整式乘法的完全平方公式
完全平方公式在数学运算中的作用
完全平方公式在数学运算中的作用摘要：“完全平方公式”是初中数学中运用最广泛的公式，是代数运算的基础公式，在初中阶段的教学中具有重要地位，是进行代数运算与变形的重要知识基础。
运用这一公式可以迅速而简捷地计算出符合公式特征的多项式乘法的结果，不能乱套公式。
特别对于初学者来说，要通过具体的、学生易出错的例子让学生正确理解公式中的字母a和b的真正含义。
关键词：应用；基础公式；简捷；正确理解“完全平方公式”是初中数学中应用最广泛的公式，是代数运算的基础公式。
它在整式乘法、因式分解、分式运算及其他代数式的变形中起着十分重要的作用。
它是构建学生有价值的数学知识体系并形成相应数学技能的重要内容；它是让学生感悟换元思想，感受数学的再创造性的好教材。
在初中阶段的教学中具有重要地位。
所以对这个公式的教学要求很高，需要每一名学生都必须熟练掌握这个公式，从而灵活运用公式。
但是，许多学生在学习这个公式后，仍对其来源、形成过程理解不透彻，对其结构形式记忆模糊，并未深刻领悟到公式的本质。
作为整式的乘法公式，北师大版教科书把完全平方公式安排在整式的乘除这一章的第六节，前五节先让学生掌握整式乘法的各项法则，当学生熟练掌握多项式与多项式的乘法后，再让学生利用多项式乘法法则计算，从而推导完全平方公式，并由找规律得出公式的猜想，再通过几何面积验证方法来验证公式猜想的正确性，从而由代数探究及几何论证来得出公式.完全平方公式是进行代数运算与变形的重要知识基础。
重点是对完全平方公式的熟记及应用。
难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。
运用这一公式可以迅速而简捷地计算出符合公式特征的多项式乘法的结果.但运用公式计算一定要看是否符合公式的特征，不能乱套公式。
特别对于初学者来说，要通过具体的、学生易出错的例子让学生正确理解公式中的字母a和b的真正含义。
在教学完全平方公式后反思学生中常见错误有：①学生难于跳出原有的定式思维，如典型错误；（错因：在公式的基础上类推，随意“创造”）②混淆公式与；③运算结果中符号错误；④变式应用对初学者来说更难于掌握.现结合教授完全平方公式的实践经验对完全平方公式作如下解析：一、概念理解完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2这就是说，两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或者减去)它们的积的2倍，这个公式叫做乘法的完全平方公式．公式的结构特征：左边是二项式的完全平方，右边是三项式．如果左边二项式各项分别用首项、尾项代表，那么右边三项可以记作：首平方，尾平方，首尾2倍乘积写中央；积的符号由二式项系数符号来确定，二项式系数符号同号，则积的符号为正；二项式系数符号异号，则积的符号为负，平方项前面均为正号.在运用完全平方公式（a±b）2 = a2±2ab+b2解题时，应注意掌握公式中各项的特征，明确公式中的“两数”的意义.在公式中，字母a，b可以表示一个具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式.例如：在运用公式（a-b）2 = a2-2ab+b2计算(-2b2-5a)2时“-2b2”就是公式中的a，“5a” 就是公式中的“b”.二、把握运用公式四步曲1.“察”：计算时，要先观察题目特点是否符合公式的条件，若不符合，应先变形为符合公式的形式，再利用公式进行计算，若不能变为符合公式的形式，则应运用相应乘法法则进行计算．2.“导”：正确地选用完全平方公式，关键是确定式子中a、b分别表示什么数或式．3.“算”：注意每步的运算依据，即各个环节的算理.4.“验”：完成运算后学会检验，既回过头来再反思每步的计算依据和符号等各方面是否正确无误，又可通过多项式的乘法法则进行验算，确保万无一失.三、掌握运用公式常规四变1.变符号例1.运用完全平方公式计算：（1）；（2）；方法一：把两式分别变形为：再用公式计算.方法二：把两式分别变形为：后直接用公式计算.方法三：把两式分别变形为：后直接用公式计算.2.变项数：例2.计算： .分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾.所以在运用公式时，可先变形为或[a+（b+c）] 或，再进行计算。
初中数学 完全平方公式的五种常见应用举例
