2021届高考数学一轮知能训练：2021年高考数学模拟试卷(一)高考模拟题
2021年新高考全国一卷数学模拟试卷及答案解析
2021年新高考全国一卷数学模拟试卷一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）如果复数m2+i
1+mi
是纯虚数，那么实数m等于（）
A．﹣1B．0C．0或1D．0或﹣1
2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣12＜0}，则∁R A＝（）
A．{x|x≤﹣2或x≥6}B．{x|﹣2≤x≤6}
C．{x|﹣6＜x≤2}D．{x|x≤﹣6或x≥2}
3．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，则一年的总运费与总存储费用和最小为（）
A．60万元B．160万元C．200万元D．240万元
4．（5分）设α∈R，则“a＜﹣1”是“a2﹣5a﹣6＞0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（5分）函数y＝（x3﹣x）•3|x|的图象大致是（）
A．B．
C．D．
6．（5分）武汉疫情爆发后，某医院抽调3名医生，5名护士支援武汉的三家医院，规定每家医院医生一名，护士至少一名，则不同的安排方案有（）
A．900种B．1200种C．1460种D．1820种
7．（5分）2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗．1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，
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2021年高考数学模拟试卷一(理科)附答案解析
2021年高考数学模拟试卷（全国卷1）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|3−x>1}，B={x|3−3x>0}，则()A. A∩B={x|x>1}B. A∪B={x|x>2}C. A∪B=RD. A∩(∁R B)={x|1≤x<2}2.设(−1+2i)x=y−1−6i，x，y∈R，则|x−yi|=()A. 6B. 5C. 4D. 33.函数f(x)=ln|x||x|的图象是()A. B.C. D.4.某高中为了解学生课外知识的积累情况，随机抽取200名同学参加课外知识测试，测试共5道题，每答对一题得20分，答错得0分.已知每名同学至少能答对2道题，得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则下列说法正确的是()A. 该次课外知识测试及格率为90%B. 该次课外知识测试得满分的同学有30名C. 该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数D. 若该校共有3000名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有1440名5.已知向量a⃗=(−1,2)，b⃗ =(2,−3)，则a⃗−2b⃗ 在a⃗+b⃗ 方向上的投影为()A. 13√22B. −13√22C. 13√8989D. −13√89896.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=1，AA1=√3，点D是侧棱BB1的中点，则直线C1D与平面ABC所成角的余弦值为()A. √32B. 2√55C. √77D. 2√777.已知函数f(x)=cos(2x+φ)(−π≤φ≤π)的图象向右平移π12个单位长度后，与函数g(x)=sin2x的图象重合，则f(x)的单调递减区间为()A. [kπ+π3,kπ+5π6](k∈Z) B. [kπ−π6,kπ+π3](k∈Z)C. [kπ+π6,kπ+2π3](k∈Z) D. [kπ−π3,kπ+π6](k∈Z)8.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的半圆的直径为2，则该几何体的表面积为()A. 3π+2B. 4π+2C. 3π+3D. 4π+39.意大利数学家斐波那契于1202年在他撰写的《算盘全书》中提出一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…….这个数列称为斐波那契数列，该数列与自然界的许多现象有密切关系，在科学研究中有着广泛的应用.该数列{a n}满足a1=a2= 1，a n+2=a n+a n+1(n∈N+)，则该数列的前1000项中，为奇数的项共有()A. 333项B. 334项C. 666项D. 667项10.已知抛物线C：y2=4x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，则直线OA，OB(O为坐标原点)的斜率之积为()A. −8B. −4C. −2D. −111.已知数列{a n}满足a2n−a2n−1=3n−1，a2n+1+a2n=3n+5(n∈N+)，则数列{a n}的前40项和S40=()A. 321+1972B. 320+1972C. 910+98D. 920+9812. 已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)满足f′(x)+f(x)x=1x 2，且f(e)=2e ，e 为自然对数的底数，若关于x 的不等式f(x)x−x −ax +2≤0恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. [1,+∞)B. [2,+∞)C. [e+2e,+∞) D. [−e 3+2e 2+2e,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足{x +y ≥1x ≤1y ≤1，则z =3x −y 的最小值为______ ．14. 小张计划从5个沿海城市和4个内陆城市中随机选择2个去旅游，则他至少选择1个沿海城市的概率是______ ． 15. 已知双曲线C ：x 2−y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在其右支上，△F 1PF 2的内切圆为⊙I ，F 2M ⊥PI ，垂足为点M ，O 为坐标原点，则|OM|= ______ ．16. 定义在R 上的函数f(x)满足f(−x)+f(x)=0，当x ≥0时，f(x)=x 2.若不等式14f(ax 2)+f(3−x)≥0对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的最小值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且bcosA =c −√32a ．(1)求角B ；(2)若△ABC 的面积为2√3，BC 边上的高AH =1，求b ，c ．18. 某射击小组由两名男射手与一名女射手组成，射手的每次射击都是相互独立的，已知每名男射手每次的命中率为23，女射手每次的命中率为13． (1)当每人射击2次时，求该射击小组共射中目标4次的概率；(2)当每人射击1次时，规定两名男射手先射击，如果两名男射手都没有射中，那么女射手失去射击资格.一个小组共射中目标3次得100分，射中目标2次得60分，射中目标1次得10分，没有射中目标得−50分.用随机变量X 表示这个射击小组的总得分，求X 的分布列及数学期望．19. 点E ，F 分别是正方形ABCD 的边AB ，BC 的中点，点M 在边AB 上，且AB =3AM ，沿图1中的虚线DE ，EF ，FD 将△ADE ，△BEF ，△CDF 折起使A ，B ，C 三点重合，重合后的点记为点P ，如图2． (1)证明：PF ⊥DM ．(2)求二面角P −DM −F 的余弦值．20. 已知动点P 到点(−√6,0)的距离与到直线x =−4√63的距离之比为√32．(1)求动点P 的轨迹C 的标准方程．(2)过点A(−4,0)的直线l 交C 于M ，N 两点，已知点B(−2,−1)，直线BM ，BN 分别交x 轴于点E ，F.试问在x 轴上是否存在一点G ，使得BE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GF ⃗⃗⃗⃗⃗ +GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)=ln(x+3)−x．(1)求函数f(x)的最大值．(2)若关于x的方程ae x+ln ax+3=3(a>0)有两个不等实数根x1，x2，证明：e x1+e x2>2a．22.在极坐标系中，点A(1,π6)，B(1,π2)，曲线C：ρ=2sin(θ+π3).以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．(1)在直角坐标系中，求点A，B的直角坐标及曲线C的参数方程；(2)设点P为曲线C上的动点，求|PA|2+|PB|2的取值范围．23.(1)已知a+b+c=1，证明：(a+2)2+(b+2)2+(c+2)2≥49．3(2)若对任意实数x，不等式|x−a|+|2x+1|≥3恒成立，求实数a的取值范围．2答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={x|3−x>1}={x|x<2}，B={x|3−3x>0}={x|x<1}，∴A∩B={x|x<1}，A∪B={x|x<2}，∁R B={x|x≥1}，∴A∩(∁R B)={x|1≤x<2}．故选：D．求出集合A，B，进而求出A∩B，A∪B，∁R B，A∩(∁R B)，由此能求出结果．本题考查集合的运算，考查交集、并集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵(−1+2i)x=y−1−6i，x，y∈R，∴−x+2xi=y−1−6i，∴{−x=y−12x=−6，解得x=−3，y=4，∴|x−yi|=|−3−4i|=√(−3)2+(−4)2=5．故选：B．推导出−x+2xi=y−1−6i，利用复数相等的定义列出方程组，求出x=−3，y= 4，由此能求出|x−yi|．本题考查向量的模的求法，考查向量相等、向量的模等基础知识，考查运算求解能力等核心思想，是基础题．3.【答案】A是偶函数，排除B，C选项．【解析】解：函数f(x)=ln|x||x|当0<x<1时，y=ln|x|<0，<0．∴y=ln|x||x|故选：A．根据奇偶性，在利用代入特殊点即可选出答案．本题考查了函数图象变换，是基础题．4.【答案】C【解析】解：由测试成绩百分比分布图知：对于A，该次课外知识测试及格率为1−8%=92%，故A错误；对于B，该次课外知识测试得满分的同学有：200×(1−8%−32%−48%)=24名，故B错误；对于C，该次测试成绩的中位数为80分，该次测试成绩的平均数为：40×8%+60×32%+80×48%+100×(1−8%−32%−48%)=71.6(分)，∴该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数，故C正确；对于D，该校共有3000名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有：3000×(1−8%−32%)=1800(名)，故D错误．故选：C．利用测试成绩百分比分布图直接求解．本题考查命题真假的判断，考查扇形分布图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力等核心思想，是基础题．5.【答案】B【解析】解：∵a⃗−2b⃗ =(−5,8)，a⃗+b⃗ =(1,−1)，∴(a⃗−2b⃗ )⋅(a⃗+b⃗ )=−5−8=−13，|a⃗+b⃗ |=√2，∴a⃗−2b⃗ 在a⃗+b⃗ 方向上的投影为：(a⃗ −2b⃗)⋅(a⃗ +b⃗)|a⃗ +b⃗|=√2=−13√22．故选：B．根据条件可求出向量a⃗−2b⃗ 和a⃗+b⃗ 的坐标，然后即可求出(a⃗−2b⃗ )⋅(a⃗+b⃗ )和|a⃗+b⃗ |的值，根据投影的计算公式即可求出a⃗−2b⃗ 在a⃗+b⃗ 方向上的投影．本题考查了向量加法、减法、数乘和数量积的运算，投影的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：因为平面ABC//平面A1B1C1，所以直线C1D与平面ABC所成的角，即是直线C1D与平面A1B1C1所成的角，因为BB1⊥平面平面A1B1C1，所以∠DCB即是直线C1D与平面A1B1C1所成的角，设其大小为θ，则tanθ=B1DB1C1=√321=√32，所以cosθ=1√1+tan2θ=2√77．故选：D．根据直线与两平行平面的成角相等，求出正切值再求余弦值判断．本题考查了正三棱柱性质，考查了直线与平面成角问题，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：∵函数f(x)=cos(2x+φ)(−π≤φ≤π)的图象向右平移π12个单位长度后，可得y=cos(2x−π6+φ)的图象，所得图象与函数g(x)=sin2x的图象重合，∴−π6+φ=−π2，∴φ=−π3，f(x)=cos(2x−π3).令2kπ≤2x−π3≤2kπ+π，求得kπ+π6≤x≤kπ+2π3，可得f(x)的单调递减区间为[kπ+π6,kπ+2π3]，k∈Z，故选：C．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得f(x)的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体由一个半径为1的14的球和一个底面半径为1，高为1的半圆柱组成．故该几何体的表面积为：S 表=14⋅4⋅π⋅12+2×12⋅π⋅12+π⋅1⋅1+2×1=3π+2．故选：A．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出组合体的表面积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的表面积公式，球的表面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：该数列第3，6，9，…项为偶数，以3为周期，1000=3×333+1，所以前1000项中，为偶数的项共有333项，则为奇数的项共有1000−333=667项．故选：D．该数列第3，6，9，…项为偶数，以3为周期，可求出为偶数的项数，从而可求得为奇数的项的项数．本题考查了数列递推式，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则k OA=y1x1,k OB=y2x2，所以k OA⋅k OB=y1y2x1x2，设直线AB的方程为：x=my+2，并代入抛物线方程消去x可得：y2−4my−8=0，所以y1y2=−8，则x1x2=(y1y2)216=4，所以k OA⋅k OB=y1y2x1x2=−84=−2，故选：C．设出点A，B的坐标，由此即可求出直线OA，OB的斜率之积，再由已知设出直线AB 的方程，并与抛物线方程联立，利用韦达定理以及斜率之积的关系式即可求解．本题考查了直线与抛物线的位置关系的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：数列{a n}满足a2n−a2n−1=3n−1，a2n+1+a2n=3n+5(n∈N+)，∴a2n+1+a2n−1=6，a 2n+2+a 2n −(a 2n+1+a 2n−1)=a 2n+2−a 2n+1+a 2n −a 2n−1=3n+1−1+3n −1=4×3n −2，∴a 2n+2+a 2n =4×3n +4，∴(a 1+a 3)+⋯…+(a 37+a 39)=6×10=60．(a 2+a 4)+⋯…+(a 38+a 40)=4×(3+33+⋯…+319)+4×10=4×3(1−910)1−9+40=321−32+40．则数列{a n }的前40项和S 40=60+321−32+40=321+1972．故选：A ．数列{a n }满足a 2n −a 2n−1=3n −1，a 2n+1+a 2n =3n +5(n ∈N +)，可得a 2n+1+a 2n−1=6，又可得a 2n+2+a 2n =4×3n +4，通过分组求和及其利用等比数列的求和公式即可得出．本题考查了数列递推式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：令F(x)=xf(x)，则F′(x)=f(x)+xf′(x)， 而f′(x)+f(x)x=1x 2，故F ′(x)=1x ，故F (x)=lnx +c ，由F(e)=ef(e)=2=lne +c =2，解得：c =1， 故F (x)=lnx +1，故f(x)=lnx+1x，若关于x 的不等式f(x)x−x −a x +2≤0恒成立，则a ≥lnx+1x−x 2+2x 在x ∈(0,+∞)恒成立， 令g(x)=lnx+1x −x 2+2x ，x ∈(0,+∞)， 则g′(x)=−lnx x 2−2(x −1)，x ∈(0,1)时，lnx <0，x −1<0，故g′(x)>0，g(x)在(0,1)递增， x ∈(1,+∞)时，lnx >0，x −1>0，g′(x)<0，g(x)在(1,+∞)递减， 故g(x)max =g(1)=2，故a ≥2，即a 的取值范围是[2,+∞)， 故选：B ．令F(x)=xf(x)，根据题意得到f(x)=lnx+1x，问题转化为a ≥lnx+1x−x 2+2x 在x ∈(0,+∞)恒成立，令g(x)=lnx+1x−x2+2x，x∈(0,+∞)，根据函数的单调性求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是中档题．13.【答案】−1【解析】解：由约束条件作出可行域如图，直线x+y=1与y轴交于A(0,1)，化z=3x−y为y=3x−z，由图可知，y=3x−z过点(0,1)时，直线在y轴上的截距最大，z取得最小值−1．故答案为：−1．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．14.【答案】56【解析】解：小张计划从5个沿海城市和4个内陆城市中随机选择2个去旅游，基本事件总数n=C92=36，他至少选择1个沿海城市包含的基本事件个数m=C51C41+C52=30，则他至少选择1个沿海城市的概率P=mn =3036=56．故答案为：56．基本事件总数n=C92=36，他至少选择1个沿海城市包含的基本事件个数m=C51C41+ C52=30，由此能求出他至少选择1个沿海城市的概率．本题考查概率的运算，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．15.【答案】a【解析】解：设内切圆I与边PF1的切点为Q，与边PF2的切点为L，与x轴的切点为K，由切线长定理可得||F1K|=|F1Q|，|F2K|=|F2L|，|PF1|−|PF2|=2a=|F1Q|−|F2L|=|F1K|−|F2K|，又|F1K|+|F2K|=2c，解得|F2K|=c−a，则K(a,0)，即I的横坐标为a，即I在直线x=a上，延长F2M交PF1于N，可得PM为NF2的垂直平分线，可得|PN|=|PF2|，且M为NF2的中点，可得|OM|=12|NF1|，而|PF1|−|PF2|=|NF1|=2a，可得|OM|=a，故答案为：a．设内切圆I与边PF1的切点为Q，与边PF2的切点为L，与x轴的切点为K，运用圆的切线长定理和双曲线的定义可得|F2K|=c−a，延长F2M交PF1于N，运用等腰三角形的三线合一以及中位线定理，双曲线的定义，求解OM即可．本题考查双曲线的定义和性质，以及圆的切线长定理的运用，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．16.【答案】16【解析】解：因为定义在R上的函数f(x)满足f(−x)+f(x)=0，即f(x)=−f(x)，所以f(x)为奇函数，又当x≥0时，f(x)=x2，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，由f(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以f(x)在(−∞,0)上单调递增，又14f(ax2)+f(3−x)≥0，即f(12ax2)≥f(x−3)，所以12ax2≥x−3对任意x∈R恒成立，当x=0时，不等式成立；当x ≠0时，不等式等价于a ≥(2x−6x 2)max ， 令g(x)=2x−6x 2，g′(x)=2x 2−2x(2x−6)x 4=2x(6−x)x 4，令g′(x)>0，可得0<x <6，令g′(x)<0，可得x <0或x >6， 所以g(x)在(0,6)上单调递增，在(−∞,0)，(6,+∞)上单调递减， 当x ∈(−∞,0)时，g(x)<0， 所以g(x)max =g(6)=16， 所以a ≥16，所以a 的最小值为16． 故答案为：16．判断函数f(x)的奇偶性与单调性，将不等式转化为12ax 2≥x −3对任意x ∈R 恒成立，当x =0时，不等式成立，当x ≠0时，分离参数可得a ≥(2x−6x 2)max ，令g(x)=2x−6x 2，利用导数求出g(x)的最大值，即可得解．本题主要考查不等式恒成立问题，考查函数奇偶性与单调性的综合，以及导数的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为bcosA =c −√32a ， 所以由正弦定理可得sinBcosA =sinC −√32sinA =sin(A +B)−√32sinA =sinAcosB +cosAsinB −√32sinA ， 可得sinAcosB =√32sinA ，因为sinA ≠0，可得cosB =√32，所以由B ∈(0,π)，可得B =π6．(2)因为△ABC 的面积为2√3，BC 边上的高AH =1，在Rt △ABH 中，可得c =AH sinB =1sin π6=2，BH =√c 2−AH 2=√22−12=√3，所以2√3=12acsinB =12×(√3+HC)×2×12，解得HC =3√3，可得a =BH +HC =4√3，在△ABC 中，由余弦定理可得b =√a 2+c 2−2accosB =√(4√3)2+22−2×4√3×2×√32=2√7．【解析】(1)由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合sinA ≠0，可得cos B 的值，结合B ∈(0,π)，可得B 的值．(2)在Rt △ABH 中，由已知利用三角函数的定义可求c ，利用勾股定理可求BH 的值，进而根据三角形的面积公式可求HC 的值，从而可得a ，在△ABC 中，由余弦定理即可求得b 的值．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式化，勾股定理，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：(1)某射击小组由两名男射手与一名女射手组成，射手的每次射击都是相互独立的，每名男射手每次的命中率为23，女射手每次的命中率为13． 当每人射击2次时，该射击小组共射中目标4次的概率为：P =C 44(23)4C 20(23)2+C 43(23)3(13)C 21(13)(23)+C 42(23)2(13)2C 22(13)2=827．(2)随机变量X 表示这个射击小组的总得分，则X 的可能取值为−50，10，60，100， P(X =−50)=13×13=19，P(X =10)=C 21(23)(13)(23)=827，P(X =60)=C 21(23)(13)(13)+(23)2(23)=1227，P(X =100)=(23)2(13)=427，∴X 的分布列为：数学期望E(X)=−50×19+10×827+60×1227+100×427=3509．【解析】(1)利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式能求出当每人射击2次时，该射击小组共射中目标4次的概率．(2)随机变量X 表示这个射击小组的总得分，则X 的可能取值为−50，10，60，100，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识等核心素养，是中档题．19.【答案】(1)证明：由题意知PE 、PF 、PD 两两垂直， 所以PF ⊥平面PED ，又因为DM ⊂平面PED ， 所以PF ⊥DM ．(2)解：由(1)可建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设正方形边长为6，则各点坐标如下：D(0,0，6)，E(0,3，0)，F(3,0，0)，M(0,2，0)，P(0,0，0)， MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,6)，MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−2,0)， 设平面DMF 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， {MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−2y +6z =0MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =3x −2y =0，令y =3，m⃗⃗⃗ =(2,3，1)， 平面PMD 的法向量为n⃗ =(1,0，0)， 设二面角P −DM −F 的大小为θ，由图可知θ为锐角， 所以cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=2√14⋅1=√147． 故二面角P −DM −F 的余弦值√147．【解析】(1)证明直线垂直另一直线所在平面即可；(2)用向量数量积计算二面角的余弦值．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．20.【答案】解：(1)设P(x,y)，由题意可得√(x +√6)2+y 2=|x +4√63|⋅√32，两边平方得x 2+2√6x +6+y 2=34(x 2+8√63x +323)，整理得14x 2+y 2=2，即x 28+y 22=1．(2)①当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为x =my −4，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立{x =my −4x 2+4y 2=8，得(n 2+4)y 2−8ny +8=0， 所以△=64n 2−32(n 2+4)=32(n 2−4)>0，解得n <−2或n >2， y 1+y 2=8n n 2+4，y 1y 2=8n 2+4，所以直线BM 的方程为y +1=y 1+1x 1+2(x +2)，令y =0得x =(n−2)y 1−4y 1+1，即E((n−2)y 1−4y 1+1,0)，同理可得F 坐标((n−2)y 2−4y 2+1,0)，设存在满足题意的点G(t,0)，BE⃗⃗⃗⃗⃗ =((n−2)y 1−4y 1+1+2,1)=(ny 1−2y 1+1,1)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =((n−2)y 2−4y 2+1+2,1)=(ny 2−2y 2+1,1)， GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =((n−2)y 1−4y 1+1−t,0)=((n−t−2)y 1−t−4y 1+1,0)，GF⃗⃗⃗⃗⃗ =((n−2)y 2−4y 2+1−t,0)=((n−t−2)y 2−t−4y 2+1,0)，所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GF ⃗⃗⃗⃗⃗ +GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(ny 1−2)[(n−t−2)y 2−t−4](y 1+1)(y 2+1)+(ny 2−2)[(n−t−2)y 1−t−4](y 1+1)(y 2+1)=0， 所以(ny 1−2)[(n −t −2)y 2−t −4]+(ny 2−2)[(n −t −2)y 1−t −4]=0， 所以(2n 2−2nt −4n)y 1y 2−(nt +6n −2t −4)(y 1+y 2)+4t +16=0， 所以(2n 2−2nt −4n)8n 2+4−(nt +6n −2t −4)(8nn 2+4)+4t +16=0， 整理得−4n 2−n 2t +4t +16=0，即−n 2(t +4)+4(t +4)=0，得(4−n 2)(t +4)=0， 因为n <−2或n >2， 所以4−n 2≠0， 所以t =−4，②当直线l 与x 轴重合时，M ，N 为C 的左右两个顶点， 设M(−2√2,0)，N(2√2,0)， 则E 与M 重合，F 与N 重合， 所以E(−2√2,0)，F(2√2,0)， 取t =−4，则G(−4,0)，BE⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−2√2,1)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2+2√2,1)，GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4−2√2,0)，GF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4+3√2,0)， 所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GF ⃗⃗⃗⃗⃗ +GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−2√2)(4+2√2)+(2+3√2)(4−2√2)=0，满足题意， 综上存在满足题意的定点G(−4,0)．【解析】(1)设P(x,y)，由题意可得√(x +√6)2+y 2=|x +4√63|⋅√32，化简即可得出答案．(2)分两种情况：①当直线l 与x 轴不重合时，②当直线l 与x 轴重合时，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GF ⃗⃗⃗⃗⃗ +GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)f(x)=ln(x +3)−x ，定义域是(−3,+∞)，f′(x)=1x+3−1=−x−2x+3，令f′(x)=0，解得：x =−2，令f′(x)>0，解得：−3<x <−2，令f′(x)<0，解得：x >−2， 故f(x)在(−3,−2)递增，在(−2,+∞)递减， 则f(x)的最大值是f(−2)=2；(2)证明：方程ae x +ln ax+3=3(a >0)可化为e x+lna +x +lna =x +3+ln(x +3)=e ln(x+3)+ln(x +3)，设g(x)=e x +x ，在(−∞,+∞)上单调递增， 又g(x +lna)=g(ln(x +3))，所以有x +lna =ln(x +3)，即方程ln(x +3)−x =lna 有两个实数根x 1，x 2， 由(1)知f(x)=ln(x +3)−x ≤2，则有lna <2， 所以a 的取值范围为(0,e 2)，因为方程f(x)=lna 有两个实数根x 1，x 2， 所以{ln(x 1+3)=x 1+lnaln(x 2+3)=x 2+lna ，则(x 1+3)−(x 2+3)ln(x1+3)−ln(x 2+3)=1，要证明e x 1+e x 2>2a ，即ae x 1+ae x 2>2，所以ae x 1+ae x 2=e x 1+lna +e x 2+lna =e ln(x 1+3)+e ln(x 2+3)=x 1+x 2+6， 需要证明x 1+3+x 2+3>2，需要证明x 1+3+x 2+3>2(x 1+3)−2(x 2+3)ln(x 1+3)−ln(x 2+3)，不妨设−3<x 1<x 2，令t =x 1+3x 2+3，则0<t <1，即要证lnt <2(t−1)t+1(0<t <1)， 设ℎ(t)=lnt −2(t−1)t+1(0<t <1)，则ℎ′(t)=(t−1)2t(t+1)2>0，所以ℎ(t)在(0,1)上的单调递增， 所以ℎ(t)<ℎ(1)=0， 即lnt <2(t−1)t+1成立，故原式成立．【解析】(1)f(x)的定义域是(−3,+∞)，求导得f′(x)=−x−2x+3，分析f′(x)的正负，f(x)单调性，即可得出答案．(2)方程ae x +ln ax+3=3(a >0)可化为e x+lna +x +lna =x +3+ln(x +3)=e ln(x+3)+ln(x +3)，设g(x)=e x +x ，分析单调性，进而可得方程ln(x +3)−x =lna 有两个实数根x 1，x 2，由(1)知f(x)=ln(x +3)−x ≤2，则有lna <2，解得a 的取值范围，由方程f(x)=lna 有两个实数根x 1，x 2，得{ln(x 1+3)=x 1+lnaln(x 2+3)=x 2+lna ，进而可得(x 1+3)−(x 2+3)ln(x1+3)−ln(x 2+3)=1，要证明e x 1+e x 2>2a ，即证明x 1+3+x 2+3>2(x 1+3)−2(x 2+3)ln(x 1+3)−ln(x 2+3)，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，函数的零点，解题中注意转化能力的应用，属于中档题． 22.【答案】解：(1)点A(1,π6)，B(1,π2)根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为直角纵坐标为A(√32,12)，B(0.1)．曲线C ：ρ=2sin(θ+π3)，整理得ρ2=ρsinθ+√3ρcosθ，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为直角坐标方程为(x −√32)2+(y −12)2=1，转换为参数方程为{x =√32+cosαy =12+sinα(α为参数)．(2)把曲线C 的直角坐标方程转换为参数方程为{x =√32+cosαy =12+sinα(α为参数)，设点P(√32+cosα,12+sinα)，所以|PA|2+|PB|2的=3+√3cosα−sinα=3+2cos(α+π6)， 由于cos(α+π6)∈[−1,1]， 故3+2cos(α+π6)∈[1,5]．故|PA|2+|PB|2的取值范围为[1,5]．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用两点间的距离公式和三角函数的关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换，余弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)由柯西不等式可得，(12+12+12)[(a+2)2+(b+2)2+(c+2)2]≥(a+2+b+2+c+2)2=72=49，即为(a+2)2+(b+2)2+(c+2)2≥493(当且仅当a=b=c=13取得等号)；(2)对任意实数x，不等式|x−a|+|2x+1|≥32恒成立，即为32≤(|x−a|+|2x+1|)min，由|x−a|+|2x+1|=|x−a|+|x+12|+|x+12|≥|x−a−x−12|+|−12+12|=|a+1 2|(当且仅当x=−12时取得等号)，所以|x−a|+|2x+1|的最小值为|a+12|，则|a+12|≥32，解得a≥1或a≤−2．则实数a的取值范围是(−∞,−2]∪[1,+∞)．【解析】(1)运用柯西不等式即可得证；(2)由题意可得32≤(|x−a|+|2x+1|)min，由绝对值不等式的性质和绝对值的意义，可得最小值，结合绝对值不等式的解法，可得所求范围．本题考查不等式的证明和不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。
