人教A版高二数学选修1-1课件：第三章 3.1.1&3.1.2变化率及导数 (共59张PPT)
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(人教版)高中数学选修1-1课件：第3章 导数及其应用3.1.3
切线方程为y－__f_(_x0_)_＝__f′_(_x_0)_(_x－__x_0_)_____．
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
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函数y＝f(x)的导函数
确定
导数
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
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答案： x＋y－2＝0
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
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过点P的切线
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
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数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
(1)求曲线在点P处的切线的斜率； (2)求曲线在点P处的切线方程．
[思路点拨]
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
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数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
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数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
标．
(3)求切线的斜率f′(x0)； (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0； (5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
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第三章 导数及其应用
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函数y＝f(x)的导函数
确定
导数
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第三章 导数及其应用
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答案： x＋y－2＝0
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过点P的切线
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第三章 导数及其应用
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第三章 导数及其应用
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(1)求曲线在点P处的切线的斜率； (2)求曲线在点P处的切线方程．
[思路点拨]
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第三章 导数及其应用
标．
(3)求切线的斜率f′(x0)； (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0； (5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
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2014年人教A版选修1-1课件 3.1 变化率与导数
x
练习: (补充) 运动员起跳后相对于水面的高度 h (m) 与起跳后 的时间 t (s) 存在函数关系 h(t) 4.9t2+6.5t+10. 求以 下时间段的函数增量 △h 和自变量增量 △t, 并求出 该段的平均变化率, 解释其物理意义. (1) 0 t 65 ; (2) 0 t 65 ; (3) 65 t 65 . 98 49 49 98 解: (1) h h( 65 ) h(0) 49 65 65 2 4.9 ( ) + 6.5 + 10 (4.9 02 + 6.5 0 + 10) 49 49 0. h 0 0. 实际是 65 65 t 0 . t 65 这样吗? 49 49 49 65 ]这时段的平均速度为 0. 计算得 t 在 [0, 49
练习: (补充) 运动员起跳后相对于水面的高度 h (m) 与起跳后 的时间 t (s) 存在函数关系 h(t) 4.9t2+6.5t+10. 求以 下时间段的函数增量 △h 和自变量增量 △t, 并求出 该段的平均变化率, 解释其物理意义. (1) 0 t 65 ; (2) 0 t 65 ; (3) 65 t 65 . 98 49 49 98 解: (3) h h( 65 ) h( 65 ) 49 98 65 65 65 65 2 2 4.9 ( ) + 6.5 + 10 (4.9 ( ) + 6.5 + 10) 49 49 98 98 13 65 13 65 . h 4 98 4 98 13 . t 65 4 65 65 65 t . 98 49 98 98 这时段的平均速度为负, 速度是向下的.
高中数学 3.1.1《导数及其应用》课件 新人教版A选修1-1
第三章 导数及其应用
微积分主要与四类问题的处理相关:
• 一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度等; • 二、求曲线的切线; • 三、求已知函数的最大值与最小值; • 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函 数增减、变化快慢、最大（小）值等问题 最一般、最有效的工具。
应用：
• 例2 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同 产品，需要对原由进行冷却和加热。如果第 x(h) 时，原由的温度（单位：0C）为 f(x)=x27x+15(0≤x≤8).计算第2（h) 和第6（h）时，原由 温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。
关键是求出：
f x 3 x f 再求出lim x 0 x
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存 在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地 描述其运动状态?
请计算
0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
它说明在第2（h)附近，原油 温度大约以3 0C/H的速度下降； 在第6（h)附近，原油温度大 约以5 0C/H的速度上升。
：
瞬时速度?
• 我们用
h (2 t ) h (2) lim 13.1 t 0 t
表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值 -13.1”. • 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?
ht( 0 t) ht( 0) lim t0 t
导数的定义:
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
微积分主要与四类问题的处理相关:
• 一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度等; • 二、求曲线的切线; • 三、求已知函数的最大值与最小值; • 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函 数增减、变化快慢、最大（小）值等问题 最一般、最有效的工具。
应用：
• 例2 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同 产品，需要对原由进行冷却和加热。如果第 x(h) 时，原由的温度（单位：0C）为 f(x)=x27x+15(0≤x≤8).计算第2（h) 和第6（h）时，原由 温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。
关键是求出：
f x 3 x f 再求出lim x 0 x
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存 在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地 描述其运动状态?
