高中数学人教B版选修11课件：第三单元 3.3.3 导数的实际应用.pptx
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人教B版高中数学选修1-1课件 3.3.3导数的实际应用课件1
令 f '( x) k(d 2 3x2 ) 0.
解方程d2-3x2=0，得两个根x
3 d, 3
其中负根没有意
义，舍去，所以在区间(0，d)只有一个极大值点x 3 d .
3
所以f(x)在x
3d 3
时取最大值.这时
h d2 x2 6 d. 3
即当宽为 3 d ，高为 6 d 时，横梁的强度最大.
6
例2 矩形横梁的强度同它的断面的高的平方与宽的积成
正比.要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的
宽度和高度应是多少？
解：如图所示，设断面宽为x，高为h，则
h2 d 2 x2 .
横梁的强度函数为 f ( x) kxh2 ,
所以 f ( x) kx(d 2 x2 )(0 x d ).
当r (0,2)时, f (r) 0;当r (2,6)时, f (r) 0
从图中，你 还能看出什
么吗？
y
f
(r)
0.8
r3 (
r2)
3
2
o
3
r
从图中可以看出: 1、当半径为2cm时，利润最小，这时f(2)<0， 2、当半径为6cm时，利润最大.
优化问题
优化问题 的答案
用函数表示的 数学问题
用导数解决 数学问题
从而|AB|= 4x-x2，
|BC|=2(2-x).
x
故矩形ABCD的面积为:
S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).
S( x) 6x2 24x 16.
令 SS(x()x) 0，0 得x1x1 2 22 23333, x, 2x22 22 23333. .
高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.3 导数的实际应用课件 新人教B版选修1-1
令 y′＝0，得 v＝16，
所以当 v0≥16，
即 v＝16 km/h 时全程燃料费最省，
ymin＝32 000(元)；
当 v0＜16，即 v∈(8，v0]时，y′＜0， 即 y 在(8，v0]上为减函数， 所以当 v＝v0 时，ymin＝1v00－00v820(元)． 综上，当 v0≥16 时， 即 v＝16 km/h 时全程燃料费最省，为 32 000 元； 当 v0＜16，即 v＝v0 时全程燃料费最省，为1v000－0v820元．
如图，四边形 ABCD 是一块边 长为 4 km 的正方形地域，地域内有一条河流 MD，其经过的路线是以 AB 的中点 M 为顶点 且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计)．新长城公司准 备投资建一个大型矩形游乐园 PQCN，问如何施工才能使 游乐园的面积最大？并求出最大面积．
解：以 M 为原点，AB 所在直线为 y 轴建 立直角坐标系， 则 D(4，2)． 设抛物线方程为 y2＝2px. 因为点 D 在抛物线上， 所以 22＝8p， 解得 p＝12.
解：(1)由题意， 60x－x∈(0，5]，x＞0， 所以 0＜x≤50， 所以技改投入 x 的取值范围是(0，50]． (2)设 f(x)＝(60－x)x2，x∈(0，50]， 则 f′(x)＝－3x(x－40)， 0＜x＜40 时，f′(x)＞0；40＜x≤50 时， f′(x)＜0， 所以 x＝40 时，函数取得极大值，也是最大值，即最大值 为 32 000 万元．
结束 语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
所以抛物线方程为 y2＝x(0≤x≤4)． 设 P(y2，y)(0≤y≤2)是曲线 MD 上任一点，则|PQ|＝2＋y， |PN|＝4－y2. 所以矩形游乐园的面积为 S＝|PQ|×|PN|＝(2＋y)(4－y2) ＝8－y3－2y2＋4y. S′＝－3y2－4y＋4，令 S′＝0， 得 3y2＋4y－4＝0，
高中数学第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.3导数的实际应用课件新人教B版选修1_1201170828172
5 某厂生产某种电子元件,如果生产出一件正品,可获利 200 元,若生 产出一件次品则损失 100 元,已知该厂制造电子元件过程中,次品率 p 与日产量 x (1)将该厂的日盈利额 T(单位:元)表示为日产量 x(单位:件)的函 数 ; (2)为获得最大盈利,该厂的日产量应定为 件. 解析: (1)由题意知,每日生产的次品数为 px 件,正品数为(1-p)x 件,
利用导数解决实际问题时应注意什么? 剖析:(1)写出变量之间的函数关系y=f(x)后一定要写出定义域. (2)求实际问题的最值,一定要从问题的实际意义去分析,不符合 实际意义的极值点应舍去. (3)在实际问题中,一般地,f'(x)=0在x的取值范围内仅有一个解,即 函数y=f(x)只有一个极值点,则该点处的值就是问题中所指的最值.
