希望杯试题11-20

高中数学希望杯典型例题100道（11-20）题11 使不等式x a xarccos 2>-的解是121≤<-x 的实数a 的取值范围是（ ） A 、21π-B 、3222π-C 、6522π-D 、π-21（第十一届高二第一试第6题）解法1 由已知可知2arccos xx a ->的解集是⎥⎦⎤⎝⎛-121，.在此区间上函数()x x f x arccos 2-=是单调增的.因此a 的值应当满足关系,21a f =⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛--=∴-21arccos 221a .3222π-=选B.解法2 原不等式同解于2arccos xa x <-，因为121≤<-x 22,x <≤ 23π-x arccos -<0≤，从而=∴≤-<-a x x ,2arccos 23222π3222π-.故选B. 评析 上述两种解法的实质是一回事.关于此题，刊物上有数篇文章的观点值得商榷，现摘其部分加以分析. 一篇文章认为：“由已知不等式得2arccos xa x <-，欲使其解为121≤<-x ，实际上是对⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈121，x 的任何x ，2arccos x a x <-恒成立，而x y x arccos 2-=在⎥⎦⎤ ⎝⎛-121，上是增函数，所以当21-=x 时，=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-21arccos 221min y 3222π-.故选B.”另一篇文章在介绍了“设(),n x f m ≤≤则()()()⇔<=>⇔>x f a n x f a x f a ;m ax()m x f a =<m in ”后分析道：“令()x x f xarccos 2-=，当121≤<-x 时，()x f <-3222π2≤，又()x f a <，故223a π≤-，选B. ”还有一篇文章干脆将题目改为： 使不等式x a xarccos 2>-的解是121≤<-x 的实数a 的取值范围是（ ） A 、⎪⎭⎫⎝⎛-∞-21π， B 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞-3222π，C 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-6522π， D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-π21， 并作了如下解答：“由已知得2arccos xa x <-，记()x x f xarccos 2-=，因为x 在⎥⎦⎤⎝⎛-121，时，()x f 单调增，所以=⎪⎭⎫⎝⎛--=-21arccos 221min y 3222π-.因此，3222π-<a .选B.” 首先应当指出，第一、第三篇文章中说增函数()x x f xarccos 2-=在⎥⎦⎤⎝⎛-121，上的最小值是3222π-是明显错误的. 这三篇文章共同的观点是“不等式x a xarccos 2>-的解是121≤<-x ”等价于“对⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈121，x 的任何x ，2arccos x a x <-恒成立”.按此观点，应当有⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤21f a ，题目就错了（选择支中没有正确答案），又怎么能选B 呢？第三篇文章也将题目改错了（选择支中同样没有正确答案）.问题的关键在于“不等式x a xarccos 2>-的解是121≤<-x ”与“对⎥⎦⎤⎝⎛-∈121，x 的任何x ，2arccos x a x <-恒成立”到底是否等价.为说明这一问题，我们只要看一个简单的例子就能明白了. 不等式022≤+-a x x 的解集是[]3,1-，求a 的取值范围.如果认为它等价于“[]3,1-∈x 时，不等式022≤+-a x x 恒成立，求a 的取值范围”，就会这样解：由022≤+-a x x 得()2221122--=+-+-≤x x x x x a ，在[]3,1-上的最小值是 ()3,31312-≤∴-=--a 为所求.而事实上，38-<-，但0822≤--x x 的解集却不是[]3,1-，而是[]4,2-，可见两者并不等价.至此，我们可以得出结论：“关于x 的不等式()x f a >的解集是D ”与“D x ∈时，关于x 的不等式()x f a >恒成立”不一定是等价的.题12 已知b a ,是正数，并且1996199619981998b a b a+=+，求证222≤+b a .(第十届高一培训题第74题)证法1 若a 与b 中有一个等于1,那么另一个也等于1,此时,显然222≤+b a . 若b a ≥且1≠b ,可将1996199619981998b a b a+=+改写为()()219962199611b b a a -=-,由此推得10<<b (若1>b ,则012<-a ,得1<a ,这与b a ≥矛盾),由此得 ,11199622⎪⎭⎫ ⎝⎛=--a b b a,111,10,10221996≤--∴≤⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤<ba ab a b 得 222≤+b a . 证法2 ()()()1998199822199619961998219961996219982ab a b a b a a b a b b +-++=--+=()()221996199622.ab a b a b --- 与19961996b a -同号,∴ ()()22199619960,a b a b --≥()()()1998199822199619962.a b a b a b ∴+≥++ ∴>+=+,01996199619981998b a b a 222≤+b a .证法3 由1996199619981998baba+=+及+∈R b a ,,得()()19961996222219981998a b a b a bab+++=+19981998199622199619981998199622199619981998199622199619981998.1b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a --++++=++++= ()()2219961996,a b a b =---又22b a -与19961996b a -同号,()()22199619960,a b a b ∴---≤1996221996199819981,a b a b a b+∴≤∴+222≤+b a . 评析 解决本题的关键在于如何利用已知条件.证法1通过分类讨论证得222≤+b a ,较繁.由于1996199619981998b a b a+=+,故证法2作差()()()1996199622199819982b a b a b a ++-+,只要此差大于等于0命题便获证.