命题:(1)圆心角是顶点在圆心的角；(2)两个圆心角相等， 它们所对的弦也相等；(3)两条弦相等，它们所对的弧也相等；(4)等弧所对的圆心角相等.其中真命题有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【解析】圆心角是顶点在圆心的角，所以①正确，为真命题；在同圆中，两个圆心角相等，它们所对的弦也相等，所以②正确，为真命题；在同圆中，两条弦相等，所对的劣弧也相等，所以③错误，为假命题；等弧所对的圆心角相等，所以④正确，为真命题． 故选B ．7．如图，已知A 、B 、C 、D 是⊙O 上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有 ①AB CD =；②BD AC =；③AC ＝BD ；④∠BOD ＝∠AO C ．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D二、填空题：请将答案填在题中横线上．8．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC=40°，D是弧BC的中点，则∠ACD= ________．【答案】125°【解析】连接OD，∵AB是⊙O的直径，∠AOC=40°，∴∠BOC=140°，∠ACO=（180°-40°）÷2=70°，∵D是弧BC的中点，∴∠COD=70°，∴∠OCD=（180°-70°）÷2=55°，∴∠ACD=∠ACO+∠OCD=70°+55°=125°，故答案为125°．9．在半径为R的⊙O中，有一条弦等于半径，则弦所对的圆心角为 ________．【答案】60°【解析】如图，AB=OA=OB，所以△ABC为等边三角形，所以∠AOB=60°．故答案为60°．10．弦AB将⊙O分成度数之比为1：5的两段弧，则∠AOB= _________°.【答案】60三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．如图,AB,CD,EF都是O的直径,且∠1=∠2=∠3,求证:AC=EB=DF.【解析】在O中,∵∠1=∠2=∠3,又∵AB,CD,EF都是O的直径,∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.∴DF=AC=EB,∴AC=EB=DF.。
弧弦圆心角练习题
弧、弦、圆心角的关系同步练习一、填空题:1.如图1,等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上,D是»AC上任一点(不与A、C重合),则∠ADC的度数是________.DCBAO(1) (2) (3)2.如图2,四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上,且AD∥BC,对角线AC与BC相交于点E,那么图中有_________对全等三角形;________对相似比不等于1的相似三角形.3.已知,如图3,∠BAC的对角∠BAD=100°,则∠BOC=_______度.4.如图4,A、B、C为⊙O上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度.BAA(4) (5) (6)5.如图5,AB是⊙O的直径,»»BC BD,∠A=25°,则∠BOD的度数为________.6.如图6,AB是半圆O的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______.二、选择题:7.如图7,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC的度数是( )A.50°B.100°C.130°D.200°D DCBA(7) (8) (9) (10)8.如图8,A、B、C、D四个点在同一个圆上,四边形ABCD 的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有( )A.2对B.3对C.4对D.5对9.如图9,D 是»AC 的中点,则图中与∠ABD 相等的角的个数是( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 10.如图10,∠AOB=100°,则∠A+∠B 等于( ) A.100° B.80° C.50° D.40°11.在半径为R 的圆中有一条长度为R 的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( ) A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°12.如图,A 、B 、C 三点都在⊙O 上,点D 是AB 延长线上一点,∠AOC=140°, ∠CBD 的度数是( ) A.40° B.50° C.70° D.110°1．同圆中两弦长分别为x 1和x 2它们所对的圆心角相等，那么（ ）A ．x 1 ＞x 2B ．x 1 ＜x 2 C. x 1 ＝x 2 D ．不能确定2．下列说法正确的有（ ）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．在⊙O 中同弦所对的圆周角（ ）A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．以上都不对4．如图所示，如果的⊙O 半径为2弦AB= AB 的距离OE 为（ ）A． 1 B ． C ．12D 5．如图所示，⊙O 的半径为5，弧AB 所对的圆心角为120°，则弦AB 的长为（ ） A．3B ．2C ．8 D ． 6．如图所示，正方形ABCD 内接于⊙O 中，P 是弧AD 上任意一点，则∠ABP+∠DCP 等于（ ） A ．90° B 。
初三数学圆心角试题答案及解析
