高二数学平均变化率
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2.1平均变化率与瞬时变化率(教学课件)——高二数学北师大版(2019)选择性必修第二册
＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)2－10×20－5×202
＝1＋20＋5×0.01＝21.05(m)，
Δs 21.05
＝
＝210.5(m/s)．
Δt
0.1
Δs 10 20+Δt +5 20+Δt 2 −10×20−5×202
(2)∵ ＝
＝5Δt＋210，
Δt
Δt
Δs
当Δt趋于0时， 趋于210，
A．3Δt＋6 B．－3Δt＋6
C．3Δt－6 D．－3Δt－6
答案：D
Δs 5−3 1+Δt 2 − 5−3
解析： ＝
Δt
Δt
故选D.
＝－6－3Δt.
3．设某产品的总成本函数为C(x)＝1
2
100＋
，其中x为产量数，
1200
19
12
生产900个单位到1 000个单位时总成本的平均变化率为________．
§1 平均变化率与瞬时变化率
要点一 平均变化率
对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)
−
−
变为f(x2)，它的平均变化率为___________．通常我们把自变量的变
x2－x1
改变量
化________称作自变量x的________，记作________，函数值的变化
Δy 2Δx+ Δx 2
∴ ＝
＝2＋Δx.
Δx
Δx
故选C.
)
题型二 平均变化率的实际应用
例2 甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，试
比较两人的速度哪个快？
解析：在t0处，s1(t0)＝s2(t0)，
＝1＋20＋5×0.01＝21.05(m)，
Δs 21.05
＝
＝210.5(m/s)．
Δt
0.1
Δs 10 20+Δt +5 20+Δt 2 −10×20−5×202
(2)∵ ＝
＝5Δt＋210，
Δt
Δt
Δs
当Δt趋于0时， 趋于210，
A．3Δt＋6 B．－3Δt＋6
C．3Δt－6 D．－3Δt－6
答案：D
Δs 5−3 1+Δt 2 − 5−3
解析： ＝
Δt
Δt
故选D.
＝－6－3Δt.
3．设某产品的总成本函数为C(x)＝1
2
100＋
，其中x为产量数，
1200
19
12
生产900个单位到1 000个单位时总成本的平均变化率为________．
§1 平均变化率与瞬时变化率
要点一 平均变化率
对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)
−
−
变为f(x2)，它的平均变化率为___________．通常我们把自变量的变
x2－x1
改变量
化________称作自变量x的________，记作________，函数值的变化
Δy 2Δx+ Δx 2
∴ ＝
＝2＋Δx.
Δx
Δx
故选C.
)
题型二 平均变化率的实际应用
例2 甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，试
比较两人的速度哪个快？
解析：在t0处，s1(t0)＝s2(t0)，
高中数学平均变化率
高中数学平均变化率数学中的平均变化率是指在一段时间内，某个量的变化率的平均值。
在高中数学中，平均变化率是一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。
本文将从定义、计算方法、应用等方面介绍高中数学中的平均变化率。
一、定义平均变化率是指在一段时间内，某个量的变化率的平均值。
在数学中，我们通常用Δy/Δx来表示平均变化率，其中Δy表示y的变化量，Δx表示x的变化量。
平均变化率的单位通常是“每单位时间内的变化量”。
二、计算方法计算平均变化率的方法很简单，只需要将Δy/Δx的值代入公式即可。
例如，如果我们要计算函数f(x)=x²在区间[1,3]上的平均变化率，可以按照以下步骤进行：1. 计算Δy和Δx的值。
在本例中，Δy=f(3)-f(1)=9-1=8，Δx=3-1=2。
2. 将Δy/Δx的值代入公式。
平均变化率为Δy/Δx=8/2=4。
三、应用平均变化率在数学中有着广泛的应用。
下面介绍几个常见的应用场景。
1. 判断函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域内的变化规律。
如果函数在某个区间内的平均变化率为正数，那么函数在该区间内是单调递增的；如果平均变化率为负数，那么函数在该区间内是单调递减的。
2. 计算曲线的斜率曲线的斜率是指曲线在某一点处的切线的斜率。
如果我们要计算曲线在某一点处的斜率，可以先计算该点左右两侧的平均变化率，然后取平均值即可。
3. 计算速度和加速度平均变化率在物理学中也有着广泛的应用。
例如，我们可以用平均变化率来计算物体在某段时间内的平均速度和平均加速度。
四、总结高中数学中的平均变化率是一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。