2021届高三新高考模拟数学试题(解析版)
2021届高三新高考模拟英语试题第一部分阅读(共两节, 满分50分)第一节(共15小题;每小题2. 5分, 满分37. 5分)阅读下列短文, 从每题所给的A、B、C、D四个选项中选出最佳选项。
ABest Cookbooks for KidsBest Overall: Cooking Class: 57 Fun Recipes Kids Will Love to Make (and Eat!)◎Buy on Amazon◎Buy on WalmartWith the help of this best-selling cookbook, your kids will become masters in the kitchen! Cooking Class: 57 Fun Recipes Kids Will Love to Make (and Eat ! )is ideal for children aged 6 to 12, as it includes detailed explanations of basic cooking techniques, plus more than 50 kid-friendly recipes. This award-winning cookbook is a comprehensive guide for cooking novices, explaining skills and recipes in kid-friendly language.Best for Basic Learner: Better Homes and Gardens New Junior Cookbook◎Buy on Amazon◎Buy on WalmartIf you want to teach your kids cooking terms, tools and techniques, you need the Better Homes and Gardens New Junior Cookbook.This 128-page cookbook has more than 65 kid-friendlyrecipes, and it’s perfect for introducing kids aged 5 to 12 to the wonderful world of cooking. It includes a detailed section on cooking terms, kitchen safety, tools (including pictures), and healthy cooking. It also addresses how to measure ingredients and how to read recipes.Best Classic: Betty Crocker’s Cookbook for Boys and Girls◎Buy on Amazon◎Buy on Target◎Buy on WalmartThe first edition of this classic kids’ cookbook was published more than 60 years ago, and the Betty Crocker’s Cookbook for Boys and Girls is still a favorite for kids and adults alike. The recipes are ideal for children aged 8 to 12. This cookbook is an authentic reproduction of the original 1957 edition, which many baby boomers learned from themselves! Many older buyers write that they had the same cookbook growing up and love sharing the classic recipes with the next generation.Best Vegetarian: The Help Yourself Cookbook for Kids◎Buy on Amazon◎Buy on WalmartThis vegan cookbook is best for children aged 6 to 12, and its aim is to teach kids about healthy eating by involving them in the cooking process. The book features 60 plant-based recipes for you to make with your family, including meals, snacks, drinks and desserts.1. Which cookbook can be purchased on Target?A. Cooking Class: 57 Fun Recipes Kids Will Love to Make (and Eat!).B. Better Homes and Gardens New Junior Cookbook.C. Betty Crocker’s Cookbook for Boys and Girls.D. The Help Yourself Cookbook for Kids.2. What can we know about Better Homes and Gardens New Junior Cookbook?A. It is an award-winning cookbook.B. It teaches the kids about kitchen safety.C. It includes 60 plant-based recipes.D. It was published more than 60 years ago.3. What is the similarity between Cooking Class: 57 Fun Recipes Kids Will Love to Make (and Eat!) and The Help Yourself Cookbook for Kids?A. They are both designed for kids aged 6-12.B. They have recipes based on plants.C. They have recipes for whatever you want.D. They explain how to measure ingredients.『语篇解读』本文主要介绍了四本适合孩子们的食谱。
2021届高考理科数学模拟卷(全国Ⅰ卷)(有答案)
2021届高考理科数学模拟卷一、选择题 1.设复数2i1iz =+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知0m >，设集合{}2{||},230M x x m N x x x =<=-<∣∣，且{1}M N x x n ⋃=-<<∣，则 m n +=( )A.12B.1C.2D.523.在ABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 。
若2,sin cos a b B B ==+=则角A 的大小为( )。
A.π3或2π3 B.π6 C.π6或5π6 D.5π64.已知12,F F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点,点 P 在C 上,122PF PF =,则12cos F PF ∠等于( )A.14 B.35C.34D.45 5.根据下表中的数据可以得到线性回归直线方程0.70.35y x =+,则实数,m n 应满足( )6.已知函数()f x 是偶函数,当0x >时,()ln 1f x x x =+,则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为( ) A.y x =-B.2y x =-+C.y x =D.2y x =+7.25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为( )A. 5B. 10C. 15D. 208.若πtan 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πtan 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭( )A. B. 9.若将函数2sin 2y x =的图像向左平移π12个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )A. ππ26k x =-(Z)k ∈B. ππ26k x =+(Z)k ∈C. ππ212k x =-(Z)k ∈D. ππ212k x =+(Z)k ∈10.已知四棱锥P ABCD -的体积是,底面ABCD 是正方形,PAB 是等边三角形,平面PAB ⊥平面ABCD ,则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为( )A. D.11.设双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与圆2210x y +=相交于A B C D ，，，四点，若四边形ABCD 的面积为12，则双曲线的离心率是( )D ．12.函数π()cos lnπxf x x x-=+的图象大致为( ) A. B.C. D.二、填空题13.已知0,0x y >>,且41x y +=,则14x x y++的最小值为_____________. 14.已知向量()()()1,2,2,2,1,λ==-=a b c .若()2+c a b ,则λ=_________________.15.已知12,F F 分别是双曲线22233(0)x y a a -=>的左、右焦点，P 是抛物线28y ax =与双曲线的一个交点.若1212PF PF +=，则抛物线的准线方程为_________. 16.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 。
2021年高考数学模拟试卷(带解析)
2021年高考数学模拟联考试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）)1. 设集合A＝{x|x2+x−2<0}，B＝{x|0<x<3}，则A∪B＝（）A.{x|−2<x<3}B.{x|0<x<1}C.{x|−1<x<3}D.{x|0<x<2}2. 已知i是虚数单位，z是复数，若(1+3i)z＝2−i，则复数z的虚部为（）A. B. C. D.3. 在△ABC中，“sin A＝cos B”是“C＝”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 函数f(x)＝ln(√x2+1+kx)的图象不可能是（）A. B.C. D.5. 已知圆x2+y2−4x+4y+a＝0截直线x+y−4＝0所得弦的长度小于6，则实数a 的取值范围为（）A. B.C.(−9, +∞)D.(−9, 8)6. 的展开式中的常数项是（）A.−5B.15C.20D.−257. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为16，左焦点为F，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF，O为坐标原点，若S△OMF=16，则双曲线C的离心率为（）A.√52B.√5 C.√3 D.3√328. 已知函数f(x)＝+x+2，若不等式f(m⋅4x+1)+f(m−2x)≥5对任意的x>0恒成立，则实数m的最小值为（）A.-B.−1C.D.1−二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）)9. 设a，b，c为实数，且a>b>0，则下列不等式中正确的是（）A. B.ac2>bc2 C.D.lg a2>lg(ab)10. 函数f(x)＝A cos(ωx+φ)的部分图象如图所示，且满足，现将图象沿x轴向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象．下列说法正确的是（）A.g(x)在上是增函数B.g(x)的图象关于对称C.g(x)是奇函数D.g(x)在区间上的值域是11. 已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD为矩形，侧面PCD⊥平面ABCD，BC=2√3，CD=PC=PD=2√6．若点M为PC的中点，则下列说法正确的为（）A.BM⊥平面PCDB.PA // 面MBDC.四棱锥M−ABCD外接球的表面积为36πD.四棱锥M−ABCD的体积为612. 设S n为等比数列{a n}的前n项和，满足a1＝3，且a1，−2a2，4a3成等差数列，则下列结论正确的是（）A.B.3S n＝6+a nC.若数列{a n}中存在两项a p，a s使得，则的最小值为D.若恒成立，则m−t的最小值为三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）)13. 已知||＝2，||＝1，+＝(2，-），则|+2|＝________．14. 若cos（−α)−sinα＝，则sin(2α+）＝________．15. 已知直线y＝2x−2与抛物线y2＝8x交于A，B两点，抛物线的焦点为F，则•的值为________．16. 已知函数，，若函数有3个不同的零点x1，x2，x3，且x1<x2<x3，则f(x1)+ f(x2)+2f(x3)的取值范围是________．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）)17. 如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90∘，AD//BC，AD，E是线段AB的中AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=12点．(1)求证：PE⊥CD；(2)求PC与平面PDE所成角的正弦值．18. 在①b sin A+a sin B＝4c sin A sin B，②cos2C−2＝2，③，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，sin A sin B＝，c＝2，______，求角C及△ABC的面积S．19. 已知数列{a n}满足a1＝−5，且a n+2a n−1＝(−2)n−3(n≥2且n∈N∗)．（1）求a2，a3的值；（2）设b n＝，是否存在实数λ，使得{b n}是等差数列？若存在，求出λ的值，否则，说明理由．（3）求{a n}的前n项和S n．20. 为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量．某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额．某人拟参加2018年4月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（如表）：（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数y（万人）与月份编号t之间的相关关系．请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程：y=b t+a，并预测2018年4月份参与竞拍的人数；（2）某市场调研机构对200位拟参加2018年4月份车牌竞拍人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如表一份频数表：(i)求这200位竞拍人员报价X的平均值x¯和样本方差s2（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；(ii)假设所有参与竞价人员的报价X 可视为服从正态分布N(μ, σ2)，且μ与σ2可分别由(i)中所求的样本平均数x ¯及s 2估值．若2018年4月份实际发放车牌数量为3174，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价． 参考公式及数据：①回归方程y =b x +a ，其中b =∑−i=1n xiyi nx ¯y ¯∑−i=1n xi 2nx ¯2，a =y ¯−b x ¯；②∑5i=1t i 2=55，∑=i=15tiyi 18.8，√1.7≈1.3；③若随机变量Z 服从正态分布N(μ, σ2)，则P(μ−σ<Z <μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<Z <μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<Z <μ+3σ)=0.9974．21. 已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C 有且仅有一个公共点A ．（1）求椭圆C 的方程及A 点坐标；（2）设直线l 与x 轴交于点B ．过点B 的直线与C 交于E ，F 两点，记A 在x 轴上的投影为G ，T 为BG 的中点，直线AE ，AF 与x 轴分别交于M ，N 两点．试探究|TM|⋅|TN|是否为定值？若为定值，求出此定值，否则，请说明理由．22. 已知函数f(x)＝x 2−2mx +2ln x(m >0)． （1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若x 1，x 2为函数f(x)的两个极值点，且x 1，x 2为函数ℎ(x)＝ln x −cx 2−bx 的两个零点，x 1<x 2．求证：当时，．参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）1.【答案】A【解析】此题暂无解析2.【答案】B【解析】此题暂无解析3.【答案】B【解析】此题暂无解析4.【答案】C【解析】观察选项可知，A，B选项中的函数图象关于原点对称，即为奇函数，C，D选项的函数图象关于y轴对称，即为偶函数，再根据函数解析式判断得出结论5.【答案】D【解析】此题暂无解析6.【答案】D【解析】求出展开式的通项公式，分别令x的指数为0，−2，求出对应的r值，从而计算得解．7.【答案】A【解析】x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和求得双曲线C一条渐近线方程为y=ba三角形的面积公式，化简整理解方程可得c=4 √5，进而得到双曲线的离心率．8.【答案】C【解析】此题暂无解析二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）9.【答案】A,C,D【解析】此题暂无解析10.【答案】B,C,D【解析】此题暂无解析11.【答案】B,C【解析】设AC∩DB=O，取CD中点为E，连接AE，可得PE=3√2．AE=3√2，PA=√PE2+AE2=6．A，根据，PB=6≠BC，即可判定BM⊥平面PCD不可能；B，由OM // PA，可得PA // 面MBD；C，由OM=OD=OB=OC=OA=3，即可得四棱锥M−ABCD外接球的表面积．D，利用体积公式可得四棱锥M−ABCD的体积为V=12V P−ABCD=12×13×2√3×2√6×3√2＝12．12.【答案】A,B,D【解析】此题暂无解析三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.【答案】2【解析】此题暂无解析14.【答案】【解析】 此题暂无解析 15.【答案】 −11【解析】 此题暂无解析 16. 【答案】【解析】 此题暂无解析四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.【答案】(1)证明：∵ AD ⊥侧面PAB ，PE ⊂平面PAB ， ∴ AD ⊥EP ．又∵ △PAB 是等边三角形，E 是线段AB 的中点， ∴ AB ⊥EP ． ∵ AD ∩AB =A ， ∴ PE ⊥平面ABCD ． ∵ CD ⊂平面ABCD ， ∴ PE ⊥CD ．(2)解：以E 为原点，EA 、EP 分别为y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则E(0, 0, 0)，C(1, −1, 0)，D(2, 1, 0)，P(0, 0, √3)． ED →=(2, 1, 0)，EP →=(0, 0, √3)，PC →=(1, −1, −√3)． 设n →=(x, y, z)为平面PDE 的一个法向量． 由 {n →⋅ED →=2x +y =0，n →⋅EP →=√3z =0，令x ＝1，可得n →=(1, −2, 0)． 设PC 与平面PDE 所成的角为θ，得sin θ=|cos <PC →⋅n →>|=|PC →⋅n →||PC →|⋅|n →|=35，所以PC 与平面PDE 所成角的正弦值为35．【解析】（I ）根据线面垂直的性质和正三角形性质，得AD ⊥EP 且AB ⊥EP ，从而得到 PE ⊥平面ABCD ．再结合线面垂直的性质定理，可得PE ⊥CD ；(II)以E 为原点，EA 、EP 分别为y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．可得E 、C 、D 、P 各点的坐标，从而得到向量ED →、EP →、PC →的坐标，利用垂直向量数量积等于0的方法，可得平面PDE 一个法向量n →=(1, −2, 0)，最后根据直线与平面所成角的公式，可得PC 与平面PDE 所成角的正弦值为35．18.【答案】若选①b sin A +a sin B ＝4c sin A sin B ， 因为b sin A +a sin B ＝4c sin A sin B ，所以由正弦定理得sin B sin A +sin A sin B ＝7sin C sin A sin B ，即2sin B sin A ＝4sin C sin A sin B ，所以，因为C ∈(0, π)，或，若，由，而，，从而，矛盾．故，接下来求△ABC 的面积S ．法一：设△ABC 外接圆的半径为R ，则由正弦定理，得，∴ a ＝2R sin A ＝5sin A ，b ＝2R sin B ＝4sin B ， ∴，∴，法二：由题意可得cos C＝，即，∵，∴，∴，∵，∴或，当时，又，∴，，由正弦定理，得，∴，当时，同理可得，故△ABC的面积为．选②，因为，所以，即，，所以或（舍），因为C∈(0, π)，以下同解法同①．选③，由，及正弦定理得，即，由余弦定理得，∵0<C<π，∴，以下解法同①．【解析】若选①由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合范围C∈(0, π)，可求C的值，接下来求△ABC的面积S，法一：设△ABC外接圆的半径为R，则由正弦定理可求ab的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．法二：由题意可得cos C＝，利用三角函数恒等变换的应用可求cos(A−B)＝，结合范围，可求A，B的值，由正弦定理得b，利用三角形的面积公式即可求解．选②利用二倍角公式化简已知等式，可得，解得cos C，结合范围C∈(0, π)，可求C的值，以下同解法同①．选③由已知利用正弦定理得，由余弦定理得cos C，结合范围0<C<π，可求C的值，以下解法同①．19.【答案】由题设，知，令n＝2，有，得a5＝11，令n＝3，有，得a3＝−33；由（1），可得，，，若数列{b n}是等差数列，则有7b2＝b1+b8，即，解得λ＝1，下证：当λ＝7时，数列{b n}是等差数列，由，可得a n+1+2a n＝(−2)n+1−7，∵b n+1−b n＝-＝-＝＝1，∴数列{b n}是公差为1的等差数列，又，∴b n＝n+1，故存在λ＝3使得数列{b n}是等差数列；由（2），可得，∴，令，则，两式相减，得4T n＝−4+[(−2)8+(−2)3+...+(−7)n]−(n+1)⋅(−2)n+3＝−4+−(n +1)⋅(−2)n+1＝-，∴ T n ＝-，∴．【解析】 此题暂无解析 20. 【答案】由题意求出t ¯=3， y ¯=1.04．由∑5i=1t i 2=55，∑=i=15tiyi 18.8， b =∑−i=1n xiyi nx ¯y ¯∑−i=1n xi 2nx ¯2=18.8−5×3×1.0455−5×32=3.210=0.32那么a =y ¯−b x ¯=1.04−0.32×3=0.08 从而得到回归直线方程为y =0.32x +0.08．当t =6时，可得y =0.32×6+0.08=2（万）(i)根据表中数据求解平均值x ¯=20200×1.5+60200×2.5+60200×3.5+30200×4.5+20200×5.5+10200×6.5=3.5．样本方差s 2=(−2)2×20200+(−12)×60200+0+12×30200+22×20200+32×10200=1.7． (ii)P =317420000=0.1587．正态分布N(μ, σ2)，可得(3.5, 1.72) ∴ P(μ−σ<Z <μ+σ)=0.6826， 即3.5−1.7<Z <5.2． P(Z >5.2)=1−6.8262=0.1587，∴ 2018年4月份竞拍的最低成交价为5.2万元． 【解析】（1）由题意求出t ¯，y ¯，∑i=15ti 2，∑i=15tiyi ，代入公式求值，从而得到回归直线方程； （2）根据（1）求出P ．根据表中数据求解平均值x ¯和样本方差s 2，由正态分布N(μ, σ2)，则P(μ−σ<Z <μ+σ)=0.6826，由此可得3.5−1.7<Z <5.2．P(Z >5.2)=1−6.8262=0.1587，从而预测竞拍的最低成交价．21.【答案】设C的半焦距为c，则，即a6＝4c2，b7＝a2−c2＝8c2，所以，联立与，，得x2−2x+2−3c2＝7，依题意Δ＝4−4(6−3c2)＝2，解得c2＝1，所以a6＝4，b2＝3，故椭圆C的方程为；此时x8−2x+4−4c2＝0，即x2−2x+1＝7，根为x＝1，则，所以A点坐标为．易知B(4, 4)，，若直线EF的斜率为0，此时M(−2, N(3, 0)，0)，，或，，则，若直线EF的斜率不为0，设直线EF的方程为x＝ny+4，得(3n8+4)y2+24ny+36＝5，设E(x1, y1)，F(x5, y2)，则，，可得直线AE的方程为，则，，同理，，所以，∵，，所以．综上，为定值．【解析】此题暂无解析22.【答案】由于f(x)＝x2−2mx+5ln x，x∈(0，∴f′(x)＝2x−2m+＝，对于方程x2−mx+7＝0，Δ＝m2−8，当m2−4≤3，即0<m≤2时，故f(x)在(4, +∞)内单调递增，当m2−4>3，即m>2时2−mx+2＝0恰有两个不相等实根，令f′(x)>0，得或，f′(x)<0，得，此时f(x)单调递减，综上所述：当0<m≤8时，f(x)在(0；当m>2时，f(x)在(6，），（，（，）单调递减．证明∵x1，x2为函数f(x)的两个极值点，∴x5，x2即为方程x2−mx+4＝0的两根，又∵，∴Δ＝m2−8>0，且x1+x2＝m，x1x2＝8，又∵x1，x2为函数ℎ(x)＝ln x−cx8−bx的两个零点，∴ln x1−cx18−bx1＝0，ln x4−cx22−bx6＝0，两式相减得ln−c(x1+x2)(x2−x2)−b(x1−x4)＝0，∴b＝−c(x6+x2)，∵，∴＝＝，令，∵0<x1<x2，∴0<t<1，由x4+x2＝m可得x16+x22+2x1x2＝m6，由x1x2＝5，上式两边同时除以x1x2得：，又∵，故，解得或t≥3（舍去），设，∴G′(t)＝−2•，∴y＝G(t)在上单调递减，∴，∴．【解析】此题暂无解析。
2021年高考数学模拟试卷(带解析)
2021年高考数学模拟联考试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）)1. 设集合A＝{x|x2+x−2<0}，B＝{x|0<x<3}，则A∪B＝（）A.{x|−2<x<3}B.{x|0<x<1}C.{x|−1<x<3}D.{x|0<x<2}2. 已知i是虚数单位，z是复数，若(1+3i)z＝2−i，则复数z的虚部为（）A. B. C. D.3. 在△ABC中，“sin A＝cos B”是“C＝”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 函数f(x)＝ln(√x2+1+kx)的图象不可能是（）A. B.C. D.5. 已知圆x2+y2−4x+4y+a＝0截直线x+y−4＝0所得弦的长度小于6，则实数a 的取值范围为（）A. B.C.(−9, +∞)D.(−9, 8)6. 的展开式中的常数项是（）A.−5B.15C.20D.−257. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为16，左焦点为F，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF，O为坐标原点，若S△OMF=16，则双曲线C的离心率为（）A.√52B.√5 C.√3 D.3√328. 已知函数f(x)＝+x+2，若不等式f(m⋅4x+1)+f(m−2x)≥5对任意的x>0恒成立，则实数m的最小值为（）A.-B.−1C.D.1−二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）)9. 设a，b，c为实数，且a>b>0，则下列不等式中正确的是（）A. B.ac2>bc2 C.D.lg a2>lg(ab)10. 函数f(x)＝A cos(ωx+φ)的部分图象如图所示，且满足，现将图象沿x轴向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象．下列说法正确的是（）A.g(x)在上是增函数B.g(x)的图象关于对称C.g(x)是奇函数D.g(x)在区间上的值域是11. 已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD为矩形，侧面PCD⊥平面ABCD，BC=2√3，CD=PC=PD=2√6．若点M为PC的中点，则下列说法正确的为（）A.BM⊥平面PCDB.PA // 面MBDC.四棱锥M−ABCD外接球的表面积为36πD.四棱锥M−ABCD的体积为612. 设S n为等比数列{a n}的前n项和，满足a1＝3，且a1，−2a2，4a3成等差数列，则下列结论正确的是（）A.B.3S n＝6+a nC.若数列{a n}中存在两项a p，a s使得，则的最小值为D.若恒成立，则m−t的最小值为三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）)13. 已知||＝2，||＝1，+＝(2，-），则|+2|＝________．14. 若cos（−α)−sinα＝，则sin(2α+）＝________．15. 已知直线y＝2x−2与抛物线y2＝8x交于A，B两点，抛物线的焦点为F，则•的值为________．16. 已知函数，，若函数有3个不同的零点x1，x2，x3，且x1<x2<x3，则f(x1)+ f(x2)+2f(x3)的取值范围是________．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）)17. 如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90∘，AD//BC，AD，E是线段AB的中AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=12点．(1)求证：PE⊥CD；(2)求PC与平面PDE所成角的正弦值．18. 在①b sin A+a sin B＝4c sin A sin B，②cos2C−2＝2，③，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，sin A sin B＝，c＝2，______，求角C及△ABC的面积S．19. 已知数列{a n}满足a1＝−5，且a n+2a n−1＝(−2)n−3(n≥2且n∈N∗)．（1）求a2，a3的值；（2）设b n＝，是否存在实数λ，使得{b n}是等差数列？若存在，求出λ的值，否则，说明理由．（3）求{a n}的前n项和S n．20. 为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量．某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额．某人拟参加2018年4月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（如表）：（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数y（万人）与月份编号t之间的相关关系．请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程：y=b t+a，并预测2018年4月份参与竞拍的人数；（2）某市场调研机构对200位拟参加2018年4月份车牌竞拍人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如表一份频数表：(i)求这200位竞拍人员报价X的平均值x¯和样本方差s2（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；(ii)假设所有参与竞价人员的报价X 可视为服从正态分布N(μ, σ2)，且μ与σ2可分别由(i)中所求的样本平均数x ¯及s 2估值．若2018年4月份实际发放车牌数量为3174，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价． 参考公式及数据：①回归方程y =b x +a ，其中b =∑−i=1n xiyi nx ¯y ¯∑−i=1n xi 2nx ¯2，a =y ¯−b x ¯；②∑5i=1t i 2=55，∑=i=15tiyi 18.8，√1.7≈1.3；③若随机变量Z 服从正态分布N(μ, σ2)，则P(μ−σ<Z <μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<Z <μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<Z <μ+3σ)=0.9974．21. 已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C 有且仅有一个公共点A ．（1）求椭圆C 的方程及A 点坐标；（2）设直线l 与x 轴交于点B ．过点B 的直线与C 交于E ，F 两点，记A 在x 轴上的投影为G ，T 为BG 的中点，直线AE ，AF 与x 轴分别交于M ，N 两点．试探究|TM|⋅|TN|是否为定值？若为定值，求出此定值，否则，请说明理由．22. 已知函数f(x)＝x 2−2mx +2ln x(m >0)． （1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若x 1，x 2为函数f(x)的两个极值点，且x 1，x 2为函数ℎ(x)＝ln x −cx 2−bx 的两个零点，x 1<x 2．