而证法3将22b a +表示成()()199819982219961996b a b a b a +++①,便将问题转化成证①式小于等于2.证法2,3的作法既有技巧性,又有前瞻性,简洁明了.拓展 本题可作如下推广推广1 设R b a ∈,,且1996199619981998b a b a +=+,则222≤+b a .推广2 设R b a ∈,,且n n n n b a b a 222222+=+++,其中+∈N n ,则222≤+b a . 推广3 设R b a ∈,,且m m n m nm b a b a222222+=+++,其中+∈N n m ,,则.222≤+n n b a . 推广4 设R b a ∈,,且m m n m nm Bb Aa Bb Aa222222+=+++,其中+∈N n m ,,1,,≤+∈+B A R B A ,则122≤+n n Bb Aa ②.由于推广1，2，3都是推广4的特例，故下面证明推广4. 证明 ⑴当0==b a 时，②式显然成立. ⑵当b a ,不全为零，有()()()()22222222m n m n m m n n A B Aa Bb Aa Bb Aa Bb ++++-++()()()222222222222.m n m n n m m n m m n n AB a a b a b b AB a b a b ++=--+=--mm b a 22- 与n n b a 22-同号，∴()()22220,m m n n AB a b a b --≥∴()()2222m n m n A B Aa Bb ++++()()222222222222.0,m m n n m n m n m m n n Aa Bb Aa Bb Aa Bb Aa Bb Aa Bb A B++≥+++=+>∴+≤+ .1≤即当b a ,不全为零时，②式也成立.综上，不等式②成立.推广5 设+∈R b a ,，且m m n m nm b a b a +=+++，其中0,,>∈mn Z n m ，则2≤+n n b a . 推广6 设+∈R b a ,，且m m n m nm b a b a+=+++，其中0,,>∈mn R n m ，则2≤+n n b a . 推广7 设+∈R b a ,，且m m n m nm Bb Aa Bb Aa+=+++，其中1,,,0,,≤+∈>∈+B A R B A mn R n m ，则1≤+nnBb Aa ③.由于推广5，6是推广7的特殊情形，故下面证明推广7. 证明 ()()()()m nm n m m n n A B AaBb Aa Bb Aa Bb ++++-++()m n m n n m m n AB a a b a b b ++=--+()().0.m m n n AB a b a b mn =--> 由幂函数的性质，可知m m b a -与n n b a -同号，()()()()()()0,.m m n n m n m n m m n n AB a b a b A B Aa Bb Aa Bb Aa Bb ++∴--≥∴++≥++.1,0≤+≤+∴>+=+++B A Bb Aa Bb Aa Bb Aa n n m m n m n m 即不等式③成立.从变元个数进行推广可得推广8 设()k i R x i ,,2,1 =∈+，且mi ki nm iki x x 11=+=∑=∑，其中,0,,>∈mn R n m 则.1k x ni ki ≤∑= 推广9 设()1,,,2,1,1≤∑=∈=+i ki i i A k i R A x ，且mi i ki nm ii ki x A x A 11=+=∑=∑，其中,0,,>∈mn R n m 则11≤∑=ki n ii xA ④.由于推广8是推广9的特例,故下面证明推广9. 证明 令1111k kk km nmn i i ii i i i i i i i A A xA x A x +====∆=-⋅∑∑∑∑1111kkkkm nmn i j ji ij ji j i j A A x A x A x+=====-∑∑∑∑().11∑∑==-⋅=kj mi m jnjjiki x xx A A 由下标的对称性,对换上式的下标,得()∑∑==-=∆kj mj mi ni j i ki x x x A A 11..将上面两式相加,得()()112.kkmm n n ijij i j i j A A xx x x ==∆=--∑∑0>mn ,由幂函数性质知mj mi x x -与nj ni x x -同号, ()()0,20,m mnn i j i jij A A x x xx --≥∴∆≥即∑∑∑∑====+⋅≥∴≥∆ki k i ni i k i mi i ki nm ii i x A x A x A A 1111,0,∑∑==+>=ki mi i ki nm ii x A x A 11,0111≤≤∴∑∑==ki i ki ni i A x A ,即不等式④成立.题13 设1x ，2x ，3x ，1y ，2y ，3y 是实数，且满足1232221≤++x x x ，证明不等式)1)(1()1(2322212322212332211-++-++≥-++y y y x x x y x y x y x .（第十届高二第二试第22题）证法1 当1232221=++x x x 时，原不等式显然成立.当1232221<++x x x 时，可设()()22221231f t x x x t =++-2-()1122331x y x y x y t ++-()2221231y y y +++-.易知右边()()221122x t y x t y =-+-()()22331x t y t +---.()()()()01233222211≥-+-+-=∴y x y x y x f .()t f 是开口向下的抛物线，()()()2222222112233123123414110t x y x y x y x x x y y y ∴∆=++--++-++-≥即)1)(1()1(2322212322212332211-++-++≥-++y y y x x x y x y x y x .综上，1232221≤++x x x 时，)1)(1()1(2322212322212332211-++-++≥-++y y y x x x y x y x y x .证法2，()3,2,1,=∈+i R y x i i ，1232221≤++x x x ，∴当1232221>++y y y 时，0)1)(1(232221232221≤-++-++y y y x x x ，又0)1(2332211≥-++y x y x y x ，∴求证的不等式成立.当1232221≤++y y y 时，=-++-++)1)(1(232221232221y y y x x x()()()()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+---≤------223222123222123222123222121111y y y x x x y y y x x x()2222222233112211223311222x y x y x y x y x y x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++---≤---=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2332211)1(-++y x y x y x .