2015年四川高考数学第12练 函数的零点——关键抓住破题题眼

第12练 函数的零点——关键抓住破题题眼题型一 函数零点所在区间问题例1 函数f (x )＝2x ＋ln 1x －1的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(1,2)与(2,3)破题切入点 确定函数在区间端点处函数值的符号是否相反，根据零点存在性定理判断零点所在区间． 答案 B解析 f (x )＝2x ＋ln 1x －1＝2x －ln(x －1)，函数的定义域为(1，＋∞)． 当1<x <2时，ln(x －1)<0，2x >0，所以f (x )>0，故函数在(1,2)上没有零点． f (2)＝22－ln 1＝1>0，f (3)＝23－ln 2＝2－3ln 23＝2－ln 83，因为8＝22≈2.828， 所以8>e ， 故 ln e<ln 8， 即1<12ln 8，所以2<ln 8，即f (3)<0， f (4)＝24－ln 3＝12－ln 3<0.根据零点存在性定理，可知函数f (x )在(2,3)上必存在零点，故选B. 题型二 函数零点个数问题例2 已知f (x ＋1)＝f (x －1)，f (x )＝f (－x ＋2)，方程f (x )＝0在[0,1]内有且只有一个根x ＝12，则f (x )＝0在区间[0,2 014]内根的个数为( ) A ．1 006 B ．1 007 C ．2 013 D ．2 014破题切入点 由条件推出f (x )是周期等于2的周期函数，且关于直线x ＝1对称．根据f (12)＝0，可得f (32)＝0，从而得到函数f (x )在一个周期内的零点个数，最后得到f (x )＝0在区间[0,2014]内根的个数． 答案 D解析 由f (x ＋1)＝f (x －1)，可知f (x ＋2)＝f (x )， 所以函数f (x )的周期是2.由f (x )＝f (－x ＋2)，可知函数f (x )关于直线x ＝1对称， 因为函数f (x )＝0在[0,1]内有且只有一个根x ＝12，所以函数f (x )＝0在区间[0,2 014]内根的个数为2 014，故选D. 题型三 由函数零点求参数范围问题例3 函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋2)＝f (x )．当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x .若在区间[－2,3]上方程ax ＋2a －f (x )＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．破题切入点 由条件得出函数性质，准确画出图象，结合图象解决． 答案 25<a <23解析 由f (x ＋2)＝f (x )得函数的周期是2. 由ax ＋2a －f (x )＝0得f (x )＝ax ＋2a ，设y ＝f (x )，y ＝ax ＋2a ，作出函数y ＝f (x )，y ＝ax ＋2a 的图象， 如图，要使方程ax ＋2a －f (x )＝0恰有四个不相等的实数根， 则直线y ＝ax ＋2a ＝a (x ＋2)的斜率满足k AH <a <k AG ， 由题意可知，G (1,2)，H (3,2)，A (－2,0)， 所以k AH ＝25，k AG ＝23，所以25<a <23.总结提高 (1)确定零点所在区间主要依据就是零点存在性定理，而函数零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间两端点处的函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件而不是必要条件，所以在判断函数在某个区间上不存在零点时，不能完全依赖函数的零点存在性定理． (2)函数零点个数判断问题可直接解方程f (x )＝0，方程的根的个数就是函数零点的个数，对于无法求解的函数应根据函数的单调性与函数值的符号变化来确定其零点的个数． (3)分段函数与零点的结合是比较新颖的一类问题，解决此类问题需注意两个方面：一是分段函数中的每个解析式所对应自变量的取值范围，解方程之后要注意检验根是否在所给定的取值范围中；二是灵活利用函数性质确定零点的个数，灵活利用特殊函数值的符号判断零点所在的范围．1．f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．72．设函数f (x )＝4sin(2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点的是( ) A ．[－4，－2] B ．[－2,0] C ．[0,2] D ．[2,4]3．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 0.5(x ＋1)，0≤x <1，1－|x －3|，x ≥1，则关于x 的函数F (x )＝f (x )－a (0<a <1)的所有零点之和为( ) A ．1－2a B ．2a －1 C ．1－2－a D ．2－a －14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x－x －2，x ≤0，ln (x 2－x ＋1)，x >0，则函数的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．(2014·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋1，x ≤0，ln x ，x >0，则下列关于函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数的判断正确的是( )A ．当k >0时，有3个零点；当k <0时，有2个零点B ．当k >0时，有4个零点；当k <0时，有1个零点C ．无论k 为何值，均有2个零点D ．无论k 为何值，均有4个零点7．已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0，且a ≠1)，当2<a <3<b <4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________.8．