变化率与导数的概念

变化率与导数的概念（新授课学案）

学生姓名________________ 班级__________________ 学号__________________

个同类的生活实例）

我们将生活实例中变量间的关系抽象为函数f(x)，当自变量

从x 1到x 2的过

程中，函数值的平均增长率可以表示为：________________ 此式称为函数y=f(x)的平均变化率.

例题1：总结计算平均变化率的方法，并尝试求解函数f(x)=x 2-7x+15在x=2到x=6过程中的平均变化率.

习惯上，用x 表示x 2-x 1（读作变量x 的增量）,用y

表示f(x 2)-f(x 1)（读作变量y 的增量）

函数y=f(x)的平均变化率也可以表示为

_________________

变式1：解函数f(x)=x 2-7x+15在x=2到x=5过程中的平均

变化率是__________

思考：结合高台跳水的生活实例和变式1的结论，你能

尝试给出相应的数学解释吗？

抽

象

在高台跳水中，运动员在不同时刻的速度是不同的，若

将该运动员在时间t 0附近很短一段时间内的平均速度看作

是运动员在时间t 0时刻的近似速度.

即t 0到t 0+t （t 趋近于0）的平均速度

_____________________可近似为t 0时刻的速度

如在时间

t=2附近的平均速度_____________________________. 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 函数y=f(x)在x=x 0附近的平均变化率称为函数y=f(x)在x 0处的瞬时变化率.

例题2：总结计算瞬时变化率的方法，并尝试求解函数

f(x)=x 2-7x+15在x=2和x=6时的瞬时变化率.

小结：瞬时速度即时间t 1与t 2=t 1+

的间隔无限小

深

入

f(x)=x2

(3) f(x)=(4) f(x)=4

二：求下列函数在x=2处的导数.

(1) f(x)=x (2) f(x)=x2

(3) f(x)=(4) f(x)=4

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导数的发展

（一）早期导数概念----特殊的形式

大约在1629年，法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法；1637年左右，他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时，他构造了差分

f(A+E)-f(A),发现的因子E就是我们现在所说的导数f'(A)。

（二）17世纪----广泛使用的“流数术”

17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，在前人创造性研究的基础上，大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分。牛顿的微积分理论被称为“流数术”，他称变量为流量，称变量的变化率为流数，相当于我们所说的导数。牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷级数》，流数理论的实质概括为：他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程；在于自变量的变化与函数的变化的比的构成；最在于决定这个比当变化趋于零时的极限。

（三）19世纪导数----逐渐成熟的理论

1750年达朗贝尔在为法国科学家院出版的《百科全书》第四版写的“微分”条目中提出了关于导数的一种观点，可以用现代符号简单表示：{dy/dx)=lim(oy/ox)。1823年，柯西在他的《无穷小分析概论》中定义导数：如果函数y=f(x)在变量x的两个给定的界限之间保持连续，并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值，那么是使变量得到一个无穷小增量。19世纪60年代以后，魏尔斯特拉斯创造了ε-δ语言，对微积分中出现的各种类型的极限重加表达，导数的定义也就获得了今天常见的形式。

导数在科学上的应用

导数与物理，几何，代数关系密切.在几何中可求切线；在代数中可求瞬时变化率；在物理中可求速度，加速度. 导数亦名纪数、微商（微分中的概念），是由速度变化问题和曲线的切线问题（矢量速度的方向）而抽象出来的数学概念.又称变化率.

如一辆汽车在10小时内走了 600千米，它的平均速度是60千米/小时.但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米/小时.为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置s与时间t的关系为s=f（t）那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0]，当 t1与t0很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在t0 到 t1这段时间内的运动变化情况 . 自然就把当t1→t0时的极限lim[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 作为汽车在时刻t0的瞬时速度，这就是通常所说的速度.这实际上是由平均速度类比到瞬时速度的过程（如我们驾驶时的限“速”指瞬时速度）