向量遍地开花-高中数学新教材培训有感上课用PPT
浅谈高中数学新课程中的向量及其教学
浅谈高中数学新课程中的向量及其教学【摘要】向量具有丰富的物理背景，向量既是几何的研究对象，又是代数的研究对象，是沟通代数、几何的桥梁，是重要的数学模型。
在高中数学中学习向量有助于学生体会数学与现实生活和其他学科的联系，理解数学运算的意义及价值，发展运算能力，掌握处理几何问题的一种方法，体会数形结合思想，增进对数学本质的理解。
向量的教学应突出物理背景，注重向量的代数性质及其几何意义，关注向量在物理、数学、现代科学技术中的应用。
【关键词】数学新课程向量教学向量是高中数学新课程中的重要内容。
《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）中，在必修课程（数学4）、选修课程（系列2—1）中分别设置了平面向量与空间向量的内容。
笔者在新课程教师培训和实验区听课中了解到，相当一部分数学教师认为高中数学课程中的向量主要是作为解决几何问题的一种工具，以简化几何证明。
因此，对于向量教学的研究主要集中于向量在解几何问题中的应用，向量教学的重点放在用向量解几何问题的技巧上。
本文试图对高中数学新课程中向量内容的定位、向量的教育价值以及向量教学中应注意的几个问题做一探讨。
一、对向量的认识向量早在19世纪就已成为数学家和物理学家研究的对象，20世纪初被引入中学数学。
我国在1996年高中数学教学大纲中引入了向量。
这次，《标准》中也设置了向量的内容。
高中数学新课程中之所以设置向量的内容，是基于以下几方面的认识。
（一）向量具有丰富的物理背景矢量是物理学研究的基本量之一，它既有大小，又有方向。
如，力、位移、速度、加速度、动量、电场强度等都是矢量。
这些量贯穿于物理学的许多分支，都是数学中的向量的现实原型，为数学中的向量提供了丰富的物理背景。
（二）向量是几何的研究对象物体的位置和形状是几何学的基本研究对象。
向量可以表示物体的位置，也是一种几何图形（有向线段），因而它成为几何学的基本研究对象。
作为几何学的研究对象，向量有方向，可以刻画直线、平面等几何对象及它们的位置关系；向量有长度，可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题。
“高一数学必修2-向量课件”
参数方程
参数方程是用参数来表示向量的方程。
向量方程的应用
平面的解析式
可以用向量方程来表示平面。
代数方程的转化
向量方程可以将代数方程转 化为几何问题。
其他应用
向量方程在物理、工程和计 算机图形学中有广泛应用。
向量的模、单位向量及其应用
向量模
向量的模等于向量的长度。
单位向量
单位向量是模为1的向量。
应用举例
高一数学必修2——向量 课件
本课件介绍高一数学必修2的向量部分内容，包括向量的定义及基本概念，表 示和运算，共线和共面的判定，数量积和夹角的性质，向量在平面内的投影 及应用，叉乘的运算规则和几何意义，以及向量空间的基本概念。
向量的表示和运算
向量表示
向量加法
向量可以用有向线段或坐标表示。 向量加法满足交换律和结合律。
应用举例
向量投影可以用来计算物体 在斜面上的重力分量。
向量叉乘及其运算规则
叉乘定义
叉乘是两个向量的积的向量。
叉乘运算规则
叉乘满足右手法则和分配律。
向量叉乘的几何意义以及应用
1
几何意义
叉乘的模等于由两个向量所确定的平行
应用举例
2
四边形的面积。
叉乘可以用来计算平行四边形的面积和
判定三个向量共面。
3
补充知识
可以通过叉乘来计算向量的混合积。
平面向量和向量组的线性运算
线性组合
线性组合是指多个向量与对应的系数相乘再求和的 过程。
向量组的线性相关和线性无关
线性相关和线性无关描述向量组中向量之间的关系。
向量空间的基本概念和性质
1 向量空间定义
人教A版高中数学必修四课件：2.2.1向量加法运算及其几何意义.pptx
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
如图,作������������ =a, ������������ =b, ������������ =c,连接 AC,AD,BD,
乙.
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Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三
题型二
化简含有向量的关系式
【例 2】 化简下列各式:
(1)������������ + ������������ + ������������ + ������������ + ������������;
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Z 知识梳理 HISHI SHULI
题型一 题型二 题型三
【例3】
题型三
向量加法的实际应用
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
如图,在重力为300 N的物体上拴两根绳子,这两根绳子在铅垂线的 两侧,与铅垂线的夹角分别为30°,60°,求当整个系统处于平衡状 态时,两根绳子拉力的大小.