1
1 2
3把长为40 cm的铁丝围成矩形,当长为 cm,宽为 cm时,矩形面积最大. 答案:10 10 4将长为52 cm的铁丝剪成2段,各围成一个长与宽之比为2∶1及 3∶2的矩形,则面积之和的最小值为 cm2. 解析:设剪成的2段中其中一段为x cm,x∈(0,52),则另一段为(52-x) cm,围成两个矩形的面积和为S cm2.
2.求实际问题的最大(小)值的步骤 (1)建立实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关 系y=f(x),注明定义域. (2)求函数的导数f'(x),解方程f'(x)=0,确定极值点. (3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小,最大(小)者 为实际问题的最大(小)值. 名师点拨实际问题中的变量是有范围的,即应考虑实际问题的意义, 注明定义域.
反思根据课程标准的规定,有关函数最值的实际问题,一般指的是 单峰函数,也就是说在实际问题中,如果遇到函数在一个区间内只 有一个点使f'(x)=0,且该函数在这点取得极大(小)值,那么不与区间 端点的函数值比较,就可以知道这就是实际问题的最大(小)值.
人教B版高中数学【选修1-1】第3章-3.3-3.3.3导数的实际应用-课件
x 2 100－x2 4＋π 2 25 ∴S＝π2π ＋ ＝ 16π x － 2 x＋625(0＜x＜100)． 4
4＋π 25 又 S′＝ x－ ， 8π 2 100π 令 S′＝0，则 x＝ . 4＋π 100π ∵S 是关于 x 的二次函数，由其性质可知当 x＝ cm 时， 4＋π 面积之和最小．
课 标 解 读
1.掌握应用导数解决实际问题的基本思路．(重点) 2．灵活运用导数解决实际生活中的优化问题，提高分 析问题、解决问题的能力．(难点)
导数在实际问题中的应用
【问题导思】 优化问题实际上就是寻求最佳方案或策略， 而实际问题中的利 润、用料、效率等问题常能用函数关系式表达，那么优化问题与函 数的什么性质联系密切？
1．求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几 何特征， 根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数， 然后再用 导数求最值． 2．实际问题中函数定义域确定的方法： (1)根据图形确定定义域．如本例中长方体的长、宽、高都大 于零． (2)根据问题的实际意义确定定义域．如人数必须为整数，销 售单价大于成本价、销售量大于零等．
2．过程与方法 让学生参与问题分析，探究解决过程，体会数学建模，从而掌 握用导数法解决优化问题的方法． 3．情感、态度与价值观 形成数学建模思想， 培养学生应用数学意识， 进一步体会导数 作为解决函数问题的工具性． 激发学生学习热情， 培养学生解决问 题的能力和创新能力．
●重点、难点 重点：利用导数解决生活中的一些优化问题． 难点：优化问题的数学建模与求解方法的掌握．
令 V′(x)＝0，得 x＝10 或 x＝36(舍去)． 当 0＜x＜10 时，V′(x)＞0，即 V(x)是增加的； 当 10＜x＜24 时，V′(x)＜0，即 V(x)是减少的． 因此，在定义域(0,24)内，函数 V(x)只有当 x＝10 时取得最大 值，其最大值为 V(10)＝19 600(cm3)． 因此当容器的高为 10 cm 时，容器的容积最大，最大容积为 19 600 cm3.
