变化率与导数、导数的计算 知识点与题型归纳
变化率与导数、导数的计算 上课用
（1）函数y＝f(x)在 x x0 处的导数 称函数 y f x在 x x0处的瞬时变化率
_l_ix_m_0___yx___=__lixm_0_f__x_0 ___xx___f _ x_0_ 为函数 y f x 在 x x0
过点 P0 x0, y0 的切线，两说法有区别吗？
（3）函数f x的导函数
f x x f x
称函数f ' x __lix_m_0________x_____为f x的导函数
2、基本初等函数的导数公式
原函数 f x
C
xn nQ*
导函数 f ' x
线方程为 y f x0 f ' x0 x x0
瞬时速度：设s＝s(t)是位移函数，则 s' t0 表示物体
加速度：设在v＝tv(t)是t0时速刻度的函瞬数时，速则度v'．t0 表示物体在时
t t0 刻的加速度．
思考探究：曲线 y f x 在点 P0 x0, y0 处的切线与
练习3：曲线y x3 11在点P（1，12）处的 切线与y轴交点的纵坐标是________
课堂小结
1.求函数y f x在一点x x0处的导数f ' x0
的方法有两种：定义法、导函数法。
2.函数y f x在一点x x0处的导数f ' x0
的几何意义是：曲线y f x在点 x0, f x0
处的切线斜率。 3.常见函数的求导公式、导数运算法则
课后作业：课时达标检测14
3.计算下列函数的导函数
1 f x 2x5 3x2 5x 4；2 f x 3sin xex lg x
（完整版）变化率与导数、导数的计算知识点与题型归纳
（完整版）变化率与导数、导数的计算知识点与题型归纳1●⾼考明⽅向1.了解导数概念的实际背景．2.理解导数的⼏何意义．3.能根据导数定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x 的导数． 4.能利⽤基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.★备考知考情由近⼏年⾼考试题统计分析可知，单独考查导数运算的题⽬很少出现，主要是以导数运算为⼯具，考查导数的⼏何意义为主，最常见的问题就是求过曲线上某点的切线的斜率、⽅程、斜率与倾斜⾓的关系，以平⾏或垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，以及与曲线的切线相关的计算题．考查题型以选择题、填空题为主，多为容易题和中等难度题，如2014⼴东理科10、⽂科11. 2014⼴东理科10 曲线52-=+xy e在点()0,3处的切线⽅程为；2014⼴东⽂科11曲线53=-+xy e 在点()0,2-处的切线⽅程为；⼀、知识梳理《名师⼀号》P39知识点⼀导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0.(2)称函数f′(x)＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx为f(x)的导函数.注意:《名师⼀号》P40 问题探究问题1f′(x)与f′(x0)有什么区别？f′(x)是⼀个函数，f′(x0)是常数，f′(x0)是函数f′(x)在点x0处的函数值．例.《名师⼀号》P39 对点⾃测11.判⼀判(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．()(2)f′(x0)与[f(x0)]′表⽰的意义相同．()(3)f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．()答案(1)×(2)×(3)√23知识点⼆导数的运算公式及法则 1.基本初等函数的导数公式注意：（补充）常量函数的导数为零11.(),'()0;2.(),'();3.()sin ,'()cos ;4.()cos ,'()sin ;5.(),'()ln (0);6.(),'();17.()log ,'()(0,1);ln 8.nn x xx x a f x c f x f x x f x nx f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x a -========-==>====>≠公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln ,'();f x x f x x ==则42.导数的运算法则注意：（补充）复合函数的导数(())y f u x =，'''(())()y f u x u x =g注意:《名师⼀号》P40 问题探究问题3对函数求导时，其基本原则是什么？求函数的导数时，要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算的形式，再利⽤运算法则求导数．对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形；对于⽐较复杂的函数，如果直接套⽤求导法则，会使求导过程繁琐冗长，且易出错，此时，可将解析式进⾏合'221.(()())''()'()2.(()())''()()()'()()'()()()()'3.()()4.(())''()1'()5.[]'()()f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x f x g x f x g x g x g x cf x cf x g x g x g x ±=±?=?+-= ==-理变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数．但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误．, 称为曲线在点P处的切线的斜率.即:'0000()()()lim lim→?→+?-===x xf x x f xyk f xx x切线5导数的⼏何意义函数在x=x0处的导数——曲线y=f(x)在点（x0,f(x0))处切线的斜率.导数的物理意义——瞬时速度例.周练13-1⼀个物体的运动⽅程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是⽶，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是() A．7⽶/秒B．5⽶/秒C．6⽶/秒D．4⽶/秒注意:《名师⼀号》P40 问题探究问题2过点P的切线与在点P处的切线有什么区别？在点P处的切线，P是切点，⽽过点P的切线，P不⼀定是切点，后者包括前者．注意:《名师⼀号》P40 问题探究问题2过点P的切线与在点P处的切线有什么区别？在点P处的切线，P是切点，⽽过点P的切线，P不⼀定是切点，后者包括前者．67⼆、例题分析： (⼀) 导数的计算例1.（补充）⽤导数定义求函数1()f x x=的导数。
高二数学复习典型题型与知识点专题讲解14---导数的概念及其意义+导数的运算(解析版)
高二数学复习典型题型与知识点专题讲解14 导数的概念及其意义+导数的运算一、典例精析拓思维（名师点拨） 知识点1 变化率与导数 知识点2 导数几何意义 知识点3 导数的四则运算 知识点4 复合函数求导 二、题型归类练专练一、典例精析拓思维（名师点拨）知识点1 变化率与导数例1．（2021·江苏·高二专题练习）函数()221y f x x ==-在区间[]1,1x +∆上的平均变化率yx∆∆等于（ ）．A ．4B ．42x +∆C ．()242x +∆D ．4x 【答案】B 【详解】因函数()221y f x x ==-，则()f x 在区间[]1,1x +∆上的函数增量y ∆有：()()()()()22112112142y f x f x x x ∆=+∆-+∆---=∆+∆=，于是有42yx x∆=+∆∆， 所以所求平均变化率yx∆∆等于42x +∆.故选：B练习1-1．（2021·江苏·高二专题练习）已知函数()224f x x =-的图象上一点()1,2-及邻近一点()1,2x y +∆-+∆，则yx∆=∆（ ） A ．4B ．4x ∆C ．42x +∆D ．()242x +∆ 【答案】C 【详解】解：∵()()()()()22112142424y f x f x x x ∆=+∆-=+∆---=∆+∆，∴24yx x∆=∆+∆， 故选：C ．名师点评：平均变化率函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率是2121()()f x f x y x x x -∆=∆-. 例2．（2021·全国·高二课时练习）已知函数()f x 在0x 处的导数为0()f x '，则()()000lim x f x m x f x x∆→-∆-∆等于（ ）A ．0()mf x 'B ．0()mf x '-C ．0(1)f m x -'D ．01()f x m' 【答案】B 【详解】因为函数()f x 在0x 处的导数为0()f x '， 所以()()0000im)l (x f x m x f f x x x m ∆→-∆-'=-∆，所以()()()()0000000liml ()imx x f x m x f x f x m x f x m xxf m x m ∆→∆→-∆--∆-=-=-∆-'∆，故选：B.练习2-1．（2021·山西·晋城市第一中学校高二阶段练习）设()f x 为可导函数，且当0x ∆→时，()()1112f f x x--∆→-∆，则曲线()y f x =在点()() 1,1f 处的切线斜率为（ ）A ．