2020届甘肃省兰州市高三诊断考试数学(文)试题(带答案解析)

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2020届甘肃省第一次高考诊断考试(数学文)

2020届甘肃省第一次高考诊断考试(数学文)数学文科考生注意：本试卷分第1卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，总分值为150分，考试时刻120分钟, 所有试题均在答题卡上作答•其中，选择题用28铅笔填涂，其余题用0.5毫米黑色墨水签字笔作答, 参考公式：假如事件A、B互斥，那么泊加 7老■ •门飞叫假如事件A、B相互独立，那么’,假如事件.A在一次试验中发生的概率是P,那么它在n次独立重复试验中恰好发生A次的概率为'' •球的表面积公式：爰孟于，其中R表示球的半径，V— 4 nJ球的体积公式： 1 17，其中R表示球的半径，第1卷〔选择题，共60分〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1•集合關十！I"】却声d■恤血•那么tfn y=(A) -3, -2# ■ H (B) ' 】，。

川(C) { r ](D) |0.],2j2. 函数.的反函数为〔A〕3.在△ ABC中，假设2，那么△ ABC的形状为(A)直角三角形(B)等边三角形(c)等腰三角形(D)等腰直角三角形4•以下四个数中，最大的一个是(A)卜;(B)二詐诃(C)卜垃二鋼(D) ；•：：「5 .某篮球运动员在三分线投篮的命准率为，他投篮5次，恰好投准3次的概率为(A) 1- (B) 1氐(C) |fl(D)⑴6 •在等差数列叭中，假设山"」I」.那么恢的前10项和齢=(A)70 (B)80 (C)90 (D)IOOjr ■ Ban ( 2< 4¥ 金I ) •7 •将函数島的图像按向量 2 平移，那么平移后的函数图像的解析式为&正三棱锥S -ABC 的各棱长均相等，D 为SC 的中点，那么SA 与BD 所成角的余弦值T~ AAJ(A) 2(B) 丁(c)'(D)9•从4名男生和3名女生中选出3人，分不参加三项不同的工作，假设这三人中至少有 1名女生，那么选派方案共有(A)270 种 (B)216 种 (C)186 种 (D)108 种10 .过半径为2的球0表面上一点 A ，作球0的截面，假设 OA 与该截面所成的角为30°,那么该截面的面积为(A)4 n (B)3 n (C)2 n (D) n 11.设a=(3. 4), a 在b 上的投影为，b 在j=(o , 1)上的投影为1,且帆烁超-,那么b=(A)(0,1) (B)(1,2)(C)(1,1) (D)(2,1)12.函数在区间上的最小值为一 2，那么IT 的最小值为 (A)5(B)4(C)3(D)2第二卷〔非选择题，共90分〕二、填空题：本大题共 4小题，每题5分，共20分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.t y - + J_ j t13. ______________________________________________ ' ’示的展开式中x 项的系数为 . 14. 双曲线上的点到左焦点的距离与到左准线的距离的比为2,那么m=15. 从编号为1, 2, 3……10的10个大小相同的球中任取 4个，那么所取4个球的最大号码为 6 的概率为 . 16. 以下命题中：①假设a.b.m 差不多上正数，那么，那么b>a ;② a 、b 差不多上实数，假设心胡處〕!训，那么ab <0;③ 假设 a 、b 、c ABC 的三条边，那么 a2 +b2 +C2 >2〔 ab+ bc+ ca 〕 ④ 假设a>b>c ，那么，昇L"'.其中，正确的命题为 _____ 〔将正确的序号填在横线上〕.三、解答题：本大题共 6小题，共70分.解承诺写出文字讲明、证明过程或演算步骤. 17 .本小题总分值10分设函数慎弟戸宓品?亠屈Ji 耘| (1) 求f(x)的最大值及最小正周期;(A) (C)才 Ur if I JT(B)■ Innf If +(2)假设锐角厶ABC 中，角A 满足 "呵，求"'的值.18 .本小题总分值12分如图(1), AABC 是等腰直角三角形，AC =BC =4 , E 、F 分不为AC 、AB 的中点，将 AABC 沿EF 折起，使A '在平面BCEF 上的射影0恰为EC 的中点，得到图(2). (1) 求证：EF 丄 A'C ;(2) 求二面角 A ' -BC -E 的大小； (3) 求三棱锥F-A'BC 的体积，图(1) 图(2)19. 〔本小题总分值12分〕4加工某种零件需要通过三道工序，设第一、二、三道工序的合格率分不为一、5 7-且各道工序互不阻碍. (1) 求该种零件的合格率；(2) 从该种零件中任取 3件，求恰好取到一件合格品的概率. 20. 本小题总分值12分在公差不为零的等差数列中，匾吨計，且也凤去|成等比数列，求数列’的前30项的和=. 21. 本小题总分值12分抛物线的焦点为F , M 为其准线上一点，直线 MF 与抛物线交与 A 、B 两点，人耐・(1)求证册飞人处；(2)当入=3时，求直线AB 的方程.(1) 讨论函数丨畫瓦I 的单调性;22本小题总分值12分ax' -r2(rt C B }3 '内是减函数，求a的取值范畴.第一次高考诊断数学试题参奇答案及评分标准第I 卷一、迭择题；本大地兴】2小臥甸小题$分・共3分.I. U 2Jk 2.C4.B$1)6.A7.R R.C 9.C IO.B Jl.D I2.C第II 卷二、填空也小眄剜邇§分，共20分.L3.W M. - I,吃09,24；(又)]"・T 席@321三. 解答矽；本大题求6小亟共"分・L7•衣小朋分10分耶：11»/ (.i ) - 3co$lv - \3sin 2x + 3= 2^'3«os(2.t-4- —}+3.♦ !♦•«・・♦♦・・,••••• •••・•• •・・••••・・X ・・・・・・・・・・5 2$⑵ Hi/(4) = 3-2v3.人一m 亠3 - 3-2J?・6 7；/. UO M2.A —)= l ・6X 0 < H A — — ■从"ii un — A w Gin — — ^32 12 5 3i«.右小m 濮分12分t I i i 「9•一：九丄・ EF ff ：^3COl AA»C 的中处裁.••• FF 丄 AC.・•• EF 丄平面A ：EC.乂川QuN 西片&•,・・・E ：F 丄屮c・・••••・・••・・・・•・・・••・・・・・・・*e ・0・・・0・・・・，・・《«7夕}・・・•・・・・・・•・・・I «>芥肚•:：同丄EC.v .40丄EF. •・・EF丄平正.谊E?故孑芒秦ik(ll 7!i i又/f<7u 平ifcA^C •: EF 丄才G.(2) 7 A'O 丄面 BCEF.OCLKC.fk^A f C!BC•； C0平•••••••••x.•♦*••■••••••••••••••••••••・••• •又T/fo 垂 11 平分we. ^o = V-EO 2 = .oc-i. 住直fh'A'CO 中・ lan" CO "3.二10A-g-E 为丁 -(3) 庄宜角梯形EFRC 中.EC = 2. BC = A ： S 沖=i-«C・£C = 4 ・X v 勿垂直 V 分 «?,• •• "0 ■ \- EO 1 = <5.•:三綾链F-XJJC 的体积为：]I4*^5二、O = 2 * 4 * 33 ・・・■••・・•■・・■ •・・•《•♦・・•■・・・•・・・■♦・・12攵宙用向呈法求解•可酌馆给分〉19・本小通满分12分氏科》解:设&祓示笔K 轲午在年内发生此爭故.KJ2.3•则儿、仏、九相亙独立. 且P ⑷冷丿他）■占,"）■右.（1）该单位一年内沃赔的口率为？ 1・F （入兀A ）4P （A ）PC 石）丽）r 89 10 39 10 II 11（2） g 的所有可fi£«T 为 0.9000.18000.27（X ）0・陀=O ） = P w 小 g ）P （ “P （州X 評才亍晋尸点■ 9000> = AjA,）+ 尸（厲 Aj Ay ） + 石心 3）・ =PS ）P （石）此石H p （瓦屮（比屮（石>+巩可W （石）p （4）1 9 10 8 I 10 8 9 1 242 11=*- X — X —十—X —X 1—X — X —= =—: ...9 10 II 9 10 丄 9 10 J1 990 _ 45---- 8分・2分• •・・・・•• ••• ••• »M •■・・・■・・•・•・・••••••••••••••••• ・•・・•・・•・• ・・・0 ・・・•・ ••■•••• ••■••• ・・•・・ «••••••• • ■■••00・• •••・・•・・・・・・・・・•・・>«・・・・・ ••*•6夕十'尸（好=18000）二P（人比瓦）4 P（占石A J + P（\A L A,）1 1 10 1 9 1 8 1 1 27 3 B -x —x - 4- —X — X 一 4 —X — X 一 = ---- = ----- 9 10 11 9 10 II 9 10 11 990 110P(i = 27000) = F(A 入已)=)P(A 2)P(A })Q11a170900Ef = 0x2+9000x 旦斗 18000x2 十 27000乂云=^- ................................. 12 分9 11 45 110 990 11（文科）解:设儿、再表示三道工序合版则令、厶、Aj 相互独工45 7,卩（人）二亍................................... 2 分（1 ）恢种零件合格的槪率为P ■ Pg・A ・厲）="叫）尸⑷ .......................... 4分 4 5 7 7 -X —X —=— 5 6 8 127（2）由于该种窶fl 3】合格辜为~...... .... —…山辿立車貝试聖的抵舉公式得於好取到-件合格詁的嘅率为 p-r «/Zi./Av： 25J 、I"V *• ••• ••»••••• ••• ••••• »••••«••••••••••••• ••••• ••<1 121257620•車小点満分12分（建科）解：（1 > 当兀=10扌，a i = S 、= 2a,-】■•••“！ = 1 ■冷 S“| =2兔S" = 2a… -n,9 10 11 990的分布列为；40 9W01800027000p 8 11 3 1-■■11 45 110990.... o 分••・j =2a” -2a,~l.•・.{£ + 1}见以2为首顶.2为公比的每比数列. •••4 = 2“一1（刃€用）・n I Z1 \ . n \= -------- (1——)> ------------- ・..... ................ .. ................................................ 12分 2 3 r 2 3 " (文科)餡没帶羞数列5}的&顶为q •公羞为厶r 耳・比・®成等比数列.・•.（坷十5cf 『二（q 十衍）（耳十&/）• ................................. 4分・iq' + 10q 〃 +25d* = a ； +」1吗〃 +2心.-«i = d ・ .. ............................................................. . ................................. 8 分又1為=10 = 4十4乩・ \^ = tf —2......................................................................... 「・ S 乂二 50x2 + x2 = 93O, ....................... ................. 21.本小SI 满分】2分解:⑴i 站找砂的方程为 —£).代人拟物线方稈> ： = 2p.r •笑■fr\v 2 一 p{k l 4 2)才+"上二0 ........................................................................ ..4_ 丨 I 1 I"2^2(2^'^1) 2*3-2< + 2< -2 ............. 一 ........... 8分 ............. . ................................... 10 分•…川分门分沙-扌*仗= 1.2,3,…，心讣人(巧t? l)» B g 1 >2 )・则M (— % —〃A 入心亠导).>1 4 Pk =心 + pk)9曲1;达定理知 X =£•••• \（壬i自■俘一殆Z. AE -AFB・ ___（若用几何法证阴也町sm钦分）（2） V AF =入就Hi 2用=才）叮•从両得X）=入'並③・疥/代人I •冯彳-才七二几（毛一牛.从而蒔心=总▼円=丸■久2读瞒致学答秦«5 5l<M7 H）即直线的方程为『=士73（*-彳）・■22•本小题满分12分（理科）#;（1）V帆和的定义域为XE（Q+oc）.・・2分X出△=尸一4三0,即一20rcOH寸.^(x)>0.则XO为增函数:② 当A«fc J-4>t<-2Bj ・ x?4lr^! = OWW不尊曲实ftt.4按匚4 -R+J宀4 口°卄一-—・屯=—-—•且0 5 <心当x eCO■丙M(打>0;当K W (.r lt x；).^(.r) v0：当尤£ g—oo)■卩(x)> 0. ...4 分那上当上V-处L冲)的增区何为疋一4站—加P .丄2 2m/nz _上_、'火・_4 —k + Uk'—4减区何为-------- ------- . ------ ------ .2 2■ ■S-2<*<W. 的增区间为(0.4-OO) ............................................. . ...... ... 6分10分■ 21 xlnx1................... 8 分当I 3时•得疋二土的.乂 •・,（攵41" x —1） =1 —— >1.X・••" 扫響 >0,即饨巧=更罕（*€&亠8»为用函数 ................. 10分（X4-1）-K 十1即“的取值范国为（^—. 〔丈和 «:< I ） v/（\x ） = r+2ar + L当A<0・即/W 耐• / *）20. /（X ）在/?上为单圖増函数： ...................... 4分当△>（!即a 、a ］时・由/ （工）二 0•得4 = 一。

