八年级数学上册第七章平行线的证明三角形外角教案(新版)北师大版

北师版八年级上册数学第7章平行线的证明【教案】公理、定理、证明

7.2.2 公理、定理、证明
教学目标：
3.经历实际情境，初步体会公理化思想和方法，了解本教材所采用的公理．
教学过程：
第一环节：回顾引入
活动内容：
活动内容：
（2）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等．
（3）如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形．
（4）如果一个四边的对角线相等，那么这个四边形是矩形．
（5）如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形．
（2）“如果……”是已知的事项，“那么……”是由已知事项推断出的结论．
第三环节：思考探讨
活动内容：
（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；
（2）如果a＞b，b＞c，那么a＝c；
（4）菱形的四条边都相等；
（5）全等三角形的面积相等．
活动内容：
①介绍《几何原本》、公理、定理等知识．
《原本》问世之前，世界上还没有一本数学书籍象《原本》这样编排，因此，《原本》是一部具有划时代意义的著作．
①公理、定理、概念和证明的关系．
③介绍本教材的公理．
1.两点确定一条直线。

2.两点之间线段最短。

3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
6.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．
7.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．
8.三边对应相等的两个三角形全等．
④读一读《原本与几何原本》
第五环节：课堂反思与小结
活动内容：。

八年级数学上册第七章平行线的证明2定义与命题教案(新版)北师大版

八年级数学上册第七章平行线的证明2定义与命题教案（新版）北师大版教学目标【知识与技能】1．理解公理和定理的概念；2．会在简单情况下判断一个命题的真假，会区分定理、公理和命题．【过程与方法】通过对真假命题的判断，培养学生树立科学严谨的学习方法．【情感、态度与价值观】使学生在接受专业知识的同时增强学习的兴趣，调动学生探索发现问题的积极性．教学重难点【重点】公理、定理的概念．【难点】正确认识公理、定理、命题(真命题)之间的区别．教学过程一、复习旧知1．判断下列句子中，哪些是命题?哪些不是命题?(1)同一平面中的两条直线不是平行就是相交．( )(2)画一个长方形和正方形．( )(3)直角小于钝角．( )(4)4是偶数吗?( )一般地，对某一事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题．命题由可看作由题设(或条件)和结论两部分组成．2．思考下列命题的条件是什么?结论是什么?(1)如果地面是潮湿的，那么下雨了．(2)同位角相等，两条直线平行．(3)三角形两边之和大于第三边．在上述命题中，哪些正确?哪些不正确?你的理由是什么?3．什么叫做真命题，什么叫做假命题?正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．二、探究新知1．新课引入．师：通过刚刚的复习，我们回顾了真命题与假命题的概念，也知道要判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可；但要判断一个命题是真命题，该怎么办呢?能用以前学习的观察、实验、验证特例的方法吗?这我们在以前的学习过程中已经探讨过，这种方法不可靠．那么，是否可以根据已经知道的真命题证实呢?试想一下，这样的真命题又该如何证实它是正确的呢?2．介绍定理的概念．阅读教材内容，并回答下列问题：(1)定理的概念是什么?(2)我们学过哪些定理?小结：定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理．3．请用学过的定理说明下面这些命题的正确性．(1)同角(等角)的补角相等．(2)同角(等角)的余角相等．(3)三角形的任意两边之和大于第三边．几何证明如下：(1)已知∠1=∠2，∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角，求证∠3=∠4．证明：∵∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角．∴∠3=180°-∠1，∠4=180°-∠2．∵∠1=∠2．∴∠3=∠4．同理可证同角的补角相等．(2)证明过程与(1)类似，鼓励学生自我证明．(3)引导学生任取三角形的两个顶点，根据“两点之间线段最短”可知命题正确．三、例题讲解【例】如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角．求证：∠AOC=∠BOD．【答案】∵直线AB与直线CD相交于点O，∴∠AOB和∠COD都是平角(平角的定义)．∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角(补角的定义)．∴∠AOC=∠BOD(同角的补角相等) 小结：得到定理：对顶角相等．四、课堂小结本节课学习了哪些内容?反思自己在学习过程中的优缺点、不足之外，并积极总结发言．。

数学北师大版八年级上册第七章平行线的证明《三角形内角和定理》一等奖创新教案第2课时(含答案)

数学北师大版八年级上册第七章平行线的证明《三角形内角和定理》一等奖创新教案第2课时（含答案）第七章平行线的证明7.5 三角形内角和定理第2 课时一、教学目标1．掌握三角形内角和定理的两个推理，并能运用这些定理解决简单的问题．2．经历探索与证明的过程，进一步发展推理能力．3．在一题多解、一题多变中，积累解决几何问题的经验，提升解决问题的能力．二、教学重点及难点重点：了解并掌握三角形的外角的定义．难点：掌握三角形内角和定理的两个推论，利用这两个推论进行简单的证明和计算．三、教学用具多媒体课件，三角板、直尺。

四、相关资源《三角形外角》动画，《三角形其他外角》动画．五、教学过程【新知导入】△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角.请试着画出△ABC的其他外角.设计意图：外角概念探究意义不大，所以直接明晰这一概念，通过在图中标注其他外角，深化学生对外角概念的理解，同时，在图中标注其他外角的过程也为发现有关外角的结论做了铺垫.【合作探究】图中，∠ACD与其他角有什么关系？请证明你的结论.通过学生讨论，发现：定理三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.定理三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.已知：△ABC.求证：∠ACD=∠A+∠B，∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理），∴∠A+∠B=180°－∠ACB（等式的性质），∵∠ACD+∠ACB=180°（平角的定义）∴∠ACD=180°－∠ACB（等式的性质）∴∠ACD=∠A+∠B（等量代换）∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.在这里，我们通过三角形的内角和定理直接推导出两个新定理.像这样，由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论.推论可以当做定理使用.设计意图：希望发现有关外角的两个定理.可以对学生进行适当的引导，关系既可以是不等关系，也可以是等量关系.【典例精析】例1 已知，如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC．求证：AD∥BC分析：要证明AD∥BC,只需证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”.证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∠B=∠C（已知）∴∠B=∠EAC（等式的性质）∵AD平分∠EAC（已知）∴∠DAE=∠EAC（角平分线的定义）∴∠DAE=∠B（等量代换）∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）想一想，还有没有其他的证明方法呢？这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证.证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∠B=∠C（已知）∴∠C=∠EAC（等式的性质）∵AD平分∠EAC（已知）∴∠DAC=∠EAC（角平分线的定义）∴∠DAC=∠C（等量代换）∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证.证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∠B=∠C（已知）∴∠C=∠EAC（等式的性质）∵AD平分∠EAC（已知）∴∠DAC=∠EAC∴∠DAC=∠C（等量代换）∵∠B+∠BAC+∠C=180°∴∠B+∠BAC+∠DAC=180°即：∠B+∠DAB=180°∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）设计意图：例题的图形较复杂，可以给出分析过程，鼓励学生先自行解决，同时对有困难的学生给予必要的指导.“想一想”关注解决问题方法的多样化，通过多种解法，开拓学生思维.例2 如图，P是△ABC内的一点，求证：∠BPC＞∠A.解析：由题意无法直接得出∠BPC＞∠A，延长BP交AC于D，就能得到∠BPC＞∠PDC，∠PDC＞∠A.即可得证．证明：延长BP,交AC于D，∵∠BPC是△PDC的外角(外角定义)，∴∠BPC＞∠PDC(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)．∵∠PDC是△ABD的外角(外角定义)，∴∠PDC＞∠A(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)．∴∠BPC＞∠A.方法总结：利用推论2证明角的大小时，两个角应是同一个三角形的内角和外角．若不是，就需借助中间量转化求证．设计意图：让学生复习“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”，同时体会某些不等关系的递推和论证过程.鼓励学生寻求多种解法，如还可以连接AP，并延长AP交BC于点D ,这时∠BPC 和∠A分别被分成了两个小角，用“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”可以证明.【课堂练习】1.判断下列命题的对错.（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. （）×（2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍. （）√（3）三角形的一个外角等于两个内角的和. （）×（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（）√（5）三角形的一个外角大于任何一个内角. （）×（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（）√2.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( )CA.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定3.如图所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于( )BA.120°B.115°C.110°D.105°4.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F等于（）A.26°B.63°C.37°D.60°5.如图，如果∠1＝100°，∠2＝145°，那么∠3等于( )A．110°B．160°C．137°D．115°解析：方法总结：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，而不是等于任意两个内角的和．6.如图，求证：（1）∠BDC>∠A.（2）∠BDC=∠B+∠C+∠A.证法一：（1）连接AD，并延长AD，如图，则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.∴∠1>∠3.∠2>∠4（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∴∠1+∠2>∠3+∠4（不等式的性质）即：∠BDC>∠BAC.（2）连结AD，并延长AD，如图.则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.∴∠1=∠3+∠B∠2=∠4+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C（等式的性质）即：∠BDC=∠B+∠C+∠BAC证法二：（1）延长BD交AC于E（或延长CD交AB于E），如图.则∠BDC是△CDE的一个外角.∴∠BDC>∠DEC.（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∵∠DEC是△ABE的一个外角（已作）∴∠DEC>∠A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∴∠BDC>∠A（不等式的性质）（2）延长BD交AC于E，则∠BDC是△DCE的一个外角.∴∠BDC=∠C+∠DEC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠DEC是△ABE的一个外角∴∠DEC=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC（等量代换）设计意图：巩固三角形外角定理.六、课堂小结今天这节课你学到了什么知识？1．外角2．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和3．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角设计意图：通过对三角形外角及性质的学习，使学生的认识有进一步的升华，再一次体会证明格式的严谨，体会到数学的严密性．七、板书设计7.5 三角形内角和定理（2）1．外角2．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和3．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