(3)当两个向量不共线时,两个法则实质上是一致的,三角形法则 作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半,在多个向量的加 法中,利用三角形法则更为简便.
(4)当两个向量共线时,利用三角形法则,即两个向量首尾相接,以 第一个向量的起点为起点,以第二个向量的终点为终点的向量就是 两个向量的和向量.
向量遍地开花高中数学新教材培训有感完美课件
向量遍地开花---2020高中数学新教材 培训有 感课件
一、新旧教材结构的变化：增加了距离问题和夹角问题
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二、关注投影向量的意义及其在解决距离问题中的作
用
空间向量投影是《课程标准（2017年版）》新增加的 内容，课程标准对空间向量投影的概念及其应用都有明确 的要求. 我们在编写教科书时，关注了课程标准的这一变化 . 向量的投影是高维空间到低维子空间的一种线性变换， 得到的投影向量是变换的结果，是低维的空间向量. 空间向 量投影概念的建立对于学生利用投影向量研究立体几何问 题有重要意义.
新教材
向量遍地开花---2020高中数学新教材 培训有 感课件
大量篇幅给出证 明过程，并没用 放在阅读与探究 里面，原来理科 生也很少讲。体 现出向量的作用。 教学思考： 老师上课时如何 处理证明过程？
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一、新旧教材结构的变化
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数学史适当 融进课堂
向量遍地开花---2020高中数学新教材 培训有 感课件 向量遍地开花---2020高中量在其他数学模块中的 应用，充分体现了向量的工具性特点。
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下面以向量法证明正弦定理为例进行说明其应用。
原教材
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平面几何的向量方法—人教版高中数学新教材必修第二册课件
AC2 BD2 a b 2 a b 2
2
a
2ab
2
b
2
a
2ab
2
b
2 a 2
2
b
2
a
2
b
2
讲 课
∴ AB2 BC2 CD2 DA2 AC2 BD2
人
：
邢
启 强
6
平面几何的向量方法—山东省滕州市 第一中 学人教 版高中 数学新 教材必 修第二 册课件
方法总结 平面几何的向量方法—山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件
3
所以AR 1 AC,同理TC 1 AC,于是RT 1 AC
讲 课 人
3
3
3
： 邢 启 强
故AT=RT=TC
10
6平.4面.1几平何面的几向何量的方向法量—方山法东—省山滕东州省市滕第州一市中第学一人中教学版人高教中版数高学中新数教学材新必教修材第必二修册第课二件册 课件( 共17张P PT)
学习新知 平面几何的向量方法—山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件
问题：平行四边形是表示向量加法与减法的 几何模型。如图，你能发现平行四边形对角 线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？
DB AB AD, AC AB AD,
猜想：
D
C
1.长方形对角线的长度
与两条邻边长度之间有
由于 AR与 A共C线，故设 r n(a b ), n R
又因为 ER与E共B线，
所以设ER mEB m(a 1 b) D
F
C
2
因为 AR AE ER E R
T
所以 r 1 b
2
因此n(a b)
高中数学新课程中学习向量的体会
高中数学新课程中学习向量的体会作者：李舒凝来源：《速读·中旬》2017年第12期摘要：在高中数学中，向量的学习内容占着很大的比重，而且利用向量能够具体解决各种数学问题，它能够更加精确地表示出某个空间或者是平面图形中的具体点、线以及面的具体位置。
本文就新课改下高中数学向量知识的变化进行分析，并总结向量知识的学习方式。
关键词：高中数学；新课改；向量；学习向量是高中数学中的一项重要知识点，不仅与我们数学知识的学习息息相关，在物理学科中，也有着广泛的应用。
近年来的高中数学新课程标准中进一步确定了向量的重要地位，在学习难度上，也显著加大。
在我们所学的必修课程与选修课程中，分别设置了平面向量、空间向量内容，与传统大纲相比，新课程中向量内容无论是在知识结构、基本理念、内容设置，还是实施操作上，都出现了显著的变化。
要学好向量，我们需要掌握向量的本质，从多个角度来理解向量的内涵。
1对向量学习的认识早在19世纪，科学家们就已经将向量作为研究对象，展开了深入的研究，在20世纪初期，向量被引进了中学数学课本中，向量这一知识点具有几个突出的特征：1.1既有大小又有方向向量属于数学与物理学的范畴，向量不仅有大小，也有方向，如位移、力、加速度、电场强度、动量等等，都是矢量，这些矢量也是数学向量的一个现实原型，为数学向量问题的研究提供了丰富的理论支持。