2020年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷(文科) (含答案解析)

2020年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={0,1,2,3},B={x|−1≤x<3}则A∩B=()A. {1,2}B. {0,1,2}C. {0,1,2,3}D. ⌀2.已知z=1−i，则|z|等于()A. 2B. √2C. 1D. 03.已知向量a⃗=(−1,3)，b⃗ =(2,m)，则“m=−1”是“b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )”的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.已知sin(α−π3)=−3cos(α−π6)，则tan2α=()A. −4√3B. −√32C. 4√3 D. √325.若双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(√3,1)，则该双曲线的离心率为()A. √5B. 2C. √3D. √26.已知函数f(x)=cosπx4，集合A={2,3，4，5，6}，现从集合A中任取两数m，n，且m≠n，则f(m)⋅f(n)≠0的概率为()A. 310B. 715C. 35D. 7107.如图是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图和回归直线，若去掉一个点使得余下的5个点所对应的数据的相关系数最大，则应当去掉的点是()A. DB. EC. FD. A8. 已知函数，若f(a)=12，则a 的值为( )A. −1B. √2C. −1或√2D. −1或129. 如图，圆锥的底面直径AB =4，高OC =2√2，D 为底面圆周上的一点，且∠AOD =2π3，则直线AD 与BC 所成的角为( )A. π6B. π3C. 5π12D. π210. 已知函数f(x)=√3sinωx +cosωx 的最小正周期为π.则函数f(x)在区间[−π4,π4]上的取值范围是( )A. [−2,2]B. [−2,√3]C. [−√3,2]D. [−√3,√3]11. 过焦点为F 的抛物线y 2=12x 上一点M 向其准线作垂线，垂足为N ，若直线NF 的斜率为−√33，则|MF|=( )A. 2B. 2√3C. 4D. 4√312. 函数f(x)=xe −x ，x ∈[0,4]的最小值为( )A. 0B. 1eC. 4e 4D. 2e 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知f(x)={−e x ,x >0x 2−1,x ≤0，则f(f(ln2))=________．14. 已知向量a ⃗ =(2,3)，b ⃗ =(m,−6)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|2a ⃗ +b ⃗ |=______．15. 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2+b 2−c 2=√3ab ，则∠C = ． 16. 如图所示，在△ABC 中，C =π3，BC =4，点D 在边AC 上，AD =DB ， DE ⊥AB ，E 为垂足，若DE =2√2，则cos A =________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知等差数列{a n}中，a4+a5=4a2,2a3−a6=1.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n=1，求数列{b n}的前n项和S n．a n a n+118.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PC=2√7，E，F分别是棱PC，AB的中点．(1)证明：直线EF//平面PAD；(2)求三棱锥P−AEF的体积．19.某学校共有1500名学生，为调查该校学生每周使用手机上网时间的情况，采用分层抽样的方法，收集100名学生每周上网时间的样本数据(单位：小时).根据这100个样本数据，得到学生每周上网时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．(1)估计该校学生每周平均使用手机上网时间(每组数据以组中值为代表)；(2)估计该校学生每周使用手机上网时间超过4个小时的概率；(3)将每周使用手机上网时间在(4,12]内的定义为“长时间使用手机上网”；每周使用手机上网时间在(0,4]内的定义为“不长时间使用手机上网”.在样本数据中，有25名学生不近视．请完成每周使用手机上网的时间与近视程度的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”．近视不近视合计长时间使用手机不长时间使用手机15合计25．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.10.050.0100.005k0 2.7063.8416.6357.87920.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F1(2,0)，离心率为e．(1)若e=√22，求椭圆的方程；(2)设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上．①证明点A在定圆上；②设直线AB的斜率为k，若k≥√3，求e的取值范围．21.已知函数．(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；(2)讨论f(x)的单调性与极值点．22. 已知过点P (0,−1)的直线的参数方程为{x =12ty =−1+√32t(t 为参数)，在以坐标原点OI 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为2asinθ−ρcos 2θ=0(a >0)． (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 分别交于点M ，N ，且|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a 的值．23. 设函数f(x)=|x +1|+|x −a|(a >0)．(1)当a =2时，求不等式f(x)>8的解集；(2)若∃x ∈R ，使得f(x)≤32成立，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，是基础题，利用交集定义直接求解．解：∵集合A={0,1，2，3}，B={x|−1≤x<3}，∴A∩B={0,1，2}．故选：B．2.答案：B解析：解：∵z=1−i，∴|z|=√12+(−1)2=√2故选：B由条件代入复数的模长公式可得．本题考查复数的模长公式，属基础题．3.答案：B解析：本题考查了向量垂直与数量积的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )，可得b⃗ ⋅(a⃗+b⃗ )=2+m(3+m)=0，解得m，即可判断出结论．解：a⃗+b⃗ =(1,3+m)，∵b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )，∴b⃗ ⋅(a⃗+b⃗ )=2+m(3+m)=0，解得m=−1或−2，∴“m=−1”是“b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )”的充分不必要条件．故选：B．4.答案：A解析：本题考查同角三角函数的基本关系，是基础题．利用同角三角函数的基本关系式，求出sinα，然后得到tanα，即可求解，解：由有sinαcosπ3−cosαsinπ3=−3(cosαcosπ6+sinαsinπ6)，故12sinα−√32cosα=−3√32cosα−32sinα，则有2sinα=−√3cosα，显然cosα≠0，所以tanα=−√32，故tan2α=2tanα1−tan2α=−√31−34=−4√3，故选A．5.答案：B解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题．由条件求得b=√3a，进一步即可求离心率．解：双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线：by−ax=0，渐近线经过点(√3,1)，可得b=√3a，即b2=3a2，可得c2−a2=3a2，所以：c2=4a2，c=2a，所以双曲线的离心率为：e=ca=2．故选：B．6.答案：A解析：解：∵集合A={2,3，4，5，6}，现从集合A中任取两数m，n，且m≠n，∴基本事件总数N=A52=20，∵函数f(x)=cosπx 4，∴f(m)⋅f(n)≠0包含的基本事件有： (3,4)，(4,3)，(3,5)，(5,3)，(4,5)，(5,4)，共有M =6个，∴f(m)⋅f(n)≠0的概率为p =M N=620=310．故选：A ．先求出基本事件总数，再用列举法求出f(m)⋅f(n)≠0包含的基本事件的个数，由此能求出f(m)⋅f(n)≠0的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．7.答案：B解析：本题主要考查回归直线和相关系数，属于基础题．根据散点图分析即可得解．解：因为点E 到回归直线的距离最远，所以去掉点E ，余下的5个点所对应的数据的相关系数最大．故选B ．8.答案：C解析：本题考查分段函数，已知函数值求解自变量的值，属于基础题．根据分段函数讨论计算f(a)=12可得结论．解：当a >0时，f(a)=12，即，解得a =√2，当a ⩽0时，f(a)=12，即2a =12，解得a =−1，综上，a =√2或a =−1．故选C ．9.答案：B解析：本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．取AB 弧的中点E ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OC 为z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解两条直线AD 与BC 所成的角．解：如图，取AB 弧的中点E ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OC 为z 轴建立空间直角坐标系．∵AB =4，OC =2√2，∠AOD =2π3，∴A(0,−2,0)，B(0,2，0)，C(0,0，2√2)， D(√3,1，0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,3,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,2√2)，∴cos <AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |= 62√3×2√3= 12， ∴空间中两条直线AD 与BC 所成的角为π3，故选：B.10.答案：C解析：解：∵函数f(x)=√3sinωx +cosωx =2sin(ωx +π6)的最小正周期为2πω=π， ∴ω=2，函数f(x)=2sin(2x +π6). ∵x ∈[−π4,π4]，∴2x +π6∈[−π3,2π3]，∴2sin(2x +π6)∈[−√3,2]．即函数f(x)在区间[−π4,π4]上的取值范围是[−√3,2]，故选：C．根据函数的最小正周期为π求得ω的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得函数f(x)在区间[−π4,π4]上的取值范围．本题主要考查两角和的正弦公式，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．11.答案：C解析：解：抛物线y2=12x的焦点坐标(3,0)，则DF=6，直线NF的斜率为−√33，可得DN=2√3，则抛物线y2=12x可得：12=12x，解得x=1，所以M(1,2√3)，|MF|=|MN|=3+1=4．故选：C．利用抛物线的方程求出焦点坐标，利用已知条件转化求解|MF|即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．12.答案：A解析：本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，属于基础题．求出函数的导数，根据其单调性即可求解函数的最值．解：因为f′(x)=1−xe x，当x∈[0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(1,4]时，f′(x)<0，f(x)单调递减，因为f(0)=0，f(4)=4e4>0，所以当x=0时，f(x)有最小值，且最小值为0，故选A．13.答案：3解析：本题考查分段函数的求值，考查运算求解能力，属于基础题．判断ln2的范围，求出，即可求出结果．解：∵f(x)={−e x ,x >0x 2−1,x ≤0，，，∴f(f(ln2))=f(−2)=4−1=3．故答案为3．14.答案：13解析：解：∵向量a ⃗ =(2,3)，b ⃗ =(m,−6)，a ⃗ ⊥b ⃗ ，∴a ⃗ ⋅b⃗ =2m −18=0，解得m =9，∴2a ⃗ +b ⃗ =(13,0)|2a ⃗ +b ⃗ |=√132+02=13．故答案为：13．由a ⃗ ⊥b ⃗ ，求出m =9，从而2a ⃗ +b ⃗ =(13,0)，由此能求出|2a ⃗ +b ⃗ |的值．本题考查向量的模的求法，考查平面向量坐标运算法则，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15.答案：π6解析：本题考查余弦定理，属于基础题．由余弦定理即可求解．解：因为a 2+b 2−c 2=√3ab ，所以由余弦定理有cosC =a 2+b 2−c 22ab =√3ab 2ab =√32，又0<C <π，所以C =π6．故答案为π6．16.答案：√64解析：由已知可得∠A =∠ABD ，∠BDC =2∠A ，设AD =BD =x ，由正弦定理在△BCD 中4sin2A =x sin60°，在△AED 中，可得2√2sinA =x 1，联立即可解得cos A 的值．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．解：∵C =π3，BC =4，点D 在边AC 上，AD =DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足，DE =2√2， ∴∠A =∠ABD ，∠BDC =2∠A ，设AD =BD =x ，∴在△BCD 中，BC sin∠CDB =BD sinC ，可得：4sin2A =x sin60°，①在△AED 中，ED sinA =AD sin∠AED =，可得：2√2sinA =x 1，② ∴联立可得：42sinAcosA=2√2sinA √32，解得：cosA =√64．故答案为√64．17.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵由{a 4+a 5=4a 22a 3−a 6=1, ∴得{2a 1−3d =0a 1−d =1, ∴解得a 1=3,d =2，∴数列{a n }的通项公式为a n =2n +1;(2)∵b n =1a n a n+1 =1(2n +1)(2n +3)=12(12n+1−12n+3)，∴{b n }的前n 项和：S n =12(13−15+15−17+⋯+12n +1−12n +3) =12(13−12n+3)=n 6n+9， ∴S n =n 6n+9．解析：本题考查了等差数列的通项公式，以及利用裂项相消法求数列的和，属于中档题．(1)由条件，得到{2a 1−3d =0a 1−d =1，解得a 1=3,d =2，从而得到通项公式； (2)由题意得到b n =1a n a n+1=12(12n+1−12n+3)，利用裂项相消法，得到数列的和．18.答案：(1)证明：如图，取PD 中点为G ，连结EG ，AG ，则EG//CD,EG =12CD,AF//CD,AF =12CD ，所以EG 与AF 平行与且相等，所以四边形AGEF 是平行四边形，所以EF//AG ，AG ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以EF//平面PAD ．(2)连结AC ，BD ，交于点O ，连结EO ，因为E 为PC 的中点，所以EO 为△PAC 的中位线，又因为PA ⊥平面ABCD ，所以EO ⊥平面ABCD ，即EO 为三棱锥E −AFC 的高．在菱形ABCD 中可求得AC =2√3，在Rt △PAC 中，PC =2√7，所以PA =√PC 2−AC 2=4,EO =2所以S △ACF =12S △ABC2=12×12×AB ×BCsin∠ABC =√32，所以V C−AEF =V E−ACF =13S △ACF ×EO =13×√32×2=√33．解析：【试题解析】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查计算能力．(1)取PD 中点为G ，连结EG ，AG ，证明四边形AGEF 是平行四边形，得到EF//AG ，然后证明EF//平面PAD ．(2)连结AC ，BD ，交于点O ，连结EO ，说明EO 为三棱锥E −AFC 的高．通过V C−AEF =V E−ACF .转化求解即可．19.答案：解：(1)根据频率分布直方图，计算 x =1×0.025×2+3×0.100×2+5×0.150×2+7×0.125×2+9×0.075×2+11×0.025×2=5.8；估计该校学生每周平均使用手机上网时间为5.8小时；(2)由频率分布直方图得1−2×(0.100+0.025)=0.75，估计该校学生每周使用手机上网时间超过4个小时的概率为0.75；(3)根据题意填写2×2列联表如下，由表中数据，计算K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(65×15−10×10)275×25×75×25≈21.78>3.841， ∴有95%的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”．解析：(1)根据频率分布直方图，计算平均数即可；(2)由频率分布直方图求得对应的频率值； (3)根据题意填写2×2列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题．20.答案：解：(1)由e =√22=c a，c =2，得a =2√2，b =√a 2−c 2=2．故所求椭圆方程为x 28+y 24=1．(2)设A(x 1,y 1)，则B(−x 1,−y 1)，故M(x 1+22,y 12)，N(2−x 12,−y12)． ①由题意，得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.化简，得x 12+y 12=4，∴点A 在以原点为圆心，2为半径的圆上． ②设A(x 1,y 1)，则{y 1=kx 1x 12a 2+y 12b 2=1x 12+y 12=4得到1a 2+k 2b 2=14(1+k 2)．将e=ca =2a，b2=a2−c2=4e2−4，代入上式整理，得k2(2e2−1)=e4−2e2+1；∵e4−2e2+1>0，k2>0，∴2e2−1>0，∴e>√22．∴k2=e4−2e2+12e2−1≥3，化简得{e4−8e2+4≥02e2−1>0，解之得12<e2≤4−2√3，√22<e≤√3−1．故离心率的取值范围是(√22,√3−1]．解析：(1)利用离心率的计算公式e=ca及b2=a2−c2即可得出椭圆的标准方程；(2)利用①的结论，设出直线AB的方程与椭圆的方程联立即可得出关于a、b与k的关系式，再利用斜率与a、b的关系及其不等式的性质即可得出．熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、参数a、b、c的关系、中点坐标公式、直线方程、离心率的计算公式、不等式的基本性质是解题的关键．21.答案：解：(1)当a=1时，f(x)=x+1x ，f′(x)=1−1x2，则f(2)=2+12=52，f′(2)=1−14=34，∴切线方程为y−52=34(x−2)，整理得：3x−4y+4=0；(2)f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=a−1x +1−ax2=(x+a)(x−1)x2，当a≥0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，此时f(x)的极小值点为1，无极大值点；当a<0时，令f′(x)=0，x=−a或x=1，(i)若−1<a<0，则−a<1，f(x)在(0,−a)和(1,+∞)上单调递增，在(−a,1)上单调递减，此时f(x)的极小值点为1，极大值点为−a；(ii)若a =−1，f′(x)≥0恒成立，f(x)在(0,+∞)上单调递增，f(x)无极值；(iii)若a <−1，则−a >1，f(x)在(0,1)和(−a,+∞)上单调递增，在(1,−a)上单调递减，此时f(x)的极小值点为−a ，极大值点为1．综上可得，当a ≥0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，此时f(x)的极小值点为1，无极大值点；当−1<a <0时，f(x)在(0,−a)和(1,+∞)上单调递增，在(−a,1)上单调递减，此时f(x)的极小值点为1，极大值点为−a ；当a =−1时，f(x)在(0,+∞)上单调递增，f(x)无极值；当a <−1时，f(x)在(0,1)和(−a,+∞)上单调递增，在(1,−a)上单调递减，此时f(x)的极小值点为−a ，极大值点为1．解析：本题考查导数的几何意义和曲线切线的求法，考查利用导数研究函数单调性、极值，以及分类讨论的数学思想，属于中档题．(1)当a =1时，直接求出f ′(x)从而确定f(2)和f ′(2)，利用点斜式方程即可求出切线方程；(2)分类讨论，当a ≥0时，当a <0时，再分情况讨论−1<a <0，a =−1，a <−1三种情况下，确定f(x)的单调性和极值点.22.答案：解：(1)曲线C 的方程为2asinθ−ρcos 2θ=0(a >0)．∴2aρsinθ−ρ2cos 2θ=0．即x 2=2ay(a >0)．(2)将{x =12t y =−1+√32t代入x 2=2ay ，得t 2−4√3at +8a =0，得{△=(−4√3a)2−4×8a >0t 1+t 2=4√3at 1t 2=8a.①． ∵a >0，∴解①得a >23．∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，∴|MN|2=|PM|⋅|PN|，即|t 1−t 2|2=t 1t 2，∴(t 1+t 2)2−4t 1t 2=t 1t 2，即(4√3a)2−40a =0，解得a =0或a =56．∵a >23， ∴a =56.解析：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线的参数方程及其应用，一元二次方程根与系数的关系的应用．(1)直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化；(2)利用直线和曲线的位置关系，把方程组转换为一元二次方程根与系数的关系的应用求出结果． 23.答案：解：(1)f(x)>8即|x +1|+|x −2|>8，当x ≥2时，x +1+x −2>8，解得x >92；当−1<x <2时，x +1+2−x >8，解得x ∈⌀；当x ≤−1时，−x −1+2−x >8，可得x <−72．综上可得，原不等式的解集为{x|x >92或x <−72}；(2)若∃x ∈R ，使得f(x)≤32成立，可得f(x)min ≤32，由f(x)=|x +1|+|x −a|(a >0)≥|x +1−x +a|=|1+a|=a +1，当−1≤x ≤a 时，f(x)取得最小值a +1，由a+1≤3，2，可得0<a≤12].即a的范围是(0,12解析：本题考查绝对值不等式的解法和性质的运用：求最值，考查分类讨论思想方法和转化思想，考查运算能力，属于中档题．(1)去绝对值，讨论x的范围，解不等式求并集，即可得到所求解集；(2)由题意可得f(x)min≤3，运用绝对值不等式的性质可得f(x)的最小值，解不等式可得a的范围．2。