综上，在题设条件下，总有)1)(1()1(2322212322212332211-++-++≥-++y y y x x x y x y x y x .证法3 设1232221-++=x x x a ，1122332(1)b x y x y x y =-++-，1232221-++=y y y c ，则由1232221≤++x x x 知0≤a ，从而()222123112233121a b c x x x x y x y x y ++=++--++-21y +22231y y ++-()()()0233222211≥-+-+-=y x y x y x .()()()0444424222≥++-=---=+--c b a a ac ab a b a ac b,()22420b ac a b -≥+≥，042≥-∴ac b ，即)1)(1()1(2322212322212332211-++-++≥-++y y y x x x y x y x y x . 证法4 设()321,,x x x a =，()321,,y y y b = ，则 ()()332211321321,,,,y x y x y x y y y x x x b a ++==⋅，又 θcos ⋅⋅=⋅b a b aθcos 232221232221⋅++⋅++=y y y x x x .11223311cos x y x y x y θ∴++-=≥01cos 1232221232221232221232221≥++⋅++-≥⋅++⋅++-y y y x x x y y y x x x θ22112233(1)(1x y x y x y ∴++-≥222222123123(1)(1)x x x y y y ≥++-++-.证法5 记()321,,x x x A =，()321,,y y y B =，()0,0,0O 为坐标原点，则由OB OA AB -≥,，整理得()112233110x y x y x y -++≥-≥，01123222123222133221≥++++-≥-++∴y y y x x x y x y x y x ，(22222222112233123123(1)1(1)(1)x y x y x y x x x y y y ∴++-≥≥++-++-.评析 这是一个条件不等式的证明问题.由求证式是ac b ≥2的形式自然联想到二次函数的判别式，构造一个什么样的二次函数是关键.当然是构造()()()()11212322213322112232221-+++-++--++=y y y t y x y x y x t x x x t f ，但只有当 01232221≠-++x x x 时，()t f 才是二次函数，故证法1又分01232221=-++x x x 与01232221≠-++x x x 两类情形分别证明.很显然，等价转化思想、分类讨论思想是证法1的精髓.证法2直接运用基本不等式证明.证法3通过换元后证明042≥-ac b （即求证式），技巧性很强，一般不易想到，读者可细心体会其思路是如何形成的.证法4由求证式中的232221x x x ++,232221y y y ++及332211y x y x y x ++联想到空间向量的模及数量积，因而构造向量解决问题.证法5则从几何角度出发，利用OB OA AB -≥使问题轻松得证.五种证法，从多角度展示了本压轴题的丰富内涵.拓展 本题可作如下推广：推广 1 若()21,1,2,,,1ni i ii x y R i n x=∈=≤∑ ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑∑===111121221n i i n i i n i i i y x y x . 推广 2 若()0,,,2,1,≥=∈m n i R y x i i ，∑=≤ni im x12，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑∑===m y m x m y x n i i n i i n i i i 121221. 两个推广的证明留给读者.题14 已知0x y z >、、，并且2222222111x y z x y z ++=+++，求证：222222111x y z x y z++≤+++ （第一届备选题）证法1 令tan ,tan ,tan x y z αβγ===，且,,αβγ为锐角，则题设可化为222sin sin sin 2αβγ++=，即222c o s c o sc o s 1αβγ++=.由柯西不等式知221=⨯=()()222222sin sin sin cos cos cos αβγαβγ++++()()221sin cos sin cos sin cos sin 2sin 2sin 22ααββγγαβγ⎡⎤≥++=++⎢⎥⎣⎦. ()1sin 2sin 2sin 22αβγ∴++≤由万能公式得222tan tan tan 1tan 1tan 1tan αβγαβγ++≤+++即222111x y zx y z ++≤+++证法2 构造二次函数()222f t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++22222221112111111x y z t t x y z x y z ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭ 222222111x y z x y z ⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭. ()0f t ≥ ，当且仅当,x y z ==取t x y z ===时取等号，0∴∆≤，即222222222222211144111111111x y z x y z x y z x y z x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++++ ⎪ ⎪ ⎪+++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤，2222222221111,1,1,111111x y z x x y y z z =-=-=-++++++ 又2222222221112,1,111111x y z x y z x y z ++=∴++=++++++ 222244120111x y z x y z ⎛⎫∴++-⨯⨯≤ ⎪+++⎝⎭，故222111x y zx y z++≤+++（当且仅当x y z ===时取等号） 证法3 2222222111x y z x y z++=+++， 即2221111112111x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2221111,111x