本文从定义、计算方法、应用等方面介绍了平均变化率的相关知识。
希望读者能够通过本文的介绍，更好地掌握平均变化率的概念和应用。
高二数学平均变化率
一次晚饭后出门散步，来到大街上，被一阵优美的舞曲所吸ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。原来街上一支新的舞蹈队在跳舞呢！我很纳闷，我们这个小乡镇，从没有人会跳舞，哪来的舞蹈队？一问，才知道，这是上级的指示 精神：为了活跃乡镇文化生活，建设文明城镇，要求所有的乡镇都要普及广场舞。我们乡镇由于没人带舞，一些比较新潮的人就放起了大屏幕。还别说，一曲简单的《套马杆》舞蹈竟然吸引了不少围观 者。只见每一个人都跳的认真投入，虽然舞姿不是那么整齐，但大家面容舒展。一抬头一转身也很有舞蹈的韵味。最具吸引力的当属大屏幕上的美丽舞姿，只见那整齐的舞蹈队，修长的身段，柔软的腰 肢如婀娜的细柳在风中潇洒灵动的摇摆。灵气的舞蹈时而演绎成一朵优雅的荷，时而演绎成一只精灵的蝶。刹那间，让凄凉的夜色有了春天的梦幻。大屏幕上多变的舞姿让我产生了遐想，玉手轻摇犹如 一股春风深情款款地吹来，轻柔的抚摸着脸颊，心里痒痒的懒懒的；手臂轻摆像一条欢快的波浪舒缓而来。不觉间，我的四肢也跟着跃动起来。从此，我对广场舞有了一个全新的认识，它不仅能锻炼身 体，还能净化心灵，给人以美的享受。看，这些平时不出三门四户的老太太们也都磕磕碰碰地从四面八方聚拢来，对这支舞蹈队很稀罕。捕鱼达人赚钱
高二数学选择性必修件平均变化率
高二数学选择性必 修件平均变化率
汇报人：XX 20XX-01-18
目 录
• 引言 • 平均变化率基本概念 • 平均变化率计算方法 • 平均变化率在函数性质研究中的应用 • 平均变化率在实际问题中的应用 • 总结与展望
01
引言
目的和背景
提高学生数学素养
通过选择性必修课程的学习，学生可 以更深入地理解和掌握数学知识，提 高数学素养，为未来的学习和职业发 展打下坚实的基础。
拐点与极值点确定
平均变化率与拐点、极值 点关系
拐点和极值点是函数性质发生变化的点。通 过计算函数在区间上的平均变化率和二阶平 均变化率，可以确定拐点和极值点的位置。 若一阶平均变化率由正变负或由负变正，则 该点为极值点；若二阶平均变化率由正变负 或由负变正，则该点为拐点。
示例
对于函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$，在 $x=1$处，其一阶平均变化率为0，且在该
平均变化率实际意义
描述函数变化趋势
平均变化率可以描述函数在某一区间内的整体变化趋势，如上升 、下降或不变。
预测函数未来走向
通过观察函数在某一区间内的平均变化率，可以对函数在该区间外 的走向进行预测。
与实际生活联系紧密
平均变化率在经济学、物理学等领域中有广泛应用，如计算平均速 度、平均加速度等。
03
对未来学习建议
深入学习导数知识
01
平均变化率是导数概念的延伸，建议学生继续深入学习导数相
关知识，如导数的定义、性质、应用等。
加强数学思维能力训练
02
在学习过程中，应注重培养学生的数学思维能力，如逻辑推理
、归纳分类、化归等。
多做综合性练习题
03
通过大量的综合性练习题，可以帮助学生巩固所学知识，提高
汇报人：XX 20XX-01-18
目 录
• 引言 • 平均变化率基本概念 • 平均变化率计算方法 • 平均变化率在函数性质研究中的应用 • 平均变化率在实际问题中的应用 • 总结与展望
01
引言
目的和背景
提高学生数学素养
通过选择性必修课程的学习，学生可 以更深入地理解和掌握数学知识，提 高数学素养，为未来的学习和职业发 展打下坚实的基础。
拐点与极值点确定
平均变化率与拐点、极值 点关系
拐点和极值点是函数性质发生变化的点。通 过计算函数在区间上的平均变化率和二阶平 均变化率，可以确定拐点和极值点的位置。 若一阶平均变化率由正变负或由负变正，则 该点为极值点；若二阶平均变化率由正变负 或由负变正，则该点为拐点。
示例
对于函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$，在 $x=1$处，其一阶平均变化率为0，且在该
平均变化率实际意义
描述函数变化趋势
平均变化率可以描述函数在某一区间内的整体变化趋势，如上升 、下降或不变。
预测函数未来走向
通过观察函数在某一区间内的平均变化率，可以对函数在该区间外 的走向进行预测。
与实际生活联系紧密
平均变化率在经济学、物理学等领域中有广泛应用，如计算平均速 度、平均加速度等。
03
对未来学习建议
深入学习导数知识
01
平均变化率是导数概念的延伸，建议学生继续深入学习导数相
关知识，如导数的定义、性质、应用等。
加强数学思维能力训练
02
在学习过程中，应注重培养学生的数学思维能力，如逻辑推理
、归纳分类、化归等。
多做综合性练习题
03
通过大量的综合性练习题，可以帮助学生巩固所学知识，提高
高二数学(选修2-2人教B版)-函数的平均变化率
• •
（2）当 ，x0
我们发现，当
1 时，x求函1数,的1平, 1均变化率． 一定时， 越3大，2函数的平均变化率也越大．
x0
x
• 【例】求函数 在y 到 1 • 【解】当自变量从 变到x
之间x0的平均x0变化率x
时，函数的平均变化率为
x0 x0 x
(x0 0).
