高中数学培优班第三十七讲 直线与圆锥曲线
高中数学压轴培优教程—圆锥曲线篇
高中数学压轴培优教程圆锥曲线篇目录第一章基础篇1.1曲线与方程 (1)1.2顶角最大问题 (19)1.3渐近线性质 (25)1.4共焦点问题 (35)1.5面积问题 (49)1.6抛物线的性质 (67)1.7定点问题 (83)1.8定值问题 (111)1.9最值与范围问题 (161)第二章技法篇2.1垂径定理与第三定义 (189)2.2点差法与定比点差法 (205)2.3点乘双根法 (225)2.4齐次化巧解双斜率问题 (233)2.5同构式方程简化运算 (251)2.6非对称韦达定理 (265)第三章观点篇3.1椭圆的共轭直径 (279)3.2圆锥曲线等角定理 (293)3.3蒙日圆及其应用 (307)3.4阿基米德三角形 (321)3.5椭圆中的蝴蝶模型 (335)3.6曲线系及其应用 (347)3.7极点极线与调和点列 (363)参考文献 (411)第二章 技法篇2192.2 点差法与定比点差法一、知识纵横1、点差法的原理（1）假设点1111(,),(,)A x y B x y 在有心二次曲线22221±=x y a b 上，且弦AB 的中点为00(,)M x y ．,A B 代入曲线，有22112222222211⎧±=⎪⎪⎨⎪±=⎪⎩x y a b x y a b ，两式作差，得1212121222()()()()0+−+−±=x x x x y y y y a b ；左右两边同除以1212()()++x x x x ，得1212221212110+−±⋅⋅=+−y y y y a b x x x x ．变形得220201⋅=±=−AB y b k e x a ，其中e 为有心二次曲线的离心率(圆的离心率0=e )．（2）抛物线22=y px ，任意弦AB 的中点为00(,)M x y ，,A B 代入曲线，有21122222⎧=⎪⎨=⎪⎩y px y px ，两式作差，得121212()()2()+−=−y y y y p x x ，左右两边同除以12()−x x ，得0⋅=AB k y p ．2、有心二次曲线实仿射平面的有一个对称中心的常态二次曲线称为有心二次曲线，所有有心二次曲线都是椭圆或双曲线． 3、点差法基本题型（1）求以定点为中点的弦所在直线的方程 （2）过定点的弦和平行弦的中点轨迹问题 （3）求与中点弦有关的圆锥曲线的方程 （4）圆锥曲线上两点关于某直线对称问题与中点有关的的几何特征：对称、垂直平分、等腰三角形、菱形、平行四边形等． 4、点差法在双曲线中的适用条件已知双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b，任意弦AB 的中点00(,)M x y ，若当中点00(,)M x y 满足22002201−x y a b ≤≤，则这样的双曲线的中点弦不存在（如图阴影部分）；若当中点00(,)M x y 满足2200221−>x y a b 或2200220−<x y a b，则这样的双曲线的中点弦存在．高中数学压轴培优教程———圆锥曲线篇5、定比分点若λ=AM MB ，则称点M 为点,A B 的λ定比分点． 当0λ>时，点M 在线段AB 上，称为内分点；当0(1)λλ<≠−时，点M 在线段AB 的延长线上，称为外分点．定比分点坐标公式：若点1122(,),(,)A x y B x y ，λ=AM MB ，则点M 的坐标为1212(,)11λλλλ++++x x y y M ． 6、定比点差法原理：若λ=AM MB ，λ=−AN NB ，则称,M N 调和分割,A B ，根据定义，那么,A B 也调和分割,M N ．定理：设,A B 为有心二次曲线22221±=x y a b上的两点，若存在,M N 两点，满足λ=AM MB ，λ=−AN NB ，则一定有221⋅⋅±=M N M Nx x y y a b ． 证明：（1）设点1122(,),(,)A x y B x y ，(,),(,)M M N N M x y N x y ， 因为λ=AM MB ，λ=−AN NB ， 则由定比分点坐标公式可得1212(,)11λλλλ++++x x y y M ，1212(,)11λλλλ−−−−x x y y N (1)λ≠±， 将,A B 代入曲线，有221122222222 1 1 ⎧±=⎪⎪⎨⎪±=⎪⎩①②x y a b x y a b ，2222222222 λλλλ⨯±=②③得x y a b ①-③，得21212121222()()()()1λλλλλ+−+−±=−x x x x y y y y a b． 这样就得到了12121212221111111λλλλλλλλ+−+−⋅⋅±⋅⋅=+−+−x x x x y y y y a b ，则221⋅⋅±=M N M N x x y y a b ．（2）若点(,)M M M x y 为异于原点的定点，则点N 在直线221⋅⋅±=M M x x y ya b 上． 7、定比点差法基本题型（1）求弦长被坐标轴分界的两段的比值范围；（2）简化证明过定点的直线问题的运算以及定值问题；二、典型例题第二章 技法篇2211、 点差法关于点差法的研究，在解析几何中有着广泛的应用，主要有以下四种基本题型． 1．1、求以定点为中点的弦所在直线的方程例1．已知双曲线2212−=y x ，过()1,1B 能否作直线l ，使l 与双曲线交于,P Q 两点，且B 是线段PQ 的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由． 【解析】假设这样的直线存在，设点11(,)P x y 、22(,)Q x y 点B 是线段PQ 的中 121222+=⎧⎨+=⎩x x y y ，221122221212⎧−=⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩y x y x 两式相减得：121212121()()()()02+−−+−=x x x x y y y y ， 左右两边同除以1212()()+−x x x x ，得121212121102+−−⋅⋅=+−y y y y x x x x ，即001111022−⋅⋅=−⋅=PQ PQ y k k x ，解得2=PQ k ，又直线l 过,,P Q B 三点，所以l 的方程为12(1)−=−y x ，即210−−=x y ．联立直线与双曲线2212210⎧−=⎪⎨⎪−−=⎩y x x y ，消去y 得22430,162480−+=∆=−=−<x x ， 此方程无实数解，与假设矛盾，所以满足题设的直线不存在．【注】本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心．由此题可看到中点弦问题中判断点的M 位置非常重要．若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；若中点M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在． 1．2、求过定点的弦或平行弦的中点轨迹例2．已知椭圆22143+=x y 的弦AB 所在直线过点(1,1)E ，求弦AB 中点F 的轨迹． 【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则弦AB 的中点(,)F x y ， 若直线AB 的斜率存在，将,A B 代入椭圆，的22112222143143⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ， 两式作差，得12121212()()()()043+−+−+=x x x x y y y y ，左右两边同除以1212()()+−x x x x ，高中数学压轴培优教程———圆锥曲线篇得1212121211043+−+⋅⋅=+−y y y y x x x x ，即121211043−+⋅⋅=−y y y x x x ，又四点,,,A B E F 共线， 所以直线EF 的斜率11−−y x 等于直线AB 的斜率1212−−y y x x ，则1110431−+⋅⋅=−y y x x ，整理得2234340+−−=x y x y ．若直线AB 的斜率不存在，则AB 的方程为1=x ，代入椭圆方程解得,A B 的坐标为33(1,),(1,)22−，所以(1,0)F 也满足上述方程．故2234340+−−=x y x y 为所求点F 的轨迹方程．【注】不难看出，在求满足一定条件的动弦的中点轨迹方程时，利用点差法可以大大减少计算量，简化推理过程．1．3、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例3．已知中心在原点，一焦点为F 的椭圆被直线:32=−l y x 截得的弦的中点的横坐标为12，求椭圆的方程．【解析】设椭圆的方程为22221+=y x a b ，则2250−=a b ┅┅①设弦端点11(,)P x y 、22(,)Q x y ，弦PQ 的中点00(,)M x y ，则012=x ， 001322=−=−y x 所以12021+==x x x ，12021+==−y y y ,P Q 两点代入椭圆方程，得22112222222211⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y x a b y x a b ，两式相减得1212121222()()()()0+−+−+=y y y y x x x x a b ， 即221212()()0−−+−=b y y a x x ，所以 212212−=−y y a x x b ，即 223=a b┅┅② 联立①②解得275=a ，225=b ，故所求椭圆的方程是2217525+=y x ． 1．4、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题例4．已知椭圆22143+=x y ，试确定的m 取值范围，使得对于直线4=+y x m ，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称．【解析】设111(,)P x y ，222(,)P x y 为椭圆上关于直线4=+y x m 的对称两点，00(,)P x y 为弦12PP 的中点，第二章 技法篇223则22112222143143⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，两式作差得：12121212()()()()043+−+−+=x x x x y y y y ， 左右两边同除以1212()()+−x x x x ，得1212121211043+−+⋅⋅=+−y y y y x x x x ，由题意可知：1202+=x x x ，1202+=y y y ，121214−=−−y y x x ， 所以003=y x ，即00(,3)P x x ．由P 在直线4=+y x m 上得00034=+⇒=−x x m x m ，即(,3)−−P m m ．因为弦12PP 的中点P 必在椭圆内，所以22()(3)143−−+<m m，解得<m ． 例5．已知椭圆2222:1(0)+=>>x y E a b a b的离心率=e ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．（1）求椭圆E 的方程．（2）设直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B ，已知点(,0)−A a ，点0(0,)Q y 在线段AB 的垂直平分线上，且4⋅=QA QB ，求0y 的值．【解析】（1）由==c e a ，得2234=a c ．由222=−c a b ，得2=a b ． 由题意可知12242⋅⋅=a b ，即2=ab ．解方程组22=⎧⎨=⎩a b ab ，得2,1==a b ．所以椭圆E 的方程为2214+=x y ．（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，线段AB 的中点为33(,)M x y ，当直线l 与x 轴重合时，(2,0),(2,0)−A B ，于是00(2,),(2,)→→=−−=−QA y QB y ． 由2000(2,)(2,)44⋅=−−⋅−=−+=QA QB y y y，解得0=±y 当直线l 不过原点O 且不平行于x 轴时，于是321213,−==−l OM y y y k k x x x ， 又221122221414⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，两式相减，得121212121()()()()04+−++−=x x x x y y y y ，左右两边同除以1212()()+−x x x x ，得2112211214−+⋅=−−+y y y y x x x x ， 所以3314⋅=−l y k x ，则3314=−⋅l xk y ，高中数学压轴培优教程———圆锥曲线篇又333330330333124114⎧==−⋅⎪+⎪⎨−−⎪⋅=−⋅⋅=−⎪⎩l ly x k x y y y x y y k x y x ，所以30223330134(2)49⎧=−⋅⎪⎪⎨⎪+=−=−⋅⎪⎩y y x x y y ，因为M 为线段AB 的中点，所以2322=+x x ，231302223=−==−⋅y y y y y ，20303055(2,)(22,)2(22)433⋅=−−⋅+−=−++=QA QB y x y x y ，解得2305212=−x y ，所以22203300455(2)(2)(22)91212−⋅=+=−−+y x x y y，解得0=y ，综上所述：0=±y05=±y ． 2、定比点差法关于点差法的研究，在解析几何中有着广泛的应用，下面主要从三方面来研究． 2．1求弦长被坐标轴分界的两段的比值范围例6．已知椭圆22194+=x y ，过定点(0,3)P 的直线与椭圆交于两点,A B （可重合），求PA PB 的取值范围．