高考真题试卷2011年数学理(重庆)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选其他答案标号.3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数2341i i i i++=-A ．1122i -- B ．1122i -+ C ．1122i - D ．1122i + 2．“x <-1”是“x 2-1>0”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要3．已知lim()x ax x x→∞2-1+=2-13，则a = A ．-6B ． 2C ．3D ．64．(13)(6)n x n N n +∈其中且≥的展开式中56x x 与的系数相等，则n=A ．6B ．7C ．8D ．95．下列区间中，函数f x =(2)In x -（）在其上为增函数的是A ．（-,1∞]B ．41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．)30,2⎡⎢⎣D ．[)1,26．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足22a b 4c +-=（），且C=60°，则ab 的值为A ．43B ．8-C ． 1D ．237．已知a ＞0，b ＞0，a+b=2，则y=14a b+的最小值是A ．72B ．4C ．92D ．58．在圆06222=--+y x y x 内，过点E （0，1）的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为A ．25B ．210C．D ．2209．高为4的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为ABC ．1D10．设m ，k 为整数，方程220mx kx -+=在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k 的最小值为 A ．-8 B ．8 C ．12 D ．13二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应位置上 11．在等差数列{}n a 中，3737a a +=，则2468a a a a +++=__________ 12．已知单位向量1e ，2e 的夹角为60°，则122e e -=__________13．将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率__________ 14．已知1sin cos 2α=+α，且0,2π⎛⎫α∈ ⎪⎝⎭，则cos 2sin 4πα⎛⎫α- ⎪⎝⎭的值为__________ 15．设圆C 位于抛物线22y x =与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C 的半径能取到的最大值为__________三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．（本小题满分13分）设a R ∈，()()2cos sin cos cos 2f x x a x x x π⎛⎫=-+-⎪⎝⎭满足()03f f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求函数()f x 在11[,]424ππ上的最大值和最小值.某市公租房的房源位于A ，B ，C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中： （Ⅰ）恰有2人申请A 片区房源的概率；（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望 18．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分．）设()f x x ax bx 32=+++1的导数'()f x 满足'(),'()f a f b 1=22=-，其中常数,a b R ∈． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(,())f 11处的切线方程； （Ⅱ） 设()'()x g x f x e -=，求函数()g x 的极值．19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分．）如题（19）图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，AB BC ⊥，AD CD =，CAD ∠=30︒．（Ⅰ）若AD =2，AB BC =2，求四面体ABCD 的体积；（Ⅱ）若二面角C AB D --为60︒，求异面直线AD 与BC 所成角的余弦值．如题（20）图，椭圆的中心为原点O ，离心率e =2，一条准线的方程为x = （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）设动点P 满足：OP OM ON =+2uu u r uuu r uuu r，其中,M N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为1-2，问：是否存在两个定点,F F 12，使得PF PF 12+为定值？若存在，求,F F 12的坐标；若不存在，说明理由．21．（本小题满分12分，（I ）小问5分，（II ）小问7分）设实数数列}{n a 的前n 项和n S ，满足)(*11N n S a S n n n ∈=++ （I ）若122,2a S a -成等比数列，求2S 和3a ； （II ）求证：对14303k k k a a +≥≤≤≤有参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分50分. 1—5 CADBD 6—10 ACBCD二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分25分.11．74 12 13．1132 14．2- 151 三、解答题：满分75分. 16．（本题13分）解：22()sin cos cos sin f x a x x x x =-+ sin 2cos 2.2ax x =-由1()(0)1,322a f f a π-=+=-=得解得因此()2cos 22sin(2).6f x x x x π=-=-当[,],2[,],()43632x x f x πππππ∈-∈时为增函数， 当113[,],2[,],()324624x x f x πππππ∈-∈时为减函数， 所以11()[,]() 2.443f x f πππ=在上的最大值为又因为11()()424f f ππ==故11()[,]424f x ππ在上的最小值为11()24f π= 17．（本题13分）解：这是等可能性事件的概率计算问题.（I ）解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A 片区房源的申请方式2242C ⋅种，从而恰有2人申请A 片区房源的概率为224428.273C ⋅= 解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验. 记“申请A 片区房源”为事件A ，则1().3P A =从而，由独立重复试验中事件A 恰发生k 次的概率计算公式知，恰有2人申请A 片区房源的概率为22244128(2)()().3327P C ==（II ）ξ的所有可能值为1，2，3.又421322243244234431(1),273()(22)1414(2)((2))272733P C C C C C C P P ξξξ===+-======或 12123342434444(3)((3)).9933C C C C A P P ξξ======或 综上知，ξ有分布列114465123.2727927E ξ=⨯+⨯+⨯= 18．