2B ．1-C ．1D ．2- 【答案】D 【详解】解：由导数的几何意义，点()() 1,1f 处的切线斜率为(1)f '， 因为0x ∆→时，()()1112f f x x--∆→-∆，所以()()()()11(1)liml 11222imx x f f x f f x xxf ∆→∆→--∆--∆='=-∆∆=，所以在点()() 1,1f 处的切线斜率为2-， 故选：D.名师点评：瞬时变化率函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率0000()()lim lim x x f x x f x yx x ∆→∆→+∆-∆=∆∆. 在实际解题时要注意00()()f x x f x +∆-中两（）中的量做差得到的结果才是分母中的x ∆.如在例2()()0000lim()x f x m x f x f x x∆→-∆-'≠∆，在该式中，分子两（）中的量作差后得到的()()00x m x x m x -∆-=-∆，所以()()0000lim ()x f xm x f x f x m x∆→-∆-'=-∆，所以在题目中的分母要凑配常数，即：()()()()()000000lim()lim()x x m m f x m x f x f x m x f x f x xxm ∆→∆→---∆--∆-'=∆-=∆.知识点2 导数几何意义例1．（2021·全国·高二单元测试）如图，函数()y f x =的图象在点(2,)P y 处的切线是l ，则(2)(2)f f '+=（ ）A ．-3B ．-2C ．2D ．1 【答案】D 【详解】解：由题图可得函数()y f x =的图象在点P 处的切线与x 轴交于点(4,0)，与y 轴交于点(0,4)，则切线:4l x y +=，(2)2f ∴=，(2)1f '=-，(2)(2)211f f '+=-=，故选：D.练习1-1．（2021·全国·高二单元测试）已知()y f x =的图象如图所示，则()A f x '与()B f x '的大小关系是（ ） A ．()()A B f x f x ''> B ．()()A B f x f x ''= C ．()()A B f x f x ''<D ．()A f x '与()B f x '大小不能确定 【答案】A 【详解】根据题意，由图象可得f （x ）在x ＝x A 处切线的斜率大于在x ＝x B 处切线的斜率， 则有()()A B f x f x ''>； 故选：A名师点评：函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '的几何意义是在曲线()y f x =上点00(,)P x y 处的切线的斜率（0()k f x '=）.例2．（2021·陕西汉中·一模（理））已知函数3C :()ln f x x x =+，则曲线在点(1,(1))f 处的切线方程为___________． 【答案】430x y --= 【详解】解：因为21()3f x x x'=+， 所以(1)4k f '==， 又(1)1,f =故切线方程为14(1)y x -=-， 整理为430x y --=， 故答案为：430x y --=练习2-1．（2021·四川成都·一模（文））曲线()3f x x x =-在点(2,6)处的切线方程为_______．【答案】11160x y --= 【详解】因为()3f x x x =-，所以()231f x x '=-，()211f '=所以切线方程为()6112y x -=-，即11160x y --= 故答案为：11160x y --=名师点评：曲线求切线问题可分为两类：①在点00(,)P x y 处的切线，此时00(,)P x y 为切点；②过点00(,)P x y 处的切线方程，此时需另设切点求解.如本例2，求函数3C :()ln f x x x =+，在点(1,(1))f 处的切线方程，此时切点为(1,(1))f ，只需求出斜率(1)k f '=.例3．（2021·河南·南阳中学高三阶段练习（文））曲线()ln 3f x x =+的过点()1,1-的切线方程为________．【答案】20x y -+= 【详解】设切点坐标为()00,ln 3x x +，()1f x x'=，()001f x x '∴=，∴切线方程为()0001ln 3y x x x x --=-， 切线过点()1,1-，()00011ln 31x x x ∴--=--， 化简得：0011ln x x +=，解得：01x =， ∴切线方程为2y x =+，即20x y -+=．故答案为：20x y -+=.练习3-1．（2021·全国·高二课时练习）已知函数()32698f x x x x =-+-+，则过点()0,0可作曲线()y f x =的切线的条数为___________.【答案】2 【详解】∵点()0,0不在函数()y f x =的图象上，∴点()0,0不是切点，设切点为()320000,698P x x x x -+-+（00x ≠），由()32698f x x x x =-+-+，可得()23129'=-+-f x x x ，则切线的斜率()20003129k f x x x '==-+-，∴3220000006983129x x x x x x -+-+-+-=，解得01x =-或02x =，故切线有2条. 故答案为：2名师点评：曲线求切线问题可分为两类：①在点00(,)P x y 处的切线，此时00(,)P x y 为切点；②过点00(,)P x y 处的切线方程，此时无论00(,)P x y 是否在曲线上，都需另设切点求解.如本例3，求曲线()ln 3f x x =+的过点()1,1-的切线方程，此时应设切点00(,)P x y ，在利用导数0()k f x '=，求出切线方程，再利用()1,1-在切线上，求出切点00(,)P x y ，从而求出切线方程.注意和例题2做对比.知识点3 导数的四则运算例1．（2021·江苏·高二专题练习）求下列函数的导数；（1）32235y x x =-+（2）22log xy x =+（3）31sin x y x-=（4）sin sin cos x y x x =+【答案】（1）266y x x '=- （2）12ln 2ln 2x y x '=+（3）()2323sin cos 1sin x x x x y x--'=（4）11sin 2y x'=+（1）解：因为32235y x x =-+，所以266y x x '=-； （2）解：因为22log xy x =+，所以12ln 2ln 2x y x '=+； （3）解：因为31sin x y x -=，所以()()()()()3323221sin sin 13sin cos 1sin sin x x x x x x x x y x x ''-----'== （4） 解：因为sin sin cos xy x x=+，所以()()()()()()()22sin sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin sin 11sin 2sin cos sin cos x x x x x x x x x x x x y x x x x x ''+-++--'===+++练习1-1．（2021·全国·高二课时练习）已知函数()f x 的导数为()f x '，而且()()232ln f x x xf x '=++，求()2f '. 【答案】94-【详解】()()1232f x x f x ''=++，()()124322f f ''∴=++，解得：()924f '=-.名师点评：导数的运算法则： (1)[()()]()()f x g x f x g x '''±=±(2)[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=⋅+⋅ (3)2()()()()()[](()0)()()f x f xg x f x g x g x g x g x ''⋅-⋅'=≠ 知识点4 复合函数求导例1．（2021·全国·高二课时练习）求下列函数的导数.（1）()sin 23y x =+；（2）21e x y -+=；（3）()22log 21y x =-.【答案】（1）()2cos 23x +（2）212e x -+-（3）()2421ln 2xx -⋅（1）函数()sin 23y x =+可以看作函数sin y u =和23u x =+的复合函数，由复合函数的求导法则可得()()()sin 23cos 22cos 2cos 23x u x y y u u x u u x ''⋅'''=⋅=+=⋅==+. （2）函数21e x y -+=可以看作函数u y e =和21u x =-+的复合函数， 由复合函数的求导法则可得()()()21e 21e 22eu u x x u x y y u x -+''''=⋅=⋅-+=⋅-=-'. （3）函数()22log 21y x =-可以看作函数2log y u =和221u x =-的复合函数，由复合函数的求导法则可得()2144ln 221ln 2x u x xy y u x u x '''=⋅=⋅=-⋅.练习1-1．（2021·全国·高二课时练习）求下列函数的导数： （1）7(35)y x =+；（2）57e x y -=；（3）ln(4)y x =-+；（4）213x y -=；（5）sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（6）34(35)y x =-.