卓顶精文2019北邮概率论研究生复习试题答案定稿.doc

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北邮版概率论答案(2)

北邮版概率论答案(2)

习题二1.一袋中有5只乒乓球,编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只,以X 表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X 的分布律. 【解】353524353,4,51(3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6C X P X P X P X ==========2.设在15只同类型零件中有2只为次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽样,以X 表示取出的次品个数,求: (1) X 的分布律;(2) X 的分布函数并作图; (3)133{},{1},{1},{12}222P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.【解】313315122133151133150,1,2.C 22(0).C 35C C 12(1).C 35C 1(2).C 35X P X P X P X ==========(2) 当x <0时,F (x )=P (X ≤x )=0当0≤x <1时,F (x )=P (X ≤x )=P (X =0)=2235当1≤x <2时,F (x )=P (X ≤x )=P (X =0)+P (X =1)=3435当x ≥2时,F (x )=P (X ≤x )=1 故X 的分布函数0,022,0135()34,12351,2x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩(3)1122()(),2235333434(1)()(1)02235353312(1)(1)(1)2235341(12)(2)(1)(2)10.3535P X F P X F F P X P X P X P X F F P X ≤==<≤=-=-=≤≤==+<≤=<<=--==--=3.射手向目标独立地进行了3次射击,每次击中率为0.8,求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数,并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】设X 表示击中目标的次数.则X =0,1,2,3.31232233(0)(0.2)0.008(1)C 0.8(0.2)0.096(2)C (0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512P X P X P X P X ============0,00.008,01()0.104,120.488,231,3x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩(2)(2)(3)0.896P X P X P X ≥==+==4.(1) 设随机变量X 的分布律为P {X =k }=!k akλ,其中k =0,1,2,…,λ>0为常数,试确定常数a . (2) 设随机变量X 的分布律为P {X =k }=a/N , k =1,2,…,N ,试确定常数a . 【解】(1) 由分布律的性质知1()e !kk k P X k a a k λλ∞∞======∑∑g故 ea λ-=(2) 由分布律的性质知111()NNk k aP X k a N======∑∑即 1a =.5.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次,求: (1) 两人投中次数相等的概率; (2) 甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数,则X~b (3,0.6),Y~b (3,0.7)(1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+(3,3)P X Y ==33121233(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++22223333C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+0.32076=(2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ (2,1)(3,1)(3,2)P X Y P X Y P X Y ==+==+==12322333C 0.6(0.4)(0.3)C (0.6)0.4(0.3)=++ 33221233(0.6)(0.3)C (0.6)0.4C 0.7(0.3)++ 31232233(0.6)C 0.7(0.3)(0.6)C (0.7)0.3+=0.2436.设某机场每天有200架飞机在此降落,任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02,且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道,才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)?【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数,则X ~b (200,0.02),设机场需配备N 条跑道,则有()0.01P X N ><即 2002002001C (0.02)(0.98)0.01k k kk N -=+<∑利用泊松近似2000.02 4.np λ==⨯=41e 4()0.01!kk N P X N k -∞=+≥<∑B查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道.7.有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少(利用泊松定理)?【解】设X 表示出事故的次数,则X ~b (1000,0.0001)(2)1(0)(1)P X P X P X ≥=-=-=0.10.11e0.1e --=--⨯8.已知在五重伯努利试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2},求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ,则1422355C (1)C (1)p p p p -=-故 13p =所以 4451210(4)C ()33243P X ===. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3,当A 发生不少于3次时,指示灯发出信号, (1) 进行了5次独立试验,试求指示灯发出信号的概率; (2) 进行了7次独立试验,试求指示灯发出信号的概率. 【解】(1) 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数,则X ~6(5,0.3)5553(3)C (0.3)(0.7)0.16308kk k k P X -=≥==∑(2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数,则Y~b (7,0.3)7773(3)C (0.3)(0.7)0.35293k k k k P Y -=≥==∑10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为(1/2)t 的泊松分布,而与时间间隔起点无关(时间以小时计).(1) 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率;(2) 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】(1)32(0)eP X -== (2) 52(1)1(0)1eP X P X -≥=-==-11.设P {X =k }=kkkp p --22)1(C , k =0,1,2P {Y =m }=mmmp p --44)1(C , m =0,1,2,3,4分别为随机变量X ,Y 的概率分布,如果已知P {X ≥1}=59,试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥=,故4(1)9P X <=. 而 2(1)(0)(1)P X P X p <===-故得 24(1),9p -=即 1.3p =从而 465(1)1(0)1(1)0.8024781P Y P Y p ≥=-==--=≈ 12.某教科书出版了2000册,因装订等原因造成错误的概率为0.001,试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X 为2000册书中错误的册数,则X~b (2000,0.001).利用泊松近似计算,20000.0012np λ==⨯=得 25e 2(5)0.00185!P X -=≈= 13.进行某种试验,成功的概率为34,失败的概率为14.以X 表示试验首次成功所需试验的次数,试写出X 的分布律,并计算X 取偶数的概率. 【解】1,2,,,X k =L L113()()44k P X k -==(2)(4)(2)P X P X P X k =+=++=+L L321131313()()444444k -=++++g L L 213141451()4==-g14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费,而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求: (1) 保险公司亏本的概率;(2) 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.(1) 在1月1日,保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X ,则X~b (2500,0.002),则所求概率为(200030000)(15)1(14)P X P X P X >=>=-≤由于n 很大,p 很小,λ=np =5,故用泊松近似,有514e 5(15)10.000069!kk P X k -=>≈-≈∑(2) P (保险公司获利不少于10000)(30000200010000)(10)P X P X =-≥=≤510e 50.986305!kk k -=≈≈∑ 即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上P (保险公司获利不少于20000)(30000200020000)(5)P X P X =-≥=≤55e 50.615961!kk k -=≈≈∑ 即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.已知随机变量X 的密度函数为f (x )=A e -|x |, -∞<x <+∞,求:(1)A 值;(2)P {0<X <1}; (3) F (x ). 【解】(1) 由()d 1f x x ∞-∞=⎰得||01e d 2e d 2x x A x A x A ∞∞---∞===⎰⎰故 12A =. (2) 11011(01)e d (1e )22x p X x --<<==-⎰(3) 当x <0时,11()e d e 22x x x F x x -∞==⎰ 当x ≥0时,0||0111()e d e d e d 222x x x xx F x x x x ---∞-∞==+⎰⎰⎰ 11e 2x-=-故 1e ,02()11e 02xx x F x x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩16.设某种仪器内装有三只同样的电子管,电子管使用寿命X 的密度函数为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≥.100,0,100,1002x x x求:(1) 在开始150小时内没有电子管损坏的概率; (2) 在这段时间内有一只电子管损坏的概率; (3) F (x ). 【解】(1) 15021001001(150)d .3P X x x ≤==⎰ 33128[(150)]()327p P X =>==(2) 1223124C ()339p ==(3) 当x <100时F (x )=0当x ≥100时()()d xF x f t t -∞=⎰100100()d ()d x f t t f t t -∞=+⎰⎰2100100100d 1xt t x==-⎰ 故 1001,100()0,0x F x xx ⎧-≥⎪=⎨⎪<⎩ 17.在区间[0,a ]上任意投掷一个质点,以X 表示这质点的坐标,设这质点落在[0,a ]中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例,试求X 的分布函数. 【解】 由题意知X ~∪[0,a ],密度函数为1,0()0,x af x a⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 故当x <0时F (x )=0 当0≤x ≤a 时01()()d ()d d xx xx F x f t t f t t t a a-∞====⎰⎰⎰当x >a 时,F (x )=1即分布函数0,0(),01,x x F x x a a x a<⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪>⎪⎩ 18.设随机变量X 在[2,5]上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测,求至少有两次的观测值大于3的概率. 【解】X ~U [2,5],即1,25()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 5312(3)d 33P X x >==⎰故所求概率为22333321220C ()C ()33327p =+= 19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X (以分钟计)服从指数分布1()5E .某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次,以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数,试写出Y 的分布律,并求P {Y ≥1}. 【解】依题意知1~()5X E ,即其密度函数为51e ,0()50,xx f x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩x 0 该顾客未等到服务而离开的概率为25101(10)e d e 5x P X x -∞->==⎰2~(5,e )Y b -,即其分布律为225525()C (e )(1e ),0,1,2,3,4,5(1)1(0)1(1e )0.5167kk k P Y k k P Y P Y ----==-=≥=-==--=20.某人乘汽车去火车站乘火车,有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤,所需时间X 服从N (40,102);第二条路程较长,但阻塞少,所需时间X 服从N (50,42). (1) 若动身时离火车开车只有1小时,问应走哪条路能乘上火车的把握大些? (2) 又若离火车开车时间只有45分钟,问应走哪条路赶上火车把握大些? 【解】(1) 若走第一条路,X~N (40,102),则406040(60)(2)0.977271010x P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭若走第二条路,X~N (50,42),则506050(60)(2.5)0.993844X P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭++故走第二条路乘上火车的把握大些.(2) 若X~N (40,102),则404540(45)(0.5)0.69151010X P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭若X~N (50,42),则504550(45)( 1.25)44X P X P Φ--⎛⎫<=<=- ⎪⎝⎭1(1.25)0.1056Φ=-= 故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设X ~N (3,22),(1) 求P {2<X ≤5},P {-4<X ≤10},P {|X |>2},P {X >3}; (2) 确定c 使P {X >c }=P {X ≤c }. 【解】(1) 23353(25)222X P X P ---⎛⎫<≤=<≤⎪⎝⎭11(1)(1)1220.841310.69150.5328ΦΦΦΦ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+=433103(410)222X P X P ----⎛⎫-<≤=<≤ ⎪⎝⎭770.999622ΦΦ⎛⎫⎛⎫=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(||2)(2)(2)P X P X P X >=>+<-323323222215151122220.691510.99380.6977X X P P ΦΦΦΦ-----⎛⎫⎛⎫=>+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+-=333(3)()1(0)0.522X P X P Φ->=>=-=- (2) c=322.由某机器生产的螺栓长度(cm )X ~N (10.05,0.062),规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.060.06X P X P ⎛-⎫->=>⎪⎝⎭1(2)(2)2[1(2)]0.0456ΦΦΦ=-+-=-=23.一工厂生产的电子管寿命X (小时)服从正态分布N (160,σ2),若要求P {120<X ≤200=≥0.8,允许σ最大不超过多少? 【解】120160160200160(120200)X P X P σσσ---⎛⎫<≤=<≤⎪⎝⎭ 404040210.8ΦΦΦσσσ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-≥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故4031.251.29σ≤= 24.设随机变量X 分布函数为F (x )=e ,0,(0),00.x A B x ,x -⎧+≥>⎨<⎩λλ(1) 求常数A ,B ;(2) 求P {X ≤2},P {X >3}; (3) 求分布密度f (x ).【解】(1)由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞→+→-=⎧⎪⎨=⎪⎩得11A B =⎧⎨=-⎩(2) 2(2)(2)1eP X F λ-≤==-33(3)1(3)1(1e)e P X F λλ-->=-=--=(3) e ,0()()0,0x x f x F x x λλ-⎧≥'==⎨<⎩25.设随机变量X 的概率密度为f (x )=,01,2,12,0,x x x x ≤<⎧⎪-≤<⎨⎪⎩其他.求X 的分布函数F (x ),并画出f (x )及F (x ).【解】当x <0时F (x )=0当0≤x <1时0()()d ()d ()d xxF x f t t f t t f t t -∞-∞==+⎰⎰⎰20d 2xx t t ==⎰当1≤x<2时()()d xF x f t t -∞=⎰1011122()d ()d ()d d (2)d 132222212xx f t t f t t f t tt t t tx x x x -∞==+=+-=+--=-+-⎰⎰⎰⎰⎰当x ≥2时()()d 1xF x f t t -∞==⎰故 220,0,012()21,1221,2x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩26.设随机变量X 的密度函数为(1) f (x )=a e -|x |,λ>0;(2) f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<.,0,21,1,10,2其他x x x bx 试确定常数a ,b ,并求其分布函数F (x ). 【解】(1) 由()d 1f x x ∞-∞=⎰知||021e d 2e d x x aa x a x λλλ∞∞---∞===⎰⎰故 2a λ=即密度函数为 e ,02()e 02xx x f x x λλλλ-⎧>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩当x ≤0时1()()d e d e 22xxx x F x f x x x λλλ-∞-∞===⎰⎰当x >0时0()()d e d e d 22xxxx F x f x x x x λλλλ--∞-∞==+⎰⎰⎰11e 2xλ-=-故其分布函数11e ,02()1e ,02xx x F x x λλ-⎧->⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩(2) 由12201111()d d d 22b f x x bx x x x ∞-∞==+=+⎰⎰⎰得 b =1即X 的密度函数为2,011(),120,x x f x x x<<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎩其他当x ≤0时F (x )=0 当0<x <1时0()()d ()d ()d xxF x f x x f x x f x x -∞-∞==+⎰⎰⎰2d 2xx x x ==⎰当1≤x <2时01211()()d 0d d d x xF x f x x x x x x x -∞-∞==++⎰⎰⎰⎰312x=- 当x ≥2时F (x )=1 故其分布函数为20,0,012()31,1221,2x x x F x x x x ≤⎧⎪⎪<<⎪=⎨⎪-≤<⎪⎪≥⎩27.求标准正态分布的上α分位点, (1)α=0.01,求z α; (2)α=0.003,求z α,/2z α. 【解】(1) ()0.01P X z α>=即 1()0.01z αΦ-= 即 ()0.09z αΦ=故 2.33z α= (2) 由()0.003P X z α>=得1()0.003z αΦ-=即 ()0.997z αΦ= 查表得 2.75z α= 由/2()0.0015P X z α>=得/21()0.0015z α-Φ=即 /2()0.9985z αΦ= 查表得 /2 2.96z α=求Y =X 的分布律.【解】Y 可取的值为0,1,4,91(0)(0)5117(1)(1)(1)615301(4)(2)511(9)(3)30P Y P X P Y P X P X P Y P X P Y P X =======-+==+====-=====故Y 的分布律为29.设P {X =k }=(2)k, k =1,2,…,令 1,1,.X Y X ⎧=⎨-⎩当取偶数时当取奇数时求随机变量X 的函数Y 的分布律.【解】(1)(2)(4)(2)P Y P X P X P X k ===+=++=+L L242111()()()222111()/(1)443k =++++=-=L L2(1)1(1)3P Y P Y =-=-==30.设X ~N (0,1).(1) 求Y =e X 的概率密度; (2) 求Y =2X 2+1的概率密度; (3) 求Y =|X |的概率密度.【解】(1) 当y ≤0时,()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时,()()(e )(ln )xY F y P Y y P y P X y =≤=≤=≤ln ()d yX f x x -∞=⎰故2/2ln d ()1()(ln ),0d y Y Y x F y f y f y y y y -===> (2)2(211)1P Y X =+≥=当y ≤1时()()0Y F y P Y y =≤=当y >1时2()()(21)Y F y P Y y P X y =≤=+≤212y P X P X ⎛-⎛⎫=≤=≤≤ ⎪ ⎝⎭⎝()d X f x x =故d ()()d Y Y XX f y F y f f y ⎤⎛==+⎥ ⎥⎝⎦(1)/4,1y y --=>(3) (0)1P Y ≥=当y ≤0时()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时()(||)()Y F y P X y P y X y =≤=-≤≤()d yX yf x x -=⎰故d()()()()d Y Y X X f y F y f y f y y==+-2/2,0y y -=> 31.设随机变量X ~U (0,1),试求:(1) Y =e X 的分布函数及密度函数; (2) Z =-2ln X 的分布函数及密度函数. 【解】(1) (01)1P X <<=故 (1e e)1XP Y <=<= 当1y ≤时()()0Y F y P Y y =≤=当1<y <e 时()(e )(ln )XY F y P y P X y =≤=≤ln 0d ln yx y ==⎰当y ≥e 时()(e )1XY F y P y =≤=即分布函数0,1()ln ,1e 1,e Y y F y y y y ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩故Y 的密度函数为11e ,()0,Y y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 (2) 由P (0<X <1)=1知(0)1P Z >=当z ≤0时,()()0Z F z P Z z =≤=当z >0时,()()(2ln )Z F z P Z z P X z =≤=-≤/2(ln )(e )2z z P X P X -=≤-=≥/21/2ed 1e z z x --==-⎰即分布函数-/20,0()1-e ,Z z z F z z ≤⎧=⎨>⎩0故Z 的密度函数为/21e ,0()20,z Z z f z z -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩032.设随机变量X 的密度函数为f (x )=22,0π,π0,.xx ⎧<<⎪⎨⎪⎩其他试求Y =sin X 的密度函数. 【解】(01)1P Y <<=当y ≤0时,()()0Y F y P Y y =≤=当0<y <1时,()()(sin )Y F y P Y y P X y =≤=≤(0arcsin )(πarcsin π)P X y P y X =<≤+-≤<arcsin π220πarcsin 22d d ππyy x x x x -=+⎰⎰222211arcsin 1πarcsin ππy y =+--()()2arcsin πy =当y ≥1时,()1Y F y = 故Y 的密度函数为201π()0,Y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 33.设随机变量X 的分布函数如下:⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=.)3(,)2(,)1(,11)(2x x x x F试填上(1),(2),(3)项.【解】由lim ()1x F x →∞=知②填1。