4＋π 25 又 S′＝ x－ ， 8π 2 100π 令 S′＝0，则 x＝ . 4＋π 100π ∵S 是关于 x 的二次函数，由其性质可知当 x＝ cm 时， 4＋π 面积之和最小．
课 标 解 读
1.掌握应用导数解决实际问题的基本思路．(重点) 2．灵活运用导数解决实际生活中的优化问题，提高分 析问题、解决问题的能力．(难点)
导数在实际问题中的应用
【问题导思】 优化问题实际上就是寻求最佳方案或策略， 而实际问题中的利 润、用料、效率等问题常能用函数关系式表达，那么优化问题与函 数的什么性质联系密切？
1．求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几 何特征， 根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数， 然后再用 导数求最值． 2．实际问题中函数定义域确定的方法： (1)根据图形确定定义域．如本例中长方体的长、宽、高都大 于零． (2)根据问题的实际意义确定定义域．如人数必须为整数，销 售单价大于成本价、销售量大于零等．
2．过程与方法 让学生参与问题分析，探究解决过程，体会数学建模，从而掌 握用导数法解决优化问题的方法． 3．情感、态度与价值观 形成数学建模思想， 培养学生应用数学意识， 进一步体会导数 作为解决函数问题的工具性． 激发学生学习热情， 培养学生解决问 题的能力和创新能力．
●重点、难点 重点：利用导数解决生活中的一些优化问题． 难点：优化问题的数学建模与求解方法的掌握．
令 V′(x)＝0，得 x＝10 或 x＝36(舍去)． 当 0＜x＜10 时，V′(x)＞0，即 V(x)是增加的； 当 10＜x＜24 时，V′(x)＜0，即 V(x)是减少的． 因此，在定义域(0,24)内，函数 V(x)只有当 x＝10 时取得最大 值，其最大值为 V(10)＝19 600(cm3)． 因此当容器的高为 10 cm 时，容器的容积最大，最大容积为 19 600 cm3.
人教B版选修1-1高中数学3.3.3《导数的实际应用》ppt课件
的能力.
填一填·知识要点、记下疑难点
3.3.3
填一填 研一研 练一练
1.在经济生活中，人们常常遇到最优化问题.例如，为使经营
利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、
本 专
消耗最省等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些
题 栏
都是 最优化问题 .
目 开
2.利用导数解决最优化问题的实质是 求函数最值 .
练一练·当堂检测、目标达成落实处
3.3.3
填一填 研一研 练一练
1.方底无盖水箱的容积为 256，则最省材料时，它的高为
本
A.4
B.6
C.4.5
D.8
专
题 栏
解析 设底面边长为 x，高为 h，
目 开 关
则 V(x)＝x2·h＝256， ∴h＝2x526，
∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·2x526＝x2＋4×x256， ∴S′(x)＝2x－4×x22 56.
专
题 答 当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得
栏
目 的利润最大.
开 关
填一填 研一研 练一练
研一研·问题探究、课堂更高效
3.3.3
探究点三 费用(用材)最省问题
例 3 已知 A、B 两地相距 200 km，一只船从 A 地逆水行驶
到 B 地 ， 水 速 为 8 km/h， 船 在 静 水 中 的 速 度 为 v
则|PQ|＝2＋y，|PN|＝4－y2.
∴矩形游乐园的面积为 S＝|PQ|×|PN|＝(2＋y)(4－y2)
＝8－y3－2y2＋4y.
3.3.3
填一填 研一研 练一练
研一研·问题探究、课堂更高效
3.3.3
高中数学 33《导数的应用》课件 新人教B选修11
又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则公路上每吨千 米的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到工厂 C的总运费为
y5tC D 3tB D 5t 40 x 0 23t(10 x 0 )
(0x10 ).0
令yt( 5x 3)0,在0x100的范围内有 400x2
唯一解x=15. 所以,当x=15(km),即D点选在距A点15千米时,总运 费最省.
x x 0 附近的所有的点 都有 fxfx0（或 fxfx0
x 则称 f x0 为函数的一个极大（小）值，称 0 为极大（小）
值点。
2. 求可导函数 y f x 极值的步骤：
① 求导数 f x
② 求方程 f x ＝０ 的根；
③ 检验 f x 在方程 f x ＝０的根的左、右的符号，
注:可以进一步讨论,当AB的距离大于15千米时,要找的 最优点总在距A点15千米的D点处;当AB之间的距离 不超过15千米时,所选D点与B点重合.
练习:已知圆锥的底面半径为R,高为H,求内接于这个圆 锥体并且体积最大的圆柱体的高h.
答:设圆柱底面半径为r,可得r=R(H-h)/H.易得当h=H/3 时, 圆柱体的体积最大.
