导数的概念(平均变化率)

１.负值代表了什么? ２.哪个１０秒内变化快? 平均变化率的绝对值越 大,则变化越快.
甲 乙
题后反思
求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1)；
f ( x ) f ( x ) y 1 2 (2)计算平均变化率 . x x1 x2
数学应用
例2 已知函数 f(x)=x2,分别计算f(x)在下列区 y 间上的平均变化率： （1）[1，3]； 4 （2）[1，2]； 3 （3）[1，1.1]； 2.1 （4）[1，1.001]. 2.001
o 1
y=f(x)
x1
x
f ( x1 ) f (1) x1 1
y f(34) f(x2) f(x1) A f(1) o 1 x1
y=f(x)
C
[问题3] 在区间[x2， 34] 上的平均变化 率为
x2 34
x
f (34) f ( x2 ) 34 x2
你能否归纳出 “函数f(x) 在区间[x1,x2]上的平均变化 率”的一般性定义吗？
定义理解 (1)平均变化率的实质就是:两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连
线的斜率（ . 以直代曲思想） (2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，
或者说曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．
（数形结合思想）
“数离形时难直观，形离数时难入微”——华罗 庚
[问题解决] 如图，请分别计算气温在区间[1，32] 和区间[32，34]上的平均变化率.
y f(34) f(34) - f(1)
C
=f(x)的图象, 则函数y
= f(x)在Baidu Nhomakorabea间[1，34]上
的平均变化率为
A y=f(x) 34
f(1) o
1
x
f (34) f (1) 34 1
34-1
y f(34)
C
[ 问 题 3] 在 区 间 [1,x1] 上的平均变 化率为
34
f(x1) f(1) A
时间 3月18日 4月18日 4月20日 日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
温差15.1℃ 温差14.8℃
T(oC) 33.4 18.6 A(1,3.5) 3.5 C(34,33.4) B(32,18.6)
问题1 哪一段时间气 温变化得更“大”？
气温曲线
问题2 哪一段时间气 温变化得更“快”？
高中选修１-１
高二数学备课组
任小勇
问题情境
某市2004年3月18日、4月18日、4 月20日的最高气温分别为3.5℃、18.6℃、 33.4℃,气温曲线如图所示:
T(oC) 33.4 C(34,33.4)
18.6 A(1,3.5) 3.5 o 1
B(32,18.6)
气温曲线 32 34 t (d)
变化率. 思考:一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的平
均变化率有什么特点？
小结回顾
这节课我的收获是什么？
f ( x1 ) f ( x2 ) y 1.平均变化率的定义： x x1 x2
2.平均变化率的意义: 大量生活中的实例 建立数学模型 数学应用
3.求平均变化率的步骤：
4.思想方法：
（5）[0.9，1]； 1.9 变题: （6）[0.99，1]；1.99 （7）[0.999，1]. 1.999
p
1 3
x
课后思考:为什么趋近于2呢？2的几何意义是什么？
数学应用
例3 已知函数f(x)=2x+1, g(x)=-2x ,分别计算
在区间[-3，-1]，[0，5]上 f(x)及g(x) 的平均
变式探究
向高为H的水瓶中注水，注满 为止，如果注水量y与水深x的 函数关系的图像如图所示，那 么水瓶的形状„„„„( B )
y
O
H
x
数学应用
例１ 水经过虹吸管从容器甲流向容器乙,t 秒后 容器甲中水的体积V (t)=10×5-0.1t(单位:cm3） （1）求第一个10s内容器甲中体积V 的平均变化率. （2）求第二个10s内容器甲中体积V 的平均变化率.
C(34,33.4)
B(32,18.6)
（1）仅考察 yc y B 的大小，能 否精确量化BC段陡峭的程度？
yC-yB （2）还必须考察什么量？
化曲为直
气温曲线
xC-xB
（3）曲线上BC之间的一 段几乎成了直线，由此联
32
34
t (d) 想到如何量化直线的倾斜
程度？
[问题２]如果将上述气
温曲线看成是函数y
T (℃ ) 30 20
3月18日 3.5℃
4月18日 18.6℃
4月20日 33.4℃
C (34, 33.4)
[ 问题 1] 你能用 数学语言来解 释 BC 段 曲 线 的 陡峭程度吗？
B (32, 18.6) 10 2 A (1, 3.5) 0 2 10 20
30
34 t(d)
T(oC) 33.4 18.6 A(1,3.5) 3.5 o 1
建构数学理论
注意：不能脱 离区间而言
一般地，函数 f ( x)在区间上
[ x1 , x2 ]的平均变化率为
f ( x2 ) f ( x1 ) y f ( x1 x) f ( x1 ) x2 x1 y x x
f ( x2 )
y
f ( x1 )
x
0
x1
x2
x
建构数学理论
T(℃) C(34,33.4)
33.4 B(32,18.6)
18.6 A(1,3.5) 气温曲线 32 34
气温在区间 [1 ， 32] 上 的平均变化率约为0.5； 气温在区间 [32，34]上 的平均变化率为7.4。 t (d)
3.5
o 1
思考: 平均变化率的“大小”与图 像的“陡峭”程度有什么关 系？
32 34 t (d)
o
1
T (℃ )
30 20 10 2
C (34, 33.4)
以3月18日作为第一 天，温度随时间变 化的图象如左图. B (32, 18.6)
34 t(d)
A (1, 3.5) 0 2 10
20
30
问题1’ 图中哪一段图像更“陡峭”？ 问题2’ 如何量化图像的“陡峭”程度？
时间 日最高气温