2020届甘肃省高三第二次高考诊断考试数学(文)试题(解析版)

又平面，所以，所以平面．
（2）过作交于，
则平面，且．再过作交于，
所以平面，且．所以平面平面，
所以平面，从而点满足．
【考点】1．线面垂直的判定定理；2．面面平行的判定定理和性质定理．
18．在中，角A，B，C的对边分别为且满足．
（1）求角；
（2）若的面积，其外接圆的半径，求的周长．
参考公式：，
【答案】（1）（2） .可靠
【解析】（1）先求得从6组数据中任选2组数据的基本事件个数，再得相邻2天数据事件个数，即可得选取的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；
（2）根据所给数据，分别求得，代入公式可得，进而得回归直线方程；分别再代入，检验即可判断.
【详解】
（1）从6组数据中任选2组数据，共有15个基本事件，，，，， .
记这2组数据恰好是相邻两天数据为事件A，
则A中有，共5个基本事件，
故 .
（2），
，
所以
.
所求的回归方程为 .
当时，，，
当时，， .
故此线性回归方程是可靠的.
【点睛】
本题考查了古典概型概率的求法，线性回归方程的求法及简单应用，属于基础题.
20．已知圆与圆相外切，且与直线相切．
（1）记圆心的轨迹为曲线，求的方程；
【解析】根据等差数列通项公式及等差数列前n项和公式，可得关于的方程组，进而解方程组可得的值.
【详解】
根据等差数列通项公式及前n项和公式可得
，
解方程组可得，
故选：A.
【点睛】
本题考查了等差数列通项公式及等差数列前n项和公式的简单应用，属于基础题.

2020届甘肃省兰州市西北师大附中6月高三诊断考试数学(文)试题解析

绝密★启用前数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}2{|||2},|230A x x B x x x =≤=--≤，则A B ⋂=（）A ．[2,3]-B ．[1,2]-C ．[2,1]-D ．[1,2]答案：B解绝对值不等式求得集合A ，解一元二次不等式求得集合B ，由此求得两个集合的交集. 解：由2x ≤解得22x -≤≤，由()()223310x x x x --=-+≤解得13x -≤≤，故[]1,2A B ⋂=-，故选B.点评：本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，考查两个集合的交集运算，属于基础题.2．已知复数z 满足264z z i +=-（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：D 解：设(,)z a bi a b R =+∈，则22()()364z z a bi a bi a bi i +=++-=+=-，364a b =⎧⎨=-⎩，24a b =⎧⎨=-⎩，即24z i =-，对应点为(2,4)-，在第四象限．故选：D ．【考点】复数的运算与几何意义．3．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A ．100，20B ．200，20C ．100，10D ．200，10答案：B解：试题分析：由题意知，样本容量为()3500450020002%200++⨯=，其中高中生人数为20002%40⨯=，高中生的近视人数为4050%20⨯=，故选B. 【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题. 4．函数21()log f x x x=-的零点所在区间为() A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,2D ．()2,3答案：C函数21()log f x x x =-的定义域为(0,)+∞，211'()0ln 2f x x x=+>，则()f x 在其定义域上单调递增．因为1(1)10,(2)02f f =-=，所以函数()f x 的零点在区间(1,2)内，故选C5．已知直线,m n 和平面α，则//m n 的一个必要条件是（） A ．//m α，//n α B ．m α⊥，n α⊥ C ．//m α，n ⊂α D ．,m n 与平面α成等角答案：D对各个选项逐个加以分析：根据空间两直线的位置关系判定的方法，得到A 、B 两项都不具备必要性，故错；根据空间直线与平面的位置关系判定方法，得到C 没有必要性，而D 是一个必要非充分条件．由此可得正确答案．解：解：对于A ，若“//m α且//n α”则必定“//m n 或m 、n 相交或m 、n 是异面直线”成立，故充分性不成立．而若“//m n “则不一定“//m α且//n α”，可能m ，n 都垂直于α，故必要性也不成立．故A 错；对于B ，若“m α⊥且n α⊥”则有“//m n ”成立，应该是充分不必要条件，故B 错；对于C ，若“//m α且n ⊂α”成立，则有“//m n 或m 、n 是异面直线或m 、n 相交”成立，应该是既不充分也不必要条件，故C 错；对于D ，若“m ，n 与α所成角相等”不能推出“//m n ”，说明没有充分性，反之若“//m n ”则必定有“m ，n 与α所成角相等”成立，因此符合题是必要非充分条件，D 正确故选：D ．点评：本题以空间直线的位置关系为例，考查了充分必要条件的判断，属于基础题．解题时应该注意合理利用空间直线与直线、平面与直线位置关系的常用结论．6．已知角ϕ的终边经过点(3,4)P -，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>图象的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则()4f π= A ．35 B ．35 C ．45-D ．45答案：B解：试题分析：由题意周期22T ππ=⨯=，22πωπ==，角ϕ的终边经过点(3,4)P -，则3cos 5ϕ=，4sin 5ϕ=-，()sin(2)sin()442f πππϕϕ=⨯+=+3cos 5ϕ==．故选B ．【考点】三角函数的定义，三角函数的性质．7．已知21n S n n a =+++是一个等差数列的前n 项和，对于函数()2f x x ax =-，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T ，则2020T 的值为（） A ．20212022B ．20182019C ．20192020D ．20202021答案：D首先根据题意求出1a =-，再利用裂项求和法即可求解. 解：21n S n n a =+++是一个等差数列的前n 项和，则10a +=，解得1a =-，所以()2f x x x =+，所以()()2111f n n n n n ==++，所以()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为()1111111111112231223111n nT n n n n n n =++=-+-++-=-=⨯⨯++++，则202020202021T =. 故选：D 点评：本题考查了等差数列的前n 和公式的性质、裂项求和法，考查了计算求解能力，属于基础题.8．已知P 是△ABC 所在平面内﹣点，20PB PC PA ++=，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是（） A ．23B ．12C ．13D ．14答案：B推导出点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的12．从而S △PBC =12S △ABC ．由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率．解：以PB 、PC 为邻边作平行四边形PBDC ，则PB PC +=PD ，∵20PB PC PA ++=，∴2PB PC PA +=-，∴2PD PA =-，∴P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点， ∴点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的12． ∴S △PBC =12S △ABC ．∴将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为： P=PBC ABCS S=12．故选B ．点评：本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．9．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为-一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（）寸.（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸） A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：C根据题意，得出水面半径，求出水的体积，即可求出平地降雨量. 解：由题意可得，天池盆上底半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸，因为积水深9寸，所以水面半径为()1214160+=寸，则盆中水的体积为：()22196106105883ππ⨯++⨯=（立方寸），所以平地降雨量为2588314ππ=⨯寸. 故选：C. 点评：本题主要考查圆台体积的相关计算，熟记公式即可，属于基础题型. 10．已知,a b 是实数，若圆22111x y 与直线()()1120a x b y +++-=相切，则+a b 的取值范围是（）A．2⎡-+⎣ B．(),22⎡-∞-⋃++∞⎣C．(),⎡-∞-⋃+∞⎣D ．(]),22⎡-∞-⋃++∞⎣答案：B由题设圆心(1,1)C 到直线()()1120a x b y +++-=的距离1d ==1=，也即222()2()2a b a b a b +=++++，因为2221()2a b a b +≥+，所以221()2()2()2a b a b a b +-+-≥+，即2()4()40a b a b +-+-≥，解之得2a b +≥+2a b +≤-B 。

