广东省茂名市2016届高三第一高考模拟考试数学文试题(图片版)含答案
最新(文数)茂名市届高三第一次高考模拟考试试题
(文数)茂名市届高三第一次高考模拟考试试题绝密★启用前 试卷类型：A茂名市2013届高三第一次高考模拟考试数学试卷（文科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1、答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目。
2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答安无效。
4、考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。
5、参考公式：h S V ⋅=底锥体31 第一部分 选择题（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知}11|{},1,0,2{≤≤-=-=x x Q P ，则=⋂Q P （ ） A.}1,0,2{- B.}1,0{ C.φ D.{0}2.气象台预报“茂名市明天降雨的概率是80%”，下列理解正确的是（ ）。
A.茂名市明天将有80%的地区降雨B.茂名市明天将有80%的时间降雨C.明天出行不带雨具肯定要淋雨D.明天出行不带雨具淋雨的可能性很大3.计算：=+2)1(i i （ ）A.-2B.2C.2iD.-2i4.已知双曲线)0(1522>=-m y m x 的右焦点F （3，0），则此双曲线的离心率为（ ）A.6B.223C.23D.435.已知向量)1,2(),2,1(=-=b x a ，则b a ⊥的充要条件是( )A.21-=x B.1-=x C.5=x D.0=x 6.函数x x x f )21()(21-=的零点个数为( ) A.0 B.1C.2D.37.某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x 值为31，则a 等于（ ）A.0B.1C.2D.38.若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方 形，且其体积为21，则该几何体的俯视图可以是（ ）9.函数)1ln()(xx x f -=的图象是( )10.设向量),(),,(2121b b a a ==，定义一运算：),(21a a =⊗),(),(221121b a b a b b =⊗.已知)sin ,(),2,21(11x x n ==，点Q 在)(x f y =的图像上运动，且满足n m OQ ⊗≡（其中O 为坐标原点），则)(x f y =的最大值及最小正周期分别是（ ）A.π,21 B.π4,21 C.π,2 D.π4,2第二部分 非选择题（共100分）二、填空题（本大题共5小题，第14、15小题任选一道作答，多选的按第14小题给分，共20分）（一）必做题：第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答。
广东茂名市高三第一次综合测试数学文试题word版含解析
绝密★启用前 试卷类型：A2017年茂名市高三级第一次综合测试数学试卷（文科） 2017.1本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，23小题，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑. 答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5．考试结束后，请将答题卡上交.第一部分 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{|110},P x x =∈≤≤N 集合2{|60},Q x x x =∈--<R 则PQ 等于（ ）A. {1，2，3}B. {1，2}C. [1，2]D. [1，3) 2. 已知a 是实数，i1i-+a 是纯虚数，则a =( ) A. 1 B. -1 C.D.3. 函数11ln 22=+--y x x x 的零点所在的区间是 （ ）A.1(1)e， B.(1,2) C.(2,e) D.(e,3)4. 在{1，3，5}和{2，4}两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个数能被4整除的概率是（ ）1111A. B. C. D.32645. 对于向量,,a b c 和实数λ, 下列命题中真命题是（ ）A ．若0⋅=a b , 则0a =或0b =B ．若λ0a =，则0λ=或=0aC ．若22=a b ，则=a b 或-a =bD ．若a b =a c ⋅⋅，则b =c6. 已知△ABC 30C ∠=︒，BC AB 等于（ ）A. 1B.C. 2 7. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为（ ）A. 6 斤B. 9 斤C. 9.5斤D. 12 斤 8. 已知函数()3cos()(0)3f x x πωω=+>和()2sin(2)1g x x ϕ=++的图象的对称轴完全相同，若[0,]3∈x π，则()f x 的取值范围是（ ）A.[3,3]-B.3[,3]2-C.[-D.3[3,]2- 9. 执行如图1所示的程序框图，若输出的结果是3132， 则输入的a 为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．610. 一个几何体的三视图如图2所示，其表面积为6π，则该几何体的体积为（ ）A ．4πB ．2πC ．113π D ．3π 11．已知F 1，F 2分别是双曲线22221(,0)y x a b a b-=>的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段12F F 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(1, 2) B ．(2, +∞) C ．(1, D ．)+∞12．已知()||x f x xe =，又)()()(2x tf x f x g -=()t ∈R ，若满足()1=-g x 的x 有四个，则t 的取值范围是（ ）A ．21(,)e e +-∞- B ．21(,)e e ++∞ C ．21(,2)e e +-- D ．21(2,)e e+第二部分 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13. 已知实数x ，y 满足约束条件0201≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩x x y x y ，，，则2=+z x y 的最大值是 * .14. 若α∈(0, π)，且sin2α+2cos2α=2，则tan α= * .15. 已知直线x -2y +2=0与圆C 相切，圆C 与x 轴交于两点A (-1, 0)、B (3, 0)，则圆C 的方程为 * ．16．过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB ，AC ，AD ，且两两夹角都为60︒，若球半径为R ，则△BCD 的面积为 * .三、解答题：本大题共7小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，24a =，前4项之和为18． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设22n a n b n -=⋅，求数列{n b }的前n 项和n T ．18.（本小题满分12分）19.（本小题满分12分）随着社会的发展，终身学习成为必要，工人知识要更新，学习培训必不可少，现某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A 类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B 类工人），从该工厂的工人中共抽查了100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）得到A 类工人生产能力的茎叶图（图5），B 类工人生产能力的频率分布直方图（图6）.（Ⅰ）问A 类、B 类工人各抽查了多少工人，并求出直方图中的x ;（Ⅱ）求A 类工人生产能力的中位数，并估计B 类工人生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）;（Ⅲ) 若规定生产能力在[130，150]内为能力优秀，由以上统计数据在答题卡上完成下面的2⨯2列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下,认为生产能力与培训时间长短有关.能力与培训时间列联表参考公式：22(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 其中n =a +b +c +d .20.（本小题满分12分）已知定点Q 0），P 为圆N ：22(24x y +=上任意一点，线段QP 的垂直平分线交NP 于点M .（Ⅰ）当P 点在圆周上运动时，求点M (x ，y ) 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且0OA OB ⋅=，求证：直线l 与某个定圆E相切，并求出定圆E 的方程.21.（本小题满分12分）已知函数1()()af x a x+=∈R . (Ⅰ) 当a =0时，求曲线f (x )在x =1处的切线方程； (Ⅱ) 设函数()ln ()h x a x x f x =--,求函数h (x )的极值；(Ⅲ) 若()ln g x a x x =-在[1，e ](e =2.718 28…)上存在一点x 0，使得00()()g x f x ≥成立，求a 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,,x y α⎧=⎨=⎩(α为参数). 在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线22:4cos 2sin 40.C ρρθρθ+-+= （Ⅰ）写出曲线21C C ，的普通方程； （Ⅱ）过曲线1C 的左焦点且倾斜角为4π的直线l 交曲线2C 于B A ,两点，求AB .23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数|32||2|)(++-=x a x x f ，2|1|)(+-=x x g . （Ⅰ）若1a =，解不等式()6f x <；（Ⅱ）若对任意1x ∈R ，都有2x ∈R ，使得12()()=f x g x 成立，求实数a 的取值范围.绝密★启用前 试卷类型：A2017年茂名市高三级第一次综合测试数学试卷（文科）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）提示：1.【解析】P={x ∈N|1≤x ≤10}, Q={ x ∈R|－2＜x ＜3}, P ∩Q= {1，2}，选择B2.【解析】设i =i (0)1ia b b -≠+，则i=(1i)i=i a b b b -+-+，所以{,1,a b b =-=- 解得a =1, 选择A 3.【解析】111(2)ln222(ln21)0222f =+--=-<,1111(e)lne+e 2()(e 2)02e 2ef =--=-+->∴(2)(e)0f f ⋅<，由零点存在定理得函数零点所在区间是(2,e). 选择C.4.【解析】符合条件的所有两位数为：12, 14, 21, 41, 32, 34, 23, 43, 52, 54, 25, 45共12个，能被4整除的数为12, 32, 52共3个，所求概率31124p ==，选择D. 5.【解析】因为非零向量⊥a b 时，也有0⋅=a b ，所以A 错；22=a b 只说明向量a 与b 的模相等，a 与b 不一定共线，所以C 错；当向量,,a b c 两两垂直时，也有a b =a c ⋅⋅，但b 与c 方向不同，故≠b c ，所以D 错. 选择B. 6.【解析】由S △ABC=111sin 222AC BC C AC ⋅=⋅=, 解得AC =2，由余弦定理得2222c o s4122342A B A C B C A C B C C =+-⋅=+-⨯⨯=,所以AB =2,选择C.7. 【解析】依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列，设首项a 1=4，则a 5=2，由等差数列性质得a 2+a 4= a 1+a 5=6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤，选择A. 8. 【解析】因为函数f (x )和g (x )的图象的对称轴完全相同，故f (x )和g (x )的周期相同，所以ω =2，()3cos(2)3f x x π=+，由[0,]3∈x π，得2[,]33x πππ+∈，根据余弦函数的单调性，当23x ππ+=，即3x π=时，f (x )min =3-，当233x ππ+=，即0x =时，f (x )max =32，所以f (x )的取值范围是3[3,]2-，选择D.9.【解析】当n =0时，S =0,当n =1时, S =12, 当n =2时, S =21122+, …，当n =4时, S =234111115222216+++=, 当n =5时, S =234511111312222232++++=, 输出S ，所以4＜a ≤5，故选择C.10.【解析】由几何体的三视图可知，几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个半球组合而成 ∴其表面积为S 表=222112224622⨯+⨯+⨯=r r r r r r ππππ.又S 表=6π，∴2266=r r ππ, 解得r =1, 故该几何体的体积为11423323=⨯+⨯+⨯=V ππππ，选择D.11. 【解析】如图1，不妨设12(0,),(0,)F c F c -，则过F 1与渐近线ay x b=平行的直线为ay x c b=+， 联立,,a y x c b a y x b ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩解得,2,2bc x a c y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩即(,)22bc c M a -因M 在以线段12F F 为直径的圆222x y c +=内，故222()()22bc c c a -+<，化简得223b a <, 即2223c a a -<，解得2ca<，又双曲线离心率1ce a=>，所以双曲线离心率的取值范围是(1，2). 选择A . 12．【解析】令x y xe =，则(1)x y xe '=+，由0y '=，得1x =-，当(,1)x ∈-∞-时，0y '<，函数y 单调递减，当(1,)x ∈-+∞时，0y '>，函数y 单调递增. 作出x y xe =图象，利用图象变换得()||x f x xe =图象如图2，令()f x m =，当1(0,)m e∈，()f x m =有3个根， 当1(,)m e∈+∞，()f x m =有1个根，因此，关于m 方程012=+-tm m 两根分别在11(0,),(,)e e+∞时，满足()1g x =-的x有4个，令2()1h m m tm -+=，由(0)>h =10和2111()10h t e e e =-+<，解得ee t 12+>. 选择B.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 5 14. 1215. (x -1)2+( y +1)2=5或 (x -1)2+(y +11)2=125 16. 2R 提示：13. 【解析】可行域如图3所示，目标函数在点（2，1）取得最大值5.14. 【解析】由二倍角公式得2sin αcos α+2(1-2sin 2α)=2，即 (cos α-2sin α)sin α=0，∵α∈(0, π)，∴sin α≠0，cos α-2sin α=0，故s i n 1t a n c o s 2ααα==15. 【解析】∵圆C 与x 轴交于两点A (-1, 0)、B (3, 0)，∴由垂径定理得圆心在x =1这条直线上．设圆心坐标为C (1, b )，圆半径为r ，则C 到切线x -2y +2=0的距离等于r =|CA|，=即b 2+12b +11=0，解得b = -1或b = -11. ∴圆C 的方程为(x -1)2+(y +1)2=5或 (x -1)2+( y +11)2=125.（只答对一个不给分） 16. 【解析】解法1由条件A -BCD 是正四面体，△BCD 是正三角形，A , B , C , D 为球上四点，将正三棱锥A -BCD 补充成一个正方体AGBH -FDEC 如图4，则正三棱锥A -BCD 和正方体AGBH -FDEC 有共同的外接球，△BCD 的边长就是正方体面的对角线，设正方体AGBH -FDEC 的棱长为a ，则正方体外接球半径R 满足：a 2+a 2+a 2=(2R )2，解得2243=a R ，所以BC 2=22283+=a a R ，△BCD 的面积22118sin 60223=⨯︒=⨯=S BC BD R . 解法2由条件A -BCD 是正四面体，△BCD 是正三角形，A , B , C , D 为球上四点，球心O 在正四面体中心如图5，设BC =a ，CD 的中点 为E ，O 1为过点B , C , D截面圆圆心，则截面圆半径12233r O B BE ====， 正四面体A -BCD的高1AO . ∴截面BCD与球心的距离1d OO R ==-，在Rt △BOO 1中，222))R R =--，解得a =.∴△BCD的面积为2211sin 60)22S BC BD =⨯︒=⨯=. 三、解答题（本大题共7小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题. 解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设等差数列}{n a 的公差为d ．由已知得114434182a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，， ……………2分 解得13,1.a d =⎧⎨=⎩ ………………4分 所以a n ＝n ＋2. ……………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n ＝2nn ⋅， …………………………………………………………6分∴123==n n T b b b b +++⋅⋅⋅+231222322n n ⨯+⨯+⨯++⨯ ① ………………7分2n T =2341122232(1)22n n n n +⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ② …………………8分①-②得：23122222n n n T n +-=++++-⨯ …………………………………………9分111222(1)2212n n n n T n n +++--=-⨯=-⨯-- …………………………………………11分∴1(1)22n n T n +=-⨯+ …………………………………………………………………12分 18.（本小题满分12分）1分∴,,,OE OB OE OC OB OC O ⊥⎧⎪⊥⎨⎪=⎩得OE ⊥平面OBC ， …………………………………………………3分5分 6分 7分 分分分 解：（Ⅰ）由茎叶图知A 类工人中抽查人数为25名, …………………………………1分 ∴B 类工人中应抽查100-25=75（名）. ………………………………………………2分 由频率分布直方图得 (0.008+0.02+0.048+x )⨯10=1，得x =0.024. ……………………3分（Ⅱ）由茎叶图知A 类工人生产能力的中位数为122 ………………………………4分 由（Ⅰ）及频率分布直方图，估计B 类工人生产能力的平均数为B x =115⨯0.008⨯10+125⨯0.020⨯10+135⨯0.048⨯10+145⨯0.024⨯10=133.8 ……………6分…………9分由上表得22100(8211754)10075012.7332575386225753862k ⨯⨯-⨯⨯==≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯＞10.828 (11)分因此,可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下,认为生产能力与培训时间长短有关.…12分20. （本小题满分12分）解：(Ⅰ)依题意可得：圆N 的圆心坐标为N (半径为MP |=|MQ |, (1)分则|MN |+|MQ |=|MN |+|MP |=|NP |=＞|NQ | ……………………………………………2分根据椭圆的定义，点M 的轨迹是以N 、Q 为焦点，长轴长为的椭圆，即2a =2c =，∴b …………………………………………3分所以点M 的轨迹C 的方程为：22163x y +=. ……………………………………………4分 (Ⅱ)当直线的斜率存在时，设直线l 为y =kx +m , A (x 1,y 1), B (x 2,y 2)，联立直线与椭圆的方程，得{2226,,x y y kx m +==+消去y 并整理得222(12)4260k x kmx m +++-=. ……………………6分 因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以△=2222164(12)(26)0k m k m -+->，化简得：2263m k <+ ① …………………7分 由韦达定理得：2121222426,1212km m x x x x k k --+=⋅=++. ………………………………8分 ∴ 22121226()()12m k y y kx m kx m k -⋅=++=+. ∵0OA OB ⋅=，∴ x 1x 2+y 1y 2=0，即2222226601212m m k k k --+=++ ， ………………………9分整理得2222m k =+满足①式=即原点到直线l ， ∴直线l 与圆222x y +=相切. ……………………………………………………10分当直线的斜率不存在时, 直线为x =m , 与椭圆C 交点为A (m B (m ,)∵0OA OB ⋅=, ∴22302m m m -+=⇒=此时直线为x =222x y +=相切. …………………………………11分 综上，直线l 与定圆E ：222x y +=相切. …………………………………………12分21. （本小题满分12分）解：(Ⅰ) 当a =0时，f (x ) =1x , f (1) =1, 则切点为(1, 1)， ……………………………1分 ∵21()f x x '=-, ∴切线的斜率为(1)1k f '==-, ……………………………………2分 ∴曲线f (x )在点(1, 1)处的切线方程为y -1= -( x -1)，即x + y -2=0 ………………………3分(Ⅱ)依题意1()ln a h x a x x x+=--，定义域为(0, +∞)， ∴22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x+--++-+'=-+=-=-, ……………………4分 ①当a +1＞0，即a ＞-1时，令()0h x '>，∵x ＞0，∴0＜x ＜1+ a , 此时，h (x ) 在区间(0, a +1)上单调递增，令()0h x '<，得 x ＞1+ a .