初三数学圆心角试题答案及解析1.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AC弧的中点，若∠BAC=30°，则∠DCA= ．【答案】30°【解析】根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACB=90°，从而求得∠B的度数，再根据圆内接四边形的对角互补，得到∠D的度数，根据等弧对等弦及等边对等角即可得到则∠DAC=∠DCA，根据内角和公式即可求得其度数．解：连接BC．∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°；∵∠BAC=30°，∴∠B=60°，∴∠D=120°；∵D是弧AC的中点，∴DA=DC，∴∠DCA=∠DAC=（180°﹣120°）÷2=30°．点评：此题综合运用了圆周角定理的推论、圆内接四边形的性质、等弧对等弦以及等边对等角的知识．2.已知半径为5的⊙O中，弦AB=5，弦AC=5，则∠BAC的度数是．【答案】15°【解析】易得∠OAC，∠OAB度数，那么∠BAC的度数应为所求的角的和或差．解：如图，连接OC，OA，OB．∵OC=OA=AC=5，∴△OAC是等边三角形，∴CAO=60°，∵OA=OB=5，AB=5，∴OA2+OB2=50=AB2，∴△OAB是等腰直角三角形，∠OAB=45°，点C的位置有两种情况，如左图时，∠BAC=∠CAO+∠OAB=60°+45°=105°；如右图时，∠BAC=∠CAO﹣∠OAB=60°﹣45°=15°．点评：本题利用了等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理求解．3.圆被一弦分成的两条弧的比是1：2，这弦所对的圆周角的度数是．【答案】60°或120°【解析】做题时首先知道劣弧所对的圆心角是所求．解：∵圆被一弦分成的两条弧的比是1：2，∴劣弧对应的圆心角为120°，优弧所对的圆心角为240°．∴圆周角分别为60°或120°点评：本题主要考查圆心角与弧之间的关系，不是很难．4.一条弦把圆分成1：5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是．【答案】30°或150°【解析】根据题意画出图形，得出两种情况，求出两段弧的度数，即可求出答案．解：连接OA、OB，∵一条弦AB把圆分成1：5两部分，如图，∴弧AC′B的度数是×360°=60°，弧ACB的度数是360°﹣60°=300°，∴∠AOB=60°，∴∠ACB=∠AOB=30°，∴∠AC′B=180°﹣30°=150°，故答案为：30°或150°．点评：本题考查了圆周角定理的应用，注意：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．5.直径12cm的圆中，弦AB把圆分成1：5两部分，C为圆上一点，∠BCA= 度．【答案】30°或150°【解析】由题意知，弦AB把圆分成了一条优弧和一条劣弧，点C可能在优弧上，也可能在劣弧上，因此应分两种情况进行讨论．解：∵弦AB把圆分成1：5两部分，∴劣弧AB的度数为，故优弧ACB的度数为300°，∴∠ACB=30°，∠ADB=150°．故应填30°或150°．点评：本题主要是渗透分类思想，培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形﹣﹣分析图形﹣﹣数形结合﹣﹣解决问题．6.如图，⊙O中=2，∠BOC=74°，则∠OAB= 度．【答案】71.5°【解析】根据已知可求得∠AOB的度数，由已知可得到△OAB是等腰三角形，根据三角形内角和定理即可求解．解：∵⊙O中=2，∠BOC=74°∴∠AOB=∠BOC=37°∵OB=OA∴∠OAB=∠ABO==71.5°．点评：本题利用了三角形内角和定理，等边对等角，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．7.如图，AB，AC，BC是⊙O的三条弦，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，且OD=OE=OF，则弧AC=弧 =弧，∠ABC= °，△ABC是三角形．【答案】弧AC=弧AB=弧BC，∠ABC=60°，等边三角形【解析】由垂径定理得BE=EC，BD=AD；若连接OB、OC、OA，则可证得△OCE≌△OBE≌△OBD，再得△ABC是等边三角形，然后运用圆周角定理可解．解：连接OB，OC，OA∵OD⊥AB，OE⊥BC，由垂径定理知，BE=EC，BD=AD，∵OB=OC，∴△OCE≌△OBE≌△OBD，∴BE=EC=BD=AD，同理，AD=AF=CF=CE，∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，弧AC=弧AB=弧BC．点评：本题利用了垂径定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理求解．8.半径为R的圆中，有一弦恰好等于半径，则弦所对的圆心角为．【答案】60°【解析】由于等于半径，得到等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解．解：如图，AB=OA=OB，所以△ABC为等边三角形，所以∠AOB=60°．故答案为60°．点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．9.如图所示，在⊙O中，点C是的中点，∠A=60°，则∠BOC为度．【答案】30°【解析】由于∠A=60°，易证得△AOB是等边三角形，得∠AOB=60°，进而可由圆心角、弧的关系求得∠BOC的度数．解：△AOB中，OA=OB，∠A=60°，∴△AOB是等边三角形，则∠AOB=60°；∵点C是的中点，∴∠BOC=∠AOB=30°．点评：此题主要考查的是圆心角、弧的关系，即：等弧对等角．10.如图，在⊙O中，与相等，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E，且OD=OE，那么△ABC是什么三角形，为什么？