2017春九年级数学下册1直角三角形的边角关系小结与复习教案(新版)北师大版
九年级数学下册：第一章直角三角形的边角关系复习教案(北师大版) 教案
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第一章直角三角形的边角关系
回顾与思考
（一）教学核心
1．经历回顾与思考，建立本章的知识框架图；
2．利用计算器，发现同角的正弦、余弦、正切之间的关系；
3．进一步体会直角三角形边角关系在现实生活中的广泛应用；
4．体会数形之间的联系，逐步学会利用数形结合的思想分析问题和解决问题；
（二）课时安排
1课时
（三）教学内容
回顾与思考中共设计有四个问题，帮助大家回顾、思考直角三角形中反映边角关系的三角函数的概念，直角三角形中边角关系在现实生活中的广泛应用，体现数形之间的联系。
以及把实际问题数学化的过程，更进一步了解知识间的联系和综合应用。
使三角函数的意义从现实生活中来，而又服务于现实生活中，从现实生活中抽象出数学问题，然后数形结合，用三角函数解决问题。
（四）教学建议
1.教师可以通过一系列的练习题的解答，逐步呈现本章知识点，然后要求学生自己对本章的内容进行小结，随后进行交流，形成知识框架图。
2．可以让学生说一说他们利用三角函数的知识解决了什么实际问题，或利用三角函数解决问题的体会。
3．可以让学生说一说他们在使用计算器解决问题的过程中有什么发现等。
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北师大版初三数学下册直角三角形边角关系回顾与思考教学设计
第一章直角三角形的边角关系回顾与思考教学目标：1.使学生能熟练运用锐角三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题.2.通过实例使学生学握锐角三角函数的定义，并能熟练运用特殊角的三角函数值解题.3.进一步渗透数形结合思想、化归思想、模型思想、方程思想，通过知识梳理、习题精练、小结反思，使学生积累一定的数学活动经验.4.在数学活动中培养学生的几何直观，发展应用意识，提高学生提出问题、发现问题、分析问题、解决问题的能力，增强学习数学的自信心.教学重点：裳握锐角三角函数的概念和特殊角的三角函数值，并熟练运用于解直角三角形及与直角三角形有关的实际问题.教学难点：将实际问题转化为数学问题，建立数学模型.教学过程设计：一、情境导入1.以教材“回顾与思考”中的几个问题为抓手带领学生回顾、总结梳理本章知识，并用适当的方法（如框图、关系结构图、表格、条目式等）呈现全章知识结构。
2.结合主要知识点设计一组知识回顾简单•练习题，学生独立完成后再与同3.回顾练习:1. 如果ZQ 是等边三角形的一个内角，那么cosa 的值等于（D. 15. 如图所示，人们从0处的某海防哨所发现，在它的北偏东60°相距600m 的A 处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干时间快艇到达哨所 东南方向B 处，则A 、B 间的距离是 二、自主学习1.通过口主学习，使学生进一步理解锐角三角函数的概念，熟练运用直角三角形的边角关系、特殊角的三角函数值及计算器解直角三角形及相关问题，并能 将实际问题转化为数学问题，建立数学模型.形成初步的数学经验和灵活快速的 解题方法，提高学生综合运用知识解决问题的能力。
2.在厶小。
中, ZC = 90°, BC=2, sinA=-,则 AC 的长是(B. 3C.- ■ 5D. >/133. A ABC 中，若 sinA=—, 2tanB 哼 则ZC 二 4.在厶小。
中，ZC = 90°,sinA=-, 3 则 tanB=方向, 北A2.自主学习练习(1)如图，在RtAABC 中，ZACB二90° ,CD丄AB 于点D,已知AC泸，BC二2, 那么sinZACD= ( ) /Z\A.並必a D更 A D B解析:将要求的角转化为与它相等的角ZACD二ZB , sinZACD二sinZB , 选A变式：若将题目中“CD丄AB于点D”改为“CD为AB边上的中线”，其它条件不变，选哪个答案呢？(2)在RtAABC中，ZC=90°,根据下列条件求直角三角形中的其它元素:(1)c=20 , ZA=45° ; (2) a=6>/2 , b二;解析：(1)已知斜边、一锐角，求两直角边和另一锐角.ZB二90° -2A=45° , a= b=10>/2 ；(2)已知两直角边，求斜边和两锐角.(3)如图在等樓直角三角形ABC中，ZC=90° , AC二6, D是AC上一点，若tan ZDBA = 4，求AD 的长。
北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系(教案)锐角三角函数与解直角三角形(复习案)
2.教学难点
-函数互化过程中的计算：对于一些特殊角的锐角三角函数值，学生容易混淆，计算过程中需要注意细节，如特殊角的三角函数值记忆。
-解直角三角形的实际应用：将理论知识应用于实际问题，需要学生具备较强的抽象思维能力和实际问题转化能力。
2.加强学生对锐角三角函数概念的理解，发展学生的数学抽象、逻辑推理和数学建模核心素养。
3.通过对解直角三角形的方法探讨，培养学生几何直观和空间想象能力，提高数据分析和问题解决的核心素养。
4.激发学生探索数学问题的兴趣，培养合作交流、自主探究的学习习惯，提升数学思维品质和学科素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-解决问题的策略选择：在解决具体问题时，学生需要根据已知条件和求解目标，选择合适的锐角三角函数和解题方法。
举例解释：
-函数互化时，对于30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，学生需要熟练掌握，如sin30°=1/2，cos30°=√3/2等。
-在实际应用题中，如测量旗杆高度，学生需要将实际问题转化为解直角三角形问题，确定已知量和求解量，选择合适的三角函数进行计算。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了锐角三角函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对解直角三角形方法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系（教案）锐角三角函数与解直角三角形（复习案）
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系小结与复习学案北师大版
第一章小结与复习【学习目标】1．理解三角函数的定义，识记特殊三角函数值，根据条件熟练解直角三角形．2．通过对本章知识进行旧知回顾，对本章知识结构有系统认识．【学习重点】熟练记忆特殊角的三角函数值，根据条件选择适当方法解直角三角形．【学习难点】情景导入 生成问题知识结构框图：解直角三角形⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧直角三角形边角关系⎩⎪⎨⎪⎧锐角三角函数⎩⎪⎨⎪⎧正切正弦、余弦30°、45°、60°角的三角函数值一般三角函数值的计算⎩⎪⎨⎪⎧利用计算器求三角函数值利用计算器求角度解直角三角形⎩⎪⎨⎪⎧已知两边解直角三角形已知一边和一锐角解直角三角形三角函数的应用⎩⎪⎨⎪⎧方位角问题俯角、仰角问题坡度问题利用三角函数测高 自学互研 生成能力知识模块一 锐角三角函数范例1：如图，在矩形ABCD 中，点E 在AB 上，沿CE 折叠矩形ABCD ，使点B 落在AD 边上的F 处，若AB ＝4，BC ＝5，则tan ∠AFE 的值为( C ) A .43B .45C .34D .45,(范例1题图)),(仿例1题图))仿例1：如图，四边形A BCD 中，AD ∥BC ，CA 是∠BCD 的平分线，且AB⊥AC，AB ＝4，AD ＝6，则tan B 等于( B )A ．23B ．22C .114D .554仿例2：tan 30°·tan 60°＋2（sin 45°－1）2＝3－2．知识模块二 解直角三角形范例2：长为4m 的梯子在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图)，则梯子的顶端沿墙面升高了(23－22)m .,(范例2题图)) ,(仿例题图))仿例：将直角边长为5cm 的等腰直角△ABC 绕点A 逆时针旋转15°后，得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是2536cm 2. 知识模块三 三角函数的应用范例3：(徐州中考)如图，轮船从点A 处出发，先航行至位于点A 的南偏西15°且与点A 相距100km 的点B 处，再航行至位于点B 的北偏东75°且与点B 相距200km 的点C 处．(1)求点C 与点A 的距离；(精确到1km )(2)确定点C 相对于点A 的方向．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：(1)过A 作AD⊥BC 于点D ，∠A BC ＝75°－15°＝60°.在Rt △ABD 中求得AD ＝503，BD ＝50，∴CD ＝150.在Rt △ADC 中，由勾股定理得AC ＝1003≈173(km )．(2)由AB 2＋AC 2＝BC 2，∠BAC ＝90°，∴∠FAC ＝75°，∴点C 位于点A 的南偏东75°方向．仿例：如图，小明在大楼30m 高(即PH ＝30m )的窗口P 处进行观测，测出坡上A 处的俯角为15°，山脚B 处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i(即tan ∠ABC)为1∶3，点P ，H ，B ，C ，A 在同一个平面上，点H ，B ，C 在同一条直线上，且PH⊥HC.(1)山坡坡角(即∠ABC)的度数等于30°；(2)求A ，B 两点间的距离(结果精确到0.1m ，参考数据：3≈1.732)．解：(1)30；(2)由题意得：∠PBH＝60°，∠APB ＝45°，∵∠ABC ＝30°，∴∠ABP ＝90°，在Rt △PHB 中，PB ＝PH sin ∠PBH＝203，在Rt △PBA 中，AB ＝PB ＝203≈34.6. 答：A ，B 间距离约为34.6m .交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一锐角三角函数知识模块二解直角三角形知识模块三三角函数的应用检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。