1.2是代数的研究重点代数问题的基本研究对象就是运算与相关的规律，向量能够进行加、减、乘、除、点乘、叉乘等运算，这些运算方式赋予了向量特定的结构，让向量具备了更加丰富的性质，成为了代数知识的重点内容。
1.3是几何的重点内容几何学的基本研究内容就是物体的位置与形状，利用向量可以来表示物体位置，因此，向量也是几何学的一项基本研究内容。
向量既有方向，也可以刻画平面、直线的位置关系，解决面积、长度、体积的计算问题。
1.4是搭建几何、代数之间的沟通桥梁向量是有向的线段，可以利用向量来确定位置，而借助于代数和向量，则可以解决几何中的角度、长度问题。
新教材中向量的魅力
新教材中“向量”的魅力浙江省湖州中学 张根荣（313000）新教材中的向量是新增的内容，是我们所熟知的代数内容，它是沟通数和形内在联系的有力工具。
在几何学中，把几何图形看作是点的集合，而点可以与其向径一一对应。
因此可以把作为点的集合的几何图形看作是向量的集合。
这样，几何中所涉及的度量关系和位置关系，都可以转化为某种向量代数的运算。
这种借助于向量代数的运算来证几何题的方法有其独特的魅力：1、用向量法解题用向量法来解决中学几何问题，克服了综合证法常常需要添置若干辅助线而显得思路曲折的缺点，因此使解题思路更加清晰、简捷，解法顺理成章。
这是因为向量具有多方面的特性：向量的起点可以任意选择；同时对向量可以进行线性运算、数量积和向量积，并且向量既有有向线段表达式又有坐标表达式，任一空间向量都可以在三个不共面向量（包括三个互相垂直的向量）上分解，同样对于平面上的任一向量，也均可在两个不共线的向量上进行分解。
这样就可使得空间的几何结构数量化了。
另外向量运算的定义与运算的规律，是和坐标系的选择无关的。
所以向量法证几何题明显优越于解析法。
因此，所有向量的这些特性，决定了向量代数知识在解答几何问题上，具有突出的简化作用和广泛的适用范围，是我们解中学几何题的捷径。
利用向量法解中学几何题的方法是多种多样的，但我们有一般规律可循：1.1证线段相等问题用向量法证明线段的相等问题过程较为简明，基本思路是证明向量的模或模的平方相等。
也就是说，欲证两线段，可设法证明。
例1 的中线和相等，求证：.证明：设，且，则, 即∴ 两边平方，整理可得，故。
此证法是运用向量知识，经过简单的运算就可得到答案，书写也很方便。
如果用几何证法，需添设辅助线，解题的思路较为曲折，不易表达清楚，下面给出一般的几何证法，以资比较。
证明：连接，过，作的垂线，垂足为，。
∵、分别是、的中点，∴∴ 又∵且，∴，∴而，，∴，∴，即，∴。
1.2 证两角相等问题对共面二直线所成角的考察，可在此直线上适当设置向量、，就把原问题转化为对向量、间夹角的考察，这正是我们所要利用的证题思想。
人教A版高中数学必修42.向量的几何表示教学PPT课件
5．单位向量 长度等于１个单位的向量，叫做单位向量。
问答：
课堂练习
（1）平行向量是否一定方向相同？ 不一定
ห้องสมุดไป่ตู้
（2）不相等的向量是否一定不平行？ 不一定
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？ 零向量
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？
零向量
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量
由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量常常 用数轴上的一个点表示，如3，2，-1，…而且不同的点 表示不同的数量。
-1 0 1 2 3
对于向量，我们常用带箭头的线段来表示，线段按 一定比例（标度）画出，它的长度表示向量的大小，箭头 表示向量的方向。
人 教 A 版 高中 数学必 修42. 向量的 几何表 示教学 PPT课件
0 的方向是任意的。
单位向量——长度（模）为1个单位长度的 向量叫做单位向量。
人 教 A 版 高中 数学必 修42. 向量的 几何表 示教学 PPT课件
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例1：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？ 答：不是，因为零上零下也只是大小之分。
量 a ，b ，a ＞ b ，或 a ＜ b ”这种说法是错误的。
理解向量的几何表示，会用字母表示向量； 了解平行向量、相等向量的概念及表示法。
过程与方法：
学会将实际问题转化为数学问题，并能够运 用向量知识解决。
情感态度与价值观：
1、有意识地保护和调动好学生愿意学习数学的心 情，营造学生喜欢学习数学的情绪氛围，使其产 生热爱数学学习的积极心理； 2、努力运用多种形象、直观和生动的教学方法， 通过深入浅出的教学，让学生主动学习数学，体 验学习数学的乐趣和成功，使学生产生“我努力， 我能行”的乐观心态； 3、通过实际应用问题的教学，使学生产生理论联 系实际的价值取向和理论来源于实践、服务于实 践的认识观念。
高中数学课件-向量初步.