【答案】（1）621(35)y x '=+（2）57e 5x y -'=（3）14y x '=- （4）212ln 33x y -'=⨯（5）2cos 26y x π⎛⎫'=- ⎪⎝⎭（6）149(35)4x y --'= （1）667(35)(35)21(35)y x x x ''=+⨯+=+；（2）5757e e (57)5x x x y --'⨯'=-=；（3） 11(4)44y x x x ''=⨯-+=-+- （4）1212ln 3(21)2ln 333x x x y --'⨯-=⨯'=；（5）cos 2(2)2cos 2666y x x x πππ⎛⎫⎛⎫''=-⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（6）314149(33(35)45)(35)4x y x x --'=---'=⨯．名师点评：复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f μ=,()g x μ=的导数间的关系为x x y y μμ'''=⋅,即y 对x 的导数等于y 对μ的导数与μ对x 的导数的乘积.二、题型归类练专练一、单选题1．（2021·全国·高二课时练习）函数()2f x x =在1x =附近(即从1到1x +∆之间)的平均变化率是（ ）A ．2x +∆B ．2x -∆C ．2D ．22()x +∆ 【答案】C 【详解】Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )－2＝2Δx . 所以2 2.y x x x∆∆==∆∆ 故选：C2．（2021·全国·高一课时练习）函数2()1f x x =+，当自变量x 由1变到1.1时，函数()f x 的平均变化率为（ ） A ．2.1B ．1.1C ．2D ．1 【答案】A 【详解】由题意，函数的平均变化率为：()()221.11 1.112.11.110.1f f --==-. 故选：A.3．（2021·江苏·高二专题练习）函数()12f x x=在2x =处的导数为（ ） A ．2B ．12C ．14D ．18- 【答案】D 【详解】()()()()000011222222111lim lim lim lim 2428x x x x f x f x f x x x x x ∆→∆→∆→∆→-∆+∆-+∆⨯⎛⎫===-⋅=- ⎪∆∆∆+∆⎝⎭，所以函数()f x 在2x =处的导数为18-.故选：D.4．（2021·江苏·高二专题练习）设函数()f x 在0x x =附近有定义，且有()()()002f x f x x b x x a +-=+∆∆∆，其中a ，b 为常数，则（ ） A ．()f x a '=B ．()f x b '=C ．()0f x a '=D ．()0f x b '=【答案】C【详解】因为()()()002f x f x x b x x a +-=+∆∆∆，所以()()00f x x f x a b x x+∆-=+∆∆，则()()()0000lim lim x x f x x f x a b x a x∆→∆→+∆-=+∆=∆，即()0f x a '=. 故选：C.5．（2021·全国·高二课时练习）已知曲线y ＝13x 3上一点P 82,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，则该曲线在P 点处切线的斜率为（ ）A ．4B ．2C ．－4D ．8【答案】A【详解】3322200011()133lim lim lim 33()3x x x x x x y y x x x x x x x ∆→∆→∆→+∆-∆'⎡⎤===+⋅∆+∆=⎣⎦∆∆ 故y ′＝x 2，y ′|x ＝2＝22＝4，结合导数的几何意义知，曲线在P 点处切线的斜率为4.故选：A6．（2021·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数2()ln 2f x x m x x =-+的图象在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线与直线20x y +=垂直，则m =（ ） A ．54B ．54-C ．12D ．12- 【答案】C【详解】函数2()ln 2f x x m x x =-+的导数为()22m f x x x'=-+， 可得在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的斜率为1322f m ⎛⎫=⎪⎭'- ⎝， 又切线与直线20x y +=垂直，所以()13212m -⋅-=-，解得12m =. 故选：C ．7．（2021·四川·树德中学高三期中（文））设函数()()ln f x g x x x =++，曲线()y g x =在点1,1g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为（ ）A ．4y x =B ．48=-y xC ．22y x =+D ．21y x =+【答案】A【详解】因为曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，所以(1)3(1)2g g =⎧⎨='⎩， 因为()()ln =++f x g x x x ，则1()()1f x g x x''=++，所以1(1)(1)141f g ''=++=， 且(1)(1)1ln14f g =++=，因此曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()441y x -=-，即4y x =，故选：A.8．（2021·江苏·扬州中学高二阶段练习）已知()()220x f x e xf '=-，则()1f '=（ ）A ．243e -B ．2423e -C ．ln 2e +D ．221e - 【答案】B【详解】()()2e 20x f x xf '=-，则()()22e 20x f x f ''=-，()()0220f f ''=-，()203f '=.()242e 3x f x '=-，()2412e 3f '=-.故选：B二、填空题9．（2021·河南·高二期末（文））已知函数()2e sin x f x x m x =⋅-的图象在0x =处的切线与直线310x y ++=垂直，则实数m =___________.【答案】-1【详解】()2sin x f x x e m x =⋅-的定义域为R ，则()22cos x x f x e x e m x '=+⋅-，则函数在0x =处的切线斜率为1(0)2k f m '==-，又直线310x y ++=的斜率213k =-， 由切线和直线垂直，则121k k ，即1(2)()13m -⨯-=-， 解得1m =-.故答案为：1-10．（2021·山东·高三阶段练习）曲线2()ln(2)f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为________.【答案】3ln 22y x =+-【详解】()11()2222f x x x x x x ''=⋅+=+， (1)3k f '∴==，又(1)1ln 2f =+，∴切线方程为(1ln 2)3(1)y x -+=-，即3ln 22y x =+-故答案为：3ln 22y x =+-11．（2021·陕西蒲城·高三期中（理））已知函数()sin cos f x x x x =+，则()f π'-＝_____．【答案】π【详解】由()sin cos f x x x x =+求导得：()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=，于是得()cos()f ππππ'-=--=，所以()f ππ'-=.故答案为：π12．（2021·云南师大附中高三阶段练习（理））已知函数cos2()1x f x x =+，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为____________．【答案】+10x y -=【详解】解：由题，得()()()22sin 21cos 21x x x f x x -⋅+-=+'，则(0)1f '=-，而(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x -=-，即10x y +-=.故答案为：+10x y -=.三、解答题13．（2021·山西·芮城中学高二阶段练习）已知曲线3S 2y x x =-：（1）求曲线S 在点(2,4)A 处的切线方程；（2）求过点(1,1)B -并与曲线S 相切的直线方程.【答案】（1）10160x y --=（2）20x y --=或5410x y +-=（1）∵32y x x =-，则232y x '=-，∴当2x =时，10y '=，∴点A 处的切线方程为：()4102y x -=-，即10160x y --=.（2）设()3000,2P x x x -为切点，则切线的斜率为()20032f x x '=-，故切线方程为：()()()320000232y x x x x x --=--， 又知切线过点()1,1-，代入上述方程()()()32000012321x x x x ---=--，解得01x =或012x =-， 故所求的切线方程为20x y --=或5410x y +-=.14．（2021·北京市第十五中学南口学校高三期中）已知函数321()33f x x x x =--，求曲线()y f x =在1x =处的切线的方程. 【答案】143y x =-+ 因为321()33f x x x x =--，所以111(1)1333f =--=-，2()23f x x x '=-- 所以(1)1234f '=--=-所以曲线()y f x =在1x =处的切线的方程为()11413y x +=--，即143y x =-+。