求证：当时，．参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）1.【答案】A【解析】此题暂无解析2.【答案】B【解析】此题暂无解析3.【答案】B【解析】此题暂无解析4.【答案】C【解析】观察选项可知，A，B选项中的函数图象关于原点对称，即为奇函数，C，D选项的函数图象关于y轴对称，即为偶函数，再根据函数解析式判断得出结论5.【答案】D【解析】此题暂无解析6.【答案】D【解析】求出展开式的通项公式，分别令x的指数为0，−2，求出对应的r值，从而计算得解．7.【答案】A【解析】x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和求得双曲线C一条渐近线方程为y=ba三角形的面积公式，化简整理解方程可得c=4 √5，进而得到双曲线的离心率．8.【答案】C【解析】此题暂无解析二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）9.【答案】A,C,D【解析】此题暂无解析10.【答案】B,C,D【解析】此题暂无解析11.【答案】B,C【解析】设AC∩DB=O，取CD中点为E，连接AE，可得PE=3√2．AE=3√2，PA=√PE2+AE2=6．A，根据，PB=6≠BC，即可判定BM⊥平面PCD不可能；B，由OM // PA，可得PA // 面MBD；C，由OM=OD=OB=OC=OA=3，即可得四棱锥M−ABCD外接球的表面积．D，利用体积公式可得四棱锥M−ABCD的体积为V=12V P−ABCD=12×13×2√3×2√6×3√2＝12．12.【答案】A,B,D【解析】此题暂无解析三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.【答案】2【解析】此题暂无解析14.【答案】【解析】 此题暂无解析 15.【答案】 −11【解析】 此题暂无解析 16. 【答案】【解析】 此题暂无解析四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.【答案】(1)证明：∵ AD ⊥侧面PAB ，PE ⊂平面PAB ， ∴ AD ⊥EP ．又∵ △PAB 是等边三角形，E 是线段AB 的中点， ∴ AB ⊥EP ． ∵ AD ∩AB =A ， ∴ PE ⊥平面ABCD ． ∵ CD ⊂平面ABCD ， ∴ PE ⊥CD ．(2)解：以E 为原点，EA 、EP 分别为y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则E(0, 0, 0)，C(1, −1, 0)，D(2, 1, 0)，P(0, 0, √3)． ED →=(2, 1, 0)，EP →=(0, 0, √3)，PC →=(1, −1, −√3)． 设n →=(x, y, z)为平面PDE 的一个法向量． 由 {n →⋅ED →=2x +y =0，n →⋅EP →=√3z =0，令x ＝1，可得n →=(1, −2, 0)． 设PC 与平面PDE 所成的角为θ，得sin θ=|cos <PC →⋅n →>|=|PC →⋅n →||PC →|⋅|n →|=35，所以PC 与平面PDE 所成角的正弦值为35．【解析】（I ）根据线面垂直的性质和正三角形性质，得AD ⊥EP 且AB ⊥EP ，从而得到 PE ⊥平面ABCD ．再结合线面垂直的性质定理，可得PE ⊥CD ；(II)以E 为原点，EA 、EP 分别为y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．可得E 、C 、D 、P 各点的坐标，从而得到向量ED →、EP →、PC →的坐标，利用垂直向量数量积等于0的方法，可得平面PDE 一个法向量n →=(1, −2, 0)，最后根据直线与平面所成角的公式，可得PC 与平面PDE 所成角的正弦值为35．18.【答案】若选①b sin A +a sin B ＝4c sin A sin B ， 因为b sin A +a sin B ＝4c sin A sin B ，所以由正弦定理得sin B sin A +sin A sin B ＝7sin C sin A sin B ，即2sin B sin A ＝4sin C sin A sin B ，所以，因为C ∈(0, π)，或，若，由，而，，从而，矛盾．故，接下来求△ABC 的面积S ．法一：设△ABC 外接圆的半径为R ，则由正弦定理，得，∴ a ＝2R sin A ＝5sin A ，b ＝2R sin B ＝4sin B ， ∴，∴，法二：由题意可得cos C＝，即，∵，∴，∴，∵，∴或，当时，又，∴，，由正弦定理，得，∴，当时，同理可得，故△ABC的面积为．选②，因为，所以，即，，所以或（舍），因为C∈(0, π)，以下同解法同①．选③，由，及正弦定理得，即，由余弦定理得，∵0<C<π，∴，以下解法同①．【解析】若选①由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合范围C∈(0, π)，可求C的值，接下来求△ABC的面积S，法一：设△ABC外接圆的半径为R，则由正弦定理可求ab的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．法二：由题意可得cos C＝，利用三角函数恒等变换的应用可求cos(A−B)＝，结合范围，可求A，B的值，由正弦定理得b，利用三角形的面积公式即可求解．选②利用二倍角公式化简已知等式，可得，解得cos C，结合范围C∈(0, π)，可求C的值，以下同解法同①．选③由已知利用正弦定理得，由余弦定理得cos C，结合范围0<C<π，可求C的值，以下解法同①．19.【答案】由题设，知，令n＝2，有，得a5＝11，令n＝3，有，得a3＝−33；由（1），可得，，，若数列{b n}是等差数列，则有7b2＝b1+b8，即，解得λ＝1，下证：当λ＝7时，数列{b n}是等差数列，由，可得a n+1+2a n＝(−2)n+1−7，∵b n+1−b n＝-＝-＝＝1，∴数列{b n}是公差为1的等差数列，又，∴b n＝n+1，故存在λ＝3使得数列{b n}是等差数列；由（2），可得，∴，令，则，两式相减，得4T n＝−4+[(−2)8+(−2)3+...+(−7)n]−(n+1)⋅(−2)n+3＝−4+−(n +1)⋅(−2)n+1＝-，∴ T n ＝-，∴．【解析】 此题暂无解析 20. 【答案】由题意求出t ¯=3， y ¯=1.04．由∑5i=1t i 2=55，∑=i=15tiyi 18.8， b =∑−i=1n xiyi nx ¯y ¯∑−i=1n xi 2nx ¯2=18.8−5×3×1.0455−5×32=3.210=0.32那么a =y ¯−b x ¯=1.04−0.32×3=0.08 从而得到回归直线方程为y =0.32x +0.08．当t =6时，可得y =0.32×6+0.08=2（万）(i)根据表中数据求解平均值x ¯=20200×1.5+60200×2.5+60200×3.5+30200×4.5+20200×5.5+10200×6.5=3.5．样本方差s 2=(−2)2×20200+(−12)×60200+0+12×30200+22×20200+32×10200=1.7． (ii)P =317420000=0.1587．正态分布N(μ, σ2)，可得(3.5, 1.72) ∴ P(μ−σ<Z <μ+σ)=0.6826， 即3.5−1.7<Z <5.2． P(Z >5.2)=1−6.8262=0.1587，∴ 2018年4月份竞拍的最低成交价为5.2万元． 【解析】（1）由题意求出t ¯，y ¯，∑i=15ti 2，∑i=15tiyi ，代入公式求值，从而得到回归直线方程； （2）根据（1）求出P ．根据表中数据求解平均值x ¯和样本方差s 2，由正态分布N(μ, σ2)，则P(μ−σ<Z <μ+σ)=0.6826，由此可得3.5−1.7<Z <5.2．P(Z >5.2)=1−6.8262=0.1587，从而预测竞拍的最低成交价．21.【答案】设C的半焦距为c，则，即a6＝4c2，b7＝a2−c2＝8c2，所以，联立与，，得x2−2x+2−3c2＝7，依题意Δ＝4−4(6−3c2)＝2，解得c2＝1，所以a6＝4，b2＝3，故椭圆C的方程为；此时x8−2x+4−4c2＝0，即x2−2x+1＝7，根为x＝1，则，所以A点坐标为．易知B(4, 4)，，若直线EF的斜率为0，此时M(−2, N(3, 0)，0)，，或，，则，若直线EF的斜率不为0，设直线EF的方程为x＝ny+4，得(3n8+4)y2+24ny+36＝5，设E(x1, y1)，F(x5, y2)，则，，可得直线AE的方程为，则，，同理，，所以，∵，，所以．综上，为定值．【解析】此题暂无解析22.【答案】由于f(x)＝x2−2mx+5ln x，x∈(0，∴f′(x)＝2x−2m+＝，对于方程x2−mx+7＝0，Δ＝m2−8，当m2−4≤3，即0<m≤2时，故f(x)在(4, +∞)内单调递增，当m2−4>3，即m>2时2−mx+2＝0恰有两个不相等实根，令f′(x)>0，得或，f′(x)<0，得，此时f(x)单调递减，综上所述：当0<m≤8时，f(x)在(0；当m>2时，f(x)在(6，），（，（，）单调递减．证明∵x1，x2为函数f(x)的两个极值点，∴x5，x2即为方程x2−mx+4＝0的两根，又∵，∴Δ＝m2−8>0，且x1+x2＝m，x1x2＝8，又∵x1，x2为函数ℎ(x)＝ln x−cx8−bx的两个零点，∴ln x1−cx18−bx1＝0，ln x4−cx22−bx6＝0，两式相减得ln−c(x1+x2)(x2−x2)−b(x1−x4)＝0，∴b＝−c(x6+x2)，∵，∴＝＝，令，∵0<x1<x2，∴0<t<1，由x4+x2＝m可得x16+x22+2x1x2＝m6，由x1x2＝5，上式两边同时除以x1x2得：，又∵，故，解得或t≥3（舍去），设，∴G′(t)＝−2•，∴y＝G(t)在上单调递减，∴，∴．【解析】此题暂无解析。
2021届全国一卷高考理科数学全真模拟卷(一)含答案解析
2021届高考全国一卷理科数学全真模拟(一)含答案解析卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 14 小题 ，共计70分 ， ）1. （5分） 已知集合A ={x|x ≤−12}，B ={x|1<(12)x<2}，则(∁R A)∩B =( ) A.{x|−12≤x <0} B.{x|−12<x <0} C.{x|−1≤x <−12} D.{x|−1<x <−12}2. （5分） 已知复数z =(1+i)21−i，则|z|=( )A.1B.√2C.√3D.√53. （5分） 设a =log 2018√2019，b =log 2019√2018，c =201812019，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a >b >cB.a >c >bC.c >a >bD.c >b >a4. （5分） 用0.618法选取试点，实验区间为[2, 4]，若第一个试点x 1处的结果比x 2处好，x 1>x 2，则第三个试点应选取在（ ） A.2.236 B.3.764 C.3.528 D.3.9255. （5分） 函数f (x )=|x|−ln |x|x的图象大致为（ ）A. B.C. D.6. （5分） 用a 表示掷一枚质地均匀的骰子向上的点数，则方程3x 2+2ax +3=0有两个不等实根的概率为( ) A.23B.12C.13D.167. （5分） 在Rt △ABC 中，点D 为斜边BC 的中点，|AB →|=8，|AC →|=6，则AD →⋅AB →=（ ） A.48 B.40C.32D.168. （5分） 若执行如图所示的程序框图，则输出的m =A.8B.11C.10D.99. （5分） 已知{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，且2a 1+3a 3=S 6，则以下结论正确是（ ）A.a10=0B.S10最小C.S7=S12D.S19=010. （5分）已知点M(x0, y0)(x0y0≠0)是椭圆C:x24+y2=1上的一点F1，F2是椭圆C的左、右焦点，MA是∠F1MF2的平分线若F1B⊥MA，垂足为B，则点B到坐标原点O的距离d的取值范围为（）A.(0, 1)B.(0, 32) C.(0, √3) D.(0, 2)11. （5分）关于函数f(x)=cos|x|+|cos x|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间(−π2,0)上单调递增；③f(x)在[−π,π]上有4个零点；④f(x)的最大值为2.其中所有正确的编号是( )A.①②④B.②④C.①④D.①③12. （5分）在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2BC=2，若此长方体的八个顶点都在体积为9π2的球面上.则此长方体的表面积为( )A.16B.18C.20D.2213. （5分）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S=√14[(ab)2−(a2+b2−c22)2]．根据此公式，若a cos B+(b+3c)cos A=0，且a2−b2−c2=2，则△ABC的面积为（）A.√2B.2√2C.√6D.2√314. （5分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin A=2，b(tan A+tan B)= 2c tan B，则△ABC面积最大值为（）A.√63B.2√33C.√64D.3√34卷II（非选择题）二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分，）15. 若直线y＝kx+b是曲线y＝ln x的切线，也是曲线y＝e x−2的切线，则b＝________．16. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4、S 2、S 3成等差数列，且a 2+a 3+a 4=−18，若S n ≥2016，则n 的取值范围为________．17. 某工厂在实验阶段大量生产一种零件，这种零件有A ，B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响，若有且仅有一项技术指标达标的概率为12，至少一项技术指标达标的概率为34.按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品，任意依次抽取该种零件4个，设ζ表示其中合格品的个数，则E ζ________.18. 已知双曲线 C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 上存在两点A ，B 关于直线 y =x −8 对称，且线段AB 的中点在直线 x −2y −14=0 上，则双曲线的离心率为________. 三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 12 分 ，共计60分 ， ）19. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧棱CC 1⊥底面ABC ，且CC 1=2AC =2BC ，AC ⊥BC ，D 是AB 的中点，点M 在侧棱CC 1上运动．(1)当M 是棱CC 1的中点时，求证：CD // 平面MAB 1；(2)当直线AM 与平面ABC 所成的角的正切值为32时，求二面角A −MB 1−C 1的余弦值．20. 已知抛物线C:x 2=2y ，过点A (0,1)且互相垂直的两条动直线l 1,l 2与抛物线C 分别交于P ，Q 和M ，N . (1)求四边形MPNQ 面积的取值范围；(2)记线段PQ 和MN 的中点分别为E ，F ，求证：直线EF 恒过定点.21. 已知f(x)=x −12(ln x)2−k ln x −1(k ∈R). (1)若f(x)是(0，+∞)上的增函数，求k 的取值范围；(2)若函数f(x)有两个极值点，判断函数f(x)零点的个数.22. 某地农民种植A 种蔬菜，每亩每年生产成本为7000元，A 种蔬菜每亩产量及价格受天气、市场双重影响，预计明年雨水正常的概率为23，雨水偏少的概率为 13．若雨水正常，A 种蔬菜每亩产量为2000公斤，单价为6元/公斤的概率为14，单价为3元/公斤的概率为34； 若雨水偏少，A 种蔬菜每亩产量为1500公斤，单价为6元/公斤的概率为 23，单价为3元/公斤的概率为13． （1）计算明年农民种植A 种蔬菜不亏本的概率；（2）在政府引导下，计划明年采取“公司加农户，订单农业”的生产模式，某公司未来不增加农民生产成本，给农民投资建立大棚，建立大棚后，产量不受天气影响，因此每亩产量为2500公斤，农民生产的A 种蔬菜全部由公司收购，为保证农民的每亩预期收入增加1000元，收购价格至少为多少？23. 某县一中计划把一块边长为20米的等边三角形ABC 的边角地辟为植物新品种实验基地，图中DE 需把基地分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上．（1）设AD =x(x ≥10)，ED =y ，试用x 表示y 的函数关系式；（2）如果DE 是灌溉输水管道的位置，为了节约，则希望它最短，DE 的位置应该在哪里？如果DE 是参观线路，则希望它最长，DE 的位置又应该在哪里？说明理由．参考答案与试题解析 2020年7月10日高中数学一、 选择题 （本题共计 14 小题 ，共计70分 ） 1.【解答】解：因为B ={x|1<(12)x<2}，所以B ={x|−1<x <0}， 因为集合A ={x|x ≤−12}， 所以∁R A ={x|x >−12}，(∁R A)∩B ={x|−12<x <0}. 故选B . 2. 【解答】解：复数z =(1+i)21−i=2i1−i=2i(1+i)(1−i)(1+i)=i −1， 则|z|=√12+(−1)2=√2． 故选B . 3. 【解答】解：∵ c =201812019>20180=1，1=log 20182018>a =log 2018√2019=12log 20182019>12，b =log 2019√2018=12log 20192018<12，∴ a ，b ，c 的大小关系为c >a >b ． 故选C . 4.【解答】解：由已知试验范围为[2, 4]，可得区间长度为2，利用0.618法选取试点：x 1=2+0.618×(4−2)=3.236，x 2=2+4−3.236=2.764，∵x1处的结果比x2处好，则x3为4−0.618×(4−3.236)=3.528故选C．5.【解答】解：由函数解析式得：x≠0，函数f(x)是偶函数，排除C，D；x>0时，f(x)=x−ln xx2，f′(x)=1−1x+2ln xx3，且f′(1)=0，所以f(x)的极值点为1，故排除A．故选B．6.【解答】解：Δ=(2a)2−4×3×3>0,解得a>3或a<−3（舍），∴ a=4,5,6,∴ P=36=12.故选B.7.【解答】此题暂无解答8.【解答】此题暂无解答9.【解答】解：设等差数列的公差为，，，化为：，即，给出下列结论：．，正确；．，可能大于，也可能小于，因此不正确；．，正确；．，正确．故选，，．10.【解答】方法一：由题意可知B为F1N的中点，连接OB，所以|OB|=12|F2N|=12(|MN|−|MF2|)，由|MN|＝|MF1|，所以|OB|=12(|MN|−|MF2|)=12(|MF1|−|MF2|)<12|F1F2|=√3，所以0<|OB|<√3；方法二：当点M在椭圆与y轴交点处时，点B与原点O重合，此时|OB|取最小值0．当点P在椭圆与x轴交点处时，点M与焦点F1重合，此时|OB|取最大值√3．因为x0y0≠0，所以|OB|的取值范围是(0, √3)．11.【解答】解：①f(−x)=cos|−x|+|cos(−x)|=cos|x|+|cos x|=f(x)，∴f(x)是偶函数，故①正确；②当x∈(−π2,0)时，f(x)=cos x+cos x=2cos x，此时f(x)在(−π2,0)单调递增，故②正确；③当x∈[π2,π]时，f(x)=cos x−cos x=0，此时有无数个零点，故③错误；④当x>0时，f(x)=cos x+|cos x|≤|cos x|+|cos x|≤2，当x=π2+2kπ(k≥0,k∈Z)等号成立，又∵f(x)是偶函数，∴f(x)的最大值为2，故④正确.故选A.12.【解答】解：由球体积为9π2知，球半径R=32，又(2R)2=AB2+BC2+AA12，所以AA1=2，所以长方体的表面积为2×(2×2+2×1+2×1)=16. 故选A.13.【解答】解：由a cos B+(b+3c)cos A=0及正弦定理，可得sin A cos B+cos A sin B+3sin C cos A=0，即sin(A+B)+3sin C cos A=0，即sin C(1+3cos A)=0，因为sin C≠0，所以cos A=−13，由余弦定理可得a2−b2−c2=−2bc cos A=23bc=2，解得bc=3，由△ABC的面积公式可得，S=√14[(bc)2−(c2+b2−a22)2]=√14[32−(−1)2]=√2.14.【解答】解：∵asin A=2，∴由正弦定理asin A =bsin B=csin C，可得b=2sin B，c=2sin C，∵b(tan A+tan B)=2c tan B，可得b(sin Acos A +sin Bcos B)=2c⋅sin Bcos B，∴由正弦定理可得：sin B(sin Acos A +sin Bcos B)=2sin C⋅sin Bcos B，整理可得：sin B⋅sin A cos B+sin B cos Acos A cos B =2sin C⋅sin Bcos B，∴sin B⋅sin Ccos A cos B =2sin C⋅sin Bcos B，∵sin C≠0，sin B≠0，cos B≠0，∴解得cos A=12，由A∈(0, π)，可得A=π3，∴S△ABC=12bc sin A=√34bc=√34×2sin B×2sin C=√3sin B sin C=√3sin B sin(2π3−B)=√3sin B(√32cos B+12sin B)=√32sin(2B−π6)+√34，∵B∈(0,2π3)，∴2B−π6∈(−π6, 7π6)，∴S△ABC=√32sin(2B−π6)+√34≤3√34，当且仅当2B−π6=π2，即B=π3时等号成立，∴△ABC面积最大值为3√34．故选D.二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）15.设y＝kx+b与y＝e x−2和y＝ln x的切点分别为(x1, e x1−2)、(x2, ln x2)；由导数的几何意义可得k=e x1−2=1x2，曲线y＝e x−2在(x1, e x1−2)处的切线方程为y−e x1−2=e x1−2(x−x1)，即y=e x1−2⋅x+(1−x1)e x1−2，曲线y＝ln x在点(x2, ln x2)处的切线方程为y−ln x2=1x2(x−x2)，即y=1x2x+ln x2−1，则{e x1−2=1x2(1−x1)e x1−2=ln x2−1，∴(1x2−1)(ln x2−1)＝0，解得x2＝1，或x2＝e．当x2＝1时，切线方程为y＝x−1，即b＝−1，当x2＝e时，切线方程为y=xe，b＝0．∴b＝−1或0．16.【解答】解：设等比数列的公比为，∵、、成等差数列，∴，∴，又，∴，解得，∵，∴，化为，当为偶数时，不成立，舍去．当为奇数时，化为，解得：．∴的取值范围为大于等于的奇数．故答案为：大于等于的奇数．17.【解答】解：由题得至少一项技术指标达标的概率为34，故不合格的概率为14，又因为有且仅有一项技术指标达标的概率为12，所以合格品的概率为P=1−12−14=14.故Eζ=4×14=1. 故答案为：1. 18.【解答】解：设，，线段的中点的坐标为，则有由②①得，.∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴∵点在直线上，∴，∴，，∴，，即双曲线的离心率为.故答案为：.三、解答题（本题共计 5 小题，每题 12 分，共计60分）19.【解答】(1)证明：取线段AB的中点E，连接DE，EM．∵AD=DB，AE=EB，∴DE // BB1，ED=1BB1，2BB1．又M为CC1的中点，∴CM // BB1，CM=12∴四边形CDEM是平行四边形．∴CD // EM，又EM⊂MAB1，CD⊄MAB1∴CD // 平面MAB1；(2)解：∵CA，CB，CC1两两垂直，∴ 以C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．∵ 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧棱CC 1⊥底面ABC ，可得∠MAC 为直线AM 与平面ABC 所成的角，设AC =1，tan ∠MAC =32，得CM =32∴ C(0, 0, 0)，A(1, 0, 0)，B(0, 1, 0)，B 1(0, 1, 2)，M(0, 0, 32)，AM →=(−1,0,32)，AB 1→=(−1,1,2) 设AMB 1的法向量为n →=(x,y,z)，{AM →⋅n →=−x +32z =0AB 1→⋅n →=−x +y +2z =0 可取n →=(3,−1,2)又平面B 1C 1CB 的法向量为CA →=(1,0,0)．cos <n →,CA →>CA →⋅n→|n →||CA →|=3√1414． ∵ 二面角A −MB 1−C 1为钝角，∴ 二面角A −MB 1−C 1的余弦值为−3√1414．20.【解答】(1)解：由题意可知：两直线l 1，l 2的斜率一定存在，且不等于0，设l 1：y =kx +1(k ≠0)，P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2) ，则 l 2：y =−1k x +1(k ≠0)， 联立直线l 1与抛物线的方程得：{y =kx +1，x 2=2y ，⇒x 2−2kx −2=0，其中Δ=4k 2+8>0 ,由韦达定理得：{x 1+x 2=2k ，x 1x 2=−2，由上可得|PQ|=√1+k 2|x 1−x 2|=√(1+k 2)(8+4k 2) ，同理 |MN|=√(1+1k 2)(8+4k 2)， 则四边形MPNQ 面积S =12|PQ||MN|=12√(2+k 2+1k 2)(80+32k 2+32k 2)， 令k 2+1k 2=t ≥2，则S =12√(2+t)(80+32t)=√8t 2+36t +40， ∴ 当且仅当t =2 ，即 k =±1 时 ，S 取得最小值12， 且当 t →+∞ 时，S →+∞，故四边形MPNQ 面积的范围是[12,+∞).(2)证明：由(1)有x 1+x 2=2k ，y 1+y 2=2k 2+2，∴ PQ 的中点E 的坐标为(k,k 2+1) ，同理点 F 的坐标为 (−1k ,1k 2+1)，于是，直线EF 的斜率为：k EF =k 2+1−(1k 2+1)k+1k =k 2−1k 2k+1k =k −1k ， 则直线EF 的方程为：y −(k 2+1)=(k −1k )(x −k)⇒y =(k −1k )x +2，∴ 直线EF 恒过定点(0,2).21.【解答】解：(1)由f(x)=x−12(ln x)2−k ln x−1得：f′(x)=x−ln x−kx，由题意知f′(x)≥0恒成立，即x−ln x−k≥0，设F(x)=x−ln x−k，F′(x)=1−1x，x∈(0,1)时，F′(x)<0，F(x)递减，x∈(1,+∞)时，F′(x)>0，F(x)递增；故F(x)min=F(1)=1−k≥0，即k≤1，故k的取值范围是(−∞,1].(2)当k≤1时，f(x)单调，无极值；当k>1时，F(1)=1−k<0，一方面，F(e−k)=e−k>0，且F(x)在(0,1)递减，所以F(x)在区间(e−k,1)有一个零点.另一方面F(e k)=e k−2k，设g(k)=e k−2k(k>1)，则g′(k)=e k−2>0，从而g(k)在(1,+∞)递增，则g(k)>g(1)=e−2>0，即F(e k)>0，又F(x)在(1,+∞)递增，所以F(x)在区间(1,e k)有一个零点. 因此，当k>1时，f′(x)在(e−k,1)和(1,e k)各有一个零点，将这两个零点记为x1，x2(x1<1<x2)，当x∈(0,x1)时，F(x)>0，即f′(x)>0；当x∈(x1,x2)时，F(x)<0，即f′(x)<0；当x∈(x2,+∞)时F(x)>0，即f′(x)>0；从而f(x)在(0,x1)递增，当(x1,x2)递减，在(x2,+∞)递增；于是x1是函数的极大值点，x2是函数的极小值点.下面证明：f(x1)>0，f(x2)<0由f′(x1)=0得x1−ln x1−k=0，即k=x1−ln x1，由f(x1)=x1−12(ln x1)2−k ln x1−1得f(x1)=x1−12(ln x1)2−(x1−ln x1)ln x1−1=x1+12(ln x1)2−x1ln x1−1,令m(x)=x+12(ln x)2−x ln x−1,则m′(x)=(1−x)ln xx，①当x∈(0,1)时，m′(x)<0，m(x)递减，m(x)>m(1)=0，x1<1，故f(x1)>0；②当x∈(1,+∞)时m′(x)<0，m(x)递减，则m(x)<m(1)=0，x2>1，故f(x2)<0；一方面，因为f(e−2k)=e−2k−1<0，又f(x1)>0，且f(x)在(0,x1)递增，所以f(x)在(e−2k,x1)上有一个零点，即f(x)在(0,x1)上有一个零点.另一方面，根据e x>1+x(x>0)得e k>1+k，则有：f(e4k)=e4k−12k2−1>(1+k)4−12k2−1=k4+4k(k−34)2+74k>0又f(x2)<0，且f(x)在(x2,+∞)递增，故f(x)在(x2,e4k)上有一个零点，即f(x)在(x2,+∞)上有一个零点.又f(1)=0，故f(x)有三个零点.22.【解答】解：（1）只有当价格为6元/公斤时，农民种植A种蔬菜才不亏本所以农民种植A种蔬菜不亏本的概率是P=23×14+13×23=718，（2）按原来模式种植，设农民种植A种蔬菜每亩收入为ξ元，则ξ可能取值为：5000，2000，−1000，−2500．P(ξ=5000)=23×14=16，P(ξ=2000)=13×23=29，P(ξ=−1000)=23×34=12，P(ξ=−2500)=13×13=19，Eξ=5000×16+2000×29−1000×12−2500×19=500，设收购价格为a元/公斤，农民每亩预期收入增加1000元，则2500a≥700+1500，即a≥3.4，所以收购价格至少为3.4元/公斤，23.【解答】解：（1）∵的边长是米，在上，则，，∴，故，在三角形中，由余弦定理得：，；（2）若作为输水管道，则需求的最小值，∴，当且仅当即时“”成立．。
2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷(一)数学答案
绝密★启用前 试卷类型：A2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（一）数 学 答 案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.D2.A3.A4.C5.B6.B7.A8.C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9.ABC 10.BC 11.BD 12.BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
14.0y = 15.,1,1,max{,};3i i j i j i j c i f f f w ---=+ 16.41 17.7825四、解答题：本题共6小题，共70分。