请计算
0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
它说明在第2（h)附近，原油 温度大约以3 0C/H的速度下降； 在第6（h)附近，原油温度大 约以5 0C/H的速度上升。
：
瞬时速度?
• 我们用
h (2 t ) h (2) lim 13.1 t 0 t
表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值 -13.1”. • 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?
ht( 0 t) ht( 0) lim t0 t
导数的定义:
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
高中数学(人教版选修1-1)配套课件：第3章 导数及其应用3.1.1~3.1.2
解析答案
题型二 物体运动的瞬时速度 例2 一辆汽车按规律s＝2t2＋3(时间的单位：s，位移的单位：m)做直线 运动，求这辆汽车在t＝2 s时的瞬时速度. 解 设在t＝2 s附近的时间增量为Δt， 则位移的增量Δs＝[2(2＋Δt)2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt＋2(Δt)2. 因为ΔΔst＝8＋2Δt，Δlit→m0 ΔΔst＝Δlit→m0 (8＋2Δt)＝8， 所以这辆汽车在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s.
，即 f′(x0)＝lim Δx→0
Δy Δx
＝ lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0.
答案
返回
题型探究
重点突破
题型一 平均变化率
例1 已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.
(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；
③0.1；④0.01. 解 ∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，∴ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3. ①当 Δx＝2 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－13.1； ②当 Δx＝1 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－8.2； ③当 Δx＝0.1 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－3.79； ④当 Δx＝0.01 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.
人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack？
超级记忆法-记忆方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松； TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、 从左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
lim
题型二 物体运动的瞬时速度 例2 一辆汽车按规律s＝2t2＋3(时间的单位：s，位移的单位：m)做直线 运动，求这辆汽车在t＝2 s时的瞬时速度. 解 设在t＝2 s附近的时间增量为Δt， 则位移的增量Δs＝[2(2＋Δt)2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt＋2(Δt)2. 因为ΔΔst＝8＋2Δt，Δlit→m0 ΔΔst＝Δlit→m0 (8＋2Δt)＝8， 所以这辆汽车在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s.
，即 f′(x0)＝lim Δx→0
Δy Δx
＝ lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0.
答案
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题型探究
重点突破
题型一 平均变化率
例1 已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.
(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；
③0.1；④0.01. 解 ∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，∴ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3. ①当 Δx＝2 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－13.1； ②当 Δx＝1 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－8.2； ③当 Δx＝0.1 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－3.79； ④当 Δx＝0.01 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.
人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack？
超级记忆法-记忆方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松； TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、 从左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
lim
新版高中数学人教A版选修1-1课件：第三章 导数及其应用 3.1.1-3.1.2
第三章 导数及其应用
-1-
3.1 变化率与导数
-2-
3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
-3-
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D 典例透析 IANLI TOUXI
1.了解导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))所在直线的斜率.
(6)平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s=s(t),在
时间段[t1,t2]上的平均速度,即
������
=
������(������2)-������(������1 ������2-������1
)
.
2.函数的平均变化率和瞬时变化率的关系
f(x)-f(x0).
x-x0
D 典例透析 IANLI TOUXI
123
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D 典例透析 IANLI TOUXI
【做一做 3】 求函数 y= ������在������ = 1 处的导数.
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Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D 典例透析 IANLI TOUXI
123
1.平均变化率
我们把式子 ������(������2)-������(������1) 称为函数������(������)从������1 到������2 的平均变化率.
-1-
3.1 变化率与导数
-2-
3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
-3-
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Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D 典例透析 IANLI TOUXI
1.了解导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))所在直线的斜率.
(6)平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s=s(t),在
时间段[t1,t2]上的平均速度,即
������
=
������(������2)-������(������1 ������2-������1
)
.
