抛物线常考题
(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第二单元《二次函数》测试(答案解析)(4)
一、选择题1．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点坐标为（1，﹣4a ），点A （4，y 1）是该抛物线上一点，若点B （x 2，y 2）是该抛物线上任意一点，有下列结论：①4a ﹣2b +c ＞0；②抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点（﹣1，0），（3，0）；③若y 2＞y 1，则x 2＞4；④若0≤x 2≤4，则﹣3a ≤y 2≤5a ．其中，正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32．二次函数2y x bx c =++的图象经过坐标原点O 和点()7,0A ，直线AB 交y 轴于点()0,7B -，动点(),C x y 在直线AB 上，且17x <<，过点C 作x 轴的垂线交抛物线于点D ，则CD 的最值情况是（ ）A ．有最小值9B ．有最大值9C ．有最小值8D ．有最大值8 3．抛物线221y x =--的顶点坐标是（ ）A ．(2,1)--B ．(2,1)C ．(0,1)-D ．(0,1) 4．已知二次函数y=(m+2)23mx -，当x<0时，y 随x 的增大而增大，则m 的值为（ ） A ．5- B ．5C ．5±D ．2 5．抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点坐标（﹣2，3），抛物线与x 轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，有下列说法：①4a ﹣b ＝0；②a ﹣b +c ＝0； ③若（﹣4，y 1），（1，y 2）是抛物线上的两点，则y 1＞y 2； ④b 2+3b ＝4ac ．其中正确的个数有（ ）A ．4B ．3C ．2D ．16．已知二次函数2(2)1y mx m x =+--（m 为常数，且0m ≠），（ ）A ．若0m >，则1x <，y 随x 的增大而增大B ．若0m >，则1x >，y 随x 的增大而减小C ．若0m <，则1x <，y 随x 的增大而增大D ．若0m <，则1x >，y 随x 的增大而减小 7．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①a ＞0；②b ＞0； ③方程ax 2+bx +c ＝0的两个根是x 1＝﹣1，x 2＝3；④当y ＞0时，x 的取值范围是﹣1＜x ＜3；其中结论正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个8．如图，已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点()1,0A -，对称轴为直线1x =，下列结论：①0abc <；②930a b c ++=；③20a b +=；④2am bm a b +<+（m 是任意实数），其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①②③D ．②③④ 9．如图，抛物线22y x x m =-+交x 轴于点(),0A a ，(),0Bb ，交y 轴于点C ，抛物线的顶点为D ，下列四个结论：①无论m 取何值，2CD =恒成立；②当0m =时，ABD △是等腰直角三角形；③若2a =-，则6b =；④()11,P x y ，()22,Q x y 是抛物线上的两点，若121x x ，且122x x +>，则12y y <．正确的有（ ）A ．①②③④B ．①②④C ．①②D ．②③④10．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数和二次函数的图象大致如图所示，它们的表达式可能分别为（ ）A ．2,k y y kx x x =-=-+B ．2,k y y kx x x =-=--C ．2,k y y kx x x ==--D ．2,k y y kx x x==-+ 11．在同一直角坐标系中，一次函数y ax c =+和二次函数2y ax c =--的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ． 12．函数k y x=与()20y kx k k =-≠在同一直角坐标系中的图象大致是下图中的（ ） A ． B ． C ． D ．二、填空题13．如图，正方形ABCD 中，AD =4,AE =3DE ,点P 在AB 上运动（不与A 、B 重合），过点P 作PQ ⊥EP ，交CB 于点Q ，则BQ 的最大值是______．14．将抛物线2112y x =+绕原点O 旋转180︒，得到的抛物线解析式为__________． 15．计算机可以帮助我们又快又准地画出函数的图像．用“几何画板”软件画出的函数2(3)y x x =-和3y x =-的图像如图所示．若m ，n 分别满足方程2(3)1x x -=和31x -=根据图像可知m ，n 的大小关系是___________．16．如图，点P 是双曲线()4:0C y x x=>上的一点，过点P 作x 轴的垂线交直线1:22AB y x =-于点Q ，连结,OP OQ 当点P 在曲线C 上运动，且点P 在Q 的上方时，POQ △面积的最大值是________．17．把函数y ＝x 2＋3的图像向下平移1个单位长度得到的图像对应的函数关系式为________．18．在平面直角坐标系中，已知()1,A m -和()5,B m 是抛物线21y x bx =++上的两点，则抛物线21y x bx =++的顶点坐标为_________．19．将抛物线243y x x =-+沿x 轴向左平移2个单位，则平移后抛物线的解析式是__． 20．已知A （0，y 1），B （1，y 2），C （4，y 3）是抛物线y =x 2﹣3x 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为____．（用“＜”符号连接）三、解答题21．如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点（1，﹣4）和（﹣2，5），请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式，并求出对称轴及顶点坐标；（2）若与x 轴的两个交点为A 、B ，与y 轴交于点C ．在该抛物线上找一点D ，使得△ABC 与△ABD 全等，求出D 点的坐标．22．定义：对于已知的两个函数，任取自变量x 的一个值，当0x ≥时，它们对应的函数值互为相反数；当0x <时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y x =，它的相关函数为(0)(0)x x y x x -≥⎧=⎨<⎩． （1）已知点(1,3)A -在一次函数2y ax =-的相关函数的图象上，求a 的值；（2）已知二次函数2283y x x =-+-．①当点(,4)B m -在这个函数的相关函数的图象上时，求m 的值；②当23x -≤≤时，求函数2283y x x =-+-的相关函数的最大值和最小值． 23．已知：抛物线y 1＝﹣x 2﹣2x +3的图象交x 轴于点A ，B （点A 在点B 的左侧）． （1）请在平面直角坐标系内画出二次函数y 1＝﹣x 2﹣2x +3的草图，并标出点A 的位置； （2）点C 是直线y 2＝﹣x +1与抛物线y 1＝﹣x 2﹣2x +3异于B 的另一交点，则点C 的坐标为 ；当y 1≥y 2时x 的取值范围是 ．24．如图，在平面直角坐标系中，(0,1)A ，(2,0)B ，将线段AB 绕原点O 逆时针旋转90°，得到线段A B ''，且点A '，B '，B 均在抛物线上．（1）求该抛物线的函数表达式．（2）该抛物线的对称轴上有一点Q ，使ABQ △是以AB 为直角边的直角三角形，求Q 点的坐标．25．已知二次函数22y x x m =++的图象与x 轴有且只有一个公共点．（1）求该二次函数的图象的顶点坐标；（2）若()1,Pn y ，()22,Q n y +是该二次函数的图象上的两点，且12y y >，求实数n 的取值范围．26．如图，一农户要建一矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m 的住房墙，另外三边用27m 长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m 宽的门．所围成矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍的面积最大，最大面积是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】利用对称轴公式和顶点坐标得出﹣4a ＝a +b +c ，b ＝﹣2a ，c ＝﹣3a ，则可对①进行判断；抛物线解析式为y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a ，配成交点式得y ＝a （x ﹣3）（x +1），可对②进行判断；根据二次函数对称性和二次函数的性质可对③进行判断；计算x ＝4时，y ＝5a ，则根据二次函数的性质可对④进行判断．【详解】解：①∵二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的顶点坐标为（1，﹣4a ），∴x ＝﹣2b a＝1，且﹣4a ＝a +b +c ， ∴b ＝﹣2a ，c ＝﹣3a ，∵抛物线开口向上，则a ＞0， ∴4a ﹣2b +c ＝4a +4a ﹣3a ＝5a ＞0，故结论①正确；②∵b ＝﹣2a ，c ＝﹣3a ，∴y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a ＝a （x ﹣3）（x +1），∴抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点（﹣1，0），（3，0），故结论②正确；③∵点A （4，y 1）关于直线x ＝1的对称点为（﹣2，y 1），∴当y 2＞y 1，则x 2＞4或x 2＜﹣2，故结论③错误；④当x ＝4时，y 1＝16a +4b +c ＝16a ﹣8a ﹣3c ＝5a ，∴当0≤x 2≤4，则﹣4a ≤y 2≤5a ，故结论④错误．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数图象与性质的相关知识并能灵活运用所学知识求解是解题的关键．2．B解析：B【分析】根据待定系数法求得抛物线的解析式和AB 的解析式，设(,7)C x x -，则2(,7)D x x x -，根据图象的位置即可得出2(4)9CD x =--+，根据二次函数的性质即可求得．【详解】 解：二次函数2y x bx c =++的图象经过坐标原点O 和点(7,0)A ， ∴04970c b c =⎧⎨++=⎩，解得70b c =-⎧⎨=⎩， ∴二次函数为27y x x =-，(7,0)A ，(0,7)B -，∴直线AB 为：7y x =-，令277x x x -=-，解得：11x =，27x =，∴点E 的横坐标为1，则点C 始终在点D 上方，设(,7)C x x -，则2(,7)D x x x -，2227(7)87(4)9CD x x x x x x ∴=---=-+-=--+，17x ∴<<范围内，有最大值9，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，表示出CD 的关系式是解题的关键．3．C解析：C【分析】根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标．【详解】解：∵y=-2x 2-1，∴该抛物线的顶点坐标为（0，-1），故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次和函数的性质解答． 4．A解析：A【分析】根据次数为2可列方程，再根据函数增减性确定m 值．【详解】解：根据题意可知，232m -=， 解得，5m =∵二次函数y=(m+2)23mx -，当x<0时，y 随x 的增大而增大，∴m+2＜0，解得m ＜-2，综上，m=5-故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的定义和增减性，解题关键是根据二次函数的定义列方程，依据增减性确定二次项系数的符号．5．B解析：B【分析】根据抛物线的对称轴可判断①；由抛物线与x 轴的交点及抛物线的对称性以及由x ＝﹣1时y ＞0可判断②，由抛物线对称性和增减性，即可判断③；利用抛物线的顶点的纵坐标为3得到244ac b a-=3，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x 2b a =-=-2， ∴4a ﹣b ＝0，所以①正确；∵与x 轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，∴x ＝﹣1时y ＞0，即a ﹣b +c ＞0，∴所以②错误；由抛物线的对称性知（﹣4，y 1）与（0，y 1）关于对称轴对称，∵抛物线开口向下，对称轴为直线x 2b a=-=-2 ∴当x ＞-2时，y 随x 的增大而减小，∵-2＜0＜1∴y 1＞y 2∴所以③正确；∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，3）， ∴244ac b a-=3， ∴b 2+12a ＝4ac ，∵4a ﹣b ＝0，∴b ＝4a ，∴b 2+3b ＝4ac ，所以④正确；故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）：抛物线与x 轴交点个数由△决定：△＝b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△＝b 2﹣4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；△＝b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．6．D解析：D【分析】先求出二次函数图象的对称轴，然后根据m 的符号分类讨论，结合图象的特征即可得出结论．【详解】 该二次函数图象的对称轴为直线21122m x m m -=-=-+， 若0m >，对于22m x m -=-无法判断其符号，故A 、B 选项不一定正确； 若0m <，则202m x m -=-<，即22m m--<1，且抛物线的开口向下， ∴当1x >时，y 随x 的增大而减小，故选：D ．【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质，解决此题的关键是分类讨论确定对称轴的位置，再结合开口方向进行综合分析．7．B解析：B【分析】根据抛物线与系数的关系判断即可．【详解】解：抛物线开口向下，a<0，故①错误；对称轴在y 轴右侧，a 、b 异号，b ＞0,故②正确；抛物线与x 轴交点为（﹣1，0），对称轴为直线x ＝1，根据对称性，另一个交点为（3,0），故③正确；根据图象可知，x 的取值范围是﹣1＜x ＜3时；抛物线在x 轴上方，故④正确； 故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练正确理解二次函数图象与系数的关系，本题属于中等题型．8．B解析：B【分析】①抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝1，即可得出a ＞0、b ＜0、c ＜0，进而可得出abc ＞0，结论①错误；②由抛物线的对称轴以及与x 轴的一个交点坐标，可得出另一交点坐标为（3，0），进而可得出9a ＋3b ＋c ＝0，结论②正确；③由对称轴直线x=1，可得结论③正确；④2()()0am bm a b +-+≥，可得结论④错误．综上即可得出结论．【详解】解：①∵抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝1，∴a ＞0，12b a-=，c ＜0， ∴b ＝−2a ＜0，∴abc ＞0，结论①错误； ②∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象与x 轴交于点A （−1，0），对称轴为直线x ＝1，∴二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象与x 轴的另一个交点为（3，0），∴9a ＋3b ＋c ＝0，结论②正确；③∵对称轴为直线x ＝1， ∴12b a-=，即：b ＝−2a ， ∴20a b +=，结论③正确；④∵222()()(2)(2)2am bm a b am am a a am am a +-+=---=-+22(21)(1)a m m a m =-+=-≥0，∴2am bm a b +≥+，结论④错误．综上所述，正确的结论有：②③．故选：B ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．9．B解析：B【分析】①先求出C 、D 的坐标，再根据两点距离公式求得CD ，便可判断；②当m=0时，可得抛物线与x 轴的两个交点坐标和顶点坐标即可判断；③根据抛物线与x 轴的一个交点坐标和对称轴即可得另一个交点坐标即可判断； ④根据二次函数图象当x 1＜1＜x 2，且x 1+x 2＞2，根据离对称越远的点的纵坐标就越大得出结论．【详解】解：①∵y=x 2-2x+m=（x-1）2+m-1，∴C （0，m ），D （1，m-1），∴，故①正确；②当m=0时，抛物线与x 轴的两个交点坐标分别为A （0，0）、B （2，0），顶点D （1，-1），∴，∴△ABD是等腰直角三角形，故②正确；③当a=-2时，抛物线与x轴的一个交点坐标为（-2，0），∵对称轴x=1，∴另一个交点坐标为（4，0），∴b=4，故③错误；④观察二次函数图象可知：当x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则1-x1＜x2-1∴y1＜y2．故④正确．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点、等腰直角三角形，解决本题的关键是综合利用以上知识．10．D解析：D【分析】根据反比例函数图像的位置判断k的符号，再结合二次函数的图像和性质，逐项判断即可【详解】A、由反比例函数kyx=-的图像可知，0k>，则二次函数2y kx x=-+的图像开口应向下，与图像不符，故选项错误；B、由反比例函数kyx=-的图像可知，0k>，则二次函数2y kx x=--的图像开口应向下，与图像不符，故选项错误；C、由反比例函数kyx=的图像可知，0k<，则二次函数2y kx x=--的图像开口向上，对称轴11222bxa k k-=-=-=->-应位于y轴的右侧，与图像不符，故选项错误；D、由反比例函数kyx=的图像可知，0k<，则二次函数2y kx x=-+的图像开口向上，对称轴11222bxa k k=-=-=<-应位于y轴的左侧，与图像相符，故选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数，二次函数图像的性质，解题关键是熟练掌握反比例函数和二次函数的图像和性质．11．D解析：D【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．【详解】解：∵一次函数经过y轴上的（0，c），二次函数经过y轴上的（0，-c），∴两个函数图象交于y轴上的不同点，故A，C选项错误；当a＜0，c＜0时，二次函数开口向上，一次函数经过二、三、四象限，故B选项错误；当a＜0，c＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、二、四象限，故D选项正确；故选：D．【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．12．B解析：B【分析】根据k>0，k<0，结合反比例函数及二次函数图象及其性质分类讨论．【详解】解：分两种情况讨论：①当k>0时，反比例函数kyx=在一、三象限，而二次函数()20y kx k k=-≠开口向上，与y轴交点在原点下方，故C选项错误，B选项正确；②当k<0时，反比例函数kyx=在二、四象限，而二次函数()20y kx k k=-≠开口向下，与y轴交点在原点上方，故A选项与D选项错误．故选B．【点睛】本题考查了反比例函数图象性质和二次函数图象性质．关键是根据k>0，k<0，结合反比例函数及二次函数图象及其性质分类讨论．二、填空题13．【分析】先由正方形的性质及PQ⊥EP得出∠AEP=∠BPQ∠A=∠B=90°从而可判定△APE∽△BQP根据相似三角形的性质得出比例等式；再根据AD=4AE=3DE 得出AE 和DE 的长然后设BQ=yA 解析：43【分析】先由正方形的性质及PQ ⊥EP ，得出∠AEP=∠BPQ ，∠A=∠B=90°，从而可判定△APE ∽△BQP ，根据相似三角形的性质得出比例等式；再根据AD=4，AE=3DE ，得出AE 和DE 的长，然后设BQ=y ，AP=x ，则BP=4-x ，将相关数据代入比例等式，变形得出y 关于x 的二次函数，配方，即可得出答案.【详解】解：在正方形ABCD 中，∠A=∠B=90°，且PQ ⊥EP∴∠AEP+∠APE=90°， ∠QPB+∠APE=90°∴∠AEP=∠BPQ又∠A=∠B=90°∴△APE ∽△BQP ∴AE AP BP BQ=， 又AD=4，AE=3DE ，∴AE=334AD =，DE=4-3=1， 设BQ=y ，AP=x ，则BP=4-x ， ∴34x x y=- 化简得：21433y x x =-+， 整理得：()214233y x =--+， ∴当x=2时，y 有最大值为43，即BQ 的最大值是43， 故答案为：43． 【点睛】 本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质及二次函数的性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键.14．【分析】先确定抛物线线的顶点坐标为（01）再利用关于原点对称的点的坐标特征得到点（01）变换后所得对应点的坐标为（0-1）然后利用顶点式写出旋转后抛物线【详解】解：抛物线的顶点坐标为（01）点关于原 解析：2112y x =--【分析】 先确定抛物线线2112y x =+的顶点坐标为（0，1），再利用关于原点对称的点的坐标特征得到点（0，1）变换后所得对应点的坐标为（0，-1），然后利用顶点式写出旋转后抛物线．【详解】解：抛物线2112y x =+的顶点坐标为（0，1），点关于原点O 的对称点的坐标为（0，-1），此时旋转后抛物线的开口方向相反，所以旋转后的抛物线的解析式为2112y x =--． 故答案为：2112y x =--． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：抛物线绕某点旋转180°得到旋转后的抛物线开口相反，抛物线的开口大小不变． 15．【分析】利用函数图象通过确定函数和的图象与直线的交点位置可得到m 与n 的大小【详解】解：方程的解为函数的图象与直线的交点的横坐标的解为一次函数与直线的交点的横坐标如图由图象得故答案为：【点睛】本题考查 解析：m n <【分析】利用函数图象，通过确定函数2(3)y x x =-和3y x =-的图象与直线1y =的交点位置可得到m 与n 的大小．【详解】解：方程2(3)1x x -=的解为函数2(3)y x x =-的图象与直线1y =的交点的横坐标，31x -=的解为一次函数3y x =-与直线1y =的交点的横坐标，如图，由图象得m n <．故答案为：m n．【点睛】本题考查了函数图象的应用，会利用图象的交点的坐标表示方程或方程组的解是解题的关键．16．3【分析】设P（x）则Q（xx−2）得到PQ＝−x＋2根据三角形面积公式得到S△POQ＝−（x−2）2＋3根据二次函数的性质即可求得最大值【详解】解：∵PQ⊥x轴∴设P（x）则Q（xx−2）∴PQ＝解析：3【分析】设P（x，4x），则Q（x，12x−2），得到PQ＝4x−12x＋2，根据三角形面积公式得到S△POQ＝−14（x−2）2＋3，根据二次函数的性质即可求得最大值．【详解】解：∵PQ⊥x轴，∴设P（x，4x ），则Q（x，12x−2），∴PQ＝4x −12x＋2，∴S△POQ＝12（4x−12x＋2）•x＝−14（x−2）2＋3，∵−14＜0，∴△POQ面积有最大值，最大值是3，故答案为：3．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，反比例函数y＝kx（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．17．y＝x2＋2【分析】根据向下平移纵坐标减求出平移后函数的顶点坐标再利用顶点式写出解析式即可【详解】解：函数y＝x2＋3的顶点坐标为（03）∵函数图象向下平移1个单位长度∴得到的函数图象顶点坐标为（0解析：y＝x2＋2．【分析】根据向下平移纵坐标减求出平移后函数的顶点坐标，再利用顶点式写出解析式即可．【详解】解：函数y ＝x 2＋3的顶点坐标为（0，3），∵函数图象向下平移1个单位长度，∴得到的函数图象顶点坐标为（0，2），∴得到函数解析式为y ＝x 2＋2．故答案为：y ＝x 2＋2．【点睛】本题考查了二次函数的平移变换，通过平移求出新图象顶点坐标是关键．18．（2－3）【分析】根据坐标特点判定AB 两点是一对对称点从而得到抛物线的对称轴根据对称轴x=确定b 的值从而确定顶点坐标【详解】∵和是抛物线上的两点∴抛物线对称轴为x==2∴顶点坐标的横坐标为2；∵∴b解析：（2，－3）.【分析】根据坐标特点，判定A ，B 两点是一对对称点，从而得到抛物线的对称轴，根据对称轴x=2b a-，确定b 的值，从而确定顶点坐标. 【详解】 ∵()1,A m -和()5,B m 是抛物线21y x bx =++上的两点，∴抛物线对称轴为x=152-+=2， ∴顶点坐标的横坐标为2； ∵22b -=， ∴b= -4， ∴241y x x =-+，当x=2时，22421y =-⨯+= -3，∴抛物线的顶点坐标为（2，-3），故应填（2，-3）.【点睛】本题考查了利用抛物线的对称点确定顶点坐标，熟练掌握抛物线对称轴与对称点的关系，抛物线顶点坐标的计算公式是解题的关键.19．y=x2-1【分析】先把抛物线写成顶点式再写出平移后的顶点根据顶点式可求平移后抛物线的解析式【详解】解：∴原抛物线顶点坐标为(2-1)向左平移2个单位平移后抛物线顶点坐标为(0-1)∴平移后抛物线解解析：y=x 2-1【分析】先把抛物线写成顶点式，再写出平移后的顶点，根据顶点式可求平移后抛物线的解析式．【详解】解：()22-4+3-2-1y x x x ==，∴原抛物线顶点坐标为(2，-1)，向左平移2个单位，平移后抛物线顶点坐标为(0，-1)， ∴平移后抛物线解析式为：21y x =-，故答案为：21y x =-．【点睛】本题考查了抛物线的平移与抛物线解析式的关系，关键是把抛物线的平移转化为顶点的平移，运用顶点式求抛物线的解析式． 20．y2＜y1＜y3【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上对称轴是直线x=根据x ＞时y 随x 的增大而增大即可得出答案【详解】解：∵y=x2﹣3x ∴图象的开口向上对称轴是直线x=∵A （0y1）B （1解析：y 2＜y 1＜y 3【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x=32，根据x ＞32时，y 随x 的增大而增大，即可得出答案．【详解】解：∵y=x 2﹣3x ，∴图象的开口向上，对称轴是直线x=32． ∵A （0，y 1），B （1，y 2），C （4，y 3）是抛物线y=x 2﹣3x 上的三点，且0＜1＜32＜4， ∴y 2＜y 1＜y 3．故答案为：y 2＜y 1＜y 3．【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．三、解答题21．（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3，对称轴为：x ＝1，顶点（1，－4）；（2）D （2，﹣3）【分析】（1）把（1，﹣4）和（﹣2，5）代入，解方程即可；根据解析式可求对称轴和顶点坐标； （2）根据对称性确定D 点位置，求出坐标．【详解】解：（1）由题意，得14425b c b c ++=-⎧⎨-+=⎩， 解得，23b c =-⎧⎨=-⎩，所以，该抛物线的解析式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3；抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3的对称轴为：2121x -=-=⨯， 把x ＝1代入y ＝x 2﹣2x ﹣3得，y =-4，∴抛物线的顶点坐标为（1，-4） （2）根据轴对称的性质，点C 关于x ＝1的对称点D 即为所求，此时，AC ＝BD ，BC ＝AD ，在△ABC 和△BAD 中， ∵AB BA AC BD BC AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△BAD （SSS ）．在y ＝x 2﹣2x ﹣3中，令x ＝0，得y ＝﹣3，则C （0，﹣3），根据C 点、D 点关于x ＝1对称，则D 点坐标为（2，-3）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和全等三角形的判定，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，根据二次函数的对称性解决问题．22．（1）-5；（2）①m =322-，m =222+，m =22-②最大值为3，最小值为-27【分析】（1）先得到2y ax =-的相关函数，再将点A 代入计算即可；（2）①写出二次函数2283y x x =-+-的相关函数，再代入计算； ②根据二次函数的最大值和最小值的求法解答．【详解】解：（1）2y ax =-的相关函数为2(0)2(0)ax x y ax x -+≥⎧=⎨-<⎩， 将(1,3)A -代入2y ax =-，得5a =-； （2）①二次函数2283y x x =-+-的相关函数为22283(0)283(0)x x x y x x x ⎧-+≥=⎨-+-<⎩，当0m <时，将(,4)B m -代入2283y x x =-+-，得：m =22+（舍去）或m =22-， 当0m ≥时，将(,4)B m -代入2283y x x =-+，得：m =22+m =22-，∴m =22-或m =22+或m =22- ②当20x -≤<时，2283y x x =-+-，抛物线的对称轴为2x =，此时y 随x 的增大而增大，∴此时273y -≤<-，当03x ≤≤时，函数2283y x x =-+，抛物线的对称轴为2x =，当2x =有最小值，最小值为-5，当0x =时，有最大值，最大值3y =，∴当23x -≤≤时，函数2283y x x =-+-的相关函数的最大值为3，最小值为-27．【点睛】本题考查的是互为相关函数的定义，掌握二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．23．（1）见解析；（2）()2,3-，21x -≤≤【分析】（1）利用五点法作出二次函数的图像，然后令x=0求出A 点坐标即可；（2）将两个函数联立形成新的一元二次方程，然后求解C 点坐标，最后利用图像判断x 的取值范围即可．【详解】（1）由题意得：1由上图得A 点坐标为()3,0-；（2）由题意得：2123x x x -+=--+，解得12x =-，21x =，当2x =-时，()213y =--+=，∴C 点坐标为()2,3-，由上图得，当y 1≥y 2时，21x -≤≤．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，重点是根据五点法作出二次函数的图像，然后利用数形结合思想进行判断．24．（1）22y x x =-++；（2）（12，-3）或（12，2） 【分析】（1）利用旋转的性质得出A′（-1，0），B′（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可；（2）分AQ 是斜边、BQ 是斜边两种情况，利用勾股定理分别求解即可．【详解】解：（1）线段AB 绕原点O 逆时针旋转90°，得到线段A B ''，又A （0，1），B （2，0），∴A′（-1，0），B′（0，2），∵A′（-1，0），B′（0，2），B （2，0），设抛物线的解析式为：y=a （x+1）（x-2）将B′（0，2）代入得出：2=a （0+1）（0-2），解得：a=-1，故满足条件的抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-2）=-x 2+x+2；（2）由抛物线的表达式知，函数的对称轴为x=12，故设点Q （12，m ），则()222112AQ m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，222122BQ m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，AB 2=22+1=5， 当AQ 是斜边时， 则()22221112522m m ⎛⎫⎛⎫+-=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得m=-3，当BQ 是斜边时，()22221115222m m ⎛⎫⎛⎫+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得m=2，故点Q 的坐标为（12，-3）或（12，2）． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，坐标和图形的变换-旋转，其中（2），利用勾股定理得出方程求出m 是解题关键．25．（1）顶点坐标为()1,0-；（2）2n <-【分析】（1）利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式，再利用图象与x 轴有且只有一个公共点，则顶点的纵坐标为0，故函数图象的顶点坐标为（-1，0），（2）将n ，n+2代入二次函数解析式即可得出n 的取值范围．【详解】解：（1）()22211y x x m x m =++=++-，对称轴1x =-∵与x 轴有且只有一个公共点，∴顶点的纵坐标为0．∴函数图象的顶点坐标为()1,0-（2）∵()1,P n y ，()22,Q n y +是该二次函数的图象上的两点，且12y y >，()()22212221n n n n ++>++++，化简整理得，480n +<，∴2n <-，∴实数n 的取值范围是2n <-．【点睛】本题考查了二次函数的性质及解不等式，利用数形结合思想解题是关键．26．矩形猪舍的长、宽分别为12米、8米时，猪舍的面积最大，最大面积是96平方米．【分析】设猪舍的宽为m x ，则长为(2721)m x -+，由题意可得2(2721)2(7)98y x x x =-+=--+，然后再根据二次函数的性质进行求最大值即可；【详解】设猪舍的宽为m x ，则长为(2721)m x -+，由题意得2(2721)2(7)98y x x x =-+=--+，对称轴为7x =， 272112x -+≤，27210x -+>，814x ∴≤<，在22(7)98y x =--+中，∵20-<，∴在对称轴右侧y 随着x 的增大而减小，所以当8x =米时，即矩形猪舍的长、宽分别为12米、8米时，猪舍的面积最大，最大面积是96平方米．【点睛】本题考查了二次函数的应用，矩形的面积公式的运用及二次函数的性质，解答时寻找题目的等量关系是关键；。