向量的方向角和方向余弦
讨论如何用数学方式描述向量的方向。
向量的线性运算
向量的加法和减法
平行四边形法则
详细说明向量的加法和减法规则， 以及它们的图形表示。
介绍了一种直观的方法来进行向 量加法运算。
向量减法
解释了向量减法的运算规则，以 及它与向量加法的关系。
3
位置向量
解释了位置向量的概念和用法，在几何 图形中的应用和问题求解。
定向向量
讨论了带有方向的向量在物理和几何领 域里的应用。
向量的应用场景
1 力学问题
通过向量分析，解决平衡和运动问题。
2 几何问题
在几何图像分析和证明中的应用。
3 数据分析
利用向量进行数据聚类和关联分析。
4 工程设计
在工程设计中使用向量力学和矢量空间的概念。
向量在平面上的投影
详细说明向量在平面上的投 影计算和应用。
向量的平移与旋转
平移
介绍了向量的平移操作和平移向 量的计算方法。
旋转
解释了向量的旋转操作和旋转向 量的计算方法。
其他变换
讨论了其他向量变换操作，例如 缩放和剪切。
向量所表示的几何实体
1
定位向量
2
介绍了定位向量的定义和应用，如平面
上的点和多边形。
向量的投影及投影的性质
1
向量的投影定义
解释了向量的投影是如何通过垂直投影
投影的计算
2
计算得出的。
讲解了如何计算给定向量在另一个向量
上的投影。
3
投影的性质
讨论了向量投影的几何性质和实际应用。
向量与平面的关系
平面方程
介绍了如何通过向量构建平 面的方程。
高中数学 明则顺道,师出以律——向量解读(共35张PPT)
的最大值等于_______
7【2015 浙江理 15】
已知 e1, e2 是空间单位向量， e1 e2 1 ，若空间向量 b 满足 b e1 2,b e2 5 ，且对于任意
2
2
x, y R ， b (xe1 ye2 ) b (x0 e1 y0 e2 ) 1(x0 , y0 R) ，则 x0
则 a b 的最大值是
．
解法 1：利用绝对值的性质
a e b e max a e b e , a e - b e ，
而 a e b e a b e a b 6 ，平方得 a b 1 ； 2
a e - b e a b e a b 6 ，平方得 a b - 1 ； 2 事实上， a b 有最大值，所以 a，b 为锐角， a b a b ，故 a b 的最大值是 1
———“剪刀手”模型
遇见数量积，学生手里有什么武器？
转基底？
投影？
极化恒等式？
建系？ ……
剪刀手模型
情况一：三个要素都缺失
一问三不知——转基底
例：如图，在 ABC中，BAC 120 0，AB 1，AC 2， D为BC边上一点，DC 2BD,则AD BC .
AD BC ( 2 AB 1 AC) (AC AB) 33
则 a b 的最大值是
．
Q:如何针对学生无法准确解读 题意，我们如何有效去应对呢？
教学片段1：借助图像解读题意 ——从代数表达到几何直观
向量是一种语言，也是一种工具，兼具代数和几何属性
已知向量 a e, e 1，满足：对任意 t R ,恒有
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零向量的方向是 不确定的
向量 AB或向量a 的模记做__A_B__(或___a_）.
4、零向量：模为_0__的向量叫做零向量，记作_0__.
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新课
二、向量间的关系
或
a b
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课堂实例
例2:如图设 平行四边形ABCD的边长分别为1和2，
其所有的边能构成哪些向量？这些向量的模分别
是多少？
B
C
解：平行四边行ABCD的所有边
可以构成的向量有：AB,
BA,
BC
,
CB,
CD,
DC,
DA,
A
AD
D
它们的模： AB BA CD DC 1 BC CB AD DA 2
想一想：A,B,C,D四点不共线，若四边形ABCD是平行四边 形的充要条件是 AB DC ，对不对？
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向量的概念及其表示
问题情境
人生的方向也一样， 你们做好了准备吗？
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新课
一、向量的概念及其表示 1、向量的概念： 既有_大__小_又有方___向_的量叫做向量.