方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为________．9．已知函数f (x )＝2ax 2＋2x －3.如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，则实数a 的取值范围为________．10．(2014·天津)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0.若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________． 11．已知函数f (x )＝ln x ＋x 2.(1)若函数g (x )＝f (x )－ax 在其定义域内为增函数，求实数a 的取值范围； (2)在(1)的条件下，若a >1，h (x )＝e 3x －3a e x ，x ∈[0，ln 2]，求h (x )的极小值；(3)设F (x )＝2f (x )－3x 2－kx (k ∈R )，若函数F (x )存在两个零点m ，n (0<m <n )，且2x 0＝m ＋n .问：函数F (x )在点(x 0，F (x 0))处的切线能否平行于x 轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．12．(2014·四川)已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0,1)内有零点，证明：e －2<a <1.1．答案 B解析 ∵2sin πx －x ＋1＝0，∴2sin πx ＝x －1，图象如图所示，由图象看出y ＝2sin πx 与y ＝x －1有5个交点，∴f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.2．答案 A解析 f (0)＝4sin 1>0，f (2)＝4sin 5－2，由于π<5<2π， 所以sin 5<0，故f (2)<0，则函数在[0,2]上存在零点；由于f (－1)＝4sin(－1)＋1<0，故函数在[－1,0]上存在零点，也在[－2,0]上存在零点； 令x ＝5π－24∈[2,4]，则f (5π－24)＝4sin 5π2－5π－24＝4－5π－24＝18－5π4>0，而f (2)<0，所以函数在[2,4]上存在零点．选A. 3答案 A解析 当0≤x <1时，f (x )≤0.由F (x )＝f (x )－a ＝0，画出函数y ＝f (x )与y ＝a 的图象如图．函数F (x )＝f (x )－a 有5个零点． 当－1<x <0时，0<－x <1，所以f (－x )＝log 0.5(－x ＋1)＝－log 2(1－x )， 即f (x )＝log 2(1－x )，－1<x <0. 由f (x )＝log 2(1－x )＝a ， 解得x ＝1－2a ， 因为函数f (x )为奇函数，所以函数F (x )＝f (x )－a (0<a <1)的所有零点之和为1－2a . 4．答案 B解析 当x >0时，由f (x )＝0，即ln(x 2－x ＋1)＝0， 得x 2－x ＋1＝1，解得x ＝0(舍去)或x ＝1. 当x ≤0时，f (x )＝e x －x －2，f ′(x )＝e x －1≤0， 所以函数f (x )在(－∞，0]上单调递减．而f (0)＝e 0－0－2＝－1<0，f (－2)＝e －2－(－2)－2＝e －2>0，故函数f (x )在(－2,0)上有且只有一个零点． 综上，函数f (x )只有两个零点． 5．答案 B解析 f ′(x )＝3ax 2－6x ，当a ＝3时，f ′(x )＝9x 2－6x ＝3x (3x －2)，图1则当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；x ∈(0，23)时，f ′(x )<0；x ∈(23，＋∞)时，f ′(x )>0，注意f (0)＝1，f (23)＝59>0，则f (x )的大致图象如图1所示．不符合题意，排除A 、C.图2当a ＝－43时，f ′(x )＝－4x 2－6x ＝－2x (2x ＋3)，则当x ∈(－∞，－32)时，f ′(x )<0，x ∈(－32，0)时，f ′(x )>0，x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )<0，注意f (0)＝1，f (－32)＝－54，则f (x )的大致图象如图2所示． 不符合题意，排除D. 6．答案 B解析 当k >0时，f (f (x ))＝－1，综合图(1)分析， 则f (x )＝t 1∈(－∞，－1k )或f (x )＝t 2∈(0,1)．对于f (x )＝t 1，存在两个零点x 1，x 2； 对于f (x )＝t 2，存在两个零点x 3，x 4. 此时共计存在4个零点．当k <0时，f (f (x ))＝－1，结合图(2)分析， 则f (x )＝t ∈(0,1)，此时仅有1个零点x 0.故选B. 7．答案 2解析 由于2<a <3<b <4，故f (1)＝log a 1＋1－b ＝1－b <0， 而0<log a 2<1,2－b ∈(－2，－1)， 故f (2)＝log a 2＋2－b <0， 又log a 3∈(1,2)，3－b ∈(－1,0)， 故f (3)＝log a 3＋3－b >0，因此函数必在区间(2,3)内存在零点，故n ＝2. 8．答案 2解析 方程变形为3－x 2＝2－x ＝(12)x ，令y 1＝3－x 2，y 2＝(12)x .如图所示，由图象可知有2个交点．9．答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞解析 若a ＝0，则f (x )＝2x －3，f (x )＝0⇒x ＝32∉[－1,1]，不合题意，故a ≠0.下面就a ≠0分两种情况讨论：(1)当f (－1)·f (1)≤0时，f (x )在[－1,1]上至少有一个零点，即(2a －5)(2a －1)≤0，解得12≤a ≤52.(2)当f (－1)·f (1)>0时，f (x )在[－1,1]上有零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫－12a f (1)≤0，－1<－12a<1，f (－1)·f (1)>0，解得a >52.