17. 解：（1）方案一：选条件①. 当1n =时,11312a S ==-=;当2n ≥时,2213[3(1)(1)]64n n n a S S n n n n n -=-=-----=-,且当1n =时也成立.6 4.n a n ∴=-方案二：选条件②.12,a a 为方程210160x x -+=的两根且12a a <,122,8.a a ∴== 6 4.n a n ∴=-方案三：选条件③. 由题意知,122,8.a a ==6 4.n a n ∴=-（2）3nn n b a =⨯ ,(64)3.n n b n ∴=-⨯1721(33.22n n T n +∴=-⨯+（过程略.）18. 解：（1）由余弦定理得2222cos 92235b a c ac B =+-=+-⨯=，所以b =.由正弦定理得sin sin sin sin c b c B C C B b =⇒==. （2）由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以3sin 5ADC ∠==. 由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos C == 所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠()sin ADC C =∠+∠sin cos cos sin ADC C ADC C =∠⋅+∠⋅3455⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭. 由于0,2DAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以cos DAC ∠==所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠.19. 解：（1） 因为E,F 为BC,PC 中点,所以EF ∥PB.而在△PAC 中,PA ²+AC ²=PC ²,所以AC ⊥PA. 又因为AC ⊥AB,所以AC ⊥平面BAP.因为BP ⊂平面BAP,所以AC ⊥BP,所以AC ⊥EF. （2） 因为,于是AP ²+AB ²=PB ²,所以AB ⊥PA.以点A 为原点，AB,AC,AP 分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则12),F(12.于是AE =12),AF = (12,0).显然平面AFC 的法向量(0,0,1)m =.设平面EAF 的法向量111(,,)n x y z = ,则00n AE n AF ⋅=⋅⎪⎧⎪⎨⎩=,即1111102021y z x y ⎨⎪⎪+=⎩+=. 令11x =,则(1,n =.所以cos ||||m nm n ⋅===. 所以二面角E-AF-C.20. 解：（2） 由（1）知，2K 的观测值2200(30605060)90110801203.030 3.841k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯≈< 于是没有95%的把握认为思想政治学科获得A 等级与性别有关.（3）随机变量X 的所有可能的取值为0,1,23，， 根据条件得0355310101(0)12012C C P X C ====，1255310505(1)12012C C P X C ====，2155310505(2)12012C C P X C ====，3055310101(3)12012C C P X C ====，则随机变量X 的分布列为数学期望15513()0123121212122E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．（4）①设该划线分为m ，由~(75.8,36)Y N 得75.8,6μσ==， 令75.86Y Y μησ--==，则675.8Y η=+， 依题意，()0.85P Y m ≈≥，即()75.8675.80.856m P m P ηη-⎛⎫+=≈ ⎪⎝⎭≥≥，因为当~(0,1)N η时，( 1.04)0.85P η≈ ，所以( 1.04)0.85P η-≈ ， 所以75.81.046m -≈-，故69.56m ≈，取69m =． ②由①讨论及参考数据得()()()()71675.8710.80.80.788P Y P P P ηηη=+=-=≈≥≥≥≤，即每个学生生物统考成绩不低于71分的事件概率约为0.788，故~(800,0.788)B ξ，800800()0.788(10.788)kk k P k C ξ-==-. 由()()()()1,1,P k P k P k P k ξξξξ==-⎧⎪⎨==+⎪⎩≥≥即80011801800800800117998008000.788(10.788)0.788(10.788),0.788(10.788)0.788(10.788),k k k k k k k k k k k kC C C C -----++-⎧--⎪⎨--⎪⎩≥≥ 解得630.188631.188k ≤≤， 又k ∈N ，所以631k =，所以当631k =时()P k ξ=取得最大值.21. 解：(1)因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(－2，0)和 (1，32)，所以a ＝2，1a 2＋34b 2＝1，解得b 2＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．(2)因为B 为左顶点，所以B (－2，0)．因为四边形AMBO 为平行四边形，所以AM ∥BO ，且AM ＝BO ＝2． 设点M (x 0，y 0)，则A (x 0＋2，y 0)．因为点M ，A 在椭圆C 上，所以⎩⎨⎧x 024＋y 02＝1， (x 0＋2)24＋y 02＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1， y 0＝±32， 所以M (－1，±32)． (3) 因为直线AB 的斜率存在，所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2．因为平行四边形AMBO ，所以OM →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．因为x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝k ·－8km 1＋4k 2＋2m ＝2m1＋4k 2， 所以M (－8km 1＋4k 2，2m 1＋4k 2． 因为点M 在椭圆C 上，所以将点M 的坐标代入椭圆C 的方程， 化得4m 2＝4k 2＋1．①因为A ，M ，B ，O 四点共圆，所以平行四边形AMBO 是矩形，且OA ⊥OB ， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0．因为y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 1＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4 k 21＋4k 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝4m 2－41＋4k 2＋m 2－4k 21＋4k2＝0，化得5m 2＝4k 2＋4．② 由①②解得k 2＝114，m 2＝3，此时△＞0，因此k ＝±112．所以所求直线AB 的斜率为±112．22. 解：1110000(,'()tan)cos332.3(2)()0,(0,),tan,2()(0,)(,1)'()(cos sin)(tan),,()(0,,(.)(2)ax axaxf x a x x a xaf xf xe ef x x x ei a x x af x x xππππππ---⋅⋅=⋅⋅=-=-=>=则因为所以在上必存在唯一实数使得于是易知在上单调递增,在上单调递易知若所以在上单调递增在上单调递减所以的极大值点为0000100,sin.(),()(),.tan,sin. (,.a)0, 1.n(.) ()()costxaf x xx a x xii x e xf xxff xaxxex-≤==≤≥≥+>==减.欲证明在上单调递增因为上单调递增再故只需证明易知上先证明当时有此处不展开证明试式成立正常考试时应展开证明于是在显,正常考时应展开证明证明的大值于是然最00000001111cos cos11sin1cos cos00112sincos211,coscos)cos111,.cos1,()..(.,sinx xax a xax x xa xx aaxe x exe x ex a aaf x eef x ee a x--------≥≥=⋅≥->-->--=>-=>>>所证因为于是以以下即证所11()cos[0,2,ax ae eG xx xπ--∈-=⋅令函数01000001001)()(,].2()0,()(,],22()(,],()(,]1;22()[000,].1(0)),()[0,],10,1,(,((0aa a G x G x x G eG x x e G x x G x x G x x G G x x ea G e ex G πππππ---=->=-><<><先求函数在上的零点个数因为且函数在上单调递减所以在上有唯一零点即函数在上的零点个数为再求在上的零点个数因为且函数在上单调递增于是即①当时，0010011[0,]().[0,]0;11[0,]()[0,]01()20,(),1(0)0,()[0,]1;[0,2()2a aaG x e G G x x G x x a x eG x x a x f x e a x f x e ππ---≥≤>≤<<=≥=在上没有零点,即函数在上的零点个数为②当时，在上有唯一零点,即函数在上的零点个数为1.综上当故函数即所述,时,关于的方解程故函数在上的整数的个数为的在上的整数时解的当个关于程数为,方。
2021高考数学 高考模拟卷含答案
2021高考模拟卷数学本卷满分150分，考试时间120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()2i 12i z +=-，其中i 为虚数单位，则z =（）A ．1B ．1-C ．iD ．i-2．设集合{}2340A x Z x x =∈-->，{}2|1x B x e -=<，则以下集合P 中，满足(A)Z P C B ⊆ 的是（）A ．{1,0,1,2}-B ．{1,2}C ．{1}D ．{2}3．已知非零向量a 、b ，若a = ，()2a a b ⊥- ，则a 与b的夹角是（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π4．为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（）A ．48种B ．36种C ．24种D ．12种5．已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数可能是（）A ．sin 6()22x xx f x -=-B ．sin 6()22x xx f x -=-C ．cos6()22x xx f x -=-D ．cos 6()22x xx f x -=-6．已知函数2()ln f x a x x =+，0a >，若曲线()y f x =在点(1,1)处的切线是曲线()y f x =的所有切线中斜率最小的，则a =（）A ．12B ．1C D ．27．若双曲线1C ：2213y x a -=与双曲线2C ：22169x y -=的渐近线相同，则双曲线1C 的离心率为（）A ．102B ．3C ．2D ．338．对*n N ∈，设n x 是关于x 的方程320nx x n +-=的实数根，[(1)](2,3,...)n n a n x n =+=，其中符号[]x 表示不超过x 的最大整数，则2320202019a a a ++= （）A ．1011B ．1012C ．2019D ．2020二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．某人退休前后各类支出情况如下，已知退休前工资收入为8000元月，退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1500元，则下面结论中正确的是（）A ．该教师退休前每月储蓄支出2400元B ．该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的3倍C ．该教师退休工资收入为6000元月D ．该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少10．已知0a >，0b >，且221a b +=，则（）A ．a b +≤B ．1222a b -<<C ．221log log 2≥-D ．221a b ->-11．北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务，2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数()cos5cos9cos 59x x f x x=++近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 的图象关于点π,02⎛⎫-⎪⎝⎭对称C ．对任意x ∈R ，都有()()πf x f x '-='D ．函数()f x '的最小值为-312．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14AA AB ==，2BC =，M 、N 分别为棱11C D ，1CC 的中点，则下列说法正确的是（）A ．A 、M 、N 、B 四点共面B ．平面ADM ⊥平面11CDDC C ．1B M 与BN 所成角60︒D ．//BN 平面ADM三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知幂函数y =f (x )的图象过点12,4⎛⎫⎪⎝⎭，则曲线y =f (x )在点()1,1处的切线方程为___________14．平面内，不共线的向量,a b 满足|||2|b a b a +-=r r r r ，且||||2a a b -= ，则,a b的夹角的余弦值为________.15．某校进行体育抽测，小明与小华都要在50m 跑、跳高、跳远、铅球、标枪、三级跳远这6项运动中选出3项进行测试，假设他们对这6项运动没有偏好，则他们选择的结果至少有2项相同的概率为______.16．已知圆()()2200:8M x x y y -+-=，点(2,4)T -，从坐标原点O 向圆M 作两条切线OP ，OQ ，切点分别为P ，Q ，若切线OP ，OQ 的斜率分别为1k ，2k ，121k k =-，则OM 为定值________，TM 的取值范围为________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题10分）在①4bc =，②cos 1a B =，③sin 2sin A B =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求C 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 1b C =，sin 2sin c A C =，________.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18．（本小题12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，且2*32,n n n T S S n N =+∈.（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式．19．（本小题12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，3AB =，12A A =，D ，E ，F 分别为线段AC ，1A A ，1CB 的中点.（1）证明：//EF 平面ABC ；（2）求直线1C B 与平面BDE 所成角的正弦值.20．（本小题12分）利用简单随机抽样的方法，从某校高一年级男生体验表格中抽取20名同学的胸围()cm x 与肺活量()ml y 的样本，计算平均值80.5x =，4030y =，并求出线性回归方程为ˆ32.26yx a =+.高一男生胸围与肺活量样本统计表胸围70758085827377738572肺活量3700460040004300440034003200380044003500胸围708378918174917610490肺活量3600450037004100470037004600400047003700（1）求a 的值；（2）求样本y 与x 的相关系数r ，并根据相关性检验的临界值表，判断有无99%把握认为肺活量与胸围线性关系是有意义的(精确到0.001)；（3）将肺活量不低于4500ml 视为大肺活量，用样本大肺活量的频率作为全校高一男生大肺活量的概率，求从本校高一年级任意抽取4名男同学，恰有两名是大肺活量的概率.(参考公式及数据：()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，()()()()12211niii nniii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑，()202138i i x x =-≈∑，()20212040i i y y =-≈∑.)附：相关性检验的临界值表2n -检验水平0.050.01160.4680.590170.4560.575180.4440.561190.4330.549200.4230.53721．（本小题12分）如图所示，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，一条准线为直线2x =（1）求椭圆的标准方程；（2）A 为椭圆的左顶点，P 为平面内一点（不在坐标轴上），过点P 作不过原点的直线l 交椭圆于C ，D 两点（均不与点A 重合），直线AC ，AD 与直线OP 分别交于E ，F 两点，若OE OF =，证明：点P 在一条确定的直线上运动.22．（本小题12分）设函数()22()x x f x a a R -=⋅-∈（1）若函数()y f x =的图象关于原点对称，函数3()()2g x f x =+，求满足0()0g x =的0x 的值；（2）若函数()()42x x h x f x -=++在[0,1]x ∈的最大值为2-，求实数a 的值.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()2i 12i z +=-，其中i 为虚数单位，则z =（）A ．1B ．1-C ．iD ．i-【答案】D 【详解】解：由()2i 12i z +=-，得12i (12i)(2i)5i=i 2i (2i)(2i)5z ----===-++-，故选：D2．设集合{}2340A x Z x x =∈-->，{}2|1x B x e -=<，则以下集合P 中，满足(A)Z P C B ⊆ 的是（）A ．{1,0,1,2}-B ．{1,2}C ．{1}D ．{2}【答案】C 【详解】集合{}2340A x Z x x =∈-->，解得{4A x Z x =∈>或}1x <-，{}2|1x B x e -=<，解得{}|2B x x =<，则{}1,0,1,2,3,4Z A =-ð，所以(){}{}{}1,0,1,2,3,4|21,0,1Z A B x x ⋂=-⋂<=-ð，对比四个选项可知，只有C 符合()Z P A B ⊆⋂ð.3．已知非零向量a 、b ，若a = ，()2a a b ⊥- ，则a 与b 的夹角是（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【答案】A 【详解】设a 与b的夹角为θ，a = ，()2a a b ⊥- ，则()2222222cos 3cos 0a a b a a b a a b b θθ⋅-=-⋅=-⋅=-= ，可得cos 2θ=，0θπ≤≤Q ，6πθ∴=.4．为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（）A ．48种B ．36种C ．24种D ．12种【答案】B 【详解】解：由题意可知，分三步完成：第一步，从2种主食中任选一种有2种选法；第二步，从3种素菜中任选一种有3种选法；第三步，从6种荤菜中任选一种有6种选法，根据分步计数原理，共有23636⨯⨯=不同的选取方法，故选：B5．已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数可能是（）A ．sin 6()22x xx f x -=-B ．sin 6()22x xx f x -=-C ．cos6()22x xx f x -=-D ．cos 6()22x xx f x -=-【答案】D 【详解】由函数图象可得()y f x =是奇函数，且当x 从右趋近于0时，()0f x >，对于A ，当x 从右趋近于0时，sin 60x >，22x x -<，故()0f x <，不符合题意，故A 错误；对于B ，()()sin 6sin 6()2222x x x xx xf x f x ----===-- ，()f x ∴是偶函数，不符合题意，故B 错误；对于C ，()()cos 6cos 6()2222x xx xx xf x f x ----===-- ，()f x ∴是偶函数，不符合题意，故C 错误；对于D ，()()cos 6cos 6()2222x xx xx x f x f x ----===--- ，()f x ∴是奇函数，当x 从右趋近于0时，cos60x >，22x x ->，()0f x ∴>，符合题意，故D 正确.6．已知函数2()ln f x a x x =+，0a >，若曲线()y f x =在点(1,1)处的切线是曲线()y f x =的所有切线中斜率最小的，则a =（）A ．12B ．1C D ．2【答案】D 【详解】因为2()ln f x a x x =+，定义域为()0,∞+，所以()2a f x x x'=+，由导数的几何意义可知：当1x =时()f x '取得最小值，因为0a >，0x >，所以()2a x f x x '=+≥=，当且仅当2ax x=即22a x =时()f x '取得最小值，又因为1x =时()f x '取得最小值，所以2212a =⨯=，7．若双曲线1C ：2213y x a -=与双曲线2C ：22169x y -=的渐近线相同，则双曲线1C 的离心率为（）A ．102B ．3C ．2D ．33【答案】B 【详解】因为双曲线1C ：2213y x a-=的渐近线方程为y =，双曲线2C ：22169x y -=的渐近线方程为y =，又这两双曲线的渐近线相同，所以332a =，解得2a =，所以双曲线1C 的离心率153e ==.8．对*n N ∈，设n x 是关于x 的方程320nx x n +-=的实数根，[(1)](2,3,...)n n a n x n =+=，其中符号[]x 表示不超过x 的最大整数，则2320202019a a a ++= （）A ．1011B ．1012C ．2019D ．2020【答案】A 【详解】设函数()32f x nx x n =+-，则()232f x nx '=+，当n 时正整数时，可得()0f x '>，则()f x 为增函数，因为当2n ≥时，()323()(2((1)01111n n n n f n n n n n n n n =⨯+⨯-=⋅-++<++++，且()120f =>，所以当2n ≥时，方程320nx x n +-=有唯一的实数根n x 且(,1)1n nx n ∈+，所以(1)1,[(1)]n n n n n x n a n x n <+<+=+=，因此2320201(2342020)101120192019a a a ++=++++= .二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．某人退休前后各类支出情况如下，已知退休前工资收入为8000元月，退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1500元，则下面结论中正确的是（）A ．该教师退休前每月储蓄支出2400元B ．该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的3倍C ．该教师退休工资收入为6000元月D ．该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少【答案】ACD 【详解】解： 退休前工资收入为8000元/月，每月储蓄的金额占30%，则该教师退休前每月储蓄支出800030%2400⨯=元，故A 正确；该教师退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1500元，则该教师退休后每月储蓄的金额为900元，设该教师退休工资收入为x 元/月，则15%900x = ，即6000x =元/月，故C 正确；该教师退休前的旅行支出为80005%400⨯=元，退休后的旅行支出为600015%900⨯=元，∴该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的2.25倍，故B 错误；该教师退休前的其他支出为800020%1600⨯=元，退休后的其他支出为600025%1500⨯=元，∴该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少，故D 正确．故选：ACD ．10．已知0a >，0b >，且221a b +=，则（）A ．2a b +≤B ．1222a b -<<C ．221log log 2a b ≥-D ．221a b ->-【答案】ABD 【详解】()()()2222222,2,2a b ab a b a b a b +≥∴+≥+∴+≤ ，又0,0,2,a b a b >>∴+≤故A 正确；0a >，0b >，且221a b +=，01,01,11,a b a b ∴<<<<∴-<-<∴1222a b -<<，故B 正确；2221a b b ->->-,故D 正确；C等价于21log 2≥-，即2211log ,log 122a b b a ≥-≥-，等价于12ab ≥,但当34,55a b ==时，满足条件0a >，0b >，且221a b +=，121252ab =<,故C 错误；11．北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务，2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数()cos5cos9cos 59x x f x x=++近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 的图象关于点π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．对任意x ∈R ，都有()()πf x f x '-='D ．函数()f x '的最小值为-3【答案】BCD 【详解】A.因为cos5cos9cos ,,59x x y x y y ===的周期分别是222,,59πππ，其最小公倍数为2π，所以函数函数()f x 的最小正周期为2π，故错误；B.因为()()()()592222cos cos cos 059f ππππ--++-==-，故正确；C.()()sin sin 5sin 9f x x x f x x π=--'-='-，故正确；D.()59sin sin 2sin 3222f ππππ=---=-',故正确；12．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14AA AB ==，2BC =，M 、N 分别为棱11C D ，1CC 的中点，则下列说法正确的是（）A ．A 、M 、N 、B 四点共面B ．平面ADM ⊥平面11CDDC C ．1B M 与BN 所成角60︒D ．//BN 平面ADM【答案】BC 【详解】对于A ，由图显然AM 、BN 是异面直线，故A M N B 、、、四点不共面，故A 错误；对于B ，由题意AD ⊥平面11CDD C ，AD ⊂平面ADM ，故平面ADM ⊥平面11CDD C ，故B 正确；对于C ，取CD 的中点O ，连接BO 、ON ，可知BON △为等边三角形，且四边形1BB MO 为矩形，1//BO B M所以1B M 与BN 所成角60︒，故C 正确；对于D ，//BN 平面11AA D D ，显然BN 与平面ADM 不平行，故D 错误；三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知幂函数y =f (x )的图象过点12,4⎛⎫⎪⎝⎭，则曲线y =f (x )在点()1,1处的切线方程为___________【答案】230x y +-=【详解】设()f x x α=，将12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，124α=，解得2α=-，()2f x x -∴=，则()32f x x -'=-，()12f ∴'=-，则切线方程为()121y x -=--，即230x y +-=.14．平面内，不共线的向量,a b 满足|||2|b a b a +-=r r r r ，且||||2a a b -= ，则,a b的夹角的余弦值为________.【答案】22【详解】解：由|||2|b a b a +-=r r r r 得222|||2|2a b a b a b a +-=⇒⋅=r r r r r r r ，由||||2a a b -= ，故2222||||a a b a b b =⇒-⋅= ，所以2222a b a b =⇒= ，所以2222cos ,22b a b b a b a b a b b⋅<>==== ，15．某校进行体育抽测，小明与小华都要在50m 跑、跳高、跳远、铅球、标枪、三级跳远这6项运动中选出3项进行测试，假设他们对这6项运动没有偏好，则他们选择的结果至少有2项相同的概率为______.【答案】12【详解】由题意，两人在6项运动任选3项的选法：3366400C C =种，小明与小华选出3项中有2项相同的选法：211643180C C C =种，小明与小华选出3项中有3项相同的选法：3620C =种，∴他们选择的结果至少有2项相同的概率为21136436336612C C C C P C C +==，16．已知圆()()2200:8M x x y y -+-=，点(2,4)T -，从坐标原点O 向圆M 作两条切线OP ，OQ ，切点分别为P ，Q ，若切线OP ，OQ 的斜率分别为1k ，2k ，121k k =-，则OM 为定值________，TM 的取值范围为________.【答案】4254,54⎡⎤⎣⎦【详解】由题意可知，直线1:OP y x k =，2:OQ y k x =，因为直线OP ，OQ 与圆M 相切，1002121k x y k-=+2002221k x y k-=+，两边同时平方整理可得()2221010008280k x k x y y -++-=，()2222020008280k x k x y y -++-=，所以1k ，2k 是方程()22208280(0)kx kx yy k -++-=≠的两个不相等的实数根，所以2122088y k k x -=-．又121k k =-，所以202818y x -=--，即220016x y +=，则4OM ==；又TO ==，根据圆的性质可得，所以44TO TM TO -≤≤+，即44TM -≤≤．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①4bc =，②cos 1a B =，③sin 2sin A B =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求C 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 1b C =，sin 2sin c A C =，________.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【详解】若选①，bc ＝4，由于c sin A ＝2sin C ，利用正弦定理可得ac ＝2c ，可得a ＝2，因为b cos C ＝1，可得cos C ＝1b ＝2222a b c ab+-，整理可得2a ＝a 2+b 2﹣c 2，解得b ＝c ＝2，所以C ＝3π．若选②，a cos B ＝1，因为c sin A ＝2sin C ，由正弦定理可得ca ＝2c ，解得a ＝2，所以cos B ＝12，由B ∈（0，π），可得B ＝3π，又b cos C ＝1，可得a cos B ＝b cos C ，由余弦定理可得a •2222a c b ac +-＝b •2222a b c ab+-，整理可得b ＝c ，所以C ＝B ＝3π．若选③，sin A ＝2sin B ，由正弦定理可得a ＝2b ，又c sin A ＝2sin C ，由正弦定理可得ca ＝2c ，可得a ＝2，所以b ＝1，又因为b cos C ＝1，可得cos C ＝1，又C ∈（0，π），所以这样的C 不存在，即问题中的三角形不存在．18．已知数列{}n a 的各项均为正数，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，且2*32,n n n T S S n N =+∈.（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式．【详解】（1）由3T 1＝21S ＋2S 1，得321a ＝21a ＋2a 1，即21a －a 1＝0.因为10a >，所以11a =；（2）因为3T n ＝2n S ＋2S n ，①所以3T n ＋1＝21n S +＋2S n ＋1,②②－①，得321n a +＝21n S +－2n S ＋2a n ＋1，即321n a +＝(S n ＋a n ＋1)2－2n S ＋2a n ＋1.因为10n a +>，所以a n ＋1＝S n ＋1,③所以a n ＋2＝S n ＋1＋1,④④－③，得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1，即a n ＋2＝2a n ＋1，所以当n ≥2时，1n na a +＝2，又由222232T S S =+，得3(1＋22a )＝(1＋a 2)2＋2(1＋a 2)，即22220-=a a ，因为20a >，所以22a =，所以21a a ＝2，所以对任意的n ∈N *，都有12n n a a +=成立，所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=.19．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，3AB =，12A A =，D ，E ，F 分别为线段AC ，1A A ，1CB 的中点.（1）证明：//EF 平面ABC ；（2）求直线1C B 与平面BDE 所成角的正弦值.【详解】（1）如图，取BC 的中点G ，连结AG ，FG .在1BCC 中，因为F 为1C B 的中点，所以1//FG C C ，112FG C C =.在三棱柱111ABC A B C -中，11//A A C C ，11A A C C =，且E 为1A A 的中点，所以//FG EA ，FG EA =.所以四边形AEFG 是平行四边形.所以//EF AG .因为EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ，所以//EF 平面ABC .（2）以D为坐标原点，如图所示建立空间直角坐标系，因为233AB =，所以1BD =,所以()0,0,0D ，()0,1,0B ，1323C ⎫⎪⎝⎭，33E ⎛⎫⎪⎝⎭,所以131,23BC ⎫=-⎪⎝⎭ ，()0,1,0DB = ，33DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，设平面BDE 的一个法向量为(),,n a b c =，则00DB n DE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即003b a c =⎧⎪⎨-+=⎪⎩,取a =1c =，所以n =，所以111cos ,||||n BC n BC n BC ⋅<>===直线1C B 与平面BDE 所成角为θ，则θ与1,n BC <>或它的补角互余，所以111sin cos ,n BC n BC n BC θ⋅=<>==⋅.20．利用简单随机抽样的方法，从某校高一年级男生体验表格中抽取20名同学的胸围()cm x 与肺活量()ml y 的样本，计算平均值80.5x =，4030y =，并求出线性回归方程为ˆ32.26yx a =+.高一男生胸围与肺活量样本统计表胸围70758085827377738572肺活量3700460040004300440034003200380044003500胸围708378918174917610490肺活量3600450037004100470037004600400047003700（1）求a 的值；（2）求样本y 与x 的相关系数r ，并根据相关性检验的临界值表，判断有无99%把握认为肺活量与胸围线性关系是有意义的(精确到0.001)；（3）将肺活量不低于4500ml 视为大肺活量，用样本大肺活量的频率作为全校高一男生大肺活量的概率，求从本校高一年级任意抽取4名男同学，恰有两名是大肺活量的概率.(参考公式及数据：()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，()()niix x y y r --=∑38≈，2040≈.)附：相关性检验的临界值表2n -检验水平0.050.01160.4680.590170.4560.575180.4440.561190.4330.549200.4230.537【详解】（1）由于回归直线：ˆy=32.26x +a 过点(80.5，4030)，所以a =4030-32.26x 80.5=1433.07.（2）假设H 0：变量x ，y 不具有线性相关关系，所以r =382040⨯32.26≈0.601，由相关性检验临界值表知：r 001=0.561，r =0.601>0.561，所以有99%的把握认为肺活量的大小与胸围具有线性相关关系.（3）从统计表中可知，20个样本中不低于4500m /有5个，所以全校高一男生大肺活量的概率为520=14设从高一年级任取4名男同学，恰有两名男生是大肺活量的概率为ρ，则p =24C 214⎛⎫ ⎪⎝⎭22471283⎛⎫ ⎪=⎝⎭.所以从高一年级任取4名男同学，恰有两名男生是大肺活量的概率为27128.21．如图所示，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，一条准线为直线x =（1）求椭圆的标准方程；（2）A 为椭圆的左顶点，P 为平面内一点（不在坐标轴上），过点P 作不过原点的直线l 交椭圆于C ，D 两点（均不与点A 重合），直线AC ，AD 与直线OP 分别交于E ，F 两点，若OE OF =，证明：点P 在一条确定的直线上运动.【详解】（1）设圆的焦距为2c .因为椭圆的离心率为22，一条准线为直线2x =所以22c e a ==，22a c =，从而21a =，212c =，从而22212b ac =-=.所以椭圆的标准方程为2221x y +=.（2）因为点P 不在坐标轴上，所以直线OP 的斜率存在且不为0.设直线CD 的方程为y mx n =+，直线EF 的方程为y kx =，设点()11,C x mx n +，点()22,D x mx n +，点()00,P x y ，由题设知()1,0A -.因为点A 、C 不重合，所以直线AC 的方程为11(1)1mx ny x x +=++.联立11(1)1mx n y x x y kx+⎧=+⎪+⎨⎪=⎩，可得点E 的横坐标11()E mx n x k m x k n +=-+-.同理可得点F 的横坐标22()F mx nx k m x k n+=-+-.因为OE OF =，所以0E F x x +=，整理得()12122()(2)2()0m k m x x mk nk mn x x n k n -++-++-=（*）联立2221y mx n x y =+⎧⎨+=⎩，可得()222214210m x mnx n +++-=.所以()2242210m n ∆=-+>，122421mn x x m -+=+，21222121n x x m -=-+，代入（*）式，有()()222()21(2)4221()0m k m n mk nk mn mn n m k n ---+-⋅++-=，整理得()()0n m n m k -+-=.因为直线CD 不过点A ，所以0n m -≠，因而0n m k +-=.联立y mx ny kx=+⎧⎨=⎩，可得0()k m x n -=.因为直线CD 不过原点，所以0n ≠，因而0k m -≠.所以01nx k m==-，因而点P 在直线1x =上运动22．设函数()22()x x f x a a R -=⋅-∈（1）若函数()y f x =的图象关于原点对称，函数3()()2g x f x =+，求满足0()0g x =的0x 的值；（2）若函数()()42x x h x f x -=++在[0,1]x ∈的最大值为2-，求实数a 的值.【详解】（1）∵()f x 的图象关于原点对称，∴()()0f x f x -+=，∴22220x x x x a a --⋅-+⋅-=，即()(1)220xx a --⋅+=，所以1a =；令3()2202xxg x -=-+=，则()()2223220xx ⋅+⋅-=，∴()()222210xx+⋅⋅-=，又20x >，∴1x =-，所以满足()00g x =的0x 的值为01x =-.（2）()2242x x x x h x a --=⋅-++，[0,1]x ∈，令2[1,2]x t =∈，2()(),[1,2]h x H t t at t ==+∈，对称轴02a t =-，①当3122a -≤，即3a ≥-时，max ()(2)422H t H a ==+=-，∴3a =-；②当322a ->，即3a <-时，max ()(1)12H t H a ==+=-，∴3a =-（舍）；综上：实数a 的值为3-.高考试题年年在变，但考查的内容和知识点是相对稳定的，解答题的考查内容基本是固定的，取得高分一定有规律可找，基础知识+二级结论+技巧模板是实现高分的必经途径，这是众多优秀学生检验了无数遍的真理，抓住核心题型集中归类突破，就能举一反三，不必题海战术.学会对题型的总结反思与解题方法的优化，就会突破瓶颈。