完全平方公式的五种常见应用举例完全平方公式是整式乘法中最重要的公式之一在运用完全平方公式时，必须掌握一些使用技巧，才能灵活应用公式，其中包括“顺用”、“逆用”、“顺逆联用”，以及“特例应用”和“变形应用”等.下面举例说明.一、正用根据算式的结构特征，由左向右套用. 例1 计算22(23)m m -- 分析 本题是一个三项式的平方，可考虑将三项式中任意两项组合成一个整体，使其转化为一个二项式的平方，然后再运用完全平方公式便可以顺利求解.解 22(23)m m --22[(2)3]m m =--222(2)6(2)9m m m m =---+4322446129m m m m m =-+-++43242129m m m m =--++思考 本题中三项式转化为二项式的根据是什么?还有其它的方法吗? 二、逆用将公式逆向使用，即由右向左套用.例2 己知，，，则多项式20172018a x =+20172019b x =+20172020c x =+的值为( )222a b c ab bc ac ++--- (A) 0 (B)1 (C)2 (D)3分析观察本题已知条件，直接代入求值困难.但换个角度仔细观察多项式的结构就不难发现，该多项式的2倍恰好是3个完全平方公式的右端，于是逆用完全平方公式，就可以得到，而，，的值可求，故本题巧妙得解.222()()()a b b c c a -+-+-a b -b c -c a -解 ∵20172018a x =+20172019b x =+20172020c x =+∴，，1a b -=-1b c -=-2c a -=∴222a b c ab bc ac ++---2221(222222)2a b c ab bc ac =++---2222221(222)2a ab b b bc c c ac a =-++-++-+2221[()()()]2a b b c c a =-+-+-2221[(1)(1)2]2=-+-+3=应选D.三、正逆联用根据已知条件和待求式特征，有正用、又逆用，即综合运用.例3 (全国初中数学竞赛试题)已知，且，则21()()()4b c a b c a -=--0a ≠b c a +.= 分析 欲求的值，则需要明与之间的等量关系.而题目中的已知条件刚好就b c a+b c +a 是、、之间的关系式，于是将条件等式进行化简变形，明确与之间的关系，a b c b c +a 应该是一条即常规又恰当的选择.解 由已知，得2()4()()b c a b c a -=--22224444b bc c ac bc ab a ∴-+=-+-2222(44)40b bc c ab ac a ∴++-++=22()4()40b c a b c a ∴+-++=把和分别看成一个“整体”，再逆用完全平方公式，得b c +2a 2[()2]0b c a +-=，20b c a ∴+-=2b c a+=.22b c a a a+∴== 四、特例应用在完全平方公式中，如果，那么222()2a b a ab b +=++0ab =222()a b a b+=+反之，若，则一定有.222()a b a b +=+0ab =例5 若满足，则.n 22(2017)(2019)4n n -+-=(2019)(2017)n n --= 分析 若设，，则很容易验证，这正好2017n a -=2019n b -=222()a b a b +=+符合上面完全平方公式特例.据此，本题迎刃而解.解 设，，2017n a -=2019n b -= 则，2()4a b +=又已知224a b +=∴222()a b a b+=+于是0ab =∴(2019)(2017)n n --=(2017)(2019)n n --0ab ==五、变形应用由完全平方公式，易得如下的两个最常见的变形公式:222()2a b a ab b ±=±+①2222()2()2a b a b ab a b ab+=+-=-+②22()()4a b a b ab-=+-(或)221[()()]4ab a b a b =+-- 活用上面变形公式，常常会使问题化难为易，取得奇妙的解题效果。
《完全平方公式》整式的运算
算2023-11-06CATALOGUE 目录•整式运算的基本概念•《完全平方公式》的推导与证明•《完全平方公式》在整式运算中的应用•《完全平方公式》的拓展与延伸•练习与思考01整式运算的基本概念整式单项式与多项式的统称，是基本的数学概念之一。
分类按项数可分为单项式和多项式，按次数可分为一次、二次、三次等。
整式的定义与分类加减法乘法除法多项式乘以多项式，按分配律展开，再合并同类项。
多项式除以多项式，转化为乘法，再合并同类项。
03整式的运算规则02 01合并同类项，系数相加减，字母及指数不变。
交换两个整式的顺序，结果不变。
整式的性质交换律结合两个整式的乘除法，结果不变。
