微积分初步——变化率与导数的概念

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∆s [注意]在匀速直线运动过程中，此值∆t 是恒定的。在非匀速直线运动中
比值 ∆t 不是恒定的。要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在 一时刻运动的快慢程度。 例题2 已知某质点按规律s=(2t²+2t)m做匀速直线运动，求 （1）该质点在前3s内的平均速度； （2）该质点在2s到3s内的平均速度。 ∆t = 3s, ∆s = s (3) − s (0) = 24m, 解析：（1）由题意知 ∆s 24 v= = = 8m / s ∆t 3 ∴平均速度为 ∆t = 3 − 2 = 1s, ∆s = s (3) − s (2) = 12m, （2）由题意知 ∆s v= ∴平均速度为 ∆t = 12m / s
微积分初步 变化率与导数的概念
艾森豪威尔
引入
• 微积分的创立是数学发展中的里程碑，它 的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡 的新时期，为研究变量和函数提供了重要 的方法和手段。
微积分整体框架
1、函数的平均变化率
• 已知函数y=f（x），x0 , x1 是定义域内不同的两点，记 ∆x = x1 − x0 ， ∆y = y1 − y0 = f ( x1 ) − f ( x0 ) = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ，则当 ∆x ≠ 0 时， 商 f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) = ∆y 称作函数y=f(x)在区间[ x0 , x0 + ∆x](或[ x0 + ∆x, x0 ])
3、导（函）数
• 区分导函数与函数在一点的导数，要明确以下 两点：
• （1）函数在一点的导数，就是在该点的函数改变量与
自变量的改变量的比值的极限，它是一个数值，不是 一个变数。 • （2）函数的导数即是函数的导函数，是对某一区间内 任意一点x而言的函数f（x）在（a，b）内每一点都可 导，是指对于区间（a，b）内每一个确定的值 x0 ，都 对应着一个确定的导数值 f ' ( x0 ) ，根据函数定义，在 （a，b）内就构成了一个新的函数，即为函数的导函 数。
x =2
∴ y ' = lim
∴ f ' ( 2) = y '
= −1
END
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∆x ∆x
的平均变化率。 例题1 求函数 y = 3x + 2在区间[2,2 + ∆x] 内的平均变化率。 ∆ 解析： y = 3(2 + ∆x) 2 + 2 − (3 × 22 + 2) = 12∆x + 3(∆x) 2 ， 所以平均变化率为 ∆y = 12 + 3∆x 。
2
∆xBiblioteka 2、平均速率设物体运动路程与时间的关系是s=f(t)，在t0 到 t0 + ∆t 这段时间内，物 t 体运动的平均速度是 v = f (t + ∆∆t) − f (t ) = ∆s ∆t
3、导（函）数
• 例题3 求函数 在x=2处的导数。 • 解析：解法一：（导数定义法）
(∆x) 2 + 4∆x 4 4 4 ∆y = − = −1 = − (∆x + 2)2 22 (∆x + 2)2 (∆x + 2) 2
y=
4 x2
∴
∆y ∆x + 4 ∆y ∆x + 4 =− ,∴ lim = − lim = −1 ∆x→0 ( ∆x + 2) 2 ∆x (∆x + 2) 2 ∆x→0 ∆x
∆s
3、导（函）数
• 定义：如果f（x）在开区间（a，b）内每一点x都是可导的， 则称f（x）在区间（a，b）内可导，在区间（a，b）内， f'（x）构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y=f （x）的导函数，简称导数。
• 导数公式：
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) f ' ( x0 ) = lim ∆x→0 ∆x
解法二：（导函数的函数值法）
∆y = 4 4 4∆x(2 x + ∆x) ∆y 4(2 x + ∆x) − 2 =− 2 =− 2 ,∴ ∆x ( x + ∆x) 2 x x ( x + ∆x) 2 x ( x + ∆x) 2 ∆y 4( 2 x + ∆x) 8 = − lim 2 =− 3 ∆x→0 ∆x ∆x→0 x ( x + ∆x ) 2 x