综上，实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 10． 答案 1<a <2解析 画出函数f (x )的图象如图所示．函数y ＝f (x )－a |x |有4个零点，即函数y 1＝a |x |的图象与函数f (x )的图象有4个交点(根据图象知需a >0)．当a ＝2时，函数f (x )的图象与函数y 1＝a |x |的图象有3个交点．故a <2.当y ＝a |x |(x ≤0)与y ＝|x 2＋5x ＋4|相切时，在整个定义域内，f (x )的图象与y 1＝a |x |的图象有5个交点，此时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－ax y ＝－x 2－5x －4得x 2＋(5－a )x ＋4＝0. 由Δ＝0得(5－a )2－16＝0，解得a ＝1，或a ＝9(舍去)， 则当1<a <2时，两个函数图象有4个交点． 故实数a 的取值范围是1<a <2.11．解 (1)g (x )＝f (x )－ax ＝ln x ＋x 2－ax ，g ′(x )＝1x ＋2x －a .由题意，知g ′(x )≥0在x ∈(0，＋∞)内恒成立， 即a ≤(2x ＋1x)min .又x >0,2x ＋1x ≥22，当且仅当x ＝22时等号成立．故(2x ＋1x )min ＝22，所以a ≤2 2.(2)由(1)知，1<a ≤2 2.令e x ＝t ，则t ∈[1,2]，则h (t )＝t 3－3at . h ′(t )＝3t 2－3a ＝3(t －a )(t ＋a )．由h ′(t )＝0，得t ＝a 或t ＝－a (舍去)， ∵a ∈(1,22]，∴a ∈[1,234]，①若1<t ≤a ，则h ′(t )<0，h (t )单调递减； ②若a <t ≤2，则h ′(t )>0，h (t )单调递增． 故当t ＝a 时，h (t )取得极小值， 极小值为h (a )＝a a －3a a ＝－2a a . (3)设F (x )在(x 0，F (x 0))的切线平行于x 轴， 其中F (x )＝2ln x －x 2－kx .结合题意，有⎩⎪⎨⎪⎧2ln m －m 2－km ＝0， ①2ln n －n 2－kn ＝0， ②m ＋n ＝2x 0， ③2x 0－2x 0－k ＝0， ④①－②得2ln mn －(m ＋n )(m －n )＝k (m －n )．所以k ＝2lnm nm －n －2x 0.由④得k ＝2x 0－2x 0.所以ln m n ＝2(m －n )m ＋n＝2(m n －1)m n＋1.⑤设u ＝mn ∈(0,1)，⑤式变为ln u －2(u －1)u ＋1＝0(u ∈(0,1))．设y ＝ln u －2(u －1)u ＋1(u ∈(0,1))，y ′＝1u －2(u ＋1)－2(u －1)(u ＋1)2＝(u ＋1)2－4u u (u ＋1)2＝(u －1)2u (u ＋1)2>0， 所以函数y ＝ln u －2(u －1)u ＋1在(0,1)上单调递增，因此，y <y |u ＝1＝0，即ln u －2(u －1)u ＋1<0.也就是，ln m n <2(m n－1)mn ＋1，此式与⑤矛盾．所以F (x )在(x 0，F (x 0))处的切线不能平行于x 轴． 12．(1)解 由f (x )＝e x －ax 2－bx －1， 有g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b . 所以g ′(x )＝e x －2a .因此，当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]． 当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0,1]上单调递增，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ； 当12<a <e2时，令g ′(x )＝0得x ＝ln(2a )∈(0,1)， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 于是，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a )) ＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12<a <e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .(2)证明 设x 0为f (x )在区间(0,1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减． 则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负． 故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1. 同理，g (x )在区间(x 0,1)内存在零点x 2， 所以g (x )在区间(0,1)内至少有两个零点． 由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上单调递增，故g (x )在(0,1)内至多有一个零点． 当a ≥e2时，g (x )在[0,1]上单调递减，故g (x )在(0,1)内至多有一个零点．11 所以12<a <e 2. 此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减， 在区间(ln(2a )，1]上单调递增．因此x 1∈(0，ln(2a )]，x 2∈(ln(2a )，1)，必有 g (0)＝1－b >0，g (1)＝e －2a －b >0.由f (1)＝0，有a ＋b ＝e －1<2，有g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0.解得e －2<a <1.所以函数f (x )在区间(0,1)内有零点时，e －2<a <1.。