几何五大模型精讲-第3讲-相似模型
小学奥数平面几何五大模型
小学奥数平面几何五大定律一、等积模型图(1) 图(2) 图(3) 图(4)① 等底等高的两个三角形面积相等如图(1)：D 为BC 中点，则S △ABD =S △ACD 如图(4)：l 1平行于l 2，则S △ACD =S △BCD ② 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比如图(2)：S △ABD S △ACD=BD CD③ 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比如图(3)：BC=EF ，则S △ABC S △DEF=h 1h 2④ 夹在一组平行线之间的等积变形如图(4)：l 1平行于l 2 ，则 S △ABD =S △ACD 反之如果S △ABD =S △ACD ，则可知直线l 1平行于l 2⑤ 等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)⑥ 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半⑦ 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比二、共角定理(鸟头定理)两个三角形中有一个角相等或互补(两个角之和＝180O ），这两个三角形叫做共角三角形．D C B Aℎ AB DC ℎ1ℎ2 l 2l 2BAC ℎ1 F ED ℎ2B C AD ℎ共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．共角互补角图(1) 图(2)如图(1)：在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ABC 与△ADE 共∠A 如图(2)：D 在BA 的延长线上，E 在AC 上；∠BAC+∠BAC ＝180O (互补)，则: S △ABC :S △ADE =(AB ×AC):(AD ×AE)；或S △ABC S △ADE=AB × AC AD × AE三、相似模型数学上，相似指两个图形的形状完全相同，其中一个图形能通过放大、缩小、平移、旋转、镜像等方式变成另一个。
相似比：是指两个相似图形的对应边的比值。
几何五大模型
一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△五大模型1S 2S精品字里行间精品文档图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2a b +。
四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型①AD AEDE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
几何五大模型
WORD格式.五大模型一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
S1S2如上图S1:S2a:b⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图S；△ACD=S△BCD反之，如果S△ACD S△BCD，则可知直线AB平行于CD。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角 )两夹边的乘积之比。
如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点(如图1)或D在BA的延长线上，E在AC上(如word图2)，则S△ABC:S△ADE(AB AC):(AD AE)图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系 (“蝴蝶定理”)：①S1:S2S4:S3或者S1S3S2S4②AO:OC S1 S2:S4 S3蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)2 2①S1:S3a:b②S1:S3:S2:S4a2:b2:ab:ab；2③梯形S的对应份数为a b。
2专业资料整理WORD格式.四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型沙漏模型①AD AE DE AF；AB AC BC AG②S△ADE:S△ABC AF2:AG2。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
五、燕尾定理模型S△ABG:S△AGC S△BGE:S△EGC BE:ECS :S S :S AFFC△BGA△BGC△AGF△FGC :S :S S :S ADDB△AGC△BCG △ADG△DGB : 典型例题精讲例1 一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的0.15倍，黄色三角形的面积是21平方厘米。
小学奥数-几何五大模型(相似模型)
模型四 相似三角形模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AF AB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。
在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。
【例 1】 如图，已知在平行四边形ABCD 中，16AB =，10AD =，4BE =，那么FC 的长度是多少？FEDCBA【解析】 图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB 平行于CD ，所以::4:161:4BF FC BE CD ===，所以410814FC =⨯=+．任意四边形、梯形与相似模型【例 2】 如图，测量小玻璃管口径的量具ABC ，AB 的长为15厘米，AC 被分为60等份。
如果小玻璃管口DE 正好对着量具上20等份处(DE 平行AB )，那么小玻璃管口径DE 是多大？605040302010EAD C B【解析】 有一个金字塔模型，所以::DE AB DC AC =，:1540:60DE =，所以10DE =厘米。
【例 3】 如图，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，那么:ADE ECB S S =△△________。
A ED CB【解析】 根据金字塔模型:::2:(23)2:5AD AB AE AC DE BC ===+=，22:2:54:25ADE ABC S S ==△△，设4ADE S =△份，则25ABC S =△份，2553BEC S =÷⨯=△份，所以:4:1A D E E C B S S =△△。
几何的五大模型
几何的五大模型一、等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等。
2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比。
3、两个三角形底相等，面积比等于它的的高之比。
二、共角定理模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等到于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
三、蝴蝶定理模型（说明：任意四边形与四边形、长方形、梯形，连接对角线所成四部的比例关系是一样的。
）四、相似三角形模型相似三角形：是形状相同，但大小不同的三角形叫相似三角形。
相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比。