y z ++=+++于是2222222222222111111111111x y z x y zx y z x y z x yz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++≥++ ⎪ ⎪ ⎪+++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即222111x y z x y z++≤+++证法4 令222222,,,111x y z X Y Z x y z===+++则2X Y Z ++=，且222,,111X Y Zx y z X Y Z ===---，所以2222111x y z x y z ⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭2X Y Z x y z ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭22222222233111X Y Z X Y Z X Y Z x y z X Y Z ⎛⎫⎪⎛⎫≤++=++ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝---⎭()()2223X Y Z X Y Z ⎡⎤=++-++⎣⎦ ()221132322 2.33X Y Z ⎡⎤⎛⎫≤-++=-⨯= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭所以222111x y z x y z ++≤+++证法5 设222222222,,,111x a y b z cx a b c y a b c z a b c===+++++++++ 则222222,,,a b c x y z b c a a c b a b c===+-+-+-左边=222222111111x y z x x y y z z+++++1222a b c a b c a b ca b ca b ca b c ⎛= ++⎝=++≤++=++≤=++证法6 22222;111x xx xx+≥=+++ 同理2222222222;.111111y y z zy y y z z z +≥+≥++++++三式相加得2222222221112111111x y z x y z x y z ⎛⎫+++++ ⎪++++++⎝⎭222,111x y z x y z ⎫≥++⎪+++⎭即222221.111x y z x y z ⎫+⨯≥++⎪+++⎭故222111x y zx y z++≤+++ 证法7 2222111x y z x y z ⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭2222222222111.111111x y z x y z x y z ⎛⎫=⎛⎫⎛⎫≤++++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭由已知，易知2222222221111,2,111111x y z x y z x y z ++=++=++++++22222222,111111x y z x y zx y z x y z ⎛⎫∴++≤∴++≤ ⎪++++++⎝⎭证法8 由已知，易知222111 1.111x y z++=+++ 设222111,,,111a b cx a b c y a b c z a b c===+++++++++则x y z ===所以222111x y z x y z ++=+++≤=证法9 由2222222,111x y z x y z ++=+++易得2221111111x y z++=+++，于是2222222222222221112111111111y x z y x y z x z x y z x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭=++=++++++++22222222222222111.111111111111x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z⎛⎫++ ⎪+++⎛⎫⎝⎭≥=++∴++≤ ⎪++++++⎝⎭+++++ 证法10 由2222222,111x y z x y z ++=+++易得2221111111x y z ++=+++. ()2222211211,1112221x x x x x +=≤=+++++同理，()()22221111,,12122121y z y z =+=+++++2222223111131 2.1112211122x y z x y z x y z ⎫⎛⎫++≤+++=+=⎪ ⎪++++++⎭⎝⎭222111x y zx y z∴++≤+++ 证法11 由已知，易得2221111111x y z ++=+++.构造空间向量,a =,b = 2222222cos ,.111x y z a b a b a b a b a b x y z θ⎛⎫=≤∴≤++ ⎪+++⎝⎭2=222⎡⎤⎢⎥≤++⎢⎥⎣⎦222⎡⎤⎢⎥++⎢⎥⎣⎦122,=⨯=222111x y zx y z∴++≤+++ 评析 条件不等式证明的关键在于如何利用条件，而当条件难以直接利用或条件式显得相当复杂时，通常应当将条件适当转化，证法1、4、5、8正是通过不同形式的换元，使得问题变得简单易证的.灵活（变形）应用基本不等式（证法6、证法10），柯西不等式（证法3、7），以及一些重要的结论（证法9）也是证明不等式的常用方法.证法2、11分别构造函数、向量加以证明，很富创新性，同时也应纳入我们正常思考的范围.拓展 本赛题可推广为：命题1 若12,,,0,n x x x >…且()22113,1ni i ix n n x ==-≥+∑则211nii ix x =≤+∑ 证明 设tan ,1,2,,,0,2i i i x i n παα==<<…则有2222221111tan 1,sin 1,cos 1.11tan nn n ni i i i i i i i i i x n n x αααα======-∴=-=++∑∑∑∑22111tan sin cos .11tan nn ni ii i i i i i i x x αααα=====++∑∑∑由柯西不等式得1sin cos ni i i αα=≤∑==211nii ix x =∴≤+∑命题2 若12,,,0,n x x x >…且()221,1ni i ix k k x ==≥+∑为常数,n 3,0<k<n则211nii ix x =≤+∑ 命题3 若12,,,0,n x x x >…且()221,,1mni mi ix k k n m R x ==<∈+∑则211mni mi ix x =≤+∑命题2、3的证明与命题1相仿.