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高中数学第三章不等式3.2简单的分式不等式与高次不等式解法教学设计新人教A版必修5

简单的分式不等式与高次不等式解法一、教学目标：掌握简单的分式不等式和高次不等式的解法；二、教学重点：简单的分式不等式和高次不等式的解法三、教学难点：简单分式不等式与高次不等式的等价变形. 四、教学过程： 1．分式不等式的解法例1 解不等式：073<+-x x . 解法1：化为两个不等式组来解： ∵073<+-x x ⇔⎩⎨⎧>+<-⎩⎨⎧<+>-07030703x x x x 或⇔x ∈φ或37<<-x ⇔37<<-x ， ∴原不等式的解集是{}37|<<-x x . 解法2：化为二次不等式来解： ∵073<+-x x ⇔0)7)(3(<+-x x ⇔37<<-x ， ∴原不等式的解集是{}37|<<-x x 变式1：解不等式073≤+-x x 解：073≤+-x x ⇔70)7)(3(-≠≤+-x x x 且⇔37≤<-x 原不等式∴的解集是{x| -7<x ≤3}变式2：解不等式173<+-x x 解：}7{707100173173->∴->∴<+-⇔<-+-⇔<+-x x x x x x x x 原不等式的解集是归纳分式不等式的解法：（1）化分式不等式为标准型：方法：移项，通分，右边化为0，左边化为)()(x g x f 的形式（2）将分式不等式转化为整式不等式求解如：()0()f x g x >⇔ 0)()(>x g x f ()0()f xg x <⇔0)()(<x g x f()0()f xg x ≥⇔⎩⎨⎧≠≥0)(0)()(x g x g x f ()0()f x g x ≤⇔⎩⎨⎧≠≤0)(0)()(x g x g x f 练习： 1.不等式0121>+-x x的解集是。

2.不等式112x <的解集是 . 2．高次不等式的解法：引例：解一元二次不等式（x+3）(x-1)<0 方法一：利用上节课的方法求解；方法二：解：①求根：令(x-1)(x+3)=0，解得x （从小到大排列）分别为-3，1，这两根将x 轴分为三部分：x<-3 , -3<x<1 , x>1②分析这三部分中原不等式左边各因式的符号③由上表可知，原不等式（x+3）(x-1)<0的解集是{x|-3<x<1}. 例1：解不等式：(x-1)(x+4)(x-3)>0；解：①检查各因式中x 的符号均正；②求得相应方程的根为：-4，1，3； ③列表如下：④由上表可知，原不等式的解集为：{x|-4<x<1或x>3}. 小结：此法叫列表法，解题步骤是：①将不等式化为)0(0)())()((321<>----n x x x x x x x x 形式（各项x 的符号化“+”），求出方程0)())()((321=----n x x x x x x x x 的各根②按各根把实数分成的n+1部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）；③计算各范围内各因式的符号，最下面一行是乘积的符号； ④看下面积的符号写出不等式的解集. 练习：解不等式：(1)(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)>0思考：刚才例1中列表法的步骤我们还可以画图求解，称之为根轴法（零点分段法）。