第1节 变化率与导数、导数的计算
第1节变化率与导数、导数的计算知识梳理1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝Δy Δx＝.(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).2.函数y＝f(x)的导函数如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，称它为f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝f（x＋Δx）－f（x）Δx.3.基本初等函数的导数公式4.若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）](g (x )≠0).5.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′.1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，且(f (x 0))′＝0.2.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f （x ）′＝－f ′（x ）[f （x ）]2(f (x )≠0).3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( ) (2)函数f (x )＝sin(－x )的导数f ′(x )＝cos x .( ) (3)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0).( )(4)曲线y ＝f (x )在某点处的切线与曲线y ＝f (x )过某点的切线意义是相同的.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×解析 (1)f ′(x 0)表示y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，(1)错. (2)f (x )＝sin(－x )＝－sin x ，则f ′(x )＝－cos x ，(2)错.(3)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(3)错.(4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组的思想求切线的方程，在曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切线可以不止一条，(4)错.2.已知函数f(x)＝xx＋2，则函数在x＝－1处的切线方程是()A.2x－y＋1＝0B.x－2y＋2＝0C.2x－y－1＝0D.x＋2y－2＝0答案A解析由f(x)＝xx＋2，得f′(x)＝2（x＋2）2，又f(－1)＝－1，f′(－1)＝2.因此函数在x＝－1处的切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即2x－y＋1＝0.3.若曲线y＝(ax＋1)e x在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a＝________.答案－3解析y′＝a e x＋(ax＋1)e x，则y′|x＝0＝a＋1＝－2，所以a＝－3.4.(2020·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为()A.y＝－2x－1B.y＝－2x＋1C.y＝2x－3D.y＝2x＋1答案B解析f(1)＝1－2＝－1，切点坐标为(1，－1)，又f′(x)＝4x3－6x2，所以切线的斜率k＝f′(1)＝4×13－6×12＝－2，切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选B.5.(多选题)(2020·聊城模拟)若函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为()A.f(x)＝3cos xB.f(x)＝x3＋xC.f (x )＝x ＋1xD.f (x )＝e x ＋x答案 BC解析 对于A ，f (x )＝3cos x ，其导数f ′(x )＝－3sin x ，其导函数为奇函数，图象不关于y 轴对称，不符合题意；对于B ，f (x )＝x 3＋x ，其导数f ′(x )＝3x 2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于C ，f (x )＝x ＋1x ，其导数f ′(x )＝1－1x 2，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于D ，f (x )＝e x ＋x ，其导数f ′(x )＝e x ＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y 轴对称，不符合题意.6.(2021·武汉检测)设f (x )＝ln(3－2x )＋cos 2x ，则f ′(0)＝________. 答案 －23解析 因为f ′(x )＝－23－2x－2sin 2x ， 所以f ′(0)＝－23.考点一 导数的运算1.(多选题)(2021·济南检测)下列求导运算正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x ′＝－1x ln 2x B.(x 2e x )′＝2x ＋e x C.(x cos x )′＝－sin xD.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ′＝1＋1x 2 答案 AD解析 对于A ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x ′＝－1ln 2x ·(ln x )′＝－1x ln 2x ，对于B ，(x 2e x )′＝(x 2＋2x )e x ，对于C ，(x cos x )′＝cos x －x sin x ，对于D ，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ′＝1＋1x 2.2.若f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2，则f ′(x )＝________.答案 1－1x －2x 2＋2x 3解析 由已知f (x )＝x －ln x ＋2x －1x 2. ∴f ′(x )＝1－1x －2x 2＋2x 3.3.(2020·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝e x x ＋a .若f ′(1)＝e4，则a ＝________.答案 1解析 由f ′(x )＝e x （x ＋a ）－e x （x ＋a ）2，可得f ′(1)＝e a （1＋a ）2＝e 4，即a （1＋a ）2＝14，解得a ＝1.4.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f (1)＝________. 答案 －234解析 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ， ∴f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x .令x ＝2，得f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12，则f ′(2)＝－94. ∴f (1)＝1＋3×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－94＋0＝－234.感悟升华 1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 考点二 导数的几何意义角度1 求切线的方程【例1】 (1)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0，0)处的切线方程为________.(2)(2020·全国Ⅰ卷)曲线y ＝ln x ＋x ＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________.答案 (1)3x －y ＝0 (2)2x －y ＝0解析 (1)y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝3e x (x 2＋3x ＋1)，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k ＝e 0×3＝3，所以所求切线方程为3x －y ＝0.(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，因为y ＝ln x ＋x ＋1，所以y ′＝1x ＋1， 所以切线的斜率为1x 0＋1＝2，解得x 0＝1.