2.函数的平均变化率和瞬时变化率的关系
f(x)-f(x0).
x-x0
D 典例透析 IANLI TOUXI
123
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【做一做 3】 求函数 y= ������在������ = 1 处的导数.
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D 典例透析 IANLI TOUXI
123
1.平均变化率
我们把式子 ������(������2)-������(������1) 称为函数������(������)从������1 到������2 的平均变化率.
人教A版高中数学选修1-1第三章3.1.1变化率问题教学课件
我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程， 可以发现，随着气球内空气容量的增加，气 球的半径增加越来越慢.
从数学角度，如何描述这种现象呢?
问题一:气球膨胀率 气球的体积V(单位：L)与半径r(单
位：dm)之间的函数关系是：
V (r) 4 r3
3
用V 表示r得：
r(V ) 3 3V
4
问题一:气球膨胀率
我们称它为函数 y f (x)在x x0处的导数；
例1将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种
不同产品，需要对原由进行冷却和加热。如
果第 x(h)时，原油的温度（单位：0C）
为 y f (x) x2 7x 15(0 x 8).计算第2(h)和第 6(h)时，原油温度的瞬时变化率，并说明它
们的意义。 关键是求出：
则平均变化率为：y 20 5x x
探 究
计算：运动员在 0 t 65
49
这段时间内的平均速度，
并思考下面的问题： P73
（1）运动员在这段 时间里是静止的吗？
（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有 什么问题吗？
平均速度只是粗略地描述这段时间内运动员 运动的快慢，不能反应他在这段时间里运动状态， 需要用瞬时速度描述运动状态。
x1 x2 x
平均变化率表示函数图像上两点连线的斜
率，即割线的斜率。
随堂练习
1.函数 f (x) x2 在区间 1,3上的平均变化率（ ）
A. 4 B. 2
C. 1
4
D. 3
4
2.求函数y=5x2+6在区间[2，2+△x]内的平均变化
率。
解：y 5(2 x)2 6 (5 22 6) 20x 5x2
它说明在第2(h)附近，原 油温度大约以3 0C/H的速 度降落；在第6(h)附近， 原油温度大约以5 0C/H的
人教A版高中数学选修1-1课件 3.1导数的概念课件
lim f ( x0 Δx) f ( x0 ) lim f
x0
x
x0 x
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )
或
y |xx0
,即
f (x0 )
lim
x0
f
( x0
Δx) x
f (x0 )
.
1
.
f
(
x
0
)与
x
的
0
值
有
关
，
不
同
的
x
0
其
导
数
值
一
般
3．质量为１０kg的物体，按照s(t)=3t2+t+4的规 律做直线运动，
（1）求运动开始后４s时物体的瞬时速度；
（２）求运动开始后４s时物体的动能。
(E
1 2
mv2
)
4.求函数y=3x2在x=1处的导数.
分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)
=6Δx+(Δx)2
再求
f 6 x x
再求 lim y 6 x0 x
△t = – 0.000001,v 13.0999951 △t =0.000001,v 13.1000049
……
……
从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度
v h 13.1 4.9t t
当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋
近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1.
温度大约以3℃/ h的速率下降C ; 在第6h附近,原油温度大约以5℃ / h的速率上升.
当堂练习
1.计算第3h和第5h时原油的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
人教A版高中数学选修1-1课件1、3-1-1
5．一般地，函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率是 Δlixm→0 f(x0＋ΔΔxx)－f(x0)＝Δlixm→0 ΔΔxf，我们称它为函数 y＝f(x)在 x
＝ x0 处 的 导 数 ， 记 作 f′(x0) 或 y′|x ＝ x0 ， 即 f′(x0) ＝ Δlixm→0 f(x0＋ΔΔxx)－f(x0).
C．54
D．81
[答案] C
[解析] s(t)＝2t3，Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝2Δt3＋18Δt2＋
54Δt，
ΔΔst＝2Δt2＋18Δt＋54，在 t＝3 秒时的瞬时速度为：
Δlit→ m0 ΔΔst＝Δlit→ m0 (2Δt2＋18Δt＋54)＝54.
