人教A版高二数学选修1-1课件：第三章 3.1.1&3.1.2变化率及导数 (共59张PPT)
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(人教版)高中数学选修1-1课件：第3章 导数及其应用3.1.3
切线方程为y－__f_(_x0_)_＝__f′_(_x_0)_(_x－__x_0_)_____．
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
函数y＝f(x)的导函数
确定
导数
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
答案： x＋y－2＝0
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
过点P的切线
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
(1)求曲线在点P处的切线的斜率； (2)求曲线在点P处的切线方程．
[思路点拨]
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
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数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
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数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
标．
(3)求切线的斜率f′(x0)； (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0； (5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
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数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
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函数y＝f(x)的导函数
确定
导数
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
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答案： x＋y－2＝0
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
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过点P的切线
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第三章 导数及其应用
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第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
(1)求曲线在点P处的切线的斜率； (2)求曲线在点P处的切线方程．
[思路点拨]
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
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第三章 导数及其应用
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数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
标．
(3)求切线的斜率f′(x0)； (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0； (5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
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2014年人教A版选修1-1课件 3.1 变化率与导数
x
练习: (补充) 运动员起跳后相对于水面的高度 h (m) 与起跳后 的时间 t (s) 存在函数关系 h(t) 4.9t2+6.5t+10. 求以 下时间段的函数增量 △h 和自变量增量 △t, 并求出 该段的平均变化率, 解释其物理意义. (1) 0 t 65 ; (2) 0 t 65 ; (3) 65 t 65 . 98 49 49 98 解: (1) h h( 65 ) h(0) 49 65 65 2 4.9 ( ) + 6.5 + 10 (4.9 02 + 6.5 0 + 10) 49 49 0. h 0 0. 实际是 65 65 t 0 . t 65 这样吗? 49 49 49 65 ]这时段的平均速度为 0. 计算得 t 在 [0, 49
练习: (补充) 运动员起跳后相对于水面的高度 h (m) 与起跳后 的时间 t (s) 存在函数关系 h(t) 4.9t2+6.5t+10. 求以 下时间段的函数增量 △h 和自变量增量 △t, 并求出 该段的平均变化率, 解释其物理意义. (1) 0 t 65 ; (2) 0 t 65 ; (3) 65 t 65 . 98 49 49 98 解: (3) h h( 65 ) h( 65 ) 49 98 65 65 65 65 2 2 4.9 ( ) + 6.5 + 10 (4.9 ( ) + 6.5 + 10) 49 49 98 98 13 65 13 65 . h 4 98 4 98 13 . t 65 4 65 65 65 t . 98 49 98 98 这时段的平均速度为负, 速度是向下的.
高中数学 3.1.1《导数及其应用》课件 新人教版A选修1-1
第三章 导数及其应用
微积分主要与四类问题的处理相关:
• 一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度等; • 二、求曲线的切线; • 三、求已知函数的最大值与最小值; • 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函 数增减、变化快慢、最大（小）值等问题 最一般、最有效的工具。
应用：
• 例2 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同 产品，需要对原由进行冷却和加热。如果第 x(h) 时，原由的温度（单位：0C）为 f(x)=x27x+15(0≤x≤8).计算第2（h) 和第6（h）时，原由 温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。
关键是求出：
f x 3 x f 再求出lim x 0 x
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存 在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地 描述其运动状态?
请计算
0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
它说明在第2（h)附近，原油 温度大约以3 0C/H的速度下降； 在第6（h)附近，原油温度大 约以5 0C/H的速度上升。
：
瞬时速度?
• 我们用
h (2 t ) h (2) lim 13.1 t 0 t
表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值 -13.1”. • 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?
ht( 0 t) ht( 0) lim t0 t
导数的定义:
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
微积分主要与四类问题的处理相关:
• 一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度等; • 二、求曲线的切线; • 三、求已知函数的最大值与最小值; • 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函 数增减、变化快慢、最大（小）值等问题 最一般、最有效的工具。
应用：
• 例2 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同 产品，需要对原由进行冷却和加热。如果第 x(h) 时，原由的温度（单位：0C）为 f(x)=x27x+15(0≤x≤8).计算第2（h) 和第6（h）时，原由 温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。
关键是求出：
f x 3 x f 再求出lim x 0 x
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存 在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地 描述其运动状态?
请计算
0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
它说明在第2（h)附近，原油 温度大约以3 0C/H的速度下降； 在第6（h)附近，原油温度大 约以5 0C/H的速度上升。
：
瞬时速度?