【答案】等边三角形【解析】根据圆心角、弧、弦的关系由=得到AB=BC，再由OD⊥BC，OE⊥AC，根据垂径定理和垂直的定义得到CE=AC，CD=BC，∠ODC=∠OEC=90°利用三角形全等的判定方法可得到Rt△ODC≌Rt△OEC（HL），则CD=CE，于是有BC=AC，则AB=AC=CB，即可得到△ABC为等边三角形．解：△ABC为等边三角形．理由如下：连OC，∵=，∴AB=BC，∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴CE=AC，CD=BC，∠ODC=∠OEC=90°∵在Rt△ODC和Rt△OEC中，，∴Rt△ODC≌Rt△OEC（HL）∴CD=CE，∴BC=AC，∴AB=AC=CB，∴△ABC为等边三角形．点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么其余各组量也分别相等．也考查了垂径定理和等边三角形的判定．11.已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB=CD．求证：∠OBA=∠ODC．【答案】见解析【解析】过点O分别作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F．先由圆心角、弧、弦的关系，得出OE=OF，再根据HL证明Rt△BOE≌Rt△DOF，进而得出∠OBA=∠ODC．证明：过点O分别作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F．∵AB=CD，∴OE=OF．又∵BO=DO，∴Rt△BOE≌Rt△DOF（HL），∴∠OBA=∠ODC．点评：本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，本题还可以运用全等证明．12.如图，在⊙O中，AD=BC．（1）比较与的长度，并证明你的结论；（2）求证：DE=BE．【答案】见解析【解析】（1）由AD=BC可得出=，进而可得到=；（2）由（1）的结论可得出AB=CD，根据全等三角形的判定定理可得出△ADE≌△CBE，故DE=BE，进而可求出答案．证明：（1）∵AD=BC，∴=，∴=；（2）∵=，∴AB=CD，在△ADE与△CBE中，∵∠DAB=∠BCD，AD=BC，∠ADC=∠ABC，∴△ADE≌△CBE，∴DE=BE，∵AB=CD，∴DE=BE．点评：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及全等三角形的判定与性质、圆周角定理，涉及面较广，难易适中．13.下列命题中为真命题的是（）A．有一个角是40°的两个等腰三角形相似B．三点一定可以确定一个圆C．圆心角的度数相等，则圆心角所对的弧相等D．三角形的内心到三角形三边距离相等【答案】D【解析】A、不知道40°的角是底角还是顶角，无法判断相似；B、三点共线不能确定圆；C、要有在同圆或等圆中的条件；D、根据三角形内心的性质进行判断．解：当一个等腰三角形的顶角等于40°而另一个等腰三角形的底角是40°，则这两个三角形不相似，所以A错；只有不共线的三点才确定一个圆，所以B错；只有在同圆或等圆中，圆心角的度数相等，则圆心角所对的弧相等，所以C错；内心就是三角形角平分线的交点，则它到三角形三边的距离相等，所以D对．故选D．点评：有两个角对应相等的三角形相似．记住三点不共线确定一个圆；只有在同圆或等圆中，圆心角的度数相等，则圆心角所对的弧相等．14.下列说法正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．三点确定一个圆C．相等的圆心角所对弦相等D．直径为圆中最长的弦【答案】D【解析】画出反例图形即可判断A、C；根据当三点在同一直线上时，过三点不能做一个圆，即可判断B，根据弦和直径的定义即可判断D．解：A、如图，AB为弦时，直径CD和AB不垂直，故本选项错误；B、不在同一条直线上三点确定一个圆，当三点在同一直线上时，过三点不能做一个圆，故本选项错误；C、如图，∠AOB=∠COD，但弦AB≠弦CD，故本选项错误；D、直径是圆中最长的弦，故本选项错误．故选D．点评：本题考查了确定圆的条件，圆的认识，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点的运用，主要考查学生的辨析能力．15.若一弦长等于圆的半径，则这弦所对的弧的度数是（）A．120°B．60°C．120°或240°D．60°或300°【答案】D【解析】根据题意画出图形，判断出△OAB是等边三角形，再根据在同圆或等圆中一条弦所对的圆心角的度数等于所对弧的度数即可解答．解：如图，AB是⊙O的一条弦，OA=OB是⊙O的半径，∵AB=OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴=60°，=360°﹣60°=300°．故选D．点评：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，解答此题的关键是熟知在一个圆中一条弦所对的弧有两条，不要漏解．16.在半径为2cm的⊙O中，弦长为2cm的弦所对的圆心角为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】B【解析】如图，先利用垂径定理得出AD=1，再解直角三角形可得∠AOD=30°，再得∠AOB=60°．解：如图，AB=2，连接OA，作OD⊥AB，垂足为D．则由垂径定理知，点D是AB的中点，AD=1，而AO=2，∴∠AOD=30°（30°所对的直角边是斜边的一半），∴∠AOB=60°．故选B．点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系．解答该题时，利用了垂径定理、30°所对的直角边是斜边的一半．17.