八年级数学上册第七章平行线的证明 5 三角形内角和定理教案 (新版)北师大版.doc

5 三角形内角和定理（第1课时）一、学生知识状况分析学生技能基础：学生在以前的几何学习中，已经学习过平行线的判定定理与平行线的性质定理以及它们的严格证明，也熟悉三角形内角和定理的内容，而本节课是建立在学生掌握了平行线的性质及严格的证明等知识的基础上展开的，因此，学生具有良好的基础．活动经验基础：本节课主要采取的活动形式是学生非常熟悉的自主探究与合作交流的学习方式，学生具有较熟悉的活动经验．二、教学任务分析上一节课的学习中，学生对于平行线的判定定理和性质定理以及与平行线相关的简单几何证明是比较熟悉的，他们已经具有初步的几何意识，形成了一定的逻辑思维能力和推理能力，本节课安排《三角形内角和定理》旨在利用平行线的相关知识来推导出新的定理以及灵活运用新的定理解决相关问题．为此，本节课的教学目标是：1.掌握三角形内角和定理的证明及简单应用．2.灵活运用三角形内角和定理解决相关问题．3.用多种方法证明三角形定理，培养一题多解的能力．4.对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用．三、教学过程分析本节课的设计分为四个环节：情境引入——探索新知——反馈练习——课堂小结第一环节：情境引入活动内容：（1）用折纸的方法验证三角形内角和定理．实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图（1））然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果（1）（2）（3）（4）试用自己的语言说明这一结论的证明思路．想一想，还有其它折法吗？（2）实验2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起．试用自己的语言说明这一结论的证明思路．想一想，如果只剪下一个角呢？活动目的：对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用．将自己的操作转化为符号语言对于学生来说还存在一定困难，因此需要一个台阶，使学生逐步过渡到严格的证明．教学效果：说理过程是学生所熟悉的，因此，学生能比较熟练地说出用撕纸的方法可以验证三角形内角和定理的原因．第二环节：探索新知活动内容：例1 用严谨的证明来论证三角形内角和定理．例2 看哪个同学想的方法最多？方法一：过A 点作DE ∥BC∵DE ∥BC∴∠DAB =∠B ，∠EAC =∠C （两直线平行，内错角相等）∵∠DAB +∠BAC +∠EAC =180°∴∠BAC +∠B +∠C =180°(等量代换)方法二：作BC 的延长线CD ，过点C 作射线CE ∥BA ．∵CE ∥BA∴∠B=∠ECD （两直线平行，同位角相等）∠A =∠ACE （两直线平行，内错角相等）∵∠BCA +∠ACE +∠ECD =180°∴∠A +∠B +∠ACB =180°(等量代换)A B C D E A B C E D用平行线的判定定理及性质定理来推导出新的定理，让学生再次体会几何证明的严密性和数学的严谨，培养学生的逻辑推理能力．教学效果：添辅助线不是盲目的，而是为了证明某一结论，需要引用某个定义、定理，但原图形不具备直接使用它们的条件，这时就需要添辅助线创造条件，以达到证明的目的．第三环节：反馈练习活动内容：（1）△ABC中可以有3个锐角吗？ 3个直角呢？ 2个直角呢？若有1个直角另外两角有什么特点？（2）△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=？（3）∠A=50°，∠B=∠C，则△ABC中∠B=？（4）三角形的三个内角中，只能有____个直角或____个钝角．（5）任何一个三角形中，至少有____个锐角；至多有____个锐角．（6）三角形中三角之比为1∶2∶3，则三个角各为多少度？（7）已知：△ABC中，∠C=∠B=2∠A．(a)求∠B的度数；(b)若BD是AC边上的高，求∠DBC的度数？活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对三角形内角和定理的概念是否清楚，能否灵活运用三角形内角和定理，以便教师能及时地进行查缺补漏．教学效果：学生对于三角形内角和定理的掌握是非常熟练，因此，学生能较好地解决与三角形内角和定理相关的问题．第四环节：课堂小结活动内容：（1）证明三角形内角和定理有哪几种方法？（2）辅助线的作法技巧.（3）三角形内角和定理的简单应用.复习巩固本课知识，提高学生的掌握程度．教学效果：学生对于三角形内角和定理的几种不同的证明方法的理解比较深刻，并能熟练运用三角形内角和定理进行相关证明.课后练习：课本随堂练习；习题7.6第1，2，3题四、教学反思三角形的有关知识是“空间与图形”中最为核心、最为重要的内容，它不仅是最基本的直线型平面图形，而且几乎是研究所有其它图形的工具和基础.而三角形内角和定理又是三角形中最为基础的知识，也是学生最为熟悉且能与小学、中学知识相关联的知识，看似简单，但如果处理不好，会导致学生有厌烦心理，为此，本节课的设计力图实现以下特点：（1）通过折纸与剪纸等操作让学生获得直接经验，然后从学生的直接经验出发，逐步转到符号化处理，最后达到推理论证的要求．（2）充分展示学生的个性，体现“学生是学习的主人”这一主题．（3）添加辅助线是教学中的一个难点，如何添加辅助线则应允许学生展开思考并争论，展示学生的思维过程，然后在老师的引导下达成共识．5 三角形内角和定理（第2课时）一、学生知识状况分析学生技能基础：学生在前面的几何学习中，已经学习过平行线的判定定理与平行线的性质定理以及它们的严格证明，学习了三角形内角和定理的证明以及相关应用，有相关知识的基础，并具有一定的逻辑思维能力和严谨推理习惯，为今天的学习奠定了良好的基础．活动经验基础：本节课主要采取的活动形式是学生非常熟悉的自主探究与合作交流相结合、实践和理性证明相结合的学习方式，学生具有较熟悉的活动经验．二、教学任务分析在前面的学习中，学生对于平行线相关知识以及三角形内角和定理的灵活运用已经有了深入的了解，为今天的学习奠定了知识基础，并且他们已经具有初步的几何意识，形成了一定的逻辑思维能力和推理能力，本节课安排《三角形内角和定理》旨在利用已经学习过的知识来推导出新的定理以及运用新的定理解决相关问题．为此，本节课的教学目标是：1.掌握三角形外角的两条性质；2.进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧．3.灵活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题．4.进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力，培养学生的几何意识．5.通过在数学活动中进行教学，使学生能自主地“做数学”，特别是培养有条理的想象和探索能力，从而做到强化基础，激发学习兴趣．三、教学过程分析本节课的设计分为四个环节：情境引入——探索新知——反馈练习——课堂反思与小结第一环节：情境引入活动内容：在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC的一边BC延长得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质．活动目的：引出三角形外角的概念，并对其进行研究，激发学生学习兴趣．注意事项：教师应在学生充分展示自己的意见之后，有意识地引导学生从三角形的外角的角度进行思考．第二环节：探索新知活动内容：①三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角，结合图形指明外角的特征有三：(1)顶点在三角形的一个顶点上．(2)一条边是三角形的一边．(3)另一条边是三角形某条边的延长线．②两个推论及其应用由学生探讨三角形外角的性质：问题1：如图，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角，能由∠A、∠B 求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A、∠B有什么关系？问题2：任意一个△ABC的一个外角∠ACD与∠A、∠B的大小会有什么关系呢？由学生归纳得出：推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．推论 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．例1、已知：∠BAF，∠CBD，∠ACE是△ABC的三个外角．求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°分析：把每个外角表示为与之不相邻的两个内角之和即得证．证明：(略)．例2、已知：D是AB上一点，E是AC上一点，BE、CD相交于F，∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°．求：(1)∠BDC度数；(2)∠B F D度数．解：(略)．活动目的：通过三角形内角和定理直接推导三角形外角的两个推论，引导学生从内和外、相等和不等的不同角度对三角形作更全面的思考．注意事项：新的定理的推导过程应建立在学生的充分思考和论证的基础之上，教师切勿越俎代庖.第三环节：课堂练习活动内容：(4)已知，如图，在三角形ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C．B ACDE求证：AD ∥BC分析：要证明AD ∥BC ，只需证明“同位角相等”，即需证明∠DAE =∠B .证明：∵∠EAC =∠B +∠C （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∠B =∠C （已知）∴∠B =21∠EAC （等式的性质） ∵AD 平分∠EAC （已知） ∴∠DAE =21∠EAC （角平分线的定义） ∴∠DAE =∠B （等量代换）∴AD ∥BC （同位角相等，两直线平行）想一想，还有没有其他的证明方法呢？这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证.证明：∵∠EAC =∠B +∠C （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∠B =∠C （已知）∴∠C =21∠EAC （等式的性质） ∵AD 平分∠EAC （已知） ∴∠DAC =21∠EAC （角平分线的定义） ∴∠DAC =∠C （等量代换）∴AD ∥BC （内错角相等，两直线平行）还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证.证明：∵∠EAC =∠B +∠C （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∠B =∠C （已知）∴∠C =21∠EAC （等式的性质） ∵AD 平分∠EAC （已知）∴∠DAC=21∠EAC ∴∠DAC =∠C （等量代换）∵∠B +∠BAC +∠C =180°∴∠B +∠BAC +∠DAC =180°即：∠B +∠DAB =180°∴AD ∥BC （同旁内角互补，两直线平行）② 已知：如图，在三角形ABC 中，∠1是它的一个外角，E 为边AC 上一点，延长BC 到D ，连接DE ．求证：∠1>∠2．证明：∵∠1是△ABC 的一个外角（已知）∴∠1>∠ACB （三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∵∠ACB 是△CDE 的一个外角（已知）∴∠ACB >∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∴∠1>∠2（不等式的性质）③如图，求证：（1）∠BDC >∠A .（2）∠BDC =∠B +∠C +∠A .如果点D 在线段BC 的另一侧，结论会怎样？［分析］通过学生的探索活动，使学生进一步了解辅助线的作法及重要性，理解掌握三角形的内角和定理及推论.证法一：（1）连接AD ，并延长AD ，如图，则∠1是△ABD 的一个外角，∠2是△ACD 的一个外角.∴∠1>∠3.A B C D E 1 F2∠2>∠4（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∴∠1+∠2>∠3+∠4（不等式的性质）即：∠BDC>∠BAC.（2）连结AD，并延长AD，如图.则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.∴∠1=∠3+∠B∠2=∠4+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C（等式的性质）即：∠BDC=∠B+∠C+∠BAC证法二：（1）延长BD交AC于E（或延长CD交AB于E），如图.则∠BDC是△CDE的一个外角.∴∠BDC>∠DEC.（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∵∠DEC是△ABE的一个外角（已作）∴∠DEC>∠A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∴∠BDC>∠A（不等式的性质）（2）延长BD交AC于E，则∠BDC是△DCE的一个外角.∴∠BDC=∠C+∠DEC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠DEC是△ABE的一个外角∴∠DEC=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC（等量代换）活动目的：让学生接触各种类型的几何证明题，提高逻辑推理能力，培养学生的证明思路，特别是不等关系的证明题，因为学生接触较少，因此更需要加强练习．注意事项：学生对于几何图形中的不等关系的证明比较陌生，因此有必要在证明第2小题中，要引导学生找到一个过渡角∠ACB，由∠1>∠ACB，∠ACB>∠2，再由不等关系的传递性得出∠1>∠2．第四环节：课堂反思与小结活动内容：由学生自行归纳本节课所学知识：推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．推论 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．活动目的：复习巩固所学知识，理清思路，培养学生的归纳概括能力．注意事项：学生对于三角形外角的两个推论以及它们的应用有一定的了解．课后练习：课本随堂练习第1题，习题7.7第1，2，3题．思考题：课本习题7.7第4题（给学有余力的同学做）四、教学反思教学中，帮助学生找三角形的外角是难点，特别是当一个角是某个三角形的内角，同时又是另一个三角形的外角时，困难就更大，解决这个难点的关键是讲清定义，分析图形，变换位置，理清思路．本节课的教学设计力图具有以下几个特色：（1）充分挖掘学生的潜能，展示学生的思维过程，体现“学生是学习的主人”这一主题；（2）从特殊到一般，从不完全归纳到合情推理，展示了一个完整的思维过程；（3）在整个教学中尽可能的避免教学的单调性，因此编排了一题多解的训练，为发散性思维创设情境，调动学生学习的极大热情．。