• 我们用
h (2 t ) h (2) lim 13.1 t 0 t
表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值 -13.1”. • 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?
ht( 0 t) ht( 0) lim t0 t
导数的定义:
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
高中数学(人教版选修1-1)配套课件：第3章 导数及其应用3.1.1~3.1.2
解析答案
题型二 物体运动的瞬时速度 例2 一辆汽车按规律s＝2t2＋3(时间的单位：s，位移的单位：m)做直线 运动，求这辆汽车在t＝2 s时的瞬时速度. 解 设在t＝2 s附近的时间增量为Δt， 则位移的增量Δs＝[2(2＋Δt)2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt＋2(Δt)2. 因为ΔΔst＝8＋2Δt，Δlit→m0 ΔΔst＝Δlit→m0 (8＋2Δt)＝8， 所以这辆汽车在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s.
，即 f′(x0)＝lim Δx→0
Δy Δx
＝ lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0.
答案
返回
题型探究
重点突破
题型一 平均变化率
例1 已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.
(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；
③0.1；④0.01. 解 ∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，∴ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3. ①当 Δx＝2 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－13.1； ②当 Δx＝1 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－8.2； ③当 Δx＝0.1 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－3.79； ④当 Δx＝0.01 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.
人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack？
超级记忆法-记忆方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松； TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、 从左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
lim
题型二 物体运动的瞬时速度 例2 一辆汽车按规律s＝2t2＋3(时间的单位：s，位移的单位：m)做直线 运动，求这辆汽车在t＝2 s时的瞬时速度. 解 设在t＝2 s附近的时间增量为Δt， 则位移的增量Δs＝[2(2＋Δt)2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt＋2(Δt)2. 因为ΔΔst＝8＋2Δt，Δlit→m0 ΔΔst＝Δlit→m0 (8＋2Δt)＝8， 所以这辆汽车在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s.
，即 f′(x0)＝lim Δx→0
Δy Δx
＝ lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0.
答案
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题型探究
重点突破
题型一 平均变化率
例1 已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.
(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；
③0.1；④0.01. 解 ∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，∴ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3. ①当 Δx＝2 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－13.1； ②当 Δx＝1 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－8.2； ③当 Δx＝0.1 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－3.79； ④当 Δx＝0.01 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.
人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack？
超级记忆法-记忆方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松； TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、 从左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
lim
新版高中数学人教A版选修1-1课件：第三章 导数及其应用 3.1.1-3.1.2
第三章 导数及其应用
-1-
3.1 变化率与导数
-2-
3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
-3-
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D 典例透析 IANLI TOUXI
1.了解导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))所在直线的斜率.
(6)平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s=s(t),在
时间段[t1,t2]上的平均速度,即
������
=
������(������2)-������(������1 ������2-������1
)
.
2.函数的平均变化率和瞬时变化率的关系
f(x)-f(x0).
x-x0
D 典例透析 IANLI TOUXI
123
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D 典例透析 IANLI TOUXI
【做一做 3】 求函数 y= ������在������ = 1 处的导数.
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D 典例透析 IANLI TOUXI
123
1.平均变化率
我们把式子 ������(������2)-������(������1) 称为函数������(������)从������1 到������2 的平均变化率.
-1-
3.1 变化率与导数
-2-
3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
-3-
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Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D 典例透析 IANLI TOUXI
1.了解导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))所在直线的斜率.
(6)平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s=s(t),在
时间段[t1,t2]上的平均速度,即
������
=
������(������2)-������(������1 ������2-������1
)
.
2.函数的平均变化率和瞬时变化率的关系
f(x)-f(x0).
x-x0
D 典例透析 IANLI TOUXI
123
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D 典例透析 IANLI TOUXI
【做一做 3】 求函数 y= ������在������ = 1 处的导数.
M 目标导航 UBIAODAOHANG
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Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D 典例透析 IANLI TOUXI
123
1.平均变化率
我们把式子 ������(������2)-������(������1) 称为函数������(������)从������1 到������2 的平均变化率.
人教A版高中数学选修1-1第三章3.1.1变化率问题教学课件
我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程， 可以发现，随着气球内空气容量的增加，气 球的半径增加越来越慢.
从数学角度，如何描述这种现象呢?