此时，h (x )在区间(a +1,+∞)上单调递减. ………………………………………………5分②当a +1≤0，即a ≤-1时，()0h x '<恒成立， h (x )在区间(0,+∞)上单调递减. …………6分综上，当a ＞-1时，h (x )在x =1+a 处取得极大值h (1+a )=ln(1)2a a a +--，无极小值；当a ≤-1时，h (x )在区间(0,+∞)上无极值. ………………………………………7分(Ⅲ) 依题意知，在[1, e]上存在一点x 0，使得00()()g x f x ≥成立,即在[1, e]上存在一点x 0，使得h (x 0)≥0， 故函数1()ln a h x a x x x+=--在[1, e]上，有h (x )max ≥0. ………………………………8分 由(Ⅱ)可知，①当a +1≥e, 即a ≥e -1时，h (x )在[1, e]上单调递增， ∴max 1()(e)e 0e a h x h a +==--≥, ∴2e 1e 1a +≥-, ∵2e 1e 1e 1+>--，∴2e 1e 1a +≥-. ………………………………………………………9分 ②当0＜a +1≤1，或a ≤-1，即a ≤0时，h (x )在[1, e]上单调递减，∴max ()(1)110h x h a ==---≥，∴a ≤-2. ……………………………………………10分 ③当1＜a +1＜e ，即0＜a ＜e -1时，由(Ⅱ)可知，h (x )在x =1+a 处取得极大值也是区间(0, +∞)上的最大值，即h (x )max =h (1+a )=ln(1)2[ln(1)1]2a a a a a +--=+--，∵0＜ln(a +1)＜1, ∴h (1+a )＜0在[1, e]上恒成立，此时不存在x 0使h (x 0)≥0成立．……………………………………………………………11分综上可得，所求a 的取值范围是2e 1e 1a +≥-或a ≤-2. ……………………………………12分 请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22. （本小题满分10分）解：解法一（Ⅰ）2222,()cos sin 122sin ,y x y αααα⎧=⎪⇒+=+=⎨=⎪⎩ …………1分 即1C 的普通方程为22 1.204x y += …………………………………………………………3分 222,cos ,sin ,x y x y ρρθρθ=+==2C 可化化为 224240x y x y ++-+=， …………………………………………………3分 即1)1()2(:222=-++y x C . …………………………………………………4分 （Ⅱ）曲线1C 左焦点为（4-，0）， ……………………………………………………5分 直线l 的倾斜角为4πα=, sin cos αα== ………………………………………6分 所以直线l的参数方程为：4,2,2x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数)，…………………………………7分 将其代入曲线2C 整理可得：04232=+-t t ， ………………………………………8分所以△=2(4420--⨯=>.设A ,B 对应的参数分别为21,t t，则14.t t t t +== …………………………9分 所以12AB t t =-=. ………………………10分 解法二（Ⅰ）同解法一. ………………………………………………………………4分 （Ⅱ）曲线1C 左焦点为（4-，0）， ……………………………………………………5分 直线l 的斜率为tan 14k π==, ……………………………………………………………6分直线l 的普通方程为4y x =+. 即40xy -+=……………………………………………7分 由(Ⅰ)知圆2C 圆心为(-2，1)，半径1r =. ………………………………………………8分 到直线l的距离2d == ……………………………………………………9分 故AB === …………………………………………………10分 解法三（Ⅰ）同解法一. ……………………………………………………………4分 曲线1C 左焦点为（4-，0） ……………………………………………………………5分 直线l 的斜率为tan 14k π==, ……………………………………………………………6分直线l 的普通方程为 4.y x =+ ……………………………………………………………7分 12222124,2,3,5602, 1.(2)(1)1,y x x x x x y y xy =+=-=-⎧⎧⎧⇒++=⇒⎨⎨⎨==++-=⎩⎩⎩或 ………………9分 ∴|AB = ………………………………………………10分23. （本小题满分10分）解：（Ⅰ）当1a =时，()6f x <，即21236x x -++<，即3,212236,x x x ⎧≤-⎪⎨⎪---<⎩或31,2223126,x x x ⎧-<<⎪⎨⎪++-<⎩或1,22123 6.x x x ⎧≥⎪⎨⎪-++<⎩ ……………3分322x ∴-<≤-或3122x -<<或112x ≤<， 21x ∴-<< 所以不等式()6f x <的解集为{}|21x x -<<. ……………………5分 （Ⅱ）对任意R x ∈1，都有R x ∈2，使得)()(21x g x f =成立，则有{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=， ………………………………………………………6分又()|2||23|f x x a x =-++|(2)(23)||3|x a x a ≥--+=+. ……………………………8分 ()|1|22g x x =-+≥，从而|3|2a +≥，解得51a a ≤-≥-或，故(,5][1,)a ∈-∞--+∞U . ………………………………………………………………10分。
广东省茂名市高三上学期第一次综合测试(一模)数学(文)试题Word版含答案
绝密★启用前试卷类型：A2018年茂名市高三级第一次综合测试数学试卷（文科）2018.1本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，23小题，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑. 答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5．考试结束后，请将答题卡上交.第一部分选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|−1＜x＜3}，B={−1, 0, 1, 2}，则A∩B=()A. {−1, 0, 1, 2}B. {x|−1＜x＜3}C. {0,1, 2}D. {−1, 0, 1}2．已知复数z满足z i=2+i，i是虚数单位，则|z|=()A.B.C. 2D.3．在1, 2, 3, 6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是()A. 14B. C.124．已知变量,x y满足约束条件2,4,1,yx yx y≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩则3z x y=+的最小值为()A. 11B. 12C. 8D. 35．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2+a 8=10，则S 9= ( ) A. 20 B.35 C. 45 D. 906．已知抛物线28y x =的准线与x 轴交于点D ,与双曲线221x y m-=交于A , B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△ADF 为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是( )A.B.C.D.7．已知函数f (x )=sin(ωx +ϕ) (ω＞0, 0＜ϕ＜2π)，f (x 1)=1，f (x 2)=0，若|x 1–x 2|min =12，且f (12) =12，则f (x )的单调递增区间为( )A. 51[+2,+2],66k k k Z -∈B. 51[+2,+2],.66k k k Z -∈C. 51[+2,+2],66k k k Z ππ-∈D. 71[+2,+2],66k k k Z ∈8．函数||e ()x f x =的部分图象大致为( )9．《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看 巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋 七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔 中间一层有（ ）盏灯.A.24B.48C.12D.60 10．执行如图所示的程序框图，那么输出S 的值是( )A.2 018B. −1C.12D.211．右图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：①AF ⊥GC ；②BD 与GC 成异面直线且夹角为60︒；-1 1- 1 O-第10题图A B DE NCG F M第11题图③BD ∥MN ；④BG 与平面ABCD 所成的角为45︒. 其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.412．定义在R 上函数(2)y f x =+的图象关于直线x =−2对称，且函数(1)f x +是偶函数. 若当x ∈[0,1]时，()sin 2f x x π=，则函数||()()x g x f x e -=-在区间[−2018,2018]上零点的个数为( )A. 2017B. 2018C. 4034D. 4036第二部分 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．已知(2,1),2(1,1),a a b =-=则•a b = ． 14．曲线ln(1)y x =+在点(1, ln2)处的切线方程为 ．15．从原点O 向圆C : 2212270x y y +-+=作两条切线，则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为 ．16．如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC 中，AB=， ∠ACB =60︒，∠BCD =90︒，AB ⊥CD ，CD=，则该球的体积 为 ．三、解答题：本大题共7小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题. 解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知△ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c ,且2cos 2c B b a ⋅-=. （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）设角A 的平分线交BC 于D ，且ADbABC 的面积.DCBA第16题图18. （本小题满分12分）在四棱锥P −ABCD 中，AD ∥BC ，平面P AC ⊥平面ABCD ，AB =AD =DC=1， ∠ABC =∠DCB =60︒，E 是PC 上一点. （Ⅰ）证明：平面EAB ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若△P AC 是正三角形，且E 是PC 中点，求三棱锥A −EBC 的 体积.19．（本小题满分 12 分）一只药用昆虫的产卵数y 与一定范围内的温度x 有关, 现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表： 经计算得：11266i i x x ===∑，11336i i y y ===∑，1()()557i i i x x y y =--=∑，621()84i i x x =-=∑，621()3930ii yy =-=∑，线性回归模型的残差平方和621ˆ()236.64=-=∑i i i y y ，e 8.0605≈3167，其中x i , y i分别为观测数据中的温度和产卵数，i =1, 2, 3, 4, 5, 6.(Ⅰ)若用线性回归模型，求y 关于x 的回归方程ˆy=ˆb x +ˆa （精确到0.1）； (Ⅱ)若用非线性回归模型求得y 关于x 的回归方程为ˆy=0.06e 0.2303x ，且相关指数BAPE DC第18题图R 2=0.9522.( i )试与(Ⅰ)中的回归模型相比，用R 2说明哪种模型的拟合效果更好.( ii )用拟合效果好的模型预测温度为35︒C 时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.附：一组数据(x 1,y 1), (x 2,y 2), ...,(x n ,y n ), 其回归直线ˆy=ˆb x +ˆa 的斜率和截距的最小二乘估计为121()()ˆ,()nii i nii xx y y bxx ==--=-∑∑ˆa=y −ˆbx ；相关指数R 2=2121ˆ()1()nii i n ii yyyy ==---∑∑．20．（本小题满分 12 分）已知椭圆C 1以直线0mx y +=所过的定点为一个焦点，且短轴长为4. （Ⅰ）求椭圆C 1的标准方程；（Ⅱ）已知椭圆C 2的中心在原点，焦点在y 轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C 1的长轴和短轴的长的λ倍(λ＞1)，过点C (−1,0)的直线l 与椭圆C 2交于A ，B 两个不同的点，若2AC CB =，求△OAB 的面积取得最大值时直线l 的方程.21.（本小题满分 12 分）已知函数()ln 2a g x x x x =++(a ∈R ).（Ⅰ）讨论()g x 的单调性；（Ⅱ）若11()[()2]1a f x g x x x x x =--++. 证明：当0x ＞，且1x ≠时，ln ()1x f x x >-．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 经过点P (−2,0)，其倾斜角为α，在以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C 的极坐标方程为4cos 0ρθ-=． （Ⅰ）若直线l 与曲线C 有公共点，求倾斜角α的取值范围；（Ⅱ）设M (x,y )为曲线C 上任意一点，求x +的取值范围．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|3||5|f x x x =--+． （Ⅰ）求不等式()2f x ≥的解集；（Ⅱ）设函数()f x 的最大值为M ，若不等式22x x m M ++≤有解，求m 的取值范围．绝密★启用前 试卷类型：A2018年茂名市高三级第一次综合测试数学试卷（文科）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）提示： 2．【解析】2i12i iz +==-，|z ，故选D. 3．【解析】在1, 2, 3, 6这组数据中随机取出三个数，基本事件总数(1, 2, 3), (1, 2, 6), (1, 3, 6),(2, 3, 6)共4个，则数字2因此，数字2是这三个不同数字的平均数的概率是14p =. 4．【解析】由约束条件2,4,1,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩作出可行域如图，联立{2,4,y x y =+=，解得A (2, 2)，化目标函数z =3x +y 为y = −3x +z ，由图可知，当直线y = −3x +z 过A 时，直线在y 轴上的截距 最小，z 有最小值为z =3×2+2=8．故选C.5．【解析】由等差数列的性质得，a 1+a 9=a 2+a 8=10，S 9=199()9104522a a +⨯==.故选C. 6．【解析】抛物线的准线方程为2x =-，准线与轴的交点为(2,0)D -，为等腰直角三角形，得||||4AD DF ==，故点A 的坐标为(2,4)-，由点在双曲线221x y m-=上，可得22(2)41m --=，解得417m =，即2417a =，所以221117c m =+=，故双曲线的离心率c e a ==.故选D.1 O-7．【解析】：设f (x )的周期为T ，由f (x 1)=1，f (x 2)=0，|x 1 –x 2|min =12,得212422T T πωπ=⇒=⇒==, 由f (12) =12，得sin(12π +ϕ)=12，即cos ϕ=12，又0＜ϕ＜2π，∴ϕ =3π，f (x )=sin(πx 3π+).由+22k ππ-x ππ≤++22k ππ≤，得51+2+2,k x k k Z -≤≤∈. ∴ f (x )的单调递增区间为51[+2,+2],.66k k k Z -∈故选B.8．【解析】由f (x )为奇函数，排除B ，(1)e f =＜1，排除A. 当x ＞0时，e ()xf x =，2(1)e ()3xx f x x -'=，∴在区间(1,+∞)上f (x )单调递增，排除D ，故选C. 9．【解析】由题意可知从上至下每层灯盏数构成公比为2的等比数列,设首项为a ,则7(21)38121a -=-,解之得a =3，则该塔中间一层灯盏数有3⨯23=24. 故选A. 10．【解析】依题意，执行如图所示的程序框图可知初始S ＝2，当k =0时，S 0＝−1，k =1时，S 1＝12，同理S 2＝2，S 3＝−1，S 4＝12，…，可见S n 的值周期为3.∴当k ＝2017时，S 2017＝S 1＝12， 此时k ＝2018，退出循环. 输出S ＝12. 故选C.11．【解析】：将正方体纸盒展开图还原成正方体，①如图知AF 与GC异面垂直，故①正确；②显然BD 与GC 成异面直线,连接EB ，ED . 则BM ∥GC ，在等边△BDM 中，BD 与BM 所成的60︒角就是异面 直线BD 与GC 所成的角，故②正确；③显然BD 与MN 异面垂直， 故③错误；④显然GD ⊥平面ABCD ，所以在Rt △BDG 中，∠GBD 是 BG 与平面ABCD 所成的角，Rt △BDG 不是等腰直角三角形. 所以BG 与平面ABCD 所成的角不是为45 ︒，故④错误. 故选B. 12．【解析】函数||()()x g x f x e-=-在区间[−2018,2018]上零点的个数，就是函数()sin 2f x x π= 的图象与||x y e -=的图象交点个数. 由(2)y f x =+的图象关于直线x = −2对称，得()f x 是偶函数，即()()f x f x -=.又∵函数(1)f x +是偶函数，∴(1)(1)f x f x +=-+，故(2)()()f x f x f x +=-=，因此，()f x 是周期为2的偶函数.∵当x ∈[0,1]时，()sin 2f x x π=，ABD M (E )NCGF作出()y f x =与||1()x y e=图象如下图，可知每个周期内有两个交点，所以函数||()()x g x f x e -=-在区间[−2018,2018]上零点的个数为2018⨯2=4036. 故选D.第二部分 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．1 14. 212ln 20x y --+= 15. 1216.提示：13．【解析】∵(2,1),2(1,1),a a b =-=∴2(1,1)(2,1)(1,1)(1,0)b a =-=-=， ∴1(,0)2b =，∴•101a b =+=.14．【解析】由所求切线斜率1111||12x x k y x =='===+，得曲线在点处的切线方程为1ln 2(1)2y x -=-，即212ln 20x y --+=.15．【解析】把圆的方程化为标准方程为22(6)9x y +-=，得到圆心的坐标为(0, 6),圆的半径3r =,由圆切线的性质可知,∠CBO =∠CAO =90︒， 且AC =BC =3，OC =6，则有∠ACB =∠ACO +∠BCO =60︒+60︒=120︒ 所以该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为12(写成1:2也对).16．【解析】以△ABC 所在平面为球的截面，则由正弦定理得截面圆的半径为112=，依题意得CD ⊥平面ABC ，故球心到截面的距离为12CD=所以球的体积为343π=.三、解答题：本大题共7小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解: (Ⅰ)法一：由已知及余弦定理得222222a c b c a b ac+-⨯=+，整理得222a b c ab +-=-. (2)分2221cos a b c ab C +--===-， ………………3分又在△ABC 中，0＜C ＜π， ………………4分 ∴23C π=，即角C 的大小为23π. .………………5分 法二：由已知及正弦定理得2sin cos sin 2sin C B B A ⋅-=， 又在△ABC 中，sin A =sin(B +C )=sin B cos C +cos B sin C , . ......……2分 ∴2sin C cos B – sin B =2sin B cos C +2cos B sin C ，即2sin B cos C = – sin B ，又sin B ≠0， ………………3分 ∴1cos 2C =-，又0＜C ＜π， ………………4分∴23C π=，即角C 的大小为23π. .………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)23C π=，依题意得如图，在△ADC 中，AC =bAD由正弦定理得sin sin AC C CDA AD ⋅∠===， .