海淀区2018-2019学年第二学期期中高一数学试题及答案

高一年级期中统一练习数 学2019.04学校 班级 姓名 成绩一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）sin30cos15cos30sin15︒︒+︒︒等于 ( )（A ）12（B）2 （C ）cos15︒ （D ）sin15︒（2）已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则它的体积为 （ ）（A ）2 （B ）4 （C ）6（D ）12（3） 在ABC △中，1a =，2c =，30A ∠=，则C ∠等于 ( )（A ）45 （B ）60 （C ）90 （D ）120（4）已知直线m 和平面,αβ，则下列四个命题中正确的是 （ ）（A ）若αβ⊥，m β⊂，则m α⊥ （B ）若m α，m β，则αβ（C ）若αβ，m α，则m β（D ）若αβ，m α⊥，则m β⊥（5）如图，正方体1111ABCD A B C D -被平面1ACB 和平面1ACD 分别截去三棱锥1B ACB -和三棱锥1D ACD -后，得到一个n 面体，则这个n 面体的左视图和n 值为 （ ）111A. B. C. D.（A ）6 （B ）6 （C ）7 （D ）7（6）已知π0,(,π)2αββ<<∈，1sin 2α=，4sin 5β=，则cos()αβ-等于（ ） （A（B（C（D （7）已知球O 的半径为1，,A B 是该球面上的两点，且线段1AB =，点P 是该球面上的一个动点（不与,A B 重合），则APB ∠的最小值与最大值分别是 （ ）（A ）（B ）（C ）（D ） （8）由等边三角形组成的网格如图所示，多边形ABCDEFGHIJ 是某几何体的表面展开图，对于该几何体（顶点的字母用展开图相应字母表示，对于重合的两点，取字母表中靠前的字母表示），下列结论中正确的是 （ ）（A ）BJ ⊥平面ADJ （B ）平面BCJ平面EAD（C ）平面ECB ⊥平面EAD （D ）BE ⊥AJ二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上. （9）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为. （10）在ABC △中，sin sin ,B C a ==，则B ∠=______.（11）已知正方形ABCD 的边长为1，将ADC △沿对角线AC 折起，若折叠后平面ACD ⊥平面ACB ，则此时点,B D 之间的距离是 . （12）已知π,(0,)2αβ∈，11tan ,tan 32αβ==，则αβ+= . （13）在ABC △中，4c =，30B ∠=︒，请给出一个b 的值，使得此三角形有两解，则bJI H G FEDCBA的一个值是 .（14）如图所示，在长方体1111D C B A ABCD -中，111B B B D =，点E 是棱1CC 上的一个动点，若平面1BED 交棱1AA 于点F ，给出下列命题：. ① 四棱锥11B BED F -的体积恒为定值； ②存在点E ，使得1B D ⊥平面1BD E ；③存在唯一的点E ，使得截面四边形F BED 1的周长取得最小值；④存在无数个点E ，在棱AD 上均有相应的点G ，使得CG平面1EBD ，也存在无数个点E ，对棱AD 上任意的点G ， 直线CG 与平面1EBD 均相交.其中真命题的是_____ ___．（填出所有正确答案的序号）三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题共11分）已知()2cos (sin )f x x x x =-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间; （Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的取值范围.(16)（本小题共11分）在△ABC 中，点D 是BC 边上一点，2AD =,AC =,60ADC ∠=︒.（Ⅰ）求cos C 的值； （Ⅱ）若△ABD的面积为2，求sin BAC ∠的值.ED 1C 1B 1A 1D CBA(17)（本小题共12分）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形. （Ⅰ）求证：//AD PBC 平面；（Ⅱ）若PB PD =， 求证：BD PAC ⊥平面； （Ⅲ）（下面两问任选一问作答，第（1）问满分4分，第（2）问满分5分） ①,E F 分别是,A B P D 上的点，若//EF PBC 平面,2AE EB =，求PF PD的值.②若60DAB ∠=︒，PAD ABCD ⊥平面平面 ，PB PD ⊥ ，判断△PAD 是否为等腰三角形？