北师大版八年级上册数学第7章《平行线的证明》教案

第七章平行线的证明1为什么要证明【学习目标】1．初步体会观察、猜测得到的结论不一定正确．2．通过探索，初步了解数字中推理的重要性．3．初步了解要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理．【学习重点】判断一个结论正确与否需要进行推理．【学习难点】理解数学推理的重要性．一、情景导入生成问题在现实生活中，我们常采用观察的方法来了解世界．在数学学习中，我们通过观察、度量、猜测来得到一些结论．那这样得到的结论都是正确的吗？如果是正确的，那么用什么方法说明它的正确性呢？解：不一定都是正确的，如果正确，需要用推理证明的方法来说明它的正确性．二、自学互研生成能力知识模块一观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗先阅读教材第162页“做一做”之前的内容，然后完成书中设置的两个问题，最后与同伴进行交流．【说明】让学生通过观察、实验、归纳等方法初步体会得到的结论不一定正确．知识模块二启发学生有理有据地推理师生合作共同完成教材第162页“做一做”的学习与探究．【说明】(1)中让学生体会数学教学中从特殊到一般的思想方法；(2)中利用先猜想再验证的方法，培养学生从不同的角度来用不同的数学方法解决实际问题的能力．【归纳结论】实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗知识模块二启发学生有理有据地推理四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________2定义与命题第1课时定义与命题【学习目标】1．理解定义与命题的概念．2．掌握命题的结构、形式及种类．3．能从具体实例中，了解命题的概念，并会区分真假命题．【学习重点】命题的相关概念．【学习难点】对于命题的条件和结论不十分明显，改写成“如果……那么……”的形式．一、情景导入生成问题人与人之间的交流必须在对某些名称和术语有共同认识的情况下才能进行．为此，我们需要给出它们的定义．这节课我们就一起研究定义与命题．二、自学互研生成能力知识模块一定义先阅读教材第165页“议一议”上面的内容，弄清“定义”的概念．【说明】通过思考、归纳得出定义的概念，并利用举例的形式加深对概念的理解与掌握．【归纳结论】证明时，为了交流的方便，必须对某些名称和术语形成共同的认识．为此，就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义．知识模块二命题阅读教材第165页“议一议”的内容，弄清命题的概念，并与同伴进行交流．【说明】通过讨论、交流让学生对命题形成初步认识，安排不是命题的问题参加，让学生逐步体会一个句子是不是命题的关键是对一件事情是否作出判断．【归纳结论】判断一件事情的句子叫做命题．如果一个句子没有对某件事情作出任何判断，那么它就不是命题．知识模块三命题的组成阅读教材第166页“想一想”部分的内容．弄清一个命题的组成，并与同伴进行交流．【说明】学生通过观察、思考得出命题是由两部分组成的，并掌握它们各自的概念，进一步加深对命题的理解．【归纳结论】一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成．条件是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项．命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．知识模块四命题的分类仿例：下列命题是真命题的是(D)A．若a2＝b2，则a＝bB．若a2>b2，则a>bC．若|a|>|b|，则a>bD．若a3＝b3，则a＝b阅读教材第166页“做一做”的内容，然后与同伴进行交流．【说明】进一步加深对命题组成的理解，同时学会利用自学的知识对命题作出正确的判断．【归纳结论】正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一定义知识模块二命题知识模块三命题的组成知识模块四命题的分类四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________第2课时定理与证明【学习目标】1．理解公理和定理的意义，并能对公理与定理加以区别．2．理解证明命题的思路、书写的格式，能对推理论证有初步的认识．【学习重点】命题证明的一般步骤．【学习难点】探索命题证明的思路及思维方向．一、情景导入生成问题我们知道，举一个反例就可以证明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？用以前学过的观察、实验、验证特例等方法来证明可靠吗？能不能根据已经知道的真命题证实呢？那已经知道的真命题又是如何证实的？【说明】提出一系列的问题启发思考，体会证明的必要性，让学生明白采用什么样的方式作为证实其他命题的出发点和依据．二、自学互研生成能力知识模块一公理、定理的概念阅读教材第168页和第169页例题前面部分的内容，然后解答下列问题：问题1什么是公理？什么是定理？问题2我们已经学习了哪几条基本事实作为证明的出发点和依据？【说明】给出概念，直入主题．回顾所学知识，加深对概念的理解，同时也让学生明白如何区分公理和定理．【归纳结论】除了上面几条可以作为证明的依据外，数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据．知识模块二定理的证明师生合作完成下面问题的学习与探究．问题3什么叫证明？如何来证明一个命题或定理的正确性？【说明】让学生明白证明的概念，并且为后面书写过程有个心理准备．例：已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角．求证：∠AOC＝∠BOD.由于证明过程是学生刚刚接触的，比较陌生，教师可以引导学生帮助分析，展示如下：证明：∵直线AB与直线CD相交于点O，∴∠AOB和∠COD都是平角(平角的定义)．∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角(补角的定义)．∴∠AOC＝∠BOD(同角的补角相等)．定理：对顶角相等．注：对于符号“∵”“∴”表示的意思教师要作出解释；由于刚学证明，力求注明理由，证明过程要符合逻辑思维，不能因果不相匹配．仿例：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D，求证：∠1＝∠A，∠2＝∠B.证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，又∵∠1＋∠B＝90°，∴∠2＝∠B，同理可证：∠1＝∠A.三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一公理、定理的概念知识模块二定理的证明四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________3平行线的判定【学习目标】1．会用“同位角相等，两直线平行”证明“内错角相等，两直线平行”及“同旁内角互补，两直线平行”的正确性．2．会用平行线的三个判定定理解决问题．【学习重点】平行线的三个判定定理．【学习难点】灵活应用平行线的三个判定定理解决问题．一、情景导入生成问题前面我们探索过两直线平行的哪些判别条件？利用“同位角相等，两直线平行”这个基本事实，你能证明它们吗？试试看．【说明】通过复习旧知识，为本节课进一步学习直线平行的条件做准备．两条直线被第三条直线所截，形成的角中，有同位角、内错角和同旁内角．同位角相等，两直线平行，那么利用内错角、同旁内角的关系，能否判定两直线平行？【说明】这个问题的提出，直截了当地切入本节课的中心内容，通过学生的猜想、讨论，引起学生的探究欲望．二、自学互研生成能力知识模块一内错角相等，两直线平行先阅读教材第172页定理1的内容及其证明过程，然后完成下面的问题．问题1如右图，∠1与∠2是什么位置关系？问题2当∠1＝∠2时，直线a、b有什么关系？为什么？【说明】通过观察、思考、讨论培养学生分析图形的能力，感受转化的思想．由未知转化为已知，把已知条件转化为以前学过的旧知识，从而达到解决问题的目的．为了给学生一个清晰的证明过程，教师展示如下：证明：∵∠1＝∠2(已知)，∠1＝∠3(对顶角相等)．∴∠3＝∠2(等量代换)．∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．知识模块二同旁内角互补，两直线平行先阅读教材第172页定理2的内容及证明过程，然后完成下面的问题．问题3如下图，∠2与∠3是什么位置关系？问题4当∠2＋∠3＝180°时，直线a、b有什么关系？为什么？【说明】让学生自己口述，培养学生的口语表达能力和推理论证的能力．在思考探究的过程中，体会判断两条直线平行的条件．这个证明的过程，老师可以引导学生自己书写．【归纳结论】已给的基本事实、定义和已经证明的定理以后都可以作为依据，用来证明新的结论．仿例：如图所示，一个合格的弯形管道经两次拐弯后，如果∠C＝68°，∠B＝112°，则AB与CD的位置关系是__平行__，理由是__同旁内角互补，两直线平行__．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一内错角相等，两直线平行知识模块二同旁内角互补，两直线平行四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________4平行线的性质【学习目标】1．初步掌握平行线的性质，并能用性质进行简单的推理和证明．2．进一步理解和总结证明的步骤、格式、方法．【学习重点】平行线的性质的探索及性质的应用．【学习难点】运用平行线的性质和判定去解决问题．一、情景导入生成问题现在同学们已经掌握了利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，判定两条直线平行的三种方法．在这一节课里：大家把思维的指向反过来：如果两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角的数量关系又该如何表达？【说明】了解学生的认知基础，让全体学生对前一节的内容进行回顾，并为新课程的学习做准备．二、自学互研生成能力知识模块一两直线平行，同位角相等师生合作共同完成教材第175页性质定理1的证明及探究过程．【说明】给学生留有充分的探索和交流的空间，鼓励学生利用多种方法探索，这对于发展学生的空间观念，理解平行线的性质是十分重要的．此题的证明可以让学生感受反证法．知识模块二两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补阅读教材第176页平行线性质定理2和性质定理3的内容及证明过程，然后自己完成定理的证明．【说明】培养学生逻辑思维能力以及严谨的治学态度，逐步锻炼学生的推理能力，并进一步巩固对定理的理解及语言的规范，感受成功的喜悦，树立学习数学的信心．知识模块三平行于同一条直线的两条直线平行先阅读教材第176页例题及证明过程，然后完成下面的问题．例：已知：如图，b∥a，c∥a，∠1，∠2，∠3是直线a、b、c被直线d截出的同位角．求证：b∥c.【说明】利用平行线的性质进行有关的证明，逐步培养学生的推理论证能力．发展他们的数学思维和空间观念．【归纳结论】平行于同一条直线的两条直线平行．讨论：完成一个命题的证明，需要哪些主要环节？与同学们交流．【说明】通过与学生交流、讨论，帮助他们形成知识体系，为以后的证明提供了很好的方法．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一两直线平行，同位角相等知识模块二两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补知识模块三平行于同一条直线的两条直线平行四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________5三角形内角和定理第1课时三角形内角和定理及应用【学习目标】1．会证明三角形的内角和定理，并能运用三角形内角和定理解题．2．初步学会利用辅助线证题．【学习重点】三角形内角和定理的证明和应用．【学习难点】用不同方法证明三角形内角和定理．一、情景导入生成问题我们知道，任意一个三角形的内角和等于180°，怎样证明这个结论的正确性呢？小学中我们通过测量的方法进行过验证，但我们不可能对所有的三角形进行验证，有没有一种能证明任意三角形的内角和等于180°的方法呢？【说明】通过问题引入，激发学生的学习兴趣，同时使学生认识到，测量的方法只能进行有限次的验证，并不能对所有三角形进行验证，所以必须寻找一种能说明所有三角形的内角和是180°的方法，为后面的证明做准备．二、自学互研生成能力知识模块一三角形内角和定理的证明先阅读教材第178页的内容，再完成下面的思考．思考：(1)如图，如果我们只把∠A移到∠1的位置，你能证明这个结论吗？如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果？(2)根据前面给出的基本事实和定理，你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗？你能用比较简洁的语言写出这一证明过程吗？与同学们交流．【说明】使学生从对三角形内角和的感性认识上升到理性认识，由于学生刚刚接触证明，并且还需添加辅助线，所以教师必须要有规范的示范，通过讲练结合，使学生逐步掌握推理的方法步骤．【归纳结论】三角形的内角和等于180°.思考：(1)你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗？(2)如果把三角形三个角“凑”到A处，过点A作直线PQ∥BC(如图)，这样的想法可行吗？如果可行，你能写出证明过程吗？与同学们交流．【说明】让学生尝试模仿用另外的方法证明三角形内角和是180°，从而培养学生多角度分析问题和解决问题的能力，学生的推理和证明方法再次得到深化．知识模块二三角形内角和定理的应用先独立完成下面问题的解答，然后再对照教材第179页例1的规范格式自评自纠．例：如图，在△ABC中，∠B＝38°，∠C＝62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．【说明】通过例题，要让学生体会三角形内角和定理在角的求值问题中的应用．注意向学生分析解决问题的思路和方法．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一三角形内角和定理的证明知识模块二三角形内角和定理的应用四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________第2课时三角形的外角【学习目标】1．了解三角形的外角定义，掌握三角形外角的两个定理．2．能综合运用三角形内角和定理及外角的两个定理进行几何证明与计算．【学习重点】三角形外角的性质定理．【学习难点】运用三角形外角性质定理进行有关计算时能准确地推理．一、情景导入生成问题旧知回顾：1在△ABC中，若∠A＋∠B＝∠C，则△ABC的形状是直角三角形．2．一个三角形的三个内角中，至少有(B)A．一个锐角B．两个锐角C．一个钝角D．一个直角3．如图，直线l1∥l2，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为(C)A．50°B．55°C．60°D．65°二、自学互研生成能力知识模块一三角形外角的定理先阅读教材第181页例2上面的内容，然后完成下面的问题：△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角．如图，∠1是△ABC的外角．问题1你能在图中画出△ABC的其他外角吗？∠1与其他角有什么关系？能证明你的结论吗？【说明】结合图形，学生通过观察、思考、讨论等一系列活动，既巩固了对概念的理解，又让学生进行证明，培养了学生的推理论证能力．【归纳结论】三角形内角和定理的推论：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．知识模块二运用三角形外角的定理进行证明你能运用所学的知识解决下面的问题吗？问题2(1)已知：在△ABC中，∠B＝∠C，AD平分外角∠EAC.求证：AD∥BC.第(1)题图第(2)题图(2)已知如图，P是△ABC内一点，连接PB、PC.求证：∠BPC>∠A.你们的证明方法一样吗？与大家共同交流．【说明】学生的讨论、交流、解决问题的过程，也是一个培养学生发散思维与创新能力的过程，它不受教师点拨的思维定式的影响，可以提高学生的思维灵活性．仿例：如图D是△ABC中∠ACB的外角的平分线与BA的延长线的交点．求证：∠BAC>∠B＋∠D.证明：∵CD平分∠ACE，∴∠ACD＝∠ECD，∵∠ECD＝∠B＋∠D，∴∠ACD＝∠B＋∠D，∵∠BAC>∠ACD，∴∠BAC>∠B＋∠D.三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一三角形外角的定理知识模块二运用三角形外角的定理进行证明四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________本章复习小结【学习目标】1．掌握本章的重要概念，能熟练灵活地运用有关定理解决实际问题．2．通过整理本章知识点，经历严格的推理证明过程，培养学生逻辑思维能力．【学习重点】回顾本章知识点，构建知识结构．【学习难点】利用本章有关定理解决实际问题．一、情景导入生成问题引导学生回顾本章知识点，展示知识结构图，让学生系统地了解本章知识及它们之间的相互联系．教学时，边回顾边引导学生画结构图．平行线的证明⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧为什么要证明定义与命题⎩⎪⎨⎪⎧真命题⎩⎪⎨⎪⎧公理定理假命题平行线的判定⎩⎪⎨⎪⎧同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行平行于同一条直线的两条直线平行平行线的性质⎩⎪⎨⎪⎧两直线平行，同位角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，内错角相等三角形内角和定理→两个推论二、自学互研生成能力知识模块一知识清单加深理解1．平行线的性质和判定在运用的时候要注意：(1)判定是不知道两直线平行，是根据某些条件来判断两条直线是否平行；(2)性质是知道两直线平行，是根据两直线平行得到其他关系．2．三角形内角和定理及推论三角形内角和定理是有关角的问题中最常用的定理，是解决问题的基本手段．同时三角形的外角性质是证明角相等及不等问题的重要依据，必要时，可以通过添加辅助线来构造内、外角的位置关系，从而确定数量关系．知识模块二典例引路全面复习例1：在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是(D)A．∠A＋∠2＝180°B．∠A＝∠3C．∠1＝∠4D．∠1＝∠A分析：判定的是AB与DF平行，则把这两条直线看做被截的两直线，去找成同位角、内错角和同旁内角关系的两角，其中D选项∠1和∠A是AC、DE被截形成的同位角，由∠1＝∠A得的应是AC∥DE，故选D.例2：把下列命题改写成：“如果……那么……”的形式，并分别指出它们的条件和结论．(1)整数一定是有理数；(2)同角的外角相等；(3)两个锐角互余．分析：本题考查命题的概念、叙述简单的命题．要善于分辨条件与结论，这是改写成“如果……那么……”的形式的基础．解：(1)如果一个数是整数，那么它一定是有理数．条件：一个数是整数；结论：它一定是有理数；(2)如果两个角是同一个角的外角，那么这两个角相等．条件：两个角是同一个角的外角；结论：这两个角相等；(3)如果两个角是锐角，那么这两个角互为余角．条件：两个角是锐角；结论：这两个角互为余角．仿例：如图所示，已知∠4＝70°，∠3＝110°，∠1＝46°，求∠2的度数．分析：此题由同旁内角∠3＋∠4＝180°知AB∥CD，故∠2＝180°－∠1.解：因为∠A＝70°，∠3＝110°(已知)，所以∠4＋∠3＝180°，所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)，所以∠2＝180°－∠1＝180°－46°＝134°(两直线平行，同旁内角互补)．变例：一零件的形状如图所示，按规定∠BAC＝90°，∠B＝21°，∠C＝20°，检验工人量得∠BDC＝130°，就判定此零件不合格，请运用所学知识说明理由．分析：这是一个三角形知识的实际应用问题，解决此类问题的关键是如何把实际问题转化到三角形知识上来．解：连接AD并延长到点E，∵∠CDE＝∠C＋∠1，∠BDE＝∠B＋∠2，∴∠CDE＋∠BDE＝∠C＋∠1＋∠B＋∠2，即∠CDB＝∠C＋∠B＋∠CAB.若零件合格，则有∠CDB＝90°＋20°＋21°＝131°，而量得∠BDC＝130°，故此零件不合格．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一知识清单加深理解知识模块二典例引路全面复习四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。