高中数学第三章不等式复习教案新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学教案

第三讲不等式一、核心要点 1、不等式的性质〔1〕不等式的基本性质：〔同向不等式可加不可减，可乘不可除〕〔尽量减少加和乘的次数〕A 、对称性：a b b a <⇔>；B 、传递性：c a c b b a >⇔>>,；C 、可加性：c b c a b a +>+⇔>；D 、可乘性：bc ac c b a bc ac c b a <⇔<>>⇔>>0,;0,；E 、加法法那么：d b c a d c b a +>+⇔>>,;F 、乘法法那么：bd ac d c b a >⇔>>>>0,0;G 、乘方法那么：)2,(0≥∈>⇔>>n N n b a b a nn ; H 、开方法那么：)2,(0≥∈>⇔>>n N n b a b a n n.〔2〕比较两数或两式的大小方法：〔作差法步骤：作差—变形——定号〕A 、作差法：对于任意b a ,，①b a b a >⇔>-0；② b a b a =⇔=-0；③ b a b a <⇔<-0；B 、作商法：设0,0>>b a ，那么①b a b a >⇔>1；② b a b a =⇔=1；③ b a ba<⇔<1. 备注1：不等式作差时常用到因式分解、配方法、通分、有理化等变形技巧;备注2：对于比较大小时，要考虑各种可能情况，对不确定的因素进行分类讨论；备注3：平方差公式：))((2233b ab a b a b a ++-=-；平方和公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+. 2、不等式的解法；〔1〕一元二次不等式)0(02>>++a c bx ax 及)0(02><++a c bx ax 的解法：〔0<a 转化为0>a 〕 A 、假设方程02=++c bx ax 的0>∆且两实根分别为)(,2121x x x x <，那么不等式02>++c bx ax 的解集为}|{21x x x x x ><或，不等式02<++c bx ax 的解集为}|{21x x x x <<；B 、假设方程02=++c bx ax 的0=∆且两相等实根分别为21x x =，那么不等式02>++c bx ax 的解集为}|{1x x x ≠，不等式02<++c bx ax 的解集为Φ；C 、假设方程02=++c bx ax 的0<∆，那么不等式02>++c bx ax 的解集为R ，不等式02<++c bx ax 的解集为Φ.〔2〕分式不等式的解法：化分式不等式为整式不等式进行求解〔具体见模块〕；〔3〕高次不等式的解法：序轴标根法〔过程见模块〕；〔4〕无理不等式的解法：平方法化无理不等式为有理不等式〔具体见模块〕；〔5〕绝对值不等式的解法：分类讨论或平方法〔具体见模块〕. 3、基本不等式：如果+∈R b a ,，那么ab ba ≥+2〔当且仅当b a =时取“=〞〕〔一正二定三相等〕.〔1〕特例：0>a ，21≥+a a ；2≥+abb a 〔b a ,同号〕. 〔2〕变形：①2)(222b a b a +≥+；②222b a ab +≤；③2)(2b a ab +≤；〔3〕扩展：),(2211222+∈+≤+≤≤+R b a b a b a ab ba .〔备注：调和≤几何≤算术≤平方〕. 4、均值定理：+∈R y x ,.〔1〕如果S y x =+〔定值〕，那么4)2(22S y x xy =+≤〔当且仅当y x =时取“=〞〕“和定积最大〞. 〔2〕如果P xy =〔定值〕，那么P xy y x 22=≥+〔当且仅当y x =时取“=〞〕“积定和最小〞. 5、判断二元一次不等式〔组〕表示平面区域的方法—“选点法〞：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.6、线性规划中常见代数式的几何意义：〔1〕22y x +表示点),(y x 与原点)0,0(之间的距离；〔2〕22)()(b y a x -+-表示点),(y x 与点),(b a 之间的距离；〔3〕x y表示点),(y x 与原点)0,0(连线的斜率；〔4〕ax b y --表示点),(y x 与点),(b a 连线的斜率.二、考点突破考点一：不等式的基本性质：题型一：不等式的性质：例1、如果c b a ,,满足a b c <<且0<ac ，那么以下选项中不一定成立的是〔〕 A 、ac ab >B 、0)(>-a b c C 、22ab cb <D 、0)(<-c a ac练1：设10<<<a b ，那么以下不等式成立的是〔〕A 、12<C 、b a m b m a >--D 、abm b m a >-- 题型二：比较数〔式〕的大小与比较法证明不等式：例2、假设0,>b a 且b a ≠，试比较33b a +与22ab b a +的大小.解：由于222222233))(()2)(()())(()()(b a b a b ab a b a b a ab b ab a b a ab b a b a -+=+-+=+-+-+=+-+ 又0,>b a 且b a ≠，所以0))((2>-+b a b a ，所以2233ab b a b a +>+.练3：假设0<<y x ，试比较))((22y x y x -+与))((22y x y x +-的大小.答案：)(2))(())(())(())((2222222y x xy y x y x y x y x y x y x y x y x --=+---+=+---+由于0<<y x ，所以0<-y x 且02<-xy ，故0)(2>--y x xy ，所以))(())((2222y x y x y x y x +->-+.练习4：设0,0>>b a 且b a ≠，试比较b a b a 与a b b a 的大小.综上所述，a b b a b a b a >.题型三：不等式的关系，求目标式的取值X 围：例3、〔10某某理〕41<+<-y x 且32<-<y x ，那么y x z 32-=的取值X 围是.)8,3(所以8323<-<y x ，故y x z 32-=的取值X 围是)8,3(.练习2：设bx ax x f +=2)(，且4)1(2,2)1(1≤≤≤-≤f f ，求)2(-f 的取值X 围.解：设)1()1()2(nf mf f +-=-，那么)()(24b a n b a m b a ++-=-，即b n m a n m b a )()(24--+=-，于是得⎩⎨⎧=-=+24n m n m ，得1,3==n m .所以)1()1(3)2(f f f +-=-.因为4)1(2,2)1(1≤≤≤-≤f f ，所以10)1()1(35≤+-≤f f ，故10)2(5≤-≤f .练习3：〔10某某〕设y x ,为实数，满足94,8322≤≤≤≤y x xy ，那么43yx 的最大值是.27考点二、一元二次不等式及其解法：题型一：一元二次不等式的定义：例1、以下不等式中，一元二次不等式的个数为〔〕 ①013)1(2<+-+x x m ；② 22>-x x；③0652≥++-x x ；④ 0)1)((<+++a x a x .A 、1B 、2C 、3D 、4题型二：简单一元二次不等式的求解：例2、求以下一元二次不等式的解集：〔1〕652>-x x ；〔2〕01442≤+-x x ；〔3〕672>+-x x ；〔4〕0962>-+-x x .解：〔1〕由652>-x x ，得0652>--x x .又方程0652=--x x 的两根是1-=x 或6=x ，所以原不等式的解集为}61|{>-<x x x 或.〔3〕由672>+-x x ，得0672<+-x x ，而0672=+-x x 的两个根是1=x 或6=x . 所以不等式0672<+-x x 的解集为}61|{<<x x .〔4〕原不等式可化为0962<+-x x ，即0)3(2<-x ，所以不等式的解集为Φ. [题后感悟] 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：(1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．(2)对不等式左侧因式分解，假设不易分解，那么计算对应方程的判别式． (3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根． (4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)根据图象写出不等式的解集. 练1：求以下不等式的解集：〔1〕02322<++-x x ；〔2〕0622<-+-x x ；〔3〕01442>++x x ；〔4〕x x 10252≤+.练2：设集合}73)1(|{2+<-=x x x A ，那么Z A 中有个元素.6 练3：解以下不等式：〔1〕01522>-+x x ；〔2〕122->x x ；〔3〕222-<x x . 答案：〔1〕}35|{>-<x x x 或；〔2〕}1,|{≠∈x R x x 且；〔3〕Φ. 题型三：解含参数的一元二次不等式：例3、解关于x 的不等式0222<-+a ax x .〔因式分解—比较两根大小—分类讨论求解〕解：原不等式可化为0))(2(<-+a x a x ，对应的一元二次方程的根为a x a x 2,21-==，〔1〕当0>a 时，21x x >，不等式的解集为}2|{a x a x <<-.〔2〕当0=a 时，原不等式化为02<x ，无解.〔3〕当0<a 时，21x x <，不等式的解集为}2|{a x a x -<<.综上所述，原不等式的解集为：0>a 时，}2|{a x a x <<-；0=a 时，Φ；0<a 时，}2|{a x a x -<<. [题后感悟] 含参数的不等式的解题步骤为：(1)将二次项系数转化为正数；(2)判断相应方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)； (3)根据根的情况写出相应的解集(假设方程有相异根，为了写出解集还要分析根的大小)．另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0，这决定不等式是否为二次不等式．练4：解关于的不等式：〔1〕0)(322>++-a x a a x ；〔2〕04)1(22>++-x a ax .答案：〔1〕原不等式0)(322>++-a x a a x 可化为0))((2>--a x a x .①当0<a 时，2a a <，所以原不等式的解集为}|{2a x a x x ><或； ②当0=a 时，2a a =，所以原不等式的解集为}0,|{≠∈x R x x 且； ③当10<<a 时，2a a >，所以原不等式的解集为}|{2a x a x x ><或； ④当1=a 时，12==a a ，所以原不等式的解集为}1,|{≠∈x R x x 且； ⑤当1>a 时，，所以原不等式的解集为}|{2a x a x x ><或.〔2〕 Ⅰ〕当0=a 时，原不等式可化为042>+-x ，解得2<x ，所以原不等式的解集为}2|{<x x ；练5：解不等式02)2(2>---x m mx .答案：0)1)(2(02)2(2>-+⇒>---x mx x m mx〔1〕当0=m 时，原不等式转化为0)1(2>-x ，即01>-x ，得不等式的解集为}1|{>x x .考点三、一元二次不等式的应用：题型一：不等式的恒成立问题：例1、不等式01)1(2<-+-+a x a ax 对于所有的实数x 都成立，某某数a 的取值X 围. 解：假设0=a ，那么原不等式可化为01<--x ，即1->x ，不合题意，故0≠a .令1)1()(2-+-+=a x a ax x f ，因为原不等式对任意R x ∈都成立，所以二次函数)(x f 的图像在x 轴的下方.[题后感悟] 不等式恒成立问题方法总结：(1))0(02≠>++a c bx ax 恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00a ；(2))0(02≠<++a c bx ax 恒成立⎩⎨⎧<∆<⇔00a ；练1：假设关于x 的不等式0222>++x ax 在R 上恒成立，某某数a 的取值X 围.答案：当0=a 时，原不等式可化为022>+x ，其解集不为R ，故0=a 不满足题意，舍去；练2：假设关于x 的不等式01)1()1(22<----x a x a 在R 上恒成立，某某数a 的取值X 围.答案：〔1〕当012=-a ，即1±=a 时，〔2〕当012≠-a ，即1±≠a 时，原不等式的解集为R 的条件是⎩⎨⎧<-+-=∆<-0)1(4)1(01222a a a ，练3：假设不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对R x ∈恒成立，某某数a 的取值X 围. 答案：因为2=a 时，原不等式为04<-，所以2=a 时成立.当2≠a 时，由题意得⎩⎨⎧<∆<- 002a ，即⎩⎨⎧<----< 0)4)(2(4)2(422a a a a ，解得22<<-a . 综上两种情况可知22≤<-a .题型二：二次方程、二次函数、二次不等式的关系：例2、假设不等式02≥++c bx ax 的解集为}21|{≤≤-x x ，求不等式02<++a bx cx 的解集.(1) 给出一元二次不等式的解集，那么可知二次项的符号和一元二次方程的根，由根与系数的关系可知c b a ,,之间的关系；练4：不等式022>++bx ax 的解集为}11|{<<-x x ，求022<++a bx x 的解集所以320)2)(3(060122202222<<-⇔<+-⇔<--⇔<--⇔<++x x x x x x x a bx x .那么不等式022<++a bx x 的解集为}32|{<<-x x .题型三：一元二次不等式的实际应用：例3、汽车在行驶时，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离〞．刹车距离是分析交通事故的一个重要因素．在一个限速h km /40的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过m 12，乙车的刹车距离略超过m 10，又知甲、乙两种车型的刹车距离)(m s 与车速)/(h km x 之间分别有如下关系：22005.005.001.01.0x x s x x s +=+=乙甲，.