1 1
• 【探索与思f 考(x】0 x) f (x0 ) x0 x x0
x
x
• 【例】求函数 在y 到x2 之间x0的平均x0变化率x．
• 【解】当自变量从 变到 时，函数的平均变化率为
x0 x0 x
•
f (x0
【探索与研究】
x) x
f
(x0 )
( x0
x)2 x
x02
2 x0
x.
• （1）当 ， 时，求函数的平均变化率；
1
x 3
x0 1, 2, 3
• 我们发现，当 一定x时， 越大，函x数0 的平均变化率越大．
x x x0，y y y0 f (x) f (x0 ).
（六）函数平均变化率的辨析
• （5）函数 在y f到(x) 之间x的0 x0 x)
x
2x
• （6）函数的平均变化率与直线的斜率有什么关系？
• 函数的平均变化率就是曲线的割线的斜率，这 也是函数平均变化率的几何意义.
1
.
• （1）你能说出该函数的x 平均变化率与它的图象x之间的关系吗(？x0 x)x0
• 在左半支，固定 ，平x均0 变化率随着 的增大而减x小；
固定 ，平均变化率随 x
着 的增大而减小．
x0
• 在右半支，固定 ，平均变化率随着 的增大而增大；
人教版高中数学选修1-1《1.1.1平均变化率》
气温在区间 [1 ， 32] 上 的平均变化率约为0.5； 气温在区间 [32，34]上 的平均变化率为7.4。 t (d)
Hale Waihona Puke 3.5o 1思考: 平均变化率的“大小”与图 像的“陡峭”程度有什么关 系？
三、数学应用
例１ 水经过虹吸管从容器甲流向容器乙,t 秒后 容器甲中水的体积V (t)=10×5-0.1t(单位:cm3） （1）求第一个10s内容器甲中体积V 的平均变化率. （2）求第二个10s内容器甲中体积V 的平均变化率.
f ( x2 ) f ( x1 ) y f ( x1 x) f ( x1 ) x2 x1 y x x
f ( x2 )
y
f ( x1 )
x
0
x1
x2
x
建构数学理论
定义理解 (1)平均变化率的实质就是:两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连
线的斜率（以直代曲思想） . (2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，
（5）[0.9，1]； 1.9 变题: （6）[0.99，1]；1.99 （7）[0.999，1]. 1.999
p
1 3
x
课后思考:为什么趋近于2呢？2的几何意义是什么？
例3 已知函数f(x)=2x+1, g(x)=-2x ,分别计算
在区间[-3，-1]，[0，5]上 f(x)及g(x) 的平均
变化率. 思考:一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的平
B (32, 18.6) 10 2 A (1, 3.5) 0 2 10 20
30
34 t(d)
T(oC) 33.4 18.6 A(1,3.5) 3.5 o 1
C(34,33.4)
高二年级-数学-《平均变化率》
情境2
2019.5.10上证指数分时图
B(10:03,,2925)
A(9:30,2878)
D（13:00,2894） C(11:10,2884)
E（13：04,2838）
问题：如何从数学角度刻画股指“跳水”？
结论：股指差不能反映股指变化的快慢程度
情境3
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
10 0
10
甲
即第一个10s内容器甲中水的体积的
乙
平均变化率为 0.3161cm3 / s
这种变化的实际意义是什么？
负号表示容器甲中的水在减少
平均变化率的绝对值较大，则变化较快
例 3 已知函数 f (x) 2x 1, g(x) 2x ,分别计算函数 f (x) 及 g(x) 在区间[-3，-1]，[0，5]上的平均变化率.
(1)[-2，1]； -1 (2)[-1，1]； 0 (3)[0，1]； 1 (4)[0.9，1]; 1.9
(1)[1，3]； 4
(2)[1，2]； 3
越
越 来
(3)[1，1.1]； 2.1
越 趋
(4)[1，1.01]; 2.01
近
于 (5)[1，1.001] 2.001
来 越 趋 近 于
2
2
(5)[0.99，1] ; 1.99 用平均变化率量化一段曲线的陡峭
平均变化率的值可正、可负、也可以为零 ●函数的平均变化率反映变化的结果，不能体现函数值较细微的变化
课堂总结
•概念
•几何意义
形的角度
数学化
视觉化
变量变化 快慢问题
平均变化率
曲线的陡峭程度
6.1.1函数的平均变化率课件高二下学期数学人教B版选择性
C.0.41
(3+2.12 )-(3+22 )
解析:平均速度为
=4.1.