八年级数学上第七章平行线的证明7.5三角形内角和定理2三角形的外角授课课北师大

感悟新知
1 如图，射线AD，BE，CF构成∠1，∠2，∠3，则
∠1＋∠2＋∠3等于( B )
A．180°
B．360°
知3－三角形的三个外角的度数之比为2∶3∶4，则
与之对应的三个内角的度数之比为( B )
A．4∶3∶2
B．5∶3∶1
C．3∶2∶4
D．3∶1∶5
课堂小结
谢谢观赏
You made my day!
∴∠C= 1EAC （等式的性质） . 2
∵AD平分∠EAC（已知），
∴∠DAC= 1EAC （角平分线的定义） . 2
∴∠DAC=∠C （等量代换）.
∴AD// BC （内错角相等，两直线平行）.
感悟新知
1 如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝ 30°，
延长BA至点D，则∠CAD的大小为( C )
证明：∵∠1+∠BAC=180°，
∠2+∠BCA=180°，
∠3+∠ABC=180°，
∴∠1+∠2+∠3+（∠BAC+∠BCA+∠ABC）=540°（等
式性质）.
∵∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°（三角形内角和定理），
∴∠1+∠2+∠3=360°.
感悟新知
例3
如图，△CEF的外角为_∠__A_F_C__，__∠__B_E_F___．
第七章平行线的证明
7.5 三角形内角和定理
第2课时三角形的外角定理
学习目标
1 课时讲解
三角形外角的定义三角形外角的性质三角形的外角和
2 课时流程
逐点导讲练
课堂小结

北师大版2019年八上数学：第7章-平行线的证明示范教案

北师大版2019年八上数学：第7章-平行线的证明示范教案一. 教材分析北师大版2019年八上数学第7章主要讲解平行线的证明。

本章内容是学生进一步深化对直线、射线、线段概念的理解，提高运用几何知识解决实际问题的能力。

通过本章的学习，学生将掌握平行线的判定和性质，为后续学习几何的其他内容打下基础。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了直线、射线、线段的基本概念，具备一定的空间想象能力和逻辑思维能力。

但学生在解决实际问题时，往往不能灵活运用所学知识，对几何图形的判断和分析能力有待提高。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，引导他们发现规律，提高解决问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握平行线的判定和性质，能运用所学知识解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、交流、归纳等活动，培养学生空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、积极进取的精神。

四. 教学重难点1.重点：平行线的判定和性质。

2.难点：如何运用平行线的性质解决实际问题。

五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生观察、操作、交流，发现平行线的判定和性质。

2.案例分析法：教师通过典型例题，分析平行线的应用。

3.练习法：学生通过课堂练习和课后作业，巩固所学知识。

六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体设备。

2.学具：几何画板、直尺、圆规。

七. 教学过程导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的实例，如公路、铁路等，引导学生观察并思考：这些实例中是否存在平行线？如何判断两条直线是否平行？呈现（10分钟）1.教师引导学生观察多媒体展示的几何图形，提出问题：如何判断这两条直线是否平行？2.学生通过观察、讨论，发现判定平行线的方法。

操练（10分钟）1.教师提出一组练习题，要求学生运用所学知识判断直线是否平行。

2.学生独立完成练习题，教师选取部分题目进行讲解。

巩固（10分钟）1.教师引导学生总结平行线的性质。

八年级数学上册第七章平行线的证明本章归纳总结教案北师大版

第七章平行线的证明本章归纳总结【知识与技能】掌握本章的重要概念,能熟练灵活地运用有关定理解决实际问题。

【过程与方法】通过整理本章知识点，经历严格的推理证明过程,培养学生逻辑思维能力.【情感态度】借助生活实际和思考探究、合作交流等形式，培养学生积极探索、多动手、多动脑的良好学习习惯.【教学重点】回顾本章知识点，构建知识结构。

【教学难点】利用本章有关定理解决实际问题。

一、知识框图，整体把握【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示知识结构图，让学生系统地了解本章知识及它们之间的相互联系。

教学时,边回顾边引导学生画结构图。

二、释疑解惑，加深理解1。

平行线的性质和判定在运用的时候要注意:（1)判定是不知道两直线平行,是根据某些条件来判断两条直线是否平行；(2)性质是知道两直线平行,是根据两直线平行得到其他关系.2。

三角形内角和定理及推论三角形内角和定理是有关角的问题中最常用的定理，是解决问题的基本手段.同时三角形的外角性质是证明角相等及不等问题的重要依据,必要时，可以通过添加辅助线来构造内、外角的位置关系,从而确立数量关系。

三、典例精析，复习新知例1在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（)A。

∠A+∠2=180°B。

∠A=∠3 C.∠1=∠4 D.∠1=∠A【分析】判定的是AB与DF平行，则把这两条直线看做被截的两直线,去找成同位角、内错角和同旁内角关系的两角，其中D选项∠1和∠A是AC、DE被截形成的同位角，由∠1=∠A 得到的应是AC∥DE，故选D。

例2把下列命题改写成：“如果……那么"的形式，并分别指出它们的条件和结论.（1）整数一定是有理数;（2）同角的外角相等.（3）两个锐角互余.【分析】本题考查命题的概念、叙述简单的命题。

要善于分辨条件与结论，这是改写成“如果……那么……"的形式的基础.解:（1）如果一个数是整数，那么它一定是有理数.条件：一个数是整数；结论：它一定是有理数.（2)如果两个角是同一个角的外角，那么这两个角相等。

北师大版八年级上册第七章平行线的证明复习教案(教案)

