《绝对值》考点专题讲解(完整资料).doc
绝对值专题--讲义
【知识点整理】绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点和原点的距离.数a的绝对值记作a.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.求字母a的绝对值：①(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a aaa a≥⎧=⎨-<⎩③(0)(0)a aaa a>⎧=⎨-≤⎩利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c++=，则0a=，0b=，0c=绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a≥，且a a≥-；（2）若a b=，则a b=或a b=-；（3）ab a b=⋅；aab b=(0)b≠；（4）222||||a a a==；a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b-的几何意义：在数轴上，表示数a．b对应数轴上两点间的距离．【例题精讲】模块一、绝对值的性质【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（）A．±2 B．2 C．-2 D．4【例2】下列说法正确的有（）①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．A．②④⑤⑥B．③⑤C．③④⑤D．③⑤⑥【例3】如果a的绝对值是2，那么a是（）A．2 B．-2 C．±2 D．1 2±【例4】若a＜0，则4a+7|a|等于（）绝对值专题讲义A ．11aB ．-11aC ．-3aD ．3a【例5】一个数和这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）A ．1，0B ．正数C ．非正数D ．非负数【例6】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ）A ．7或-7B ．7或3C ．3或-3D ．-7或-3【例7】若1-=x x，则x 是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数【例8】已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞aB ．1+a ＞a ＞1-b ＞-bC ．1+a ＞1-b ＞a ＞-bD ．1-b ＞1+a ＞-b ＞a【例9】已知a ．b 互为相反数，且|a -b |=6，则|b -1|的值为（ ）A ．2B ．2或3C ．4D ．2或4【例10】a ＜0，ab ＜0，计算|b -a +1|-|a -b -5|，结果为（ ）A ．6B ．-4C ．-2a +2b +6D ．2a-2b-6【例11】若|x +y |=y -x ，则有（ ）A ．y ＞0，x ＜0B ．y ＜0，x ＞0C ．y ＜0，x ＜0D ．x =0，y ≥0或y =0，x ≤0【例12】已知：x ＜0＜z ，xy ＞0，且|y |＞|z |＞|x |，那么|x +z |+|y +z |-|x -y |的值（ ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号【例13】给出下面说法：（1）互为相反数的两数的绝对值相等；（2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；（3）若|m |＞m ，则m ＜0； （4）若|a |＞|b |，则a ＞b ，其中正确的有（ ）A ．（1）（2）（3）B ．（1）（2）（4）C ．（1）（3）（4）D ．（2）（3）（4）【例14】已知a ，b ，c 为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则|c -b |-|b -a |-|a -c |= _________c ba 0-11 【巩固】2abcd +++=已知、、、都是整数，且a+b b+c c+d d+a ，则=a+d 。
绝对值专题 讲义
模块一、绝对值的性质
【例1】到数轴原点的距离就是2的点表示的数就是( )
A.±2B.2C.-2D.4
【例2】下列说法正确的有()
①有理数的绝对值一定比0大;②如果两个有理数的绝对值相等,那么这两个数相等;③互为相反数的两个数的绝对值相等;④没有最小的有理数,也没有绝对值最小的有理数;⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示;⑥符号不同的两个数互为相反数.
A.负数B.负数或零C.零D.正数
3.如果|x-1|=1-x,那么()
A.x＜1B.x＞1C.x≤1D.x≥1
4.若|a-3|=2,则a+3的值为()
A.5 B.8 C.5或1 D.8或4
5.若x＜2,则|x-2|+|2+x|=_______________
6.绝对值小于6的所有整数的与与积分别就是__________
A.7或-7 B.7或3 C.3或-3 D.-7或-3
【例7】若 ,则x就是()
A.正数B.负数C.非负数D.非正数
【例8】已知:a＞0,b＜0,|a|＜|b|＜1,那么以下判断正确的就是()
A.1-b＞-b＞1+a＞a
B.1+a＞a＞1-b＞-b
C.1+a＞1-b＞a＞-b
D.1-b＞1+a＞-b＞a
⑴当 时,原式
⑵当 时,原式
⑶当 时,原式
综上讨论,原式
通过阅读上面的文字,请您解决下列的问题:
(1)别求出 与 的零点值
(2)化简代数式
【巩固】化简
【巩固】化简 的值
【巩固】(1)化简 .
【课堂训练1】
1.若a的绝对值就是 ,则a的值就是()
A.2 B.-2 C. D.
(完整版)绝对值知识点
绝对值（一）【预习引领】两辆汽车从同一处O 出发,分别向东、西方行驶10km,到达A 、B 两处．（1）它们的行驶路线相同吗？（2）它们行驶路程的远近相同吗？答:（1）不相同；(2)相同.【要点梳理】知识点一:绝对值的意义1.绝对值的几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作a ，读作：a 的绝对值.例1 利用数轴求下列各数的绝对值.（1）2+，15，5.3； （2）0； （3）5-，2.3-，312.答:(1)2+=2;51=51; 5.3=5.3； (2) 0=0; (3) 5-=5; 2.3-=3.2; 312=312. 2.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.例2 直接写出下列各数的绝对值.6，8-， 3.9-，52，10，0， 6-，8，3.9，52-，10- 答: 6=6, 8-=8, 9.3-=3.9, 25=25;10=10; 0=0; 6-=6, 8=8, 9.3=3.9, 25-=25;10-=10; 0=0;小结：（1）对任一个有理数，绝对值只能为正数或0，不可能为负数，即0a ≥.（2）两个互为相反数的绝对值 ，绝对值相等的两个数 .（3）绝对值为正数的有理数有 类，它们 ；绝对值为0的有理数是 .答:(2)相等,相等或互为相反数.(3)两，正数与负数；0；例3 判断下列说法哪些是正确的：（1）符号相反的数互为相反数；（2）符号相反且绝对值相等的两个数互为相反数；（3）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右；（4）不相等的两个数，其绝对值也不相等；（5）绝对值最小的有理数是0．答案：（2）（5）知识点二：绝对值的求法()()(),00,0,0a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩例4 求下列各数的绝对值：162-，1325-，3π-，2． 答案：216-=216；21535321-=-；33-=-ππ；2=2;例5 填空：（1）绝对值小于4的正整数有 .（2）绝对值大于2而小于5的所有整数是 .（3）如果一个数的绝对值是13，那么这个数是 ．（4）若x x =-，则x 为 数.答案：（1）3，2，1；（2）±3，±4；（3）±13；（4）负数与0；例6 计算下列各式： ⑴52---⑵30.7724-÷ 答：（1）原式=5－2=3；（2）原式=0.77÷432=0.28；☆例8 ⑴若0a b +=，则a = ， b = .⑵若73120x y -+-=，则x = ，y = .答案：（1）0，0；（2）7，4；【课堂操练】1.152-的绝对值是 ，0的绝对值是 ，绝对值为2的数是 . 1. 215，0，±2；2. 1.5-= ,10-= ,2+= , 2.5-+= .2.1.5，10，2，－2.5；3.⑴一个数的绝对值和相反数都是它本身，这个数是 ；⑵绝对值小于3.2的整数有 ； ⑶123-的相反数是 ，绝对值是 ； ⑷ 使5=x 成立的x 的值是 . 3.（1）0；（2）3，2，1，0，－1，－2，－3；（3）4.在数轴上到数3所表示的点距离为5的点所表示的数是 .4.8或－2；5.绝对值相等的两个数在数轴上对应的两点之间的距离为6，则这两个数为 .5．3与－3；6.若0m >，则m m += ；若0m <，则m m += ；若0m =，则m m += .6．2m ，0，0；7. （2011北京市，1，4分）34-的绝对值是( ) A ．43- B ．43 C ．34- D ． 34 7.D8．（2011浙江丽水，4，3分）有四包真空小包装火腿，每包以标准克数(450克)为基数，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，以下数据是记录结果，其中表示实际克数最接近标准克数的是（ ）A ．