命题4 设12,,,0,n x x x >…且221ni i ix k s x ==+∑（,,s k 为正常数3,n ≥ 0k n <<），则21nii ix s x =≤+∑证明 将题设化为221,1i ni ix s k x s==+∑作变换()221,2,,i i x t i n s ==…，则题设化为221.1n i i i t k t ==+∑由命题2得211nii it t =≤+∑即11ni is=≤+化简得2211nni ii i i ix x s x s x ==≤∴≤++∑进一步发散思维，还可得到：命题5 设12,,,0,n x x x >…且2211ni i ix k x ==+∑(),3,0,k n k n ≥<<为常数 则21.ni i knx n k=≥-∑ 证明 设tan ,i i x α=且i α为锐角()1,2,,i n =….则题设可化为21sin,ni i k α==∑由此得21cos .ni i n k α==-∑由柯西不等式得22222211111cos cos ,cos cos nnn i i i i i i i n αααα===⎡⎤⎛⎫≥=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∑∑∑ 即222211sec ,tan ,nn i i i i n n n n k n k αα==≥+≥--∑∑221tan ,ni i n kn n n k n k α=∴≥-=--∑ 即21.ni i kn x n k=≥-∑仿命题4的证法可将命题5推广为：命题6 设12,,,0,n x x x >…且221ni i ix k s x ==+∑（,,s k 为正常数3,n ≥ 0k n <<），则21.ni i sknx n k=≥-∑ 对本赛题的条件再联想，又可推出命题7 设12,,,0,n x x x >…且()221131ni i i x n n x ==-≥+∑,则()211.n ni i x n =≥-∏ 证明 设tan ,i i x α=且i α为锐角()1,2,,i n =….则题设可化为21sin1,ni i n α==-∑由此得21cos 1.ni i α==∑222121cos cos cos 1n n ααα-+++≤-… 221cos sin ,11n n n n αα-==--即()21sin n n α-≤，同理可得 ()211sin n n α--≤，…()211sin n α-.以上n 个式子相乘，得()()()22212121cos cos cos sin sin sin ,nn n n αααααα-≤… ∴有()21tan 1,nnn i n α=≥-∏即()211.nn i i x n =≥-∏仿命题4的证法又可将命题7推广为：命题8 设12,,,0,n x x x >…且()2211,3ni i ix n s n s x ==-≥+∑为常数， 则()211.nnii xs n =≥-⎡⎤⎣⎦∏命题8又可推广为：命题9 设12,,,0,n x x x >…且()113,2,1kni ki ix n n k N k n x ==-≥∈≤≤+∑且 则()11nn ki i x n =≥-∏.证明 题设可化为11 1.1nk i ix ==+∑作变换1,1i ki a x =+则题设化为11,nii a==∑且111,k i i i ia x a a -=-= 2311111,k n a a a a x a a +++-∴==…1123111,kkn a a a x a ⎛⎫+++=≥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦…即有111,kx ≥⎢⎥⎣⎦同理可得122,k x ≥⎢⎥⎣⎦…,1kn n x ≥⎢⎥⎣⎦.以上n 个式子相乘，得()11nn ki i x n =≥-∏.仿命题4的证法，命题9可进一步推广为：命题10 设12,,,0,n x x x > (11)ni ki ix n s x ==-+∑ (),2,s k N k n ∈≤<为正常数且()11.nnki i x s n ==-⎡⎤⎣⎦∏则 题15 求所有的正实数a ，使得对任意实数x 都有22sin22cos ≤+xx a a（第十一届高二第二试第23题） 解法1 原不等式即222sin2sin 21≤+-xxa a①.设t a x=2sin2，则化为021≤-+-t at ，其中],1[2sin 22a a t x ∈=（当1>a ），]1,[2si n 22a at x∈=（当10<<a ）.①式即022≤+-a t t .设a t t t f +-=2)(2，由于)(t f 在1与2a 之间恒小于或等于零，所以0)1(≤f 且0)(2≤a f ，即⎪⎩⎪⎨⎧>≤+-≤002124a a a a a ，解之，得1215≤≤-a 为所求. 解法 2 ∵0>a ，∴22222c o s 22s i n12s i n2s i nn2s i n x x x x xxaaaa aaaa -+=+=+，又22s i n 22c o s ≤+x x a a ，∴1≤a .设)1(2sin 22≤≤=t a a t x ，记t tat f +=)(.依题意，2()f t ≥恒成立，∴m ax )(2t f ≥.t tat f +=)(在区间],[2a a 上单调递减；在区间]1,[a 上单调递增.而1)1(1)(22+=≥+=a f a a a f ，∴2m ax 1)(a a t f +=（当2a t =时取最大值）,故212≤+a a，解得1215≤≤-a 为所求. 解法3 原不等式即222sin2sin21≤+-xxa a.令x a t 2sin 2=，则2≤+t ta①. (1)若1=a ，则1=t ，①式显然成立. (2)若1>a ，则2sin 202a aa x≤≤，即21a t ≤≤，即①式对任意],1[2a t ∈恒成立由函数t t a y +=的图象（图1）及21a a <<，可得211≤+a ，且222≤+aaa ,但这与1>a 矛盾.（3）若10<<a ，则0sin222a aa x≤≤，即12≤≤t a .由函数t tay +=的图象（图2）及12<<a a ，可得222≤+a a a 且211≤+a ，即0)1)(1(2≤-+-a a a 且1≤a ，又10<<a ，图2图1解得1215<≤-a . 综合（1）、（2）、（3），可得1215≤≤-a 为所求. 评析 解决本题的关键是如何由22sin22cos ≤+xxa a对任意实数x 恒成立，得到关于a 的不等式.由于x x 2sin 212cos -=，故原不等式即222sin2sin 21≤+-xxa a，亦即222sin2sin 2≤+xxa aa .令xat 2sin 2=，则原不等式就是2≤+t t a.至此，若去分母，便将原问题转化为二次不等式恒成立的问题；若不去分母，应当有max )(2t t a +≥，可通过函数t tat f +=)(的最大值解决问题.解法1运用函数思想，把二次不等式022≤+-a t t 恒成立问题转化成二次函数a t t t f +-=2)(2的图象恒不在x 轴上方的问题，从而得到关于a 的不等式组，求出了a 的范围.解法2则由a a ax x22sin 22cos ≥+及22sin22cos ≤+xx a a ，得1≤a 从而得12≤≤t a .