试判断甲、乙两车有无超速现象，并根据所学数学知识给出判断的依据．解：由题意，对于甲车，有1201.01.02>+x x ，即01200102>-+x x .解得30>x 或40-<x (舍去).这说明甲车的车速超过h km /30，但根据题意刹车距离略超过m 12，由此估计甲车不会超过限速h km /40. 对于乙车，有10005.005.02>+x x ，即02000102>-+x x .解得40>x 或50-<x (舍去).这说明乙车的车速超过h km /40，超过规定限速. [题后感悟](1)解不等式应用题，一般可按如下四步进行：①阅读理解、认真审题、把握问题中的关键量、找准不等关系； ②引进数学符号，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)； ③解不等式(或求函数最值)； ④回扣实际问题．考点四、分式不等式、高次不等式及无理不等式的解法：题型一：分式不等式的解法：化分式不等式为整式不等式〔1〕0)()(0)()(>⋅⇔>x g x f x g x f ；〔2〕0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ；〔3〕⎩⎨⎧≠≥⋅⇔≥ 0)(0)()(0)()(x g x g x f x g x f ；〔4〕⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤0)(0)()(0)()(x g x g x f x g x f 例1、〔12某某理〕不等式0121≤+-x x 的解集为〔〕 A 、]1,21(-B 、]1,21[-C 、),1[)21,(+∞--∞ D 、),1[]21,(+∞--∞练2：不等式31≤+x x 的解集是.}210|{≥<x x x 或解析：21000)12(01202103131≥<⇒⎩⎨⎧≠≥-⇒≥-⇒≤-⇒≤-+⇒≤+x x x x x x x x x x x x x 或.题型二：高次不等式的解法：〔序轴标根法〕序轴标根法要点：从右向左，从上到下，奇穿偶不穿〔前提：保证因式分解后x 的系数为正〕. 例2、解不等式：0)2)(1)(1)(2(≤--++x x x x解：设)2)(1)(1)(2(--++=x x x x y ，那么0=y 的根分别是2,1,1,2--，将其分别标在数轴上，并画出如右图所示的示意图：所以原不等式的解集是}21,12|{≤≤-≤≤-x x x 或.练3：〔10全国Ⅱ〕不等式0162>---x x x 的解集为〔〕 A 、}32|{>-<x x x 或B 、}312|{<<-<x x x 或 C 、}312|{><<-x x x 或D 、}3112|{<<<<-x x x 或练4：不等式02322>++-x x x 的解集是.),2()1,2(+∞-- 题型三：无理不等式的解法：〔化无理不等式为有理不等式〕〔1〕⎩⎨⎧>≥⇔>)()(0)()()(x g x f x g x g x f ；〔2〕⎩⎨⎧<≥⇔>0)(0)()()(x g x f x g x f 或⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥2)]([)( 0)(0)(x g x f x g x f . 例3、解不等式125->-x x .解：原不等式等价于Ⅰ：⎩⎨⎧<-≥- 01025x x 或Ⅱ：⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-2)1(2501025x x x x ，解Ⅰ：⎪⎩⎪⎨⎧<≤125x x ，解Ⅱ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-≥≤22 1 25x x x ，即1<x 或21<≤x ，所以2<x ，那么原不等式的解集为}2|{<x x . 练5：解不等式0231≤---x x 的解集.解：移项231-≤-x x ，那么⎩⎨⎧-≥-≥-x x x 123 01⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥≤4331x x ⇒143≤≤x ，练6：解不等式〔1〕x x x 211322+>+-；〔2〕x x x 211322+<+-.解：〔1〕原不等式等价于Ⅰ：⎩⎨⎧<+≥+- 02101322x x x 或Ⅱ：⎪⎩⎪⎨⎧+>+-≥+≥+-222)21(132 0210132x x x x x x那么原不等式的解集为}0|{<x x .考点五：绝对值不等式的解法：〔选修4—5〕〔1〕a x a a x a a x <<-⇔<⇔><22)0(||；〔2〕a x a x a x a a x -<>⇔>⇔>>或22)0(||；〔3〕a m x a m a m x a a a m x +<<-⇔<-<-⇔><-)0(||；〔4〕a m x a m x a m x a m x a a m x -<+>⇔-<->-⇔>>-或或)0(||. 例1、〔08某某文科〕不等式2||2<-x x 的解集为〔〕 A 、)2,1(-B 、)1,1(-C 、)1,2(-D 、)2,2(-解析：)2,1(210202222||2222-∈⇔<<-∈⇔<-->+-⇔<-<-⇔<-x x R x x x x x x x x x 且且.练1：〔04全国〕不等式3|1|1<+<x 的解集为〔〕 A 、)2,0(B 、)4,2()0,2( -C 、)0,4(-D 、)2,0()2,4( --解析：24201133113|1|1-<<-<<⇔-<+<-<+<⇔<+<x x x x x 或或. 练2：〔07某某〕设函数3|12|)(++-=x x x f ，假设5)(≤x f ，那么x 的取值X 围是.]1,1[- 解析：21222|12|53|12|5)(+-≤-≤-⇔+-≤-⇔≤++-⇔≤x x x x x x x x f⎩⎨⎧≤≤-⇔≤-≥⇔⎩⎨⎧+-≤--≤-⇔1111212 122x x x x x x x 练3：〔09某某〕不等式0|2||12|<---x x 的解集为.)1,1(-解析：0)2()12(|2||12||2||12|0|2||12|2222<---⇔-<-⇔-<-⇔<---x x x x x x x x110)]2()12)][(2()12[(<<-⇔<----+-⇔x x x x x .练4：假设不等式a x x >-+-|3||4|对一切实数x 恒成立，某某数a 的取值X 围.解：不等式a x x >-+-|3||4|对一切实数x 恒成立，由绝对值的几何意义可知，|3||4|-+-x x 表示数轴上点x 到3和4的距离之和，那么对任意R x ∈恒成立，显然1|)3||4(|min =-+-x x ，又a x x >-+-min |)3||4(|，故1<a ，所以实数a 的取值X 围是)1,(-∞.考点六：基本不等式和均值定理：〔一正二定三相等〕题型一：通过加减项配凑成基本不等式：例1、1>x ，求11-+x x 的最小值以及取得最小值时x 的值.练1：5<x ，求函数124+-=x y 的最大值.得132=+-≤y ，所以函数的最大值为1.练2：求函数)01(112>->+++=a x x x ax y 且的最小值. 解：令1>+=x t ，那么练3：求41622++=x x y 的最大值.题型二：“1〞的变换：例2、0,0>>y x ，且191=+yx ，求y x +的最小值.练4：2,0,0=+>>b a b a ，那么b a y 41+=的最小值是题型三：转化与方程消元求二次函数最值：例3、假设正数b a ,满足3++=b a ab ，那么：〔1〕ab 的取值X 围是；),9[+∞〔2〕b a +的取值X 围是.),6[+∞ 0)3(2=+-+t a t a ,04)3(2≥--=∆t t ，得9≥t 或1≤t 〔舍〕.〔2〕判别式法，令)0(>=+t t b a ，那么a t b -=，代入原式得3)(+=-t a t a ，整理得032=++-t at a ，0)3(42≥+-=∆t t ，解得6≥t 或者2-≤t 〔舍〕.备注：以上〔1〕〔2〕也可利用基本不等式及其变形解决，或者消元代入求最值解决. 练5：假设0,>y x 满足xy y x =++62，那么xy 的最小值是.18 练6：假设0,>y x 满足2=++xy y x ，那么y x +的最小值是练7：〔10某某〕0,>y x 满足822=++xy y x ，那么y x 2+的最小值是〔〕 A 、3B 、4C 、29D 、211考点七：简单线性规划问题：题型一：线性约束条件，探求线性目标关系最值问题：例1、设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤- 1122y x y x y x ，求y x z 32+=的最大值.题型二：线性约束条件，探求分式目标关系最值问题：例2、设变量y x ,满足例1中的约束条件，求112++=y x z 的取值X 围.题型三：线性约束条件，探求平方和目标关系最值问题：例3、设变量y x ,满足例1中的约束条件，求22)2(-+=y x z 的最值，以及此时对应点的坐标.题型四：线性约束条件，探求区域面积与周长问题：例4、设变量y x ,满足例1中的约束条件，试求所围区域的面积与周长.题型五：最优解，探求目标函数参数问题：例5、设变量y x ,满足例1中的约束条件，且目标函数y ax z +=〔其中0<a 〕仅在)4,3(处取得最大值，求a 的取值X 围.题型六：最优解，探求约束条件参数问题：例6、设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥-≤- 1 22y x m y x y x ，且目标函数y x z 32+=在)6,4(处取得最大值，求m ，例7、y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<--<-+>--01553 0632 032y x y x y x ，求使y x +取得最大值的整数y x ,.解：不等式组的解集为三直线01553:,0632:,032:321=--=-+=--y x l y x l y x l 所围成的三角形内部〔不含边界〕，设1l 与2l ，1l 与3l ，2l 与3l 的交点分别为C B A ,,，那么的坐标分别为)1912,1975(),3,0(),43,815(--C B A ，作一组平行线t y x l =+:平行于0:0=+y x l ，当l 往0l 右上方移动时，t 随之增大，所以当l 过C 点时最大为1963，但不是整数解，又由19750<<x 知x 可取3,2,1，当1=x 时，代入原不等式组得2-=y ，所以1-=+y x ；当2=x 时，得0=y 或1-，所以2=+y x 或1；当3=x 时，1-=y ，所以2=+y x ，故y x +的最大整数解为⎩⎨⎧==02y x 或⎩⎨⎧-==13y x .ABCxyO1l 3l2l练习：线性规划问题综合练习练1：假设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤2 2 2y x y x ，那么y x z 2+=的取值X 围是〔〕A 、]6,2[B 、]5,2[C 、]6,3[D 、]5,3(练2：满足2||||≤+y x 的点),(y x 中整数〔横纵坐标都是整数〕有〔〕 A 、9个B 、10个C 、13个D 、14个练3：y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+033042022y x y x y x ，那么22y x z +=的最大值和最小值分别是〔〕A 、1 , 13B 、2 , 13C 、54 , 13D 、552, 13 练4：不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+≥-+ 2 03062y y x y x 表示的平面区域的面积为〔〕A 、4B 、1C 、5D 、无穷大练5：y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-≥+ 3055x y x y x ，使)0(>+=a ay x z 取得最小值的最优解有无数个，那么的值为〔〕A 、3-B 、3C 、1-D 、1练6：3|2|<+-m y x 表示的平面区域包含点)0,0(和)1,1(-，那么m 的取值X 围是〔〕 A 、)6,3(-B 、)6,0(C 、)3,0(D 、)3,3(-练7：满足线性约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0 03232y x y x y x 的目标函数y x z +=的最大值是〔〕A 、1BD 、3 练8：假设实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+01032033my x y x y x ，且y x +的最大值为9，那么实数=m 〔〕A 、2-B 、1-C 、1D 、2练9：实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥+-≥-+013042022y x y x y x ，试求11++=x y z 的最大值和最小值.结合图像可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即3max ==MB k z ，此时2,0==y x ；练10：设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥ 222 x y x x y ，那么y x z 3-=的最小值为.8-练11：假设不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥- 022 0a y x y y x y x 表示的平面区域是一个三角形，那么a 的取值X 围是.练12：平面区域D 由以)1,3()2,5()3,1(C B A 、、，为顶点的三角形内部和边界组成，假设在区域D 上有无穷多个点),(y x 可使目标函数my x z +=取得最小值，那么=m . 1。