并说明理由.(18)（本小题共10分）已知非常数函数()f x 的定义域为R ，如果存在正数T ，使得x ∀∈R ，都有()()f x T T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有性质T . （Ⅰ）判断下列函数是否具有性质T ？并说明理由;① 1()21f x x =-；②2()cos(2π1)f x x =+.（Ⅱ）若函数()sin()(0)f x x ωφω=+>具有性质T ，求ω的最小值; （Ⅲ）设函数()g x 具有性质T ，且存在0M >，使得x ∀∈R ，都有()g x M <成立，求证：()g x 是周期函数.DCBAP附加题：（本题满分5分。

所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分） 设P 为多面体M 的一个顶点，定义多面体M 在点P 处的离散曲率为()122311112πk k k Q PQ Q PQ Q PQ Q PQ --∠+∠++∠+∠，其中i Q （1,2,,i k =，3k ≥）为多面体M 的所有与点P 相邻的顶点，且平面12Q PQ ,平面23Q PQ ,,平面1k k Q PQ -和平面1k Q PQ 遍历多面体M 的所有以P 为公共点的面.（Ⅰ）任取正四面体的一个顶点，该点处的离散曲率为______；（Ⅱ）如图1，已知长方体1111A B C D ABCD -，1AB BC ==，12AA =，点P 为底面1111A B C D 内的一个动点，则四棱锥P ABCD -在点P 处的离散曲率的最小值为______；1AA图1 图2 （Ⅲ）图2为对某个女孩面部识别过程中的三角剖分结果，所谓三角剖分，就是先在面部取若干采样点，然后用短小的直线段连接相邻三个采样点形成三角形网格.区域α和区域β中点的离散曲率的平均值更大的是_______.（填写“区域α”或“区域β”）高一年级第二学期期中统一练习数 学参考答案及评分标准 2019．04一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. （9）4π （10）π6（11）1 （12）π4（13）3（24b <<即可） （14）①②③④ 注：(14)每填出一个选项就得1分。

三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分11分）解：（Ⅰ） 2()2cos sin 1)f x x x x =--sin 22=x x ………………2分12(sin 2)22x x =-2sin(2)3x π=-. ………………4分所以 函数()f x 的最小正周期22T π==π. ………………5分 函数sin y x =的单调递增区间为[2,2](22+k +k k ππ-ππ∈Z). ………………6分由 222232+k x +k k πππ-π≤-≤π(∈Z)得51212+k x +k ππ-π≤≤π（k ∈Z ）. 所以 函数()f x 的单调递增区间为5[,](1212+k +k k ππ-ππ∈Z). ………………7分（Ⅱ）因为 [0,]2x π∈，所以 22[,]333x πππ-∈-. ………………8分所以 sin(2)13x π≤-≤.所以 2sin(2)23x π≤-≤.所以 函数()f x 在区间π[0,]2上的取值范围是[2]. ………………11分（16）（本小题满分11分）解：（Ⅰ）因为 2AD = ,AC =,60ADC ∠=︒，所以 在△ADC 中，由sin sin AC AD=ADC C∠得：sin sin AD ADC C=AC ⋅∠=. ………………3分因为 AD AC < ， 所以 π(0,)2C ∠∈.所以 cos C ==………………5分（Ⅱ）因为 △ABD 所以 113sin 2sin12022ABD S AD BD ADB BD =⋅⋅∠=⨯⨯⋅=△. 所以 1BD =. ………………7分在△ADB 中，由余弦定理得2222cos 7AB DA DB DA DB ADB =+-⋅⋅∠=.所以 AB =. ………………9分所以 △ABC 为等腰三角形.所以 ()sin sin 1802sin 2BAC C =C ∠=-2sin cos 2C C ===. ………………11分 （17）（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为 四边形ABCD 是菱形，所以 //AD BC . ………………1分 因为 AD PBC ⊄平面，BC PBC ⊂平面，所以 //AD PBC 平面. ………………3分（Ⅱ）证明：设ACBD O =.