高考数学秒杀公式之抛物线必考秒
高考数学秒杀公式之抛物线必考秒杀结论大全高考数学秒杀公式：抛物线必考秒杀结论大全！冲刺名校，高考必备高考命题具有连续性和稳定性的特点，认真研究高考题的高频题型，总结出题目隐含的速解结论，可以极大地提高学生高考时的解题效率。
下面将抛物线中常考题型的结论归纳如下，并配有真题，让考生达到知结论，会应用的目的。
家长收藏，让学生熟记，考试中定会突破高分，就读清北名校！抛物线y2=2px（p>0）,斜率为k过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),过焦点垂直于AB的直线交抛物线与CD两点.直线AB的倾斜角为θ.例1：(2017全国新课标卷Ⅰ)已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为( )A．16 B．14 C．12 D．10例2：(2014·全国新课标卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|=( )例3：(2013·全国新课标卷Ⅱ)设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B 两点．若|AF|=3|BF|，则l的方程为( )三、面积类规律公式例4：(2014·全国新课标卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )例5：(2013年高考福建卷)在四边形ABCD中，AC=(1，2)，BD=(－4，2)，则该四边形的面积是( )四、有关垂直和切线的其它规律线段AB的中点为M，点A，M，B在准线l的上的射影分别为A1，M1，B1：(9)M1F⊥AB(10)∠AM1B=90°，M1F=p/sinθ,以AB为直径的圆与准线l相切于点M1．(11)∠A1FB1=90°，以A1B1为直径的圆与直线AB相切于点F．(12)以AF，BF为直径的圆与y轴分别相切于点E，N．(13)AM1平分∠A1AF，BM1平分∠B1BF;A1F平分∠AFO，B1F平分∠BFO．(14)①A，F，B共线;②A，O，B1共线；③BB1∥x轴．(15)M1A与M1B是抛物线的切线，或者说以A，B两点为切点的两条切线互相垂直且交点在抛物线的准线上．解一：由结论（8）知MA，MB为抛物线的两条切线,故lAB：2y=4(x－2),即y=2x－4,故k=2,选D.解二：由结论(10)知MF⊥AB,∵kMF=-1/2,∴kAB=2,故选D.用上述结论做抛物线的选择和填空题，过程简洁，省时高效。
抛物线(考题猜想,易错必刷25题4种题型)(解析版)—高二数学上学期期中
抛物线（易错必刷25题4种题型专项训练）➢抛物线的定义➢抛物线的方程➢抛物线的焦半径➢直线与抛物线的位置关系一．抛物线的定义（共5小题）1．已知抛物线214y x =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（ ）A ．1716B ．5C ．6D ．【答案】B【详解】依题意，由抛物线的定义知，点A 到抛物线焦点的距离即点A 到准线1y=-的距离，即4(1)5--=.故选：B.2.（多选）已知抛物线的焦点在y 轴上，抛物线上一点(),3M m -到焦点的距离为5，则m 的值为（ ）A ．B ．-C ．D ．-3.,P Q 分别是抛物线 22x y = 和 x 轴上的动点， ()2,1M - ，则 PM PQ + 的最小值为（ ）A ．5B ．52C D ．24．已知点()01,P y 是抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，且点P 到C 的焦点距离为2，则p = ．【答案】2【详解】抛物线准线方程为故答案为：2.5．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点M 在C 上，且点M 到直线2x =-的距离为6，则MF = .二．抛物线的方程（共3小题）6.已知曲线()2024log 3y x =-过抛物线2:C y mx =的焦点，则C 的准线方程为（ ）A ．14=-x B ．4y =-C ．4x =-D ．14y =-【答案】C【详解】易知函数()2024log 3y x =-过x 轴上定点()4,0，即为C 的焦点，故C 的准线方程为4x =-.故选：C.7.过抛物线C ：22y px =（0p >）的顶点O ，且倾斜角为60°的直线与抛物线的另一个交点为A ，若8OA =，则抛物线的方程为 ．由题意可知4,OB AB ==代入抛物线方程得488p =故答案为：212y x=8.抛物线()220y px p =>的焦点为F ，其准线与双曲线22142x y-=的渐近线相交于A 、B 两点，若ABF △的周长为42，则抛物线方程是 ．故答案为：24y x=三．抛物线的焦半径（共8小题）9．设F 为抛物线2:8C y x =的焦点，点()00,P x y 为C 上一点，过P 作y 轴的垂线，垂足为A ，若3PF PA =，则cos FPA Ð=（ ）A ．223B ．2-C ．13D ．13-所以022,y O =为原点，10.已知抛物线24x y =的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，若4AF BF =，则AF = .11.已知M 是抛物线28y x =上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点．若120MFO Ð=o ，则线段MF 的长为 .【答案】8【详解】如图所示：设MF a =，易求(F 因为 120MFO Ð=o 所以在Rt MEF V ，ME 所以 132,22M a æ+ççè12.已知抛物线216y x =，的焦点为F ，P 点在抛物线上，Q 点在圆C ：()()22624x y -+-=上，则PQ PF +的最小值为 .13.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点A 、B 是抛物线C 上不同的两点，且A 、B 中点的横坐标为2，则AF BF += .【答案】6【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，由A ，B 中点的横坐标为2，可得124x x +=，所以||||+=AF BF 12116x x +++=．故答案为：6.14.直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点.若3AF BF =，则AB =（ ）A ．83B ．3C ．163D ．32设1122()A x y B x y ,,(,)，则由3AF BF =，得1y 由3AF BF =，得1x 联立解得3x =，x =15．（多选）设抛物线24y x =，F 为其焦点，P 为抛物线上一点，则下列结论正确的是（ ）A ．抛物线的准线方程是=1x -B ．焦点到准线的距离为4C ．若()2,1A ，则PA PF +的最小值为3D ．以线段PF 为直径的圆与y 轴相切由抛物线的定义，得PF因此，以PF 为直径的圆与故选：ACD16．（多选）已知抛物线24y x =的焦点为F ，过原点O 的动直线l 交抛物线于另一点P ，交抛物线的准线于点Q ，下列说法正确的是．（ ）A ．若O 为线段PQ 中点，则l 的斜率为±2B ．若4PF =，则OP =C ．存在直线l ，使得PF QF ^D ．PFQ △面积的最小值为2若O 为PQ 中点，则OHP △即H 与焦点F 重合，所以x 代入方程24y x =，得P y =±所以直线l 的斜率为2PPy x =±B 项，若4=PF ，则PF =四．直线与抛物线的位置关系（共9小题）17．（多选）在平面直角坐标系中，过抛物线C ：24y x =的焦点F 作一条与坐标轴不平行的直线l ，与C 交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则下列说法正确的是（ ）A ．若直线OB 与准线交于点D ，则0AD k =B ．对任意的直线l ，121x x =C ．2AF BF +的最小值为3+D ．以AF 为直径的圆与y 轴的公共点个数为偶数【答案】ABC【详解】对于A ，点A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)在抛物线C ：24y x =上，18．已知抛物线2:4C y x =的焦点为,,F A B 为C 上的两点．若直线FA 的斜率为12，且0FA FB ×=，延长,AF BF 分别交C 于,P Q 两点，则四边形ABPQ 的面积为．【答案】50【详解】由题可知，抛物线的焦点坐标为119.斜率为2的直线l 与抛物线2y px =相交于A 、B 两点，若A 、B 两点的中点为()2,1M ，则p 的值是 20.已知抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 的直线l 交C 于,A B 两点，y 轴被以AB 为直径的圆所截得的弦长为6，则AB = ．【答案】10【详解】抛物线C ：24y x =的焦点故设直线AB 的方程为y 设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)．则()24,1,y x y k x ì=ïí=-ïî即22k x ()2222Δ244k k k =+-×21．已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b 的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆C 的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，两曲线在第一象限的交点为P ，12PF F V (1)求椭圆C 的方程；(2)过点P 的直线l 交椭圆C 于另一点A ，若212PAF PF F S S =△△，求l 的方程.直线()1:261AF y x =-+，联立()22261143y x x y ì=-+ïí+=ïî，消去y 得，23364280x x ++=，解得23x =-或1411x =-，当23x =-时，22626133y æö=--+=-ç÷èø，22．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，抛物线24x y =的焦点为点F ，过点F 作y 轴的垂线交椭圆于P ，Q 两点，||PQ =．(1)求椭圆的标准方程；(2)过抛物线上一点A 作抛物线的切线l 交椭圆于B ，C 两点，设l 与x 轴的交点为D ，BC 的中点为E ，BC 的中垂线交x 轴于点G ，若GED V ，FOD V 的面积分别记为1S ，2S ，且121849S S =，点A 在第一象限，求点A 的坐标．23．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点，且其一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线AB 与椭圆C 交于A ，B 两点，若点(2,1)M -是线段AB 的中点，求直线AB 的方程.24．已知抛物线21:3C y x =及抛物线22:2(0)C y px p =>，过2C 的焦点F 的直线与1C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA OB ^.过F 的两条直线MN ，PQ 与2C 交于M ，N ，P ，Q 四点，其中M ，P 在第一象限，若直线MP 与x 轴的交点为(),0T t .(1)求2C 的方程；(2)若2t=-，求直线NQ与x轴的交点的坐标；(3)是否存在点T，使得M，N，P，Q四点共圆？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.（2）由（1）可得设直线MN的方程为由2123y xx myì=í=+î，得（3）由（2）可得1y y 若M ，N ，P ，Q 四点共圆，则有即2212331212y y æöæö++=ç÷ç÷èøèø即22223124y y y y +=+，所以25．已知直线210x y -+=与抛物线2:2(0)C y px p =>交于,A B 两点，且||AB =(1)求p ；(2)设F 为C 的焦点，M ，N 为C 上两点，且90MFN Ð=°，求MFN △面积的最小值．【答案】(1)2p =；∵F(1,0)，显然直线MN的斜率不可能为零，设直线MN：x my n=+，M由24y xx my nì=í=+î可得，24y-。
圆锥曲线方程-抛物线(知识点、典型例题、考点、练习)
抛物线 典例剖析知识点一 抛物线概念的应用已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标．解将x=3代入抛物线方程 y 2=2x ，得y=〒6.6>2，∴点A 在抛物线内部．设抛物线上点P 到准线l ： x=21的距离为d ，由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d ， 当PA ⊥l 时，|PA|+d 最小， 最小值为27，即|PA|+|PF|的最小值为27， 此时P 点纵坐标为2，代入y 2=2x ，得x=2， ∴点P 坐标为(2,2)．知识点二 求抛物线的标准方程求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x －2y －4＝0上．分析 设出抛物线的标准形式，依据条件求出p 的值．解 (1)设抛物线标准方程为y 2＝－2px 或x 2＝2py (p >0)，则将点(－3,2)代入方程得2p ＝43，或2p ＝92，故抛物线的标准方程为y 2＝－43x ，或x 2＝92y .(2)①令x ＝0，由方程x －2y －4＝0，得y ＝－2. ∴抛物线的焦点为F (0，－2)．设抛物线方程为x 2＝－2py ，则由p2＝2，得2p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝－8y .②令y ＝0，由x －2y －4＝0，得x ＝4. ∴抛物线的焦点为F (4,0)．设抛物线方程为y 2＝2px ，由p2＝4，得2p ＝16.∴所求抛物线方程为y 2＝16x .知识点三 抛物线在实际中的应用汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24 cm ，灯深10 cm ，那么灯泡与反射镜的顶点(即截得抛物线顶点)距离是多少？分析 确定抛物线方程，求出抛物线的焦点到其顶点的距离解 取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x 轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xOy ，如图所示．因灯口直径|AB|=24.灯深|OP|=10， 所以点A 的坐标是(10,12)．设抛物线的方程为y 2=2px(p>0)．由点A(10,12)在抛物线上，得122=2p ×10， ∴p=7.2.抛物线的焦点F 的坐标为(3.6,0)．因此灯泡与反射镜顶点的距离是3.6 cm.知识点四 抛物线几何性质的简单应用抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程．分析 先确定抛物线方程的形式，再依条件求待定参数．解 椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，得抛物线的对称轴为x 轴．设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)， 又抛物线的焦点到顶点的距离为3，则有|a4|＝3，∴|a |＝12，即a ＝±12.故所求抛物线方程为y 2＝12x ，或y 2＝－12x .知识点五 直线与抛物线已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程．解 焦点F (p2，0)，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，若AB ⊥Ox ，则|AB |＝2p <52p ，不合题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －p2)，k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －p 2)，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.韦达定理得，y 1＋y 2＝2pk，y 1y 2＝－p 2.∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋1k 2)·(y 1－y 2)2＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2p (1＋1k 2)＝52p .解得k ＝±2.∴AB 所在直线方程为y ＝2(x －p 2)，或y ＝－2(x －p 2)．知识点六 抛物线的焦点弦问题AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，M 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，MN ⊥l ，N 为垂足．求证：(1)AN ⊥BN ； (2)FN ⊥AB ；(3)若MN 交抛物线于Q ，则Q 平分MN .证明 (1)作AC ⊥l ，垂足为C ，作BD ⊥l ，垂足为D ，在直角梯形ABDC 中， ∵|AF|=|AC|，|BF|=|BD|， ∴|MN|=21(|AC|+|BD|) =21(|AF|+|BF|) =21|AB|， 由平面几何知识可知△ANB 是直角三角形，即AN ⊥BN. (2)∵|AM|=|NM|， ∴∠MAN=∠MNA ， ∵AC ∥MN ，∴∠CAN=∠MNA ，∴∠MAN=∠CAN.在△ACN 和△AFN 中，|AN|=|AN|，|AC|=|AF|， 且∠CAN=∠FAN ，∴△ACN ≌△AFN ， ∴∠NFA=∠NCA=90°， 即FN ⊥AB.(3)在Rt △MNF 中，连结QF ， 由抛物线的定义及(2)的结论得 |QN|=|QF|⇒∠QNF=∠QFN ，且∠QFN=90°-∠QFM ，∠QMF=90°-∠QNF ， ∴∠QFM=∠QMF ，∴|QF|=|QM|， ∴|QN|=|QM|，即Q 平分MN.知识点七 抛物线的综合问题过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为θ的直线交抛物线于A 、B 两点，设△AOB 的面积为S (O 为原点)．(1)用θ、p 表示S ；(2)求S 的最小值；当最小值为4时，求抛物线的方程．解 (1)设直线y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，代入y 2＝2px ， 得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫y k ＋p 2，即y 2－2pk y －p 2＝0，∴y 1＋y 2＝2pk，y 1y 2＝－p 2.∴|AB |＝ 1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝ k 2＋1k 2·4p 2k2＋4p 2＝(1＋1k 2)2p ＝(1＋1tan 2θ)2p＝2p sin 2θ.① 当直线AB ⊥x 轴时，①也成立．∴S ＝12|OF ||AF |sin θ＋12|OF ||BF |sin(π－θ)＝12|OF ||AB |sin θ ＝12·p 22p sin 2θsin θ＝p 22sin θ. (2)当θ＝90°时，S min ＝12p 2.若S min ＝4，则12p 2＝4.∴p ＝2 2.∴此时抛物线的方程为y 2＝42x .考题赏析1．(辽宁高考)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172 B ．3 C. 5 D.92解析 如图所示，由抛物线的定义知，点P 到准线x ＝－12的距离d 等于点P 到焦点的距离|PF |.因此点P 到点(0,2)的距离与点P 到准线的距离之和可转化为点P 到点(0,2)的距离与点P到点F 的距离之和，其最小值为点M (0,2)到点F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离，则距离之和的最小值为4＋14＝172.答案 A2．(全国Ⅰ高考)已知抛物线y ＝ax 2－1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为________．解析 ∵y ＝ax 2－1，∴y ＋1＝ax 2.令y ＋1＝y ′，x ＝x ′，则y ′＝ax ′2，∴x ′2＝2×12ay ′，∴x ′2＝1a y ′的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a ，即y ＋1＝14a ， ∴y ＝ax 2－1的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a －1. 又y ＝ax 2－1的焦点是原点，∴14a ＝1，∴a ＝14.∴y ＝14x 2－1.令x ＝0，得y ＝－1，令y ＝0，得x ＝±2.故y ＝14x 2－1与两坐标轴的三个交点为(0，－1)，(2,0)，(－2,0)，∴围成三角形面积为S ＝12×4×1＝2.答案 23．(全国Ⅱ高考)已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A 、B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为M (2,2)，则△ABF 的面积等于________．解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2. ∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．∵x 1≠x 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1.∴直线AB 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x . 将其代入y 2＝4x ，得A (0,0)、B (4,4)．∴|AB |＝4 2.又F (1,0)到y ＝x 的距离为22，∴S △ABF ＝12×22×42＝2.答案 21．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是( ) A.|a |4 B.|a |2C ．|a |D ．－a2答案 B解析 因为y 2＝ax ，所以p ＝|a |2，即该抛物线的焦点到其准线的距离为|a |2，故选B.2．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点的距离是a (a >p2)，则点M 的横坐标是( )A ．a ＋p 2B ．a －p2C ．a ＋pD ．a －p 答案 B解析 由抛物线的定义知：点M 到焦点的距离a 等于点M 到抛物线的准线x ＝－p2的距离，所以点M 的横坐标即点M 到y 轴的距离为a －p2.3．已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x 轴上，其上点P (－3，m )到焦点F 的距离为5，则抛物线方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x 答案 B解析 点P (－3，m )在抛物线上，焦点在x 轴上，所以抛物线的标准方程可设为y 2＝－2px (p >0)．由抛物线定义知|PF |＝3＋p2＝5.所以p ＝4，所以抛物线的标准方程是y 2＝－8x .应选B.4．抛物线y 2＝ax 的焦点与双曲线x 23－y 2＝1的左焦点重合，则这条抛物线的方程是( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝－42xD ．y 2＝－8x 答案 D解析 因为x 23－y 2＝1的左焦点为(－2,0)，所以抛物线开口向左，所以a <0，且p ＝|a |2＝4，所以a ＝－8，所以抛物线方程为y 2＝－8x ，故选D.5．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交抛物线C 于A 、B 两点．设|F A |>|FB |，则|F A |与|FB |的比值等于________．答案 3＋2 2解析 ∵y 2＝4x 的焦点坐标为 F (1,0)，准线方程为x ＝－1，∴过F 且斜率为1的直线方程为y = x - 1.将其代入y 2= 4x 得 x 2 - 6x + 1=0.∴x 1, 2 =62± = 3〒22.∵|FA|>|FB|，∴x A =3+22，x B =3-22.又|FA|= x +1，|FB|= x B +1，∴|FA||FB|== 3+22. 答案 －36. 过抛物线y 2 = 4x 的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点，则· 的值是________．. 解析 当直线过焦点且垂直于x 轴时，直线方程为x ＝1，代入y 2＝4x ，y 1,2＝±2.A 、B 点的坐标分别为(1,2)，(1，－2)．∴·OB →＝1－4＝－3.当直线过焦点不垂直x 轴时，则直线的方程可设为y ＝k (x －1)，设A ，B 坐标分别为(x 1，y 1)(x 2，y 2)．则y 21·y 22＝16x 1x 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)，得k 2x 2－(2k ＋4)x ＋k 2＝0， ·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝1－4＝－3. 7．已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与定直线l ：x ＝1，若动圆C 与圆A 相外切，且与直线l 相切，求动圆圆心C 的轨迹方程．解 设圆心C 到直线l 的距离为d ，则由题意知|CA |＝d ＋1从而可知圆心C 到点(－2,0)的距离和到定直线x ＝2的距离相等．所以动圆圆心C 的轨迹是抛物线，其焦点为(－2,0)，准线为x ＝2，故设动圆圆心C 的轨迹方程为y 2＝－2px (p >0)，由p2＝2，得p ＝4.因此动圆圆心C 的轨迹方程为y 2＝－8x .8．已知点M (－2,4)及焦点为F 的抛物线y ＝18x 2，在此抛物线上求一点P 使|PM |＋|PF |的值最小．分析 先根据已知条件画出图形，由定义知，抛物线上的点P 到焦点F 的距离等于P 到准线l 的距离d ，所以求|PM |＋|PF |的最小值问题可转化为求|PM |＋d 的最小值问题，让点P 在抛物线上运动，容易发现当点P 运动到过点M 且与x 轴垂直的直线与抛物线的交点处时，|PM |＋d 最小．解 如图，设MN ⊥x 轴，与准线交于N ，与抛物线交于点P ，在抛物线上任取一点P ′，连P ′M ，P ′F ，作P ′N 垂直于准线，垂足为N ′.由抛物线的定义，|PN|=|PF|，|P ′N ′|=|P ′F||P ′M|+|P ′N ′|=|P ′M|+|P ′F| |PN|+|PM|=|PM|+|PF|∵|P ′M|+|P ′N ′|≥|PN|+|PM| ∴|P ′M|+|P ′F|≥|PM|+|PF|这就是说，当P ′与P 重合时，|PM|+|PF|的值最小解方程组22,1,8x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩得P(-2，12)． 9．已知抛物线y 2＝2x ，过点Q (2,1)作一条直线交抛物线于A 、B 两点，试求弦AB 中点的轨迹方程．解 设弦AB 的中点M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝2x 1，y 22＝2x 2， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2，又y 1＋y 2＝2y ，∴y 1－y 2x 1－x 2＝1y，即k AB ＝1y .又k MQ ＝y －1x －2，由题意知k MQ ＝k AB .∴y －1x －2＝1y，整理， 得y 2－x －y ＋2＝0.所以，弦AB 中点的轨迹方程为y 2－x －y ＋2＝0.10．抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．解 如右图所示，依题意设抛物线方程为y 2=2px(p>0)，则直线方程为y=-x+12p. 设直线交抛物线于A(x 1，y 1)， B(x 2，y 2)，则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD| =x 1+2P + x 2 + 2P ， 即x 1+x 2 +p=8.①又A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是抛物线和直线的交点．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px ，消去y 得x 2－3px ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝3p ，将其代入①得p ＝2. ∴所求抛物线方程为y 2＝4x .当抛物线方程设为y 2＝－2px (p >0)时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x . 故抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x .讲练学案部分2．4.1 抛物线及其标准方程.对点讲练知识点一 求抛物线的标准方程分别求出满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)过点(3，－4)．(2)焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上． 解 (1)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)或x 2＝－2p 1y (p 1＞0)，把点(3，－4)的坐标分别代入得(－4)2＝2p ×3,32＝－2p 1×(－4)即2p ＝163，2p 1＝94∴所求抛物线的方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .(2)令x ＝0得y ＝－5；令y ＝0得x ＝－15 ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－60x 或x 2＝－20y .【反思感悟】 求抛物线方程应首先确定焦点的位置，进而确定方程的形式，然后利用已知条件求p 的值．求满足下列条件的抛物线的方程．(1)以坐标轴为对称轴，且过点A (2,3)；(2)以坐标轴为对称轴，焦点到准线的距离为52.解 (1)由题意，方程可设为y 2＝mx 或x 2＝ny ， 将点A (2,3)的坐标代入，得32＝m ·2或22＝n ·3，∴m ＝92或n ＝43.∴所求的抛物线方程为y 2＝92x 或x 2＝43y .(2)由焦点到准线的距离为52，可知p ＝52.∴所求抛物线方程为y 2＝5x 或y 2＝－5x 或x 2＝5y 或x 2＝－5y .知识点二 抛物线定义的应用已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值．解 设抛物线的方程为y 2＝－2px (p ＞0)，则准线方程为x ＝p2.∵点M (－3，m )是抛物线上的点，根据抛物线定义，M 点到焦点的距离等于M 点到准线的距离∴|－3|＋p2＝5 ∴p ＝4.∴抛物线方程为y 2＝－8x .又点M (－3，m )在抛物线上故m 2＝－8×(－3) ∴m ＝±2 6.【反思感悟】 涉及抛物线上一点与焦点的距离问题要注意用定义转化为该点到准线的距离，可简化计算．若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1相外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．双曲线的一支D ．抛物线答案 D解析 设动圆的圆心为M ，半径为r ，动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1相外切，则M 到定点(2,0)的距离为r ＋1，动圆与直线x ＝－1相切，则点M 到定直线x ＝－1的距离为r ，所以M 到定点(2,0)和到定直线x ＝－2的距离相等，由抛物线定义知，答案选D.知识点三 抛物线知识在实际中的应用喷灌的喷头装在直立管柱OA 的顶点A 处，喷出水流的最高点B 高5 m ，且与OA 所在的直线相距4 m ，水流落在以O 为圆心，半径为9 m 的圆上，则管柱OA 的长是多少？解 如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x 2= -2py(p>0)，点C(5， -5)在抛物线上，所以25= -2p ·(-5),2p=5，所以抛物线的方程为x 2= -5y ，点A(-4，y 0)在抛物线上，所以16= -5y 0，y 0 = -165，所以OA 的长为5 - 165=1.8 (m)．∴管柱OA 的长是1.8 m.【反思感悟】 根据题意，建立直角坐标系，用待定系数法求出抛物线方程，再利用抛物线方程解决实际问题．抛物线型拱桥顶距离水面2米，水面宽4米，当水下降1米后，水面宽________米．答案 2 6解析 可设抛物线方程为x 2＝－2py ，则点(－2，－2)在抛物线上，则有：4＝4p . ∴p ＝1，抛物线方程为x 2＝－2y ，当y ＝－3时，x ＝±6. ∴水面宽为2 6. 课堂小结：1.四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时，开口方向为坐标轴的正方向；系数为负时，开口方向为坐标轴的负方向.2.焦点在y 轴上的抛物线的标准方程x 2=2py 通常又可以写成y=ax 2,这与以前学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程y=ax 2来求其焦点和准线时，必须先化成标准形式.3.经过抛物线的焦点的弦称为抛物线的焦点弦，它有以下特性：设焦点弦AB 的端点坐标分别为A （x 1 , y 1）,B(x 2,y 2)，则y 1y 2= - p 2, x 1x 2 = 24p ，|AB|= x 1 + x 2 + p.课时作业一、选择题1．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在曲线x 24－y 22＝1上，则抛物线方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝±8x 答案 D解析 由题意知抛物线的焦点为双曲线x 24－y 22＝1的顶点，即(－2,0)、(2,0)，所以抛物线的方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .2．抛物线y ＝mx 2(m <0)的焦点坐标是( )A ．(0，m 4)B ．(0，14m )C ．(0，－m 4)D ．(0，－14m)答案 B解析 由于抛物线方程可化为x 2＝1my (m <0)，所以抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，且2p ＝－1m ，所以p 2＝－14m ，所以抛物线的焦点坐标是(0，14m)，答案选B.3．过点M (2,4)作与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线l 有( ) A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条 答案 C解析 容易发现点M (2,4)在抛物线y 2＝8x 上，这样l 过M 点且与x 轴平行时，l 与抛物线有一个公共点，或者l 在M 点上与抛物线相切，故选C.4．已知P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线y 2＝2px (p >0)上不同的两点，则y 1·y 2＝－p 2是直线P 1P 2通过抛物线焦点的( )A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 设直线P 1P 2的斜率为k ，在x 轴上的截距为x 0，则P 1P 2的方程为y ＝k (x －x 0)， x ＝1ky ＋x 0(k ＝0时只有一个交点不合题意)， 所以y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫1k y ＋x 0，即y 2－2pky －2px 0＝0. 当直线P 1P 2过焦点时，x 0＝p2，则y 1y 2＝－p 2.当y 1y 2＝－p 2时，即－2px 0＝－p 2，则x 0＝p2，直线过焦点．当斜率不存在时也可验证是充要条件．5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4 答案 B解析 方法一 由已知得抛物线焦点为(1,0)，过焦点的直线设为y ＝k (x －1)(由x 1＋x 2＝6知，此直线不平行于y 轴，因而k 存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2(k 2＋2)k 2＝6，x 1·x 2＝1得k ＝±1.所以|AB |2＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝2(x 1－x 2)2＝64，故|AB |＝8.方法二 由焦半径公式|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8.二、填空题6．抛物线2y 2＋5x ＝0的焦点坐标为____________，准线方程为______________．答案 ⎝⎛⎭⎫－58，0 x ＝58解析 化抛物线2y 2＋5x ＝0为标准方程y 2＝－52x,2p ＝52，p 2＝58，所以焦点坐标为(－58，0)，准线方程为x ＝58.7．设点M ⎝⎛⎭⎫3，103与抛物线y 2＝2x 上的点P 之间的距离为d 1，P 到抛物线准线l 的距离为d 2，则当d 1＋d 2取最小值时，P 点坐标为____________．答案 (2,2)解析 当P 点是M 与焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0连线与抛物线交点时，d 1＋d 2最小，MF 的方程为y ＝43x －23，与抛物线y 2＝2x 联立得P (2,2)． 三、解答题8．过点Q (4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，若弦恰被Q 平分，求AB 所在直线方程． 解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因点Q (4,1)为A ，B 的中点则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8y 1＋y 2＝2将A 、B 两点坐标代入y 2＝8x .则有⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝8x 1 ①y 22＝8x 2 ②①－②得：(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝8(x 1－x 2)，由y 1＋y 2＝2，则有y 1－y 2x 1－x 2＝4，∴k AB ＝4.∴所求直线方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0.9．一抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一竹排上有一宽4米、高6米的矩形大木箱，问能否安全通过？解建立坐标系如图，设抛物线方程为 x 2= -2py ，则点(26， -6.5)在抛物线上， ∴262= -2p ·(-6.5)，∴p=52，抛物线的方程为x 2= -104y ，当y=-0.5时，x=〒213，则有413>4， 所以木箱能安全通过．10．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点． 求证：(1)x 1x 2为定值；(2)1|F A |＋1|FB |为定值． 证明 (1)抛物线y 2＝2px 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，当AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2 (k ≠0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2y 2＝2px消去y ， 得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋k 2p 24＝0.由根与系数的关系得x 1x 2＝p 24(定值)．当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2＝p2，x 1x 2＝p24也成立．(2)由抛物线的定义知，|F A |＝x 1＋p 2，|FB |＝x 2＋p2.又由(1)得x 1x 2＝p24，所以1|F A |＋1|FB |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2＝x 1＋x 2＋pp 2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋p 24 ＝x 1＋x 2＋p p 2(x 1＋x 2)＋p 22＝x 1＋x 2＋p p 2(x 1＋x 2＋p )＝2p(定值)． 2．4.2 抛物线的简单几何性质.对点讲练知识点一 由性质求方程已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交的公共弦长等于23，求这条抛物线的方程．解 设所求抛物线方程为y 2＝2px (p >0)或y 2＝－2px (p >0)，设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(y 1>0，y 2<0)，则|y 1|＋|y 2|＝23，即y 1－y 2＝23，由对称性知，y 2＝－y 1，代入上式得y 1＝3，把y 1＝3代入x 2＋y 2＝4得x ＝±1.所以点(1，3)在抛物线y 2＝2px 上，点(－1，3)在抛物线y 2＝－2px 上，所以3＝2p 或3＝－2p ×(－1)．所以p ＝32，所以所求抛物线方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x .【反思感悟】 (1)由已知的几何条件求抛物线方程，常用待定系数法．(2)由于抛物线是轴对称图形，所以与对称轴垂直的弦一定被对称轴平分．已知抛物线的焦点在x 轴上，直线y ＝2x ＋1被抛物线截得的线段长为15，求此抛物线的标准方程．解 ∵抛物线的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为y 2＝2px由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2pxy ＝2x ＋1得4x 2＋(4－2p )x ＋1＝0.∴|x 1－x 2|＝(4－2p )2－164＝p 2－4p2.∴1＋22|x 1－x 2|＝52p 2－4p .∴52p 2－4p ＝15.∴p ＝6或p ＝－2. ∴抛物线的方程为y 2＝12x 或y 2＝－4x .知识点二 与抛物线有关的证明问题过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴．证明如图所示，以抛物线的对称轴为x 轴，它的顶点为原点，建立直角坐标系． 设抛物线的方程为y 2=2px ，①点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫y 202p ，y 0，则直线OA 的方程为 y ＝2py 0x (y 0≠0)，②抛物线的准线方程是x ＝－p2.③联立②③，可得点D 的纵坐标为y ＝－p 2y 0④因为点F 的坐标是⎝⎛⎭⎫p 2，0，当AB ⊥x 轴时，|y 0|＝p 此时，|OA |＝|OD |，∴DB ∥x 轴当AB 与x 轴不垂直时，即y 20≠p 2时，直线AF 的方程为y ＝2py 0y 20－p 2⎝⎛⎭⎫x －p 2，⑤ 联立①⑤，可得点B 的纵坐标为y ＝－p 2y 0.⑥由④⑥可知，DB ∥x 轴．【反思感悟】 因抛物线方程的独特形式，较之椭圆与双曲线，它上面的点便于用一个变量表示出来，如y 2＝2px 上任一点，可表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22p ，y ，注意恰当运用．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，Q 是抛物线上除顶点外的任意一点，直线QO 交准线于P 点，过Q 且平行于抛物线对称轴的直线交准线于R 点，求证：PF ⊥RF .证明如图所示，设点Q ⎝⎛⎭⎫y 202p ，y 0，则R.（-2p，y 0 ） 直线OQ 的方程为y=02y p x ， 当x=-2p 时，解得y=-02y p，∴P ＝2,20p p y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又F （2p ，0），∴RF →＝⎝⎛⎭⎫p ，p 2y 0，RF →＝(p ，－y 0) ∴RF →·RF →＝0，∴PF ⊥RF .知识点三 直线与抛物线的交点问题已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k .k 为何值时，直线l 与抛物线y 2＝4x ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？解 由题意，设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x ＋2)y 2＝4x ，可得：ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.① (1)当k ＝0时，由方程①得y ＝1.把y ＝1代入y 2＝4x ，得x ＝14.这时，直线l 与抛物线只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1. (2)当k ≠0时，方程①的判别式为 Δ＝－16(2k 2＋k －1)． 1°由Δ＝0，即2k 2＋k －1＝0，解得k ＝－1，或k ＝12.于是，当k ＝－1，或k ＝12时，方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解．这时，直线l 与抛物线只有一个公共点．2°由Δ>0，即2k 2＋k －1<0，解得－1<k <12.于是，当－1<k <12，且k ≠0时，方程①有两个解，从而方程组有两个解．这时，直线l与抛物线有两个公共点．3°由Δ<0，即2k 2＋k －1>0，解得k <－1，或k >12.于是，当k <－1，或k >12时，方程①没有实数解，从而方程组(*)没有解．这时，直线l与抛物线没有公共点．综上，我们可得当k ＝－1，或k ＝12，或k ＝0时，直线l 与抛物线只有一个公共点；当－1<k <12，且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点；当k <－1，或k >12时，直线l 与抛物线没有公共点．【反思感悟】 当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，抛物线和直线相交，只有一个交点．解决直线与抛物线位置关系问题时，不要忽视这一点，否则容易漏解．直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，l 与C 分别相切、相交、相离？解 将l 和C 的方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1， ①y 2＝4x ， ②①式代入②式，并整理，得 k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.当k ≠0时，是一元二次方程， ∴Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16(1－k )．(1)当Δ＝0时，即k ＝1时，l 与C 相切． (2)当Δ>0时，即k <1时，l 与C 相交． (3)当Δ<0时，即k >1时，l 与C 相离．当k ＝0时，直线l ：y ＝1与曲线C ：y 2＝4x 相交．综上所述，当k ＝0或k <1时，l 与C 相交，当k ＝1时，l 与C 相切，当k >1时，l 与C 相离．课堂小结：1.在已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x 轴,求抛物线的标准方程时,为避免讨论张口的方向可设抛物线的方程为y 2=2ax (a ≠0).此时,不论a>0或a<0,焦点坐标都是（2a,0）,准线方程都为x=-2a . 2.抛物线y 2= 2px (p>0)上任一点的坐标可用一个量y 1表示为21(1),2y y p;x 2 = 2py (p>0)上任一点坐标可设为（x 1 , 212x p）.3.直线与抛物线的位置关系设直线l ：y=kx+m ，抛物线：y 2=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x 的方程：ax 2+bx+c=0,(1)若a ≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ=0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点.（2）若a=0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合，因此直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.一、选择题1．P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p ≠0)上任一点，则P 到焦点的距离是( )A ．|x 0－p 2|B ．|x 0＋p2|C ．|x 0－p |D ．|x 0＋p | 答案 B解析 当p >0时，由抛物线定义得点P (x 0，y 0)到焦点的距离为x 0＋p2，当p <0时由抛物线定义知P (x 0，y 0)到焦点的距离为－p 2－x 0，综上得所求距离为|x 0＋p2|，故选B.2．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为4，则|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4 答案 A解析 设A 、B 两点的横坐标分别为x A 、x B ，则有x A ＋x B ＝8，|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋p 2＋x B ＋p2＝8＋p ＝8＋2＝10.3．抛物线y 2＝2px 与直线ax ＋y －4＝0的一个交点是(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离为( )A.32 3B.25 5C.710 5D.172 答案 B解析 由已知得抛物线方程为y 2＝4x ，直线方程为2x ＋y －4＝0，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是F (1,0)，到直线2x ＋y －4＝0的距离d ＝|2＋0－4|22＋1＝255.4．若抛物线y 2＝2px (p >0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点的距离的关系是( )A ．成等差数列B ．既成等差数列又成等比数列C ．成等比数列D ．既不成等比数列也不成等差数列 答案 A解析 设三点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，y 23＝2px 3，因为2y 22＝y 21＋y 23， 所以x 1＋x 3＝2x 2，即|P 1F |－p 2＋|P 3F |－p2＝2⎝⎛⎭⎫|P 2F |－p 2， 所以|P 1F |＋|P 3F |＝2|P 2F |. 二、填空题5．抛物线的顶点在原点，准线垂直于x 轴，且焦点到顶点的距离为4，则其方程为______________________．答案 y 2＝16x 或y 2＝－16x解析 焦点到顶点的距离即p2＝4，p ＝8.6．抛物线y ＝x 2上的点到直线2x －y －4＝0的距离最短的点的坐标是____________． 答案 (1,1)解析 设点A (x ，y )是符合题设条件的点，则由点到直线的距离公式，得d ＝55|2x －y －4|＝55|2x －x 2－4| ＝55|－(x －1)2－3|≥355. 当且仅当x ＝1时，d 取得最小值，故所求点为(1,1)．7．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是____________．答案 [－1,1]解析 Q 点坐标为(－2,0)，直线l 的斜率不存在时，不满足题意，所以可设直线l 的斜率为k ，方程为y ＝k (x ＋2)．当k ＝0时满足．当k ≠0时，x ＝1ky －2，代入y 2＝8x ，得y 2－8k y ＋16＝0.Δ＝64k2－64≥0，k 2≤1，即－1≤k ≤1(k ≠0)．综上，－1≤k ≤1.三、解答题8．过点(－3,2)的直线与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，求此直线方程． 解 显然，直线存在斜率k ， 设其方程为y －2＝k (x ＋3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x ＋3)y 2＝4x 消去x ，整理得ky 2－4y ＋8＋12k ＝0①(1)当k ＝0时，方程①化为－4y ＋8＝0，即y ＝2， 此时过(－3,2)的直线方程为y ＝2，满足条件． (2)当k ≠0时，方程①应有两个相等实根． 由⎩⎪⎨⎪⎧ k ≠0Δ＝0即⎩⎪⎨⎪⎧k ≠016－4k (8＋12k )＝0，得k ＝13或k ＝－1.∴直线方程为y －2＝13(x ＋3)或y －2＝－(x ＋3)，即x －3y ＋9＝0或x ＋y ＋1＝0.故所求直线有三条，其方程分别为： y ＝2，x －3y ＋9＝0或x ＋y ＋1＝0.9．A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上两点，满足OA ⊥OB ，其中O 为抛物线顶点．求证： (1)A ，B 两点的纵坐标乘积为定值； (2)直线AB 恒过一定点． 证明(1)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，x 1≠0，x 2≠0，则y 12=2px 1， y 22=2px 2. ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2 + y 1y 2=0.∴y 12y 22、= 4p 2 x 1x 2 = 24p -y 1y 2.∴y 1y 2 =24p -为定值， x 1x 2=-y 1y 2=4p 2也为定值．∴A 、B 两点的纵坐标乘积为定值．(2)若AB ⊥x 轴，则易知直线AB 方程为x = 2p ， 过点(2p,0)；若AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2，y 1+y 2≠0.由y 12-y 22=2p(x 1-x 2)，得1212122y y px x y y -++=. ∴直线AB 的方程是y= 122py y + (x -x 1)+y 1，即y = 211121222px px y y y y y ++-+。
2022年高考数学(文)一轮复习文档：第八章 平面解析几何 第7讲抛物线 Word版含答案
第7讲 抛物线 ,)1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上． 2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y 2＝2px(p ＞0)y 2＝－2px(p ＞0)x 2＝2py(p ＞0)x 2＝－2py(p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0，0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2离心率 e ＝1准线 方程 x ＝－p2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0， x ∈R开口方向 向右向左向上 向下 焦半径|PF |＝|PF |＝|PF |＝|PF |＝(其中P (x 0， y 0))x 0＋p 2－x 0＋p2y 0＋p 2－y 0＋p21．辨明两个易误点(1)抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线．(2)对于抛物线标准方程中参数p ，易忽视只有p ＞0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．2．与焦点弦有关的常用结论(以右图为依据)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．1.教材习题改编 抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为( ) A ．(0，－2) B ．(0，2) C ．⎝⎛⎭⎪⎫0，－132 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，132C 由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y .2p ＝18，p ＝116，所以焦点为⎝⎛⎭⎪⎫0，－132，故选C.2.教材习题改编 以x ＝1为准线的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝－2x C ．y 2＝4xD ．y 2＝－4xD 由准线x ＝1知，抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且p2＝1，p ＝2，所以方程为y 2＝－4x ，故选D.3．M 是抛物线y 2＝2px (p >0)位于第一象限的点，F 是抛物线的焦点，若|MF |＝52p ，则直线MF 的斜率为( )A ．43B ．53C ．54D ．52A 设M (x 0，y 0)，由|MF |＝52p ，得x 0＋p 2＝5p2，所以x 0＝2p .所以y 20＝2px 0＝4p 2，取正根得y 0＝2p . 即M 的坐标为(2p ，2p )， 又F 的坐标为(p2，0)，所以k MF ＝2p －02p －p 2＝43，故选A.4．动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，依据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .y 2＝4x5.教材习题改编 抛物线x 2＝2py (p >0)上的点P (m ，2)到焦点F 的距离为3，则该抛物线的方程为________． 依据抛物线定义可知2＋p2＝3，所以p ＝2，所以抛物线的方程为x 2＝4y .x 2＝4y抛物线的定义及其应用(1)若抛物线y 2＝2x 上一点M 到它的焦点F 的距离为32，O 为坐标原点，则△MFO 的面积为( )A ．22B ．24C ．12D ．14(2)已知抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点B (3，2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________．【解析】 (1)由题意知，抛物线准线方程为x ＝－12.设M (a ，b )，由抛物线的定义可知， 点M 到准线的距离为32，所以a ＝1，代入抛物线方程y 2＝2x ， 解得b ＝±2，所以S △MFO ＝12×12×2＝24.(2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |，则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4.即|PB |＋|PF |的最小值为4. 【答案】 (1)B (2)4若本例(2)中的B 点坐标改为(3，4)，试求|PB |＋|PF |的最小值．由题意可知点(3，4)在抛物线的外部．由于|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离， 所以|PB |＋|PF |≥|BF |＝42＋22＝16＋4＝2 5.即|PB |＋|PF |的最小值为2 5.抛物线定义的应用(1)利用抛物线的定义解决此类问题，应机敏地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．(2)留意机敏运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p2.1．(2021·云南省统一检测)设经过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，那么抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交但不经过圆心D ．相交且经过圆心B 设圆心为M ，过点A 、B 、M 作准线l 的垂线，垂足分别为A 1、B 1、M 1， 则|MM 1|＝12(|AA 1|＋|BB 1|)．由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|， 所以|AB |＝|BB 1|＋|AA 1|，|MM 1|＝12|AB |，即圆心M 到准线的距离等于圆的半径， 故以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．2．(2021·长春调研)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，则抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．355B ．2C ．115D ．3B 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点F 为(1，0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值即为焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.