＋2B ．－3C ．＋3D ．＋48.A9.若1a a =，则a （ ） A ．是正数或负数；B ．是正数；C ．是有理数；D ．是正整数.9．B10.计算下列各题:⑴216-+-;⑵20082008--.10．（1）原式=21+6=27；（2）原式=2008－2008=0；☆11．若73120x y -+-=，求x 、y 的值.11．由题意可知，x －7=0，3y －12=0，解得：x=7；y=4；12.某摩托车配件厂生产一批圆形的橡胶垫，从中抽取6件进行比较，比标准直径长的毫米（1）找出哪个些零件的质量相对好一些，用绝对值的知识加以解释.（2）若规定与标准直径相差不超过0.2mm 为合格品，则6件产品中有几件是不合格品？12．（1）第4个；绝对值越小，说明此配件与标准配件越接近；（2）第1个与第5个不合格，所以共有2件是不合格的产品；【课后盘点】1. （2011浙江省舟山，1，3分）－6的绝对值是（ ）A . －6B .6C .61D .－61 1．B2.一个有理数的相反数与自身的绝对值的和 （ ）A ．可能是负数；B ．必是正数；C ．必为非负数；D ．必为0.2．C3．式子3π--等于 （ ）A ．3π-B ．3π+ C.3π- D ．3π--3．C4.某运动员在东西走向的公路上练习跑步，跑步情况记录如下：（向东为正，单位：米）1000，－1200，1100，－800，1400，则该运动员跑步的总路程为 （ ）A ．1500米B ．5500米C ．4500米D ．3700米4．B5．绝对值等于本身的数是 （ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数5．C6．下列结论中，正确的是 （ ）A ．a +一定是正数B ．a +和a -一定不相等C ．a 和a --互为相反数D ．()a +-和a --一定相等6．C7．代数式33+-x 的最小值是 （ ）A ．0B ．2 C.3 D ．57．C8．下列结论中，正确的是 （ ）A ．0a --<B ．若a b =-，则a b = C. 0a >D ．若a 、b 互为相反数，则1a b =- 8．B9.若a a =，则a 为 数； 若a a =-，则a 为 数.9．非负数；非正数；10.当4a <时，4a -= .10．4－a ；11. （2011湖南常德，1，3分）2______.-=11．212.若53x -=，则x = ； 若4m -=-，则m = ；12．8或2；4或－4；13．若1a >，则1a -= ，21a -= ；若1a <，则1a -= ，1a --= .13．a －1，2a －1；1－a ，a －1；14.若110a b ++-=，则a b += .14．0；15.计算： ⑴9322-⨯+⑵37148-÷- 15．（1）原式=⨯3229=24；（2）原式=87143÷=52； 16.已知30x =，4y =-，求3x y -.16．3x y -=30－3×4=18；17.已知2340a b c -+-+-=，求23a b c ++的值.17．由题意可得，a=2，b=3，c=4，则23a b c ++=2+2×3+3×4=20；18.正式的足球比赛，对所用足球的质量有严格规定，下面是6个足球的检测结果.（用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数）－25，+10，－20，+30，+15，－40请指出哪个足球的质量好一些，并用绝对值的知识说明原因.18．第二个。
绝对值(基础)知识讲解
，-0.3，0，在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字就是各数的绝对值．还可以用绝对值法那么来求解．【答案与解析】解法一：因为到原点距离是个单位长度，所以．因为-0.3到原点距离是0.3个单位长度，所以|-0.3|＝0.3．因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0|＝0．因为到原点的距离是个单位长度，所以．解法二：因为，所以．因为-0.3＜0，所以|-0.3|＝-(-0.3)＝0.3．因为0的绝对值是它本身，所以|0|＝0．因为，所以．【总结升华】()，一种是利用绝对值的代数意义求解()2．一个数的绝对值等于2021，那么这个数是________．【答案】2021或-2021【解析】根据绝对值的定义，到原点的距离是2021的点有两个，从原点向左侧移动2021个单位长度，得到表示数-2021的点；从原点向右侧移动2021个单位长度，得到表示数2021的点．【总结升华】(1)利用概念；(2)假设一个数的绝对值是正数，那么此数有两个，且互为相反数.举一反三：【变式1】求绝对值不大于3的所有整数．【答案】绝对值不大于3的所有整数有-3、-2、-1、0、1、2、3．【高清课堂：绝对值比大小356845 典型例题3】【变式2】如果｜x｜＝2，那么x＝_____ _ ；如果｜－x｜＝2，那么x＝______．如果｜x－2｜＝1，那么x＝；如果｜x｜＞3，那么x的范围是．【答案】；；1或3；或【变式3】数轴上的点A到原点的距离是6，那么点A表示的数为．【答案】6或-6类型二、比拟大小3．比拟以下有理数大小：(1)-1和0；(2)-2和|-3|；(3)和；〔4〕______【答案】(1)0大于负数，即-1＜0；(2)先化简|-3|＝3，负数小于正数，所以-2＜3，即-2＜|-3|；(3)先化简，，，即．(4)先化简，，这是两个负数比拟大小：因为，，而，所以，即＜【解析】(2)、(3)、〔4〕先化简，再运用有理数大小比拟法那么．【点评】在比拟两个负数的大小时，可按以下步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比拟两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小〞做出正确的判断．举一反三：【高清课堂：绝对值比大小356845典型例题2】【变式1】比大小：______ ；-|-3.2|______-(+3.2)； 0.0001______－1000；______－1.384；－π______－3.14．【答案】＞；=；＞；＞；＜【变式2】〔山东临沂〕以下各数中，比－1小的数是〔〕A．0 B．1 C．－2 D．2【答案】C【变式3】数a在数轴上对应点的位置如下图，那么a，-a，-1的大小关系是()．A．-a＜a＜-1 B．-1＜-a＜aC．a＜-1＜-a D．a＜-a＜-1【答案】C类型三、绝对值非负性的应用4. |2-m|+|n-3|＝0，试求m-2n的值．【思路点拨】由｜a｜≥0即绝对值的非负性可知，｜2-m｜≥0，｜n-3｜≥0，而它们的和为0．所以｜2-m｜＝0，|n-3|＝0．因此，2-m＝0，n-3＝0，所以m＝2，n＝3．【答案与解析】因为|2-m|+|n-3|＝0且|2-m|≥0，|n-3|≥0所以|2-m|＝0，|n-3|＝0即2-m＝0，n-3＝0所以m＝2，n＝3故m-2n＝2-2×3＝-4．【总结升华】假设几个数的绝对值的和为0，那么每个数都等于0，即|a|+|b|+…+|m|＝0时，那么a＝b＝…＝m＝0．类型四、绝对值的实际应用5．正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记缺乏规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．【答案】因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜-20｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜，所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．【解析】根据实际问题可知，哪个足球的质量偏离规定质量越小，那么足球的质量越好．这个偏差可以用绝对值表示，即绝对值越小偏差也就越小，反之绝对值越大偏差也就越大．【点评】绝对值越小，越接近标准.举一反三：【变式1】某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量(不含包装)可以有0.002L 的误差．现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，缺乏规定净含量的升数记作负数．检查结果如下表：请用绝对值知识说明：(1)哪几瓶是符合要求的(即在误差范围内的)?(2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量？【答案】(1)绝对值不超过0.002的有4瓶，分别是检查结果为+0.0018，-0.0015，+0.0012，+0.0010的这四瓶．(2)第6瓶净含量与规定的净含量相差最少，最接近规定的净含量．【变式2】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?【答案】小虫爬行的总路程为：|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm)．小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒)．。
绝对值(基础)知识讲解