结合律分配两个整式的乘除法，结果不变。
分配律02《完全平方公式》的推导与证明《完全平方公式》的推导过程运用多项式的展开与合并利用乘法分配律借助完全平方数的性质利用多项式的恒等变形拆项、分组、配方证明结论：两数平方和加上或减去两倍乘积，等于两倍乘积的和或差。
《完全平方公式》的证明方法《完全平方公式》的应用举例求解一元二次方程利用完全平方公式转化为一元一次方程求出方程的根•证明一些等式或不等式•利用完全平方公式进行恒等变形•证明等式或不等式成立•在整式的运算中，《完全平方公式》是一个非常重要的内容。
它不仅在求解一元二次方程中有着广泛的应用，还可以用于证明一些等式或不等式。
通过掌握《完全平方公式》的推导过程和证明方法，可以更好地理解整式的运算法则，提高数学运算能力。
03《完全平方公式》在整式运算中的应用完全平方公式可以简化整式乘法运算，提高计算效率。
总结词在整式乘法中，如果两个多项式相乘，我们可以通过将两个多项式的每一项分别相乘得到结果，然后合并同类项。
但是，如果使用完全平方公式，可以将两个多项式的乘积表示为另一个多项式，从而简化计算过程。
例如，$(a+b)(a^2+2ab+b^2)=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$，通过完全平方公式，我们可以快速得到结果。
整式乘法公式
整式乘法公式第五课时：完全平方公式和平方差公式一、公式及其变形1.完全平方公式：a+b)² = a² + 2ab + b² = a² - 2ab + b²2.平方差公式：a+b)(a-b) = a² - b²3.立方和公式和立方差公式：a+b)³ = a³ + b³ + 3ab(a+b)a-b)³ = a³ - b³ - 3ab(a-b)4.归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：①位置变化：(x+y)(-y+x) = x-y②符号变化：(-x+y)(-x-y) = x-y③指数变化：(x+y)(x-y) = x² - y²④系数变化：(2a+b)(2a-b) = 4a² - b²⑤换式变化：[xy+(z+m)][xy-(z+m)] = xy - (z+m)² = xy - z²- 2zm - m²⑥增项变化：(x-y+z)(x-y-z) = (x-y)² - z² = x² - 2xy + y² - z⑦连用公式变化：(x+y)(x-y)(x+y) = (x-y)(x+y)² = x² - y²⑧逆用公式变化：(x-y+z)-(x+y-z) = [(x-y+z)+(x+y-z)][(x-y+z)-(x+y-z)] = 2x(-2y+2z) = -4xy+4xz二、公式的灵活运用的经典例题1.已知ab=1，a+b=2，求a²+b²的值。
解：根据完全平方公式，(a+b)² = a² + 2ab + b²，代入已知条件得到a²+b²=2²-2×1=2.2.已知ab=2，a+b=3，求a-b的值。
完全平方公式2
完全平方公式的使用： 完全平方公式的使用： 在做题过程中一定要注意符号问题和正确 认识a 表示的意义，它们可以是数、 认识a，b表示的意义，它们可以是数、也 可以是单项式还可以是多项式， 可以是单项式还可以是多项式，所以要记 得添括号。 得添括号。 解题技巧： 解题技巧： 在解题之前应注意观察思考， 在解题之前应注意观察思考，选择不同的 方法会有不同的效果，要学会优化选择。 方法会有不同的效果，要学会优化选择。
(a 解: (a+b+3) (a+b−3) −3 (a (a =[ (a+b) +3 ][ (a+b)− 3 ] =( a+b )2−( 3 )2 =a2 +2ab+b2 − 9.
温馨提示：将(a+b)看作一个 温馨提示： (a+b)看作一个 整体， 整体，解题中渗透了整体的 思想
合并同类项 平方差公式 单项式乘多项式.
观察 & 思考
解: (1) 方法一
完全平方公式
(x+3)2-x2 =x2＋6x+9-x2 6x+9=6x+9
(x+3)2-x2 =(x+3+x)(x+3=(x+3+x)(x+3-x) =(2x+3)·3=6x+9
学一学
三项能看成两项吗? ☾ 三项能看成b+3)(a-b-3) (1)(a-b+3)(a(2) (x-2)(x+2)-(x+1)(x-3) (x-2)(x+2)-(x+1)(x(3) (ab+1)2-(ab-1)2 (ab(4) (2x-y)2-4(x-y)(x+2y) (2x- 4(x-
北师大版七年级下册数学《第一章 整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解!