北师大版九年级数学下册：第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》教学设计
北师大版九年级数学下册：第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》主要内容有锐角三角函数的概念、各锐角三角函数值表、直角三角形的边角关系、三角函数的图像和性质。
本章内容是初中数学的重要知识，也是学习高中数学的基础。
通过本章的学习，使学生掌握锐角三角函数的概念和各锐角三角函数值表，理解直角三角形的边角关系，会用三角函数解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基础知识，对直角三角形的性质有一定的了解。
但学生对锐角三角函数的概念和各锐角三角函数值表的理解还不够深入，对直角三角形的边角关系的运用还不够熟练。
因此，在教学过程中，需要加强对学生的引导，让学生在复习旧知识的基础上，加深对新知识的理解。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握锐角三角函数的概念和各锐角三角函数值表，理解直角三角形的边角关系，会用三角函数解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过复习旧知识，激发学生的学习兴趣，培养学生自主学习的能力。
3.情感态度与价值观目标：使学生感受到数学在生活中的应用，增强学生对数学的兴趣和信心。
四. 教学重难点1.教学重点：锐角三角函数的概念、各锐角三角函数值表、直角三角形的边角关系。
2.教学难点：锐角三角函数的概念、各锐角三角函数值表的理解和运用。
五. 教学方法采用启发式教学法、案例教学法和小组合作学习法。
通过复习旧知识，激发学生的学习兴趣，引导学生自主学习，培养学生解决问题的能力。
在教学过程中，注重师生互动，鼓励学生提问、讨论，提高课堂氛围。
六. 教学准备1.教师准备：准备好教学课件、教学素材、练习题等教学资源。
2.学生准备：复习三角函数的基础知识，预习本章内容。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生复习三角函数的基础知识，激发学生的学习兴趣。
例如：“同学们，我们已经学习了哪些三角函数？它们有什么特点？”2.呈现（15分钟）教师利用课件呈现本章内容，引导学生了解本章要学习的内容。
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系教案新版北师大版
ACBa cb第一章 直角三角形的边角关系一、教学目标：1、以问题的形式梳理本章的内容，使学生进一步会运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题。
2、通过实例进一步掌握锐角三角函数的定义，并能熟练掌握特殊角的三角函数值。
3、已知锐角求出它的三角函数值；由已知三角函数值求出它对应的锐角。
4、使学生进一步体会数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题。
二、基本技能1、定义：在Rt △ABC 中，如果锐角∠A 确定，那么锐角∠A 的对边与邻边的比、对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定。
这个比叫做∠A 的正切、∠A 的正弦、∠A 的余弦。
记作：的邻边的对边A A A ∠∠=tan ；sinA 斜边的对边A ∠= ； co sA 斜边的邻边A ∠=。
其中：锐角∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的三角函数。
注意：（1）比值大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关.（2）梯子的倾斜程度：梯子AB 越陡，tanA 、sinA 的值越大 , cosA 的值越小 2、解直角三角形的基本理论依据：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c 。
（1）三边的关系：a 2+b 2=c 2(勾股定理)； （2）两锐角的关系：∠A+∠B=90°（互余） （3）边与角之间的关系sinA=c a ， cosA=c b ， ta nA=b a ； sinB ＝c b ， cosB ＝c a ， tanB=ab。
例1、在Rt △ABC 中，∠C= 90° ，a 、b 、c 分别为△ ABC 的对边， 根据下列条件求出直角三角形的其他元素。
（1）62,66a b == （2）c=20，∠A= 45°例2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ， tan ∠B ＝31，且BC ＝9 cm ， ABC∠A 的对边∠A 的邻边斜边求：AC 、CD 和sin A 、tan ∠BCD 的值 3、习题精选1、在 Rt △ABC 中，∠C=90°。
(春)九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系小结与复习教案 (新版)北师大版
直角三角形的边角关系【教学内容】小结与复习【教学目标】知识与技能：理解三角函数的定义，识记特殊三角函数值，根据条件熟练解直角三角形过程与方法：通过对本章知识进行回顾，对本章知识结构有系统认识。
情感、态度与价值观：通过学习，了解数学在生产生活中的作用，激发数学学习兴趣。
【教学重难点】重点：熟练记忆特殊角三角值，根据条件选择适当方法解直角三角形。
难点：选择适当方法解直角三角形。
【导学过程】【知识回顾】什么是锐角的正切、正弦和余弦？2、写出30°、45°、60°角的三角函数值3、什么叫解直角三角形？解直角三角形有哪两种形式？【情景导入】本节课我们对本章知识进行回顾。
【新知探究】探究一、例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高 (结果精确到0.1m)?探究二、例5如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？探究三、2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：横断面(等腰梯形)ABCD的面积；②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．…….【知识梳理】本节课在回顾全章知识基础上，继续对解直角三角形深入学习。
【随堂练习】1．如图所示，图①中，一栋旧楼房由于防火设施较差，想要在侧面墙外修建一外部楼梯，由地面到二楼，再从二楼到三楼，共两段(图②中AB、BC两段)，其中CC′＝BB′＝3.2m．结合图中所给的信息，求两段楼梯AB与BC的长度之和(结果保留到0.1m)．(参考数据：sin30°＝0.50，cos30°≈0.87，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82)2．如图所示，某公司入口处原有三级台阶，每级台阶高为20c m，台阶面的宽为30cm，为了方便残疾人士，拟将台阶改为坡角为12°的斜坡，设原台阶的起点为A，斜坡的起点为C，求AC的长度(精确到1cm)．。
九年级数学下册第1章直角三角形的边角关系教案(新版)北师大版
第一章直角三角形的边角关系1.经历探索直角三角形中边角之间关系,以及30°,45°,60°角的三角函数值的过程,发展观察、分析、发现问题的能力.2.理解锐角三角函数的意义,并能够通过实例进行说明.3.会求解含30°,45°,60°角的三角函数值的问题.4.能够借助计算器由已知锐角求出它的三角函数值,或由已知三角函数值求出相应的锐角.5.能够用锐角三角函数解直角三角形,发展推理能力和运算能力.6.能够解决与直角三角形有关的实际问题,培养分析问题和解决问题的能力.7.体会数形之间的关系,逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题.1.能够用锐角三角函数解直角三角形,发展推理能力和运算能力.2.能够解决与直角三角形有关的实际问题,培养分析问题和解决问题的能力.3.通过探索学习,使学生经历“观察——分析——发现——运用”的过程,掌握直角三角形边角之间的关系,进一步体会数形之间的联系.1.通过对直角三角形中边角之间关系的探究,进一步激发学生学习图形中各个元素之间关系的兴趣.2.能够运用锐角三角函数解直角三角形,进一步养成分析问题、解决问题的良好学习习惯.本章是在学习直角三角形的边、角知识的基础上,进一步探究直角三角形的边和角之间的关系.同时也是正比例函数、一次函数、反比例函数等函数知识的延续.直角三角形中边角之间的关系在现实生活中应用广泛.锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用.如在测量、建筑、工程技术和物理学中,人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题,一般来说,这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角之间关系的问题.通过直角三角形中边角之间的关系的学习,学生将进一步体会数学知识之间的联系(边和角之间的关系),把这种关系用数量的形式表示出来,是分析问题和解决问题过程中常用的方法.通过学习也将为其他数学知识奠定基础.通过研究图形之中各个元素之间的关系,进一步感受数形结合思想,体会数形结合的方法.【重点】1.三角函数及其有关的概念.2.特殊角的三角函数值的探究及应用.3.