绝对值（基础）【学习目标】1．掌握一个数的绝对值的求法和性质；2．进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；3．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.【要点梳理】要点一、绝对值1.定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|. 要点诠释：（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有：（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．要点二、有理数的大小比较1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ．2.法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．3. 作差法：设a 、b 为任意数，若a -b ＞0，则a ＞b ；若a -b ＝0，则a ＝b ；若a -b ＜0，a ＜b ；反之成立．4. 求商法：设a 、b 为任意正数，若1a b >，则a b >；若1ab =，则a b =；若1a b<，则a b <；反之也成立．若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反．5. 倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.【典型例题】类型一、绝对值的概念1．求下列各数的绝对值．(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩112-，-0.3，0，132⎛⎫-- ⎪⎝⎭【思路点拨】112，-0.3，0，132⎛⎫-- ⎪⎝⎭在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字就是各数的绝对值．还可以用绝对值法则来求解．【答案与解析】 解法一：因为112-到原点距离是112个单位长度，所以111122-=． 因为-0.3到原点距离是0.3个单位长度，所以|-0.3|＝0.3．因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0|＝0． 因为132⎛⎫-- ⎪⎝⎭到原点的距离是132个单位长度，所以113322⎛⎫--= ⎪⎝⎭． 解法二：因为1102-<，所以111111222⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭． 因为-0.3＜0，所以|-0.3|＝-(-0.3)＝0.3．因为0的绝对值是它本身，所以|0|＝0． 因为1302⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以113322⎛⎫--= ⎪⎝⎭． 【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法1)，一种是利用绝对值的代数意义求解(如方法2)，后种方法的具体做法为：首先判断这个数是正数、负数还是0．再根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是0．从而求出该数的绝对值．2．已知一个数的绝对值等于2009，则这个数是________．【答案】2009或-2009【解析】根据绝对值的定义，到原点的距离是2009的点有两个，从原点向左侧移动2009个单位长度，得到表示数-2009的点；从原点向右侧移动2009个单位长度，得到表示数2009的点．【总结升华】已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法都要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数. 举一反三：【变式1】求绝对值不大于3的所有整数．【答案】绝对值不大于3的所有整数有-3、-2、-1、0、1、2、3．【高清课堂：绝对值比大小 356845 典型例题3】【变式2】如果｜x ｜＝2，那么x ＝_____ _ ； 如果｜－x ｜＝2，那么x ＝______． 如果｜x －2｜＝1，那么x ＝ ； 如果｜x ｜＞3，那么x 的范围是 ．【答案】2-2+或；2-2+或；1或3；x>3或x<-3【变式3】数轴上的点A 到原点的距离是6，则点A 表示的数为 ．【答案】6或-6类型二、比较大小3．比较下列有理数大小：(1)-1和0； (2)-2和|-3| ；(3)13⎛⎫-- ⎪⎝⎭和12- ；（4）1--______0.1--【答案】(1)0大于负数，即-1＜0；(2)先化简|-3|＝3，负数小于正数，所以-2＜3，即-2＜|-3|；(3)先化简1133⎛⎫--= ⎪⎝⎭，1122-=，1123>，即1132⎛⎫--<- ⎪⎝⎭． (4)先化简11--=-，0.10.1--=-，这是两个负数比较大小：因为11-=，0.10.1-=，而10.1>，所以10.1-<-，即1--＜0.1--【解析】(2)、(3)、（4）先化简，再运用有理数大小比较法则．【点评】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断．举一反三：【高清课堂：绝对值比大小 356845 典型例题2】【变式1】比大小： 653-______763- ； -|-3.2|______-(+3.2)； 0.0001______－1000； 1.38-______－1.384； －π______－3.14．【答案】＞；=；＞；＞；＜【变式2】（山东临沂）下列各数中，比－1小的数是（ ）A ．0B ．1C ．－2D ．2【答案】C【变式3】数a 在数轴上对应点的位置如图所示，则a ，-a ，-1的大小关系是( )．A ．-a ＜a ＜-1B ．-1＜-a ＜aC ．a ＜-1＜-aD ．a ＜-a ＜-1【答案】C类型三、绝对值非负性的应用4. 已知|2-m|+|n-3|＝0，试求m-2n的值．【思路点拨】由｜a｜≥0即绝对值的非负性可知，｜2-m｜≥0，｜n-3｜≥0，而它们的和为0．所以｜2-m｜＝0，|n-3|＝0．因此，2-m＝0，n-3＝0，所以m＝2，n＝3．【答案与解析】因为|2-m|+|n-3|＝0且|2-m|≥0，|n-3|≥0所以|2-m|＝0，|n-3|＝0即2-m＝0，n-3＝0所以m＝2，n＝3故m-2n＝2-2×3＝-4．【总结升华】若几个数的绝对值的和为0，则每个数都等于0，即|a|+|b|+…+|m|＝0时，则a＝b＝…＝m＝0．类型四、绝对值的实际应用5．正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．【答案】因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜-20｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜，所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．【解析】根据实际问题可知，哪个足球的质量偏离规定质量越小，则足球的质量越好．这个偏差可以用绝对值表示，即绝对值越小偏差也就越小，反之绝对值越大偏差也就越大．【点评】绝对值越小，越接近标准.举一反三：【变式1】某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量(不含包装)可以有0.002L 的误差．现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数．检查结果如下表：请用绝对值知识说明：(1)哪几瓶是合乎要求的(即在误差范围内的)?(2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量？【答案】(1)绝对值不超过0.002的有4瓶，分别是检查结果为+0.0018，-0.0015，+0.0012，+0.0010的这四瓶．(2)第6瓶净含量与规定的净含量相差最少，最接近规定的净含量．【变式2】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?【答案】小虫爬行的总路程为：|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm)．小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒)．。
七年级绝对值专题讲义