北师大版七年级下册数学《第一章整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解！1.完全平方公式：(a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
2.派生公式：(a+b)2-2ab=a2+b2(a-b)2+2ab=a2+b2(a-b)2+(a+b)2=2(a2+b2) (a+b)2-(a-b)2=4ab考点解析完全平方公式是进行代数运算与变形的重要知识基础。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，叫做完全平方公式。
为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
理解公式左右边特征(一)学会推导公式(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随意“创造”的不正确性;(二)学会用文字概述公式的含义：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.都叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式.(三)这两个公式的结构特征是：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍;2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内);3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式.(四)两个公式的统一：因为所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。
这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。
《完全平方公式》说课稿
《完全平方公式》说课稿（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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人教版八年级数学上册《公式法》整式的乘法与因式分解PPT精品课件
-1
1
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1×(-2)+1×(-1)=-3
(2)
1
-2
1
5
1×5+1×(-2)=3
解：(1) x2-3x+2=(x-1)(x-2)； (2) x2+3x-10=(x-2)(x+5).
随堂练习
x(x+2)(x+3)
1.（2019·淄博）分解因式：x3+5x2+6x=___________.
分析：x3+5x2+6x
(1)当多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；当
多项式的各项没有公因式时（或提取公因式后），若
符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解
因式；
(2)当不能直接提取公因式或用公式法分解因式时，可
根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用
公式法的形式，再分解因式；
(3)当乘积中的每一个因式都不能再分解时，因式分解
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公
因式提取出来，将多项式写成公因式与另外一个因式
的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
提公因式法一般步骤：
(1)确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指
数；
(2)提公因式并确定另外一个因式：用多项式除以公因
式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式；
1
2
=x(x2+5x+6)
1
3
=x(x+2)(x+3).
1×3+1×2=5
2.（2019·威海）分解因式：2x2-6x+4=__________.
2(x-1)(x-2)
冀教版七年级下册数学精品教学课件 第八章 整式的乘法 乘法公式 第2课时 完全平方公式 (2)
想一想：下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2 (2)(x -y)2 =x2 -y2
×
(x +y)2 =x2+2xy +y2
×
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2 × (-x +y)2 =x2 -2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 × (2x +y)2 =4x2+4xy +y2
a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43. 7.已知x+y=8,x-y=4,求xy. 解：∵x+y=8, ∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①;
∵x-y=4, ∴(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②; 由①-②得 4xy=48 ∴xy=12.
课堂小结
法则
完全平方 注 意 公式
＝1002－400＋4－1002＋1＝－395； (2)原式＝20162－2×2016×2015＋20152
＝(2016－2015)2＝1.
例3 已知x－y＝6，xy＝－8.求: (1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值. 解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8，