高中数学第三章《不等式(复习)》导学案新人教A版必修5

第三章《不等式（复习）》导学案【学习目标】 1．会用不等式（组）表示不等关系； 2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小； 3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；4．会作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题；5．明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值.【知识链接】复习1：【学习过程】※ 典型例题例1咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为9g 、4g 、3g ；乙种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为4g 、5g 、5g.已知买天使用原料为奶粉3600g ，咖啡2000g ，糖3000g. 写出配制两种饮料杯数说所满足的所有不等关系的不等式..例2 比较大小.（1）2(32)______626++；（2）22(32)______(61)--；（3）152- 165-；（4）当0a b >>时，1122log _______log a b ；（5）(3)(5)______(2)(4)a a a a +-+-；（6）22(1)x + 421x x ++；例3 利用不等式的性质求取值范围：（1）如果3042x <<，1624y <<，则x y +的取值范围是， 2x y -的取值范围是，xy 的取值范围是， x y的取值范围是（2）已知函数2()f x ax c =-，满足4(1)1f -≤≤-，1(2)5f -≤≤，那么(3)f 的取值范围是 .例4 已知关于x 的方程(k -1)x 2+(k +1)x +k +1=0有两个相异实根，求实数k 的取值范围.例5 已知x 、y 满足不等式22210,0x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩，求3z x y =+的最小值.例6 若0x >，0y > ，且281x y+=，求xy 的范围.※ 动手试试练1. 已知15a b -≤+≤，13a b -≤-≤，求32a b -的取值范围.练2. 某轮船在航行使用的燃料费用和轮船的航行速度的立方成正比，经测试，当船速为10公里/小时，燃料费用是每小时20元，其余费用（不论速度如何）都是每小时320元，试问该船以每小时多少公里的速度航行时，航行每公里耗去的总费用最少，大约是多少？【学习反思】※ 学习小结1．用不等式表示不等关系；2．比较大小；3．利用不等式的性质求取值范围和证明不等式；4．会解一元二次不等式；5．会画二元一次方程（组）与平面区域求线性目标函数在线性约束条件下的最优解；6．利用基本不等式求最大（小）值.※知识拓展设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>对应的二次函数为2()(0)f x ax bx c a =++>1．方程()0f x =在区间(,)k -∞内有两个不等的实根⇔0,2b k a∆>-<且()0f k >； 2．方程()0f x =在区间(,)k +∞内有两个不等的实根⇔0,2b k a∆>->且()0f k >； 3．方程()0f x =有一根大于k ，另一根k ⇔()0f k <；4．方程()0f x =在区间12(,)k k 内有且只有一根（不包括重根）⇔12()()0f k f k <g （12,k k 为常数）；5．方程()0f x =在区间12(,)k k 内有两不等实根⇔ ⇔120,2b k k a∆>-<且12()0,()0f k f k >>； 6．方程()0f x =在区间12(,)k k 外有两不等实根⇔ ()0,()0f k f k <<【基础达标】）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 设0a b <<，下列不等式一定成立的是（）.A ．22a ab b <⎧⎨∆>⎩B ．00a >⎧⎨∆<⎩C ．00a <⎧⎨∆>⎩D ．00a <⎧⎨∆<⎩ 4. 不等式组438000x y x y ++>⎧⎪<⎨⎪<⎩表示的平面区域内的整点坐标是 .5. 变量,x y 满足条件430352501x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，设y z x =，则z 的最小值为 . 【拓展提升】（1）22427180440x x x x ⎧-+>⎪⎨++>⎪⎩ （2）2232041590x x x x ⎧+-≥⎪⎨-+>⎪⎩2. 某运输公司有7辆可载6t 的A 型卡车与4辆可载10t 的B 型卡车，有9名驾驶员，建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360t 沥青的任务，已知每辆卡车每天往返的次数为A 型车8次，B 型车6次，每辆卡车每天往返的成本费为A 型车160元，B 型车252元，每天派出A 型车和B 型车各多少辆，公司所花的成本费最低？。