① 求 y f x 在（a，b）内的极值； ② 将 y f x 在各极值点的极值与 f a, f b 比较，
其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
2. 若函数 y f x在[a，b]上单调递增，则 f a 为函数的 的最小值，f b 为函数的最大值；若函数 y f x 在[a，b] 上单调递减，则 f a 为函数的最大值， f b 为函数的
例4.2001—新课程卷—文史类(21): 已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值-1,试 确定a、b的值,并求出f(x)的单调区间.
y5tC D 3tB D 5t 40 x 0 23t(10 x 0 )
(0x10 ).0
令yt( 5x 3)0,在0x100的范围内有 400x2
唯一解x=15. 所以,当x=15(km),即D点选在距A点15千米时,总运 费最省.
x x 0 附近的所有的点 都有 fxfx0（或 fxfx0
x 则称 f x0 为函数的一个极大（小）值，称 0 为极大（小）
值点。
2. 求可导函数 y f x 极值的步骤：
① 求导数 f x
② 求方程 f x ＝０ 的根；
③ 检验 f x 在方程 f x ＝０的根的左、右的符号，
注:可以进一步讨论,当AB的距离大于15千米时,要找的 最优点总在距A点15千米的D点处;当AB之间的距离 不超过15千米时,所选D点与B点重合.
练习:已知圆锥的底面半径为R,高为H,求内接于这个圆 锥体并且体积最大的圆柱体的高h.
答:设圆柱底面半径为r,可得r=R(H-h)/H.易得当h=H/3 时, 圆柱体的体积最大.
① 求 y f x 在（a，b）内的极值； ② 将 y f x 在各极值点的极值与 f a, f b 比较，
其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
2. 若函数 y f x在[a，b]上单调递增，则 f a 为函数的 的最小值，f b 为函数的最大值；若函数 y f x 在[a，b] 上单调递减，则 f a 为函数的最大值， f b 为函数的
例4.2001—新课程卷—文史类(21): 已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值-1,试 确定a、b的值,并求出f(x)的单调区间.
高中数学第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.3导数的实际应用课件新人教b版选修11
答： 当 OO1 为 2 m 时， 帐篷的体积最大， 最大体积为 16 3 m3.
[一点通] 解决面积，容积的最值问题，要正确引入变量，
将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利 用导数求解函数的最值．
1．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为 20 cm，要使其体积最大， 则其高应为 20 3 A. cm 3 C．20 cm B．100 cm 20 D. cm 3 ( )
2． 学校或班级举行活动， 通常需要张贴海报进行宣传． 现 让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心 面积为 128 dm2，上、下两边各空 2 dm，左、右两边 各空 1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面 积最小？
128 解：设版心的高为 x dm，则版心的宽为 x dm，此时四 周空白面积为
[精解详析] 设速度为每小时 v 千米的燃料费为每小时 p 元， 由题意得 p＝k· v3，其中 k 为比例常数，当 v＝10，p＝6，解得 k＝ 6 ＝0.006. 103 于是有 p＝0.006v3. 设当速度为每小时 v 千米时，行 1 千米所需的总费用为 q 元， 那么每小时所需的总费用是(0.006v3＋96)元，而行 1 千米所需时间 1 1 为v小时，所以行 1 千米的总费用为 q＝v(0.006v3＋96)＝0.006v2＋ 96 v
3 3 2 1 V(x)＝ (8＋2x－x ) 3x－1＋1. 2
3 ＝ (16＋12x－x3)． 2
求导数，得 V′(x)＝
3 (12－3x2)． 2
令 V′(x)＝0，解得 x＝－2(不合题意，舍去)，x＝2. 当 1＜x＜2 时，V′(x)＞0，V(x)为增函数； 当 2＜x＜4 时，V′(x)＜0，V(x)为减函数． 所以，当 x＝2 时，V(x)最大．
高中数学 第三章 导数及其应用本章整合课件 新人教B版选修11
专题一 专题二 专题三
应用1 已知f(x)在x=x0处可导,
则 lim
������→������0
[������(������)]���2���--[���������0���(������0)]2=(
)
A.f'(x0)
B.f(x0)
C.[f'(x0)]2
D.2f'(x0)f(x0)
提示:对所给式子进行变形,用导数的定义解题.