(x－y)2＝x2＋y2－2xy， ∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy
(2) 992. 992 = (100 –1)2
=13;1
=10404.
=9801.
方法总结：运用完全平方公式进行简便计算，要熟 记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全 平方公式的形式．
初中数学完全平方公式与整式的除法讲义
学科教师辅导讲义学员编号：年级：七年级课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第04讲---完全平方公式与整式的除法授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①理解完全平方公式，了解完全平方公式的几何背景，会灵活运用完全平方公式进行计算。
②掌握整式的除法法则，能够准确计算整式乘法的计算题；授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识框架二、知识概念（一）完全平方公式1、完全平方公式：222 ()2a b a ab b+=++222 ()2a b a ab b-=-+即两个数的和（或差）的平方，等于两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，这两个公式称为完全平方公式。
完全平方公式的特点：（1）两个公式的左边都是一个二项式的完全平方的形式，二者仅有一个“符号”不同；（2）两个公式的右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边两项式中每一项的平方，中间一项是左边二体系搭建（3）公式中的a,b 可以是数，也可以是单项式或多项式。
（4）完全平方公式的变形公式：①()2222a b a b ab +=+- ②()2222a b a b ab +=-+③()2222()ab a b a b =+-+ ④22()()4a b a b ab +=-+ ⑤22()()4a b a b ab -=+-2、完全平方公式的几何意义①如右图2中，一方面大正方形面积为 2()a b +，另一方面大正方形面积可看做四个部分的面积之和，则有22222()2a b a ab ab b a ab b +=+++=++②如右图1中，左下角正方形面积为 2()a b -，另一方面它的面积可看做大正方形减去其余三块部分的面积，则有222()()()a b a a b b a b b b -=--•--•-=222a ab b -+3、完全平方公式的应用。
完全平方式：形如2()a b +或者2()a b -的叫做完全平方式。
学好完全平方公式的三点提示
学好完全平方公式的三点提示完全平方公式是两个形式相同的多项式相乘得到的公式，它的应用十分广泛，是教材中的重点和难点．那么如何掌握完全平方公式呢?下面给予三点提示，供参考．一、意义特征要牢记 1、完全平方公式：（1）(a+b)2=a 2+2ab+b 2 ；（2）(a -b)2=a 2-2ab+b 22、文字描述：这两个公式的左边是一个二项式的完全平方，右边是三项式，而且每一项都是二次式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，而第三项是左边二项式中两项乘积的2倍（或-2倍）．可用以下口诀来记忆：“头平方和尾平方，头（乘）尾两倍在中央，中间符号是一样”．这里的“头”指的是a ，“尾”指的是b ．这两个公式实质上是统一的，即都是二项式的平方展开式．其中第一个公式是基本的，第二个公式可由第一个公式导出．如：（a-b ）2=[a+（-b ）]2=a 2+2a （-b ）+（-b ）2= a 2-2ab+b 2．3、完全平方公式的几何意义图1ababb 2a 2b aba 图2(a -b )b (a -b )b(a -b)2b 2ba ba在图1中，大正方形的面积是(a+b)2，它等于两个小正方形的面积a 2、b 2及两个等积的长方形面积ab 的和，因此有(a+b)2=a 2+2ab+b 2．在图2中，大正方形的面积是a 2，它等于两个小正方形的面积b 2、(a -b)2及两个等积的长方形面积(a-b)b 的和，因此有(a -b)2=a 2-2(a-b)b-b 2= a 2-2ab+b 2．二、两个公式的区别要清楚在运用完全平方公式时，经常会出现类似于(a+b)2=a 2+b 2、(a -b)2=a 2 -b 2的错误．要注意从以下几个方面进行区别：（1）意义不同：(a+b)2表示数a 与数b 和的平方，(a -b)2表示数a 与数b 差的平方；而a 2+b 2表示数a 的平方与数b 的平方和，a 2-b 2表示数a 的平方与数b 的平方差．（2）读法不同：(a+b)2读作两数a 、b 和的平方，(a -b)2读作两数a 、b 差的平方；而a 2+b 2读作两数a 、b 平方的和，a 2-b 2读作两数a 、b 平方的差．（3）运算顺序不同：(a+b)2的运算顺序是先算a+b ，然后再算和的平方，(a -b)2的运算顺序是先算a -b ，然后再算差的平方；而a 2+b 2是先算a 2与b 2，再求和a 2+b 2，a 2-b 2是先算a 2与b 2，再求差a 2-b 2．（4）一般情况下它们的值不相等：如当a=2，b=1时，(a+b)2=(2+1)2= 32=9，(a -b)2=(2-1)2=12=1；而a 2+b 2= 22+12=5，a 2-b 2= 22-12=3．三、应用方法要掌握完全平方公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式，还可以表示多项式及各种代数式．应用时要认真观察题目是否符合公式的特征和条件，变形后是否符合公式的特征和条件，若符合，再把公式中的字母同具体题目中的数或式对照，再逐项对照着计算；若不符合就不能应用公式．要搞清楚公式中各项的符号，灵活地进行公式的各种变形应用．