2021年高考数学模拟测试卷_1
2021年高考数学模拟测试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化简集合，按交集定义，即可求解.【详解】由，得，所以，故选：B．【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.2.已知复数z满足z(1+2i)=i，则复数在复平面内对应点所在的象限是（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案．【详解】解：由，得，所以复数在复平面内对应的点的坐标为，在第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．3.已知向量，，则“m＜1”是“，夹角为钝角”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由题意结合平面向量数量积的知识可得若，夹角为钝角，则且，再由且结合充分条件、必要条件的概念即可得解.【详解】若，夹角为钝角，则且，由可得，解得且，由且可得“m＜1”是“，夹角为钝角”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查了利用平面向量数量积解决向量夹角问题，考查了充分条件、必要条件的判断，属于中档题.4.甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是（）A. 90B. 120C. 210D. 216【答案】C【解析】【分析】根据题意：分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一个台阶上；第二类，有2人站在同一台阶上，剩余1人独自站在一个台阶上，算出每类的站法数，然后再利用分类计数原理求解.【详解】因为甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，且每级台阶最多站2人，所以分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一个台阶上，共有：种站法；第二类，有2人站在同一台阶上，剩余1人独自站在一个台阶上，共有：种站法；所以每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置的不同的站法总数是.故选：C【点睛】本题主要考查排列组合的应用以及分类计数原理的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.5.已知定义在上函数，，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断函数在时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到，比较三个数的大小，然后根据函数在时的单调性，比较出三个数的大小.【详解】当时，，函数在时，是增函数.因为，所以函数是奇函数，所以有，因为，函数在时，是增函数，所以，故本题选D.【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.6.对n个不同的实数a1，a2，…，an可得n！个不同的排列，每个排列为一行写成一个n！行的数阵.对第i行ai1，ai2，…，ain，记bi=－ai1+2ai2－3ai3+…+(－1)nnain，i=1，2，3…，n！.例如用1，2，3可得数阵如图，对于此数阵中每一列各数之和都是12，所以bl+b2+…b6=－12+2×12－3×12=－24.那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，b1+b2+…b120等于（）A. －3600B. －1800C. －1080D. －720【答案】C【解析】【分析】根据用1，2，3，4，5形成的数阵和每个排列为一行写成一个n！行的数阵，得到数阵中行数，然后求得每一列各数字之和，再代入公式求解.【详解】由题意可知：数阵中行数为：，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，每一列各数字之和都是：，.故选：C【点睛】本题主要考查数列的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.7.已知中，，，，为所在平面上一点，且满足.设，则的值为（）A. 2B. 1C.D.【答案】C【解析】分析】由由，得：点是的外心，由向量的投影的概念可得：，再代入运算，即可【详解】解：由，得：点是的外心，又外心是中垂线的交点，则有：，即，又，，，所以，解得：，即，故选：．【点睛】本题考查了外心是中垂线的交点，投影的概念，平面向量的数量积公式，属中档题.8.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=BB1=1，M是AC的中点，则三棱锥B1－ABM的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意找到三棱锥B1－ABM的外接球球心为中点,即可求出其半径,则可求出其表面积.【详解】如图所示：取中点为，中点为.并连接,则平面,所以所以三棱锥B1－ABM的外接球球心为中点.所以,所以三棱锥B1－ABM的外接球的表面积为.故选:B【点睛】本题考查三棱锥的外接球表面积,属于基础题.解本题的关键在于画出三棱柱，找到三棱锥的外接球球心.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.Keep是一款具有社交属性的健身APP，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案.Keep可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程.不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划.小明根据Keep记录的2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程(单位：十公里)数据整理并绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是（）A. 月跑步里程最小值出现在2月B. 月跑步里程逐月增加C. 月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数D. 1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小【答案】ACD【解析】【分析】根据折线图，依次分析月跑步里程的最小值，中位数，变化趋势，波动性即得解【详解】由折线图可知，月跑步里程的最小值出现在2月，故A正确；月跑步平均里程不是逐月增加的，故B不正确；月跑步里程数从小到大排列分别是：2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11月，9月，10月，故5月份对应的里程数为中位数，故C正确；1月到5月的月跑步平均里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳，故D正确.故选：ACD【点睛】本题考查了统计图表折线图的应用，考查了学生综合分析，数形结合，数据处理能力，属于基础题10.已知函数，下列结论不正确的是（）A. 函数图像关于对称B. 函数在上单调递增C. 若，则D. 函数f(x)的最小值为－2【答案】BCD【解析】【分析】去绝对值号，将函数变为分段函数，分段求值域，在化为分段函数时应求出每一段的定义域，由三角函数的性质求之．【详解】解：由题意可得：，函数图象如下所示故对称轴为，，故A正确；显然函数在上单调递增，上单调递减，故B错误；当，时函数取得最小值，故D错误；要使，则，则或，或，所以或，，故C错误．故选：BCD．【点睛】本题主要考查了三角函数的性质的应用，表达式中含有绝对值，故应先去绝对值号，变为分段函数，再分段求值域，属于中档题．11.已知正方体棱长为，如图，为上的动点，平面.下面说法正确的是（）A. 直线与平面所成角的正弦值范围为B. 点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大C. 点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形D. 己知为中点，当的和最小时，为的中点【答案】AC【解析】【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断A选项的正误；证明出平面，分别取棱、、、、、的中点、、、、、，比较和六边形的周长和面积的大小，可判断B选项的正误；利用空间向量法找出平面与棱、的交点、，判断四边形的形状可判断C选项的正误；将矩形与矩形延展为一个平面，利用、、三点共线得知最短，利用平行线分线段成比例定理求得，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则点、、设点，平面，则为平面的一个法向量，且，，，所以，直线与平面所成角的正弦值范围为，A选项正确；对于B选项，当与重合时，连接、、、，在正方体中，平面，平面，，四边形是正方形，则，，平面，平面，，同理可证，，平面，易知是边长为的等边三角形，其面积为，周长为.设、、、、、分别为棱、、、、、的中点，易知六边形是边长为的正六边形，且平面平面，正六边形的周长为，面积为，则的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，B选项错误；对于C选项，设平面交棱于点，点，，平面，平面，，即，得，，所以，点为棱的中点，同理可知，点为棱的中点，则，，而，，且，由空间中两点间的距离公式可得，，，所以，四边形为等腰梯形，C选项正确；对于D选项，将矩形与矩形延展为一个平面，如下图所示：若最短，则、、三点共线，，，，所以，点不是棱的中点，D选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查线面角正弦值的取值范围，同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折线段长的最小值问题，考查空间想象能力与计算能力，属于难题.12.函数f(x)=ex+asinx，x∈(－π，+∞)，下列说法正确的是（）A. 当a=1时，f(x)在(0，f(0))处的切线方程为2x－y+1=0B. 当a=1时，f(x)存在唯一极小值点x0且－1＜f(x0)＜0C. 对任意a＞0，f(x)在(－π，+∞)上均存在零点D. 存在a＜0，f(x)在(－π，+∞)上有且只有一个零点【答案】ABD【解析】【分析】逐一验证选项，选项A，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程，选项B 通过导数求出函数极值并判断极值范围，选项C、D，通过构造函数，将零点问题转化判断函数与直线y＝a 的交点问题．【详解】选项A，当时，，，所以，故切点为，，所以切线斜率，故直线方程为：，即切线方程为：，选项A 正确.选项B，当时，，，恒成立，所以单调递增，又,,所以，即，所以所以存在，使得，即则在上，，在上，，所以在上，单调递减，在上，单调递增.所以存在唯一的极小值点.,则，，所以B正确.对于选项C、D，，令，即，所以, 则令,,令,得由函数的图像性质可知:时，，单调递减.时，，单调递增.所以时，取得极小值，即当时取得极小值，又,即又因为在上单调递减，所以所以时，取得极小值，即当时取得极大值，又，即所以当时，所以当，即时，f(x)在(－π，+∞)上无零点，所以C不正确.当，即时，与的图象只有一个交点即存在a＜0，f(x)在(－π，+∞)上有且只有一个零点，故D正确.故选：ABD．【点睛】本题考查函数的切线、极值、零点问题，含参数问题的处理，考查数学运算，逻辑推理等学科素养的体现，属于难题题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的展开式中的常数项为____________________.(用数字作答)【答案】240【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求出的值，即可求得常数项．【详解】解：展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中的常数项为，故答案为：240．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．14.一个不透明的箱中原来装有形状、大小相同的1个绿球和3个红球.甲、乙两人从箱中轮流摸球，每次摸取一个球，规则如下：若摸到绿球，则将此球放回箱中可继续再摸；若摸到红球，则将此球放回箱中改由对方摸球，甲先摸球，则在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的概率是________.【答案】【解析】【分析】先定义事件，，，，从而得到事件“甲恰好摸到两次绿球的情况为事件，利用事件的独立性进行概率计算，即可得到答案。
2021届高考数学一轮知能训练2021年高考数学模拟试卷一含解析
2021年高考数学模拟试卷(一）（本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟，本模拟试卷参照山东省新高考编制)第Ⅰ卷（选择题满分60分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．(2016年浙江)已知集合P＝｛x∈R｜1≤x≤3}，Q＝{x∈R｜x2≥4｝，则P∪（∁R Q)＝( )A．[2,3］B．(－2,3］C．［1，2）D．(－∞，－2］∪［1,＋∞）2．已知复数z＝错误!，给出下列四个结论：①|z｜＝2；②z2＝2i；③z的共轭复数错误!＝－1＋i;④z的虚部为i.其中正确结论的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．33．已知数列｛a n}是各项均为正值的等比数列,且a4a12＋a3a5＝15，a4a8＝5，则a4＋a8＝（)A．15 B。
错误!C．5 D．254．某几何体的三视图如图M1。
1所示(单位：cm），则该几何体的体积等于( )图M1。
1A．4＋错误!π B．4＋错误!πC．6＋错误!π D．6＋错误!π5．(2019年浙江台州中学模拟）对某小区100户居民的月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图如图M1.2，则估计此样本的众数、中位数分别为（)图M1。
2A．2。
25，2.5 B．2。
25,2。
02C．2,2。
5 D．2。
5,2.256．（2018年天津)设变量x，y满足约束条件错误!则目标函数z＝3x＋5y的最大值为( )A．6 B．19 C．21 D．457．(2017年湖南长沙雅礼中学)在边长为2的正△ABC中，设错误!＝2错误!,错误!＝3错误!，则错误!·错误!＝( )A．－2 B．－错误!C．－错误!D．－18．(2018年天津）已知a＝log3错误!，b＝错误!13，c＝log1错误!，则a,b，3c的大小关系为( ）A．a〉b〉c B．b〉a>cC．c>b〉a D．c〉a>b二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分,共20分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．已知函数f(x）＝2sin（2x＋φ)(0<φ<π),若将函数f(x)的图象向右平移错误!个单位长度后,所得图象关于y轴对称，则下列结论中正确的是( ）A ．φ＝5π6B.错误!是f (x )图象的一个对称中心C ．f （φ)＝－2D ．x ＝－错误!是f （x )图象的一条对称轴10．函数f (x )＝x 2－3x ＋m －2ln x, 下列结论正确的是( )A ．m ＝3时,f （x )有两个零点B ．m ＝3时，f (x )的极小值点为2C ．m ＝3时，f （x ）≥0恒成立D ．若f (x ）只有一个零点，则m ＝2＋2ln 211．已知抛物线C ：y 2＝2px （p >0)的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线与抛物线交于P ，Q 两点,M 为线段PQ 的中点,O 为坐标原点，则下列结论正确的是( ）A ．C 的准线方程为y ＝－1B ．线段PQ 的长度最小为4C ．M 的坐标可能为（3，2)D.错误!·错误!＝－3恒成立12．如果一个棱锥的底面是正方形，且顶点在底面内的射影是底面的中心,那么这样的棱锥叫正四棱锥．若一正四棱锥的体积为18，则该正四棱锥的侧面积最小时，以下结论正确的是( )A ．棱的高与底面边长的比为22B ．侧棱与底面所成的角为错误!C ．棱锥的高与底面边长的比为错误!D ．侧棱与底面所成的角为错误!第Ⅱ卷（非选择题满分90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2018年河北衡水中学调研)若在函数f(x）＝ax2＋bx(a>0，b〉0）的图象的点(1,f(1）)处的切线斜率为2，则错误!的最小值是________．14．在数列｛a n}中，a1＝2，a n＋1＝错误!，则a10＝______。
2021届新高考数学模拟基础训练卷一(解析word版)
绝密★启用前专题01 2021高考数学基础训练卷一一、单选题1．如图，集合{}0,2,4A =，{}1,3,4B =，则阴影部分表示的集合是（ ）A ．{}4B ．{}0,1,2,3,4C ．{}0,2D ．{}1,3【答案】C 【分析】阴影部分表示集合A 中去掉A B 部分剩余元素组成的集合.【详解】{}4A B ⋂=阴影部分表示集合A 中去掉A B 部分剩余元素组成的集合，即阴影部分表示的集合是{}0,2.故选：C 2．设2iz i+=，则||z =（ ）A B C ．2D ．5【答案】B 【分析】利用复数的除法运算先求出z ，再求出模即可. 【详解】()22212i ii z i i i++===-，∴z ==故选：B ．3．已知直线l ：y ＝k (x 和圆C ：()2211x y +－＝，若直线l 与圆C 相切，则k ＝（ ）A ．0 BC ．3或0 D 0【答案】D 【分析】根据直线与圆相切的条件建立方程，可得选项． 【详解】因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C 到直线l 的距离d ＝1，解得k ＝0或k 故选：D.4．已知变量x ，y 之间的一组数据如表：若y 关于x 的线性回归方程为ˆˆ0.7yx a =+，则ˆa =（ ） A ．0.1 B ．0.2C ．0.35D ．0.45【答案】C 【分析】先求x ，y ，代入ˆˆ0.7yx a =+，即可得计算ˆa 的值. 【详解】34564.54x +++==,2.534 4.53.54y +++==，将 4.5x =， 3.5y =代入ˆˆ0.7yx a =+ 得ˆ0.35a=， 故选：C5．已知(1,1),(2,4),(,9)A B C x --，且//AB AC ，则x =（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．-1【答案】A【分析】先求出AB 和AC 的坐标，利用向量共线的坐标表示列方程即可求解. 【详解】()1,5AB =-，()1,10AC x =--，因为//AB AC ，所以()()11051x ⨯-=--，解得：3x =， 故选：A6．已知q 为等比数列{}n a 的公比，且1212a a =-，314a =，则q =（ ） A ．1- B ．4 C ．12-D ．12±【答案】C 【分析】利用等比通项公式直接代入计算，即可得答案； 【详解】()211142211111122211121644a a q a q q q q a q a q ⎧⎧=-=--⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⇒=-⎨⎨⎪⎪=⋅=⎪⎪⎩⎩， 故选：C.7．若球的半径为10cm ，一个截面圆的面积是236cm π，则球心到截面圆心的距离是（ ） A ．5cm B ．6cmC ．8cmD ．10cm【答案】C 【分析】由题意可解出截面圆的半径，然后利用勾股定理求解球心与截面圆圆心的距离． 【详解】由截面圆的面积为236cm π可知，截面圆的半径为6cm ，则球心到截面圆心的距离为8d ==cm ． 故选：C ． 【点睛】解答本题的关键点在于，球心与截面圆圆心的连线垂直于截面． 8．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，对于任意的实数x ，都有()()2x f x e f x -=，当0x <时，()()0f x f x +'>，若()()211a e f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是（ ）A ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)0,+∞D ．(],0-∞【答案】B 【分析】构造函数()()xg x e f x =，根据题意，可得函数()g x 的奇偶性，根据0x <时()()0f x f x +'>，对函数()g x 求导，可得函数()g x 的单调性，将()()211a e f a f a +≥+，左右同乘1a e +，可得()()211211a a e f a e f a +++≥+，即()()211g a g a +≥+，利用()g x 的性质，即可求得答案.【详解】∵()()2x f x e f x -=，∵()()()x x xf xe f x e f x e --==-， 令()()xg x e f x =，则()()g x g x -=，即()g x 为偶函数，当0x <时()()0f x f x +'>，∵()()()'0xx e f x f x g '+⎡⎤⎣⎦>=，即函数()g x 在(),0-∞上单调递增.根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知()g x 在()0,∞+上单调递减， ∵()()211ae f a f a +≥+，∵()()211211a a ef a e f a +++≥+，∵()()211g a g a +≥+，即211a a +≤+， 解得，203a -≤≤， 故选：B. 【点睛】解题的关键是将题干条件转化为()()()x x xf x e f x e f x e--==-，根据左右相同的形式，构造函数()()x g x e f x =，再根据题意，求得函数的奇偶性，单调性；难点在于：由于()()211a e f a f a +≥+，不符合函数()g x 的形式，需左右同乘1a e +，方可利用函数()g x 的性质求解，属中档题.二、多选题9．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ） A ．x y e -= B ．3y x = C ．ln y x = D ．y x =【答案】BD 【分析】利用基本初等函数的基本性质可得结论. 【详解】对于A 选项，101e <<，所以，函数1xx y e e -⎛⎫== ⎪⎝⎭是定义域为R 的减函数；对于B 选项，函数3y x =是定义域为R 的增函数； 对于C 选项，函数ln y x =是定义域为()0,∞+的增函数； 对于D 选项，函数y x =是定义域为R 的增函数. 故选：BD. 【点睛】本题考查基本初等函数定义域和单调性的判断，属于基础题. 10．在下列函数中，最小正周期为π的所有函数为（ ） A ．sin 2y x = B ．cos y x =C ．cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】ABC 【分析】利用周期公式或图像判断即可.【详解】 对于A ，2T ππω==，对于B ，cos y x =的周期是2π，cos y x =的图像是把cos y x =的图像的x 轴下方部分关于x 轴对称，周期减半，故cos y x =的周期是π，对于C ，2T ππω==，对于D ，2ππT ω==， 故选：ABC. 【点睛】此题考函数的周期的求法，属于简单题. 11．已知曲线22:1C mx ny +=（ ） A ．若0m =，0n >，则C 是两条直线 B ．若0m n =>，则CC ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上D ．若0mn <，则C是双曲线，其渐近线方程为y = 【答案】AD 【分析】由曲线方程及圆锥曲线的性质逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，若0m =，0n >，则2:1C ny =即y =，为两条直线，故A 正确； 对于B ，若0m n =>，则221:C x y n +=，所以CB 错误； 对于C ，若0m n >>，则110m n<<， 所以22:1C mx ny +=即22:111x y C m n+=为椭圆，且焦点在y 轴上，故C 错误；对于D ，若0mn <，则22:111x y C m n +=为双曲线，且其渐近线为y ==，故D 正确.故选：AD.12．如图，在正方体ABCD 1111A B C D -中，点P 在面对角线AC 上运动，给出下列四个命题，则其中正确的命题的是（ ）A ．1//D P 平面11A BCB ．1D P BD ⊥C ．平面PD 1B ⊥平面11A BC D ．三棱锥11A BPC -的体积不变 【答案】ACD 【分析】确定平面1//ACD 平面11A BC ，可判断A ，取特殊点可判断B ，证明1B D ⊥平面1ACD 后得面面垂直，可判断C ，由棱锥体积公式可判断D ． 【详解】如下图，正方体中11//AC A C ，由线面平行的判定定理，得//AC 平面11A BC ，同理1//AD 平面11A BC ，因此可得平面1//ACD 平面11A BC ，从而平面1ACD 内的直线1//D P 平面11A BC ，A 正确；如下图，当P 是AC 与BD 交点时，1D PD ∠是锐角，B 错；如下图，由正方体中AC BD ⊥，1AC BB ⊥可得AC ⊥平面1BDB ，从而AC BD ⊥，同理有1AD BD ⊥，因此有1B D ⊥平面1ACD ，∵平面1PDB ⊥平面1ACD ，C 正确；如上图，11PA C 的面积是矩形11ACC A 面积的一半，不变，B 到平面11PA C 的距离不变是12BD ，因此三棱锥11B PAC -即三棱锥11A BPC -的体积不变，D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查空间线面关系，棱锥的体积，掌握线面平行的判定，线线垂直、线面垂直与面面垂直的关系是解题关键．解题时对三个垂直的间相互转化需熟练掌握．第II 卷（非选择题）三、填空题13．已知1x >，且1x y -=，则1x y+的最小值是______ 【答案】3 【分析】由题得0y >，再利用基本不等式求函数的最小值. 【详解】由题得11,0x y y =+>∴>.所以11111x y y y y y +=++=++≥， （当且仅当1y =时取等） 所以函数的最小值为3. 故答案为：3 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14．已知()8223160123161x a a x a x a x a x -=+++++，则45a a +=______.【答案】28 【分析】先求出二项的通项公式()()82181rrrr T C x -+=-，由此通项可知展开式中x 的次数均为偶数，所以50a=，当6r =时，x 的次数为4，从而可求出4a ，进而可得结果. 【详解】解：因为()821-x 的第1r +项为()()82181rrrr T C x -+=-（08r ≤≤且r *∈N ）， 所以5x 不存在，所以50a =，因为4x 的系数为()668128C -=，所以428a =，所以4528a a +=.故答案为：28 【点睛】此题考查二项式展开式的指定项的系数，熟记二项式展开式的通项公式是解题的关键，属于基础题. 15．某县城中学安排5位老师（含甲）去3所不同的村小（含A 小学）支教，每位老师只能支教1所村小，且每所村小学都有老师支教，其中至少安排2位老师去A 小学，但是甲不去A 校，则不同的安排方法数为________. 【答案】44 【分析】A 小学若安排3人有8种，A 小学若安排2人有36种，利用加法原理计算即可.【详解】解：A 小学若安排3人，则有23428C A =种；A 小学若安排2人.则有22243236C C A =种.故不同的方法数为83644+=. 故答案为：44 【点睛】本题考查排列组合的综合应用，考查分类讨论的思想及逻辑推理能力，属于基础题.16．若数列{}n a 是等差数列，n S 是数列的前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -也成等差数列.类比上述结论，若数列{}n b 是等比数列，n T 是数列的前n 项积，则对应的结论为________ 【答案】n T ，2n n T T ，32nnT T 也成等比数列. 【分析】根据题中条件，类比等差数列的性质，在等比数列中研究n T ，2n n T T ，32nnT T 之间关键即可. 【详解】因为若数列{}n b 是等比数列，n T 是数列的前n 项积，则12...n n b b T b ⋅⋅=，212212212.........n nn n n n n T b b b b b b T b b b ++⋅⋅==⋅⋅⋅⋅， 3123212232122.........n nn n n n nT b b b b b b T b b b ++⋅⋅==⋅⋅⋅⋅，所以()()()()2312122232332...n n n n n n nn T b b b b b b T b b T +++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ()()()()222221232...nn n n n nT b b b b T +++⎛⎫=⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭， 所以n T ，2n n T T ，32nnT T 成等比数列. 故答案为：n T ，2n n T T ，32nnT T 也成等比数列. 【点睛】本题主要考查类比推理，涉及等比数列的性质，属于基础题型.四、解答题17．在等差数列{}n a 中，已知616a =，1636a =.在①14n n n b a a +=；②()1nn n b a =-⋅；③2na n nb a =⋅这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若______，求数列{}n b 的前n 项和n S .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）24n a n =+；（2）答案见解析. 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题中条件，求出公差，进而可得通项公式； （2）分别选①②③，根据裂项相消法，分组求和法，以及错位相减法，即可得出结果. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()166166a a d =+-， 即361610d =+，解得2d =，故()166224n a n n =+-⨯=+. （2）选①，由()()()()14412324214n n n b a a n n n n +====+++++⎡⎤⎣⎦1123n n -++得，()111111113445233333n n S n n n n =-+-++-=-=++++. 选②，()()()1124nnn n b a n =-⋅=-⋅+. 当n 为偶数时，()234562212n nS n n =-+-+-++=⨯⨯=⎡⎤⎣⎦； 当n 为奇数时，()()()1234561221252n n S n n n n -⎡⎤=-+-+-++-+=⨯-+=--⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 故,5,.n n n S n n ⎧=⎨--⎩为偶数，为奇数选③，由()242242n an n n b a n +=⋅=+⋅得，()6810246282102242n n S n +=⋅+⋅+⋅+++⋅，①()()810242646282222242n n n S n n ++=⋅+⋅+++⋅++⋅，②①-②得，()68102426362222222242n n n S n ++-=⋅+⋅+⋅++⋅-+⋅()82662622262224212n n n ++⎛⎫-=⋅+-+⋅ ⎪-⎝⎭727552233n n +⎛⎫=⋅-+⋅ ⎪⎝⎭， 故2735640299n n n S ++=⋅-. 