甘肃省2020届高三第二次诊断考试数学(文)试题(解析版)

留两位小数），并检验此方程是否可靠．
̂
参考公式：∑18 1 8Fra bibliotek!8 !
∑18 1 8
2
∑18 1 8!8 1 ! ̂
∑18 1
2 8
1 2，
̂
!．
20．已知圆 E 与圆 F：（x﹣2）2+y2＝1 相外切，且与直线 x+1＝0 相切．
图所示的指标雷达图．则下面叙述正确的是（）
A．甲的轮滑指标高于他的雪地足球指标
B．乙的雪地足球指标低于甲的冰尜指标
C．甲的爬犁速降指标高于乙的爬犁速降指标
D．乙的俯卧式爬犁指标低于甲的雪合战指标
7．记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 a2+a4＝10，S4＝24，则 a1 的值为（）
日期
1 月 1 日 1 月 2 日 1 月 3 日 1 月4 日 1 月 5 日 1 月 6 日
温差 x（摄氏度） 10
11
12
13
8
9
发芽率 y（粒）
26
27
30
32
21
24
他们确定的方案是先从这 6 组数据中选出 2 组，用剩下的 4 组数据求回归方程，再用选
取的两组数据进行检验．（1）求选取的 2 组数据恰好是相邻 2 天数据的概率；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据的误差不超过 1 粒，则认为得到的线性回归方程是可靠的．请根据 1 月 2，3，4，5 日的数据求出 y 关于 x 的线性回归方程（保
D．1
A．∃ ∈ 0， ∞ ， 2020
0
B．∀ ∈ 0， ∞ ， 2020
0
C．∃ ∉ 0， ∞ ， 2020
0

甘肃兰州市2020届高考数学(文)诊断试题(含答案)