【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，λ=AP PB ，则12120131λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩x x y y ，即120λ+=x x ，123(1)λλ+=+y y ，将,A B 两点代入椭圆方程：221122222221,(1)94,(2)94λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ， 2(1)(2)λ−⋅得212121212()()()()194λλλλλ+−+−+=−x x x x y y y y ，即124(1)3λλ−=−y y所以：132135(1)(1)2366λλλ=++−=+y ，又因为1[2,2]∈−y ，则1[5,]5λ∈−−，1[,5]5∈PA PB． 【注】根据两个调和调和定比分点的联立，将坐标求出与比值的关系式，两个定比分点的式子将问题解决，这就是定比点差法的核心．例7．已知椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b b a的上下两焦点分别为12,F F ，过点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆C 于,M N 两点，2∆MNFC ．第二章 技法篇225（1）求椭圆C 的标准方程．（2）已知O 为坐标原点，直线:=+L y kx m 与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于,A B 两个不同的点，若存在实数λ，使得4λ+=OA OB OP ，求m 的取值范围． 【解析】（1）由题设条件得椭圆的方程为：2214y x +=．（2）当0m =时，1λ=−，显然成立；当0m ≠时，4OA OB OP λ+=144OP OA OB λ⇒=+，因为,,A P B 三点共线，所以3λ=；所以3AP PB =， 设1122(,),(,)A x y B x y ，所以121233(,)1313x x y y P ++++，所以1234y y m +=，将,A B 两点代入椭圆方程：22112222 1 4 1 4y x y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②，①-②得：12121212(3)(3)(3)(3)84y y y y x x x x +−+−+=−， 即1283y y m−=−，由上可知：224(2,2)33y m m =+∈−， 所以2(3,3)m m+∈−，解得：(2,1)(1,2)m ∈−−，综上所述：m 的取值范围为(2,1)(1,2){0}−−．2．2简化证明过定点的直线问题的运算以及定值问题例8．设椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b过点M，且左焦点为1(F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足⋅=⋅AP QB AQ PB ，证明：点Q 总在某定直线上．【解析】（1）由题意：222222212,1,=+==−c c a b a b，解得224,2==a b ， 所以椭圆C 的方程为22142+=x y ． （2）证明：设点为(,)Q x y ，12(,)A x y ，22(,)B x y ． 由题设知,,,AP PB AQ QB 均不为零，记λ==AP AQ PBQB，则01λλ>≠且，又,,,A P B Q 四点共线，将点(4,1)P 代入椭圆方程得2241142+>，则点P 在椭圆外，又因为点Q 在线段AB 上，从而λ=−AP PB ，λ=AQ QB ，高中数学压轴培优教程———圆锥曲线篇于是12124,1(1)1,1λλλλ−⎧=⎪⎪−⎨−⎪=⎪−⎩x x y y 1212,1(2),1λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩x x x y x y 又点AB 在椭圆C 上，即221122221,(3)421,(4)42⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y 2(3)(4)λ−⋅，得212121212()()()()142λλλλλ+−+−+=−x x x x y y y y ，即12121212()()()()111411211λλλλλλλλ+−+−⋅⋅+⋅⋅=+−+−x x x x y y y y ， 将（1），（2）代入得1,2202+=+−=即yx x y ． 综上所述，点(,)Q x y 总在定直线220+−=x y 上．例9．已知12(,0),(,0)−F c F c 为有心二次曲线2222:1(0)±=>>x y E a b a b 的左、右两个焦点，P 为曲线上任意一点，直线12,PF PF 分别交曲线E 异于P 的点,A B ，设11λ=PF F A ，22μ=PF F B ，证明：λμ+为定值．【解析】证明：设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，因为11λ=PF F A ，可得011101λλλλ+⎧=−⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩x x c y y ，将1100(,),(,)A x y P x y ，代入曲线方程有2200222211221,(1)1,(2)⎧±=⎪⎪⎨⎪±=⎪⎩x y a b x y a b ，2(2)λ⨯得222221122,(3)λλλ+=x y a b ，(1)(3)−得20101010122()()()()1λλλλλ+−+−±=−x x x x y y y y a b． 两边同除以21λ−整理得01010101221111111λλλλλλλλ+−+−⋅⋅±⋅⋅=+−+−x x x x y y y y a b ，所以01211λλ−−⋅=−x x c a ，即201(1)λλ−=−a x x c ．又01,1λλ+−=+x x c即01(1)λλ+=−+x x c ．两式相加得：222202λ−+=−a c a c x c c同理：222202μ+−=−a c a c x c c ，所以22222λμ++=⋅−a c a c． 【注】若将11λ=PF F A ，22μ=PF F B ，换成11λ=AF F B ，22μ=BF F P ，则有2222112λμ++=⋅−a c a c 为定值，11()()24μλλμλμλμ++=++≥，得22min 22()2λμ−+=⋅+a c a c ．第二章 技法篇227例10．已知椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b 的离心率为23，半焦距为(0)>c c ，且1−=a c ，经过椭圆的左焦点F ，斜率为11(0)≠k k 的直线与椭圆交于,A B 两点，O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）当11=k 时，求∆AOB S 的值；（3）设(1,0)R ，延长,AR BR 分别于椭圆交于,C D 两点，直线CD 的斜率为2k ，求证：12k k 为定值． 【解析】（1）由题意：得231⎧=⎪⎨⎪−=⎩c a a c 解得32=⎧⎨=⎩a c 所以2225=−=b a c ，故椭圆C 的标准方程22195+=x y ． (2)由（1），知(2,0)−F 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12187+=−x x ，12914=−x x ，12|||=−=AB xx 307=， 设O 点到直线AB 的距离为d，则=d1130||227∆=⋅=⨯AOB S AB d ． (3)设AB 直线方程：(2)=+y k x ，11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ，λ=AR RC ，μ=BR BD ， 将,,,A B C D 坐标代入椭圆得：221122331,(1)951,(2)95⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，222222441,(3)951,(4)95⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y 2(1)(2)λ−得：213131313()()()()195λλλλλ−+−++=−x x x x y y y y ，2(3)(4)μ−得：224242424()()()()195μμμμμ−+−++=−x x x x y y y y ，13131101λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩x x y y ，24241101μμμμ+⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩x x y y ，所以1391λλ−=−x x ，2491λμ−=−x x ， 由上式得：125445λλ=−⎧⎪⎨=−⎪⎩x x ，245445μμ=−⎧⎪⎨=−⎪⎩x x ， 所以12123434224444(5)(5)λμλμλμλμ−−++−−+−==−−−−−+y y kx kkx ky y x x (54)2(54)2117()7441144()λμλμλμλμλμ−+−+−+−−===−+−−k kk kk k ．【注】综上可知，若出现相交弦共点在坐标轴上的时候，常规联立非常繁琐，那么将坐标变换成比值，达到事半功倍的效果，其结果就是几步秒杀．例11．已知椭圆22143+=x y ，点(4,0)P ，过点P 作椭圆的割线PAB ，C 为B 关于x 轴的对称点，求证：直线AC 恒过定点．【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则22(,)−C x y ，设AC 与x 轴的交点为(,0)M m ，λ=AP PB ，μ=AM MC ，则1212(,)11λλλλ++++x x y y P ，1212(,)11μμμμ+−++x x y y M ， 于是124(1)λλ+=+x x ，120λ+=y y ，12(1)μμ+=+x x m ，120 (1)μ−=y y ，则μλ=−， 由点,A B 在椭圆上得：221122221,(1)431,(2)43⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ， 2(1)(2)μ−⨯得：212121212()()()()143μμμμμ+−+−+=−x x x x y y y y ，所以124(1)μμ−−=x x m ，124(1)λλ++=x x m，由(1)可知：1=m ， 综上可知：直线AC 恒过定点(1,0)．【注】因为,,A B P 三点共线，,,A C M 三点也共线，且,,A B C 三点都在椭圆上，我们用定比点差法去解决这个问题．例12．（2018·全国卷Ⅰ）设椭圆22:12+=x C y 的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程． （2）设O 为坐标原点，证明：∠=∠OMA OMB ．【解析】（1）由已知得(1,0),F l 的方程为1=x ，由已知可得点A的坐标为或(1,，所以AM的方程为2=−y x2=−y x （2）当l 与x 轴重合时，00∠=∠=OMA OMB ．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠=∠OMA OMB ．当l 与x 轴不重合也不垂直时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，点B 关于x 轴对称的点22(,)'−B x y ，229根据几何性质可得：令ON 为∠ANB 的角平分线，AB 与x 轴交点为2F ，下面通过证明N 与M 重合来证明∠=∠OMA OMB ，根据角平分线定理有：22=='AF AN AN F B NB NB ，令λ'=AN NB ，则12(,0)1λλ++x x N ，由122211λλλ−=−⇒=−x x AF F B ，,A B 代入椭圆方程221122221,(1)21,(2)2⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y 2(1)(2)λ−⨯得：212121212()()()()12λλλλλ+−++−=−x x x x y y y y ，即21212121011(2,0)21112λλλλλλ+−−⋅⋅+⋅=⇒=⇒+−−F N x x x x x x y y N ，即N 与M 重合，所以∠=∠OMA OMB ． 例13．（2018·北京文）已知椭圆2222:1(0)+=>>x y M a b a bk 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点,A B ，（1）求椭圆M 的方程．（2）若1=k ，求||AB 的最大值．（3）设(2,0)−P ，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ，若,C D 和点71(,)44−Q 共线，求k ．【解析】（1）由题意得2=cc=c e a=a 2221=−=b a c ，所以椭圆M 的标准方程为2213+=x y ．（2）设直线AB 的直线方程为=+y x m ，由2213=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y x m x y ，消去y 可得2246330++−=x mx m ， 则2223644(33)48120∆=−⨯−=−>m m m ，即24<m ，1122(,),(,)A x y B x y ，1232+=−mx x ，212334−=m x x ，12|||=−=AB x x=， 易得当20=m时，max ||=AB ||AB．