例1、计算222213⎪⎭⎫⎝⎛--y x xy分析：把23xy -看成a ，y x 221看成b ，原式即为两项差的平方，然后套用完全平方差公式．解：222213⎪⎭⎫⎝⎛--y x xy=()()⎪⎭⎫⎝⎛---y x xy xy222221323+（y x 221）2=2433424139y x y x y x ++例2、计算：（a-2b-c ）2分析：可以把（a-2b ）看作公式中a ，把c 看作公式中的b ，然后套用完全平方差公式． 解：2222)2(2)2(])2[()2(c c b a b a c b a c b a +---=--=-- ＝2a bc ac abc b a c bc ac b ab 4244424422222+--++=++-+-． 说明：本题还可以进行如下变形：222]2)[()2(b c a c b a --=--或22)]2([)2(c b a c b a +-=--完全平方公式应用错例分析完全平方公式是乘法公式中的重要组成部分，它能帮助同学们简捷、灵活的完成整式的乘法运算，但在运用公式解题的过程中，却经常出现这样或那样的错误，现将典型错例进行评析．一、漏掉“中间项” 例1 计算：(a+3)2 错解：(a+3)2=a 2+9分析：完全平方公式的结果有三项：首平方，末平方，乘积的2倍写中央．因此，运用公式时不要漏掉乘积项．不能将完全平方公式与平方差公式混淆．正解：(a+3)2=a 2+6a+9 二、“中间项”漏乘2例2 计算（2y+21）2错解：（2y+21）2 = 4y 2+2y ×21+41 分析：没有理解完全平方公式的中间项“2ab ”中2的意义，2y 中的2表示首项的一部分，不是乘积的2倍．防止发生这样错误的关键是要将题目中项与公式中的项进行对应，一定要找准哪个代表字母a ，哪个代表字母b ．正解：（2y+21）2 = 4y 2+2⨯2y ⨯21+41＝4y 2+2y+41三、“－”处理错误例3 计算(-t-1) 2错解：(-t-1) 2=t 2 -2t+1 或 (-t-1) 2= -t 2 +2t+1分析：本题可以看成首项-t 与末项1的差的平方，应把-t 看做一个整体． 正解：(-t-1) 2=(-t) 2-2 (-t) ×1 +12＝t 2＋2t+1. 四、系数未平方 例4 计算(3x-2y) 2错解：(3x-2y) 2=3x 2-12xy+2y 2分析：首项3x 与末项2y 都应看成一个整体进行平方． 正解：(3x-2y) 2 = (3x)2-12xy+(2y)2 = 9x 2-12xy+4y 2 五、问题考虑不全面例5 已知x 2-2mx+1是一个完全平方式，则m= 错解：因为12＝1由乘积项－2mx=2x ×1得m=-1．分析：错解忽略了另一种情况：因为(-1) 2=1，由－2mx=2x ×(-1)得m=1，所以m=±1. 正解：m=±1. 六、运算顺序错误 例6 计算2(a-) 2 错解：2(a-2b ) 2=(2a-b) 2 分析：由乘方的定义知：2(a-2b ) 2=2(a-2b )(a-2b )=(2a-b) (a-2b)，这与(2a-b) 2的结果是不相等的．因此，应按照运算顺序先算乘方，再算乘除进行化简．正解：2(a-2b ) 2=2(a 2-ab+41b 2)=2a 2-2ab+21b 2. 总之，运用完全平方公式进行整式的运算时，应牢固掌握公式的实质，并与其它相关法则、运算顺序有机的结合，才能简便、准确地进行整式的运算．完全平方公式学习导航1.完全平方公式有两个：2222)(b ab a b a ++=+,2222)(b ab a b a +-=-.即，两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍.这两个公式叫做完全平方公式.它们可以合写在一起，为2222)(b ab a b a ++=±.记忆口诀：“首平方、尾平方，2倍乘积在中央”.2.公式的条件是：两数和的平方或两数差的平方.3.公式的结果是：这两数的平方和，加上（或减去）这两数积的2倍.4.公式的特征是：左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍.公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式.只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式.5. 完全平方公式的几何意义如图1，大正方形的面积可以表示为2)(b a +，也可以表示为IV III II I S S S S S ++=，同时22222b ab a b ab ab a S ++=+++=.从而验证了完全平方公式2222)(b ab a b a ++=+.6.完全平方公式重难点重点1 （1）公式右边是这两个数的平方和与这两个数乘积的2倍的和（差）。
整式的乘除与因式分解
华贤书院 教学过程补充表 主题整式的乘除与因式分解 序 教学过程一、整式的乘除：1、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.例如：_______3=-a a ；________22=+a a ；________8253=+-+b a b a__________________210242333222=-++-+-x xy x y x xy xy y x 2、同底数幂的乘法法则：a m ·a n =a m+n (m ，n 是正整数).同底数幂相乘，底数不变，指数相加.例如：________3=⋅a a ；________32=⋅⋅a a a3、幂的乘方法则：(a m )n =a mn (m ，n 是正整数).幂的乘方，底数不变，指数相乘.例如：_________)(32=a ；_________)(25=x ；()334)()(a a =4、积的乘方的法则：(a b)m =a m b m (m 是正整数).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.