（本题13分）解：（I ）因32()1,f x x ax bx =+++故2()32.f x x ax b '=++ 令1,(1)32,x f a b '==++得由已知(1)2,322, 3.f a a b a b '=++==-因此解得 又令2,(2)124,x f a b '==++得由已知(2),f b '=- 因此124,a b b ++=-解得3.2a =-因此3235()31,(1)22f x x x x f =--+=-从而 又因为3(1)2()3,2f '=⨯-=-故曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线方程为5()3(1),6210.2y x x y --=--+-=即（II ）由（I ）知2()(333)xg x x x e -=--，从而有2()(39).xg x x x e -'=-+令212()0,390,0, 3.g x x x x x '=-+===得解得 当(,0),()0,()(,0)x g x g x '∈-∞<-∞时故在上为减函数； 当(0,3),()0,()x g x g x '∈>时故在（0，3）上为增函数； 当(3,)x ∈+∞时，()0,()(3,)g x g x '<+∞故在上为减函数；19．（本题12分）（I ）解：如答（19）图1，设F 为AC 的中点，由于AD=CD ，所以DF ⊥AC.故由平面ABC ⊥平面ACD ，知DF ⊥平面ABC ， 即DF 是四面体ABCD 的面ABC 上的高，且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°在Rt △ABC 中，因AC=2AF=AB=2BC ，由勾股定理易知,55BC AB == 故四面体ABCD 的体积1114.3325ABC V S DF ∆=⋅⋅=⨯=（II ）解法一：如答（19）图1，设G ，H 分别为边CD ，BD 的中点，则FG//AD ，GH//BC ，从而∠FGH 是异面直线AD 与BC 所成的角或其补角.设E 为边AB 的中点，则EF//BC ，由AB ⊥BC ，知EF ⊥AB.又由（I ）有DF ⊥平面ABC ， 故由三垂线定理知DE ⊥AB.所以∠DEF 为二面角C —AB —D 的平面角，由题设知∠DEF=60°设,sin .2a AD a DF AD CAD ==⋅=则在,cot ,2a Rt DEF EF DF DEF ∆=⋅==中从而1.26GH BC EF a === 因Rt △ADE ≌Rt △BDE ，故BD=AD=a ，从而，在Rt △BDF 中，122aFH BD ==， 又1,22aFG AD ==从而在△FGH 中，因FG=FH ，由余弦定理得222cos 22FG GH FH GH FGH FG GH FG +-===⋅ 因此，异面直线AD 与BC所成角的余弦值为6解法二：如答（19）图2，过F 作FM ⊥AC ，交AB 于M ，已知AD=CD ，平面ABC ⊥平面ACD ，易知FC ，FD ，FM 两两垂直，以F 为原点，射线FM ，FC ，FD 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系F —xyz.不妨设AD=2，由CD=AD ，∠CAD=30°，易知点A ，C ，D 的坐标分别为(0,3,0),(0,0,1),(0,A C D AD -=则显然向量(0,0,1)k =是平面ABC 的法向量. 已知二面角C —AB —D 为60°，故可取平面ABD 的单位法向量(,,)n l m n =， 使得1,60,.2n k n <>==从而222,30,61,n AD m n m l mn l ⊥+==-++==由有从而由得设点B的坐标为(,,0);,,B x y ABBC n AB l ⊥⊥=由取223,,0,9,)0,36x y x x y x y y ⎧⎧+==⎪=⎧⎪⎪⎨⎨=⎪-+=⎩⎪⎪=⎩⎪⎩解之得舍去易知3l =-. 因此点B的坐标为(,,0).99B所以4(,99CB =- 从而cos ,||||AD CB AD CB AD CB ⋅<>===故异面直线AD 与BC20．（本题12分）解：（I）由22c a e a c=== 解得2222,2a c b a c ===-=，故椭圆的标准方程为221.42x y+= （II ）设(,),(,),(,)P x y M x y N x y ，则由2OP OM ON =+得112212121212(,)(,)2(,)(2,2),2,2.x y x y x y x x y y x x x y y y =+=++=+=+即因为点M ，N 在椭圆2224x y +=上，所以2222112224,24x y x y +=+=，故222222*********(44)2(44)x y x x x x y y y y +=+++++2222112212121212(2)4(2)4(2)204(2).x y x y x x y y x x y y =+++++=++设,OM ON k k 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知12121,2OM ON y y k k x x ⋅==-因此121220,x x y y += 所以22220.x y += 所以P221+=上的点，设该椭圆的左、右焦点为F 1，F 2，则由椭圆的定义|PF 1|+|PF 2|为定值，又因c ==，因此两焦点的坐标为12(F F21．（本题12分）（I ）解：由题意2221222221122,2,S a a S S S a S a a ⎧=-=-⎨==⎩得，由S 2是等比中项知220. 2.S S ≠=-因此 由23332S a S a S +==解得23222.1213S a S -===---（II ）证法一：由题设条件有11,n n n n S a a S +++=故11111,1,,11n n n n n n n n S aS a a S S a ++++≠≠==--且112112112111211111.11111k k k k k k k k k k k k k k k k a a S a S a a a a S a S a a a a ---------------++-====-+--++-- ①因2221111131()0024k k k k a a a a -----+=-+>≥且，由①得0k a ≥ 要证43k a ≤，由①只要证212114,31k k k a a a ---≤-+即证222111134(1),(2)0.k k k k a a a a ----≤-+-≥即 此式明显成立. 因此4(3).3k a k ≤≥ 最后证1.k k a a +≤若不然212,1kk k k k a a a a a +=>-+ 又因220,1,(1)0.1kk k k k a a a a a ≥>-<-+故即矛盾. 因此1(3).k k a a k +≤≥证法二：由题设知111n n n n n S S a a S +++=+=，故方程21110n n n n x S x S S a +++-+=有根和（可能相同）.因此判别式21140.n n S S ++∆=-≥又由2212212121.1n n n n n n n n n a S S a a S a S a +++++++++=+=≠=-得且因此22222222240,3401(1)n n n n n n a a a a a a ++++++-≥-≤--即， 解得240.3n a +≤≤ 因此40(3).3k a k ≤≤≥由110(3)1k k k S a k S --=≥≥-，得111211122111(1)(1)11110.131()24k k k k k k k k k k k k k k k k k k S S S a a a a a S a S S S a a S S S --+-------=-=-=-----=-=-≤-+-+ 因此1(3).k ka a k +≤≥。