利用计算器求三角函数值或锐角的度数.4.能够用锐角三角函数解直角三角形.5.能够运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题.【难点】1.探索直角三角形中边角之间关系和30°,45°,60°角的三角函数值的过程.2.解决与直角三角形有关的实际问题.3.体会数、形之间的关系,掌握用数形结合思想分析问题和解决问题.1.注重问题情境的创设.在引入锐角三角函数时,要创设符合学生实际生活的情境,激发学生的学习兴趣,使学生感受到数学与现实世界的联系.如通过梯子的情境问题,引出第一个三角函数——正切.对于这个问题,学生比较熟悉,而且属于开放性问题,直观上又容易判断.又如,在学习特殊角的三角函数时,用学生熟悉的三角尺引入,使学生较快进入30°,45°,60°角的三角函数值的探索.2.鼓励学生有条理地进行思考和表达.引导学生观察、分析、发现直角三角形中边角之间的关系,让他们学会有条理地思考和表达.例如,利用相似的直角三角形,如何获得正切的概念?如何建立直角三角形中角和边之间的关系?如何类比正切的概念获得正弦和余弦的概念?3.重视渗透数学思想方法,促进学生思维水平的提高.教学中应注重渗透数形结合的思想方法,引导学生逐步从对具体问题的研究中提炼出数学思想方法.在形成正切概念的过程中,教师要给学生留有充分的时间,让学生利用前面学过的相似三角形的知识去探索对边和邻边之比与角的大小的关系,进而获得正切的概念.在引出正弦和余弦的概念时,可以类比正切概念获得的过程,从数学的角度直接引入.这样可以使学生从已学知识进行联想,加深对概念的理解,提升学生的思想水平.在解直角三角形的过程中,要让学生体会计算过程所依据的算理,以及如何根据已知条件去探求结论的思考过程.4.关注问题解决的教学过程.对于实际问题,首先要引导学生弄清实际问题的意义,然后逐步把实际问题转化为数学问题,帮助学生形成模型思想.另外,教师要注意为学生的问题解决过程搭建“脚手架”:一是对一些术语(如仰角、俯角、坡度、零部件截面图等)进行说明;二是对解决问题的策略、问题的发现和提出等,都要提供一定的帮助与支持.5.精心设计实践活动的教学流程.对于第6节“利用三角函数测高”这样的实践活动,建议首先将学生分组,各组分头准备测量所需的仪器;其次,由学生自己设计活动报告,教师给予必要的指导;再次,尽量安排那些学生比较熟悉,且易于开展的小组活动,并能保证任务完成的质量;最后,在活动期间,教师应在现场观察、指导各组的活动,同时应做必要的记录.6.根据《标准》要求,把握好三角函数的定位.教学中要把握好三角函数的定位.教科书上虽然称“锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数”,但实际上并没有特别明确地从函数的角度研究它们,也就是说没有研究随着角的变化,其三角函数值的变化规律;而是研究当锐角一定时,直角三角形中相应边的比值是什么.教学中要把握好这个定位,切莫提高要求.1锐角三角函数1.经历探索直角三角形中边角之间关系的过程.2.理解锐角三角函数(正切、正弦、余弦)的意义,并能够举例说明.3.能够运用tan A,sin A,cos A表示直角三角形中两边的比.4.能够根据直角三角形中的边角关系进行简单的计算.1.经历三个锐角三角函数的探索过程,确信三角函数的合理性,体会数形结合的数学思想.2.在探索锐角三角函数的过程中,初步体验探索、讨论、验证对学习数学的重要性.1.通过锐角三角函数概念的建立,使学生经历从特殊到一般的认识过程.2.让学生在探索、分析、论证、总结获取新知识的过程中体验成功的喜悦,从解决实际问题中感悟数学的实用性,培养学生学习数学的兴趣.【重点】1.理解锐角三角函数的意义.2.能利用三角函数解三角形的边角关系.【难点】能根据直角三角形的边角关系进行简单的计算.第课时1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tan A表示直角三角形中两直角边的比,表示生活中物体的倾斜程度、坡度等,能够用正切进行简单的计算.3.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,加强数学与生活的联系.1.体验数形之间的联系,逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.2.体会解决问题的策略多样性,发展实践能力和创新精神.1.积极参与数学活动,对数学产生好奇心和求知欲.2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.【重点】1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,加强数学与生活的联系.【难点】理解正切的意义,并用它来表示生活中物体的倾斜程度、坡度等.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】1.自制4个直角三角形纸板.2.复习直角三角形相似的判定和直角三角形的性质.导入一:课件出示:你知道图中建筑物的名字吗?是的,它就是意大利著名的比萨斜塔,是世界著名建筑奇观,位于意大利托斯卡纳省比萨城北面的奇迹广场上,是奇迹广场三大建筑之一,也是意大利著名的标志之一,它从建成之日起便由于土层松软而倾斜.【引入】应该如何来描述它的倾斜程度呢?学完本节课的知识我们就能解决这个问题了.[设计意图]创设新颖、有趣的问题情境,以比萨斜塔的倾斜程度激发学生的学习兴趣,从而自然引出课题,并且为学生探究梯子的倾斜程度埋下伏笔.导入二:课件出示:四个规模不同的滑梯A,B,C,D,它们的滑板长(平直的)分别为300 cm,250 cm,200 cm,200 cm;滑板与地面所成的角度分别为30°,45°,45°,60°.【问题】四个滑梯中哪个滑梯的高度最高?[设计意图]利用学生所熟悉的滑梯进行引导,使学生有亲切感,滑梯与课本中引用梯子比较类似,学生的探究思路会比较顺畅.(一)探究新知请同学们看下图,并回答问题.探究一:问题1课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?小组讨论后展示结果:1组:梯子AB较陡.我们组是借助量角器量倾斜角,发现∠ABC>∠EFD,根据倾斜角越大,梯子就越陡,可以得到梯子AB较陡.师:哪组还有不同的判定方法?2组:我们也是认为梯子AB较陡.我们组是分别计算AC与BC的比,ED与FD的比,发现前者的比值大,根据铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡,可以得到梯子AB较陡.3组:我们组的方法和1组的大致相同,借助倾斜角来判断,不过不是测量,我们是过E 作EG∥AB交FD于G,就可以清晰比较∠ABC与∠EFD的大小了.4组:我们组发现这两架梯子的高度相同,水平宽度越小,梯子就越陡,所以我们也认为梯子AB较陡.探究二:问题2课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?学生会类比问题1给出的四种判断方法,只要说得合理即可.问题3课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎么判断的?多给学生思考和讨论的时间.代表发言:AB和EF的倾斜度一样.由于两个直角三角形的两直角边的比值相等,再加上夹角相等,可以判定两个直角三角形相似,根据相似三角形的对应角相等,可以证明两个倾斜角相等,所以AB和EF的倾斜度一样.教师引导:我们发现当直角三角形的两直角边的比值相等时,梯子的倾斜度一样,请大家判断一下在问题2与问题3中,两直角边的比值与倾斜度有什么关系?请继续探究下面的问题.问题4课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?教师引导:我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度,即哪一个更陡,可能就比较困难了.能不能从上面的探究中得到什么启示呢?生讨论后得出:思路1:梯子EF较陡,因为∠EFD>∠ABC,根据倾斜角越大,梯子就越陡.思路2:梯子EF较陡,因为>,根据铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡.师生共同总结:在日常的生活中,我们判断哪个梯子更陡,应该从梯子AB和EF的倾斜角大小,或垂直高度和水平宽度的比的大小来判断.做一做:请通过计算说明梯子AB和EF哪一个更陡呢?生独立解答,代表展示:∵==,==,<,∴梯子EF比梯子AB更陡.[设计意图]通过探究逐层深入的问题,让学生经历由简单到复杂、由特殊到一般的探究过程,既对已学知识和生活经验进行了回味和运用,也让学生的思想逐步向本节课的中心“两直角边之比”靠近.[知识拓展]梯子的倾斜程度的判定方法:(1)梯子的倾斜程度和倾斜角有关系,倾斜角越大,梯子就越陡.(2)梯子的倾斜程度和铅直高度与水平宽度的比有关系,铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡.【想一想】如图所示,小明想通过测量B1C1及AC1,算出它们的比,来说明梯子的倾斜程度;而小亮则认为,通过测量B2C2及AC2,算出它们的比,也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗?(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系?生很容易得出两个三角形相似.由生说明理由:∵∠B2AC2=∠B1AC1,∠B2C2A=∠B1C1A=90°,∴Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2.(2)和有什么关系?由于Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2,所以有=.(3)如果改变B2在梯子上的位置呢?由此你得出什么结论?生先独立思考后分组讨论.生得出结论:改变B2在梯子上的位置,铅直高度与水平宽度的比始终相等.