如图，A是半圆上的一个二等分点，B是半圆上的一个六等分点，P是直径MN上的一个动点，⊙O半径r=1，则PA+PB的最小值是（）A．2B．C．D．【答案】C【解析】本题是要在MN上找一点P，使PA+PB的值最小，设A′是A关于MN的对称点，连接A′B，与MN的交点即为点P．此时PA+PB=A′B是最小值，可证△OA′B是等腰三角形，从而得出结果．解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，AA′．作OQ⊥A′B，∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个二等分点，∴∠A′ON=∠AON=90°，PA=PA′，∵B是半圆上的一个六等分点，∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=120°，又∵OA=OA′=1，∠A′=30°，∴A′Q=OA′cos30°=，∴A′B=．∴PA+PB=PA′+PB=A′B=．故选：C．点评：此题考查了轴对称﹣最短路线问题，正确确定P点的位置是解题的关键，确定点P的位置这类题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要．18.下列命题正确的是（）A．相等的圆心角所对的弦相等B．等弦所对的弧相等C．等弧所对的弦相等D．垂直于弦的直线平分弦【答案】C【解析】根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等，分别对选项A，B，C进行判断；根据垂径定理对选项D进行判断．解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误；B、在同圆或等圆中，等弦所对的弧对应相等，故本选项错误；C、相等的弧所对的弦相等，正确；D、垂直于弦的直径平分弦，故本选项错误．故选C．点评：本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．也考查了垂径定理．19.如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果弧AB+弧CD=弧EF，那么AB+CD与EF的大小关系是（）A.AB+CD=EFB.AB+CD＜EFC.AB+CD＞EFD.大小关系不确定【答案】C【解析】在弧EF上取一点M使弧EM=弧CD，推出弧FM=弧AB，根据圆心角、弧、弦的关系得到AB=FM，CD=EM，根据三角形的三边关系定理求出FM+EM＞FE即可．解：如图，在弧EF上取一点M使弧EM=弧CD，则弧FM=弧AB，∴AB=FM，CD=EM，在△MEF中，FM+EM＞EF，∴AB+CD＞EF．故选：C．点评：本题主要考查了圆心角、弦、弧之间的关系以及对三角形的三边关系定理的理解和掌握，能正确作辅助线是解此题的关键．20.现给出以下几个命题：（1）长度相等的两条弧是等弧；（2）相等的弧所对的弦相等；（3）垂直于弦的直线平分这条弦并且平分弦所对的两条弧；（4）钝角三角形的外接圆圆心在三角形外面；（5）矩形的四个顶点必在同一个圆上．其中真命题的个数有（）A．1 个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】根据等弧的定义和圆心角、弧、弦的关系即可判断（1）和（2）；作钝角三角形的外接圆即可判断（3）；由垂径定理可判断（4）；由矩形的性质求出矩形的对角互补即可判断（5）．解：（1）、等弧是指在等圆或同圆中，能够互相重合的弧，故本答案错误；（2）、相等的弧所对的弦相等，故本答案正确；（3）、垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧，故本答案错误；（4）、钝角三角形的外接圆圆心在三角形外面，故本答案正确；（5）矩形的四个角等于90°，即对角互补，所以矩形的四个顶点必在同一个圆上，故本答案正确；正确的有3个．故选C．点评：本题主要考查了三角形的外接圆和外心，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，等弧定义，确定圆的条件等知识点，能根据所学的知识进行判断是解此题的关键．。
弧弦圆心角练习题
弧弦圆心角练习题弧弦圆心角是几何学中一个重要的概念。
在解决与圆相关问题时，我们经常需要计算出弧上的角度。
为了帮助大家更好地理解和应用弧弦圆心角，本文将提供一些练习题，并附上详细解答。
练习题一：在一个半径为8厘米的圆中，弧AB的长度是4.5厘米。
请计算弧AB对应的圆心角的大小。
解答一：首先根据弧长与圆的关系，计算出圆周的长度：圆周长= 2πr = 2 × 3.14 × 8 ≈ 50.24厘米然后根据弧长与圆周的比例，求得弧AB对应的圆心角的大小：设弧AB对应的圆心角为x度，那么有：4.5 / 50.24 = x / 360通过解方程，可以求得x ≈ 40.50度所以，弧AB对应的圆心角的大小约为40.50度。
练习题二：在一个半径为10厘米的圆中，弦CD的长度为12厘米。
请计算圆心角ACD的大小。
解答二：首先根据弦长与圆的关系，计算出弦CD所对应的弧的长度：弧CD = 2 × 10 × sin(ACD / 2)根据正弦定理，我们可以得到：sin(ACD / 2) = (CD / 2) / 10 = 6 / 10 = 0.6通过查表或计算器，可以得知ACD / 2的正弦值为0.6对应的角度为36.87度。
然后将角度乘以2，得到圆心角ACD的大小：ACD ≈ 36.87 × 2 ≈ 73.74度所以，圆心角ACD的大小约为73.74度。
练习题三：在一个半径为5厘米的圆中，圆心角为60度。
请计算相应弧的长度。
解答三：首先根据圆心角的定义，我们知道该角所对应的弧的长度等于圆周长乘以圆心角的比例：弧长 = 圆周长 × (圆心角 / 360)根据公式可以计算出所求的弧长：弧长= 2πr × (60 / 360) = 2 × 3.14 × 5 × (60 / 360) ≈ 5.24厘米所以，相应的弧长约为5.24厘米。