2020年兰州市高三诊断考试数学（文科）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题纸上.2.本试卷满分150分，考试用时120分钟.答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}*2,B x x n n N ==∈，则A B =I （）A. {}0,2,4B. {}2,4C. {}1,3,5D.{}1,2,3,4,5【答案】B 【解析】【分析】根据交集定义求解．【详解】因为集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}*2,B x x n n N ==∈，所以{2,4}A B ⋂=，故选：B ．【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题． 2.已知复数5i22iz =+-，则z =（） A. 5 5 C. 1313【答案】B 【解析】【分析】首先进行除法运算化简z ，再求模即可. 【详解】因为5i 5(2)2212i 2i 5i i z +=+=+=+-，所以5z =故选：B【点睛】本题考查复数的基本运算，复数的模，属于基础题.3.已知非零向量a r ，b r 给定:p R λ∃∈，使得λa b =r r，:q a b a b +=+r r r r ，则p 是q 的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】分析各个命题中向量a r ，b r的关系，然后根据充分必要条件的定义确定．【详解】:p R λ∃∈，使得λa b =r r ，则a r ，b r共线，:q a b a b +=+r r r r 等价于a r ，b r同向，因此p 是q 的必要不充分条件．故选：B ．【点睛】本题考查充分必要条件的的判断，考查向量的共线定理及向量模的性质．判断充分必要条件时可以对两个命题分别进行化简，得出其等价的结论、范围，然后再根据充分必要条件的定义判断即可．4.若21tan 5722sincos 1212tan2αππα-=，则tan α=（）A. 4B. 3C. 4-D. 3-【答案】C 【解析】【分析】利用二倍角的正弦和正切公式可求出tan α的值. 【详解】575555512sincos 2sin cos 2sin cos sin 12121212121262ππππππππ⎛⎫=-=-=-=- ⎪⎝⎭Q ，2221tan 1tan 222tan tan 2tan 22ααααα⎛⎫-- ⎪⎝⎭==，由题意可得21tan 2α=-，因此，tan 4α=-. 故选：C.【点睛】本题考查利用二倍角公式求值，考查计算能力，属于中等题.5.已知双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率是（）A.52B.3C.5 D. 23【答案】A 【解析】【分析】由点（2，﹣1）在双曲线的渐近线y b a =-x 上，得到a ＝2b ，再根据e 22222c a ba a+==解.【详解】因为（2，﹣1）在双曲线的渐近线y ba=-x 上，所以a ＝2b ，即a 2＝4b 2，所以e 222225c a b a a +===，故选：A .【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 6.已知集合571113,,,,66666A πππππ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，从A 中任选两个角，其正弦值相等的概率是（） A.110 B.25C.35D.310【答案】B 【解析】【分析】由题意可得5131sinsinsin 6662πππ===，7111sin sin 662ππ==-，列举出所有的基本事件，并列举出事件“从A 中任选两个角，其正弦值相等”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求出所求事件的概率. 【详解】由题意可得5131sinsinsin 6662πππ===，7111sin sin 662ππ==-，从A 中任选两个角，所有的基本事件有：5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭、7,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、11,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、13,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、57,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、65611,ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、513,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、711,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、713,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、1113,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭，共10种情况.其中，事件“从A 中任选两个角，其正弦值相等”包含的基本事件有：5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭、13,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、513,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、711,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭，共4个，因此，从A 中任选两个角，其正弦值相等的概率为42105=. 故选：B【点睛】本题考查古典概型概率的计算，考查计算能力，属于中等题.7.近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：年份12345 羊只数量（万只） 1.4 0.9 0.75 0.6 0.3草地植被指数 1.1 4.3 15.6 31.3 49.7根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为1r ，去掉第一年数据后得到的相关系数为2r ，则12r r <；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；以上判断中正确的个数是（） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】【分析】根据两组数据的相关性，对题中三个命题分别判断即可．【详解】对于①，羊只数量与草场植被指数成负相关关系，不是减函数关系，∴①错误；对于②，用这五组数据得到的两变量间的相关系数为1r ，∵第一组数据(1,4,1,1)是离群值，去掉后得到的相关系数为2r ，其相关性更强，∴12r r <，②正确；对于③，利用回归直线方程，不能准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数，只是预测值，∴③错误；综上可知正确命题个数是1．故选：B ．【点睛】本题考查了数据分析与线性相关性的判断问题，属于基础题． 8.已知函数()(2ln1f x x =+，且()0.20.2a f =，()3log 4b f =，13log 3c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（）A. a b c >>B. c a b >>C. c b a >>D.b c a >>【答案】D 【解析】【分析】分析出函数()y f x =是偶函数，且在[)0,+∞上为增函数，利用偶函数的性质可得()1c f =，利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法比较0.20.2、1、3log 4的大小关系，利用函数()y f x =在[)0,+∞上的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】函数()2ln1f x x =+的定义域为R ，且()(()221ln1ln 12f x x x =+=+，()()()()2211ln 1ln 122f x x x f x ⎡⎤-=-+=+=⎣⎦，函数()y f x =为偶函数，()()13log 311c f f f ⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭，由于函数21u x =+在[)0,+∞上为增函数，函数ln y u =为增函数，所以，函数()(2ln1f x x =+在[)0,+∞上为增函数，0.203300.20.21log 3log 4<<==<Q ，因此，a c b <<.故选：D.【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性比较函数值的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9.已知圆锥的顶点为A ，高和底面的半径相等，BE 是底面圆的一条直径，点D 为底面圆周上的一点，且∠ABD ＝60°，则异面直线AB 与DE 所成角的正弦值为（） A.3 B.22C.3 D.13【答案】A 【解析】【分析】根据圆锥高和底面的半径相等，且点D 为底面圆周上的一点，∠ABD ＝60，可知D 为¶BE的中点，则以底面中心为原点，分别以OD ，OE ，OA 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，不妨设底面半径为1，求得向量AB u u u r ，DE u u u r 的坐标，代入公式cos AB u u u r ＜，AB DEDE AB DE⋅=⋅u u u r u u u ru u u r u u ur u u u r ＞求解.【详解】因为高和底面的半径相等，∴OE ＝OB ＝OA ，OA ⊥底面DEB.∵点D 为底面圆周上的一点，且∠ABD ＝60°， ∴AB ＝AD ＝DB ；∴D 为¶BE的中点建立如图所示空间直角坐标系，不妨设OB ＝1则O （0，0，0），B （0，﹣1，0），D （1，0，0），A （0，0，1），E （0，1，0）， ∴AB =uu u r （0，﹣1，﹣1），DE =uuu r（﹣1，1，0），∴cos AB u u u r ＜，12AB DE DE AB DE⋅==⋅u u u r u u u ru u u r u u ur u u u r ＞， ∴异面直线AM 与PB 所成角的大小为3π. ∴异面直线AB 与DE 所成角的正弦值为32. 故选：A .【点睛】本题主要考查圆锥的几何特征和向量法求异面直线所成的角，还考查了推理论证和运算求解的能力，属于中档题.10.已知函数()()sin sin cos f x x x x ωωω=+（0>ω），若函数()f x 的图象与直线1y =在()0,π上有3个不同的交点，则ω的取值范围是（）A. 13,24⎛⎤⎥⎝⎦B. 15,24⎛⎤⎥⎝⎦ C. 53,42⎛⎤⎥⎝⎦D. 55,42⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】利用二倍角公式化简所给函数解析式，则题意等价于方程2sin 242x πω⎛⎫-= ⎪⎝⎭在()0,π上有3个实根，利用正弦函数的图象与性质即可求得ω的范围. 【详解】()()1cos 2121sin sin cos sin 2222242x f x x x x x x ωπωωωωω-⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭，()f x 的图象与直线1y =在()0,π上有3个不同交点，即方程2sin 242x πω⎛⎫-= ⎪⎝⎭在()0,π上有3个实根，由()0,x π∈得2,2444x πππωωπ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，所以9112444πππωπ<-≤，解得5342ω<≤. 故选：C【点睛】本题考查二倍角公式，逆用两角和与差的公式进行化简，正弦函数的图象与性质，属于中档题.11.已知点()4,2M --，抛物线24x y =，F 为抛物线的焦点，l 为抛物线的准线，P 为抛物线上一点，过P 作PQ l ⊥，点Q 为垂足，过P 作FQ 的垂线1l ，1l 与l 交于点R ，则QR MR+的最小值为（） A. 15+ B. 5 C. 17 D. 5【答案】D 【解析】【分析】作出图形，推导出直线1l 为线段FQ 的垂直平分线，利用中垂线的定义可得RQ FR =，进而可得出QR MR FR MR +=+，利用F 、R 、M 三点共线可求得QR MR +的最小值. 【详解】根据抛物线定义得PF PQ =，1l FQ ⊥Q ，则1l 为FQ 的垂直平分线，FR RQ ∴=，()224125QR MR FR MR FM ∴+=+≥=++=.故选：D.【点睛】本题考查抛物线中折线段长度之和最小值的求解，考查抛物线定义的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题.12.已知定义在R 上的函数()f x ，()f x '是()f x 的导函数，且满足()()2xxf x f x x e '-=，()1f e =，则()f x 的最小值为（）A. e -B. eC.1eD. 1e-【答案】D 【解析】【分析】将题干中的等式变形为()()2x xf x f x e x -='，可得出()xf x e x '⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，并构造函数()()f x F x x=，可得出()x f x e c x=+，进而可得出()xf x xe cx =+，利用()1f e =求得c的值，可得出函数()y f x =的解析式，进而利用导数可求得函数()y f x =的最小值. 【详解】由()()2xxf x f x x e -='，变形得()()2x xf x f x e x -='，即()xf x e x '⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()x f x e c x∴=+（c 为常数），则()xf x xe cx =+，()1f e c e =+=，得0c =. ()x f x xe ∴=，()()1x f x x e ∴=+'，当1x <-时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减；当1x >-时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增.所以，函数()y f x =在1x =-处取得极小值，亦即最小值，则()()min 11f x f e=-=-. 故选：D.【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题，利用导数等式的结构构造新函数是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()21211x x f x x x ⎧<=⎨+≥⎩，，，则232f f log ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_____.【答案】4 【解析】【分析】根据分段函数()21211x x f x x x ⎧<=⎨+≥⎩，，的定义域，先求232f log ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再求232f f log ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 【详解】∵函数()21211x x f x x x ⎧<=⎨+≥⎩，，，且23log 12<，∴232f log ⎛⎫ ⎪⎝⎭232322log ==，∴232f f log ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f （32）＝23142⨯+=. .故答案为：4.【点睛】本题主要考查分段函数求函数值，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14.已知向量a →，b →满足2b →=，向量a →，b →夹角为120︒，且a b b →→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，则向量a b →→+=________．6 【解析】【分析】由垂直得数量积为0，从而得a b ⋅r r，得a r ，然后把模的运算转化为数量积运算即得．【详解】由a b b →→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭得2()0a b b a b b +⋅=⋅+=uu r r r r r r ，2a b ⋅=-r r ，即cos1202a b ︒=-r r ，22a =ra b →→+=22222()2(22)2(2)(2)6a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+r r r r r r6．【点睛】本题考查求向量的模，解题关键是掌握向量的垂直、模与数量积的关系． 15.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2222c a b ab =+，8a =，1sin 23A =，则c =_______. 【答案】9 【解析】【分析】已知由余弦定理即可求得4C π=,由1sin23A =可求得22cos 23A =,即可求得sin A ,利用正弦定理即可求得结果.【详解】由余弦定理2222cos c a b ab C =+-和2222c a b ab =+-，可得2cos 2C =，得2sin C =，由1sin 23A =，22cos 2A =，42sin 2sin cos 22A A A ∴==sin sin a cA C=，得9c =. 故答案为:9.【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用,难度一般.16.大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房.蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF，侧棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且与平面ABCDEF垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成.瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园.英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B′C′D′＝109°28′16''.已知一个房中BB'＝53，AB ＝26，tan54°44′08''2=，则此蜂房的表面积是_____.【答案】2162【解析】【分析】表面积分两部分来求，一是底面，是三个全等的菱形，连接BD，B′D′，易得BD∥B′D′，BD ＝B′D′＝62，再根据∠B′C′D′＝109°28′16''，tan54°44′08''2=，得到OC′，B′C′，可计算菱形的面积，二是侧面，是六个全等的直角梯形，由B′C′，结合BB′，BC，得到CC′，求得梯形的面积，然后两部分相加即可.【详解】如图所示：连接BD ，B ′D ′，则由题意BD ∥B ′D ′，BD ＝B ′D ′＝2， ∵四边形OB ′C ′D ′为菱形，∠B ′C ′D ′＝109°28′16''，tan 54°44′08''2=∴OC ′＝21''25444'08B D tan ⋅=︒"2322=6，B ′C ′＝3， ∴CC ′＝BB ′22''BC BC --=3 ∴S 梯形BB ′CC ′(2653432==2，∴S 表面积＝62⨯316622⨯⨯⨯=2. 