【点睛】 方法点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：已知数列是等差或等比的数列，可根据求和公式直接计算；（2）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用导学相加法；（3）错位相减法：数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法；（4）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和； （5）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减；（6）并项求和：一个数列的前n 项，可由两两结合求解，则称之为并项求和，形如： ()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.18．在△ABC 中，a b c 、、分别为三个内角A 、B 、C 的对边，且222sin .3b Ac a -+= (1)求角A ；(2)若4sin sin 3B C ，=且2a ，=求△ABC 的面积．【答案】（1）3A π=； （2.【分析】（1）整理222sin b A c a +=得：222sin b c a A +-=，再由余弦定理可得cos A A =，问题得解．（2）由正弦定理得：3R =，2sin b R B =，2sin c R C =，再代入ABC S ∆=1sin 2bc A 即可得解．【详解】（1）由题意，得2222cos sin cos tan b c a bc A A A A A +-==⇒=⇒=， ∵3A π=；（2）由正弦定理，得2sinB sinC sin a R R b A c ===⇒=2sin b R B =,2sin c R C =∵2232si 1n s sin sin 24in 2ABCS R A B c A C b ∆===⋅=⎝⎭ 【点睛】本题主要考查了正、余弦定理及三角形面积公式，考查了转化思想及化简能力，属于基础题．19．如图，四棱锥-P BCDE 中，//BC DE ，2222BC CD DE PE ====，CE O 是BE 中点，PO ⊥平面BCDE .（1）求证：平面PBE ⊥平面PCE ； （2）求二面角B PC D --的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）11. 【分析】（1）根据题中所给长度可得222CE DE CD =+，即90CDE ∠=︒，利用余弦定理，可求得BE =，则可得CE BE ⊥，利用线面垂直的性质，可得PO CE ⊥，根据线面垂直的判定定理即可得证.（2）如图建系，分别求得平面PCD 和平面PBC 的法向量，利用向量法求得二面角B PC D --的余弦值，进而可求得答案. 【详解】（1）证明：∵1CD DE ==，CE∵222CE DE CD =+，即90CDE ∠=︒，45CED ∠=︒， ∵//BC DE ，∵45BCE CED ∠=∠=︒，∵2BC =，∵222222cos 452BE BC CE BC CE BC CE =+-⋅⋅︒==-， ∵CE BE ⊥，∵PO ⊥平面BCDE ，∵PO CE ⊥， ∵PO BE O ⋂=，PO ，BE ⊂平面PBE ， ∵CE ⊥平面PBE ， ∵CE ⊂平面PCE ， ∵平面PBE ⊥平面PCE .（2）以O 为坐标原点，以过点O 且平行于CD 的直线为x 轴，过点O 且平行于BC 的直线为y 轴，直线PO 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由1PE =，122OE BE ==，PO BE ⊥知2PO =， 则11,,022B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，13,,022C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，13,,022D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，0,0,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面PCD 的法向量为()1111,,n x y z =，则1100n CD n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111030x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩，令12z =，可得120,,3n ⎛= ⎝， 设平面PBC 的法向量为()2222,,n x y z ，则2200n PB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22220x y y ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，令22z =，可得(22,0,n =， ∵12121233,n n cos n n n n ⋅<>==⋅，则二面角B PC D --. 【点睛】当题中条件有边的具体长度，考虑用勾股定理证明垂直，再结合线面垂直的判定定理，性质定理进行证明，学生需熟练掌握各个定理，考查推理证明，求值计算的能力.20．互联网在带给人们工作､学习方便､快捷的同时，网络游戏也让一些人沉溺于其中不能自拔，游戏成瘾，无心工作､学习，特别是青少年.前不久，网络消息称某985高校有18名学生由本科降为专科.某心理咨询机构为了调研青少年网瘾成因，随机地调查了200名大一学生，得到以下22⨯列联表：（1）是否有99.5%的把握认为本人沉溺于网游与伙伴中有沉溺于网游有关？说明你的理由；（2）在所有受调查的学生中，按分层抽样的方法抽出20人，再在这20人中随机地抽取5人进行访谈，求至少有一名学生沉溺于网游的概率. 附表及公式：()()()()()22,n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++【答案】（1）有99.5%的把握认为本人沉溺于网游与伙伴中有沉溺于网游有关，理由见解析；（2）137228. 【分析】（1）根据列联表中的数据求得2K 的值，再与临界值表对照下结论.（2）记“从20人中随机地抽取5人至少有一名学生沉溺于网游”为事件A ，由()()1P A P A =-求解, 【详解】 （1）()2220011*********.4587.8791703012080K ⨯-⨯=≈≥⨯⨯⨯∴有99.5%的把握认为本人沉溺于网游与伙伴中有沉溺于网游有关；（2）记“从20人中随机地抽取5人至少有一名学生沉溺于网游”为事件A()()51752011C P A P A C ∴=-=-=137228.21．已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b +=>>的离心率为，点P ⎫⎪⎪⎝⎭在椭圆C 上． （1）求椭圆的方程；（2）设1F ，2F 分别是椭圆C 的上、下焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，求1F AB 的内切圆的半径的最大值．【答案】（1）2214y x +=；（2）12. 【分析】（1）根据椭圆离心率以及点在椭圆上，结合222a b c =+得到关于,,a b c 的方程组，求解出,,a b c 的值，则椭圆方程可求；（2）根据等面积法将内切圆的半径与12x x -联系在一起，采用联立方程思想并结合韦达定理以及基本不等式求解出12x x -的最大值，从而内切圆的半径的最大值可求. 【详解】（1）因为2c a =，且,12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上，所以222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，所以2241a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆方程为：2214y x +=； （2）设()()1122,,,A x y B x y ，内切圆的半径为R ，由条件可知直线AB的斜率存在，故设直线:AB y kx =因为()11212111122F ABSF F x x F A F B AB R =⋅-=++⋅，且1148F A F B AB a ++==，122F F c ==124x x R -=R =，所以当12x x -取最大值时R 有最大值，又2244y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，所以()22410k x +--=，所以1212214x x x x k +==-+， 所以12x x -===，所以()1224433+3x x -==≤=，=，即k=所以1432R =≤=，所以内切圆的半径最大值为12. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中求解三角形面积的常用方法： （1）利用弦长以及点到直线的距离公式，结合12⨯底⨯高，表示出三角形的面积； （2）根据直线与圆锥曲线的交点，利用公共底或者公共高的情况，将三角形的面积表示为1212AB x x ⋅⋅-或1212EF y y ⋅⋅-； （3）借助三角形内切圆的半径，将三角形面积表示为()12a b c R ⋅++⋅（,,a b c 为三角形三边长度，R 为内切圆半径）. 22．已知函数311()ln 62f x x x x x =+-. （1）求曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线方程；（2）若()f x a <对1(,)x e e∈恒成立，求a 的最小值.【答案】（1）23y =；（2）31162e e -. 【分析】 （1）求导211'()ln 22f x x x =--，再分别求得(1)f ，'(1)f ，用点斜式写出切线方程.（2）根据()f x a <对1(,)x e e∈恒成立，则()max a f x >，再利用导数求解()max f x 即可. 【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞. 由已知得211'()ln 22f x x x =--，且2(1)3f =. 所以'(1)0f =.所以曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线方程为23y =. （2）设()'()g x f x =，（1x e e<<） 则211'()x g x x x x-=-=. 令'()0g x =得1x =.当x 变化时，'()g x 符号变化如下表：则()(1)0g x g ≥=，即'()0f x ≥，当且仅当1x =时，'()0f x =. 所以()f x 在1(,)e e上单调递增. 又311()62f e e e =-， 因为()f x a <对1(,)x e e∈恒成立，所以31162a e e ≥-， 所以a 的最小值为为31162e e -.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若()f x 在区间D 上有最值，则（1）恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<； （2）能成立：()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>；()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<. 若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则 （1）恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<； （2）能成立：()()min a f x a f x >⇔>；()()max a f x a f x <⇔<；。
2021年高考数学模拟试卷 理(一)(含解析)
2021年高考数学模拟试卷理（一）（含解析）一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项选出）1．设集合M={m∈Z|﹣3＜m＜2}，N={n∈N|﹣1≤n≤3}，则M∩N=（） A． {0，1} B． {﹣1，0，1} C． {0，1，2} D． {﹣1，0，1，2}2．已知x，y∈R，则“x•y＞0”是“x＞0且y＞0”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．函数f（x）=的定义域为（）A． B． C． D． [1，+∞）4．已知α∈（﹣，0），cosα=，则tanα等于（）A．﹣ B．﹣ C． D．5．直线l1：（a﹣1）x+y﹣1=0和l2：3x+ay+2=0垂直，则实数a的值为（）A． B． C． D．6．已知点A（﹣1，1），B（﹣4，5），若，则点C的坐标为（）A．（﹣10，13） B．（9，﹣12） C．（﹣5，7） D．（5，﹣7）7．已知函数，则f（0）等于（）A．﹣3 B． C． D． 38．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（）A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同 D．甲比乙先到达终点9．已知函数，若f（2）=f（﹣2），则k=（）A． 1 B．﹣1 C． 2 D．﹣210．二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交点的横坐标为﹣5和3，则这个二次函数的单调减区间为（）A．（﹣∞，﹣1] B． [2，+∞） C．（﹣∞，2] D． [﹣1，+∞）11．函数y=sinxsin（﹣x）的最小正周期是（）A． B．π C． 2π D． 4π12．从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为（）A． B． C． D．13．某工厂去年的产值为160万元，计划在今后五年内，每一年比上一年产值增加5%，那么从今年起到第五年这个工厂的总产值是（）A． 121.55 B． 194.48 C． 928.31 D． 884.1014．直线x+y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交于A，B两点，则弦|AB|=（）A． B． C． D．15．已知二项式（﹣）n的展开式的第6项是常数项，则n的值是（）A． 5 B． 8 C． 10 D． 1516．已知实数x，y满足，则z=4x+y的最大值为（）A． 10 B． 8 C． 2 D． 017．在正四面体ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，则下列结论错误的是（）A．异面直线AB与CD所成的角为90°B．直线AB与平面BCD成的角为60°C．直线EF∥平面ACDD．平面AFD垂直平面BCD18．某商场以每件30元的价格购进一种玩具．通过试销售发现，逐渐提高售价，每天的利润增大，当售价提高到45元时，每天的利润达到最大值为450元，再提高售价时，由于销售量逐渐减少利润下降，当售价提高到60元时，每天一件也卖不出去．设售价为x，利润y是x的二次函数，则这个二次函数的解析式是（）A． y=﹣2（x﹣30）（x﹣60） B． y=﹣2（x﹣30）（x﹣45）C． y=（x﹣45）2+450 D． y=﹣2（x﹣30）2+45019．函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，如果，且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）A． B． C． D． 120．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A． B．C． D．二、填空题（本大题5小题，每题4分，共20分．请将答案填在答题卡相应题号的横线上）21．关于x的不等式ax2﹣5x+b＜0的解集是（2，3），则a+b的值等于．22．已知=（cosx，sinx），=（cosx+sinx，sinx﹣cosx），x∈R，则＜，＞的值是．23．过抛物线y2=4x的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，则= ．24．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为．25．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其频率分布直方图如图所示．若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为．三、解答题（本大题5小题，共40分．请在答题卡相应的题号处写出解答过程）26．已知等差数列{a n}满足：a5=5，a2+a6=8．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n=2，求数列{b n}的前n项和S n．27．已知函数f（x）=x+（1）求证：函数y=f（x）是奇函数；（2）若a＞b＞1，试比较f（a）和f（b）的大小．28．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=（b+a，﹣c），=（b﹣a，a+c），且；（1）求角B的值；（2）若a=6，b=6，求△ABC的面积．29．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD的中点．（1）证明：PB∥平面ACM；（2）证明：AD⊥平面PAC．30．焦点在x轴上的椭圆C的一个顶点与抛物线E：x2=4y的焦点重合，且离心率e=，直线l经过椭圆C的右焦点与椭圆C交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若•=﹣2，求直线l的方程．xx年山东省青岛市高考数学模拟试卷（理科）（一）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项选出）1．设集合M={m∈Z|﹣3＜m＜2}，N={n∈N|﹣1≤n≤3}，则M∩N=（）A． {0，1} B． {﹣1，0，1} C． {0，1，2} D． {﹣1，0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由题意知集合M={m∈z|﹣3＜m＜2}，N={n∈N|﹣1≤n≤3}，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．解答：解：∵M={﹣2，﹣1，0，1}，N={﹣1，0，1，2，3}，∴M∩N={﹣1，0，1}，故选：B．点评：此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题．2．已知x，y∈R，则“x•y＞0”是“x＞0且y＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：我们可先判断x•y＞0”时，x＞0且y＞0是否成立，再判断x＞0且y＞0时，x•y ＞0”是否成立，再根据充要条件的定义即可得到结论．解答：解：若x•y＞0”时，如x=﹣1，y=﹣1，则x•y＞0，即x＞0且y＞0不成立，故命题：x•y＞0”⇒命题乙：x＞0且y＞0为假命题；若x＞0且y＞0成立，则x•y＞0一定成立，即⇒x•y＞0为真命题故命题x＞0且y＞0成立⇒命题x•y＞0也为真命题故“x•y＞0”是“x＞0且y＞0”的必要不充分条件故选：B点评：本题考查的知识点是充要条件的定义，我们先判断p⇒q与q⇒p的真假，再根据充要条件的定义给出结论是解答本题的关键．3．函数f（x）=的定义域为（）A． B． C． D． [1，+∞）考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：要使函数有意义，则需2x﹣1≥0，且1﹣x＞0，解得即可得到定义域．解答：解：要使函数有意义，则需2x﹣1≥0，且1﹣x＞0，解得，，则定义域为[，1）．故选A．点评：本题考查函数的定义域的求法，注意偶次根式被开方式非负，对数的真数大于0，属于基础题．4．已知α∈（﹣，0），cosα=，则tanα等于（）A．﹣ B．﹣ C． D．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：利用同角三角函数间的关系式可求得sinα的值，继而可得tanα的值．解答：解：∵α∈（﹣，0），cosα=，∴sinα=﹣=﹣，∴tanα==﹣．故选：A．点评：本题考查同角三角函数间的关系式，考查运算求解能力，属于基础题．5．直线l1：（a﹣1）x+y﹣1=0和l2：3x+ay+2=0垂直，则实数a的值为（）A． B． C． D．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由已知得3（a﹣1）+a=0，由此能求出结果．解答：解：∵直线l1：（a﹣1）x+y﹣1=0和l2：3x+ay+2=0垂直，∴3（a﹣1）+a=0，解得a=．故选：D．点评：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线垂直的性质的合理运用．6．已知点A（﹣1，1），B（﹣4，5），若，则点C的坐标为（）A．（﹣10，13） B．（9，﹣12） C．（﹣5，7） D．（5，﹣7）考点：向量数乘的运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的坐标公式进行求解即可．解答：解：设C（x，y），则由，得（x+4，y﹣5）=3（3，﹣4）=（9，﹣12），即，得，即C（5，﹣7），故选：D点评：本题主要考查向量的坐标公式以及向量运算，比较基础．7．已知函数，则f（0）等于（）A．﹣3 B． C． D． 3考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题．分析：由已知中函数，要求f（0）的值，可令g（x）=0，求出对应x值后，代入可得答案．解答：解：令g（x）=1﹣2x=0则x=则f（0）===3故选D点评：本题考查的知识点是函数求值，其中根据g（x）=0，求出对应x值，是解答本题的关键．8．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（）A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同 D．甲比乙先到达终点考点：函数的表示方法．专题：规律型．分析：根据图象法表示函数，观察甲，乙的出发时间相同；路程S相同；到达时间不同，速度不同来判断即可．解答：解：从图中直线的看出：K甲＞K乙；S甲=S乙；甲、乙同时出发，跑了相同的路程，甲先与乙到达．故选D．点评：本题考查函数的表示方法，图象法．9．已知函数，若f（2）=f（﹣2），则k=（）A． 1 B．﹣1 C． 2 D．﹣2考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据分段函数的解析式和f（2）=f（﹣2）列出方程，由对数、指数的运算求出k 的值．解答：解：∵，且f（2）=f（﹣2），∴，则2﹣2k﹣1=2，即﹣2k﹣1=1，解得k=﹣1，故选：B．点评：本题考查分段函数的函数值，以及对数、指数的运算，属于基础题．10．二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交点的横坐标为﹣5和3，则这个二次函数的单调减区间为（）A．（﹣∞，﹣1] B． [2，+∞） C．（﹣∞，2] D． [﹣1，+∞）考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意得到函数的对称轴，结合二次项系数大于0，从而求出函数的递减区间．解答：解：若二次函数的图象与x轴交点的横坐标为﹣5和3，∴对称轴x==﹣1，∵a＞0，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣1]递减，在（﹣1，+∞）递增，故选：A．点评：本题考查了二次函数的性质，求出函数的对称轴是解答本题的关键，本题是一道基础题．11．函数y=sinxsin（﹣x）的最小正周期是（）A． B．π C． 2π D． 4π考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由诱导公式及二倍角公式可求函数解析式为：y=sin2x，由三角函数的周期性及其求法即可得解．解答：解：∵y=sinxsin（﹣x）=sinxcosx=sin2x∴最小正周期T=．故选：B．点评：本题主要考查了诱导公式及二倍角公式，三角函数的周期性及其求法的应用，属于基本知识的考查．12．从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为（）A． B． C． D．考点：等可能事件的概率．专题：概率与统计．分析：试验包含的所有事件是从4个人安排两人，共12种，其中事件“星期六安排一名男生、星期日安排一名女生”包含4种，再由概率公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是从4个人安排两人，总共有C42A22=12种．其中期六安排一名男生、星期日安排一名女生，总共有C21C21=4种，∴其中至少有1名女生的概率P=．故选：A点评：古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体．13．某工厂去年的产值为160万元，计划在今后五年内，每一年比上一年产值增加5%，那么从今年起到第五年这个工厂的总产值是（）A． 121.55 B． 194.48 C． 928.31 D． 884.10考点：等比数列的性质；有理数指数幂的化简求值．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：由题意依次列出每年的产值，构成等比数列，求和可得．解答：解：由题意知，去年产值是160万，第一年要比去年产值增加5%，故第一年就是160（1+0.05）=1.05×160第二年又比第一年增加5%，第二年是160（1+0.05）（1+0.05）=160×1.052，依此类推，第五年是160×1.055，在每年的产值，构造一个等比数列，∴5年总产值为：S==884.10，故选：D点评：本题主要考查函数的应用问题，根据条件结合等比数列的求和公式是解决本题的关键．14．直线x+y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交于A，B两点，则弦|AB|=（）A． B． C． D．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线x﹣y﹣1=0的距离d，即可得出弦长|AB|．解答：解：由圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，可得圆心M（1，2），半径r=1．∴圆心到直线x+y﹣2=0的距离d==．∴弦长|AB|=2=2×=．故选：D．点评：本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，属于基础题．15．已知二项式（﹣）n的展开式的第6项是常数项，则n的值是（）A． 5 B． 8 C． 10 D． 15考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：根据二项式展开式的通项公式T r+1中第6项是常数项，列出方程，求出n的值．解答：解：∵二项式（﹣）n的展开式通项公式为T r+1=•=（﹣1）r•，且第6项是常数项，∴r=5时，=0，解得n=15；∴n的值是15．故选：D．点评：本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了逻辑推理与计算能力，是基础题目．16．已知实数x，y满足，则z=4x+y的最大值为（）A． 10 B． 8 C． 2 D． 0考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：画出足约束条件的平面区域，再将平面区域的各角点坐标代入进行判断，即可求出4x+y的最大值．解答：解：已知实数x、y满足，在坐标系中画出可行域，如图中阴影三角形，三个顶点分别是A（0，0），B（0，2），C（2，0），由图可知，当x=2，y=0时，4x+y的最大值是8．故选：B．点评：本题考查线性规划问题，难度较小．目标函数有唯一最优解是最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．17．在正四面体ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，则下列结论错误的是（）A．异面直线AB与CD所成的角为90°B．直线AB与平面BCD成的角为60°C．直线EF∥平面ACDD．平面AFD垂直平面BCD考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：过A作AG⊥CD，则G为CD中点，连接AG，AF，BG，DF，则BG⊥CD，DF⊥BC，利用正四面体的性质对选项分别分析选择．解答：解：如图过A作AG⊥CD，则G为CD中点，连接AG，AF，BG，DF，则BG⊥CD，DF ⊥BC，所以CD⊥平面ABG，所以CD⊥AB，故A正确；正四面体ABCD中，A在平面BCD的射影为O，则O在BG上，并且O为△BCD的中心，则直线AB与平面BCD成的角为∠ABO，又BO=，即=sin∠ABO，所以∠ABO≠60°；故B错误；正四面体ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，所以EF∥AC，EF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，所以EF∥平面ACD；故C正确；因为几何体为正四面体，所以A在底面BCD的射影为底面的中心，所以AO⊥平面BCD，AO ⊂平面AFD，所以平面AFD⊥平面BCD；故D正确；故选：B．点评：本题以正四面体为载体，考查了线面平行、面面垂直的判定定理的运用以及空间角的求法；关键是转化为线线关系解决．18．某商场以每件30元的价格购进一种玩具．通过试销售发现，逐渐提高售价，每天的利润增大，当售价提高到45元时，每天的利润达到最大值为450元，再提高售价时，由于销售量逐渐减少利润下降，当售价提高到60元时，每天一件也卖不出去．设售价为x，利润y是x的二次函数，则这个二次函数的解析式是（）A． y=﹣2（x﹣30）（x﹣60） B． y=﹣2（x﹣30）（x﹣45）C． y=（x﹣45）2+450 D． y=﹣2（x﹣30）2+450考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可设解析式为y=a（x﹣45）2+450，其中a＜0，代入（60，0）可得a值，可得解析式．解答：解：由题意可得所求二次函数开口向下，顶点坐标为（45，450），故解析式为y=a（x﹣45）2+450，其中a＜0，再由题意可得当x=60时，y=0，代入解析式可得0=225a+450，解得a=﹣2，∴所求解析式为y=﹣2（x﹣45）2+450，变形可得y=﹣2（x﹣30）（x﹣60），故选：A．点评：本题考查待定系数法求二次函数的解析式，属基础题．19．函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，如果，且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）A． B． C． D． 1考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的对称性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：通过函数的图象求出函数的周期，利用函数的图象经过的特殊点求出函数的初相，得到函数的解析式，利用函数的图象与函数的对称性求出f（x1+x2）即可．解答：解：由图知，T=2×=π，∴ω=2，因为函数的图象经过（﹣），0=sin（﹣+ϕ）∵，所以ϕ=，∴，，所以．故选C．点评：本题考查三角函数的解析式的求法，函数的图象的应用，函数的对称性，考查计算能力．20．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A． B．C． D．考点：双曲线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．解答：解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为=1．故选：D．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题5小题，每题4分，共20分．请将答案填在答题卡相应题号的横线上）21．关于x的不等式ax2﹣5x+b＜0的解集是（2，3），则a+b的值等于7 ．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：根据一元二次不等式与对应方程之间的关系，得出方程的两个根为2和3，再利用根与系数的关系求出a、b的值即可．解答：解：∵关于x的不等式ax2﹣5x+b＜0的解集是（2，3），∴关于x的方程ax2﹣5x+b=0的两个根为2和3，∴=2+3，=2×3；解得a=1，b=6；∴a+b=1+6=7．故答案为：7．点评：本题考查了一元二次不等式与对应方程之间的关系应用问题，也考查了根与系数的应用问题，是基础题目．22．已知=（cosx，sinx），=（cosx+sinx，sinx﹣cosx），x∈R，则＜，＞的值是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由条件求得•、||=1、||的值，再根据cos＜，＞=，求得＜，＞的值．解答：解：由题意可得，•=cosx（cosx+sinx）=sinx（sinx﹣cosx）=1，||=1，||==2，∴cos＜，＞===，∴＜，＞=，故答案为：．点评：本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．23．过抛物线y2=4x的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，则= ﹣3 ．考点：抛物线的简单性质；平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：由抛物线y2=4x与过其焦点（ 1，0）的直线方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设出A（x1，y1）、B（x2，y2）两点坐标，=x1•x2+y1•y2，由韦达定理可以求得答案．