想一想:现在如果改变∠A的大小,∠A的对边与邻边的比值会改变吗?生讨论得出:∠A的大小改变,∠A的对边与邻边的比值会改变.∠A的对边与邻边的比只与∠A的大小有关系,而与它所在直角三角形的大小无关.【总结提升】由于直角三角形中的锐角A确定以后,它的对边与邻边的比也随之确定,因此我们有如下定义:如图所示,在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与邻边之比便随之确定,这个比叫做∠A的正切(tangent),记作tan A,即tan A=.当锐角A变化时,tan A的值也随之变化.能力提升:如果∠A+∠B=90°,那么tan A与tan B有什么关系?生讨论得出结论:tan A=,即任意锐角的正切值与它的余角的正切值互为倒数.【议一议】前面我们讨论了梯子的倾斜程度,在课本图1-3中,梯子的倾斜程度与tan A有关系吗?学生思考后,统一答案:tan A的值越大,梯子越陡.(反之,梯子越陡,tan A的值越大)[设计意图]此环节的设计是为了突出概念的形成过程,帮助学生理解概念.通过让学生参与、动手操作,让学生学会由特殊到一般、数形结合及函数的思想方法,提高学生分析问题和解决问题的能力.[知识拓展]正切的注意事项:(1)tan A是一个完整的符号,它表示∠A的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”.(2)tan A没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A的对边与邻边的比.(3)tan A不表示“tan”乘以“A”.(4)初中阶段,我们只学习直角三角形中锐角的正切.(教材例1)如图所示表示甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?想一想:要判断哪个自动扶梯比较陡,只需求出什么即可?生思考后得出:比较甲、乙两个自动扶梯哪一个陡,只需分别求出tan α,tan β的值进行比较大小即可,正切值越大,扶梯就越陡.要求学生独立解答,代表展示:解:甲梯中,tan α==.乙梯中,tan β==.因为tan α>tan β,所以甲梯更陡.[设计意图]通过对例题的解答让学生初步学会运用“正切”这一数学工具判断梯子的倾斜程度,同时规范学生的解题步骤,培养良好的解题习惯.课件出示:如图所示,有一山坡在水平方向上每前进100 m就升高60 m,那么山坡的坡度 (即tan α)就是: i=tan α==.结论:坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比),tan α=,即坡度等于坡角的正切.[设计意图]正切在日常生活中的应用很广泛,通过正切刻画梯子的倾斜程度及坡度的数学意义,密切数学与生活的联系,使学生明白学习数学就是为了更好地应用数学,为生活服务.[知识拓展]坡度与坡面的关系:坡度越大,坡面越陡.(1)正切的定义:tan A=.(2)梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系):tan A的值越大,梯子越陡.(3)坡度(或坡比)的定义:i=tan α=.1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,则tan A等于()A. B. C. D.解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,∴BC=5,∴tan A=.故选B.2.如图所示,将∠AOB放置在5×5的正方形网格中,则tan∠AOB的值是()A. B.C. D.解析:认真读图,在以∠AOB的O为顶点的直角三角形里求tan∠AOB的值,由图可得tan∠AOB=.故选B.3.(2014·温州中考)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,则tan A的值是.解析:tan A==.故填.4.河堤横断面如图所示,堤高BC=5 m,迎水坡AB的坡度是1∶(坡度是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比),则AB的长是.解析:在Rt△ABC中,BC=5,tan A=1∶,∴AC=5,∴AB==10(m).故填10 m.第1课时(1)正切的定义:tan A=.(2)梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系):tan A的值越大,梯子越陡.(3)坡度(或坡比)的定义:i=tan α=.一、教材作业【必做题】1.教材第4页随堂练习第1,2题.2.教材第4页习题1.1第1,2题.【选做题】教材第4页习题1.1第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则tan A的值为()A. B.C. D.2.小明沿着坡度为1∶2的山坡向上走了1000 m,则他升高了()A.500 mB.200 mC.500 mD.1000 m3.已知斜坡的坡度为i=1∶5,如果这一斜坡的高度为2 m,那么这一斜坡的水平距离为m.【能力提升】4.(2015·山西中考)如图所示,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正切值是()A.2B.C. D.5.如图所示,将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A'B'C',使点B'与C重合,连接A'B,则tan∠A'BC'的值为.6.如图所示,在锐角三角形ABC中,AB=10 cm,BC=9 cm,△ABC的面积为27 cm2.求tan B的值.7.某商场为方便顾客使用购物车,准备将滚动电梯的坡面坡度由1∶1.8改为1∶2.4(如图所示).如果改动后电梯的坡面长为13 m,求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长.【拓展探究】8.如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD是AC边上的中线,若AB=13,BC=10,试求tan∠DBC的值.【答案与解析】1.D(解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,∴tan A===.故选D.)2.B(解析:设铅直高度为x m,∵坡度为1∶2,∴水平宽度为2x m,由勾股定理得x2+(2x)2=10002,解得x=200.∴他升高了200 m.故选B.)3.10(解析:∵斜坡的坡比是1∶5,∴=.∴=,∴斜坡的水平距离为=10 m.故填10.)4.D(解析:如图所示,连接AC,由勾股定理,得AC=,AB=2,BC=,∴△ABC为直角三角形,∴tan B==.故选D.)5.(解析:如图所示,过A'作A'D⊥BC',垂足为D.在等腰直角三角形A'B'C'中,易知A'D是底边上的中线,∴A'D=B'D=.∵BC=B'C',∴tan∠A'BC'===.故填.)6.解:如图所示,过点A作AH⊥BC于H,∵S△ABC=27,∴×9×AH=27,∴AH=6.∵AB=10,∴BH===8,∴tan B===.7.解:在Rt△ADC中,AD∶DC=1∶2.4,AC=13,由AD2+DC2=AC2,得AD2+(2.4AD)2=132,∴AD=±5(负值不合题意,舍去),∴DC=12.在Rt△ABD中,∵AD∶BD=1∶1.8,∴BD=5×1.8=9,∴BC=DC-BD=12-9=3(m).答:改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为3 m.8.解:如图所示,过点A,D分别作AH⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为点H,F.∵BC=10,AH⊥BC,AB=AC,∴BH=5.∵AB=13,∴AH==12,在Rt△ACH中,AH=12,易知AH∥DF,且D为AC中点,∴DF=AH=6,∴BF=BC=,∴在Rt△DBF中,tan∠DBC==.本节课是三角函数部分的第一节概念教学,教学内容比较抽象,学生不易理解.为此结合初中学生身心发展的特点,运用实验教学、直观教学,唤起和加深学生对教学内容的体会和了解,并培养和发展学生的观察、思维能力,这是贯彻“从生动的直观到抽象的思维,并从抽象的思维到实践”的认识规律,能使学生学习数学的过程成为积极的、愉快的和富有想象的过程,使学习数学的过程不再是令人生畏的过程.概念教学由学生熟悉的实例入手,引导学生观察、分析、动手、动脑、动口多种感官参与,并组织学生积极参与小组成员间合作交流.通过由特殊到一般、具体到抽象的探索过程,紧紧围绕着函数概念,引出正切概念,再通过相应的典型题组练习巩固概念.并且在教学过程中,注重了阶段性的反思小结,使学生能够及时总结知识和方法.本节课的开放性还不够,探究梯子倾斜程度时,学生的一些奇思妙想没有给予展示机会.第一个环节内容设计多了一些,所以导致后面的教学处理上稍显仓促.对第一个环节的处理力求更加简洁,并大胆放手让学生去探索、去发现,真正让学生成为学习的主人.随堂练习(教材第4页)1.解:能.tan C====.2.解:根据题意,得AB=200,BC=55,则AC===5,所以山的坡度为=≈0.286.习题1.1(教材第4页)1.解:∵BC===12,∴tan A==,tan B==.2.解:∵tan A==,BC=3,∴AC=BC=.4.tan A=.学生学习时首先通过情境题了解本节课学习的主要任务,做到有的放矢,然后利用“由一般到特殊”的数学思想,通过三个探究活动逐步得出梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系),在探究的过程中可以通过自主探究与合作交流的方式抓住重点,突破难点.学生在运用正切解决问题时,一定要注意其前提条件——在直角三角形中,找准直角是解题的关键.而有些题目需要作辅助线构造直角三角形,也可以通过角度的转化进行求解,同时还要注意数形结合思想的运用.如图所示,设计建造一条道路,路基的横断面为梯形ABCD,设路基高为h,两侧的坡角分别为α,β.