绝对值专题绝对值性质，绝对值化简、绝对值方程一站到底1、绝对值等于本身的数是正数答案：绝对值等于本身的数是非负数2、绝对值等于本身的数是负数答案：绝对值等于本身的数是非负数（或绝对值等于其相反数的数是非正数）3、若a＞0，则|a|＝a4、若a＜0，则|a|＝－a5、若|a|＝a，则a＞0答案：若|a|＝a，则a≥06、若|a|＝－a，则a≤0答案：若|a|＝－a，则a≤07、绝对值好难啊，难到怀疑人生模块一绝对值的非负性绝对值的非负性定义：|a|表示数轴上表示a的点到原点的距离．|a|≥0（非负性）|a|＋|b|＝0（24（1）3′）解：∵|a|≥0，|b|≥0，∴|a|＋|b|≥0．又∵|a|＋|b|＝0，∴|a|＝0，|b|＝0．∴a＝0，b＝0．例1（1）若|x|＋|y－3|＝0，则x＋y＝________；答案：3（2）若2|x＋5|＋3y2＝0，则xy＝________；答案：0（3）若12(x－1)2与35|y－2|互为相反数，则x－y＝________；答案：－1（4）若4|x＋3|＝－5|y－1.5|，则xy＝________；答案：－2（5）若12|a－1|＋3|b＋4|＝－2(c－2)2，则b－2a＋3c的相反数是________．答案：0解：∵12|a－1|＋3|b＋4|＝－2(c－2)2，∴12|a－1|＋3|b＋4|＋2(c－2)2＝0．又∵12|a－1|≥0，3|b＋4|≥0，2(c－2)2≥0，∴12|a－1|＝0，3|b＋4|＝0，2(c－2)2＝0．∴a＝1，b＝－4，c＝2．∴b－2a＋3c＝0．∴b－2a＋3c的相反数是0．例2（1）若|x|＋|y－2|＝x，则y＝________．答案：2（2）若|x－1|＋|y＋2|＋|z－3|＝y＋2，求x－z的值．答案：解：∵|x－1|≥0，|y＋2|≥0，|z－3|≥0，∴|x－1|＋|y＋2|＋|z－3|≥0．∵|x－1|＋|y＋2|＋|z－3|＝y＋2，∴y＋2≥0．∴|y＋2|＝y＋2．∴|x－1|＋|z－3|＝0．∴x＝1，z＝3．∴x－z＝－2．练2若2|a＋1|＋|b|＋3(c－2)2＝b，求aca c-的值．答案：解：∵2|a＋1|≥0，|b|≥0，3(c－2)2≥0，∴2|a＋1|＋|b|＋3(c－2)2≥0．∵2|a＋1|＋|b|＋3(c－2)2＝b，∴b≥0．∴|b|＝b．∴2|a＋1|＋3(c－2)2＝0．∴a＝－1，c＝2．∴aca c-＝1212-⨯--＝23．模块二已知范围的化简已知范围的绝对值的化简（不重不漏）①|a|＝00a aaa a⎧⎪=⎨⎪-⎩＞＜②|a|＝a aa a⎧⎨-⎩≥＜③|a|＝a aa a⎧⎨-⎩＞≤⎧⎨⎩①给范围②给数轴答题器：请问|a|＝________A．a B．－a C．以上都错答案：C例3（1）若a≥1，则|a－1|＝________；若x＞－1，则|x＋1|＝________；若a≤2，则|a－4|＝________；若x＜3，则|3－x|＝________；若x≥－12，则|2x＋1|＝________．答案：a－1，x＋1，－a＋4，3－x，2x＋1k（2）|12018－12017|＋|12017－12016|＋|12016－12015|－|12015－12018|＝________．答案：0练3（1）若a≤－5，则|a＋1|＝________；若x＞－1.5，则|x＋4|＝________；若a≥12，则|13－2a|＝________；若x＜－2，则|1－2x|＝________．答案：－a－1，x＋4，2a－13，1－2x（2）已知1＜a＜3，化简|a－1|－|3－a|．答案：解：∵1＜a＜3，∴a－1＞0，3－a＞0．∴|a－1|＝a－1，|3－a|＝3－a．∴原式＝a－1－(3－a)＝2a－4．拓展3（1）若a＋b＜0，则|2a＋2b－1|－2|3－a－b|＝________．答案：－5（2）若|a|＝－a，b与a互为相反数，那么|b－a＋1|－|a－b－5|＝________．答案：－4课间小游戏猜谜语谜题：再见吧，妈妈（数学名词）分母谜题：1000×10＝10000（成语）成千上万谜题：考试不作弊（数学名词）真分数谜题：朱元璋登基（数学名词）消元谜题：员（数学名词）圆心谜题：风筝跑了（数学名词）线段例4（1）已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示：|b ＋c |＝________；|a ＋c |＝________；|b －c |＝________；|a －b |＝________． 答案：b ＋c ，－a －c ，－b ＋c ，－a ＋b（2）已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简：2|a |＋|b |＋4|a ＋b |－3|b －c |．答案：解：由题意，得a ＜0，b ＞0，a ＋b ＞0，b －c ＜0，∴|a |＝－a ，|b |＝b ，|a ＋b |＝a ＋b ，|b －c |＝－b ＋c ．∴原式＝－2a ＋b ＋4(a ＋b )－3(－b ＋c )＝－2a ＋b ＋4a ＋4b ＋3b －3c ＝2a ＋8b －3c ． 练4 （1）（2017－2018外校七上期中）有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则|a －c |－|a －b |－|b －c |＝________．答案：2a －2b（2）a 、b 、c 在数轴上的位置如图，若x ＝|a ＋b |－|b －1|－|a －c |－|1－c |，则1008x ＝________．答案：－2 例5 （1）（2017－2018武昌区七上期中）如图，数轴上A 、B 两点分别对应实数a 、b ，则下列结论正确的是（ ）A ．a ＋b ＞0B ．ab ＞0C ．1a ＋1b＞0 D ．1a －1b＜0 答案：C （2）（2017－2018二中七上期中）如图，a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．abc ＞0B ．(c －a )b ＜0C ．c (a －b )＜0D ．(b ＋c )a ＞0答案：BC 练5（2017－2018江汉区七上期中）数m 、n 在数轴上的大致位置如图所示，下列判断正确的是（ ）A ．m －n ＞0B ．m ＋n ＞0C ．mn ＞0D ．|m |－|n |＞0 答案：A 拓展5已知x ＜0＜z ，xy ＞0，|y |＞|z |＞|x |，那么|x ＋z |＋|y ＋z |－|x －y |的值是（ ）ba01-1BAA．是正数B．是负数C．是零D．不能确定符号答案：C模块三绝对值方程绝对值方程（整体）|x|＝1 |x|＝0 |x|＝－1解：x＝1或x＝－1 解：x＝0 解：方程无解|x＋1|＝1 |x＋1|＝0 |x＋1|＝－1解：x＋1＝1或x＋1＝－1 解：x＋1＝0 解：方程无解x＝0或x＝－2 x＝－1|3x－2|＝1 |3x－2|＝0 |3x－2|＝－1例6解下列绝对值方程：若|x|＝2，则x＝________；若|x|＝－2，则________；若|x＋1|＝0，则x＝________；若|2x－1|＝0，则x＝________；若|x＋1|＝2，则x＝________；若|2x－1|＝2，则x＝________．答案：±2，方程无解，－1，12，1或－3，32或－12练6解下列绝对值方程：|2x－3|＝5 |13x＋2|＝1 |5x－3|＝8答案：x＝4或－1，x＝－3或－9，x＝115或－1拓展6解下列关于x的绝对值方程：1 2|x＋1|＋2＝7－13|x＋1|答案：解：12|x＋1|＋13|x＋1|＝5 56|x＋1|＝5|x＋1|＝6x＋1＝6或－6x＝5或－711x--＝1 11x--＝0 11x--＝－1 解：|x－1|－1＝1或|x－1|－1＝－1 解：|x－1|－1＝0 解：方程无解|x－1|＝2或|x－1|＝0 |x－1|＝1x－1＝2或x－1＝－2或x－1＝0 x－1＝1或x－1＝－1x＝3或x＝－1或x＝1 x＝2或x＝0例7解下列绝对值方程：①12x+-＝0；②12x+-＝1；解：|x＋1|－2＝0 解：|x＋1|－2＝1或|x＋1|－2＝－1 |x＋1|＝2 |x＋1|＝3或|x＋1|＝1x＋1＝2或x＋1＝－2 x＋1＝3或x＋1＝－3或x＋1＝1或x＋1＝－1 x＝1或－3 x＝2或－4或0或－2③12x+-＝2；④12x+-＝3．解：|x＋1|－2＝2或|x＋1|－2＝－2 解：|x＋1|－2＝3或|x＋1|－2＝－3 |x＋1|＝4或|x＋1|＝0 |x＋1|＝5或|x＋1|＝－1x＋1＝4或x＋1＝－4或x＋1＝0 x＋1＝5或x＋1＝－5或方程无解x＝3或－5或－1 x＝4或－6练7解方程：321x--＝2答案：解：3－|2x－1|＝2或3－|2x－1|＝－2|2x－1|＝1或|2x－1|＝52x－1＝1或2x－1＝－1或2x－1＝5或2x－1＝－5x＝1或0或3或－2拓展7已知关于x的方程12x+-＝a有三个解，则a＝________．解：①a＝0时，|x＋1|＝2（舍）②a＞0时，|x＋1|－2＝a或|x＋1|－2＝－a|x＋1|＝a＋2或|x＋1|＝2－a∵a＞0，∴a＋2＞0．∴|x＋1|＝2－a有一个解．∴2－a＝0．∴a＝2．例8已知整数x、y满足|x|＋|y|＝1，求x、y的值．答案：解：∵|x|，|y|为非负整数，∴1xy⎧=⎪⎨=⎪⎩或1xy⎧=⎪⎨=⎪⎩．∴1xy=⎧⎨=⎩或1xy=-⎧⎨=⎩或1xy=⎧⎨=⎩或1xy=⎧⎨=-⎩．练8已知整数a、b满足|a＋1|＋|b－2|＝2，求a、b的值．答案：解：∵|a＋1|，|b－2|为非负整数，∴1022ab⎧+=⎪⎨-=⎪⎩或1121ab⎧+=⎪⎨-=⎪⎩或1220ab⎧+=⎪⎨-=⎪⎩．∴14ab=-⎧⎨=⎩或1ab=-⎧⎨=⎩或3ab=⎧⎨=⎩或1ab=⎧⎨=⎩或23ab=-⎧⎨=⎩或21ab=-⎧⎨=⎩或2ab=⎧⎨=⎩或42ab=-⎧⎨=⎩．。
《绝对值》 讲义
《绝对值》讲义一、什么是绝对值在数学的广袤世界里，绝对值是一个非常基础且重要的概念。
简单来说，绝对值就是一个数在数轴上距离原点的距离。
无论这个数是正数还是负数，它的绝对值总是非负的。
例如，5 的绝对值是 5，－5 的绝对值也是 5。
这是因为 5 和－5 在数轴上到原点的距离都是 5 个单位长度。
用数学符号来表示，一个数 a 的绝对值记作｜a| 。
二、绝对值的性质1、非负性绝对值的首要性质就是非负性，即对于任意实数 a ，都有｜a| ≥ 0 。
这是因为距离不能是负数。
2、互为相反数的两个数的绝对值相等如果 a 和 a 互为相反数，那么｜a| ＝｜a| 。
比如 3 和－3 ，它们的绝对值都是 3 。
3、若｜a| ＝ b （b ≥ 0 ），则 a ＝ ±b这意味着当我们知道一个数的绝对值，就可以推断出这个数可能的值。
例如，若｜x| ＝ 4 ，那么 x 可能是 4 或者－4 。
三、绝对值的计算1、正数的绝对值是其本身对于正数 a ，｜a| ＝ a 。
比如｜7| ＝ 7 。
2、 0 的绝对值是 0这是一个特殊情况，｜0| ＝ 0 。
