2018年秋高中数学 第一章 常用逻辑用语专题强化训练 新人教A版选修2-1

第一章常用逻辑用语
专题强化训练(一)
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是( )
A．若x2>1，则x≥1或x≤－1
B．若－1<x<1，则x2<1
C．若x>1或x<－1，则x2>1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
D[“－1<x<1”的否定是“x≥1或x≤－1”，x2<1的否定是“x2≥1”，故选D.] 2．下列结论中正确的是( )
①p∧q为真是p∨q为真的充分条件，但不是必要条件；
②p∧q为假是p∨q为假的充分条件，但不是必要条件；
③p∨q为真是﹁p为假的必要条件，但不是充分条件；
④﹁p为真是p∧q为假的必要条件，但不是充分条件．
A．①②B．①③
C．②④D．③④
B[p∧q为真，则p∨q为真，反之不一定，故①正确；当p真q假时，p∧q为假，但p∨q为真，故②错误；当﹁p为假时，p为真，所以p∨q为真，反之不一定，故③正确；若﹁p为真，则p为假，所以p∧q为假，因此④错误．故选B.]
3．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是“不便宜”是“好货”的( )
【导学号：46342042】A．充分条件
B．必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
B[根据等价命题，“便宜没好货”等价于“好货不便宜”，故选B.]
4．下列命题中的假命题是( )
A．∀x∈R,2x－1>0
B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x∈R，lg x<1
D．∃x∈R，tan x＝2
B[当x＝1时，(x－1)2＝0，故B是假命题．]
5．设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则a 的取值范围是( )
A ．0<a <1或a >2
B ．0<a <1或a ≥2
C ．1<a ≤2
D ．1≤a ≤2
C [若p 为真命题，则－2－a <1<a ，解得a >1. 若q 为真命题，则－2－a <2<a ，解得a >2. 由题意，得：若p 假则q 真，若p 真则q 假，
即⎩⎪⎨⎪⎧
0<a ≤1，a >2
或⎩⎪⎨⎪⎧
a >1，
0<a ≤2，
∴1<a ≤2.]
二、填空题
6．命题“至少有一个正实数x 满足方程x 2
＋2(a －1)x ＋2a ＋b ＝0”的否定是________.
【导学号：46342043】
所有正实数x 都不满足方程x 2
＋2(a －1)x ＋2a ＋b ＝0 [原命题的否定是“所有正实数
x 都不满足方程x 2＋2(a －1)x ＋2a ＋b ＝0”．]
7．命题“全等三角形一定相似”的逆否命题是________．
若两个三角形不相似，则它们不全等 [“全等三角形一定相似”改写为“若p ，则q ”的形式为“若两个三角形全等，则它们一定相似”，其逆否命题为“若两个三角形不相似，则它们不全等”．]
8．若命题p ：“∃x 0∈R,2x 0
－2≤a 2
－3a ”是假命题，则实数a 的取值范围是________． [1,2] [若命题p ：“∃x 0∈R,2x 0
－2≤a 2－3a ”是假命题，则命题﹁p ：“∀x ∈R,2x
－2>a 2
－3a ”是真命题，∵2x －2>－2，∴a 2－3a ≤－2，即a 2
－3a ＋2≤0，∴1≤a ≤2，故实数
a 的取值范围是[1,2]．]
三、解答题
9．证明：方程x 2
＋mx ＋m ＋3＝0有两个不相等的实数解的充要条件是m <－2或m >6.
【导学号：46342044】
[证明] (1)充分性：∵m <－2或m >6 ∴Δ＝m 2
－4(m ＋3)＝(m ＋2)(m －6)>0
∴方程x 2＋mx ＋m ＋3＝0有两个不相等的实数解． (2)必要性：∵x 2
＋mx ＋m ＋3＝0有两个不相等的实数解， ∴Δ＝m 2
－4(m ＋3)>0，∴(m ＋2)(m －6)>0. 解得m <－2或m >6.
∴方程x 2＋mx ＋m ＋3＝0有两个不相等的实数解的充要条件是m <－2或m >6.
10．已知命题p ：x ∈A ，且A ＝{x |a －1<x <a ＋1}，命题q ：x ∈B ，且B ＝{x |x 2
－4x ＋3≥0}
(1)若A ∩B ＝∅，A ∪B ＝R ，求实数a 的值； (2)若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．
[解] (1)B ＝{x |x 2
－4x ＋3≥0}＝{x |x ≤1，或x ≥3}，A ＝{x |a －1<x <a ＋1}，
由A ∩B ＝∅，A ∪B ＝R ，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a －1＝1
a ＋1＝3，得a ＝2，
所以满足A ∩B ＝∅，A ∪B ＝R 的实数a 的值为2；
(2)因p 是q 的充分条件，所以A ⊆B ，且A ≠∅，所以结合数轴可知，
a ＋1≤1或a －1≥3，解得a ≤0，或a ≥4，
所以p 是q 的充分条件的实数a 的取值范围是(－∞，0]∪[4，＋∞)．
[能力提升练]
1．已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分但不必要条件，那么﹁
A 是﹁
B 的( ) A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
B [∵A 是B 的充分但不必要条件，
∴命题“若A 则B ”是真命题，其逆命题是假命题； 根据互为逆否命题的两个命题真假相同，
因此该命题的逆否命题“若﹁
B 则﹁
A ”是真命题，其否命题是假命题， 故﹁
A 是﹁
B 的必要不充分条件．] 2．下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，e x 0
≤0 B ．∀x ∈R,2x >x 2
C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b
＝－1 D ．“a >1，b >1”是“ab >1”的充分条件
D [因为y ＝e x
>0，x ∈R 恒成立，所以A 不正确． 因为当x ＝－5时，2－5
<(－5)2
，所以B 不正确． 当a ＝b ＝0时，a ＋b ＝0，但是a b
没有意义， 所以C 不正确．
“a >1，b >1”是“ab >1”的充分条件，显然正确．故选D.] 3．命题：“∃x 0∈R ，x 0≤1或x 2
0>4”的否定是________．
∀x ∈R ，x >1且x 2
≤4 [因为特称命题的否定是全称命题，所以命题：“∃x 0∈R ，x 0≤1
或x 20>4”的否定是：∀x ∈R ，x >1且x 2
≤4.]
4．若“∃x 0∈R ，x 2
0＋2x 0＋m ≤0”是真命题，则实数m 的最大值是________.
【导学号：46342045】
1 [若“∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋m ≤0”是真命题， 则Δ＝4－4m ≥0，解得m ≤1， 所以实数m 的最大值是1.]
5．p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2
<0，其中a >0，q ：实数x 满足⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－x －6≤0x 2
＋2x －8>0，
(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)﹁
p 是﹁
q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
[解] (1)由x 2
－4ax ＋3a 2
<0, 得(x －3a )(x －a )<0，又a >0，所以a <x <3a . 当a ＝1时，1<x <3，即p 为真时实数x 的取值范围是1<x <3.
由⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
－x －6≤0x 2
＋2x －8>0
得⎩⎪⎨⎪
⎧
－2≤x ≤3x >2或x <－4
，得2<x ≤3.
即q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3. 若p ∧q 为真，则p 真且q 真， 所以实数x 的取值范围是2<x <3.
(2)﹁
p 是﹁
q 的充分不必要条件，即﹁
p ⇒﹁
q ，且﹁
q ⇒/﹁
p . 所以q ⇒p, 且p ⇒/q ， 即q 是p 的充分不必要条件，
则⎩⎪⎨⎪⎧
3a >3
a ≤2
，解得1<a ≤2，
所以实数a 的取值范围是1<a ≤2.。