第七章平行线的证明复习教案(教案）教学目标知识与技能：综合掌握平行线的判定定理和性质定理、三角形内角和定理及其推论.过程与方法：通过对知识的系统复习和整合,提升运用知识解决相关问题的能力.情感态度与价值观：培养学生养成良好的学习习惯,增强数学学习意识.教学重难点【重点】1.平行线的性质定理和判定定理的运用.2.三角形内角和定理的推论.【难点】三角形内角和定理和其推论的综合运用.知识总结—专题讲座专题一定义与命题一、定义对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定.如“两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义.二、命题判断一件事情的句子叫做命题.反之,如果一个句子没有对一件事情作出任何判断,那么它就不是命题.每个命题都是由条件和结论两部分组成的.条件是已知事项,结论是由已知事项推断出的事项.命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式,“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.三、真命题、假命题与反例真命题:正确的命题称为真命题.假命题:不正确的命题称为假命题.反例:要说明一个命题是假命题,常常可以举出一个例子,使它具备命题的条件,而不具有命题的结论,这种例子称为反例.四、公理、定理、证明公理:公认的真命题称为公理.定理:经过证明的真命题称为定理.证明:演绎推理的过程称为证明.【专题分析】本专题知识是学习证明问题的开始,对于今后的问题证明具有十分重要的基础地位.重点要领会证明的方法和证明过程的严谨性.将下列命题改成“如果……那么……”的形式,并指出条件和结论.(1)等角的余角相等;(2)一组对边平行且不相等的四边形是梯形.〔解析〕命题的改写要注意下列三点:①改写前后内容要保持一致;②改写后的命题要是一个完整的语句;③改写后的条件和结论要表达清楚,有时要补上原命题省略的部分.解:(1)改为:如果两个角相等,那么它们的余角相等.条件为“两个角相等”.结论为“它们的余角相等”.(2)如果一个四边形是一组对边平行且不相等的四边形,那么该四边形是梯形.条件为“一个四边形是一组对边平行且不相等的四边形”.结论为“该四边形是梯形”.[规律方法] 判断是不是命题,关键是看它能否说明一件事情有何结果.一般的陈述句(包括肯定句和否定句)都为命题,疑问句和感叹句及祈使句都不是命题.找命题的条件和结论,一般先把它化成“如果……那么……”的形式.【针对训练1】下列语句哪些是命题?哪些不是命题?如果是命题,请指出命题的条件和结论,并判断命题的真假.(1)画线段AB=5 cm;(2)你吃饭了吗?(3)相等的角是直角;(4)如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角.〔解析〕严格按照命题的定义判断.解:是命题的有(3)(4),不是命题的有(1)(2).命题(3):条件:两个角相等;结论:这两个角是直角,是假命题.命题(4):条件:两个角不相等;结论:这两个角不是对顶角,是真命题.专题二平行线的判定定理和性质定理的应用一、判定两条直线平行的方法(1)同位角相等,两直线平行.(2)同旁内角互补,两直线平行.(3)内错角相等,两直线平行.(4)平行于同一直线的两直线平行.(5)在同一平面内,垂直于同一直线的两直线平行.二、平行线的性质(1)两直线平行,同位角相等.(2)两直线平行,内错角相等.(3)两直线平行,同旁内角互补.【专题分析】平行线的判定和性质的应用,是研究三角形的角、四边形、多边形相似等知识的重要基础.如图所示,已知AB⊥BC于B,DG⊥AC于D,BE⊥AC于E,∠1=∠2,求证EF⊥AB.证明:∵DG⊥AC,BE⊥AC,∴DG∥BE(平面内,垂直于同一直线的两直线平行),∴∠2=∠EBC(两直线平行,同位角相等).∵∠1=∠2,∴∠EBC=∠1,∴EF∥BC(内错角相等,两直线平行),∴∠EFB+∠CBA=180°(两直线平行,同旁内角互补).∵AB⊥BC,∴∠CBA=90°(垂直的定义),∴∠EFB=90°,∴EF⊥AB(垂直的定义).[规律方法]平行线的性质和判定往往在同一个题目中交替使用,当题目中出现角相等或角之间有互补(互余)关系时,往往要用到判定方法;当题中出现平行时,往往利用性质得到角之间的关系.在今后我们学习多边形时,平行线的性质和判定将起到工具性的作用.【针对训练2】如图,已知AB∥CD,BE,DE分别平分∠ABC和∠ADC,若∠A=45°,∠C=55°,求∠BED的度数.〔解析〕由AB∥CD,可得∠A=∠CDA,∠C=∠ABC,从而求得∠ABE=∠ABC=∠C,∠CDE=∠CDA=∠A,然后过点E作AB的平行线,从而易得∠BED 的度数.解:过点E作E F∥AB.∵AB∥CD,∴AB∥CD∥EF,∴∠A=∠CDA,∠C=∠ABC,∠BEF=∠ABE,∠DEF=∠CDE.∴∠CDA=∠A=45°,∠ABC=∠C=55°.∵BE,DE分别平分∠ABC和∠ADC,∴∠CDE=∠A=×45°=22.5°,∠ABE=∠C=×55°=27.5°.∵∠BEF=∠ABE,∠DEF=∠CDE,∴∠BED=22.5°+27.5°=50°.专题三三角形内角和定理及有关三角形外角的两个推论1.三角形的内角和等于180°.2.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.3.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.【专题分析】本专题三角形角的相关知识是研究几何问题中角的相关知识的基础,它和平行线的知识一起构成了几何问题的两大基点.如图,已知BC⊥DE于O,∠A=27°,∠D=20°,求∠B与∠ACB.〔解析〕∠B在ΔBEO中,已知另外两个角即可,所以问题转化为求∠BEO,而∠BEO是ΔAED的外角,求∠ACB的方法有两种:一种是看做ΔBAC的内角,另外也可看做ΔDCO的外角.解:∵BC⊥DE(已知),∴∠B+∠BEO=90°.∵∠BEO=∠A+∠D=27°+20°=47°,∴∠B=90°-∠BEO=90°-47°=43°.∵在ΔBAC中,∠A+∠B+∠ACB=180°,∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180-27°-43°=110°.[易错提示]1.借助三角形求角,一般是把所求的角看成是某一个三角形的内角,图上出现外角时,则要考虑用外角的性质.2.三角形的外角一般为图上条件,在已知条件下并不出现,我们称三角形外角为图上隐含条件,所以在审题时要确认图上已知条件,还要认真审阅图上隐含条件.【针对训练3】如图所示,AB∥CD,AD∥BC,∠B=50°,∠EDA=60°,求∠CDF的度数.〔解析〕本题要充分运用AB∥CD,AD∥BC这两个条件,利用平行线进行转化,转化为三角形的外角.解:因为AD∥BC(已知),所以∠F=∠EDA=60°(两直线平行,同位角相等).因为AB∥CD(已知),所以∠BCD+∠B=180°(两直线平行,同旁内角互补).所以∠BCD=180°-∠B=180°-50°=130°(等式的性质).又因为∠BCD=∠F+∠CDF(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),所以∠CDF=∠BCD-∠F=130°-60°=70°(等式的性质).专题四方程思想【专题分析】本章中,经常遇到利用三角形内角和定理求角度的问题,当题目中有关各角之间的数量关系比较复杂时,可灵活运用方程(组)求解.如图,在ΔABC中,AB=AC,D,E分别在AC,AB边上,且BC=BD,AD=DE=EB,求∠A的度数.〔解析〕根据同一个三角形中等边对等角的性质,设∠ABD=x,结合三角形外角的性质,则可用含x的代数式表示∠A,∠ABC,∠C,再在ΔABC中,运用三角形的内角和为180°,可求∠A的度数.解:∵DE=EB,∴设∠BDE=∠ABD=x,∴∠AED=∠BDE+∠ABD=2x.∵AD=DE,∴∠AED=∠A=2x,∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x.∵BD=BC,∴∠C=∠BDC=3x.∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=3x.在ΔABC中,3x+3x+2x=180°,解得x=22.5°.∴∠A=2x=22.5°×2=45°.[规律方法](1)几何计算题中,依据题设和相关的几何图形的性质列出方程(或方程组)求解的方法叫做方程思想;(2)求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件;(3)三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决.【针对训练4】如图所示,在ΔABC中,P,Q是BC边上的两点,若∠PAB=∠B,∠QAC=∠C,∠BAC=130°,求∠PAQ的度数.〔解析〕由∠PAB=∠B,∠QAC=∠C与三角形内角和定理相结合,可列出关于∠PAQ的方程组,解方程组即可求得∠PAQ的度数.解:∵∠PAB=∠B,∠QAC=∠C,∴设∠PAB=∠B=x,∠QAC=∠C=y,∠PAQ=θ,则得方程组解方程组,得θ=80°,即∠PAQ=80°.[解题策略]本题中列出的方程组由两个方程组成,但未知数却有3个,显然用常规方法不能解得θ.观察方程组的特点,用①×2-②即可求得θ=80°.专题五转化思想【专题分析】在证明角的不等问题时,如果难以找到所证各角之间的关系,那么可设法把问题转化,从而使有关各角之间的关系由隐蔽化为明显,由复杂化为简单,由抽象化为直观.如图所示,CE是ΔABC的外角(∠ACD)平分线,BF是∠ABC的平分线,CE交BF的延长线于点E,请你判断∠ACE与∠ABE的大小关系,并证明.〔解析〕由题意可知∠ACE=∠DCE,∠ABE=∠CBE,则问题转化为判断∠DCE 与∠CBE的大小关系.解:∠ACE>∠ABE.证明如下:∵CE是ΔABC的外角(∠ACD)平分线(已知),∴∠DCE=∠ACE(角平分线的定义).∵∠DCE是ΔEBC的一个外角,∴∠DCE>∠CBE(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).∵BE是∠ABC的平分线(已知),∴∠ABE=∠CBE(角平分线的定义).∴∠ACE>∠ABE(等量代换).[解题策略] 在利用有关三角形外角的定理证明角的不等关系时,如果所要证明的两角没有直接联系,那么可发挥某些角(如本题中的∠DCE与∠CBE)的桥梁作用,从而将问题转化.【针对训练5】如图所示,试求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.〔解析〕求多个角的度数和问题,可以联想到三角形的内角和等于180°和外角的性质,将所求角转化到一个或几个三角形中去,从而求得多个角的和.因为∠A,∠B,∠C,∠D,∠E每个角的度数都不确定,且较分散,所以必须把∠A+∠B+∠C+∠D+∠E看成一个整体求它的度数,故考虑将其转化到一个三角形中去.解:因为∠AGE是ΔCGE的外角,所以∠AGE=∠C+∠E.同理∠AFG=∠B+∠D.因为∠AGE+∠AFG+∠A=180°,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.专题六构造思想【专题分析】在几何证明中,如果仅靠图中的线段难以说明问题时,那么可通过作辅助线构造某个基本图形,从而使问题的条件或结论发生转化.一大门的栏杆如图(1)所示,BA垂直地面AE于A,CD平行于地面AE,则∠ABC+∠BCD=.〔解析〕过点B作BG∥CD,易证得AB⊥BG,如图(2)所示.根据两直线平行,同旁内角互补,得∠BCD+∠CBG=180°.由题意得∠ABG=90°,所以∠ABC+∠BCD=180°+90°=270°.故填270°.【针对训练6】某校的校园平面图如图(1)所示,已知AB=470 m,BC=560 m.则这个校园的周长是多少米?(图中的每一个角都是直角)〔解析〕将GF沿GH方向平移到HP,ED沿EF方向平移到PQ,GH沿GF方向平移到RQ,EF沿ED方向平移到DR,如图(2)所示,则校园的周长就等于长方形ABCQ 的周长.解:将图(1)的部分线段经过平移,使图形变为如图(2)所示的长方形.由平移的特征知GF=HP,ED=PQ,GH=RQ,EF=RD,所以校园的周长为AB+BC+AH+GF+ED+GH+EF+CD=AB+BC+AH+HP+PQ+RQ+RD+CD=AB+BC+AQ+CQ=2(AB+BC)= 2×(470+560)=2060(m).。

北师大版八年级上册第七章平行线的证明教学设计

北师大版八年级上册第七章平行线的证明教学设计一、教学目标1.了解平行线的概念和性质；2.掌握使用平行线的性质来进行简单的证明；3.培养学生的证明能力和逻辑思维能力。

二、教学重难点1.平行线的概念和性质；2.平行线证明的基本方法。

三、教学内容及安排1. 平行线概念及性质讲解（20分钟）首先，要求学生先通过视觉、触觉等方式加深对平行线的概念的理解，在交流中引导学生自然地说出“两直线在平面内不相交，且在不同直线上任取一点，与这两点连线所成的两角相等，则这两直线平行”的概念。

接下来，教师通过PPT呈现平行线的多条性质，如平行线与被它们分割的两条直线所对应的内角互补、两平行线与一直线所对应的内角相等等。

2. 平行线的证明方法（30分钟）教师先讲解基本的平行线证明方法，如对顶角相等证明法、错切线证明法和夹角平分线证明法等。

通过讲解具体的证明案例，让学生理解证明方法的使用，理解证明过程中的推理和逻辑关系，培养证明的思维方式。

3. 讲解平行线证明中需要掌握的基本定理（20分钟）在讲解证明方法的同时，教师需要讲解平行线证明中需要掌握的基本定理，如等角定理、垂角定理和同旁内角互补定理等。

通过讲解这些定理，帮助学生掌握证明的有效思路和方法。

4. 实例演练（30分钟）在讲解完理论知识后，进行例题演练。

教师出示多个实例，通过让学生自己完成证明，检测学生对平行线证明的掌握程度。

对于有困难的学生，教师可以提供辅助思路或给出提示，引导学生完成证明。

四、教学方法1.讲授法：通过概念、定理和案例讲解来引导学生理解平行线证明的基本思路和方法。

2.演示法：通过展示具体的案例，让学生知道如何应用方法来解决问题。

3.互动问答法：通过与学生积极的互动，让学生表达自己的看法、提出自己的问题和解决方案，激发学生的学习热情。

五、教学资料和工具1.PPT教学展示；2.平行线证明练习题。

六、教学评估1.学生的课堂表现和参与度；2.学生完成的平行线证明案例及答案表现。

2020八年级数学上册第七章平行线的证明 7.5.2 三角形内角和定理教案 (新版)北师大版

三角形内角和定理
课题
三角形内角和定理
课时安排
共（1）课时
课程标准
181-183
学习目标
1．了解三角形的外角定义，掌握三角形外角的两个定理．
2．能综合运用三角形内角和定理及外角的两个定理进行几何证明与计算．
教学重点
三角形外角的性质定理．
教学难点
运用三角形外角性质定理进行有关计算时能准确地推理．
教学方法
课中作业
课后作业设计：
（修改人：）
板书设计：
教学反思：
利用已经学过的知识来推导出新的定理以及运用新的定理解决相关问题，进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧．进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力，特别是培养有条理的想象和探索能力，从而做到强化基础，激发学习兴趣．
(2)已知如图，P是△ABC内一点，连接PB、PC.求证：∠BPC>∠A.
你们的证明方法一样吗？与大家共同交流．
课中作业
环
节
三
如图D是△ABC中∠ACB的外角的平分线与BA的延长线的交点．求证：∠BAC>∠B＋∠D.
证明：∵CD平分∠ACE，∴∠ACD＝∠ECD，∵∠ECD＝∠B＋∠D，∴∠ACD＝ ∠B＋∠D，∵∠BAC>∠ACD，∴∠BAC>∠B＋∠D.
A．一个锐角B．两个锐角C．一个钝角D．一个直角
3．如图，直线l1∥l2，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为(C)
A．50°B．55°C．60°D．65°Leabharlann 课中作业环节二
你能运用所学的知识解决下面的问题吗？
问题2(1)已知：在△ABC中，∠B＝∠C，AD平分外角∠EAC.求证：AD∥BC.
第(1)题图第(2)题图