北邮版概率论答案

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习题三1.将一硬币抛掷三次;以X 表示在三次中出现正面的次数;以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 111222⨯⨯111222⨯⨯=2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球;在其中任取4只球;以X 表示取到黑球的只数;以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 的联合分布律如表: 23247C 3C 35= 13247C 2C 35= 1232247C C 6C 35= 1132247C C 12C 35=13247C 2C 35= 2427C /C =2132247C C 6C 35= 23247C 3C 35=3.设二维随机变量X ;Y 的联合分布函数为Fx ;y =⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤.,020,20,sin sin 其他ππy x y x求二维随机变量X ;Y 在长方形域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 解如图πππ{0,}(3.2)463P X Y <≤<≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636F F F F --+ππππππsin sin sin sin sin 0sin sin 0sin 4346362(31).4=--+=-题3图说明:也可先求出密度函数;再求概率.. 4.设随机变量X ;Y 的分布密度fx ;y =⎩⎨⎧>>+-.,0,0,0,)43(其他y x A y x e求:1 常数A ;2 随机变量X ;Y 的分布函数;3 P {0≤X <1;0≤Y <2}. 解1 由-(34)0(,)d d e d d 112x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞+-∞-∞===⎰⎰⎰⎰得 A =12 2 由定义;有 (,)(,)d d y xF x y f u v u v -∞-∞=⎰⎰(34)340012ed d (1e )(1e )0,0,0,0,y yu v x y u v y x -+--⎧⎧-->>⎪==⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他3 {01,02}P X Y ≤<≤<12(34)3800{01,02}12e d d (1e )(1e )0.9499.x y P X Y x y -+--=<≤<≤==--≈⎰⎰5.设随机变量X ;Y 的概率密度为fx ;y =⎩⎨⎧<<<<--.,0,42,20),6(其他y x y x k1 确定常数k ;2 求P {X <1;Y <3};3 求P {X <1.5};4 求P {X +Y ≤4}. 解1 由性质有242(,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞-∞-∞=--==⎰⎰⎰⎰故 18R =2 13{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞<<=⎰⎰130213(6)d d 88k x y y x =--=⎰⎰ 3 11.5{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y <<=⎰⎰⎰⎰如图1.542127d (6)d .832x x y y =--=⎰⎰4 24{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y +≤+≤=⎰⎰⎰⎰如图b240212d (6)d .83xx x y y -=--=⎰⎰题5图6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量;X 在0;0.2上服从均匀分布;Y 的密度函数为f Y y =⎩⎨⎧>-.,0,0,55其他y y e求:1 X 与Y 的联合分布密度;2 P {Y ≤X }.题6图解1 因X 在0;0.2上服从均匀分布;所以X 的密度函数为1,00.2,()0.20,.X x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 而55e ,0,()0,.y Y y f y -⎧>=⎨⎩其他 所以(,),()()X Y f x y X Y f x f y 独立5515e25e ,00.20,0.20,0,yy x y --⎧⎧⨯<<>⎪==⎨⎨⎩⎪⎩且其他. 2 5()(,)d d 25e d d y y xDP Y X f x y x y x y -≤≤=⎰⎰⎰⎰如图0.20.2-550-1d 25e d (5e 5)d =e 0.3679.xyx x y x -==-+≈⎰⎰⎰7.设二维随机变量X ;Y 的联合分布函数为Fx ;y =⎩⎨⎧>>----.,0,0,0),1)(1(24其他y x y x e e求X ;Y 的联合分布密度.解(42)28e ,0,0,(,)(,)0,x y x y F x y f x y x y -+⎧>>∂==⎨∂∂⎩其他. 8.设二维随机变量X ;Y 的概率密度为fx ;y = 4.8(2),01,0,0,.y x x y x -≤≤≤≤⎧⎨⎩其他求边缘概率密度. 解()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰x204.8(2)d 2.4(2),01,=0,.0,y x y x x x ⎧⎧--≤≤⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰12y 4.8(2)d 2.4(34),01,=0,.0,y x x y y y y ⎧-⎧-+≤≤⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他题8图 题9图9.设二维随机变量X ;Y 的概率密度为fx ;y =e ,0,0,.y x y -⎧<<⎨⎩其他求边缘概率密度. 解()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰e d e ,0,=0,.0,y x x y x +∞--⎧⎧>⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰0e d e ,0,=0,.0,yy x x y y --⎧⎧>⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他题10图10.设二维随机变量X ;Y 的概率密度为fx ;y =22,1,0,.cx y x y ⎧≤≤⎨⎩其他1 试确定常数c ;2 求边缘概率密度. 解1(,)d d (,)d d Df x y x y f x y x y +∞+∞-∞-∞⎰⎰⎰⎰如图2112-14=d d 1.21xx cx y y c ==⎰⎰ 得214c =. 2 ()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰212422121(1),11,d 840,0,.x x x x x y y ⎧⎧--≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰522217d ,01,420,0,.y y x y x y y -⎧⎧≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰其他 11.设随机变量X ;Y 的概率密度为fx ;y =1,,01,0,.y x x ⎧<<<⎨⎩其他求条件概率密度f Y |X y |x ;f X |Y x |y .题11图解()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰1d 2,01,0,.xx y x x -⎧=<<⎪=⎨⎪⎩⎰其他111d 1,10,()(,)d 1d 1,01,0,.y Y y x y y f y f x y x x y y -+∞-∞⎧=+-<<⎪⎪⎪===-≤<⎨⎪⎪⎪⎩⎰⎰⎰其他所以|1,||1,(,)(|)2()0,.Y X X y x f x y f y x xf x ⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他|1, 1,1(,)1(|),1,()10,.X Y Y y x y f x y f x y y x f y y⎧<<⎪-⎪⎪==-<<⎨+⎪⎪⎪⎩其他 12.袋中有五个号码1;2;3;4;5;从中任取三个;记这三个号码中最小的号码为X ;最大的号码为Y .1 求X 与Y 的联合概率分布;2 X 与Y 是否相互独立解1 X 与Y 的联合分布律如下表3 4 5{}i P X x =13511C 10= 3522C 10= 3533C 10= 610 23511C 10= 3522C 10= 310 3 02511C 10= 110{}i P Y y =110 310 6102 因6161{1}{3}{1,3},101010010P X P Y P X Y ===⨯=≠=== 故X 与Y 不独立13.设二维随机变量X ;Y 的联合分布律为 2 5 80.4 0.80.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.031求关于X 和关于Y 的边缘分布; 2 X 与Y 是否相互独立 2 5 8 P {Y=y i } 0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.80.05 0.12 0.03 0.2{}i P X x =0.20.420.38YXXYXY2 因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===⨯0.160.15(2,0.4),P X Y =≠=== 故X 与Y 不独立.14.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量;X 在0;1上服从均匀分布;Y 的概率密度为f Y y =⎪⎩⎪⎨⎧>-.,0,0,212/其他y y e1求X 和Y 的联合概率密度;2 设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0;试求a 有实根的概率.解1 因1,01,()0,X x f x <<⎧==⎨⎩其他; 21e ,1,()20,yY y f y -⎧>⎪==⎨⎪⎩其他.故/21e01,0,(,),()()20,.y X Y x y f x y X Y f x f y -⎧<<>⎪=⎨⎪⎩独立其他题14图2 方程220a Xa Y ++=有实根的条件是2(2)40X Y ∆=-≥故 X 2≥Y ;从而方程有实根的概率为:22{}(,)d d x yP X Y f x y x y ≥≥=⎰⎰21/2001d e d 212[(1)(0)]0.1445.x y x yπ-==-Φ-Φ=⎰⎰15.设X 和Y 分别表示两个不同电子器件的寿命以小时计;并设X 和Y 相互独立;且服从同一分布;其概率密度为fx =⎪⎩⎪⎨⎧>.,0,1000,10002其他x x求Z =X /Y 的概率密度.解如图;Z 的分布函数(){}{}Z XF z P Z z P z Y=≤=≤ 1 当z ≤0时;()0Z F z =2 当0<z <1时;这时当x =1000时;y =1000z如图a 3366102222101010()d d d d yz Z zx y zF z x y y x x y x y +∞≥==⎰⎰⎰⎰ 33610231010=d 2z zy yzy +∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰题15图3 当z ≥1时;这时当y =103时;x =103z 如图b3366222210101010()d d d d zy Z x y zF z x y y x x yx y +∞≥==⎰⎰⎰⎰ 336231010101=d 12y y zy z +∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰即 11,1,2(),01,20,.Z z z zf z z ⎧-≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他故 21,1,21(),01,20,.Z z z f z z ⎧≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他16.设某种型号的电子管的寿命以小时计近似地服从N 160;202分布.随机地选取4 只;求其中没有一只寿命小于180h 的概率.解设这四只寿命为X i i =1;2;3;4;则X i ~N 160;202;从而123412{min(,,,)180}{180}{180}i P X X X X X P X P X ≥≥≥之间独立34{180}{180}P X P X ≥≥ 1234[1{180}][1{180}][1{180}][1{180}]P X P X P X P X =-<-<-<-<44144180160[1{180}]120[1(1)](0.158)0.00063.P X ⎡-⎤⎛⎫=-<=-Φ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=-Φ== 17.设X ;Y 是相互独立的随机变量;其分布律分别为P {X =k }=pk ;k =0;1;2;…; P {Y =r }=qr ;r =0;1;2;….证明随机变量Z =X +Y 的分布律为P {Z =i }=∑=-ik k i q k p 0)()(;i =0;1;2;….证明因X 和Y 所有可能值都是非负整数;所以 {}{}Z i X Y i ==+={0,}{1,1}{,0}X Y i X Y i X i Y =====-==于是0{}{,},i k P Z i P X k Y i k X Y =====-∑相互独立0{}{}ik P X k P Y i k ===-∑()()ik p k q i k ==-∑18.设X ;Y 是相互独立的随机变量;它们都服从参数为n ;p 的二项分布.证明Z =X +Y 服从参数为2n ;p 的二项分布.证明方法一:X +Y 可能取值为0;1;2;…;2n .{}{,}ki P X Y k P X i Y k i =+====-∑00202(){}2ki ki n i k i n k ii k k n k i k n k P X i P Y k i n n p q p q i k i n n p q i k i n p q k =---+=-=-===-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑∑方法二:设μ1;μ2;…;μn ;μ1′;μ2′;…;μn ′均服从两点分布参数为p ;则X =μ1+μ2+…+μn ;Y =μ1′+μ2′+…+μn ′; X +Y =μ1+μ2+…+μn +μ1′+μ2′+…+μn ′;所以;X +Y 服从参数为2n ;p 的二项分布.1 求P {X =2|Y =2};P {Y =3|X =0};2 求V =max X ;Y 的分布律;3 求U =min X ;Y 的分布律;4 求W =X +Y 的分布律. 解1{2,2}{2|2}{2}P X Y P X Y P Y ======5{2,2}0.051,0.252{,2}i P X Y P X i Y ========∑ {3,0}{3|0}{0}P Y X P Y X P X ======3{0,3}0.011;0.033{0,}j P X Y P X Y j ========∑ 2{}{max(,)}{,}{,}P V i P X Y i P X i Y i P X i Y i ====<+≤= 10{,}{,},i ik k P X i Y k P X k Y i -=====+==∑∑ 0,1,2,3,4,5i =所以V 的分布律为 V =max X ;Y 0 1 2 3 4 5 P 00.040.160.280.240.283 {}{min(,)}P U i P X Y i ===351{,}{,}{,}{,}k ik i P X i Y i P X i Y i P X i Y k P X k Y i ==+==≥+>====+==∑∑0,1,2,3,i =于是 U =min X ;Y 0 1 2 3 P0.280.300.250.174类似上述过程;有W =X +Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P0.020.060.130.190.240.190.120.0520.雷达的圆形屏幕半径为R ;设目标出现点X ;Y 在屏幕上服从均匀分布. 1 求P {Y >0|Y >X };2 设M =max{X ;Y };求P {M >0}.题20图解因X ;Y 的联合概率密度为22221,,(,)π0,.x y R f x y R⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其他 1{0,}{0|}{}P Y Y X P Y Y X P Y X >>>>=>0(,)d (,)d y y xy xf x y f x y σσ>>>=⎰⎰⎰⎰π2π/405π42π/401d d π1d d πRR r rR r rR θθ=⎰⎰⎰⎰3/83;1/24== 2 {0}{max(,)0}1{max(,)0}P M P X Y P X Y >=>=-≤00131{0,0}1(,)d 1.44x y P X Y f x y σ≤≤=-≤≤=-=-=⎰⎰21.设平面区域D 由曲线y =1/x 及直线y =0;x =1;x=e 2所围成;二维随机变量X ;Y 在区域D 上服从均匀分布;求X ;Y 关于X 的边缘概率密度在x =2处的值为多少题21图解区域D 的面积为 22e e 0111d ln 2.S x x x===⎰X ;Y 的联合密度函数为211,1e ,0,(,)20,.x y f x y x ⎧≤≤<≤⎪=⎨⎪⎩其他X ;Y 关于X 的边缘密度函数为1/2011d ,1e ,()220,.x X y x f x x⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩⎰其他 所以1(2).4X f =22.设随机变量X 和Y 相互独立;下表列出了二维随机变量X ;Y 联合分布律及关于X 和Y 的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处. y 1 y 2 y 3P {X =x i }=p ix 1 x 21/81/8P {Y =y j }=p j 1/61解因21{}{,}j j iji P Y y P P X x Y y ======∑;故11121{}{,}{,},P Y y P X x Y y P X x Y y ====+== 从而11111{,}.6824P X x Y y ===-= YX而X 与Y 独立;故{}{}{,}i j i i P X x P Y y P X x Y y =====;从而11111{}{,}.624P X x P X x Y y =⨯==== 即:1111{}/.2464P X x ===又1111213{}{,}{,}{,},P X x P X x Y y P X x Y y P X x Y y ====+==+==即1,3111{},4248P X x Y y =++== 从而131{,}.12P X x Y y ===同理21{},2P Y y == 223{,}8P X x Y y ===又31{}1j j P Y y ===∑;故3111{}1623P Y y ==--=. 同理23{}.4P X x == 从而23313111{,}{}{,}.3124P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-=故23.设某班车起点站上客人数X 服从参数为λλ>0的泊松分布;每位乘客在中途下车的概率为p 0<p <1;且中途下车与否相互独立;以Y 表示在中途下车的人数;求:1在发车时有n 个乘客的条件下;中途有m 人下车的概率;2二维随机变量X ;Y 的概率分布.解1 {|}C (1),0,0,1,2,m m n mn P Y m X n p p m n n -===-≤≤=.2 {,}{}{|}P X n Y m P X n P Y m X n ======e C (1),,0,1,2,.!m m n mnnp p n m n n n λλ--=-≤≤=24.设随机变量X 和Y 独立;其中X 的概率分布为X ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛7.03.021;而Y 的概率密度为fy ;求随机变量U =X +Y 的概率密度gu .解设Fy 是Y 的分布函数;则由全概率公式;知U =X +Y 的分布函数为(){}0.3{|1}0.7{|2}G u P X Y u P X Y u X P X Y u X =+≤=+≤=++≤=0.3{1|1}0.7{2|2}P Y u X P Y u X =≤-=+≤-=由于X 和Y 独立;可见()0.3{1}0.7{2}G u P Y u P Y u =≤-+≤-0.3(1)0.7(2).F u F u =-+-由此;得U 的概率密度为()()0.3(1)0.7(2)g u G u F u F u '''==-+-0.3(1)0.7(2).f u f u =-+-25. 设随机变量X 与Y 相互独立;且均服从区间0;3上的均匀分布;求P {max{X ;Y }≤1}. 解:因为随即变量服从0;3上的均匀分布;于是有1, 03,()30, 0,3;x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩ 1, 03,()30, 0, 3.y f y y y ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩ 因为X;Y 相互独立;所以1, 03,03,(,)90, 0,0,3, 3.x y f x y x y x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪<<>>⎩ 推得 1{max{,}1}9P X Y ≤=. 26. 设二维随机变量X ;Y 的概率分布为其中a ;1 a ;b ;c 的值;2 Z 的概率分布;3 P {X =Z }.解 1 由概率分布的性质知;a+b+c +0.6=1 即 a+b+c = 0.4. 由()0.2E X =-;可得0.1a c -+=-.再由 {0,0}0.1{00}0.5{0}0.5P X Y a b P Y X P X a b ≤≤++≤≤===≤++;得 0.3a b +=.解以上关于a;b;c 的三个方程得0.2,0.1,0.1a b c ===.2 Z 的可能取值为-2;-1;0;1;2;{2}{1,1}0.2P Z P X Y =-==-=-=;{1}{1,0}{0,1}0.1P Z P X Y P X Y =-==-=+==-=;{0}{1,1}{0,0}{1,1}0.3P Z P X Y P X Y P X Y ===-=+==+==-=;{1}{1,0}{0,1}0.3P Z P X Y P X Y ====+===;{2}{1,1}0.1P Z P X Y =====;即Z 的概率分布为3 {}{0}0.10.20.10.10.20.4P X Z P Y b ====++=++=.27. 设随机变量X;Y 独立同分布;且X 的分布函数为Fx;求Z=max{X;Y}的分布函数.解:因为X;Y 独立同分布;所以F X z=F Y z;则F Z z=P{Z ≤z}=P{X ≤z;Y ≤z}=P{x ≤z}·P{Y ≤z}=Fz 2.28.设随机变量X 与Y 相互独立;X 的概率分布为1{},1,0,1,3P X i i ===-Y 的概率密度为1,01,()0,Y y f y ≤<⎧=⎨⎩其他.记Z =X +Y .1求1{|0};2P Z X ≤=2求Z 的概率密度()Z f z分析 题1可用条件概率的公式求解.题2可先求Z 的分布函数;再求导得密度函数.解1 1{0,}12{|0}2{0}P X Z P Z X P X =≤≤===1{0,}2{0}P X Y P X =≤== 11{}22P Y =≤=2(){}{}Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤{,1}{,0}{,1}P X Y z X P X Y z X P X Y z X =+≤=-++≤=++≤= {1,1}{,0}{1,1}P Y z X P Y z X P Y z X =≤+=-+≤=+≤-= {1}{1}{}{0}{1}{1}P Y z P X P Y z P X P Y z P X =≤+=-+≤=+≤-=1[{1}{}{1}]3P Y z P Y z P Y z =≤++≤+≤-1[(1)()(1)]3Y Y Y F z F z F z =+++-'1()()[(1)()(1)]3Z Z Y Y Y f z F z f z f z f z ==+++-1,1230,.z ⎧-≤<⎪=⎨⎪⎩其他29.设随机变量X;Y 服从二维正态分布;且X 与Y 不相关;f X x;f Y y 分别表示X;Y 的概率密度;求在Y=y 的条件下;X 的条件概率密度f X |Y x |y.解:由第四章第三节所证可知;二维正态分布的不相关与独立性等价;所以fx;y= f X x ·F Y y;由本章所讨论知;/()()(,)(/)()()()X Y X Y X Y Y f x f y f x y f x y f x f y f y ===.30.设二维随机变量X ;Y 的概率密度为2,01,01,(,)0,.x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他1求{2};P X Y >2求Z =X +Y 的概率密度()Z f z .分析 已知X;Y 的联合密度函数;可用联合密度函数的性质{(,)P X Y ∈}(,)GG f x y dxdy =⎰⎰ 解1; Z=X+Y 的概率密度函数可用先求Z 的分布函数再求导的方法或直接套公式求解. 解 12{2}(,)x yP X Y f x y dxdy >>=⎰⎰120120(2)57().824x dx x y dyx x dx =--=-=⎰⎰⎰2()(,),Z f z f x z x dx +∞-∞=-⎰其中 2()01,01(,)0x z x x z x f x z x ---<<<-<⎧-=⎨⎩其他201,01z x z x -<<<-<⎧=⎨⎩其他当02z z ≤≥或时;()0Z f z =; 当01z <<时;0()(2)(2);zZ f z z dx z z =-=-⎰ 当12z ≤<时;121()(2)(2),Z z f z z dx z -=-=-⎰即Z 的概率密度为2(2)01()(2)120Z z z z f z z z -<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他。