高中数学第三章不等式 3.1 算术平均数与几何平均数教案新人教A版必修5-新人教A版高二必修5

算术平均数与几何平均数【教学目标】（1）知识目标使学生能准确表达两个重要不等式；理解它们成立的条件和意义；能正确运用算术平均数与几何平均数定理求最值.（2）能力目标通过对实例的分析和提炼培养学生的观察、分析和抽象、概括能力；通过师生间的合作交流提高学生的数学表达和逻辑思维能力.（3）情感目标让学生经历知识的发生、发展、应用的全过程，鼓励学生在学习中勤于思考，积极探索；通过去伪存真的学习过程培养学生批判质疑的理性思维和锲而不舍追求真理的精神.【教学重点】两个正数的算术平均数与几何平均数定理及应用定理求最值.【教学难点】在求最值时如何正确运用定理.【教学过程】Ⅰ.引言：某人中秋节到超市买两斤糖果，不巧超市的电子秤坏了，但超市还有一个不等臂但刻度准确的坏天平，于是售货员先把糖果放在天平的左侧称出“一斤”，再拿出一些糖果放在天平的右侧称出“一斤”，然后把两次称出的糖果合在一起给了他，并且解释:“一边多一边少，加在一起就正好.”这种称法准确么？如果不准确，那么是称多了还是称少了？【分析】设天平左右两侧力臂长分别为1l 、2l ，两次称得的糖果实际重量为x 、y 则：12xl l =，12l yl =， ∴2112l l x y l l +=+ 这个数比2大还是小呢？有没有好的解决方法？请同学们阅读课本第9，10页算术平均数与几何平均数一节的正文及例1，看看能否在课本中找到答案。

同时思考以下问题：问题1.糖果给多了还是少了？你用什么知识解决了这个问题？如何解决的？问题2.除定理外还有一个重要不等式，内容是什么？它与定理有哪些相同点和不同点？问题3.认真分析例1及其证明过程，你能得到什么启示？Ⅱ. 阅读课文，找寻答案学生阅读课本后回答问题1和问题2，引出本节知识一．两重要不等式如果,a b R ∈那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取“=”号）.定理如果,a b 是正数，那么2a b +（当且仅当a b =时取“=”号）.想一想：“当且仅当”的含义是什么？介绍2a b +叫做a 、b 叫做a 、b 的几何平均数. 数列解释：两个正数的等差中项不小于它们的正项等比中项.Ⅲ.例题精析,去伪存真二．定理应用例1．已知,x y 都是正数，求证：（1）如果积xy 是定值P ，那么当x y =时，和x y +有最小值；（2）如果和x y +是定值S ，那么当x y =时，积xy 有最大值214S . 回答问题3，得出：最值问题；2.利用定理可以求解：和一定求积的最值；积一定求和的最值.3.利用定理求最值应满足：一正二定三相等.指出“一正”即满足定理成立的条件；“二定”即求和的最小值则积应为定值，求积的最大值则和应为定值；“三相等”即要保证求出的最值可以取到. 三个条件在利用定理求最值时缺一不可. 练习1.(1)已知0x ≠，当x 取什么值时,2281x x+的值最小，最小值是多少？ (2)已知02x <<，当x 取什么值时, (2)x x -的值最大，最大值是多少？投影学生的解题过程，让其他学生分析是否完整，并思考这两个问题是否还有其他解法（第一个小题还可以利用第一个重要不等式；第二小题可以利用一元二次函数的最值求法）.练习2.下列问题的解法是否正确，如果错误请指出错误原因.（1）求函数1y x x=+(0)x ≠的值域.解：112y x x x x=+=≥ [)12.y x x∴=++∞函数的值域为，（2）求函数3(32),02y x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，的最大值.解：302x <<320x ∴-> ()32y x x ∴=-≤22323()(),22x x x +--= ∴函数没有最大值.（3）求函数y =. 解：240,0x +>>y ∴=≥2142,4x =+∴函数的最小值为2.带领学生分析：练习1错误原因:忽略了自变量取负值的情况；练习2错误原因:不满足和(32)x x +-为定值；练习3错误原因=不可能成立. 并且给出第（1）（2）小题的正确解法. 再次强调“一正”即满足定理成立的条件；“二定”即求和的最小值则积应为定值，求积的最大值则和应为定值；“三相等”即要保证求出的最值可以取到。