解答：解：由题意知，抛物线y2=4x的焦点坐标为（ 1，0），∴直线AB的方程为y=k（x ﹣1），由得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，y1•y2=k（x1﹣1）•k（x2﹣1）=k2[x1•x2﹣（x1+x2）+1]∴=x1•x2+y1•y2=，故答案为：﹣3．点评：本题的考点是直线与圆锥曲线的关系，主要考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，关键是利用=x1•x2+y1•y2，进而得解．24．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为．考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：设出正方体棱长，利用正方体的体对角线就是外接球的直径，通过球的体积求出正方体的棱长．解答：解：因为正方体的体对角线就是外接球的直径，设正方体的棱长为a，所以正方体的体对角线长为：a，正方体的外接球的半径为：，球的体积为：，解得a=．故答案为：．点评：本题考查正方体与外接球的关系，注意到正方体的体对角线就是球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力．25．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其频率分布直方图如图所示．若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为20 ．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据频率分布直方图，求出视力在0.9以上的频率，即可得出该班学生中能报A专业的人数．解答：解：根据频率分布直方图，得：视力在0.9以上的频率为（1.00+0.75+0.25）×0.2=0.4，∴该班学生中能报A专业的人数为50×0.4=20；故答案为：20．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应利用频率分布直方图，会求某一范围内的频率以及频数，是基础题．三、解答题（本大题5小题，共40分．请在答题卡相应的题号处写出解答过程）26．已知等差数列{a n}满足：a5=5，a2+a6=8．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n=2，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（1）由条件知：，得，∴{a n}的通项公式为a n=n．（2）∵，，∴数列{b n}是以b1=2，公比q=2的等比数列，∴．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．27．已知函数f（x）=x+（1）求证：函数y=f（x）是奇函数；（2）若a＞b＞1，试比较f（a）和f（b）的大小．考点：函数奇偶性的判断；不等式比较大小．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可证明函数y=f（x）是奇函数；（2）利用作差法即可比较大小．解答：证明：（1）函数的定义域为：x∈R，x≠0，关于原点对称，又故函数y=f（x）是奇函数．…（3分）（2）f（a）﹣f（b）=，∵a＞b＞1，∴a﹣b＞0，ab＞1，∴f（a）﹣f（b）＞0，∴f（a）＞f（b）．…（8分）点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，以及函数值的大小比较，利用作差法是解决本题的关键．28．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=（b+a，﹣c），=（b﹣a，a+c），且；（1）求角B的值；（2）若a=6，b=6，求△ABC的面积．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形；平面向量及应用．分析：（1）由题意可得，由余弦定理可得cosB，结合B的范围即可得解．（2）由正弦定理可求sinA，结合A的范围可求A，C，由三角形面积公式即可得解．解答：解：（1）因为，所以，即：a2+c2﹣b2=﹣ac，所以，因为0＜B＜π，所以．…（4分）（2）因为，所以，因为0＜A＜π，所以，，所以．…（8分）点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，平面向量及应用，解题时要注意分析角的范围，属于中档题．29．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD的中点．（1）证明：PB∥平面ACM；（2）证明：AD⊥平面PAC．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：常规题型．分析：（1）连接BD、OM，由M，O分别为PD和AC中点，得OM∥PB，从而证明PB∥平面ACM；（2）由PO⊥平面ABCD，得PO⊥AD，由∠ADC=45°，AD=AC，得AD⊥AC，从而证明AD⊥平面PAC．解答：证明：（1）连接BD和OM∵底面ABCD为平行四边形且O为AC的中点∴BD经过O点在△PBD中，O为BD的中点，M为PD的中点所以OM为△PBD的中位线故OM∥PB∵OM∥PB，OM⊂平面ACM，PB⊄平面ACM∴由直线和平面平行的判定定理知 PB∥平面ACM．（2）∵PO⊥平面ABCD，且AD⊂平面ABCD∴PO⊥AD∵∠ADC=45°且AD=AC=1∴∠ACD=45°∴∠DAC=90°∴AD⊥AC∵AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，且AC∩PO=O∴由直线和平面垂直的判定定理知 AD⊥平面PAC．点评：本题主要考查了直线和平面平行及垂直的判定定理．30．焦点在x轴上的椭圆C的一个顶点与抛物线E：x2=4y的焦点重合，且离心率e=，直线l经过椭圆C的右焦点与椭圆C交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若•=﹣2，求直线l的方程．考点：椭圆的简单性质．专题：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）求得抛物线的焦点，由椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线的斜率不存在和存在，联立椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，计算可得斜率k，进而得到所求直线方程．解答：解：（1）因为抛物线的焦点为，所以，又，a2=b2+c2，所以a=2，所以椭圆的标准方程为；（2）当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，解得，，此时不合题意．设直线的方程为y=k（x﹣1），则M（x1，y1），N（x2，y2）满足：，（1）代入（2）得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，则，，所以，所以，所以直线的方程为或．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，同时考查向量的数量积的坐标表示，属于中档题．30000 7530 田26513 6791 枑 (G€uji{(25089 6201 戁24111 5E2F 帯34912 8860 衠34465 86A1 蚡。
海南省海口市2021届新高考数学模拟试题(1)含解析
海南省海口市2021届新高考数学模拟试题（1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（ ）．A ．26B ．4C ．23D ．22【答案】A 【解析】 【分析】作出其直观图，然后结合数据根据勾股定定理计算每一条棱长即可. 【详解】根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是直角梯形，且2AD AB ==，4BC =，PA ⊥平面ABCD ，且2PA =，∴22222PB =+=222222PD =+=，22CD =2242026PC PA AC =+=+= ∴这个四棱锥中最长棱的长度是26 故选A ． 【点睛】本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，正确还原直观图是解题关键，属于基础题．A ．37,48⎛⎤⎥⎝⎦B ．59,610⎛⎤⎥⎝⎦C ．715,816⎛⎤⎥⎝⎦D ．1531,1632⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】C 【解析】 【分析】框图的功能是求等比数列的和，直到和不满足给定的值时，退出循环，输出n. 【详解】第一次循环：1,22S n ==；第二次循环：2113,3224S n =+==；第三次循环：231117,42228S n =++==；第四次循环：234111115,5222216S n =+++==； 此时满足输出结果，故715816P <≤. 故选：C. 【点睛】本题考查程序框图的应用，建议数据比较小时，可以一步一步的书写，防止错误，是一道容易题. 3．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）．A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1B ．结余最高的月份是7月份C ．1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元 【答案】D 【解析】由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3:1，故A 项正确； 结余最高为7月份，为802060-=，故B 项正确；1至2月份的收入的变化率为4至5月份的收入的变化率相同，故C 项正确；前6个月的平均收入为1(406030305060)456+++++=万元，故D 项错误． 综上，故选D ．4．设一个正三棱柱ABC DEF -，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC 的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为10P ，则10P 为（ ）A ．10111432⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭B ．111132⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．111132⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．10111232⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】由题意，设第n 次爬行后仍然在上底面的概率为n P .①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为123n P -；②若上一步在下面，则第1n -步不在上面的概率是11n P --.如果爬上来，其概率是()1113n P --，两种事件又是互斥的,可得()1121133n n n P P P --=+-，根据求数列的通项知识可得选项. 【详解】由题意，设第n 次爬行后仍然在上底面的概率为n P .①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为()1223n P n -≥； ②若上一步在下面，则第1n -步不在上面的概率是()11,2n P n --≥.如果爬上来，其概率是()()111,23n P n --≥， 两种事件又是互斥的,∴()1121133n n n P P P --=+-，即11133n n P P -=+，∴1112213n n P P -⎛⎫-- ⎪⎝⎭=，∴数列12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以13为公比的等比数列，而123P =，所以111232nn P ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭， ∴当10n =时，1010111232P ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭， 故选：D. 【点睛】本题考查几何体中的概率问题，关键在于运用递推的知识，得出相邻的项的关系，这是常用的方法，属于难度题.5．已知命题p ：1m =“”是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：函数4()f x x x=+的最小值为4. 给出下列命题：①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()()p q ⌝∧⌝，其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】 【分析】先由两直线垂直的条件判断出命题p 的真假，由基本不等式判断命题q 的真假，从而得出p,q 的非命题的真假，继而判断复合命题的真假，可得出选项. 【详解】已知对于命题p ，由2110m ⨯-=得1m =±，所以命题p 为假命题；关于命题q ，函数4()f x x x=+， 当0x >时，4()4f x x x =+≥=，当4x x =即2x =时，取等号，当0x <时，函数4()f x x x=+没有最小值， 所以命题q 为假命题. 所以p ⌝和q ⌝是真命题，所以p q ∧为假命题，p q ∨为假命题，⌝∧p q 为假命题，⌝⌝∧p q 为真命题，所以真命题的个数为1个. 故选：A. 【点睛】本题考查直线的垂直的判定和基本不等式的应用，以及复合命题的真假的判断，注意运用基本不等式时，满足所需的条件，属于基础题.6．若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（ ） A ．11a b> B ．11a b a>- C ．|a|>|b|D ．22a b >【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质对选项逐一判断即可. 【详解】选项A ：由于0a b <<，即0ab >，0b a ->，所以110b aa b ab --=>，所以11a b>，所以成立； 选项B ：由于0a b <<，即0a b -<，所以110()b a b a a a b -=<--，所以11a b a<-，所以不成立； 选项C ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以成立；选项D ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以22a b >，所以成立. 故选：B. 【点睛】本题考查不等关系和不等式，属于基础题.7．已知变量x ，y 满足不等式组210x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的最小值为（ ）A ．4-B ．2-C ．0D ．4【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值. 【详解】解：由变量x ，y 满足不等式组210x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，画出相应图形如下：可知点()1,1A ,()0,2B ，2x y -在B 处有最小值，最小值为2-.故选：B. 【点睛】本题主要考查简单的线性规划，运用了数形结合的方法，属于基础题.8．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( ) A ．12B ．35C ．710D ．45【答案】C 【解析】 【分析】先计算出总的基本事件的个数，再计算出两张都没获奖的个数，根据古典概型的概率，求出两张都没有奖的概率，由对立事件的概率关系，即可求解. 【详解】从5张“刮刮卡”中随机取出2张，共有2510C =种情况，2张均没有奖的情况有233C =（种），故所求概率为3711010-=. 故选:C.本题考查古典概型的概率、对立事件的概率关系，意在考查数学建模、数学计算能力，属于基础题. 9．()()()cos 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象如图所示，()()sin g x A x ωϕ=--，若将()y f x =的图象向左平移()0a a >个单位长度后所得图象与()y g x =的图象重合，则a 可取的值的是（ ）A ．112π B ．512π C ．712π D ．11π12【答案】B 【解析】 【分析】根据图象求得函数()y f x =的解析式，即可得出函数()y g x =的解析式，然后求出变换后的函数解析式，结合题意可得出关于a 的等式，即可得出结果. 【详解】由图象可得1A =，函数()y f x =的最小正周期为23471T πππ⎛⎫-=⎪⎝⎭=⨯，22T πω∴==， 777cos 2cos 112126f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q ， 则()726k k Z πϕππ+=+∈，()26k k Z πϕπ∴=-+∈，取6πϕ=-， ()cos 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，则()2sin 2cos 263g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()cos 226g x f x a x a π⎛⎫∴=+=+- ⎪⎝⎭，22263a k πππ-=+，可得()512a k k Z ππ=+∈， 当0k =时，512a π=. 故选：B. 【点睛】本题考查利用图象求函数解析式，同时也考查了利用函数图象变换求参数，考查计算能力，属于中等题.10．数列{}n a 满足()*212n n n a a a n +++=∈N ，且1239a a a ++=，48a =，则5a =（ ）A ．212B ．9C ．172D ．7【答案】A先由题意可得数列{}n a 为等差数列，再根据1239a a a ++=，48a =，可求出公差，即可求出5a ． 【详解】数列{}n a 满足*212()n n n a a a n N +++=∈，则数列{}n a 为等差数列， 1239a a a ++=Q ，48a =， 1339a d ∴+=，138a d +=，52d ∴=， 54521822a a d ∴=+=+=， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和通项公式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．11．已知m ，n 是两条不重合的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//m α，n ⊂α，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊥，则//n α D ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥【答案】D 【解析】 【分析】利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断. 【详解】解：选项A 中直线m ，n 还可能相交或异面， 选项B 中m ，n 还可能异面， 选项C ，由条件可得//n α或n ⊂α． 故选：D. 【点睛】本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题.12．函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（ ） A ．53π B ．2πC ．76π D ．π根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可. 【详解】令sin cos2x x =，有2sin 12sin x x =-，所以sin 1x =-或1sin 2x =.又[],2x ππ∈-，所以2x π=-或32x π=或6x π=或56x π=，所以函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象交点的横坐标的和3522266s πππππ=-+++=，故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高三数学模拟考试试题(一)文
2021年高三数学模拟考试试题（一）文一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求.)1. 设集合，，则＝（）A．B．C．D．2．已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则＝（）A．B．C．D．3．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否．定是（）A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x0∈R，|x0|＋x20<0 D．∃x0∈R，|x0|＋x20≥04．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（）A．B．C．D．5．已知，，“存在点”是“”的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件6．已知x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a的值为（）A．12或－1 B．2或12C．2或1 D．2或－17．如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（）A．B．C．D．8．函数的图象大致为（）A B C D9．将一张边长为6 cm的纸片按如图l所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥(底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心)模型，如图2放置．若正四棱锥的正视图是正三角形(如图3)，则正四棱锥的体积是（）A．B．C．D．10．已知分别是椭圆的左，右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点，若过的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为（）A．B．C． D．11．如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度等于（）A．B．C．D．30°75°60mA12．定义在上的函数是减函数，且函数的图象关于成中心对称，若，满足不等式．则当时，的取值范围是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13．已知是夹角为的两个单位向量，若，则k的值为14．函数的最大值为 .15．如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是 _.16．三棱锥的四个顶点均在同一球面上，其中是正三角形，平面，，则该球的体积为_____________三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=，n∈N﹡，数列{b n}满足a n=4log2b n＋3，n∈N﹡.（1）求通项a n（2）求数列{a n·b n}的前n项和T n.18.（本小题满分12分）某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：x 681012y 235 6（1）请在图中画出上表数据的散点图；19.（本小题满分12分）在如图所示的多面体中，四边形和都为矩形。
2021年高三高考模拟卷(一)理数试题 含解析
2021年高三高考模拟卷（一）理数试题含解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）A．-4 B．-1 C．1 D．4【答案】D考点：1、复数的概率；2、复数的运算．2.以下四个命题，正确的是（）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在回归直线方程中，当变量每增加一个单位时，变量一定增加0.2单位；④对于两分类变量与，求出其统计量，越小，我们认为“与有关系”的把握程度越小.A．①④ B．②③ C．①③ D．②④【答案】D【解析】试题分析：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的是系统抽样，故①不正确；②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，满足线性相关的定义，故②正确；③在回归直线方程中，当变量每增加一个单位时，变量平均增加0.2单位，故③不正确；对于两分类变量与，求出其统计量，越小，我们认为“与有关系”的把握程度越小，足随机变量的观测值的特点，故④正确，故选D．考点：1．抽样方法；2、线性相关；3、随机变量的观测值．3.在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A考点：程序框图．4.某几何体的正（主）视图和侧（左）视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形如图（2），其中，则该几何体的侧面积为（）A．64 B．80 C．96 D．128【答案】C【解析】试题分析：由三视图知该几何体是一个四棱柱，该棱柱俯视图的直观图面积为12，所以它的俯视图的面积为，所以其俯视图是边长为6的菱形，棱柱的高为4，所以该几何体的侧面积为，故选C．考点：1、空间几何体的三视图；2、棱柱的侧面积．5.将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，有，则（）A． B． C． D．【答案】D考点：1、三角函数图象的平移变换；2、三角函数的图象和性质．【规律点睛】高考题对于三角函数的考查，多以为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.6.长郡中学早上8点开始上课，若学生小典与小方均在早上7:40至8:00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早5分钟到校的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：设小典到校的时间为，小方到校的时间为，可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为是一个矩形区域，对应的面积为，则小张比小王至少早5分钟到校事件作出符合题意的图像，则符合题意的区域为，联立，得，联立，得，则．由几何概型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为，故选A．考点：几何概型．【方法点睛】求几何概型，一般先要求出实验的基本事件构成的区域长度（面积或体积），再求出事件构成区域长度（面积或体积），最后再代入几何概型的概率公式求解；求几何概型概率时，一定要分清“试验”和“事件”，这样才能找准基本事件构成的区域长度（面积或体积）．7.已知函数，函数，若存在实数使得关于的方程有且只有6个实数根，则这6个根的和为（）A． B．6 C．12 D．【答案】C考点：1、方程的根；2、函数图象．8.在菱形中，，，将折起到的位置，若三棱锥的外接球的体积为，则二面角的正弦值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】试题分析：如图所示，因为与均为正三角形，因此球心在过外接圆圆心且和平面垂直的直线上，同时也是在过外接圆圆心且和平面垂直的直线上，如图中．设外接球的半径为，则由条件有，解得．因为，所以＝＝，，则，所以在中，，．同理可求得．由条件知，所以为二面角的平面角，所以，所以，故选C．考点：9.已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线分别交双曲线的左、右两支于点，且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】C考点：1、双曲线的定义；2、双曲线的几何性质；3、余弦定理．【一题多解】由双曲线定义，得，，设切点为，在中，，过作垂直直线于点，则，，所以＝，所以，即，则，故选C．10.已知点，平面区域由所有满足的点组成的区域，若区域的面积为8，则的最小值为（）A． B．2 C．4 D．8【答案】C考点：1、向量数量积；2、向量夹角公式；3、基本不等式．11.已知数列满足，是其前项和，若，且，则的最小值为（ ）A ．B ．3C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：由已知：，则，，，，…，，，则，所以，所以1111121212()()12322a b a b a b a b a b+=++=+++≥+ D. 考点：1、递推数列；2、数列求和；3、基本不等式．12.设函数，是方程的根，且，当时，关于函数3213()(2)()ln 32g x x x b x c b x d η=-+++-++在区间内的零点个数的说法中，正确的是（ ）A ．至少有一个零点B ．至多有一个零点C ．可能存在2个零点D ．可能存在3个零点【答案】B 【解析】试题分析：因为是方程的根，且是重根，则，即得．由，则．又由，则，，则32'23(2)()3(2)c b x x b x c b g x x x b x x ηη-+-+++-+=-+++=，令＋＋322323(23)232c b x x x ηξξξξ-+=-+-++-，则．当时，，所以在上是减函数，而＝；当时，，所以在上是减函数，故选B ．考点：1、函数零点；2、方程的根；3、利用导数研究函数的单调性．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知集合，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为 .考点：充分条件与必要条件．【方法点睛】(1)充分条件、必要条件或充要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，求解一般步骤为：①首先要将等价化简；②将充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的包含关系；③列出关于参数的等式或不等式组，求出参数的值或取值范围．14.在等差数列中，为数列的前项和，为数列的公差，若对任意，都有，且，则的取值范围为 .【答案】【解析】试题分析：由题意，知．因为，即，亦即，，所以方程有两个不相等的实数根，且两根之和为，又，所以必须至少不一个正实数根，所以，解得．考点：等差数列的通项公式及前项和．15.设椭圆与函数的图象相交于两点，若点在椭圆上，且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是 .【答案】考点：1、椭圆的几何性质；2、直线的斜率公式．16.已知（，且）可以得到几种重要的变式，如：，将赋给，就得到，…，进一步能得到：121101122111111111222222(12)3n n n n n n n n n n n n n C C nC nC nC nC nC n n ---------+•++•=+•+•++•=+=•.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法与结论，计算：0122311111111()()()3233313n n n n n n C C C C n +⨯+⨯+⨯++⨯=+ .【解析】 试题分析：由，得，， 所以0122311111111()()()3233313n n n n n n C C C C n +⨯+⨯+⨯+++ 0011221111111111111()()()()13131313n n n n n n C C C C n n n n +++++=⨯+⨯+⨯++++++ . 考点：1、二项式定理；2、合情与演绎推理．【知识点睛】归纳推理和类比推理是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论是正确的．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，内角的对边为，已知，，求的面积.【答案】（1）；（2）．（2）由，，又，，因此，解得：.由正弦定理：，得，又由，可得，故.考点：1、两角和的正弦函数；2、正弦函数的图象与性质；3、正弦定理；4、面积公式．【思路点睛】从条件出发，利用正弦定理(或余弦定理)进行代换、转化．逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系，即考虑如下两条途径：①统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换；②统一成边进行判断，常用余弦定理、面积公式等．18.（本小题满分12分）《环境空气质量指标（）技术规定（试行）》如表1：表1：空气质量指标分组表表2是长沙市某气象观测点在某连续4天里的记录，指数与当天的空气水平可见度的情况.表2：表3是某气象观测点记录的长沙市xx年1月1日至1月30日指数频数统计表.表3：（1）设，根据表2的数据，求出关于的回归方程；（2）小李在长沙市开了一家小洗车店，经小李统计：指数不高于200时，洗车店平均每天亏损约200元；指数在200至400时，洗车店平均每天收入约400元；指数大于400时，洗车店平均每天收入约700元.（ⅰ）计算小李的洗车店在当年1月份每天收入的数学期望.（ⅱ）若将频率看成概率，求小李在连续三天里洗车店的总收入不低于1200元的概率.（用最小二乘法求线性回归方程系数公式，.）【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）．（2）由表3知不高于200的频率为0.1，指数在200至400的频率为0.2，指数大于400的频率为0.7.设“洗车店每天亏损约200元”为事件A ，“洗车店每天收入约400元”为事件B ，“洗车店每天收入约700元”为事件C ，则，，，（ⅰ）设洗车店每天收入为元，则的分布列为则的数学期望为2000.14000.27000.7550EX =-⨯+⨯+⨯=（元）.（ⅱ）由（ⅰ），“连续三天洗车店收入不低于1200元包含五种情况”，则“连续三天洗车店收入不低于1200元”的概率：322222233330.20.70.10.70.20.20.70.70.876P C C C =+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+=.考点：1、回归方程；2、离散型随机变量的期望；3、独立性检验．19.（本小题满分12分）如图所示，异面直线互相垂直，，，，，，截面分别与相交于点，且平面，平面.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）．（2）由（1）及异面直线互相垂直知，直线两两垂直，作，建立空间直角坐标系，如图所示，C D B A，则(0,0,0),(1,0,0),(0,3,0),(0,3,6)∵轴平面，∴平面的一个法向量可设为，∵，∴，得：，即，又∵轴平面，∴平面的一个法向量可设为，∴，得，即，设二面角的大小为，那么，∴，∴二面角的正弦值为.考点：1、线面平面的性质定理；2、线段垂直的判定定理；3、二面角．20.（本小题满分12分）如图，抛物线的焦点为，取垂直于轴的直线与抛物线交于不同的两点，过作圆心为的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且.（1）求抛物线和圆的方程；（2）过点作倾斜角为的直线，且直线与抛物线和圆依次交于，求的最小值.【答案】（1）抛物线的方程为；圆的方程为；（2）．（2）设直线的方程为，且，圆心到直线的距离为，∴，由，得，设，则，由抛物线定义知，，所以，设，因为，所以， 所以221114||||16222()(2)483MN AB t t t t t •=-=-=--≤≤， 所以当时，即时，有最小值.考点：1、抛物线的方程及几何性质；2、圆的方程；3、直线与抛物线的位置关系；4、直线与直线的位置关系．【方法点睛】求解圆锥曲线中的最值问题，主要围绕直线与圆锥曲线的位置关系问题进行设计，解答时可考两为两个方向：（1）几何法，就是根据圆锥曲线的定义及几何性质，利用图形直观解决；（2）函数法，即通过建立函数，求其最值即可．21.（本小题满分12分）已知函数，，当时，（1）求证：；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）．（2）（解法一）32()()(1)(12cos )2x x f x g x x eax x x --=+-+++ .设，则，记，则， 当时，，于是在上是减函数，从而当时，，故在上是减函数，于是，从而， 所以，当时，在上恒成立.下面证明，当时，在上不恒成立，31()()12cos 12x f x g x ax x x x -≤----+. 记211()2cos ()121x I x a x a G x x x=+++=++++，则，当时，，故在上是减函数.于是在上的值域为.因为当时，，所以存在，使得此时，即在上不恒成立.综上，实数的取值范围是..所以存在（例如取和中的较小值）满足.即在上不恒成立.综上，实数的取值范围是.考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题．【方法点睛】求证不等式，一种常见思路是用图像法来说明函数的图像在函数图像的上方，但通常不易说明．于是通常构造函数，通过导数研究函数的性质，进而证明欲证不等式．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，是圆的直径，弦交于，，，.（1）求圆的半径；（2）求线段的长.【答案】（1）5；（2）．在中，，由，得，即.∴.考点：1、相交弦定理；2、余弦定理．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（是参数）.（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于两点，且，求直线的倾斜角的值.【答案】（1）；（2）或．考点：1、极坐标方程与直角坐标方程的互化；2、直线与圆的位置关系．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲关于的不等式.（1）当时，解此不等式；（2）设函数，当为何值时，恒成立？【答案】（1）；（2）．考点：1、不等式的解法；2、绝对值的几何意义．!31227 79FB 移v29803 746B 瑫28102 6DC6 淆20596 5074 側 a27655 6C07 氇25423 634F 捏26231 6677 晷32205 7DCD 緍(30250 762A 瘪。