抛物线的标准方程及性质(高频考点)抛物线的标准方程及性质是高考的热点，考查时多以选择题、填空题形式消灭，个别高考题有肯定难度． 高考对抛物线的考查主要有以下三个命题角度： (1)求抛物线方程； (2)由已知求参数p ； (3)抛物线方程的实际应用．(1)(2022·高考全国卷乙)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)若抛物线的焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点，则抛物线的标准方程为________．【解析】 (1)由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4，所以选B.(2)对于直线方程3x －4y －12＝0，令x ＝0，得y ＝－3，令y ＝0，得x ＝4，所以抛物线的焦点坐标可能为(0，－3)或(4，0)．当焦点坐标为(0，－3)时，设方程为x 2＝－2py (p >0)，则p2＝3，所以p ＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y ；当焦点坐标为(4，0)时，设方程为y 2＝2px (p >0)，则p2＝4，所以p ＝8，此时抛物线的标准方程为y 2＝16x . 所以所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x . 【答案】 (1)B (2)x 2＝－12y 或y 2＝16x(1)求抛物线的标准方程的方法①求抛物线的标准方程常用待定系数法，由于未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可． ②由于抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量． (2)确定及应用抛物线性质的技巧①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．②要结合图形分析，机敏运用平面几何的性质以图助解．角度一 求抛物线方程1．以x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P (1，m )到焦点的距离为3，则抛物线的方程是( ) A ．y ＝4x 2B ．y ＝8x 2C ．y 2＝4xD ．y 2＝8xD 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则由抛物线的定义知1＋p2＝3，即p ＝4，所以抛物线方程为y2＝8x .角度二 由已知求参数p2．(2021·襄阳调研测试)抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，M 为抛物线上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8B 由于△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切，所以△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由于圆面积为9π，所以圆的半径为3，又由于圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p2，所以p 2＋p4＝3，所以p ＝4.角度三 抛物线方程的实际应用3．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为________米．建立坐标系如图所示．则可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．由于点(2，－2)在抛物线上，所以p ＝1， 即抛物线方程为x 2＝－2y . 当y ＝－3时，x ＝± 6.所以水位下降1米后，水面宽为26米． 2 6直线与抛物线的位置关系(2022·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．【解】 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝ptx ，代入y 2＝2px ，整理得px 2－2t 2x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝2t2p.因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系． (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要留意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝|x 1|＋|x 2|＋p ，若不过焦点，则必需用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系接受“设而不求”“整体代入”等解法．涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x . (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0， 则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4，42)，设C (x 3，y 3)， 则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42) ＝(4λ＋1，42λ－22)． 又y 23＝8x 3，所以2＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.,)——忽视焦点位置而致误已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆x 2＋y 2＝9相交，公共弦MN 的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．【解】 由题意，设抛物线方程为x 2＝2ay (a ≠0)． 设公共弦MN 交y 轴于A ， 则|MA |＝|AN |，且|AN |＝ 5. 由于|ON |＝3，所以|OA |＝32－（5）2＝2，所以N (5，±2)．由于N 点在抛物线上，所以5＝2a ·(±2)，即2a ＝±52，故抛物线的方程为x 2＝52y 或x 2＝－52y .抛物线x 2＝52y 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，58，准线方程为y ＝－58.抛物线x 2＝－52y 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－58，准线方程为y ＝58.(1)解决本题易忽视焦点位置可在y 轴的正半轴也可在负半轴上两种状况，误认为a >0，从而导致漏解．(2)对称轴确定，而开口方向不确定的抛物线方程有如下特点： ①当焦点在x 轴上时，可将抛物线方程设为y 2＝ax (a ≠0)； ②当焦点在y 轴上时，可将抛物线方程设为x 2＝ay (a ≠0)．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的焦点重合，则抛物线的准线方程为________．由椭圆x 29＋y 25＝1，得c 2＝9－5＝4，即c ＝2，故椭圆的焦点坐标为(±2，0)． 即抛物线的焦点坐标为(±2，0)．所以当p >0时，抛物线的准线方程为x ＝－2；当p <0时，抛物线的准线方程为x ＝2. x ＝2或x ＝－2,)1．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A ．1716 B ．1516 C ．78D ．0B M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，所以y ＝1516.2．若抛物线y 2＝2x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±22B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，±22D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，±1 A 设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，P (x P ，y P )，由抛物线的定义知，点P 到准线的距离即为点P 到焦点的距离，所以|PO |＝|PF |，过点P 作PM ⊥OF 于点M (图略)，则M 为OF 的中点，所以x P ＝14，代入y 2＝2x ，得y P ＝±22，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±22. 3．(2022·高考全国卷甲)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A ．12 B ．1C ．32D ．2D 易知抛物线的焦点为F (1，0)，设P (x P ，y P )，由PF ⊥x 轴可得x P ＝1，代入抛物线方程得y P ＝2(－2舍去)，把P (1，2)代入曲线y ＝k x(k ＞0)得k ＝2.4．设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4C 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32， 则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3.5．直线l 过抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点，且与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝12x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝6xD ．y 2＝－4xB 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由抛物线定义可得|x 1|＋|x 2|＋p ＝8，又AB 的中点到y 轴的距离为2，即|x 1|＋|x 2|＝4，所以p ＝4，所以y 2＝－8x .故选B.6．已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D (如图所示)，则下列关于|AB |·|CD |的值的说法中，正确的是( )A ．等于1B ．等于4C ．最小值是1D ．最大值是4A 设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程，得y 2－4ty －4＝0.设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，依据抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋1，|DF |＝x 2＋1，故|AB |＝x 1，|CD |＝x 2，所以|AB |·|CD |＝x 1x 2＝y 214·y 224＝（y 1y 2）216.而y 1y 2＝－4，故|AB |·|CD |＝1.7．(2021·资阳模拟)顶点在原点，对称轴是y 轴，并且经过点P (－4，－2)的抛物线方程是________． 设抛物线方程为x 2＝my ，将点P (－4，－2)代入x 2＝my ，得m ＝－8. 所以抛物线方程是x 2＝－8y . x 2＝－8y8．(2021·云南省第一次统一检测)已知抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，○· M 的方程为x 2＋y 2＋8x ＋12＝0，假如抛物线C 的准线与○·M 相切，那么p 的值为________．将○·M 的方程化为标准方程：(x ＋4)2＋y 2＝4，圆心坐标为(－4，0)，半径r ＝2，又由于抛物线的准线方程为x ＝－p2，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪4－p 2＝2，p ＝12或4.12或49．经过抛物线C 的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，假如A ，B 在抛物线C 的准线上的射影分别为A 1，B 1，那么∠A 1FB 1＝________．由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|，故∠BFB 1＝∠BB 1F ，∠AFA 1＝∠AA 1F . 又∠OFB 1＝∠BB 1F ，∠OFA 1＝∠AA 1F ， 故∠BFB 1＝∠OFB 1，∠AFA 1＝∠OFA 1， 所以∠OFA 1＋∠OFB 1＝12×π＝π2，即∠A 1FB 1＝π2.π210．(2021·豫东、豫北十校联考)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x 2－y 2＝20的两条渐近线围成的三角形的面积为45，则抛物线方程为________．由双曲线方程5x 2－y 2＝20知其渐近线方程为y ＝±5x ，由题意可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，故其准线方程为x ＝－p 2，设准线与双曲线的两条渐近线的交点为A ，B ，则不妨令A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，52p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－52p ，故S △ABO ＝12×5p ×p 2＝54p 2＝45，解得p 2＝16，又由于p >0，所以p ＝4，故抛物线方程为y 2＝8x .y 2＝8x11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． (1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2.所以抛物线方程为y 2＝4x .(2)由于点A 的坐标是(4，4)， 由题意得B (0，4)，M (0，2)． 又由于F (1，0)，所以k FA ＝43，由于MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34.所以FA 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，所以N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.12．(2021·长春一模)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于( ) A ．13B ．23 C.34 D.43A 记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C ，则有cos ∠ABB 1＝|BC ||AB |＝|BB 1|－|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |，即cos 60°＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |＝12，由此得|AF ||BF |＝13.13．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A 、B 两点． (1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程； (2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．(1)由已知得抛物线的焦点为F (1，0)．由于线段AB 的中点在直线y ＝2上，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以2y 0k ＝4. 又y 0＝2，所以k ＝1，故直线l 的方程是y ＝x －1. (2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消元得y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，Δ＝16(m 2＋1)>0. |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝m 2＋1·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝m 2＋1·（4m ）2－4×（－4） ＝4(m 2＋1)．所以4(m 2＋1)＝20，解得m ＝±2， 所以直线l 的方程是x ＝±2y ＋1，即x ±2y －1＝0.14．已知圆C 过定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，且与直线x ＝14相切，圆心C 的轨迹为E ，曲线E 与直线l ：y ＝k (x ＋1)(k ∈R )相交于A ，B 两点．(1)求曲线E 的方程；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．(1)由题意，点C 到定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0和直线x ＝14的距离相等， 故点C 的轨迹E 的方程为y 2＝－x .(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k （x ＋1），消去x 后，整理得ky 2＋y －k ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系有y 1＋y 2＝－1k，y 1y 2＝－1.设直线l 与x 轴交于点N ，则N (－1，0)． 所以S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|， ＝12|ON ||y 1－y 2| ＝12×1×（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＋4＝10， 解得k ＝±16.。
专题27抛物线
2021年髙考数学二轮复习专项微扌题核心考点突破专题27抛物线1专题综述本专题主要内容包括抛物线的怎义、标准方程及简单的几何性质.纵观近几年的高考试题可知，抛物线的考题有客观题（一般5分），也有解答题（10分或12分或14分或15分），难度中等偏上.其中，客观题中突出考査抛物线的定义、标准方程及英基本性质的应用，解答题中主要考查抛物线方程、直线与抛物线的位置关系、弦长公式、导数的几何意义等.髙考数学试题（含文科卷和理科卷，其中江苏卷、浙江卷和上海文理合卷）中，与抛物线有关的试题共有11 道，基本上是直线与抛物线的位置的综合问题，或抛物线与其他知识（如椭圆、双曲线等）的交汇问题；考题以抛物线为载体考查了数学抽象、逻借推理、直观想象和数学运算等数学素养，考査了数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想方法，以及灵活运用所学知识分析问题和解决问题的能力.2范例赏析2.1抛物线的定义、标准方程及简单的几何性质抛物线的立义是解决抛物线问题的基础•它将两种距离（抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离）进行等量转化•因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的圧义转化为点到准线的距离，以简化运算.解决圆锥曲线问题的主要方法是坐标法，即建立平而直角坐标系，解决几何问题•通过建立坐标系，根据抛物线的左义，可得抛物线的标准方程•求抛物线的标准方程时要“先左位，后泄量二所谓“立位"就是确左抛物线焦点所在的坐标轴是X轴还是y轴、是正半轴还是负半轴，从而设出相应的标准方程的形式：所谓“立量" 就是根据题目的条件求岀方程中参数P的值，从而得到抛物线的标准方程.有了抛物线的方程，则可以利用代数的方法研究抛物线的几何性质（如范用、对称性、顶点、焦半径公式等）. 例1已知F是抛物线C:/=8x的焦点N是C上一点,的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则用VI二2.2直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位宜关系问题是解析几何的核心内容之一，是高考考查的热点•由于此类问题不仅涉及几何知识，也涉及代数知识，综合性强，对学生能力要求较髙.从几何角度来看，直线与抛物线的公共点个数有三类:无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点•从代数角度看，联立直线和抛物线的方程构成的方程组的解的个数分別为0个、1个和2个•因此直线与抛物线的位置关系的研究方法可通过代数法（即解方程组）来研究，因为方程组解的个数和交点个数是一致的•但需要注意的是，与抛物线的对称轴平行或重合的直线与抛物线有且只有一个公共点，但并不是相切，而是相交.直线与抛物线的位置关系的综合问题主要有以下几类:①直线与抛物线的公共点个数问题，应注意数形结合: ②弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理来解决：③垂直问题，要注意运用斜率关系及韦达定理，设而不求，简化运算：④抛物线的切线问题，应结合导数的几何意义或联立方程消元后利用判别式处理.例2设A, B为曲线C：y = Y上两点，A与B的横坐标之和为4.（/）求直线的斜率；（II ）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM丄BM,求直线AB的方程.2.3抛物线的焦点弦问题任抛物线的所有相交弦中，有一类比较特殊，那就是过焦点的弦，我们称之为抛物线的焦点弦.一般地，若AB是抛物线）鼻2“如＞0）的焦点弦，设人厲必）,3（乞莎），则可以证明以下的结论:①y诜=-卩让民二号, ②|曲| =心+心+ p = 磊&为直线AB的倾斜角）：賂十盘为泄值誇以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；⑤以AF或BF 为直径的圆与y轴相切.例3已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线h，h，直线h与C交于A, B两点，直线b 与C交于D E两点，贝IJL4BI+DEI的最小值为（）A.16B.14C.12 D102.4与抛物线有关的最值或范围问题解决与抛物线有关的范弗I或最值问题主要有两种方法:一是建立关于目标的函数式，进而转化为函数的值域或最值问题处理，再利用求函数最值的方法（如导数、基本不等式等）解决，其关键在于合理引入变元（如斜率、点的坐标），难点在于选择合适的方法求范囤或最值；二是建立关于目标的不等式，通过解不等式获得变量的范围或最值.例4如图，已知抛物线宀y,点4（-^ 0,日（弭），抛物线上的点P（x, y）（—g＜戈＜》•过点B作直线AP 的垂线，垂足为0(/)求直线AP斜率的取值范用；(II)求円|・『Q|的最大值.3复习建议复习不是简单的重复，研究复习课教什么、怎么教以及为什么这样教，对于高三复习有着至关重要的作用. 如何在有限的时间内取得较好的成效，笔者给出如下的复习建议.3.1回归教材，夯实基础，适当变式教材中的习题大多蕴含着丰富的背景.事实上，很多髙考试题来源于教材，因此以教材为素材组织髙考复习是提高学生成绩的有效途径.高三复习阶段要以教材为主，充分发挥其导向作用，既让学生跳出题海，又利于学生巩固基础知识，掌握基本方法，深化数学的本质，激发学生的问题意识，培养学生的核心素养•教师应在深入研究教材的基础上充分理解教材的编写意图，在教学中创设问题链情境，通过对问题进行变式探究，探索问题的引申、推广和拓展，开展髙考复习中的数学研究性学习，培养学生举一反三的能力.3.2突出通法，优化解法，规范解题对于高查的抛物线的热点问题，如弦长问题、面积问题等，解题思路、步骤相对固立，教师要以教材例题为模板，以教材习题为模型，淡化解题技巧教学，强调通性通法，规范学生解题步骤，能做出合理的算法途径设il•，培养学生严谨推理的数学思维：训练学生基本问题运算过关，突破“想得出，算不出、算不对“ 的瓶颈•解析几何中的运算是教学的重点和难点，教学应重视训练学生的数学运算能力，注重解题优化的意识.3.3渗透思想，培养素养，提升能力抛物线与其相关问题的解决，往往蕴含着丰富的思想方法，如数形结合、转化与化归(几何条件与代数运算的转化、一般与特殊的转化、函数与方程的相互转化等)函数与方程等数学思想•思想方法的理解是知识运用的翅膀，是知识转化为能力的桥梁•在抛物线的复习教学中，通过几何与代数的转化(数与形的转化)培养学生直观想象素养，通过与抛物线有关的证明问题培养学生逻辑推理素养，通过解析几何中的运算训练培养学生数学运算素养•在复习教学过程中，要注重对思想方法内涵、操作程序的渗透和强化，提升学生运用知识解决问题的能力.1.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了 "勾股泄理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”.设点F是抛物线y2=2p x的焦点，1是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB,垂足为B,射线AF交准线1于点C, 若Rt^ABC 的“勾” |AB| = 3、“股” |C3| = 3JJ,则抛物线方程为（）.A. y~ = 2xB. y2 = 3xC. y1 =4xD. y2 = 6x2.过抛物线y2=2/zv（/?>0）的焦点F且斜率大于0的直线/交抛物线于点A,B（点A位于第一象限），交其准线于点C,若\BC\ = 3\BF\,且鬥=3,则直线A3的方程为（）A. 2>/2x-y-2y/2=0B.屈-），-2迈=0C. 2屈-y-V? = OD. y/2x-y->/2=03.如图所示点F是抛物线y2 = 8x的焦点，点A、3分别在抛物线y2 = 8x及圆（x-2）2 + r = 16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则03的周长的取值范囤是（）A. (6,10)B. (8,12)C. [6,8]D. [6,12]4.已知抛物线C:y2 = 16x,焦点为F,直线/:x = -l,点A*线段AF与抛物线C的交点为瓦若\FA\=5\FB\t贝iJIE4l=()B. 35 D. 40A. 6>j2A. 1 D.物线的准线的RI的取值范围为5.抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为/,经过点F的直线交E于A, B两点，交/于C点，若\AF\ c \CB\------- =3 ,则------- =( )\FB\I BF I3 4A. 2 B・ 3 C. 一 D. 一2 36.抛物线y2 = 4x的焦点为F,准线为I,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A, AK丄/,垂足为K,则AAKF的而积是()A. 4B. 3羽C. 4血D. 87.如图圆锥P0,轴截而用B是边长为2的等边三角形，过底而圆心0作平行于母线用的平面，与圆锥侧面的交线是以£为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到其顶点E的距离为()&如图,在底而半径和髙均为血的圆锥中，AB.CD是底而圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点.已知过CD与E的平而与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离等于()9.已知抛物线』2"(“>0)的焦点为化抛物线上的两个动点A.B始终满足ZAFB=60Q9过弦AB的中点H作抛2 4A. (0.週］3 B.出、+8)3A.充分不必要条件B.必要不充分条件OSJ是“抛物线y"的焦点与与双曲线「宀的焦点重合”的（）2 211.已知双曲线■一孝=1@>0">0）与抛物线y2 = 4x有一个公共的焦点八且两曲线的一个交点为p・cr若|PF| = |,则双曲线的渐近线方程为（）A.『=±丄兀B. y = ±2x c. y = ±y/3x212.抛物线y2 =4x的焦点为F,点P（x, y）为该抛物线上的动点，又点A（-l,0）,则駕的最小值是（）13.已知抛物线C： y2=2/zr（/7>0）的焦点F,点Mg,6荷* >彳]是抛物线上一点，以M为圆心的圆与直线x = g交于A、B两点（A在B的上方），若sinZM" 弓，则抛物线C的方程为（）A. y2 = 4.vB. y1 = 8xC. y2 =12xD. y2 = 16x14.已知抛物线C:y2= 4x的焦点为F，准线与％轴的交点为K，P为抛物线C上一点，且P在第一象\PF\限，当厢取得最小值时，点P的坐标为（）A. [-,5/2]B. （1,2）C.（2,25/2）D. （4,4）12 ）15.设抛物线y2 = 2x的焦点为F ,过点的直线与抛物线相交于A , B两点，与抛物线的S准线相交于点c , \BF\ = 2 ,则"CF与的而积之比严•等于（）U\CF3线相交于点N,若嬲,则”的值等于____________17.已知抛物线y2 = 4x的焦点为F,准线与*轴的交点为K，点P是抛物线上一点，则\PF\\PK\的最小值16.已知点A（0,2）,抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为射线E4与抛物线C相交于点M，与其准为__________ ・218.__________________________________________________________ 若抛物线/ = 2px的焦点与椭圆y+y2 = 1的右焦点重合，则" _____________________________________________19.已知P是抛物线y2 = 4x上的动点，点P在轴上的射影是M,点A的坐标为（2,3）,则的最小值是__________ .20.已知抛物线C的顶点在平而直角坐标系原点，焦点在x轴上，若C经过点M（l,3）,则其焦点到准线的距离为________ •21.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于AB两点，交C的准线于D、E两点.已知|AB|=4>/2f\DE\ = 2y/5.则C的焦点到准线的距离为________ .22.抛物线x2 = y ±一点M到焦点的距离为1，则点M的横坐标为 _____________ •23.设抛物线y2 = 4x的焦点为F，过F的直线/交抛物线于A,B两点，过A3的中点M作）'轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点P，若|PF| = |,则直线/的方程为_________________ •24.抛物线C的顶点为原点O,焦点F在x轴正半轴，过焦点且倾斜角为壬的直线/交抛物线于点A,B,4若力3中点的横坐标为3,则抛物线C的方程为_______________25.已知抛物线b = 2px（p > 0）上一点M（1"）到其焦点F的距离为5,该抛物线的顶点到直线MF的距离为d,则d的值为_______ .26.已知直线x = 2p与抛物线C：y2= 2px（p>0）交于尸，0两点，且APOQ的而积为16 （O为坐标原点）. （1）求C的方程；（2）直线/经过C的焦点F且/不与x轴垂直，与C交于A，3两点，若线段A3的垂直平分线与*轴交于点D，证明：溜为定值.\DF\27.已知抛物线C :y1 2 = 2px（p〉0）的焦点为F,点P为抛物线C上一点，I PF 1= 4, 0为坐标原点,ZOFP = 120°・（1）求抛物线C的方程；（2）设0为抛物线C的准线上一点，过点F且垂直于OQ的直线交抛物线C于两点记, 2AB1 1的而积分别为S|, S一求丁-w的取值范围.d2 d i28.已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为F，经过点F的直线与抛物线C交于不同的两点A, B, \AB\ 的最小值为4.（1）求抛物线C的方程；（2）已知P,。
解析几何椭圆双曲线抛物线
令 x＝0，解得 y0＝－1＋6k4k2. 由QA? (? 2,? y0 ),QB ? (x1, y1 ? y0 ),
QA?QB ? ?2x1 ? y0 ( y1 ? y0 )
＝－21(＋2－4k82k2)＋1＋6k4k2(1＋4k4k2＋1＋6k4k2) ＝4(16(k14＋＋41k52k)22－1)＝4，
(2)设直线 l与椭圆相交于不同的两点 A ,B ,已知点 A 的
坐标为(-a,0),点 Q (0,y0)在线段 AB 的垂直平分线上,且
QA?QB =4,求 y0 的值.