再由函数t t a t f +=)(在],[2a a 上单调减，在]1,[a 上单调增，求出了)(t f 的最大值21a a+，由2)(≤t f 恒成立，得212≤+a a ，求出了a 的范围.解法3则直接根据函数t tat f +=)(的图象，分1=a ，1>a ，10<<a 三种情形讨论，直观地求出了a 的范围. 三种解法，道出了解决恒成立问题中求参数的三种方法：解法1为函数法；解法2为最值法；解法3为图象法.当然，解决恒成立问题决不仅仅是这三种方法，比如，还有分离参数法，变更主元法，运用补集思想等.题16 函数()()122222>-+-=x x x x x f 的最小值为 ( ) A 、-1 B 、1 C 、-2 D 、2（第七届高一培训题第2题）解法1 ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=11121x x x f .因为两个互为倒数的数，在它们等于1±时，其和可以取到绝对值的最小值.即当11±=-x ，即2=x 或0=x 时，()x f 的绝对值最小.又1x >，故2x =时，()f x 的绝对值最小.又()0>x f ，∴()()12m in ==f x f .选B .解法2 因为1>x ，联想到1sec ≥θ，于是令θ2sec =x ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ，则θ2tan 1=-x . ()()()()1tan 1tan 221tan 1tan 21tan 21tan 12111222222=⋅⋅≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=-+-=-+-=θθθθθθx x x x x x f ，当且仅当θθ22tan 1tan =，即2=x 时，()1m in =x f .故选B . 解法3 设()()1222>+-=x x x x ϕ，()()122>-=x x x g .()()()()02442222222≥-=+-=--+-=-x x x x x x x g x ϕ ，()()0>≥∴x g x ϕ.()()1≥∴x g x ϕ，即()1,f x ≥∴()1m in =x f .故选B .解法4 ()()()()11211222222>-+-=-+-=x x x x x x x f .由此联想到万能公式: 22tan2sin 1tan 2ααα=+，故令02tan 1>=-αx ，则()()21tan 120sin 2tan 2f xg αααα+===>， 0sin >∴α.又1sin 1≤≤-α，1sin 0≤<α,1sin 1≥α,即()1≥x f .()1m in =∴x f .故选B . 解法5 1>x ，01>-∴x ，()()()()()11212121212112112=-⋅-≥-+-=-+-=x x x x x x x f 当且仅当()12121-=-x x ，即2=x 时取等号.()1m in =∴x f .故选B . 解法6 1>x ，()()()11222222222222222≥+--=--+-=-+-=∴x x x x x x x x x f ，当2=x 时取等号.故选B .解法7 由22222-+-=x x x y 去分母并整理，得()022222=+++-y x y x .R x ∈ ，()()0224222≥+-+=∆∴y y ，即012≥-y ，1-≤∴y 或1≥y .1>x ，()()()012112>-+-==∴x x x f y ，1≥∴y .当1=y 时，由222212-+-=x x x ，解得()+∞∈=,12x ，()1m in =∴x f .故选B .评析 解法1、6、7都是运用高一知识解决问题的，其余解法都用到了不等式知识，以解法5、6最简捷.解法7运用的是判别式法.运用此法是有前提的，如果将题中限制条件“1>x ”去掉，此法总能解决问题.但有了“1>x ”的限制，此法就不一定能奏效.只有当1=y 时求出的x 的值在1>x 的范围内时，1才是最小值，否则1就不是最小值，应当另寻他法加以解决.事实上，若将此题改为“求函数()()322222≥-+-=x x x x x f 的最小值，”此法就失灵了.因为1=y 时，[)+∞∉=,32x .故y 取不到1，也就谈不上1m in =y 了.若用不等式知识解：()()()221122112221221x x x x y x x x -+-+-===+---，3≥x ，01>-∴x ，()1121212=-⋅-≥∴x x y ，当且仅当()12121-=-x x ，即2=x 时取等号，但[)+∞∉,32，故y 取不到1，同样不能解决问题.此时我们可利用函数单调性解：设213x x <≤，则()()222222222222112121-+---+-=-x x x x x x x f x f ()()()()()()1121221222112222121---+---+-=x x x x x x x x ()()()()()()()()()[]()()112112112212121212121212121212212221221--+--=---+--=--+--=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x .213x x <≤ ，021<-∴x x ,()02121>+-x x x x ,011>-∴x ，012>-x ， ()()021<-∴x f x f ，()()21x f x f <，已知函数是[)+∞,3的单调增函数. ()45232232332m in=-⨯+⨯-==∴f y .拓展 本题的函数模型实际就是()()0,0>>+=k x xkx x f，容易证明，该函数在上单调递减，在)+∞上单调递增.于是关于其最值，我们有下面的定理 已知函数()()0,0>>+=k x xkx x f ，则 ⑴当()k m m x ≤<≥0时，()x f 有最小值k 2；⑵当k n x <≤<0时，()x f 有最小值()n f ；⑶当k p x >≥时，()x f 有最小值()p f ；⑷当()r k q r x q <<≤≤时，()x f 有最小值k 2，且有最大值()(){}r f q f ,max .例如，函数()xx x f 4+=在[)+∞,1上有最小值442=；在(]1,0上有最小值()51411=+=f ；在[)+∞,3上有最小值()3133433=+=f ；在[]3,1上有最小值442=，最大值()(){}5313,5max 3,1max =⎭⎬⎫⎩⎨⎧=f f . 题17 已知,,x y z R +∈，且1231x y z ++=，则23y zx ++的最小值是 （ ）A 、5B 、6C 、8D 、9（第十一届高二第二试第9题、高二培训题第14题） 解法1 ,,x y z R +∈ ，且1231x y z++=，1232323y z y z x x x y z ⎛⎫⎛⎫∴++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2323332229,2332y x z x z y x y x z y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++≥+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当3,6,9x y z ===时取等号．