相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
五、燕尾定理模型解析： 因为阴影部分比三角形EFG 的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB 后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD 比直角三角形ECB 的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD 的面积等于10×8÷2+10=50厘米2 。
解析：利用燕尾定理，连接FC ，BFD 面积 /BFC 面积=DE/EC=1/2，如果BFD 面积为1份的话，BFC 为2份；又DF=FG ，所以BFG 面积与BFD 面积相等也是1份，故FGC 面积是2-1=1份，那么BG=GC ；再利用燕尾定理，DFC 的面积与DFB 相等也是1份，BDC 的面积是4份=6，故一份面积是6/4=1.5，阴影部分是1+2/3=5/3份，面积是1.5×5/3=2.5 EF=（=。
所以阴影部分如图，长方形ABCD 的面积是12，CE = 2DE ，F 是DG 的中点，那么图中阴影部分面积是________。
中，与平行，，、分别是的中点，已知阴影四边形则梯形在右图中，平行四边形ABCD 的边BC 长10厘米，直角三角形ECB 的直角边EC 长8厘米。
已知阴影部分的总面积比三角形EFG 的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD 的面积。
几何五大模型
精选一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△五大模型1S 2S图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2a b +。
精选四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型 ①AD AEDE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
小学奥数-几何五大模型(相似模型)讲解学习
模型四 相似三角形模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AF AB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。
在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。
【例 1】如图，已知在平行四边形ABCD 中，16AB =，10AD =，4BE =，那么FC 的长度是多少？FEDCBA【解析】 图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB 平行于CD ，任意四边形、梯形与相似模型所以::4:161:4BF FC BE CD ===，所以410814FC =⨯=+．【例 2】 如图，测量小玻璃管口径的量具ABC ，AB 的长为15厘米，AC 被分为60等份。
如果小玻璃管口DE 正好对着量具上20等份处(DE 平行AB )，那么小玻璃管口径DE 是多大？605040302010EA D C B【解析】 有一个金字塔模型，所以::DE AB DC AC =，:1540:60DE =，所以10DE =厘米。
【例 3】如图，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，那么:ADE ECB S S =△△________。
A ED CB【解析】 根据金字塔模型:::2:(23)2:5AD AB AE AC DE BC ===+=，22:2:54:25ADE ABC S S ==△△，设4ADE S =△份，则25ABC S =△份，255315BEC S =÷⨯=△份，所以:4:15ADE ECB S S =△△。
小学奥数平面几何五种面积模型(等积-鸟头-蝶形-相似-共边)
小学奥数平面几何五种模型（等积,鸟头,蝶形,相似,共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积,鸟头,蝶形,相似（含金字塔模型和沙漏模型）,共边（含燕尾模型和风筝模型）, 掌握五大面积模型地各种变形知识点拨一，等积模型①等底等高地两个三角形面积相等。
②两个三角形高相等,面积比等于它们地底之比。
两个三角形底相等,面积比等于它们地高之比。
如右图12::S S a b=③夹在一组平行线之间地等积变形,如右图A C D B C D S S =△△。
反之,假如ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高地两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊地平行四边形)。
⑤三角形面积等于与它等底等高地平行四边形面积地一半。
⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们地底之比。
两个平行四边形底相等,面积比等于它们地高之比．二，鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形地面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边地乘积之比．如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上地点如图 ⑴(或D 在BA 地延长线上,E 在AC 上),则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△ 图⑴ 图⑵三，蝶形定理任意四边形中地比例关系(“蝶形定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形地面积问题地一个途径．通过构造模型,一方面可以使不规则四边形地面积关系与四边形内地三角形相联系。
EDCBAEDCB Ab a S 2S 1D C BA S 4S 3S 2S 1O DCBA另一方面,也可以得到与面积对应地对角线地比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =。
几何五大模型
⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；五大模型1S 2S两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2a b +。
相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型 ①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
相似五大考点串讲 五种基本模型初中数学模型
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【思路分析】找出相似三角形，应用相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比” 列出方程求解．
知识串讲
考点3. 相似三角形的性质
【例 10】已知：如图，在 Rt△ABC 中，AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，DE∥AB. (1)当△CDE 的面积与四边形 DABE 的面积相等时，求 DE 的长； (2)当△CDE 的周长与四边形 DABE 的周长相等时，求 DE 的长．
＝CADC＋＋BCCE＝76.∴DE＝67AB＝370.