解 (1)由 e＝ac＝ 23，得 3a2＝4c2.再由 c2＝a2－b2， 得 a＝2b. 由题意可知21×2a×2b＝4，即 ab＝2.
的双曲线满足－4≤x≤4 的部分；
当34<λ<1 时，点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上
的椭圆满足－4≤x≤4 的部分；
当 λ≥1 时，点 M 的轨迹为中心在原点，长轴在 x 轴上
的椭圆．
探究提高 (1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预 知，若能预先知道轨迹为圆锥曲线，则可考虑用定义法 求解或用待定系数法求解． (2)讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应，即应注 意字母的取值范围．
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③当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l：y＝k(x－1)，
P (x1，y1)，Q(x2，y2)．
??y＝k(x－1)， 由???x42＋y32＝1，
整理，得 (4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12
＝0.
Δ＝144k2＋144>0 恒成立．
∴x1＋x2＝4k82＋k2 3，x1x2＝44kk22－＋132.
变式训练 3 已知圆 F1：(x＋1)2＋y2＝41，圆 F2：(x－1)2 ＋y2＝449，动圆 M 与圆 F1、F2 都相切． (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程；
2021年九年级中考数学复习高频考点提升练《抛物线压轴题中的三角形问题》 考题专题练习
2021年中考数学复习高频考点提升练《抛物线压轴题中的三角形问题》经典考题专题练习1.如图，在平面直角坐标系中，函数223(0)y ax ax a a=-++>的图像交x轴于点A、B，交y轴于点C，它的对称轴交x轴于点E.过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接DE 并延长交y轴于点F，交抛物线于点G.直线AF交CD于点H，交抛物线于点K，连接HE、GK.（1）点E的坐标为：；（2）当△HEF 是直角三角形时，求a 的值；2.如图，二次函数y＝ax 2＋bx＋4的图象与x轴交于点A(－1．0)，B(4．0)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E．垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．（1）求出二次函数y＝ax2＋bx＋4和BC所在直线的表达式；（2）连接CP，CD，在移动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．CA O EFBPDlxy3. 如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．4. 在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”.如图，抛物线L1：223212--=xxy的顶点为D，交x轴于点A、B(点A在点B左侧)，交y轴于点C.抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P.(1)若抛物线L2经过点(2，- 12)，求L2对应的函数表达式；(2)当BP-CP的值最大时，求点P的坐标；(3)设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧.若△DPQ与△ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标.5. 已知直线1:210=-+l y x 交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，二次函数的图象过,A B两点，交x 轴于另一点C ，4=BC ，且对于该二次函数图象上的任意两点()111,P x y ，()222,P x y ，当125>≥x x 时，总有12>y y . （1）求二次函数的表达式；（2）若直线2:(10)=+≠l y mx n n ，求证：当2=-m 时，21l l ；（3）E 为线段BC 上不与端点重合的点，直线3:2=-+l y x q 过点C 且交直线AE 于点F ，求∆ABE 与∆CEF 面积之和的最小值.6. 如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线F 1：2264()515y a x =-+与x 轴交于点A （65-，0）和点B ，与y 轴交于点C .(1)求抛物线F 1的表达式；(2)如图2，将抛物线F 1先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线F 2，若抛物线F 1与抛物线F 2相交于点D ，连接BD ，CD ，BC . ①求点D 的坐标；②判断△BCD 的形状，并说明理由；(3)在(2)的条件下，抛物线F 2上是否存在点P ，使得△BDP 为等腰直角三角形，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.7. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知直线122y x =-与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，过A 、B 两点的抛物线2y ax b c =++与x 轴交于另一点()1,0C -． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点P ，使PAB OAB S S ∆∆=？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；8. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －6与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，OA ＝2，OB ＝4，直线l 是抛物线的对称轴，在直线l 右侧的抛物线上有一动点D ，连接AD ，BD ，BC ，CD ． （1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D 在x 轴的下方，当△BCD 的面积是29时，求△ABD 的面积；9. 如图所示，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交于点A ，B 两点，与y 轴DA O CB l-11 -1 xy交于点C ，且点A 的坐标为（－2,0），点C 的坐标为（0,6），对称轴为直线x ＝1．点D 是抛物线上的一个动点，设点D 的横坐标为m （1＜m ＜4），连接AC ，BC ，DC ，DB ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时，求m 的值；10.如图，抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左边），与y 轴交于点C ．直线122y x =-经过B 、C 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线上的一动点，过点P 且垂直于x 轴的直线与直线BC 及x 轴分别交于点D 、M ．PN BC ⊥，垂足为N ．设(),0M m ．①点P 在抛物线上运动，若P 、D 、M 三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的m 的值；②当点P 在直线BC 下方的抛物线上运动时，是否存在一点P ，使PNC △与AOC △相似．若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11.已知直线y ＝kx ﹣2与抛物线y ＝x 2﹣bx +c （b ，c 为常数，b ＞0）的一个交点为A （﹣1，0），点M （m ，0）是x 轴正半轴上的动点．（1）当直线γ＝kx ﹣2与抛物线y ＝x 2﹣bx +c （b ，c 为常数，b ＞0）的另一个交点为该抛物线的顶点E 时，求k ，b ，c 的值及抛物线顶点E 的坐标； （2）在（1）的条件下，设该抛物线与y 轴的交点为C ，若点Q 在抛物线上，且点Q 的横坐标为b ，当S △EQM 12=S △ACE 时，求m 的值； 、12. 如图所示，抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点M 为抛物线的顶点． （1）求点C 及顶点M 的坐标．（2）若点N 是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN 、CN 求△BCN 面积的最大值及此时点N 的坐标．（3）直线CM 交x 轴于点E ，若点P 是线段EM 上的一个动点，是否存在以点P 、E 、O 为顶点的三角形与△ABC 相似．若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．13. 如图，抛物线26y ax x c =-+交x 轴于, A B 两点，交y 轴于点C ．直线5y x =-+经过点,B C ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l 与直线BC 相交于点P ，连接,AC AP ，判定APC △的形状，并说明理由；14.如图，抛物线的顶点为A (h ，－1)，与y 轴交于点B 1(0,)2，点F （2，1）为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l 是过点C （0，－3）且垂直于y 轴的定直线，若抛物线上的任意一点P （m ，n ）到直线l 的距离为d ，求证：PF ＝d ；（3）已知坐标平面内的点D （4，3），请在抛物线上找一点Q ，使△DFQ 的周长最小，并求此时△DFQ 周长的最小值及点Q 的坐标．15. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，的最大值；记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求S1S2（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．。
抛物线讲义(含知识点、例题、变式及答案)
第七节 抛 物 线 2019考纲考题考情1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。
2．抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2 离心率e ＝100抛物线焦点弦的6个常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2。
(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)。
(3)以弦AB为直径的圆与准线相切。
(4)过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p(通径)。
(5)S△AOB＝p22sinθ(θ为AB的倾斜角)．(6)1|AF|＋1|BF|为定值2p.考点一抛物线的定义及应用【例1】(1)已知抛物线x2＝4y上一点A纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为()A．10B．4C．5D．15(2)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l 于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若∠NRF＝60°，则|FR|等于()A．12B．1C．2 D．4解析(1)抛物线x2＝4y的准线方程为y＝－1，点A到准线的距离为5，根据抛物线定义可知点A到焦点的距离为5。
故选C。
(2)因为M，N分别是PQ，PF的中点，所以MN∥FQ，且PQ∥x轴。
又∠NRF＝60°，所以∠FQP＝60°。
由抛物线定义知|PQ|＝|PF|，所以△FQP为正三角形。
高考数学 第八章第八节 抛物线课件 新A
∴(y1＋y2)·xy11－－yx22＝a，
∴a＝4×1＝4，∴y2＝4x.
答案：y2＝4x
1．抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 距离相等 的点的轨迹叫做抛物线， 点F 叫做 抛物线的焦点， 直线l 叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和几何性质
B．y2＝－8x D．y2＝－4x
()
解析：设抛物线方程为 y2＝2px(p<0)， 由抛物线定义知，|－p2＋3|＝5，解得 p＝－4， ∴抛物线方程为 y2＝－8x.
答案： B
3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，
B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，那么|AB|等于 ( )
图形
范围
y≥0，x∈R
x2＝－2py(p>0) y≤0，x∈R
对称轴 顶点坐标
焦点坐标
(0，p2)
y轴
原点O(0,0) (0，－p2)
准线方程 离心率 焦半径
y＝－p2
y＝p2 e＝1
|PF|＝y0＋p2
|PF|＝－y0＋p2
考点一 抛物线的定义及应用
设P是抛物线y2＝4x上的一个动点． (1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离 之和的最小值； (2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
3．直线与抛物线的位置关系 (1)设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，直线Ax＋By＋C＝0，将
直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方程my2＋ny＋ q＝0， ①若m≠0，当Δ>0时，直线与抛物线有两个公共点； 当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点； 当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点． ②若m＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线 的对称轴平行．
第8章 第7节 抛物线-2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)
基础个条件的点的轨迹是抛物线 (1)在平面内．
(2)动点到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离相__等__． (3)定点不__在__定直线上．
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准 方程
y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
(2)设 AB 是过抛物线 y2＝2px(p>0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)， B(x2，y2)，则①x1x2＝p42，y1y2＝－p2. ②弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝si2np2α(α为弦 AB 的倾斜角)． ③以弦 AB 为直径的圆与准线相切． ④通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于 2p，通径是过 焦点最短的弦．
可得 y2－2y＋2t＝0.
所以 y1＋y2＝2.从而－3y2＋y2＝2，故 y2＝－1，y1＝3.
代入
C
的方程得
x1＝3，x2＝13.故|AB|＝4
13. 3
►规律方法 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的 位置关系类似，一般要用到根与系数的关系． (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过 抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝ x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一 般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等 解法．
B． 13
C．2
3 3
D． 5
(2)如图，设 A(x0，y0)，
则|AF|＝2x0－p2， 又|AF|＝x0＋p2， ∴2x0－p2＝x0＋p2， ∴x0＝32p，y0＝ 23|AF|＝ 23·2p＝ 3p.
又 A32p，
3p在双曲线的一条渐近线上．
第二十二章 《二次函数》测试题练习题常考题试卷及答案
第二十二章二次函数一、单选题（共20题；共40分）1.将抛物线y=2x2向下平移1个单位，得到的抛物线是（）A. y=2（x+1）2B. y=2（x-1）2C. y=2x2+1D. y=2x2-12.与抛物线y=−13x2+2x−7的形状、开口方向都相同，只有位置不同的抛物线是（）A. B.C. D.3.对于抛物线y=−4(x−5)2+3，下列说法正确的是（）．A. 开口向下，顶点坐标(5,3)B. 开口向上，顶点坐标(5,3)C. 开口向下，顶点坐标(−5,3)D. 开口向上，顶点坐标(−5,3)4.用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为（）A. y=（x﹣4）2+7B. y=（x+4）2+7C. y=（x﹣4）2﹣25D. y=（x+4）2﹣255.记某商品销售单价为x元，商家销售此种商品每月获得的销售利润为y元，且y是关于x的二次函数.已知当商家将此种商品销售单价分别定为55元或75元时，他每月均可获得销售利润1800元；当商家将此种商品销售单价定为80元时，他每月可获得销售利润1550元，则y与x的函数关系式是（）A. y＝﹣（x﹣60）2+1825B. y＝﹣2（x﹣60）2+1850C. y＝﹣（x﹣65）2+1900D. y＝﹣2（x﹣65）2+20006.函数y＝23x2+1与y＝23x2图象不同之处是（）A. 对称轴B. 开口方向C. 顶点D. 形状7.将二次函数y=2x2的图像先向上平移3个单位，再向右平移4个单位所得图像的解析式为（）A. y=2(x−4)2+3B. y=2(x+4)2−3C. y=2(x+4)2+3D. y=2(x−4)2−38.抛物线y＝﹣（x+3）2﹣7的对称轴是（）A. y轴B. 直线x＝3C. 直线x＝﹣3D. 直线x＝﹣79.抛物线y=﹣（x﹣3）2+2的顶点坐标是（）A. （2，3）B. （﹣3，2）C. （3，2）D. （﹣3，﹣2）10.二次函数y = x2+2的对称轴为（）A. x=2B. x=0C. x=−2D. x=111.二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：且当x＝−12时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：①abc＜0；②m＝n；③﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；④a< 83．其中，正确结论的个数是（）.A. 1B. 2C. 3D. 412.已知二次函数y=﹣x2+x+2，当自变量x取m时对应的值大于0，当自变量x分别取m﹣3、m+3时对应的函数值为y1、y2，则y1、y2必须满足（）A. y1＞0、y2＞0 B. y1＜0、y2＜0C. y1＜0、y2＞0 D. y1＞0、y2＜013.若二次函数y=ax2+bx+a2-2（a，b为常数）的图象如下，则a的值为（）A. -2B. -√2C. 1D. √214.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是（）A. 无实根B. 有两相等的实根C. 有两不相等且同号的实根D. 有两不相等且异号的实根15.已知关于x的方程|x2+ax|=4有四个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A. a<−4或a>4B. a=4或a=−4C. −4<a<4D. 0<a<416.如图,函数y=ax2−2x+1和y=ax−a ( a是常数,且a≠0 )在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A B. C. D17.如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x 轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1.对于下列说法：①ab ＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（）A. ①②④B. ①②⑤C. ①②③④D. ①③④⑤18.已知二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根是（）A. x1=1，x2=﹣1 B. x1=1，x2=2 C. x1=1，x2=0 D. x1=1，x2=319.点（2，5），（4，5）是抛物线y=ax2+bx+c上的两点，那么该抛物线的对称轴为（）A. x=﹣baB. x=1C. x=0D. x=320.已知二次函数y＝﹣x2+2x+3，截取该函数图象在0≤x≤4间的部分记为图象G，设经过点（0，t）且平行于x轴的直线为l，将图象G在直线l下方的部分沿直线l翻折，图象G在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象M，若函数M的最大值与最小值的差不大于5，则t的取值范围是（）A.﹣1≤t≤0B.﹣1≤t ≤−12C.−12≤t≤0 D.t≤﹣1或t≥0二、填空题（共20题；共21分）21.函数y=2（x﹣1）2图象的顶点坐标为________．22.若抛物线y=x2+（k-1）x+（k+3）经过原点，则k=________.23.如果关于x的二次函数y=x2−2x+k与x轴只有1个交点，则k= ____.24.二次函数y=-（x-6）2+8的最大值是________。
初三数学中考必考题(2020年8月整理).pdf
初三数学中考必考题1.已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D.（1） 求该抛物线的解析式；（2） 若该抛物线与x 轴的另一个交点为E.求四边形ABDE 的面积；（3） △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.（注：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−abac a b 44,22）2.如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．3在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AMABC D ER P H Q＝x ．（1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？4.如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB 是等边三角形，点A 的坐标是(0，4)，点B 在第一象限，点P 是x 轴上的一个动点，连结AP ，并把ΔAOP 绕着点A 按逆时针方向旋转.使边AO 与AB 重合.得到ΔABD.（1）求直线AB 的解析式；（2）当点P 运动到点（3，0）时，求此时DP 的长及点D 的坐标；（3）是否存在点P ，使ΔOPD 的面积等于43，若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.5如图，菱形ABCD 的边长为2，BD=2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=2.（1）求证：△BDE ≌△BCF ；（2）判断△BEF 的形状，并说明理由；（3）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围.ABC MN图 3OABC MND 图 2OABMNP图 1O6如图，抛物线21:23L y x x =−−+交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于M 点.抛物线1L 向右平移2个单位后得到抛物线2L ，2L 交x 轴于C 、D 两点. （1）求抛物线2L 对应的函数表达式；（2）抛物线1L 或2L 在x 轴上方的部分是否存在点N ，使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是抛物线1L 上的一个动点（P 不与点A 、B 重合），那么点P 关于原点的对称点Q 是否在抛物线2L 上，请说明理由.7.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝7，CD ＝1，AD ＝BC ＝5．点M ，N 分别在边AD ，BC 上运动，并保持MN ∥AB ，ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ．（1）求梯形ABCD 的面积；（2）求四边形MEFN 面积的最大值．（3）试判断四边形MEFN 能否为正方形，若能， 求出正方形MEFN 的面积；若不能，请说明理由．8.如图，点A （m ，m ＋1），B （m ＋3，m －1）都在反比例函数xky =的图象上． C D A BE F NM（1）求m ，k 的值； （2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点， 以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式．（3）选做题：在平面直角坐标系中，点P 的坐标 为（5，0），点Q 的坐标为（0，3），把线段PQ 向右平 移4个单位，然后再向上平移2个单位，得到线段P 1Q 1， 则点P 1的坐标为 ，点Q 1的坐标为．9.如图16，在平面直角坐标系中，直线y =−x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2(0)3y ax x c a =−+≠经过A B C ，，三点． （1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由； （3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．10.如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =，OB =，矩形ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物x友情提示：本大题第（1）小题4分，第（2）小题7分．对完成第（2）小题有困难的同学可以做下面的（3）选做题．选做题2分，所得分数计入总分．但第（2）、（3）小题都做的，第（3）小题的得分不重复计入总分．线2y ax bx c =++过点A E D ，，． （1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式；（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．11.已知：如图14，抛物线2334y x =−+与x 轴交于点A ，点B ，与直线34y x b =−+相交于点B ，点C ，直线34y x b =−+与y 轴交于点E ． （1）写出直线BC 的解析式． （2）求ABC △的面积．（3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积最大，最大面积是多少？12.在平面直角坐标系中△ABC 的边AB 在x 轴上，且OA>OB,以AB 为直径的圆过点C 若yxODEC FA BC 的坐标为(0,2),AB=5,A,B 两点的横坐标X A ,X B 是关于X 的方程2(2)10x m x n −++−=的两根:(1) 求m ，n 的值(2) 若∠ACB 的平分线所在的直线l 交x 轴于点D ，试求直线l 对应的一次函数的解析式 (3) 过点D 任作一直线`l 分别交射线CA ，CB （点C 除外）于点M ，N ，则11CMCN+的值是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由13.已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D.(1)求该抛物线的解析式；(2)若该抛物线与x 轴的另一个交点为E.求四边形ABDE 的面积；(3)△AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.（注：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−abac a b 44,22）14.已知抛物线c bx ax y ++=232，ACO BNDML`（Ⅰ）若1==b a ，1−=c ，求该抛物线与x 轴公共点的坐标；（Ⅱ）若1==b a ，且当11<<−x 时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围；（Ⅲ）若0=++c b a ，且01=x 时，对应的01>y ；12=x 时，对应的02>y ，试判断当10<<x 时，抛物线与x 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．15.已知：如图①，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝4cm ，BC ＝3cm ，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为t （s ）（0＜t ＜2），解答下列问题： （1）当t 为何值时，PQ ∥BC ？（2）设△AQP 的面积为y （2cm ），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt △ACB 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC ，并把△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP ′C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP ′C 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．16.已知双曲线k y x =与直线14y x =相交于A 、B 两点.第一象限上的点M （m ，n ）（在A 点左侧）是双曲线ky x=上的动点.过点B 作BD ∥y 轴于点D.过N （0，－n ）作NC ∥x 轴交双曲线ky x=于点E ，交BD 于点C.（1）若点D 坐标是（－8，0），求A 、B 两点坐标及k 的值.（2）若B 是CD 的中点，四边形OBCE 的面积为4，求直线CM 的解析式.（3）设直线AM 、BM 分别与y 轴相交于P 、Q 两点，且MA ＝pMP ，MB ＝qMQ ，求p －q 的值.P图①压轴题答案1.