(完整版)《变化率问题与导数的概念》导学案.doc

= =
[(
x)
2+3
x+5]
=5.
∴==-x+3.
(2)因为
y=(x
2
2
附近的平均变化
+ x)-,所以=
=2x + x,所以y=x在x=x
0
0
0
率为2x + x.
0
【小结】1
.本题需利用平均变化率的定义来解决
,但要注意
x可正、可负、 不可为零,
y可正、可负、可为零.
x
2求平均变化率可根据定义代入公式直接求解
,解题的关键是弄清自变量的增量
t
这段时间内的平均速度
;
(2)物体在t0时的瞬时速度;
(3)物体在t0=2 s到t1=2.1 s这段时间内的平均速度;
(4)物体在t=2 s时的瞬时速度.
求函数f(x)=x3+2x+1在x0=1处的导数f'(1).
考题变式(我来改编):
第一章导数及其应用
第1课时变化率问题与导数的概念
知识体系梳理
问题1:(1)=4.05 m/s(2)=-8.2 m/s
t.
(2)瞬时速度为
=(gt
0
+ g
t)=gt .
0
(3)由(1)得物体在t0=2 s到t1=2.1 s这段时间内的平均速度为
g×2+ g×0.1= g.
(4)由(3)得物体在t=2 s时的瞬时速度为g×2=2g.
全新视角拓展
3
25
∵y=f
(1
+
)
-f
(1) (
x
)
3(
x
)
x
,
x
=
+
+
∴f'(1)
=
问题2:
问题3:
问题4:x≠0
基础学习交流
1 B
2,
0
1,
y=f
(
x+
x
)
-f
(
x
)
=f
(2
.
1)
-f
(2) (2
1
2
-
(2
2
0 41
∴
1)
1)
.
∵x=
x= .
= .
+
+
= . .
2.C
=
=a+b x,f'
(x0)=
=
(a+b x)=a.
3.8
s(2+ t)-s(2)=2(2+
t)
2-2×2
2=2(t)
3:函数
f(x)在x=x0处的瞬时变化率的定义
:一般地,函数
y=f(x)在
x=x0处的瞬时变
化率是=,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)或y',
即f'(x0)==.
问题4:在导数的定义中,对
x
→0的理解是:
x>
0,
0,但
.
x<
1.已知函数y=f(x)=x2+1,当x=2,x=0.1
().
A在区间[
x
0,
x
1]上的平均变化率
.
B.在x0
处的变化率
C.在x1
处的变化量
D.在区间[x0,x1]上的导数
2
函数
f
(
x
)
2
在
x
0到
0
之间的平均变化率为
k
1,在
0
- x
到
x
0之间的平均变化率为
.
=x
x + x
x
k2
,则k1
,
k2
的大小关系是(
).
A.k1>k2
B.k1=k2
C
1
2
D无法确定
.k
.
.
s t
=
4.求y=2x2+4x在点x=3处的导数.
求平均变化率
(1)已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及附近一点B(-1+x,-2+y),则
=.
(2)求y=x2在x=x0附近的平均变化率.
求物体运动的瞬时速度
若一物体运动方程为s=
求此物体在t=1和t=4时的速度.
导数定义的应用
问题1:根据以上情境,设陈若琳相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t
2
状态,那么:
(
单
(1)在0≤t≤0.5这段时间里
,运动员的平均速度
=
.
(2)在1≤t≤2这段时间里
,
运动员的平均速度
=
.
问题2:函数y=f(x)从
表示,平均变化率的公式是
x1到
x2的平均变化率公式是
.
.如果用
x1与增量
x
问题
借助多媒体播放2012年伦敦奥运会中国跳水运动员陈若琳夺得女子单人10米跳台冠军
的视频.上节课我们已经学习了平均变化率的问题,我们知道运动员的平均速度不一定能够
反映她在某一时刻的运动状态,而运动员在不同时刻的运动状态是不同的,我们需要借助于
瞬时速度这样的量来刻画,那么我们如何才能求出运动员在某一时刻的瞬时速度呢?
与
.
函数值的增量
y,求平均变化率的主要步骤是
:
(1)先计算函数值的改变量y=f(x1)-f(x0).
(2)再计算自变量的改变量x=x1-x0.
(3)得平均变化率=.
探究二:【解析】当t=1时,s=3t2+2,
s=s(t+t)-s(t)=3(1+t)2+2-(3+2)=6t+3(t)2,
∴v===(6+3t)=6.