∴ lim
������→0
������(1)-������������(1-������)=-2,即
f'(1)=-2.
∴y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为-2.
专题一 专题二 专题三
专题二 用导数求函数的单调区间、极值、最值 1.求函数单调区间的步骤: (1)确定f(x)的定义域; (2)计算导数f'(x); (3)求出f'(x)=0的根; (4)用f'(x)=0的根将定义域分成若干区间,判断f'(x)在各区间内的 符号,进而确定f(x)的单调区间. 2.求函数极值的步骤: (1)求导数f'(x); (2)求f'(x)=0或f(x)不存在的所有点; (3)检查上面求出的x的两侧导数的符号,如果左正右负,那么f(x) 在这个点处取得极大值,如果左负右正,那么f(x)在这个点处取得极 小值.
专题一 专题二 专题三
专题三 利用求导法证明不等式、求参数范围等 1.在用求导法证明不等式时,首先要构造函数和确定定义域,其次 运用求导的方法来证明. 2.一些求题中参数取值范围的问题,常转化为恒成立问题来解决. 利用f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a和f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a的思想 解题. 3.解极值应用的问题一般分三个步骤: (1)建立函数关系式; (2)求所列函数关系式中可能取得极值的点; (3)具体作出判断,得出结果. 其中关键在于建立函数关系式,若所求函数只有一个极值点,一 般就是要求的最大值(或最小值)点.
最新人教B版选修11高中数学第三章《导数及其方程》章末归纳提升课件ppt.ppt
导数作为工具为研究函数的单调性、极值和最值提供了 通性通法．某些求参数范围问题，常借助导数求最值转化为 恒成立问题．
解题时，一般先分离参数，再利用 f(x)≥a，即 f(x)min≥a 恒成立或 f(x)≤a，即 f(x)max≤a 恒成立的思想解决参数的范围 问题．
【思路点拨】 先对函数求导，用 f′(x)的正负来判断 f(x) 的增减，用恒成立的思想解决 k 的取值范围，但要注意对 k 值的分类讨论．
(2)设切点为(x0，y0)，则直线 l 的斜率为 f′(x0)＝3x20＋1，∴直线 l 的方程为 y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16， 又∵直线 l 过点(0,0)， ∴0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16， 整理得 x30＝－8，∴x0＝－2， ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k＝3×(－2)2＋1＝13， ∴直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
若抛物线 C1：y1＝x2－2x＋2 与抛物线 C2：y2＝ －x2＋ax＋b 在它们的一个公共点处的切线互相垂直．
(1)求 a，b 之间的关系； (2)若 a>0，b>0，求 ab 的最大值．
【思路点拨】 结合导数的几何意义求公共点处的导数 即为斜率，由已知斜率互为负倒数进而推知 a，b 的关系式．
【规范解答】 (1)依题意 y′ 1 ＝2x－2，y2′＝－2x＋a，设 它们的公共点为 P(x0，y0)，因为在 P 点切线互相垂直且切线 斜率一定存在．
∴(2x0－2)(－2x0＋a)＝－1，
即 4x20－2(a＋2)x0＋2a－1＝0，
①
则 Δ＝4[(a－2)2＋4]＞0.
又∵y0＝x20－2x0＋2，且 y0＝－x20＋ax0＋b，
解题时，一般先分离参数，再利用 f(x)≥a，即 f(x)min≥a 恒成立或 f(x)≤a，即 f(x)max≤a 恒成立的思想解决参数的范围 问题．
【思路点拨】 先对函数求导，用 f′(x)的正负来判断 f(x) 的增减，用恒成立的思想解决 k 的取值范围，但要注意对 k 值的分类讨论．
(2)设切点为(x0，y0)，则直线 l 的斜率为 f′(x0)＝3x20＋1，∴直线 l 的方程为 y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16， 又∵直线 l 过点(0,0)， ∴0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16， 整理得 x30＝－8，∴x0＝－2， ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k＝3×(－2)2＋1＝13， ∴直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
若抛物线 C1：y1＝x2－2x＋2 与抛物线 C2：y2＝ －x2＋ax＋b 在它们的一个公共点处的切线互相垂直．
(1)求 a，b 之间的关系； (2)若 a>0，b>0，求 ab 的最大值．
【思路点拨】 结合导数的几何意义求公共点处的导数 即为斜率，由已知斜率互为负倒数进而推知 a，b 的关系式．
【规范解答】 (1)依题意 y′ 1 ＝2x－2，y2′＝－2x＋a，设 它们的公共点为 P(x0，y0)，因为在 P 点切线互相垂直且切线 斜率一定存在．
∴(2x0－2)(－2x0＋a)＝－1，
即 4x20－2(a＋2)x0＋2a－1＝0，
①
则 Δ＝4[(a－2)2＋4]＞0.