已知h=2 m,α=45°,tanβ=,CD=10 m.求路基底部AB的宽.〔解析〕如图所示,过D,C分别作下底AB的垂线,垂足分别为E,F.在Rt△ADE和Rt △BCF中,可根据h的长以及坡角的度数或坡比的值,求出AE,BF的长,进而可求得AB的值.解:如图所示,过D作DE⊥AB于E,过C作CF⊥AB于F,∴DE∥CF.∵四边形ABCD为梯形,∴AB∥CD,∴EF=CD=10 m.∴四边形DCFE为矩形.在Rt△ADE中,α=45°,DE=h=2 m,∴CF=DE=h=2 m.在Rt△BCF中,tan β=,CF=2 m,∴BF=2CF=4(m).故AB=AE+EF+BF=AE+CD+BF=2+10+4=16(m).答:路基底部AB的宽为16 m.[解题策略]此题主要考查了坡度问题的应用,求坡度、坡角问题通常要转换为解直角三角形的问题,必要时应添加辅助线,构造出直角三角形.第课时1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正弦、余弦及三角函数的意义和与现实生活的联系.2.能够用sin A,cos A表示直角三角形中直角边与斜边的比,能够用正弦、余弦进行简单的计算.1.体验数形之间的联系,逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.2.体会数学来源于生活又服务于生活的理念.1.在探究新知的过程中,培养与他人合作的意识.2.激发学生探究新知的兴趣,让他们体会学习数学的快乐,培养应用数学的意识.【重点】1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义,并能举例说明.2.能用sin A,cos A表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形的边角关系进行简单的计算.【难点】类比正切,用函数思想理解正弦和余弦.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习tan A的定义以及利用tan A表示直角三角形两边比的方法.导入一:如图所示,AC是旗杆AB的一根拉线,测得AB=6 m,∠ACB=α,同学们,你能用α表示出拉线AC的长度吗?【问题】边AB和AC分别是∠ACB的什么边?和我们上节课学习的正切一样吗?[设计意图]通过与正切的对比,引出本节课要探究的问题,让学生体会类比思想的重要性.导入二:课件出示:如图所示,我们在上一节课学习了直角三角形中的一种边与角之间的关系——正切.由正切定义我们知道正切是一个比值,并且得出了当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,其对边与邻边的比值便随之确定.【问题】此时,其他边之间的比值也确定吗?[设计意图]引导学生回忆上节课学的正切后,开门见山,直入正题,让学生的思维很快进入今天的学习内容.一、正弦、余弦、三角函数的定义问题1课件出示:如图所示,在直角三角形中,除了两直角边的比值外还有其他边之间的比值吗?生观察后思考得出:还可以用直角边比斜边或斜边比直角边.(这里学生可能会提到多种情况,只要学生回答的有道理就予以肯定和表扬)教师引导:如果以∠A为例,总结一下共有几种情况.【学生活动】同伴交流,总结归纳出两种类型:对边与斜边的比、邻边与斜边的比.【教师点评】在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与斜边的比和邻边与斜边的比也随之确定.【师生活动】共同总结:∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦(sine),记作sin A,即sin A=.∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine),记作cos A,即cos A=.锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.提示:当锐角A变化时,相应的正弦、余弦和正切值也随之变化.[设计意图]通过探究,引导学生类比正切的概念总结出正弦、余弦及三角函数的概念,为下面的学习打下良好的基础.【想一想】在教材图1-3中,梯子的倾斜程度与sin A和cos A有关系吗?。
九年级数学下册：第一章直角三角形的边角关系复习教案(北师大版)
第1章直角三角形的边角关系课题回顾与思考教具目标(一)教学知识点1．经历回顾与思考，建立本章的知识框架图．2．利用计算器，发现同角的正弦、余弦、正切之间的关系。
3．进一步体会直角三角形边角关系在现实生活中的广泛应用．(二)能力训练要求1．体会数形之间的联系，逐步学会利用数形结合的思想分析问题和解决问题．2．进一步体会三角函数在现实生活中的广泛应用，增强应用数学的意识．(三)情感与价值观要求1．在独立思考问题的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点．并尊重与理解他人的见解，在交流中获益．2．认识到数学是解决现实问题的重要工具，提高学习数学的自信心．教学重点1．建立本章的知识结构框架图．2．应用三角函数解决现实生活中的问题，进一步理解三角函数的意义．教学难点应用三角函数解决问题教学方法探索——发现法教具准备多媒体演示、计算器教学过程Ⅰ．回顾、思考下列问题，建立本章的知识框架图[师]直角三角形的边角关系，是现实世界中应用广泛的关系之一．通过本章的学习，我们知道了锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用．如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，—般来说，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角的关系．利用锐角三角函数解决实际问题是本章的重要内容，很多实际问题穿插于各节内容之中．[问题门举例说明，三角函数在现实生活中的应用．[生]例如：甲、乙两楼相距30 m，甲楼高40 m，自甲楼楼顶看乙楼楼顶．仰角为30°，乙楼有多高?(结果精确到1 m)解：根据题意可知：3乙楼的高度为30tn30°=40+30×3=40+103≈57(m)，即乙楼的高度约为57 m．[生]例如，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距180 m的P和Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正南方向，在Q南偏西50°的方向，求河宽(结果精确到1 m)．解：根据题意，∠TPQ＝90°，∠PQT=90°-50°＝40°，PQ＝180 m．则：PT就是所求的河宽．在Rt△TPQ中，PT=180×tan40°=180×0．839≈151 m，即河宽为151 m．[师]三角函数在现实生活中的应用很广泛，下面我们来看一个例子．多媒体演示如图．MN表示某引水工程的一段设计路线从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°的方向上有一点A，以A为圆心，500 m为半径的圆形区域为居民区，取MN上的另一点B，测得BA 的方向为南偏东75°，已知MB＝400 m，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区?[师生共析]解：根据题意可知∠CMB=30°，∠CMA＝60°，∠EBA＝75°，MB=400 m，输水路线是否会穿过居民区，关键看A 到MN 的最短距离大于400 m 还是等于400 m ，于是过A 作AD ⊥MN ．垂足为D ．∵BE//MC ．∴∠EBD ＝∠CMB ＝30°．∴∠ABN=45°．∠AMD ＝∠CMA-∠CMB ＝60°-30°=30°．在Rt △ADB 中，∠ABD ＝45°，∴tan45°＝BD AD ，BD ＝︒45tan AD ＝AD ， 在Rt △AMD 中．∠AMD=30°，tan30° =MD AD ，MD ＝︒30tan AD =3AD ， ∵MD=MD-BD ，即 3AD-AD ＝400， AD-200(3+1)m>400m ．所以输水路线不会穿过居民区．[师]我们再来看[问题2]任意给定一个角，用计算器探索这个角的正弦、余弦、正切之间的关系．例如∠α＝25°，sin α、cos α、tan α的值是多少?它们有何关系呢?[生]sin25°≈0．4226，cos25°≈0．9063，tan25°≈0．4663． 而︒︒25cos 25sin ≈0．4663． 我们可以发现ααcos sin ＝tan α． [师]这个关系是否对任意锐角都成立呢?我们不妨从三角函数的定义出发来推证一下．[师生共析]如 图，在Rt △ABC 中． ∠C ＝90°，∵sinA ＝ABBC cosA ＝AB AC tanA ＝ACBC ， ∴ACBC AC AB AB BC AB AC AB BC A A =⋅=÷=cos sin =tanA, tanA=A A cos sin . 这就是说，对于任意锐角A ，∠A 的正弦与余弦的商等于∠A 的正切．[师]下面请同学们继续用计算器探索sin α，cos α之间的关系．[生]sin 225°≈0．1787,cos 225°≈0．8213，可以发现：sin 225°+cos 225°≈0．1787+0．8213＝1．[师]我们可以猜想任意锐角都有关系：sin 2α+cos 2α＝1，你能证明吗?[师生共析]如上图．sinA= AB BC ，cosA=ABAC sin 2A+cos 2A ＝2222222AB AC BC AB AC AB BC +=+， 根据勾股定理，得BC 2+AC 2＝AB 2，∴sin 2A+cos 2A ＝1，这就是说,对于任意锐角A ，∠A 的正弦与余弦的平方和等于1．[师]我们来看一个例题，看是否可以应用上面的tanA 、sinA 、cosA 之间的关系．已知cosA=53，求sinA ．tanA ． [生]解：根据sin 2A+cos 2A ＝1．