高中数学第三章不等式 3.4 基本不等式：ab≤a+b2学案(含解析)新人教A版必修5-新人教A

3．4 基本不等式：ab≤a＋b 2[目标] 1.了解基本不等式的代数式和几何背景；2.会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式；3.会用基本不等式求最值和解决简单的实际问题．[重点] 基本不等式的简单应用．[难点] 基本不等式的理解与应用．知识点一两个不等式[填一填]1．重要不等式：对于任意实数a ，b ，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式：如果a ，b ∈R ＋，那么ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．其中a ＋b2为a ，b 的算术平均数，ab 为a ，b 的几何平均数．所以两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．[答一答]1．不等式a 2＋b 2≥2ab 和基本不等式ab ≤a ＋b2成立的条件有什么不同？提示：不等式a 2＋b 2≥2ab对任意实数a ，b 都成立；ab ≤a ＋b2中要求a ，b 都是正实数．知识点二基本不等式与最值[填一填]已知x ，y 都是正数，(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值．(2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值．[答一答]2．利用基本不等式求最值时，我们应注意哪些问题？提示：(1)在利用基本不等式具体求最值时，必须满足三个条件：①各项均为正数；②含变数的各项的和(或积)必须是常数；③当含变数的各项均相等时取得最值．三个条件可简记为：一正、二定、三相等．这三个条件极易遗漏而导致解题失误，应引起足够的重视．(2)记忆口诀：和定积最大，积定和最小．3．在多次使用基本不等式求最值时，我们应注意什么问题？提示：在连续多次应用基本不等式时，我们要注意各次应用时不等式取等号的条件是否一致，若不能同时取等号，则需换用其他方法求出最值．4．两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？提示：不一定．应用基本不等式求最值时还要求等号能取到．如sin x 与4sin x ，x ∈(0，π2)，两个都是正数，乘积为定值．但是由0<sin x <1，且sin x ＋4sin x 在(0,1)上为减函数，所以sin x ＋4sin x >1＋41＝5，等号不成立，取不到最小值．类型一利用基本不等式证明不等式[例1] (1)已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . (2)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.[分析] (1)左边是和式，右边是带根号的积式之和，所以用基本不等式，将和变积，并证得不等式．(2)不等式右边数字为8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式，可得三个“2”连乘，又1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a，可由此变形入手．[证明] (1)∵a >0，b >0，c >0，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0. ∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )，即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .(2)∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a ，同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c.由上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1 ≥2bc a ·2ac b ·2ab c＝8.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．1.利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果.2.注意多次运用基本不等式时等号能否取到.3.解题时要注意技巧，当不能直接利用不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式.[变式训练1] 已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明：因为a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．类型二利用基本不等式求最值[例2] (1)若x >0，求f (x )＝4x ＋9x 的最小值；(2)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(3)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值；(4)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．[分析] 利用基本不等式求最值，当积或和不是定值时，通过变形使其和或积为定值，再利用基本不等式求解．[解] (1)∵x >0，∴由基本不等式得 f (x )＝4x ＋9x≥24x ·9x＝236＝12，当且仅当4x ＝9x，即x ＝32时，f (x )＝4x ＋9x 取最小值12.(2)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )] ≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(3－2x )22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取“＝”．∴y 的最大值为92.(3)∵x >2，∴x －2>0，∴x ＋4x －2＝(x －2)＋4x －2＋2≥2(x －2)·4x －2＋2＝6.当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，x ＋4x －2取最小值6.(4)∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y ≥10＋29＝16.当且仅当y x ＝9x y 且1x ＋9y ＝1时等号成立．即x ＝4，y ＝12时等号成立．∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 有最小值16.求最值问题第一步就是“找”定值，观察、分析、构造定值是问题的突破口.找到定值后还要看“＝”是否成立，不管题目是否要求写出符号成立的条件，都要验证“＝”是否成立.[变式训练2] (1)已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值； (2)已知x >0，y >0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．解：(1)由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2，即ab ＝100，且a >0，b >0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100＝20，当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20.(2)∵x >0，y >0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝⎛⎭⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，且2x ＋3y ＝6时等号成立，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32.类型三基本不等式的实际应用[例3] 特殊运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按规定限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升6元，而送货卡车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x2360升，司机的工资是每小时140元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式．(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． [解] (1)设所用时间为t ＝130x(小时)，y ＝130x ×6×⎝⎛⎭⎫2＋x 2360＋140×130x，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×152x ＋13x 6，x ∈[50,100]．(2)y ＝130×152x ＋13x 6≥525703，当且仅当130×152x ＝13x6，即x ＝4570∈[50,100]时，等号成立．故当x ＝4570千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为525703元．解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出答案.[变式训练3] 要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是160(单位：元)．解析：设该长方体容器的长为x m ，则宽为4x m ．又设该容器的总造价为y 元，则y ＝20×4＋2⎝⎛⎭⎫x ＋4x ×10，即y ＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x (x >0)．因为x ＋4x≥2x ·4x＝4⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取“＝”，所以y min ＝80＋20×4＝160(元)．1．给出下列条件：①ab >0；②ab <0；③a >0，b >0；④a <0，b <0，其中能使b a ＋ab ≥2成立的条件有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：当b a ，a b 均为正数时，b a ＋ab ≥2，故只须a 、b 同号即可．所以①、③、④均可以．2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( D ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋ab≥2解析：∵a ，b ∈R ，且ab >0， ∴b a >0，ab>0，∴b a ＋a b ≥2b a ×a b＝2. 当且仅当b a ＝ab，即a ＝b 时取等号．3．设a ，b 为实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值为( B ) A ．6 B ．4 2 C ．2 2 D ．8解析：2a ＋2b ≥22a ＋b ＝223＝4 2.4．已知0<x <1，则当x ＝12时，x (3－3x )取最大值为34.解析：3x (1－x )≤3(x ＋1－x 2)2＝34，当且仅当x ＝1－x 即x ＝12时等号成立．5．已知a >0，b >0，c >0，求证： (1)b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋b c ≥6；(2)b ＋c a ·c ＋a b ·a ＋b c≥8.证明：(1)b ＋c a ＋a ＋c b ＋a ＋b c ＝b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c ＝(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥2＋2＋2＝6(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)．(2)b ＋c a ·c ＋a b ·a ＋b c ≥2bc a ·2ac b ·2abc＝8abc abc＝8(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)．——本课须掌握的两大问题1．基本不等式成立的条件：a >0且b >0；其中等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号，即若a ≠b 时，则ab ≠a ＋b 2，即只能有ab <a ＋b2. 2．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即(1)一正：符合基本不等式a ＋b2≥ab 成立的前提条件，a >0，b >0；(2)二定：化不等式的一边为定值；(3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．以上三点缺一不可．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．。

高中数学第三章不等式章末复习课学案新人教A版必修5(2021年最新整理)

2017-2018学年高中数学第三章不等式章末复习课学案新人教A版必修5 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第三章不等式章末复习课学案新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第三章不等式学习目标 1.整合知识结构，进一步巩固、深化所学知识。

2.能熟练利用不等式的性质比较大小、变形不等式、证明不等式.3。

体会“三个二次”之间的内在联系在解决问题中的作用.4。

能熟练地运用图解法解决线性规划问题.5。

会用基本不等式求解函数最值．知识点一“三个二次"之间的关系所谓三个二次，指的是①二次函数图象及与x轴的交点；②相应的一元二次方程的实根；③一元二次不等式的解集端点．解决其中任何一个“二次”问题，要善于联想其余两个，并灵活转化．知识点二规划问题1．规划问题的求解步骤．（1)把问题要求转化为约束条件；(2)根据约束条件作出可行域；（3）对目标函数变形并解释其几何意义；(4)移动目标函数寻找最优解;（5)解相关方程组求出最优解．2．关注非线性：（1)确定非线性约束条件表示的平面区域．可类比线性约束条件，以曲线定界，以特殊点定域．（2)常见的非线性目标函数有①y－bx－a，其几何意义为可行域上任一点(x,y)与定点（a，b)连线的斜率;②错误!，其几何意义为可行域上任一点（x，y）与定点（a,b)的距离．知识点三基本不等式利用基本不等式证明不等式和求最值的区别．利用基本不等式证明不等式，只需关注不等式成立的条件．利用基本不等式求最值,需要同时关注三个限制条件:一正;二定；三相等．类型一“三个二次”之间的关系例1 设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为M，如果M⊆[1,4］，求实数a的取值范围．解M⊆［1,4］有两种情况：其一是M＝∅，此时Δ〈0；其二是M≠∅,此时Δ＝0或Δ>0，下面分三种情况计算a的取值范围．设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，对方程x2－2ax＋a＋2＝0,有Δ＝(－2a）2－4（a＋2）＝4（a2－a－2)，①当Δ〈0时，－1〈a<2，M＝∅⊆［1，4]，满足题意；②当Δ＝0时，a＝－1或a＝2。