又∵y0＝x20－2x0＋2，且 y0＝－x20＋ax0＋b，
高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.3 导数的实际应用
单调递减区间.
单调递减区间(0,1)
5.设函数f(x)＝x＋ax2＋bln x，曲线y＝f(x)过 P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.
(1)求a，b的值； a -1, b 3
(2)令g(x)＝f(x)－2x＋2，求g(x)在定义域上 的最值．
g max (x) g(1) 0
1.求函数单调区间的方法 2.求函数极值与最值的方法 3.需要注意的细节
y f(x)有极值. a 2, b -4,c 5
(1)求a, b,c的值；
f max (x) f (2) 13的最大f值min和(x最 ) 小f (值32.)
95 27
(2012·重庆卷) 已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处 取得极值c－16.
单调递增 单调递减
求可导函数单调区间的一般步骤： （1）确定函数 f(x) 的定义域；
（2）求f ' (x)；
如果定 义域有 限制， 须与定 义域取
交集
（3）求单调递增区间：令 f ' (x) 0, 求解x的取值区间；
（4）求单调递减区间：令 f ' (x) 0, 求解x的取值区间；
f ' (x) 0
f ' (x) 0
考点一 利用导数研究函数的单调性
【例1】
讨论函数 f( x) x3 3x的单调性
单调递增区间(-,-1),(1,)
单调递减区间(-1,1)
（2010全国II） 已知函数f(x) x3 3ax2 3x 1; (1)设a 2,求f(x)的单调区间.
2.求f(x) x3 x2 3x 4 3
在[0,2]的最小值.
高中数学第3章导数及其应用习题课课件选修11高二选修11数学课件
解析 因为(yīn wèi)函数f(x)＝ax3＋bx＋2x在[0,1]上的最大值为4，
所以函数g(x)＝ax3＋bx在[0,1]上的最大值为2，
而g(x)是奇函数，所以g(x)在[－1,0]上的最小值为－2，
故f(x)在[－1,0]上的最小值为－2＋2－1＝
－32.
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解答
2.函数(hánshù)f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，试求a的取值范围. 解 由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2在(－1,1)上恒成立. 因为－1＜x＜1，所以3x2＜3，所以a≥3. 即当a的取值范围为[3，＋∞)时，f(x)在(－1,1)上为减函数.
∵f(x)在区间(qū jiān)(－1,1)上不单调，
∴0＜ 33a＜1，得 0＜a＜3，即 a 的取值范围为(0,3).
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解答
反思(fǎn sī)与感悟 f(x)为(a，b)上的增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都 有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的
f(x)的单调性 单调递_增__ 单调递_减__
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第五页，共四十八页。
知识点二 求函数y＝f(x)的极值(jízhí)的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧 f′(x)，>0右侧(yòu cè) f′(x)<0，那么f(x0)是极大值. (2)如果在x0附近的左侧 f′(x)<，0 右侧 f′(x)，>0那么f(x0)是极小值.
高中数学第三章导数及其应用章末专题整合课件选修11高二选修11数学课件
当 x>1 时，g′(x)<0.所以 g(x)在(1，＋∞)内单调递减．所以
g(x)<g(1)，x∈(1，＋∞)，即1＋xln x<1，故 a≥1.
12/13/2021
x ＝
1－x22＋ln1x2＋1x＝x21x－x22＋ln1x2＋1.