得sinA ＝.54)53(1cos 122=-=-A tanA=345354cos sin ==A A . [生]我还有另外一种解法,用三角函数的定义来解．解：∵cosA ＝.53=∠斜边的邻边A 设∠A 的邻边＝3k ．斜边＝5k ．则∠A 的对边＝.4)3()5(22k k k =-∴sinA=.5454==∠k k A 斜边的邻边 tanA=.3434==∠∠k k A A 的邻边的对边 [师]问题3：你能应用三角函数解决哪些问题?[生]锐角三角函数反映了直角三角形的边角关系．凡是属于直角三角形的问题或可以转化为直角三角形的问题，都可以用三角函数来解决．[师]我们知道在直角三角形中，除直角外，有两个锐角．两条直角边以及斜边共5个元素，它们之间的关系很丰富．如图：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ．(1)边的关系：a 2+b 2=c 2(勾股定理)：(2)角的关系：∠A+∠B ＝90； (3)sinA=c a ，cosA=c b ，tanA=b a ；sinB=c b ，cosB=c a ，tanB=ab ． 利用三角形的全等和直角三角形全等，以及作图，我们知道：当一直角边和斜边确定时，直角三角形唯一确定，即直角三角形的一直角边和斜边已知，则直角三角形中其他元素都可以求出．同学们不妨试一试．[生]例如Rt △ABC 中，∠C ＝90°．a ＝4，c=8求b ，∠A 及∠B解：∵a ＝4，c ＝8，根据勾股定理可得 b=3422=-a c .∵sinA=c a =2184=， ∴∠A ＝30°．又∵∠A+∠B ＝90°，∴∠B ＝60°．[师]很好，是不是只要知道直角三角形除直角外的两个元素，其余元素就都可以求出呢?[生甲]可以．[生乙]不可以．例如Rt △ABC 中，∠c ＝90°，∠A ＝25°．∠B=65°．这样的直角三角形有无数多个，是不唯一确定的，所以其余的元素无法确定．[生丙]我认为已知直角三角形中除直角外的两个元素．其中至少有一个边，就可以求出其余元素．[师]很好，我们来做一个练习．多媒体演示：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A ，∠B 、∠C 的对边．(1)已知a ＝3，b ＝3，求C ，∠A ，∠B ．(2)已知b ＝5，c ＝10，求a ，∠A ，∠B ．(3)已知∠A=45°，c ＝8，求a ，b ，∠B ．[生]解：(1)根据勾股定理c ．=23332222=+=+b a .又∵tanA ∴∠A=b a =33=1, ∴∠A=45°． 又∵∠A+∠B ＝90，∴∠B ＝45°．(2)根据勾股定理，得a=355102222=-=-b c ,又∵sinB ＝21105==c b ∴∠B=30°． 又∵∠A+∠B=90°∴∠A=60°.(3)∵sinA=ca ∴=csinA=8×sin45°=42, 又∵cosA ＝c b ∴b=c ·cosA ＝8×cos45°=42， 又∵∠A+∠B ＝90°，∴∠B=45°．[师]实践证明，在直角三角形中，已知除直角外的两个元素(至少有一个是边)，利用直角三角形中特殊的边的关系、角的关系、边角关系，就可求出其余所有元素．因此，在现实生活中，如测量、建筑、工程技术和物理学中，常遇到的距离、高度、角度都可以转化到直角三角形中，这些实际问题的数量关系往往就归结为直角三角形中边和角的关系问题．接下来，我们看问题4：如何测量一座楼的高度?你能想出几种办法?[生]有四种方法：第一种：用太阳光下的影子来测量．因为在同一时刻，物体的高度与它的影子的比值是一个定值．测量出物体的高度和它的影子的长度，再测出高楼在同一时刻的影子的长度．利用物体的高度：物体影子的长度＝高楼的高度，高楼影子的长度．便可求出高楼的高．第二种：在地面上放一面镜子，利用三角形相似，也可以测量出楼的高度．第三种：用标杆的方法．第四种：利用直角三角形的边角关系求楼的高度．[师]下面就请同学们对本章的内容小结，建立本章内容框架图．[师生共析]本章内容框架如下：Ⅱ．随堂练习1．计算(1)︒-︒︒-︒45cos 60sin 45sin 30cos (2)sin 230°+2sin60°+tan45°-tan60°+cos 230°；(3)原式＝.60tan 60tan 60tan 212︒-︒+︒-解：（1）原式=22232223--=1； （2）原式=（21）2+2×23+1-3+（23）2； =4331341+-++ =1+1=2（3）原式=︒-︒-60tan )60tan 1(2＝｜1-tan60°｜-tan60°＝tan60°-1-tan60°＝-1．2．如图，大楼高30 m ，远处有一塔BC ，某人在楼底A 处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D 测得塔顶的仰角为30°，求塔高BC 及楼与塔之间的距离AC(结果19确到0．0l m)．解：没AC=x ，BC ＝y ，在Rt △ABC 中，tan60°=xy ，① 在Rt △BDE 中．tan30°=x y 30-，② 由①得y ＝3x ，代入②得33=xx 303 . x=153≈25．98(m)．将x ＝153代入y=3x=3×153 ＝45(m)．所以塔高BC 为45 m ，大楼与塔之间的距离为25．98 m ．Ⅲ．课时小结本节课针对回顾与思考中的四个问题作了研讨，并以此为基础，建立本章的知识框植架结构图．进一步体验三角函数在现实生活中的广泛应用．Ⅳ．课后作业复习题A 组1，2，5，6，8B 组2．3，4，5，6Ⅴ．活动与探究如图．AC 表示一幢楼，它的各楼层都可到达；BD 表示一个建筑物，但不能到达．已知AC 与BD 地平高度相同，AC 周围没有开阔地带，仅有的测量工具为皮尺(可测量长度)和测角器(可测量仰角、俯角和两视线间的夹角)．(1)请你设计一个测量建筑物BD 高度的方案，要求写出测量步骤和必要的测量数据(用字母表示)，并画出测量示意图：(2)写出计算BD 高度的表达式．[过程]利用测量工具和直角三角形的边角关系来解决．这里的答案不唯一，下面只写出一种方法供参考．[结果]测量步骤(如图)：①用测角器在A 处测得D 的俯角α；②用测角器在A 处测得B 的仰角β ③用皮尺测得AC=am ．(2)CD=αtan a ,BE=αtan a ·tan β, BD=a+αβtan tan a . 板书设计回顾与思考本章内容结构框架图:。
九年级数学第1章直角三角形的边角关系复习教案新版北师大版
第1章直角三角形的边角关系一、复习目标1.掌握锐角三角函数的概念和特殊角的三角函数值,并熟练运用于解直角三角形及与直角三角形有关的实际问题.2.将实际问题转化为数学问题,建立数学模型 二、课时安排 1课时三、复习重难点将实际问题转化为数学问题,建立数学模型 四、教学过程 （一）知识梳理（二）题型、方法归纳 类型一 求三角函数值例1 在△ABC 中，∠C＝90°，sin A ＝45，则tan B ＝( )A .43B .34C .35D .45[解析] B 根据sin A ＝45，可设三角形的两边长分别为4k,5k ，则第三边长为3k ，所以tan B ＝3k 4k ＝34.归纳：求三角函数值方法较多，解法灵活，在具体的解题中要根据已知条件采取灵活的计算方法，常用的方法主要有：(1)根据特殊角的三角函数值求值；(2)直接运用三角函数的定义求值；(3)借助边的数量关系求值；(4)借助等角求值；(5)根据三角函数关系求值；(6)构造直角三角形求值．类型二 特殊角的三角函数值 例2 计算：33＋tan 60°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－230.[解析] 本题考查数的0次幂、分母有理化和特殊角的三角函数值． 解：原式＝3＋3＋1＝23＋1.类型三 利用直角三角形解决和高度有关的问题例3 如图X 1－1，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼AB 的高度．小刚在D 处用高1.5 m 的测角仪CD ，测得教学楼顶端A 的仰角为30°，然后向教学楼前进40 m 到达EF ，又测得教学楼顶端A 的仰角为60°.求这幢教学楼AB 的高度．[解析] 设CF 与AB 交于点G ，在Rt △AFG 中，用AG 表示出FG ，在Rt △ACG 中，用AG 表示出CG ，然后根据CG －FG ＝40，可求AG.解：设CF 与AB 交于点G ，在Rt △AFG 中，tan ∠AFG＝AG FG ，∴FG＝AG tan ∠AFG ＝AG3.在Rt △ACG 中，tan ∠ACG＝AG CG ，∴CG＝AGtan ∠ACG ＝3AG.又CG －FG ＝40，即3AG －AG 3＝40， ∴AG＝203，∴AB＝(203＋1.5)m . 答：这幢教学楼AB 的高度为(203＋1.5)m .归纳; 在生活实际中，特别在勘探、测量工作中，常需了解或确定某种大型建筑物的高度或不能用尺直接量出的两地之间的距离等，而这些问题一般都要通过严密的计算才可能得到答案，并且需要先想方设法利用一些简单的测量工具，如：皮尺，测角仪，木尺等测量出一些重要的数据，方可计算得到．有关设计的原理就是来源于太阳光或灯光与影子的关系和解直角三角形的有关知识．类型四 利用直角三角形解决平面图形中的距离问题例4 为建设“宜居宜业宜游”山水园林式城市，内江市正在对城区沱江河段进行区域性景观打造，某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点A ，再在河这边沿河边取两点B ，C ，在B 处测得点A 在北偏东30°方向上，在点C 处测得点A 在西北方向上，量得BC 长为200米．求小河的宽度(结果保留根号)．[解析] 过点A 作AD⊥BC 于点D ，根据∠CAD＝45°，可得BD ＝BC －CD ＝200－AD.在Rt △ABD 中，根据tan ∠ABD＝ADBD ，可得AD ＝BD·tan ∠ABD＝(200－A D)·tan 60°＝3(200－AD)，列方程AD ＋3AD ＝2003，解出AD 即可．（三）典例精讲如图X1-J-5，一条输电线路从A 地到B 地需要经过C 地，图中AC =20 km ，∠CAB =30°，∠CBA =45°，因线路整改需要，将从A 地到B 地之间铺设一条笔直的输电线路.（1）求新铺设的输电线路AB 的长度；（结果保留根号）（2）问整改后从A 地到B 地的输电线路比原来缩短了多少千米.（结果保留根号）解：（1）如答图X1-J-2，过点C 作CD ⊥AB ，交AB 于点D .在Rt △ACD 中，答：新铺设的输电线路AB 的长度为 km.（四）归纳小结1、本节例题学习以后，我们可以得到解直角三角形的两种基本图形：2.(1)把实际问题转化成数学问题，这个转化为两个方面：一是将实际问题的图形转化为几何图形，画出正确的平面或截面示意图，二是将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系.(2)把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，画出直角三角形.（五）随堂检测1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2,BC= 3,则 tan = 。