（3）设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ，λ=AP PC ，2424(,)(2,0)11μμμμ++=−++x x y y P ，有22112233 1 (1)3 1 (2)3⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，2(1)(2)λ−⨯得：213131313()()()()13λλλλλ+−++−=−x x x x y y y y ， 即13(2)()13(1)λλ−−=−x x ，1311333171244(3)172441λλλλλλ−⎧⎧=−=−−⎪⎪⎪⎪−⇒⎨⎨+⎪⎪=−−=−⎪⎪⎩+⎩x x x x x x ， 同理2422443171244(4)172441μλλλλλ−⎧⎧=−=−−⎪⎪⎪⎪−⇒⎨⎨+⎪⎪=−−=−⎪⎪⎩+⎩x x x x x x 故121()(5)4λμ−=−−x x ，同时1324λμ⎧=⎪−⎪⎨⎪=⎪−⎩y y y y ，由于CD 过定点71(,)44−Q ， 故21341234111114444()(6)711144444μλλμλμ−−−−−−=⇒=⇒−=−−+−−−y y y y y y x x ， 结合（5）（6）可得12121−=−y y x x ，即1=k ． 例14．已知点(0,1)P ，椭圆22:(1)4+=>x C y m m 上两点,A B 满足2=AP PB ，则当m 为何值时，点B 横坐标的绝对值最大．【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，22(,),(0,1)B x y P ，则22112222,(1)4,(2)4⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y m x y m ，由2=AP PB 得121220122112+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪⎩+x x y y ， 2(1)(2)2−⋅得222222212122(2)(12)4−⋅+−⋅=−x x y y m ，即1212121222221412121212+−+−⋅⋅+⋅=+−+−x x x x y y y y m ，则，122−=−y y m ，1223+=y y ，则234+=my ，所以2223()44++=x m m ， 即2221094−+−=m m x ，当5=m 时，()22max 4=x ，则2max2=x ．三、方法总结点差法是解决圆锥曲线与直线的关系中常用到的一种方法．当直线与圆锥曲线相交的问题涉及到相交弦的中点时，宜应用点差法求解，即将直线被圆锥曲线截得的弦的两端点坐标代入圆锥曲线方程，得到两个等式，再将两个等式作差，转化得到弦的中点坐标与直线斜率的关系，进而解决问题．在解答圆锥曲线231的某些问题时，若果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程．当1λ=时，点M 为弦AB 的中点．若1λ≠时，点M 不再是中点，就成了定比分点．这时就会出现12λ+x x 这样形式的式子，若果再凑出12λ−x x ，我们就会想到222121212()()λλλ+−=−⋅x x x x x x ，则在有心二次曲线的方程上乘以2λ再作差，就会得到这样的式子，因此我们想到了“定比点差法”．定比点差法实际上是直线的参数方程的变异形式，只不过将其中的t 变作了λ，也就是说只要是共线点列的问题都可以在考虑运用直线的参数方程的同时考虑定比点差法．定比点差法在处理圆锥曲线上过定点的直线的证明题时往往可以起到简化运算的作用．但定比点差法无法应用于抛物线，并且它采用的参数λ在解析几何问题中并不通用，在求解具体的斜率、弦长与面积时往往会引起运算上的麻烦(当然，求坐标还是很简便的)，所以并不是所有的共线问题都适用用定比点差法解决．综上所述，在研究点差法及定比点差法时，主要核心思想统一体现为减元、消元以及方程的思想．四．巩固练习1．已知椭圆()222210+=>>x y a b a b 的一条准线方程是1=x ，有一条倾斜角为4π的直线交椭圆于、A B 两点，若AB 的中点为11,24⎛⎫− ⎪⎝⎭C ，则椭圆方程为 ．【答案】2211124+=x y【解析】设()()1122,,、A x y B x y ，则121211,2+=−+=x x y y ， 且2211221+=x y a b ①， 2222221+=x y a b②， −①②得：2222121222−−=−x x y y a b ，()()221212221212112+−−∴=−=−⋅−+b x x y y b x x a y y a ，21221221−∴===−AB y y b k x x a，222∴=a b ③又21=a c ，2∴=a c ④ 而222=+a b c ⑤由③④⑤可得212=a ，214=b ，所求椭圆方程为2211124+=x y ． 2．已知椭圆221259+=x y 上不同的三点()()11229,,4,,,5⎛⎫⎪⎝⎭A x yBC x y 与焦点()4,0F 的距离成等差数列．（1）求证：128+=x x ；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 【解析】（1）略； （2）解128+=x x ，∴设线段AC 的中点为()04,D y ．又、A C 在椭圆上，∴22111259+=x y ①，22221259+=x y ②，−①②得：22221212259−−=−x x y y ， ()()1212121200998362525225+−∴=−=−⋅=−−+x x y y x x y y y y ． ∴直线DT 的斜率02536=DT y k ，∴直线DT 的方程为()0025436−=−y y y x ．令0=y ，得6425=x ，即64,025⎛⎫ ⎪⎝⎭T ，∴直线BT 的斜率9055644425−==−k ． 3．若抛物线2:=C y x 上存在不同的两点关于直线():3=−l y m x 对称，则实数m 的取值范围是 ．【答案】(【解析】当0=m 时，显然满足．当0≠m 时，设抛物线C 上关于直线():3=−l y m x 对称的两点分别为()()1122,,、P x y Q x y ，且PQ 的中点为()00,M x y ，则211=y x ①，222=y x ②， −①②得：221212−=−y y x x ，1212120112−∴===−+PQ y y k x x y y y ， 又1=−PQ k m ，02∴=−m y ． 中点()00,M x y 在直线():3=−l y m x 上，()003∴=−y m x ，于是052=x ． 中点M 在抛物线2=y x 内部，200∴<y x ，即2522⎛⎫−< ⎪⎝⎭m，解得<m综上可知，所求实数m的取值范围是(．4．（2011浙江理）设1F ，2F 分别为椭圆2213+=x y 的左、右焦点，点A ，B 在椭圆上，若125=F A F B ，则点A 的坐标是 ．233解答：记直线1F A 反向延长交椭圆于1B ，由125=F A F B 及椭圆对称性得1115=AF F B ，设11(,)A x y ，22(,)B x y，(F ．①定比分点公式得：12125155015+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩x x yy 1212550⎧+=−⎪⇒⎨+=⎪⎩x x y y ②又⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩221122221(1)31(2)3x y x y 221122221(1)4252525(3)3x y x y ⎧+=⎪⎪⇒⎨⎪+=⎪⎩③由（1）-（3）得+−++−=−12121212(5)(5)(5)(5)243x x x x y y yy ⇒−=125x x ，又+=−125x x ⇒=10x ⇒±(0,1)A ．5．（2009江理）双曲线()222210,0−=>>x y a b a b的右顶点A 作斜率为1−的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C ．若12=AB BC ，则双曲线的离心率是（ ）ABCD【答案】C【解析】设11(,)C x y ，22(,)B x y ，(,0)A a ，由12=AB BC ，由12=AB BC 得121212112102112⎧+⎪=⎪⎪+⎪⎨⎪+⎪=⎪+⎪⎩a x x y y 12123230−=−⎧⇒⎨−=⎩x x a y y ． 又22112222222200⎧−=⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩x y a b x y a b 2211222222220 990 ⎧−=⎪⎪⇒⎨⎪−=⎪⎩①②x y a b x y a b ， 由①-②得：1212121222(3)(3)(3)(3)0+−+−−=x x x x y y y y a b 1230⇒+=x x ，又1232−=−x x a所以1=−x a ，所以(,)−C a b ，所以01−=−=−−AC b k a a2⇒=ba ⇒=e 6．已知椭圆22162+=x y 的左右焦点分别为1F ，2F ，A ，B ，P 是椭圆上的三个动点，且11λ=PF F A ，22μ=PF F B ．若2λ=，求μ的值．【解析】设()00,P x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 由11λ=PF F A 得()0101010111001λλλλλλλ+⎧−=⎪⎧+=−+⎪⎪+⇒⎨⎨++=⎪⎩⎪=⎪+⎩x x c x x c y y y y 由22μ=PF F B 得()02020********μμμμμμμ+⎧=⎪⎧+=−++⎪⎪⇒⎨⎨++=⎪⎩⎪=⎪+⎩x x c x x c y y y y由22002222112211⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y a bx y a b ⇒2200222222211221 λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②x y a bx y ab235由①-②得：()()()()010*******21λλλλ−+−++=−x x x x y y y yx ab()()()()()()20101201111λλλλλλ−+⇒=⇒−=−−−+x x x x a a x x c ，又()()011λλ+=−+x x c所以222202λ−+=−a c a c x c c ，同理可得222202μ−+=−+a c a c x c c 所以()()2222222222108λμλμμ−+++=⋅⇒+=⋅=⇒=−a c a c a c c c a c ． 7．已知椭圆22:12+=xy C ，设过点()2,2P 的直线l 与椭圆C 交于A ，B ，点Q 是线段AB 上的点，且112+=PA PB PQ，求点Q 的轨迹方程．【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，()00,Q x y ，由112+=PA PB PQ 22−+⇒+=⇒+=PQ PQ PA AQ PB QB PA PB PA PB0−⇒+=⇒=AQ QB PA AQ PAPBPBQB，记()0λλ==>AP AQ PBQB，即λ=−AP PB ，λ=AQ QB ．由λ=−AP PB 得:()()1212121222112121λλλλλλλλ−⎧=⎪⎧−=−⎪⎪−⇒⎨⎨−−=−⎪⎪⎩=⎪−⎩x x x x y y y y由λ=AQ QB 得:()()1201201212001111λλλλλλλλ+⎧=⎪⎧+=+⎪⎪+⇒⎨⎨++=+⎪⎪⎩=⎪+⎩x x x x x x y y y y y y又221122222222⎧+=⎪⎨+=⎪⎩x y x y 221122222222 222 λλλ⇒⎪⎧+=⎪⎨+=⎩①②x y x y 由①-②得：()()()()()212121212221λλλλλ+⋅−+⋅+⋅−=−x x x x y y y y ()()()()()20021141121λλλλλ⇒+⋅−+⋅+⋅−=−x y 00242⇒+=x y ，即00210+−=x y ．注意到在椭圆内，故点Q 的轨迹方程为()2221022+−=+<x y x y ．8．（2019全国卷理）已知抛物线2:3=C y x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点分别为，A B ，与x 轴的交点为P ．（1）若4+=AF BF ，求直线l 的方程； （2）若3=AP PB ，求AB ．【答案】（1）3728=−y x ；（2）=AB 【解析】（1）设直线l 的方程为：32=+y x m ，与抛物线方程联立可得：()22239330342⎧=⎪⇒+−+=⎨=+⎪⎩y xx m x m y x m ， 设()()1122,,，A x y B x y ，故()12413+=−x x m 由抛物线定义可得：()12431432+=++=−+=AF BF x x p m ，解得78=−m ． 故直线方程为：3728=−y x ． （2）设直线l 的方程为：32=+y x m ，联立22322032⎧=⎪⇒−+=⎨=+⎪⎩y xy y m y x m设()()()11220,,,0，，A x y B x y P x ，则1212 2 2 +=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩①②y y y y m 由3=AP PB 可得()12030−=−y y ，即123=−y y ③237由①②解得1231=⎧⎨=−⎩y y ，代入③式得32=−m ，故直线方程为3322=−y x ．解得：()53,3,13⎛⎫− ⎪⎝⎭，A B，故=AB ．联系2675512809购买。
高中数学知识点指导：直线与圆锥曲线
高中数学知识点指导：直线与圆锥曲线
多了解一些考试资讯信息，对于学生和家长来讲非常重要，为大家整理了高中数学知识点指导：直线与圆锥曲线一文，希望对大家有帮助。
例题：如果命题坐标满足方程的点都在曲线上不正确，那么以下正确的命题是
(A)曲线上的点的坐标都满足方程 .