例如：________)(3=ab ；________)2(32=-b a ；________)5(223=-b a5、同底数幂的除法法则：a m ÷a n =a m-n (a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m ＞n).同底数幂相除，底数不变，指数相减. 规定：10=a例如：________3=÷a a ；________210=÷a a ；________55=÷a a6、单项式乘法法则y x 32⋅ )5)(2(22xy y x - )2()3(22xy xy -⋅ 2232)()(b a b a ⋅-7、单项式除法法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. y x y x 2324÷ ()xy y x 6242-÷ ()()58103106⨯÷⨯8、单项式与多项式相乘的乘法法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.)(c b a m ++ )532(2+--y x x )25(32b ab a ab +--9、多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.10、多项式除以单项式的除法法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.()x x xy ÷+56； ()()a ab a 4482-÷-()b a b a b a 232454520÷-c c b c a 2121222÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-11、整式乘法的平方差公式：(a +b)(a -b)=a 2-b 2.两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.例如：（4a －1）（4a+1）=___________； （3a －2b ）（2b+3a ）=___________；()()11-+mn mn = ； =--+-)3)(3(x x ；12、整式乘法的完全平方公式：(a +b)2=a 2+2a b+b 2，(a -b)2=a 2-2a b+b 2.两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍. 例如：()____________522=+b a ； ()_______________32=-y x ()_____________22=+-ab ； ()______________122=--m二、因式分解：1、提公因式法：4y xy - 32x x + x 2+12x 3+4x )1()1(-+-a n a m2、公式法.：（1）、平方差公式：))((22b a b a b a -+=-12-x 2294b a - 22)(16z y x +- 22)2()2(b a b a --+（2）、完全平方公式：222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+-442+-m m 2269y xy x ++ 924162++x x 36)(12)(2++-+b a b a3、分组分解法：1a b ab +++ ab －c ＋b －ac a 2－2ab ＋b 2－c 24、“十字相乘法”：即式子x 2+(p+q)x+pq 的因式分解. x 2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).x 2＋7x ＋6 （2）、x 2－5x －6 （3）、x 2－5x ＋6因式分解技巧专题一分解因式的常用方法：一提二用三查 ，即先考虑各项有无公因式可提；再考虑能否运用公式来分解；最后检查每个因式是否还可以继续分解，以及分解的结果是否正确。
公式法
1.2
51.2
51.22 2 51.2 1.2 1.22
=（51.2-1.2）²
探究新知
整式乘法的完全平方公式
2 (a b ) a 2 2ab b 2
因式分解的完全平方公式
2 (a b ) a 2 2ab b 2
a 2 2ab b 2 (a b )2 a 2 2ab b 2 (a b )2
当k取何值时， 100x²+kxy+49y² 是一个完全平方式？
活学活用 变式训练
2.已知多项式x²+1与一个单项式的和是一个多项 式的平方，请你添加一个满足条件的单项式。 (1)x² +2x +1 (3) 1+ x²
1 4 x + _____ 4
2
(2)x² -2x +1
1 2 1 x 2
因式分解的平方差公式
2
因式分解的完全平方公式
a b (a b )(a b )
2 2
a 2ab b (a b )
2 2 2
2 2
a 2ab b (a b )
根据因式分解和整式乘法的关系，如果把乘法公 式反过来，就可以利用乘法公式（如平方差公式 、完全平方公式）把某些多项式因式分解，这种 因式分解的方法叫做公式法。
合作交流：
（1）用自己的语言叙述因式分解的完全平方公式. （2）观察蓝色区域里的多项式，具备什么特征 的多项式才能运用完全平方公式进行因式分解？
探究新知
（1）用自己的语言叙述因式分解的完全平方公式.
a 2ab b (a b )
2 2
2 2
2
专题：完全平方公式,十字相乘法
13
完成作业2.27作业
14
蓦然回首
对自己说，你有什么收获？ 对同学说，你有什么温馨提示？ 对老师说，你还有什么困惑？
15
＝(a＋2)2(a－2)2.
例4 已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
x2 4x 22 y2 10 y 52 0
∴(x－2)2＋(y－5)2＝0.
∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0， 几个非负数的和为0， ∴x－2＝0，y－5＝0， 则这几个非负数都为0. ∴x＝2，y＝5，
∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2
＝112＝121.