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系复习教学设计
7.教学策略：
a.采用启发式教学，引导学生主动探究，发现规律。
b.结合多媒体教学手段，如动画、图片等，形象直观地展示直角三角形的性质和判定方法。
c.设计具有挑战性的问题，激发学生的求知欲，培养他们解决问题的能力。
1.学生对基础知识的掌握程度，查漏补缺，巩固直角三角形的基本概念和性质。
2.培养学生运用三角函数解决实际问题的能力，注异化教学，提高学生的整体水平。
4.激发学生的学习兴趣，鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的自主学习能力。
在教学过程中，教师应关注学生的心理特点，营造轻松愉快的学习氛围，使学生在愉悦的情感中掌握知识，提高能力。同时，注重培养学生的合作意识和团队精神，提高学生在集体中的沟通与协作能力。
d.定期组织课堂小结，帮助学生巩固所学知识，提高学习效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课阶段，我将通过一个简单的实际问题来激发学生的兴趣和好奇心。我会向学生展示一张学校升旗仪式的照片，并提问：“同学们，你们知道我们学校的旗杆有多高吗？”这个问题与学生的日常生活紧密相关，能够吸引他们的注意力。接下来，我会引导学生思考如何用数学方法来解决这个问题，自然引出直角三角形的边角关系。
在学生完成练习后，我会挑选部分习题进行讲解，分析解题思路和方法，帮助学生发现并纠正错误。
（五）总结归纳
在总结归纳环节，我会带领学生回顾本节课的主要内容，包括直角三角形的定义、性质、判定方法以及三角函数的应用。我会让学生分享自己在小组讨论和课堂练习中的收获和困惑。
此外，我还会强调数学知识在实际生活中的应用价值，鼓励学生在日常生活中多观察、多思考，将所学知识用于解决实际问题。通过这样的总结归纳，学生能够对直角三角形的边角关系有一个更加全面和深入的理解。
北师大版九年级数学下册：第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》教案
北师大版九年级数学下册：第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》主要介绍了直角三角形的性质，包括锐角三角函数的概念、直角三角形的边角关系等。
本章内容是初中数学的重要知识点，为后续学习三角形相似、解直角三角形等知识打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了三角形的基本概念和性质，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但学生在学习过程中，可能对锐角三角函数的理解和应用存在困难，因此需要通过本章内容的学习，帮助学生巩固直角三角形的性质，提高解题能力。
三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握锐角三角函数的概念。
2.学会运用直角三角形的性质解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.重点：直角三角形的性质，锐角三角函数的概念。
2.难点：锐角三角函数的应用，解直角三角形。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、合作学习法等，引导学生主动探究、积极思考，提高学生的学习兴趣和参与度。
六. 教学准备1.教学课件：制作直角三角形性质、锐角三角函数的课件。
2.教学素材：提供相关案例，如实际问题、例题等。
3.学习工具：准备好直角三角形、锐角三角函数的相关资料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如测量身高、测距等，引出直角三角形的性质和锐角三角函数的概念。
激发学生的学习兴趣，引导学生思考直角三角形在实际生活中的应用。
2.呈现（15分钟）呈现直角三角形的性质和锐角三角函数的定义，通过动画、图片等形式展示，帮助学生直观地理解。
同时，给出相关案例，让学生体会直角三角形性质和锐角三角函数在实际问题中的作用。
3.操练（15分钟）针对直角三角形的性质和锐角三角函数，设计一系列练习题。
让学生独立完成，巩固所学知识。
教师及时批改、讲解，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）通过小组合作学习，让学生运用直角三角形的性质和锐角三角函数解决实际问题。
北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系复习优秀教学案例
4.在学生解答问题过程中，教师要及时给予反馈和指导，帮助学生纠正错误、完善解题思路。
（三）小组合作
1.将学生分成小组，鼓励学生进行合作学习和讨论交流，培养学生的团队合作能力和沟通能力。
2.设计具有挑战性和综合性的任务，引导学生通过合作解决问题，提高学生的解决问题能力和创新思维能力。
5.教学策略的灵活性：本案例运用了多种教学策略，如情景创设、问题导向、小组合作和反思与评价等，使教学过程丰富多样，激发了学生的学习动力和兴趣。教师能够根据学生的学习情况和反馈，灵活调整教学策略，以达到最佳的教学效果。
本案例背景与学科和课本内容紧密相关，符合教学实际，使用人性化的语言进行撰写。教学案例将直角三角形的边角关系与实际问题相结合，引导学生通过观察、分析、推理等方法，探索和发现直角三角形的边角关系，提高学生的数学思维能力和问题解决能力。
在教学过程中，教师将注重启发学生主动参与，积极思考，通过小组合作、讨论交流等方式，促进学生之间的互动和合作学习。同时，教师将引导学生运用多种解题策略和方法，提高学生的解题技巧和思维灵活性。
五、案例亮点
1.情景创设的真实性：本案例以实际问题情境为导入，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发了学生的学习兴趣和好奇心。这种真实性的情境创设，使学生能够更好地理解直角三角形的边角关系，并能够将其应用于实际问题中。
2.问题导向的有效性：本案例通过一系列由浅入深、循序渐进的问题，引导学生主动参与思考和探索，培养了学生的批判性思维和创新意识。这些问题不仅帮助学生巩固了已学的知识，还提高了学生的知识应用能力和问题解决能力。
3.小组合作的深度性：本案例鼓励学生进行小组合作和讨论交流，培养了学生的团队合作能力和沟通能力。通过合作解决问题，学生能够更深入地理解和掌握直角三角形的边角关系，同时也能够相互学习和借鉴解题策略和方法。
北师大版九年级数学下册：第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》教学设计
北师大版九年级数学下册：第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》主要包括两大部分内容：一是对直角三角形边角关系的回顾，包括勾股定理的发现和证明，以及直角三角形的性质；二是对直角三角形边角关系的思考，包括锐角三角函数的概念和应用，以及三角函数的图像和性质。
本章内容是初中数学的重要内容，是学生进一步学习高中数学的基础。
通过本章的学习，学生应掌握直角三角形的边角关系，理解锐角三角函数的概念和应用，为学习高中数学打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了直角三角形的性质，对勾股定理有一定的了解，但对其证明方法和应用可能还不够深入。
对于锐角三角函数，学生可能第一次接触，对其概念和应用可能存在一定的困难。
三. 教学目标1.回顾直角三角形的边角关系，加深对勾股定理的理解，掌握直角三角形的性质。
2.学习锐角三角函数的概念和应用，理解三角函数的图像和性质。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：直角三角形的边角关系，锐角三角函数的概念和应用。
2.教学难点：勾股定理的证明，锐角三角函数的图像和性质。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主学习、合作交流，发现和总结直角三角形的边角关系。
2.使用多媒体教学，展示勾股定理的证明过程，直观地展示锐角三角函数的图像和性质。
3.结合实例，引导学生运用直角三角形的边角关系和锐角三角函数解决实际问题。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.勾股定理的证明课件。
3.锐角三角函数的图像和性质的课件。
4.与直角三角形和锐角三角函数相关的练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾直角三角形的性质，引出本节课的主题——直角三角形的边角关系。
2.呈现（10分钟）利用多媒体展示勾股定理的证明过程，引导学生理解并掌握勾股定理。
3.操练（10分钟）让学生独立完成与勾股定理相关的练习题，巩固所学知识。