八年级数学上册第七章平行线的证明7.5三角形内角和定理2三角形的外角教案新版北师大版2021

7.5.2 三角形外角定理一、学生知识状况分析学生技能根底：学生在前面的几何学习中，已经学习过平行线的判定定理与平行线的性质定理以及它们的严格证明，学习了三角形内角和定理的证明以及相关应用，有相关知识的根底，并具有一定的逻辑思维能力和严谨推理习惯，为今天的学习奠定了良好的根底．活动经验根底：本节课主要采取的活动形式是学生非常熟悉的自主探究与合作交流相结合、实践和理性证明相结合的学习方式，学生具有较熟悉的活动经验．二、教学任务分析在前面的学习中，学生对于平行线相关知识以及三角形内角和定理的灵活运用已经有了深入的了解，为今天的学习奠定了知识根底，并且他们已经具有初步的几何意识，形成了一定的逻辑思维能力和推理能力，本节课安排?关注三角形的外角?旨在利用已经学习过的知识来推导出新的定理以及运用新的定理解决相关问题。

为此，本节课的教学目标是：1.掌握三角形外角的两条性质；2.进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧．3.灵活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题。

4.进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力，培养学生的几何意识。

5.通过在数学活动中进行教学，使学生能自主地“做数学〞，特别是培养有条理的想象和探索能力，从而做到强化根底，激发学习兴趣．三、教学过程分析本节课的设计分为四个环节：情境引入——探索新知——反应练习——课堂反思与小结第一环节：情境引入活动内容：在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC的一边BC延长得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质．活动目的：引出三角形外角的概念，并对其进行研究，激发学生学习兴趣。

考前须知：教师应在学生充分展示自己的意见之后，有意识地引导学生从三角形的外角的角度进行思考。

第二环节：探索新知活动内容：①三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角，结合图形指明外角的特征有三：(1)顶点在三角形的一个顶点上．(2)一条边是三角形的一边．(3)另一条边是三角形某条边的延长线．② 两个推论及其应用由学生探讨三角形外角的性质：问题1：如图，△ABC 中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD 是△ABC 的一个外角，能由∠A 、∠B 求出∠ACD 吗？如果能，∠ACD 与∠A 、∠B 有什么关系？问题2：任意一个△ABC 的一个外角∠ACD 与∠A 、∠B 的大小会有什么关系呢？由学生归纳得出：推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．推论 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．例1、：∠BAF ，∠CBD ，∠ACE 是△ABC 的三个外角．求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°分析：把每个外角表示为与之不相邻的两个内角之和即得证．证明：(略)．例2、：D 是AB 上一点,E 是AC 上一点，BE 、CD 相交于F,∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°．求：(1)∠BDC 度数；(2)∠BFD 度数．解：(略)．活动目的：通过三角形内角和定理直接推导三角形外角的两个推论，引导学生从内和外、相等和不等的不同角度对三角形作更全面的思考．考前须知：新的定理的推导过程应建立在学生的充分思考和论证的根底之上，教师切勿越俎代庖。