解：（1）由已知得：310c b c =⎧⎨−−+=⎩解得 c=3,b =2∴抛物线的线的解析式为223y x x =−++ (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）所以对称轴为x=1,A,E 关于x=1对称，所以设对称轴与x 轴的交点为F所以四边形ABDE 的面积=ABO BOFD S S S ∆++梯形=111()222AO BO BO DF OF EF DF ⋅++⋅+⋅=11113(34)124222⨯⨯++⨯+⨯⨯ =9（3）相似如图，======所以2220BD BE +=,220DE =即：222BD BE DE +=,所以BDE ∆是直角三角形 所以90AOB DBE ∠=∠=︒,且2AO BO BD BE ==,所以AOB DBE ∆∆.2解：（1）Rt A ∠=∠，6AB =，8AC =，10BC ∴=．点D 为AB 中点，132BD AB ∴==．90DHB A ∠=∠=，B B ∠=∠．BHD BAC ∴△∽△， DH BD AC BC ∴=，3128105BD DH AC BC ∴==⨯=．（2）QR AB ∥，90QRC A ∴∠=∠=．C C ∠=∠，RQC ABC ∴△∽△，RQ QC AB BC ∴=，10610y x−∴=， 即y 关于x 的函数关系式为：365y x =−+． （3）存在，分三种情况：①当PQ PR =时，过点P 作PM QR ⊥于M ，则QM RM =．1290∠+∠=，290C ∠+∠=，1C ∴∠=∠．84cos 1cos 105C ∴∠===，45QM QP ∴=， 1364251255x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭∴=，185x ∴=． ②当PQ RQ =时，312655x −+=， 6x ∴=．③当PR QR =时，则R 为PQ 中垂线上的点， 于是点R 为EC 的中点，11224CR CE AC ∴===．tan QR BAC CR CA ==， 366528x −+∴=，152x ∴=．ABCD ERP H QM21 HA BCD E R PHQ综上所述，当x 为185或6或152时，PQR △为等腰三角形． 3解：（1）∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠ANM ＝∠C ．∴△AMN ∽△ABC ．∴AM AN AB AC=，即43x AN=．∴AN ＝43x ．……………2分∴S =2133248MNP AMN S S x x x ∆∆==⋅⋅=．（0＜x ＜4）……………3分 （2）如图2，设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，则AO =OD =21MN ． 在Rt △ABC 中，BC． 由（1）知△AMN ∽△ABC ．∴AM MN AB BC=，即45x MN=．∴54MN x =， ∴58OD x =．…………………5分过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，则58MQ OD x ==． 在Rt △BMQ 与Rt △BCA 中，∠B 是公共角， ∴△BMQ ∽△BCA ． ∴BM QM BC AC=． ∴55258324xBM x ⨯==，25424AB BM MA x x =+=+=． ∴x ＝4996． ∴当x ＝4996时，⊙O 与直线B C 相切．…………………………………7分（3）随点M 的运动，当P 点落在直线BC 上时，连结AP ，则O 点为AP 的中点．∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠AOM ＝∠APC∴△AMO ∽△ABP ．∴12AM AO AB AP ==．AM ＝MB ＝2． 故以下分两种情况讨论：①当0＜x ≤2时，2Δ83x S y PMN ==．∴当x ＝2时，2332.82y =⨯=最大……………………………………8分 ②当2＜x ＜4时，设PM ，PN 分别交BC 于E ，F ．BD 图 2P 图 3∵四边形AMPN 是矩形， ∴PN ∥AM ，PN ＝AM ＝x ． 又∵MN ∥BC ，∴四边形MBFN 是平行四边形． ∴FN ＝BM ＝4－x ．∴()424PF x x x =−−=−． 又△PEF ∽△ACB ．∴2PEF ABCS PF AB S ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭． ∴()2322PEF S x ∆=−．………………………………………………9分 MNP PEF y S S ∆∆=−＝()222339266828x x x x −−=−+−．……………………10分当2＜x ＜4时，29668y x x =−+−298283x ⎛⎫=−−+ ⎪⎝⎭．∴当83x =时，满足2＜x ＜4，2y =最大．……………………11分 综上所述，当83x =时，y 值最大，最大值是2．…………………………12分4解：（1）作BE ⊥OA ，∴ΔAOB 是等边三角形∴BE=OB ·sin60o=B(∵A(0,4),设AB 的解析式为4y kx =+,所以42+=,解得k =, 以直线AB的解析式为43y x =−+ （2）由旋转知，AP=AD,∠PAD=60o, ∴ΔAPD 是等边三角形，=如图，作B E ⊥AO,DH ⊥OA,GB ⊥DH,显然ΔGBD 中∠GBD=30°∴GD=12BD=, ∴GB=2BD=32,OH=OE+HE=OE+BG=37222+=∴D(532,72)(3)设OP=x,则由（2）可得D(323,2x x++)若ΔOPD的面积为：133(2)2x x+=解得：2321x−±=所以P(2321−±,0)567解：（1）分别过D ，C 两点作DG ⊥AB 于点G ，CH ⊥AB 于点H ．……………1分 ∵AB ∥CD ，∴DG ＝CH ，DG ∥CH ．∴四边形DGHC 为矩形，GH ＝CD ＝1．∵DG ＝CH ，AD ＝BC ，∠AGD ＝∠BHC ＝90°，∴△AGD ≌△BHC （HL ）．∴AG ＝BH ＝2172−=−GH AB ＝3．………2分 ∵在Rt △AGD 中，AG ＝3，AD ＝5， ∴DG ＝4．∴()174162ABCD S +⨯==梯形．………………………………………………3分（2）∵MN ∥AB ，ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，∴ME ＝NF ，ME ∥NF ．∴四边形MEFN 为矩形． ∵AB ∥CD ，AD ＝BC ， ∴∠A ＝∠B ．∵ME ＝NF ，∠MEA ＝∠NFB ＝90°， ∴△MEA ≌△NFB （AAS ）．∴AE ＝BF ．……………………4分设AE ＝x ，则EF ＝7－2x ．……………5分C DA B E FN M G H C DA B E F NM G H∵∠A ＝∠A ，∠MEA ＝∠DGA ＝90°， ∴△MEA ∽△DGA ． ∴DGME AG AE =． ∴ME ＝x 34．…………………………………………………………6分∴6494738)2(7342+⎪⎭⎫ ⎝⎛−−=−=⋅=x x x EF ME S MEFN 矩形．……………………8分当x ＝47时，ME ＝37＜4，∴四边形MEFN 面积的最大值为649．……………9分（3）能．……………………………………………………………………10分由（2）可知，设AE ＝x ，则EF ＝7－2x ，ME ＝x 34．若四边形MEFN 为正方形，则ME ＝EF ． 即=34x 7－2x ．解，得1021=x ．……………………………………………11分∴EF ＝21147272105x −=−⨯=＜4． ∴四边形MEFN 能为正方形，其面积为251965142=⎪⎭⎫ ⎝⎛=MEFN S 正方形．8解：（1）由题意可知，()()()131−+=+m m m m ．解，得m ＝3．………………………………3分∴A （3，4），B （6，2）； ∴k ＝4×3=12．……………………………4分 （2）存在两种情况，如图：①当M 点在x 轴的正半轴上，N 点在y 轴的正半轴上时，设M 1点坐标为（x 1，0），N 1点坐标为（0，y 1）．∵四边形AN 1M 1B 为平行四边形，∴线段N 1M 1可看作由线段AB 向左平移3个单位， 再向下平移2个单位得到的（也可看作向下平移2由（1）知A 点坐标为（3，4），B 点坐标为（6，2），∴N 1点坐标为（0，4－2），即N 1（0，2）；………………………………5分 M 1点坐标为（6－3，0），即M 1（3，0）．………………………………6分设直线M 1N 1的函数表达式为21+=x k y ，把x ＝3，y ＝0代入，解得321−=k ．∴直线M 1N 1的函数表达式为232+−=x y ．……………………………………8分②当M 点在x 轴的负半轴上，N 点在y 轴的负半轴上时，设M 2点坐标为（x 2，0），N 2点坐标为（0，y 2）．∵AB ∥N 1M 1，AB ∥M 2N 2，AB ＝N 1M 1，AB ＝M 2N 2， ∴N 1M 1∥M 2N 2，N 1M 1＝M 2N 2．∴线段M 2N 2与线段N 1M 1关于原点O 成中心对称．∴M 2点坐标为（-3，0），N 2点坐标为（0，-2）．………………………9分设直线M 2N 2的函数表达式为22−=x k y ，把x ＝-3，y ＝0代入，解得322−=k ，∴直线M 2N 2的函数表达式为232−−=x y ．所以，直线MN 的函数表达式为232+−=x y 或232−−=x y ．………………11分（3）选做题：（9，2），（4，5）．………………………………………………2分9解：（1）直线y =−x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．(10)A ∴−，，(0C ，·················································································· 1分 点A C ，都在抛物线上，0a c c ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩a c ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为2y x x =− ······················································ 3分 ∴顶点13F ⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭， ······················································································· 4分 （2）存在 ····································································································· 5分1(0P ··································································································· 7分2(2P ··································································································· 9分 （3）存在 ··································································································· 10分理由： 解法一：延长BC 到点B '，使B C BC '=，连接B F '交直线AC 于点M ，则点M 就是所求的点． ················································································································· 11分 过点B '作B H AB '⊥于点H ．B点在抛物线233y x x =−(30)B ∴， 在Rt BOC △中，tan OBC ∠=，30OBC ∴∠=，BC =，在Rt BB H '△中，12B H BB ''==6BH H '==，3OH ∴=，(3B '∴−−， ············································· 12分设直线B F '的解析式为y kx b =+x3k bk b⎧−=−+⎪∴⎨=+⎪⎩解得6kb=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩62y x∴=− ······················································································· 13分yy x⎧=−⎪∴⎨=−⎪⎩377xy⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩37M⎛∴⎝⎭，∴在直线AC上存在点M，使得MBF△的周长最小，此时377M⎛⎫−⎪⎪⎝⎭，． ······· 14分解法二：过点F作AC的垂线交y轴于点H，则点H为点F关于直线AC的对称点．连接BH交AC于点M，则点M即为所求． ································ 11分过点F作FG y⊥轴于点G，则OB FG∥，BC FH∥．90BOC FGH∴∠=∠=，BCO FHG∠=∠HFG CBO∴∠=∠同方法一可求得(30)B，．在Rt BOC△中，tan3OBC∠=，30OBC∴∠=，可求得3GH GC==，GF∴为线段CH的垂直平分线，可证得CFH△为等边三角形，AC∴垂直平分FH．即点H为点F关于AC的对称点．0H⎛∴−⎝⎭， ··········································· 12分设直线BH的解析式为y kx b=+，由题意得03k bb=+⎧⎪⎨=⎪⎩kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩y∴=······················································································ 13分xy y ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩77x y =⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩377M ⎛∴− ⎝⎭， ∴在直线AC 上存在点M ，使得MBF △的周长最小，此时377M ⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭，． 1 10解：（1）点E 在y 轴上 ··············································································· 1分 理由如下：连接AO ，如图所示，在Rt ABO △中，1AB =，BO =，2AO ∴=1sin 2AOB ∴∠=，30AOB ∴∠= 由题意可知：60AOE ∠=306090BOE AOB AOE ∴∠=∠+∠=+=点B 在x 轴上，∴点E 在y 轴上． ································································· 3分 （2）过点D 作DM x ⊥轴于点M1OD =，30DOM ∠=∴在Rt DOM △中，12DM =，2OM = 点D 在第一象限，∴点D的坐标为122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， ················································································ 5分 由（1）知2EO AO ==，点E 在y 轴的正半轴上∴点E 的坐标为(02)，∴点A的坐标为( ·················································································· 6分 抛物线2y ax bx c =++经过点E ，2c ∴=由题意，将(A，122D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，代入22y ax bx =++中得32131242a a ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩解得99a b =−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩∴所求抛物线表达式为：28299y x x =−−+ ·················································· 9分 （3）存在符合条件的点P ，点Q ． ································································· 10分 理由如下：矩形ABOC 的面积3AB BO ==∴以O B P Q ，，，为顶点的平行四边形面积为由题意可知OB 为此平行四边形一边， 又3OB =OB ∴边上的高为2 ······················································································· 11分 依题意设点P 的坐标为(2)m ，点P在抛物线28299y x x =−−+上28229m ∴−+=解得，10m =，2m = 1(02)P ∴，，22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭以O B P Q ，，，为顶点的四边形是平行四边形，PQ OB ∴∥，PQ OB ==， ∴当点1P 的坐标为(02)，时， 点Q 的坐标分别为1(Q，22)Q ； 当点2P 的坐标为28⎛⎫−⎪ ⎪⎝⎭时，点Q的坐标分别为328Q ⎛⎫−⎪ ⎪⎝⎭，428Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭． ··········································· 14分 （以上答案仅供参考，如有其它做法，可参照给分） 11解：（1）在2334y x =−+中，令0y = 23304x ∴−+=12x ∴=，22x =−(20)A ∴−，，(20)B ， (1)又点B 在34y x b =−+上 302b ∴=−+32b =BC ∴的解析式为3342y x =−+ ········································································ 2分 （2）由23343342y x y x ⎧=−+⎪⎪⎨⎪=−+⎪⎩，得11194x y =−⎧⎪⎨=⎪⎩2220x y =⎧⎨=⎩ ····················································· 4分 914C ⎛⎫∴− ⎪⎝⎭，，(20)B ，4AB ∴=，94CD =······················································································· 5分 1994242ABC S ∴=⨯⨯=△ ·················································································· 6分 （3）过点N 作NP MB ⊥于点P EO MB ⊥ NP EO ∴∥BNP BEO ∴△∽△ ······················································································· 7分 BN NPBE EO∴=································································································· 8分 由直线3342y x =−+可得：302E ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴在BEO △中，2BO =，32EO =，则52BE =25322t NP ∴=，65NP t ∴= ················································································ 9分 16(4)25S t t ∴=−2312(04)55S t t t =−+<< ············································································· 10分 2312(2)55S t =−−+ ····················································································· 11分 此抛物线开口向下，∴当2t =时，125S =最大∴当点M 运动2秒时，MNB △的面积达到最大，最大为125．12解：(1)m=-5,n=-3 (2)y=43x+2 (3)是定值.因为点D 为∠ACB 的平分线，所以可设点D 到边AC,BC 的距离均为h ， 设△ABCAB 边上的高为H, 则利用面积法可得：222CM h CN h MN H⋅⋅⋅+=（CM+CN ）h=MN ﹒HCM CN MNH h +=又H=CM CN MN⋅化简可得(CM+CN)﹒1MN CM CN h=⋅故111CM CN h+=13解：（1）由已知得：310c b c =⎧⎨−−+=⎩解得c=3,b =2∴抛物线的线的解析式为223y x x =−++ (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）所以对称轴为x=1,A,E 关于x=1对称，所以E(3,0) 设对称轴与x 轴的交点为F所以四边形ABDE 的面积=ABO DFE BOFD S S S ∆∆++梯形=111()222AO BO BO DF OF EF DF ⋅++⋅+⋅ =11113(34)124222⨯⨯++⨯+⨯⨯ =9（3）相似如图，======所以2220BD BE +=,220DE =即：222BD BE DE +=,所以BDE ∆是直角三角形所以90AOB DBE ∠=∠=︒,且2AO BO BD BE ==, 所以AOBDBE ∆∆.14解（Ⅰ）当1==b a ，1−=c 时，抛物线为1232−+=x x y ， 方程01232=−+x x 的两个根为11−=x ，312=x ． ∴该抛物线与x 轴公共点的坐标是()10−，和103⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ············································ 2分 （Ⅱ）当1==b a 时，抛物线为c x x y ++=232，且与x 轴有公共点．对于方程0232=++c x x ，判别式c 124−=∆≥0，有c ≤31． ···································· 3分①当31=c 时，由方程031232=++x x ，解得3121−==x x ． 此时抛物线为31232++=x x y 与x 轴只有一个公共点103⎛⎫− ⎪⎝⎭，． ······························ 4分 ②当31<c 时， 11−=x 时，c c y +=+−=1231， 12=x 时，c c y +=++=5232．由已知11<<−x 时，该抛物线与x 轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为31−=x ，。
专题70：抛物线基础知识和典型例题(解析版)
专题70：抛物线基础知识和典型例题（解析版）抛物线1、定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线．2、抛物线的几何性质：标准方程范围顶点对称轴轴轴焦点准线方程离心率，越大，抛物线的开口越大焦半径通径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：焦点弦长公式3、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即．4、关于抛物线焦点弦的几个结论：设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则⑴⑵⑶以为直径的圆与准线相切；⑷焦点对在准线上射影的张角为⑸四、直线与圆锥曲线的位置关系2.直线与圆锥曲线的位置关系：⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。
⑵.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到。
①.若=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。
②.若，设。
③..时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。
b.时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。
c.时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。
五、弦长问题：直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。
即当直线与圆锥曲线交于点，时，则====题型一：求抛物线的解析式例1求适合下列条件的抛物线的标准方程： （1）顶点在原点，焦点是(0,5)F ； （2）顶点在原点，准线是4x =； （3）焦点是8(0,)F -，准线是8y =；（4）顶点在原点，关于x 轴对称，顶点与焦点的距离等于6．例1（1）220x y =；（2）216y x =-；（3）232x y =-；（4）224y x =±. 【解析】 【分析】（1）判断焦点位置，设出抛物线方程，根据焦点求解出抛物线的标准方程；（2）根据准线判断焦点位置，设出抛物线方程，根据准线方程求解出抛物线的标准方程； （3）根据焦点和准线设出抛物线方程，根据焦点坐标即可求解出抛物线的标准方程； （4）先判断出顶点位置，然后设出抛物线的标准方程，利用已知条件求解出抛物线的标准方程. 【详解】（1）因为焦点在y 轴正半轴，设抛物线方程22x py =，所以52p=，所以10p =， 所以抛物线的标准方程为220x y =；（2）因为准线4x =，所以焦点在x 轴负半轴，设22y px =-，所以42p=，所以8p =， 所以抛物线的标准方程为216y x =-；（3）由条件可知抛物线的焦准距被坐标原点平分，所以抛物线的顶点在坐标原点，设抛物线方程22x py =-， 所以82p=，所以16p =，所以抛物线的标准方程为232x y =-；（4）设抛物线的标准方程为22y px =，所以62p=，所以12p =±， 所以抛物线的标准方程为：224y x =±. 【点睛】本题考查根据已知条件求解抛物线的标准方程，主要考查学生的分析与计算能力，难度较易. 例2：已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率2e =求椭圆E 的方程． 例3：2214x y +=.【解析】 【分析】由点抛物线焦点F 是椭圆的一个顶点可得1b =，由椭圆离心率e =c a =椭圆方程可求． 【详解】设椭圆E 的方程为22221x y a b+=，半焦距为c ．由已知条件，()0,1F ，1b ∴=，c a =222a b c =+， 解得2a =，1b =．所以椭圆E 的方程为2214x y +=．【点睛】本题考查了利用待定系数法求椭圆方程，属于基础题.题型二：求抛物线的轨迹例3：已知曲线()2C :2y x =+上有一点A ，定点()B 2,0，求线段AB 中点P 的轨迹方程。
专题12 抛物线及其性质(知识梳理+专题过关)(解析版)