概率论与数理统计的答案详解_北邮版_(第一章的)

概率论与数理统计的答案详解_北邮版_(第一章的)

概率论与数理统计习题及答案习题 一1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点. (1) 掷一颗骰子,出现奇数点. (2) 掷二颗骰子,A =“出现点数之和为奇数,且恰好其中有一个1点.”B =“出现点数之和为偶数,但没有一颗骰子出现1点.” (3)将一枚硬币抛两次, A =“第一次出现正面.” B =“至少有一次出现正面.” C =“两次出现同一面.” 【解】{}{}1123456135A Ω==(),,,,,,,,;{}{}{}{}{}(2)(,)|,1,2,,6,(12),(14),(16),(2,1),(4,1),(6,1),(22),(24),(26),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6);(3)(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(i j i j A B A B ΩΩ=======,,,,,,正反正正反正反反正正正反正正正反反{}{},),(,),(,),C =正正正反反2.设A ,B ,C 为三个事件,试用A ,B ,C(1) A 发生,B ,C 都不发生; (2) A 与B 发生,C (3) A ,B ,C 都发生; (4) A ,B ,C (5) A ,B ,C 都不发生; (6) A ,B ,C(7) A ,B ,C 至多有2个发生; (8) A ,B ,C 至少有2个发生. 【解】(1) A BC (2) AB C (3) ABC(4) A ∪B ∪C =AB C ∪A B C ∪A BC ∪A BC ∪A B C ∪AB C ∪ABC =ABC(5) ABC=A B C (6) ABC(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3.指出下列等式命题是否成立,并说明理由:(1) A∪B=(AB)∪B;(2) A B=A∪B;A∩C=AB C;(3) B(4) (AB)( AB)= ∅;(5) 若A⊂B,则A=AB;(6) 若AB=∅,且C⊂A,则BC=∅;(7) 若A⊂B,则B⊃A;(8) 若B⊂A,则A∪B=A.【解】(1)不成立.特例:若Α∩B=φ,则ΑB∪B=B.所以,事件Α发生,事件B必不发生,即Α∪B发生,ΑB∪B不发生.故不成立.(2)不成立.若事件Α发生,则A不发生,Α∪B发生,所以A B不发生,从而不成立.A,AB画文氏图如下:(3)不成立.B所以,若Α-B发生,则AB发生, A B不发生,故不成立.(4)成立.因为ΑB与AB为互斥事件.(5)成立.若事件Α发生,则事件B发生,所以ΑB发生.若事件ΑB发生,则事件Α发生,事件B发生.故成立.(6)成立.若事件C发生,则事件Α发生,所以事件B不发生,故BC=φ.⊂.(7)不成立.画文氏图,可知B A(8)成立.若事件Α发生,由()A AB ⊂,则事件Α∪B 发生.若事件Α∪B 发生,则事件Α,事件B 发生. 若事件Α发生,则成立.若事件B 发生,由B A ⊂,则事件Α发生.4.设A ,B 为随机事件,且P (A )=0.7,P (A B )=0.3,求P (AB ). 【解】 P (AB )=1P (AB )=1[P (A )P (AB )]=1[0.70.3]=0.65.设A ,B 是两事件,且P (A )=0.6,P (B )=0.7, (1) 在什么条件下P (AB(2) 在什么条件下P (AB【解】(1) 当AB =A 时,P (AB )取到最大值为0.6.(2) 当A ∪B =Ω时,P (AB )取到最小值为0.3.6.设A ,B ,C 为三事件,且P (A )=P (B )=1/4,P (C )=1/3且P (AB )=P (BC )=0P(AC )=1/12,求A ,B ,C 至少有一事件发生的概率.【解】 P (A ∪B ∪C )=P (A )+P (B )+P (C )P (AB )P (BC )P (AC )+P (ABC )=14+14+13112=347.52张扑克牌中任意取出13张,问有5张黑桃,3张红心,3张方块,2张梅花的概率是多少?【解】 p =5332131313131352C C C C /C8. (1) 求五个人的生日都在星期日的概率; (2) 求五个人的生日都不在星期日的概率; (3) 求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】(1) 设A 1={五个人的生日都在星期日},基本事件总数为75,有利事件仅1个,故 P (A 1)=517=(17)5(亦可用独立性求解,下同) (2) 设A 2={五个人生日都不在星期日},有利事件数为65,故P (A 2)=5567=(67)5(3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}P (A 3)=1P (A 1)=1(17)59. 从一批由45件正品,5件次品组成的产品中任取3件,求其中恰有一件次品的概率.【解】与次序无关,是组合问题.从50个产品中取3个,有350C 种取法.因只有一件次品,所以从45个正品中取2个,共245C 种取法;从5个次品中取1个,共15C 种取法,由乘法原理,恰有一件次品的取法为245C 15C种,所以所求概率为21455350C C P C =.10.一批产品共N 件,其中M 件正品.从中随机地取出n 件(n <N ).试求其中恰有m 件(m ≤M )正品(记为A )的概率. (1) n 件是同时取出的; (2)n (3) n 件是有放回逐件取出的.【解】(1) P (A )=C C /C m n m nM N M N --(2) 由于是无放回逐件取出,可用排列法计算.样本点总数有P nN 种,n 次抽取中有m次为正品的组合数为C m n 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序,从M 件正品中取m 件的排列数有P mM 种,从NM 件次品中取nm 件的排列数为P n mN M --种,故P (A )=C P P P m m n mn M N MnN-- 由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出,故上述概率也可写成P (A )=C C C m n mM N Mn N--可以看出,用第二种方法简便得多.(3) 由于是有放回的抽取,每次都有N 种取法,故所有可能的取法总数为N n种,n 次抽取中有m 次为正品的组合数为C m n 种,对于固定的一种正、次品的抽取次序,m 次取得正品,都有M 种取法,共有M m 种取法,n m 次取得次品,每次都有N M 种取法,共有(N M )n m 种取法,故()C ()/m m n m nnP A M N M N -=- 此题也可用贝努里概型,共做了n 重贝努里试验,每次取得正品的概率为MN,则取得m 件正品的概率为()C 1m n mm n M M P A N N -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11. 在电话号码簿中任取一电话号码,求后面4个数全不相同的概率(设后面4个数中的每一个数都是等可能地取自0,1,…,9).【解】这是又重复排列问题.个数有10种选择,4个数共有104种选择.4个数全不相同,是排列问题.用10个数去排4个位置,有410P 种排法,故所求概率为4410/10P P =.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上,每个部件用3只铆钉.其中有3个铆钉强度太弱.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少? 【解】设A ={发生一个部件强度太弱}133103501()C C /C 1960P A ==13.7个球,其中4个是白球,3个是黑球,从中一次抽取3个,计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设A i ={恰有i 个白球}(i =2,3),显然A 2与A 3互斥.213434233377C C C 184(),()C 35C 35P A P A ====故 232322()()()35P A A P A P A =+=14.有甲、乙两批种子,发芽率分别为0.8和0.7,在两批种子中各随机取一粒,求:(1) 两粒都发芽的概率; (2) 至少有一粒发芽的概率; (3) 恰有一粒发芽的概率.【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽},(i =1,2)(1) 1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==⨯= (2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-⨯=(3) 2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =⨯+⨯=15.3次正面才停止.(1) 问正好在第6次停止的概率;(2) 问正好在第6次停止的情况下,第5次也是出现正面的概率.【解】(1) 223151115()()22232p C == (2) 1342111C ()()22245/325p == *16.0.7及0.6,每人各投了3次,求二人进球数相等的概率.【解】 设A i ={甲进i 球},i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则3331212330()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+⨯⨯+22223333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)⨯=0.32076*17.从5双不同的鞋子中任取4只,求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】 4111152222410C C C C C 131C 21p =-= 18.0.3,下雨的概率为0.5,既下雪又下雨的概率为0.1,求:(1)在下雨条件下下雪的概率;(2)这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A ={下雨},B ={下雪}.(1) ()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A === (2) ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=?19.已知一个家庭有3个小孩,且其中一个为女孩,求至少有一个男孩的概率(小孩为男为女是等可能的).【解】 设A ={其中一个为女孩},B ={至少有一个男孩},样本点总数为23=8,故()6/86()()7/87P AB P B A P A ===或在缩减样本空间中求,此时样本点总数为7.6()7P B A =20.5%的男人和0.25%的女人是色盲,现随机地挑选一人,此人恰为色盲,问此人是男人的概率(假设男人和女人各占人数的一半).【解】 设A ={此人是男人},B ={此人是色盲},则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯21.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面,求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图【解】设两人到达时刻为x,y ,则0≤x ,y ≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|xy |>30.如图阴影部分所示.22301604P ==22.0,1)中随机地取两个数,求:(1) 两个数之和小于65的概率; (2) 两个数之积小于14的概率.【解】 设两数为x ,y ,则0<x ,y <1.(1) x +y <65. 11441725510.68125p =-==(2) xy =<14.1111244111d d ln 242x p x y ⎛⎫=-=+⎪⎝⎭⎰⎰ 题22图23.P (A )=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5,求P (B |A ∪B )【解】 ()()()()()()()()P AB P A P AB P B A B P A B P A P B P AB -==+- 0.70.510.70.60.54-==+-24.15个乒乓球,其中有9个新球,在第一次比赛中任意取出3个球,比赛后放回原盒中;第二次比赛同样任意取出3个球,求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球},i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式,有3()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =∙+∙+∙+∙0.089=25. 按以往概率论考试结果分析,努力学习的学生有90%的可能考试及格,不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查,学生中有80%的人是努力学习的,试问: (1)考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人? (2)考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人? 【解】设A ={被调查学生是努力学习的},则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P(A )=0.8,P (A )=0.2,又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P (B |A )=0.9,P (B |A )=0.9,故由贝叶斯公式知(1)()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2) ()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来,接收站收到时,A 被误收作B 的概率为0.02,而B 被误收作A 的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ,试问原发信息是A 的概率是多少?【解】 设A ={原发信息是A },则={原发信息是B }C ={收到信息是A },则={收到信息是B } 由贝叶斯公式,得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯27.在已有两个球的箱子中再放一白球,然后任意取出一球,若发现这球为白球,试求箱子【解】设A i ={箱中原有i 个白球}(i =0,1,2),由题设条件知P (A i )=13,i =0,1,2.又设B ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知11112()()()()()()()i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑ 2/31/311/31/32/31/311/33⨯==⨯+⨯+⨯28.96%是合格品,检查产品时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.02,一个次品被误认为是合格品的概率为0.05,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】 设A ={产品确为合格品},B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯29.某保险公司把被保险人分为三类:“谨慎的”,“一般的”,“冒失的”.统计资料表明,上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30;如果“谨慎的”被保险人占20%,“一般的”占50%,“冒失的”占30%,现知某被保险人在一年内出了事故,则他是“谨慎的”的概率是多少?【解】 设A ={该客户是“谨慎的”},B ={该客户是“一般的”},C ={该客户是“冒失的”},D ={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C ==++0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯30.次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03,假定各道工序是相互独立的,求加工出来的零件的次品率. 【解】设A i ={第i 道工序出次品}(i =1,2,3,4).412341()1()i i P A P A A A A ==-12341()()()()P A P A P A P A =-10.980.970.950.970.124=-⨯⨯⨯=31.设每次射击的命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9? 【解】设必须进行n 次独立射击.则1(0.8)0.9n-≥即为 (0.8)0.1n ≤ 故n ≥1lg8=11.07,至少必须进行11次独立射击. 32.证明:若P (A |B )=P (A |B ),则A ,B 相互独立.【证】 (|)(|)P A B P A B =即()()()()P AB P AB P B P B =亦()()()()P AB P B P AB P B =,即()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=- 因此 ()()()P AB P A P B =,故A 与B 相互独立. 33.三人独立地破译一个密码,他们能破译的概率分别为151314,求将此密码破译出的概率. 【解】 设A i ={第i 人能破译}(i =1,2,3),则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯=34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击,设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7,若只有一人击中,则飞机被击落的概率为0.2;若有两人击中,则飞机被击落的概率为0.6;若三人都击中,则飞机一定被击落,求:飞机被击落的概率. 【解】设A ={飞机被击落},B i ={恰有i 人击中飞机},i =0,1,2,3由全概率公式,得3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)×0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)×0.6+0.4×0.5×0.7×1=0.458。

概率论与数理统计课后答案北邮版

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习题三1.将一硬币抛掷三次,以X 表示在三次中出现正面的次数,以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 111222⨯⨯111222⨯⨯=2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球,以X 表示取到黑球的只数,以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 的联合分布律如表: 23247C 3C 35= 13247C 2C 35= 1232247C C 6C 35= 1132247C C 12C 35=13247C 2C 35= 2427C /C =2132247C C 6C 35= 23247C 3C 35=3.设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数为F (x ,y )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤.,020,20,sin sin 其他ππy x y x求二维随机变量(X ,Y )在长方形域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ{0,}(3.2)463P X Y <≤<≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636F F F F --+ππππππsin sin sin sin sin 0sin sin 0sin 4346362(31).4=--+=-题3图说明:也可先求出密度函数,再求概率。