因为 四边形ABCD 是菱形， 所以 AC BD ⊥，DO OB =. ………………4分因为 PB PD =， 所以PO BD ⊥. ………………5分因为 ACPO O =，PO ⊂平面PAC ，所以 BD PAC ⊥平面. ………………7分（Ⅲ）①过F 作//FG DC 交PC 于G ，连接BG . ………………8分 在菱形ABCD 中， AB DC =，//AB DC . 所以 //FG AB . 所以 ,,,E F G B 共面.因为 //EF PBC 平面，F E BG P B C B G =平面平面，所以 //EF BG . ………………10分 所以 四边形FEBG 为平行四边形. 所以 EB FG =. 因为 2AE EB =， 所以 13PF FG EB ===PD DC AB . ………………11分②△PAD 不可能为等腰三角形，理由如下： ………………8分 作BQ AD ⊥交AD 于点Q ，连接PQ .OD CBAPGFEDCBAP因为 PAD ABCD ⊥平面平面，平面PAD 平面ABCD AD =，BQ ⊂平面ABCD ，所以 BQ ⊥平面PAD .所以 BQ PD ⊥. ………………10分 因为 PD PB ⊥，PB BQ B =，所以 PD PBQ ⊥平面.所以 PD PQ ⊥.所以 AD PD >，AD PA >，QD PD >，90PQD ∠<︒. 所以 90PQA ∠>︒. 所以 PA AQ >.在菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒， 所以 ABD △是等边三角形. 所以 Q 为AD 的中点. 所以 AQ QD =. 所以 PA PD >.所以 △PAD 不可能为等腰三角形. ………………12分（18）（本小题满分10分）（Ⅰ）解：函数1()f x 不具有性质T ，函数2()f x 具有性质T .理由如下：① 假设函数1()f x 具有性质T ，即存在正数T ，使得2()1(21)x T T x +-=-恒成立.则 (22)31T x T -=-对x ∀∈R 恒成立.所以 220,310.T T -=⎧⎨-=⎩此方程组无解，与存在正数T 矛盾.所以 函数1()f x 不具有性质T . ………………1分 ② 取10T =>，则22(1)cos(2π(1)1)cos(2π1)()f x x x f x +=++=+=，即QDCBAP22()()f x T Tf x +=对x ∀∈R 恒成立.所以 函数2()f x 具有性质T . ………………2分（Ⅱ）因为 函数()sin()(0)f x x ωφω=+>具有性质T ，所以 存在正数T ，使得x ∀∈R ，都有sin(())sin()x T T x ωφωφ++=+恒成立. 令t x ωφ=+，则sin()sin t T T t ω+=对t ∀∈R 恒成立.若1T >，取π2t =，则πsin()12T T ω+=>，矛盾； ………………3分若01T <<，取π2t T ω=-，则ππsin sin()22T T ω=-，即π1sin()12T Tω-=>，矛盾； ………………4分 所以 1T =.则 当且仅当2π, k k ω=∈Z 时，sin()sin t t ω+=对t ∀∈R 恒成立. 因为 0ω>， 所以 2πω≥.所以 当2πω=时，函数()sin(2π)f x x φ=+具有性质T .所以 ω的最小值是2π. ………………5分 （Ⅲ）因为 函数()g x 具有性质T ，所以 存在正数T ，使得x ∀∈R ，()()g x T Tg x +=恒成立. 所以2(2)()()()g x T g x T T Tg x T T g x +=++=+=，以此类推可得()(),(1,2,3,)n g x nT T g x n +==. ………………7分用t 代替x nT +，可得1()(),(1,2,3,)ng t nT g t n T -==. 因为 ()g x 不是常数函数， 所以 存在0x ，使得0()0g x ≠.若1T >，则00()(),(1,2,3,)ng x nT T g x n +==.所以 00()(),(1,2,3,)n g x nT T g x n +==.因为 存在0M >，使得x ∀∈R ，都有()g x M <成立， 取00log ()TMn g x >，则0000()()n g x n T T g x M +=>，矛盾. ………………8分 若01T <<，则001()(),(1,2,3,)ng x nT g x n T -==. 同上可知存在1*n ∈N ，使得10101()()n g x n T g x M T -=>，矛盾.………………9分所以 1T =.所以 对x ∀∈R ，(1)()g x g x +=.所以 ()g x 是周期为1的函数. ………………10分附加题（Ⅰ）12； ………………1分（Ⅱ）13； ………………3分（Ⅲ）区域α. ………………5分注：对于其它正确解法，相应给分.。