………………7分∵在△ADC 中，0＜CDA ∠＜π，C 为钝角， ........………....………8分 ∴CDA π∠=，故23412CAD ππππ∠=--=. .………………9分∵在△ABC 中，AD 是角A 的平分线，∴6CAB π∠=, .……….……10分∴△ABC是等腰三角形，BC AC = .………………11分 故△ABC的面积211sin 232S BC AC π=⋅==. .…………….…12分18.解：(Ⅰ)证明：依题意得四边形ABCD 是底角为60︒的等腰梯形，………1分 ∴∠BAD =∠ADC =120︒. .…………........……2分 ∵ AD =DC ，∴∠DAC =∠DCA =30︒， .……………….........3分 ∴∠BAC =∠BAD −∠DAC =120︒−30︒=90︒，即AB ⊥AC .…...........…4分 ∵平面P AC ⊥平面ABCD , 平面P AC ∩平面ABCD =AC ，∴AB ⊥平面P AC ， ..........................………………...5分 又平面AB ⊂平面EAB ，∴平面EAB ⊥平面PAC ； ..........................……………...6分 (Ⅱ)解法一：由(Ⅰ)及已知得，在Rt △ABC 中，∠ABC =60︒，AB =1， ∴AC = AB∙tan60︒BC =2AB =2，且AB ⊥平面P AC ，.........……………7分BAPE DBADC∴AB是三棱锥B−EAC的高，正△P AC...……………8分∵E是PC的中点，∴S△EAC＝12S△P AC＝211sin6044AC AP⋅︒=⨯. ………10分∴三棱锥A−EBC的体积为11133A EBCB EAC EACV V S AB--∆==⋅== (12)分(Ⅱ)解法二：过P作PO⊥AC于点O，∵平面P AC⊥平面ABCD, 平面P AC∩平面ABCD=AC，∴PO⊥平面ABC，过E作EF⊥AC于点F，同理得EF⊥平面ABC，∴EF是三棱锥E−ABC的高，且PO∥EF，………7分又E是PC中点，∴ EF是△POC的中位线，故12EF PO=.由(Ⅰ)及已知得，在Rt△ABC中，∠ABC=60︒，AB=1，∴BC=2AB=2, AC=AB∙tan60︒=, 即正△P AC的边长为………….........…8分∴PO=32, 故EF=34. (9)分在Rt△ABC中，S△ABC＝11122AB AC⋅=⨯….........………….........…10分∴三棱锥A−EBC的体积为311334A EBC E ABC ABCV V S EF--∆==⋅=. ...................12分19.解：(Ⅰ)依题意，n=6，61621()()557ˆ 6.6,84()i iiiix x y ybx x==--==≈-∑∑ (2)分ˆa≈33−6.6⨯26=−138.6，......................................3分∴y关于x的线性回归方程为ˆy=6.6x−138.6．. (4)分OFBAPEDC(Ⅱ) ( i )利用所给数据,621ˆ()236.64=-=∑iii y y,621()3930ii yy =-=∑得, 线性回归方程ˆy=6.6x −138.6 的相关指数R 2=621621ˆ()236.641110.06020.9398.3930()ii i ii yy yy ==--=--=-∑∑≈ .................….......6分∵0.9398＜0.9522， .............................................….......…………7分因此，回归方程ˆy=0.06e 0.2303x 比线性回归方程ˆy =6.6x −138.6拟合效果更好. ....……..……8分( ii )由( i )得温度x =35︒C 时，ˆy=0.06e 0.2303⨯35=0.06⨯e 8.0605. ....……..……..…9分 又∵e 8.0605≈3167， ......................................……….....……10分∴ˆy ≈0.06⨯3167≈190（个）. (11)分所以当温度x =35︒C 时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个. ....……….......……12分20.解：(Ⅰ)所给直线方程变形为y mx =- …......……………1分可知直线所过定点为. ...............………2分∴椭圆焦点在y 轴, 且c，依题意可知b =2，∴a 2=c 2+b 2=9. ……………3分 椭圆C 1的方程标准为22194y x +=. ………………4分 (Ⅱ)依题意，设椭圆C 2的方程为2222194y x λλ+=，A (x 1,y 1), B (x 2,y 2)，………………6分 ∵λ＞1，∴点C (-1, 0)在椭圆内部，直线l 与椭圆必有两个不同的交点. 当直线l 垂直于x 轴时，AC CB =(不是零向量)，不合条件；故设直线l 为y =k (x +1) (A ，B ，O 三点不共线，故k ≠0), ……………..…7分 由{222(1)4936y k x y x λ=++=，，得222918(4)9360y y k kλ+-+-=. 由韦达定理得1221894ky y k +=+. ………………8分∵2AC CB =，而点C (−1, 0)，∴(-1-x 1, -y 1)=2(x 2+1, y 2)，∴y 1= -2y 2， ………………..…9分即y 1+y 2= -y 2 故221894ky k-=+. ………………10分∴△OAB 的面积为OAB AOC BOC S S S ∆∆∆=+12121111||1||||222y y y y =⨯⨯+⨯⨯=-23||2y ==218||3294||k k ⨯+2794||k =+94≤=. .......................……11分上式取等号的条件是29||=4k ，即k =±32时，△OAB 的面积取得最大值94.所以直线的方程为3(1)2y x =+或3(1)2y x =-+. ………………12分21. (Ⅰ)解：由已知得()g x 的定义域为(0, +∞)，22221()2a x x a g x x x x +-'=+-=. (1)分方程220x x a +-=的判别式18a ∆=+. …………....…......…2分①当18a ≤-时，△≤0，()0g x '≥，此时,()g x 在(0, +∞)上为增函数； (3)分②当18a -＞时，设方程220x x a +-=的两根为12x x =， 若108a -<≤, 则120x x <≤, 此时, ()0g x '＞, ()g x 在(0, +∞)上为增函数； (4)分若a ＞0，则x 1＜0＜x 2，此时, g (x )在(0, x 2]上为减函数，在(x 2, +∞)上为增函数，…..……5分综上所述：当0a ≤时，()g x 的增区间为(0, +∞)，无减区间；当0a ＞时，()g x 的减区间为2(0,]x ，增区间为2(,)x +∞. ………....…...……6分(Ⅱ)证明：由题意知ln 1(),1x f x x x =++ (7)分∴()22ln 11()2ln 11x x f x x x x x--=---， (8)分考虑函数21()2ln (0)x h x x x x-=->， 则222222(1)(1)2()x x x h x ---'=-=-………………...............................................9分所以x ≠1时，()0h x '＜，而(1)0h = ………………................................................10分故(0,1)x ∈时，21()0,01h x x -＞＞，可得ln ()1x f x x -＞，(1)x ∈+∞，时，21()0,01h x x -＜＜，可得ln ()1x f x x -＞，…………….................…...11分从而当0x ＞，且1x ≠时，ln ()1x f x x >-． (12)分请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22.解：(Ⅰ)法一： 由曲线C 的极坐标方程得24cos 0ρρθ-=，又cos ,sin ,x y ρθρθ== ∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=，即22(2)4x y -+= ………....…1分∴曲线C 是圆心为C (2, 0)，半径为2的圆.∵直线l 过点P (−2,0)，当l 的斜率不存在时，l 的方程为x = -2与曲线C 没有公共点，…2分∴直线l 的斜率存在，设直线l ：(2)y k x =+，即20kx y k -+=. 直线l 与圆有公共点，则圆心C 到直线l 的距离2d =≤ ...........………3分 解得k ≤≤ …...............………4分 ∵[0,)απ∈，∴α的取值范围是5[0,][,)6πππ ....................…………5分 法二：由曲线C 的极坐标方程得24cos 0ρρθ-=，又cos ,sin ,x y ρθρθ==∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=， …....................................................………1分∵直线l 经过点P (−2,0)，其倾斜角为α， ∴直线l 的参数方程为{2cos sin x t y t αα=-+=，，（t 为参数）， (2)分 将{2cos sin x t y t αα=-+=，，代入2240x y x +-=整理得：28cos 120t t α-+=. .............….………3分∵直线l 与曲线C 有公共点，∴264cos 480α∆=-≥即cos α≥或cos α≤…....4分∵[0,)απ∈，∴α的取值范围是5[0,][,)66πππ. ....…….......................5分(Ⅱ)法一：由(Ⅰ)曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=， 故其参数方程为{22cos 2sin x y θθ=+=，，（θ为参数） . ……….............…7分 ∵M (x,y )为曲线C 上任意一点，∴22cos 24sin()6x πθθθ=++=++ …........8分∵1sin()1πθ-≤+≤，∴224sin()6πθ-≤++≤，因此，x 的取值范围是[2,6]-. ………….........................10分法二：设x m =. …………..........................6分由(Ⅰ)知曲线C 即圆C :22(2)4x y -+=, 依题意, 圆C 与直线0x m -=有交点，…7分∴圆心C 到直线0x m -=的距离2d =≤， .................................……9分解得26m -≤≤, 即x 的取值范围是[2,6]-. ……............................... .................……10分23. 解：(Ⅰ)当3x ≥时，()8f x =-，此时()2f x ≥无解； ….......................……………1分当53x -＜＜时，()22f x x =--，由()2f x ≥解得52x --＜≤； (3)分当5x -≤时，()8f x =，此时()2f x ≥恒成立. …………......................................……4分综上，不等式()2f x ≥的解集是{|2}x x ≤-. …………….....................................…5分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知8,3,()22,53,8,5,x f x x x x -≥⎧⎪=---<<⎨≤-⎪⎩ ……………….......................................6分易知函数()f x 的最大值M =8， ………………............................................7分 若228x x m ++≤有解，得228m x x ≤--+有解. ………………............................................8分 即2max (1)9]9m x ≤-++=[. …………….............................................…9分因此，m 的取值范围是9m ≤. ……………...........................................…10分。
茂名市2016届第一次高考模拟考试(文数)
茂名市2016届第一次高考模拟考试数学（文科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，24小题，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。
参考公式：椎体的体积公式是：h S V ∙=底锥体31，其中S 底是锥体的底面积，h 是锥体的高第Ⅰ部分 选择题（共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1、已知集合A ＝{}|13x x -≤≤，B ＝{}|22xx >，则A B ＝（ ）A 、{}|13x x -<<B 、{}|13x x <≤C 、{}|12x x -≤<D 、{}|2x x > 2、若复数z 满足11z i=+（i 为虚数单位），则复数z 的模为（ ）A 、0B 、1CD 、23、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为2y x =±，则此双曲线的离心率为（ ）A B C D 、324、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 、43 B 、23 C 、13D 、25、已知4sin()45x π-=，则sin 2x ＝（ ）A 、1825B 、725C 、－725D 、－16256、下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单 调递减的函数是（ ）A 、ln y x =B 、2y x =C 、cos y x =D 、||2x y -=7. 下列有关命题说法正确的是 （ ） A. 命题“若2x ＝1，则x ＝1”的否命题为：“若2x ＝1，则x≠1” B ．21560x x x =---=“”是“”的必要不充分条件C ．命题“若x ＝y ，则sinx ＝siny”的逆否命题为真命题D ．命题2,10x x x ∃∈++<R “使得”的否定是：“210x x x ∀∈++<R ，” 8、在约束条件012210x y x y >⎧⎪≤⎨⎪-+≤⎩，目标函数2z x y =+（ ）A 、有最大值2，无最小值B 、有最小值2，无最大值C 、有最小值12，最大值2 D 、既无最小值，也无最大值9、已知m 、n 是两条不同直线，αβ、是两个不同平面，给出下列命题，其中正确的是（ ）A 、若m αβ= ，⊂n α，n ⊥m ，则α⊥βB 、若m ∥β，n ∥β，⊂m,n α，则α∥β．C 、若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥βD 、若m ∥α，n ∥β，m ∥n ，则α∥β10、已知数列{}n a 、{}n b 满足2log ,*n n b a n N =∈，其中{}n b 是等差数列，且4120089=⋅a a ，则1232016b b b b +++⋅⋅⋅+＝（ ）A 、－2016B 、2016C 、2log 2016D 、100811、已知函数2,2()19(1),2x x f x f x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，阅读图如图所示的程序框图，若输入a 的值为(1)f 的值，则输 出的k 的值是（ ）A 、9B 、10C 、11D 、1212、定义两个平面向量的一种运算，,a b <> 表示,a b的夹角，则关于平面向量上述运算的以下结论中，③若a b λ= ，则＝0；④若a b λ=，且0λ>，则恒成立的结论有（ ）A 、4个B 、32上C 、2个D 、1个第Ⅱ部分非选择题（共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题 5分，共20分.13、在数列{}n a 中，111,1,n n n a a a S +==+为{}n a 的前n 项和，若n S ＝21，则n ＝ 14、设函数()f x 是定义在R 上周期为2的偶，当x ∈［0,1］时，()1f x x =+，则3()2f ＝ 15、某小卖部为了了解热茶销售量y （杯）与气温x （°C ）之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶杯数与当天气温，并制作了对照表：由表中数据算得线性回归方程^y bx a =+中的b ≈－2，预测当气温为－5°C 时，热茶销售量 为 杯。
广东省茂名市化州市2016届高三数学上学期第一次模拟试卷文(含解析)
2015-2016学年广东省茂名市化州市高三（上）第一次模拟数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．已知集合A={x|0≤x≤2}，B={x|x＜0或x＞1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，1]∪（2，+∞）B．（﹣∞，0）∪（1，2）C．（1，2] D．（1，2）2．已知i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限3．已知等比数列{a n}的公比q=2，且2a4，a6，48成等差数列，则{a n}的前8项和为（）A．127 B．255 C．511 D．10234．既是偶函数又在区间（0，π）上单调递减的函数是（）A．y=sinx B．y=cosx C．y=sin2x D．y=cos2x5．已知α∈（，π），sinα=，则tan（α﹣）=（）A．﹣7 B．﹣C．7 D．6．阅读如图所示的程序框图．若输入a=6，b=1，则输出的结果是（）A．1 B．2 C．3 D．47．下列说法中，正确的是（）A．命题“若ax2＜bx2，则a＜b”的逆命题是真命题B．命题“x=y，则sinx=siny”的逆否命题为假命题C．命题“∃t∈R，t2﹣t≤0”的否定是∀t∈R，t2﹣t＞0D．命题“p且q”为假命题，则命题“p”和命题“q”均为假命题8．△ABC中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，若=，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形9．已知圆C：（x+1）2+y2=r2与抛物线D：y2=16x的准线交于A，B两点，且|AB|=8，则圆C的面积（）A．5πB．9πC．16π D．25π10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．64 B．72 C．80 D．11211．已知函数，则函数y=f（x）的大致图象为（）A．B．C．D．12．设函数f（x）=若f（f（t））≤2，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．[，+∞）C．（﹣∞，﹣2] D．[﹣2，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则= ．14．若在区域内任取一点P，则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率是．15．直线y=3x+1是曲线y=x3﹣a的一条切线，则实数a的值为．16．设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）共5小题，满分60分）17．已知各项都不相等的等差数列{a n}，a4=10，又a1，a2，a6成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2+2n，求数列{b n}的前n项和S n．18．对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（Ⅰ）求出表中M，p及图中a的值；（Ⅱ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[20，30）内的概率．19．如图，四棱P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别是AC、PB的中点．（1）求证：EF∥平面PCD；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC．20．已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线的焦点是它的一个焦点，又点在该椭圆上．（1）求椭圆E的方程；（2）若斜率为直线l与椭圆E交于不同的两点B、C，当△ABC面积的最大值时，求直线l的方程．21．已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅲ）对一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答【选修4-1：几何证明选讲】22．在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D．（1）求证：；（2）若AC=3，求AP•AD的值．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）≥3的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥t2﹣3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围．2015-2016学年广东省茂名市化州市高三（上）第一次模拟数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．