4.设随机变量(X ,Y )的分布密度f (x ,y )=⎩⎨⎧>>+-.,0,0,0,)43(其他y x A y x e求:(1) 常数A ;(2) 随机变量(X ,Y )的分布函数; (3) P {0≤X <1,0≤Y <2}. 【解】(1) 由-(34)0(,)d d e d d 112x y Af x y x y A x y +∞+∞+∞+∞+-∞-∞===⎰⎰⎰⎰得 A =12 (2) 由定义,有 (,)(,)d d y xF x y f u v u v -∞-∞=⎰⎰(34)340012ed d (1e )(1e )0,0,0,0,y yu v x y u v y x -+--⎧⎧-->>⎪==⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他(3) {01,02}P X Y ≤<≤<12(34)3800{01,02}12e d d (1e )(1e )0.9499.x y P X Y x y -+--=<≤<≤==--≈⎰⎰5.设随机变量(X ,Y )的概率密度为f (x ,y )=⎩⎨⎧<<<<--.,0,42,20),6(其他y x y x k(1) 确定常数k ;(2) 求P {X <1,Y <3}; (3) 求P {X <}; (4) 求P {X +Y ≤4}. 【解】(1) 由性质有242(,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞-∞-∞=--==⎰⎰⎰⎰故 18R =(2) 13{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞<<=⎰⎰130213(6)d d 88k x y y x =--=⎰⎰ (3) 11.5{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y <<=⎰⎰⎰⎰如图1.542127d (6)d .832x x y y =--=⎰⎰(4) 24{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y +≤+≤=⎰⎰⎰⎰如图b240212d (6)d .83xx x y y -=--=⎰⎰题5图6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,X 在(0,)上服从均匀分布,Y 的密度函数为f Y (y )=⎩⎨⎧>-.,0,0,55其他y y e求:(1) X 与Y 的联合分布密度;(2) P {Y ≤X }.题6图【解】(1) 因X 在(0,)上服从均匀分布,所以X 的密度函数为1,00.2,()0.20,.X x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 而55e ,0,()0,.y Y y f y -⎧>=⎨⎩其他 所以(,),()()X Y f x y X Y f x f y 独立5515e25e ,00.20,0.20,0,yy x y --⎧⎧⨯<<>⎪==⎨⎨⎩⎪⎩且其他. (2) 5()(,)d d 25e d d y y x DP Y X f x y x y x y -≤≤=⎰⎰⎰⎰如图0.20.2-5500-1d 25e d (5e 5)d =e 0.3679.xyx x y x -==-+≈⎰⎰⎰7.设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数为F (x ,y )=⎩⎨⎧>>----.,0,0,0),1)(1(24其他y x y x e e求(X ,Y )的联合分布密度.【解】(42)28e ,0,0,(,)(,)0,x y x y F x y f x y x y -+⎧>>∂==⎨∂∂⎩其他. 8.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为f (x ,y )= 4.8(2),01,0,0,.y x x y x -≤≤≤≤⎧⎨⎩其他求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰x204.8(2)d 2.4(2),01,=0,.0,y x y x x x ⎧⎧--≤≤⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰12y 4.8(2)d 2.4(34),01,=0,.0,y x x y y y y ⎧-⎧-+≤≤⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他题8图 题9图9.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为f (x ,y )=e ,0,0,.y x y -⎧<<⎨⎩其他求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰e d e ,0,=0,.0,y x x y x +∞--⎧⎧>⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰0e d e ,0,=0,.0,yy x x y y --⎧⎧>⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他题10图10.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为f (x ,y )=22,1,0,.cx y x y ⎧≤≤⎨⎩其他(1) 试确定常数c ;(2) 求边缘概率密度. 【解】(1)(,)d d (,)d d Df x y x y f x y x y +∞+∞-∞-∞⎰⎰⎰⎰如图2112-14=d d 1.21xx cx y y c ==⎰⎰ 得214c =. (2) ()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰212422121(1),11,d 840,0,.x x x x x y y ⎧⎧--≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰522217d ,01,420,0,.y y x y x y y -⎧⎧≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰其他 11.设随机变量(X ,Y )的概率密度为f (x ,y )=1,,01,0,.y x x ⎧<<<⎨⎩其他求条件概率密度f Y |X (y |x ),f X |Y (x |y ).题11图【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰1d 2,01,0,.xx y x x -⎧=<<⎪=⎨⎪⎩⎰其他111d 1,10,()(,)d 1d 1,01,0,.y Y y x y y f y f x y x x y y -+∞-∞⎧=+-<<⎪⎪⎪===-≤<⎨⎪⎪⎪⎩⎰⎰⎰其他所以|1,||1,(,)(|)2()0,.Y X X y x f x y f y x xf x ⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他|1, 1,1(,)1(|),1,()10,.X Y Y y x y f x y f x y y x f y y⎧<<⎪-⎪⎪==-<<⎨+⎪⎪⎪⎩其他 12.袋中有五个号码1,2,3,4,5,从中任取三个,记这三个号码中最小的号码为X ,最大的号码为Y .(1) 求X 与Y 的联合概率分布; (2) X 与Y 是否相互独立? 【解】(1) X 与Y 的联合分布律如下表3 4 5{}i P X x =13511C 10= 3522C 10= 3533C 10= 610 23511C 10= 3522C 10= 310 3 02511C 10= 110{}i P Y y =110 310 610(2) 因6161{1}{3}{1,3},101010010P X P Y P X Y ===⨯=≠=== 故X 与Y 不独立13.设二维随机变量(X ,Y )的联合分布律为 2 5 8(1)求关于X 和关于Y 的边缘分布; (2) X 与Y 是否相互独立? 2 5 8 P {Y=y i }{}i P X x =YXXYXY(2) 因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===⨯0.160.15(2,0.4),P X Y =≠=== 故X 与Y 不独立.14.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,X 在(0,1)上服从均匀分布,Y 的概率密度为f Y (y )=⎪⎩⎪⎨⎧>-.,0,0,212/其他y y e(1)求X 和Y 的联合概率密度; (2) 设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0,试求a 有实根的概率.【解】(1) 因1,01,()0,X x f x <<⎧==⎨⎩其他; 21e ,1,()20,yY y f y -⎧>⎪==⎨⎪⎩其他.故/21e01,0,(,),()()20,.y X Y x y f x y X Y f x f y -⎧<<>⎪=⎨⎪⎩独立其他题14图(2) 方程220a Xa Y ++=有实根的条件是2(2)40X Y ∆=-≥故 X 2≥Y ,从而方程有实根的概率为:22{}(,)d d x yP X Y f x y x y ≥≥=⎰⎰21/2001d e d 212[(1)(0)]0.1445.x y x yπ-==-Φ-Φ=⎰⎰15.设X 和Y 分别表示两个不同电子器件的寿命(以小时计),并设X 和Y 相互独立,且服从同一分布,其概率密度为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>.,0,1000,10002其他x x求Z =X /Y 的概率密度.【解】如图,Z 的分布函数(){}{}Z XF z P Z z P z Y=≤=≤ (1) 当z ≤0时,()0Z F z =(2) 当0<z <1时,(这时当x =1000时,y =1000z)(如图a) 3366102222101010()d d d d yz Z zx y zF z x y y x x y x y +∞≥==⎰⎰⎰⎰ 33610231010=d 2z zy yzy +∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰题15图 (3) 当z ≥1时,(这时当y =103时,x =103z )(如图b )3366222210101010()d d d d zy Z xy zF z x y y x x yx y +∞≥==⎰⎰⎰⎰ 336231010101=d 12y y zy z +∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰即 11,1,2(),01,20,.Z z z zf z z ⎧-≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他故 21,1,21(),01,20,.Z z z f z z ⎧≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他16.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N (160,202)分布.随机地选取4 只,求其中没有一只寿命小于180h 的概率.【解】设这四只寿命为X i (i =1,2,3,4),则X i ~N (160,202),从而123412{min(,,,)180}{180}{180}i P X X X X X P X P X ≥≥≥之间独立34{180}{180}P X P X ≥≥ 1234[1{180}][1{180}][1{180}][1{180}]P X P X P X P X =-<-<-<-<44144180160[1{180}]120[1(1)](0.158)0.00063.P X ⎡-⎤⎛⎫=-<=-Φ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=-Φ== 17.设X ,Y 是相互独立的随机变量,其分布律分别为P {X =k }=p (k ),k =0,1,2,…, P {Y =r }=q (r ),r =0,1,2,….证明随机变量Z =X +Y 的分布律为P {Z =i }=∑=-ik k i q k p 0)()(,i =0,1,2,….【证明】因X 和Y 所有可能值都是非负整数,所以 {}{}Z i X Y i ==+={0,}{1,1}{,0}X Y i X Y i X i Y =====-==于是0{}{,},i k P Z i P X k Y i k X Y =====-∑相互独立0{}{}ik P X k P Y i k ===-∑()()ik p k q i k ==-∑18.设X ,Y 是相互独立的随机变量,它们都服从参数为n ,p 的二项分布.证明Z =X +Y 服从参数为2n ,p 的二项分布.【证明】方法一:X +Y 可能取值为0,1,2,…,2n .{}{,}ki P X Y k P X i Y k i =+====-∑00202(){}2ki ki n i k i n k ii k k n k i k n k P X i P Y k i n n p q p q i k i n n p q i k i n p q k =---+=-=-===-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑∑方法二:设μ1,μ2,…,μn ;μ1′,μ2′,…,μn ′均服从两点分布(参数为p ),则X =μ1+μ2+…+μn ,Y =μ1′+μ2′+…+μn ′, X +Y =μ1+μ2+…+μn +μ1′+μ2′+…+μn ′,所以,X +Y 服从参数为(2n ,p )的二项分布.(1) 求{=2|=2},{=3|=0}; (2) 求V =max (X ,Y )的分布律; (3) 求U =min (X ,Y )的分布律; (4) 求W =X +Y 的分布律. 【解】(1){2,2}{2|2}{2}P X Y P X Y P Y ======5{2,2}0.051,0.252{,2}i P X Y P X i Y ========∑ {3,0}{3|0}{0}P Y X P Y X P X ======3{0,3}0.011;0.033{0,}j P X Y P X Y j ========∑ (2){}{max(,)}{,}{,}P V i P X Y i P X i Y i P X i Y i ====<+≤=10{,}{,},i ik k P X i Y k P X k Y i -=====+==∑∑ 0,1,2,3,4,5i =所以V 的分布律为V =max(X ,Y ) 0 1 2 3 4 5 P 0(3) {}{min(,)}P U i P X Y i ===351{,}{,}{,}{,}k ik i P X i Y i P X i Y i P X i Y k P X k Y i ==+==≥+>====+==∑∑0,1,2,3,i =于是U =min(X ,Y ) 0 1 2 3 P (4)类似上述过程,有W =X +Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P20.雷达的圆形屏幕半径为R ,设目标出现点(X ,Y )在屏幕上服从均匀分布. (1) 求P {Y >0|Y >X };(2) 设M =max{X ,Y },求P {M >0}.题20图【解】因(X ,Y )的联合概率密度为22221,,(,)π0,.x y R f x y R⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其他 (1){0,}{0|}{}P Y Y X P Y Y X P Y X >>>>=>0(,)d (,)d y y xy xf x y f x y σσ>>>=⎰⎰⎰⎰π2π/405π42π/401d d π1d d πRR r rR r rR θθ=⎰⎰⎰⎰3/83;1/24== (2) {0}{max(,)0}1{max(,)0}P M P X Y P X Y >=>=-≤00131{0,0}1(,)d 1.44x y P X Y f x y σ≤≤=-≤≤=-=-=⎰⎰21.设平面区域D 由曲线y =1/x 及直线y =0,x =1,x=e 2所围成,二维随机变量(X ,Y )在区域D 上服从均匀分布,求(X ,Y )关于X 的边缘概率密度在x =2处的值为多少?题21图【解】区域D 的面积为 22e e 0111d ln 2.S x x x===⎰(X ,Y )的联合密度函数为211,1e ,0,(,)20,.x y f x y x ⎧≤≤<≤⎪=⎨⎪⎩其他(X ,Y )关于X 的边缘密度函数为1/2011d ,1e ,()220,.x X y x f x x⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩⎰其他 所以1(2).4X f =22.设随机变量X 和Y 相互独立,下表列出了二维随机变量(X ,Y )联合分布律及关于X 和Y 的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处.y 1 y 2 y 3P {X =x i }=p ix 1 x 21/81/8P {Y =y j }=p j1/61【解】因21{}{,}j j iji P Y y P P X x Y y ======∑,故11121{}{,}{,},P Y y P X x Y y P X x Y y ====+== 从而11111{,}.6824P X x Y y ===-= YX而X 与Y 独立,故{}{}{,}i j i i P X x P Y y P X x Y y =====,从而11111{}{,}.624P X x P X x Y y =⨯==== 即:1111{}/.2464P X x ===又1111213{}{,}{,}{,},P X x P X x Y y P X x Y y P X x Y y ====+==+==即1,3111{},4248P X x Y y =++== 从而131{,}.12P X x Y y ===同理21{},2P Y y == 223{,}8P X x Y y ===又31{}1j j P Y y ===∑,故3111{}1623P Y y ==--=. 同理23{}.4P X x == 从而23313111{,}{}{,}.3124P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-=故23.设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(λ>0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p (0<p <1),且中途下车与否相互独立,以Y 表示在中途下车的人数,求:(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率;(2)二维随机变量(X ,Y )的概率分布.【解】(1) {|}C (1),0,0,1,2,m m n mn P Y m X n p p m n n -===-≤≤=.(2) {,}{}{|}P X n Y m P X n P Y m X n ======e C (1),,0,1,2,.!m m n mnnp p n m n n n λλ--=-≤≤=24.设随机变量X 和Y 独立,其中X 的概率分布为X ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛7.03.021,而Y 的概率密度为f (y ),求随机变量U =X +Y 的概率密度g (u ).【解】设F (y )是Y 的分布函数,则由全概率公式,知U =X +Y 的分布函数为(){}0.3{|1}0.7{|2}G u P X Y u P X Y u X P X Y u X =+≤=+≤=++≤=0.3{1|1}0.7{2|2}P Y u X P Y u X =≤-=+≤-=由于X 和Y 独立,可见()0.3{1}0.7{2}G u P Y u P Y u =≤-+≤-0.3(1)0.7(2).F u F u =-+-由此,得U 的概率密度为()()0.3(1)0.7(2)g u G u F u F u '''==-+-0.3(1)0.7(2).f u f u =-+-25. 设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,求P {max{X ,Y }≤1}.解:因为随即变量服从[0,3]上的均匀分布,于是有1, 03,()30, 0,3;x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩ 1, 03,()30, 0, 3.y f y y y ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩ 因为X ,Y 相互独立,所以1, 03,03,(,)90, 0,0,3, 3.x y f x y x y x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪<<>>⎩ 推得 1{max{,}1}9P X Y ≤=. 26. 设二维随机变量(X ,Y )的概率分布为其中a ,,为常数,且的数学期望()=??,{≤0|≤0}=,记=+.求:(1) a ,b ,c 的值; (2) Z 的概率分布; (3) P {X =Z }.解 (1) 由概率分布的性质知,a+b+c +=1 即 a+b+c = .由()0.2E X =-,可得0.1a c -+=-.再由 {0,0}0.1{00}0.5{0}0.5P X Y a b P Y X P X a b ≤≤++≤≤===≤++,得 0.3a b +=.解以上关于a ,b ,c 的三个方程得0.2,0.1,0.1a b c ===.(2) Z 的可能取值为?2,?1,0,1,2,{2}{1,1}0.2P Z P X Y =-==-=-=,{1}{1,0}{0,1}0.1P Z P X Y P X Y =-==-=+==-=,{0}{1,1}{0,0}{1,1}0.3P Z P X Y P X Y P X Y ===-=+==+==-=,{1}{1,0}{0,1}0.3P Z P X Y P X Y ====+===,{2}{1,1}0.1P Z P X Y =====,即Z(3) {}{0}0.10.20.10.10.20.4P X Z P Y b ====++=++=.27. 设随机变量X,Y 独立同分布,且X 的分布函数为F(x),求Z=max{X,Y}的分布函数.解:因为X,Y 独立同分布,所以F X (z )=F Y (z),则F Z (z )=P{Z ≤z}=P{X ≤z ,Y ≤z}=P{x ≤z}·P{Y ≤z}=[F (z )]2.28.设随机变量X 与Y 相互独立,X 的概率分布为1{},1,0,1,3P X i i ===-Y 的概率密度为1,01,()0,Y y f y ≤<⎧=⎨⎩其他.记Z =X +Y .(1)求1{|0};2P Z X ≤= (2)求Z 的概率密度()Z f z分析 题(1)可用条件概率的公式求解.题(2)可先求Z 的分布函数,再求导得密度函数.解(1)1{0,}12{|0}2{0}P X Z P Z X P X =≤≤=== 1{0,}2{0}P X Y P X =≤== 11{}22P Y =≤=(2)(){}{}Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤{,1}{,0}{,1}P X Y z X P X Y z X P X Y z X =+≤=-++≤=++≤= {1,1}{,0}{1,1}P Y z X P Y z X P Y z X =≤+=-+≤=+≤-= {1}{1}{}{0}{1}{1}P Y z P X P Y z P X P Y z P X =≤+=-+≤=+≤-=1[{1}{}{1}]3P Y z P Y z P Y z =≤++≤+≤-1[(1)()(1)]3Y Y Y F z F z F z =+++-'1()()[(1)()(1)]3Z Z Y Y Y f z F z f z f z f z ==+++-1,1230,.z ⎧-≤<⎪=⎨⎪⎩其他29.设随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且X 与Y 不相关,f X (x),f Y (y)分别表示X,Y 的概率密度,求在Y=y 的条件下,X 的条件概率密度f X |Y (x |y).解:由第四章第三节所证可知,二维正态分布的不相关与独立性等价,所以f(x,y)= f X (x) ·F Y (y),由本章所讨论知,/()()(,)(/)()()()X Y X Y X Y Y f x f y f x y f x y f x f y f y ===.30.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为2,01,01,(,)0,.x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他(1)求{2};P X Y >(2)求Z =X +Y 的概率密度()Z f z .分析 已知(X,Y)的联合密度函数,可用联合密度函数的性质{(,)P X Y ∈}(,)GG f x y dxdy =⎰⎰ 解(1); Z=X+Y 的概率密度函数可用先求Z 的分布函数再求导的方法或直接套公式求解. 解 (1)2{2}(,)x yP X Y f x y dxdy >>=⎰⎰1200120(2)57().824x dx x y dy x x dx =--=-=⎰⎰⎰(2)()(,),Z f z f x z x dx +∞-∞=-⎰其中 2()01,01(,)0x z x x z x f x z x ---<<<-<⎧-=⎨⎩其他201,01z x z x -<<<-<⎧=⎨⎩其他当02z z ≤≥或时,()0Z f z =; 当01z <<时,0()(2)(2);zZ f z z dx z z =-=-⎰ 当12z ≤<时,121()(2)(2),Z z f z z dx z -=-=-⎰即Z 的概率密度为2(2)01()(2)120Z z z z f z z z -<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他。

2019概率论与数理统计期末考试试卷及答案.doc

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《概率论与数理统计》试卷A(考试时间:90分钟; 考试形式:闭卷)(注意:请将答案填写在答题专用纸上,并注明题号。

答案填写在试卷和草稿纸上无效)一、单项选择题(本大题共20小题,每小题2分,共40分) 1、A ,B 为二事件,则AB =()A 、AB B 、A BC 、A BD 、A B2、设A ,B ,C 表示三个事件,则A B C 表示()A 、A ,B ,C 中有一个发生 B 、A ,B ,C 中恰有两个发生C 、A ,B ,C 中不多于一个发生D 、A ,B ,C 都不发生 3、A 、B 为两事件,若()0.8P AB =,()0.2P A =,()0.4P B =,则()成立A 、()0.32P AB = B 、()0.2P A B =C 、()0.4P B A -=D 、()0.48P B A = 4、设A ,B 为任二事件,则()A 、()()()P AB P A P B -=- B 、()()()P AB P A P B =+C 、()()()P AB P A P B =D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立,则下列说法错误的是()A 、A 与B 独立 B 、A 与B 独立C 、()()()P AB P A P B =D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为其分布函数为()F x ,则(3)F =()A 、0B 、0.3C 、0.8D 、17、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1]()0,cx x f x ⎧∈=⎨⎩其它 ,则常数c =()A 、15 B 、14C 、4D 、58、设X ~)1,0(N,密度函数22()x x ϕ-=,则()x ϕ的最大值是()A 、0B 、1 C、9、设随机变量X 可取无穷多个值0,1,2,…,其概率分布为33(;3),0,1,2,!k p k e k k -==,则下式成立的是()A 、3EX DX ==B 、13EX DX == C 、13,3EX DX == D 、1,93EX DX ==10、设X 服从二项分布B(n,p),则有()A 、(21)2E X np -=B 、(21)4(1)1D X np p +=-+C 、(21)41E X np +=+D 、(21)4(1)D X np p -=-11、独立随机变量,X Y ,若X ~N(1,4),Y ~N(3,16),下式中不成立的是()A 、()4E X Y +=B 、()3E XY =C 、()12D X Y -= D 、()216E Y += 12、设随机变量X 的分布列为:则常数c=()A 、0B 、1C 、14 D 、14- 13、设X ~)1,0(N ,又常数c 满足{}{}P X c P X c ≥=<,则c 等于()A 、1B 、0C 、12D 、-1 14、已知1,3EX DX =-=,则()232E X ⎡⎤-⎣⎦=()A 、9B 、6C 、30D 、36 15、当X 服从( )分布时,EX DX =。