所以y 0＝ln 1＋1＋1＝2，即切点坐标为(1，2)， 所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 角度2 求曲线的切点坐标【例2】(2019·江苏卷改编)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________，此时切线方程为________. 答案 (e ，1) x －e y ＝0解析 设A (m ，n )，则曲线y ＝ln x 在点A 处的切线方程为y －n ＝1m (x －m ). 又切线过点(－e ，－1)，所以有n ＋1＝1m (m ＋e). 再由n ＝ln m ，解得m ＝e ，n ＝1. 故点A 的坐标为(e ，1)， 切线方程为x －e y ＝0. 角度3 导数与函数图象问题【例3】已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________. 答案 0解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13. ∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题意可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.感悟升华 1.求曲线在点P (x 0，y 0)处的切线，则表明P 点是切点，只需求出函数在P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P 处的导数不存在，则切线垂直于x 轴，切线方程为x ＝x 0.2.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.【训练1】 (1)(2021·新高考8省联考)已知函数f (x )＝x ln(1＋x )，则( ) A.f (x )在(0，＋∞)上单调递增 B.f (x )有两个零点C.曲线y ＝f (x )在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，f ⎝⎛⎭⎪⎫－12处的切线的斜率为－1－ln 2 D.f (x )是偶函数(2)(2020·长沙检测)如图所示，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋3是曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线，令h (x )＝f （x ）x ，h ′(x )是h (x )的导函数，则h ′(1)的值是( ) A.2B.1C.－1D.－3答案 (1)AC (2)D解析 (1)f (x )＝x ln(x ＋1)，所以当x >0时，f ′(x )＝ln(x ＋1)＋xx ＋1>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以A 正确.令x ln(x ＋1)＝0，所以x ＝0或ln(x ＋1)＝0，所以x ＝0，故f (x )只有1个零点0，所以B 不正确； f ′(x )＝ln(x ＋1)＋x x ＋1，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝ln 12－1＝－1－ln 2，所以C 正确；定义域不关于原点对称，所以f (x )不是偶函数，所以D 不正确.故选AC. (2)由图象知，直线l 经过点(1，2).则k ＋3＝2，k ＝－1，从而f ′(1)＝－1，且f (1)＝2， 由h (x )＝f （x ）x ，得h ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2，所以h ′(1)＝f ′(1)－f (1)＝－1－2＝－3. 考点三 导数几何意义的应用【例4】 (1)(多选题)(2021·厦门质检)已知函数f (x )＝x －ln x ，若f (x )在x ＝x 1和x ＝x 2(x 1≠x 2)处切线平行，则( ) A.1x 1＋1x 2＝12 B.x 1x 2＜128 C.x 1＋x 2＜32D.x 21＋x 22＞512(2)(2020·合肥质检)已知函数f (x )＝a e x (a >0)与g (x )＝2x 2－m (m >0)的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数m 变化时，实数a 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫4e 2，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫8e 2，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4e 2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，8e 2 答案 (1)AD (2)D 解析 (1)由题意知f ′(x )＝12x－1x (x ＞0)，因为f (x )在x ＝x 1和x ＝x 2(x 1≠x 2)处切线平行，所以f ′(x 1)＝f ′(x 2)，即12x 1－1x 1＝12x 2－1x 2，化简得1x 1＋1x 2＝12，故A 正确；由基本不等式及x 1≠x 2可得，12＝1x 1＋1x 2＞21x 1x 2，即x 1x 2＞256，故B 错误；x 1＋x 2＞2x 1x 2＞32，故C 错误；x 21＋x 22＞2x 1x 2＞512，故D 正确.故选AD.(2)设在第一象限的切点为A (x 0，y 0)，所以⎩⎨⎧a e x 0＝2x 20－m ，a e x 0＝4x 0，整理得⎩⎨⎧4x 0＝2x 20－m ，x 0>0，m >0，由m ＝2x 20－4x 0>0和x 0>0，解得x 0>2. 由上可知a ＝4x 0e x 0，令h (x )＝4xe x ，x >2， 则h ′(x )＝4（1－x ）e x .因为x >2，所以h ′(x )＝4（1－x ）e x<0， h (x )＝4xe x 在(2，＋∞)上单调递减， 所以0<h (x )<8e 2，即a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，8e 2.感悟升华 1.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上.2.利用导数的几何意义求参数范围时，注意化归与转化思想的应用.【训练2】 (1)(2021·洛阳检测)函数f (x )＝ln x －ax 在x ＝2处的切线与直线ax －y －1＝0平行，则实数a ＝( ) A.－1B.14C.12D.1(2)若函数y ＝2x 3＋1与y ＝3x 2－b 的图象在一个公共点处的切线相同，则实数b ＝________.答案 (1)B (2)0或－1解析 (1)∵f (x )＝ln x －ax ，∴f ′(x )＝1x －a . ∴曲线y ＝f (x )在x ＝2处切线的斜率k ＝f ′(2)， 因此12－a ＝a ，∴a ＝14.(2)设公共切点的横坐标为x 0，函数y ＝2x 3＋1的导函数为y ′＝6x 2，y ＝3x 2－b 的导函数为y ′＝6x ，由图象在一个公共点处的切线相同，可得6x 20＝6x 0且1＋2x 30＝3x 20－b ，解得x 0＝0，b ＝－1或x 0＝1，b ＝0.故实数b ＝0或－1.A 级 基础巩固一、选择题1.(多选题)下列求导数的运算中正确的是( ) A.(3x )′＝3x ln 3B.(x 2ln x )′＝2x ln x ＋xC.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝x sin x －cos x x 2D.(sin x ·cos x )′＝cos 2x答案 ABD解析 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝－x sin x －cos xx 2，C 项错误.其余项均正确.2.(2021·北师大附中月考)曲线y ＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线的斜率是( )A.2B.－2C.12 D.－12答案D解析y′＝（x＋1）′（x－1）－（x＋1）（x－1）′（x－1）2＝－2（x－1）2，故曲线在点(3，2)处的切线的斜率k＝y′|x＝3＝－2（3－1）2＝－12.3.若函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2f′(1)x＋3，则()A.f(0)<f(4)B.f(0)＝f(4)C.f(0)>f(4)D.以上都不对答案B解析函数f(x)的导数f′(x)＝2x＋2f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2，故f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，所以f(0)＝f(4)＝3.4.(2020·豫北十校联考)已知f(x)＝x2，则过点P(－1，0)，曲线y＝f(x)的切线方程为()A.y＝0B.4x＋y＋4＝0C.4x－y＋4＝0D.y＝0或4x＋y＋4＝0答案D解析易知点P(－1，0)不在f(x)＝x2上，设切点坐标为(x0，x20)，由f(x)＝x2可得f′(x)＝2x，∴切线的斜率k＝f′(x0)＝2x0.