3、负数的绝对值是它的相反数对于负数 a ，｜a| ＝ a 。
例如，｜－9| ＝（－9) ＝ 9 。
四、绝对值的几何意义从几何角度看，绝对值表示的是数轴上两点之间的距离。
例如，｜a b| 表示数轴上 a 点和 b 点之间的距离。
如果我们要计算｜x 3| ，就可以理解为 x 这个点到 3 这个点的距离。
五、绝对值不等式1、当｜a| ＜ b （b ＞ 0 ）时， b ＜ a ＜ b比如，｜x| ＜ 5 ，那么－5 ＜ x ＜ 5 。
2、当｜a| ＞ b （b ＞ 0 ）时， a ＜ b 或 a ＞ b例如，｜x| ＞ 2 ，则 x ＜－2 或 x ＞ 2 。
六、绝对值在方程中的应用在方程中，绝对值的出现常常会使问题变得复杂，但只要掌握了正确的方法，也能迎刃而解。
例如，方程｜x 1| ＝ 2 ，根据绝对值的性质， x 1 ＝ 2 或 x 1 ＝－2 ，解得 x ＝ 3 或 x ＝－1 。
(完整word)初一数学绝对值综合专题讲义
绝对值综合专题讲义绝对值的定义及性质绝对值的定义: ________________________________________________绝对值的性质：(1)绝对值的非负性，可以用下式表示f(2)|a|=《___________________________L ~(3)若|a|=a，则;若|a|=-a,则;任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，(4)若|a|=|b|,则(5)|a+b| |a|+|b| |a-b|||a|-|b|||a|+|b|a+b| |a|+|b||a-b|【例1】(1)绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？(2)若ab<|ab|,则下列结论正确的是( )A.a v 0, bv 0B.a> 0, b v 0C.a v 0, b> 0D.ab v 0(3)下列各组判断中，正确的是( )A.若|a|=b,则一定有a=bB.若|a|>|b|,则一定有a>bC.若|a|>b,则一定有|a|>|b|D.若|a|=b,则一定有a2 =(-b) 2(4)设a, b是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？(5)若3|x-2|+|y+3|=0，则翌的值是多少？x(6)若|x+3|+(y-1) 2=0,求(― )n的值y x【巩固】1、绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？2、有理数a与b满足|a|>|b|,则下面哪个答案正确( )A.a> bB.a=bC.a<bD.无法确定3、若|x-3|=3-x，贝U x的取值范围是4、若a> b,且|a|<|b|,则下面判断正确的是( )A.av 0B.a> 0C.bv 0D.b >05、设a,b是有理数，则8 |a b |是有最大值还是最小值？其值是多少?小知识点汇总：若(x-a)2 +(x-b) 2 =0,贝U; 若|x-a|+(x-b) 2=0,贝(]若|x-a|+|x-b|=0，贝U;【例2】(1)已知x是有理数，且|x|=|-4|,那么x=(2)已知x是有理数，且-|x|=-|2|,那么x=(3)已知x是有理数，且-|-x|=-|2|，那么x=(4)如果x, y表示有理数，且x, y满足条件|x|=5, |y|=2, |x-y|=y-x，那么x+y的值是多少？、一3 一—一—- (5)解方程-|x 5| 5 02(6)解方程|4x+8|=12(7) 若已知a 与b 互为相反数，且|a-b|=4,求 【巩固】1、巩固|x|=4 , |y|=6,求代数式|x+y|的值2、解方程 |3x+2|=-1.化简绝对式 ]【例3】(1) 已知 a=-1 , b=-1 ,求 | 2a 4b 2| —4一 -------------------- 2----------- 的值 2 3 (a 2b) |a 2b | 14b 3 12a 3||(2)若 |a|=b ，求 |a+b| 的值 (3) 化简：|a-b|(4) 有理数a, b, c 在数轴上对应点如图所示，化简 |b+a|+|a+c|+|c-b|_j ___________ LJ ______ l *C B 0 A【巩固】1、化简：(1) |3.14-兀 | (2) |8-x| (x>8)a ab b 皿,士----- 的值ab 13、已知|x-1|=2 , |y|=3,且x 与y 互为相反数，求 xy 4y 的值2、已知a, b, c在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|a 0 cb >3、数a, b在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||a 0 ba【例4】(1)右a<-b 且一0 ,化间|a|-|b|+|a+b|+|ab|b(2)若-2w a< 0,化简|a+2|+|a-2|(3)已知x<0<z,xy>0,|y|>|z|>|x|,求|x+z|+|y+z|-|x-y| 的值(4)已知x<-3,化简|3+|2-|1+x|||(5)化简|x+5|+|2x-3|2a |3a| (6)若a<0,试化简||3a| a|.. a b c ,(7)右abc 乒0,贝U —— —— ——的所有可能值|a| |b| |c| 【巩固】1、如果 0<m<10 并且 mV x< 10,化简 |x-m|+|x-10|+|x-m-10|2、 有理数a, b, c, d,满足些！ 1,求回凹凹回的值abcd a b c d3、 化简:|2x-1|4、 求 |m|+|m-1+|m-2| 的值【例 5】求 |x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7| 的最小值|a 的几何意义: __________________________ ; |a-b|的几何意义： ____________________【巩固】1、如图，在接到上有A、B、C、D、E五栋居民楼，现在设立一个邮筒，为使五栋楼的居民到邮筒的就努力之和最短，邮局应立于何处？I II IIA B C D E2、设a1、a2、a3、a4、a5为五个有理数，满足a1< a 2 < a 3 < a4 < a 5,求|x- a1 |+|x- a 2 |+|x- a 3 |+|x- a4 |+|x- a51的最小值3、设a<b<c<d,求y=|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|的最小值，并求出此时x的取值题后小结论：求|x-a1 |+|x-a2]+••• + |x-a n |的最小值:附加例题【例1】若|a|=1, |b|=2, |c|=3,且a>b>c，那么a+b-c=【例2】已知(a+b)2+|b+5|=b+5,且|2a-b-1|=0,那么ab=【例3】对于|m-1|,下列结论正确的是( )A.|m-1| > |m|B.|m-1|< |m|C. |m-1| > |m|-1D. |m-1| < |m|-1【例 4】 设 a, b, c 为实数，且 |a|+a=O, |ab|=ab, |c|-c=0,化简 |b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|【例 5】 化简：||x-1|-2|+|x+1|【例6】 已知有理数a, b, c 满足 也J 凹 1£1 1,求但竺|的值a b c abc【例7】 若a, b, c, d 为互不相等的有理数，且|a-c|=|b-c|=|d-b|=1，求|a-d| 家庭作业b 、c 是有理数，并且有|2+ b|+(3 a+2c) 2=0.-的值.43、|m+3 |+|n-2 |+|2p-1|=0,求 p+2m+3n 的值4、若 a, b, c 为整数，且 | a-b | 19+ I c-a | 99=1，试计算 | c-a | + | a-b | + | b-c | 的值5、 ( 1)已知|x|=2, |y|=3且x-y>0,则x+y 的值为多少?(2)解方程：|4x-5|=81、当b 为何值时，5-2b1有最大值，最大值是多少?2、已知a 是最小的正整数,(1)有理数a, b, c 在数轴上对应点如图所示，化简 |a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|(2)若 av b,求 |b-a+1|-|a-b-51的值(3)右 av 0 , 化简 |a-|-a||8、化简 |x-1|-|x-3|9、6、设av bv c,求当x 取何值时|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值10、若x y 3与x y 1999互为相反数，求-— 的值11、若2x+ | 4-5x | + | 1-3x | +4的值恒为常数，求 x 该满足的条件及此常数的值。
绝对值知识讲解及经典例题