高中数学第三章不等式31不等关系与不等式课件新人教A版必修5

D．5
【解题探究】判断不等关系的真假，要紧扣不等的性
质，应注意条件与结论之间的联系．【答案】C
【解析】①c 的范围未知，因而判断 ac 与 bc 的大小缺乏依据，故该结论错误．
②由 ac2>bc2 知 c≠0，则 c2>0，
∴a>b，∴②是正确的．
③a<b， ⇒a2>ab，a<b， ⇒ab>b2，
【答案】M>N
【解析】M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝ a1(a2 － 1) － (a2 － 1) ＝ (a1 － 1)(a2 － 1) ，又 ∵ a1∈(0,1) ， a2∈(0,1) ， ∴ a1 － 1<0 ， a2 － 1<0.∴(a1 － 1)(a2 － 1)>0 ，即 M － N>0.∴M>N.
用不等式表示不等关系
【例1】某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成 500 mm 和600 mm两种规格，按照生产的要求，600 mm 钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍．试写出满足上述所有不等关系的不等式．
【解题探究】应先设出相应变量，找出其中的不等关系，即①两种钢管的总长度不能超过4 000 mm；②截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍；③两种钢管的数量都不能为负．于是可列不等式组表示上述不等关系．
比较大小要注重分类讨论
【示例】设 x∈R 且 x≠－1，比较1＋1 x与 1－x 的大小．【错解】∵1＋1 x－(1－x)＝1－1＋1－x x2＝1＋x2 x，而 x2≥0，∴ 当 x＞－1 时，x＋1＞0，1＋x2 x≥0，即1＋1 x≥1－x；当 x＜－1 时，x＋1＜0，1＋x2 x≤0，即1＋1 x≤1－x.

高中数学第三章不等式 3.4 基本不等式导学案(无答案)新人教A版必修5(2021年最新整理)

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基本不等式学习目标1。

掌握基本不等式及其他几种变形形式，掌握基本不等式取等的条件.2。

运用基本不等式求代数式的最值，能够解决一些简单的实际问题。

3。

激情投入，热情高效，在高效课堂中体会学习的乐趣.学习重点难点1. 从不同角度探索不等式2ba +≥ab （a 〉0，b 〉0）的多种形式。

2. 理解基本不等式2ba +≥ab （a>0，b>0）等号成立条件。

3. 用基本不等式及变形形式求代数式的最大（小）值及解决一些简单的实际问题.自学案阅读教材并完成下面几个问题。

1，想一想：若R b a ∈,，则ab b a 222≥+. “="什么条件下成立？为什么？2,(变形形式）想一想,下列公式可以如何得到？（1）若R b a ∈,，则 ab b a 222≥+ （当且仅当b a =时取“=”)(2)若R b a ∈,，则 222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“="）(3)若*,R b a ∈，则 ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”)（4）若R b a ∈,,则 22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“="）3，解决下面两个问题并体会在基本不等式应用过程中有什么基本规律？(1）用篱笆围成一个面积为100M 2的矩形菜园,问长，宽各为多少时，所用篱笆最短？（2)用篱笆围成一个周长为36M 的矩形菜园，问长,宽各为多少时，菜园面积最大？你觉得规律是探究案一。

高二人教A版必修5教案：3-1不等关系与不等式

分析：假设截得 500mm 的钢管 x 根，截得 600mm 的钢管 y 根.. 根据题意，应有如下的不等关系：（1）解得两种钢管的总长度不能超过 4000mm；（2）截得 600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管数量的 3 倍；（3）解得两钟钢管的数量都不能为负。由以上不等关系，可得不等式组：
提高 0.1 元，销量就相应地减少 2000 本。若把提价后杂志的定价设为 x 元，怎样用不等式
表示销售的总收入还不底于 20 万元呢？
（教师示范 → 学生板演 → 小结）
3、小结：文字语言与数学语言之间的转换，实数的运算性质与大小顺序之间的关系.
三、巩固练习：
１.某电脑拥护计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件和盒装
教学重点：理解不等式的性质及其证明.
教学难点：从实际的不等关系中抽象出具体的不等式.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：实数的运算性质与大小顺序之间的关系
2. 设点Ａ与平面之间的距离为 d，Ｂ为平面上任意一点，则点Ａ与平面的距离小于
或等于Ａ，Ｂ两点间的距离，请将上述不等关系写成不等式.
二、讲授新课：
三、本节难点
用不等式（组）正确表示出不等关系。
四、知识储备
“作差法”比较两个实数的大小和常用的不等式的基本性质 ① 用“作差法”比较两个实数大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、有理
化等方法.常用的结论有 x2 0，− x2 0，|x| 0，-|x| 0 等.
② “作差法”的一般步骤是： ①作差；②变形；③判断符号；④得出结论. ③常用的不等式的基本性质
_____________.
④.配制 A, B 两种药剂需要甲、乙两种原料，已知配一剂 A 种药需甲料 3 毫克，乙料 5 毫克，配一剂 B 药需甲料 5 毫克，乙料 4 毫克。今有甲料 20 毫克，乙料 25 毫克，若 A, B 两种药至少各配一剂，则 A, B 两种药在配制时应满足怎样的不等关系呢？用不等式表示出来.

高二数学第三章不等式学案新人教A版必修5 学案

3.2.2 一元二次不等式及其解法【学习目标】巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；进一步熟练解一元二次不等式的解法；培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；【学习重点】熟练掌握一元二次不等式的解法；【学习难点】理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系. 【学习过程】一、自主学习：1.一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系：2.一元二次不等式的解法步骤：3.求一元二次不等式解集的结论：二、合作探究 1. 解不等式(1) 0)1)(2(>-+x x(2) x －3x ＋7＜0（3）x －3x ＋7≤0（4）4x －3 ＞2－x 3－x－32.设22{|430},{|280}A x x x B x x x a =-+<=-+-≤，且A B ⊆，求a 的取值范围.三、课堂练习1. 看下面有关的命题：（1）若031>++x x ，则1-<x 或3->x ；（2）若012<+-x x ，则不等式无解；（3）若012222<+-x x ，则R x ∈；（4）若0652≤+-x x ，则.32<<x其中正确命题的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 若10<<a ，则不等式0)1)((>--ax x a 的解是（） A. ax a 1<<B.a x a<<1C. a x 1>或a x <D. ax 1<或a x >3. 不等式0)1)(2(>-+x x 的解集是（）A. }12|{>-<x x x 或B. }12|{<<-x xC. 21|{>-<x x x 或D. }21|{<<-x x4 不等式9)12(2≤-x 的解集为___________________________。

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第三章不等式3.1不等关系与不等式一、【学习目标】知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。

二、【教学重点、难点】教学重点：用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。

理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。

教学难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。

三、【教学过程】1.课题导入在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。

如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。

人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。

在数学中，我们用不等式来表示不等关系。

下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。

自习课本p72-p742.讲授新课1）用不等式表示不等关系引例1：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是：v40引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示2.5%2.3%f p ≤⎧⎨≥⎩问题1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤。

问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。

据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。

若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1x x --⨯ 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式2.5(80.2)200.1x x --⨯≥ 问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种。