∵切线过点P(－1，0)，∴k＝x20x0＋1＝2x0，解得x0＝0或x0＝－2，∴k＝0或－4，故所求切线方程为y＝0或4x＋y＋4＝0.5.(2021·长沙模拟)若直线y＝ax与曲线y＝ln x－1相切，则a＝()A.eB.1C.1eD.1e 2 答案 D 解析 由y ＝ln x －1，得y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0－1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ax 0＝ln x 0－1，a ＝1x 0，解得a ＝1e 2. 6.已知函数f (x )在R 上可导，其部分图象如图所示，设f （4）－f （2）4－2＝a ，则下列不等式正确的是( ) A.a <f ′(2)<f ′(4)B.f ′(2)<a <f ′(4)C.f ′(4)<f ′(2)<aD.f ′(2)<f ′(4)<a答案 B解析 由函数f (x )的图象可知，在[0，＋∞)上，函数值的增长越来越快，故该函数图象在[0，＋∞)上的切线斜率也越来越大.因为f （4）－f （2）4－2＝a ，所以f ′(2)<a <f ′(4). 7.(2021·重庆调研)若函数f (x )＝ln x ＋2x 2－ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，－6]B.(－∞，－6]∪[2，＋∞)C.[2，＋∞)D.(－∞，－6)∪(2，＋∞)答案 C解析 直线2x －y ＝0的斜率k ＝2，又曲线f (x )上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，∴f ′(x )＝1x ＋4x －a ＝2在(0，＋∞)内有解，则a ＝4x ＋1x －-2，x >0.又4x ＋1x ≥24x ·1x ＝4，当且仅当x ＝12时取“＝”. ∴a ≥4－2＝2.8.(多选题)(2021·淄博调研)已知函数f (x )及其导函数f ′(x )，若存在x 0∈R 使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”.下列选项中有“巧值点”的函数是( )A.f (x )＝x 2B.f (x )＝e －xC.f (x )＝ln xD.f (x )＝tan x答案 AC解析 若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ，令x 2＝2x ，得x ＝0或x ＝2，方程显然有解，故A 符合要求；若f (x )＝e －x ，则f ′(x )＝－e －x ，令e －x ＝－e －x ，此方程无解，故B 不符合要求；若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x ，令ln x ＝1x ，在同一直角坐标系内作出函数y ＝ln x 与y ＝1x 的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f (x )＝f ′(x )存在实数解，故C 符合要求；若f (x )＝tan x ，则f ′ (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝1cos 2x ，令 tan x ＝1cos 2x ，化简得sin x cos x ＝1，变形可得sin 2x ＝2，无解，故D 不符合要求.故选AC.二、填空题9.曲线y ＝cos x －x 2在点(0，1)处的切线方程为________.答案 x ＋2y －2＝0解析 y ′＝－sin x －12，将x ＝0代入，可得切线斜率为－12.所以切线方程为y －1＝－12x ，即x ＋2y －2＝0.10.(2020·江南十校联考)函数f (x )＝(2x －1)e x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为________.答案 π4解析 由f (x )＝(2x －1)e x ，得f ′(x )＝(2x ＋1)e x ，∴f ′(0)＝1，则切线的斜率k ＝1，又切线倾斜角θ∈[0，π)，因此切线的倾斜角θ＝π4.11.(2020·济南检测)曲线y ＝f (x )在点P (－1，f (－1))处的切线l 如图所示，则f ′(－1)＋f (－1)＝________.答案 －2解析 ∵直线l 过点(－2，0)和 (0，－2)，∴直线l 的斜率f ′(－1)＝0＋2－2－0＝－1，直线l 的方程为y ＝－x －2.则f (－1)＝1－2＝－1.故f ′(－1)＋f (－1)＝－1－1＝－2.12.已知直线y ＝1m 是曲线y ＝x e x 的一条切线，则实数m 的值为________.答案 －e解析 设切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，1m ，由y ＝x e x ，得y ′＝(x e x )′＝e x ＋x e x .若直线y ＝1m 是曲线y ＝x e x 的一条切线，y ′|x ＝n ＝e n ＋n e n ＝0，解得n ＝－1，因此1m ＝n e n ＝－1e ，故m ＝－e.B 级 能力提升13.若曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线也是曲线y ＝ln x ＋b 的切线，则b ＝() A.－1 B.1 C.2 D.e答案 C解析 y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，则曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线斜率k ＝1，则曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线方程为y －1＝x ，即y ＝x ＋1.设y ＝x ＋1与y ＝ln x ＋b 相切的切点为(m ，m ＋1).又y ′＝1x ，则1m ＝1，解得m ＝1.所以切点坐标为(1，2)，则2＝b ＋ln 1，得b ＝2.14.(多选题)(2020·重庆抽测)若函数y ＝f (x )的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数t ，则称函数y ＝f (x )为“t 函数”.下列函数中可以称为“2函数”的是( )A.y ＝x －x 3B.y ＝x ＋e xC.y ＝x ln xD.y ＝x ＋cos x答案 CD解析 设切点的横坐标分别为x 1，x 2，对于A ，y ′＝1－3x 2，所以两条切线的斜率之和为2－3(x 21＋x 22)，由于x 1，x 2不能同时为零，所以2－3(x 21＋x 22)＜2，不符合题意；对于B ，y ′＝1＋e x ，所以两条切线的斜率之和为2＋e x 1＋e x 2＞2，不符合题意；对于C ，y ′＝ln x ＋1，所以两条切线的斜率之和为2＋ln x 1＋ln x 2＝2＋ln(x 1x 2)，当x 1，x 2互为倒数时，两切线的斜率之和为2，符合题意；对于D ，y ′＝1－sin x ，所以两条切线的斜率之和为2－sin x 1－sin x 2，当sin x 1＋sin x 2＝0，即x 1＝2k π－x 2或x 1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12π＋x 2(k ∈Z )时，两条切线的斜率之和为2，符合题意.综上所述，故选CD.15.(2021·武汉调研)若曲线y ＝2x 与函数f (x )＝a e x 在公共点处有相同的切线，则实数a 的值为________.答案 2ee解析 由y ＝2x ，得y ′＝1x ，且f ′(x )＝a e x ， 设两曲线的公共点为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧1x 0＝a e x 0，2x 0＝a e x 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝12，a ＝2e e .16.曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是________. 答案 2解析 设曲线在点P (x 0，y 0)(x 0>0)处的切线与直线x －y －2＝0平行，则y′|x＝x0＝⎝⎛⎭⎪⎫2x－1x|x＝x0＝2x0－1x0＝1.∴x0＝1，y0＝1，则P(1，1)，则曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离d＝|1－1－2|12＋（－1）2＝2.。
变化率与导数、导数的计算
课堂互动讲练
【规律总结】 函数的导数与导 数值的区别与联系：导数是原来函数 的导函数，而导数值是导函数在某一 点的函数值，导数值是常数．
课堂互动讲练
考点二 导数的运算
1．运用可导函数求导法则和导 数公式，求函数y＝f(x)在开区间(a， b)内的导数的基本步骤： (1)分析函数y＝f(x)的结构和特 征； (2)选择恰当的求导法则和导数公 式求导； (3)整理得结果．
三基能力强力
4．(教材习题改编)已知f(x)＝13 －8x＋x2，且f′(x0)＝2.则x0＝ ________.