(B)坐标满足方程的点有些在上，有些不在上.
(C)坐标满足方程的点都不在曲线上.
(D)一定有不在曲线上的点，其坐标满足方程 .
分析：原命题是错误的，即坐标满足方程的点不一定都在曲线上，易知答案为D.
重难点归纳
1直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法2当直线与圆锥曲线相交时涉及弦长问题，常用韦达定理法设而不求计算弦长(即应用弦长公式);涉及弦长的中点问题，常用点差法设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍
典型题例示范讲解
例1如图，已知某椭圆的焦点是F1(-4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且
F1B+F2B=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件F2A、F2B、F2C成等差数列
(1)求该弦椭圆的方程;
(2)求弦AC中点的横坐标;
(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围高中数学知识点指导：直线与圆锥曲线就为您介绍完了，的编辑将第一时间为您整理信息，供大家参考!。
直线与圆锥曲线的位置关系(总结归纳)
y＝±
33x，
∴有－ 33≤k≤ 33.
• 答案：C
• 【例1】 已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax恰有一 个公共点，求实数a的值．
解• 析分证：联结析立论：方程．先组用yy2＝＝代(aax＋数. 1)方x－法1，即联(1)立当 a方＝0程时，组此解方程决组恰，有再一组从解几为何xy＝＝上10.，验
两式相减可得yx11－－yx22·yx11＋＋yx22＝－ba22，即 kAB＝－ba22xy00
.
x2 y2 类似的可得圆锥曲线为双曲线a2－b2＝1
时，有
kAB＝ab22yx00.
2px0
圆锥曲线为抛物线 y2＝2px(p＞0)时，有 kAB＝ y0 .
求椭圆
x2 9
y2 4
1 被点
Q(2,1)平分的弦 AB
1.直线y=kx-k+1与椭圆 x2 y2 1 的位置关系为( A )
(A) 相交 (B) 相切 9 (C)4相离
(D) 不确定
2.已知双曲线方程x2-y2=1，过P(0，1)点的直线l与双曲线
只有一个公共点，则l的条数为( A )
(A)4
(B)3
(C)2
(D)1
3.过点(0，1)与抛物线y2=2px(p＞0)只有一个公共点的直线
a
为
4 0，－1，－5时，
直线 y＝(a＋1)x－1 与曲线 y2＝ax 恰有一个公共点．
三、弦的中点问题
x2 y2 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆a2＋b2＝1 上不同的两点，
且 x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为 AB 的中点，则xaxa212222＋＋ybyb212222＝＝11，.
直线与圆锥曲线的位置关系知识梳理
直线与圆锥曲线的位置关系知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C 1与直线方程l 联立消去y ，整理得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.说明：(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋1k 2|y 2－y 1|＝1＋1k2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2， |x 2－x 1|＝||a ∆，|y 2－y 1|＝||a ∆ 3．中点弦问题：中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．(1)点差法设而不求，借用中点公式即可求得斜率．(2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0； 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0； 在抛物线y 2＝2px 中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝p y 0. 典型例题题型一 直线与圆锥曲线的位置关系的判断及应用例1 若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，则这样的直线有( )条变式训练 若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是________．题型二 中点弦问题例2 过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是________．变式训练 已知双曲线E 的中心为原点，F (3，0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为____________．题型三 弦长问题例3 已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________．课堂练习1．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________．2．已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 2169＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝30，则|AB |＝________．3. 已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为________．4．(四川文)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于________．5．(课标全国I )已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________．课下作业1．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为________．2．已知双曲线x 2－y 24＝1，过点A (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为________．3．已知直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且点A ，B 到y 轴的距离分别为m ，n ，则m ＋n ＋2的最小值为________．4．椭圆的焦点为F 1，F 2，过F 1的最短弦PQ 的长为10，△PF 2Q 的周长为36，则此椭圆的离心率为________．5．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，这样的直线有________．6．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是________．7．已知斜率为－12的直线l 交椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)于A ，B 两点，若点P (2,1)是AB 的中点，则C 的离心率等于________．8．直线l ：y ＝x ＋3与曲线y 29－x ·|x |4＝1交点的个数为________． 9．动直线l 的倾斜角为60°，若直线l 与抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A 、B 两点，且A 、B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．10．已知对k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是________．11．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (0，－1)，直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若AB 的中点为(2，－2)，则直线l 的方程为________．12．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短半轴长b ＝1，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6＋4 2. (1)求椭圆M 的方程；(2)设直线l ：x ＝my ＋t 与椭圆M 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点C ，求t 的值．13．(陕西文)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.。
直线与圆锥曲线知识点与题型归纳总结
直线与圆锥曲线知识点与题型归纳总结知识点精讲一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程0Ax By c ++= 代入圆锥曲线C 的方程(),0F x y = ,消去y (也可以消去x )得到关系一个变量的一元二次方程,,即()0,0Ax By c F x y ++=⎧⎪⎨=⎪⎩ ,消去y 后得20ax bx c ++=(1)当0a =时,即得到一个一元一次方程,则l 与C 相交,且只有一个交点,此时,若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线平行;若C 为抛物线,则直线l 与抛物线 的对称轴平行(2) 当0a ≠时,0∆> ,直线l 与曲线C 有两个不同的交点; 0∆=,直线l 与曲 线C 相切,即有唯一的公共点(切点); 0∆< ,直线l 与曲线C 二、圆锥曲线的弦连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦直线():,0l f x y = ,曲线():F ,0,A,B C x y =为l 与C 的两个不同的交点,坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ,则()()1122,,,A x y B x y 是方程组()(),0,0f x y F x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 的两组解, 方程组消元后化为关于x 或y 的一元二次方程20Ax Bx c ++=(0A ≠) ,判别式24B AC ∆=- ,应有0∆> ,所以12,x x 是方程20Ax Bx c ++=的根,由根与系数关系(韦达定理)求出1212,B Cx x x x A A+=-= , 所以,A B 两点间的距离为12AB x =-==即弦长公式,弦长 公式也可以写成关于y 的形式)120AB y y k =-=≠三, 已知弦AB 的中点,研究AB 的斜率和方程(1) AB 是椭圆()22221.0x y a b a b+=>的一条弦,中点()00,M x y ,则AB 的斜率为2020b x a y - ,运用点差法求AB 的斜率;设()()()112212,,A x y B x y x x ≠ ,,A B 都在椭圆 上,所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,两式相减得22221212220x x y y a b --+=所以()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=即()()()()22121202212120y y b x x b x x x a y y a y -+=-=--+，故2020AB b x k a y =-（1） 运用类似的方法可以推出；若AB 是双曲线()22221.0x y a b a b-=>的弦，中点()00,M x y ，则2020ABb x k a y =；若曲线是抛物线()220y px p => ，则0AB p k y =题型归纳及思路提示题型1 直线与圆锥曲线的位置关系思路提示（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到一元二次方程，其中0∆> ；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到。
直线与圆锥曲线的交点ppt课件
直线与抛物线位置关系 判断直线是否与抛物线的对称轴平行
平行
数形结合
不平行
直线与抛物线 相交(一个交点)
计算判别式 >0 =0 <0 相交 相切 相离
直线与双曲线的位置关系
Y
O
X
种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点， 一个交点或两个交点)
2)位置关系与交点Y个数
O
相交:两个交点
相切:一个交点
(C ) (A)1 (B)1 或 2 (C)2 (D)0
解析:因为点(0,-1)在椭圆 C: x2 + y 2 =1 的内部,而直线 l 过点(0,-1), 25 36
所以直线与椭圆相交,交点个数为 2,故选 C.