问题一:气球膨胀率 气球的体积V(单位：L)与半径r(单
位：dm)之间的函数关系是：
V (r) 4 r3
3
用V 表示r得：
r(V ) 3 3V
4
问题一:气球膨胀率
我们称它为函数 y f (x)在x x0处的导数；
例1将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种
不同产品，需要对原由进行冷却和加热。如
果第 x(h)时，原油的温度（单位：0C）
为 y f (x) x2 7x 15(0 x 8).计算第2(h)和第 6(h)时，原油温度的瞬时变化率，并说明它
们的意义。 关键是求出：
则平均变化率为：y 20 5x x
探 究
计算：运动员在 0 t 65
49
这段时间内的平均速度，
并思考下面的问题： P73
（1）运动员在这段 时间里是静止的吗？
（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有 什么问题吗？
平均速度只是粗略地描述这段时间内运动员 运动的快慢，不能反应他在这段时间里运动状态， 需要用瞬时速度描述运动状态。
x1 x2 x
平均变化率表示函数图像上两点连线的斜
率，即割线的斜率。
随堂练习
1.函数 f (x) x2 在区间 1,3上的平均变化率（ ）
A. 4 B. 2
C. 1
4
D. 3
4
2.求函数y=5x2+6在区间[2，2+△x]内的平均变化
率。
解：y 5(2 x)2 6 (5 22 6) 20x 5x2
它说明在第2(h)附近，原 油温度大约以3 0C/H的速 度降落；在第6(h)附近， 原油温度大约以5 0C/H的
人教A版高中数学选修1-1课件 3.1导数的概念课件
lim f ( x0 Δx) f ( x0 ) lim f
x0
x
x0 x
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )
或
y |xx0
,即
f (x0 )
lim
x0
f
( x0
Δx) x
f (x0 )
.
1
.
f
(
x
0
)与
x
的
0
值
有
关
，
不
同
的
x
0
其
导
数
值
一
般
3．质量为１０kg的物体，按照s(t)=3t2+t+4的规 律做直线运动，
（1）求运动开始后４s时物体的瞬时速度；
（２）求运动开始后４s时物体的动能。
(E
1 2
mv2
)
4.求函数y=3x2在x=1处的导数.
分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)
=6Δx+(Δx)2
再求
f 6 x x
再求 lim y 6 x0 x
△t = – 0.000001,v 13.0999951 △t =0.000001,v 13.1000049
……
……
从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度
v h 13.1 4.9t t
当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋
近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1.
温度大约以3℃/ h的速率下降C ; 在第6h附近,原油温度大约以5℃ / h的速率上升.
当堂练习
1.计算第3h和第5h时原油的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
人教A版高中数学选修1-1课件1、3-1-1
5．一般地，函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率是 Δlixm→0 f(x0＋ΔΔxx)－f(x0)＝Δlixm→0 ΔΔxf，我们称它为函数 y＝f(x)在 x
＝ x0 处 的 导 数 ， 记 作 f′(x0) 或 y′|x ＝ x0 ， 即 f′(x0) ＝ Δlixm→0 f(x0＋ΔΔxx)－f(x0).
C．54
D．81
[答案] C
[解析] s(t)＝2t3，Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝2Δt3＋18Δt2＋
54Δt，
ΔΔst＝2Δt2＋18Δt＋54，在 t＝3 秒时的瞬时速度为：
Δlit→ m0 ΔΔst＝Δlit→ m0 (2Δt2＋18Δt＋54)＝54.
3．当自变量x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量
的增量之比是函数
()
A．在区间[x0，x1]上的平均变化率 B．在x0处的变化率 C．在x1处的导数 D．在区间[x0，x1]上的导数 [答案] A
[解析] 由平均变化率的定义可知A正确．
4．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝
A．Δx－3
B．(Δx)2－3Δx
C．－3
D．0
[答案] C
()
[解析]
[例 1] 求函数 y＝x3 在 x0 到 x0＋Δx 之间的平均变化 率，并计算当 x0＝1，Δx＝12时平均变化率的值．
[分析] 直接利用概念求平均变化率，先求出表达式， 再直接代入数据就可以得出相应的平均变化率．
[解析] 当自变量从 x0 变化到 x0＋Δx 时，函数的平均 变化率为f(x0Δ＋xΔx)＝(x0＋ΔΔxx)3－x03＝3x20＋3x0Δx＋(Δx)2.
ΔΔyx＝a，∴Δlixm→0 ΔΔyx＝a，∴f′(1)＝a＝2.