初中数学八年级上册第七章平行线的证明教案北师大版

第七章平行线的证明1 为什么要证明1．使学生经历通过观察、猜想、归纳等得到的结论不一定正确的过程认识到证明的必要性．2．理解并掌握检验数学结论是否正确的常用方法：实验验证、举出反例推理证明等，理解数学的严谨性．3．发展学生的探索意识以及合作交流的习惯；关注现实，培养学生进行深入思考的能力和质疑精神．重点理解判断一个结论正确与否需要进行推理证明，理解并掌握应用实验进行证明、举反例验证、利用推理论证来验证某些结论是否正确的方法．难点体会数学推理的重要性和必要性．一、情境导入师：在以前的学习过程中，我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论，那么通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗？下面我们一起来学习第七章第一节的内容：为什么要证明．二、探究新知1．探究一：观察得到的结论正确吗？课件出示教材第162页“做一做”上面的题目．学生凭着自己的观察和直观感觉说出想法后，组织学生动手量一量、算一算，验证结论是否正确．然后引导学生回答下列问题．(1)由观察得到的结论正确吗？(2)你还能举出日常生活中的例子吗？2．探究二：归纳得到的结论正确吗？(1)听故事“公鸡归纳法”．某主妇养小鸡十只，公母各半．她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐．每天早晨她拿米喂鸡，到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃……第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃．”这时，该主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了．师：第1天有米吃，第2天有米吃……第99天有米吃，一定能推出第100天有米吃吗？从这个故事中你明白了什么道理？同桌之间相互交流．(2)算一算验证“归纳法”．课件出示教材第162页“做一做”第(1)题．师：我们是不是可以由此得出结论：当n为任意自然数时，n2－n＋11的值一定是质数呢？让学生再多取几个数代入代数式中，验证结论是否正确．(不正确，比如当n＝11时，n2－n＋11＝121，结果是合数．)思考：由归纳得到的结论一定正确吗？(3)再次验证“归纳法”．课件出示教材第162页“做一做”第(2)题．DE与BC平行，且等于BC长度的一半；引导学生尝试猜想：连接三角形两条边的中点所得的线段平行第三条边，且是第三条边长度的一半；组织学生进行归纳并验证结论，发现这样的结论对所有的三角形都成立．小结：归纳得到的结论有的正确有的不正确．3．交流与发现．师：通过上述几类问题的分析，你有什么发现吗？师：通过实验、观察、归纳得到的结论是否都正确？怎样判断一个结论是否正确呢？总结：实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确，因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明．三、举例分析1．课件出示教材第163页“随堂练习”第1题第(1)题．解：线段b与线段d在同一条直线上．2．课件出示教材第163“随堂练习”第1题第(2)题．分析：观察往往会产生错觉，得出的结论不一定正确，想要判断两条线段是否一样长，最科学、合理的方式是量一量，组织学生动手操作量一量．解：两条线段一样长．四、练习巩固观察下图，左图中间的圆圈大还是右图中间的圆圈大？解：一样大．说明：实验、观察、归纳得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论．五、小结1．通过本节课的学习，我们了解了实验、观察、归纳得到的结论不一定正确，从而明白证明的意义和必要性．2．让学生反思自己在本节课学习中的优缺点及改进的方法，并能积极地参与总结性的发言．六、课外作业教材第164页习题7.1第1～3题．本节课的教学设计是建立在“以学生的发展为本，为学生的终身学习奠定基础”的教育理念上，融入了新课标的思想内涵，尊重学生的直观感觉，并从学生的直观感觉出发逐步将学生的思维引向严密性、逻辑证明等方面．不是一味地强调证明的必要性，而是通过几个事实的说明来让学生意识到证明的必要性，设计中突出体现了学生的主体地位．2 定义与命题第1课时定义与命题1．了解定义与命题的含义，会区分某些语句是不是命题；能找出命题的条件和结论．2．用数学的观点来审视生活中或数学学习中遇到的语句特征．3．通过对某些语句特征的判断，养成严谨的思考习惯．重点理解命题的概念，找出命题的条件和结论．难点正确找出命题的条件和结论．一、情境导入课件出示：小亮和小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》．小亮说：……小刚说：“是的，现在因特网广泛运用于我们的生活中，给我们带来了方便，但……”小亮说：“……”小刚说：“……”小亮说：“哈！这个黑客终于被逮住了．”……坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在悄悄议论着：一人说：“这黑客是个小偷吧？”另一人说：“可能是喜欢穿黑衣服的贼．”……一人说：“那因特网肯定是一张很大的网．”另一人说：“估计可能是英国造的特殊的网．”……师：在这个故事中，你得到什么启示？(人与人之间的交流必须在对某些名称和术语有共同认识的情况下才能进行．为此，我们需要给出它们的定义．)二、探究新知1．命题．课件出示教材第165页“议一议”．学生小组讨论，指名汇报，教师点评，并引出命题的概念．像这样，对事情作出判断的句子，就叫做命题．即：命题是判断一件事情的句子．例如，上面“议一议”中的(1)(2)(3)(4)对事情进行了判断，都是命题．如果一个句子没有对某一事情做出任何判断，那么它就不是命题．例如，上面“议一议”中的(5)(6)都不是命题．师：大家能举出这样的例子吗？学生分小组讨论回答：任意一个三角形都有一个直角．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．全等三角形的对应角相等．……2．命题的条件和结论．阅读教材第166页“想一想”，完成下列小题．(1)这些命题都有________________的结构特征．(2)一般地，每个命题都由________和________两部分组成，________是已知的事项，________是由已知事项推断出的事项．命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，其中“________”引出的部分是条件，“________”引出的部分是结论．3．完成教材第166页“做一做”．三、举例分析1．举出一些是命题的语句．教师引导学生回答问题．2．举出一些不是命题的语句．教师引导学生回答问题．四、练习巩固1．下列句子中哪些是命题？(1)画线段AB＝3 cm；(2)两条直线相交，有几个交点？(3)等于同一个角的两个角相等吗？(4)在射线OA上，任取两点B，C.2．指出下列命题的条件和结论．(1)若a＞0，b＞0，则ab＞0；(2)如果a∥b，b∥c，那么a∥c；(3)同角的补角相等；(4)内错角相等，两直线平行．五、小结1．定义的含义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是它们的定义．2．命题的含义：判断一件事情的句子，叫做命题，如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题．六、课外作业教材第167页习题7.2第1～3题．教学中以学生自主探索为主，通过学生活动，了解定义的含义．通过学生的自主探索、合作交流、归纳出命题的题设和结论，加深了学生对命题结构的理解与记忆．整个教学过程中以学生讨论为主，极大地调动了学生的学习积极性，激发了学生学习的兴趣．在教学中教师要加强对已经学过的相关知识的梳理，加深对新知识的认识，逐渐形成对知识的迁移与应用．3 平行线的判定1．熟练掌握平行线的判定定理；能对平行线的判定进行灵活运用，并把它们应用于几何证明中．2．通过学生画图、讨论、推理等活动，体会证明的基本方法和过程，体验推理的严谨性和结论的确定性，同时给学生渗透化归思想和分类思想．重点掌握平行线的判定定理及灵活运用．难点平行线判定定理的应用．一、复习导入1．什么叫做平行线？(同一平面内，两条直线不相交，就叫做平行线)2．什么叫做同位角、内错角和同旁内角？3．前面我们探索过两条直线平行的哪些判别条件？师：通过前面的学习我们知道，判断一个数学结论是否正确还需要有根有据的证明，那么，利用“同位角相等，两直线平行”这个基本事实，你能证明下列定理吗？我们一起来试一试．二、探究新知1．平行线的判定定理一．(1)定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简述为：内错角相等，两直线平行．(2)证明这个定理需要先把定理转化成几何语言，谁能说一说，怎么转化？(画出两条直线a，b，被第三条直线c所截，标出内错角∠1和∠2，表示如果∠1＝∠2，那么a∥b.)已知：如图，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的内错角，且∠1＝∠2.求证：a∥b.(3)怎么证明呢？请写出完整的证明过程．证明：∵∠1＝∠2(已知)，∠1＝∠3(对顶角相等)，∴∠3＝∠2(等量代换)．∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．2．平行线的判定定理二．(1)定理：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简述为：同旁内角互补，两直线平行．(2)让学生利用证明定理一的经验自主证明定理二．(3)讨论：要由同旁内角互补证明两直线平行，怎么证明？(我们知道有基本事实“同位角相等，两直线平行”，如果能由同旁内角互补推出同位角相等，那么根据已有的这个基本事实就能证明两直线平行)(4)学生板书证明过程．三、举例分析1．如图①所示，由∠DCE＝∠D，可判断哪两条直线平行？由∠1＝∠2，可判断哪两条直线平行？2．如图②，已知∠1＝45°，∠2＝135°，l1∥l2吗？为什么？学生思考后回答问题，教师点评．四、练习巩固1．同一平面内的四条直线若满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，则下列式子成立的是( ) A．a∥d B．b⊥d C．a⊥d D．b∥c2．如图，∠B＝60°，∠1＝________时，DE∥BC，理由是________________．五、小结1．如何判断两条直线平行？2．通过这节课的学习你还有哪些收获？六、课外作业教材第173～174页习题7.4第1～4题．本节课学习了判定两条直线平行的三个方法，其中一条是判定公理，另外两个是判定定理．判定公理是我们证明两直线平行的原始依据，在具体证明过程中，应根据已知条件灵活地选择判定方法．很多时候往往不能直接运用判定定理，此时需要进行适当地转化，有时需要添加必要的辅助线．注意：作铺助线时应用虚线．4 平行线的性质1．掌握平行线的三条性质定理；能熟练运用这三条性质定理证明几何题；进一步理解和总结证明的步骤、格式、方法．2．经历观察、操作、推理、交流等学习活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力．重点掌握平行线的性质定理．难点平行线性质定理的应用．一、复习导入师：平行线的判定方法有哪些？师：在上一节课中，我们证明了有关平行线的判定定理，那么对于平行线的性质，又怎么证明呢？能运用上节课积累的方法进行证明吗？今天这节课我们一起再来试一试证明它们．二、探究新知1．平行线的性质定理一．证明：两直线平行，同位角相等．(1)你能用几何语言描述这样的证明题吗？已知：直线AB∥CD，∠1和∠2是直线AB，CD被直线EF截出的同位角．求证：∠1＝∠2.(2)如果直接进行证明的话，难以找到能够作为依据的相关事实、定理，该怎么办？(提示学生可以用反证法，假设结论错误，再从错误的结论出发推出与定理、事实相矛盾的地方，说明假设不成立，从而得证)(3)如果∠1≠∠2，那么是否存在另外一条直线，它被第三条直线所截的∠2的另一同位角∠1′，有∠1′＝∠2呢？(有)(4)如果有，是否意味着这条直线和CD平行？(是的，同位角相等，两直线平行)这条直线可以是任意一条，也就是说我们可以过M点(AB与EF相交于点M)作这样的一条直线，此时我们发现过M点有两条直线与CD平行，这可能吗？(不可能，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行)(5)这样看来假设不能成立，说明什么？(∠1＝∠2)(6)学生根据讨论、交流，板书证明过程．证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH＝∠2，如图所示．根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH∥CD.又因为AB∥CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行．这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾．这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1＝∠2.2．平行线的性质定理二．证明：两直线平行，内错角相等．(1) 你能用几何语言描述题目要求吗？已知：如图，直线l1∥l2，∠1和∠2是直线l1，l2被直线l截出的内错角．求证：∠1＝∠2.(2)我们已经证明了两直线平行，同位角相等，可以将这个作为基本的事实(定理)，你能尝试完成吗？证明：∵l1∥l2(已知)，∴∠1＝∠3(两直线平行，同位角相等)．又∵∠2＝∠3(对顶角相等)，∴∠1＝∠2(等量代换)．3．平行线的性质定理三．师：你能按照上面的思路证明两直线平行，同旁内角互补吗？学生独立完成，指名板演，教师讲评．三、举例分析课件出示教材第176页例题．通过例题，得出定理：平行于同一条直线的两条直线平行．四、练习巩固1．请你对比这些平行线的性质与前面所学的平行线的判定，它们有什么不同？2．若两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角的关系是( ) A．相等B．互补C．相等或互补D．相等且互补五、小结1．这节课你有什么收获？2．平行线的性质定理有哪些？3．完成一个命题的证明，需要哪些环节？六、课外作业教材第177页习题7.5第1～4题．本节课主要学习了平行线的三条性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．平行线的性质定理和判定定理中的条件和结论刚好相反，在具体应用时要注意，当知道两条直线平行时，要利用其性质得出相关的角相等或互补，当不知道两条直线是否平行时，要用相关的角相等或互补判定两直线平行．5 三角形内角和定理第1课时三角形的内角1．掌握三角形内角和定理的证明及简单应用；灵活运用三角形内角和定理解决相关问题．2．用多种方法证明三角形内角和定理，培养一题多解的能力．重点掌握三角形内角和定理的证明及简单应用．难点灵活运用三角形内角和定理解决相关问题．一、情境导入用折纸的方法验证三角形内角和定理．先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行(图①)，然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合(图②、③)，最后得图④所示的结果．试用自己的语言说明这一结论的证明思路．想一想，还有其他折法吗？二、探究新知1．将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起．试用自己的语言说明这一结论的证明思路．想一想，如果只剪下一个角呢？2．用严谨的证明来论证三角形内角和定理．看哪个同学想的方法最多？方法一：过A点作DE∥BC.∵DE∥BC，∴ ________________(两直线平行，内错角相等)．∵∠DAB＋∠BAC＋∠EAC＝180°，∴________________ (等量代换)．方法二：延长BC到D，过点C作射线CE∥BA.∵CE∥BA，∴∠B＝________________(两直线平行，同位角相等)．∠A＝________________(两直线平行，内错角相等)．∵∠BCA＋∠ACE＋∠ECD＝180°，∴∠A＋∠B＋∠ACB＝________________ (等量代换)．添辅助线不是盲目的，而是为了证明某一结论，需要引用某个定义、公理、定理，但原图形不具备直接使用它们的条件，这时就需要添辅助线创造条件，以达到证明的目的．三、举例分析课件出示教材第179页例1.小组合作解决问题并完成证明．四、巩固练习教材第179页“随堂练习”第1～3题．五、小结1．通过本节课的学习，我们了解证明三角形内角和定理的几种方法，学会了作辅助线创造条件以达到证明的目的．2．让学生反思自己本节课学习中的优缺点及改进的方法．六、课外作业教材第180页习题7.6第1～4题．根据课程的特点，创设问题情境，以引导学生探索、运用为主线来展开．坚持以学生为本的原则，引导学生操作、探索、讨论、归纳．在教学过程中，引导学生去探索，使学生感受到添加辅助线的教学思想，更好地掌握三角形内角和定理的证明及简单的应用，从而实现教师是引导者和学生是主体的课堂教学理念．第2课时三角形的外角1．掌握三角形外角的两条性质；进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧；灵活运用三角形外角的两条性质解决相关问题．2．进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力，培养学生的几何意识．重点掌握三角形外角的两条性质．难点灵活运用三角形外角的两条性质解决相关问题．一、情境导入师：在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC的边BC延长到D得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？下面我们就给这个角命名，并且来研究它的性质．二、探究新知1．三角形外角的概念．三角形的外角：三角形的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角．(1)如下图，∠________是△ABC的一个外角．你还能作出△ABC其他的外角吗？(2)观察上图的外角，你能总结出三角形外角有哪些特征？①顶点在________________上；②一条边是三角形的____________；③另一条边是三角形某条边的______________．2．三角形内角和定理的推论．课件出示：如图，△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，∠ACD是△ABC的一个外角，能由∠A、∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A、∠B有什么关系？师：由上面的推导过程我们可以得到两个定理：定理1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．定理2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．推论：由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论．推论可以当做定理使用．三、举例分析1．课件出示教材第181页例2.(1)要证明AD∥BC，只需证明哪两个角相等？(2)如何利用题目中的条件？(3)你能说说自己的解题思路吗？(4)你还有其他的证明方法吗？(5)大家通过小组合作能解决问题并完成证明吗？证明：∵∠EAC＝∠B＋∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)，∠B＝∠C(已知)，∴2∠B＝∠EAC(等式的性质)．∵AD平分∠EAC(已知)，∴2∠DAE＝∠EAC(角平分线的定义)．∴∠DAE＝∠B(等量代换)．∴AD∥BC(同位角相等，两直线平行)．2．课件出示教材第182页例3.引导学生用不同的方法证明．四、练习巩固教材第183页“随堂练习”第1，2题．五、小结1．这节课你有什么收获？2．三角形外角的两条定理是什么？六、课外作业教材第183页习题7.7第1～3题．本节课主要学习三角形外角的两个性质．因为这两个性质是由三角形内角和定理经过推理得来的，所以这两个性质也叫三角形的内角和定理的推论．当遇到证明角的不等关系时应自然想到用三角形的外角的性质．在解决实际问题时，根据题意构建几何模型是解题的关键．10。

北师大版八年级上册第七章平行线的证明复习教案(教案)