3．当自变量x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量
的增量之比是函数
()
A．在区间[x0，x1]上的平均变化率 B．在x0处的变化率 C．在x1处的导数 D．在区间[x0，x1]上的导数 [答案] A
[解析] 由平均变化率的定义可知A正确．
4．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝
A．Δx－3
B．(Δx)2－3Δx
C．－3
D．0
[答案] C
()
[解析]
[例 1] 求函数 y＝x3 在 x0 到 x0＋Δx 之间的平均变化 率，并计算当 x0＝1，Δx＝12时平均变化率的值．
[分析] 直接利用概念求平均变化率，先求出表达式， 再直接代入数据就可以得出相应的平均变化率．
[解析] 当自变量从 x0 变化到 x0＋Δx 时，函数的平均 变化率为f(x0Δ＋xΔx)＝(x0＋ΔΔxx)3－x03＝3x20＋3x0Δx＋(Δx)2.
ΔΔyx＝a，∴Δlixm→0 ΔΔyx＝a，∴f′(1)＝a＝2.
(人教版)高中数学选修1-1课件：第3章 导数及其应用3.1.1、2
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求平均变化率
(1)计算函数f(x)＝x2从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化 率，其中Δx的值为：
① 2；②1；③ 0.1；④ 0.01. (2)思考：当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的 平均变化率有怎样的变化趋势？ [思路点拨] 直接利用定义求平均变化率，先求出表达 式，再代入数据，就可以求出相应平均变化率的值．
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
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导数的概念
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的_瞬__时__变化率称为函数 y＝f(x)在 __x_＝__x_0__处的导数，记作 f′(x0)或 y′|x＝x0，
即 f′(x0)＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝__Δlix_m→_0__f_x_0＋__Δ_Δ_xx_－__f__x0___.
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
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求平均变化率的步骤： (1)先计算函数值的改变量 Δy＝f(x1)－f(x0)． (2)再计算自变量的改变量 Δx＝x1－x0. (3)求平均变化率ΔΔyx＝fxx11－ －fx0x0.
数学 选修1-1
Δy Δx.
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
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(2)导函数的函数值法，即先利用导数的定义求出导函数 f′(x)，再把 x＝x0 代入 f′(x)得 f′(x0)．
求函数在某一点处的导数，一般是先求出函数的导数，再计 算这点的导数值．
2018学年高中数学选修1-1人教A版课件：第三章3.1-3.1.2导数的概念 精品
解
：
因
为
Δ
y
＝
(1
＋
Δ
x)
－
1－ 1＋Δx
1－11
＝
Δ
x
＋
Δx ，
1＋Δx
Δx＋ Δx
Δy 所以 Δx＝
Δ1＋ x Δx＝1＋1＋1Δx.
当Δx→0 时，ΔΔxy→2，所以 f′(1)＝2， 即函数 y＝x－1x在 x＝1 处的导数为 2.
1．平均变化率ΔΔxy＝f（x0＋ΔΔx）x－f（x0），当Δx 趋于 0 时， 它所趋于的一个常数就是函数在 x0 处的瞬时 变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐 逼近”的方法求解．另外，平均变化率和瞬时变化率都是 用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化 得越快．
Δx
＝
－2Δx Δx ＝－2.
答案：－2
类型 1 求函数的平均变化率(自主研析)
[典例 1] 求函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0＋Δ x]上的平均变化率，并求当 x0＝2，Δx＝0.1 时平均变化 率的值．
解：函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0＋Δx]上的平
f（x0＋Δx）－f（x0）
均变化率为
＝
（x0＋Δx）－x0
[3（x0＋Δx）2＋2]－（3x20＋2）
Δx
＝
6x0·Δx＋Δ3x（Δx）2＝6x0＋3Δx.
当 x0＝2，Δx＝0.1 时，
函数 y＝3x2＋2 在区间[2，2.1]上的平均变化率为 6×2
＋3×0.1＝12.3.
归纳升华
求平均变化率的步骤
1．计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)． 2．计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.