2019概率论与数理统计课后习题及答案.doc

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概率论与数理统计课后习题及答案第1章 三、解答题1.设P (AB ) = 0,则下列说法哪些是正确的? (1) A 和B 不相容; (2) A 和B 相容; (3) AB 是不可能事件; (4) AB 不一定是不可能事件; (5) P (A ) = 0或P (B ) = 0 (6) P (A – B ) = P (A ) 解:(4) (6)正确.2.设A ,B 是两事件,且P (A ) = 0.6,P (B ) = 0.7,问: (1) 在什么条件下P (AB )取到最大值,最大值是多少? (2) 在什么条件下P (AB )取到最小值,最小值是多少? 解:因为)()()()(B A P B P A P AB P ,又因为)()(B A P B P 即.0)()( B A P B P 所以(1) 当)()(B A P B P 时P (AB )取到最大值,最大值是)()(A P AB P =0.6.(2)1)( B A P 时P (AB )取到最小值,最小值是P (AB )=0.6+0.7-1=0.3.3.已知事件A ,B 满足)()(B A P AB P ,记P (A ) = p ,试求P (B ).解:因为)()(B A P AB P ,即)()()(1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P AB P ,所以.1)(1)(p A P B P4.已知P (A ) = 0.7,P (A – B ) = 0.3,试求)(AB P .解:因为P (A – B ) = 0.3,所以P (A )– P(AB ) = 0.3, P(AB ) = P (A )– 0.3, 又因为P (A ) = 0.7,所以P(AB ) =0.7– 0.3=0.4,6.0)(1)( AB P AB P .5. 从5双不同的鞋子种任取4只,问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少? 解:显然总取法有410C n种,以下求至少有两只配成一双的取法k :法一:分两种情况考虑:15C k24C 212)(C +25C 其中:2122415)(C C C 为恰有1双配对的方法数法二:分两种情况考虑:!2161815C C C k +25C其中:!2161815C C C为恰有1双配对的方法数法三:分两种情况考虑:)(142815C C C k +25C其中:)(142815C C C 为恰有1双配对的方法数法四:先满足有1双配对再除去重复部分:2815C C k -25C法五:考虑对立事件:410C k-45C 412)(C其中:45C 412)(C 为没有一双配对的方法数法六:考虑对立事件:!4141618110410C C C C C k其中:!4141618110C C C C 为没有一双配对的方法数所求概率为.2113410C k p 6.在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的纪念章,任取3人记录其纪念章的号码.求: (1) 求最小号码为5的概率; (2) 求最大号码为5的概率.解:(1) 法一:12131025 C C p ,法二:1213102513 A A C p (2) 法二:20131024 C C p ,法二:2013102413 A A C p 7.将3个球随机地放入4个杯子中去,求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率. 解:设M 1, M 2, M 3表示杯子中球的最大个数分别为1,2,3的事件,则834)(3341 A M P , 1694)(324232 A C M P , 1614)(3143C M P8.设5个产品中有3个合格品,2个不合格品,从中不返回地任取2个,求取出的2个中全是合格品,仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少?解:设M 2, M 1, M 0分别事件表示取出的2个球全是合格品,仅有一个合格品和没有合格品,则 3.0)(25232 C C M P ,6.0)(2512131 C C C M P ,1.0)(25221 C C M P9.口袋中有5个白球,3个黑球,从中任取两个,求取到的两个球颜色相同的概率.解:设M 1=“取到两个球颜色相同”,M 1=“取到两个球均为白球”,M 2=“取到两个球均为黑球”,则2121M M M M M 且.所以.2813C C C C )()()()(282328252121 M P M P M M P M P10. 若在区间(0,1)内任取两个数,求事件“两数之和小于6/5”的概率.解:这是一个几何概型问题.以x 和y 表示任取两个数,在平面上建立xOy 直角坐标系,如图. 任取两个数的所有结果构成样本空间 = {(x ,y ):0 x ,y 1} 事件A =“两数之和小于6/5”= {(x ,y ) : x + y 6/5} 因此2517154211)(2的面积的面积A A P . 图?11.随机地向半圆220x ax y(a 为常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,求原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4的概率.解:这是一个几何概型问题.以x 和y 表示随机地向半圆内掷一点的坐标, 表示原点和该点的连线与x 轴的夹角,在平面上建立xOy 直角坐标系,如图.随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间 ={(x ,y ):220,20x ax y a x}事件A =“原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4” ={(x ,y ):40,20,202x ax y a x }因此211214121)(222 a aa A A P 的面积的面积.12.已知21)(,31)(,41)( B A P A B P A P ,求)(B A P . 解:,1213141)()()( A B P A P AB P ,6121121)|()()(B A P AB P B P.311216141)()()()(AB P B P A P B A P 13.设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知所取两件产品中有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率是多少?解:题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品,则两件均为不合格品的概率”。

北邮概率论研究生试题答案定稿

北邮概率论研究生试题答案定稿

北京邮电大学2012——2013学年第1学期《概率论与随机过程试卷》期末考试试卷答案考试注意事项:学生必须将答题内容(包括填空题)做在试卷答题纸上,做在试卷纸上一律无效。

在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号,班内序号!一. 单项选择题和填空题:(每空3分,共30分) 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是.A (A )若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A 。

(B )若A A B ∈⊂A,,则B ∈A 。

(C )若12n A n =∈⋯A,,,,则1n n A ∞=∈A 。

(D )若12n A n =∈⋯A,,,,且123A A A ⊃⊃⊃,则1n n A ∞=∈A .2. 设(),ΩF 为一可测空间,P 为定义在其上的有限可加测度,则下面正确的是.c(A )若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-; (B )若12n A n =∈⋯F,,,,,且123A A A ⊃⊃⊃,则1li ()()m n n n n P A A P ∞→∞==;(C )若A B C ∈∈∈F,F,F,,则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++; (D )若12n A n =∈⋯F,,,,,且,i j A i j A =∅∀=/,11()()n n n n P P A A ∞∞===∑.3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数,表达式为1000()k A k f kI ω==∑,其中1000,,i j n n i j A A A ==∅∀=Ω/=,则fdP Ω=⎰;若已知100100!1!(100)()!2k k k P A -=,则2f dP Ω=⎰. 0210(),25502525kk kP A =+=∑4. 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度2,01,0,(,)0,x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩其他, 则[[|]]E E X Y =.2/35. 设随机过程,}{()cos X t X t t ω-∞<<+∞=,其中随机变量X 服从参数为1的指数分布,(0,/2)ωπ∈为常数,则(1)(1)X 的概率密度(;1)f x =;(2)20(())E X t dt π=⎰.,0,(;1)01,xcos x e cos f x ωω-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他,20(1())E X t dt πω=⎰ 6. 设{(),0}W t t ≥是参数为2()0σσ>的维纳过程,令1()()X t W t=,则相关函数2(1,2)2X R σ=.7. 设齐次马氏链的状态空间为{1,2,3}E =,一步转移概率为0.50.500.50.500.20.30.5P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则(1)()11lim n n p→∞=;(2)()33n n p ∞==∑.1/2,2 二. 概率题(共30分)1.(10分) 设(,)X Y 的概率密度为22122221(,)2x x f x y e σπσ+-=,令22,U X Y V Y =+=, (1)求(,)U V 的概率密度(,)g u v ;(2)求U 的边缘概率密度()U g u .解解.(1) 解方程22,,u x y v y ⎧=+⎨=⎩得|,,u x v y v ⎧⎪=⎨⎪⎩≤=所以雅可比行列式220J u v ==-, 故2221||,(,)(,)||20,u e v u g u v f x y J σπσ-⎧≤⎪==⎨⎪⎩其他.……5分 (2)对0u >,2221(,))2(u u U ug u e gu v d d v v σπσ-∞-∞-==⎰⎰22222222u u u e e u u σσπσσ---==⎰,故222,0,()20,.uU eu u g u σσ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他……10分2.(10分)设(,)U V 的概率密度,0,0,(,)0,u e u v v g u v -⎧->>=⎨⎩其他,(1)求{1}|1()0V U E I >=,其中{1}{1,(}),10V V I ωω>∈>⎧=⎨⎩,其他,(2)(|)D V U .解 U 的边缘概率密度为00,0,,0,()(,)0,,0,,uu u uU e dv u e u u u v d u g v g --⎧⎧>>⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他其他 所以条件概率密度|1,0,(,)(|)()0,V U U v u g u v v u ug g u ⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他.……4分 (1)101{1}|10111()(1|10).102|10(|10)V V U E I P V U U v u g dv dv >===>====⎰⎰……7分(2)因为21(|)2D V U u u ==,所以2(|)12D U U V =。

北邮研究生概率论与随机过程-试题及标准答案

北邮研究生概率论与随机过程-试题及标准答案

北邮研究生概率论与随机过程-试题及答案————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:23北京邮电大学2012——2013学年第1学期《概率论与随机过程》期末考试试题答案考试注意事项:学生必须将答题内容(包括填空题)做在试题答题纸上,做在试卷纸上一律无效。

在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号,班内序号!一. 单项选择题和填空题:(每空3分,共30分)1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A (A )若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; (B )若A A B ∈⊂A,,则B ∈A ; (C )若12n A n =∈⋯A,,,,则1n n A ∞=∈U A ;(D )若12n A n =∈⋯A,,,,且123A A A ⊃⊃⊃L ,则1n n A ∞=∈I A .2. 设(),ΩF 为一可测空间,P 为定义在其上的有限可加测度,则下面正确的是 .c(A )若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-;(B )若12n A n =∈⋯F,,,,,且123A A A ⊃⊃⊃L ,则1li ()()m n n n n P A A P ∞→∞==I ;(C )若A B C ∈∈∈F,F,F,,则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++U U ; (D )若12n A n =∈⋯F,,,,,且,i j A i j A =∅∀=/,11()()n n n n P P A A ∞∞===∑U .3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数,表达式为1000()k A k f kI ω==∑,其中100,,i j n n i j A A A ==∅∀=Ω/=U ,则fdP Ω=⎰ ;4若已知100100!1!(100)()!2k k k P A -=,则2f dP Ω=⎰ . 0210(),25502525kk kP A =+=∑4. 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度2,01,0,(,)0,x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩其他, 则[[|]]E E X Y = .2/35. 设随机过程,}{()cos X t X t t ω-∞<<+∞=,其中随机变量X 服从参数为1的指数分布,(0,/2)ωπ∈为常数,则(1)(1)X 的概率密度(;1)f x = ;(2)20(())E X t dt π=⎰ .,0,(;1)01,xcos x e cos f x ωω-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他,20(1())E X t dt πω=⎰ 6. 设{(),0}W t t ≥是参数为2()0σσ>的维纳过程,令1()()X t W t=,则相关函数2(1,2)2X R σ=.7. 设齐次马氏链的状态空间为{1,2,3}E =,一步转移概率为0.50.500.50.500.20.30.5P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则(1)()11lim n n p→∞= ;(2)()33n n p ∞==∑ . 1/2,2 二. 概率题(共30分)51.(10分) 设(,)X Y 的概率密度为22122221(,)2x x f x y e σπσ+-=,令22,U X Y V Y =+=, (1)求(,)U V 的概率密度(,)g u v ;(2)求U 的边缘概率密度()U g u .解解.(1) 解方程22,,u x y v y ⎧=+⎨=⎩得22,||,,v u x u v y v ⎧⎪=±⎨⎪⎩≤=- 所以雅可比行列式22222222201u uJ u v u v u vv±==±---m, 故222221,||,(,)(,)||20,u u e v u g u v f x y J u v σπσ-⎧≤⎪==⎨-⎪⎩其他. ……5分(2)对0u >,222221(,))2(u u U uu g u e g u v d d u vv v σπσ-∞-∞-=-=⎰⎰22222222212u uu ue dv e u v u u σσπσσ---==-⎰,故222,0,()20,.uU eu u g u σσ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他……10分2.(10分)设(,)U V 的概率密度6,0,0,(,)0,u e u v v g u v -⎧->>=⎨⎩其他,(1)求{1}|1()0V U E I >=,其中{1}{1,(}),10V V I ωω>∈>⎧=⎨⎩,其他,(2)(|)D V U .解 U 的边缘概率密度为00,0,,0,()(,)0,,0,,uu u uU e dv u e u u u v d u g v g --⎧⎧>>⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他其他 所以条件概率密度|1,0,(,)(|)()0,V U U v u g u v v u ug g u ⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他. ……4分(1)101{1}|1111()(1|10).102|10(|10)V V U E I P V U U v u g dv dv >===>====⎰⎰……7分(2)因为21(|)2D V U u u ==,所以2(|)12D U U V =。

概率论与数理统计答案_北邮版_(第一章)

概率论与数理统计答案_北邮版_(第一章)