故选D ．解法2 由,0a x >时有2a xx a+≥，可知 12313691112222,33369923x y z y z x x y z x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++≥-+-+-=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭923y zx ∴++≥，当且仅当369,,369x y z x y z ===，即3,6,9x y z ===时取等号．故选D ．解法3123333923233y z y z z x x x y z z⎛⎫⎛⎫++=++++≥=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当 12313x y z ===，即3,6,9x y z ===时取等号．故选D ． 解法4 由柯西不等式，1232323y z y z x x x y z ⎛⎫⎛⎫++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭29≥=，当且仅当3,6,9x y z ===时取等号．故选D ． 解法5 利用“三个正数的算术平均值不小于它们的调和平均值”，立得32331233y zx x y z++≥=++，923y z x ∴++≥．当且仅当3,6,9x y z ===时取等号．故选D ．解法6 若α、β、γ是长方体一条对角线与相邻三棱所成的角，则222cos cos cos 1αβγ++=．,,x y z R +∈ ，且1231x y z++=，故不妨设 2222222212,,a b x a b c y a b c ==++++22223c z a b c =++（其中a 、b 、c 是长方体的长宽高）．则222222222222222222222222323y z a b c a b c a b c b a c a c b x a b c a b a c b c++++++++=++=++++++≥3+2+2+2=9，当且仅当a b c ==，即3,6,9x y z ===时取等号．故选D ．解法7构造二次函数222()f t =++21232(111)23y z t t x x y z ⎛⎫⎛⎫=++-+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0,0f t ≥∴∆≤ ，即212364023y z x x y z ⎛⎫⎛⎫-++++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又1231,923y zx x y z ++=∴++≥．故选D ． 解法8 设123123,,m m m x y z===，则123123111,,,1,23y z x m m m m m m ===++=123123123111111()923y z x m m m m m m m m m ⎛⎫∴++=++=++++≥ ⎪⎝⎭．故选D ．评析 解法1、2、3、4、5、8都是利用一些重要的基本不等式解决问题的．解法6、解法7分别通过构造长方体、函数将原问题转化，根据图形特征解决问题．根据解法2的思路，很容易得下面的错误解法：123123,,,,,,,,,2(1),2(2),2(3),2323y z y z x y z R x R x x y z x y z ++∈∴∈∴+≥+≥+≥ 1231232226615,23y z x x y z x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++≥-+-+-=-++=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭min 523y z x ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭．故选A ．错误原因就在于（1）、（2）、（3）式取等号的条件分别是1,2,3x y z ===，而此时1233x y z ++=，与已知矛盾．故23y zx ++取不到5． 拓展 本题可作如下推广：推广1 若,,i i i x a R a +∈为常数(1,2,,)i n = ，且12121n na a a x x x +++= ， 则21212min n n x x x n a a a ⎛⎫+++=⎪⎝⎭ ．证明 121212121212n n n n n n x x a x x x x a a a a a a a a x x x ⎛⎫⎛⎫+++=++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2n n n ≥，当且仅当12121n n a a a x x x n==== 时取等号．21212min n n x x x n a a a ⎛⎫∴+++= ⎪⎝⎭ ．推广2 若,,i i i x a R a +∈为常数(1,2,,)i n = ，且1212n na a a k x x x +++= ，则21212min n n x x x n a a a k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭ ． 证明121212121n n n n x x x x x xk a a a k a a a ⎛⎫+++=⋅+++⋅ ⎪⎝⎭121212121n nn n x a x xa a k a a a x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21n n n k k ≥⋅=，当且仅当1212n n a a a k x x x n ==== 时取等号．21212min n n x x x n a a a k ⎛⎫∴+++= ⎪⎝⎭ ．推广3 若,,i i i x a R a +∈为常数(1,2,,)i n = ，且1212n na a a k x x x +++= ，则212min 1()n x x x k+++=． 证明 1212,n na a a k x x x +++=∴运用柯西不等式有 121212121211()()n n n n n a a a x x x x x x k x x x k k x x x ⎛⎫+++=⋅+++⋅=++++++ ⎪⎝⎭2211k k≥+= ，===12n=== 时取等号．212min 1()n x x x k∴+++=. 根据推广1、2，立得本题所求最小值为9． 由1231x y z ++=，得111123y zx ++=．根据推广3，219231y z x ++≥=23==，即3,6,9x y z ===时取等号．min 923y z x ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭．故选D ．