知识串讲 考点4. 相似三角形的应用
(1) 测高 (不能直接使用皮尺或刻度尺量的) 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在 同一时刻物高与影长成比例”的原理解决.
(2) 测距 (不能直接测量的两点间的距离) 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形 求解.
知识串讲 考点2. 相似三角形的判定
【例 6】如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，若 AD·AB＝AC·AE， 试判断△ADE 与△ACB 是否相似？并说明理由．
【思路分析】先将已知的等积式转化为比例式．
【规范解答】△ADE∽△ACB.理由如下：∵AD·AB＝AC·AE，∴AADC＝AABE. 又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB.
【思路分析】由题中的条件可得△ABC∽△DEC，由相似三角形的对应边 的比相等可求出 AB 的值．
知识串讲 考点4. 相似三角形的应用
【例 12】如图所示，有一池塘，要测量两端 A、B 的距离，可先在平地上取一个可以直 接到达 A 和 B 的点 C，连接 AC 并延长到点 D，使 CD＝12CA，连接 BC 并延长到点 E， 使 CE＝12CB，连接 ED，如果测量出 DE 的长为 25m，那么池塘宽 AB 是多少？为什么？
小学奥数-几何五大模型(相似模型)
...任意四边形、梯形与相似模型模型四相似三角形模型( 一 ) 金字塔模型( 二) 沙漏模型A E F DAD F EB GC B G C ①AD AE DE AF ；AB AC BC AG② S△ADE： S△ABC AF 2 : AG 2。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形( 只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似 ) ，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。
在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。
【例1】如图，已知在平行四边形 ABCD 中， AB 16 ， AD 10 ， BE 4 ，那么 FC 的长度是多少？D CFAB E【解析】图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为 AB 平行于CD ，所以 BF : FC BE : CD 4:16 1: 4 ，所以 FC 1048 ．41.....【例 2】如图，测量小玻璃管口径的量具 ABC ， AB 的长为 15 厘米， AC 被分为 60等份。
如果小玻璃管口 DE 正好对着量具上 20 等份处 ( DE 平行 AB ) ，那么小玻璃管口径 DE 是多大？BEA D C 0 10 20 30 40 50 60【解析】 有一个金字塔模型， 所以 DE : AB DC : AC ，DE :15 40:60 ，所以 DE 10 厘米。
【例 3】如图， DE 平行 BC ，若 AD : DB 2:3 ，那么 S △ ADE : S △ ECB________ 。
AD EB C【解析】 根 据 金 字 塔 模 型 AD:AB AE:ACDE :BC 2: (23)2:5 ，S△ ADE : S△ ABC 22 :52 4 : 25，设 S △ ADE 4 份 ， 则 S △ABC25 份 ， S △BEC 2 5 5 3 份，所以S: S 4 。
小学奥数-几何五大模型(相似模型)讲解学习
模型四 相似三角形模型（一）金字塔模型所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。
在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。
【例1】 如图，已知在平行四边形 ABCD 中，AB 16，AD 10， BE 4，那么FC 的长 度是多少？【解析】图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题， 因为AB 平行于CD ，任意四边形、梯形与相似模型（二）沙漏模型① AD AE AB AC DE AF BC AG② S ^ ADE :ABCAF 2： AG 2。
n【例2】如图，测量小玻璃管口径的量具ABC , AB的长为15厘米，AC被分为60等份。
如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处（DE平行AB ），那么小玻璃管口径DE是多大？【解析】有一个金字塔模型，所以DE: AB DC : AC，DE :15 40:60，所以DE 10厘米。
【例3】如图，DE平行BC，若AD:DB 2:3，那么S^ADEAD' 「E:S A ECB。
B亠 -------C【解析】根据金字塔2 2S A ADE : S A ABC 2 : 5模型AD : AB4:25 ,AE:AC DE : BC2: (23) 2:5 ,S\ ADE :设S A ADE 4 份，S AECB4:15。
则S A ABC 25 份SA BEC25 5 3 15份，所以【例4】如图，△ ABC中，DE，FG，BC互相平行，AD DF FB，贝y ADE : §四边形DEGF : §四边形FGCB _____________________________________________________ 。
几何的五大模型
几何的五大模型一、等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等。
2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比。
3、两个三角形底相等，面积比等于它的的高之比。
二、共角定理模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等到于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
三、蝴蝶定理模型（说明：任意四边形与四边形、长方形、梯形，连接对角线所成四部的比例关系是一样的。
）四、相似三角形模型相似三角形：是形状相同，但大小不同的三角形叫相似三角形。