故答案为：2.【点睛】本题主要考查空间几何体的结构特征和表面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在等差数列{}n a 中，18a =-，243a a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设()()*412n n b n N n a =∈+，n T 为数列{}n b 的前n 项和，若95n T =，求n 的值. 【答案】（Ⅰ）210n a n =-；（Ⅱ）9n =. 【解析】【分析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差是d ，根据题中条件求出d 的值，利用等差数列的通项公式可求得数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求得1121n b n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，利用裂项相消法可求得n T ，然后解方程95n T =，可求得正整数n 的值.【详解】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差是d ，由18a =-，243a a =，得()8338d d -=-，解得2d =.因此，()11210n a a n d n =+-=-；（Ⅱ）设()()4411212221n n b n a n n n n ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭，11111121222122311n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，令95n T =，即192115n ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，得到9n =.【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于基础题.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底前ABCD 为平行四边形，点P 在面ABCD 内的射影为A ，1==PA AB ，点A 到平面PBC 的距离为3，且直线AC 与PB 垂直.（Ⅰ）在棱PD 找点E ，使直线PB 与平面ACE 平行，并说明理由；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥-P EAC 的体积.【答案】（Ⅰ）点E 为PD 中点时，直线PB 与面ACE 平行，理由见解析；（Ⅱ）112. 【解析】【分析】（Ⅰ）取PD 的中点E ，连接OE ，利用中位线的性质证得//OE PB ，进而可证得//PB 平面ACE ，由此可得出结论；（Ⅱ）推导出AC ⊥平面PAB ，由E 为PD 的中点，可得出12P ACE P ACD V V --=，进而可求得三棱锥-P EAC 的体积.【详解】（Ⅰ）点E 为PD 中点时直线PB 与面ACE 平行. 连接BD ，交AC 点O ，则点O 为BD 的中点，因为点E 为PD 中点，故OE 为PBD △的中位线，则//OE PB ，OE ⊂Q 平面ACE ，PB ⊄平面ACE ，所以，//PB 平面ACE ；（Ⅱ）根据题意AC PB ⊥，PA ⊥底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ，则有AC PA ⊥，PA PB P =I ，所以AC ⊥平面PAB ，则AC AB ⊥，设AC x =，2111113112323223P ACB A PBC V V x x --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯，得1AC =，则11111111223212P EAC P ACD V V --==⨯⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查线面平行的判断，同时也考查了利用等体积法求三棱锥的体积，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19.甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进.2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代人治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号.在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值.（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插钎处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图.（Ⅰ）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；（Ⅱ）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记根据以上直方图，完成列联表：标记不标记合计坡腰坡顶合计并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++.()2P K k≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828【答案】（Ⅰ）0.6；（Ⅱ）列联表见解析，有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关.【解析】【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图可估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；（Ⅱ）根据两幅频率分布直方图完善22⨯列联表，并根据列联表计算出2K的观测值，结合临界值表可得出结论.【详解】（Ⅰ）设“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”为事件C，()0.80.160.360.6P C=++=；（Ⅱ）完成列联表如下：标记不标记合计坡腰302050坡顶203050合计5050100根据列联表，计算得：()22100303020204 3.84150505050K⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯.所以有95%的把握认为，数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关.【点睛】本题考查利用频率分布直方图估计概率，同时也考查了独立性检验思想的应用，考查数据处理能力，属于基础题.20.已知点F为椭圆22221x ya b+=（a＞b＞0）的一个焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1.（1）求椭圆的标准方程；（2）若M、N在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM∥直线BN，直线AN、BM的斜率分别为k1和k2，求证：k1•k2＝e2﹣1（e为椭圆的离心率）.【答案】（1）22143x y+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1，则有31a ca c+=⎧⎨-=⎩求解.（2）由（1）可知，A（2，0），B（0，3），分别设直线AM的方程为y＝k（x﹣2），直线BN的方程为y＝kx3-M，N的坐标，再利用斜率公式代入k1•k2求解.【详解】（1）由题意可知，31a ca c+=⎧⎨-=⎩，解得21ac=⎧⎨=⎩，∴b 2＝a 2﹣c 2＝3，∴椭圆的标准方程为：22143x y +=；（2）由（1）可知，A （2，0），B （0，3），设直线AM 的斜率为k ，则直线BN 的斜率也为k ，故直线AM 的方程为y ＝k （x ﹣2），直线BN 的方程为y ＝kx 3-由()2234122x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩得：（3+4k 2）x 2﹣16k 2x +16k 2﹣12＝0， ∴221612234M k x k -=+，∴228634Mk x k -=+，21234M k y k -=+， ∴22286123434k M k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，，由2234123x y y kx ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得：()2234830k x kx +-=， ∴83N k x =，24333N k y -=， ∴2228343333434k k N k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，，∴()221243333433483244332k k k k k k k --+==--+- )()22222212334433348624334kk k k k k k k --++==--+， ∴k 1k 2()2234324433k k k -=--+•)()223443334243k k k -+=--，又∵12c e a ==， ∴k 1•k 2＝e 2﹣1.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法和直线与椭圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21.已知函数()21123ln 22f x x a x x =--+（a ∈R 且0a ≠）. （Ⅰ）当23a =()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）若0a >，讨论函数()f x 的单调性与单调区间；（Ⅲ）若()y f x =有两个极值点1x 、2x ，证明：()()129ln f x f x a +<-. 【答案】（Ⅰ）310x y +-=；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）证明见解析. 【解析】【分析】（Ⅰ）求出()1f 和()1f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（Ⅱ）求得()223x x af x -+-'=2230x x a -+-=，分>0∆和0∆≤两种情况讨论，分析()f x '的符号变化，可得出函数()y f x =的单调递增区间和递减区间；（Ⅲ）由题意可知，方程()0f x '=有两正根1x 、2x ，利用韦达定理得出1223x x +=12x x a =且()0,3a ∈，将所证不等式转化为ln ln 20a a a a --+>，构造函数()ln ln 2x x g x x x =--+，利用导数证明出当()0,3x ∈时，()0g x >即可.【详解】由题可知：函数()f x 的定义域为()0,∞+ （Ⅰ）因为23a =()211232322f x x x x =--+，所以()2323f x x x'=-，那么()11f '=-，()123f =所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为：()231y x -=--，即2310x y +-=；（Ⅱ）因为()22323a x x af x x x -+-'=-=2230x x a -+-=可得：①当1240a ∆=->，()0,3a ∈，时，有133x a =-233x a =-120x x >>，()20,x x ∈和()1,x x ∈+∞时()0f x '<，即函数()y f x =在(33a -和()33,a -+∞上为减函数；()21,x x x ∈时，()0f x '>，即函数()y f x =在33,33a a --上增函数；②当3a ≥时，0∆≤，()0f x '≤恒成立，所以函数()y f x =在()0,∞+为减函数. 综上可知：当0<<3a 时，函数()y f x =在(33a -和()33,a -+∞上为减函数，在33,33a a --上为增函数；当3a ≥时，函数()y f x =在(0,)+∞上为减函数；（Ⅲ）因为()y f x =有两个极值点1x 、2x ，则()2230x x af x x-+-'==有两个正根1x 、2x ，则有1240a ∆=->，且1223x x +=120x x a =>，即()0,3a ∈，所以()())()()2212121212123ln 1ln 72f x f x x x a x x x x a a a +=+--++=-++ 若要()()129ln f x f x a +<-，即要ln ln 20a a a a --+>，构造函数()ln ln 2x x g x x x =--+，则()1ln g x x x'=-，易知()y g x '=在()0,3上为增函数，且()110g '=-<，()12ln 202g '=->，所以存在()01,2x ∈使()00g x '=即001ln x x =，且当()01,x x ∈时()0g x '<，函数()y g x =单调递减；当()0,2x x ∈时，()0g x '>，函数()y g x =单调递增.所以函数()y g x =在()1,2上有最小值为()00000001ln ln 23g x x x x x x x ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭，又因为()01,2x ∈则00152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()00g x >在()01,2x ∈上恒成立，即()()129ln f x f x a +<-成立.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程、利用导数求解含参函数的单调区间以及利用导数证明不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为24cos πρα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，曲线C 2的直角坐标方程为24y x =-（1）若直线l 与曲线C 1交于M 、N 两点，求线段MN 的长度；（2）若直线l 与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，点P 在曲线C 2上，求AB AP ⋅u u u r u u u r的取值范围.【答案】（16（2）121AB AP ⎡⎤⋅∈-⎣⎦u u u r u u u r，2【解析】【分析】（1）将直线l 的参数方程消去参数，得到直角坐标方程，将圆C 1的极坐标方程，转化为直角坐标方程，然后利用“r ，d ”法求弦长.（2）将曲线C 2的直角坐标方程转换为参数方程为22x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（0≤θ≤π），由A （1，0），B （0，1），P （2cosθ，2sinθ），得到AB u u u r，AP u u u r的坐标，再利用数量积公式得到AB AP ⋅u u u r u u u r 2214sin πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，然后用正弦函数的性质求解.【详解】（1）直线l 的参数方程为212222x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消去参数，得直角坐标方程为x +y ﹣1＝0，因为曲线C 1的极坐标方程为24cos πρα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以222sin cos ρραρα=-所以直角坐标方程为x 2+y 2﹣2x +2y ＝0，标准式方程为（x ﹣1）2+（y +1）2＝2，所以圆心（1，﹣1）到直线x +y ﹣1＝0的距离d 222== 所以弦长|MN |＝222(2)()62-=（2）因为曲线C 2的直角坐标方程为24y x =-所以x 2+y 2＝40y ≥，转换为参数方程为22x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（0≤θ≤π）.因为A （1，0），B （0，1），点P 在曲线C 2上，故P （2cosθ，2sinθ），所以()11AB =-u u u r ，，()212AP cos sin θθ=-u u u r，，（0≤θ≤π），所以AB AP ⋅=u u u r u u u r 122cos sin θθ=-+214sin πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为30,444πππθπθ≤≤-≤-≤所以2124sin πθ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以121AB AP ⎡⎤⋅∈-⎣⎦u u u r u u u r，2.【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化，直线与圆的位置关系以及三角函数与平面向量，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数f （x ）＝|x ﹣1|+|2x +2|，g （x ）＝|x +2|﹣|x ﹣2a |+a .（1）求不等式f （x ）＞4的解集；（2）对∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f （x 1）≥g （x 2）成立，求a 的取值范围.【答案】（1）()513∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭，，（2）[﹣4，0] 【解析】【分析】（1）根据绝对值的几何意义，去掉绝对值()311311311x x f x x x x x --≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪+≥⎩，，，，再分类解不等式f （x ）＞4.（2）根据对∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f （x 1）≥g （x 2）成立，则f （x ）min ≥g （x ）min ，由（1）知， f （x ）min ＝2，g （x ）＝|x +2|+|x ﹣2a |+a ≥|（x +2）﹣（x ﹣2a ）|+a ＝|2a +2|+a ，解不等式2≥|2a +2|+a 即可.【详解】（1）因为()311311311x x f x x x x x --≤-⎧⎪=+-⎨⎪+≥⎩，，＜＜，，所以f （x ）＞4即为1314x x ≤-⎧⎨--⎩＞或1134x x -⎧⎨+⎩＜＜＞或1314x x ≥⎧⎨+⎩＞，解得53x -＜或x ＞1，所以不等式的解集为()513∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭，，；（2）由（1）知，当x ＝﹣1时，f （x ）min ＝2，g （x ）＝|x +2|+|x ﹣2a |+a ≥|（x +2）﹣（x ﹣2a ）|+a ＝|2a +2|+a ，由题意，对∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f （x 1）≥g （x 2）成立，故f （x ）min ≥g （x ）min ，即2≥|2a +2|+a ，所以2222a a a -≤+≤- 解得﹣4≤a ≤0，所以实数a 的取值范围为[﹣4，0].【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.。