2+8
t,
∴
=
=
(2
t+8)=8.
4.解:
y=2(3+
x)2+4(3+
x)-(2×32+4×3)=2(
x)2+16x,
=2
x+16,
=(2x+16)=16,
即y'|x=3=16.
重点难点探究
探究一:【解析】
(1)∵y=f(-1+x)-f(-1)=-(-1+x)2+(-1+x)-[-(-1)2+(-1)]=-(x)2+3x,
种形式,y必须保持相应的形式.即:f'(x0)===(其中a为非
零常数).
于是,正确解答为:
=-
4
=-
4
4 (
x
0)
8
=- f'
=- .
【小结】对极限的理解和计算,也是对导数概念的准确理解.通过此题可以看出学生是否
掌握了导数的概念
.
思维拓展应用
)26
226 20
)2
应用一:20 5
x
因为
y=
5(2
+ x
第1课时变化率问题与导数的概念
a
1.通过物理中的变化率问题和瞬时速度引入导数的概念.
2.掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤
.
3.通过构建导数概念,使学生体会极限思想,为将来学习极限概念积累学习经验.
4.通过导数概念的教学教程,使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程.
已知f'(x0)=2,求.
函数526
在区间[2,2
+ x
]内的平均变化率为
.
y= x +
质点M按规律s(t)=at2+1作直线运动
的瞬时速度为8 m/s,求常数a的值.
(位移单位
:m,时间单位
:s),
若质点
M在
t=2 s
时
已知f(x)=x3-8x,则=;
=;=.
1.自变量x从x0变到x1时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数
=f'(2)=4.
=
=f'
(2)=4.
=-
=- f'(2)=-2.
基础智能检测
1.A
由平均变化率的定义可知应选
A.
2.D
因为
x可正、可负不可为
0,所以k1
与k2大小关系不确定,应选D.
3 (1)
f
(
0
)
-f
(
x
0)
(2) 6
3(
x
)2
6 3
x
6 6
.
x + x
x+
+
4.解:(1)
平均速度为
=
=gt0+ g
时,
y的值为(
).
A.0.40
B.0.41
C.0.43
D.0.44
2
设函数
f
(
)
在点
x
0
附近有定义
,且有
f
(0
)
-f
(
x
0)
(
x
)2(
,
b
为常数),则
.
x
x
+ x
=a x来自百度文库b
a
(
).
A.f'(x)=a
B.f'
(x)=bC.f'
(x0)=a
D.f'(x0)=b
3
一质点按规律
(
) 2
t
2运动,则在
t=
2时的瞬时速度为
5
×
5(
x
,
+
+ -
- =
x+
所以平均变化率
=20+5
x.
应用二:
∵
(2
+ t
)
-s
(2)
(2
t
)
21
2
2
1 4
t+a
(
t
)2,
s=s
=a +
+ - a×
-
= a
∴=4a+a
t,
=4a,
即4a=8,∴a=2.
应用三:44-2f'(x)==
=
=(3x2+3x·Δx+x2-8)
=3x2-8,
∴f'(2)=4.
(1)设非匀速直线运动的规律s=s(t).
(2)求时间改变t时的位置改变量s=s(t0+t)-s(t0).
(3)求平均速率= .
(4)计算瞬时速率:当t→0时,→v(常数).
探究三:【解析】由已知得:=2,
当h→0,2h→0,-4h→0,
==2.
[问题]上面的解答遵循导数的定义吗?
[结论]没有,在导数的定义形式中,增量x的形式多种多样,但是无论增量x选择哪
当t=4时,s=29+3(t-3)2,
s=s(t+t)-s(t)=29+3(4+t-3)2-29-3(4-3)2=3(t)2+6t,
∴v===(3t+6)=6.
∴物体在t=1和t=4时的瞬时速度分别是6和6.
【小结】1
.
“
(6 3
t
) 6”中,“Δ
t
→0”指
t
趋近于零,即自变量的变化几乎为
+
=
零.
2.求物体瞬时速度的步骤:
<k
.
3.(1)设 函 数
y=f(x),
当 自 变 量x
由x0
变 化 到x0+
x时,函 数 值 的 改 变 量
y
为
.
(2)
设
函
数
y=f(x)=3x2,
则
y=f(1+
x)-f
(1)
=
,=
,
=
,f'
(1)=
.
4
已知自由下落物体的运动方程是
s= gt
2
s
的单位是m,
t
的单位是s),求:
(
.
(1)物体在t
0到t0+