第七章平行线的证明复习教案(教案）教学目标知识与技能：综合掌握平行线的判定定理和性质定理、三角形内角和定理及其推论.过程与方法：通过对知识的系统复习和整合,提升运用知识解决相关问题的能力.情感态度与价值观：培养学生养成良好的学习习惯,增强数学学习意识.教学重难点【重点】1.平行线的性质定理和判定定理的运用.2.三角形内角和定理的推论.【难点】三角形内角和定理和其推论的综合运用.知识总结—专题讲座专题一定义与命题一、定义对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定.如“两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义.二、命题判断一件事情的句子叫做命题.反之,如果一个句子没有对一件事情作出任何判断,那么它就不是命题.每个命题都是由条件和结论两部分组成的.条件是已知事项,结论是由已知事项推断出的事项.命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式,“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.三、真命题、假命题与反例真命题:正确的命题称为真命题.假命题:不正确的命题称为假命题.反例:要说明一个命题是假命题,常常可以举出一个例子,使它具备命题的条件,而不具有命题的结论,这种例子称为反例.四、公理、定理、证明公理:公认的真命题称为公理.定理:经过证明的真命题称为定理.证明:演绎推理的过程称为证明.【专题分析】本专题知识是学习证明问题的开始,对于今后的问题证明具有十分重要的基础地位.重点要领会证明的方法和证明过程的严谨性.将下列命题改成“如果……那么……”的形式,并指出条件和结论.(1)等角的余角相等;(2)一组对边平行且不相等的四边形是梯形.〔解析〕命题的改写要注意下列三点:①改写前后内容要保持一致;②改写后的命题要是一个完整的语句;③改写后的条件和结论要表达清楚,有时要补上原命题省略的部分.解:(1)改为:如果两个角相等,那么它们的余角相等.条件为“两个角相等”.结论为“它们的余角相等”.(2)如果一个四边形是一组对边平行且不相等的四边形,那么该四边形是梯形.条件为“一个四边形是一组对边平行且不相等的四边形”.结论为“该四边形是梯形”.[规律方法] 判断是不是命题,关键是看它能否说明一件事情有何结果.一般的陈述句(包括肯定句和否定句)都为命题,疑问句和感叹句及祈使句都不是命题.找命题的条件和结论,一般先把它化成“如果……那么……”的形式.【针对训练1】下列语句哪些是命题?哪些不是命题?如果是命题,请指出命题的条件和结论,并判断命题的真假.(1)画线段AB=5 cm;(2)你吃饭了吗?(3)相等的角是直角;(4)如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角.〔解析〕严格按照命题的定义判断.解:是命题的有(3)(4),不是命题的有(1)(2).命题(3):条件:两个角相等;结论:这两个角是直角,是假命题.命题(4):条件:两个角不相等;结论:这两个角不是对顶角,是真命题.专题二平行线的判定定理和性质定理的应用一、判定两条直线平行的方法(1)同位角相等,两直线平行.(2)同旁内角互补,两直线平行.(3)内错角相等,两直线平行.(4)平行于同一直线的两直线平行.(5)在同一平面内,垂直于同一直线的两直线平行.二、平行线的性质(1)两直线平行,同位角相等.(2)两直线平行,内错角相等.(3)两直线平行,同旁内角互补.【专题分析】平行线的判定和性质的应用,是研究三角形的角、四边形、多边形相似等知识的重要基础.如图所示,已知AB⊥BC于B,DG⊥AC于D,BE⊥AC于E,∠1=∠2,求证EF⊥AB.证明:∵DG⊥AC,BE⊥AC,∴DG∥BE(平面内,垂直于同一直线的两直线平行),∴∠2=∠EBC(两直线平行,同位角相等).∵∠1=∠2,∴∠EBC=∠1,∴EF∥BC(内错角相等,两直线平行),∴∠EFB+∠CBA=180°(两直线平行,同旁内角互补).∵AB⊥BC,∴∠CBA=90°(垂直的定义),∴∠EFB=90°,∴EF⊥AB(垂直的定义).[规律方法]平行线的性质和判定往往在同一个题目中交替使用,当题目中出现角相等或角之间有互补(互余)关系时,往往要用到判定方法;当题中出现平行时,往往利用性质得到角之间的关系.在今后我们学习多边形时,平行线的性质和判定将起到工具性的作用.【针对训练2】如图,已知AB∥CD,BE,DE分别平分∠ABC和∠ADC,若∠A=45°,∠C=55°,求∠BED的度数.〔解析〕由AB∥CD,可得∠A=∠CDA,∠C=∠ABC,从而求得∠ABE=∠ABC=∠C,∠CDE=∠CDA=∠A,然后过点E作AB的平行线,从而易得∠BED 的度数.解:过点E作E F∥AB.∵AB∥CD,∴AB∥CD∥EF,∴∠A=∠CDA,∠C=∠ABC,∠BEF=∠ABE,∠DEF=∠CDE.∴∠CDA=∠A=45°,∠ABC=∠C=55°.∵BE,DE分别平分∠ABC和∠ADC,∴∠CDE=∠A=×45°=22.5°,∠ABE=∠C=×55°=27.5°.∵∠BEF=∠ABE,∠DEF=∠CDE,∴∠BED=22.5°+27.5°=50°.专题三三角形内角和定理及有关三角形外角的两个推论1.三角形的内角和等于180°.2.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.3.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.【专题分析】本专题三角形角的相关知识是研究几何问题中角的相关知识的基础,它和平行线的知识一起构成了几何问题的两大基点.如图,已知BC⊥DE于O,∠A=27°,∠D=20°,求∠B与∠ACB.〔解析〕∠B在ΔBEO中,已知另外两个角即可,所以问题转化为求∠BEO,而∠BEO是ΔAED的外角,求∠ACB的方法有两种:一种是看做ΔBAC的内角,另外也可看做ΔDCO的外角.解:∵BC⊥DE(已知),∴∠B+∠BEO=90°.∵∠BEO=∠A+∠D=27°+20°=47°,∴∠B=90°-∠BEO=90°-47°=43°.∵在ΔBAC中,∠A+∠B+∠ACB=180°,∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180-27°-43°=110°.[易错提示]1.借助三角形求角,一般是把所求的角看成是某一个三角形的内角,图上出现外角时,则要考虑用外角的性质.2.三角形的外角一般为图上条件,在已知条件下并不出现,我们称三角形外角为图上隐含条件,所以在审题时要确认图上已知条件,还要认真审阅图上隐含条件.【针对训练3】如图所示,AB∥CD,AD∥BC,∠B=50°,∠EDA=60°,求∠CDF的度数.〔解析〕本题要充分运用AB∥CD,AD∥BC这两个条件,利用平行线进行转化,转化为三角形的外角.解:因为AD∥BC(已知),所以∠F=∠EDA=60°(两直线平行,同位角相等).因为AB∥CD(已知),所以∠BCD+∠B=180°(两直线平行,同旁内角互补).所以∠BCD=180°-∠B=180°-50°=130°(等式的性质).又因为∠BCD=∠F+∠CDF(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),所以∠CDF=∠BCD-∠F=130°-60°=70°(等式的性质).专题四方程思想【专题分析】本章中,经常遇到利用三角形内角和定理求角度的问题,当题目中有关各角之间的数量关系比较复杂时,可灵活运用方程(组)求解.如图,在ΔABC中,AB=AC,D,E分别在AC,AB边上,且BC=BD,AD=DE=EB,求∠A的度数.〔解析〕根据同一个三角形中等边对等角的性质,设∠ABD=x,结合三角形外角的性质,则可用含x的代数式表示∠A,∠ABC,∠C,再在ΔABC中,运用三角形的内角和为180°,可求∠A的度数.解:∵DE=EB,∴设∠BDE=∠ABD=x,∴∠AED=∠BDE+∠ABD=2x.∵AD=DE,∴∠AED=∠A=2x,∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x.∵BD=BC,∴∠C=∠BDC=3x.∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=3x.在ΔABC中,3x+3x+2x=180°,解得x=22.5°.∴∠A=2x=22.5°×2=45°.[规律方法](1)几何计算题中,依据题设和相关的几何图形的性质列出方程(或方程组)求解的方法叫做方程思想;(2)求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件;(3)三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决.【针对训练4】如图所示,在ΔABC中,P,Q是BC边上的两点,若∠PAB=∠B,∠QAC=∠C,∠BAC=130°,求∠PAQ的度数.〔解析〕由∠PAB=∠B,∠QAC=∠C与三角形内角和定理相结合,可列出关于∠PAQ的方程组,解方程组即可求得∠PAQ的度数.解:∵∠PAB=∠B,∠QAC=∠C,∴设∠PAB=∠B=x,∠QAC=∠C=y,∠PAQ=θ,则得方程组解方程组,得θ=80°,即∠PAQ=80°.[解题策略]本题中列出的方程组由两个方程组成,但未知数却有3个,显然用常规方法不能解得θ.观察方程组的特点,用①×2-②即可求得θ=80°.专题五转化思想【专题分析】在证明角的不等问题时,如果难以找到所证各角之间的关系,那么可设法把问题转化,从而使有关各角之间的关系由隐蔽化为明显,由复杂化为简单,由抽象化为直观.如图所示,CE是ΔABC的外角(∠ACD)平分线,BF是∠ABC的平分线,CE交BF的延长线于点E,请你判断∠ACE与∠ABE的大小关系,并证明.〔解析〕由题意可知∠ACE=∠DCE,∠ABE=∠CBE,则问题转化为判断∠DCE 与∠CBE的大小关系.解:∠ACE>∠ABE.证明如下:∵CE是ΔABC的外角(∠ACD)平分线(已知),∴∠DCE=∠ACE(角平分线的定义).∵∠DCE是ΔEBC的一个外角,∴∠DCE>∠CBE(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).∵BE是∠ABC的平分线(已知),∴∠ABE=∠CBE(角平分线的定义).∴∠ACE>∠ABE(等量代换).[解题策略] 在利用有关三角形外角的定理证明角的不等关系时,如果所要证明的两角没有直接联系,那么可发挥某些角(如本题中的∠DCE与∠CBE)的桥梁作用,从而将问题转化.【针对训练5】如图所示,试求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.〔解析〕求多个角的度数和问题,可以联想到三角形的内角和等于180°和外角的性质,将所求角转化到一个或几个三角形中去,从而求得多个角的和.因为∠A,∠B,∠C,∠D,∠E每个角的度数都不确定,且较分散,所以必须把∠A+∠B+∠C+∠D+∠E看成一个整体求它的度数,故考虑将其转化到一个三角形中去.解:因为∠AGE是ΔCGE的外角,所以∠AGE=∠C+∠E.同理∠AFG=∠B+∠D.因为∠AGE+∠AFG+∠A=180°,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.专题六构造思想【专题分析】在几何证明中,如果仅靠图中的线段难以说明问题时,那么可通过作辅助线构造某个基本图形,从而使问题的条件或结论发生转化.一大门的栏杆如图(1)所示,BA垂直地面AE于A,CD平行于地面AE,则∠ABC+∠BCD=.〔解析〕过点B作BG∥CD,易证得AB⊥BG,如图(2)所示.根据两直线平行,同旁内角互补,得∠BCD+∠CBG=180°.由题意得∠ABG=90°,所以∠ABC+∠BCD=180°+90°=270°.故填270°.【针对训练6】某校的校园平面图如图(1)所示,已知AB=470 m,BC=560 m.则这个校园的周长是多少米?(图中的每一个角都是直角)〔解析〕将GF沿GH方向平移到HP,ED沿EF方向平移到PQ,GH沿GF方向平移到RQ,EF沿ED方向平移到DR,如图(2)所示,则校园的周长就等于长方形ABCQ 的周长.解:将图(1)的部分线段经过平移,使图形变为如图(2)所示的长方形.由平移的特征知GF=HP,ED=PQ,GH=RQ,EF=RD,所以校园的周长为AB+BC+AH+GF+ED+GH+EF+CD=AB+BC+AH+HP+PQ+RQ+RD+CD=AB+BC+AQ+CQ=2(AB+BC)= 2×(470+560)=2060(m).。

北师版八年级上册数学第7章平行线的证明【教学设计】公理、定理、证明

7.2.2 公理、定理、证明教学目标【知识与技能】1.理解公理和定理的概念;【过程与方法】【情感、态度与价值观】使学生在接受专业知识的同时增强学习的兴趣,调动学生探索发现问题的积极性.教学重难点【重点】公理、定理的概念.【难点】教学过程一、复习旧知(1)同一平面中的两条直线不是平行就是相交.( )(2)画一个长方形和正方形.( )(3)直角小于钝角.( )(4)4是偶数吗?( )(1)如果地面是潮湿的,那么下雨了.(2)同位角相等,两条直线平行.(3)三角形两边之和大于第三边.二、探究新知1.新课引入.2.介绍公理、定理的概念.阅读教材P168~P169内容,并回答下列问题:(1)什么叫公理?公理的意义是什么?(2)定理的概念是什么?它和公理有什么区别和联系?(3)我们学过哪些公理?哪些定理?小结:例如:“两点之间线段最短”,“三边分别相等的两个三角形全等”,“过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行”……3.判断.(1)同角(等角)的补角相等.(2)同角(等角)的余角相等.(3)三角形的任意两边之和大于第三边.几何证明如下:(1)已知∠1=∠2,∠3是∠1的补角,∠4是∠2的补角,求证∠3=∠4.证明:∵∠3是∠1的补角,∠4是∠2的补角.∴∠3=180°-∠1,∠4=180°-∠2.∵∠1=∠2.∴∠3=∠4.同理可证同角的补角相等.(2)证明过程与(1)类似,鼓励学生自我证明.三、例题讲解【例】如图,直线AB与直线CD相交于点O,∠AOC与∠BOD是对顶角.求证:∠AOC=∠BOD.【答案】∵直线AB与直线CD相交于点O,∴∠AOB和∠COD都是平角(平角的定义).∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角(补角的定义).∴∠AOC=∠BOD(同角的补角相等)小结:得到定理:对顶角相等.四、课堂小结本节课学习了哪些内容?反思自己在学习过程中的优缺点、不足之外,并积极总结发言.。

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