九年级数学上册《弧、弦、圆心角》练习题含答案
九年级数学上册《弧、弦、圆心角》练习题复习巩固1．下列说法中正确的是( ) A ．等弦所对的弧相等 B ．等弧所对的弦相等 C ．圆心角相等，所对的弦相等 D ．弦相等，所对的圆心角相等 2．在O 中，圆心角∠AOB ＝80°，圆心角∠COD ＝40°，那么下列说法中正确的是( )A ．2AB CD = B ．2AB CD >C ．2AB CD < D ．AB ＝2CD3．如图，C ，D 为半圆上的三等分点，则下列说法正确的有( )①AD =CD =BC②∠AOD =∠DOC =∠BOC ③AD =CD =OC④△AOD 沿OD 翻折与△C OD 重合A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．若O 内一条弦把圆周分为3∶1的两段弧，且O 的半径为R ，那么这条弦的长为( )A ．RB ．2RC ．2RD ．3R5．如图，O 是∠EPF 的平分线上的一点，以点O 为圆心的圆与该角的两边所在直线分别交于点A ，B 和C ，D ，则AB 与CD 的关系是( )A ．AB ＝CD B ．AB ＞CDC ．AB ＜CD D ．无法确定 6．如图，AB ，CD 是O 的弦，且AB ＝CD ，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，那么__________．(写出一个正确的结论即可)7．如图，在O 中，AB AC =，∠B ＝50°，则∠A ＝__________.8．如图，AB 是O 的直径，AC ，CD ，DE ，EF ，FB 都是O 的弦，且AC ＝CD ＝DE ＝EF ＝FB ，则∠AOC ＝__________，∠COF ＝__________.9．如图，已知O 中的弦AB =CD ，求证：AD =BC .能力提升10．已知O 中，劣弧2AB CD =，则弦AB 与CD 的关系是( )A．AB＝2CD B．AB＞2CDC．AB＜2CD D．无法确定11．如图，AB，CD是O的直径，若弦DE∥AB，则弦AC与AE的大小关系为__________．12．如图，在O中弦AB=AC，AD是O的直径，试判断弦BD与CD是否相等，并说明理由．13．如图，在ABCD中，以A为圆心，以AB为半径作圆交A D于点F，交BC于点=.G，BA的延长线交A于点E，求证：EF FC14．如图，AB，CD是O的弦，OC，OD分别交AB于点E，F，且OE＝OF，请你=吗？请加以说明．来猜想一下，AC BD参考答案复习巩固1．B 2．A 3．D4．C ∵弦AB 把圆周分为3∶1的两段弧，∴弦AB 所对的圆心角∠AOB ＝14×360°＝90°.∵O A ＝OB ，∴△AOB 是等腰直角三角形． ∴AB ＝2AO ＝2R . 5．A6．答案不唯一，如：AB CD =，OE ＝OF 等． 7．80° ∵AB AC =，∴AB ＝AC .∴∠B ＝∠C ＝50°. ∴∠A ＝180°－50°－50°＝80°. 8．36° 108°9．证明：∵AB ＝CD ，∴AB CD =∴AB BD CD BD -=-.∴AD BC =，即AD ＝BC .能力提升10．C 如图，2AB CD =，取AB 的中点M ，连接AM ，BM ，则AM BM CD ==.所以弦AM ＝BM ＝CD . 在△ABM 中，AM ＋BM ＞AB ， 所以2CD ＞AB . 11．AC ＝AE 连接OE .∵DE ∥AB ，∴∠D ＝∠DOB ，∠DEO ＝∠EOA . ∵OD ＝OE ，∴∠DEO ＝∠D .∴∠DOB ＝∠EOA . 又∵∠DOB ＝∠AOC ， ∴∠EOA ＝∠AOC .∴AC ＝AE .12．解：BD 与CD 相等．理由如下： 方法一：∵AB ＝AC ， ∴AB AC =.∵ABD ACD =， ∴BD CD =.∴BD ＝CD . 方法二：如图，连接OB ，OC . ∵AB AC =，∴∠AOB ＝∠AOC . ∴∠BOD ＝∠COD .∴BD ＝CD . 13．证明：如图，连接AG ，∵在ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠GAF ＝∠AGB ，∠B ＝∠EAF . 又在A 中，AB ＝AG ，∴∠AGB ＝∠B . ∴∠GAF ＝∠EAF . ∴EF FG =. 14．解：AC BD =.理由如下：如图，过点O 作OH ⊥AB 于点H .在△AOB 中，因为OA ＝OB ，HO ⊥AB ， 所以∠AOH ＝∠BOH .在△EOF 中，因为OE ＝OF ，OH ⊥AB ， 所以∠EOH ＝∠FOH .所以∠AOE ＝∠BOF .根据在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，可得AC BD .。
圆、垂直径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习题
CE DOF圆、垂直径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习题1、如图，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，•错误的是（ ） A 、CE=DE B 、BC BD = C 、∠BAC=∠BAD D 、AC >AD2、如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ） A 、4 B 、6 C 、7 D 、83、某居民小区一处圆形下水管道破裂，维修人员准备更换一段新管道，如图所示，污水水面宽度为60cm ，水面到管道顶部距离为10cm ，则修理人员应准备_________cm 内径的管道（内径指内部直径）．