已知集合A={x|0≤x≤2}，B={x|x＜0或x＞1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，1]∪（2，+∞）B．（﹣∞，0）∪（1，2）C．（1，2] D．（1，2）【考点】集合的含义；交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】直接利用交集运算得答案．【解答】解：∵集合A={x|0≤x≤2}=[0，2]，B={x|x＜0或x＞1}=（﹣∞，0）∪（1，+∞）则集合A∩B=（1，2]．故选：C．【点评】本题考查了交集及其运算，是基础的概念题．2．已知i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数===在复平面内所对应的点位于第一象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．3．已知等比数列{a n}的公比q=2，且2a4，a6，48成等差数列，则{a n}的前8项和为（）A．127 B．255 C．511 D．1023【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】根据且a1，a3，a2成等差数列，列出方程2a6 =2a4 +48，求出首项a1，再根据等比数列的求和公式，即可得答案．【解答】解：∵2a4、a6、48成等差数列，∴2a6 =2a4 +48，∴2a1q5=2a1q3+48，又等比数列{a n}的公比q=2，∴解得，a1=1，∴{a n}的前8项和为故选B．【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质、等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，以及等比数列的前n项和公式．属于基础题．4．既是偶函数又在区间（0，π）上单调递减的函数是（）A．y=sinx B．y=cosx C．y=sin2x D．y=cos2x【考点】余弦函数的奇偶性；余弦函数的单调性．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据函数的奇偶性排除A、C，再根据函数的单调性排除D，经检验B中的函数满足条件，从而得出结论．【解答】解：由于函数y=sinx和 y=sin2x都是奇函数，故排除A、C．由于函数y=cosx是偶函数，周期等于2π，且在（0，π）上是减函数，故满足条件．由于函数y=cos2x是偶函数，周期等于π，在（0，）上是减函数，在（，π）上是增函数，故不满足条件．故选B．【点评】本题主要考查余弦函数的奇偶性和单调性，属于中档题．5．已知α∈（，π），sinα=，则tan（α﹣）=（）A．﹣7 B．﹣C．7 D．【考点】同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正切函数．【专题】三角函数的求值．【分析】根据同角三角函数关系先求出cosa，然后根据tana=求出正切值，最后根据两角差的正切函数公式解之即可．【解答】解：∵a∈（，π），sina=，∴cosa=﹣，则tana===﹣∴tan（a﹣）===﹣7故选A．【点评】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，以及两角差的正切函数，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．6．阅读如图所示的程序框图．若输入a=6，b=1，则输出的结果是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】程序框图．【专题】常规题型．【分析】根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当x=2时跳出循环，输出结果．【解答】解：当输入a=6，b=1时，x=5＞2，进入循环得a=4，b=6，此时x=2，退出循环，输出的结果为2．故选B【点评】本题考查程序框图，按照程序框图的顺序进行执行求解，属于基础题．7．下列说法中，正确的是（）A．命题“若ax2＜bx2，则a＜b”的逆命题是真命题B．命题“x=y，则sinx=siny”的逆否命题为假命题C．命题“∃t∈R，t2﹣t≤0”的否定是∀t∈R，t2﹣t＞0D．命题“p且q”为假命题，则命题“p”和命题“q”均为假命题【考点】四种命题．【专题】综合题；阅读型；对应思想；分析法；简易逻辑．【分析】分别写出原命题的逆命题、逆否命题判断A，B；写出原命题的否定判断C；由复合命题的真假判断判断D．【解答】解：命题“若ax2＜bx2，则a＜b”的逆命题为：“若a＜b，则ax2＜bx2”，x2=0时不成立，是假命题．A错误；命题“x=y，则sinx=siny”为真命题，则其逆否命题为真命题．B错误；命题“∃t∈R，t2﹣t≤0”的否定是∀t∈R，t2﹣t＞0．C正确；命题“p且q”为假命题，则命题“p”和命题“q”至少一个为假命题．D错误．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了原命题、逆命题、否命题及逆否命题，是基础题．8．△ABC中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，若=，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】把已知的等式利用正弦定理化简，再利用同角三角函数间的基本关系得到tanA与tanB相等，根据A和B都为三角形的内角，得到A与B相等，根据等角对等边得到a=b，即三角形ABC为等腰三角形．【解答】解：根据正弦定理： =化简已知等式得： =，即tanA=tanB，由A和B都为三角形的内角，得到A=B，则△ABC一定为等腰三角形．故选：A．【点评】此题考查了三角函数中的恒等变换应用，以及正弦定理．学生做题时注意角度A和B都为三角形的内角这个条件．9．已知圆C：（x+1）2+y2=r2与抛物线D：y2=16x的准线交于A，B两点，且|AB|=8，则圆C的面积（）A．5πB．9πC．16π D．25π【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线的准线，进而求出弦心距d，结合，可得答案．【解答】解：抛物线D：y2=16x的准线方程为x=﹣4，圆C的圆心（﹣1，0）到准线的距离d=3，又由|AB|=8，∴=25，故圆C的面积S=25π，故选：D【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，熟练掌握抛物线的性质，是解答的关键．10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．64 B．72 C．80 D．112【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图可知该几何体为上部是一四棱锥，高为3，下部为正方体，边长为4的组合体．分别求得体积再相加．【解答】解：由三视图可知该几何体为上部是一四棱锥，下部为正方体的组合体．四棱锥的高h1=3，正方体棱长为4V正方体=Sh2=42×4=64，V四棱锥=Sh1==16，所以V=64+16=80．故选：C．【点评】本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键．11．已知函数，则函数y=f（x）的大致图象为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象与图象变化．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数不是奇函数图象不关于原点对称，排除A、C，由x＞0时，函数值恒正，排除D．【解答】解：函数y=f（x）是一个非奇非偶函数，图象不关于原点对称，故排除选项A、C，又当x=﹣1时，函数值等于0，故排除D，故选 B．【点评】本题考查函数图象的特征，通过排除错误的选项，从而得到正确的选项．排除法是解选择题常用的一种方法．12．设函数f（x）=若f（f（t））≤2，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．[，+∞）C．（﹣∞，﹣2] D．[﹣2，+∞）【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】运用换元法，令a=f（t），则f（a）≤2，即有或，分别解出它们，再求并集可得a≥﹣2．即有f（t）≥﹣2，则或，分别解出它们，再求并集即可得到．【解答】解：令a=f（t），则f（a）≤2，即有或，即有﹣2≤a≤0或a＞0，即为a≥﹣2．即有f（t）≥﹣2，则或，即有t≤0或0＜t，即有t≤．则实数t的取值范围是（﹣∞，]．故选A．【点评】本题考查分段函数的运用：解不等式，考查二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则= 2 ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（）•（），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．【解答】解：∵已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=0，故=（）•（）=（）•（）=﹣+﹣=4+0﹣0﹣=2，故答案为 2．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，属于中档题．14．若在区域内任取一点P，则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率是．【考点】简单线性规划；几何概型．【专题】概率与统计．【分析】由我们易画出图象求出其对应的面积，即所有基本事件总数对应的几何量，再求出区域内也单位圆重合部分的面积，代入几何概型计算公式，即可得到答案．【解答】解：满足约束条件区域为△ABC内部（含边界），与单位圆x2+y2=1的公共部分如图中阴影部分所示，则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率概率为P===．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是几何概型，二元一次不等式（组）与平面区域，求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=N（A）÷N求解．15．直线y=3x+1是曲线y=x3﹣a的一条切线，则实数a的值为﹣3或1 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用．【分析】先对y=x3﹣a进行求导，设出切点，然后令导函数等于3求出切点坐标，代入到曲线方程可得答案．【解答】解：设切点为P（x0，y0），对y=x3﹣a求导数是y'=3x2，由题意可得3x02=3．∴x0=±1．（1）当x=1时，∵P（x0，y0）在y=3x+1上，∴y=3×1+1=4，即P（1，4）．又P（1，4）也在y=x3﹣a上，∴4=13﹣a．∴a=﹣3．（2）当x=﹣1时，∵P（x0，y0）在y=3x+1上，∴y=3×（﹣1）+1=﹣2，即P（﹣1，﹣2）．又P（﹣1，﹣2）也在y=x3﹣a上，∴﹣2=（﹣1）3﹣a．∴a=1．综上可知，实数a的值为﹣3或1．故答案为：﹣3或1．【点评】本题考查导数的运用，主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率，注意设出切点，考查运算能力，属于中档题．16．设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意可知∠F1PF2=90°，∠PF2F1=60°，|F1F2|=2c，求得|PF1|和|PF2|，进而利用双曲线定义建立等式，求得a和c的关系，则离心率可得．【解答】解：依题意可知∠F1PF2=90°|F1F2|=2c，∴|PF1|=|F1F2|=c，|PF2|=|F1F2|=c，由双曲线定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a=（﹣1）c∴e==．故答案为：．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质特别是双曲线定义的运用，属于基础题．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）共5小题，满分60分）17．已知各项都不相等的等差数列{a n}，a4=10，又a1，a2，a6成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2+2n，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）设等差数列{a n}首项为a1，公差为d，可得：a1+3d=10，①，（a1+d）2=a1（a1+5d），②，由①②可解得：a1，d，即可得解．（2）由（1）可知：b n=23n﹣2+2n，利用等比（等差）数列的求和公式即可得解．【解答】解：（1）∵a4=10，设等差数列{a n}首项为a1，公差为d，可得：a1+3d=10，①∵a1，a2，a6成等比数列，可得：（a1+d）2=a1（a1+5d），②∴由①②可解得：a1=1，d=3，∴a n=3n﹣2…6分（2）由（1）可知：b n=23n﹣2+2n，所以，求数列{b n}的前n项和S n=b1+b2+…+b n=（2+24+27+…+23n﹣2）+2（1+2+…+n）=+2=（8n﹣1）+n（n+1）…12分【点评】本题主要考查了等比数列，等差数列的通项公式，求和公式的应用，属于基本知识的考查．18．对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（Ⅰ）求出表中M，p及图中a的值；（Ⅱ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[20，30）内的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布表；频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据分组[20，25）内的频数是4，频率是0.1可求得样本容量M，再求出m、a的值；（II）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=6人，写出从中任选2人的所有基本事件，求出至多一人参加社区服务次数在区间[20，30）内的基本事件个数，利用基本事件个数比求概率．【解答】解：（Ⅰ）由分组[20，25）内的频数是4，频率是0.1知，，M=40所以4+24+m+2=40，m=10．p=所以a=；（Ⅱ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=6人，设在区间[20，25）内的人为a1，a2，a3，a4，在区间[25，30）内的人为b1，b2．则任选2人共有（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），（，a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1）（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2），共15种情况，而两人都在[25，30）内只能是（b1，b2）一种，所以P=1﹣=．【点评】本题考查了频率分别表，考查了古典概型的概率计算，解题的关键是求得符合条件的基本事件个数．19．如图，四棱P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别是AC、PB的中点．（1）求证：EF∥平面PCD；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明EF∥平面PCD；（2）根据面面垂直的判定定理即可证明平面PBD⊥平面PAC．【解答】解：（1）如图，连结BD，则E是BD的中点，又F是PB的中点，∴EF∥PD．又∵EF⊄平面PCD，PD⊂面PCD∴EF∥平面PCD．（2）∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BD，又PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．又BD⊂平面PBD，故平面PBD⊥平面PAC【点评】本题主要考查直线和平行平行以及面面垂直的判定，要求熟练掌握相应的判定定理．20．已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线的焦点是它的一个焦点，又点在该椭圆上．（1）求椭圆E的方程；（2）若斜率为直线l与椭圆E交于不同的两点B、C，当△ABC面积的最大值时，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的共同特征．【专题】计算题；数形结合；转化思想．【分析】（1）求出抛物线的焦点，即得椭圆的焦点，设出椭圆方程为将点A（1，）代入，求出a，即得椭圆方程；（2）用待定系数法设直线BC的方程为y=x+m，将其与椭圆的方程联立求同弦长BC，再求出点A 到此弦的距离，将三角形的面积用参数表示出，判断出它取到最大值时的参数m的值即可得到直线l的方程【解答】解：（1）由已知抛物线的焦点为（0，﹣），故设椭圆方程为．将点A（1，），代入方程得，，得a2=4或a2=1（舍）故所求椭圆方程为（2）设直线BC的方程为y=x+m，设B（x1，y1），C（x2，y2）代入椭圆方程并化简得，由△=8m2﹣16（m2﹣4）=8（8﹣m2）＞0可得m2＜8，①由，故|BC|=|x1﹣x2|=．又点A到BC的距离为d=故=≤×=当且仅当2m2=16﹣2m2，即m=±2时取等号（满足①式），S取得最大值．此时求直线l的方程为y=x±2．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，解题的关键是设出直线的方程，根据直线与圆锥曲线的位置关系，将三角形的面积用参数表示出来，本题解题过程中利用判别式判断出最值取到时参数的值，这是本题中的一个难点，由于对知识掌握得不熟练，答题者可能到这里就不知道怎么来求参数的值，导致解题失败，数学学习，知识掌握得全面是灵活运用的基础．21．已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅲ）对一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；压轴题；转化思想．【分析】（I）求出f′（x），令f′（x）小于0求出x的范围即为函数的减区间，令f′（x）大于0求出x的范围即为函数的增区间；（Ⅱ）当时t无解，当即时，根据函数的增减性得到f（x）的最小值为f（），当即时，函数为增函数，得到f（x）的最小值为f（t）；（Ⅲ）求出g′（x），把f（x）和g′（x）代入2f（x）≤g′（x）+2中，根据x大于0解出，然后令h（x）=，求出h（x）的最大值，a大于等于h（x）的最大值，方法是先求出h′（x）=0时x的值，利用函数的定义域和x的值分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性即可得到函数的最大值，即可求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=lnx+1令f′（x）＜0解得∴f（x）的单调递减区间为令f′（x）＞0解得∴f（x）的单调递增区间为；（Ⅱ）当时，t无解当，即时，∴；当，即时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，∴f（x）min=f（t）=tlnt∴；（Ⅲ）由题意：2xlnx≤3x2+2ax﹣1+2即2xlnx≤3x2+2ax+1∵x∈（0，+∞）∴设，则令h′（x）=0，得（舍）当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）max=﹣2∴a≥﹣2故实数a的取值范围[﹣2，+∞）【点评】本题要求学生会利用导函数的正负得到函数的额单调区间以及会根据函数的增减性得到函数的极值，掌握不等式恒成立时所满足的条件，是一道中档题．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答【选修4-1：几何证明选讲】22．在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D．（1）求证：；（2）若AC=3，求AP•AD的值．【考点】相似三角形的性质；相似三角形的判定．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）先由角相等∠CPD=∠ABC，∠D=∠D，证得三角形相似，再结合线段相等即得所证比例式；（2）由于∠ACD=∠APC，∠CAP=∠CAP，从而得出两个三角形相似：“△APC～△ACD”结合相似三角形的对应边成比例即得AP•AD的值．【解答】解：（1）∵∠CPD=∠ABC，∠D=∠D，∴△DPC～△DBA，∴又∵AB=AC，∴（2）∵∠ACD=∠APC，∠CAP=∠CAP，∴△APC～△ACD∴，∴AC2=AP•AD=9【点评】本小题属于基础题．此题主要考查的是相似三角形的性质、相似三角形的判定，正确的判断出相似三角形的对应边和对应角是解答此题的关键．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）【考点】参数方程化成普通方程；极坐标刻画点的位置；点的极坐标和直角坐标的互化．【专题】压轴题；直线与圆．【分析】（Ⅰ）对于曲线C1利用三角函数的平方关系式sin2t+cos2t=1即可得到圆C1的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到C1的极坐标方程；（Ⅱ）先求出曲线C2的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求出C1与C2交点的极坐标．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程式（t为参数），得（x﹣4）2+（y﹣5）2=25即为圆C1的普通方程，即x2+y2﹣8x﹣10y+16=0．将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得．ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0，此即为C1的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ化为直角坐标方程为：x2+y2﹣2y=0，由，解得或．∴C1与C2交点的极坐标分别为（，），（2，）．【点评】本题主要考查了参数方程化成普通方程，点的极坐标和直角坐标的互化．熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、两圆的位置关系是解题的关键．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）≥3的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥t2﹣3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】（1）通过对x范围的分类讨论，去掉绝对值符号，可得f（x）=，再解不等式f（x）≥3即可求得其解集；（2）当x∈[0，1]时，易求f（x）max=﹣1，从而解不等式t2﹣3t＞﹣1即可求得实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=，∴原不等式转化为或或，解得：x≥6或﹣2≤x≤﹣或x＜﹣2，∴原不等式的解集为：（﹣∞，﹣]∪[6，+∞）；（2）只要f（x）max＜t2﹣3t，由（1）知，当x∈[0，1]时，f（x）max=﹣1，∴t2﹣3t＞﹣1，解得：t＞或t＜．∴实数t的取值范围为（﹣∞，）∪（，+∞）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，通过对x范围的分类讨论，去掉绝对值符号是关键，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．。