2021年全国普通高等学校高考数学模拟试卷(理科)(一)
精品"正版〞资料系列,由本公司独创.旨在将"人教版〞、〞苏教版"、〞北师大版"、〞华师大版"等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和检测题分享给需要的朋友.本资源创作于2021年8月,是当前最|新版本的教材资源.包含本课对应内容,是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最|正确选择.(88套)2021年5月全国各地高|考模拟试题汇总附答案2021年全国普通高等学校高|考数学模拟试卷(理科)一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1．(5分)集合A ={x|﹣x2 +4x≥0} ,,C ={x|x =2n ,n∈N} ,那么(A∪B )∩C = ()A．{2 ,4}B．{0 ,2}C．{0 ,2 ,4}D．{x|x =2n ,n∈N}2．(5分)设i是虚数单位,假设,x ,y∈R ,那么复数x+yi的共轭复数是()A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2 +i D．﹣2 +i3．(5分)等差数列{a n}的前n项和是S n ,且a4+a5+a6+a7 =18 ,那么以下命题正确的选项是()A．a5是常数B．S5是常数C．a10是常数D．S10是常数4．(5分)七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为"东方魔板〞,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点,那么此点取自黑色局部的概率是()A．B．C．D．5．(5分)点F为双曲线C：(a＞0 ,b＞0 )的右焦点,直线x =a与双曲线的渐近线在第|一象限的交点为A ,假设AF的中点在双曲线上,那么双曲线的离心率为()A．B．C．D．6．(5分)函数那么()A．2 +πB．C．D．7．(5分)执行如下图的程序框图,那么输出的S的值为()A．B．C．D．8．(5分)函数(ω＞0 )的相邻两个零点差的绝|对值为,那么函数f (x )的图象()A．可由函数g (x ) =cos4x的图象向左平移个单位而得B．可由函数g (x ) =cos4x的图象向右平移个单位而得C．可由函数g (x ) =cos4x的图象向右平移个单位而得D．可由函数g (x ) =cos4x的图象向右平移个单位而得9．(5分)的展开式中剔除常数项后的各项系数和为() A．﹣73B．﹣61C．﹣55D．﹣6310．(5分)某几何体的三视图如下图,其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形,点G为AF的中点,那么该几何体的外接球的外表积是()A．B．C．D．11．(5分)抛物线C：y2 =4x的焦点为F ,过点F分别作两条直线l1 ,l2 ,直线l1与抛物线C交于A、B两点,直线l2与抛物线C交于D、E两点,假设l1与l2的斜率的平方和为1 ,那么|AB| +|DE|的最|小值为()A．16B．20C．24D．3212．(5分)假设函数y =f (x ) ,x∈M ,对于给定的非零实数a ,总存在非零常数T ,使得定义域M内的任意实数x ,都有af (x ) =f (x+T )恒成立,此时T为f (x )的类周期,函数y =f (x )是M上的a级|类周期函数．假设函数y =f (x )是定义在区间[0 ,+∞)内的2级|类周期函数,且T =2 ,当x∈[0 ,2 )时,函数．假设∃x1∈[6 ,8] ,∃x2∈(0 , +∞) ,使g (x2 )﹣f (x1 )≤0成立,那么实数m的取值范围是()A．B．C．D．二、填空题(每题5分,总分值20分,将答案填在答题纸上)13．(5分)向量,,且,那么=．14．(5分)x ,y满足约束条件那么目标函数的最|小值为．15．(5分)在等比数列{a n}中,a2•a3 =2a1 ,且a4与2a7的等差中项为17 ,设b n =a2n ﹣a2n ,n∈N* ,那么数列{b n}的前2n项和为．﹣116．(5分)如图,在直角梯形ABCD中,AB⊥BC ,AD∥BC ,,点E是线段CD上异于点C ,D的动点,EF⊥AD于点F ,将△DEF沿EF折起到△PEF的位置,并使PF⊥AF ,那么五棱锥P﹣ABCEF的体积的取值范围为．三、解答题(本大题共5小题,共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. )17．(12分)△ABC的内角A ,B ,C的对边a ,b ,c分别满足c =2b =2 ,2bcosA+acosC +ccosA =0 ,又点D满足．(1 )求a及角A的大小；(2 )求的值．18．(12分)在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,且,∠A1AB =∠A1AD =60°．(1 )求证：BD⊥CC1；(2 )假设动点E在棱C1D1上,试确定点E的位置,使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为．19．(12分) "过大年,吃水饺〞是我国不少地方过春节的一大习俗．2021年春节前夕,A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标,(1 )求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2 )①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N (μ ,σ2 ) ,利用该正态分布,求Z落在( , )内的概率；②将频率视为概率,假设某人从某超市购置了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10 ,30 )内的包数为X ,求X的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②假设,那么P (μ﹣σ＜Z≤μ +σ ) ,P (μ﹣2σ＜Z≤μ +2σ )．20．(12分)椭圆C：的离心率为,且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．(1 )求椭圆C的标准方程；(2 )假设直线l：y =kx +2与椭圆C相交于A ,B两点,在y轴上是否存在点D ,使直线AD与BD的斜率之和k AD+k BD为定值?假设存在,求出点D坐标及该定值,假设不存在,试说明理由．21．(12分)函数f (x ) =e x﹣2 (a﹣1 )x﹣b ,其中e为自然对数的底数．(1 )假设函数f (x )在区间[0 ,1]上是单调函数,试求实数a的取值范围；(2 )函数g (x ) =e x﹣(a﹣1 )x2﹣bx﹣1 ,且g (1 ) =0 ,假设函数g (x )在区间[0 ,1]上恰有3个零点,求实数a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,那么按所做的第|一题记分.[选修4 -4：坐标系与参数方程]22．(10分)在平面直角坐标系xOy中,圆C1的参数方程为(θ为参数,a是大于0的常数)．以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为．(1 )求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程；(2 )分别记直线l：,ρ∈R与圆C1、圆C2的异于原点的焦点为A ,B ,假设圆C1与圆C2外切,试求实数a的值及线段AB的长．[选修4 -5：不等式选讲]23．函数f (x ) =|2x +1|．(1 )求不等式f (x )≤10﹣|x﹣3|的解集；(2 )假设正数m ,n满足m +2n =mn ,求证：f (m ) +f (﹣2n )≥16．2021年全国普通高等学校高|考数学模拟试卷(理科)(一)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1．(5分)集合A ={x|﹣x2 +4x≥0} ,,C ={x|x =2n ,n∈N} ,那么(A∪B )∩C = ()A．{2 ,4}B．{0 ,2}C．{0 ,2 ,4}D．{x|x =2n ,n∈N}【解答】解：A ={x|﹣x2 +4x≥0} ={x|0≤x≤4} ,={x|3﹣4＜3x＜33} ={x|﹣4＜x＜3} ,那么A∪B ={x|﹣4＜x≤4} ,C ={x|x =2n ,n∈N} ,可得(A∪B )∩C ={0 ,2 ,4} ,应选C．2．(5分)设i是虚数单位,假设,x ,y∈R ,那么复数x+yi的共轭复数是()A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2 +i D．﹣2 +i【解答】解：由,得x +yi ==2 +i ,∴复数x +yi的共轭复数是2﹣i．应选：A．3．(5分)等差数列{a n}的前n项和是S n ,且a4+a5+a6+a7 =18 ,那么以下命题正确的选项是()A．a5是常数B．S5是常数C．a10是常数D．S10是常数【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和是S n ,且a4 +a5 +a6 +a7 =18 ,∴a4 +a5 +a6 +a7 =2 (a1 +a10 ) =18 ,∴a1 +a10 =9 ,∴=45．应选：D．4．(5分)七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为"东方魔板〞,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点,那么此点取自黑色局部的概率是()A．B．C．D．【解答】解：设AB =2 ,那么BC =CD =DE =EF =1 ,∴S=××=,△BCIS平行四边形EFGH =2S△BCI =2×=,∴所求的概率为P ===．应选：A．5．(5分)点F为双曲线C：(a＞0 ,b＞0 )的右焦点,直线x =a与双曲线的渐近线在第|一象限的交点为A ,假设AF的中点在双曲线上,那么双曲线的离心率为()A．B．C．D．【解答】解：设双曲线C：的右焦点F (c ,0 ) ,双曲线的渐近线方程为y =x ,由x =a代入渐近线方程可得y =b ,那么A (a ,b ) ,可得AF的中点为(, b ) ,代入双曲线的方程可得﹣=1 ,可得4a2﹣2ac﹣c2 =0 ,由e =,可得e2 +2e﹣4 =0 ,解得e =﹣1 (﹣1﹣舍去) ,应选：D．6．(5分)函数那么() A．2 +πB．C．D．【解答】解：∵,=∫cos2tdt ===,∴= () + (﹣cosx )=﹣2．应选：D．7．(5分)执行如下图的程序框图,那么输出的S的值为()A．B．C．D．【解答】解：第1次循环后,S =,不满足退出循环的条件,k =2；第2次循环后,S =,不满足退出循环的条件,k =3；第3次循环后,S ==2 ,不满足退出循环的条件,k =4；…第n次循环后,S =,不满足退出循环的条件,k =n +1；…第2021次循环后,S =,不满足退出循环的条件,k =2021第2021次循环后,S ==2,满足退出循环的条件,故输出的S值为2,应选：C8．(5分)函数(ω＞0 )的相邻两个零点差的绝|对值为,那么函数f (x )的图象()A．可由函数g (x ) =cos4x的图象向左平移个单位而得B．可由函数g (x ) =cos4x的图象向右平移个单位而得C．可由函数g (x ) =cos4x的图象向右平移个单位而得D．可由函数g (x ) =cos4x的图象向右平移个单位而得【解答】解：函数=sin (2ωx )﹣• +=sin (2ωx﹣) (ω＞0 )的相邻两个零点差的绝|对值为,∴•=,∴ω =2 ,f (x ) =sin (4x﹣) =cos[(4x﹣)﹣]=cos (4x﹣)．故把函数g (x ) =cos4x的图象向右平移个单位,可得f (x )的图象,应选：B．9．(5分)的展开式中剔除常数项后的各项系数和为() A．﹣73B．﹣61C．﹣55D．﹣63【解答】解：展开式中所有各项系数和为(2﹣3 ) (1+1 )6 =﹣64；= (2x﹣3 ) (1 + + +… ) ,其展开式中的常数项为﹣3 +12 =9 ,∴所求展开式中剔除常数项后的各项系数和为﹣64﹣9 =﹣73．应选：A．10．(5分)某几何体的三视图如下图,其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形,点G为AF的中点,那么该几何体的外接球的外表积是()A．B．C．D．【解答】解：如图,可得该几何体是六棱锥P﹣ABCDEF ,底面是正六边形,有一PAF侧面垂直底面,且P在底面的投影为AF中点,过底面中|心N作底面垂线,过侧面PAF的外心M作面PAF的垂线,两垂线的交点即为球心O ,设△PAF的外接圆半径为r ,,解得r =,∴,那么该几何体的外接球的半径R =,∴外表积是那么该几何体的外接球的外表积是S =4πR2 =．应选：C．11．(5分)抛物线C：y2 =4x的焦点为F ,过点F分别作两条直线l1 ,l2 ,直线l1与抛物线C交于A、B两点,直线l2与抛物线C交于D、E两点,假设l1与l2的斜率的平方和为1 ,那么|AB| +|DE|的最|小值为()A．16B．20C．24D．32【解答】解：抛物线C：y2 =4x的焦点F (1 ,0 ) ,设直线l1：y =k1 (x﹣1 ) ,直线l2：y =k2 (x﹣1 ) ,由题意可知,那么,联立,整理得：k12x2﹣(2k12 +4 )x +k12 =0 ,设A (x1 ,y1 ) ,B (x2 ,y2 ) ,那么x1 +x2 =,设D (x3 ,y3 ) ,E (x4 ,y4 ) ,同理可得：x3 +x4 =2 +,由抛物线的性质可得：丨AB丨=x1 +x2 +p =4 +,丨DE丨=x3 +x4 +p =4 + ,∴|AB| +|DE|=8+==,当且仅当=时,上式" =〞成立．∴|AB| +|DE|的最|小值24 ,应选：C．12．(5分)假设函数y =f (x ) ,x∈M ,对于给定的非零实数a ,总存在非零常数T ,使得定义域M内的任意实数x ,都有af (x ) =f (x+T )恒成立,此时T为f (x )的类周期,函数y =f (x )是M上的a级|类周期函数．假设函数y =f (x )是定义在区间[0 ,+∞)内的2级|类周期函数,且T =2 ,当x∈[0 ,2 )时,函数．假设∃x1∈[6 ,8] ,∃x2∈(0 , +∞) ,使g (x2 )﹣f (x1 )≤0成立,那么实数m的取值范围是()A．B．C．D．【解答】解：根据题意,对于函数 f (x ) ,当x∈[0 ,2 )时,,分析可得：当0≤x≤1时,f (x ) =﹣2x2 ,有最|大值f (0 ) =,最|小值f (1 ) =﹣,当1＜x＜2时,f (x ) =f (2﹣x ) ,函数f (x )的图象关于直线x =1对称,那么此时有﹣＜f (x )＜,又由函数y =f (x )是定义在区间[0 , +∞)内的2级|类周期函数,且T =2；那么在∈[6 ,8 )上,f (x ) =23•f (x﹣6 ) ,那么有﹣12≤f (x )≤4 ,那么f (8 ) =2f (6 ) =4f (4 ) =8f (2 ) =16f (0 ) =8 ,那么函数f (x )在区间[6 ,8]上的最|大值为8 ,最|小值为﹣12；对于函数,有g′ (x ) =﹣ +x +1 ==,分析可得：在(0 ,1 )上,g′ (x )＜0 ,函数g (x )为减函数,在(1 , +∞)上,g′ (x )＞0 ,函数g (x )为增函数,那么函数g (x )在(0 , +∞)上,由最|小值f (1 ) = +m ,假设∃x1∈[6 ,8] ,∃x2∈(0 , +∞) ,使g (x2 )﹣f (x1 )≤0成立,必有g (x )min≤f (x )max ,即 +m≤8 ,解可得m≤,即m的取值范围为(﹣∞,]；应选：B．二、填空题(每题5分,总分值20分,将答案填在答题纸上)13．(5分)向量,,且,那么=．【解答】解：根据题意,向量,,假设,那么•=2sinα﹣cosα =0 ,那么有tanα =,又由sin2α +cos2α =1 ,那么有或,那么= (,)或(﹣,﹣) ,那么|| =,那么=2 +2﹣2•=；故答案为：14．(5分)x ,y满足约束条件那么目标函数的最|小值为．【解答】解：由约束条件作出可行域如图,联立,解得A (2 ,4 ) ,=,令t =5x﹣3y ,化为y =,由图可知,当直线y =过A时,直线在y轴上的截距最|大,t有最|小值为﹣2．∴目标函数的最|小值为．故答案为：．15．(5分)在等比数列{a n}中,a2•a3 =2a1 ,且a4与2a7的等差中项为17 ,设b n =a2n ﹣a2n ,n∈N* ,那么数列{b n}的前2n项和为．﹣1【解答】解：等比数列{a n}中,a2•a3 =2a1 ,且a4与2a7的等差中项为17 ,设首|项为a1 ,公比为q ,那么：,整理得：,解得：．那么：,所以：b n =a2n﹣1﹣a2n ==﹣22n﹣4 ,那么：T 2n = =．故答案为：．16． (5分 )如图 ,在直角梯形ABCD 中 ,AB ⊥BC ,AD ∥BC , ,点E 是线段CD 上异于点C ,D 的动点 ,EF ⊥AD 于点F ,将△DEF 沿EF 折起到△PEF 的位置 ,并使PF ⊥AF ,那么五棱锥P ﹣ABCEF 的体积的取值范围为 (0 , ) ．【解答】解：∵PF ⊥AF ,PF ⊥EF ,AF ∩EF =F , ∴PF ⊥平面ABCD ．设PF =x ,那么0＜x ＜1 ,且EF =DF =x ．∴五边形ABCEF 的面积为S =S 梯形ABCD ﹣S △DEF =× (1 +2 )×1﹣x 2 = (3﹣x 2 )． ∴五棱锥P ﹣ABCEF 的体积V =(3﹣x 2 )x = (3x ﹣x 3 ) ,设f (x ) = (3x ﹣x 3 ) ,那么f′ (x ) = (3﹣3x 2 ) = (1﹣x 2 ) , ∴当0＜x ＜1时 ,f′ (x )＞0 ,∴f (x )在 (0 ,1 )上单调递增 ,又f (0 ) =0 ,f (1 ) =． ∴五棱锥P ﹣ABCEF 的体积的范围是 (0 , )． 故答案为：．三、解答题 (本大题共5小题 ,共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. )17． (12分 )△ABC 的内角A ,B ,C 的对边a ,b ,c 分别满足c =2b =2 ,2bcosA +acosC+ccosA =0 ,又点D满足．(1 )求a及角A的大小；(2 )求的值．【解答】解：(1 )由2bcosA +acosC +ccosA =0及正弦定理得﹣2sinBcosA =sinAcosC +cosAsinC ,即﹣2sinBcosA =sin (A +C ) =sinB ,在△ABC中,sinB＞0 ,所以．又A∈(0 ,π ) ,所以．在△ABC中,c =2b =2 ,由余弦定理得a2 =b2 +c2﹣2bccosA =b2 +c2 +bc =7 ,所以．(2 )由,得=,所以．18．(12分)在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,且,∠A1AB =∠A1AD =60°．(1 )求证：BD⊥CC1；(2 )假设动点E在棱C1D1上,试确定点E的位置,使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为．【解答】解：(1 )连接A1B ,A1D ,AC ,因为AB =AA1 =AD ,∠A1AB =∠A1AD =60° ,所以△A1AB和△A1AD均为正三角形,于是A1B =A1D．设AC与BD的交点为O ,连接A1O ,那么A1O⊥BD ,又四边形ABCD是正方形,所以AC⊥BD ,而A1O∩AC =O ,所以BD⊥平面A1AC．又AA1⊂平面A1AC ,所以BD⊥AA1 ,又CC1∥AA1 ,所以BD⊥CC1．(2 )由,及,知A1B⊥A1D ,于是,从而A1O⊥AO ,结合A1O⊥BD ,AO∩AC =O ,得A1O⊥底面ABCD ,所以OA、OB、OA1两两垂直．如图,以点O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立空间直角坐标系O﹣xyz ,那么A (1 ,0 ,0 ) ,B (0 ,1 ,0 ) ,D (0 ,﹣1 ,0 ) ,A1 (0 ,0 ,1 ) ,C (﹣1 ,0 ,0 ) ,,,,由,得D1 (﹣1 ,﹣1 ,1 )．设(λ∈[0 ,1] ) ,那么(x E +1 ,y E +1 ,z E﹣1 ) =λ (﹣1 ,1 ,0 ) ,即E (﹣λ﹣1 ,λ﹣1 ,1 ) ,所以．设平面B1BD的一个法向量为,由得令x =1 ,得,设直线DE与平面BDB1所成角为θ ,那么,解得或(舍去) ,所以当E为D1C1的中点时,直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为．19．(12分) "过大年,吃水饺〞是我国不少地方过春节的一大习俗．2021年春节前夕,A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标,(1 )求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2 )①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N (μ ,σ2 ) ,利用该正态分布,求Z落在( , )内的概率；②将频率视为概率,假设某人从某超市购置了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10 ,30 )内的包数为X ,求X的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②假设,那么P (μ﹣σ＜Z≤μ +σ ) ,P (μ﹣2σ＜Z≤μ +2σ )．【解答】解：(1 )所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为．(2 )①∵Z服从正态分布N (μ ,σ2 ) ,且,σ≈,∴P (＜Z＜) =P (﹣＜Z＜ + ) ,∴Z落在( , )内的概率是．②根据题意得X～B (4 ,) ,；；；；．∴X的分布列为X01234P∴．20．(12分)椭圆C：的离心率为,且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．(1 )求椭圆C的标准方程；(2 )假设直线l：y =kx +2与椭圆C相交于A ,B两点,在y轴上是否存在点D ,使直线AD与BD的斜率之和k AD+k BD为定值?假设存在,求出点D坐标及该定值,假设不存在,试说明理由．【解答】解：(1 )由可得解得a2 =2 ,b2 =c2 =1 ,所求椭圆方程为．(2 )由得(1 +2k2 )x2 +8kx +6 =0 ,那么△=64k2﹣24 (1 +2k2 ) =16k2﹣24＞0 ,解得或．设A (x1 ,y1 ) ,B (x2 ,y2 ) ,那么,,设存在点D (0 ,m ) ,那么,,所以==．要使k AD +k BD为定值,只需6k﹣4k (2﹣m ) =6k﹣8k +4mk =2 (2m﹣1 ) ,k与参数k 无关,故2m﹣1 =0 ,解得,当时,k AD +k BD =0．综上所述,存在点,使得k AD +k BD为定值,且定值为0．21．(12分)函数f (x ) =e x﹣2 (a﹣1 )x﹣b ,其中e为自然对数的底数．(1 )假设函数f (x )在区间[0 ,1]上是单调函数,试求实数a的取值范围；(2 )函数g (x ) =e x﹣(a﹣1 )x2﹣bx﹣1 ,且g (1 ) =0 ,假设函数g (x )在区间[0 ,1]上恰有3个零点,求实数a的取值范围．【解答】解：(1 )根据题意,函数f (x ) =e2﹣2 (a﹣1 )x﹣b ,其导数为f' (x ) =e x﹣2 (a﹣1 ) ,当函数f (x )在区间[0 ,1]上单调递增时,f' (x ) =e x﹣2 (a﹣1 )≥0在区间[0 ,1]上恒成立,∴2 (a﹣1 )≤(e x )min =1 (其中x∈[0 ,1] ) ,解得；当函数f (x )在区间[0 ,1]单调递减时,f' (x ) =e x﹣2 (a﹣1 )≤0在区间[0 ,1]上恒成立,∴2 (a﹣1 )≥(e x )max =e (其中x∈[0 ,1] ) ,解得．综上所述,实数a的取值范围是．(2 )函数g (x ) =e x﹣(a﹣1 )x2﹣bx﹣1 ,那么g' (x ) =e x﹣2 (a﹣1 )x﹣b ,分析可得f (x ) =g' (x )．由g (0 ) =g (1 ) =0 ,知g (x )在区间(0 ,1 )内恰有一个零点,设该零点为x0 ,那么g (x )在区间(0 ,x0 )内不单调,所以f (x )在区间(0 ,x0 )内存在零点x1 ,同理,f (x )在区间(x0 ,1 )内存在零点x2 ,所以f (x )在区间(0 ,1 )内恰有两个零点．由(1 )知,当时,f (x )在区间[0 ,1]上单调递增,故f (x )在区间(0 ,1 )内至|多有一个零点,不合题意．当时,f (x )在区间[0 ,1]上单调递减,故f (x )在(0 ,1 )内至|多有一个零点,不合题意；所以．令f' (x ) =0 ,得x =ln (2a﹣2 )∈(0 ,1 ) ,所以函数f (x )在区间[0 ,ln (2a﹣2 )]上单调递减,在区间(ln (2a﹣2 ) ,1]上单调递增．记f (x )的两个零点为x1 ,x2 (x1＜x2 ) ,因此x1∈(0 ,ln (2a﹣2 )] ,x2∈(ln (2a﹣2 ) ,1 ) ,必有f (0 ) =1﹣b＞0 ,f (1 ) =e﹣2a +2﹣b＞0．由g (1 ) =0 ,得a +b =e ,所以,又f (0 ) =a﹣e +1＞0 ,f (1 ) =2﹣a＞0 ,所以e﹣1＜a＜2．综上所述,实数a的取值范围为(e﹣1 ,2 )．请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,那么按所做的第|一题记分.[选修4 -4：坐标系与参数方程]22．(10分)在平面直角坐标系xOy中,圆C1的参数方程为(θ为参数,a是大于0的常数)．以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为．(1 )求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程；(2 )分别记直线l：,ρ∈R与圆C1、圆C2的异于原点的焦点为A ,B ,假设圆C1与圆C2外切,试求实数a的值及线段AB的长．【解答】解：(1 )圆C1：(θ是参数)消去参数θ ,得其普通方程为(x +1 )2 + (y +1 )2 =a2 ,将x =ρcosθ ,y =ρsinθ代入上式并化简,得圆C1的极坐标方程,由圆C2的极坐标方程,得ρ2 =2ρcosθ +2ρsinθ．将x =ρcosθ ,y =ρsinθ ,x2 +y2 =ρ2代入上式,得圆C2的直角坐标方程为(x﹣1 )2 + (y﹣1 )2 =2．(2 )由(1 )知圆C1的圆心C1 (﹣1 ,﹣1 ) ,半径r1 =a；圆C2的圆心C2 (1 ,1 ) ,半径,,∵圆C1与圆C2外切,∴,解得,即圆C1的极坐标方程为．将代入C1 ,得,得；将代入C2 ,得,得；故．[选修4 -5：不等式选讲]23．函数f (x ) =|2x +1|．(1 )求不等式f (x )≤10﹣|x﹣3|的解集；(2 )假设正数m ,n满足m +2n =mn ,求证：f (m ) +f (﹣2n )≥16．【解答】解：(1 )此不等式等价于或或解得或或3＜x≤4．即不等式的解集为．(2 )证明：∵m＞0 ,n＞0 ,m +2n =mn ,,即m +2n≥8 ,当且仅当即时取等号．∴f (m )+f (﹣2n ) =|2m+1| +|﹣4n+1|≥| (2m+1 )﹣(﹣4n+1 )| =|2m+4n| =2 (m +2n )≥16 ,当且仅当﹣4n +1≤0 ,即时,取等号．∴f (m ) +f (﹣2n )≥16．。
2021年新高考数学全国卷模拟(附参考答案和详解)
绝密★启用前2021年普通高等学校招生模拟考试（全国卷Ⅰ）数学（适用新高考地区）总分：150分 考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：1、本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。
第I 卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数2(2i)-对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合{|3213}A x x =-≤-≤，集合B 为函数lg(1)y x =-的定义域，则A B =（ ）A.(1,2)B.[1,2]C.[1,2)D.(1,2]3.已知向量(,3)k =a ，(1,4)=b ，(2,1)=c ，且(23)-⊥a b c ，则实数k =（ ） A.92-B.0C.3D.1524.使3nx⎛+ ⎝()n +∈N 的展开式中含有常数项的最小的n 为（ ）A.4B.5C.6D.75.容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：A.0.35B.0.45C.0.55D.0.656.已知过点(2,2)P 的直线与圆22(1)5x y -+=相切，且与直线10ax y -+=垂直，则a =（ ） A.12-B.1C.2D.127.命题"存在一个无理数，它的平方是有理数"的否定是（ ） A.任意一个有理数，它的平方是有理数 B.任意一个无理数，它的平方不是有理数 C.存在一个有理数，它的平方是有理数D.存在一个无理数，它的平方不是有理数8.已知50,log ,lg ,510db b a bc >===，则下列等式一定成立的是（ ）A.d ac =B.a cd =C.c ad =D.d a c =+二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（ ）A.甲的成绩的平均数大于乙的成绩的平均数B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差10.如果双曲线的离心率51e +=有（ ）A.双曲线221251x =-是黄金双曲线 B.双曲线22151y -=+是黄金双曲线 C.在双曲线22221x y a b-=中，1F 为左焦点，2A 为右顶点，1(0,)B b ，若11290F B A ∠=，则该双曲线是黄金双曲线D.在双曲线22221x y a b-=中，过焦点2F 作实轴的垂线交双曲线于M ，N 两点，O 为坐标原点，若120MON ∠=，则该双曲线是黄金双曲线11.已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列4个命题，其中真命题有（ ） A.若m α⊂，n α，则m n B.若m α⊥，n α，则m n ⊥ C.若m α⊥，m β⊥，则αβD.若m α，n α，则m n12.已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，有(1)()f x f x +=-，且当[0,1)x ∈时，2()log (1)f x x =+．给出下列命题，其中正确的命题的为（ ）A.(2016)(2017)0f f +-=B.函数()f x 在定义域上是周期为2的周期函数C.直线y x =与函数()f x 的图像有1个交点D.函数()f x 的值域为(1,1)-第Ⅱ卷本卷包括填空题和解答题两部分，共90分. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分。