B
AB
A
2、向量的表示方法： （1）用___两__个__大__写__英__文__字__母_ 上面加箭头来表示,如
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说明：在平行向量、共线向量的概念中应 注意零向量的特殊性
三：向量之间的关系
5.相等向量的定义： 长度相等且方向相同的向量
D
A
记 作 ： A BD C
B
C
6.负向量的定义： 我们把与a长度相等，方向相反的向量
叫做a的负向量，记做:-a
a
c
c=-a a = -c
-(-a)=？
高中数学平面向量课件
沙河市综合职教中心 丁雪雅
中等职业教育课程改革国家规划新教材
《数学》（基础模块） 下册
高等教育出版社
HIGHER EDUCATION PRESS
金钱豹以5m/s的速度追赶一只以2m/s逃跑的小狗……
请问：金钱豹 能追上小狗吗？为什么？
由于大陆和台湾没有直航，因此2006年春节探亲， 乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，这里发 生了两次位移。
共线向量 或者说平行向量
2、共线向量一定在一条直线上吗？ 不一定
BACK
练习五:
1.设O为正△ABC的中心,则向量AO,BO,CO是 (B )
A.相等向量
B.模相等的向量
C.共线向量 C
D.共起点的向量
A
O
B
练习六:
1. 命题：“│a│=│b│”成立，则“ a = b ”一定成
立
（×）
BACK
练习七：
巩固知识 典型例题
例1 一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞 机从A处朝北偏东45°方向飞行200km， 两架飞机的位移
相同吗？分别用有向线段表示两架飞机的位移．
解 位移是向量．虽然这两个向量的模相等，但是它 们的方向不同，所以两架飞机的位移不相同．两架飞 机位移用向线段表示分别为图中的有向线段a 与b
新人教a版高中数学必修4《向量》课件 最新PPT20页
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
新人教a版高中数学必修4 《向量》课件 最新
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
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空间向量投影是《课程标准（2017年版）》新增加的 内容，课程标准对空间向量投影的概念及其应用都有明确 的要求. 我们在编写教科书时，关注了课程标准的这一变化 . 向量的投影是高维空间到低维子空间的一种线性变换， 得到的投影向量是变换的结果，是低维的空间向量. 空间向 量投影概念的建立对于学生利用投影向量研究立体几何问 题有重要意义.
向量遍地开花
----2020新教材培训有感
汇报内容：
这三部分是有内在联系的，向量是工具，立体几何是空间思维，接下来是用向量法解决空 间几何问题。 向量具有几何的直观和代数的抽象和严谨，是解决很多数学问题的工具，集中体现了数形 结合的思想，新教材在这方面加大了比重，涉及到各个模块。
一、新旧教材结构的变化
二、特别加重了向量在其他数学模块中的 应用，充分体现了向量的工具性特点。
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下面以向量法证明正弦定理为例进行说明其应用。
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向量遍地开花--高-2中02数0高 学中 新数 教学 材新 培教训材 有 培 感训 优有 秀 感 课课 件件
三、注重类比思想的运用
教学思考：从学生已有知识出发，运用类比思想，
向量遍地开花--高-2中02数0高 学中 新数 教学 材新 培教训材 有 培 感训 优有 秀 感 课课 件件
进行启发式教学。
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一、新旧教材结构的变化
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三、
教学思考： 训练学生的动手能力，让学生多练。
原教材
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教学建议：如何求解投影向量，将是老师需要讲授 的一个重要知识点，也是学生必须掌握的知识点。
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谢谢各位领导和老师！ 不足之处敬请批评指正！
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一、新旧教材结构的变化：增加了距离问题和夹角问题
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三、关注新概念的引入----投影向量
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四 、
教学思考:圆锥曲线经常动态演示，立体几何大部分采用实 物模型，今后加强信息技术在立体几何中的应用。
向量遍地开花-高中数学新教材培训有 感优秀 课件
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向量遍地开花--高-2中02数0高 学中 新数 教学 材新 培教训材 有 培 感训 优有 秀 感 课课 件件
四、注重通性通法，训练“三步曲”
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五、特别突出立体几何中向量方法的教学。 向量遍地开花--高-2中02数0高 学中 新数 教学 材新 培教训材 有培 感训 优有 秀感 课课 件件
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立体几何问题的解决主要三种方法：几何法，向量法，坐标法。 向量方法是解决几何问题的常用方法，当前，教学中普遍存在着把 向量方法等同. 于坐标法的现象，究其原因，主要是没有体会向量方 法的特点。 向量方法是用向量表示几何元素，通过向量运算得到几何问题的解 决. 坐标法：在解决立体几何问题时，通过建立空间直角坐标系，可以 把空间向量及其运算转化为数及其运算，从而可以将几何问题完全 “代数化”。
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教学思考： 培养向量思维应用意识，重视向量思维能力的训练。
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向量遍地开花
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