2016年广东高考(全国I卷)文数含答案
嗯绝密★启封并使用完毕前试题类型：2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.（1）设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B =（A ）{1,3}（B ）{3,5}（C ）{5,7}（D ）{1,7}(2)设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（A ）－3（B ）－2（C ）2（D ）3（3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，学.科.网余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A ）13（B ）12（C ）23（D ）56（4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b= （A ）2（B ）3（C ）2（D ）3（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（6）若将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y =2sin(2x +π4) （B ）y =2sin(2x +π3) （C ）y =2sin(2x –π4) （D ）y =2sin(2x –π3)（7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π （8）若a>b>0，0<c<1，则（A ）log a c <log b c （B ）log c a <log c b （C ）a c <b c （D ）c a >c b （9）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）（10）执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n =1,则输出,x y 的值满足（A ）2y x =（B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =（11）平面α过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A 11//CB D α平面,ABCD m α=平面，11ABB A n α=平面，则m ，n 所成角的正弦值为 （A ）32（B ）22（C ）33（D ）13（12）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是 （A ）[]1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x =. （14）已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)=. （15）设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若，则圆C 的面积为。
2016年广东省高考数学试卷及答案解析(文科)(全国新课标ⅰ)
2016年广东省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}2．（5分）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．33．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（）A．B．C．2 D．35．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）7．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π8．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c b C．a c＜b c D．c a＞c b9．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣1，﹣]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．14．（5分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．15．（5分）设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若|AB|=2，则圆C的面积为．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a n b n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．18．（12分）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．19．（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）若n=19，求y与x的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？20．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C 于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．2016年广东省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}【解答】解：集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B={3，5}．故选：B．2．（5分）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【解答】解：（1+2i）（a+i）=a﹣2+（2a+1）i的实部与虚部相等，可得：a﹣2=2a+1，解得a=﹣3．故选：A．3．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有=6种方法，红色和紫色的花在同一花坛，有2种方法，红色和紫色的花不在同一花坛，有4种方法，所以所求的概率为=．另解：由列举法可得，红、黄、白、紫记为1，2，3，4，即有（12，34），（13，24），（14，23），（23，14），（24，13），（34，12），则P==．故选：C．4．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（）A．B．C．2 D．3【解答】解：∵a=，c=2，cosA=，∴由余弦定理可得：cosA===，整理可得：3b2﹣8b﹣3=0，∴解得：b=3或﹣（舍去）．故选：D．5．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设椭圆的方程为：，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则直线方程为：，椭圆中心到l的距离为其短轴长的，可得：，4=b2（），∴，=3，∴e==．故选：B．6．（5分）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）【解答】解：函数y=2sin（2x+）的周期为T==π，由题意即为函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得图象对应的函数为y=2sin[2（x﹣）+]，即有y=2sin（2x﹣）．故选：D．7．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．8．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c b C．a c＜b c D．c a＞c b【解答】解：∵a＞b＞0，0＜c＜1，∴log c a＜log c b，故B正确；∴当a＞b＞1时，0＞log a c＞log b c，故A错误；a c＞b c，故C错误；c a＜c b，故D错误；故选：B9．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D10．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y2≥36，故y=4x，故选：C11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．12．（5分）若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣1，﹣]【解答】解：函数f（x）=x﹣sin2x+asinx的导数为f′（x）=1﹣cos2x+acosx，由题意可得f′（x）≥0恒成立，即为1﹣cos2x+acosx≥0，即有﹣cos2x+acosx≥0，设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，当t=0时，不等式显然成立；当0＜t≤1时，3a≥4t﹣，由4t﹣在（0，1]递增，可得t=1时，取得最大值﹣1，可得3a≥﹣1，即a≥﹣；当﹣1≤t＜0时，3a≤4t﹣，由4t﹣在[﹣1，0）递增，可得t=﹣1时，取得最小值1，可得3a≤1，即a≤．综上可得a的范围是[﹣，]．另解：设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，由题意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣3a≥0，解得a的范围是[﹣，]．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．【解答】解：∵；∴；即x+2（x+1）=0；∴．故答案为：．14．（5分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．【解答】解：∵θ是第四象限角，∴，则，又sin（θ+）=，∴cos（θ+）=．∴cos（）=sin（θ+）=，sin（）=cos（θ+）=．则tan（θ﹣）=﹣tan（）=﹣=．故答案为：﹣．15．（5分）设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若|AB|=2，则圆C的面积为4π．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0的圆心坐标为（0，a），半径为，∵直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，且|AB|=2，∴圆心（0，a）到直线y=x+2a的距离d=，即+3=a2+2，解得：a2=2，故圆的半径r=2．故圆的面积S=4π，故答案为：4π16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．故答案为：216000．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a n b n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1=nb n．当n=1时，a1b2+b2=b1．∵b1=1，b2=，∴a1=2，又∵{a n}是公差为3的等差数列，∴a n=3n﹣1，（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n+1+b n+1=nb n．即3b n+1=b n．即数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴{b n}的前n项和S n==（1﹣3﹣n）=﹣．18．（12分）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵P﹣ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB，又E为D在平面PAB内的正投影，∴DE⊥面PAB，则DE⊥AB，∵PD∩DE=D，∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，则AB⊥PG，又PA=PB，∴G是AB的中点；（Ⅱ）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC 内的正投影．∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，∴PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由（Ⅰ）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD=CG．由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE=PG，DE=PC．由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PG=3，PE=2．在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2．=×2××2×2=．所以四面体PDEF的体积V=×DE×S△PEF19．（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）若n=19，求y与x的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？【解答】解：（Ⅰ）当n=19时，y==（Ⅱ）由柱状图知，更换的易损零件数为16个频率为0.06，更换的易损零件数为17个频率为0.16，更换的易损零件数为18个频率为0.24，更换的易损零件数为19个频率为0.24又∵更换易损零件不大于n的频率为不小于0.5．则n≥19∴n的最小值为19件；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，所须费用平均数为：（70×19×200+4300×20+4800×10）=4000（元）假设这100台机器在购机的同时每台都购买20个易损零件，所须费用平均数为（90×4000+10×4500）=4050（元）∵4000＜4050∴购买1台机器的同时应购买19台易损零件．20．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C 于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．【解答】解：（Ⅰ）将直线l与抛物线方程联立，解得P（，t），∵M关于点P的对称点为N，∴=，=t，∴N（，t），∴ON的方程为y=x，与抛物线方程联立，解得H（，2t）∴==2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知k MH=，∴直线MH的方程为y=x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2﹣4ty+4t2=0，∴△=16t2﹣4×4t2=0，∴直线MH与C除点H外没有其它公共点．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，可得f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①当a≥0时，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，即有f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增；②当a＜0时，若a=﹣，则f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上递增；若a＜﹣时，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（﹣2a）；由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．即有f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增；在（1，ln（﹣2a））递减；若﹣＜a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜ln（﹣2a）或x＞1；由f′（x）＜0，可得ln（﹣2a）＜x＜1．即有f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（1，+∞）递增；在（ln（﹣2a），1）递减；（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得当a＞0时，f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增，且f（1）=﹣e＜0，x→+∞，f（x）→+∞；x→﹣∞，f（x）→+∞．f（x）有两个零点；②当a=0时，f（x）=（x﹣2）e x，所以f（x）只有一个零点x=2；③当a＜0时，若a＜﹣时，f（x）在（1，ln（﹣2a））递减，在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增，又当x≤1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点；当a≥﹣时，f（x）在（1，+∞）单调递增，又x≤1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点．综上可得，f（x）有两个零点时，a的取值范围为（0，+∞）．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，∴直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心．∵OA=OB，TA=TB，∴OT为AB的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT为CD的中垂线，∴AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，②即（x﹣2）2+y2=4．由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x，∵曲线C1与C2的公共点都在C3上，∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，∴1﹣a2=0，∴a=1（a＞0）．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜，即有﹣1＜x＜或1＜x＜；当x≥时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或≤x＜3．综上可得，x＜或1＜x＜3或x＞5．则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
2019年广东省茂名市高2019届高2016级文科数学一模试卷