(4)y＝
x＋x5＋sin x2
x＝x－32＋x3＋sixn2x
，
y′＝－32x－52＋3x2＋(－2x－3sin x)＋x－2cos x
＝－32x－52＋3x2－2x－3sin x＋x－2cos x
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导数的几何意义 导数的几何意义把导数与解析几何紧密地联系在一起，利用 导数的几何意义求出曲线上任意一点处的切线的斜率，使解 析几何中的有关问题得以顺利解决，如求方程、点的坐标、 面积计算等，导数的几何意义是高考考查的重点内容之一， 有关曲线的切线问题可尝试用导数的方法来解决．
12/13/2021
利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不 是切点,常见的类型有两种,一是求“在某点处的切线方程”， 则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得; 另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定 是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝ f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得 y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)．① 又y1＝f(x1)，② 由①②求出x1，y1的值． 即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．
第3章 导数及其应用
12/13/2021
第3章 导数及其应用1Leabharlann /13/2021导数运算问题
(1)求一个函数的导数的方法有两种：一是利用定义，二是利 用常见函数导数公式及导数四则运算法则．第一种方法过程 繁琐，计算量大，因此第二种方法较为常见． (2)注意： ①熟记常见函数导数公式，并掌握各种求导法则． ②求较复杂的函数的导数，要先化简函数式，再求导，尽量 避开积或商的求导法则，化简方法一般由乘积式或商式展开 化为多项式求导；利用三角恒等变换化简后求导． ③求较复杂又不能化简的函数积、商的导数,必须细心、耐心.
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体积的最大值为___2_7__π__ cm3. 答案 解析
类型二 实际生活中的最值问题 命题角度 1 利润最大问题 例 3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位： 千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 y＝x－a 3＋10(x－6)2，其中 3<x<6，a 为常数.已知当销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克. (1)求 a 的值； 解答
热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝3x＋k 5(0≤x≤10)，若不建隔热层， 每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费 用之和. (1)求k的值及f(x)的表达式； 解答
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值. 解答
f′(x)＝6－32x＋40502， 令 f′(x)＝0，即32x＋40502＝6，解得 x＝5，x＝－235(舍去). 当0<x<5时，f′(x)<0，当5<x<10时，f′(x)>0， 故x＝5为f(x)的极小值点也为最小值点， 对应的最小值为 f(5)＝6×5＋1850＋05＝70. 答 当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元.
跟踪训练4 现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行 速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运 输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平 方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元. (1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒 的高与底面边长的比值. 解答
包装盒容积为 V＝2x2· 2(30－x) ＝－2 2x3＋60 2x2(0<x<30)， 所以 V′＝－6 2x2＋120 2x＝－6 2x(x－20). 令V′>0，得0<x<20； 令V′<0，得20<x<30. 所以当x＝20时，包装盒容积V取得最大值，此时包装盒的底面边长为 20 2 cm，高为10 2 cm，包装盒的高与底面边长的比值为1∶2.
反思与感悟
(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这 类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函 数表达式，准确求导，结合实际作答. (2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使 f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较， 也可以知道在这个点取得最大(小)值.
测，每投入技术改造费x百万元，可增加的销售额为－13x3＋x2＋3x(百万 元).请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大.(收益＝销 售额－投入) 解答
命题角度2 费用(用料)最省问题 例4 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙 需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔 热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔
反思与感悟
(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，并 在此基础上解决与实际相关的问题. (2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果 已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图 形进行拆分或组合，以便简化求值过程.
跟踪训练2 周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱 4 000
设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)＝(－t2＋ 5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，∴当t＝2时，f(t)取得最大值4， 即当投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大.
(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预
(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积. 解答
反思与感悟
平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形， 主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后 求导数，求极值，从而求最值.
跟踪训练1 如图所示，在二次函数f(x)＝4x－x2的图象与x轴所围成图 形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值. 解答
第三章 导数及其应用
3.3.3 导数的实际应用
学习目标
1.能利用导数解决实际问题. 2.提高综合运用导数知识解题的能力，培养化归与转化意识.
内容索引
知识梳理 题型探究 当堂训练
知识梳理
知识点 生活中的优化问题 1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问 题通常称为优化问题 . 2.利用导数解决优化问题的实质是求函数最值. 3.解决优化问题的基本思路
命题角度2 立体几何中的最值问题 例2 请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬 纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起， 使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装 盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝ FB＝x cm. (1)若广告商要求包装盒侧 面积S最大，则x应取何值？
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销 售该商品所获得的利润最大. 解答
反思与感悟
解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立 利润的函数关系，常见的基本等量关系有： (1)利润＝收入－成本. (2)利润＝每件产品的利润×销售件数.