高二数学 选修1-1 第三章 全章素养整合(优秀经典公开课比赛课件)
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②当 t>1 时，在[0,1]上，f′(x)<0； 在[1，t]上，f′(x)>0， 故 f(x)min＝f(1)＝－2. 综合①②得，当 t≤1 时，f(x)的最小值为 t3－3t； 当 t>1 时，f(x)的最小值为－2.
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跟踪训练 3.已知 a，b 是实数，1 和－1 是函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx 的两个极值点． (1)求 a 和 b 的值； (2)求 f(x)在[0，t]上的最小值．
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解析：(1)由 f(x)＝x3＋ax2＋bx 得，
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故－1≤2x1－x11<2x2－x12≤1， 据此有22xx21－－xx1112＝＝1－，1， 解得 x1＝12，x2＝1(x1＝－1，x2＝－12舍去)， 故存在两点12，ln 2＋14，(1,1)满足题意．
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当 x∈(0,5)时，f′(x)<0，故 f(x)在(0,5)内为减函数； 当 x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故 f(x)在(5，＋∞)内为增函数． 综上，f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)， 单调递减区间为(0,5)．
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解析：(1)由题意可得 f(1)＝1，且 f′(x)＝2x－1x，f′(1)＝2－1＝1， 则所求切线方程为 y－1＝1×(x－1)，即 y＝x. (2)假设存在两点满足题意，且设切点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则 x1，x2∈12，1，不 妨设 x1<x2，结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得(2x1－x11)(2x2－x12)＝－1， 又函数 f′(x)＝2x－1x在区间[12，1]上单调递增，函数的值域为[－1,1]，
高中数学人教A版选修1-1课件第三章 章末小结精选ppt课件
3．求函数 f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法 与步骤： (1)求 f(x)在(a，b)内的极值． (2)将(1)求得的极值与 f(a)，f(b)相比较，其中最大的一 个值为最大值，最小的一个值为最小值．
[典例 4] 已知函数 f(x)＝x3－ax2＋3x，且 x＝3 是 f(x)的极值点． (1)求实数 a 的值； (2)求 f(x)在 x∈[1，5]上的最小值和最大值． 解：(1)f′(x)＝3x2－2ax＋3. f′(3)＝0，即 27－6a＋3＝0，∴a＝5. (2)f(x)＝x3－5x2＋3x. 令 f′(x)＝3x2－10x＋3＝0，解得 x＝3 或 x＝13(舍去)． 当 x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
2．判断函数“极值”是否存在时，务必把握以下原则： (1)确定函数 f(x)的定义域． (2)解方程 f′(x)＝0 的根．
(3)检验 f′(x)＝0 的根的两侧 f′(x)的符号： 若左正右负，则 f(x)在此根处取得极大值． 若左负右正，则 f(x)在此根处取得极小值． 即导数的零点未必是极值点，这一点是解题时的主要 失分点，学习时务必引起注意．
(1)若 a＝0，求曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)讨论函数 f(x)的单调性． 解：(1)由题意知 a＝0 时，f(x)＝xx－ ＋11， x∈(0，＋∞)．
此时 f′(x)＝（x＋21）2.可得 f′(1)＝12，又 f(1)＝0，
所以曲线 y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为 x－2y－1＝0.
(2)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝ax＋（x＋2 1）2＝ax2＋x（（2xa＋＋12））2x＋a. 当 a≥0 时，f′(x)>0，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 当 a<0 时，令 g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a， 由于 Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，
新版高中数学人教A版选修1-1课件：第三章 导数及其应用 本章整合3
a=
.
解析:因为
y'=2ax−
1 ������
,
所以y'|x=1=2a-1.
因为曲线在点(1,a)处的切线平行于 x 轴,
所以其斜率为 0,故 2a-1=0,a= 12. 答案:12
专题1 专题2 专题3 专题4
知识建构
综合应用
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应用2已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12,直线 m:y=kx+9,又f'(-1)=0.
1������.