4、如图，将半径为4cm 的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ） A 、43cm B 、23cm C 、3cm D 、2cm5、如图，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，•则下列结论中不正确的是（ ） A 、AB ⊥CD B 、∠AOB=4∠ACD C 、AD BD = D 、PO=PD6、如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm.求：⊙O 的半径.7、如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=20cm ，水深GF=2cm.若水面上升2cm （EG=2cm ），则此时水面宽AB 为多少？8、如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD ，点O 是CD 的圆心，•其中CD=600m ，E 为CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径．9、如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长．10、有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=•60m ，水面到拱顶距离CD=18m ，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m 时是否需要采取紧急措施？请说明理由．（当水面距拱顶3米以内时需要采取紧急措施）B AC E DO B A OM A BO BA CDP O BA CE DOE DC FO BA G1.下列说法中，正确的是( )A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等2.如图，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D ，已知AB=4，CD=2，AB 的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为( )A.3∶2B.5∶2C.5∶2D.5∶43.半径为R 的⊙O 中，弦AB=2R ，弦CD=R ，若两弦的弦心距分别为OE 、OF ，则OE ∶OF 等于( )A.2∶1B.3∶2C.2∶3D.0 4.一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_____________.5.弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是____________.6. 如图，AB 为⊙O 直径，E 是BC 中点，OE 交BC 于点D ，BD=3，AB=10，则AC=_____.7. 如图，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=________． 8.如图，BD 是⊙O 的直径，圆周角∠A = 30︒，则∠CBD 的度数是（ ） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．80︒9如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，∠BAC ＝30º，AD ＝CD ，则∠DAC 的度数是（ ） A ．30º B ．60º C ．45º D ．75º10．如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm 2,则该 半圆的半径为（ ） A ．(45)+ cm B ．9 cm C ．45cm D ．62cm3.如图，已知以点O 为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB 交小圆于C 、D.(1)求证：AC=DB ；(2)如果AB=6 cm ，CD=4 cm ，求圆环的面积.4.如图所示，AB 是⊙O 的弦(非直径)，C 、D 是AB 上的两点，并且AC=BD. 求证：OC=OD.5.如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6 cm ，EB=2 cm ，∠CEA=30°，求CD 的长.O B ACE D B A C E DO O 30︒D B C AO D CBA6．如图所示，AB 是⊙O 的一条弦，OD AB ⊥，垂足为C ，交⊙O 于点D ，点E 在⊙O 上。
《圆心角》练习(有答案)
3.4 圆心角一、填空题1．圆内接五边形各边相等，各边所对的圆心角的度数是．2．如图1，在⊙O中，»»=AB AC，∠B=70°，则∠C= ．3．在半径为2的⊙O中，弦AB的长为22AB所对的圆心角∠AOB的度数是．4．若⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥BC于D，且∠BOD=48°，则∠BAC= ．5．如图2所示，弦AB过圆心O，∠A=30°，⊙O的半径长为23CD⊥AB 于E，则CD的长为．二、选择题6．下列图形中对称轴最多的是（）A．圆B．正方形C．等腰三角形D．线段7．在同圆或等圆中，如果圆心角∠BOA等于另一圆心角∠COD的2倍，则下列式子中能成立的是（）A．AB=2CD B．»»AB CD D．»»=<AB CD22=AB CD C．»»8．下列语句中，正确的有（）①相等的圆心角所对的弦相等；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图3，已知圆心角∠AOB=100°，则圆周角∠ACB的度数为（）A．100°B．80°C．50°D．40°10．已知：如图4，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则∠CAD 等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°三、解答题11．