专题12抛物线及其性质【考点预测】知识点一、抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线()l F l ∉的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．注：若在定义中有F l ∈，则动点的轨迹为l 的垂线，垂足为点F ．知识点二、抛物线的方程、图形及性质抛物线的标准方程有4种形式：22y px =，22y px =-，22x py =，22(0)x py p =->，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向图形标准方程22(0)y px p =>22(0)y px p =->22(0)x py p =>22(0)x py p =->顶点(00)O ，范围0x ≥，y R ∈0x ≤，y R∈0y ≥，x R ∈0y ≤，x R∈对称轴x 轴y 轴焦点(0)2pF ，(0)2p F -，(0)2p F ，(0)2pF -，离心率1e =准线方程2p x =-2p x =2p y =-2p y =焦半径11()A x y ，12pAF x =+12p AF x =-+12p AF y =+12p AF y =-+【方法技巧与总结】1、点00(,)P x y 与抛物线22(0)y px p =>的关系（1）P 在抛物线内（含焦点）2002y px ⇔<．（2）P 在抛物线上2002y px ⇔=．（3）P 在抛物线外2002y px ⇔>．2、焦半径抛物线上的点00(,)P x y 与焦点F 的距离称为焦半径，若22(0)y px p =>，则焦半径02pPF x =+，max2p PF =．3、(0)p p >的几何意义p 为焦点F 到准线l 的距离，即焦准距，p 越大，抛物线开口越大．4、焦点弦若AB 为抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有以下结论：（1）2124p x x =．（2）212y y p =-．（3）焦点弦长公式1：12AB x x p =++，12x x p +≥=，当12x x =时，焦点弦取最小值2p ，即所有焦点弦中通径最短，其长度为2p ．焦点弦长公式2：22sin pAB α=（α为直线AB 与对称轴的夹角）．（4）AOB ∆的面积公式：22sin AOB p S α∆=（α为直线AB 与对称轴的夹角）．5、抛物线的弦若AB 为抛物线22(p 0)y px =>的任意一条弦，1122(,),(,)A x y B x y ，弦的中点为000(,)(0)M x y y ≠，则（1）弦长公式：1212(0)AB AB x y k k =-=-=≠（2）0AB p k y =（3）直线AB 的方程为000()py y x x y -=-（4）线段AB 的垂直平分线方程为000()y y y x x p-=--6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（4A法）（1）2(0)y Ax A =≠焦点为(,0)4A ，准线为4Ax =-（2）2(0)x Ay A =≠焦点为(0,)4A ，准线为4Ay =-如24y x =，即24y x =，焦点为1(0,)16，准线方程为116y =-7、参数方程22(0)y px p =>的参数方程为222x pt y pt ⎧=⎨=⎩（参数t R ∈）8、切线方程和切点弦方程抛物线22(0)y px p =>的切线方程为00()y y p x x =+，00(,)x y 为切点切点弦方程为00()y y p x x =+，点00(,)x y 在抛物线外与中点弦平行的直线为00()y y p x x =+，此直线与抛物线相离，点00(,)x y （含焦点）是弦AB 的中点，中点弦AB 的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果．9、抛物线的通径过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．对于抛物线22(0)y px p =>，由()2p A p ，，()2p B p -，，可得||2AB p =，故抛物线的通径长为2p ．10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：0py k=11、焦点弦的常考性质已知11()A x y ，、22()B x y ，是过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的弦，M 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，MN l ⊥，N 为垂足．（1）以AB 为直径的圆必与准线l 相切，以AF （或BF ）为直径的圆与y 轴相切；（2）FN AB ⊥，FC FD⊥（3）2124p x x =；212y y p =-（4）设BD l ⊥，D 为垂足，则A 、O 、D 三点在一条直线上【专题过关】【考点目录】考点一：抛物线的定义与方程考点二：抛物线的轨迹方程考点三：与抛物线有关的距离和最值问题考点四：抛物线中三角形，四边形的面积问题考点五：焦半径问题考点六：抛物线的性质【典型考题】考点一：抛物线的定义与方程1．（2022·江苏·高二）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，其上一点(),4A m -到焦点F 的距离为6．求抛物线的方程及点A 的坐标．【解析】由题意，设抛物线方程为()220x py p =->，则其准线方程为2p y =，∴462p+=，得p ＝4，故抛物线方程为28x y =-；又∵点(),4A m -在抛物线上，∴232m =，∴m =±即点A 的坐标为()4-或()4--．2．（多选题）（2022·全国·高二单元测试）下列方程的图形为抛物线的是（）A ．10x +=B ．2y -=C D ．2230x x y --+=【答案】ACD【解析】对于A ，方程10x +=化为1x +=(,)x y 到定点(0,0)的距离与到定直线1x =-的距离相等，且定点(0,0)不在定直线1x =-上，原方程表示的图形是抛物线，A 是；对于B ，方程2y -=(,)x y 到定点(1,2)-的距离与到定直线2y =的距离相等，而定点(1,2)-在定直线2y =上，原方程表示的图形不是抛物线，B 不是；对于C (,)x y 到定点(2,3)的距离与到定直线3410x y +-=的距离相等，且定点(2,3)不在定直线3410x y +-=上，原方程表示的图形是抛物线，C 是；对于D ，方程2230x x y --+=化为223y x x =-+，方程表示的图形是抛物线，D 是.故选：ACD3．（多选题）（2022·广东清远·高二期末）已知0mn ≠，则方程221mx ny +=与2ny mx =在同一坐标系内对应的图形可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】BC【解析】将对应方程化为标准方程得22111x ym n+=，2m y x n=，所以抛物线2my x n=的焦点在x 轴上，故排除D 选项，对于A 选项，由图可知0mn>，0m <，0n >，矛盾，故A 错误；对于B 选项，由图可知0mn<，0m <，0n >，满足，故B 正确；对于C 选项，由图可知，0mn>，0m >，0n >，满足，故C 正确；故选：BC.4．（2022·江西吉安·高二期末（理））已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，准线l 上有两点A ，B ，若FAB 为等腰直角三角形且面积为8，则抛物线C 的标准方程是（）A ．2y =B ．28y x =C ．2y =或28y x =D ．24y x=【答案】C【解析】由题意得，当2AFB π∠=时，1282AFB S p p =⨯⨯=△，解得p =；当2FAB π∠=或2FBA π∠=时，2182AFB S p ==△，解得4p =，所以抛物线的方程是2y =或28y x =.故选：C.5．（2022·全国·高二课时练习）下列条件中，一定能得到抛物线的标准方程为28y x =的是______（填序号）（写出一个正确答案即可）．①焦点在x 轴上；②焦点在y 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为3；④焦点到准线的距离为4；⑤由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为()1,1-．【答案】①③（答案不唯一）【解析】若要得到抛物线的方程为28y x =，则焦点一定在x 轴上，故①必选，②不选．若选①③，由抛物线的定义可知132p+=，得4p =，则抛物线的方程为28y x =．若选①⑤，设焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭()0p >，()1,1A -，112AF k p =-，1OA k =-，由1AF OA k k ⋅=-，得1112p =-，解得4p =，故抛物线的方程为28y x =．由④可知4p =，故还可选择①④．故答案可为①③或①⑤或①④．故答案为：①③（答案不唯一）6．（2022·全国·高二课时练习）位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5m ，跨径为12m ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为______m ．【答案】185【解析】以抛物线的最高点O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的解析式为22x py =-，0p >，因为抛物线过点()6,5-，所以3610p =，可得185p =，所以抛物线的焦点到准线的距离为18m 5．故答案为：1857．（2022·全国·高二课时练习）设抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点F 在坐标轴上，点P 在抛物线C 上，52PF =，若以线段PF 为直径的圆过坐标轴上距离原点为1的点，试写出一个满足题意的抛物线C 的方程为______．【答案】22x y =（答案不唯一）【解析】由题意，若抛物线的焦点F 在y 轴正半轴上，则可设抛物线方程为22x py =（0p >），()00,P x y ，0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由焦半径公式可知0522p y +=，圆的半径为54，得052p y -=，并且线段PF 中点的纵坐标是05224py +=，所以以线段PF 为直径的圆与x 轴相切，切点坐标为()1,0-或()1,0，所以02x =±，即点P 的坐标为52,2p -⎛⎫± ⎝⎭，代入抛物线方程22x py =（0p >）得5422p p -=⋅，解得1p =或4p =，即当点F 在y 轴正半轴上时，抛物线方程是22x y =或28x y =.同理，当点F 在y 轴负半轴时，抛物线方程为22x x =-或28x y =-，当点F 在x 轴正半轴时，抛物线方程为22y x =或28y x =，当点F 在x 轴负半轴时，抛物线方程为22y x =-或28y x =-．故答案为：22x y =（答案不唯一）.8．（2022·山西·怀仁市第一中学校高二期中（理））设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，FA 为半径的圆交l 于B ，D 两点．若90ABD ∠=︒，且ABF的面积为C 的方程为（）A ．22y x =B ．24y x =C ．28y x =D ．216y =【答案】B【解析】∵以F 为圆心，FA 为半径的圆交l 于B ，D 两点，90ABD ∠=︒，结合抛物线的定义可得：AB AF BF==ABF ∴是等边三角形，30FBD ∴∠=︒．ABF2=4BF ∴=．又点F 到准线的距离为sin 302BF p ︒==，则该抛物线的方程为24y x =．故选：B ．9．（2022·全国·高二课时练习）如图，过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点,A B ，交其准线l 于点C ，若2BC BF =，且3AF =，则此抛物线的方程为（）A ．29y x =B ．26y x =C ．23y x =D ．212y x=【答案】C【解析】作AD l ⊥，BE l ⊥，垂足分别为,D E ，设l 与x 轴交于点G ，由抛物线定义知：BE BF =，3AD AF ==，设BF a =，则BE a =，2BC a =，1sin 22a BCE a ∴∠==，则6BCE π∠=，26AC AD ∴==，又33AC AF BF BC a =++=+，1a \=，1BE ∴=，23BE BC FGCF==，32FG ∴=，即32p =，∴抛物线方程为：23y x =.故选：C.10．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）经过点M （x 0，），若点M 到准线l 的距离为3，则该抛物线的方程为（）A ．y 2＝4xB ．y 2＝2x 或y 2＝4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝4x 或y 2＝8x【答案】D【解析】∵抛物线y 2＝2px （p ＞0）经过点M （x 0，），∴202px =，可得04x p=.又点M 到准线l 的距离为3，∴432pp +=，解得p ＝2或p ＝4.则该抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝8x .故选：D.11．（2022·全国·高二课时练习）苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑（如图1所示），“门”的内侧曲线呈抛物线形．图2是“东方之门”的示意图，已知30m CD =，60m AB =，点D 到直线AB 的距离为150m ，则此抛物线顶端O 到AB 的距离为（）A ．180mB ．200mC ．220mD ．240m【答案】B【解析】以O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为()220x py p =->，由题意设()15,D h ，0h <，()30,150B h -，则()22152302150php h ⎧=-⎪⎨=--⎪⎩，解得502.25h p =-⎧⎨=⎩，所以此抛物线顶端O 到AB 的距离为()50150200m +=．故选:B ．考点二：抛物线的轨迹方程12．（2022·全国·高二课时练习）点()1,0A ，点B 是x 轴上的动点，线段PB 的中点E 在y 轴上，且AE 垂直PB ，则点P 的轨迹方程为______．【答案】24y x =()0x ≠【解析】设(),P x y ，(),0B m ，则,22x m y E +⎛⎫⎪⎝⎭．由点E 在y 轴上，得02x m +=，则m x =-，即0,2y E ⎛⎫⎪⎝⎭．又AE PB ⊥，若0x ≠，则21012AE PB yy k k x⋅=⨯=--，即24y x =．若0x =，则0m =，此时点P ，B 重合，直线PB 不存在．所以点P 的轨迹方程是24y x =()0x ≠．故答案为：24y x =()0x ≠.13．（2022·全国·高二课时练习）若动点(,)M x y 满足()()225123412x y x y -+-=-+，则点M 的轨迹是（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】D【解析】由题意，动点(,)M x y 满足()()225123412x y x y -+-=-+，()()223412125x y x y -+-+-=，即动点(,)M x y 到定点(1,2)的距离等于动点(,)M x y 到定直线34120x y -+=的距离，又由点(1,2)不在直线34120x y -+=上，根据抛物线的定义，可得动点M 的轨迹为以(1,2)为焦点，以34120x y -+=的抛物线.故选：D.14．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二开学考试（理））已知动圆⊙M 经过定点(1,0)A ，且和直线1x =-相切，则点M 的轨迹方程为（）A ．22y x=B ．24y x=C ．22y x=-D ．24y x=-【答案】B【解析】因为动圆⊙M 经过定点(1,0)A ，且和直线1x =-相切，所以点M 到点(1,0)A 的距离等于它到直线1x =-的距离，即M 的轨迹为以点(1,0)A 为焦点，直线1x =-为准线的抛物线，所以12p=，解得2p =，轨迹方程为24y x =．故选：B ．15．（2022·全国·高二课时练习）若动圆M 经过双曲线2213y x -=的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的坐标满足的方程是______．【答案】28y x=-【解析】双曲线2213y x -=的左焦点为F （－2，0），动圆M 经过F 且与直线x ＝2相切，则圆心M 到点F 的距离和到直线x ＝2的距离相等，由抛物线的定义知圆心的轨迹是焦点为F ，准线为x ＝2的抛物线，其方程为28y x =-．故答案为：28y x =-.16．（2022·全国·高二课时练习）若点(),P x y 满足方程3412x y =++，则点P 的轨迹是______．【答案】抛物线【解析】由|3412|x y =++|3412|5x y ++=，等式左边表示点(),x y 和点()1,2的距离，等式的右边表示点(),x y 到直线34120x y ++=的距离.整个等式表示的意义是点(),x y 到点()1,2的距离和到直线34120x y ++=的距离相等，其轨迹为抛物线.故答案为：抛物线17．（2022·全国·高二课时练习）与点()0,3F -和直线30y -=的距离相等的点的轨迹方程是______．【答案】212x y=-【解析】由抛物线的定义可得平面内与点()0,3F -和直线30y -=的距离相等的点的轨迹为抛物线，且()0,3F -为焦点，直线3y =为准线，设抛物线的方程为22(0)x py p =->，可知32p=，解得6p =，所以该抛物线方程是212x y =-，故答案为：212x y=-18．（2022·河北唐山·高二期中（理））已知动点(,)P x y 满足341x y =+-，则点P 的轨迹为（）A ．直线B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆【答案】B【解析】把341x y =+-3415x y +-，3415x y +-可看做(,)x y 与(1,2)的距离等于(,)x y 到直线3410x y +-=的距离，由于点(1,2)不在直线3410x y +-=上，满足抛物线的定义，则点P 的轨迹为抛物线，故选：B19．（2022·全国·高二课时练习）平面上动点M 到定点()3,0F 的距离比M 到直线l ：10x +=的距离大2，求动点M 满足的方程.【解析】因为动点M 到定点()3,0F 的距离比M 到直线l ：10x +=的距离大2，所以动点M 到定点()3,0F 的距离与M 到直线l ：30x +=的距离相等，所以M 的轨迹是以()3,0F 为焦点，直线l ：3x =-为准线的抛物线，此时6p =，故所求的点M 满足的方程是212y x =.20．（2022·全国·高二课时练习）已知点M 与点(4,0)F 的距离比它到直线:60l x +=的距离小2，求点M 的轨迹方程．【解析】由题意知动点M 到(4,0)的距离比它到直线:6l x =-的距离小2，即动点M 到(4,0)的距离与它到直线4x =-的距离相等，由抛物线定义可知动点M 的轨迹为以(4,0)为焦点的抛物线，则点M 的轨迹方程为216y x =.21．（2022·全国·高二课时练习）已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与定直线l ：x ＝1，且动圆P 和圆A 外切并与直线l 相切，求动圆的圆心P 的轨迹方程．【解析】由题意知：点P 到圆心A (－2,0)的距离和到定直线x ＝2的距离相等，所以点P 的轨迹为抛物线，且焦点为A ，准线为x ＝2，故点P 的轨迹方程为y 2＝－8x .22．（2022·全国·高二课时练习）已知点()1,0A ，直线:1l x =-，两个动圆均过A 且与l 相切，若圆心分别为1C ､2C ，则1C 的轨迹方程为___________；若动点M 满足22122C M C C C A =+，则M 的轨迹方程为___________.【答案】24y x =221y x =-【解析】由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹是以()1,0A 为焦点，直线l ：1x =-为准线的抛物线，所以1C 的轨迹方程为24y x =，设()1,C a b ，()2,C m n ，(),M x y ，因为动点M 满足22122C M C C C A =+，所以()()()2,,1,x m y n a m b n m n --=--+--，即21x a =+，2y b =，所以21a x =-，2b y =，因为24b a =，所以()()22421y x =-，所以221y x =-，即M 的轨迹方程为221y x =-.故答案为：24y x =；221y x =-.考点三：与抛物线有关的距离和最值问题23．（2022·全国·高二课时练习）已知点()2,0P ，点Q 在曲线2:2C y x =上．(1)若点Q 在第一象限内，且2PQ =，求点Q 的坐标；(2)求PQ 的最小值．【解析】（1）设()(),0,0Q x y x y >>，则22y x =，由已知条件得2PQ ==，将22y x =代入上式，并变形得，220,x x -=解得x＝0（舍去）或x ＝2．当x ＝2时，2y =±，只有x ＝2，y ＝2满足条件，所以()2,2Q ；（2）PQ ，其中22y x =，所以()()()22222224130PQ x x x x x x =-+=-+=-+≥，所以当x ＝1时，min PQ =24．（2022·全国·高二课时练习）若M 是抛物线22y x =上一动点，点103,3P ⎛⎫⎪⎝⎭，设d 是点M 到准线的距离，要使d MP +最小，求点M 的坐标．【解析】由题意，可知抛物线的焦点1(,0)2F ，由抛物线的定义有||||d MP MF MP PF +=+≥,所以d MP +最小值为||PF ，此时点M 为直线PF 与抛物线的交点，而直线PF 的方程求得为：4233y x =-，所以有242332y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得4143x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或1413x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（舍），所以14(4,)3M 25．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线22y x =的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，若()3,2A ，则PA PF +的最小值为______，此时点P 的坐标为______．【答案】72【解析】易知点A 在抛物线内部，设抛物线的准线为l ，则l 的方程为12x =-，过点P 作PQ l ⊥于点Q ，则PA PF PA PQ +=+，当PA l ⊥，即A ，P ，Q 三点共线时，PA PF +最小，最小值为17322+=，此时点P 的纵坐标为2，代入22y x =，得2x =，所以此时点P 的坐标为()2,2．故答案为：72；()2,2．26．（2022·全国·高二课时练习）设P 是抛物线24y x =上的一个动点，点F 是焦点．(1)求点P 到点()1,1A -的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的最小值；(2)若()3,2B ，求PB PF +的最小值．【解析】（1）抛物线24y x =的焦点为()1,0F ，准线是1x =-．由抛物线的定义，知点P 到直线1x =-的距离等于点P 到焦点F 的距离，所以问题转化为求抛物线上一点P 到点()1,1A -的距离与其到点()1,0F 的距离之和的最小值，如图，当A ，P ，F 共线时上述距离之和最小，连接AF 交抛物线于点P ，此时所求的最小值为||AF =（2）由题意()3,2B ，可知2243<⨯，故点B 在抛物线内部（焦点所在一侧），如图，作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点1P ，连接1PF ，此时11PQ PF =,当点P 与点1P 重合时，PB PF +的值最小，此时3(1)4PB PF BQ +==--=，即PB PF +的最小值为4．27．（多选题）（2022·全国·高二单元测试）已知F 是抛物线24y x =的焦点，P 是抛物线24y x =上一动点，Q 是()()22:411C x y -+-=上一动点，则下列说法正确的有（）A ．PF 的最小值为1B ．QFC ．PF PQ +的最小值为4D ．PF PQ +1+【答案】AC【解析】抛物线焦点为()1,0F ，准线为1x =-，作出图象，对选项A ：由抛物线的性质可知：PF 的最小值为1OF =，选项A 正确；对选项B ：注意到F 是定点，由圆的性质可知：QF 的最小值为1CF r -=，选项B 错误；对选项CD ：过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，由抛物线定义可知PF PM =，故PF PQ PM PQ +=+，PM PQ +的最小值为点Q 到准线1x =-的距离，故最小值为4，从而选项C 正确，选项D 错误．故选：AC.28．（2022·河南·襄城县实验高级中学高二阶段练习（文））已知P 为抛物线()2:20C y px p =>上的动点，C 的准线l 与x 轴的交点为A ，当点P 的横坐标为1时，2PF =，则PF PA的取值范围是（）A ．⎤⎥⎣⎦B ．⎤⎥⎣⎦C ．⎣⎦D ．22⎡⎢⎣⎦【答案】B【解析】因为抛物线C 的方程为()22 0y px p =>，所以其准线方程为2p x =-.因为当点P 的横坐标为1时，2PF =，所以122p+=，所以 2p =，故拋物线C 的方程为24y x =.设直线PA 的倾斜角为θ，PP l '⊥垂足为P '，()1,0A -，由抛物线的性质可得PP PF '=，所以cos PF PP PAPAθ'==，所以当直线PA 与抛物线C 相切时，cos θ最小.设直线PA 的方程为1x my =-，联立方程组214x my y x=-⎧⎨=⎩，得2440y my -+=，由216160m ∆=-=，得1m =±，2tan 1,cos 2θθ==，所以cos 12θ≤≤，故PF PA ⎤∈⎥⎣⎦.故选：B29．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知抛物线21:8C y x =的焦点为F ，P 为C 上的动点，直线PF 与C 的另一交点为Q ，P 关于点(4,12)N 的对称点为M ．当PQ QM +的值最小时，直线PQ 的方程为________．【答案】20x y -+=【解析】设A 为PQ 的中点，连接NA ，设抛物线C 的准线为l ，作QD l ⊥，AG l ⊥，PE l ⊥，垂足分别为D ，G ，E ．则2MQ NA =，2PQ PF QF PE QD AG =+=+=，()2PQ QM AG NA ∴+=+，又点N 到直线l 的距离为13，13AG NA ∴+≥，当G ，N ，A 三点共线且A 在G ，N 之间时，13AN AG NG +==，此时，点A 的横坐标为4A x =．PQ ∵过点()0,2F ，故设PQ 方程为2y kx =+，代入218y x =，得28160x kx --=()11,P x y ，()22,Q x y ，则128x x k +=．当G ，N ，A 三点共线时，12288A x x x k +===，解得1k =，直线AM 的方程为2y x =+，此时()4,6A 点A 在G ，N 之间，13AN AG NG +==成立．所以当PQ QM +的值最小时，直线PQ 的方程为20x y -+=故答案为：20x y -+=30．（2022·天津一中高二期中）已知抛物线C ：22y px =的准线为1x =-，若M 为C 上的一个动点，设点N 的坐标为()3,0，则MN 的最小值为___________.【答案】【解析】由题意知，2p =，∴抛物线C ：24y x =.设()()000,0M x y x ≥，由题意知2004y x =，则()()()2222200000334188x y x x MN x =-+=-+=-+≥，当01x =时，2MN 取得最小值8，∴MN 的最小值为.故答案为：31．（2022·河南·濮阳一高高二期中（文））抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点A (2，1)，M 为抛物线上一点，且M 不在直线AF 上，则△MAF 周长的最小值为____．【答案】3【解析】如图所示，过M 作MN 垂直于抛物线的准线l ，垂足为N ．易知F (1，0)，因为△MAF 的周长为|AF |＋|MF |＋|AM |，|AF ||MF |＋|AM |＝|AM |＋|MN |，所以当A 、M 、N 三点共线时，△MAF 的周长最小，最小值为2＋13=．故答案为：332．（2022·上海市长征中学高二期中）抛物线2y x =，其上一点P 到A (3，-1)与到焦点距离之和为最小，则P 点坐标为________【答案】(1,1)-【解析】因为点(3,1)A -在抛物线内部，如图所示，设抛物线的准线为l ，过抛物线上一点P ，作PQ l ⊥于Q ，过A 作AB l ⊥于B .||||||||||PA PF PA PQ AB +=+≥，故当且仅当,,P A B 共线时，||||PA PF +的值最小.此时点P 坐标为0(,1)P x -，代入2y x =，得01x =.故点P 的坐标为(1,1)-.故答案为：(1,1)-33．（2022·河南·高二期中（文））如图所示，已知P 为抛物线()2:20C y px p =>上的一个动点，点()1,1Q ，F 为抛物线C 的焦点，若PF PQ +的最小值为3，则抛物线C 的标准方程为______.【答案】28y x=【解析】过点P 、Q 分别作准线的垂线，垂直分别为M 、N ，由抛物线定义可知PF PQ PM PQ NQ +=+≥，当P ，M ，Q 三点共线时等号成立所以132pNQ =+=，解得4p =所以抛物线C 的标准方程为28y x =.故答案为：28y x=34．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中）已知点()6,0A ，点P 在抛物线216y x=上运动，点B 在曲线()2241x y -+=上运动，则2PAPB的最小值是___________．【答案】6【解析】抛物线216y x =的焦点为(4,0)F ，设P 点坐标(,)x y ，则||4PF x =+22222||(6)(6)16436PA x y x x x x =-+=-+=++，由题意当||||15PB PF x =+=+时，225436P P x B x Ax +=++，令5x t +=，则5x t =-，222(5)4(5)36466141PAt t t PB t t t tt -++=+=+--=-，由基本不等式知41t t+≥t =时等号成立故2PA PB的最小值为6．故答案为：635．（多选题）（2022·福建泉州·高二期中）在平面直角坐标系xOy 中，(3,2)M -，F 为抛物线2:2(0)C x py p =->的焦点，点P 在C 上，PA x ⊥轴于A ，则（）A ．当2p =时，||||PF PM +的最小值为3B ．当4p =时，||||PF PM +的最小值为4C ．当4p =时，||||PA PM -的最大值为1D ．当PF x ∥轴时，cos OPF ∠为定值【答案】BCD【解析】对于A ：2p =时抛物线2:4C x y =-，焦点()0,1F -，点(3,2)M -在抛物线外，所以||||PF PM FM +≥当且仅当M 、P 、F 三点共线且P 在MF 之间时取等号（如下图所示），故A 错误；对于B 、C ：当4p =时抛物线2:8C x y =-，焦点()0,2F -，准线方程为2y =，点(3,2)M -在抛物线内，设PA 与准线交于点N ，则||||PF PN =，所以()||||||||224PF PM PN PM MN +=+≥=--=，当且仅当M 、P 、N 三点共线且P 在MN 之间时取等号（如下图所示），故B 正确；||||||2||||||2||21PA PM PN PM PF PM FM -=--=--≤-=，当且仅当M 、P 、F 三点共线且F 在MP 之间时取等号（如下图所示），故C 正确；对于D ：抛物线2:2C x py =-，焦点0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，准线方程为2p y =，当//PF x ，此时2P p y =-，则222p x p ⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭，解得p x p =±，即,2p P p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭或,2p P p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，如图取,2p P p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则PF p =，()2252p OP p ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，所以25cos 552PFp OPF OPp ∠==D 正确；故选：BCD36．（2022·江西赣州·高二期中（理））已知抛物线216y x =的焦点为F ，P 点在抛物线上，Q 点在圆()()22:624C x y -+-=上，则PQ PF +的最小值为（）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C【解析】如图，过点P 向准线作垂线，垂足为A ，则PF PA =，当CP 垂直于抛物线的准线时，CP PA +最小，此时线段CP 与圆C 的交点为Q ，因为准线方程为4x =-，()6,2C ，半径为2，所以PQ PF +的最小值为21028AQ CA =-=-=.故选：C37．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二期中（理））已知A ()4,2-，F 为抛物线28y x =的焦点，点M 在抛物线上移动，当MA MF +取最小值时，点M 的坐标为（）A ．()0,0B ．(1,-C ．()2,2-D ．1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】如图所示，过M 点作准线l 的垂线，垂足为E ，由抛物线定义，知MF .ME =当M 在抛物线上移动时，ME MA +的值在变化，显然M 移动到M '时，,,A M E 三点共线，ME MA +最小，此时//AM Ox '，把2y =-代入28y x =，得12x =，所以当MA MF +取最小值时，点M 的坐标为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：D.38．