因为当
x>1
时,g'(x)=
(������-1)(2������2+������+1) ������
>
0,
所以 g(x)在(1,+∞)内是增函数,
所以
g(x)>g(1)=
1 6
>
0,
所以当
x>1时,
1 2
������2
+
ln
x<
2 3
������3.
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所以f(x)max=f(0)=2.
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(3)令g(x)=f(x)-c=x3-3x2+2-c, 则g'(x)=3x2-6x=3x(x-2). x∈(1,2)时,g'(x)<0;x∈(2,3)时,g'(x)>0, 要使g(x)=0在[1,3]上恰有两个相异实根,
本章整合
-1-
知识建构
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(2)令 x＝0 得 y＝－2，令 y＝0 得 x＝4，故抛物线的焦 点为(4,0)或(0，－2)．当焦点为(4,0)时，p2＝4，故 p＝8，此 时抛物线方程为 y2＝16x，当焦点为(0，－2)时，p2＝2，故 p＝4，此时抛物线方程为 x2＝－8y，从而所求的抛物线的 标准方程为 y2＝16x 或 x2＝－8y.
抛物线 x2＝2py(p>0)的焦点坐标是0，p2，准线方程是 y＝－p2 .
抛物线 x2＝－2py(p>0)的焦点坐标是0，－p2，准 线方程是 y＝p2 .
3．过抛物线焦点的直线与抛物线相交，被抛物线所截 得的线段，称为抛物线的 焦点弦 ．
4．通过抛物线的焦点作垂直于坐标轴而交抛物线于A、 B两点的线段，称为抛物线的通径，通径|AB|的长等于.
时，P 点坐标为
()
A．(0,0)
B．(1， 2)
C．(2,2)
D.18，－12
[答案] C [解析] 如下图．
连接 PF，则 d1＋d2＝|PM|＋|PF|≥|MF|，知 d1＋d2 最 小值是|MF|，当且仅当点 P 在线段 MF 上时，等号成立， 而直线 MF 的方程为 y＝43x－12，与 y2＝2x，联立求得 x ＝2，y＝2 或 x＝18，y＝－12(舍去)，所以，P 点坐标为(2,2)．
斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相 交于两点A、B，求线段AB的长．
[解析] 如图，由抛物线的标准方程可知，焦点F(1,0)， 准线方程x＝－1.
由题设，直线AB的方程为：y＝x－1. 代入抛物线方程y2＝4x，整理得：x2－6x＋1＝0. 设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义可知，|AF|等于 点A到准线x＝－1的距离|AA′|， 即|AF|＝|AA′|＝x1＋1，同理|BF|＝x2＋1， ∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.
抛物线 x2＝2py(p>0)的焦点坐标是0，p2，准线方程是 y＝－p2 .
抛物线 x2＝－2py(p>0)的焦点坐标是0，－p2，准 线方程是 y＝p2 .
3．过抛物线焦点的直线与抛物线相交，被抛物线所截 得的线段，称为抛物线的 焦点弦 ．
4．通过抛物线的焦点作垂直于坐标轴而交抛物线于A、 B两点的线段，称为抛物线的通径，通径|AB|的长等于.
时，P 点坐标为
()
A．(0,0)
B．(1， 2)
C．(2,2)
D.18，－12
[答案] C [解析] 如下图．
连接 PF，则 d1＋d2＝|PM|＋|PF|≥|MF|，知 d1＋d2 最 小值是|MF|，当且仅当点 P 在线段 MF 上时，等号成立， 而直线 MF 的方程为 y＝43x－12，与 y2＝2x，联立求得 x ＝2，y＝2 或 x＝18，y＝－12(舍去)，所以，P 点坐标为(2,2)．
斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相 交于两点A、B，求线段AB的长．
[解析] 如图，由抛物线的标准方程可知，焦点F(1,0)， 准线方程x＝－1.
由题设，直线AB的方程为：y＝x－1. 代入抛物线方程y2＝4x，整理得：x2－6x＋1＝0. 设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义可知，|AF|等于 点A到准线x＝－1的距离|AA′|， 即|AF|＝|AA′|＝x1＋1，同理|BF|＝x2＋1， ∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.