第三讲绝对值【例2】若|a＋1|＝3，则a－3的值为（）．A．－1 B．－7 C．－7或－1 D．2或－4【解析】（方法1）因为|a＋1|＝3，由绝对值的几何意义可得，数轴上表示数(a＋1)的点与原点的距离是3．故a＋1＝±3．所以a＝3－1＝2或a＝－3－1＝－4．所以a－3＝2－3＝－1或－4－3＝－7．故选C．（方法2）由|a＋1|＝3，得|a－3＋4|＝3．所以a－3＋4＝±3．将a－3看作一个整体，得a－3＝－3＋4＝－1或a－3＝－3－4=－7．故选C．【答案】C．【例3】若|a|＝2，|b|＝6，a＞0＞b，则a＋b＝________．【解析】由|a|＝2，a＞0可得a＝2．由|b|＝6，b＜0可得b＝－6．所以a＋b＝2＋（－6）＝－4．【答案】－4．知识点2 有理数比较大小（1）利用有理数的性质比较大小①法则：正数大于0,0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小.②比较两个负数大小的步骤：a.分别求出这两个负数的绝对值；b.比较这两个绝对值的大小；c.根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确判断．（2）利用数轴比较大小数轴上不同的两个点表示的数，左边的点表示的数总比右边的点表示的数小．【注意】比较两个数大小时，在比较两个数的绝对值的大小后，不要忘记比较问题中原数的大小．【例5】在，0，－2，，2这五个数中，最小的数为（）．A．0 B．C．－2 D．【解析】（方法一）正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．由此可得－2最小．（方法二）把这几个数在数轴上表示出来，然后根据最左边的点所对应的数最小得出结论．【答案】C．【例6】把表示下列各数的点画在数轴上，再按从小到大的顺序，用“＜”号把这些数连接起来：2，－0.5，0，1.5，－2.5．【解析】先把数2，－0.5，0，1.5，－2.5分别在数轴上表示出来，然后根据数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数得出结论．【答案】由数轴可得，－2.5＜－0.5＜0＜1.5＜2 ．【例7】已知a＞0，b＞0，且|a|＞|b|，则a，－a，b，－b的大小关系是_______（用“＜”号连接）．【解析】由a＞0，b＞0，且|a|＞|b|，可以得到a＞b＞0．由此再得到－a＜－b＜0，所以a，－a，b，－b的大小关系是－a＜－b＜b＜a．【答案】－a＜－b＜b＜a．2.一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越_____.3.－32的绝对值是_____. 4.绝对值最小的数是_____.5.绝对值等于5的数是_____，它们互为_____.6.若b ＜0且a =|b |，则a 与b 的关系是______.7.一个数大于另一个数的绝对值，则这两个数的和一定_____0（填“＞”或“＜”）.8.如果|a |＞a ，那么a 是_____.9.绝对值大于2.5小于7.2的所有负整数为_____.10.将下列各数由小到大排列顺序是_____.－32，51 ，|－21|，0，|－5.1| 11.如果－|a |=|a |，那么a =_____.12.已知|a |+|b |+|c |=0，则a =_____，b =_____，c =_____.13.比较大小（填写“＞”或“＜”号）（1）－53_____|－21|（2）|－51|_____0（3）|－56|_____|－34| 14.计算 （1）|－2|×(－2)=_____ （2）|－21|×5.2=_____ （3）|－21|－21=_____ （4）－3－|－5.3|=_____ 15.任何一个有理数的绝对值一定（ ）A.大于0B.小于0C.不大于0D.不小于016.若a ＞0，b ＜0，且|a |＜|b |，则a +b 一定是（ ）A.正数B.负数C.非负数D.非正数17.下列说法正确的是（ ）A.一个有理数的绝对值一定大于它本身B.只有正数的绝对值等于它本身C.负数的绝对值是它的相反数D.一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数18.下列结论正确的是（ ）A.若|x |=|y |，则x =－yB.若x =－y ，则|x |=|y |C.若|a |＜|b |，则a ＜bD.若a ＜b ，则|a |＜|b |19.某班举办“迎七一”知识竞赛，规定答对一题得10分，不答得0分，答错一题扣10分，今有甲、乙、丙、丁四名同学所得分数，分别为+50，+20，0，－30，请问哪个同学分数最高，哪个最低，为什么？最高分高出最低分多少？1．在数轴上看，零一切负数，零一切正数；两个数，右边的数左边的数，原点左侧的点所代表的数越向左越，即离原点越远，表示的数越，所以两个负数比较大小，绝对值大的反而。
绝对值(基础)知识讲解
绝对值（基础）【学习目标】1．掌握一个数的绝对值的求法和性质；2．进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；3．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.【要点梳理】要点一、绝对值1.定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|. 要点诠释：（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有：（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．要点二、有理数的大小比较1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ．2.法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．3. 作差法：设a 、b 为任意数，若a -b ＞0，则a ＞b ；若a -b ＝0，则a ＝b ；若a -b ＜0，a ＜b ；反之成立．4. 求商法：设a 、b 为任意正数，若1a b >，则a b >；若1ab =，则a b =；若1a b<，则a b <；反之也成立．若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反．5. 倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.【典型例题】类型一、绝对值的概念1．求下列各数的绝对值．(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩112-，-0.3，0，132⎛⎫-- ⎪⎝⎭【思路点拨】112，-0.3，0，132⎛⎫-- ⎪⎝⎭在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字就是各数的绝对值．还可以用绝对值法则来求解．【答案与解析】 解法一：因为112-到原点距离是112个单位长度，所以111122-=． 因为-0.3到原点距离是0.3个单位长度，所以|-0.3|＝0.3．因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0|＝0． 因为132⎛⎫-- ⎪⎝⎭到原点的距离是132个单位长度，所以113322⎛⎫--= ⎪⎝⎭． 解法二：因为1102-<，所以111111222⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭． 因为-0.3＜0，所以|-0.3|＝-(-0.3)＝0.3．因为0的绝对值是它本身，所以|0|＝0． 因为1302⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以113322⎛⎫--= ⎪⎝⎭． 【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法1)，一种是利用绝对值的代数意义求解(如方法2)，后种方法的具体做法为：首先判断这个数是正数、负数还是0．再根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是0．从而求出该数的绝对值．2．已知一个数的绝对值等于2009，则这个数是________．【答案】2009或-2009【解析】根据绝对值的定义，到原点的距离是2009的点有两个，从原点向左侧移动2009个单位长度，得到表示数-2009的点；从原点向右侧移动2009个单位长度，得到表示数2009的点．【总结升华】已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法都要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数. 举一反三：【变式1】求绝对值不大于3的所有整数．【答案】绝对值不大于3的所有整数有-3、-2、-1、0、1、2、3．【高清课堂：绝对值比大小 356845 典型例题3】【变式2】如果｜x ｜＝2，那么x ＝_____ _ ； 如果｜－x ｜＝2，那么x ＝______． 如果｜x －2｜＝1，那么x ＝ ； 如果｜x ｜＞3，那么x 的范围是 ．【答案】2-2+或；2-2+或；1或3；x>3或x<-3【变式3】数轴上的点A 到原点的距离是6，则点A 表示的数为 ．【答案】6或-6类型二、比较大小3．比较下列有理数大小：(1)-1和0； (2)-2和|-3| ；(3)13⎛⎫-- ⎪⎝⎭和12- ；（4）1--______0.1--【答案】(1)0大于负数，即-1＜0；(2)先化简|-3|＝3，负数小于正数，所以-2＜3，即-2＜|-3|；(3)先化简1133⎛⎫--= ⎪⎝⎭，1122-=，1123>，即1132⎛⎫--<- ⎪⎝⎭． (4)先化简11--=-，0.10.1--=-，这是两个负数比较大小：因为11-=，0.10.1-=，而10.1>，所以10.1-<-，即1--＜0.1--【解析】(2)、(3)、（4）先化简，再运用有理数大小比较法则．【点评】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断．举一反三：【高清课堂：绝对值比大小 356845 典型例题2】【变式1】比大小： 653-______763- ； -|-3.2|______-(+3.2)； 0.0001______－1000； 1.38-______－1.384； －π______－3.14．