2.设斜率为 3 的直线过抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点,与 C 交于 A,B 两点,且 |AB|= 16 ,则 p 等于( C )
4
只有一个公共点的直线有__4_条.
变式3.（1）过点(-1,0)的直线l 与抛物线y2=6x有公共
点, 则直 线l 的斜率的范围是___________.
(2)过原点与双曲线
交于两点的直线
斜率的取值范围是__________________.
(3).若直线L:y=ax+1与双曲线: 3x2-y2=1的左、 右两支各有一个公共点,则实数a的取值范围
X
相离:0个交点
相交:一个交点
Y
O
X
[1] 0 个交点和两个交点的情况都正常, 依然可以用判别式判断位置关系
[2]一个交点却包括了两种位置关系: 相切和相交 ( 特殊的相交 ) , 那么是否意味
着判别式等于零时 , 即可能相切也可能相交 ?
直线和圆锥曲线的位置关系
直线和圆锥曲线的位置关系知识点一：直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离.判断的方法均是把直线方程代入曲线方程中，判断方程解的个数，从而得到直线与曲线公共点的个数，最终得到直线与曲线的位置关系.一般利用二次方程判别式来判断有无解，有几个解.1．直线0=++C By Ax 椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的位置关系： 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 一元二次方程，其判别式为∆.(1)⇔>∆0直线和椭圆相交⇔直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；(2)⇔=∆0直线和椭圆相切⇔直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；(3)⇔<∆0直线和椭圆相离⇔直线和椭圆无公共点．2．直线0=++C By Ax 和双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的位置关系： 将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的方程.（一）若为一元一次方程，则直线和双曲线的渐近线平行，直线和双曲线只有一个交点，但不相切不是切点；（二）若为一元二次方程，则(1)若0>∆，则直线和双曲线相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若0=∆，则直线和双曲线相切，有一个切点；(3)若0<∆，则直线和双曲线相离，无公共点．注意：（1）⇒>∆0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0>∆，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0>∆是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；（2）当直线与双曲线的渐近线不平行时，⇔=∆0直线与双曲线相切；（3）如说直线和双曲线有一个公共点，则要考虑两种情况：一个切点和一个交点；当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点；（4）过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 外一点),(00y x P 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P 为原点时不存在这样的直线；3．直线0=++C By Ax 和抛物线)0(22>=p px y 的位置关系：将直线的方程与抛物线的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 方程.（一）若方程为一元一次方程，则直线和抛物线的对称轴平行，直线和抛物线有一个交点，但不相切不是切点；（二）若为一元二次方程，则(1)若0>∆，则直线和抛物线相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若0=∆，则直线和抛物线相切，有一个切点；(3)若0<∆，则直线和抛物线相离，无公共点.注意：（1）⇒>∆0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0>∆，当直线与抛物线的对称轴重合或平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0>∆也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件.（2）当直线与抛物线的对称轴不重合或平行时，⇔=∆0直线与抛物线相切；（3）如说直线和抛物线有一个公共点，则要考虑两种情况：一个切点和一个交点；当直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点；（4）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线.知识点二：圆锥曲线的弦1.直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦.当直线的斜率k 存在时，直线b kx y +=与圆锥曲线相交于),(),,(2211y x B y x A ，两点，把直线方程代入曲线方程中，消元后所得一元二次方程为02=++c bx ax .则弦长公式：2121x x k AB -+=其中aa c ab x x x x x x ∆=--=-+=-4)(4)(22122121 当k 存在且不为零时, 弦长公式还可以写成：21211y y k AB -+=. 注意：当直线的斜率不存在时，不能用弦长公式解决问题，21y y AB -=.2.焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦公式α221sin 2p p x x AB =++=，其中α为过焦点的直线的倾斜角.3.通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径.椭圆和双曲线的通径为ab AB 22=，抛物线的通径p AB 2=. 知识点三：圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. ①在椭圆12222=+b y a x 中，以),(00y x P 为中点的弦所在直线的斜率0202y a x b k -=；②在双曲线12222=-b y a x 中，以),(00y x P 为中点的弦所在直线的斜率0202y a x b k =； ③在抛物线)0(22>=p px y 中，以),(00y x P 为中点的弦所在直线的斜率0y p k =. 注意：因为0>∆是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0>∆！知识点四：求曲线的方程1. 定义：在直角坐标系中，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标),(y x 所满足的方程0),(=y x f 表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.2. 坐标法求曲线方程的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何因素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.通过坐标法，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一.用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何对象，然后对坐标和方程进行代数讨论；最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”. 3．求轨迹方程的常用方法：直接法、定义法、代入法、参数法等.规律方法指导1．直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究.因为直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.2．直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重.主要涉及弦长、弦中点、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题.解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用.3．当直线与圆锥曲线相交时涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.4．解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，对消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式，有时借助于图形的几何性质更为方便.。
直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线相交的弦长公式
直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看：要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。
(2)从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到ax°+bx+c=0.①.若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。
1、圆锥曲线的范围问题有两种常用方法：（1）寻找合理的不等式，常见有△＞0和弦的中点在曲线内部；（2）所求量可表示为另一变量的函数，求函数的值域。
2、圆锥曲线的最值、定值及过定点等难点问题。
直线与圆锥曲线的位置关系：(1)从几何角度来看，直线和圆锥曲线有三种位置关系：相离、相切和相交，相离是直线和圆锥曲线没有公共点，相切是直线和圆锥曲线有唯一公共点，相交是直线与圆锥曲线有两个不同的公共点，并特别注意直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时，并不一定是相切，如直线与双曲线的渐近线平行时，与双曲线有唯一公共点，但这时直线与双曲线相交；直线平行（重合）于抛物线的对称轴时，与抛物线有唯一公共点，但这时直线与抛物线相交，故直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时可能是相切，也可能是相交，直线与这两种曲线相交，可能有两个交点，也可能有一个交点，从而不要以公共点的个数来判断直线与曲线的位置关系，但由位置关系可以确定公共点的个数．(2)从代数角度来看，可以根据直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数确定位置关系．设直线l的方程与圆锥曲线方程联立得到ax2+bx+c=0．①若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行或重合．②若当Δ>0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交．当Δ=0时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切．当Δ<0时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离．直线与圆锥曲线相交的弦长公式：若直线l与圆锥曲线F(x，y)=0相交于A，B两点，求弦AB的长可用下列两种方法：(1)求交点法：把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，解得点A，B 的坐标，然后用两点间距离公式，便得到弦AB的长，一般来说，这种方法较为麻烦．(2)韦达定理法：不求交点坐标，可用韦达定理求解．若直线l的方程用y=kx+m或x=n表示．。
直线与圆锥曲线的位置关系
规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：:101l y kx =+⇒过定点（，）:(1)1l y k x =+⇒-过定点（，0）:2(1)1l y k x -=+⇒-过定点（，2）证明直线过定点，也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一，再得出结论。
练习：1、过点P(3,2) 和抛物线232--=x x y 只有一个公共点的直线有（ ）条。
A ．4B ．3C ．2D ．1分析：作出抛物线232--=x x y ，判断点P(3,2)相对抛物线的位置。
解：抛物线232--=x x y 如图，点P （3，2）在抛物线的内部，根据过抛物线内一点和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点，可知过点P(3,2) 和抛物线232--=x x y 只有一个公共点的直线有一条。
故选择D规律提示：含焦点的区域为圆锥曲线的内部。
（这里可以用公司的设备画图）一、过一定点P 和抛物线只有一个公共点的直线的条数情况：（1）若定点P 在抛物线外，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有3条：两条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；（2）若定点P 在抛物线上，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；（3）若定点P 在抛物线内，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有1条：和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点。
二、过定点P 和双曲线只有一个公共点的直线的条数情况：（1）若定点P 在双曲线内，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有2条：和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点；（2）若定点P 在双曲线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有3条：一条切线，2条和渐近线平行的直线；（3）若定点P 在双曲线外且不在渐近线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有4条：2条切线和2条和渐近线平行的直线；（4）若定点P 在双曲线外且在一条渐近线上，而不在另一条渐近线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和另一条渐近线平行的直线；（5）若定点P 在两条渐近线的交点上，即对称中心，过点P 和双曲线只有一个公共点的直线不存在。