概率论与数理统计习题及答案习题 一1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点. (1) 掷一颗骰子,出现奇数点. (2) 掷二颗骰子,A =“出现点数之和为奇数,且恰好其中有一个1点.”B =“出现点数之和为偶数,但没有一颗骰子出现1点.” (3)将一枚硬币抛两次, A =“第一次出现正面.”B =“至少有一次出现正面.”C =“两次出现同一面.” 【解】{}{}1123456135A Ω==(),,,,,,,,;{}{}{}{}{}(2)(,)|,1,2,,6,(12),(14),(16),(2,1),(4,1),(6,1),(22),(24),(26),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6);(3)(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(i j i j A B A B ΩΩ======= ,,,,,,正反正正反正反反正正正反正正正反反{}{},),(,),(,),C =正正正反反2.设A ,B ,C 为三个事件,试用A ,B ,C 的运算关系式表示下列事件: (1) A 发生,B ,C 都不发生; (2) A 与B 发生,C 不发生; (3) A ,B ,C 都发生;(4) A ,B ,C 至少有一个发生; (5) A ,B ,C 都不发生; (6) A ,B ,C 不都发生;(7) A ,B ,C 至多有2个发生; (8) A ,B ,C 至少有2个发生. 【解】(1) A BC (2) AB C (3) ABC(4) A ∪B ∪C =AB C ∪A B C ∪A BC ∪A BC ∪A B C ∪AB C ∪ABC =ABC(6) ABC(5) ABC=A B C(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3.指出下列等式命题是否成立,并说明理由:(1) A∪B=(AB)∪B;(2) A B=A∪B;A ∩C=AB C;(3) B(4) (AB)( AB)= ∅;(5) 若A⊂B,则A=AB;(6) 若AB=∅,且C⊂A,则BC=∅;(7) 若A⊂B,则B⊃A;(8) 若B⊂A,则A∪B=A.【解】(1)不成立.特例:若Α∩B=φ,则ΑB∪B=B.所以,事件Α发生,事件B必不发生,即Α∪B发生,ΑB∪B不发生.故不成立.(2)不成立.若事件Α发生,则A不发生,Α∪B发生,所以A B不发生,从而不成立.A ,AB画文氏图如下:(3)不成立.B不发生,所以,若Α-B发生,则AB发生, A B故不成立.(4)成立.因为ΑB与AB为互斥事件.(5)成立.若事件Α发生,则事件B发生,所以ΑB发生.若事件ΑB发生,则事件Α发生,事件B发生.故成立.(6)成立.若事件C发生,则事件Α发生,所以事件B不发生,故BC=φ.⊂.(7)不成立.画文氏图,可知B A(8)成立.若事件Α发生,由()A A B ⊂ ,则事件Α∪B 发生. 若事件Α∪B 发生,则事件Α,事件B 发生. 若事件Α发生,则成立.若事件B 发生,由B A ⊂,则事件Α发生.4.设A ,B 为随机事件,且P (A )=0.7,P (A -B )=0.3,求P (AB ). 【解】 P (AB )=1-P (AB )=1-[P (A )-P (A -B )]=1-[0.7-0.3]=0.65.设A ,B 是两事件,且P (A )=0.6,P (B )=0.7,求: (1) 在什么条件下P (AB )取到最大值? (2) 在什么条件下P (AB )取到最小值? 【解】(1) 当AB =A 时,P (AB )取到最大值为0.6.(2) 当A ∪B =Ω时,P (AB )取到最小值为0.3.6.设A ,B ,C 为三事件,且P (A )=P (B )=1/4,P (C )=1/3且P (AB )=P (BC )=0,P (AC )=1/12,求A ,B ,C 至少有一事件发生的概率.【解】 P (A ∪B ∪C )=P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC )=14+14+13-112=347. 从52张扑克牌中任意取出13张,问有5张黑桃,3张红心,3张方块,2张梅花的概率是多少?【解】 p =5332131313131352C C C C /C8. 对一个五人学习小组考虑生日问题: (1) 求五个人的生日都在星期日的概率; (2) 求五个人的生日都不在星期日的概率; (3) 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】(1) 设A 1={五个人的生日都在星期日},基本事件总数为75,有利事件仅1个,故 P (A 1)=517=(17)5(亦可用独立性求解,下同) (2) 设A 2={五个人生日都不在星期日},有利事件数为65,故P (A 2)=5567=(67)5(3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}P (A 3)=1-P (A 1)=1-(17)59. 从一批由45件正品,5件次品组成的产品中任取3件,求其中恰有一件次品的概率.【解】与次序无关,是组合问题.从50个产品中取3个,有350C 种取法.因只有一件次品,所以从45个正品中取2个,共245C 种取法;从5个次品中取1个,共15C 种取法,由乘法原理,恰有一件次品的取法为245C 15C种,所以所求概率为21455350C C P C =.10.一批产品共N 件,其中M 件正品.从中随机地取出n 件(n <N ).试求其中恰有m 件(m ≤M )正品(记为A )的概率.如果: (1) n 件是同时取出的;(2) n 件是无放回逐件取出的; (3) n 件是有放回逐件取出的.【解】(1) P (A )=C C /C m n m nM N M N --(2) 由于是无放回逐件取出,可用排列法计算.样本点总数有P nN 种,n 次抽取中有m次为正品的组合数为C m n 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序,从M 件正品中取m 件的排列数有P m M 种,从N -M 件次品中取n -m 件的排列数为P n mN M --种,故P (A )=C P P P m m n mn M N MnN-- 由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出,故上述概率也可写成P (A )=C C C m n mM N Mn N--可以看出,用第二种方法简便得多.(3) 由于是有放回的抽取,每次都有N 种取法,故所有可能的取法总数为N n 种,n次抽取中有m 次为正品的组合数为C m n 种,对于固定的一种正、次品的抽取次序,m 次取得正品,都有M 种取法,共有M m 种取法,n -m 次取得次品,每次都有N -M 种取法,共有(N -M )n -m 种取法,故()C ()/m m n m nnP A M N M N -=- 此题也可用贝努里概型,共做了n 重贝努里试验,每次取得正品的概率为MN,则取得m 件正品的概率为()C 1m n mm n M M P A N N -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11. 在电话号码簿中任取一电话号码,求后面4个数全不相同的概率(设后面4个数中的每一个数都是等可能地取自0,1,…,9). 【解】这是又重复排列问题.个数有10种选择,4个数共有104种选择.4个数全不相同,是排列问题.用10个数去排4个位置,有410P 种排法,故所求概率为4410/10P P =.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上,每个部件用3只铆钉.其中有3个铆钉强度太弱.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少? 【解】设A ={发生一个部件强度太弱}133103501()C C /C 1960P A ==13. 一个袋内装有大小相同的7个球,其中4个是白球,3个是黑球,从中一次抽取3个,计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设A i ={恰有i 个白球}(i =2,3),显然A 2与A 3互斥.213434233377C C C 184(),()C 35C 35P A P A ====故 232322()()()35P A A P A P A =+=14. 有甲、乙两批种子,发芽率分别为0.8和0.7,在两批种子中各随机取一粒,求:(1) 两粒都发芽的概率; (2) 至少有一粒发芽的概率; (3) 恰有一粒发芽的概率.【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽},(i =1,2)(1) 1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==⨯= (2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-⨯= (3) 2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =⨯+⨯=15. 掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.(1) 问正好在第6次停止的概率;(2) 问正好在第6次停止的情况下,第5次也是出现正面的概率.【解】(1) 223151115()()22232p C == (2) 1342111C ()()22245/325p == *16. 甲、乙两个篮球运动员,投篮命中率分别为0.7及0.6,每人各投了3次,求二人进球数相等的概率.【解】 设A i ={甲进i 球},i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则3331212330()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+⨯⨯+ 22223333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)⨯=0.32076*17.从5双不同的鞋子中任取4只,求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】 4111152222410C C C C C 131C 21p =-= 18. 某地某天下雪的概率为0.3,下雨的概率为0.5,既下雪又下雨的概率为0.1,求:(1)在下雨条件下下雪的概率;(2)这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A ={下雨},B ={下雪}.(1) ()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A === (2) ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=?19.已知一个家庭有3个小孩,且其中一个为女孩,求至少有一个男孩的概率(小孩为男为女是等可能的).【解】 设A ={其中一个为女孩},B ={至少有一个男孩},样本点总数为23=8,故()6/86()()7/87P AB P B A P A ===或在缩减样本空间中求,此时样本点总数为7.6()7P B A =20. 已知5%的男人和0.25%的女人是色盲,现随机地挑选一人,此人恰为色盲,问此人是男人的概率(假设男人和女人各占人数的一半).【解】 设A ={此人是男人},B ={此人是色盲},则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯21.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面,求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图【解】设两人到达时刻为x,y ,则0≤x ,y ≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x -y |>30.如图阴影部分所示.22301604P ==22. 从(0,1)中随机地取两个数,求:(1) 两个数之和小于65的概率; (2) 两个数之积小于14的概率.【解】 设两数为x ,y ,则0<x ,y <1. (1) x +y <65. 11441725510.68125p =-==(2) xy =<14.1111244111d d ln 242x p x y ⎛⎫=-=+⎪⎝⎭⎰⎰ 题22图23. 设P (A )=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5,求P (B |A ∪B ) 【解】 ()()()()()()()()P AB P A P AB P B A B P A B P A P B P AB -==+- 0.70.510.70.60.54-==+-24. 在一个盒中装有15个乒乓球,其中有9个新球,在第一次比赛中任意取出3个球,比赛后放回原盒中;第二次比赛同样任意取出3个球,求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球},i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式,有3()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =∙+∙+∙+∙0.089=25. 按以往概率论考试结果分析,努力学习的学生有90%的可能考试及格,不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查,学生中有80%的人是努力学习的,试问: (1)考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人? (2)考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人? 【解】设A ={被调查学生是努力学习的},则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P(A )=0.8,P (A )=0.2,又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P (B |A )=0.9,P (B |A )=0.9,故由贝叶斯公式知(1)()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2) ()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来,接收站收到时,A 被误收作B 的概率为0.02,而B 被误收作A 的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ,试问原发信息是A 的概率是多少?【解】 设A ={原发信息是A },则={原发信息是B }C ={收到信息是A },则={收到信息是B } 由贝叶斯公式,得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯27.在已有两个球的箱子中再放一白球,然后任意取出一球,若发现这球为白球,试求箱子中原有一白球的概率(颜色只有黑、白两种,箱中原有什么颜色的球是等可能的)【解】设A i ={箱中原有i 个白球}(i =0,1,2),由题设条件知P (A i )=13,i =0,1,2.又设B ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知11112()()()()()()()i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑ 2/31/311/31/32/31/311/33⨯==⨯+⨯+⨯28. 某工厂生产的产品中96%是合格品,检查产品时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.02,一个次品被误认为是合格品的概率为0.05,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】 设A ={产品确为合格品},B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯29.某保险公司把被保险人分为三类:“谨慎的”,“一般的”,“冒失的”.统计资料表明,上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30;如果“谨慎的”被保险人占20%,“一般的”占50%,“冒失的”占30%,现知某被保险人在一年内出了事故,则他是“谨慎的”的概率是多少?【解】 设A ={该客户是“谨慎的”},B ={该客户是“一般的”},C ={该客户是“冒失的”},D ={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C ==++0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯30. 加工某一零件需要经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03,假定各道工序是相互独立的,求加工出来的零件的次品率. 【解】设A i ={第i 道工序出次品}(i =1,2,3,4).412341()1()i i P A P A A A A ==- 12341()()()()P A P A P A P A =-10.980.970.950.97=-⨯⨯⨯= 31.设每次射击的命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?【解】设必须进行n 次独立射击.则1(0.8)0.9n-≥即为 (0.8)0.1n≤故n ≥1lg8=11.07,至少必须进行11次独立射击. 32.证明:若P (A |B )=P (A |B ),则A ,B 相互独立.【证】 (|)(|)P A B P A B =即()()()()P AB P AB P B P B =亦()()()()P AB P B P AB P B =,即()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=- 因此 ()()()P AB P A P B =,故A 与B 相互独立. 33.三人独立地破译一个密码,他们能破译的概率分别为151314,求将此密码破译出的概率. 【解】 设A i ={第i 人能破译}(i =1,2,3),则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=- 42310.6534=-⨯⨯=34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击,设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7,若只有一人击中,则飞机被击落的概率为0.2;若有两人击中,则飞机被击落的概率为0.6;若三人都击中,则飞机一定被击落,求:飞机被击落的概率.【解】设A ={飞机被击落},B i ={恰有i 人击中飞机},i =0,1,2,3由全概率公式,得3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)×0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)×0.6+0.4×0.5×0.7×1=0.458。

精选新版2019概率论与数理统计期末完整考题库200题(含标准答案)

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2019年概率论与数理统计期末测试复习题200题[含答案]一、选择题1.若A.B 相互独立,则下列式子成立的为( A )。

A. )()()(B P A P B A P =B. 0)(=AB PC. )|()|(A B P B A P =D.)()|(B P B A P =2.设随机变量X ~N(μ,9),Y ~N(μ,25),记}5{},3{21+≥=-≤=μμY p X P p ,则( B )。

A. p1<p2B. p1=p2C. p1>p2D. p1与p2的关系无法确定3.设随机向量(X ,Y )联合密度为f (x, y)= ⎩⎨⎧>>+-.,0; 0,0 ,)43(其它y x Ae y x(1) 求系数A ;(2) 判断X ,Y 是否独立,并说明理由;(3) 求P{ 0≤X ≤1,0≤Y ≤1}。

解:(1)由1=dye dx e A dxdy e A dxdy y xf y x y x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞-+∞-+-+∞+∞+∞∞-+∞∞-⋅==0403)43(0),(=,12)41)(31(0403A e e A yx=--+∞-+∞- 可得A =12。

(2)因(X ,Y )关于X 和Y 的边缘概率密度分别为fX (x)=⎩⎨⎧>-.,0;0 ,33其它x e x 和 fY (y)= ⎩⎨⎧>-. ,0; 0 ,44其它y e y ,则对于任意的,),(2R y x ∈ 均成立f (x, y)= fX (x)* fY (y),所以X 与Y 独立。

(3)P{ 0≤X ≤1,0≤Y ≤1}=dy e dx e dxdy e yx y x ⎰⎰⎰⎰+∞-+∞-+-⋅=0403)43(1014312=).1)(1())((431413------=--e e e e y x4.两个独立随机变量Y X ,,则下列不成立的是( C )。

A.EXEY EXY = B. EY EX Y X E +=+)( C.DXDY DXY = D.DY DX Y X D +=+)(5.设随机变量X, Y 相互独立,且均服从[0,1]上的均匀分布,则服从均匀分布的是( B )。

北邮版概率论答案

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习题三1.将一硬币抛掷三次,以X 表示在三次中出现正面的次数,以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】和的联合分布律如表: 222⨯⨯222⨯⨯=2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球,以X 表示取到黑球的只数,以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 247C 3C 35= 247C 2C 35= 2247C C 6C 35=112247C C 12C 35=1247C 2C 35= 27C /C =212247C C 6C 35=2247C 3C 35=3.设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数为F (x ,y )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤.,020,20,sin sin 其他ππy x y x求二维随机变量(X ,Y )在长方形域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ{0,}(3.2)463P X Y <≤<≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636F F F F --+ππππππsinsin sin sin sin 0sin sin 0sin 4346361).4=--+=题3图说明:也可先求出密度函数,再求概率。