2019年广东省茂名市高2016级数学一模试卷文科数学试题及详细解析一、选择题：(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的)1.(5分)已知集合{|02}A x x =<…,{0B =,1,2},则(A B = )A.{0}B.{|02}x x 剟C.{1,2}D.{0,1,2}2.(5分)已知i 是虚数单位,复数(1)()i a i ++是实数,则实数(a = ) A.0B.2-C.1-D.13.(5分)广东省的学业水平测试成绩是分等级来表示的,考试分为四个成绩等级；24分及以下不给等级,25~49分为D ,5069-分为C ,7084-分为B ,85100-分为A .培恩中学高二学生参加2018年6月份学业水平测试的成绩全部在D 级(含D 级)以上,该校共有500名学生参加了考试,学生成绩等级统计如图所示,该校学业水平测试成绩评价等级为A 的学生人数是( )A.205B.185C.85D.254.(5分)已知椭圆22222(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221x y a b-=的焦点相同,则双曲线的离心率为( )5.(5分)已知a ,b 是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,则下列命题中正确的是( )A.//a b ,//b α,则//a αB.a α⊂,b β⊂,//αβ,则//a bC.//a b ,a α⊥,则b α⊥D.当a α⊂,且b α⊂/时,若//b α,则//a b6.(5分)在ABCD 中,E 为AC 上一点,且3AC AE =,记AD a =,AB b =,则(BE = )A.2133a b -+B.1233a b - C.4133a b + D.4133a b -+7.(5分)将函数()cos()6g x x π=+的图象向左平移6π个单位长度,得到()y f x =的图象,则下列说法错误的是( ) A.()f x 的一个周期为2πB.()y f x =的图象关于直线3x π=-对称C.()f x π+的一个零点为6x π=D.()f x 在(2π,)π单调递减8.(5分)函数log (4)2(0a y x a =++>且1)a ≠的图象恒过点A ,且点A 在角α的终边上,则sin 2(α= )A.513-B.1213-C.1213D.9139.(5分)用一段长为8cm 的铁丝围成一个矩形模型,则这个模型的最大面积为( ) A.29cmB.216cmC.24cmD.25cm10.(5分)函数()sin 2sin f x x x =+在[π-,]π,的图象大致是( )A. B.C. D.11.(5分)在长方体1111ABCD A B C D -中,四边形ABCD 是边长为2的正方形,1D B 与DC 所成的角是60︒,则长方体的外接球表面积是( )A.16πB.8πC.4πD.12.(5分)已知函数,0(),0x e x f x lnx x ⎧=⎨>⎩…,()()g x f x ax =-,若函数()y g x =有两个零点,则a 的取值范围是( ) A.(-∞,0)(0⋃,)eB.(-∞,0)(0⋃,1)eC.21(e ,)+∞ D.1(,)e-∞二、填空题：(本大题共4小题,每小题5分,共20分把答案填在答题卡的相应位置) 13.(5分)已知函数2()()xf x x a =+是奇函数,则实数a 的值为 .14.(5分)已知x ,y 满足约束条件020x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩………,若2z x y =+的最大值为 .15.(5分)《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题,今年超强台风“山竹”登陆时再现了这一现象(如图所示),不少大树被大风折断某路边树干被台风吹断后(没有完全断开),树干与地面成75︒角,折断部分与地面成45︒角,树干底部与树尖着地处相距10米,则大树原来的高度是 米(结果保留根号)16.(5分)已知点(0,0)O ,(2,2)A -,点M 是圆22(3)(1)2x y -+-=上的动点,则OAM ∆面积的最大值为 .三、解答题：(本大題共5小题,共70分其中17至21题为必考题,22、23題为选考题解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(一)必考部分：共60分 17.(12分)已知数列{}n a 满足11a =,1(*)12nn na a n N a +=∈+. (Ⅰ)求2a ,3a ,4a 的值；(Ⅱ)证明数列1{}na 为等差数列；(Ⅲ)设1n n n a a +=ð,求数列{}n ð的前n 项和n S .18.(12分)如图(1)所示,AD 是ABC ∆的边BC 上的高,E ,F 分别是DC ,AC 的中点,6AD DC ==,4BD =,分别将ABD ∆和CEF ∆沿着线段AD 和EF 折起,使得B ,C 两点重合为点S ,得到几何体ADSEF ,如图(2)所示. (Ⅰ)求证：平面ADEF ⊥平面SDE ； (Ⅱ)求几何体ADSEF 的体积.19.(12分)2018年茂名市举办“好心杯”少年美术书法作品比赛,某赛区收到100件参赛作品,为了解作品质量,现从这些作品中随机抽取10件作品进行试评.若这10件作品的成绩如下：65,82,78,86,96,81,73,84,76,59. (Ⅰ)请绘制以上数据的茎叶图； (Ⅱ)求该样本的中位数和方差；(Ⅲ)在该样本中,从成绩在平均分以上(含平均分)的作品中随机抽取两件作品,求成绩为82分的作品被抽到的概率.20.(12分)设抛物线2:2(08)C x py p =<<的焦点为F ,点P 是C 上一点,且PF 的中点坐标为5(2,)2(Ⅰ)求抛物线C 的标准方程；(Ⅱ)动直线l 过点(0,2)A ,且与抛物线C 交于M ,N 两点,点Q 与点M 关于y 轴对称(点Q 与点N 不重合),求证：直线QN 恒过定点.21.(12分)已知函数1()()x ae f x a R x-=∈在2x =处的切线斜率为号2e.(Ⅰ)求实数a 的值,并讨论函数()f x 的单调性； (Ⅱ)若()()x g x e lnx f x =+,证明：()1g x >. [选修4-4：坐标系与参数方程]22.(10分)在平面直角坐标系xoy ,已知椭圆的方程为：2212012x y +=,动点P 在椭圆上,O 为原点,线段OP 的中点为Q .(Ⅰ)以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,求点Q 的轨迹的极坐标方程；(Ⅱ)设直线l的参数方程为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数),l 与点Q 的轨迹交于M 、N 两点,求弦长||MN .[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()|21|||(0)f x x x a a =+-->. (Ⅰ)当1a =时,求不等式()1f x …的解集； (Ⅱ)若不等式()2f x >-在R 上恒成立,求实数a 的取值范围.2019年广东省茂名市高考数学一模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题：(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的)【解答】解：集合{|02}A x x =<…,A 包含的整数有1,2, {0B =,1,2},{1A B ∴=,2}.故选：C .【解答】解：(1)()(1)(1)i a i a a i ++=-++是实数, 10a ∴+=,即1a =-.故选：C .【解答】解：由扇形统计图得：评价等级为A 的人数是：50041%205⨯=人. 故选：A .【解答】解：设双曲线的焦距为2c ,依题意222222a b a b -=+, 即223a b =,又222b c a =-,2223()a c a ∴=-,即2243c a =,∴双曲线的离心率为c e a ==. 故选：D .【解答】解：在A 中,有可能a α⊂,也可能a α⊂/,故A 错； 在B 中,直线a ,b 可能平行,也可能异面,故B 错；在C 中,//a b ,a α⊥,则由线面垂直的性质定理得b α⊥,故C 正确； 在D 中,直线a ,b 也可能异面,故D 错. 故选：C . 【解答】解：如图,3,,AC AE AD a AB b ===；∴1,3AE AC AC a b ==+； ∴112()333BE AE AB a b b a b =-=+-=-.故选：B .【解答】解：依题设得()cos()3f x x π=+,所以①函数的周期为2T π=, 故：A 正确, ②对于B , 当3x π=-时,函数的值为1,故：B 正确. ③对于C 当6x π=时,函数()cos()062f ππππ+=+=, 故：C 正确. 故选：D .【解答】解：对于函数log (4)2(0a y x a =++>且1)a ≠,令41x +=,求得2x =-,2y =,可得它的图象恒过(3,2)A -, 则sin cosαα==则12sin 22sin cos 13ααα==-, 故选：B .【解答】解：设矩形模型的长和宽分别为x ,y ,则0x >,0y >,由题意可得2()8x y +=,所以4x y +=,所以矩形菜园的面积22()4444x y S xy +===…,当且仅当2x y ==时取等号,所以当矩形菜园的长和宽都为2cm 时,面积最大,为24cm . 故选：C .【解答】解：显然()f x 是奇函数,图象关于原点对称,排除D ； 在区间(0,)2π上,sin 20x >,sin 0x >,即()0f x >,∴排除B 和C ； 故选：A .【解答】解：如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,//DC AB , ∴相交直线1D B 与AB 所成的角是异面直线1D B 与DC 所成的角.连接1AD ,由AB ⊥平面11ADD A ,得1AB AD ⊥.∴在1Rt ABD ∆中,1ABD ∠就是1D B 与DC 所成的角,即160ABD ∠=︒,又2AB =,1cos60AB BD ∴=︒,所以,14cos60ABBD ==︒,设长方体1111ABCD A B C D -外接球半径为R ,则由长方体的对角线就是长方体外接球直径得221416R D B ==,则2R =,∴长方体外接球表面积是2416R ππ=.故选：A .【解答】解：()g x 有两个零点,即方程()0f x ax -=有两个不等的实根.也就是函数()y f x = 与y ax =有两个交点,如图,作出()y f x =的图象,而y ax =是过原点的直线, ①当0a >时,求出y ax =与y lnx =相切时的斜率1a e=,数形结合, 当且仅当10a e<<时,y ax =与()y f x =有两个交点. ②当0a <时,y ax =与()y f x =恒有两个交点. ③当0a =时,y ax =与()y f x =只有一个交点.综上得a 的取值范围是(-∞,0)(0⋃,1)e .故选：B .二、填空题：(本大题共4小题,每小题5分,共20分把答案填在答题卡的相应位置) 【解答】解：()f x 是奇函数, 所以()()f x f x -=-, 即22()()x xx a x a -=--++, 则22()()a x a x -=+,即222222a ax x a ax x -+=++, 得22ax ax -=,即40ax =, 则40a =, 解得0a =. 故答案为：0【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分). 由2z x y =+得2y x z =-+, 平移直线2y x z =-+,由图象可知当直线2y x z =-+经过点B 时,直线2y x z =-+的截距最大, 此时z 最大.由20x y y +=⎧⎨=⎩,解得20x y =⎧⎨=⎩,即(2,0)B ,代入目标函数2z x y =+得2204z =⨯+=. 即目标函数2z x y =+的最大值为4. 故答案为：4.【解答】解：设树根部为O ,折断处为A ,树梢为B ,则75AOB ∠=︒,45ABO ∠=︒, 所以60OAB ∠=︒.10OB =. 由正弦定理知,10sin 45sin 75sin 60AO AB ==︒︒︒,所以OA =米),AB =米),∴OA AB +=(米).答案：【解答】解：如图,由题设,得圆心(3,1)C ,半径r =OA =, 直线OA 的方程为0x y +=,则OAM ∆边OA 上的高h 就是点M 到直线OA的距离,圆心(3,1)C 到直线OA 的距离为d =可得圆22(3)(1)2x y -+-=上的点M 到直线OA 的距离的最大值为max h d r =+=故OAM ∆面积的最大值11622max S OA h ==⨯=.故答案为：6三、解答题：(本大題共5小题,共70分其中17至21题为必考题,22、23題为选考题解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(一)必考部分：共60分 【解答】解：(Ⅰ)由11a =,112nn na a a +=+,得1211112123a a a ===++, 232113212513a a a ===++,343115212715a a a ===++,即2a ,3a ,4a 的值分别为111,,357；(Ⅱ)(法一)证明：由112n n n a a a +=+得112112n n n n a a a a ++==+,∴1112n na a +-=,又11a =,111a =,∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为2的等差数列.(Ⅱ)(法二)证明：由11a =,112nn n a a a +=+,得111a =,1111112n n nn na a a a a +-=-+ 1211122n n n n na a a a a +=-=+-=, 因此,数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项111a =,公差为2的等差数列；(Ⅲ)由(Ⅱ)得112(1)21nn n a =+-=-, {}n a ∴的通项公式为121n a n =-,11111()(21)(21)22121n n n a a n n n n +∴===--+-+ð,12311111111[(1)()()()]2335572121n n S C C C n n ∴=+++⋯+=-+-+-+⋯+--+ð11(1)22121n n n =-=++. 【解答】证明：(Ⅰ)依题意,AD BC ⊥,由翻折的不变性得,AD DE ⊥,AD DS ⊥,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2分) 又DSDE D =,DE 、DS ⊂平面SDE ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(3分)AD ∴⊥平面SDE ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(4分) AD ⊂平面ADEF ,∴平面ADEF ⊥平面SDE .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5分)解：(Ⅱ)解法一：由已知得几何体ADSEF 是四棱锥S ADEF -,EF 为ADC ∆的中位线,//EF AD ∴且132EF AD ==..⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(6分)由题设得四边形ADEF 为直角梯形,6AD =,3DE =,1127()(63)3222ADEF S AD EF DE ∴=+=+⨯=.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(7分) 在平面SDE 内,作SO DE ⊥,O 为垂足,由(Ⅰ)知平面ADEF ⊥平面SDE , 平面ADEF ⋂平面SDE DE =,SO ⊂平面SDE ,SO ∴⊥平面ADEF ,即SO 是四棱锥S ADEF -的高.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(8分)在SDE ∆中,设G 是SD 的中点,连接GE ,依题设知3ES DE ==,4DS =,故EG DS ⊥,EG ∴=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(10分)利用等面积得DS GE SO DE ===⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(11分)∴四棱锥S ADEF -的体积为1127332S ADEF ADEF V S SO -==⨯=⋯⋯⋯⋯⋯⋯(12分) 解法二：由已知得几何体ADSEF 是四棱锥S ADEF -,EF 为ADC ∆的中位线,//EF AD ∴且132EF AD ==..⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(6分)由题设得四边形ADEF 为直角梯形,6AD =,3DE =,1127()(63)3222ADEF S AD EF DE ∴=+=+⨯=..⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(7分) 在平面SDE 内,作SO DE ⊥,O 为垂足,由(Ⅰ)知AD ⊥平面SDE , SO ⊂平面SDE ,SO AD ∴⊥,又ADDE D =,AD 、DE ⊂平面ADEF ,SO ∴⊥平面ADEF ,即SO 是四棱锥S ADEF -的高..⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(8分)在SDE ∆中,依题设知3ES DE ==,4DS =,由余弦定理得：2221cos 29DE ES DS DES DE ES +-∠==,又(0,)DES π∠∈sin DES ∴∠=,故11sin 3322DES S DE ES DES ∆=∠=⨯⨯=⋯⋯⋯⋯⋯(10分)利用等面积得1252DES S DE SO ∆==∴SO =,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(11分)∴四棱锥S ADEF -的体积为1127332S ADEF ADEF V S SO -==⨯=.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(12分)【解答】解：(Ⅰ)根据题意绘制茎叶图如下：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2分)(Ⅱ)样本数据的中位数为：788179.52+=.⋯⋯⋯⋯⋯⋯(3分) 平均数为1780(96818284867376786559)781010x =⨯+++++++++==, ∴方差为2222222222211008[183468(5)(2)0(13)(19)]100.81010s =⨯+++++-+-++-+-==.⋯(6分)(Ⅲ)成绩在平均分以上(含平均分)的作品有：78,81,82,84,86,96共6件；⋯⋯⋯⋯⋯(7分) 从成绩在平均分以上(含平均分)的作品中随机抽取两件作品的基本事件有：(78,81),(78,82),(78,84),(78,86),(78,96),(81,82),(81,84),(81,86), (81,96),(82,84),(82,86),(82,96),(84,86),(84,96),(86,96)共有15个；9分设事件A 为成绩为8(2分)的作品被抽取到,则事件A 包含的基本事件有： (78,82),(81,82),(82,84),(82,86),(82,96)共5个；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(10分) ∴51()153P A ==.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(11分) 因此,成绩为82分的作品被抽取到的概率为13.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(12分)【解答】解：(Ⅰ)依题意得(0,)2pF ,设0(P x ,0)y ,由PF 的中点坐标为5(2,)2,得0022x +=⨯且05222p y +=⨯,04x ∴=,052py =-, 0(P x ,0)y 在抛物线22x py =上,162(5)2pp ∴=-, 即210160p p -+=,解得2p =或8p =(舍去), ∴抛物线C 的方程为24x y =；(Ⅱ)(法一)依题意直线l 的斜率存在,设直线:2l y kx =+,1(M x ,1)y ,2(N x ,2)y ,则1(Q x -,1)y ,联立242x y y kx ⎧=⎨=+⎩消去y 得2480x kx --=,显然△0>,由韦达定理得121248.x x k x x +=⎧⎨=-⎩,222121212121444QNx x y y x x k x x x x ---===++, ∴直线QN 方程为2111()4x x y y x x --=+, 即221211*********()()444444x x x x x x x x x x x xy y x x x x ----=++=++=+, 128x x =-,QN ∴方程为2124x x y x -=-, 即直线QN 方程恒过定点(0,2)-.(法二)依题意知直线QN 的斜率存在且不为0, 设直线QN 方程为y kx b =+,1(Q x ,1)y ,2(N x ,2)y , 则1(M x -,1)y ,联立24x y y kx b⎧=⎨=+⎩消去y 得2440x kx b --=.Q ,N 是抛物线C 上不同两点,∴必有△0>,由韦达定理得121244.x x kx x b +=⎧⎨=-⎩,M ,A ,N 三点共线,1122(,2),(,2)AM x y AN x y =--=-,1221(2)(2)0x y x y ∴----=.1221(2)(2)0x kx b x kx b ∴-+--+-=,12122(2)()0kx x b x x ∴+-+=,即2(4)(2)40k b b k -+-=化简得：20kb k +=, 0k ≠,2b ∴=-,∴直线QN 方程为2y kx =-, ∴直线QN 恒过定点(0,2)-.【解答】解：(Ⅰ)1221()()x x x x a e a e x e x f x ae e x e x x'---'===⋯⋯.⋯⋯⋯⋯⋯⋯.⋯.⋯⋯.⋯⋯⋯⋯(1分)由切线斜率221(2)22ek f ae-'===,解得2a =.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.⋯.⋯⋯⋯.⋯⋯⋯(2分) ∴12()x e f x x-=,其定义域为(-∞,0)(0⋃,)+∞,121()2x x f x e x --'=.⋯.⋯.⋯⋯.⋯⋯(3分) 令()0f x '>,解得1x >,故()f x 在区间(1,)+∞上单调递增；⋯.⋯.⋯⋯.⋯.⋯⋯.⋯⋯(4分) 令()0f x '<,解得1x <,且0x ≠,故()f x 在区间(,0)-∞和区间(0,1]上单调递减；.⋯⋯(5分)(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知12()x xe g x e lnx x-=+,定义域为(0,)+∞.从而()1g x >等价于2x x xlnx e e>-,⋯⋯.⋯.⋯⋯.⋯.⋯⋯.⋯⋯⋯.⋯⋯⋯.⋯.⋯⋯.⋯(6分)设()(0)h x xlnx x =>,则()1h x lnx '=+,11()10h ln e e'=+=.∴当1(0,)x e ∈时,()0h x '<,当1(x e ∈,)+∞时,()0h x '>.⋯⋯.⋯⋯⋯.⋯⋯.⋯⋯.⋯(7分)故()h x 在区间1(0,)e 上单调递减,在区间1(e ,)+∞上单调递增,⋯⋯.⋯⋯⋯⋯.⋯.⋯(8分)从而()h x 在(0,)+∞的最小值为11()h e e=-.⋯⋯⋯.⋯.⋯.⋯.⋯.⋯⋯⋯.⋯⋯.