直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系一、基本知识概要：1.直线与圆锥曲线的位置关系：相交、相切、相离。
从代数的角度看是直线方程和圆锥曲线的方程组成的方程组，无解时必相离；有两组解必相交；一组解时，若化为x 或y 的方程二次项系数非零，判别式⊿=0时必相切，若二次项系数为零，有一组解仍是相交。
2. 弦：直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。
焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径。
3.①当直线的斜率存在时，弦长公式：2121x x k l -+==[]2122124)()1(x x x x k -+⋅+或当k 存在且不为零时21211y y kl -+=，（其中（11,y x ），（22,y x ）是交点坐标）。
②抛物线px y 22=的焦点弦长公式|AB|=α221sin 2pp x x =++，其中α为过焦点的直线的倾斜角。
4.重点难点:直线与圆锥曲线相交、相切条件下某些关系的确立及其一些字母范围的确定。
5.思维方式: 方程思想、数形结合的思想、设而不求与整体代入的技巧。
6.特别注意:直线与圆锥曲线当只有一个交点时要除去两种情况，些直线才是曲线的切线。
一是直线与抛物线的对称轴平行；二是直线与双曲线的渐近线平行。
二、例题：【例1】直线y=x+3与曲线14||92=-x x y （ ） A 。
没有交点 B 。
只有一个交点 C 。
有两个交点 D 。
有三个交点〖解〗：当x>0时，双曲线14922=-x y 的渐近线为：x y 23±=，而直线y=x+3的斜率为1，1<3/2，因此直线与双曲线的下支有一交点，又y=x+3过椭圆14922=+x y 的顶点，k=1>0因此直线与椭圆左半部分有一交点，共计3个交点，选D [思维点拔]注意先确定曲线再判断。
【例2】已知直线)22tan(:+=x y l 交椭圆9922=+y x 于A 、B 两点，若α为l 的倾斜角，且AB 的长不小于短轴的长，求α的取值范围。
高中个性化培训讲义直线与圆锥曲线
第七讲 直线与圆锥曲线教学目标：1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法．2.了解圆锥曲线的简单应用．3.理解数形结合的思想.一、知识回顾 课前热身知识点1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．知识点2．圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 1＋1k 2·|y 1－y 2|＝ 1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.例题辨析 推陈出新例1(1)已知直线y ＝kx －1与椭圆x 24＋y 2a＝1相切，则k ，a 之间的关系式为________________．(2)(2013·沈阳模拟)若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0 D.⎝⎛⎭⎫－153，－1 [自主解答] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 24＋y 2a ＝1，得(a ＋4k 2)x 2－8kx ＋4－4a ＝0.因为直线与椭圆相切，所以Δ＝64k 2－4×(4－4a )(a ＋4k 2)＝0， 即a ＋4k 2－1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6，得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0.∵直线与双曲线右支有两个不同交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝16k 2－4(1－k 2)×(－10)>0，x 1＋x 2＝4k 1－k 2>0，x 1x 2＝－101－k 2>0，解得－153<k <－1. [答案] (1)a ＋4k 2－1＝0 (2)D 变式练习1．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4]解析：选C 由题意得Q (－2,0)．设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x 得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0.当k ＝0时，直线l 与抛物线恒有一个交点；当k ≠0时，Δ＝16(k 2－2)2－16k 4≥0，即k 2≤1，得－1≤k ≤1，且k ≠0.综上－1≤k ≤1.例2已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上．若右焦点F 到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M ，N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．[自主解答] (1)依题意，可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1，则右焦点为F (a 2－1，0)．由题意，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3.故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设点M ，N 的坐标分别为M (x M ，y M )，N (x N 、y N )，弦MN 的中点为P (x P ，y P )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0. ∵直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点， ∴Δ＝(6mk )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)>0⇒ m 2<3k 2＋1.①∴x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk 3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m 3k 2＋1.∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk.又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1.②把②代入①，得m 2<2m ，解得0<m <2.由②，得k 2＝2m －13>0，解得m >12.综上，m 的取值范围是12<m <2.变式练习2．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若AB ＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差得 a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22，代入上式可得b ＝2a .再由|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22，其中x 1，x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根，故⎝⎛⎭⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b＝4，将b ＝2a 代入得a ＝13，b ＝23.故所求椭圆的方程是x 23＋2y 23＝1.例3已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点．(1)求过点O ，F ，并且与直线l ：x ＝－2相切的圆M 的方程；(2)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．[自主解答] (1)∵a 2＝2，b 2＝1，∴c ＝1，F (－1,0)，∵圆过点O ，F ，∴圆心M 在直线x ＝－12上．设M ⎝⎛⎭⎫－12，t ，则圆半径r ＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫－12－(－2)＝32， 由|OM |＝r ，得 ⎝⎛⎭⎫－122＋t 2＝32， 解得t ＝±2，∴所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y ±2)2＝94. (2)设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.∵直线AB 过椭圆的左焦点F 且不垂直于x 轴， ∴方程有两个不等实根．＝－4k 22k 2＋1，x 0如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝12(x 1＋x 2)＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1， ∴AB 的垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)．令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k 22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2，∵k ≠0，∴－12<x G <0，∴点G 横坐标的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，0.变式练习3．已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，其焦点F 到准线的距离为12.(1)试求抛物线C 的方程；(2)设抛物线C 上一点P 的横坐标为t (t >0)，过P 的直线交C 于另一点Q ，交x 轴于M ，过点Q 作PQ 的垂线交C 于另一点N ，若MN 是C 的切线，求t 的最小值．解：(1)∵焦点F 到准线的距离为12，∴p ＝12.故抛物线C 的方程为x 2＝y .(2)设P (t ，t 2)，Q (x ，x 2)，N (x 0，x 20)， 则直线MN 的方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)令y ＝0，得M ⎝⎛⎭⎫x 02，0，∴k PM ＝t 2t －x 02＝2t 22t －x 0，k NQ ＝x 20－x 2x 0－x＝x 0＋x .∵NQ ⊥QP ，且两直线斜率存在，∴k PM ·k NQ ＝－1，即2t 22t －x 0·(x 0＋x )＝－1， 整理得x 0＝2t 2x ＋2t1－2t 2.①又Q (x ，x 2)在直线PM 上，则MQ ―→与MP 共线，得x 0＝2xtx ＋t.②由①②得2t 2x ＋2t 1－2t 2＝2xtx ＋t (t >0)，∴t ＝－x 2＋13x＝－⎝⎛⎭⎫x 3＋13x . ∴t ≥23或t ≤－23(舍去)．∴所求t 的最小值为23.三、归纳总结 方法在握归纳2种思想——函数与方程思想和数形结合思想在解决直线与圆锥曲线问题中的应用直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．3类问题——圆锥曲线中的三类问题 (1)直线与圆锥曲线的位置关系判断将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判断方程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时，要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解．(2)证明定点和定值问题的方法定点和定值问题的证明方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找；另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向．(3)圆锥曲线中常见的最值问题及解法圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．求最值常见的解法有几何法和代数法.四、拓展延伸 能力升华(2012·福建高考·满分13分)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12.过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程；(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)因为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8， 即|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8， 又|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， 所以4a ＝8，a ＝2.又因为e ＝12，即c a ＝12，所以c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝ 3.故椭圆E 的方程是x 24＋y 23＝1.⇨(4分)(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，消去y 得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)， 所以m ≠0且Δ＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0， 化简得4k 2－m 2＋3＝0. (*)此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝3m ，所以P ⎝⎛⎭⎫－4k m ，3m . 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝kx ＋m ，得Q (4,4k ＋m )． 假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知， 点M 必在x 轴上．