（2022·黑龙江·哈师大附中高二期中（文））若点P 为抛物线2:2C y x =上的动点，F 为抛物线C 的焦点，则PF 的最小值为（）A ．1B ．12C ．14D ．18【答案】D【解析】由22y x =，得212x y =，∴122p =，则128p =，所以焦点10,8F ⎛⎫⎪⎝⎭，由抛物线上所有点中，顶点到焦点的距离最小，得PF 的最小值为18.故选：D ．39．（2022·黑龙江·大兴安岭实验中学高二期中）已知抛物线28y x =，定点A (4，2)，F 为焦点，P 为抛物线上的动点，则PF PA +的最小值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】如图，作,PQ AN 与准线2x =-垂直，垂足分别为,Q N ，则PQ PF =，6PF PA PQ PA AN +=+≥=，当且仅当,,Q P A 三点共线即P 到M 重合时等号成立．故选：B ．40．（2022·四川省资阳中学高二开学考试（理））已知点P 是抛物线2:8C y x =上的动点，过点P 作圆()22:21M x y -+=的切线，切点为Q ，则PQ 的最小值为（）A ．1B 2C 3D ．32【答案】C【解析】设点P 的坐标为(),m n ，有28n m =，由圆M 的圆心坐标为()2,0，是抛物线C 的焦点坐标，有22PM m =+≥，由圆的几何性质可得PQ QM ⊥，又由22221213PM P P M Q QM=-=-≥-=PQ 3故选：C.41．（2022·全国·高二期中）已知抛物线的方程为24y x =，焦点为F ，点A 的坐标为()3,4，若点P 在此抛物线上移动，记P 到其准线的距离为d ，则d PA +的最小值为______，此时P 的坐标为______．【答案】5355+⎝【解析】过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，连接PF ，作图如下：根据抛物线的定义，d PH PF ==，数形结合可知，当且仅当,,A P F 三点共线，且P 在,A F 之间时取得最小值；即d PA +的最小值为AF ，又()()3,4,1,0A F ，故()2231425AF =-+=此时直线AF 的方程为：()21y x =-，联立抛物线方程24y x =，可得：2310x x -+=，解得35x -=35x +=15y =即此时点P 的坐标为355+⎝.故答案为：253552⎛ ⎝.考点四：抛物线中三角形，四边形的面积问题42．（2022·河南洛阳·高二期末（理））已知点()1,0A ，点B 为直线1x =-上的动点，过B 作直线1x =-的垂线1l ，线段AB 的中垂线与1l 交于点P .(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)若过点()2,0E 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求MOE △与NAE 面积之和的最小值.（O 为坐标原点）【解析】(1)如图所示，由已知得点P 为线段AB 中垂线上一点，即PA PB =，即动点P 到点()1,0A 的距离与点P 到直线1x =-的距离相等，所以点P 的轨迹为抛物线，其焦点为()1,0A ，准线为直线1x =-，所以点P 的轨迹方程为24y x =，(2)如图所示：设2x ty =+，点()11,M x y ，()11N x y ,，联立直线与抛物线方程242y x x ty ⎧=⎨=+⎩，得2480y ty --=，()()2244816320t t ∆=--⨯-=+>，124y y t +=，128y y ⋅=-，1112MOE S OE y y =×=V ，21122NAE N S AE y y =×=V ，所以1212112422MOE ANE S S y y y y +=+³=V V ，当且仅当1212y y =，即12y =，24y =-时取等号，此时1224y y t +=-=，即12t =-，所以当直线直线1:22l x y =-+，时MOE ANE S S +V V 取得最小值为4.43．（2022·陕西西安·高二期末（文））已知抛物线C ：()220y px p =>上的点()()4,0A m m >到其准线的距离为5.(1)求抛物线C 的方程；(2)已知O 为原点，点B 在抛物线C 上，若AOB 的面积为6，求点B 的坐标.【解析】(1)由抛物线C 的方程可得其准线方程2p x =-，依抛物线的性质得452p+=，解得2p =.∴抛物线C 的方程为24y x =.(2)将()4,A m 代入24y x =，得4m =.所以()4,4A ，直线OA 的方程为y x =，即0x y -=.设()2,2B t t ，则点B 到直线OA 的距离222t t d -=，又42OA =由题意得22142622t t -⨯=，解得1t =-或3t =.∴点B 的坐标是()1,2-或()9,6.44．（2022·新疆石河子一中高二阶段练习（理））已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点M 为C 上一点，点N 为x 轴上一点，若FMN 是边长为2的正三角形，则抛物线的方程为___________．【答案】22y x =或26y x=【解析】抛物线()2:20C y px p =>的焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由抛物线的对称性，不妨设点M 为第一象限的点，因为点M 为C 上一点，点N 为x 轴上一点，FMN 是边长为2的正三角形，所以当N 在,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭的右边时，点M 的坐标为2p M ⎛+ ⎝，所以2212p p ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，化简得2230p p +-=，解得1p =或3p =-（舍去），所以抛物线的方程为22y x =，当N 在,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭的左边时，点M 的坐标为2p M ⎛- ⎝，所以2212p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，化简得2230p p --=，解得1p =-或3p =，所以抛物线的方程为26y x =，综上，所求的抛物线方程为22y x =或26y x =故答案为：22y x =或26y x=45．（2022·全国·高二单元测试）抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过抛物线上一点P 作x轴的平行线交y 轴于M 点，抛物线的准线交x 轴于点N ，四边形PMNF 为平行四边形，则点P 到x 轴的距离为___________.（用含P 的代数式表示）【解析】由題意可知，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，,02p N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，不妨设(P x ，四边形PMNF 为平行四边形，||||,PM NF ∴=∴,x p =∴点P 到x .46．（2022·陕西咸阳·高二期末（理））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率54e =，且双曲线C 的两条渐近线与抛物线22(0)y px p =>的准线围成的三角形的面积为3，则p 的值为（）A ．1B ．2C ．22D ．4【答案】D【解析】根据题意，2514c b e a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，可得2916b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以双曲线的渐近线方程为34y x =±，抛物线的准线方程为2p x =-，设准线与抛物线的交点分别为M ，N ，则,23,4p x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，可解得3,28p p M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理3,28p p N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2133322416OMNp p Sp =⨯-⨯==，解得4p =.故选：D ．47．（2022·四川师范大学附属中学高二阶段练习（理））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)y px p =>的准线分别交于点A 、B ，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为2，三角形AOB 3p =（）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C【解析】由双曲线的离心率为2知，3ba=3y x =，又抛物线的准线方程为2p x =-，则设渐近线与准线的交点为3(,22p A --，3(,)22p B -，三角形AOB 的面积为133(322p p p⨯⨯=（0p >）解得2p =，故选：C48．（2022·湖北咸宁·高二期末）已知O 是坐标原点，F 是抛物线C ：()220y px p =>的焦点，()0,4P x 是C 上一点，且4=PF ，则POF 的面积为（）A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】C【解析】由题可知0042162p x px ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得024x p =⎧⎨=⎩，所以POF 的面积为12442⨯⨯=，故选：C49．（2022·黑龙江·哈师大附中高二开学考试）已知点()0,1F ，点()(),0A x y y ≥为曲线C 上的动点，过A 作x 轴的垂线，垂足为B ，满足1AF AB +＝．(1)曲线C 的方程(2)若,G H 为曲线C 上异于原点的两点，且满足0FG FH ⋅=，延长,GF HF 分别交曲线C 于点,M N ，求四边形GHMN 面积的最小值．【解析】(1)1AF AB +＝，∴点A 到直线1y =-的距离等于其到点()0,1F 的距离，∴点A 轨迹是以F 为焦点的抛物线，∴曲线C 方程为：24x y =.(2)由题意知：直线,GM HN 斜率都存在，不妨设直线:1GM y kx =+，()11,G x y ，()22,M x y ，由214y kx x y =+⎧⎨=⎩得：2440x kx --=，则121244x x k x x +=⎧⎨=-⎩，()241GM k ∴==+；设直线1:1HN y x k =-+，同理可得：2141HN k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴四边形GHMN 面积()2222111811822S GM HN k k k k ⎛⎫⎛⎫=⋅=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又2212k k +≥（当且仅当221k k =，即1k =±时取等号），()82232S ∴≥⨯+=，即四边形GHMN 面积的最小值为32.50．（2022·黑龙江·大庆实验中学高二期中（理））设点30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，动圆P 经过点F 且和直线32y =-相切，记动圆的圆心P 的轨迹为曲线w .（1）求曲线w 的方程；（2）过点F 作互相垂直的直线1l 、2l ，分别交曲线w 于A 、C 和B 、D 两个点，求四边形ABCD 面积的最小值.【解析】（1）由抛物线的定义知点P 的轨迹为以F 为焦点的抛物线，322p =，即3p =，∴2:6w x y =.（2）设3:2AC y kx =+，由223,069026y kx k x kx x y⎧=+≠⎪⇒--=⎨⎪=⎩.设()11,A x y ，()22,C x y ，236360k ∆=+>121269x x kx x +=⎧⎨=-⎩()261AC k ==+，∵1l 与2l 互相垂直，∴以1k -换k 得2161BD k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()22111616122ABCD S AC BD k k ⎛⎫==⨯+⨯+ ⎪⎝⎭()221182182272k k ⎛⎫=++⨯+= ⎪⎝⎭≥，当1k =±时取等号，∴四边形ABCD 面积的最小值为72.51．（2022·全国·高二期中）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE的面积.【解析】(1)证明：设1(,2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =．又因为212y x =，所以y'x =.则切线DA 的斜率为1x ，故1111()2y x x t +=-，整理得112210tx y -+=.设22(,)B x y ，同理得222210tx y -+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=.于是直线2210tx y -+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB 方程为2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=，当20,210x y =-+=时等式恒成立．所以直线AB 恒过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+.。
高考数学一轮复习全套课时作业8-8抛物线(一)
作业8.8抛物线（一）一、单项选择题1．(2021·南昌市一模)抛物线y＝2x2的焦点到准线的距离是()A．2B．1 C.12D.1 42．若抛物线y＝ax2(a≠0)的焦点坐标是(0，1)，则a＝()A．1 B.12C．2 D.143．抛物线y＝4x2关于直线x－y＝0对称的抛物线的准线方程是()A．y＝－1B．y＝－116C．x＝－1D．x＝－1164．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A．－43B．－1C．－34D．－125．(2021·云南昆明市高三三诊)已知F为抛物线x2＝2py(p>0)的焦点，点P为抛物线上一点，以线段PF为直径的圆与x轴相切于点M，且满足|MF|＝|PM|，|PF|＝2，则p的值为()A．4B．3C．2D．16．(2021·青海西宁市高三复习检测)已知P是抛物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一个动点，N(1，0)是一个定点，则|PQ|＋|PN|的最小值为()A．3B．4C．5 D.2＋17．(2016·课标全国Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为()A．2B．4C．6D．88．(2021·福建厦门第二次质量检查)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与曲线C交于A，B 两点，|AB|＝6，则AB中点到y轴的距离是()A．1B．2C．3D．49．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，且满足FA→＋FB→＋FC→＝0，则1k AB＋1k BC＋1k CA＝()A．0B．1C．2D．2p10．(2021·南昌市二模)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，P是抛物线上一点，若|PF|＝5，则△PKF的面积为()A．4B．5C．8D．10二、多项选择题11．(2021·沧州七校联考)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程可以是()A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝8x D．y2＝16x12．(2021·山东菏泽一模)已知直线l过抛物线C：y2＝－2px(p>0)的焦点，且与该抛物线交于M，N两点．若线段MN 的长是16，MN 的中点到y 轴的距离是6，O 是坐标原点，则()A ．抛物线C 的方程是y 2＝－8xB ．抛物线C 的准线方程是y ＝2C ．直线l 的方程是x －y ＋2＝0D ．△MON 的面积是82三、填空题与解答题13．已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过P 作PA ⊥l 于点A ，当∠AFO ＝30°(O 为坐标原点)时，|PF|＝________．14．(2021·九师联盟)已知F 为抛物线C ：y 2＝x 的焦点，点A ，B 在抛物线上，且分别位于x 轴的上、下两侧，若△BFO 的面积是12(O 为坐标原点)，且OA →·OB →＝12，则直线AB 的斜率是________．15．抛物线y 2＝2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y ＝2x ，斜边长为513，求此抛物线方程．16．(2021·湖北恩施一中开学考)长为2的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝x 上滑动，则线段AB 的中点M 到y 轴距离的最小值是________．17．(2021·南宁市模拟)已知点A(－1，0)，B(1，0)，过点A 的直线与抛物线y 2＝4x 相交于P ，Q 两点．若点P 为AQ 中点，则|PB||QB|＝________．18．(2021·哈尔滨市三中模拟)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)是抛物线C 上的两个动点，若x 1＋x 2＋2＝2|MN|，则∠MFN 的最大值为________．19．(2018·上海春季高考题)利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯(射出的光锥为圆锥)在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O ，A ，B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC ⊥AB 于C ，AB ＝3米，OC ＝4.5米．(1)求抛物线的焦点到准线的距离；(2)在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB ，DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的正弦值(精确到0.001)．作业8.8抛物线（一）参考答案1．答案D解析抛物线标准方程x 2＝2py(p>0)中p 的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离，又p ＝14，故选D.2．答案D解析因为抛物线的标准方程为x 2＝1a y ，则有14a ＝1，a ＝14，故选D.3．答案D解析抛物线x 2＝14y 的准线方程为y ＝－116，关于x ＝y 对称的准线方程x ＝－116为所求．4．答案C解析由已知得，抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p 2，且过点A(－2，3)，故－p2＝－2，则p ＝4，F(2，0)，则直线AF 的斜率k ＝3－0－2－2＝－34.故选C.5．答案C 解析如图所示，设线段PF 的中点为点N ，由题意可知，圆N 与x 轴相切于点M ，则MN ⊥x 轴，又∵|MF|＝|PM|，N 为PF 的中点，∴MN ⊥PF ，∴PF ∥x 轴，由于|PF|＝2，则点P 的坐标代入抛物线方程得2p·p2＝4，即p 2＝4，∵p>0，解得p ＝2.故选C.6．答案A解析N 恰好为抛物线的焦点，|PN|等于点P 到准线的距离，要想|PQ|＋|PN|最小，过圆心(3，1)作抛物线y 2＝4x 的准线x ＝－1的垂线交抛物线于点P ，交圆于Q ，则|PQ|＋|PN|的最小值等于圆心(3，1)到准线x ＝－1的距离减去半径，即|PQ|＋|PN|的最小值为4－1＝3.7．答案B解析由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px(p>0)，由|AB|＝42，|DE|＝25，可取－p 2，设O 为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4，故选B.8．答案B解析由y 2＝4x ，得F(1，0)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AF|等于点A 到准线x ＝－1的距离x 1＋1；同理，|BF|等于点B 到准线x ＝－1的距离x 2＋1.所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝6，得x 1＋x 2＝4，AB 中点横坐标为x 0＝x 1＋x 22＝2，所以AB 中点到y 轴的距离是|x 0|＝2，故选B.9．答案A解析设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，1－p 2，y 2－p 2，3－p 2，(0，0)，故y 1＋y 2＋y 3＝0.∵1k AB ＝x 2－x 1y 2－y 1＝12p （y 22－y 12）y 2－y 1＝y 2＋y 12p ，同理可知1k BC ＝y 3＋y 22p ，1k CA ＝y 3＋y 12p ，∴1k AB ＋1k BC ＋1k CA ＝2（y 1＋y 2＋y 3）2p＝0.10．答案A解析由抛物线y 2＝4x ，知p2＝1，则焦点F(1，0)．设点|PF|＝55，解得y 0＝±4，所以S △PKF ＝12×p ×|y 0|＝12×2×4＝4，故选A.11．答案BD解析方法一：设点M 的坐标为(x 0，y 0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x 0＋p 2＝5，则x 0＝5－p2.又点F MF 为直径的圆的方程为(x －x 0(y －y 0)y ＝0.将x ＝0，y ＝2代入得px 0＋8－4y 0＝0，即y 022－4y 0＋8＝0，所以y 0＝4.由y 02＝2px 0，得16＝p ＝2或p ＝8.所以C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x.方法二：由已知得抛物线的焦点A(0，2)，抛物线上点M(x 0，y 0)，则AF →AM →＝y 0－由已知，得AF →·AM →＝0，即y 02－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，由抛物线定义可知，|MF|＝8p ＋p2＝5.又p>0，解得p ＝2或p ＝8.所以C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x.12．答案AD解析本题考查直线与抛物线的位置关系．设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，根据抛物线的定义，知|MN|＝－(x 1＋x 2)＋p ＝16.又MN 的中点到y 轴的距离为6，∴－x 1＋x 22＝6，∴x 1＋x 2＝－12，∴p ＝4，∴抛物线C 的方程为y 2＝－8x ，故A 正确；抛物线C 的准线方程是x ＝2，故B 错误；设直线l 的方程是x ＝my －2，联2＝－8x ，＝my －2，消去x 得y 2＋8my －16＝01＋y 2＝－8m ，1·y 2＝－16，∴x 1＋x 2＝－8m 2－4＝－12，解得m ＝±1，故直线l 的方程是x －y ＋2＝0或x ＋y ＋2＝0，故C 错误；抛物线C 的焦点为F(－2，0)，S △MON ＝12·|OF|·|y 1－y 2|＝12×2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝64＋64＝82，故D 正确．故选AD.13．答案43解析设l 与y 轴的交点为B ，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝233.设P(x 0，y 0)，则x 0＝±233，代入x 2＝4y 中，得y 0＝13，从而|PF|＝|PA|＝y 0＋1＝43.14．答案－13解析设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由抛物线y 2＝x 得S △BFO ＝12×14×(－y 2)＝12，得y 2＝－4，则x 2＝16，由OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝16x 1－4y 1＝12，得4x 1－y 1＝3，又y 12＝x 1，结合y 1>0，解得y 1＝1，x 1＝1，所以直线AB 的斜率是－13.15．答案y 2＝4x解析设抛物线y 2＝2px(p>0)的内接直角三角形为Rt △AOB ，直角边OA 所在直线方程为y ＝2x ，则另一直角边所在直线方程为y ＝－12x.＝2x ，2＝2px ，可得点A＝－12x ，2＝2px ，可得点B 的坐标为(8p ，－4p)．∵|OA|2＋|OB|2＝|AB|2，且|AB|＝513，p (64p 2＋16p 2)＝325.∴p ＝2，∴所求的抛物线方程为y 2＝4x.16．答案34解析设抛物线y 2＝x 的焦点为F ，准线为l ，点A ，B ，M 在l 上的射影分别为点C ，D ，N ，连接AC ，BD ，MN ，如图．由梯形的中位线定理，可得|MN|＝12(|AC|＋|BD|)．连接AF ，BF ，根据抛物线的定义得|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|.根据平面几何知识，可得|AF|＋|BF|≥|AB|，当且仅当点F 在AB 上时取等号，∴|AC|＋|BD|≥|AB|＝2，∴|MN|＝12(|AC|＋|BD|)≥12|AB|＝1.设点M 的横坐标为a ，抛物线y 2＝x 的准线方程为x ＝－14，则|MN|＝a ＋14≥1，解得a ≥34.因此，当且仅当线段AB 为经过抛物线焦点的弦时，AB 的中点M 到y 轴的距离最小，最小值为34.17．答案12解析易知抛物线y 2＝4x 的焦点为B ，准线为x ＝－1.分别作点P ，Q 到准线的垂线段，垂足分别为点D ，C.根据抛物线的定义，有|PB|＝|PD|，|QB|＝|QC|，因为PD ∥QC ，且P 为AQ 中点，所以PD 是△AQC 的中位线，|PD|＝12|QC|，即|PB|＝12|QB|.故|PB||QB|＝12.18．答案π3解析抛物线C ：y 2＝4x 的准线方程为：x ＝－1，所以由已知x 1＋x 2＋2＝2|MN|，得|MF|＋|NF|＝2|MN|，因为cos ∠MFN ＝|MF|2＋|NF|2－|MN|22|MF|·|NF|＝34（|MF|2＋|NF|2）－12|MF|·|NF|2|MF|·|NF|≥34×2|MF|·|NF|－12|MF|·|NF|2|MF|·|NF|＝|MF|·|NF|2|MF|·|NF|＝12，因为∠MFN ∈(0，π)，所以∠MFN ，π3，因此∠MFN 的最大值为π3.19．答案(1)14(2)0.167解析(1)如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为y 轴，建系．∴B(1.5，－4.5)．设抛物线方程为x 2＝－2py(p>0)．点B(1.5，－4.5)在抛物线上．∴p ＝14.∴焦点到准线的距离为14.(2)如图，∵C 为DE 中点，OC ∥SD ，∴O 为SE 中点．∵SC ⊥DE ，OC ＝4.5，∴SE ＝2OC ＝9.∵DE ＝AB ＝3，∴CE ＝1.5.∴sin ∠CSE ＝CE SE ＝1.59≈0.167.∴圆锥的母线与轴的夹角的正弦值均为0.167.。
抛物线中的切线问题
. .
结论2:
1.P(x0 , y0 )是抛物线x2 =2py外一点,过P点作抛物
线的两条切线,切点分别为A(x1, y1), B(x2 , y2 ),则
直线AB的方程为: x0 x=p(y+y0 )
拓展：圆锥曲线的切点弦方程: 1. 设P(x0 , y0 )为圆x2 y2 r2外一点，则切点弦的方程为：
解：由结论2：过切点分别为A(x1, y1), B(x2 , y2 )的
直线AB的方程为:x0
x=p(y-
p 2
)，
抛物线x2 =2py的焦点F的坐标为（0，p）， 2
显然F（0，p 2
）满足直线的方程x0
x=p(y-
p) 2
A、F、B三点共线
变式56 : 如图，设抛物线方程为x2 =2py(p>0)，
y，
x p
，
y，
x
x1
x 1
p
，同理可得y，
x
x2
x 2
p
kAM
x 1
p
x2 1
P
2p 2
x 1
x 0
,即x12 -2x0x1-p2
0
kBM
x 2
p
x2 2
P
2p 2
x 2
x 0
,即x22 -2x0x2 -p2
0
x 、x 是方程x2 12
-2x0x-p
x2
4y
x
y2 2y0 x02 y y02 0
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抛物线常考题 2016年3月 日 知识改变命运学习成就未来 教师：李平
有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴 1 1、分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)过点(3，－4)； (2)焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上．
2、已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点F 的距离为5，求m 的值、抛物线方程及其准线方程．
3、抛物线y ＝－2x 2的焦点坐标是 ．
4、直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直
线x ＋12
＝0的距离等于 ．
5、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A ，B 两点．
(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB →的值；
(2)如果OA →·OB →＝－4，证明：直线l 必过一定点，并求出该定点．
作业 2016年3月 日 我努力，我坚持，我就一定能成功 教师：李平
只有比别人更早、更勤奋地努力，才能尝到成功的滋味 2 1、分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)过点(－4，3)； (2)焦点在直线3x ＋y ＋15＝0上．
2、已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ．
3、抛物线y 2＝2px 与直线2x ＋y ＋a ＝0交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为(1,2)，设抛物线的焦点为F ，则|F A |＋|FB |的值等于 ．
4、若抛物线y 2
＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．
5、抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是 ．
6、设抛物线C ：x 2=2py (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点。
（I ）若∠BFD =90°,△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；
（II ）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值。