4.设随机变量(X ,Y )的分布密度f (x ,y )=⎩⎨⎧>>+-.,0,0,0,)43(其他y x A y x e求:(1) 常数A ;(2) 随机变量(X ,Y )的分布函数; (3) P {0≤X <1,0≤Y <2}. 【解】(1) 由-(34)0(,)d d e dd 112x y Af x y x y A x y +∞+∞+∞+∞+-∞-∞===⎰⎰⎰⎰得 A (2) 由定义,有 (,)(,)d d y xF x y f u v u v -∞-∞=⎰⎰(34)340012ed d (1e )(1e )0,0,0,0,y yu v x y u v y x -+--⎧⎧-->>⎪==⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他(3) {01,02}P X Y ≤<≤<12(34)3800{01,02}12e d d (1e )(1e )0.9499.x y P X Y x y -+--=<≤<≤==--≈⎰⎰5.设随机变量(X ,Y )的概率密度为f (x ,y )=⎩⎨⎧<<<<--.,0,42,20),6(其他y x y x k(1) 确定常数k ;(2) 求P {X <1,Y <3}; (3) 求P {X <1.5}; (4) 求P {X +Y ≤4}. 【解】(1) 由性质有242(,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞-∞-∞=--==⎰⎰⎰⎰故 18R =(2) 13{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞<<=⎰⎰130213(6)d d 88k x y y x =--=⎰⎰ (3) 11.5{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y <<=⎰⎰⎰⎰如图1.542127d (6)d .832x x y y =--=⎰⎰(4) 24{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y +≤+≤=⎰⎰⎰⎰如图b240212d (6)d .83x x x y y -=--=⎰⎰题5图6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,X 在(0,0.2)上服从均匀分布,Y 的密度函数为f Y (y )=⎩⎨⎧>-.,0,0,55其他y y e求:(1) X 与Y 的联合分布密度;(2) P {Y ≤X }.题6图【解】(1) 因X 在(0,0.2)上服从均匀分布,所以X 的密度函数为1,00.2,()0.20,.X x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 而55e ,0,()0,.y Y y f y -⎧>=⎨⎩其他 所以(,),()()X Y f x y X Y f x f y 独立5515e25e ,00.20,0.20,0,yy x y --⎧⎧⨯<<>⎪==⎨⎨⎩⎪⎩且其他. (2) 5()(,)d d 25e d d y y x DP Y X f x y x y x y -≤≤=⎰⎰⎰⎰如图0.20.2-5500-1d 25e d (5e 5)d =e 0.3679.xyx x y x -==-+≈⎰⎰⎰7.设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数为F (x ,y )=⎩⎨⎧>>----.,0,0,0),1)(1(24其他y x y x e e求(X ,Y )的联合分布密度.【解】(42)28e ,0,0,(,)(,)0,x y x y F x y f x y x y -+⎧>>∂==⎨∂∂⎩其他. 8.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为f (x ,y )= 4.8(2),01,0,0,.y x x y x -≤≤≤≤⎧⎨⎩其他求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰x204.8(2)d 2.4(2),01,=0,.0,y x y x x x ⎧⎧--≤≤⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰12y 4.8(2)d 2.4(34),01,=0,.0,y x x y y y y ⎧-⎧-+≤≤⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他题8图 题9图9.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为f (x ,y )=e ,0,0,.y x y -⎧<<⎨⎩其他求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰e d e ,0,=0,.0,y x x y x +∞--⎧⎧>⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰0e d e ,0,=0,.0,yy x x y y --⎧⎧>⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他题10图10.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为f (x ,y )=22,1,0,.cx y x y ⎧≤≤⎨⎩其他(1) 试确定常数c ;(2) 求边缘概率密度. 【解】(1)(,)d d (,)d d Df x y x y f x y x y +∞+∞-∞-∞⎰⎰⎰⎰如图2112-14=d d 1.21xx cx y y c ==⎰⎰ 得214c =. (2) ()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰212422121(1),11,d 840,0,.x x x x x y y ⎧⎧--≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰522217d ,01,420,0,.x y x y y ⎧⎧≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩其他 11.设随机变量(X ,Y )的概率密度为f (x ,y )=1,,01,0,.y x x ⎧<<<⎨⎩其他求条件概率密度f Y |X (y |x ),f X |Y (x |y ).题11图【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰1d 2,01,0,.xx y x x -⎧=<<⎪=⎨⎪⎩⎰其他111d 1,10,()(,)d 1d 1,01,0,.y Y y x y y f y f x y x x y y -+∞-∞⎧=+-<<⎪⎪⎪===-≤<⎨⎪⎪⎪⎩⎰⎰⎰其他所以|1,||1,(,)(|)2()0,.Y X X y x f x y f y x xf x ⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他|1, 1,1(,)1(|),1,()10,.X Y Y y x y f x y f x y y x f y y⎧<<⎪-⎪⎪==-<<⎨+⎪⎪⎪⎩其他 12.袋中有五个号码1,2,3,4,5,从中任取三个,记这三个号码中最小的号码为X ,最大的号码为Y .(1) 求X 与Y 的联合概率分布; (2) X 与Y 是否相互独立? 【解】(1) X 与Y 的联合分布律如下表(2) 因6161{1}{3}{1,3},101010010P X P Y P X Y ===⨯=≠=== 故X 与Y 不独立13.设二维随机变量(,)的联合分布律为(2) X 与Y 是否相互独立? 【解】(1)和的边缘分布如下表(2) 因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===⨯0.160.15(2,0.4),P X Y =≠=== 故X 与Y 不独立14.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,X 在(0,1)上服从均匀分布,Y 的概率密度为f Y (y )=⎪⎩⎪⎨⎧>-.,0,0,212/其他y y e(1)求X 和Y 的联合概率密度; (2) 设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0,试求a 有实根的概率.【解】(1) 因1,01,()0,X x f x <<⎧==⎨⎩其他; 21e ,1,()20,yY y f y -⎧>⎪==⎨⎪⎩其他.故/21e01,0,(,),()()20,.y X Y x y f x y X Y f x f y -⎧<<>⎪=⎨⎪⎩独立其他题14图(2) 方程220a Xa Y ++=有实根的条件是2(2)40X Y ∆=-≥故 X 2≥Y ,从而方程有实根的概率为:22{}(,)d d x yP X Y f x y x y ≥≥=⎰⎰21/2001d e d 21(1)(0)]0.1445.x y x y-==-Φ-Φ=⎰⎰15.设X 和Y 分别表示两个不同电子器件的寿命(以小时计),并设X 和Y 相互独立,且服从同一分布,其概率密度为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>.,0,1000,10002其他x x求Z =X /Y 的概率密度.【解】如图,Z 的分布函数(){}{}Z XF z P Z z P z Y=≤=≤ (1) 当z ≤0时,()0Z F z =(2) 当0<z <1时,(这时当x =1000时,y =1000z)(如图a) 3366102222101010()d d d d yz Z zx y zF z x y y x x y x y +∞≥==⎰⎰⎰⎰ 33610231010=d 2z zy yzy +∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰题15图(3) 当z ≥1时,(这时当y =103时,x =103z )(如图b )3366222210101010()d d d d zy Z xy zF z x y y x x yx y +∞≥==⎰⎰⎰⎰ 336231010101=d 12y y zy z +∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰即 11,1,2(),01,20,.Z z z zf z z ⎧-≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他故 21,1,21(),01,20,.Z z z f z z ⎧≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他16.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N (160,202)分布.随机地选取4 只,求其中没有一只寿命小于180h 的概率.【解】设这四只寿命为X i (i =1,2,3,4),则X i ~N (160,202),从而123412{min(,,,)180}{180}{180}i P X X X X X P X P X ≥≥≥之间独立34{180}{180}P X P X ≥≥ 1234[1{180}][1{180}][1{180}][1{180}]P X P X P X P X =-<-<-<-<44144180160[1{180}]120[1(1)](0.158)0.00063.P X ⎡-⎤⎛⎫=-<=-Φ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=-Φ== 17.设X ,Y 是相互独立的随机变量,其分布律分别为P {X =k }=p (k ),k =0,1,2,…, P {Y =r }=q (r ),r =0,1,2,….证明随机变量Z =X +Y 的分布律为P {Z =i }=∑=-ik k i q k p 0)()(,i =0,1,2,….【证明】因X 和Y 所有可能值都是非负整数,所以 {}{}Z i X Y i ==+={0,}{1,1}{,0}X Y i X Y i X i Y =====-==于是0{}{,},i k P Z i P X k Y i k X Y =====-∑相互独立0{}{}ik P X k P Y i k ===-∑()()ik p k q i k ==-∑18.设X ,Y 是相互独立的随机变量,它们都服从参数为n ,p 的二项分布.证明Z =X +Y 服从参数为2n ,p 的二项分布.【证明】方法一:X +Y 可能取值为0,1,2,…,2n .{}{,}ki P X Y k P X i Y k i =+====-∑00202(){}2ki ki n i k i n k ii kk n ki k n k P X i P Y k i n n p q p q i k i n n p q i k i n p q k =---+=-=-===-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑∑方法二:设μ1,μ2,…,μn ;μ1′,μ2′,…,μn ′均服从两点分布(参数为p ),则X =μ1+μ2+…+μn ,Y =μ1′+μ2′+…+μn ′, X +Y =μ1+μ2+…+μn +μ1′+μ2′+…+μn ′,所以,X +Y 服从参数为(2n ,p )的二项分布. 19.设随机变量(,)的分布律为(1) 求{=2|=2},{=3|=0}; (2) 求V =max (X ,Y )的分布律; (3) 求U =min (X ,Y )的分布律; (4) 求W =X +Y 的分布律. 【解】(1){2,2}{2|2}{2}P X Y P X Y P Y ======5{2,2}0.051,0.252{,2}i P X Y P X i Y ========∑ {3,0}{3|0}{0}P Y X P Y X P X ======3{0,3}0.011;0.033{0,}j P X Y P X Y j ========∑ (2){}{max(,)}{,}{,}P V i P X Y i P X i Y i P X i Y i ====<+≤= 10{,}{,},i ik k P X i Y k P X k Y i -=====+==∑∑ 0,1,2,3,4,5i =所以V 的分布律为(3) {}{min(,)}P U i P X Y i ===351{,}{,}{,}{,}k ik i P X i Y i P X i Y i P X i Y k P X k Y i ==+==≥+>====+==∑∑0,1,2,3,i =于是(1) 求P {Y >0|Y >X };(2) 设M =max{X ,Y },求P {M >0}.题20图【解】因(X ,Y )的联合概率密度为22221,,(,)π0,.x y R f x y R⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其他 (1){0,}{0|}{}P Y Y X P Y Y X P Y X >>>>=>0(,)d (,)d y y xy xf x y f x y σσ>>>=⎰⎰⎰⎰π2π/405π42π/401d d π1d d πRR r rR r rR θθ=⎰⎰⎰⎰3/83;1/24== (2) {0}{max(,)0}1{max(,)0}P M P X Y P X Y >=>=-≤00131{0,0}1(,)d 1.44x y P X Y f x y σ≤≤=-≤≤=-=-=⎰⎰21.设平面区域D 由曲线y =1/x 及直线y =0,x =1,x=e 2所围成,二维随机变量(X ,Y )在区域D 上服从均匀分布,求(X ,Y )关于X 的边缘概率密度在x =2处的值为多少?题21图【解】区域D 的面积为 22e e 0111d ln 2.S x x x===⎰(X ,Y )的联合密度函数为211,1e ,0,(,)20,.x y f x y x ⎧≤≤<≤⎪=⎨⎪⎩其他(X ,Y )关于X 的边缘密度函数为1/2011d ,1e ,()220,.x X y x f x x⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩⎰其他 所以1(2).4X f =22.设随机变量X 和Y 相互独立,下表列出了二维随机变量(X ,Y )联合分布律及关于X 和Y 的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处.【解】因21{}{,}j j iji P Y y P P X x Y y ======∑,故11121{}{,}{,},P Y y P X x Y y P X x Y y ====+== 从而11111{,}.6824P X x Y y ===-=而X 与Y 独立,故{}{}{,}i j i i P X x P Y y P X x Y y =====,从而11111{}{,}.624P X x P X x Y y =⨯==== 即:1111{}/.2464P X x ===又1111213{}{,}{,}{,},P X x P X x Y y P X x Y y P X x Y y ====+==+==即1,3111{},4248P X x Y y =++== 从而131{,}.12P X x Y y ===同理21{},2P Y y == 223{,}8P X x Y y ===又31{}1j j P Y y ===∑,故3111{}1623P Y y ==--=. 同理23{}.4P X x == 从而23313111{,}{}{,}.3124P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-=故23.设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(λ>0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p (0<p <1),且中途下车与否相互独立,以Y 表示在中途下车的人数,求:(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率;(2)二维随机变量(X ,Y )的概率分布.【解】(1) {|}C (1),0,0,1,2,m m n mn P Y m X n p p m n n -===-≤≤=.(2) {,}{}{|}P X n Y m P X n P Y m X n ======e C (1),,0,1,2,.!m m n mnnp p n m n n n λλ--=-≤≤=24.设随机变量X 和Y 独立,其中X 的概率分布为X ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛7.03.021,而Y 的概率密度为f (y ),求随机变量U =X +Y 的概率密度g (u ).【解】设F (y )是Y 的分布函数,则由全概率公式,知U =X +Y 的分布函数为(){}0.3{|1}0.7{|2}G u P X Y u P X Y u X P X Y u X =+≤=+≤=++≤=0.3{1|1}0.7{2|2}P Y u X P Y u X =≤-=+≤-=由于X 和Y 独立,可见()0.3{1}0.7{2}G u P Y u P Y u =≤-+≤-0.3(1)0.7(2).F u F u =-+-由此,得U 的概率密度为()()0.3(1)0.7(2)g u G u F u F u '''==-+-0.3(1)0.7(2).f u f u =-+-25. 设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,求P {max{X ,Y }≤1}.解:因为随即变量服从[0,3]上的均匀分布,于是有1, 03,()30, 0,3;x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩ 1, 03,()30, 0, 3.y f y y y ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩ 因为X ,Y 相互独立,所以1, 03,03,(,)90, 0,0,3, 3.x y f x y x y x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪<<>>⎩ 推得 1{max{,}1}9P X Y ≤=. 26. 设二维随机变量(X ,Y )的概率分布为1 0 110 1 其中a ,,为常数,且的数学期望()={≤0|≤0}=0.5,记=+.求:(1) a ,b ,c 的值; (2) Z 的概率分布; (3) P {X =Z }.解 (1) 由概率分布的性质知,a+b+c +0.6=1 即 a+b+c = 0.4. 由()0.2E X =-,可得0.1a c -+=-.再由 {0,0}0.1{00}0.5{0}0.5P X Y a b P Y X P X a b ≤≤++≤≤===≤++,得 0.3a b +=.解以上关于a ,b ,c 的三个方程得0.2,0.1,0.1a b c ===.(2) Z 的可能取值为,1,0,1,2,{2}{1,1}0.2P Z P X Y =-==-=-=,{1}{1,0}{0,1}0.1P Z P X Y P X Y =-==-=+==-=,{0}{1,1}{0,0}{1,1}0.3P Z P X Y P X Y P X Y ===-=+==+==-=,{1}{1,0}{0,1}0.3P Z P X Y P X Y ====+===,{2}{1,1}0.1P Z P X Y =====,即Z(3) {}{0}0.10.20.10.10.20.4P X Z P Y b ====++=++=.27. 设随机变量X,Y 独立同分布,且X 的分布函数为F(x),求Z=max{X,Y}的分布函数.解:因为X,Y 独立同分布,所以F X (z )=F Y (z),则F Z (z )=P{Z ≤z}=P{X ≤z ,Y ≤z}=P{x ≤z}·P{Y ≤z}=[F (z )]2.28.设随机变量X 与Y 相互独立,X 的概率分布为1{},1,0,1,3P X i i ===-Y 的概率密度为1,01,()0,Y y f y ≤<⎧=⎨⎩其他.记Z =X +Y .(1)求1{|0};2P Z X ≤= (2)求Z 的概率密度()Z f z分析 题(1)可用条件概率的公式求解.题(2)可先求Z 的分布函数,再求导得密度函数.解(1)1{0,}12{|0}2{0}P X Z P Z X P X =≤≤=== 1{0,}2{0}P X Y P X =≤== 11{}22P Y =≤=(2)(){}{}Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤{,1}{,0}{,1}P X Y z X P X Y z X P X Y z X =+≤=-++≤=++≤= {1,1}{,0}{1,1}P Y z X P Y z X P Y z X =≤+=-+≤=+≤-= {1}{1}{}{0}{1}{1}P Y z P X P Y z P X P Y z P X =≤+=-+≤=+≤-=1[{1}{}{1}]3P Y z P Y z P Y z =≤++≤+≤-1[(1)()(1)]3Y Y Y F z F z F z =+++-'1()()[(1)()(1)]3Z Z Y Y Y f z F z f z f z f z ==+++-1,1230,.z ⎧-≤<⎪=⎨⎪⎩其他29.设随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且X 与Y 不相关,f X (x),f Y (y)分别表示X,Y 的概率密度,求在Y=y 的条件下,X 的条件概率密度f X |Y (x |y).解:由第四章第三节所证可知,二维正态分布的不相关与独立性等价,所以f(x,y)= f X (x) ·F Y (y),由本章所讨论知,/()()(,)(/)()()()X Y X Y X Y Y f x f y f x y f x y f x f y f y ===.30.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为2,01,01,(,)0,.x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他(1)求{2};P X Y >(2)求Z =X +Y 的概率密度()Z f z .分析 已知(X,Y)的联合密度函数,可用联合密度函数的性质{(,)P X Y ∈}(,)GG f x y dxdy =⎰⎰ 解(1); Z=X+Y 的概率密度函数可用先求Z 的分布函数再求导的方法或直接套公式求解. 解 (1)2{2}(,)x yP X Y f x y dxdy >>=⎰⎰1200120(2)57().824x dx x y dy x x dx =--=-=⎰⎰⎰(2)()(,),Z f z f x z x dx +∞-∞=-⎰其中 2()01,01(,)0x z x x z x f x z x ---<<<-<⎧-=⎨⎩其他201,01z x z x -<<<-<⎧=⎨⎩其他当02z z ≤≥或时,()0Z f z =; 当01z <<时,0()(2)(2);zZ f z z dx z z =-=-⎰ 当12z ≤<时,121()(2)(2),Z z f z z dx z -=-=-⎰即Z 的概率密度为2(2)01()(2)120Z z z z f z z z -<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他。

最新--北邮概率论研究生概率论-答案

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北京邮电大学2013——2014学年第1学期《概率论与随机过程试题》期末考试试题答案考试注意事项:学生必须将答题内容(包括填空题)做在试题答题纸上,做在试卷纸上一律无效。

在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号,班内序号!一、 填空题:(每空3分,共30分)1.给定集合A ⊂Ω,则定义在Ω上的包含A 的最小σ-代数是 .{,,,}A A ΩΦ2.若12A ,A 是Ω上的两个非空集合类,i ν是i A (1,2)i =上的测度,若满足:(1) ;(2)112,()()A A A νν∀∈=有A ,则称2ν是1ν在2A 上的扩张。

12⊂A A3.某集代数包含了所有的左开右闭区间(实数集上的). 该集代数上有一个测度P ,对于任意可测集(,]a b ,其中a b <,均有()(,]P a b b a =-.将该测度扩张到某σ-代数上记为μ.对单点集{}1,{}()1μ= . 04.设概率测度空间(),,F P Ω,,,A F B F AB ∈∈=Φ,()()11,23P A P B ==,两个简单函数()()()2A A f ωχωχω=+,()()()2B B g ωχωχω=+,则[]E f = ,[]E fg = .37,235. 设X 为定义某概率空间上的随机变量,若X 的分布函数为()F x ,则数学期望EX 的L-S 积分形式为 .()xdF x +∞-∞⎰6. 设三维随机变量(,,)X Y Z 服从正态分布(,)N a B ,其中()1,2,3a =,211121112B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则[[|]]E E X YZ =17.设随机过程{(),}t t X -∞<<+∞为平稳二阶矩过程,且均方连续.设该过程的均值函数为1μ=,相关函数(,)2t sR s t e --=,均方积分220()X t dt π⎰记为随机变量ξ. 则()E ξ= .π8.设()N t 为泊松过程,则条件概率((2)2|(3)3)P N N === .499. 设()W t 为参数为2σ的维纳过程,(0)0W =,则()cov (1),(2)W W = .2σ二.(8分)设A 是λ系,证明A 是单调类;若A 也是π系,证明A 是σ-代数。

2019年研究生入学考试《概率论与数理统计》自命题试题

2019年研究生入学考试《概率论与数理统计》自命题试题

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年全国硕士研究生招生考试初试自命题试题参考答案
科目名称:概率论与数理统计 科目代码:考试时间:3小时 满分 150 分可使用的常用工具:√无 □计算器 □直尺 □圆规(请在使用工具前打√)所有答题内容必须写在答题纸上,写在试题或草稿纸上的一律无效;考完后试题随答题纸交回。

6 小题,每小题 4 分,共24 分)
为两个随机事件,若()0,P()0P A B >>,则下列结论正确的是(互不相容和相互独立不能同时成立 互不相容和相互独立可以同时成立 (0,1)U ,即区间1
)02
=
=
2/34 ⎝131515+⨯=
Nμ,当机器人工作正常时,其均值
(,1)
正常,随机的观测了
2.8,
3.0; Array
的分布;(2)若样本均值
(3.4,
N
n ,可得。

概率论与数理统计答案_北邮版_(第一章)

概率论与数理统计答案_北邮版_(第一章)