⇨(10分)设M (x 1,0)，则MP ·MQ＝0对满足(*)式的m ，k 恒成立． 因为MP ＝⎝⎛⎭⎫－4k m－x 1，3m ， MQ＝(4－x 1,4k ＋m )，由MP ·MQ＝0，得－16k m ＋4kx 1m －4x 1＋x 21＋12k m＋3＝0， 整理，得(4x 1－4)km ＋x 21－4x 1＋3＝0.(**)由于(**)式对满足(*)式的m ，k 恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 1－4＝0，x 21－4x 1＋3＝0，解得x 1＝1.故存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M .五、课后作业 巩固提高一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C的左，右两支都相交的充要条件是( )A ．k >－b aB ．k <baC ．k >b a 或k <－b aD ．－b a <k <b a解析：选D 由双曲线渐近线的几何意义知－b a <k <ba .2．直线y ＝kx ＋1，当k 变化时，此直线被椭圆x24＋y 2＝1截得的最大弦长等于( )A ．4 B.433C ．2D ．不能确定解析：选B 直线y ＝kx ＋1恒过点(0,1)，该点恰巧是椭圆x 24＋y 2＝1的上顶点，椭圆的长轴长为4，短轴长为2，而直线不经过椭圆的长轴和短轴，因此排除A 、C ；将直线y ＝kx ＋1绕点(0,1)旋转，与椭圆有无数条弦，其中必有最大弦长，因此排除D.3.椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，若直线y ＝2x 与椭圆的一个交点的横坐标恰为c ，则椭圆的离心率为( )A.32B.3－1C.22D.2－1 解析：选D 依题意直线y ＝2x 与椭圆的一个交点坐标为(c,2c )，所以c 2a 2＋4c 2b2＝1，又b 2＝a 2－c 2，消去b 整理得a 2－2ac －c 2＝0，所以e 2＋2e －1＝0，解得e ＝－1±2.又e ∈(0,1)，所以e ＝2－1.4．(2013·温州模拟)设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，FA与x 轴正方向的夹角为60°，则|OA|为( )A.21p 4B.21p2 C.136p D.1336p|AD |＝3解析：选B 如图，过A 作AD ⊥x 轴于D ，令|FD |＝m ，则|F A |＝2m ，m ，由抛物线定义知|F A |＝|AB |，即p ＋m ＝2m ，∴m ＝p .∴|OA |＝⎝⎛⎭⎫p 2＋p 2＋(3p )2＝212p . 5．(2013·清远模拟)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选C 设过点(0,1)斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*) 当k ＝0时，(*)式只有一个根；当k ≠0时，Δ＝(2k －4)2－4k 2＝－16k ＋16， 由Δ＝0，即－16k ＋16＝0得k ＝1.所以k ＝0，或k ＝1时，直线与抛物线只有一个公共点， 又直线x ＝0和抛物线只有一个公共点．6．(2013·绍兴模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，M ，N 是双曲线上关于原点对称的两点，P 是双曲线上的动点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，k 1k 2≠0，若|k 1|＋|k 2|的最小值为1，则双曲线的离心率为( )A. 2B.52C.32D.32解析：选B 设M (x 0，y 0)，N (－x 0，－y 0)，P (x ，y )则k 1＝y －y 0x －x 0，k 2＝y ＋y 0x ＋x 0.又∵M ，N ，P 都在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 20－a 2y 20＝a 2b 2，b 2x 2－a 2y 2＝a 2b 2.∴b 2(x 2－x 20)＝a 2(y 2－y 20)． ∴x －x 0y －y 0＝a 2b 2 ·y ＋y 0x ＋x 0.∴1|k 1|＝a 2b 2|k 2|， 即|k 1|·|k 2|＝b 2a 2.又∵|k 1|＋|k 2|≥2|k 1||k 2|＝2ba，∴2ba ＝1，即4b 2＝a 2.∴4(c 2－a 2)＝a 2，即4c 2＝5a 2. ∴c 2a 2＝54.即e 2＝54，∴e ＝52. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________．解析：设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1， 两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2).又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12，故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.答案：x ＋2y －8＝08．一动圆过点A (0,1)，圆心在抛物线x 2＝4y 上，且恒与定直线l 相切，则直线l 的方程为________． 解析：由于A (0,1)为抛物线的焦点，由抛物线定义可知，圆心到A 点的距离等于到准线的距离，故l ：y ＝－1.答案：y ＝－19．(2012·重庆高考)过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |<|BF |，则|AF |＝________.解析：设过抛物线焦点的直线为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，整理得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0， x 1＋x 2＝k 2＋2k 2，x 1x 2＝14.|AB |＝x 1＋x 2＋1＝k 2＋2k 2＋1＝2512，得k 2＝24，代入k 2x 2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0得12x 2－13x ＋3＝0，解得x 1＝13，x 2＝34.又|AF |<|BF |，故|AF |＝x 1＋12＝56.答案：56三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左，右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求|AB |；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．解：(1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4，又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43.(2)l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1，化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0.则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 21＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|，即43＝2|x 2－x 1|.则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4(1－b )2(1＋b 2)2－4(1－2b 2)1＋b 2＝8b 4(1＋b 2)2， 解得b ＝22.11．(2013·株洲模拟)已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，△ABC 的三个顶点都在抛物线上，且△ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC 所在直线l 的方程为4x ＋y －20＝0.(1)求抛物线C 的方程；(2)若O 是坐标原点，P ，Q 是抛物线C 上的两动点，且满足PO ⊥OQ ，证明：直线PQ 过定点． 解：(1)设抛物线C 的方程为y 2＝2mx ， 由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y －20＝0，y 2＝2mx ，得2y 2＋my －20m ＝0. ∵Δ>0，∴m >0或m <－160.设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－m2，∴x 1＋x 2＝⎝⎛⎭⎫5－y 14＋⎝⎛⎭⎫5－y 24＝10＋m 8.再设A (x 3，y 3)，由于△ABC 的重心为F ⎝⎛⎭⎫m 2，0， 则⎩⎨⎧x 1＋x 2＋x 33＝m 2，y 1＋y 2＋y33＝0，解得⎩⎨⎧x 3＝11m 8－10，y 3＝m2.∵点A 在抛物线上，∴⎝⎛⎭⎫m 22＝2m ⎝⎛⎭⎫11m 8－10. ∴m ＝8，抛物线C 的方程为y 2＝16x .(2)证明：当PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，显然k ≠0，b ≠0，∵PO ⊥OQ ，∴k PO k OQ＝－1，设P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，∴x P x Q ＋y P y Q ＝0.将直线y ＝kx ＋b 代入抛物线方程，得ky 2－16y ＋16b ＝0，∴y P y Q ＝16b k .从而x P x Q ＝y 2P y 2Q162＝b 2k 2，∴b 2k 2＋16bk＝0.∵k ≠0，b ≠0，整理得b ＝－16k . ∴直线PQ 的方程为y ＝kx －16k ，PQ 过点(16,0)；当PQ 的斜率不存在时，显然PQ ⊥x 轴，又PO ⊥OQ ，∴△POQ 为等腰三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝|x |，y 2＝16x ，得P (16,16)，Q (16，－16)，此时直线PQ 过点(16,0)， ∴直线PQ 恒过定点(16,0)．12．(2012·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B两点，O 为坐标原点．(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为－12，求椭圆的离心率；(2)若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |> 3. 解：(1)设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由题意，有 x 20a 2＋y 20b2＝1.① 由A (－a,0)，B (a,0)得k AP ＝y 0x 0＋a ，k BP ＝y 0x 0－a.由k AP ·k BP ＝－12，可得x 20＝a 2－2y 20，代入①并整理得(a 2－2b 2)y 20＝0. 由于y 0≠0，故a 2＝2b 2.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22. (2)证明：法一：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b 2＝1. 消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.②由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0.而x 0≠0，于是x 0＝－2a1＋k 2，代入②，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝⎛⎭⎫a b 2＋4.由a >b >0，故(1＋k 2)2>4k 2＋4，即k 2＋1>4，因此k 2>3，所以|k |> 3.法二：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P在椭圆上，有x20a2＋k2x20b2＝1.因为a>b>0，kx0≠0，所以x20a2＋k2x20a2<1，即(1＋k2)x2<a2.③由|AP|＝|OA|，A(－a,0)，得(x0＋a)2＋k2x20＝a2，整理得(1＋k2)x20＋2ax0＝0，于是x0＝－2a1＋k2.代入③，得(1＋k2)4a2(1＋k2)2<a2，解得k2>3，所以|k|> 3.。
直线与圆锥曲线的位置关系的判定复习课教案
①掌握点与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的判定方法：代数方法②掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系(交点个数) 的判定方法：代数方法和几何法(数型结合方法)。
③掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的常见题型的解题思路与方法，会根据直线与圆锥曲线的位置确定参数的值(或范围)。
①培养学生运算能力、探索能力，分析问题解决问题的能力；②培养学生数形结合思想、转化思想函数方程思想及分类讨论思想。
①培养学生运动变化观点；②培养学生认识事物的特殊性与一般性规律。
直线与圆锥曲线位置关系的判定是高中数学的重点内容，是高考数学考查的重要内容，在高考试卷中占有相当的分量。
该内容经常与方程组的解的讨论、方程的区间根、直线的斜率，以及数形结合思想，分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想方法等知识相结合。
该内容知识的综合性、应用性较强，是学生学习的难点之一。
点、直线与圆锥曲线位置关系的判定方法，以及判定方法的灵活应用。
直线与圆锥曲线在某个区间内有交点的问题。
求参数的取值范围。
根据本内容的特点结合学生的实际，采用讲解和学生讨论探索，最后教师总结归纳的教学方法。
指导学生掌握通性，同时注重对一题多解和一题多变的训练，培养思维能力。
<>1、给出下列曲线：① 4x+2y-1=0 , ② ,③⑤=2x. 其中与直线 y=-2x-3 有交点的所有曲线是(A .①③ B.②④⑤ C.①②③ D.②③④2①若题目中没给出直线方程，假设直线方程时应对直线方程的斜率存在和不存在两种情况进行分类讨论。
②对于研究给定区间的位置关系问题，应转化为方程ax2+bx+c=0 的区间根问题，结合二次函数图象加以解决。
联立方程,消去x或y，得到关于x (或y)的方程ax2+bx+c=0 (或ay2+by+c=0)。