知识要点2
十字相乘法
十字相乘法公式：
x2 (a b)x ab (x a)(x b)
11
(1)X2-7x+12 x x
(3)x2+8x+12
(2)x2-4x-12 (4)x2-11x-12
(5) 2x2-7x+3
(6) 5x2+6xy-8y2
A . 11
B. 9 C. -11 D. -9
解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x=2x×(-3),
故可知N=(-3)2=9.
变式训练 如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的
值为___±__8___.
解析：∵16=(±4)2，故-m=2×(±4)，m=±8.
例2 分解因式：
（1）16x2+24x+9；
分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解 因式；
解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2；
完全平方公式1
= 3 (a+b)2(a-b)2
练习3: 把下列各式因式分解
1. x4-2x2y3+y6 解:原式 = (x2-y3)2
2. 3x3-12x2y+12xy2 解:原式 = 3x(x2-4xy+4y2)
= 3x(x-2y)2 3. 4ax2+20axy+25ay2 解:原式 = a(4x2+20xy+25y2)
5. a2b2+12ab+36 = (ab)2 +2 . ab. 6 +62 =(ab+6)2
例2 把下列各式分解因式
1. (x+y)2+10(x+y)+25 解:原式 = (x+y)2 +2.(x+y).5+52
= (x+y+5)2 2. 4(a+m)2-28(a+m)+49
解:原式 = [2(a+m)]2 -2.2(a+m).7 +72 = [2(a+m)-7]2
解:原式= (x-y+6)2 解:原式= (a-b-8)2
3. 4(x+y)2+12(x+y)+9
解:原式= [2(x+y)+3]2 =(2x+2y+3)2
4. (a+b)2-6(a+b)(a-b)+9(a-b)2 解:原式= [(a+b)-3(a-b)]2=(a+b-3a+3b)2 = (-2a+4b)2 =[-2(a-2b)]2 =4(a-2b)2
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第十四章 整式的乘法与因式分解
完全平方公式
知识回顾
2 2 ( a b )( a b ) a b 1.平方差公式：
即：两个数的和与这两个数的差的积， 等于这两个数的平方差． 2.我们是怎样学习平方差公式的？
合作探究
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ 2 2 p （ 2 p 1 ）; (1) ( p 1) ( p 1)( p 1)
2
2
；
第（2）题计算结果应改为 a 2 2ab b 2 ．
例题解析
例2 运用完全平方公式计算：
（1) 1022 ；
（2）992 ．
解：（1）1022 =(100+2)2 =1002+2×100×2+22 =10000+400+4 =10404；
（2) 992 =(100-1)2 =1002-2 ×100×1+12
=10000-200+1=9801．
• 强化练习 • 1）(4a+b)² • 2)(2x-1)² • （此题一题多解） • 1)（-2x+2y)² • 2)(-2a-b)²
课堂小结
1. 这节课你学到了哪些知识？
2．我们是怎样得到完全平方公式的？在运 用完全平方公式计算时要注意什么问题？
布置作业
思考
你能根据图14.2-2和图14.2-3中图形的面积说明 完全平方公式吗？
bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b
a a
图14.2-2
a
b
a
图14.2-3
b
例题解析
例1 运用完全平方公式计算：
（1）
(4m n)
2
；
1 2 （2） ( y ) ． 2
2 2 (4 m ) n n ＋ 2·(4m)· 解：（1）原式=
2 2 = 16m 8mn n ；
1、课本习题（ 熟练应用） 2、拓展练习，挑战自我 （a+b+c)² (3x-2y+c)²
2 2 (2) ( m 2) m 4m 4
;
;
2 2 ( p 1) ( p 1)( p 1) p (3) 2 p 1 2 2 (4) (m 2) m 4m 4
．
(a b) (a b)(a b) a 2ab b
1 2 1 （2）原式= y 2·y · ＋ ( 2 ) 2 1 2 y y = ． 4
2
小试牛刀
下列各式的计算错在哪里？应当怎样改正？
2 2 2 ； ( a b ) a b （1）
2 2 2 ( a b ) a b （2） ．
第（1）题计算结果应改为 a 2ab b
2 2
2
(a b)2 (a b)(a b) a 2 2ab b2
合作探究
归纳
完全平方公式： (a b) a 2ab b
2 2 2
(a b) a 2ab b
2 2
2
即两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和， 加上（或减去）它们的积的2倍．