如图5，AB是⊙O的直径，AC、CD、DE、EF、FB都是⊙O的弦求∠AOC 与∠COF的度数．12．如图6，一座圆弧形的拱桥，它所在圆的半径为10米，某天通过拱桥的水面宽度AB为16米，现有一小帆船高出水面的高度是3.5米，问小船能否从拱桥下通过？13．如图7，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD．（1）求证：△AEC≌△DEB；（2）点B与点C关于直线OE对称吗?试说明理由．参考答案一、1．72o2．70o 3．90o 4．48o 5．6二、6．A7．B 8．A 9．C 10．D 三、11．解：因为AC DC DE EF FB ====，所以180536AOC COD DOE EOF FOB =====÷=o o ∠∠∠∠∠， 所以336108COF AOC ==⨯=o o ∠∠．12．先算出拱桥高出水面的高度为4米，4 3.5>，因此可以通过．13．解： （1）因为AB CD =，所以»»=AB CD． 所以»»»»-=-AB AD CD AD ，即»»=BDCA ， 所以BD CA =．在AEC △与DEB △中，BD CA =，ACE DBE =∠∠，AEC DEB =∠∠， 所以AEC DEB △≌△．（2）点B 与点C 关于直线OE 对称． 理由略．。
弧、弦、圆心角练习题及答案
弧、弦、圆心角1/、. 圆心角，弦心距的概念.顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧AB是∠AOB所对的弧，弦AB既是圆心角∠AOB也是弧AB所对的弦.圆心到弦的距离叫做弦心距。
3. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
同样还有：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都也相等。
【典型例题】例1. 判断题，下列说法正确吗？为什么？（1）如图所示：因为∠AOB=∠A′OB′，所以=.（2）在⊙O和⊙O′中，如果弦AB=A′B′，那么=。
例2. 已知：如图所示，AD=BC。
求证：AB=CD。
圆周角一、基础知识填空1．_________在圆上，并且角的两边都_________的角叫做圆周角．2．在同一圆中，一条弧所对的圆周角等于_________圆心角的_________．3．在同圆或等圆中，____________所对的圆周角____________．4．_________所对的圆周角是直角．90°的圆周角______是直径．二、选择题5．如图，AC是⊙O的直径，弦AB∥CD，若∠BAC=32°，则∠AOD等于( )．10题图11题图12题图13题图A．64°B．48°C．32°D．76°6．如图，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，则∠AOD等于( )．A．37°B．74°C．54°D．64°7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于( )．A．69°B．42°C．48°D．38°8．如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，BD交AC于点E，连结DC，则∠AEB等于( )．A．70°B．90°C．110°D．120°9．已知：如图，△ABC内接于⊙O，BC=12cm，∠A=60°．求⊙O的直径．10．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠ACD=30°，AE=2cm．求DB长．。
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一.教学内容：
弧、弦、圆心角
二. 教学目标：
1. 使学生理解圆的旋转不变性，理解圆心角、弦心距的概念；
2. 使学生掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及推论，并初步学会运用这些关系解决有关问题；
3. 使学生理解并掌握1°的弧的概念
4. 培养学生观察、分析、归纳的能力，向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律.
三. 教学重点、难点：
圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是重点；从圆的旋转不变性出发，推出圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是难点。
四. 教学过程设计：
1. 圆的旋转不变性
圆是轴对称图形。
也是中心对称图形。
不论绕圆心旋转多少度，都能够和原来的图形重合。
圆所特有的性质——圆的旋转不变性
圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的图形重合。
2. 圆心角，弦心距的概念.
顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧AB是∠AOB所对的弧，弦AB既是圆心角∠AOB也是弧AB所对的弦.
圆心到弦的距离叫做弦心距。
3. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
同样还有：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都也相等。
4. 1°的弧的概念. (投影出示图7－59)
圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。
这里指的是角与弧的度数相等，而不是角与弧相等。
即不能写成圆∠AOB=，这是错误的。
【典型例题】
例1. 判断题，下列说法正确吗？为什么？
（1）如图所示：因为∠AOB=∠A ′OB ′，所以
=
.