5 2 答案： 2
三基能力强力
5．(2009年高考江苏卷改编)已知 点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，过 点P的切线垂直于直线x＋2y＋3＝0， 则点P的坐标为________． 答案：(－2,15)，(2，－9)
【思路点拨】 首先要判断已知 点是否在曲线上，再根据切线的斜率 即导数值列方程解决问题．
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【解】 (1)∵f(2)＝23＋2－16＝－6， ∴点(2，－6)在曲线上． ∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1， ∴在点(2，－6)处的切线的斜率为 k＝f′(2)＝3×22＋1＝13. ∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)． 即y＝13x－32. 4分
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高考检阅
(本题满分 10 分)已知函数 f(x)＝ ax－6 的图象在点 M(－1，f(－1))处的切 2 x ＋b 线方程为 x＋2y＋5＝0，求函数 f(x)的解 析式．
课堂互动讲练
解：由M(－1，f(－1))在x＋2y＋ 5＝0上得 －1＋2f(－1)＋5＝0，即f(－1)＝ －2. －a－6 也即 ＝－2.① 4分 1＋b a(x2＋b)－2x(ax－6) f′(x)＝ ，由 2 2 (x ＋b) 1 f′(－1)＝－ 得 2
函数的平均变化率与导数(Word)
导数的概念及运算知识梳理1. 平均变化率与瞬时变化率（1）函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率x y∆∆＝ ．（2）函数()f x 在处0x x =的瞬时变化率为 2. 导数的概念（1）函数()f x 在x x =处的导数：()f x 在点0x 处的导数就是函数()f x 在x x =处的瞬时变化率即()0'x f =（2）函数()f x 的导函数:当x 变化时()x f '是x 的一个函数，称()x f '为()f x 的导函数（简称导数）即()x f '=3. 导数的几何意义与物理意义 （1）几何意义切线方程为： （2）物理意义4．基本初等函数的导数①;C '=②();nx '=③(sin )x '=; ④(cos )x '=;⑤()x a '=;⑥();x e '=⑦()l g a o x '=; ⑧()ln x '=.5．导数的运算法则_______ ______ ______ [](4)()'C f x ⋅=_______ ___________ 6．复合函数的导数()()()()的导数的关系为：的导数与复合函数x g u u f y x g f y ===,【题型分析】一．导数的概念及其几何意义例1：（1）若0'()2f x =，则当k 无限趋近于0时00()()2f x k f x k--=________()()()()()====k x f x x f y x f y x x f y 切线的斜率即：处的在点是曲线处的导数在函数000'0,P ()=0'x f ()()时刻的是物体运动在处的导数在函数00'0t t S S S ===t t t t ()()时刻的是物体运动在处的导数在函数00'0t t V V V ===t t t t ()()()'1f x g x ±=⎡⎤⎣⎦()()()'2.f x g x =⎡⎤⎣⎦()()'15f x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦()()()'3f x g x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2）如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，， 的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ；(1)(1)limx f x f x∆→+∆-=∆．（用数字作答）二．导数的计算例2：求下列函数的导数（1）2()(2)()f x x a x a =+- （2）22()cos sin cos f x x x x =⋅+（3）()x xf x = （4）()f x =（5）()()ln ln ln f x x =⎡⎤⎣⎦ （6）()2()3lg 1cos2xf x x =⋅-三．与切线相关的问题例3：（1）曲线32242y x x x =--+在点(1,3)-处的切线方程是_________。
变化率与导数、导数的计算 (共31张PPT)
4. 若 f x cosx,则 f ' x sin x ;
6. 若 f x ex ,则 f ' x ex ;
1 7. 若 f x loga x, 则 f x ; x lna 1 ' 8. 若 f x ln x, 则 f x . x
3x2sin x－x3－1cos x y′ = sin2x
考点一
导数的运算 (基础送分型考点——自主练透)
[必备知识]
1．基本初等函数的导数公式 (xα)′＝αxα－1，(sin x)′＝cos x，(cos x)′＝－sin x，(ax)′ 1 1 ＝a ln a，(e )′＝e ，(logax)′＝ ，(ln x)′＝x. xln a
'
(二)小题查验
判断正误
(1)sin
π π ′＝cos 3 3
(× ) (× )
(√ )
1 1 (2)若(ln x)′＝x，则x′＝ln x
(3)(3x)′＝3xln 3
基础盘查三
导数四则运算法则
(一)循纲忆知
能利用导数的四则运算法则求解导函数．
知识小结
1. 由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、
f(x0 +Δx)- f(x0 ) k = f(x0 )= lim Δx→ 0 Δx
切线方程：
y - f(x 0 ) = f (x 0 )(x - x 0 )
作用：
确定x = x 0处切线的斜率，从而确 定切线的方程.
(二)小题查验
1．判断正误
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率 ( × )
求下列函数的导数． (1)y＝x2sin x； 1 (2)y＝ln x＋x； (3)y＝ cos x ； ex
函数的导数与变化率知识点总结
函数的导数与变化率知识点总结函数的导数是微积分中一个重要的概念，它在研究函数的性质和变化规律时起到了重要的作用。
导数可以用于求函数的切线方程、最值、极值等性质，因此在许多实际问题中都有广泛的应用。
本文将对函数的导数与变化率的知识点进行总结，并介绍其基本概念、计算方法以及几个典型应用。
1. 导数的基本概念导数表示了函数在某一点的瞬时变化率，也可以理解为函数的斜率。
对于函数f(x)，其在某一点x=a处的导数记为f'(a)，可以通过下式进行计算：f'(a) = lim(h→0) [f(a+h) - f(a)] / h其中，h表示变化的增量。
导数的计算实际上是求取函数在某一点的极限。
若导数存在，则说明函数在该点可微，也就是函数在该点的图像是光滑的。
2. 导数的计算方法导数的计算方法有多种，根据函数的性质和表达式的不同而有所不同。
以下是几种常见的导数计算方法：2.1 基本初等函数的导数计算对于多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数，都有相应的导数公式可以直接使用。
例如，多项式函数f(x)=ax^n的导数为f'(x)=anx^(n-1)，指数函数f(x)=e^x的导数为f'(x)=e^x，对数函数f(x)=ln(x)的导数为f'(x)=1/x，三角函数如sin(x)、cos(x)的导数分别为cos(x)和-sin(x)等。
2.2 导数的基本运算法则导数的计算还可以利用导数的基本运算法则，如和差法则、积法则、商法则等。
通过将复杂函数分解为基本初等函数的求导结果，并利用这些基本运算法则进行运算，可以较容易地求得复合函数的导数。
2.3 链式法则链式法则是求复合函数导数的常用方法。
对于函数y=f(u)，u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过以下公式进行计算：dy/dx = dy/du * du/dx3. 变化率与导数的关系导数不仅表示了函数在某一点的瞬时变化率，还可以用于描述函数在整个定义域上的变化规律。
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1●高考明方向1.了解导数概念的实际背景．2.理解导数的几何意义．3.能根据导数定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x 的导数． 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则 求简单函数的导数.★备考知考情由近几年高考试题统计分析可知，单独考查导数运算的题目很少出现，主要是以导数运算为工具，考查导数的几何意义为主，最常见的问题就是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系，以平行或垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，以及与曲线的切线相关的计算题．考查题型以选择题、填空题为主，多为容易题和中等难度题，如2014广东理科10、文科11. 2014广东理科10 曲线52-=+xy e在点()0,3处的切线方程为 ；2014广东文科11曲线53=-+xy e 在点()0,2-处的切线方程为 ；一、知识梳理《名师一号》P39知识点一导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x.(2)称函数f′(x)＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx为f(x)的导函数.注意:《名师一号》P40 问题探究问题1f′(x)与f′(x0)有什么区别？f′(x)是一个函数，f′(x0)是常数，f′(x0)是函数f′(x)在点x0处的函数值．例.《名师一号》P39 对点自测11.判一判(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．()(2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．()(3)f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．()答案(1)×(2)×(3)√23知识点二 导数的运算公式及法则 1.基本初等函数的导数公式注意：（补充）常量函数的导数为零11.(),'()0;2.(),'();3.()sin ,'()cos ;4.()cos ,'()sin ;5.(),'()ln (0);6.(),'();17.