跟踪训练3 某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广 告促销.经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额－t2＋5t(百万 元)(0≤t≤3). (1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费， 才能使该公司由此获得的收益最大？ 解答
上述解决优化问题的过程是一个典型的 数学建模 过程.
题型探究
类型一 几何中的最值问题
命题角度1 平面几何中的最值问题 例1 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场. 如图，圆形广场的圆心为O，半径为100 m，并与北京 路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过 点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进 行绿化.设△ABM的面积为S(单位：m2)，∠AON＝θ(单 位：弧度). (1)将S表示为θ的函数； 解答
类型二 实际生活中的最值问题 命题角度 1 利润最大问题 例 3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位： 千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 y＝x－a 3＋10(x－6)2，其中 3<x<6，a 为常数.已知当销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克. (1)求 a 的值； 解答
热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝3x＋k 5(0≤x≤10)，若不建隔热层， 每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费 用之和. (1)求k的值及f(x)的表达式； 解答
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值. 解答
f′(x)＝6－32x＋40502， 令 f′(x)＝0，即32x＋40502＝6，解得 x＝5，x＝－235(舍去). 当0<x<5时，f′(x)<0，当5<x<10时，f′(x)>0， 故x＝5为f(x)的极小值点也为最小值点， 对应的最小值为 f(5)＝6×5＋1850＋05＝70. 答 当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元.
跟踪训练4 现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行 速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运 输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平 方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元. (1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒 的高与底面边长的比值. 解答
包装盒容积为 V＝2x2· 2(30－x) ＝－2 2x3＋60 2x2(0<x<30)， 所以 V′＝－6 2x2＋120 2x＝－6 2x(x－20). 令V′>0，得0<x<20； 令V′<0，得20<x<30. 所以当x＝20时，包装盒容积V取得最大值，此时包装盒的底面边长为 20 2 cm，高为10 2 cm，包装盒的高与底面边长的比值为1∶2.
反思与感悟
(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这 类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函 数表达式，准确求导，结合实际作答. (2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使 f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较， 也可以知道在这个点取得最大(小)值.
测，每投入技术改造费x百万元，可增加的销售额为－13x3＋x2＋3x(百万 元).请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大.(收益＝销 售额－投入) 解答
命题角度2 费用(用料)最省问题 例4 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙 需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔 热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔
反思与感悟
(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，并 在此基础上解决与实际相关的问题. (2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果 已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图 形进行拆分或组合，以便简化求值过程.
跟踪训练2 周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱 4 000
设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)＝(－t2＋ 5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，∴当t＝2时，f(t)取得最大值4， 即当投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大.
(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预
(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积. 解答
反思与感悟
平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形， 主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后 求导数，求极值，从而求最值.
跟踪训练1 如图所示，在二次函数f(x)＝4x－x2的图象与x轴所围成图 形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值. 解答
第三章 导数及其应用
3.3.3 导数的实际应用
学习目标
1.能利用导数解决实际问题. 2.提高综合运用导数知识解题的能力，培养化归与转化意识.
内容索引
知识梳理 题型探究 当堂训练
知识梳理
知识点 生活中的优化问题 1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问 题通常称为优化问题 . 2.利用导数解决优化问题的实质是求函数最值. 3.解决优化问题的基本思路
命题角度2 立体几何中的最值问题 例2 请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬 纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起， 使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装 盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝ FB＝x cm. (1)若广告商要求包装盒侧 面积S最大，则x应取何值？
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销 售该商品所获得的利润最大. 解答
反思与感悟
解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立 利润的函数关系，常见的基本等量关系有： (1)利润＝收入－成本. (2)利润＝每件产品的利润×销售件数.
跟踪训练3 某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广 告促销.经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额－t2＋5t(百万 元)(0≤t≤3). (1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费， 才能使该公司由此获得的收益最大？ 解答
上述解决优化问题的过程是一个典型的 数学建模 过程.
题型探究
类型一 几何中的最值问题
命题角度1 平面几何中的最值问题 例1 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场. 如图，圆形广场的圆心为O，半径为100 m，并与北京 路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过 点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进 行绿化.设△ABM的面积为S(单位：m2)，∠AON＝θ(单 位：弧度). (1)将S表示为θ的函数； 解答