0.1
答案:B
D.3
3.某手机配件生产流水线共有甲、乙两条,产量s(单位:个)与时间t(单位:天)
的关系如图所示,则接近t0天时,下列结论正确的是(
A.甲的日生产量大于乙的日生产量
B.甲的日生产量小于乙的日生产量
C.甲的日生产量等于乙的日生产量
均变化率是多少呢?你能估计出当x=2时y的值吗?
Δ 9-1
提示: Δ = 3-1 =4.直线AB的方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3.当x=2时,y=5,故估
计y的值为5.
四、平均速度与平均变化率
1.如果物体运动的位移x m与时间t s的关系为x=h(t),则物体在[t1,t2](t1<t2时)
Δ (2 )-(1 ) (1 +Δ)-(1 )
=
=
表示的是什么吗?
Δ
Δ
2 -1
提示:直线AB的斜率,其中A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)).
2.函数在一个区间内的平均变化率,等于这个区间端点对应的函数图象上
两点连线的 斜率 .如图,函数y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率,等于直线
Δ (4.1)-(4) 40.92-39
(2)Δ =
=
=19.2,
4.1-4
4.1-4
即 f(x)在区间[4,4.1]上的平均变化率为 19.2.
探究二
平均变化率的物理意义及应用
【例2】 已知一物体运动的位移s(单位:m)是时间t(单位:s)的函数,且当t=3
时,s=29;当t=5时,s=77.
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我们一见面，就不品茶了。我是说信学和我，两个人吱吱喳喳的光谈梦想。
“我说，这家店还可以给更多的人知道。你们光等着人来，是不行的。”我讲，信学讲：“对呀！”我讲：“那就得我说：“我 们自己报道呀！”信学说：“那支笔好重的。”我说：“什么笔都是重的，你学着写写看呀！”信学听我讲得快速，每一个句子后面都跟了呀——呀——呀的，显然很愉快。他追问了一句：“你有什么 主意？”我这才喊起来：“好啦！回去替你们写一封信，介绍茅庐给我们的邻居，请他们来这里坐坐，也算提供一个高雅的场地。”
“宝贝吗？”小琪笑着叹口气，又说：“压着的全是东西，想靠卖茶给赚回来，还有得等呢。”说着说着，一只手闲闲的又给泡了一壶茶。赢8
那种几万块一个的茶壶，就给用来喝平常心的平常茶。小琪心软，茶价订得低，对于茶叶的品质偏偏要求高，她的心，在这种情形下，才叫平常。
有时，黄昏里走过去，看见小琪一个人在听音乐，不然在看书，总是问一声：“生意好吗？”小琪从不愁眉苦脸，她像极了茶叶，祥和又平淡的笑着。一声：“还可以。”就是一切了。信学比起他 的太太来，就显得锐气重，茶道好似也不管，他只管店里的民艺。对于一些老东西，爱得紧，也有品味。这种喜好，就如同他那双修长的手——生来的。
“我说，这家店还可以给更多的人知道。你们光等着人来，是不行的。”我讲，信学讲：“对呀！”我讲：“那就得我说：“我 们自己报道呀！”信学说：“那支笔好重的。”我说：“什么笔都是重的，你学着写写看呀！”信学听我讲得快速，每一个句子后面都跟了呀——呀——呀的，显然很愉快。他追问了一句：“你有什么 主意？”我这才喊起来：“好啦！回去替你们写一封信，介绍茅庐给我们的邻居，请他们来这里坐坐，也算提供一个高雅的场地。”
“宝贝吗？”小琪笑着叹口气，又说：“压着的全是东西，想靠卖茶给赚回来，还有得等呢。”说着说着，一只手闲闲的又给泡了一壶茶。赢8
那种几万块一个的茶壶，就给用来喝平常心的平常茶。小琪心软，茶价订得低，对于茶叶的品质偏偏要求高，她的心，在这种情形下，才叫平常。
有时，黄昏里走过去，看见小琪一个人在听音乐，不然在看书，总是问一声：“生意好吗？”小琪从不愁眉苦脸，她像极了茶叶，祥和又平淡的笑着。一声：“还可以。”就是一切了。信学比起他 的太太来，就显得锐气重，茶道好似也不管，他只管店里的民艺。对于一些老东西，爱得紧，也有品味。这种喜好，就如同他那双修长的手——生来的。