(1)当a=0 时 (2)当 a ≠0 时3<1>判断直线与圆锥曲线交点个数；<2>证明直线与圆锥曲线的位置关系；<3>已知直线与圆锥曲线的位置关系，求直线方程(或确定参数的值)；<4>已知直线与圆锥曲线的位置关系，求参数的取值范围。
直线与圆锥曲线的位置关系教案
直线与圆锥曲线的位置关系教案一、教学目标1. 理解直线与圆锥曲线的位置关系，掌握相关概念和性质。
2. 能够运用直线与圆锥曲线的位置关系解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学解决问题的能力。
二、教学内容1. 直线与圆锥曲线的基本概念和性质。
2. 直线与圆锥曲线的相切、相离和相交情况。
3. 直线与圆锥曲线的交点个数与判别式。
4. 直线与圆锥曲线的应用问题。
三、教学方法1. 采用讲解、案例分析、练习相结合的教学方法。
2. 通过图形演示和实际例子，引导学生直观理解直线与圆锥曲线的位置关系。
3. 鼓励学生进行自主学习和合作学习，提高解决问题的能力。
四、教学准备1. 教学课件和教学素材。
2. 直尺、圆规等绘图工具。
3. 练习题和答案。
五、教学过程1. 引入：通过简单的例子，引导学生思考直线与圆锥曲线的位置关系。
2. 讲解：讲解直线与圆锥曲线的基本概念和性质，解释相切、相离和相交情况的定义。
3. 案例分析：分析具体的直线与圆锥曲线的位置关系案例，引导学生通过判别式判断交点个数。
4. 练习：让学生进行相关的练习题，巩固所学知识。
6. 作业布置：布置相关的练习题，巩固所学知识。
六、教学拓展1. 探讨直线与圆锥曲线的位置关系在实际问题中的应用，如光学、工程等领域。
2. 介绍直线与圆锥曲线位置关系在现代数学中的研究进展和应用。
七、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，直线与圆锥曲线的位置关系及其应用。
2. 强调重点概念和性质，提醒学生注意在实际问题中的应用。
八、作业布置1. 完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 选择一道与直线与圆锥曲线位置关系相关的综合应用题，进行练习。
九、课后反思1. 学生对本节课内容的掌握程度，哪些方面需要加强。
2. 教学方法的适用性，是否达到预期教学效果。
十、教学评价1. 学生作业、练习题和课堂表现的评价。
2. 对学生掌握直线与圆锥曲线位置关系知识的程度的评价。
3. 教学反馈，了解学生对教学内容的满意度和建议。
直线与圆锥曲线的位置关系总结归纳-V1
直线与圆锥曲线的位置关系总结归纳-V1直线与圆锥曲线的位置关系总结归纳：在二维平面直角坐标系中，圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线、抛物线四种类型。
接下来，我们将会详细地讲述这些圆锥曲线与直线的位置关系。
圆与直线的位置关系：1. 直线与圆心重合。
此时直线为圆的切线。
2. 直线与圆相交于两个点。
此时直线为圆的切线。
3. 直线穿过圆。
此时直线为圆的割线，并且圆被割成两个部分。
4. 直线在圆内部。
此时直线与圆没有任何交点。
5. 直线在圆外部。
此时直线与圆没有任何交点。
椭圆与直线的位置关系：1. 直线经过两焦点之间。
此时直线与椭圆有两个交点。
2. 直线经过其中一个焦点。
此时直线与椭圆只有一个交点。
3. 直线经过两焦点之外。
此时直线与椭圆没有交点。
4. 直线在椭圆内部。
此时直线与椭圆没有任何交点。
5. 直线在椭圆外部。
此时直线与椭圆没有任何交点。
双曲线与直线的位置关系：1. 直线经过双曲线的两焦点之间。
此时直线与双曲线有两个交点。
2. 直线贯穿双曲线。
此时直线为双曲线的一条渐近线。
3. 直线经过双曲线的其中一个焦点。
此时直线与双曲线有一条公共切线。
4. 直线经过双曲线两焦点之外。
此时直线与双曲线没有交点。
5. 直线在双曲线内部。
此时直线与双曲线没有任何交点。
6. 直线在双曲线外部。
此时直线与双曲线没有任何交点。
抛物线与直线的位置关系：1. 直线经过抛物线的焦点。
此时直线与抛物线有一条公共切线。
2. 直线在抛物线的焦点与顶点之间穿过。
此时直线与抛物线有两个交点。
3. 直线在抛物线的顶点之上。
此时直线与抛物线有两个交点。
4. 直线在抛物线的顶点之下。
此时直线与抛物线没有任何交点。
5. 直线在抛物线的开口处之上。
此时直线与抛物线有两个交点。
6. 直线在抛物线的开口处之下。
此时直线与抛物线没有任何交点。
通过以上的总结归纳，我们可以看出不同类型的圆锥曲线与直线的位置关系会有所不同。
我们可以利用这些位置关系来解决一些几何问题，深化我们对圆锥曲线的认识。
《直线和圆锥曲线》课件
焦点和准线
什么是焦点和准线？掌握定位 和性质。
弦和切线
圆锥曲线的弦和切线有什么特 性？如何确定弦和切线的方程？
曲线的方程和参数方 程
学习圆锥曲线的方程形式以及 参数方程表示，掌握各种类型 的曲线方程。
直线和圆锥曲线的求交点
1
直线和圆的交点
研究直线和圆的交点形态，如何求解交
直线和椭圆的交点
2
点的坐标。
《直线和圆锥曲线》PPT 课件
这份《直线和圆锥曲线》PPT课件将带你深入了解直线和圆锥曲线的基础知 识、性质、求交点、应用等内容。让我们一起来探索这个有趣而重要的数学 领域。
基础知识回顾
直线的标准方程
了解直线方程，掌握标准方程与其他形式的转 化方法。
椭圆的标准方程
掌握椭圆的方程，了解椭圆的形状、焦点、准 线等相关概念。
探索直线和椭圆相交的位置，推导出交
点的坐标。
3
直线和双曲线的交点
分析直线和双曲线的交点情况，求解交
直线和抛物线的交点
4
点的坐标表达式。
研究直线和抛物线相交的条件，求解交 点的坐标。
应用
地球上的地图为什么是 椭圆形的
探索为什么地球在地图上呈 现出椭圆形状，理解地么是双曲 线型的
给出进一步学习直线和圆锥曲线的建议和方向。
注：本PPT课件仅供学习参考，不得用于商 业用途。
圆的标准方程
了解圆的方程，理解圆的几何性质与标准方程 之间的联系。
双曲线的标准方程
学习双曲线的方程，探索双曲线的渐近线、焦 点和准线等特性。
圆锥曲线的性质
定义
什么是圆锥曲线？探索圆锥曲 线的几何定义。
对称性
圆锥曲线有哪些对称性质？了 解对称轴和对称中心。
直线与圆锥曲线的位置关系教案
直线与圆锥曲线的位置关系教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解直线与圆锥曲线的位置关系；（2）学会运用直线与圆锥曲线的性质解决相关问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、推理等方法，探索直线与圆锥曲线的位置关系；（2）培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生的团队合作精神，提高学生的表达沟通能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）直线与圆锥曲线的位置关系；（2）运用直线与圆锥曲线的性质解决相关问题。
2. 教学难点：（1）直线与圆锥曲线的位置关系的判断；（2）灵活运用直线与圆锥曲线的性质解决实际问题。
三、教学过程1. 导入：（1）复习相关知识点，如直线、圆锥曲线的定义及性质；（2）提出问题，引导学生思考直线与圆锥曲线的位置关系。
2. 探究：（1）分组讨论，让学生观察直线与圆锥曲线的位置关系，总结规律；（2）每组派代表分享探究成果，师生共同总结直线与圆锥曲线的位置关系。
3. 讲解：（1）讲解直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法；（2）举例说明如何运用直线与圆锥曲线的性质解决实际问题。
4. 练习：（1）布置课堂练习题，让学生巩固所学知识；（2）挑选部分练习题进行讲解，解答学生疑问。
5. 总结：（1）回顾本节课所学内容，让学生梳理知识体系；（2）强调直线与圆锥曲线位置关系在实际问题中的应用。
四、课后作业1. 完成课堂练习题；2. 选取一个实际问题，运用直线与圆锥曲线的性质进行解答；3. 预习下一节课内容。
五、教学反思1. 反思教学效果：（1）学生对直线与圆锥曲线的位置关系的掌握程度；（2）学生运用直线与圆锥曲线的性质解决实际问题的能力。
2. 改进措施：（1）针对学生掌握不足的地方，进行有针对性的讲解和练习；（2）提供更多实际问题，让学生锻炼运用所学知识解决问题的能力。
六、教学评价1. 学生自评：（1）评价自己在课堂学习中的表现，如参与度、理解程度等；（2）反思自己在课后作业中的表现，如完成情况、解决问题能力等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
直线与圆锥曲线
一、知识要点
1.关于直线与圆锥曲线的交点问题:一般方法是用解方程组的方法求其交点的坐标.
2.判断直线与圆锥曲线交点个数问题:即判断方程组解的个数.
3.直线与圆锥曲线位置关系的判定:通法是消去一个未知数若得到的是关于另一未知数的一元二次方程,可用根的判别式来判断，注意直线与圆锥曲线相切必有一个公共点，对圆与椭圆来说反之亦对，但对双曲线和抛物线来说直线与其有一公共点，可能是相交的位置关系.
4.直线与圆锥曲线相交的弦长计算:(1)连结圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦;(2)易求出弦端点坐标时用距离公式求弦长;(3)一般情况下,解由直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组,得到关于x(或y)的一元二次方程,利用方程组的解与端点坐标的关系,结合韦达定理得到弦长公式:|AB|=]4))[(1(212212x x x x k -++.
5.关于相交弦的中点问题:涉及到弦的中点时,常结合韦达定理.
6.曲线关于直线对称问题:注意两点关于直线对称的条件:(1)两点连线与该直线垂直;(2)中点在此直线上.
二、基础训练
1．直线y x b =+与抛物线22y x =，当b ∈ 时，有且只有一个公共点；
当b ∈ 时，有两个不同的公共点；当b ∈ 时，无公共点．
2．若直线1y kx =+和椭圆22
125x y m
+=恒有公共点，则实数m 的取值范围为 ． 3．抛物线2y ax =与直线y kx b =+(0)k ≠交于,A B 两点，且此两点的横坐标分别为1x ，2x ，
直线与x 轴的交点的横坐标是3x ，则恒有 （ ）
()A 312x x x =+ ()B 121323x x x x x x =+
()C 3120x x x ++= ()D 1213230x x x x x x ++=
4．椭圆122=+ny mx 与直线1=+y x 交于,M N 两点，MN 的中点为P ，且OP 的斜率为
22，则n
m 的值为 （ ） （A ）22 （B ）322 （C ）229 （D ）27
32 5．已知双曲线2
2:14
y C x -= ，过点(1,1)P 作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有 （ ）
()A 1 条 ()B 2条 ()C 3条 ()D 4条
三、例题分析
例1．过点(1,6)--的直线l 与抛物线24y x =交于,A B 两点，若9(,0)2
P ，||||AP BP =， 求直线l 的斜率．
∆
例2．已知直线l 和圆M ：2220x y x ++=相切于点T ，且与双曲线22:1C x y -=相交于,A B 两
点，若T 是AB 的中点，求直线l 的方程．
例3.过椭圆2x 2+y 2=2的一个焦点的直线交椭圆于P 、Q 两点,求ΔPOQ 面积的最大值
例4（天津卷）抛物线C 的方程为)0(2<=a ax y ，过抛物线C 上一点P(x 0,y 0)(x 0≠0)作斜率为k 1,k 2的两条直线分别交抛物线C 于A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)两点(P,A,B 三点互不相同)，且满足)10(012-≠≠=+λλλ且k k .
（Ⅰ）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）设直线AB 上一点M ，满足BM λ=，证明线段PM 的中点在y 轴上；
（Ⅲ）当λ=1时，若点P 的坐标为（1，-1），求∠PAB 为钝角时点A 的纵坐标1y 的取值范围.
四、同步练习
1．以点(1,1)-为中点的抛物线28y x =的弦所在的直线方程为
（ ） ()A 430x y --= ()B 430x y ++=
()C 430x y +-= ()D 430x y ++=
2．斜率为3的直线交椭圆221259
x y +=于,A B 两点，则线段AB 的中点M 的坐标满足方程（ ） ()A 325y x =
()B 325
y x =- ()C 253y x = ()D 253
y x =- 3．过点(0,1)与抛物线22(0)y px p =>只有一个公共点的直线的条数是（ ）
()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 3 4（福建卷）已知F 1、F 2是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）
A ．324+
B ．13-
C ．213+
D ．13+
5.椭圆4x 2+9y 2=36的焦点为F 1,F 2,点P 为其上动点,当∠F 1PF 2为钝角时,点P 的横坐标的取值范围是 .
6．已知双曲线2290x y kx y -+--=与直线1y kx =+的两个交点关于y 轴对称，则这两个交点
的坐标为
7．与直线042=+-y x 的平行的抛物线2x y =的切线方程是
8. （山东卷）设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率___________e =
9．已知椭圆的中心在原点，离心率为12 ，一个焦点是F （-m,0）(m 是大于0的常数).
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M. =，求直线
l 的斜率.
10．一个正三角形的三个顶点都在双曲线221x ay -=的右支上，其中一个顶点是双曲线的右
顶点，求实数a 的取值范围．
11．已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于,A B 两点．是否存在实数k ，使,A B 两点
关于直线20x y -=对称？若存在，求出k 值，若不存在，说明理由．
12、（上海）本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分. 已知抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F,A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点,A 到
抛物线准线的距离等于5,过A 作AB 垂直于y 轴,垂足为B,OB 的中点为M.
(1)求抛物线方程;
(2)过M 作MN ⊥FA, 垂足为N,求点N 的坐标;
(3)以M 为圆心,MB 为半径作圆M.当K(m,0)是x 轴上一动点时,丫讨论直线AK 与圆M
的位置关系.。