【答案】＞；=；＞；＞；＜【变式2】（山东临沂）下列各数中，比－1小的数是（ ）A ．0B ．1C ．－2D ．2【答案】C【变式3】数a 在数轴上对应点的位置如图所示，则a ，-a ，-1的大小关系是( )．A ．-a ＜a ＜-1B ．-1＜-a ＜aC ．a ＜-1＜-aD ．a ＜-a ＜-1【答案】C类型三、绝对值非负性的应用4. 已知|2-m|+|n-3|＝0，试求m-2n的值．【思路点拨】由｜a｜≥0即绝对值的非负性可知，｜2-m｜≥0，｜n-3｜≥0，而它们的和为0．所以｜2-m｜＝0，|n-3|＝0．因此，2-m＝0，n-3＝0，所以m＝2，n＝3．【答案与解析】因为|2-m|+|n-3|＝0且|2-m|≥0，|n-3|≥0所以|2-m|＝0，|n-3|＝0即2-m＝0，n-3＝0所以m＝2，n＝3故m-2n＝2-2×3＝-4．【总结升华】若几个数的绝对值的和为0，则每个数都等于0，即|a|+|b|+…+|m|＝0时，则a＝b＝…＝m＝0．类型四、绝对值的实际应用5．正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．【答案】因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜-20｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜，所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．【解析】根据实际问题可知，哪个足球的质量偏离规定质量越小，则足球的质量越好．这个偏差可以用绝对值表示，即绝对值越小偏差也就越小，反之绝对值越大偏差也就越大．【点评】绝对值越小，越接近标准.举一反三：【变式1】某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量(不含包装)可以有0.002L 的误差．现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数．检查结果如下表：请用绝对值知识说明：(1)哪几瓶是合乎要求的(即在误差范围内的)?(2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量？【答案】(1)绝对值不超过0.002的有4瓶，分别是检查结果为+0.0018，-0.0015，+0.0012，+0.0010的这四瓶．(2)第6瓶净含量与规定的净含量相差最少，最接近规定的净含量．【变式2】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?【答案】小虫爬行的总路程为：|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm)．小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒)．初夏早上六点，清亮透明的月儿还躲藏在云朵里，不忍离去，校园内行人稀少，我骑着单车，晃晃悠悠的耷拉着星松的睡眼。
绝对值专题 讲义
【知识点整理】绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a的绝对值记作a.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.求字母a的绝对值：①(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a aaa a≥⎧=⎨-<⎩③(0)(0)a aaa a>⎧=⎨-≤⎩利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c++=，则0a=，0b=，0c=绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a≥，且a a≥-；（2）若a b=，则a b=或a b=-；（3）ab a b=⋅；aab b=(0)b≠；（4）222||||a a a==；a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b-的几何意义：在数轴上，表示数a．b对应数轴上两点间的距离．【例题精讲】模块一、绝对值的性质【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（）A．±2 B．2 C．-2 D．4【例2】下列说法正确的有（）①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．A．②④⑤⑥B．③⑤C．③④⑤D．③⑤⑥绝对值专题讲义【例3】如果a 的绝对值是2，那么a 是（ ）A ．2B ．-2C ．±2D ．12±【例4】若a ＜0，则4a +7|a |等于（ ）A ．11aB ．-11aC ．-3aD ．3a【例5】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）A ．1，0B ．正数C ．非正数D ．非负数【例6】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ）A ．7或-7B ．7或3C ．3或-3D ．-7或-3【例7】若1-=x x，则x 是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数【例8】已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞aB ．1+a ＞a ＞1-b ＞-bC ．1+a ＞1-b ＞a ＞-bD ．1-b ＞1+a ＞-b ＞a【例9】已知a ．b 互为相反数，且|a -b |=6，则|b -1|的值为（ ）A ．2B ．2或3C ．4D ．2或4【例10】a ＜0，ab ＜0，计算|b -a +1|-|a -b -5|，结果为（ ）A ．6B ．-4C ．-2a +2b +6D ．2a-2b-6【例11】若|x +y |=y -x ，则有（ ）A ．y ＞0，x ＜0B ．y ＜0，x ＞0C ．y ＜0，x ＜0D ．x =0，y ≥0或y =0，x ≤0【例12】已知：x ＜0＜z ，xy ＞0，且|y |＞|z |＞|x |，那么|x +z |+|y +z |-|x -y |的值（）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号【巩固】2a b c d +++=已知、、、都是整数，且a+b b+c c+d d+a ，则=a+d 。
绝对值全面分析
一、绝对值的意义及其化简（1）绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示a 的点与原点的距离。
数a 的绝对值记作a（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.（3）绝对值的性质：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩或(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩（4）绝对值其他的重要性质：①任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥且a a ≥- ②若a b =，则a b =或a b =- ③a b a b ⋅=⋅，a ab b=（0b ≠） ④ 222a a a ==二、绝对值的非负性（1）非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为0 （2） 绝对值的非负性；若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c = （3） 若 a b b += ，则 0a =，0b ≥ （4） 若=1a a则0a >= - 1a a则0a < 对于任意非零实数a ，= 1a a ±（5） 若 2()a +2()b = 0 ，则0a =，0b = （6） 若 2()0a b += ，则0a =，0b =三、绝对值的化简零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．四、绝对值的几何意义（1）a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．（2）a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．绝对值全面分析知识讲解一、绝对值的意义【例1】 在数轴上表示数a 的点到原点的距离是13，那么a = 【变式练习】绝对值等于2的数有 个，是【变式练习】绝对值不大于7且大于4的整数有 个，是【例2】 下列说法正确的有（ ）①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等； ③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数． A ．②④⑤⑥ B ．③⑤ C ．③④⑤ D ．③⑤⑥【例3】 已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞aB ．1+a ＞a ＞1-b ＞-bC ．1+a ＞1-b ＞a ＞-bD ．