概率论与数理统计习题及答案习题 一1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点. (1) 掷一颗骰子,出现奇数点. (2) 掷二颗骰子,A =“出现点数之和为奇数,且恰好其中有一个1点.”B =“出现点数之和为偶数,但没有一颗骰子出现1点.” (3)将一枚硬币抛两次, A =“第一次出现正面.”B =“至少有一次出现正面.”C =“两次出现同一面.” 【解】{}{}1123456135A Ω==(),,,,,,,,;{}{}{}{}{}(2)(,)|,1,2,,6,(12),(14),(16),(2,1),(4,1),(6,1),(22),(24),(26),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6);(3)(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(i j i j A B A B ΩΩ======= ,,,,,,正反正正反正反反正正正反正正正反反{}{},),(,),(,),C =正正正反反2.设A ,B ,C 为三个事件,试用A ,B ,C 的运算关系式表示下列事件: (1) A 发生,B ,C 都不发生; (2) A 与B 发生,C 不发生; (3) A ,B ,C 都发生;(4) A ,B ,C 至少有一个发生; (5) A ,B ,C 都不发生; (6) A ,B ,C 不都发生;(7) A ,B ,C 至多有2个发生; (8) A ,B ,C 至少有2个发生. 【解】(1) A BC (2) AB C (3) ABC(4) A ∪B ∪C =AB C ∪A B C ∪A BC ∪A BC ∪A B C ∪AB C ∪ABC =ABC(6) ABC(5) ABC=A B C(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3.指出下列等式命题是否成立,并说明理由:(1) A∪B=(AB)∪B;(2) A B=A∪B;A ∩C=AB C;(3) B(4) (AB)( AB)= ∅;(5) 若A⊂B,则A=AB;(6) 若AB=∅,且C⊂A,则BC=∅;(7) 若A⊂B,则B⊃A;(8) 若B⊂A,则A∪B=A.【解】(1)不成立.特例:若Α∩B=φ,则ΑB∪B=B.所以,事件Α发生,事件B必不发生,即Α∪B发生,ΑB∪B不发生.故不成立.(2)不成立.若事件Α发生,则A不发生,Α∪B发生,所以A B不发生,从而不成立.A ,AB画文氏图如下:(3)不成立.B不发生,所以,若Α-B发生,则AB发生, A B故不成立.(4)成立.因为ΑB与AB为互斥事件.(5)成立.若事件Α发生,则事件B发生,所以ΑB发生.若事件ΑB发生,则事件Α发生,事件B发生.故成立.(6)成立.若事件C发生,则事件Α发生,所以事件B不发生,故BC=φ.⊂.(7)不成立.画文氏图,可知B A(8)成立.若事件Α发生,由()A A B ⊂ ,则事件Α∪B 发生. 若事件Α∪B 发生,则事件Α,事件B 发生. 若事件Α发生,则成立.若事件B 发生,由B A ⊂,则事件Α发生.4.设A ,B 为随机事件,且P (A )=0.7,P (A -B )=0.3,求P (AB ). 【解】 P (AB )=1-P (AB )=1-[P (A )-P (A -B )]=1-[0.7-0.3]=0.65.设A ,B 是两事件,且P (A )=0.6,P (B )=0.7,求: (1) 在什么条件下P (AB )取到最大值? (2) 在什么条件下P (AB )取到最小值? 【解】(1) 当AB =A 时,P (AB )取到最大值为0.6.(2) 当A ∪B =Ω时,P (AB )取到最小值为0.3.6.设A ,B ,C 为三事件,且P (A )=P (B )=1/4,P (C )=1/3且P (AB )=P (BC )=0,P (AC )=1/12,求A ,B ,C 至少有一事件发生的概率.【解】 P (A ∪B ∪C )=P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC )=14+14+13-112=347. 从52张扑克牌中任意取出13张,问有5张黑桃,3张红心,3张方块,2张梅花的概率是多少?【解】 p =5332131313131352C C C C /C8. 对一个五人学习小组考虑生日问题: (1) 求五个人的生日都在星期日的概率; (2) 求五个人的生日都不在星期日的概率; (3) 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】(1) 设A 1={五个人的生日都在星期日},基本事件总数为75,有利事件仅1个,故 P (A 1)=517=(17)5(亦可用独立性求解,下同) (2) 设A 2={五个人生日都不在星期日},有利事件数为65,故P (A 2)=5567=(67)5(3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}P (A 3)=1-P (A 1)=1-(17)59. 从一批由45件正品,5件次品组成的产品中任取3件,求其中恰有一件次品的概率.【解】与次序无关,是组合问题.从50个产品中取3个,有350C 种取法.因只有一件次品,所以从45个正品中取2个,共245C 种取法;从5个次品中取1个,共15C 种取法,由乘法原理,恰有一件次品的取法为245C 15C种,所以所求概率为21455350C C P C =.10.一批产品共N 件,其中M 件正品.从中随机地取出n 件(n <N ).试求其中恰有m 件(m ≤M )正品(记为A )的概率.如果: (1) n 件是同时取出的;(2) n 件是无放回逐件取出的; (3) n 件是有放回逐件取出的.【解】(1) P (A )=C C /C m n m nM N M N --(2) 由于是无放回逐件取出,可用排列法计算.样本点总数有P nN 种,n 次抽取中有m次为正品的组合数为C m n 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序,从M 件正品中取m 件的排列数有P m M 种,从N -M 件次品中取n -m 件的排列数为P n mN M --种,故P (A )=C P P P m m n mn M N MnN-- 由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出,故上述概率也可写成P (A )=C C C m n mM N Mn N--可以看出,用第二种方法简便得多.(3) 由于是有放回的抽取,每次都有N 种取法,故所有可能的取法总数为N n 种,n次抽取中有m 次为正品的组合数为C m n 种,对于固定的一种正、次品的抽取次序,m 次取得正品,都有M 种取法,共有M m 种取法,n -m 次取得次品,每次都有N -M 种取法,共有(N -M )n -m 种取法,故()C ()/m m n m nnP A M N M N -=- 此题也可用贝努里概型,共做了n 重贝努里试验,每次取得正品的概率为MN,则取得m 件正品的概率为()C 1m n mm n M M P A N N -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11. 在电话号码簿中任取一电话号码,求后面4个数全不相同的概率(设后面4个数中的每一个数都是等可能地取自0,1,…,9). 【解】这是又重复排列问题.个数有10种选择,4个数共有104种选择.4个数全不相同,是排列问题.用10个数去排4个位置,有410P 种排法,故所求概率为4410/10P P =.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上,每个部件用3只铆钉.其中有3个铆钉强度太弱.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少? 【解】设A ={发生一个部件强度太弱}133103501()C C /C 1960P A ==13. 一个袋内装有大小相同的7个球,其中4个是白球,3个是黑球,从中一次抽取3个,计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设A i ={恰有i 个白球}(i =2,3),显然A 2与A 3互斥.213434233377C C C 184(),()C 35C 35P A P A ====故 232322()()()35P A A P A P A =+=14. 有甲、乙两批种子,发芽率分别为0.8和0.7,在两批种子中各随机取一粒,求:(1) 两粒都发芽的概率; (2) 至少有一粒发芽的概率; (3) 恰有一粒发芽的概率.【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽},(i =1,2)(1) 1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==⨯= (2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-⨯= (3) 2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =⨯+⨯=15. 掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.(1) 问正好在第6次停止的概率;(2) 问正好在第6次停止的情况下,第5次也是出现正面的概率.【解】(1) 223151115()()22232p C == (2) 1342111C ()()22245/325p == *16. 甲、乙两个篮球运动员,投篮命中率分别为0.7及0.6,每人各投了3次,求二人进球数相等的概率.【解】 设A i ={甲进i 球},i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则3331212330()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+⨯⨯+ 22223333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)⨯=0.32076*17.从5双不同的鞋子中任取4只,求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】 4111152222410C C C C C 131C 21p =-= 18. 某地某天下雪的概率为0.3,下雨的概率为0.5,既下雪又下雨的概率为0.1,求:(1)在下雨条件下下雪的概率;(2)这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A ={下雨},B ={下雪}.(1) ()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A === (2) ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=?19.已知一个家庭有3个小孩,且其中一个为女孩,求至少有一个男孩的概率(小孩为男为女是等可能的).【解】 设A ={其中一个为女孩},B ={至少有一个男孩},样本点总数为23=8,故()6/86()()7/87P AB P B A P A ===或在缩减样本空间中求,此时样本点总数为7.6()7P B A =20. 已知5%的男人和0.25%的女人是色盲,现随机地挑选一人,此人恰为色盲,问此人是男人的概率(假设男人和女人各占人数的一半).【解】 设A ={此人是男人},B ={此人是色盲},则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯21.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面,求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图【解】设两人到达时刻为x,y ,则0≤x ,y ≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x -y |>30.如图阴影部分所示.22301604P ==22. 从(0,1)中随机地取两个数,求:(1) 两个数之和小于65的概率; (2) 两个数之积小于14的概率.【解】 设两数为x ,y ,则0<x ,y <1. (1) x +y <65. 11441725510.68125p =-==(2) xy =<14.1111244111d d ln 242x p x y ⎛⎫=-=+⎪⎝⎭⎰⎰ 题22图23. 设P (A )=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5,求P (B |A ∪B ) 【解】 ()()()()()()()()P AB P A P AB P B A B P A B P A P B P AB -==+- 0.70.510.70.60.54-==+-24. 在一个盒中装有15个乒乓球,其中有9个新球,在第一次比赛中任意取出3个球,比赛后放回原盒中;第二次比赛同样任意取出3个球,求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球},i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式,有3()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =∙+∙+∙+∙0.089=25. 按以往概率论考试结果分析,努力学习的学生有90%的可能考试及格,不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查,学生中有80%的人是努力学习的,试问: (1)考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人? (2)考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人? 【解】设A ={被调查学生是努力学习的},则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P(A )=0.8,P (A )=0.2,又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P (B |A )=0.9,P (B |A )=0.9,故由贝叶斯公式知(1)()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2) ()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来,接收站收到时,A 被误收作B 的概率为0.02,而B 被误收作A 的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ,试问原发信息是A 的概率是多少?【解】 设A ={原发信息是A },则={原发信息是B }C ={收到信息是A },则={收到信息是B } 由贝叶斯公式,得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯27.在已有两个球的箱子中再放一白球,然后任意取出一球,若发现这球为白球,试求箱子中原有一白球的概率(颜色只有黑、白两种,箱中原有什么颜色的球是等可能的)【解】设A i ={箱中原有i 个白球}(i =0,1,2),由题设条件知P (A i )=13,i =0,1,2.又设B ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知11112()()()()()()()i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑ 2/31/311/31/32/31/311/33⨯==⨯+⨯+⨯28. 某工厂生产的产品中96%是合格品,检查产品时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.02,一个次品被误认为是合格品的概率为0.05,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】 设A ={产品确为合格品},B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯29.某保险公司把被保险人分为三类:“谨慎的”,“一般的”,“冒失的”.统计资料表明,上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30;如果“谨慎的”被保险人占20%,“一般的”占50%,“冒失的”占30%,现知某被保险人在一年内出了事故,则他是“谨慎的”的概率是多少?【解】 设A ={该客户是“谨慎的”},B ={该客户是“一般的”},C ={该客户是“冒失的”},D ={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C ==++0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯30. 加工某一零件需要经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03,假定各道工序是相互独立的,求加工出来的零件的次品率. 【解】设A i ={第i 道工序出次品}(i =1,2,3,4).412341()1()i i P A P A A A A ==- 12341()()()()P A P A P A P A =-10.980.970.950.97=-⨯⨯⨯= 31.设每次射击的命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?【解】设必须进行n 次独立射击.则1(0.8)0.9n-≥即为 (0.8)0.1n≤故n ≥1lg8=11.07,至少必须进行11次独立射击. 32.证明:若P (A |B )=P (A |B ),则A ,B 相互独立.【证】 (|)(|)P A B P A B =即()()()()P AB P AB P B P B =亦()()()()P AB P B P AB P B =,即()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=- 因此 ()()()P AB P A P B =,故A 与B 相互独立. 33.三人独立地破译一个密码,他们能破译的概率分别为151314,求将此密码破译出的概率. 【解】 设A i ={第i 人能破译}(i =1,2,3),则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=- 42310.6534=-⨯⨯=34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击,设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7,若只有一人击中,则飞机被击落的概率为0.2;若有两人击中,则飞机被击落的概率为0.6;若三人都击中,则飞机一定被击落,求:飞机被击落的概率.【解】设A ={飞机被击落},B i ={恰有i 人击中飞机},i =0,1,2,3由全概率公式,得3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)×0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)×0.6+0.4×0.5×0.7×1=0.458。

北京邮电大学811概率论2019年考研专业课初试大纲

北京邮电大学811概率论2019年考研专业课初试大纲

2019年北京邮电大学考研专业课初试大纲
811概率论
一、考试目的
考察考生对概率论的基本概念、基本理论和基本方法理解和掌握,以及考生的逻辑推理、概率知识运用和分析、解决问题的能力。

要求考生概念清楚,对定理理解准确,基础知识掌握扎实,较强的计算能力,概率论的理论方法能灵活应用。

二、考试内容
1、概率论的基本概念
1) 随机试验、随机事件及其运算
2) 概率的定义及概率的性质
3) 概率空间的概念
4) 条件概率和三个重要公式
5) 事件的独立性
6) 贝努利试验和二项概率公式
2、一维随机变量及其分布
1) 随机变量的概念和分布函数
2) 离散型随机变量及其分布
3) 连续型随机变量及其分布
4) 六个常用的分布
5) 随机变量函数的分布
3、多维随机变量及其分布
1) 多维(离散型和连续型)随机变量及其分布
2) 边缘分布、条件分布和随机变量的独立性
3) 多维随机变量(包括二维到二维)函数的分布
4、随机变量的数字特征
1) 一维随机变量的数学期望、方差和矩
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北京邮电大学2019——2020学年第1学期
《概率论与随机过程复习复习试题》期末考试复习复习试题答案 考试注意事项:学生必须将答题内容(包括填空题)做在复习复习试题答题纸上,做在复习试卷纸上一律无效。

在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号,班内序号!
一.单项选择题和填空题:(每空3分,共30分) 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A
(A )若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; (B )若A A B ∈⊂A,,则B ∈A ; (C )若12n A n =∈⋯A,,,,则
1
n n A ∞=∈A ;
(D )若12n A n =∈⋯A,,,,且123A A A ⊃⊃⊃
,则
1
n n A ∞
=∈A .
2.设(),ΩF 为一可测空间,P 为定义在其上的有限可加测度,则下面正确的是 .c
(A )若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-; (B )若12n A n =∈⋯F,,,,,且123A A A ⊃⊃⊃
,则
1
li (
)()m n n n n P A A P ∞→∞
==;
(C )若A B C ∈∈∈F,F,F,,则
()()()()P A B C P A P AB P A BC =++;
(D )若12n A n =∈⋯F,,,,,且,i j A i j A =∅∀=/,
1
1
(
)()n n n n P P A A ∞
∞===∑.
3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到BoYel 可测空间(),R B 上的实可测函数,表达式为100
()k A k f kI ω==∑,其中
1000
,,
i j n n i j A A A ==∅∀=Ω/=,则fdP Ω=⎰ ;若已知
100
100!1
!(100)()!2
k k k P A -=
,则2f dP Ω=⎰ . 02
10(),25502525k
k kP A =+=∑ 4.设二维随机变量(,)X Y 的概率密度
2,01,0,
(,)0,
x y x f x y <<<<⎧=⎨
⎩其他, 则[[|]]E E X Y = .2/3
5.设随机过程,}{()cos X t X t t ω-∞<<+∞=,其中随机变量X 服从参数为1的指数分布,(0,/2)ωπ∈为常数,则(1)(1)X 的
概率密度(;1)f x = ;(2)20(())E X t dt π
=⎰ .
,0,(;1)01,x
cos x e cos f x ωω-⎧>⎪
=⎨⎪⎩
其他,20(1())E X t dt π
ω=⎰ 6.设{(),0}W t t ≥是参数为2()0σσ>的维纳过程,令
1
()()X t W t
=,则相关函数2(1,2)2X R σ= . 7.设齐次马氏链的状态空间为{1,2,3}E =,一步转移概率为
0.50.500.50.500.20.30.5P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
则(1)()
11lim n n p →∞
= ;(2)()330
n n p ∞==∑ .1/2,2
二.概率题(共30分)
1.(10分)设(,)X Y 的概率密度为
2212
2
22
1(,)2x x f x y e
σ
πσ
+-
=
,
令22,U X Y V Y =+=,(1)求(,)U V 的概率密度(,)g u v ;(2)求U 的边缘概率密度()U g u .
解解.(1)解方程22,,u x y v y ⎧=+⎨=⎩得22,
|,,v u x u v y v ⎧⎪=⎨⎪⎩
≤=-
所以雅可比行列式
222222
22201J u v u v u v v
==---故 222221||,(,)(,)||20,u
e v u g u v
f x y J u v σπσ-⎧≤⎪==⎨-⎪⎩
其他. ……5分
(2)对0u >,
2
22
2
2
1(,))2(u u U u
g u e g u v d u v
v v σπσ
-
∞-∞-=-=⎰⎰
2
2222222u u
u
e e u v u u σπσσ--==-⎰故2
22,0,()20,.u U e u u g u σσ-⎧>⎪
=⎨⎪⎩
其他
……10分
2.(10分)设(,)U V 的概率密度
,0,0,
(,)0,
u e u v v g u v -⎧->>=⎨⎩其他,
(1)求{1}|1()0V U E I >=,其中{1}{1,(}),10V V I ωω>∈>⎧=⎨⎩

其他,(2)
(|)D V U .
解U 的边缘概率密度为
00
,0,,0,
()(,)0,,0,
,u
u u u U e dv u e u u u v d u g v g --⎧⎧>>⎪===⎨⎨
⎩⎪⎩⎰⎰
其他其他
所以条件概率密度
|1
,0,
(,)(|)()0,
V U U v u g u v v u u
g g u ⎧<<⎪==⎨⎪
⎩其他.
……4分 (1)
101{1}|1
01
11()(1|10).102
|10(|10)V V U E I P V U U v u g dv dv >===>====⎰⎰
……7分
(2)因为21(|)2D V U u u ==,所以2
(|)12
D U U V =。

……10分
3.(10分)设12,,
,n X X X 独立同分布,均服从两点分布,
即11{0},{1}=1-,(01)P X p P X p p ===<<,令
12n X X X Y ++
+=,(1)求Y 的特征函数;(2)求3()E Y .
解:(1)因为Y 服从二项分布(,)B n q ,所以Y 的特征函数
()()it n t p qe φ=+
……5分
(2)132()()n n E E X Y X X ++=+
2
3
1
,1,,,1,()()n
n
n
i
i
j i j k i i j j i
i j k EX E X X E X X X ====/=+
+
∑∑

互不相等
23(1)(1)(2)nq n n q n n n q =+-+--
……10分
三.随机过程题(共40分)
1.(10分)设1()(0)X t t ≥是参数为(0)λ>的泊松过程,即满足: (1)1(0)0;X =
(2)1()X t 为独立增量过程; (3)

,0,s t ∀≥有(){()()},0,1,!
k t
t e P X s t X s k k k λλ-+-==
=.
2()(0)X t t ≥也是参数为(0)λ>的泊松过程,且与1()X t 独立,
令12()()()Y t X t X t =+,(1)求()(,)Y Y t R s t μ和;(2)求{(1)1}P Y =. 解:因为12()()()Y t X t X t =+是参数为2λ的泊松过程,所以
(1)2()2(,),min{,}24Y Y t R s t s t st λμλλ==+
……5分
(2)2{(1)1}2e P Y λλ-==
……10分
2.(10分)设{(),}t X t -∞<<∞是平稳过程,()f λ是其谱密度函数,(1)证明:对于任意的0h >,()()()Y t X t h X t =+-是平稳过程;(2)求()Y t 的谱密度.
解(1)0[()][()()]E Y t E X t h X t μμ+-=-==,
[()()][()()][()()]E Y t Y t E X t h X t X t h X t τττ+=++-++- ()()(2)X X X h h R R R τττ-=+--
与t 无关,则()()()Y t X t h X t =+-是平稳过程。

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