2020届甘肃省高三第二次高考诊断考试数学(文)试题(解析版)

2020届甘肃省高三第二次高考诊断考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}12A x x =-≤≤，{}1,1B =-，则A B =I （） A ．{}1,1- B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}11x x -≤≤【答案】A【解析】根据集合交集的运算即可得解. 【详解】集合{}12A x x =-≤≤，{}1,1B =-，根据集合交集运算可知{}1,1A B =-I ，故选：A. 【点睛】本题考查了集合交集的简单运算，属于基础题. 2．若(1)(1)iz i i =-+，则z =（） A ．2i B ．0C ．i -D ．2i -【答案】D【解析】利用复数的除法运算，化简即可得解. 【详解】(1)(1)iz i i =-+，则由复数除法运算可得(1)(1)i i z i-+=22i i==-，故选：D. 【点睛】本题考查了复数的除法运算，属于基础题.3．已知向量(1,1)(2,3)a b =-=-r r，，则a b -=r r （）A B ．1C ．5D ．25【答案】C【解析】利用向量的坐标运算，可得a b -r r，再由模的运算即可得解.【详解】向量(1,1)(2,3)a b =-=-r r ，，则()(1,1)(2,3)3,4a b -=---=-r r，则()22345a b -=+-=r r ，故选：C. 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，向量模的求法，属于基础题.4．定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，()lg f x x =，则函数()f x 的零点个数为（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】B【解析】根据奇函数定义可得零点0x =，结合函数单调性及函数零点定义可得函数()f x 的其他零点，即可得解. 【详解】由奇函数定义可知，当定义域为R 时，(0)0f =，当0x >时，()lg f x x =，由()lg f x x =单调递增且(1)lg10f ==可知当0x >时有1个零点，根据奇函数性质可知，当0x <时也为单调递增，且(1)(1)0f f -=-=，综上可知，()f x 有3个零点，分别为0，1-，1. 故选：B. 【点睛】本题考查了奇函数意义，函数零点的意义及求法，属于基础题. 5．命题“2[0,),2020cos 0x x x ∀∈+∞->”的否定为（） A ．2000[0,),2020cos 0x x x ∃∈+∞-≤ B ．2000[0,),2020cos 0x x x ∀∈+∞-≤ C ．2000[0,),2020cos 0x x x ∃∉+∞-≤ D ．2000[0,),2020cos 0x x x ∀∉+∞-<【答案】A【解析】根据全称量词命题的否定即可得解. 【详解】根据全称量词命题的否定可知，“2[0,),2020cos 0x x x ∀∈+∞->”的否定为2000[0,),2020cos 0x x x ∃∈+∞-≤，故选：A. 【点睛】本题考查了含有量词命题的否定，属于基础题.6．2020年冬奥会申办成功，让中国冰雪项目迎来了新的发展机会，“十四冬”作为北京冬奥会前重要的练兵场，对冰雪运动产生了不可忽视的带动作用．某校对冰雪体育社团中甲、乙两人的滑轮、雪合战、雪地足球、冰尜（ga ）、爬犁速降及俯卧式爬犁6个冬季体育运动项目进行了指标测试（指标值满分为5分，分高者为优），根据测试情况绘制了如图所示的指标雷达图．则下面叙述正确的是（）A ．甲的轮滑指标高于他的雪地足球指标B ．乙的雪地足球指标低于甲的冰尜指标C ．甲的爬犁速降指标高于乙的爬犁速降指标D ．乙的俯卧式爬犁指标低于甲的雪合战指标【答案】C【解析】根据指标雷达图，分别判断各选项即可. 【详解】由指标雷达图可知：对于A ，甲的轮滑指标为4，雪地足球指标为4，所以A 错误；对于B ，乙的雪地足球指标为4，甲的冰尜指标3，所以B 错误；对于C ，甲的爬犁速降指标为5，乙的爬犁速降指标为4，所以C 正确；对于D ，乙的俯卧式爬犁指标为5，甲的雪合战指标为5，所以D 错误；综上可知，正确的为C ，故选：C. 【点睛】本题考查了读图分析能力，统计图表的简单应用，属于基础题.7．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若24410,24a a S +==，则1a 的值为（） A ．9 B ．1C ．9-D ．2-【答案】A【解析】根据等差数列通项公式及等差数列前n 项和公式，可得关于1,a d 的方程组，进而解方程组可得1a 的值. 【详解】根据等差数列通项公式及前n 项和公式可得241141310434242a a a d a d S a d +=+++=⎧⎪⎨⨯=+⨯=⎪⎩，解方程组可得192a d =⎧⎨=-⎩，故选：A. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式及等差数列前n 项和公式的简单应用，属于基础题.8．在棱长均相等的四面体OABC 中，,M N 分别是棱,OA BC 的中点，则异面直线MN 与AB 所成角的大小为（）A ．30°B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】B【解析】取OB 中点P ，AB 中点Q ，连接,,,MP PN CQ OQ ，则PMN ∠为异面直线MN 与AB 所成角，由线面垂直的判定定理可证明AB ⊥平面OCQ ，因而可知PM PN ⊥，从而可得MPN △为等腰直角三角形，即可得PMN ∠. 【详解】取OB 中点P ，AB 中点Q ，连接,,,MP PN CQ OQ ，由中位线定理可知//MP AB ,则PMN ∠（或补角）为异面直线MN 与AB 所成角，//,//MP AB PN OC ，,OQ AB CQ AB ⊥⊥且CQ OQ Q ⋂=，所以AB ⊥平面OCQ ，则AB OC ⊥，所以PM PN ⊥，四面体OABC 棱长均相等，则PM PN =，所以MPN △为等腰直角三角形，所以45PMN ∠=︒，故选：B. 【点睛】本题考查了异面直线夹角的求法，线面垂直的判定，属于中档题.9．兰州牛肉面是人们喜欢的快餐之一．现将体积为31000cm 的面团经过第一次拉伸成长为100cm 的圆柱型面条，再经过第二次对折拉伸成长为2100cm ⨯的面条，……，则经过五次对折拉伸之后面条的截面直径是（）（单位：cm ．每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计）A ．1031πB ．516πC ．10231D ．528π【答案】D【解析】拉伸之后面条数列为等比数列，可得拉伸后面条的数量；由圆柱的体积公式，结合等体积法即可求得拉伸后面条的截面半径，进而得拉伸后截面的直径. 【详解】经过五次对折拉伸之后面条的数量成等比数列，因而可知经过五次对折拉伸之后面条的长度为401002160⨯=，设拉伸五次后面条的截面半径为r ，由面团体积为31000cm 可得216001000r π⨯⨯=，解得58r π=528d π= 故选：D. 【点睛】本题考查了等比数列通项公式求法，圆柱体积公式及等体积法的应用，属于基础题.10．已知1F 、2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，1(2,0)F -，若双曲线的左支上有一点P ，满足122PF PF -=-，则该双曲线的渐近线方程为（） A ．3y x =± B ．3y x = C ．3y x =D ．13y x =±【答案】C【解析】根据双曲线定义可得a ，由焦点坐标可知c ，进而由222c a b =+可求得b ，即可得双曲线的渐近线方程. 【详解】双曲线的左支上有一点P ，满足122PF PF -=-，则由双曲线定义可得1222PF PF a -==，所以1a =，由1(2,0)F -，可知2c =，根据双曲线中222c a b =+，可得3b =所以渐近线方程为3by x x a=±=±，故选：C. 【点睛】本题考查了双曲线定义及几何性质的简单应用，渐近线方程的求法，属于基础题. 11．定义在R 上的函数()y f x =在(,1]-∞上单调递减，且(1)f x +是偶函数，则使(21)(3)f x f ->成立的x 的取值范围是（）A ．(1,)+∞B ．(,0)(2,)-∞+∞UC ．(0,1)D ．(,0)-∞【答案】B【解析】根据(1)f x +是偶函数，结合函数图像平移变换可知()y f x =关于1x =对称，再由函数()y f x =在(,1]-∞上单调递减可画出函数图像示意图，进而解不等式即可得解. 【详解】定义在R 上的函数()y f x =在(,1]-∞上单调递减，且(1)f x +是偶函数，所以()y f x =的图像关于1x =对称，示意图如下图所示：而()()31f f =-，且()y f x =在[)1,+∞单调递增，所以若(21)(3)f x f ->，需满足211x -<-或213x ->，解得0x <或2x >，所以使(21)(3)f x f ->成立的x 的取值范围为(,0)(2,)-∞+∞U ，故选：B. 【点睛】本题考查了函数单调性与对称性的综合应用，由单调性解不等式，正确画出函数图像示意图是解决此类问题常用方法，属于中档题.12．在“家校连心，立德树人——重温爱国故事，弘扬爱国主义精神社会课堂”活动中，王老师组建了一个微信群，群的成员由学生、家长、老师和讲解员共同组成.已知该微信群中男学生人数多于女生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数多于讲解员人数，讲解员人数的两倍多于男生人数.若把这5类人群的人数作为一组数据，当该微信群总人数取最小值时，这组数据的中位数是（） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】设讲解员人数为x ，由题意可依次表示出教师人数、家长人数、女学生人数、男学生人数，结合讲解员人数的两倍多于男生人数可确定讲解员人数的最小值，进而得各组人数，即可求得中位数. 【详解】设讲解员人数为x ，由题意教师人数多于讲解员人数，则教师人数1x ≥+，家长人数多于教师人数，则家长人数2x ≥+，女学生人数多于家长人数，则女学生人数3x ≥+，男学生人数多于女生人数，则男学生人数4x ≥+，而讲解员人数的两倍多于男生人数，则满足24x x >+，解得4x >，所以当该微信群总人数取最小值时5x =，则各组人数分别为讲解员5人，教师6人，家长7人，女学生8人，男学生9人，所以中位数为7. 故选：C. 【点睛】本题考查了不等式在实际问题中的应用，中位数的求法，正确理解题意是解决问题的关键，属于中档题.二、填空题13．已知函数2cos y x =定义域为[,]3ππ，值域为[,]a b ，则b a -=______．【答案】3【解析】根据定义域和值域，结合余弦函数的图像与性质即可求得,a b 的值，进而得解. 【详解】因为[]3,x ππ∈，由余弦函数的图像与性质可得1cos [1,]2x ∈-，则[]2cos 2,1y x =∈-，由值域为[,]a b 可得2,1a b =-=，所以()123b a -=--=，故答案为：3. 【点睛】本题考查了余弦函数图像与性质的简单应用，属于基础题.14．数列{}n a 中，已知111,2nn n a a a +=+=，则6a =______.【答案】21【解析】利用递推公式，即可得解. 【详解】数列{}n a 中，111,2nn n a a a +=+=，当1n =时，代入可得122a a +=，则21a =，当2n =时，代入可得234+=a a ，则33a =，当3n =时，代入可得348a a +=，则45a =，当4n =时，代入可得4516a a +=，则511a =，当5n =时，代入可得6532a a +=，则621a =，故答案为：21. 【点睛】本题考查了数列递推公式的简单应用，属于基础题.15．已知曲线4sin cos y a x x =-在点(0,1)-处的切线方程为1y x =-，则tan()6a ππ-=______．【答案】23【解析】根据导数的几何意义，即可求得a 的值，结合正切函数差角公式即可得解. 【详解】曲线4sin cos y a x x =-，则4cos sin y a x x '=+，曲线4sin cos y a x x =-在点(0,1)-处的切线方程为1y x =-，所以当0x =时，满足41y a '==，解得14a =，代入并由正切函数的差角公式可得tantan46tan 461tan tan 46ππππππ-⎛⎫-=⎪⎝⎭+⋅ 3132331-==+故答案为：23. 【点睛】本题考查了导数的几何意义简单应用，正切函数差角公式的简单应用，属于基础题. 16．“哪里有数，哪里就有美”（普洛克拉斯语），数学中到处充满着美的因素，闪烁着美的光辉．优美椭圆就是数学花园中绽放的美丽花朵之一，51-，所以也称为“黄金椭圆”，若记黄金椭圆的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，则FB AB ⋅=u u u r u u u r______．【答案】0【解析】根据椭圆标准方程及几何性质，即可求得,a c 关系，由,,F A B 的坐标，可得,FB AB u u u r u u u r，进而结合平面向量数量积的坐标运算得解.【详解】设椭圆的标准方程为()22221,0x y a b a b+=>>，则51c a -=51c -=()()(),0,,0,0,F c A a B b -，所以()(),,,FB c b AB a b ==-u u u r u u u r，由平面向量数量积的坐标运算可得()()222,,FB AB c b a b ac b ac a c ⋅=⋅-=-+=-+-u u u r u u u r22251510a ⎫=--=⎪⎪⎝⎭+-，故答案为：0. 【点睛】本题考查了椭圆几何性质的简单应用，离心率公式的简单应用，平面向量数量积的坐标运算，属于中档题.三、解答题17．已知ABCD 是矩形，2AD AB E F =，，分别是线段AB BC ，的中点，PA ⊥平面ABCD ．（1）求证：DF ⊥平面PAF ；（2）若在棱PA 上存在一点G ，使得//EG 平面PFD ，求AGAP的值．【答案】（1）详见解析；（2）14【解析】试题分析：（1）通过证明DF AF DF PA ⊥⊥，，然后再利用线面垂直的判定定理，即可证明DF ⊥平面PAF ；（2）过E 作//EH FD 交AD 于H ，则//EH 平面PFD ，且14AH AD =．再过H 作//HG PD 交PA 于G ，所以//GH 平面PFD ，且14AG PA =，所以平面//EHG 平面PFD ，进而满足题意．试题解析：（1）在矩形ABCD 中，因为2AD AB =，点F 是BC 的中点，所以45AFB DFC ∠=∠=︒．所以90AFD ∠=︒，即AF DF ⊥．又PA ⊥平面ABCD ，所以PA DF ⊥，所以DF ⊥平面PAF ．（2）过E 作//EH FD 交AD 于H ，则//EH 平面PFD ，且14AH AD =．再过H 作//HG PD 交PA 于G ，所以//GH 平面PFD ，且14AG PA =．所以平面//EHG 平面PFD ，所以//EG 平面PFD ，从而点G 满足14AG AP =．【考点】1．线面垂直的判定定理；2．面面平行的判定定理和性质定理．18．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,,a b c 且满足(2)cos cos 0a b C c B ++=．（1）求角C ；（2）若ABC V 的面积83=S 421R =ABC V 的周长．【答案】（1）23C π=（2）127+【解析】（1）根据正弦定理，将变化为角，结合正弦函数的和角公式即可得解.（2）根据外接圆半径及正弦定理可求得c ，结合三角形面积公式可得ab ，代入余弦定理可得+a b ，进而得ABC V 的周长．【详解】（1）()2cos cos 0a b C c B ++=，由正弦定理得2sin cos sin cos cos sin 0A C B C B C ++=. 即()2sin cos sin sin A C B C A =-+=-，又sin 0A ≠，故1cos 2C =-，又0C π<<，所以23C π=（2）由23C π=，4213R =及2sin c R C =，可得47c =又1213sin 832322S ab ab π==⨯=32ab =，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得(22222cos 473a b ab π+-=，即()222112a b ab a b ab ++=+-=，又32ab =，故12a b +=. 所以1247a b c ++=+ 即ABC V 的周长为1247+【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式的用法，属于基础题. 19．某农科院为试验冬季昼夜温差对反季节大豆新品种发芽的影响，对温差与发芽率之间的关系进行统计分析研究，记录了6天昼夜温差与实验室中种子发芽数的数据如下：日期1月1日 1月2日 1月3日 1月4日 1月5日 1月6日温差x （摄氏度） 10 11 12 13 8 9 发芽数y （粒） 262730322124他们确定的方案是先从这6组数据中选出2组，用剩下的4组数据求回归方程，再用选取的两组数据进行检验.（1）求选取的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据的误差不超过1粒，则认为得到的线性回归方程是可靠的.请根据1月2，3，4，5日的数据求出y 关于x 的线性回归方程（保留两位小数），并检验此方程是否可靠.参考公式：1122211()()()ˆn niii ii i nni ii i x x y y x y nx ybx x xnx====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =- 【答案】（1）13（2） 2.21 3.19y x =+.可靠【解析】（1）先求得从6组数据中任选2组数据的基本事件个数，再得相邻2天数据事件个数，即可得选取的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（2）根据所给数据，分别求得x y ，，代入公式可得$ˆ,ba ，进而得回归直线方程；分别再代入10x =，9x =检验即可判断. 【详解】（1）从6组数据中任选2组数据，共有15个基本事件，()()()()()1.1,1.2,1.1,1.3 1.1,1.4 1.1,1.5 1.1,1.6，()()()()1.2,1.3 1.2,1.4 1.2,1.5 1.2,1.6，()()()1.3,1.4 1.3,1.5 1.3,1.6，()()1.4,1.5 1.4,1.6，()1.5,1.6.记这2组数据恰好是相邻两天数据为事件A ，则A 中有()()()()()1.1,1.2 1.2,1.3 1.3,1.4 1.4,1.5 1.5,1.6，共5个基本事件，故()51153P A ==. （2）()11113128114x =+++=， ()2730322127.541y =+++=，所以()()11271230133282141127.512411210ˆ 2.21121169144644121498484b⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯-==≈+++-⨯-ˆ27.5 2.2111 3.19a=-⨯=. 所求的回归方程为 2.21 3.19y x =+.当10x =时，25.29y =，25.29261-<，当9x =时，25.08y =，23.08241-<. 故此线性回归方程是可靠的. 【点睛】本题考查了古典概型概率的求法，线性回归方程的求法及简单应用，属于基础题. 20．已知圆E 与圆22:(2)1F x y -+=相外切，且与直线10x +=相切．（1）记圆心E 的轨迹为曲线G ，求G 的方程；（2）过点(3,2)P 的两条直线12,l l 与曲线G 分别相交于点,A B 和,C D ，线段AB 和CD 的中点分别为,M N .如果直线1l 与2l 的斜率之积等于1，求证：直线MN 经过定点．【答案】（1）28y x =（2）见解析【解析】（1）根据抛物线定义可知圆心E 的轨迹为抛物线，进而可得其轨迹方程. （2）由题意可设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为1k，表示出直线AB 的方程，联立直线与抛物线方程即可求得交点M 的坐标，进而以1k代替点M 坐标中的k ，可得点N 的坐标；即可表示出直线MN 的斜率及其方程，进而得所过定点的坐标. 【详解】（1）依题意EF 等于E 到直线20x +=的距离，故所求轨迹是以()2,0F 为焦点，以2x =-为准线的抛物线. 故其轨迹G 的方程为28y x =.（2）依题意直线12,l l 斜率都存在且均不为0，故设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为1k. 直线AB 的方程为()23y k x -=-，即为()32y k x =-+.由()2328y k x y x⎧=-+⎨=⎩消去x 整理得2824160ky y k --+=，所以8A B y y k +=，点M 的坐标为24243,kk k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，以1k代替点M 坐标中的k ，可得点N 的坐标为()2423,4k k k -+，所以直线MN 的斜率222 1141142 21MNk k k k k k k k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫--- ⎪==⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭，所以直线MN 的方程为()224423121y k x k k k k ⎡⎤-=--+⎣⎦⎛⎫+- ⎪⎝⎭，即1112k y x k⎛⎫+-=+⎪⎝⎭.故MN 经过定点()1,0-. 【点睛】本题考查了抛物线定义及方程的求法，直线与抛物线的位置关系及应用，直线过定点的求法，属于中档题.21．已知函数2()[(25)85]()x f x e x a x a a R =+--+∈．（1）当1a =时，求函数()f x 的极值；（2）当[0,2]x ∈时，若不等式2()2f x e ≥恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）极大值为27e ，极小值为33e -.（2）252,8e ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦ 【解析】（1）将1a =代入解析式，求得()f x '并令()0f x '=，求得极值点；由导函数的符号，可判断函数()f x 的单调性，进而求得其极值.（2）根据解析式求得()f x '，并令()0f x '=，求得极值点；讨论a 的取值范围，即可由最值及不等式求得符合题意的a 的取值范围．【详解】（1）由1a =得()()233xf x e xx =--，故()()()()2623xx f x exx e x x '=--=+-.令()0f x '=，解得2x =-或3x =，由()0f x '>，得2x <-或3x >，所以()f x 在() ,2-∞-和()3,+∞单调递增，由()0f x '<，得23x -<<，所以()f x 在()2,3-单调递减. 所以()f x 极大值为()272f e-=，极小值为()333f e =-. （2）()()()23xf x e x a x '=+-，[]0,2x ∈，令()()()230xf x ex a x '=+-=，得12x a =-，23x =，（i ）当20a -≤，即0a ≥时，()f x 在()0,2单调递减，依题意则有()()222412f a e e =-+≥成立，得34a ≤-，此时不成立；（ii ）当022a <-<，即 10a -<<时，()f x 在()0,2a -上单调递增，在()2,2a -上单调递减，依题意则有()()()2220852,2412,f a e f e a e ⎧=-+≥⎪⎨=--≥⎪⎩得252834e a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，由于25218e -<-，故此时不成立；（iii ）当22a -≥，即1a ≤-时，()f x 在()0,2上单调递增，依题意则有()202f e ≥，得2528e a -≤ 综上，a 的取值范围是252,8e ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了导数与函数单调性和极值的关系，由导数求函数的单调性与最值，根据不等式求参数的取值范围的应用，分类讨论思想的综合应用，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为222x a y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos θρθ=-．（1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 坐标为(,2)a ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，且4PA PB =，求实数a 的值．【答案】（1）20x y a --+=，()220y x x =≠.（2）4225或269. 【解析】（1）根据参数方程，消参后可得直线l 直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标方程转化关系，即可得曲线C 的直角坐标方程；（2）将直线参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，并设,A B 两点对应参数为1t ，2t ，即可由韦达定理及4PA PB =求得a 的值．【详解】（1）直线l 的参数方程为222x a y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线l 直角坐标方程为20x y a --+=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入C 即得，曲线C 的直角坐标方程为()220y x x =≠.（2）将2,222,2x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22y x =，化简得222480t t a +-+=，由判别式>0∆得32a >，设,A B 两点对应参数为1t ，2t ，则1222t t +=-1284t t a =-，依题意有124t t =，即124t t =±，代入解得4225a =或269a =，均满足32a >，所以实数a 的值为4225或269. 【点睛】本题考查了参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线参数方程的几何意义，由韦达定理求参数值，属于中档题. 23．已知函数22()44441f x x x x x =-+-+（1）解不等式()(2)f x f ≥；（2）若关于x 的不等式25()2f x t t ≤-在[0,3]上无解，求实数t 的取值范围．【答案】（1）{|0x x ≤或2}x ≥.（2）132t t ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【解析】（1）根据函数解析式，化简变形为绝对值形式，利用分类讨论法即可解不等式，求得解集.（2）根据不等式无解，结合绝对值不等式求得最小值，即可由恒成立问题求得t 的取值范围. 【详解】（1）函数()()()22221|2||21|f x x x x x =--=-+-，不等式可化为|2||21|3x x -+-≥，即12333x x ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩，12213x x ⎧<<⎪⎨⎪+≥⎩或2333x x ≥⎧⎨-≥⎩，解得0x ≤或2x ≥.所以不等式的解集为{|0x x ≤或2}x ≥.（2）由于()133,,212211,2,233,2,x x f x x x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=-+-=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩当[]0,3x ∈时，()min 32f x =，不等式()252f x t t ≤-在[]0,3上无解，则有()2min 5322t t f x -<=，解得132t -<<.故所求t 的取值范围为132t t ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查了分类讨论解绝对值不等式，含参数绝对值不等式的解法，属于中档题.。