（2）在⊙O 和⊙O ′中，如果弦AB=A ′B ′，那么=。
分析：（1）、（2）都是不对的。
在图中，因为不在同圆或等圆中，不能用定理。
对于（2）也缺少了等圆的条件. 可让学生举反例说明。
例2. 已知：如图所示，AD=BC 。
求证：AB=CD 。
证：∵AD=BC
⋂
⋂=∴BC AD
⋂
⋂⋂⋂⋂
⋂+=+∴=BC AC AD AC AC
AC
DC AB AB DC =∴=∴⋂
⋂
变式练习。
已知：如图所示，
=
，求证：AB=CD 。
证：∵⋂
⋂⋂
⋂==AC AC BC AD
∴⋂
⋂⋂⋂+=+AC BC AC DA
⋂
⋂=∴AB DC CD AB =∴
例3. 在圆O 中，︒=∠=⋂
⋂60ACB AC
AB 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC
例
⎩⎨
⎧==OD OC ON OM
BOD AOC DON COM ∠=∠∴∆≅∆∴
法三：由法二 ∴AC=CO=AO OD=OB=DB
∴∠AOC=∠BOD=60°
∵CD 为直径
∴∠AOC=∠COB=120° ∴∠AOC=∠COB=∠AOB ∴AB=AC=BC
∴△ABC 为等边三角形
例7. AB 、CD 为圆O 两直径，弦CE//AB ，︒=⋂
40CE ，求∠BOD 。
∴∠BOC=∠C=70°
∵∠BOD+∠BOC=180°
∴OM=ON ∵OA=OC
CN AM NCO Rt MAO Rt =∴∆≅∆∴
∵OM 、ON 过圆心 OM ⊥AB ，ON ⊥CD ∴AB=2AM
例
即BC AD BC AD =∴=⋂
⋂，
在△ACD 和△CAB 中
⎪⎩⎪
⎨⎧===AB DC BC AD AC AC
B
D CAB
ACD ∠=∠∴∆≅∆∴
在△AED 和△CEB 中
⎪⎩⎪
⎨⎧=∠=∠∠=∠BC AD 21B D
BE
DE CEB
AED =∴∆≅∆∴
法二：连DB 、AD 、BC 证CBD ADB ∆≅∆ ∴∠3=∠4 ∴ED=BE
例11. 在圆O 中，AC=DB ，求证：⋂
⋂=BF AE
∴CM=MD ，∴EC=DF （2）AE+BF=2OM ∵⋂
CD 长是圆O 的六分之一 ∴∠COD=60° ∵OC=5
325OM =
∴
35BF AE =+∴
【模拟试题】（答题时间：）
1. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 或 中有一组是相等的，那么，所对应的其余各组量都分别相等。
2. 在⊙O 中的两条弦AB 和CD ，AB>CD ，AB 和CD 的弦心距分别为OM 和ON ，则OM__________ON 。
5. 若两弦相等，则它们所对的弧相等。
（ ）
6. 若弦长等于半径，则弦所对的劣弧的度数为60°。
（）
7. 若两弧不等，则大弧所对的圆心角较大。
（）
8. 若两条弧的度数相等，那么这两条弧是等弧。
（）
11. 已知：如图，在⊙O中，弦AB=CD，E、F分别为AB、CD的中点。
求证：∠AEF=∠CFE。
12. 已知：如图，EF为⊙O的直径，过EF上一点P作弦AB、CD，且∠APF=∠CPF。
求证：PA=PC。
13. 如图，在⊙O中，弦EF∥直径AB，若弧AE的度数为50°，则弧EF的度数为，弧BF的度数为，∠EOF= °，∠EFO= °。
14. AB为⊙O的直径，C、D为半圆AB上两点，且弧AC、弧CD、弧DB的度数的比为3∶2∶5，则∠AOC= °，∠COD= °，∠DOB= °。
15. 已知⊙O的半径为12cm,弦AB将圆分成的两段弧的度数之比为1∶5，求∠AOB的度数及弦AB的长。
16. 已知：如图，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B 和C、D。
求证：∠OBA=∠OCD。
17. 已知：如图，∠AOB=90°，C、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F。
求证：AE=BF=CD。
18. 长度相等的两条弧是等弧。
（）
19. 如果圆周角相等，那么它们所对的弧也相等。
（）
20. ⊙O中，如果弧AB=2弧BC，那么下列说法中正确的是（）
A. AB=BC
B. AB=2BC
C. AB＞2BC
D. AB<2BC
【试题答案】
1. 两条弦，两条弦心距
2. <
3. 证明：∵D 为弧AB 中点，OD 是⊙O 半径 ∴OD ⊥AB 于E 同理，OG ⊥AC 于F 又AB=AC ∴OE=OF
∴O D －OE=OG －OF 即DE=FG 。
4. 证明：过O 点作OE ⊥CD 于E ，OF ⊥AB 于F ，连结OP ，(如图) ∴AB=CD ∴OE=OF
∵OP 公用 ∴△POE ≌△POF ∴PE=PF
∵OE ⊥CD ，O F ⊥AB ，AB=CD ∴CE=BF
∴CE-PE=BF-PF 即PC=PB 。
5. × 6. √ 7. × 8. ×
9. 5 10. 60°
11. 连结OE 、OF 。
∵E 、F 为AB 、CD 中点，∴∠AEO=∠CFO=90°，又∵AB=CD ，∴OE=OF ，∴∠EFO= ∠FEO ，∴∠AEF=∠CFE 。
12. 作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥CD 于N 。
∵∠APF=∠CPF ，∴OM=ON ，∴AB=DC 。
又∵AB AM 2
1
=
，CD CN 2
1
=
，∴AM=CN ，证△ POM ≌△PON ，∴PM=PN ，∴AP=CP 13. 80°，50°，80，50 14. 54，36，90 15. 60°，12cm 16. 作OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，垂足分别为M 、N 。
由PO 平分∠EPF ，得OM=ON,又BO=CO ，得Rt △BOM ≌ Rt △CON ，∴∠OBA=∠OCD 。
17. 通过角度的计算及弧等弦等，可以证得AE=AC=CD=DB=BF 。
18. × 19. × 20. D。