北师大版初三数学下册直角三角形的边角关系复习教案
英德市英城街中学20 16学年第 二 学期集体备课教案科 组：数学组主备老师：李翠萍授课班级：九（4）班）授课时间：第___11 _周 星期__五— 第__2 —节时间：2017年 4月28 日直角三角形的边角关系复习1、 通过复习进一步理解锐角三角形函数的概念，能熟练地应用 sinA , cosA,tanA 表示直角三角形（其中有一个锐角是A ）中的两边的比，熟记30°, 45°, 60 °角的各三角函数的数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角。
2、 理解直角三角形中边角之间的关系， 会运用勾股定理，直角三角形 的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有 关知识来解某些简单的实际问题，从而进一步把数和形结合起来，培养应 用数学知识的意识。
3、 能够解决与三角形或与锐角三角函数有关的实际问题， 增强分析能力和逻辑推理能力。
重点：理解锐角三角函数的概念，熟记特殊角三角函数值，并能 够解决与直角三角形有关的实际问题。
难点：锐角三角函数的应用。
.知识要点梳理:1. 锐角三角函数的定义：如图，在Rt A ABC 中，/ C = 90°,(1) 正弦：sinA = (2) 余弦：cosA = (3) 正切：tanA =备课组长意见: 课题教 学 目 标重点、难点教学方法 小组合作课时安排教学工具多媒体教 学 过 程则有:2. 解直角三角形的关系公式（如图）：(1) _________________________ 三边关系：________________________________ .(2)角关系：/ A+ / B= __________(3)边角关系：sinA二_________ , sinB二 _________ ,cosA= ________ ,coS3= ________ ,tanA=_________ , tanB= _________ .3•特殊角的三角函数值30°45°60°sincostan程二.练一练：1、填空:(1) sin30° + cos45° + tan60°的值是_______ 。
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第一章直角三角形的边角关系
一、本章知识要点：
1、锐角三角函数的概念；
2、解直角三角形。
二、本章教材分析：
（一）.使学生正确理解和掌握三角函数的定义，才能正确理解和掌握直角三角形中边与角的相互关系，进而才能利用直角三角形的边与角的相互关系去解直角三角形，因此三角形函数定义既是本章的重点又是理解本章知识的关键,而且也是本章知识的难点。
如何解决这一关键问题，教材采取了以下的教学步骤：
1.从实际中提出问题，如修建扬水站的实例，这一实例可归结为已知RtΔ的一个锐角和斜边求已知角的对边的问题。
显然用勾股定理和直角三角形两个锐角互余中的边与边或角与角的关系无法解出了，因此需要进一步来研究直角三角形中边与角的相互关系。
2.教材又采取了从特殊到一般的研究方法利用学生的旧知识，以含30°、45°的直角三角形为例：揭示了直角三角形中一个锐角确定为30°时，那么这角的对边与斜边之比就确定比值为1：2，接着以等腰直角三角形为例，说明当一个锐角确定为45°时，其对边与斜边之比就确定为,同时也说明了锐角的度数变化了,由30°变为45°后,其对边与斜边
的比值也随之变化了,由到。
这样就突出了直角三角形中边与角之间的相互关系。
3.从特殊角的例子得到的结论是否也适用于一般角度的情况呢？教材中应用了相似三角形的性质证明了:当直角三角形的一个锐角取任意一个固定值时，那么这个角的对边与斜边之比的值仍是一个固定的值，从而得出了正弦函数和余弦函数的定义，同理也可得出正切、余切函数的定义。
4.在最开始给出三角函数符号时，应该把正确的读法和写法加强练习，使学生熟练掌
握。
同时要强调三角函数的实质是比值。
防止学生产生sinX=60°,sin X=等错误，要讲清sinA不是sin*A而是一个整体。
如果学生产生类似的错误，应引导学生重新复习三角函数定义。
5.在总结规律的基础上，要求学生对特殊角的函数值要记准、记牢,再通过有关的练习加以巩固。
在解三角形的过程中，需要会求一般锐角的三角函数值，并会由已知的三角函数值求对应的角度。
为此，教材中安排介绍了查三角函数表的方法，学生在查表过程中容易出错，尤其是在查余弦、余切表时，特别是在查表前，应适当讲一下锐角三角函数值的变化规律。
6.从定义总结同角三角函数关系式：在学生熟练掌握定义的基础上，师生共同来发现如下的同角三角函数关系式，培养学生分析问题、总结规律、发现问题的习惯和能力。
例如：
sinA=sinB=
cosA=cosB=
tanA= tanB=
cotA= cotB=
有哪些函数的值相等呢？如下：
sinA=cosB
∵∠A+∠B=90° cos(90°-B)=sinB
∠A=90°-∠B tan(90°-B)=cotB
∴sin(90°-∠B)=cosB cot(90°-B)=tanB
关于∠A可由学生自己推出。
又有: tanA·cotA= tanA= cotA=
∵ sinA=
cosA=
∴
四个三角函数的基本性质：根据特殊角的三角函数值和查三角函数可以得出：
①正弦、正切的函数值是随着角度的增大而增大，正弦函数（在0°90°）
sin0°=0, sin90°=1,正切函数(在0°90°)tan0°, tan90°不存在。
②余弦、余切的函数值是随角度的增大而减小，余弦函数(0°90°) cos0°=1,
cos90°=0，cos0°不存在，cot90°=1.
为了巩固这一部分知识，应该通过一些基本练习题使学生达到熟练掌握的目的。
练习题如下：
填空：
（1）知：α+β=90°，sinα=则cosβ=——.
（2）已知：sin27=a,则cos63°=___.
（3）已知：tan42°=c, 则cot48°=__.
（4）计算：tan48°+——.
（5）已知A为锐角，化简：——.
（6）已知O°<α<45°，化简= ——.
（7）化简：= ——.
（8）已知：cosα=0.1756,sinβ=0.1756 则锐角α与β之间的关系是__。
（9）在ΔABC中，∠C=90°，如果45°<A<90°，0°<B<45°，那么sin A与 cos A 较大的是，sin B与cos B中较小的是。
（10）已知ΔABC中∠C=90°，0°<∠B<45°，那么(sin A–cos A)与 (sin B-cos B)中是正数的是。
（11）ΔABC中，∠C=90°，a、b、c为∠A、∠B、∠C的对边，当b=10时,sinA=m(m 为常数),当b=100时,a、b、c各扩大10倍， sinA=___.
（12）ΔABC中,∠B=30°，∠C=45°,AB=8cm,则AC=___,
判断下列各题是否正确（α角为锐角）
（1）sinα=cos42°,则α=42° （）
（2）cotα=tan17°，则α=83° （）
（3）cos(90°-α)=sin36°,α=36° ( )
（4）tan(90°-α)=cot53°,α=37° ( )
（5）sin40°+sin30°=sin70° ( )
（6）( )
不查表判断下列各式的正负：
(1)cot75° ( ) (2)cos42°-cos46° ( )
(3)cos46°-cos47° ( ) (4)tan75°-cot14° ( )
(5)sin50°-cos50° ( ) (6)tan50°-sin50° ( )
（二）、解直角三角形
1、解直角三角形是本章重点，正确地选择关系式，先将已知和未知联系起来，然后进行正确地计算是解直角三角形的关键。
2、解直角三角形的依据有如下公式：
① 三边之间关系：
② 角之间关系：∠A+∠B=90°
③ 边角之间关系：sinA=cosB=；cosA=sinB=；
tanA=cotB=； cotA=tanB=。
3、直角三角形可解的条件：在两个锐角和三边这五个条件中，必须已知两个独立的条件且两个条件中至少有一个条件是边。
根据可解的条件的分类，可有如下类型及其解法：
a已知两边：两条直角边（a , b ）解法：c=
tanA=求∠A
∠B=90°-∠A
斜边和一条直角边( a , c ) 解法： b=
用si nA=求A
∠B=90°-∠A
b一边和一锐角一条直角边和锐角A: ∠B=90°-∠A
b=
c=
斜边C和锐角A: ∠B=90°-∠A
a=c sinA
b=
4、解直角三角形的应用
（1）、解决实际中提出的问题：如测量、航海、工程技术和物理学中的有
关距离、高度、角度的计算，应用中要根据题意，准确画出图形，从图中确
定要解的直角三角形，解直角三角形时，充分使用原始数据，正确选择关系
式，使运算尽可能简便、准确。
（2）、在解决实际问题中，仰角俯角；坡度坡角水平距离，垂直距离等概
念，一定要在弄清概念的含意的基础上，辨别出图中这些概念的位置。
（3）、如果图中无直角三角形，可适当地作垂线，转化为直角三角形，间
接地解出。
（4）、在解一些较复杂图形时，注意借助于几何图形的性质，可使得问题
得到解决。
练习题如下：
1、填空：
（1）等腰三角形腰长为10cm，顶角为120°，则三角形底边长为，高为，
面积为。
（2）正三角形边长为2a，则一边上的高线长为。
（3）正三角形一边上中线长为3，则边长为。
（4）正三角形一边长为6，则正三角形外接圆半径R= 。
（5）RtΔABC中，∠C=90°，a、b、c分别为A、B、C的对边，a+c=4+，∠A=60°，则R= ，C= 。
2、梯形的两底边分别为15cm，5cm，两底角分别为60°，30°。
求梯形的
周长。
3、如图电视塔建立在20米高的小山顶上，从水面上一点D测得塔顶A的仰
角为60°，测得塔基B的仰角为30°，求塔高AB。
4、在ΔABC中，∠C=90°，a=10，ΔABC的面积SΔ=，求角A及边长
C。
5、如图，ΔABC中CD⊥AB于D，AD=BC=4，cotA=，
求：（1）AC与BD的长；（2）∠B的度数。
6、在ΔABC中，∠C=90°，如果cotA=，求
的值。
7、在ΔABC中，∠C=90°，如果AB=2，tanA=，求的值。