()log ,'()(0,1);ln 8.nn x xx x a f x c f x f x x f x nx f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x a -========-==>====>≠公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln ,'();f x x f x x ==则42.导数的运算法则注意：（补充） 复合函数的导数(())y f u x =，'''(())()y f u x u x =注意:《名师一号》P40 问题探究 问题3对函数求导时，其基本原则是什么？ 求函数的导数时，要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算的形式，再利用运算法则求导数．对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形； 对于比较复杂的函数，如果直接套用求导法则，会使求导过程繁琐冗长，且易出错，此时，可将解析式进行合'221.(()())''()'()2.(()())''()()()'()()'()()()()'3.()()4.(())''()1'()5.[]'()()f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x f x g x f x g x g x g x cf x cf x g x g x g x ±=±⋅=⋅+⋅⎛⎫-= ⎪⎝⎭==-理变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数．但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误．, 称为曲线在点P处的切线的斜率.即:'0000()()()lim lim∆→∆→+∆-∆===∆∆x xf x x f xyk f xx x切线56导数的几何意义函数在x=x 0处的导数——曲线y=f(x)在点（x 0,f(x 0))处切线的斜率. 导数的物理意义——瞬时速度 例.周练13-1一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是( )A ．7米/秒B ．5米/秒C ．6米/秒D ．4米/秒注意:《名师一号》P40 问题探究 问题2过点P 的切线与在点P 处的切线有什么区别？ 在点P 处的切线，P 是切点，而过点P 的切线，P 不一定是切点， 后者包括前者．注意:《名师一号》P40 问题探究 问题2过点P 的切线与在点P 处的切线有什么区别？ 在点P 处的切线，P 是切点，而过点P 的切线，P 不一定是切点，后者包括前者．7二、例题分析： (一) 导数的计算 例1.（补充）用导数定义求函数1()f x x=的导数。
注意：(补充)（1）能用导数定义求几个常用函数的导数 （参看选修1-1 课本）21,,,,=====y c y x y x y y x（2）求函数 y = f (x )的导数的一般方法1）求函数的改变量2）求平均变化率3）求值例2.《名师一号》P40 高频考点 例1求下列函数的导数：00()();f f x x f x ∆=+∆-00()();f x x f x fx x +∆-∆=∆∆0()lim .x f f x x ∆→∆'=∆8(1)y ＝x 3－2x ＋3；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3) 2sin12cos 24⎛⎫=- ⎪⎝⎭x x y ；解析：(1)y ′＝(x 3－2x ＋3)′＝(x 3)′－(2x )′＋(3)′＝3x 2－2.(2)方法1：∵y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11. 方法2：y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′ ＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝3x 2＋12x ＋11.(3)∵2sin 12cos 24⎛⎫=- ⎪⎝⎭x x y ＝－12sin x ， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12sin x ′＝－12(sin x )′＝－12cos x .注意:《名师一号》P40 高频考点 例1 规律方法91.求函数的导数的具体方法是：①遇到连乘积的形式，先展开化为多项式形式，再求导； ②遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导； ③遇到复杂分式，先将分式化简，再求导． 2．复合函数的求导，要选择恰当的中间变量， 分清复合关系．练习：1、设()()()()()''01021sin ,,,,===f x x f x f x f x f x()()'1,,+=∈n n f x f x n N 则()2015f x =（ ） A. sin x B. sin -x C. cos x D. cos -x【答案】D 2、（2009安徽卷文）设函数32sin ()tan 32f x x x θθθ=++，其中 50,12πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则导数()'1f 的取值范围是( )A. B. C. D.10【答案】D解:()21(1)sin x f x xθθ='=⋅+⋅sin 2sin()3πθθθ=+=+50,sin()1232(1)f πθπθ⎤⎡⎤∈∴+∈⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎤'∴∈⎦， 选D.注意：对解析式中含有多个字母的函数求导， 明确自变量是关键！例3. 《名师一号》P39 对点自测3已知f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则f ′(2)＝________.11解析 由题意，得f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)．∴f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)，∴f ′(2)＝－2.注意：导数0'()f x 是一个常数，不是变量.练习：1、周练13-5已知2'()2(1)f x x x f =+∙，则 '(0)f 等于（ ）A.- 2B. 2 C ．1 D.- 42、(2009湖北卷理)已知函数()'()cos sin ,4f x f x x π=+则()4f π的值为 .解：因为'()'()sin cos 4f x f x x π=-⋅+所以'()'()sin cos 4444f f ππππ=-⋅+'()14f π⇒=-12 故()'()cos sin ()144444f f f πππππ=+⇒=例4.（补充）（1）周练13-12若f ′(x )＝3x 2－6x ，且f (0)＝4，则不等式f (x )>0的解集是________;答案：{x |x >－1，且x ≠2}由题可设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，∴f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＝3，2b ＝－6，c ＝0，d ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－3，c ＝0，d ＝4.∴f (x )＝x 3－3x 2＋4＝x 3＋x 2－4(x 2－1)＝x 2(x ＋1)－4(x －1)(x ＋1)＝(x ＋1)(x －2)2，∴f (x )>0的解为x >－1，且x ≠2.（2）周练13-7定义在(0，＋∞)上的可导函数f (x )满足f ′(x )·x <f (x )，且f (2)＝0，13则f (x )x >0的解集为( )A ．(0,2)B ．(0,2)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．∅答案：A[f (x )x ]′＝f ′(x )·x －f (x )x 2<0，∴f (x )x为减函数，∵f (2)＝0， ∴f (2)2＝0.∴f (x )x>0的解为0<x <2.注意：导数计算公式及运算法则的逆向使用—-务必准确熟练掌握公式及明确其结构特点!（二）导数的几何意义例1.《名师一号》P40 高频考点 例2(1)(2014·新课标全国卷Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)(2014·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．14解析：(1)∵y ＝ax －ln(x ＋1)，∴y ′＝a －1x ＋1. ∴y ′|x ＝0＝a －1＝2，得a ＝3.(2)由曲线y ＝ax 2＋b x 过点P (2，－5)．得4a ＋b 2＝－5.① 又y ′＝2ax －b x 2， 所以当x ＝2时，4a －b 4＝－72.② 由①②得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.例2. 《名师一号》P41 特色专题 典例若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，则a 的值是( )A ．1 B.164 C ．1或164 D ．1或－164【错解】∵点O(0,0)在曲线f(x)＝x3－3x2＋2x上，∴直线l与曲线y＝f(x)相切于点O.则k＝f′(0)＝2，直线l的方程为y＝2x.又直线l与曲线y＝x2＋a相切，∴x2＋a－2x＝0满足Δ＝4－4a＝0，a＝1.选A.【错因】(1)片面理解“过点O(0,0)的直线与曲线f(x)＝x3－3x2＋2x 相切”．这里有两种可能：一是点O是切点；二是点O不是切点，但曲线经过点O，解析中忽视后面情况．(2)本题还易出现以下错误：一是当点O(0,0)不是切点，无法与导数的几何意义沟通起来；二是盲目设直线l的方程，导致解题复杂化，求解受阻．【规范解答】1516 易知点O (0,0)在曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 上，(1)当O (0,0)是切点时，同上面解法．(2)当O (0,0)不是切点时，设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，且k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2.①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2.②由①②联立，得x 0＝32(x 0＝0舍)，所以k ＝－14， ∴所求切线l 的方程为y ＝－14x . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0. 依题意，Δ＝116－4a ＝0，∴a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.【答案】 C三次函数的切线.gsp注意：(补充)1、对于二次函数过点，若点在曲线上则点一定是切点，不在曲线上一定不是切点。