1-b ＞1+a ＞-b ＞a二、绝对值的化简【例4】 计算：3π- = ，若23x -=，则x = 【变式练习】若220x x -+-=，则x 的取值范围是【变式练习】已知：52a b ==，，且a b <；分别求a b ，的值【例5】 如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求11a b b a c c +------的值.【变式练习】已知00x z xy y z x <<>>>，，，那么x z y z x y +++--=同步练习【变式练习】数,a b 在数轴上对应的点如右图所示，化简a b b a b a a ++-+--【例6】 设a,b,c 为非零实数，且0a a +=，ab ab =，0c c -=．化简b a b c b a c -+--+-【例7】 已知a ．b 互为相反数，且|a -b |=6，则|b -1|的值为（ ）A ．2B ．2或3C ．4D ．2或4【例8】 已知：abc ≠0，且M =abca b c++，当a ，b ，c 取不同值时，M 有 ____种不同可能． 当a 、b 、c 都是正数时，M = ______；当a 、b 、c 中有一个负数时，则M = ________； 当a 、b 、c 中有2个负数时，则M = ________； 当a 、b 、c 都是负数时，M =__________ ．三、绝对值的非负性【例9】 若42a b -=-+，则 _______a b +=【例10】2+50a b --=，则 _______ab = 【变式练习】若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋ 【例11】若()2130a b -++=，则a b +=【例12】设a,b 同时满足①2(2)|1|1a b b b -++=+；②|3|0a b +-=．那么ab =【变式练习】已知2()55a b b b +++=+，且210a b --=，那么ab =______四、零点分段法【例13】阅读下列材料并解决相关问题：我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+ ⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--= ⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=- 综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥12x x ++-的最小值为两零点之间的距离，即12x -≤≤时12x x ++-=3为最小值通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题： ⑴分别求出2x +和4x -的零点值 ⑵化简代数式24x x ++-，并求出最小值五、绝对值的几何意义拓展【例14】m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离⑴ x 的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离； 0-（>，=，<）；⑵ 21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则21-= ； ⑶ 3x -的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若31x -=， 则x = ．⑷ 2x +的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若22x +=， 则x = ．⑸ 当1x =-时，则22x x -++=【例15】15x x -+- 的最小值为_______，此时x 的范围为______ 【变式练习】23x x ++- 的最小值为_______，此时x 的范围为______ 【例16】324x x ++-+的最小值是_______【变式练习】化简12m m m +-+-的值【变式练习】已知m 是实数，求2468m m m m -+-+-+-的最小值【例17】如图所示，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A 、B 、C 、D 、E 、F 到城市的距离分别为4、10、15、17、19、20千米，而村庄G 正好是AF 的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？【变式练习】如图所示为一个工厂区的地图，一条公路（粗线）通过这个地区，7个工厂1A ，2A ，…，7A 分布在公路的两侧，由一些小路（细线）与公路相连．现在要在公路上设一个长途汽车站，车站到各工厂（沿公路、小路走）的距离总和越小越好，那么这个车站设在什么地方最好？如果在P 点又建立了一个工厂，并且沿着图上的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？【习题1】若a 的绝对值是12，则a 的值是（ ）A ．2B ．-2C ．12D ．12±【习题2】若|x |=-x ，则x 一定是（ ）A ．负数B ．负数或零C ．零D ．正数【习题3】如果|x -1|=1-x ，那么（ ）A ．x ＜1B ．x ＞1C ．x ≤1D ．x ≥1【习题4】若|a -3|=2，则a +3的值为（ ）A ．5B ．8C ．5或1D ．8或4FEDCBPA 7A 6A 5A 4A 3A 2A 1课后练习【习题5】若x ＜2，则|x -2|+|2+x |=________________【习题6】绝对值小于6的所有整数的和与积分别是__________【习题7】如图所示，a ．b 是有理数，则式子|a |+|b |+|a +b |+|b -a |化简的结果为 __________【习题9】如图，有理数x ，y 在数轴上的位置如图，化简：|y-x |-3|y +1|-|x |= ________【习题10】若3230x y -++=，则x的值是多少？【习题11】4x -的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若42x -=，则x = ．【习题12】化简：212x x x -++-ba-11yx-121。
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聚焦《绝对值》
【图解考点】
【技法透析】
1．绝对值的基本性质
在含有绝对值式子的运算及变形中，绝对值的性质有很重要的作用，其主要性质有：若a、b为有理数，则：
(1)非负性：①a≥0；②若a＋b＝0，则a＝b＝0；
(2)若a＝b，则a＝±b；222
==
a a a
(3)ab a b =•；a a b b =（b ≠0）； ④a b a b a b -≤±≤+．
特别关注：若干个非负数之和为0，则这几个非负数必须同时为0，即：a ＋b ＋…＋n ＝0，则a ＝b ＝…＝n ＝0．
2．去绝对值符号的方法
去掉绝对值符号是绝对值化简的关键，而绝对值符号内的数（或式）的正负性的判断是化简的关键，在实际运用中常见的去绝对值符号的方法有：
(1)由已知条件去绝对值．
(2)从数轴上“读取”相关信息，运用数形结合去绝对值．
(3)运用“零点分段法”分类讨论去绝对值，
特别关注：对于多个绝对值问题，其解题思路为：求零点、分区间、定性质、去符号，即令各绝对值代数式为零，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成若干个区间，再在各区间内化简求值即可．
3．绝对值方程
(1)最简单的绝对值方程为x ＝a ，它的解法情况如下： ①当a>0时，方程有两解：x ＝a 或x ＝－a ，
②当a ＝0时，方程有一解：x ＝0，
③当a<0时，方程无解．
(2)解绝对值方程的一般步骤
①求出各个零界点．
②根据未知数的取值范围分类讨论．
③去绝对值符号，化为一般方程求解，在转化过程中，经常荽用到分类讨论，数形结合等方法．在解题过程中，要充分利用绝对值的意义和性质，善于观察，发掘题目中的隐含条件，从而简化解题过程．
特别关注：对于解绝对值方程，零点分段法是一种非常重要的方法．
4．绝对值的几何意义在生活中的应用
在实际生活中经常要通过借助数轴模型使复杂的数量关系形象化，简单化，同时又使实际问题数学化，从而运用绝对倌的几何定义求解．一般地，设a 1，a 2，a 3，…a n 是数轴上依次排列的点表示的有理数，对于12n x a x a x a -+-+-L ，则：
(1)当n 为奇数时，此式在x ＝12
n a +时取最小值；
(2)当n 为偶数时，此式在2n a ≤x ≤12
n a +时取最小值． 【名题精讲】
赛点1 绝对值的化简
例 1 1111111111201720162016201520152014322-+-+-++-+-L ＝
_______．
【切题技巧】 脱去绝对值符号是绝对值化简的切入点，而对绝对值符号中的正负性的判断是化简的关键，本例若直接化简会很繁锁，应从a 的性质入手，由题中条件可知，每一绝对值符号内均为负数，于是有当a<0时a ＝－a ．
【规范解答】 原式=
1111111-----12017201620162015201520142----L （）（）（）（）=12016-+120172017
= 【借题发挥】 绝对值化简关键是要去掉绝对值符号，而要去掉绝对值符号，先要对绝对值符号中的数（或式）的正负性进行判断．去掉绝对值符号有三种方法，本例可以由已知条件直接判断各个绝对值符号内均为负数，于是可以利用1a 1的性质顺利达到去掉绝对值符号的目的．
【同类拓展】1．有理数a ，b 的大小关系如图，则1
21
2a b a b a b a b -++-+-++的值是( D )。