⋯(9分)设2()(0)x x m x x e e =->,则1()x xm x e-'=, ∴当(0,1)x ∈时,()0m x '>,当(1,)x ∈+∞时,()0m x '<.⋯.⋯⋯.⋯⋯.⋯(10分)故()m x 在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,)+∞上单调递减,从而()m x 在(0,)+∞的最大值为m (1)1e=-,综上所述,在区间(0,)+∞上恒有()()h x m x >成立,即()1g x >..⋯.⋯⋯⋯.⋯(12分) [选修4-4：坐标系与参数方程]【解答】解：(Ⅰ)设点Q 的坐标为(,)x y ,则点P 的坐标为(2,2)x y ,由点P 在椭圆上得22(2)(2)12012x y +=,化解可得：22153x y +=①.由cos x ρθ=,sin y ρθ=,代入①得2222cos sin 153ρθρθ+=,化简可得点Q 轨迹的极坐标方程为22(32sin )15ρθ+=.(Ⅱ)(法一)把直线l参数方程12(x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)代入①得22344153t t +=化简得：2103t =.所以12t t ==, ∴弦长12||||MN t t =-=； (法二)由直线l参数方程12(x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)知,直线l 过极点,倾斜角为3π,∴直线l 的极坐标方程为())3R πθρ=∈.由223(32sin )15πθρθ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得：13πθρ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或23πθρ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. ∴弦长12||||MN ρρ=-=(法三)由直线l参数方程12(x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)知,直线l的普通方程为y =,联立①解得1212x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩弦长||MN =. [选修4-5：不等式选讲] 【解答】解：由已知11,21()|21|||31,21,x a x f x x x a x a x a x a x a ⎧---<-⎪⎪⎪=+--=+--⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎨⎪++>⎪⎪⎩剟(1分)(Ⅰ)当1a =时,12,21()3,122,1x x f x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=-⎨⎪+>⎪⎪⎩剟由()1f x …,得1221x x ⎧<-⎪⎨⎪--⎩…或11231x x ⎧-⎪⎨⎪⎩剟…或121x x >⎧⎨+⎩…即3x -…或113x 剟或1x >.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(3分)3x ∴-…或13x …,即不等式()1f x …的解集{ |3x x -…或1}3x … ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5分)(Ⅱ)函数()f x 的解析式知当12x <-时,()f x 单调递减,当12x a -剟时,()f x 单调递增,当x a>时,()f x 单调递增. ∴当12x =-时,()f x 取得最小值1()2min f x a =-- ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(8分)由122a -->-,解得32a <,又0a >∴实数a 的取值范围是3(0,)2..⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(10分)。
2016年广东省高考数学试卷(文)真题带答案(文档版)
绝密★启封并使用完毕前试题类型：B2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B =（A ）{1,3}（B ）{3,5}（C ）{5,7}（D ）{1,7}(2)设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（A ）－3（B ）－2（C ）2（D ）3（3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，学.科.网余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A ）13（B ）12（C ）13（D ）56（4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =2c =，2cos 3A =，则b=（A（BC ）2（D ）3（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为 （A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（6）若将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y =2sin(2x +π4) （B ）y =2sin(2x +π3) （C ）y =2sin(2x –π4) （D ）y =2sin(2x –π3)（7）如图，学.科网某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π （8）若a>b>0，0<c<1，则（A ）log a c <log b c （B ）log c a <log c b （C ）a c <b c （D ）c a >c b （9）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）（10）执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n =1,则输出,x y 的值满足（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =（11）平面α过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A 11//CB D α平面,ABCD m α=平面，11ABB A n α=平面，则m ，n 所成角的正弦值为（A ）2（B ）2（C ）3（D ）13（12）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（A ）[]1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x =._____________（14）已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)=.____________（15）设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若，则圆C 的面积为______。
广东省茂名市2016届高三第二次高考模拟数学文试题 含答案
茂名市2016年第二次高考模拟考试 数学试卷(文科） 2016.4本试卷分选择题和非选择题两部分,共6页，24小题,满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。
参考公式：锥体的体积公式是:13VS h =•锥体底，其中S 底是锥体的底面积，h 是锥体的高.第一部分 选择题（共60分）一.选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{1,2,5}A =,{}1,3,5UC B =,则A B =（ ）A ．{5}B ．{2}C ．{1,2,4,5}D ．{3,4,5} 2．已知Z=ii +12 （i 为虚数单位)，则Z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3。
已知非零向量()21,1a m m =-+与向量()1,2b =-平行，则实数m 的值为( ）A ．1-或21 B ． 1或21-C ． 1-D ． 214．执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( ）A ．1B ．23C ．1321D ．6109875．设C ∆AB 的内角A ，B ,C 的对边分别为a ,b ,c ． 若2a =，23c =，21sin =A ，且b c <，则=B ( ） A ．6πB ．3πC ．2πD ．32π6．设数列}{na 是等差数列，nS 为其前n 项和。
若368S S=，853=-a a ，则20a =（）A ．4B 。
【2016年高考数学】广东省茂名市2016届高三第一次模拟考试数学【文】试卷及答案
茂名市2016年第一次高考模拟考试数学文试题一、选择题（40分）1、设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，2，3，5}，B ＝{2， 4， 6}，则U C A B （）为（）A 、{2} B 、{4， 6} C 、{1，3，5} D 、{2，4，6}2、i 为虚数单位，则复数1i ＋i的虚部是（）A 、－iB 、-1C 、1D 、i3、在△ABC 中，内角A 和B 所对的边分别是a 和b ，则a ＞b 是sinA ＞sinB 的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件4、在各项均为正数的等比数列{n a }中，已知5a a 1＝25，则3a 等于（）A 、5B 、25C 、－25D 、－5或55、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A 、sin y xB 、12x yC 、3y x D 、2lg 1y x 6、设,x y 满足约束条件0201x x y x y ，则2z x y 的最大值是（）A 、0B 、2C 、4D 、57、若1()(2)2f x x x x 在x n 处取到最小值，则n 的值为（）A 、52B 、3C 、72D 、48、已知l 、m 是不同的两条直线，,是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是（）A ．若l ⊥α，α⊥β，则l ∥β B ．若l ∥α，α⊥β，则l ∥βC ．若l ⊥m ，α∥β，m β，则l ⊥αD ．若l ⊥α，α∥β，m β，则l ⊥m9、若执行如图所示的程序框图，则输出的S 是（）A 、0B 、12C 、1D 、－1。
2016年广东高考(全国I卷)文数含答案
嗯绝密★启封并使用完毕前试题类型：2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.（1）设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B =（A ）{1,3}（B ）{3,5}（C ）{5,7}（D ）{1,7}(2)设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（A ）－3（B ）－2（C ）2（D ）3（3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选22种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A ）13（B ）12（C ）23（D ）56（4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =，2c =，2cos 3A =，则b= （AB（C ）2（D ）3（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（6）若将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y =2sin(2x +π4) （B ）y =2sin(2x +π3) （C ）y =2sin(2x –π4) （D ）y =2sin(2x –π3)（7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π （8）若a>b>0，0<c<1，则（A ）log a c <log b c （B ）log c a <log c b （C ）a c <b c （D ）c a >c b （9）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）（10）执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n =1,则输出,x y 的值满足（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =（11）平面α过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A 11//CB D α平面,ABCD m α=平面，11ABB A n α=平面，则m ，n 所成角的正弦值为（A ）32（B ）22（C ）33（D ）13（12）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是 （A ）[]1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x =. （14）已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)=. （15）设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若，则圆C 的面积为。
广东茂名市高三第一次高考模拟文科数学试卷
二级
三级
四级
五级
六级
空气质量类别
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
某市年月日—月日(天)对空气质量指数进行监测,获得数据后得到如下条形图.
（1）估计该城市一个月内空气质量类别为优的概率；
（2）从空气质量级别为三级和四级的数据中任取个，求恰好有一天空气质量类别为中度污染的概率.
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3.难度：困难
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
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11.难度：简单
已知直线与直线，若，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．6 D．1或2
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12.难度：简单
已知函数，，则（ ）
A．与均为偶函数B．为奇函数，为偶函数
C．与均为奇函数D．为偶函数,为奇函数
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13.难度：中等
如图所示的流程图中，输出的结果是（ ）
三、填空题
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17.难度：简单
函数的定义域为．
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18.难度：中等
下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是___________．
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19.难度：简单
在平面直角坐标系上，设不等式组所表示的平面区域为，记内的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为.则＝，经推理可得到=．
（1）求椭圆标准方程；
（2）设动点满足：，直线与的斜率之积为，证明：存在定点使
得为定值，并求出的坐标；
（3）若在第一象限，且点关于原点对称，垂直于轴于点，连接并延长交椭圆于点，记直线的斜率分别为，证明：.
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6.难度：困难
已知函数，其中，
广东省茂名市高考数学一模试卷文(含解析)
广东省茂名市2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则（∁U A）∩B为（）A．{2} B．{4，6} C．{1，3，5} D．{2，4，6}2．（5分）i为虚数单位，则z=的虚部是（）A．﹣i B．﹣1 C．1 D．i3．（5分）在△ABC中，内角A和B所对的边分别为a和b，则a＞b是sinA＞sinB的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，已知a1•a3=25，则a2等于（）A．5 B．25 C．﹣25 D．﹣5或55．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y=sinx B．y=C．y=x3D．y=lg6．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是（）A．0 B．2 C．4 D．57．（5分）若f（x）=x+（x＞2）在x=n处取到最小值，则n的值为（）A．B．3 C．D．48．（5分）已知l、m是不同的两条直线，α、β是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l∥βB．若l∥α，α⊥β，则l∥βC．若l⊥m，α∥β，m⊂β，则l⊥αD．若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥m9．（5分）若执行如图所示的程序框图，则输出的S是（）A．0 B．C．1 D．﹣110．（5分）设函数y=f（x）在R上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数f p（x）=，则称函数f p（x）为f（x）的“p界函数”，若给定函数f（x）=x2﹣2x﹣2，p=1，则下列结论成立的是（）A．f p[f（0）]=f[f p（0）] B．f p[f（1）]=f[f p（1）] C． f p [f（2）]=f p[f p（2）] D．f[f（﹣2）]=f p[f p（﹣2）]二、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）11．（5分）一个几何体的三视图如图所示，正视图为正方形，俯视图为半圆，侧视图为矩形，则其表面积为．12．（5分）在区间[﹣2，2]上随机取一个数x，使得函数f（x）=+有意义的概率为．13．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A位椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左顶点，点B、C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB=45°，则椭圆E的离心率等于．（二）选做题：14-15两题，考生只能从中选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分【坐标系与参数方程】14．（5分）在极坐标系中，曲线ρ=sinθ与ρ=cosθ（ρ＞0，0≤θ≤）的交点的极坐标为．【几何证明选讲】15．（几何证明选讲选做题）如图，圆O的半径为5cm，点P是弦AB的中点，OP=3cm，弦CD 过点P，且，则CD的长为cm．三、解答题16．（12分）已知函数f（x）=sin2xcosφ+cos2xsinφ（x∈R，O＜φ＜π），f（）=．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（﹣）=，a∈（，π），求sina的值．17．（12分）第117届中国进出口商品交易会（简称春季交广会）将于4月15日在广州市举行，为了搞好接待工作，组委会在广州某大学分别招募8名男志愿者和12名女志愿者，现将这20名志愿者的身高组成如茎叶图（单位：m），若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”．（1）计算男志愿者的平均身高（保留一位小数）；（2）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5个人选2人，求至少有1人是“高个子”的概率．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD=CD=1，DB=2，PD=2．（1）证明：PA∥平面BDE；（2）证明：AC⊥平面PBD；（3）求三棱锥B﹣ADE的体积．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且2nS n+1﹣2（n+1）S n=n（n+1）（n∈N*）．数列{b n}满足b n+2﹣2b n+1+b n=0（n∈N*）．b3=5，其前9项和为63．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n=+，数列{c n}的前n项和为T n，证明：≤T n﹣2n＜3．20．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点F（0，1），直线l：y=﹣1，点P在直线l 上移动，R是线段PF与x轴的交点，过点R，P分别作直线l1，l2，使得l1⊥PF，l2⊥l，l1∩l2=Q．（1）求动点Q的轨迹C的方程；（2）设N为轨迹C上的动点，是否在y轴上存在定点E，使得以NE为直径的圆被直线y=3截得的弦长恒为定值？若存在，求出定点E和弦长；若不存在，请说明理由．21．（14分）设函数f（x）=lnx﹣x2+ax．（1）若函数f（x）在（0，1]上单调递增，试求a的取值范围；（2）设函数f（x）在点C（x0，f（x0））（x0为非零常数）处的切线为l，证明：函数f（x）图象上的点都不在直线l的上方．