高二数学 3.2.1第三章不等式学案新人教A版必修5 学案

3.2 .1一元二次不等式及其解法【学习目标】理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法。

【学习重点】从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。

【学习难点】理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

【学习过程】一、自主学习（1）解方程：2x-7=0；（2）画出函数y=2x-7的图象；（3）解不等式：2x-7>0和2x-7<0.你能发现这三个问题之间的关系吗？二、合作探究我们怎样确定一元二次不等式cbxax++2>0与cbxax++2<0的解集呢？你能从上面得到什么启示吗？1：求不等式：（1）03522>--xx；（2）01442>++xx；（3）121532>+-xx.（注：解不等式时，若二次项系数为负，应先将二次项系数化为正，再根据图象写出其解集。

）2：若不等式02>++cbxx的解集是}13{-<>xxx或，求实数b和c.3：在一次排球课上，某同学以初速smv/12=竖直抛一排球，该排球能够在抛出点2m以上的位置最多停留多长时间？(2/8.9smg=)三、课堂练习1.若根式2532+-x x 没有意义，则A.132≤≤x B.x ＜0 C.132<<x D.x ＞1或32<x2.式子322--x x 有意义，则A.{}22-≤≥x x x 或B.｛x ｜x ≠±3｝C.{}22≤≤-x xD.{}{}3232-≠-≤≠≥x x x x x x 且且3.设集合M =｛x ｜2-x ＞0｝，N =｛x ｜x 2-4x +3＜0}，U =R ，则(C U M )∩N 是A.｛x ｜x ＞1｝B.｛x ｜x ≥2｝C.｛x ｜x ＜3｝D.｛x ｜2≤x ＜3｝4.若关于x 的不等式ax 2+bx +c ＜0(a ≠0)的解集是空集，则A.a ＜0且b 2-4ac ＞0 B.a ＜0且b 2-4ac ≤0 C.a ＞0且b 2-4ac ≤0 D.a ＞0且b 2-4ac ＞05.设集合M ＝{x |0≤x ＜2}，集合N ＝{x |x 2－2x －3＜0}，集合M ∩N 等于 A.{x |0≤x ＜1} B.{x |0≤x ＜2} C.{x |0≤x ≤1} D.{x |0≤x ≤2}6.已知P ＝{m |-4＜m ＜0}，Q ＝{m |mx 2-mx -1＜0对一切x ∈R 成立}，那么下列关系中成立的是 A.P Q B.Q P C.P ＝Q D.P ∩Q ＝7.已知函数y ＝(m -1)x 2-mx -m 的图象如图，则m 的取值范围是A.m ＜54B.0＜m ＜54C.m ＜1D.0＜m ＜18.二次函数y = -x 2-6x +k 的图象的顶点在x 轴上，则k 的值为 A.-9 B.9 C.3 D.-39.已知不等式022>++bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121x x ，则b a +的值为A. -14B. -10C.14D.1010.方程实数根，有两个不相等的 0122=+++m x m mx )(则实数m 的取值范围是A.41->m B.41-<m C.41≥m D.041≠->m m 且11.解不等式(1)2x 2－3x －2＞0 (2) －3x 2＋6x ＞2四、能力拓展：已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为（1，3）.若方程06)(=+a x f 有两个相等的跟，求)(x f 的解析式；五、课堂小结解一元二次不等式的步骤：我的收获我的困惑。

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3.1 不等关系与不等式性质
【学习目标】
掌握不等式的基本性质，会用不等
式的性质证明简单的不等式；通过
解决具体问题，学会依据具体问题
的实际背景分析问题、解决问题的
方法；
【学习重点】
掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；
【学习难点】
利用不等式的性质证明简单的不等式。

【学习过程】
一、自主学习：
1.如何比较两实数和大小
2．常用不等式的基本性质：
性质①对称性：a>b⇔______
性质②传递性：a>b ,b>c⇒__________或ab ⇒a +c ___ b +c(移项法则)
性质④乘法法则：a>b，c>0⇒ac>bc a>b ,c<0⇒ac<bc
性质⑤同向加法法则： a>b , c>d
⇒ a +c __ b +d
性质⑥(同向同正) a>b>0 , c>d> 0 ⇒ac _____ b d
性质⑦乘方法则：a>b>0 ⇒a n_ _ b n
性质⑧开方法则: a>b>0 ⇒n a___ n b (n∈ N , n2
≥)
性质⑨倒数法则：a>b , ab>0
⇒
b
a
1
___
1
二、合作探究：
1:已知0
a b
>>，证明：
2
2
1
1
a
b
>
2: 比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小。

3:（1）（3＋2）2６＋26；4:当1
≥
x时，
求证：1
1-
-
<
-
+x
x
x
x
5:已知3615,6012<<<<b a ，求b
a
b a 及
-的范围。

三、课堂练习
1、已知a b >，c d >，且c 、d 不为0，那么下列不等式成立的是（） A ．ad bc > B ．ac bc > C ．a c b d ->- D ．a c b d +>+
2、下列命题中正确的是（）
A ．若a b >，则22
ac bc >
B ．若a b >，c d >，则a c b d ->-
C ．若0ab >，a b >，则11
a b <
D ．若a b >，c d <，则a b
c d
>
3、下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是（） A ．(
)
2
lg 1lg 2x x +≥ B ．2
12x x +>
C ．2
1
11x ≤+ D ．1
2x x
+≥
4、如果a R ∈，且2
0a a +<，那么a ，2
a ，
a -，2
a -的大小关系是（）
A ．22
a a a a >>->- B ．2
2
a a a a ->>-> C ．2
2
a a a a ->>>- D ．2
2
a a a a >->>-
5、若2
31x x M =-+，2
2x x N =+，则（）
A ．M >N
B ．M <N
C ．M ≤N
D ．M ≥N
6、不等式①2
22a a +>，②
()2221a b a b +≥--，③22a b ab +>恒
成立的个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
7、已知0a b +>，0b <，那么a ，b ，a -，b -的大小关系是（）
A ．a b b a >>->-
B ．a b a b >->->
C ．a b b a >->>-
D ．a b a b >>->- 8、已知a ，b ，c ，d 均为实数，且0ab >，
c d
a b
-
<-，则下列不等式中成立的是（）
A ．bc ad 
C ．a b c d >
D ．a b
c d
< 9
、
若
()231
f x x x =-+，
()221g x x x =+-，则()f x ，()g x 的大
小关系是（）
A ．()()f x g x 
D ．随x 值的变化而变化 10、用“>”“<”号填空：如果0a b c >>>，那么
c a
________c b ．
11、若0a b <<，且12a b +=
，则1
2
，a ，2ab
，
22
a b +中最大的是
_______________．
12、比较下列各组中两个数或代数式的大小：
⑴
⑵ ()()44
2
2a b
a
b ++与()
2
33a b +．
13. 如果3042x <<,1624y <<,则 (1)x+y 的取值范围是 , (2)x_2y 的取值范围是 , (3)xy 的取值范围是 , (4)x/y 的取值范围是四、能力拓展
已知15a b -≤+≤，13a b -≤-≤，求
32a b -的取值范围。

五、课堂小结
1.作差法的一般步骤：作差
变形
判号(与0
比较大小)
定论
2.作商法的一般步骤：(比较大小的两项必须为正值)
作商变形
与1比较大小
定论我的收获
我的困惑。

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