相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比。
相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
五、燕尾定理模型解析：因为阴影部分比三角形EFG 的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB 后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD 比直角三角形ECB 的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD 的面积等于10×8÷2+10=50厘米2 。
解析：利用燕尾定理，连接FC ，BFD 面积 /BFC 面积=DE/EC=1/2，如果BFD 面积为1份的话，BFC 为2份；又DF=FG ，所以BFG 面积与BFD 面积相等也是1份，故FGC 面积是2-1=1份，那么BG=GC ；再利用燕尾定理，DFC 的面积与DFB 相等也是1份，BDC 的面积是4份=6，故一份面积是6/4=1.5，阴影部分是1+2/3=5/3份，面积是1.5×5/3=2.5 EF=（=。
所以阴影部分=即，梯形ABCD 的面积=如图，长方形ABCD 的面积是12，CE = 2DE ，F 是DG 的中点，那么图中阴影部分面积是________。
在梯形中，与平行，且，点、分别是和的中点，米，则梯形在右图中，平行四边形ABCD 的边BC 长10厘米，直角三角形ECB 的直角边EC 长8厘米。
已知阴影部分的总面积比三角形EFG 的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD 的面积。
几何五大模型精讲-第3讲-相似模型
x x 1 ，解得 x 48 ， 120 80
即正方形的边长为 48 毫米． 【例 5】
E M B N
O
F
相似三角形的对应边成比例有： 则 NF ， EM ，
5 9 5 3
EM 1 NF 3 ； ， 1 2 2 3 2 3 1 2
1 9 5 1 S阴 2 2 2 5 3 30
A B
G F
D
E
C
【例 8】 如图， 长方形 ABCD 中，E 为 AD 的中点，AF 与 BE 、BD 分别交于 G 、H ，
OE 垂直 AD 于 E ，交 AF 于 O ，已知 AH 5 cm ， HF 3 cm ，求 AG ．
A G
E
D
O
H
F C
B
作业题
1、 测量小玻璃管口径的量具 ABC ， AB 的长为 15 厘米， AC 被分为 60 等份．如 果小玻璃管口 DE 正好对着量具上 20 等份处( DE 平行 AB )， 那么小玻璃管口径
10 40 cm ． 13 13 1 2 1 2
3 2
作业题
1、 有一个金字塔模型，所以 DE : AB DC : AC ， DE :15 40: 60 ，所以 DE 10 厘 米．
2、 设 S△ ADE 1 份， S△ ADE : S△ AFG AD2 : AF 2 1: 4 ，因此 S△ AFG 4 份，进而有
4 4 32 ． S△ ABE (4 4 2) 47 11 11
法二：连接 AE, EF ，
S△ ABF 4 2 2 4 ，
S△ AEF 4 4 4 1 2 3 2 2 4 7 ，
几何的五大模型
几何的五大模型一、等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等。
2、两个相等，面积比等于它们的底之比。
3、两个三角形底相等，面积比等于它的的高之比。
二、共角定理模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等到于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
三、蝴蝶定理模型（说明：任意四边形与四边形、长方形、梯形，连接对角线所成四部的比例关系是一样的。
）四、相似三角形模型相似三角形：是形状相同，但大小不同的三角形叫相似三角形。
相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比。
相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
五、燕尾定理模型在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。
已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD的面积。
解析：因为阴影部分比三角形EFG 的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB 后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD 比直角三角形ECB 的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD 的面积等于10×8÷2+10=50厘米2 。
解析：利用燕尾定理，连接FC ，BFD 面积 /BFC 面积=DE/EC=1/2，如果BFD 面积为1份的话，BFC 为2份；又DF=FG ，所以BFG 面积与BFD 面积相等也是1份，故FGC 面积是2-1=1份，那么BG=GC ；再利用燕尾定理，DFC 的面积与DFB 相等也是1份，BDC 的面积是4份=6，故一份面积是6/4=，阴影部分是1+2/3=5/3份，面积是×5/3=解析： 如图，长方形ABCD 的面积是12，CE = 2DE ，F 是DG 的中点，那么图中阴影部分面积是________。
如下图，在梯形中，与平行，且，点、分别是和的中点，已知阴影四边形的面积是54平方厘米，则梯形的面积是 平方厘米．如图所示，设上底为a，则下底为2a，梯形的高为h，则EF=（a+2a）=，所以，。
最新几何五大模型
精选一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△五大模型1S 2S图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2a b +。
精选四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型 ①AD AEDE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。