广东省茂名市2015届高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则（∁U A）∩B为（）A．{2} B．{4，6} C．{1，3，5} D．{2，4，6}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：先求出A的补集，从而求出（∁U A）∩B，进而得到答案．解答：解：∵∁U A={4，6}，∴（∁U A）∩B={4，6}∩{2，4，6}={4，6}，故选：B．点评：本题考查了集合的交，并，补集的运算，是一道基础题．2．（5分）i为虚数单位，则z=的虚部是（）A．﹣i B．﹣1 C．1 D．i考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则化简复数z为1﹣i，可得它的虚部．解答：解：z===﹣i（1+i）=1﹣i，故它的虚部为﹣1，故选：B．点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i 的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）在△ABC中，内角A和B所对的边分别为a和b，则a＞b是sinA＞sinB的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：在三角形中，若a＞b，由正弦定理，得sinA＞sinB．若sinA＞sinB，则正弦定理，得a＞b，根所以，a＞b是sinA＞sinB的充要条件．故选：C点评：本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，利用正弦定理确定边角关系，是解决本题的关键．．4．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，已知a1•a3=25，则a2等于（）A．5 B．25 C．﹣25 D．﹣5或5考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1•a3=25，∴=25，∴a1q=5=a2．故选：A．点评：本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．5．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y=sinx B．y=C．y=x3D．y=lg考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据正弦函数，指数函数，幂函数，对数函数的奇偶性和单调性，结合复合函数的单调性“同增异减”的原则，逐一判断可得答案．解答：解：A是奇函数但不是增函数；B既不是奇函数也不是偶函数；C既是奇函数又是增函数；D是偶函数．故选：C点评：本题考查的知识点是函数单调性的判定与证明，函数奇偶性的判定，熟练掌握各种基本初等函数的图象和性质是解答的关键．6．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是（）A．0 B．2 C．4 D．5考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，1）将A的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×2+1=5．即z=2x+y的最大值为5．故选：D点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．7．（5分）若f（x）=x+（x＞2）在x=n处取到最小值，则n的值为（）A．B．3 C．D．4考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵x＞2，∴f（x）=x+=（x﹣2）++2+2=4，当且仅当x=3时取等号．∴n=3．故选：B．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．8．（5分）已知l、m是不同的两条直线，α、β是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l∥βB．若l∥α，α⊥β，则l∥βC．若l⊥m，α∥β，m⊂β，则l⊥αD．若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥m考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：阅读型．分析：分别举出三个错误选项中的反例，当一条直线与两个垂直平面中的一个平面垂直，这条直线与另一个平面之间是平行或包含的关系，当一条直线与两个垂直平面中的一个平面平行，这条直线与另一个平面之间是平行或包含或相交的关系，C选项中直线l与平面α或相交或包含关系，得到结论．解答：解：当一条直线与两个垂直平面中的一个平面垂直，这条直线与另一个平面之间是平行或包含的关系，故A不正确，当一条直线与两个垂直平面中的一个平面平行，这条直线与另一个平面之间是平行或包含或相交的关系，故B不正确，C选项中直线l与平面α或相交或包含关系，故C不正确，总上可知D是一个正确答案，故选D．点评：本题考查空间中直线与平面之间的关系，是一个基础题，这种题目只要举出不正确选项中的反例就可以确定结论，注意题目中包含的线和面比较多，用实物演示可以更加形象．9．（5分）若执行如图所示的程序框图，则输出的S是（）A．0 B．C．1 D．﹣1考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：根据框图的流程模拟程序运行的结果，发现S值的周期为6，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出的S值．解答：解：由程序框图知：n=1，第1次循环S=，n=2；第2次循环S=0，n=3；第3次循环S=﹣1，n=4；第4次循环S=﹣，n=5，第5次循环S=﹣1，n=6；第6次循环S=0，n=7；第7次循环S=，n=8，第8次循环S=0，……S值的周期为6，2016=6*336，∵跳出循环的k值为2016，∴输出的S=﹣1．故选：D．点评：本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟程序运行的结果是解答此类问题的常用方法，属于基础题．10．（5分）设函数y=f（x）在R上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数f p（x）=，则称函数f p（x）为f（x）的“p界函数”，若给定函数f（x）=x2﹣2x﹣2，p=1，则下列结论成立的是（）A．f p[f（0）]=f[f p（0）] B．f p[f（1）]=f[f p（1）] C． f p[f（2）]=f p[f p （2）] D．f[f（﹣2）]=f p[f p（﹣2）]考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据p界函数的定义求出f1（x）=，从而根据已知函数解析式求函数值，进行验证各选项的正误即可．解答：解：根据题意；∴f（0）=﹣2，f1（0）=﹣2，f1[f（0）]=f1（﹣2）=1，f[f1（0）]=f（﹣2）=6，∴A错误；f（1）=﹣3，f1（1）=﹣3，f1[f（1）]=f1（﹣3）=1，f[f1（1）]=f（﹣3）=13，∴B错误；f（2）=﹣2，f1（2）=﹣2，f1[f（1）]=f1（﹣2）=1，f1[f1（2）]=f1（﹣2）=1，∴C正确；f（﹣2）=6，f1（﹣2）=1，f[f（﹣2）]=f（6）=22，f1[f1（﹣2）]=f1（1）=﹣3，∴D错误．故选C．点评：考查对p界函数的理解与运用，已知函数解析式能够求出函数值．二、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）11．（5分）一个几何体的三视图如图所示，正视图为正方形，俯视图为半圆，侧视图为矩形，则其表面积为3π+4．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：原几何体为圆柱的一半，且高为2，底面圆的半径为1，表面积由上下两个半圆及正面的正方形和侧面圆柱面积构成，分别求解相加可得答案．解答：解：由三视图可知：原几何体为圆柱的一半，（沿中轴线切开）由题意可知，圆柱的高为2，底面圆的半径为1，故其表面积为S=2×π×12+2×2+×2π×1×2=3π+4故答案为：3π+4点评：本题考查由几何体的三视图求面积，由三视图得出原几何体的形状和数据是解决问题的关键，属基础题．12．（5分）在区间[﹣2，2]上随机取一个数x，使得函数f（x）=+有意义的概率为．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由题意，只要求出区间的长度以及满足函数有意义的x 的区间长度，利用几何概型的公式解答．解答：解：由题意，区间[﹣2，2]的长度为4，使得函数f（x）=+有意义的x 的范围为[﹣2，1]，区间长度为3，由几何概型的公式得使得函数f（x）=+有意义的概率为；故答案为：．点评：本题考查了几何概型的公式的运用；关键是明确所求概率模型，然后由概率模型公式解答．13．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A位椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左顶点，点B、C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB=45°，则椭圆E的离心率等于．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：首先利用椭圆的对称性和OABC为平行四边形，可以得出B、C两点是关于y轴对称，进而得到BC=OA=a；设B（﹣，y）C（，y），从而求出|y|，然后由∠OAB=∠COx=45°，利用tan45°=，求得a=b，最后根据a2=c2+b2得出离心率．解答：解：∵AO是与x轴重合的，且四边形OABC为平行四边形，∴BC∥OA，则B、C两点的纵坐标相等，B、C的横坐标互为相反数，∴B、C两点是关于y轴对称的．由题知：OA=a四边形OABC为平行四边形，则BC=OA=a，可设B（﹣，y）C（，y），代入椭圆方程解得：|y|=b，设D为椭圆的右顶点，由于∠OAB=45°，四边形OABC为平行四边形，则∠COx=45°，对C点：tan45°==1，解得a=b，根据a2=c2+b2得a2=c2+a2，即有c2=a2，e2=，即e=．故答案为：．点评：本题考查了椭圆的对称性以及简单性质，由椭圆的对称性求出B、C两点的纵坐标，进而得到a=b是解题的关键，属于中档题．（二）选做题：14-15两题，考生只能从中选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分【坐标系与参数方程】14．（5分）在极坐标系中，曲线ρ=sinθ与ρ=cosθ（ρ＞0，0≤θ≤）的交点的极坐标为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：曲线ρ=sinθ与ρ=cosθ（ρ＞0，0≤θ≤）分别化为ρ2=ρsinθ，ρ2=ρcosθ．可得直角坐标方程为：x2+y2=y，x2+y2=x，x，y≥0，x2+y2＞0．联立解得x，y，再利用极坐标即可．解答：解：曲线ρ=sinθ与ρ=cosθ（ρ＞0，0≤θ≤）分别化为ρ2=ρsinθ，ρ2=ρcosθ．可得直角坐标方程为：x2+y2=y，x2+y2=x，x，y≥0，x2+y2＞0．联立解得x=y=．∴交点P，化为极坐标为=，．∴极坐标为：．故答案为：．点评：本题考查了极坐标与直角坐标的互化、圆的交点，考查了计算能力，属于基础题．【几何证明选讲】15．（几何证明选讲选做题）如图，圆O的半径为5cm，点P是弦AB的中点，OP=3cm，弦CD 过点P，且，则CD的长为cm．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题；直线与圆．分析：连接OA，根据垂径定理可知OP⊥AB，AP=AB，在Rt△AOP中运用勾股定理即可求出AP的长，再利用相交弦定理，可得结论．解答：解：连接OA，∵点P是弦AB的中点，∴OP⊥AB，AP=AB，∵OA=5cm，OP=3cm，∴在Rt△AOP中，AP=4∴AP×PB=CP×PD∵∴16=×∴CD=故答案为：点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，考查相交弦定理，属于基础题．三、解答题16．（12分）已知函数f（x）=sin2xcosφ+cos2xsinφ（x∈R，O＜φ＜π），f（）=．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（﹣）=，a∈（，π），求sina的值．考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（1）首先根据f（）=．化简函数解析式，得到φ=，然后求解函数表达式；（2）根据f（﹣）=，得到sin（α﹣）=，然后运用诱导公式和同角的平方关系，计算即可得到．解答：解：（1）∵f（）=．∴sin cosφ+cos sinφ=．∴cosφ=．∵0＜φ＜π，∴Φ=，∴f（x）=sin2xcos+cos2xsin=sin（2x+）．∴f（x）的表达式f（x）=sin（2x+）；（2）∵f（﹣）=sin[2（﹣）+]=，∴sin（α﹣）=，即﹣cosα=，即有cosα=﹣，∵α∈（，π），∴sinα===．点评：本题重点考查了同角的平方关系、诱导公式的运用和两角和与差的正弦公式，考查运算能力，属于基础题．17．（12分）第117届中国进出口商品交易会（简称春季交广会）将于4月15日在广州市举行，为了搞好接待工作，组委会在广州某大学分别招募8名男志愿者和12名女志愿者，现将这20名志愿者的身高组成如茎叶图（单位：m），若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”．（1）计算男志愿者的平均身高（保留一位小数）；（2）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5个人选2人，求至少有1人是“高个子”的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．专题：概率与统计．分析：（1）根据茎叶图，利用平均数公式能求出男志愿者的平均身高．（2）根据分层抽样和茎叶图可知，抽取的5人中“高个子”为2人，“非高个子”有3人，一一列举出所有的基本事件，找到可满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．解答：解：（1）根据茎叶图，得男志愿者的平均身高为：（159+169+170+175+176+182+187+181）≈176.1（cm），（2）由茎叶图知“高个子”有8人，“非高个子”有12人，∴按照分层抽样抽取的5人中“高个子”为5×=2人，”非高个子”有3人，设高个子”用a，b表示，非高个子”用c，d，e表示，则基本事件有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de共10种，至少有1人是“高个子”ab，ac，ad，ae，bc，bd，be共7种，故至少有1人是“高个子”的概率P=点评：本题考查了茎叶图和平均数，分层抽样，古典概率问题，属于基础题．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD=CD=1，DB=2，PD=2．（1）证明：PA∥平面BDE；（2）证明：AC⊥平面PBD；（3）求三棱锥B﹣ADE的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）设AC∩BD=F，连接EF，F为AC的中点，从而PA∥EF，由此能证明PA∥平面BDE．（2）由等腰三角形性质得AC⊥BD，由线面垂直得PD⊥AC，由此能证明AC⊥平面PBD．（3）由V B﹣ADE=V E﹣ABD，利用等积法能求出三棱锥B﹣ADE的体积．解答：（1）证明：如图，设AC∩BD=F，连接EF，∵AD=CD，且DB平分∠ADC，∴F为AC的中点，又∵E为PC的中点，∴EF为△PAC的中位线，∴PA∥EF，又∵EF⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE．（2）证明：∵AD=CD，且DB平分∠ADC，∴AC⊥BD，又PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC，又∵PD∩BD=D，且PD⊂平面PBD、BD⊂平面PBD，∴AC⊥平面PBD．（3）解：∵AD⊥CD，AD=CD=1，∴AC=，由（1）知F为AC中点，∴AF=，由（2）知AF⊥BD，∴S△ABD==1，又∵PD⊥平面ABCD，PD=2，E为PC中点，∴E到平面ABD的距离为h=，∴V B﹣ADE=V E﹣ABD==，∴三棱锥B﹣ADE的体积为．点评：本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且2nS n+1﹣2（n+1）S n=n（n+1）（n∈N*）．数列{b n}满足b n+2﹣2b n+1+b n=0（n∈N*）．b3=5，其前9项和为63．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n=+，数列{c n}的前n项和为T n，证明：≤T n﹣2n＜3．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（1）由2nS n+1﹣2（n+1）S n=n（n+1）得数列{}是首项为1，公差为的等差数列，然后由等差数列的通项公式求得，进一步求得数列{a n}的通项公式，由b n+2﹣2b n+1+b n=0可得数列{b n}是等差数列，由已知求出公差，则数列{b n}的通项公式可求；（2）由（1）知，c n=+=，然后利用错位相减法求出，设A n=T n﹣2n，则，利用作差法证明{A n}单调递增，故，再由可证答案．解答：（1）解：由2nS n+1﹣2（n+1）S n=n（n+1），得，∴数列{}是首项为1，公差为的等差数列，因此，∴．于是，又a1=1，∴a n=n．∵b n+2﹣2b n+1+b n=0，∴数列{b n}是等差数列，由，b3=5，得b7=9．∴．∴b n=b3+（n﹣3）×1=n+2；（2）证明：由（1）知，c n=+=，∴T n=c1+c2+…+c n==．∴．设A n=T n﹣2n，则．又∵=．∴{A n}单调递增，故．而．故有．点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的前n项和，考查了放缩法证明数列不等式，是压轴题．20．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点F（0，1），直线l：y=﹣1，点P在直线l 上移动，R是线段PF与x轴的交点，过点R，P分别作直线l1，l2，使得l1⊥PF，l2⊥l，l1∩l2=Q．（1）求动点Q的轨迹C的方程；（2）设N为轨迹C上的动点，是否在y轴上存在定点E，使得以NE为直径的圆被直线y=3截得的弦长恒为定值？若存在，求出定点E和弦长；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意可得R是线段PF的中点，且QR⊥PF，可得|QP|=|QF|，由抛物线的定义可得：动点Q的轨迹C是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线，即可得出轨迹C的方程．（2）假设在y轴上存在定点E，使得以NE为直径的圆被直线y=3截得的弦长恒为定值．设以NE为直径的圆被直线y=3截得的弦为GH，设N（x，y），E（0，t），则圆心为M，圆心M到直线y=3的距离d=．圆M的半径R==，及x2=4y，可得|GH|=2=，令t=4，即可得出．解答：解：（1）由题意可得R是线段PF的中点，且QR⊥PF，∴|QP|=|QF|，∴动点Q的轨迹C是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线，∴轨迹C的方程为x2=4y．（2）假设在y轴上存在定点E，使得以NE为直径的圆被直线y=3截得的弦长恒为定值．设以NE为直径的圆被直线y=3截得的弦为GH，设N（x，y），E（0，t），则圆心为M，圆心M到直线y=3的距离d==．圆M的半径R==，∵x2=4y，∴R=，∴|GH|=2=2=，令t=4，则|GH|=为定长，定点为E（0，4）．因此在y轴上存在定点E（0，4），使得以NE为直径的圆被直线y=3截得的弦长为2恒为定值．点评：本题考查了抛物线的定义及其标准方程性质、圆的标准方程及其性质、直线与圆的相交弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（14分）设函数f（x）=lnx﹣x2+ax．（1）若函数f（x）在（0，1]上单调递增，试求a的取值范围；（2）设函数f（x）在点C（x0，f（x0））（x0为非零常数）处的切线为l，证明：函数f（x）图象上的点都不在直线l的上方．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用函数单调性和导数之间的关系，即可求实数a的取值范围；（2）利用导数的几何意义，求出函数的切线，利用函数的最值和导数之间的关系，即可的得到结论．解答：解：（1）f′（x）=﹣，要使f（x）在（0，1]上单调递增，f'（x）在（0，e）内必有零点且在零点左右异号，即h（x）=2x2﹣ax﹣1在（0，e）内有零点且在零点左右异号．因为△=a2+8＞0，所以方程2x2﹣ax﹣1=0有两个不等的实数根x1，x2，由于x1x2=﹣＜0，不妨设x1＜0，x2＞0，所以x1＜0，x2∈（0，e），由h（x）图象可知：h（0）h（e）＜0，即2e2﹣ae﹣1＞0，解得 a＜2e﹣．（2）因为f′（x0）=﹣2x0+a，又切点C（x0，lnx0﹣+ax0），所以切线l的方程为y﹣（lnx0﹣+ax0）=（﹣2x0+a）（x﹣x0），即y=（﹣2x0+a）x﹣1++lnx0，（x0为常数）．令g（x）=f（x）﹣[（﹣2x0+a）x﹣1++lnx0]，则g（x）=lnx﹣x2﹣[（﹣2x0）x﹣1++lnx0]，则g′（x）=﹣2x﹣（﹣2x0）=﹣（x﹣x0）（）=﹣，因为x0＞0，x，g′（x），g（x）的关系如下表：x （0，x0）x0（x0，+∞）g′（x）+ 0 ﹣g（x）↗极大值↘因为g（x）≤g（x0）=0，所以函数f（x）图象上不存在位于直线l上方的点．点评：本题主要考查函数单调性与导数之间的关系，以及导数的几何意义，综合性较强，运算量较大．。