再看一例：例 已知,,x y z R +∈，且2475x y z ++=，求274yx z ++的最小值． 解 由2475x y z ++=，得41495274y x z ++=．根据推广3，21272045y x z ++≥=．当且仅当24y x ==，即2,8x z y ===时取等号．min27204y x z ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭． 题18 设b a y x ,,,为正实数，b a ,为常数，且1=+ybx a ,则y x +的最小值为_______. （第十一届高二培训题第36题）解法1 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,sin ,cos 22ααyb xa则=+=+αα22csc sec b a y x αα22cot tan b a b a +++ab b a 2++≥，当αα22cot tan b a =，即4tan baα=时取等号， ab b a y x 2)(m in ++=+∴.解法2()a b a yb xx x y xy a b a a a bx y x y ⎛⎫+=++=+++≥++++ ⎪⎝⎭, 当且仅当ay bxx y=时取等号,ab b a y x 2)(m in ++=+∴. 解法3令,m n ==则222m n m n m n ⋅=⋅≥⋅ ，()a b x y x y ⎛⎫∴++≥ ⎪⎝⎭2)b ，即ab b a y x 2++≥+，当且仅当m 、→n 共线，即当λ=，亦即bay x=时取等号，ab b a y x 2)(m in ++=+∴. 解法422())ab x y x y b a a bxy ⎛⎫+=++≥==++ ⎪⎝⎭当且仅当yb yx a x =，即b a y x =22时取等号，ab b a y x 2)(m in ++=+∴.解法5 设k y x =+，即x k y -=，代入1=+ybx a ，得0)(2=+--+ka x k a b x ， +∈R x ，由0≥∆，得b a k +≥ab 2+或ab b a k 2-+≤（舍去）．由0=∆，求得)(b a a x +=，)(b a b x k y +=-=，bay x=∴时，ab b a y x 2)(m in ++=+. 解法6 +∈R b a y x ,,,且1=+y b x a ⇒10<<xa，10<<y b ⇒0>>a x ，0>>b y ,故设μ+=a x ，ν+=b y )0,(>νμ代入1=+ybx a ，得ab =μν（定值），ab b a b a b a y x 22++=++≥+++=+∴μννμ，当且仅当ab ==νμ，即baabb ab a y x =++=时取等号，ab b a y x 2)(m in ++=+∴. 解法7 由解法6知0>>a x ，0>>b y ，记y x k +=①，由1=+y b x a ，得ax bxy -=， 代入①可得+-+-=ax aba x k )(ab b a b a 2)(++≥+，当且仅当 ⎪⎩⎪⎨⎧>--=-0a x a x ab a x，即x a =ab b y +=，∴当bay x =时 ，ab b a y x 2)(m in ++=+. 解法8 如图，在平面直角坐标系XOY 中，由己知条件+∈R b a y x ,,,及1=+y b x a 知直线1=+yYx X 过第一象限内的定点),(b a P ，y x +便是该直线在两坐标轴上的截距之和. 如图所示，设α=∠BAO ，则α=∠BPC ，由图可知)0,(x A ，),0(y B ，cot x OA a b α==+，tan y OB b a α==+．ab b a a b b a y x 2tan cot ++≥+++=+∴αα，当且仅当cot b a α=，即tan baα=时取等号，∴ab b a y x 2)(m in ++=+. 解法9 在平面直角坐标系XOY 中，设过定点),(b a P 的直线方程为)(a X k b Y -=-，易求得直线在X 轴与Y 轴上的截距分别为kba x -=，ak b y -=， ()b x y a b ka k ⎛⎫∴+=++-+- ⎪⎝⎭．0k < ，0>-∴k b ，0>-ka ，故x y a b a b +≥++=++⎪⎩⎪⎨⎧<-=-0k k b ka ，a b k =2时取等号，∴ab b a y x 2)(m in ++=+.解法10 由己知，得0=-+xy ay bx ，即0=--ay bx xy ，xy bx ay ab ab ∴--+=,即ab b y a x =--))((，又由)(a x y ay xy bx -=-=，)(b y x bx xy ay -=-=得0>-a x ，0>-b y ．如图，设四边形ABCD 是长方形，令AD=a x -，AB=b y -，则ABCD S ab =（定值），由于面积为定值的长方形中，正方形的周长最小，于是可得ab b y a x =-=-，ab a x +=，ab b y +=，ab b a y x 2++≥+∴，当且仅当ab a x +=，abb y +=时，ab b a y x 2)(m in ++=+.评析 考虑到+∈R b a y x ,,,且1=+ybx a ，解法1运用三角代换，是常用方法. 两个正数的积为定值，则和有最小值，解法2将y x +改写成()a b x y x y ⎛⎫++⎪⎝⎭，使之可运用这一结论求最值，这是一种常用的技巧.解法3构造向量求最值，使得新教材中向量这一工具得到应用，虽然解法并不很简单，但其意义仍不应低估.柯西不等式在数学竞赛中占有很重要的地位，解法4表明，运用柯西不等式解题十分方便.解法7表明，运用均值不等式求最值，应注意“一正二定三相等” ，重视配凑技巧的运用．美国著名数学教育家玻利亚说过，“对于一个非几何问题，去找一个清晰的几何表达式，可能是走向解答的重要一步”．解法8、9、10正是这样做的．充分挖掘代数问题的几何背景，构造适当几何图形，运用数形结合的思想，常常可以收到意想不到的解题效果，同时也可培养我们的发散思维和创造性思想的能力．拓展 此题可作推广：推广 己知正常数n a a a ,,,21⋅⋅⋅，以及正实数n x x x ,,,21⋅⋅⋅（2,≥∈n N n ），且12221=+⋅⋅⋅++n n x a x ax a ，则当且仅当=121a x n n a x a x 2222⋅⋅⋅=时，n x x x +⋅⋅⋅++21取得最小值2⋅⋅⋅+．读者可参照解法4，利用柯西不等式自己证明该推广，此处不再赘述．题19 如果1=++c b a_______．(第八届高二第一试第19题)解法1 设13+=a x ，13+=b y ，13+=c z ，z y x t ++=，则 2t =222z y x ++zx yz xy 222+++≤22(3y x +)2z +=)131313(3+++++c b a =]3)(3[3+++c b a 18=， 23≤∴t ，当且仅当31===c b a 时取等号，∴max 23= ． 解法22222113()3333a b c ++⎛+++≤=⎝⎭2=23≤，当且仅当31===c b a 时取等号．。