甘肃省2020届高三年级第二次高考诊断考试数学(文科)试题含答案

．
6
16．“哪里有数，哪里就有美”（普洛克拉斯语），数学中到处充满着美的因素，闪烁着美的光辉．优美椭圆
就是数学花园中绽放的美丽花朵之一，它的离心率为 5 −1 ，所以也称为“黄金椭圆”，若记黄金椭圆的左 2
3
焦点为 F，右顶点为 A，上顶点为 B，则 FB AB =
．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题；共 60 分。
17．（12 分）
如图所示，在矩形 ABCD 中，AD=2AB，E、F 分别为矩形 AB，BC 的中点，PA⊥平面 ABCD.
（1）求证：DF⊥平面 PAF；
（2）若在棱 PA 上存在一点 G，使得 EG∥平面 PDF，求 AG 的值. A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，且满足 (2a + b) cos C + c cos B = 0．
（1）求选取的 2 组数据恰好是相邻 2 天数据的概率；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据的误差不超过 1 粒，则认为得到的线性回归方程是可靠的.请根据 1 月 2，3，4，5 日的数据求出 y 关于 x 的线性回归方程（保留两位小数），并检验此方程是否可靠.
B． x0 [0,+)，x02 − 2020 cos x0 0
C． x0 [0,+)，x02 − 2020 cos x0 0
D． x0 [0,+)，x02 − 2020 cos x0 0
6．某校对冰雪体育社团中甲、乙两人的滑轮、雪合战、雪地足球、冰尜（ga）、爬犁速降及俯卧式爬犁 6 个冬季体育运动项目进行了指标测试（指标值满分为 5 分，分高者为优），根据测试情况绘制了如图所示的指标雷达图．则下面叙述正确的是

2020年兰州市一诊文数

50
（万只）
30
草地植被 1.1 4.3 15.6 31.3 49.7 指数
10
羊只数量（万只）
-10 0
0.5
1
1.5
2
表1
图1
根据表 1 及图 1 得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两
变量间的相关系数为 r1 ，去掉第一年数据后得到的相关系数为 r2 ，则 r1 r2 ；③可以利用回归直线方程，
ABD = 60o ，则异面直线 AB 与 DE 所成角的正弦值为（）
A. 3 2
B. 2
C. 3
D. 1
2
3
3
10.已知函数 f ( x) = sinx (sinx + cosx)( 0) ，若函数 f ( x) 的图象与直线 y = 1在 (0, ) 上有 3 个
不同的交点，则的范围是（）
A.1+ 2 5
B.2 5
C. 17
D.5
12.已知定义在 R 上的函数 f ( x) ， f ' ( x) 是 f ( x) 的导函数吗，且满足 xf ' ( x) − f ( x) = x2ex ， f (1) = e ，
则 f ( x) 的最小值为（）
A. −e
B. e
C. 1
e
D. − 1 e
15. 在 ABC 中， a,b, c 分别为角 A, B,C 所对的边，且 c2 = a2 + b2 − 2ab ， a = 8 ， sin A = 1 ，则 23
c = ______.
16.大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房，蜂房的结构如图所示，开口为
正六边形 ABCDEF ，侧棱 AA' 、 BB' 、 CC ' 、 DD' 、 EE' 、 FF ' 相互平行且与平面 ABCDEF 垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成，瑞士数学家克尼格利

2020届甘肃省高三第一次高考诊断考试数学(文)试题

21．函数（且）．
（1）若，判断函数的单调性；
（2）当时，求证：的图象恒在函数的图象的下方．
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为： .
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求取得最大值时直线的直角坐标方程.
4．B
【分析】
先求出，再利用求出，再求 .
【详解】
解：
由，所以
，
，，
故选：B
【点睛】
考查向量的数量积及向量模的运算，是基础题.
5．B
【分析】
根据双曲线的一个焦点坐标求出的值，进而可得出双曲线的渐近线方程.
【详解】
由于双曲线的一个焦点为，则，
双曲线的标准方程为，其渐近线方程为 .
故选：B.
23．已知函数，不等式的解集为 .
（1）求实数，的值；
（2）若，，，求证： .
参考答案
1．D
【分析】
利用并集的定义可求得集合 .
【详解】
，，因此， .
故选：D.
【点睛】
本题考查并集的计算，考查计算能力，属于基础题.
2．A
【分析】
利用复数的乘法计算得出复数，再利用共轭复数的定义可求得复数 .
2020届甘肃省高三第一次高考诊断考试数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，，则（）
A． B． C． D．

2020年4月甘肃省2020届第一次高考诊断考试文科数学答案

解：（1）当 a 2 时， f (x) ln x+x2 -3x 的定义域为 (0, ) ，
f '(x) 1 2x 3 2x2 3x 1 (x 1)(2x 1) ,
x
x
x
所以
f
(x)
在
0，1 2
和
1，
上单调递增，
f
(x)
在
12，1
单调递减.
…………5
分
(2)令 g(x) f (x) [ 1 a(x 1)2 ] ln x x a (x 0).
……………………12 分（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡
上将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评
分；多答按所答第一题评分。
22.（本题满分 10 分）
解：（1）曲线 C1 : 2cos ，曲线 C2 ： x2
可化为 an1 1 2(an 1) ，
故数列an 1 是以 a1 1 2 为首项，2 为公比的等比数列.
即 an 1 (a1 1) 2n1 2n ，所以 an 2n 1 .
…………………6 分
（2）由（1）知，数列an 2n 的通项为： an 2n 2n 2n 1 ，
所以 Sn (21 22 23 2n ) (1 3 5 2(1 2n ) n2 2n1 n2 2.
1 2
2n 1)
…………………12 分
18. （本题满分 12 分）
解：（1）由列表可得：
K2
n(ad bc)2
= 100 26 20-30 242 = 50 0.649 3.841 .
(a b)(c d)(a c)(b d )

甘肃省2020届高三年级第二次诊断考试数学(文科)试题(含答案)

2020年甘肃省第二次高考诊断考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}21≤≤-=x x A ，{}1,1-=B ，则B A I =A ．{}1,1-B ．{}1,0C ．{}1,0,1-D ．{}11≤≤-x x2．若)1)(1(i i iz +-=，则zA ．i 2B ．0C ．i -D ．i 2-3．已知向量)3,2()1,1(-=-=b a ，b a =A ．5B ．1C ．5D ．254．定义在R 上的奇函数)(x f ，当0>x 时，x x f lg )(=，则函数)(x f 的零点个数为A ．4B ．3C ．2D ．15．命题“0cos 2020),0[2>-+∞∈∀x x x ，”的否定为A ．0cos 2020),0[0200≤-+∞∈∃x x x ，B ．0cos 2020),0[0200≤-+∞∈∀x x x ，C ．0cos 2020),0[0200≤-+∞∉∃x x x ，D ．0cos 2020),0[0200<-+∞∉∀x x x ， 6．2020年冬奥会申办成功，让中国冰雪项目迎来了新的发展机会，“十四冬”作为北京冬奥会前重要的练兵场，对冰雪运动产生了不可忽视的带动作用．某校对冰雪体育社团中甲、乙两人的滑轮、雪合战、雪地足球、冰尜（ga ）、爬犁速降及俯卧式爬犁6个冬季体育运动项目进行了指标测试（指标值满分为5分，分高者为优），根据测试情况绘制了如图所示的指标雷达图．则下面叙述正确的是A ．甲的轮滑指标高于他的雪地足球指标B ．乙的雪地足球指标低于甲的冰尜指标C ．甲的爬犁速降指标高于乙的爬犁速降指标D ．乙的俯卧式爬犁指标低于甲的雪合战指标7．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若2410442==+S a a ，，则1a 的值为A ．9B ．1C ．9-D ．2-8．在棱长均相等的四面体OABC 中，M ，N 分别是棱OA ，BC 的中点，则异面直线MN 与AB 所成角的大小为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9．兰州牛肉面是人们喜欢的快餐之一．现将体积为1000cm 3的面团经过第一次拉伸成长为100cm 的圆柱型面条，再经过第二次对折拉伸成长为2×100cm 的面条，……，则经过五次对折拉伸之后面条的截面直径是（单位：cm ．每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计）A ．π31102B ．π1652C ．31102D ． π852 10．已知21F 、F 分别是双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点，)0,2(1-F ，若双曲线的左支上有一点P ，满足221-=-PF PF ，则该双曲线的渐近线方程为A ．x y 3±=B ．x y 33±=C ．x y 3±=D ．x y 31±= 11．定义在R 上的函数)(x f y =在]1,(-∞上单调递减，且)1(+x f 是偶函数，则使)3()12(f x f >-成立的x 的取值范围是A ．),1(+∞B ．),2()0,(+∞-∞YC ．)1,0(D ．)0,(-∞12．在“家校连心，立德树人——重温爱国故事，弘扬爱国主义精神社会课堂”活动中，王老师组建了一个微信群，群的成员由学生、家长、老师和讲解员共同组成.已知该微信群众男学生人数多于女生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数多于讲解员人数，讲解员人数的两倍多于男生人数.若把这5类人群的人数作为一组数据，当该微信群总人数取最小值时，这组数据的中位数是A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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